34

FEN VE MÜHENDİSLİKTE

MATEMATİK METOTLAR

8. KİTAP

HELMHOLTZ DD

2 2 ok

35

İÇİNDEKİLER

I. TANIMLAR ve İŞLEMLER

A) Vektörler ve Skalarlar

B) İşlemler

C) Alanlar

II. KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER ( DO )

A)

B) A ve A

C) 2 ve 2A

D) Vektör DO çiftleri

III. YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DO

A) Jacobian

B) Metrik Fonksiyonları ve Birim Vektörler

C) Alternatif Tanım

D) A Alternatif Tanım

E) A Alternatif Tanım

F) 2 Alternatif Tanım

G) İki Temel Teorem

36

IV. HELMHOLTZ DD ÇÖZÜMLERİ

A) Köken

B) Kartezyen Koordinatlar

C) Silindir Koordinatlar

D) Küresel Koordinatlar

IV. GREEN FONKSİYONLARI

A) Helmholtz DO

B) Asimtotik Davranış

C) Dalga DO

EKLER VE NOTLAR

37

I. TANIMLAR ve İŞLEMLER

A) Vektörler ve Skalarlar

Vektörlerin ne olup, ne olmadıkları eğitimin değişik kademelerinde çekingen bir biçimde ve

azar azar öğretilen bir konudur. "Boy ve yöne sahip nesne" veya "Sıralı 3 elemanlı küme"

veya "Konum : ( , , )r x y z gibi davranan ifade" olarak sunulan vektör kavramının gerçek

tanımı ileride, uzay-zaman simetrileri konusunda yapılacaktır. Şimdilik bir vektörün

kartezyen bileşenleri kullanılarak = , ,x y zA A A A biçiminde ifade edildiği ile yetinmek

yeterli olacaktır.

B) İşlemler

Eşitlik için , , x x y y z zA B A B A B A B olması gerekir; toplama ve

çıkartma ise C , C , C x x x y y y z z zC A B A B A B A B ile

verilir. Çarpma üç başlık altında incelenecektir.

i) Bir sayı (skalar) ile çarpılma : , , x x y y z zB k A B k A B k A B k A

ii) Sonucu skalar olduğu için 'Skalar çarpım' olarak adlandırılan çarpım :

x x y y z zs A B A B A B A B

Bu işlemle ilintili bir kavram da A A A A olarak tanımlanan, vektörün boyu

veya Norm 'udur. ˆ A

AA

da 'Birim vektör' olarak adlandırılır. Bu adın gerekçesi

ˆ ˆ 1A A sağlayarak, birim Norm 'a sahip oluşudur.

iii) Sonucu vektör olduğu için 'Vektörel çarpım' olarak adlandırılan çarpım :

, , x y z z y y z x x z z x y y xC A B C A B A B C A B A B C A B A B

Bu işlemin B A A B özelliği ve dolayısıyla 0A A oluşu dikkat

38

çekmektedir. Genellikten ayrılmadan A vektörü x-yönünde , B vektörü ise

x-y düzleminde olacak şekilde kartezyen koordinat sistemi yeniden yönlendirilerek

, 0 , 0A A ve cos , sin , 0B B B olarak yazılınca cosA B AB

olduğu görülür. , 0A B için 0A B oluşu cos 0 90 , 270o o

veya A ve B ’nin birbirine dik olduğunun göstergesidir. Aynı yaklaşımla A B

vektörünün boyu sinAB , yönü ise hem A hem de B 'ye dik olmaktadır.

Toplama ve skalar ile çarpılma kuralları uyarınca

herhangi bir A vektörünün , , 1,0,0 0,1,0 0,0,1x y z x y zA A A A A A A

olarak yazılması sonucu kartezyen birim vektörleri bulunur :

ˆ ˆ ˆ 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1x y ze e e .

Yukarıda incelenen özellikler bazı geometrik kavramların karakterleri hakkında ipuçları verir.

Mesela düzlem polar koordinatlarda 1 tany

x

olarak tanımlanan açı 'nın

diferansiyeli 2 2 2 2

2

1

1

x dy y dx x dy y dxd

y x x yx

olarak yazılınca pay 'daki

ifadenin r dr , payda 'nın ise 2r olduğu görülür.

Bu da d 'nin bir vektör olduğuna ve 2

ˆ = =

r dr r drd

r r

ile verildiğine işaret

etmektedir. Bu da ˆ

2r dr d d

d dr r r

sağlar.

