fermi - dirac fördelning vid olika temperaturer
DESCRIPTION
Fermi-Diracstatistiken vid olika temperaturer. e F. e F = Fermienergin. Hög T. Låg T. T=0. Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer. Partikel i boxen. Tillåtna våglängder:. Tillåtna rörelsemängder (de Broglie):. För alla 3 rymdkoordinater gäller:. När man har Fermi-Dirac - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/1.jpg)
n
1
Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer
Fermi-Diracstatistikenvid olika temperaturer
Hög TLåg T
T=0
FF = Fermienergin
![Page 2: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/2.jpg)
Partikel i boxen
Tillåtna våglängder:
n
2L
n
Tillåtna rörelsemängder (de Broglie):
n
n
h hnp
2L
![Page 3: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/3.jpg)
För alla 3 rymdkoordinater gäller:
yx xx y z
2 2 22 2x y z 2 2 2
x y z2
hnhn hnp p p
2L 2L 2L
p p pp hn n n
2m 2m 8mL
När man har Fermi-Dirac statistik, gäller för Fermienergin: 2 2
maxF 2
h n
8mL
ny
nx
nzmax nx
2+ny2+nz
2
Maxenergin formar en åttondel av en kulyta med r = n2. Volumen är:
3 3
max max4 n nN(n)
3 8 6
![Page 4: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/4.jpg)
När vi fyller de tillstånd med partikler med halvtalig spin, t. ex.elektroner, får vi plats för 2 elektroner per tillstånd med olik spin: 2 33
2maxmax
2 3 2 32 2 2 23max
F 2 2
n 3NN 2N(n) n
3
h n h 3N h 3Nmed V L
8mL 8mL 8m V
Insättning i formeln för Fermienergin utgör:
![Page 5: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/5.jpg)
x y z
n n nx y z
n2 2 max
2 2
0 0 0
n nmax max 4 2 2 22
2 2
0 0
5 2 3 2 2
max max maxF2
2
5 2
maxF 2
U 2 (n) 2 (n)dn dn dn
U 2 (n)n sin dn d d 2 d sin d (n)n dn
n h n hU 2 (n)n dn dn med (n)
2 8mL 8mL
n h n h nU N
40mL 3 8mL
n hN U
3 8mL
F
3N
5
Energin av hela ensemblen är:
2 partikler pertillstånd Övergång till polarkoordinater
Genomsnittliga energin av en partikel är 60 % av Fermi-energin.
![Page 6: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/6.jpg)
Antal av tillstånd per energi
nmax 2 2 22
22
0
2 2
2 2
3/ 2F F2 2 2
2 2 2
0 0
3/ 2F 2
2
0
h n 8mLU (n)n dn n
8mL h
dn 8mL 1 8mL 1dn d
d h h2 2
8mL 8mL 1 8mLU d d
h h 2 h2
8mLU g( )d med g( )
2 h
g() är ett mått hur många tillstånd finns per energi
![Page 7: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/7.jpg)
Graf av g() vid T=0
g()
F
< F alla tillstånd fullt ockuperad
> F ingen tillstånd ockuperad
![Page 8: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/8.jpg)
FD vid laga temperaturer
Vid T=0 räcker det att summera alla tillstånd från 0 till Fermi-kanten för att få antalet av partikler:
F
0
N 2 g( ) d
g(e) = Antal av tillstånd per energi
Vid laga T måste troligheten att tillståndet är ockuperad beaktas:
( ) / kT
0 0
( ) / kT
0 0
1N 2 g( )n(FD)d g( ) d
1 e
1U 2 g( )n(FD)d g( ) d
1 e
![Page 9: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/9.jpg)
g()
F
T=0
T>0
Graf av g() vid T>0
![Page 10: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/10.jpg)
Photon i boxen
Tillåtna våglängder:
n
2L
n
Tillåtna energier
hc hnc
2L
![Page 11: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/11.jpg)
BE statistik för fotoner
( ) / kT
1n(BE)
e 1
Om man betraktar en absorptions (eller emissions) process av en foton genom en elektron
e- + h e-
så gäller i jämnvikt:
(e-) + (h) = (e-)
(h) = 0
Planck-fördelningfotoner / kT nh / kT
1 1n(BE )
e 1 e 1
![Page 12: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/12.jpg)
I 3 dimensioner:
hcn / 2LkTn n n n ,n ,nx y z x y z
hcn 1U 2 n(BE)
L e 1
2 oberoende polarisationer per energi
/ 2 / 2 32
hcn / 2LkT hcn / 2LkT
0 0 0 0
hcn 1 hcn 1U dn d d n sin
L e 1 2 L e 1
2 2 2
x y zhc n n nhnc
2L 2L
![Page 13: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/13.jpg)
33
hcn / 2LkT hcn / 2LkT
0 0
3 3 3 3 3 3
3 3 3 / kT 3 3 / kT
0 0
4 3
3 3 / kT
0
4 453
3 3 x 3 3
0
hcn d hc 2Ldn d
2L dn 2L hc
hcn 1 1U dn n d
2 L e 1 e 1
8 L h c n 1 8 Ld d
h c 8L e 1 h c e 1
8 V kT / kTU d( / kT)
h c e 1
8 kT 8 kTU x xdx med
V h c e 1 15h c
3 4
x
0
dxe 1 15
L3=V
Med x=/kT
![Page 14: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/14.jpg)
Rsin
Rsind
Röda volymen: 2Rd R sin d cdt cR sin d d dt
Fotonpassering genom ett hål
Rd
R
cdt
R=ct
![Page 15: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/15.jpg)
Rd
R
cdt
R=ct
Alla fotoner kommer inte attpassera hålet , bara de som har rätta vinkeln.
