feladatmegoldÁsi gyakorlatokgaul/tszhonlap_public/szabtech/feladmegold.pdf · karakterisztikus...

FELADATMEGOLDÁSI

GYAKORLATOK

SZABÁLYOZÁSTECHNIKA

2007

2

Szabályozástechnika

Feladatok - MegoldásokI.

Automatizálási és Alkalmazott Informatikai Tanszék

Hetthéssy Jenô - Bars Ruth

3

1. Feladat:

Egy folytonos rendszer állapotteres modellje a következô:

A =

−−

−−

4 0 0 0

0 3 0 0

0 0 2 0

0 0 0 1

b =

5

0

2

7

cT = [ ]1 1 1 0 d = 0

Adja meg a rendszer átviteli és átmeneti függvényét.

Megoldás:

Az átviteli függvény az állapotmodell irányítható és megfigyelhetô alrendszerétreprezentálja:

H ss s

( ) =+

++

54

22

Az átmeneti függvény (az egységugrásra adott válasz):

v ts

H s e et t( ) = ⋅ ( )

= −( ) + −− − −L

1 4 21 54

1 1 t ≥ 0

4

2. Feladat:

Egy mintavételes, zárt szabályozási körben az e k[ ] hibajel az r k[ ] alapjel és az y k[ ] szabályozott

jellemzô különbsége: e k r k y k[ ] [ ] [ ]= − .

A hibajel z-transzformáltja E z z z z( ) = + +− − −1 2 30 6 0 2. . . Határozza meg és vázolja fel az y k[ ]kimenôjel idôbeli lefolyását a k=0,1,2,3,4,5 mintavételi idôpillanatokra, ha az alapjel egységsebességugrás függvény.

Megoldás:

e k E z k k k k k k[ ] = ( ){ } = ⋅ [ ] + ⋅ −[ ] + ⋅ −[ ] + ⋅ −[ ] + ⋅ −[ ] + ⋅ −[ ]−Z

1 0 1 1 0 6 2 0 2 3 0 4 0 5δ δ δ δ δ δ. .

r k k k k k k k k k[ ] = ⋅ [ ] = ⋅ [ ] + ⋅ −[ ] + ⋅ −[ ] + ⋅ −[ ] + ⋅ −[ ] + ⋅ −[ ] +1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5δ δ δ δ δ δ ...

y k r k e k k k k k k k[ ] = [ ] − [ ] = ⋅ [ ] + ⋅ −[ ] + ⋅ −[ ] + ⋅ −[ ] + ⋅ −[ ] + ⋅ −[ ]0 0 1 1 4 2 2 8 3 4 4 5 5δ δ δ δ δ δ. .

5

3. Feladat:

Határozza meg egy matematikailag mintavételezett x t( ) idôfüggvény Laplace transzformáltját.

Megoldás:

A Ts mintavételi idôvel matematikailag mintavételezett jel:

x t x t t kT x kT t kTk k

s s s s( ) = ( ) −( ) = ( ) −( )=

∞

=

∞

∑ ∑δ δ0 0

x ts( ) Laplace transzformáltja:

L x t x kT t kT e dt x kT t kT e dt

x kT e t kT dt x kT e x kT e

k

st

k

skT

skT

k

skT

k

skT

k

s s s s s

s s s s

s

s s s

( ){ } = ( ) −( ) = ( ) −( ) =

= ( ) −( ) = ( ) ⋅ = ( )

=

∞∞−

=

∞ ∞−

−

=

∞ ∞−

=

∞−

=

∑∫ ∑ ∫

∑ ∫ ∑

δ δ

δ

00 0 0

0 0 0 0

1∞∞

−

=

∞

−

=

∞

∑ ∑

∑

= ( ) =

= [ ] = ( )

x kT z

x k z X z

k

k

k

k

s0

0

ahol z esT= s és x k x kT[ ] = ( )s .

6

4. Feladat:

Zárt folytonos szabályozási rendszerre vezesse le az alapjelkövetés statikus pontosságáravonatkozó összefüggéseket.