Diğer geometrik kavramları da sonsuz küçük vektörlerle inşa etmek mümkündür :

Uzunluk : d ; Yüzey : 1 2 dS d d

Hacım : 1 2 3 dV d d d ve son olarak da

Katı Açı : 2 2 2

ˆ 4

dS dSr dSd

r r r

olarak tanımlanırlar.

39

C) Alanlar

Eğer bir skalar belli bir uzay parçasının her noktasında tanımlı ise r olur ve bir

‘Skalar alan’ olarak adlandırılır. Aynı durum W W r olan bir vektör için geçerli ise bu

sefer bir ‘Vektör alanı’ söz konusudur. Bir odadaki sıcaklık dağılımı , ,T x y z , bir skalar

alana, İstanbul boğazındaki su akıntısının hız dağılımı v v , ,x y z ise bir vektör alana

örnektir.

II. KARTEZYEN DİFERANSİYEL OPERATÖRLER ( DO )

A)

Matematik eğitiminin ilk aşamalarında kolaylık açısından bağımsız değişken sayısının az

tutulması, hatta 1 ile sınırlanması doğaldır. Ancak içinde yaşadığımız Uzay-Zaman,

problemlere gerçekçi bir yaklaşım için 3 + 1 = 4 bağımsız değişkeni zorunlu kılmaktadır.

Zaman değişkeni biraz ertelense bile gerçekçi bir geometrinin , ,r x y z ile

oluşturulması gerekir. Herhangi bir , ,r x y z fonksiyonunun diferansiyeli

d dx dy dzx y z

olarak yazılınca, ilk akla gelen bu ifadeyi biri

, ,dr dx dy dz vektörü olmak üzere, iki vektörün skalar çarpımı olarak yorumlamak

olacaktır. Diferansiyel , , , ,d dx dy dzx y z

olarak yazıldığında ortaya

çıkan , , x y z

vektörü sembolü ile gösterilir. Biraz soyutlama

yapılarak "Nabla" diferansiyel operatörü , ,x y z

olarak tanımlanır.

40

B) W ve W

Elde böyle bir vektör diferansiyel operatör olunca herhangi bir

, , x y zW r W r W r W r vektör alanı ile oluşturulacak

yx z

WW WW

x y z

veya

ˆ ˆ ˆ

x y z

x y z

e e e

Wx y z

W W W

işlemlerinin de

tanımlanması doğaldır.

C) 2 ve 2 W

Son olarak W ve W işlemlerinin bileşimi olan 2

tanımlanır. Dönmeler altında değişmeyen 2 2 2

2

2 2 2

x y z

Laplace operatörü

olarak adlandırılır ve geniş uygulama alanı vardır. Bu operatörün sadece skalarlara değil,

2 W Z olarak vektörlere de etki edebileceği görülmektedir.

D) Vektör DO Çiftleri

, , işlemlerinin iki tanesinin üstüste uygulanmasından sadece beş geçerli ve

anlamlı ifade elde edilir :

2 , , , , W W W .

0 , 0W olduğu kolayca gösterilir. Geri kalan üçü ise

2 W W W özdeşliğini sağlarlar.

41

PROBLEMLER

P.2.1 ) 0W olduğunu, dolayısıyla 0B durumunda B A

yazılabileceğini gösterin.

P.2.2 ) 0 olduğunu, dolayısıyla 0E durumunda E V

yazılabileceğini gösterin.

P.2.3 ) 2 W W W özdeşliğini ispatlayın.

III. YEREL DİK KOORDİNAT SİSTEMLERİNDE DO

A) Jacobian

Kartezyen koordinat sistemlerinin en önemli özelliği birim vektörlerin yönlerinin konumdan

bağımsız olmasıdır; dolayısıyla herhangi bir noktadaki ˆxe ile, bambaşka bir noktadaki ˆye

birim vektörleri ˆ ˆ 0x ye e , ˆ ˆ ˆ x y ze e e benzeri eşitlikleri sağlarlar. Ancak doğanın

simetrileri açısından kartezyen koordinatlar her zaman elverişli değildir. Mesela kartezyen

koordinatlarda küre denklemi 2 2 2 2 x y z R iken küresel koordinatlarda tek

değişken cinsinden r R olarak yazılır. Kartezyen dışı koordinat sistemleri

oluştururken yeni koordinatlarda en azından yerel olarak dik olma şartı aranacaktır. Böylece

verilen bir noktada 1 2ˆ ˆ 0e e , 1 2 3

ˆ ˆ ˆ e e e ve benzeri ifadeler geçerliliğini

koruyacaktır. Kartezyen koordinatlar: 1 2 3, , , ,x y z r r r 'dan yerel dik koordinatlar

1 2 3, ,q q q 'e geçerken başlangıç noktası ; , 1,2,3j j iq q r i j tanımları ve

bunların ters yüz edilmesi sonucu erişilen ; , 1, 2,3i i jr r q i j ifadeleri olacaktır.