Energiförlust: Fotonenergi i volym (U/V) trolighet av passering (Pp)i tidsintervall dt.
Acos
A
2
UU(volym) (volym)
VU
cR sin d d dtV
p 2
AcosP
4 R
![Page 16: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/16.jpg)
p
2
2
2 / 2 / 2
0 0 0
4 45 5
3 3 3 2
45
4
3 2
UE(pass) (volym) P
VU A cos
E(pass) cR sin d d dtV 4 R
U Ac U AcE(tot) d d cos sin dt d sin cos dt
V 4 V 2
8 kT 2 kTU c AcE(tot) dt dt Adt
V 4 15h c 4 15h c
2 kTP E(tot)T
A Adt 15h c
Energin som passerar med fotoner genom hålet:
För totala energiförlusten gäller:
Lag av Stefan-Boltzmann, är Stefan-Boltzmann-konstanten5.67 x 10-8 Wm-2K-4
![Page 17: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/17.jpg)
T(box)=T(strålare)
Om strålningen av boxeneller strålaren är intensivare,skulle en av dem uppvärmas menden andra svalnas omöjligt.
Betrakta en strålare med samma T och samma yta som hålet:
Om strålningen en av dem är intensivare vid en viss våglängd, skulle man åstådkomma samma situationen med hjälp av en filter.
Svarta strålare
T(box)=T(strålare)
Strålningen av en svart strålare har samma spektrum och samma intesitet som den från ett hål.
![Page 18: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/18.jpg)
Jorden som svart strålare
Intensiteten av solstrålningen är 1370 W/m2, så kallade solarkonstanten. Jordtvärsnittet är R2 Intensiteten av instrålning av solen är:
2P(in) solarkons tan t R
Om man betrakta jorden som svarta strålare, så gäller4 2 4P(ut) A T 4 R T
I jämnvikt är P(in)=P(ut):
2 2 4
1/ 4
solarkons tan t R 4 R T
solarkons tan tT 279K
4
Men: Jorden är ingen svart strålare, men reflektera 30 %. Denna förlust kompenseras med växthuseffekten.
![Page 19: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/19.jpg)
Månen som svart strålare
Månen saknar atmosfär, därför finns ingen konvektiv värmetransport. Om man antar lodrätt infall av solstrålen (på månekvatorn) och vet att månen reflekterar 7 % av infallande ljuset, är infallsintensiteten på 1m2:
P(in) solarkons tan t 1 0.93
Månen är ingen perfekt svart strålare, den emitterar bara 96 % av ljuset som den skulle som svart strålare, så för 1 m2 är:
4P(ut) 0.96 T
4
1/ 4
P(ut) P(in) 0.96 T 0.93 (solkons tan ten)
0.93 (solkons tan ten)T 391 K
0.96
I jämnvikt gäller:
som överensstämmer ganska bra med den uppmätta temperaturen 400K.
4.
![Page 20: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/20.jpg)
Debyemodellen av fast kropp
n=1
n=2
n=3
Vi betraktar en endimensions-kristall. Kristallatomer kan utföra vibrationer medföljande vaglängder:
s s
2L
n
hc hc n
2L
För tillåtna energier gäller:
cs = utbredningshastgheten av vibrationer = ljudhastighet
![Page 21: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/21.jpg)
hc n / 2LkT/ kT s
n n nx y z
1 1n
e 1 e 1
U 3 n
Vibrationer kan händer i 1 longi- tudinal och 2 transversala moder, därför inkludras en faktor 3.
