FENÔMENOS DO

CONTINUO Sonia Hatsue Tatumi

cronograma 21/05 Oscilações: Movimento oscilatório, Movimento harmônico simples (MHS), Força e Energia no MHS, Equação do MHS, 28/05 Energia do MHS Pêndulo Simples, Princípio da Superposição, Oscilações Amortecidas e Forçadas. 04/06 aula de dúvida 11/06 P1 18/06 Ondulatória: Ondas, Descrição do Movimento Ondulatório, Equação Geral da Onda 25/06 Propagação da Onda, Velocidade de Grupo, Efeito Doppler 02/07 aula de dúvida 16/07 P2 23/07 Hidrostática : Densidade e pressão, Pressão hidrostática,Empuxo e Principio de Arquimedes 30/07 Fluido em movimento: Equação de Bernoulli, Viscosidade, Capilaridade e Tensão Superficial 06/08 aula de dúvida 13/08 Seminário 20/08 P3 27/08 Sub 03/09 Exame

Movimento oscilatório Oscilações e vibrações são comuns nos objetos que nos

rodeiam, nas estruturas e máquinas que construímos, em

nível microscópico, nos átomos e nas moléculas e estrelas.

Motor de carro

Ondas

eletromagnéticas

Movimento harmônico simples (MHS)

0

+x -x

𝒙 𝒕 = 𝒙𝒎𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + ∅𝟎)

x(t)= deslocamento

xm= amplitude máxima, cte

= velocidade angular, cte

0= fase inicial, cte

𝜔 = 2𝜋𝑓 =2𝜋

𝑇

F=frequência [1/s= Hz]

T= período [s]

T

Todo objeto que oscila

em torno da origem

executa um MHS

Velocidade do MHS

𝑣 𝑡 =𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡[𝑥𝑚 cos 𝜔𝑡 + ∅0 ]

𝑣 𝑡 = −𝜔𝑥𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + ∅0)

𝜔𝑥𝑚= amplitude da velocidade vm

Vm

X=0

-xm

V=0

xm

Aceleração MHS

𝑎𝑚 = 𝜔2𝑥𝑚= amplitude da aceleração

±𝑎𝑚 = ±𝜔2𝑥𝑚

𝑎 𝑡 =𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡[−𝜔𝑥𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + ∅0)

]

𝑎 𝑡 = −𝜔2𝑥𝑚𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + ∅0)

am

Exemplo 1. Um oscilador massa-mola tem

amplitude do movimento de 2mm,

pulsação de 2π, e não existe defasagem

de fase, isto é 0=0. Quando t=10s, qual a

elongação do movimento?

Sendo a função horária do deslocamento :

x será mm, pois os valores não foram passados para o SI.

𝒙 𝒕 = 𝒙𝒎𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + ∅𝟎)

Substituindo os valores teremos:

𝒙 𝒕 = 𝟐𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒕)

𝑥 = 2cos(20𝜋)

𝒙 = 𝟐𝒎𝒎

Lei do MHS

Segunda Lei de Newton

𝐹 = 𝑚𝑎 = − 𝑚𝜔2 𝑥

𝐹 = −𝑘𝑥 𝒌 = 𝒎𝝎𝟐

x

k

𝜔 =𝑘

𝑚(𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟)

𝜔 =2𝜋

𝑇

𝑻 = 𝟐𝝅𝒎

𝒌

Exercício 2. Qual a força exercida em um oscilador

massa-mola de amplitude 0,3m, com

massa 0,5kg, tendo um período de 3

segundos, no momento em que sua

elongação é máxima (amplitude)?

Utilizando a equação:

𝐹 = 𝑚𝑎 = − 𝑚𝜔2 𝑥 𝜔 =2𝜋

𝑇=2π

3

𝐹 = −(0,5.2π

3

2

. 0,3)

𝑭 = −𝟎, 𝟔𝟓𝑵

Energias no MHS

U=energia potencial

𝑈 =1

2𝑘𝑥2 𝑼 =

𝟏

𝟐𝒌𝒙𝒎

𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐(𝝎𝒕 + ∅𝟎)

𝑥 𝑡 = 𝑥𝑚cos(𝜔𝑡 + ∅0)

K= energia cinética

𝐾 =1

2𝑚𝑣2

𝑣 𝑡 = −𝜔𝑥𝑚𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + ∅0)

𝑲 =𝟏

𝟐𝒎𝝎𝟐𝒙𝒎

𝟐𝐬𝐞𝐧𝟐(𝝎𝒕 + ∅𝟎)

𝜔 =𝑘

𝑚 𝜔2 =

𝑘

𝑚

𝑲 =𝟏

𝟐𝒌𝒙𝒎

𝟐𝐬𝐞𝐧𝟐(𝝎𝒕 + ∅𝟎)

Energia

E = Energia Total

𝐸 = 𝑈 + 𝐾 =1

2𝑘𝑥𝑚

2

Movimento harmônico Simples

Amortecido Quando o movimento do oscilador é reduzido por

uma força externa, diz-se que o oscilador e o seu

movimento são amortecidos.