42

Bu aşamada koordinat sistemi değişikliğinin alanları ve hacımları kaçınılmaz bir biçimde

yamulttuğu hesaba katılmalıdır. x-y düzleminde : 3,4 , : 4,3P Q noktalarının

kartezyen koordinatlarda akla getirdiği alan 3 , 4 , 3 , 4x x y y

doğrularının belirlediği 1 birimlik alandır. Öte yandan aynı noktalar polar koordinatlarda

: 5 , 53 , : 5 , 37o oP r Q r olarak ifade edildikleri için 5r eğrisi

ve 53 , 37o o doğruları arasında hiç bir alan kalmadığı görülür. Ancak iki

koordinat sisteminde de PQ uzaklığının 2 olması doğru çözüm yolunu

göstermektedir : koordinat sistemleri değişse bile iki nokta arasındaki uzaklık aynı kalır.

Dolayısıyla çıkış noktası çok yakın iki nokta arasındaki uzaklığın, veya uzaklık karesinin

değişmezliği olacaktır. 1 2 3

1 2 3

x x x

dx dq dq dqq q q

ile , dy dz için yazılacak

benzeri ifadeler matris gösteriminde

1

1 2 3

2

1 2 3

3

1 2 3

=

x x xdqdx

q q q

y y ydqdy

q q q

z z zdqdz

q q q

biçiminde özetlenebilir. Kısmi türevlerden oluşan 3 3 matris “Jacobian” olarak

adlandırılır ve J ile gösterilir. İki nokta arasındaki uzaklığın karesi

1

1 2 3 2

3

dx dq

dx dy dz dy dq dq dq dq

dz dq

J J olarak yazılırsa, koordinat sisteminin

yerel dik olma şartının J J çarpımının pozitif ve diyagonal bir matris olmasına eşdeğer

olduğu anlaşılır. J J G 'Metrik' olarak adlandırılır.

43

B) Metrik Fonksiyonları ve Birim Vektörler

Gene pozitif ve diyagonal bir matris olan H ise H J J olarak tanımlanır ve

dx

dx dy dz dy

dz

ifadesi de 1 1

1 1 2 2 3 3 2 2

3 3

h dq

h dq h dq h dq h dq

h dq

biçimini alır. Böylece

dx dy dz 'nin yerini alacak uzunluklar i i id h dq olmaktadır. Bu noktada

yerel dik koordinat sistemlerinde hacım elemanının

1 2 3 1 2 3 1 2 3 d d d h h h dq dq dq , alan vektör elemanlarının da

2 3 2 3 3 1 3 1 1 2 1 2 , , h h dq dq h h dq dq h h dq dq ile verileceği görülmektedir.

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ e e e x y zdr dx dy dz d e d e d e ve

31 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

=

xx xdx

qq q

y y ydr dq dq dqdy

q q q

z z zdz

q q q

31 2

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 1 1

xx x

qq q

y y yd d d

h q h q h q

z z z

q q q

eşitliklerinin

karşılaştırılmasından 1

ˆ

i

i

i i

i

x

q

ye

h q

z

q

olduğu anlaşılır.

44

Ancak daha kestirme bir yol: sonucun birim vektör olacağı bilindiğine göre Jacobian

matrisinin sütunlarını normalize ederek ˆie birim vektörlerini bulmak, normalizasyon için

gerekli bölmeyi yaparken kullanılan ifadeyi de ih olarak belirlemektir. Konuya tam hakim

olmadan yapılacak hesaplarda uzun yolu tercih etmek, kestirme yolu ise kontrol için

kullanmak en emniyetli yaklaşımdır.