U i tre dimensioner:
Området av tillåtna tillstånd harformen av en tärning i nx-ny-nz rum,Debye gjorde approximation med en attondel av en kula med samma volym. Volumen av kulattondelen måste utgör N, därför gäller:
Debye-approximation
nx
ny
nz
3 3
max max
1/ 3
max
4(n ) (n )N
3 8 6
6Nn
![Page 22: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/22.jpg)
n / 2 / 2max
2
/ kT
0 0 0
n nmax max 32 s s
nhc / 2LkT/ kT s
0 0
3
sn xmax max4 4 3 4 4 3
s
nhc / 2LkT3 3 3 3 xss s0 0
max
U 3 dn d d n sine 1
hc nhc3 3 nU n dn dn med
2 e 1 2 2L e 1 2L
nhc
nhc2LkT3 8k T L 12k T V xd dx
2 h c e 1 2LkT h c e 1
x
1/ 3 1/ 3 3 3max s s s D
3 3 3 3 3
D s s
T / T T / T T / TD D D4 4 3 3 3 4 34
3 3 x 3 3 x 3 x
s s D0 0 0
n hc hc hc T6N 6N 9 9 8k V 12k V
2LkT 2LkT 2kT V T T 6Nh c Nh c
12 k T V x 12k V x 9NkT xU dx NkT dx dx
h c e 1 h c N e 1 T e 1
L=V1/3
![Page 23: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/23.jpg)
T / TD4 3x
D3 x
D 0
T / T T / T 3D D4 3 4 42 D
3 3 3
D D D0 0
9NkT xU dx när T T är x 1 och e 1 x
T e 1
9NkT x 9NkT 9NkT 1 TU dx x dx 3NkT
T 1 x 1 T T 3 T
Vid höga temperaturer gäller:
Vid laga temperaturer:
T / TD4 3
3 x
D 0
4 3 4 4
D 3 x 3
D D0
4 4
3
D
9NkT xU dx
T e 1
9NkT x 9 NkTnär T T är U dx
T e 1 15T
3 NkTU
5T
![Page 24: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/24.jpg)
Värmekapacitet av fast kropp
V
4 4
3
D
4 3
V 3
D
U 3NkT
UC 3Nk
T
3 NkTU
5T
12 NkTC
5T
Hög T
Lag T
0.5
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.0
T/ TD
C / 3NkV
Värmekapaciteten av en fast kropp
![Page 25: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/25.jpg)
Ising modell av en ferromagnet
I en paramagnet tenderar dipolmomenter av atomer att utriktar sig antiparallel till ett externt magnetfält. I en ferromagnet händer utriktningen av dipolmomenter spontant (utan externt fält) parallelt.
Vi betraktar först 2 dipolmomenter bredvid varandra. Om vi fixer en till utrikning s=1 (“upp”) så finns s möjligheter s=1 (upp) och s=-1 (ned) för den andra med olika energier:
E = E = -
E = -s
![Page 26: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/26.jpg)
Om vi utvidga den här modellen till en 4x4-atomig planar kristall:
Om vi antar alla utriktningar utav den röda (som har 8 grannar) är frusna, så gäller för energier av de två utriktningar vid den :
Ened = (5-3)2 och Eupp = -2
Generellt gäller för energin för en dipol:
med n = antal av granndipoler och s som deras genomsnittlig utriktning.
Eupp = -snEupp = sn
![Page 27: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/27.jpg)
Ei ns ns ns
i
ensens(s )i
i i
i
i
Z e e e e 2cosh ns
2sinh ns1 1 e ( 1)es s e
Z 2cosh ns 2cosh ns
s tanh ns
![Page 28: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/28.jpg)
Graf av s och tanh(s)
Vid n < 1 Vid n > 1
s
tanh(s)
sstabil
Enda stabila tillstånd med s = 0 ingen spontan utriktning
stabil
stabilostabil
tanh(s)
s
Stabila tillstånd med s = 0 spontan utriktning
![Page 29: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/29.jpg)
Stabilitetsgränsen ligger alltså vid n = 1:
c
n n1 T T
kT kT
Tc kallas Curie-Temperatur
Ferromagneter visar ferromagnetismen vid T< Tc ,vid T>Tc bara vanligaparamagnetismen.
Curietemperaturer
Järn 1024 KNickel 627 K
Kobalt 1122 KGadolinium 280 K
![Page 30: Fermi - Dirac fördelning vid olika temperaturer](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061610/56814a33550346895db751e7/html5/thumbnails/30.jpg)
Varför är magnetisera järnet sig inte spontantvis rumstemperatur ?
Bara några i sma områden (Weiss-områden) utriktar sig dipoler spontant parallelt:
Utan externt magnetfält
Weissområde
Vid starkt externt magnetfält
Vid ett starkt externt magnetfält kan man utrikta Weiss-områdenparallelt och tillverka en permanentmagnet.
B