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TRANSFERENCIA DE MATERIA La transferencia de masa o materia es un fenómeno que se origina en sistemas que contienen 2 o más componentes, cuando las concentraciones de un punto a otro son distintas.
Al igual que para la transferencia de energía, la forma en que se lleva a cabo la transferencia de materia dependerá de la dinámica del sistema.
1° cuatrimestre de 2013
Esta transferencia ocurrirá desde una región de alta concentración a una de baja concentración.
TRANSFERENCIA DE MATERIA
La masa se transfiere por medio del movimiento molecular aleatorio.
- Difusión molecular de masa o materia
2
La masa se transfiere entre una superficie y un fluido moviéndose.
- Convección de masa o materia
TRANSFERENCIA DE MATERIA
3 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Difusión molecular La transferencia de materia de la especie A ocurrirá desde la región de mayor concentración hacia la región de menor concentración, es decir, en dirección contraria al gradiente de concentraciones de A.
La descripción de esta transferencia es más compleja que las transferencias análogas de cantidad de movimiento y energía.
A continuación se repasaran las definiciones y relaciones que serán útiles para explicar este tipo de transferencia.
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: definiciones y relaciones
4 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Concentración de masa de A:
Diferencial de volumen de una mezcla que contiene múltiples componentes.
mezcladeVolumen
MasaAA
Concentración de masa total o densidad de la mezcla:
n
i
i
1
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: definiciones y relaciones
5 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Fracción másica de A:
A
i
AAw
n
i
iw1
1
Concentración molar de A: mezcladeVolumen
MolesdeNúmeroC A
A
Concentración de molar total:
n
i
iCC1
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: definiciones y relaciones
6 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Relación entre concentración de masa y concentración molar:
A
AA
MrC
Fracción molar de A (para líquidos y sólidos): C
C
C
Cx A
i
AA
n
i
ix1
1
Fracción molar de A (para gases): C
C
C
Cy A
i
AA
n
i
iy1
1
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: definiciones y relaciones
7 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Velocidad másica promedio:
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii vv
v 1
1
1
Velocidad relativa de A con respecto a la velocidad másica promedio: vvA
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: definiciones y relaciones
8 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Velocidad molar promedio:
C
VC
C
VC
V
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
1
1
1
Velocidad relativa de A con respecto a la velocidad molar promedio: VVA
La especie A solo tendrá una velocidad relativa a la velocidad másica o molar si existe un gradiente de concentraciones.
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: Primera ley de Fick
9 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Define el flujo molar relativo a la velocidad media molar (JA).
dx
dyDCJ A
ABxA ,
En un sistema gaseoso binario (A + B), con una velocidad media constante en x, se podrá plantear la siguiente igualdad:
2,
Lt
MolesJ A
xA
dx
dyDCVVCJ A
ABxxAAxA ,,
xAxAxAA JVCVC ,,
xAN ,
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: Primera ley de Fick
10 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
De la misma forma, esta ley también define el flujo másico relativo a la velocidad media másica (jA).