Na figura ao lado, a placa que está imersa no

líquido se move para cima e para baixo, o

líquido irá exercer uma força de arrasto inibidora

sobre a placa.

Com o tempo, a energia mecânica massa-mola

diminui, se transferindo para a placa e o líquido

como energia térmica.

MHS

MHS - Amortecido

Equações do MHS - Amortecido

𝐹𝑑 = −𝑏𝑣(𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑑𝑒𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜)

b= constante de amortecimento

V= velocidade da placa e do bloco

𝐹 = −𝑘𝑥(𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑑𝑎𝑚𝑜𝑙𝑎𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑜𝑏𝑙𝑜𝑐𝑜)

𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑎𝑑𝐿𝑒𝑖𝑑𝑒𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑝𝑎𝑟𝑎𝑜𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎:

−𝑏𝑣 = 𝑘𝑥 = 𝑚𝑎 (1)

Supondo que p=mg<<<<Fd e F

Substituindo as equações abaixo em (1),

teremos:

𝑣 =𝑑𝑥

𝑑𝑡

𝑎 =𝑑2𝑥

𝑑𝑡2

𝒎𝒅𝟐𝒙

𝒅𝒕𝟐+ 𝐛

𝒅𝒙

𝒅𝒕+ 𝒌𝒙 = 𝟎 (2)

A solução da equação (2) é:

𝒙 𝒕 = 𝒙𝒎𝒆−𝒃𝒕

𝟐𝒎 𝐜𝐨𝐬(𝝎′𝒕 + 𝝓)

𝜔′ =𝑘

𝑚−

𝑏2

4𝑚2

Considerações

Se b=0, o movimento se reduz ao MHS sem

amortecimento

No caso do MHS amortecido a Energia mecânica total

não se mantém constante diminui com o tempo

exponencialmente:

𝑬 𝒕 =𝟏

𝟐𝒌𝒙𝒎

𝟐𝒆−𝒃𝒕/𝒎

𝐛 << 𝒌𝒎 →𝒐𝒑𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐𝒅𝒐𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓é𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍𝒂𝒐𝒅𝒐𝒏ã𝒐𝒂𝒎𝒐𝒓𝒕𝒆𝒄𝒊𝒅𝒐

𝑻 = 𝟐𝝅𝒎

𝒌

Exemplo

O oscilador amortecido tem m=250 g, k= 85 N/m e b = 70 g/s. Calcule:

a) O período do movimento?

b) Quanto tempo leva para que a amplitude caia pela metade ?

c) Quanto tempo leva para que a energia mecânica caia à metade do seu

valor inicial ?

Resposta:

a) Como 𝐛 << 𝒌𝒎= 4,6 kg/s,

podemos usar:

𝑇 = 2𝜋𝑚

𝑘= 0,34 s

b) Quando t=0, teremos x= xm

𝑥𝑚𝑒−𝑏𝑡/2𝑚 =

1

2𝑥𝑚

Cancelando xm e aplicando o ln na

equação, teremos:

ln 𝑒−𝑏𝑡/2𝑚 = ln1

2

−𝑏𝑡

2𝑚= 𝑙𝑛1/2

𝑡 = 5,0𝑠

c) Quando t=0, teremos que E=1/2kxm2

1

2𝑘𝑥𝑚

2𝑒−𝑏𝑡/2𝑚 =1

2(1

2𝑘𝑥𝑚

2)

𝑡 =−𝑚𝑙𝑛1/2

𝑏= 2,5𝑠

Oscilações Forçadas e Ressonância

• Quando um oscilador (um pêndulo) é forçado levemente, ele conserva a maior parte de sua individualidade ligeiramente modificada, porém, pela presença da "forçagem".

• Assim, sua frequência é algo diferente do que seria sem estimulação exterior e sua amplitude é modulada no tempo. Diz-se que o regime é biperiódico, ou seja, que nele tornamos a encontrar a presença superposta das frequências do oscilador e da forçagem.

• Uma pessoa oscilando em um balanço empurrado periodicamente por outra pessoa é um pêndulo forçado. O balanço, com a pessoa indo e vindo, tem sua frequência natural ωo. A pessoa, causando as oscilações forçadas, excita o balanço com uma frequência ω.

• Quando o balanço é estimulado com uma frequência muito próxima da sua frequência própria, isso lhe convém perfeitamente e ele tira daí a energia necessária para oscilar sem descanso. E ocorre o fenômeno da Ressonância, isto é,

• ωo= ω

• http://www.videos.engenhariacivil.com/cola

pso-da-ponte-tacoma-205