Sinia Antonijevi METODA KONANIH ELEMENATAIPRIMJENAU ELEKTROMAGNETSKOJ KOMPATIBILNOSTI Seminarski rad 1.Uvod..................................................................................................................................... 2 2.Funkcijska priblienja....................................................................................................... 3 2.1.Teinska odstupanja .................................................................................................... 3 2.2.Galerkinova metoda .................................................................................................... 5 2.3.Metoda najmanjih kvadratnih odstupanja ................................................................... 7 2.4.Metoda kolokacije....................................................................................................... 8 3.Metoda konanih elemenata............................................................................................ 12 3.1.Lokalizacija baza....................................................................................................... 12 3.1.1.Princip lokalizacije........................................................................................ 12 3.1.2.Algoritam lokalizacije................................................................................... 13 3.2.Primjena metode konanih elemenata....................................................................... 16 3.2.1.Primjer primjene metode konanih elemenata.............................................. 16 3.2.2.Sastavljanje globalne matrice........................................................................ 21 3.2.3.Raunalno rjeavanje matrinog sustava....................................................... 22 3.3.Rjeavanje diferencijalnih jednadbi ........................................................................ 24 4.Primjena MKE u problemima elektromagnetske kompatibilnosti ............................. 26 4.1.Proraun raspodjele struje na tankoj ici u frekvencijskom podruju ...................... 27 4.1.1.Koritene aproksimacije................................................................................ 27 4.1.2.Matematiki model problema........................................................................ 28 4.1.3.Nejaka formulacija Pocklintonove jednadbe............................................... 29 4.1.4.Numeriko rjeavanje primjenom MKE ....................................................... 32 4.2.Numeriki rezultati.................................................................................................... 35 4.2.1.Rjeavanje matrinog sustava ....................................................................... 35 4.2.2.Gaussova metoda eliminacije........................................................................ 35 4.2.3.Rezultati prorauna ....................................................................................... 39 5.Zakljuak .......................................................................................................................... 45 6.Literatura.......................................................................................................................... 46 2 1. Uvod Metodekonanihelemenata(MKE)iliengleskifinalelementmethods(FEM)sujedneod danasnajrasprotranjenijihnumerikihmetoda.Osnovniprincipnakojimasezasnivajuje principdiskretizacijeprostoranatzv.konaneelemente.Umjestopromatranjaprostorakao kontinuuma, uvodi se aproksimacija prostora kao niza segmenata fiksirane duine. Ovo otvara mogunostprimjeneveinenumerikihoperacijanadsamojednimovakvimsegmentom, umjestodasevodiraunaoitavojdomeniproblema.Potrebnojenapomenutidadomena problema ne mora nuno biti prostor mogua je diskretizacija po bilo kojoj koordinati, npr. po vremenu, no prostorna diskretizacija je najea i fizikalno najlake shvatljiva, stoga se u ovom radu implicitno podrazumjeva. Objanjeni principi ekvivalentni su i za bilo koju drugu koordinatu.MKEsuvrloestotakvedajerjeavanjeproblemanaitavojdomenijednostavno (globalnisustav),nakontojejednomproblemrijeennajednomelementu(lokalnisustav). Ovajprocesjevrlopogodanzaraunalnuprimjenu,tojejedanodvanihrazlogadananje rasprostranjenostiMKEuvelikombrojudjelatnosti.Osimumehaniciigraevini(kojoj "prirodno" odgovaraju), vrlo iroku primjenu imaju i u podrujima analize elektromagnetske kompatibilnosti,raunalnegrafike,medicineigeneralnoCAD/CAM(ComputerAided Design/Manifacturing) aplikacijama. Kodnumerikogrjeavanjaproblemaestonamjebitanomjertonostiivremena rjeavanjanekogproblema.Uosnovisvakenumerikemetodejeodreeniskup aproksimacijakojedovodedoveegilimanjegodstupanjaodtonogrjeenja,tj.greke. Iznosgrekejetipinoobrnutoproporcionalanvremenuraunanjazajednunumeriku metodu.Stogajepotrebnonaikompromisizmeuzadovoljavajuetonostirjeenjai vremenaraunanjazapromatraniprobleminumerikumetodu.MKEimajuvrlopogodno svojstvodajeprilagoavanjetonostirjeenjauodnosunavrijemeraunanjamogue jednostavnimmijenjanjembrojaelemenata(prilagoavanjem"finoe"diskretizacije)ili biranjem drugog tipa oblikovnih funkcija (koje bolje odgovaraju aproksimiranoj funkciji). Jo jednopogodnosvojstvo,specifinozaMKE,jevrlojednostavnomijenjanjegustoe diskretizacije na promatranoj domeni. Naime, vrlo esto nas posebno zanimaju samo odreeni dijelovi rjeenja. U tom sluaju dovoljno je jednostavno poveati broj konanih elemenata na timdijelovima,natajnainosiguravajuiveutonostrjeenjanasegmentimaodnaroitog interesa, a da ostali parametri prorauna ostanu netaknuti. 3 2. Funkcijska priblienja U ovom poglavlju obraeni su osnovni matematiki principi i pojmovi na kojima se zasnivaju MKE, kao i srodne metode. U temelju veine numerikih metoda je aproksimacija nepoznate funkcije odreenim funkcijskim priblienjem. Postupak na koji se ovo priblienje sprovede, te algoritamkojidefiniradobivanjeaproksimacijskefunkcijeinerazlikeizmeupojedinih metoda.Uokviruovogpoglavljadatieseikratkipreglednekihosnovnihnumerikih metoda, srodnih MKE. 2.1.Teinska odstupanja Neka su zadane dvije funkcije(x) i w(x) na nain: : R w : R Rn x Skalarni produkt ovih dviju funkcija u Hilbertovom prostoru definiran je na nain: ( , ) ( ) ( ) w x w x d = (2.1) Direktna posljedica (2.1) je LEMA: Ako za neprekinutu funkciju: R i za svaku neprekinutu funkcijuw : R : Rn vrijedi ( ) ( ) 0 ; x w x d x = (2.2) tada je (x)0 x 4 Lema(2.2)estosenazivaiosnovnomlemomvarijacionograuna;miemoudaljnjem tekstu koristiti naziv osnovna lema. Postupci koji slijede iz (2.2) mogu imati priblian (aproksimativan u analitikom smislu) kao i toan (egzaktan u analitikom smislu) smisao. Neka je zadana poznata funkcija f(x) na nain: f(x) : R (2.3) Potrebnojepronaiaproksimacijuodf(x)uoblikufunkcijef'(x).Akosef'(x)promatrakao vektor, mogu se traiti vektori koji "razapinju" f'(x). Za n-dimenzionalni vektorski prostor f'(x) se moe izraziti kao linearna kombinacija baznih (koordinatnih) vektora i: 1'( ) ( ) ; ( ) :ni i iif x x x R == (2.4) gdje su: i nepoznati parametri i bazni vektori ili koordinatni vektori (linearno nezavisne funkcije) Aproksimacija(2.4) ilustrirana je slikom (2.1): 321xf'(x)f(x) Slika 2.1. 