dx
dwDj A
ABxA ,
En un sistema binario, con una velocidad media constante en x, se podrá plantear la siguiente igualdad:
2,
Lt
Masaj A
xA
dx
dwDvvj A
ABxxAAxA ,,
xAxAxAA jvv ,,
xAn ,
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: Primera ley de Fick
11 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Finalmente, podemos plantear las siguientes igualdades:
xAA
ABxA VCdx
dyDCN ,
C
VC
Cdx
dyDCN
n
i
xii
AA
ABxA
1
,
,
xBBxAAAA
ABxA VCVCydx
dyDCN ,,,
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: Primera ley de Fick
12 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Finalmente, podemos plantear las siguientes igualdades:
xBxAAA
ABxA NNydx
dyDCN ,,,
Como se cumple: xBxAxT NNN ,,,
xTAA
ABxA Nydx
dyDCN ,,
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: Primera ley de Fick
13 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
En base másica, también podremos plantear las mismas igualdades:
xAA
ABxA vdx
dwDn ,
n
i
xi
AA
ABxA
v
dx
dwDn 1
,
xBBxAAAA
ABxA vvwdx
dwDn ,,,
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: Primera ley de Fick
14 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Finalmente, podemos plantear las siguientes igualdades:
xBxAAA
ABxA nnwdx
dwDn ,,,
Como se cumple: xBxAxT nnn ,,,
xTAA
ABxA nwdx
dwDn ,,
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: Primera ley de Fick
15 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Todas estas expresiones se pueden generalizar y expresar en su forma vectorial:
BBAAAAABA VCVCyyDCN
BAAAABA NNyyDCN
TAAABA NyyDCN
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: Primera ley de Fick
16 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Todas estas expresiones se pueden generalizar y expresar en su forma vectorial:
BBAAAAABA vvwwDn
BAAABA nnwwDn
TAAABA nwwDn
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: Primera ley de Fick
17 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Sistemas binarios: xBxAxT NNN ,,,
TAAA NyJN
TBBB NyJN
TBAT NJJN
0 BA JJ BA JJ
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: Primera ley de Fick
18
BBAAAB yDCyDC
AABA yDCJ Sistemas binarios:
BBAB yDCJ
Como también se cumple:
1 BA yy 0 BA yy
BAAB DD
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: coeficiente de difusión
19
Las dimensiones del coeficiente de difusión pueden obtenerse a partir de la ley de Fick:
dx
dyC
JD
A
xA
AB
,
t
LD
LL
Moles
Lt
Moles
ABA
A 2
13
2
Sus dimensiones son iguales a la difusividad de momento o viscosidad cinemática, ν, y la difusividad térmica, α.
1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: difusión en gases a baja densidad
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El coeficiente de difusividad DAB en una mezcla de 2 gases no polares y no reactivos puede predecirse muy bien mediante la teoría cinética.
DAB
MrMr
ABp
TD BA
2
1123001858,0
Diámetro de colisión
Integral de colisión
ABD
23T
p1
1° cuatrimestre de 2013
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: difusión en gases a baja densidad
21
Coeficientes de difusión DAB de mezclas gaseosas binarias a 1 atm:
1° cuatrimestre de 2013
Mezcla T [° C] DAB [cm2/s]
N2-NH3 25° 0,230
N2-He 25° 0,687
CH4-He 25° 0,675
Dra. Larrondo - Ing. Grosso
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: difusión en líquidos binarios
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La teoría cinética para este tipo de mezclas no está tan bien desarrollada como lo esta para gases diluidos.
Los modelos de hidrodinámica y del estado activado proponen correlaciones empíricas que aproximan bastante bien el coeficiente de difusión.
En general:
1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
ByADAB
En soluciones diluidas, DAB aumenta con la temperatura.
Difusividad de CO2 en H2O:
Mezcla T [° C] DAB [cm2/s]
CO2-H2O 25° 2.10-5
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: difusión en sólidos
23
El estudio de la transferencia de masa en sólidos se divide en dos casos:
• Solidos porosos: difusión de gases o líquidos en los poros de un sólido.
• Sólidos no porosos: interdifusión de los constituyentes sólidos debido al movimiento atómico.
1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
La catálisis y el uso de membranas son dos ejemplos de casos en los que se emplean sólidos porosos.
Por otra parte, la metalurgia es un ejemplo de la difusión en sólidos no porosos.
TRANSFERENCIA DE MATERIA Difusión molecular: difusión en sólidos
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Un ejemplo práctico de difusión en sólidos no porosos puede ser el dopaje del silicio que ocurre dentro de la estructura cristalina del sólido.
1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Para tener una idea de la magnitud de la transferencia de masa en sólidos, se puede ver el caso de la difusividad de H2 en Ni:
Mezcla T [° C] DAB [cm2/s]
H2-Ni 85° 1,16.10-8
TRANSFERENCIA DE MATERIA Ecuación diferencial de masa para la especia A
25 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
La metodología para el planteo de esta ecuación será aplicar la conservación de la masa de A dentro de un pequeño elemento de volumen ΔxΔyΔz a través del cual circula una mezcla de A + B.