C) Alternatif Tanım

Kartezyen koordinatlarda tanımlanan diferansiyel operatör işlemlerini yerel dik

koordinatlarda da ifade edebilmek için 31 2

1 2 3

qq q

x x q x q x q

benzeri kısmi türev zincir kuralları kullanmak uzun ve zahmetli bir yoldur.

Bunun yerine 1 2 3

1 2 3

d dr dq dq dqq q q

ile verildiğine ve

1 1 2 2 3 3 , , dr h dq h dq h dq olduğuna göre 1 1 2 2 3 3

1 1 1 , ,

h q h q h q

olarak kolayca yazılır.

D) A ve A Alternatif Tanımları

Ancak A ve A ifadeleri için kestirme bir geometrik yaklaşım benimsenerek

dS kapalı bir yüzey üzerindeki alan elemanı, V de bu kapalı yüzeyin içinde kalan hacım

olmak üzere 0

V

A dSA

VLim

ve d kapalı bir eğri boyunca yol elemanı,

S de bu kapalı eğrinin içinde kalan alan olmak üzere 0

ˆ S

A dA S

SLim

kullanılır. Uzun ancak basit işlemler sonucu

45

2 3 1 3 1 2 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1

h h A h h A h h AA

h h h q q q

ve

31 2

2 3 3 1 1 21 1 2 2 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

1

ee e

h h h h h hh e h e h e

Ah h h q q q q q q

h A h A h A h A h A h A

bulunur.(1)

E) 2 Alternatif Tanım

Laplace operatörü 2 ise

2 2 3 3 1 1 2

1 2 3 1 1 1 2 2 2 1 3 3

1

h h h h h h

h h h q h q q h q q h q

olmaktadır; ancak bu

operatörün gereğinde vektörlere de etkili olacağı unutulmamalıdır.

F) İki Temel Teorem

0

V

A dSA

VLim

eşitliği 0V koşulundan dolayı yerel bir ifadedir.

Öte yandan komşu iki hacmın ortak duvarlarından bir hacım için pozitif olan A dS ,

komşu hacım için negatif olacağı için net katkı sıfır olur. Bu işlem ortak duvarı olmayan sınıra

kadar sürdürülerek, yerelden globale bir genelleme sağlanır ve V S

A dV A dS

elde edilir.(2) Aynı mantıkla S

A dS A d olmaktadır.(3)

46

PROBLEMLER

P.3.1 ) Bir vektör alanı W r , , , or a b c noktasında , , oW A B C

değerini alıyor. oW vektörünün silindir koordinat bileşenlerini hesaplayın.

P.3.2 ) Bir vektör alanı W r , , , or a b c noktasında , , oW A B C

değerini alıyor. oW vektörünün küresel koordinat bileşenlerini hesaplayın.

P.3.3 ) cos , sin , x s y s z z olarak tanımlanan , , z

silindir koordinatlar için jh metrik fonksiyonlarını , ˆ je birim vektörlerini ,

, A , A , 2 ifadelerini elde edin.

P.3.4 ) sin cos , sin sin , cosx r y r z r

olarak tanımlanan , , r küresel koordinatlar için

jh metrik fonksiyonlarını , ˆ je birim vektörlerini ,

, A , A , 2 ifadelerini elde edin.

2 ifadesini cosw kullanarak yeniden yazın.

47

P.3.5 ) 2 2

, , 2

x y z z

olarak tanımlanan , , z

silindir parabolik koordinatlar için jh metrik fonksiyonlarını , ˆ je birim

vektörlerini , , A , A , 2 ifadelerini elde edin.

P.3.6 ) 2 2

cos , sin , 2

x y z

olarak tanımlanan

, , parabolik koordinatlar için jh metrik fonksiyonlarını ,

ˆ je birim vektörlerini , , A , A , 2 ifadelerini elde edin.

IV. HELMHOLTZ DD ÇÖZÜMLERİ

A) Köken

Deney sonuçlarının, deneyin şurada veya burada ; bugün veya yarın yapılmasından bağımsız

olması gereği, doğa kanunları i i ir r a , t t dönüşümleri altında

değişmeyen , it

operatörleri cinsinden yazılmalıdır. Uzay ve zaman tersinmesi

altında değişmeyen en basit diferansiyel operatörler ise 2

2

2 , i

t

olacaktır.