5 Razlikaizmeuzadanefunkcijef(x)injezinogpriblienjaf'(x)danajenekimodstupanjem (x) definiranim kao: 1( ) ( ) '( ) ( ) ( )ni iix f x f x f x x == = (2.5) Oitoepromatranafunkcijabititoboljeaproksimiranatoje(x)manji.Uzodreene izabranebaznevektorei(x),kvalitetaaproksimacijebiteuvjetovananepoznatim parametrima i("teinama").Cilj je pronai takve koeficijente koji e, za zadane f(x) i i(x), datiminimalnoodstupanje.Postojinizmetodakojimasetraetakveteinedauvjet minimalnogodstupanjabuderealiziran.Klasametodakojasezasnivanaopisanomprincipu su metode bazirane na teinskim odstupanjima. 2.2.Galerkinova metoda Uvrtavanje (2.5) u osnovnu lemu (2.2) vodi na: 1( ) ( ) ( ) 0ni iif x x w x d = ( = ( (2.6) ime je osigurano (x)=0, pa imamo idealno rjeenje, tj. poklapanje izmeu f(x) if'(x). No,naravno,ovovrijedizan.Upraktinojprimjeni,zakonanen,odstupanjee openito biti to manje (tj. aproksimacija to bolja) to je n vei. Moeseuoitidagornjajednadbaimannepoznanica(i).Zadobivanjerjeenjajeoito potrebnopostavitinnezavisnihuvjeta.Sobziromdaosnovnalemavrijedizasvaku neprekinutufunkcijuw(x),dovoljnojejednostavnoizabratinlinearnonezavisnihfunkcija wj(x), ime (2.6) prelazi u sustav od n jednadbi sa n nepoznanica: 1( ) ( ) ( ) 01, 2,...,ni i jif x x w x dj n = ( = ( =(2.7) 6 Ovaj sustav jednadbi zadovoljava osnovnu lemu u priblinom smislu (jer je n konaan broj) i osiguravarazvojfunkcijefponlanovakonvergentnogniza.Nizlinearnonezavisnih funkcijawj(x)inetzv.testprostor,avektorwj(x)zovemotestvektorom.Funkcijewj(x) nazivaju se test funkcijama ili teinskim funkcijama.. Iz (2.7) jednostavno se dobivaju parametri i : 111( ) ( ) ( ) 01, 2,...,( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )ni i jini i j jini i j jif x x w x dj nx w x d f x w x dx w x d f x w x d == = ( = ( = = = (2.8) Ili, urednije zapisano: , 1, 2,...,i i j jw d f w di j n = = (2.9) Relacija (2.9) predstavlja matrini sustav koji se moe jednostavno predstaviti kao: ; , 1, 2,...,ij i ja b i j n = = (2.10) gdje je: ij i jj ja w db f w d= = (2.11) 7 Opisana tehnika minimizacije odstupanja priblienja od stvarne funkcije mnoenjem sa setom teinskihfunkcijanazivaseGalerkinovametoda.Onapredstavljapogodnopolaziteza generalizacijumetodakojesebazirajunateinskimodstupanjima.Kaotoesepokazati, veina ovih metoda moe se shvatiti kao varijacija Galerkinove metode. 2.3.Metoda najmanjih kvadratnih odstupanja Akosezakriterijminimizacijeodstupanjafunkcijeodnjenogpriblienjausvojiminimum kvadrata odstupanja, tada moemo pisati: 2 21( )ni iiI d f d = = = (2.12) Dakle,kvadriramoodstupanjepoitavojdomenipromatranja.Naovajnainosiguralismo eliminaciju predznaka odstupanja podjednako su "tetna" i negativna i pozitivna odstupanja. Zanimanaspovrinaizmeuaproksimiraneistvarnefunkcije,tojeprikazanozasjenjenim podrujem na slici 2.2. f ' ( x )f ( x )( x ) Slika 2.2. KonanodobivenavrijednostodIpredstavljadobrumjeruukupnogodstupanjana promatranoj domeni. S obzirom da traimo takve parametre iza koje e ukupno odstupanje biti to manje, deriviramo I po .8 0 ; 1, 2,...,jIj n= =(2.13) Uvrtavanjem (2.12) u (2.13): 2121 1 2 2 1 111( ) 0( .... ... ) 02( ) 0 : 2( ) 0ni iijj j n n n njni i jini i jif df df df d = == = = = = (2.14) Uoimodajeizraz(2.14)identianizrazukojisedobijepoGalerkinovojmetodiakoseza teinskefunkcijeodaberewj=j.Dakle,odabirteinskihfunkcijajednakihbaznim funkcijamau(2.7)direktnovodinarjeavanjemetodomnajmanjihkvadratnihodstupanja. Ova procedura se naziva Galerkin-Bubnovljevom metodom. 2.4.Metoda kolokacije Nekajezadanafunkcijaf:R.Aproksimirajmojenapoznatnain,linearnom kombinacijom od n linearno nezavisnih baznih funkcija (2.4): 1'( ) ( ) ; ( ) :ni i iif x x x R == Kao to je ve pokazano, uz zadane bazne funkcije ipotrebno je pronai n koeficijenata i dabifunkcijskopriblienjebilodefinirano.Ovoserealiziraekspanzijomjednadbe(2.4)u sustav od n nezavisnih jednadbi. 9 Smisao metode kolokacije je u tome da se sustav jednadbi dobije jednostavnim odabirom od n razliitih toaka (toaka kolokacije) iz domene podruja promatranjaxj : j=1,2,...,n ,izatimsepostaviuvjetdaseaproksimiranafunkcijainjezinopriblienjepoklapajuuovim tokama, odnosno da je: f'(x) = f(x) x = xj ;j=1,2,...,n Pa se sada (2.4) moe raspisati kao: 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 21 1 2 2 1 11( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ( ) ( )( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ( ) ( )......( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ( ) ( )......i i n n n ni i n n n nj j i i j n n j n n j jx x x x x f xx x x x x f xx x x x x f x + + + + + + =+ + + + + + =+ + + + + + =1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 1 1( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ( ) ( )( ) ( ) ... ( ) ... ( ) ( ) ( )n n i i n n n n n n n nn n i i n n n n n n n nx x x x x f xx x x x x f x + + + + + + =+ + + + + + = (2.15) Dobiveni sustav moe se urednije zapisati kao: 1( ) ( ) ; 1, 2,...,ni i j jix f x j n == =(2.16) Vidimo da se metoda kolokacije zasniva na dosta jednostavnim principima.Ovojejednaod najlakih numerikih metoda, i vrlo se esto primjenjuje za rjeavanje problema jednostavnije naravi, ili pak problema kod kojih velika tonost rezultata nije nuna. Tonostaproksimacijedobivenenaovajnainzavisiprijesvegaoodabranim kolokacijskimtokamaibaznimfunkcijama.Zaizbortoakakolokacijenepostojiope pravilo;pokazujesedakvalitetaaproksimacijeuodnosunatokekolokacijeovisio promatranom problemu, te o izabranim baznim funkcijama.Neke od najeih baznih funkcija koje se koriste u kolokacijskoj tehnici su: Algebarski polinomi, Lagrangeovi polinomi, Hermitovi polinomi, Bernsteinovi polinomi, ... 10 NakrajuvaljajopokazatikakoseiovatehnikaaproksimacijemoesvestinaGalerkinovu metodu, tj, izvesti iz osnovne leme. Naime, pokazuje se da odabir Diracove delta funkcije za teinsku funkciju u Galerkinovoj metodi vodi direktno na kolokacijsku metodu. Promotrimo impulsnu funkciju: Y- a a x2 a1 Slika 2.3. Impulsna funkcija definirana je na nain: | || |1: ,2( )0 : ,ax a aaY xx a a= (2.17) Pa je oito vrijednost integrala: ( ) 1aY x dx=(2.18) Dakle, integral impulsne funkcije na intervalu (-, ) e uvijek biti 1, bez obzira na irinu impulsa a. S obzirom na ovo, ima smisla promatrati i funkciju za koju irina impulsa postaje beskonano mala. Ovakva funkcija naziva se Diracova delta funkcija: 0( ) lim ( )aax Y x = (2.19) 11 Svojstva Diracove delta funkcije su: : 0( )0 : 0xxx = = (2.20) ( ) 1 x dx =(2.21) ( ) ( ) ( )j jf x x x f x =(2.22) Ako se uzme Diracova delta funkcija za test funkciju uizrazu (2.7): wj = j=(x-xj) slijedi: 1( ) ( ) ( ) 0ni i jif x x x x d = ( = ( (2.23) U skladu sa(2.22), gornja relacija prelazi u: 11( ) ( ) 0( ) ( ) ; 1, 2,..,nj i i jini i j jif x xx f x j n == == =(2.24) to je identino (2.16).Dakle, uzimanjem Diracovih delta funkcija za teinske funkcije u Galerkinovoj metodi dolazi se do metode kolokacije. 