TRANSFERENCIA DE MATERIA Ecuación diferencial de masa para la especia A
26 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
El balance de masa para la especie A se puede expresar como:
controldevolumenel
enAdenacumulació
denetaRapidez
controldevolumenel
enAdequímica
produccióndeRapidez
Ademasadeflujo
denetaRapidez
En este balance estamos considerando a la velocidad de aparición de masa de A por reacción química como:
3Lt
Masar A
A
Consumor
Generaciónr
A
A
0
0
TRANSFERENCIA DE MATERIA Ecuación diferencial de masa para la especia A
27 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Entonces, el balance queda:
AAzzzAzzA
yyyAyyAxxxAxxA
zyxt
zyxrnnyx
nnzxnnzy
,,
,,,,
Si se hace que el elemento de volumen ΔxΔyΔz tienda a cero, se obtiene:
tr
z
n
y
n
x
nA
A
zAyAxA
,,,
TRANSFERENCIA DE MATERIA Ecuación diferencial de masa para la especia A
28 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Finalmente, la ecuación para A se puede escribir de la siguiente forma:
AAA rnt
Por conservación de la masa, si se suman las ecuaciones para la especie A y la especie B se debería obtener la ecuación de conservación de la masa.
vt
TRANSFERENCIA DE MATERIA Ecuación diferencial de masa para la especia A
29
AAA rnt
BBB rnt
BABABA rrnntt
Como la masa no se crea ni se destruye, se debe cumplir: BA rr
BABA nntt
TRANSFERENCIA DE MATERIA Ecuación diferencial de masa para la especia A
30
vnt
T
Finalmente, aplicando propiedades de derivadas y recordando las relaciones planteadas al principio de la clase se llega a:
TRANSFERENCIA DE MATERIA Ecuación diferencial molar para la especia A
31 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
El balance molar para la especie A se puede plantear de la misma forma que se hizo para el caso anterior:
controldevolumenel
enAdenacumulació
denetaRapidez
controldevolumenel
enAdequímica
produccióndeRapidez
Ademolarflujo
denetaRapidez
Ahora, en este balance consideramos a la velocidad de aparición de materia de A por reacción química como:
3Lt
MolesR A
A
ConsumoR
GeneraciónR
A
A
0
0
TRANSFERENCIA DE MATERIA Ecuación diferencial molar para la especia A
32 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
Entonces, el balance queda:
AAzzzAzzA
yyyAyyAxxxAxxA
zCyxt
zyxRNNyx
NNzxNNzy
,,
,,,,
Si se hace que el elemento de volumen ΔxΔyΔz tienda a cero, se obtiene:
t
CR
z
N
y
N
x
NA
A
zAyAxA
,,,
TRANSFERENCIA DE MATERIA Ecuación diferencial molar para la especia A
33
Finalmente, la ecuación para A se puede escribir de la siguiente forma:
AAA RN
t
C
En este caso, RA = -RB solo se cumplirá para el caso en que se tenga una reacción equimolar.
Entonces, si se suman las ecuaciones para A y B se obtendrá algo distinto que para las ecuaciones en base másica.
TRANSFERENCIA DE MATERIA Ecuación diferencial molar para la especia A
34 1° cuatrimestre de 2013 Dra. Larrondo - Ing. Grosso
AAA RN
t
C
BBB RNt
C
BAT RRNt
C
TRANSFERENCIA DE MATERIA Ecuación diferenciales para la especia A
Si se reemplaza lo obtenido antes en los balances de masa y materia:
AAA rnt
ATAAABA rnwwDt
AAA RN
t
C
ATAAABA RNyyDC
t
C
TRANSFERENCIA DE MATERIA Ecuación diferenciales para la especia A
Si C o ρ y DAB son constantes (en gases esto ocurrirá si P y T son constantes):
AAABTAA rwDnwt
2
AAABTAA RyDCNy
t
C
2
Si además, RA o rA = 0 y NT o nT también:
AABA wDt
2
AAB
A yDCt
C 2
TRANSFERENCIA DE MATERIA
Bibliografía recomendada
• Capítulos 24, 25 y 26 de “Fundamentos de Transferencia de Momento, Calor y Masa”, Welty J.R., Wicks C.E. & Wilson R.E.
•Capítulo 17, 18 y 19 de “Fenómenos de Transporte”, Bird R.B., Stewart W.E. & Lightfoot E.N.