2

i operatörlerinin uzayda dönmeler altında değişmeyen bileşimi ise

2 2 22

2 2 2

x y z

olmak zorundadır. Dönmeler altında değişmezlikten daha da

genel olan ve doğanın çok temel bir simetrisi olan Lorentz dönüşümleri altında değişmezlik

ise, c ışık hızı olmak üzere, 2

2 2

2 2

1

c t

diferansiyel operatörünü gerektirir.

Dalga denklemi olarak adlandırılan 2 , 0r t denkleminin çözümünde

48

değişkenlere ayrıştırma metodu kullanılarak , r t r t biçiminde bir çözüm

benimsenir. Zamanda salınım yapan sonuçlar arzu edildiği için 2

2

2 2

1 1 1

d

c dt

denkleminin biri sadece uzaya, diğeri de sadece zamana bağlı terimleri ayrı ayrı 2

ok 'ye

eşitlenir. Böylece oc k tanımıyla 0 expt i t çözümü ve

2 2 0ok r Helmholtz, ve onun 0ok özel hali olan 2 0r

Laplace, denklemleri elde edilir. Bu denklemlerin değişik koordinat sistemlerinde

çözümlerinde, trigonometrik ve hiperbolik fonksiyonlara ek olarak, başta Bessel, Küresel

Bessel ve Küresel Harmonikler olmak üzere özel fonksiyonlar yer alır.

B) Kartezyen Koordinatlar

2 2 0ok r Helmholtz denklemi kartezyen koordinatlarda

2 2 2

2

2 2 2 , , 0ok x y z

x y z

olarak yazılıp, çözüm de bir çarpım olarak

, , x y z X x Y y Z z kabul edilirse 2 2 2

2

2 2 2

1 1 1 0o

d X d Y d Zk

X dx Y dy Z dz

elde edilir. Ayrı ayrı, tek birer değişkene bağlı 3 terim ve bir sabitten oluşan bu eşitlik

2 2 2 2 2

1 2 3 ok k k k k olmak üzere

2

2

1 12

1 exp

d Xk X x ik x

X dx ,

2

2

2 22

1 exp

d Xk Y y ik y

Y dy ,

2

2

3 32

1 Z exp

d Zk z ik z

Z dz denklemlerine indirgenmektedir.

Kısmi türevli DD çözümlerinde ‘Değişkenlerin Ayrıştırılması’ olarak adlandırılan bu

metodun sonucunda çözüm

1 2 3 exp exp exp 0 expr A ik x ik y ik z ik r olarak belirlenir.

49

C) Silindir Koordinatlar

2 2

2

2 2 2

1 1 , , 0os k s z

s s s s z

DD ’ine değişkenlerin ayrıştırılması

metodunu kademeli olarak uygulamak gerekir. Helmholtz denklemine

, , s z S s Z z kabul edilerek

2 22

2 2 2

1 1 1 1 1 0o

d dS d d Zs k

S s ds ds s d Z dz

biçimi verilir.

Önce 2

2

3 32

1 Z exp

d Zk z ik z

Z dz çözümü ve 2 2 2 2 2

3 1 2 k k k k

tanımıyla

22

2 2

1 1 1 1 0

d dS ds

S s ds ds s d

veya

22 2

2

1 1 0

d dS ds s s

S ds ds d

ara sonucu bulunur. Bu noktada 2

2

1 d

d

ifadesinin 2 sağlayan, tek değerli ve dolayısıyla anlamlı bir çözüme yol

açması için 0 , 1 , 2 , 3 , ...m olmak üzere 2m ’ye eşitlenmesi gerekir.

2

2

2

1 exp

dm im

dz

verir ve böylece 2 şartı

sağlanmış olur. Geriye kalan 2 2 2 0d dS

s s s m Sds ds

veya

2 2 2 2 0s S sS s m S denklemi ise çözümleri , m mJ s N s ile

verilen Bessel DD’idir. Böylece

3 exp exp

m

m

J s

r im ik z

N s

bulunur.

50

D) Küresel Koordinatlar

2

2 2 2

2 2 22 2

1 1 11 , , 0

1or w k r w

r r r r w w r w

DD ’i

, , r w R r W w kabul edilerek

22 2 2

2 2 22 2

1 1 1 1 1 11 0

1o

d dR d dW dr w k

R r dr dr W r dw dw dr w

biçimine dönüşür.