12 3. Metoda konanih elemenata 3.1.Lokalizacija baza Koritenje tzv. lokalnih baznih funkcijajedan je od glavnih principa na kojem se zasniva metoda konanih elemenata. Ovo je sutinska razlika izmeu MKE i dosad pokazanih metoda, koja osigurava itav niz prednosti, ali donosi i neke nove potekoe. Osnovna zamisao i primjena ovog principa obraena je u ovom poglavlju. 3.1.1.Princip lokalizacije Dosadanjerazmatranjeaproksimacijefunkcijepogodnojezafunkcijenad"pravilnim", jednolikim, domenama. Realni problemi najee su vezani za nepravilne domene, npr. ako je rije o geometrijskoj nepravilnosti, o promatranju sredine koje je nehomogena, itd. U takvim sluajevima,dosadpokazanetehnikenedajudobrerezultateuaproksimiranjulokalnog ponaanja. Naime, funkcijsko priblienje se gradi od globalnih funkcija, tj. bazne funkcije su definirane na itavoj domeni zovemo ih intenzivnima na itavoj domeni promatranja. Stoga su "pravila slaganja" baznih funkcija na itavoj domeni ista. Ovo daje vrlo dobre rezultate za npr.jednolikioblikgeometrije(slika3.1.a).Nozanepravilneoblikedomene(slika3.1.b), rezultati e tipino biti loi. U=2 1a) b)21 Slika 3.1. 13 Zaovakvesituacijepribjegavaseizgradnjibazepodijelovimadomene.Osnovna zamisao je da se domena podijeli na odreeni broj srazmjerno pravilnih dijelova, i zatim se na svakomodtihdijelovazasebnofunkcijaaproksimirakoritenjempogodnihbaznihfunkcija. Takvi mali dijelovi podruja nazivaju se konani elementi.Na jednom konanom elementu domena je homogena, pa je raunanje olakano.Poredtoga,daljnapojednostavljenjasemogudobitibiranjemjednostavnijihoblika konanogelementa.Upraviluseuzimajunajjednostavnijioblicizazadanudimenziju promatranog prostora. Npr. za 1D probleme, konani element je duina, za 2D trokut, za 3D tetreadar itd. Pri ovome se mora paziti da se rubovi susjednih elemenata poklapaju (da izmeu njihnemapreklapanjaniti"slobodnogprostora")ovospadautzv.probleme kompatibilnosti.Samatehnikazasnovananadiskretizacijinakonaneelementenazivase tehnika konanih elementa. Osiminjenicetopodjelapodrujanakonaneelementeomoguavakvalitetnorjeavanje problema s "nehomogenim" domenama, uvoenje ove tehnike ima i itav drugi niz prednosti u odnosu na dosad pokazane: akosepodrujediskretiziraelementimaistogoblika,problemsesvodina rjeavanjenasamojednomelementu,doksenaostalimponavljaovo pojednostavljuje metodu, moguejepoveanjetonostiaproksimacijejednostavnimpoveanjembroja konanihelemenata(finijomdiskretizacijom),adapritomebrojbaznihfunkcija na jednom elementu ostaje isti, mogue je takoer podeavanje tonosti i mijenjanjem tipa baznih funkcija, mogue je poveanje tonosti na dijelovima domene od posebnog interesa , algoritam je vrlo pogodan za raunalnu implementaciju. 3.1.2.Algoritam lokalizacije Algoritamlokalizacijeprikazatesenajednostavnomprimjerufunkcionalnogpriblienja funkcije jedne varijable. 14 Osnovni koraci algoritma su: 1.diskretizacija domene na konane elemente 2.definiranje oblikovnih funkcija 3.izgradnja globalnih baznih funkcija (lokaliziranih baza) 4.koritenjelokaliziranihbazakaobaznihfunkcijazaaproksimacijunaveobraen nain Ovi koraci prikazani su slikom 3.2., a zatim slijedi njihovo detaljno objanjenje. f(x)xj-1 me12e e e ... ...1 2 3 j-1 j j+1 n-1 n1121 2jeje11jjj+1j+1f(x)xf'(x)a)f)e)d)c)b) Slika 3.2. 15 Zazadanufunkcijaf(x),domenafunkcijemoeseraspodijelitinamsegmenata(konanih elemenata).Konanielementiinekompatibilnukonfiguraciju(nemameusobnog preklapanja i pokrivena je cijela domena),kako je prikazano na slici3.2 b). Dodirne toke dva susjedna elementa nazivaju se globalnivorovi. Oito je da je broj vorova n uvijek za jedanveiodbrojakonanihelemenatam,n=m+1.Veistupanjdiskretizacije,tj.veibroj elemenatatipinoosiguravaveutonostrezultata,noistovremenozahtjevaveeraunalne resurse (odnosno, sporiji proraun, zbog veeg broja iteracija) Nakondiskretizacijedomene,potrebnoseodluitizabaznefunkcijenadjednim elementom.Sobziromdasuosnovagradnjeitaveaproksimacije,baznefunkcijedefinirane nadjednimelementomoblikujuizgledaproksimiranefunkcije,paseestozovui oblikovnimfunkcijama.Zaoblikovnefunkcijekaemodasupridrueneelementima,s obziromdasedefinirajunaddomenomjednogelementa.Naslici3.2.c)prikazanesu linearne funcije 1 i 2 pridruene elementu ej. U ovom sluaju radi se u stvari o Lagrangeovim polinomima prvog stupnja, s interpolacijskim tokamanarubovimaelementa.Interpolacijsketokezovemolokalnimvorovimana elementu.Naslicisulokalnivoroviprikazanizaokrueno.Usluajulinearneinterpolacije oitojedaselokalnivorovipoklapajusglobalnimvorovima,notonijepravilo.Npr. odabiromLagrangeovogpolinomadrugogstupnjapostojetrilokalnavora,strioblikovne funcije(slika3.3).Koritenjepolinomaviegstupnjaosiguravaboljurazinuaproksimacije, no komplicira i usporava proraun. 1231 3 2 Slika 3.3. 16 Izoblikovnihfunkcijapridruenihsusjednimelementimagradeseglobalnebazne funkcije.Globalnebaznefunkcijepridruujusestogaglobalnimvorovima.Uprimjeruna slici 3.2. globalna bazna funkcija je izgraena od 1na elementu ej i 2 na elementu ej-1, kao tojeprikazanonaslici3.2.d).Jednovanosvojstvoglobalnihbaznihfunkcijajedasu razliiteodnulesamonaelementimakojisususjedniglobalnomvorukomejeglobalna baznafunkcijapridruena.Takvefunkcijesustogaintenzivne(razliiteodnule)samona jednompodruju,anaostatkudomenesunula.Stogaihzovemoilokaliziranimbazama. Rezimirajui, lokalizirane baze su definirane na itavoj domeni (globalno), pa iz ovog aspekta ipotjeenaziv"globalnebaze",nointenzivnesulokalnosamonapodrujuokojednog vora.Npr.naslici3.2.d)jeilustriranalokaliziranabazapridruenaj-tomvoru,anaslici 3.2. e) lokalizirana baza pridruena j+1 globalnom voru. Nakontosujednomdobivenelokaliziranebaze,postupakpronalaenjafunkcijskog priblienjaostajeistikaotojepokazano(2.4),samotosezabaznefunkcijekoriste lokaliziranebaze.Sumalokaliziranihbazadajetraenuaproksimacijufunkcije,kaotoje prikazanonaslici3.2.f).Nepoznatiparametriiimajusmisaovrijednostifunkcijskog priblienja f'(x) u globalnim vorovima 3.2.Primjena metode konanih elemenata Vodeiraunaoobjanjenojterminologijiiprincipimalokalizacije,konkretnaprimjena konanihelemenatanajlakejeshvatljivaizprimjera.Naovomprimjerupokazatesejo neka zanimljiva svojstva konanih elemenata koja dosad nisu spomenuta. 3.2.1.Primjer primjene metode konanih elemenata Neka je potrebno pronai priblienje funkcije f(x) koristei dva konana elementa. Funkcijsko priblienjedobiva se prema (2.4): 1'( ) ( ) ; ( ) : , 3ni i iif x x x R n == = Pri emu su bazne funkcije i, u skladu sa principom diskretizacije po MKE,definirane kao lokalizirane baze. Potrebno je pronai nepoznate parametre 1 , 2 i 3 . 