Megoldás:

Legyen

L s

K sT

s sT

ii

jk

k

( ) =+( )

+( )

∏

∏

1

1

a felnyitott kör átviteli függvénye. Ekkor az E s R s Y s( ) = ( ) − ( ) hibajel

E sL s

R s

s sT

s sT K sTR s

jk

kj

kk

ii

( ) =+ ( ) ( ) =

+( )

+( ) + +( )( )

∏

∏ ∏1

1

1

1 1

A végértéktétel alkalmazásával:

lim lim lim limt s s

jk

kj

kk

ii

s

j

je t s E s s

s sT

s sT K sTR s s R s

s

s K→∞ → → →( ) = ⋅ ( ) = ⋅

+( )+( ) + +( ) ( ) = ⋅ ( )

+

∏∏ ∏0 0 0

1

1 1

A fentiek alapján a statikus hiba:

Típusszámr t( ) : egységugrás

R ss

( ) =1

r t( ) : egység

sebesség ugrás

R ss

( ) =12

r t( ) : egység

gyorsulás ugrás

R ss

( ) =13

j = 0 1

1+ K ∞ ∞

j =1 01

K ∞

j = 2 0 01

K

7

5. Feladat:

Az L sK

se sT( ) = − d átviteli függvényû holtidôs integrátort mereven visszacsatoljuk (K > 0). A

zárt kör K = 10 esetén kerül a stabilitás határhelyzetébe. Határozza meg K azon értékét, amelymellett a fázistartalék 60°.

Megoldás:A felnyitott kör frekvenciafüggvénye:

L jK

je j Tω

ωω( ) = − d

A vágási körfrekvencia:

L jωc( ) = 1 ⇒ K

ωc= 1 ⇒ ωc = K

A fázistartalék:

ϕ π ω ππ

ωπ

t c c d darg= + ( ){ } = + − −

= − ⋅L j T K T2 2

A stabilitási feltételbôl:

ϕ t = 0 ⇒ TKd = =π π

2 20

Az elôírt fázistartalékhoz:

ϕπ π π π

t d= ° = = − ⋅ = − ⋅603 2 2 20

K T K ⇒ K = 103

8

6. Feladat:

Folytonos rendszerekre definiálja a fázistartalék, erôsítési tartalék és metszési [másszóval vágási]körfrekvencia fogalmát. Taglalja e fogalmak jelentôségét a stabilitás és a szabályozótervezésszempontjából.

Megoldás:

Metszési körfrekvencia:

L jωc( ) = 1

ahol L jω( ) a felnyitott kör frekvenciafüggvénye.

Fázistartalék:

ϕ π ωt carg= + ( ){ }L j

Erôsítési tartalék:

gL jt = ( )

1

ωπ

ahol

arg L jω ππ( ){ } = −

Stabilitáshoz: ϕ t > 0 és gt > 1Gyors szabályozáshoz: az elérhetô legmagasabb ωc érték

10%-nál kisebb túllendüléshez: ϕ t ≈ °60

9

7. Feladat:

Származtassa [vezesse le] a bilineáris transzformáció w f z= ( ) összefüggését.

Megoldás:

Az x k[ ] mintavételi értékek használatán alapuló integráláskor az integrál növekménye a trapéz

szabály szerinti közelítô integrálással:

I k I kx k x k

Ts+[ ] − [ ] =+[ ] + [ ]

11

2

ahol Ts a mintavételezési idô. A z-transzformáltakkal kifejezve

I z

X z

z

zT

( )( ) =

+−( )1

2 1 s

A digitális integrátor fenti átviteli függvénye a folytonos integrálás 1s átviteli függvényét közelíti:

12

11w

T z

z≅ ⋅

+−

s ⇒ wT

z

z≅ ⋅

−+

2 11s

ahol az s változót a közelítésre utalva a w változóval szokásos felváltani.

10

8. Feladat:

Írja fel a H ss s

( ) =+ +

1

3 22 átviteli függvényû szakasz x y1 = és x x1 2= választással adódó

állapotteres modelljét. Legyen x1 0 7( ) = , x2 0 4( ) = − és u t( ) ≡ 0 . Határozza meg x1 1( ) és x2 1( )értékét.

Megoldás:

H sY s

U s s s( ) =

( )( ) =

+ +1

3 22 ⇒ U s

s ss Y s

( )+ +

= = ( )2 3 2ς( )

ahonnan

s s U s s s s2 3 2ς ς ς( ) = ( ) − ( ) − ( )

vagy az idôtartományban:

˙ ˙x x u t x x1 2 2 13 2= = ( ) − −

Az állapotteres modell:

˙

˙

x

x

x

xu t1

2

1

2

0 1

2 3

0

1

=

− −

+

( )

ΦΦ s ss

s

s

s

s ss s s s

s s s s

( ) = −( ) =−+

=

+−

+ +=

−+

++

−+

++

++ −

+ ++ −

+

−−

I A 11

2

1

2 3

3 1

2

3 2

12

21

12

11

22

21

22

11

ΦΦ te e e e

e e e e

t t t t

t t t t( ) = − + − +− −

− − − −

− − − −

2 2

2 2

2

2 2 2

ΦΦ 12

2 2 2

0 6 0 23

0 47 0 1

2 1 2 1

2 1 2 1( ) = − + − +− −

=

− −

− − − −

− − − −e e e e

e e e e

. .