Önce tüm denklem 2 21r w ile çarpılarak 2

2

1 d

d

terimi yalnız bırakılır. Bunun

2

2

2

1 exp

dm im

d

sonucunu verdiği hatırlanarak, denklem

2 2 2 2 2 2 2 21 11 1 1 1 0o

d dR d dWw r w w m k r w

R dr dr W dw dw veya

22 2 2 2

2

1 11 0

1o

d dR d dW mr w k r

R dr dr W dw dw w

halini alır.

22

2

11

1

d dW mw

W dw dw w

terimleri, 0 , 1 , 2 , ... olmak üzere 1 'e

eşitlenerek Genelleşmiş Legendre DD 'i

22

21 1 0

1

d dW mw W

dw dw w

elde edilir. Bu DD ’in çözümleri olan Genelleşmiş Legendre Polinomları

mW w P w , exp im ile birleşerek

ˆ, , m m mY Y w Y r Küresel Harmonik fonksiyonlarını verirler.

Geride kalan terimlerin oluşturduğu 2 2 2 1 0o

d dRr k r R

dr dr veya

2 2 22 1 0or R rR k r R DD ise çözümleri , o oj k r n k r ile verilen

51

Küresel Bessel DD 'idir. Böylece

ˆ

o

m

o

j k r

r Y r

n k r

sonucuna

ulaşılmaktadır.

PROBLEMLER

P.4.1 ) Silindir koordinatlarda Helmholtz ve Laplace çözümlerini karşılaştırarak mJ z ve

mN z fonksiyonlarının 0z civarında asimtotik davranışlarını bulun.

P.4.2 ) Küresel koordinatlarda Helmholtz ve Laplace çözümlerini karşılaştırarak j z ve

n z fonksiyonlarının 0z civarında asimtotik davranışlarını bulun.

P.4.3 ) Elektrodinamiğin Temel Matematik Yapısı :

i) Maxwell Öncesi yapılan deneylere dayalı 4 Maxwell denkleminin integral (global)

biçimlerinin :

1 1 iç

o oS V

E dS Q dV

, 0S

B dS

o iç o

C S

B d I J dS , C S

dE d B dS

dt

olarak yazıldığını görün,

52

ii) İki temel teoremi kullanarak, bu denklemlerin diferansiyel (yerel) biçimlerini:

1

o

E

, 0B

oB J , B

Et

elde edin,

iii) oB J Ampere yasasının, deney doğru akımla yapıldığı için, eksik olduğunu ve

0Jt

yerel yük konumu ilkesiyle bağdaşmadığını gösterin,

iv) oB J X yazıp 2

1 o o

E EX

t c t

olduğunu gösterin,

v) Kaynak içermeyen 0B denkleminden yararlanarak B A

yazılabileceğini gösterin,

vi) Diğer kaynak içermeyen B

Et

denkleminden ise 0

AE

t

ve

dolayısıyla o

AE c A

t

veya o

AE c A

t

ifadesini elde edin,

vii) Bu alan ifadelerini kaynaklı denklemlere yerleştirip, 1

0oAA

c t

Lorentz

ayarını kullanarak, oJ c tanımıyla = 0 , 1 , 2 , 3 için 2 A o J Dalga

denklemlerini elde edin.

viii) , exp oJ r t J r ick t biçiminde yazılabilen kaynaklar için

, exp oA r t A r ick t kabul ederek dalga denkleminin

2 2 A o ok r J r Helmholtz denklemine dönüştüğünü gösterin.

53

V. GREEN FONKSİYONLARI

A) Helmholtz DO

2 2 ok r Q r ile verilen kaynak terimli Helmholtz DD ’inin çözümü için

gerekli Green fonksiyonunun hesaplanmasında, öncelikle daha temel olan soyut operatör

denklemi 2 2 ok Q k ’ne geri dönülür ve özel çözüm

12 2 Q ok Q

k olarak yazılır. Soldan r ile çarpıp ve diferansiyel

operatörün tersi ile Q arasına 3 1d r r r yerleştirerek

13 2 2 Q or d r r k r r Q

k bulunur.

Green fonksiyonu, diferansiyel operatörünün tersinin r ve r arasındaki matris

elemanı olarak 1

2 2 , oG r r r k r

k biçiminde tanımlanıp,

3 , Q r d r G r r Q r sonucu elde edilir.