17 Slika 3.4. pokazuje kompletan postupak izgradnje lokaliziranih baza za ovaj primjer. e1e2e1e21 2 1 21e12e11e22e21 2 3111=1e112=2e1+ 1e22313=e22a)b)c) Slika 3.4. 18 Prvi korak je diskretizacija podruja na konane elemente. U ovom primjeru domena funkcije podijeljenajenadvaelementa,kaotojeprikazanonasl3.4.a).Brojglobalnihvorova, odnosnobrojnepoznatihkoeficijenatajetri.Nadsvakimodelemenatadefiniranesu oblikovnefunkcije1i2(sl.3.4.b).Lokaliziranebazepridruenesvakomodglobalnih vorova grade se direktno iz oblikovnih funkcija elemenata uz promatrani vor (sl. 3.4.c). Nakontosudobivenebaznefunkcije,moesepristupitirjeavanju.Odaberimo Galerkin-Bubnovljevutehnikuizjednaavanjateinskihfunkcijasabaznim:wj=j .Sustav kojitrebarijeitidefiniranjesa(2.10)i(2.11)prilagoenomzaGalerkin-Bubnovljevu tehniku: ; , 1, 2,...,ij i ja b i j n = =ij i jj ja db f d = = S obzirom da imamo dva konana elementa, broj globalnih vorova je: n=3. Matrini izgled sustava za pokazani primjer je: i=1i=2i=3 j=1 11a 21a 31a 1 b1 j=2 21a 22a 23a2= b2 j=3 31a 32a 33a 3 b3 Ovaj sustav daje rjeenja za cijelu domenu i zove se globalni sustav. Pogledajmo vrijednost lana 11a: 1 1 1 11 2 1 2 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0e e e ee e e e ea dx dx dx dx dx dx = = + = + = (3.1) Vidimodaseintegralpodomenimoerazlomitinaintegralepopojedinimkonanim elementima, s obzirom da je domena unija kompatibilnih konanih elemenata. 19 Takoer,sobziromdasubaznefunkcijeintenzivnesamonaelementimasusjednima odgovarajuem globalnom voru, vidi se da neki integrali nestaju. lan11adefiniran je tako da je integracija provedena samo na elementu e1. Stoga ima smisla pisati: 111 11ea a =(3.2) Moe se pokazati da analogno razmatranje vrijedi i za ostale lanove globalnog sustava: 1 1 2 1 1 11 2 1 2 11 21 2 1 21 1 2 11 2 1 212 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1213 1 3 1 3 1 3 1 221 2 1 2 1 2 1 2 1 1 200 0 00e e e e e ee e e e ee ee e e ee e e ee e e ea dx dx dx dx dx dx aa dx dx dx dx dxa dx dx dx dx dx = = + = + = == = + = + == = + = + = 1 111 1 2 2 1 21 2 1 21 2 2 21 2 1 21 21 2 11 2122 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 22 1123 2 3 2 3 2 3 2 1 2 1231 3 1 3 1 3 1 1 200e eee e e e e ee e e ee e e ee e e ee ee e edx aa dx dx dx dx dx a aa dx dx dx dx dx aa dx dx dx dx == = + = + = += = + = + == = + = + 21 2 2 21 2 1 22 2 21 2 1 232 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2133 3 3 3 3 3 3 2 2 220 000 0ee e e ee e e ee e ee e e edxa dx dx dx dx dx aa dx dx dx dx dx a == = + = + == = + = + = (3.3) lanovi desne strane sustava takoer se mogu definirati po pojedinim elementima: 1 1 2 11 2 1 21 1 2 2 1 21 2 1 21 2 2 21 2 1 21 1 1 1 1 12 2 2 2 2 1 2 13 3 3 3 2 200e e e ee e e ee e e e e ee e e ee e e ee e e eb f dx f dx f dx f dx f dx bb f dx f dx f dx f dx f dx b bb f dx f dx f dx f dx f dx b = = + = + == = + = + = += = + = + = (3.4) Iz(3.3)i(3.4)vidljivojedasesvakilanizmatriceglobalnogsustava,kaoivektoradesne stranesustavamoeizrazitilanovimadefiniranimnadpojedinimelementima.Stogaima smisla promatrati matrice sastavljene od lanova definiranim nad pojedinim elementom. 20 Za pokazani primjer matrice definirane za oba elementa su dane ispod. Element e1 : k=1 k=2l=1 111ea 121ea 11eb l=2 112ea 122ea 12eb Element e2 : k=1 k=2l=1 211ea 221ea 21ebl=2 212ea 222ea 22eb Dakle,nadsvakimelementommoemodefiniratilokalnisustavsastavljenodmatricei vektora desne strane pojedinog konanog elementa. lanovi lokalnog sustava openito su definirani na nain: ; ; , 1, 2ekl k l l le ea dx b f dx k l = = = (3.5) Relacijama(3.3)i(3.4)analitikisuopisanilanoviglobalnogsustavaprekolanova lokalnogsustava.Pogledajmostrukturuglobalnogsustavaizraenogprekolokalnihsustava svih elemenata: i=1i=2i=3 j=1 111ea 121ea 0 1 11eb j=2 112ea 1 222 11e ea a + 221ea 2= 1 22 1e eb b + j=30 212ea 222ea 3 22eb 21 3.2.2.Sastavljanje globalne matrice Izstruktureglobalnematriceizraeneprekomatricalokalnogsustavavidisedaseglobalna matricarelativnojednostavnomoesastavitiizmatricelokalnogsustava.Postupakslaganja (assembling)lokalnihmatricaelemenatauglobalnumatricuestosenazivaasembliranje globalnematrice.Pokazaniprimjerzadvakonanaelementamoesejednostavnopoopiti za n konanih elemenata: i=1i=2i=3..........i=n-1i=n j=1 111ea 121ea 000000 1 11eb j=2 112ea 1 222 11e ea a + 221ea 000002 1 22 1e eb b + j=30 212ea 3 222 11e ea a + 321ea 00003 3 22 1e eb b + ...00 312ea 3 422 11e ea a +421ea000 ... 3 42 1e eb b + ...000 412ea ......00 ... = ... ...0000... ... 121nea 0 ... ... j=n-100000 112nea 122 11n ne ea a+ 21nea n-1 12 1n ne eb b+j=n000000 12nea 22nea n 2neb Ovakav izgled matrice direktna je posljedica slaganja globalnih baznih funkcija iz oblikovnih funkcija.Moeseuoitidaje"dodirnatoka"izmeudvaelementa,odnosnoglobalnivor kojem je pridruena odreena globalna bazna funkcija, upravo ono podruje globalne matrice gdje se lokalne matrice susjednih elemenata preklapaju. Ovosvojstvokoristisezajednostavnopostavljanjeglobalnogsustava.Naime, dovoljnojesprovestiproraunnajednomelementu,odnosnodobitiizrazzalokalnisustav jednogelementa.Nakonovoga,lokalnematricesejednostavnoasemblirajuuglobalnuna pokazaninain.Postupakasembliranjaizrazitojepogodanzaraunalnuimplementaciju,to je jedan od znaajnih razloga iroke praktine primjene konanih elemenata. 22 Izgledglobalnematricenemoranunobitiistikaoupokazanomprimjeru.Drugaijim pridjeljivanjem (pomou tzv. tablice veza) lokalnih vorova globalnim dobio bi se i drugaiji izgledmatrice.Pokazanamatricajetzv.pojasnamatrica,toznaidanadijagonaliima elementerazliiteodnulaitosaodgovarajuomirinom(irinapojasa),doksuvan dijagonale svi elementi nula. irina pojasa ovisi o redu polinoma oblikovne funkcije; npr. da smo odabrali Langrageove polinome drugog reda (trovorni elementi), irina pojasa poveala bi se na tri.Pojasne matrice, kao i generalno "rijetko" popunjene matrice (sparse matrix) naroito supovoljneprijesvegazbogutedememorijskihraunalnihresursa.Naime,urealnim primjenama broj elemenata kojima se modelira neka geometrija nerijetko dosee red veliine desetakatisua.Jednostavnaraunicapokazujedasuutakvojsituacijimemorijskizahtjevi kojisepostavljajupredraunalnuplatformuizrazitovelikiakosematicaumemoriji reprezentiradirektno.Npr.akoseuzme10,000konanihelemenata,ovodaje(104)2=108 elemenata u matrici sustava. Minimalna preciznost s kojom moemo ui u proraun pri ovako velikombrojuelemenataje4byte-apoelementu.Izovogaproizlazidajezaspremanje ovakvematricenunorezerviratimemorijskiprostorod4*108byte-ova,odnosno400Mb. Ovojesvakakoznaajnooptereenjezadananjaraunala,pase,kadjegodtomogue, koristitzv.tednioblikspremanjamatriceumemoriji.Zapojasnumatricunaprimjer,ovo podrazumjevazapissamodijagonalnihlanova,doksesvilanovivandijagonale(kojisu nula)nitinespremajuumemorijusobziromdaefektivnonesudjelujuuproraunu.Za opisaniprimjermatriceza10,000elemenata,poduvjetomdajematricapojasnasairinom pojasa2,dobivamomemorijskozauzeematricesustavaodsvega10,000x(2x2-1)x4=120 Kb=0.12Mb. 3.2.3.Raunalno rjeavanje matrinog sustava Vidimodajezadatakdosadopisanihpostupakaprvenstvenodatraenorjeenjeproblema reprezentirajumatrinimsustavom.Nakontojeproblemjednomsvedennaovurazinu, daljnje procesiranje je izrazito prilagoeno raunalnoj obradi, i to do razine da je ovaj korak praktinopotpuno"autonoman"usmisludanijepotrebnopodeavatiilitraitinikakve parametre o kojima bi ovisila kvaliteta rjeenja postupak je potpuno automatiziran.Rjeavanjesetipinoizvodiuzasebnomprogramskommodulu(tzv.solveru),priemu se posebno vodi rauna o brzini rjeavanja. Ne smije se zanemariti ni problem tonosti 23 rjeenja.Naime,raunalorezervirakonaniprostorzaspremanjevrijednostibroja,to rezultiraikonanomtonouskojomsetajbrojmoeprikazati.Drugimrijeima,postoji nekakva greka ve u samom spremanju broja i ona je obrnuto proporcionalna broju decimala sakojimajebrojpredstavljen(odnosnomemorijskomprostorurezerviranomzajedanbroj). Tipino se na dananjim raunalima bez problema postie tonost vea od deset decimala, to je svakako dovoljno za predstavljanje jednog broja. No, problem nastaje kada se sa ovakvim (konanotonim)brojevimaradivelikbrojraunskihoperacija.Utakvojsituacijigrekase akumulirai,akojebrojoperacijadovoljnovelik,moeznaajnoutjecatinadobivene rezultate.Ovagrekanazivasegrekazaokruivanja(round-offerror).Najizravnijinain smanjivanjautjecajagrekezaokruivanjajejednostavnopoveanjememorijskogprostora rezerviranog za broj, no ovo ima direktan negativan utjecaj na brzinu raunanja i memorijske resursepotrebnezaproraun.Stogaseukonkretnojizvedbisolveratrairavnoteaizmeu potrebne tonosti za zadani problem i brzine rjeavanja. Openito postoje dvije klase postupaka za rjeavanje matrinog sustava: postupci bazirani na inverziji matrice, iteracijski postupci. Postupcibaziraninainverzijimatriceusvajaju"direktnipristup"rjeavanjumatrinog sustava: | | | | | | | | | | | |1A B A B = = (3.6) Rjeenjekojesedobivaovomklasommetodaanalitikijeegzaktno(stvarnorjeenjee naravnoimatigrekuzbogzaokruivanja).Jednaodnajbrihinajjednostavnijih,testogai najee koritenih inverzijskih metoda rjeavanja je Gaussova metoda eliminacije. Iteracijskipostupcipredstavljajualternativudirektnomrjeavanjumatrinogsustava. Umjestotraenjatonogrjeenja,iteracijskimpostupcimatraisepriblinorjeenjesustava na bazi prije izraunatih vrijednosti. Postupak se ponavlja dok dobiveni vektor nepozanica ne poprimizadovoljavajuetonevrijednosti.Jedanodbitnihkriterijakvaliteteiteracijske metode jekonvergencija to je konvergencija rjeenja za promatrani problem bolja, metoda e biti bra. Za openite matrice najee se koriste Gauss-Jacobi i Gauss-Seidel metode, dok se za pozitivno definitne matrice koriste metode konjugiranih gradijenata. 24 3.3.Rjeavanje diferencijalnih jednadbi Prirjeavanjudiferencijalnihjednadbiprimjenjujusesliniprincipikaopripriblienju funkcije. Diferencijalna jednadba moe se shvatiti kao implicitno zadana nepoznata funkcija ije priblienje se trai. Neka je zadana diferencijalna jednadba u openitom obliku: ( ) 0 L U f = (3.7) gdje je: L openiti diferencijalni operator U rjeenje diferencijalne jednadbe U=(u1, u2, u3, ... ,us) , s stupanj slobode f=f(X) poznata funkcija X=(x1, x2, x3, ... ,xp) , p dimenzija prostora ZazadanerubneuvjeterjeenjeUmoemoizrazitikaofunkcijskopriblienjeuskladusa(2.4) : 'i iU = (3.8) Uz primjenu osnovne leme na (3.7) dobivamo integro-diferencijalnu jednadbu: | | ( ) 0, 1, 2,...,i i jL f w di j n ==(3.9) Potrebno je pronai nepoznate parametre i: ( ) 0( )( )i i j ji i j ji i j jL w d f w dL w d f w dL w d f w d = = = (3.10) 25 Izraunavanjem integrala u (3.10) dobije se sustav jednadbi: ( ) ;, 1, 2,...,ij i jij ij j j ja ba L w d b f w di j n == = = (3.11) Iz(3.11)izraunavajusenepoznatiparametriiimeje,prema(3.8)definiranopriblino rjeenje jednadbe (3.7). Zarazlikuodprijanjihtehnikaobjanjenihzaproblemtraenjapriblienjafunkcije, kod problema priblienja rjeenja diferencijalne jednadbe potrebno je voditi rauna i o nekim dodatnim ogranienjima. Sustav(3.11)nemoranunobitiregularan,jerrjeenje(3.7)estonepostojibezdodatnih poetnih i rubnih uvjeta. Za iroku klasu problema poetni i rubni uvjeti mogu se razdvojiti i odvojenopromatrati.PoetniuvjetizadajusevrijednounepoznatefunkcijeUunekom poetnomtrenutku,pasenjihovozadovoljavanjesvodinaproblemaproksimacijezadane funkcije. Rubni uvjeti zadani su openito nekom diferencijalnom jednadbom koja vrijedi za varijableizrubnogpodruja.Kombiniranjemovejednadbesa(3.7)rjeavaseproblem regularnosti sustava (3.11). Osimpotrebezadovoljenjarubnihuvjeta,baznefunkcijekojimaseaproksimirarjeenjeU trebajuzadovoljavatiiuvjeteneprekidnostitederivabilnosti.Pogodnimodabirombaznih funkcijauvjetneprekidnostisemoerelativnojednostavnozadovoljiti(npr.estokoriteni Lagrange-ovi polinomi osiguravaju neprekidnost). No, bazne funkcije takoer moraju imati i odgovarajuistupanjderivabilnosti,odreenstupnjemdiferencijalnejednadbe.Ovose jednostavnorjeavaodabirompolinomaviegstupnjakaobaznefunkcije,noposljedica ovogajepoveavanjesloenostipostupka.Kaotojepokazano,interpolacijanaelementu najjednostavnijajeakosekoristeLagrangeovipolinomiprvogstupnja(linearna interpolacija).Koritenjepolinomaviegstupnjaimpliciraveutonostpostupka,alii sloenije matrice lokalnog sustava, kao i njihovo asembliranje u globalnu matricu. Jedanodestihnainasniavanjapotrebnogstupnjapolinomabaznihfunkcijajekoritenje pravila parcijalne derivacije nad diferencijalnom jednadbom (tzv. nejaka formulacija). 26 4. Primjena MKE u problemima elektromagnetske kompatibilnosti Podrujeelektromagnetskekompatibilnosti(ElectromagneticCompatibilityEMC)bavise rjeavanjem problema prorauna i utjecaja elektromagnetskog polja na rad elektrinih ureaja, kao i ivih organizama. Openito govorei,temeljni zadaci iz podruja EMC mogu se svesti naproblemproraunageneriranogelektromagnetskogpolja,teinduciranestrujenastalekao posljedicedjelovanjaelektromagnetskogpolja.UiremsmisluseveinaEMCproblema stoga moe promatrati i kao problem predajne i prijemne antene te medija u kojem dolazi do irenja elektromagnetskog vala. Pri ovome se bilo kakva geometrija moe smatrati predajnom odnosno prijemnom antenom, a bilo kakva sredina (bez obzira je li homogena) unutar koje se antene nalaze, medijem irenja elektromagnetskog vala. EMCjerelativnonovoznanstvenopodrujenastalokaoposljedicaeksponencijalnog porastaprimjenetelekomunikacijaiopenitovisokofrekventnihelektrinihureajazadnjih nekolikodesetljea.SpoveavanjemsloenostiVFureaja,analitikorjeavanjepraktino bilo kojeg realnog problema danas je nemogue. Stoga se raspodjela elektromagnetskog polja kaoiinduciranestrujemoeodreditinadvanaina:mjerenjemilinumerikimmetodama prorauna.UreajizamjerenjeVFpojavakaoisampostupakmjerenjanerijetkojeskupi nepraktian, a u nekim aplikacijama i gotovo nemogu (npr. mjerenje utjecaja djelovanja EM zraenjailigeneriranestrujeunutarljudskogtijela).Stogajedobraalternativarjeavanju irokeklaseEMCproblemanumerikiproraun,koritenjemprikladne(eksperimentalno potvrene) numerike metode. JednaodnajlakihklasaEMCproblemazanumerikorjeavanjesutankoiane strukture.Diferencijalnejednadbekojeopisujuelektromagnetskepojavenatankojici (jednodimenzionalnadomena)bitnosujednostavnijeodonihzaploneilivolumne geometrije,paunumerikomproraunuEMCproblematankoianestrukturezauzimajuistaknuto mjesto. Osim toga, vrlo esto se realni problemi koji ukljuuju 2D ili 3D geometrije moguaproksimiratiprikladnomtankoianomstrukturom,pase,uvaavajuizahtjevena tonost rezultata, tehnike rjeavanja tankih ica mogu primijeniti i na sloenije strukture. 