Helmholtz DO ’ünün Green fonksiyonu inşasına geçmeden önce, Hankel dönüşümü olarak

adlandırılan, N-Boyutlu uzayda SO N simetrisine sahip fonksiyonların Fourier

dönüşümlerine eğilmek yerinde olur. 3N ve F r F r özel durumunda,

3

32

1 exp

2F k d r ik r F r

Fourier dönüşümünde 3d r , exp ik r

ve F r skalar büyüklükler oldukları için sonuç da skalar olur ve F k F k

sağlanır. Dolayısıyla k , genellikten ayrılmadan z -yönünde seçilebilir ve 3-Boyutta

Hankel dönüşüm formülü

2 1

2

3 0 0 1 02

1 2 1 exp sin

2F k d r dr F r dw ikrw r dr kr F r

k

54

olarak elde edilir. Yararlı bir örnek olarak exp

r

F rr

Yukawa potansiyel

fonksiyonu 2 20

2 1 2 1 sin exp = F k dr kr r

k k

olarak dönüşür.

Böylece 2 2

1

k fonksiyonunun Ters Hankel dönüşümünün

exp

2

r

r

olduğu

anlaşılmaktadır. Helmholtz DO’ünün Green fonksiyonu konusuna dönerek

1

2 2 , oG r r r k r

k ifadesinde diferansiyel operatörün tersi ile r

arasına 3 1d k k k yerleştirerek

1

3 2 2 , =oG r r d k r k k k r

k

3 3

32 2 2 2

r k exp1

2o o

k r ik r rd k d k

k k k k

elde edilir. Bundan , G r r Green fonksiyonunun

3 2 22

1 1

2 ok k ifadesinin Ters

Hankel dönüşümü olduğu görülmektedir. 2 2

1

k ifadesine oi k yerleştirilerek

Green fonksiyonu için

3

2

exp exp1 1,

2 42

o oik r r ik r rG r r

r r r r

sonucuna erişilir. Kaynak terimli Laplace ( yani Poisson ) denklemi çözümlerinde gerekli

olan Laplace operatörünün Green fonksiyonu ise Helmholtz sonucunda 0ok alınarak

1

, 4

G r rr r

olarak bulunur.

55

B) Asimtotik Davranış

3 , Q r d r G r r Q r çözümünde r : Kaynak Noktası , r ise Gözlem

Noktası olarak adlandırılırlar. Kaynağın r R bölgesi ile sınırlı olduğu, gözlemcinin de

bu bölgeden çok uzakta olduğu özel durumlar, uygulamalarda çok önemlidir. Bu yüzden

exp1

, 4

oik r rG r r

r r

Green fonksiyonunun r r davranışı önem

taşır. Sonsuz dahil, tüm değerleri alan, integral değişkeni r için r r şartı

konulması yadırganabilir. Ancak r R gibi sınırlı bir bölge dışında 0Q r

ise pratikte r R şartı, r r şartına eşdeğerdir. r r teriminin

r r bölgesinde açılımını yaparken paydadaki ifade için basitce r r r

denilebilir. Ancak üstel fonksiyonda yer alacak açılım terimleri aslında bir üsteller çarpımı

olarak yazılacağı için daha hassas olmak gerekir. 2 2 2 r r r r r r

12

2 ˆ2ˆ 2 1

r rr r r r r r r

r

işlemleri sonucunda ise

ˆexp exp expo o oik r r ik r ik r r elde edilir. Çok uzak bir gözlem

noktasından kaynağa bakıldığında ˆˆ ˆ or k k r k olacağı için Helmholtz DO

Green fonksiyonunun asimtotik biçimi

exp1

, exp4

oik rG r r ik r

r olur.

Bu sonuç 3 , Q r d r G r r Q r denklemine yerleştirilerek, asimtotik

bölgede 3 exp

exp o

Q

ik rr d r ik r Q r

r

3

2exp

2 oik rQ k

r bulunur.

exp oik r

r teriminin küresel dalga çözümünün

uzay kısmı oluşu konuya fiziksel içerik kazandırmaktadır. Küresel dalga ile ilgili ilginç bir

gözlem : exp oik r

r ifadesinin türevi

2

1 expo

o

ik rik r

r

olur. r ,

56

dolayısıyla 1ok r durumunda exp exp

o o oik r ik ik rd

dr r r

eşitliği

türev işlemi sadece exp oik r terimine etki ediyor, paydadaki r terimini sabit olarak

görüyor demektir. Bu, dünya yarıçapına kıyasla boyu çok küçük olan insanoğlunun dünyayı

düz sanması benzeri bir durumdur.

exp

expo

o

ik r Ar A ik r

r r ,

genliği 1

r , dolayısıyla şiddeti 2

1

r ile azalan bir düzlem dalga gibidir. Bu yaklaşım

yukarıda, paydada yer alan ' r r r Sabit' oluşuna da açıklık getirmektedir.