27 4.1.Proraun raspodjele struje na tankoj ici u frekvencijskom podruju Meu najjednostavnijim i najbolje istraenim problemima EMC-a istie se problem prorauna struje jedne tanke ice. Stoga je ovaj problem esto koriten za istraivanje novih numerikih metoda, te kao osnova izgradnje i analize sloenijih tankoianih struktura. Ovdjeeseprikazatirjeavanjeproblemaproraunaaktivneantenepredstavljenejednom tankom icom metodom konanih elemenata. 4.1.1.Koritene aproksimacije Promatra se linearna dipol antena polumjera a i ukupne duljine 2h: Sl 4.1.Linearna dipol antena U razmatranju e se primijeniti aproksimacija tankom icom (model tanke ice). Aproksimacija tanke ice podrazumijeva sljedei niz pretpostavki: polumjer ice je mnogo manji od najmanje valne duljine s kojom se ulazi uproraun, radijalne struje na krajevima i krune struje oko osi ice su zanemarive, odnosno pretpostavlja se da postoje samo aksijalne struje na povrini ice, promjene aksijalnih struja po poprenom presjeku su zanemarivo malene, povrinska aksijalna struja zamjenjuje se linijskom strujom u osi cilindra, s tim da se u svim izrazima zadrava dimenzija poprenog presjeka ice. Prema nekim autorima, zadnja pretpostavka se smatra aproksimacijom tanke ice u uem smislu. 28 Uvedimo jo dvije pretpostavke: sve promatrane veliine su harmonijski ovisne o vremenu, okolina antene je homogena s gubicima. Uskladusatankoianomaproksimacijomuzimasedasutokeizvorasmjetenedu centralne osi cilindra konanog polumjera a, a toke promatranja na obodu cilindra. Na ovaj nain osigurava se da nikad ne doe do preklapanja toke izvora i toke promatranja. 4.1.2.Matematiki model problema Potrebnojepronairaspodjelustruje(kaoharmonijskipromjenjiveveliine,dakleuobliku kompleksneveliine)popromatranojici.Promatrateseproblemaktivne(odailjake) anteneuslobodnomprostoru.Matematikapodlogakojeebitiizneenaprimjenjivajeina pasivnu(prijemnu)antenu,jedinobibilopotrebnopromijenitirubneuvjete.Pretpostavljase dajeantenanapajanacentralno(naponskigeneratorpostavljenjeposrediniice),tedaje generator sinusnog oblika napona. Integro-diferencijalnajednadbakojapovezujeelektrinopoljenatakvojantenisaraspodjelom struje naziva se Pocklingtonovom jednadbom i dana je sa: ||.|

\|+ =hhx)dx' x' )G(x, (x' kj412220I Eix(4.1) gdje je: ixE - upadno (incidentno) polje o - dielektrina konstanta vakuuma k- konstanta propagacije slobodnog prostora x- koordinata toke izvora x- koordinata toke promatranja I (x)- nepoznata struja po povrini antene u smjeru osi x G (x,x)- Greenova funkcija (tzv. jezgra) za sluaj slobodnog prostora dana sa:

-jkReG(x,x')R=(4.2) gdje je R udaljenost izmeu toke izvora i toke promatranja 29 Pocklingtonovomjednadbomje,zaantenureprezentiranujednomicomuslobodnom prostoru,moguedobitiprostornuraspodjelustrujeduosix.Oitojenunojedino poznavanjeraspodjeleincidentnogpoljaduantene,tojekodaktivneantenevrlo jednostavnoonopostojisamonacentralnomelementu,nakojemjenarinutnaponski generator. Problem je to je Pocklingtonova jednadba analitiki nerjeiva, pa se stoga koriste numerike metode za dobivanje aproksimacijskog rjeenja. 4.1.3.Nejaka formulacija Pocklintonove jednadbe Prijesamognumerikogmodeliranja(4.1)potrebnojeuvestijonekemodifikacijeu jednadbu kako bi se postupak numerikog modeliranja olakao. Moe se pokazati da za jezgru G(x,x) vrijedi: ) x' G(x,') x' G(x,x x =,(4.3) pa se (4.1) moe pisati kao: ix2E j4 )dx' x' )G(x, I(x' k )dx' x' G(x,dx') dI(x'dxd = + hhhh(4.4) NepoznatufunkcijuI(x)moemorazvitiunizlinearnoneovisnihfunkcijaNi(x')s nepoznatim kompleksnim koeficijentima i: ==n1 ii) (x' N ) I(x'i(4.5) Uvrstimo bazu priblinog rjeenja (4.5) u (4.4) : ix121E j4 )dx' x' G(x, ) ' ( k )dx' x' G(x, ) ' (dx'ddxd =((

+((

==hhnii ihhnii ix N x N (4.6) 30 odnosno: ix21E j4 )dx' x' G(x, ) ' ( k )dx' x' G(x,dx') ' ( ddxd =((

+ =hhihhiniix Nx N (4.7) Izraz (4.7) predstavlja integro-diferencijalnu jednadbu sa n nepoznanica. Pomnoimo ovu jednadbu sa n test funkcija (wj), i integrirajmo je po x: n ..., 2, 1, j; (x)dx w (x) E j4dx )dx' x' )G(x, (x' N (x) w kdx )dx' x' G(x,dx') (x' dNdxd(x) wjix 0i j21ij= ==((++

= hhhhhhnihhhhi(4.8) Izraz (4.8) sada predstavlja sustav od n integro-diferencijalnih jednadbi sa n nepoznanica. Nadalje, prema Galerkin-Bubnovljevoj proceduri, uzmimo da je: { } { }j jN w = , j = 1, 2, , n (4.9) Pa sada (4.8) prelazi u: n ..., 2, 1, j; (x)dx N (x) E j4dx )dx' x' )G(x, (x' N (x) N kdx )dx' x' G(x,dx') (x' dNdxd(x) Njix 0i j21ij= ==((++

= hhhhhhnihhhhi(4.10) Uoimo da u prvom lanu izraza (4.10) imamo djelovanje diferencijalnog operatora na jezgru G(x,x').Zasluajdajex=x'udaljenostizmeutokepromatranjaitokeizvorajeupravo jednaka polumjeru ice (R=a), ime nazivnik u jezgri postaje jako malen. Ovo implicira da se zatakvetokedobivajuvelikevrijednostijezgreG(x,x').Deriviranjemjezgreovopostaje posebnonaglaenojezgramoepoprimititolikovelikevrijednostidaitavproraunbude bitno naruen.31 Ovaj problem naziva se kvazisingularnost jezgre, i tipino je jedan od najveih izvora greke tijekom numerikog modeliranja Pocklingtonove jednadbe. Meutim,primjenomparcijalneintegracijenadprvimlanomizraza(4.10),snizujesered derivacijaisamimtimuklanjaderiviranjejezgre.Ovajpostupaknazivasenejaka formulacija, i predstavlja jednostavno i kvalitetno rjeenje problema kvazisingularnosti. Neka su zadane dvije funkcije u(x) i v(x). Prema pravilu parcijalne integracije vrijedi: =bababax du x v x v x u x dv x u ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (4.11) Primijenom (4.11) na prvi lan izraza (4.10) : ==hhhhhhhhhhhhdx )dx' x' G(x,dx') (x' dNdx(x) dN)dx' x' G(x,dx') (x' dN(x) Ndx )dx' x' G(x,dx') (x' dNdxd(x) Nijijij (4.12) Prvilansdesnestraneuizrazu(4.12)neulaziuproraunpotosadriDirichletoverubne uvjete na krajevima tanke ice koji se naknadno ukljuuju u nejaku formulaciju. Izraz(4.12) tada prelazi u: =hhhhhhhhdx )dx' x' G(x,dx') (x' dNdx(x) dNdx )dx' x' G(x,dx') (x' dNdxd(x) Nijij (4.13) Uoimodasmokoritenjempravilaoparcijalnojintegracijieliminiralidjelovanje diferencijalnog operatora na G(x,x') i time izbjegli kvazisingularnost jezgre. Uvrtavanjem (4.13) u (4.10) konano proizlazi: 32 n ..., 2, 1, j; (x)dx N (x) E j4dx )dx' x' )G(x, (x' (x)N N kdx )dx' x' G(x,dx') (x' dNdx(x) dNjix 0i j21ij= ==((++

= hhhhhhnihhhhi (4.14) Izraz(4.14)predstavljanejakuformulacijuGalerkin-Bubnovljeveprocedureza Pocklingtonovu jednadbu. 4.1.4.Numeriko rjeavanje primjenom MKE Odabiromlokaliziranihbaznihfunkcijau(4.14)moese,premaalgoritmuMKE,prijeina lokalni sustav te se (4.14) simboliki zapisati kao matrini sustav:

| | { } {}e e eji i ji 1bna == ;i,j=1, 2,, n(4.15) gdje je: n - brojkonanih elemenata | |ejiamatricakonanog elementa za: -j-ti konani element promatranja -i-ti konani element izvora {}ivektor rjeenja u globalnim vorovima { }jbvektor desne strane sustava Matrica konanog elementa| |ejiadana je izrazom: | | { } { }{ } { }j ij ie Tij j il lT2j il la D D G(x,x')dx'dxk N N G(x,x')dx'dx = + + (4.16) 33 Fizikalnoselokalnumatricujednogelementamoepromatratikaolokalnumatricu impedancije. Vektor konanog elementa{}eijbtada predstavlja lokalni vektor napona i dan je izrazom: { } { } =jljix 0eijdx N (x) E j4 b (4.17) Vektor rjeenja je vektor traene ekvivalentne raspodjele struje po zraeoj strukturi, tj. moe se pisati: | |{ } { } V I Z = (4.18) Matrice{ } Ni{ } Nsadre oblikovne funkcije Nk(x) i Nk(x), dok{ } Di{ } Dsadre njihove derivacije. Za openito i-ti element izgled ovih matrica je: { } { }{ } { }1 12 21 12 2( ) ( '); '( ) ( ')( ) ( ')'; '( ) ( ')'i ii ii ii ii ii ie ee ee ee ee ee eN x N xN NN x N xdN x dN xdx dxD DdN x dN xdx dx ((= = (( (( (( (( = = (( (( (4.19) Oblikovne funkcije su polinomi prvog stupnja: 11 21 1;i ie ei ii i i ix x x xN Nx x x x++ + = = (4.20) Veodabiromnajjednostavnijihoblikovnihfunkcija,Lagrangeovihpolinomaprvogstupnja (linearnainterpolacija)opisanametodadajevrlotonerezultate,uzzadovoljavajuu konvergenciju (dobra stabilnost metode). Odabirom vieg stupnja polinoma tonost rezultata bi se mogla dalje poveati, no poveanje sloenosti postupka u tom sluaju bilo bi bitno vee uodnosunadobitakutonosti.Osimtoga,sobziromnadobrukonvergenciju,uvijekje mogue jednostavno koristiti vei broj elementa i na taj nain postii potrebnu tonost. 34 Sve operacije vre se na jednom konanom elementu (sugerirano indeksom e), pri emu li,j oznaavaduinui-tog(elementizvora),odnosnoj-tog(elementpromatranja)konanog elementa. Pojmoveelementpromatranjaielementizvorapotrebnojepodrobnijeobjasniti,jertulei kljunarazlikaumodeliranjudiferencijalnihiintegralnihjednadbi.Koddiferencijalnih jednadbinemakoordinataizvoraikoordinatatokepromatranja,veseradisamoojednoj vrstivarijable.Rezultattogajeslabopopunjenapojasnamatricakaonaslici4.2a.Takve matricezahtjevajumanjevremenaimemorijeraunalazainvertiranje,tojeosnovna prednost kod modeliranja diferencijalnih jednadbi.Kodintegralnihjednadbipostojetokeizvoraitokepromatranja,tekododgovarajue globalnematricedolazidomeudjelovanjasvakogpojedinogizvornogelementasostalim elementima promatranja.Rezultat ovog meudjelovanja je da svaki globalni vor djeluje na sve ostale, to rezultirapreklapanjem lokalnih matrica du itave globalne matrice u procesu asembliranja.U ovom sluaju dolazi do pune matrice, kao na slici 4.2b. a) diferencijalne jednadbe b) integralne jednadbe Slika 4.2. estoseovakoformiranamatricanazivamatricageneraliziranihimpedancijapriemu elementi du glavne dijagonale predstavljaju vlastitu impedanciju pojedinog elementa, a svaki pojedini lan desno i lijevo od glavne dijagonale predstavlja odgovarajuu meuimpedanciju izmeu i-tog i j-tog elementa. 35 4.2.Numeriki rezultati 4.2.1.Rjeavanje matrinog sustava Opisanipostupakvodinamatrinisustavopisansa(4.18).Openitogovorei,ciljveine numerikihmetodajesvoenjeanalitikinerjeivogproblemanamatrinisustav.Uuem smislu,zadataknumerikogmodeliranjajeobavljenkadsejednomdolodopostavljenog matrinog sustava. Konani korak u cilju dobivanju rezultata je rjeavanje matrinog sustava. Problematikarjeavanjamatrinogsustavajedobroobraena,ipostojiitavnizalgoritama koje nam stoje na raspolaganju u svrhu rjeavanja matrinog sustava.Osnovnikriterijipriizborumetoderjeavanjasuprijesvegabrzinarjeavanjaitonost rjeenja.Kaotojevespomenutoupoglavlju3.2.3,postojesvijeosnovneklasemetoda rjeavanja matrinog sustava. Kod iteracijskih metoda, odreena netonost je ve "ugraena" u sam algoritam, te se metoda bira s obzirom na brzinu rjeavanja uz dovoljno malu greku. Kod inverzijskih metoda, rjeavanje matrinog sustava je analitiki egzaktno, odnosno greke ukonanomrjeenjusuposljedicasamenumerikemetodeineizbjenihgreakau zaokruivanju.Stogasekodinverzijskihmetodavodiraunaiskljuivoobrzini,odnosno brojuoperacijapotrebnihdabisedolodorjeenja.Jednaodnajbrih,najjednostavnijihi stoga najee koritenih metoda je Gaussova metoda eliminacije. 4.2.2.Gaussova metoda eliminacije Gaussovametodaeliminacije(estosekoristinaziviGauss-Jordanovametoda)jednajeod najefikasnijihmetodarjeavanjamatrinogsustava.Metodasetemeljinaprimjeni elementarnihtransformacijanadmatrinimsustavom,saciljemtransformacijeizvornog matrinogsustavauekvivalentnisustav,izkojegserijeenjadobivajutrivijalno.Do ekvivalentnogsustavadolaziseiterativnomprimjenomelementarnihtransformacijanad jednadbama sustava: zamjena dviju jednadbi u sustavu, mnoenje neke jednadbe sa brojem 0, sumiranje dvaju jednadbi sustava. 36 Pogledajmo openiti matrini sustav AX=B: 11a 21a ... 1 na 1x1b12a 22a ... 2 na 2x 2b ............ ...... .................. 1na 2na ... nna nx = nb Potrebnojepronainepoznativektor{x1,x2 ,..., xn }.PostupakGaussoveeliminacije zapoinje mnoenjem drugog retka sustava sa brojem 20, pri emu je11212aa = : 11a 21a ... 1 na 1x1b 12a 22a ... 2 na 2x 2b 1112aa ............ ...... .................. 1na 2na ... nna nx = nb Rezultat ove operacije je a12=- a11 : 11a 21a ... 1 na 1x1b11a 112212aaa ... 11212naaa 2x 11212aba ............ ...... .................. 1na 2na ... nna nx = nb Drugi korak je transformacija drugog retka, na nain da se prvi i drugi redak zbroje: 37 11a 21a ...1 na 1x1b0 1122 2112aa aa + ...112 112n naa aa + 2x112 112ab ba + ......... ... ...... ......... ......... 1na 2na ...nna nx=nb Rezultat, i smisao postupka, je "ponitavanje" lana a12 : a12=0: Ako je a12=0ve na poetku, postupak se preskae. Opisanipostupakponavljasezadaljezatreiredak(naravno,akojea130):treiredak mnoisesa 11313aa= ,prviredakzbrojisesatreimirezultatjea13=0.Ponavljanjem postupka za svih n redaka krajnji rezultat je ponitavanje itavog prvog stupca, osim lana a11. Postupaktransformacijematrinogsustavaponitavanjemlanovaprvogstupcamoese shematski prikazati (Slika 4.3.). lanovi matrica koji su openito razliiti od nule "ispunjeni" su, dok su "poniteni" lanovi (jednaki nuli) simbolizirani praznim prostorom: Operacije: mnoenje 2. retkasa 1112aai zbrajanje sa 1. retkom mnoenje 3. retkasa1113aa i zbrajanje sa 1. retkom ..... mnoenje n. retkasa111naa i zbrajanje sa 1. retkom Izgled matrica: ... Slika 4.3. Analoganpostupakprimjenjivjeinadrugistupacsustava.Openito,i-tiredak(i=3,4,..,n) mnoi se sa 222iiaa= , te se na ovako transformirani i-ti redak zbroji drugi redak. Rezultat je ponitavanje lana a2i. Shematski prikaz dosad objanjenog postupka dan je slikom 4.4. 