C) Dalga DO

E-M Teorinin en temel denklemi 4-Potansiyeli, 4-Akım cinsinden veren

2 , , ; 0 , 1 , 2 , 3oA r t J r t kaynaklı dalga denklemidir.

Tüm E-M alanların potansiyellerden elde edildiği ve alanların da Lorentz kuvvet denklemi :

vF e E B ile hareket denklemini verdiği düşünülürse bu doğaldır.

Gene r : Kaynak Noktası , r : Gözlem Noktası , ayrıca

t : Gözlem Zamanı , t : Olay Zamanı olmak üzere

3, , ; , ,oA r t d r dt G r t r t J r t

sağlayan bir Green fonksiyonu

inşası için ilk adım daha temel soyut operatör denklemi

2 2 o oA J k k ’ne geri giderek Green fonksiyonunu

1

2 2, ; , , , oG r t r t ct r r ct

k k olarak tanımlamaktadır. Nedensellik

gereği t t olduğu açıktır. Sonradan Uzay-Zaman bra-ket’lerini parçalayarak

57

1

2 2, ; , oG r t r t r ct ct r

k k yazıp ve araya

1o o odk k k

yerleştirerek Green fonksiyonu için

12 2 o o odk r k r ct k k ct

k ara sonucuna ulaşılır.

exp

2

o

o o

ik ct ctct k k ct

ve

12 2

exp1

4

o

o

ik r rr k r

r r

k bağıntıları kullanılarak da

1 1

, ; , exp 4 2

o oG r t r t dk ik ct ct r rr r

, ; , 4

ct ct r rG r t r t

r r

sonucuna erişilir.

Dirac delta fonksiyonunun

o

o

o

x xF x F x

F x

özelliğinden kaynaklanan

2 2

2

x ax a

a

eşitliği kullanılarak yukarıdaki Green fonksiyonu, uzay ve

zamanın eşdeğerliğini daha iyi vurgulayan

2 2

2

ct ct r r

biçiminde de

yazılabilir, ancak

, ; , 4

ct ct r rG r t r t

r r

ifadesi daha fiziksel ve

kullanışlıdır.(4)

58

PROBLEMLER

P.5.1 ) x-y düzleminde a s b aralığında 2 2

1f s

b a

, geri kalan

heryerde sıfır olan bir fonksiyonun 2-Boyutlu Hankel dönüşümünün

1 1

2 2

1

b J b a J af

b a

olduğunu gösterin.

0 , a b R : Disk ve , a b R : Halka limitlerini bulun.

P.5.2 ) 1 !

nnnx x n x olduğunu ispatlayın.

P.5.3 ) 0r için Basamak fonksiyonu 1U r olduğu için

2 2

2

1 1

U rd dr

r r dr dr r

eşitliği yazılabilir.

dU rr

dr ve

0r r özdeşliklerini kullanarak

2

2

1 4

rr

r r

veya

2 1

4r

r

ifadelerine erişin ve böylece 2 : Laplace operatörünün Green

fonksiyonunun 1

, 4

G r rr r

olduğunu gösterin.

P.5.4 ) 2-Boyutlu Laplace operatörü 2 'nin Green fonksiyonunun s s ,

cos , sin , cos , sin tanımlarını kullanarak

1

2

G G n

olduğunu gösterin.

59

EKLER VE NOTLAR

(1 , 2 , 3) Burada biraz hızlı geçilen bu konunun iyi anlaşılması için, iyi çizilmiş şekillere sahip,

renkli kitaplardan veya internet sitelerinden yararlanmak yerinde olur.

(4) Bu Green fonksiyonunun elektromagnetik teoride verdiği sonuç :

3

,

, 4

o

r rJ r t

cA r t d r

r r

, herhangi bir uzay-zaman noktasındaki

4-Potansiyel bileşenlerinin tüm evrendeki 4-Akım bileşenlerinden uzaklığa ters orantılı bir

biçimde etkilendiklerini ancak bu etkinin, radyasyonun kaynaktan gözlemciye ulaşması için

gereken zaman süresi kadar gecikmeli olduğunu göstermektedir.