38 Operacije: mnoenje 3. retkasa 2223aai zbrajanje sa 2. retkom mnoenje 4. retkasa2224aa i zbrajanje sa 2. retkom .....mnoenje n. retkasa222naa i zbrajanje sa 2. retkom Izgled matrica: ... Slika 4.4. Nastavljanjemprimjeneopisanogpostupkanasveostalestupce,itavpostupakmoese poopiti.Svilanoviispoddijagonalnoglanaj-togstupcaponitavajusetakotosei-ti redak(i=j+1,j+2,...,n)sustavapomnoisa 222iiaa= inakontogai-tiredakzamijeni sumom j-tog i i-tog retka. Ako je aji=0, ovaj korak se preskae. Rezultat ove operacije je aji=0 zasvelanovej-togstupcaispodglavnedijagonale.Postupakseponavljazasvihpreostalih n-j stupaca. Ako u i-tom retku postoji nulti lan na glavnoj dijagonali, potrebno je zamijeniti retke,kakobisesustavtransformiraouekvivalnentnisustavbeznultihlanovanaglavnoj dijagonaliosnovnematrice.Krajnjirezultatjedasematrinisustavtransformirau ekvivalentni sustav koji za osnovnu matricu sustava ima gornju trokutnu matricu (slika 4.5.), tj. matricu koja je ispod glavne dijagonale popunjena nulama. Stoga se itavi postupak naziva i triangulacijom. Operacije: ponitavanje 3. stupcaponitavanje 4. stupca..... ponitavanje n. stupca Izgled matrica: ... Slika 4.5. 39 Nakontojeosnovnamatricasustavasvedenanagornjutrokutastumatricu,dobivanje rjeenja je vrlo jednostavno. Dobiveni ekvivalentni sustav je oblika: '11a'21a ... '1 na 1x'1b0 '22a ... '2 na 2x '2b ............ ...... 0 0... '( 1) n na 1 nx'1 nb 0 0... 'nna nx = 'nb Rjeenja se sada mogu dobiti direktno, poinjui od n-tog retka i kreui se do 1. retka: ''nnnnbxa= ,' '1 ( 1)1 '( 1)( 1)n n n nnn nb x axa = , ..... ,' '1'ni j jij iiiib x axa= +=, ..... 4.2.3.Rezultati prorauna U ovom poglavlju prikazati e se rezultati dobiveni za dvije konfiguracije. Slika 4.6. - konfiguracija 1 40 Ulazni parametri konfiguracije 1: Broj antena: 4 Radijus svih antena: 0.00337 Frekvencija generatora: 300 Mhz Napon generatora: 1 V Duina reflektora: 0.51 Duina napajane antene: 0.5 Duine usmjerivaa: 0.4 Udaljenost izmeu reflektora i napajane antene: 0.25 Udaljenost izmeu napajane antene i usmjerivaa: 0.3 Udaljenost izmeu usmjerivaa: 0.3 Broj elemenata svih antena: 31 Slika 4.7. - konfiguracija 2 Ulazni parametri konfiguracije 2: 41 Broj antena: 3 Radijus svih antena: 0.0025 Frekvencija generatora: 300 Mhz Napon generatora: 1 V Duina reflektora: 0.479 Duina napajane antene: 0.453 Duina usmjerivaa: 0.451 Udaljenost izmeu reflektora i napajane antene: 0.25 Udaljenost izmeu napajane antene i usmjerivaa: 0.25 Broj elemenata svih antena: 31 Rezultatiprorauna(distribucijastruje)zagornjekonfiguracijeprikazanisusljedeim slikama: Slika 4.8. - realnii imaginarni dio struje reflektora konfiguracije 1 42 Slika 4.9. - realnii imaginarni dio struje napajanog elementa konfiguracije 1 Slika 4.10. - realnii imaginarni dio struje prvog usmjerivaa konfiguracije 1 43 Slika 4.11. - realnii imaginarni dio struje drugog usmjerivaa konfiguracije 1 Slika 4.12. - realnii imaginarni dio struje reflektora konfiguracije 2 44 Slika 4.13. - realnii imaginarni dio struje napajanog elementa konfiguracije 2 Slika 4.14. - realnii imaginarni dio struje usmjerivaa konfiguracije 2 45 5. Zakljuak Urjeavanjunajveihbrojarealnihproblemagotovojeneizbjeansluajdajeanalitiko rjeavanje problema nemogue bez odreenih aproksimacija. esto su nune aproksimacije u tolikomobujmudasudobivenarjeenjavrlogrubeaproksimacije,kojeseeventualnomogu koristitisamokaoindikatori.Alternativaovakvomanalitikomrjeavanjupredstavlja numerikorjeavanjekoritenjemnekeodpostojeihnumerikihmetodailinjihove kombinacije.Uzispravanodabir(inaravno,implementaciju)numerikemetode,moguse dobitivrlotonarjeenjaproblema.No,tipinojerjeenjadobivenanaovakavnain potrebnousporeditisareferentnimrezultatimamjerenja,kadgodjetomogue.Ovoje posebnonaglaenokodnovijihnumerikihmetoda,radiispitivanjatonostiikonvergencije rezultata.Unatonepobitnimprednostimanumerikogrjeavanjazanajveibrojrealnih problema,veinanumerikihmetodaogranienajeodreenim"uroenimmanama",kojisu prijesvegavezanezakoriteneaproksimacijeusamojmetodiinjenojraunalnoj implementaciji.Takoer,zboginjenicedasetijekomnumerikogrjeavanjatipino generirajuogromnekoliinemeurezultata,pronalaenjeeventualnihgreakailiuoavanje manjkavih aproksimacija izrazito je oteano. Jednaoddanasnajireprimjenjivanihnumerikihmetodajemetodakonanihelemenata,ili nekeodnjezinihvarijacija.RazlogirokeprimjeneMKEleiprvenstvenouprirodnoj prilagoenostialgoritmaraunalnojimplementaciji,teuvrlojednostavnojmogunosti podeavanjarazinetonostidobivenihrezultata.Osimtoga,MKEjeizrazitodobro prilagoena proizvoljno nepravilnim geometrijama, to omoguava njenu primjenu u naroito sloenimrealnimproblemimakaotosunpr.konstrukcijaavionailizgrade.MKEu problemimaelektromagnetskekompatibilnostiiopenitoelektrodinamikenalazisvoju primjenutekuzadnjihpardesetljea,nakontosepokazalavrlouspjenomudrugim podrujima. Osim MKE, za rjeavanje problema iz podruja elektrodinamike esto se koriste i metodamomenata(MethodofMoments-MoM),metodakonanihdiferencija(Finite DifferenceMethod-FDM)itd.Uizborumetodekojasekoristizanumerikomodeliranje odreenogproblemavodiseraunaosloenostimetodekaoibrzineprorauna (computationalcost)sjednestrane,teotonostirezultataibrzinikonvergencijesdruge. MKE se pokazuje kao jedna od efikasnijih metoda u smislu dovoljno "niske" cijene raunalne implementacije,tedobrekonvergencijeitonostirezultatazairokuklasuproblemaiz podruja elekromagnetske kompatibilnosti. 46 6. Literatura [1]V. Jovi, Uvod u ininjersko numeriko modeliranje, Aquarius Engineering 1993. [2]N.Gershenfeld, The Nature of mathematical Modeling, Cambrige University Press 1999. [3]D.Poljak,V.Roje,TheWeakFiniteElementFormulationforSolvingPocklington Integro Differential Equation,Int. Journ. Eng. Modelling (1-4), 1993. [4]D.Poljak,Analizazraenjaantenaunehomogenimsredinama,magistarskirad,Sveuilite u Splitu 1994. [5]D.Poljak,Analizastvarneraspodjelestrujenapovrinitankogcilindrinogdipola, diplomski rad, Sveuilite u Splitu 1990. [6]D.Poljak,Tranzijentniodzivianihantenauprisutnostikonanovodljivog poluprostora,Doktorska disertacija,Sveuilite u Splitu 1996. [7]R.P. Silvester, K.K. Chan, Bubnov-Galerkin Solutions to Wire Antenna Problems, Proc. IEE, Vol. 119., 1095-1099, 1972. [8]V.Dori,Modeliranjeantenskognizametodomkonanihelemenata,diplomskirad, Sveuilite u Splitu 1998. [9]S.Antonijevi,Programzaanalizulinearnihantenskihnizova,diplomskirad, Sveuilite u Splitu 2001.