. .

x x1 00 6 0 23

0 47 0 1

7

4

3 28

2 89( ) = ( ) ( ) =

− −

−

=

−

ΦΦ t

. .

. .

.

.

11


Feladatok - MegoldásokII.



12

1. Feladat:

Tekintsük a H sb s b s b

s a s a s a( ) =

+ ++ + +1

22 3

31

22 3

átviteli függvényû harmadrendû rendszer fázisváltozós

alakját. Határozza meg a k = [ ]k k k1 2 3T

visszacsatolás értékét úgy, hogy az

állapotvisszacsatolással kapott zárt rendszer pólusai a p1 1= − , p2 2= − , p3 3= − helyre

kerüljenek.

Megoldás:

H sY s

U s

b s b s b

s a s a s a( ) =

( )( ) =

+ ++ + +1

22 3

31

22 3

⇒ U s

s a s a s as

Y s

b s b s b

( )+ + +

= ( ) =( )

+ +31

22 3 1

22 3

ς

ahonnan

s s U s a s s a s s a s31

22 3ς ς ς ς( ) = ( ) − ( ) − ( ) − ( )

Az idôtartományban a fázisváltozók bevezetésével:

x x3 2=x x2 1=

x a x a x a x u t1 1 1 2 2 3 3= − − − + ( )y t b x b x b x( ) = + +1 1 2 2 3 3

Az állapotteres modell:

˙

˙

˙

x

x

x

x u

a a a x

x

x

u t1

2

3

1 2 3 1

2

3

1 0 0

0 1 0

1

0

0

= + =− − −

+

( )A b

y t b b b

x

x

x

( ) = = [ ]

c xT1 2 3

1

2

3

A zárt kör karakterisztikus egyenlete az állapotvisszacsatolással:

s

s a k a k a k

s

s

s a k s a k s a kI A bk− + =+ + + +

−−

= + +( ) + +( ) + +( ) =T1 1 2 2 3 3

31 1

22 2 3 31 0

0 1

0

A zárt kör elôírt karakterisztikus egyenlete:

R s s p s p s p s s s s s s( ) = −( ) −( ) −( ) = +( ) +( ) +( ) = + + +1 2 33 21 2 3 6 11 6

Az együtthatók összehasonlításásval: k a1 16= − ; k a2 211= − ; k a3 36= − .

13

2. Feladat:

Határozza meg a

H ss s s

1 225

1 0 01 1 0 001( ) =

+( ) +( ). . illetve a H s

e

s s s

s

2

0 2

225

1 0 01 1 0 001( ) =

+( ) +( )− .

. .

átviteli függvénnyel adott rendszerek fázistartalékának különbségét [másszóval a ϕ ϕt t1 2−

értéket].

Megoldás:

A 25

2s kettôs integrátor metszési körfrekvenciája a

2512

jω( )= feltételbôl ωc = 5. Tekintve, hogy

H j H j1 2ω ω( ) = ( ) , továbbá a szakasz ω11

0 01100= =

. és ω2

10 001

1000= =.

törési

körfrekvenciáira ω ω1 >> c illetve ω ω2 >> c , H j1 ω( ) és H j2 ω( ) metszési körfrekvenciája

azonosan ωc = 5. Mindezekbôl adódóan

ϕ ϕ ωt t c rad1 2

0 2 1 57 3− = − ⋅ = − = −. . o

14

3. Feladat:

T1 0> és T2 0> esetén vázolja fel a H ssT sT

( ) =+( ) +( )

11 11 2

átviteli függvénnyel adott

rendszer Nyquist diagramját. Határozza meg azt az értéket, ahol a frekvenciafüggvény tisztánképzetes összetevôbôl áll.

Megoldás:

H jj T j T T T j T T

ωω ω ω ω

( ) =+( ) +( ) =

− + +( )1

1 11

11 22

1 2 1 2

ahonnan az

1 021 2− =ω T T

feltétel, majd onnan

ω = ±1

1 2T T

ω = 1

1 2T T

Re

Im

15

4. Feladat:

Egy mintavételes (diszkrét idejû) szabályozó az u k u k e k e k[ ] = −[ ] + [ ] − −[ ]1 3 2 7145 1. rekurzív

egyenlet szerint mûködik, ahol u k[ ] a szabályozó kimenôjele, e k[ ] pedig a szabályozó

bemenôjele, azaz a szabályozás hibajele. Ts = 1 sec mintavételi idôt feltételezve adja meg annak a

folytonos szabályozónak az átviteli függvényét, amelynek a Tuschák-módszer szerintikisfrekvenciás közelítését a megadott szabályozó megvalósítja. Vázolja fel a folytonosszabályozó közelítô Bode amplitúdó diagramját.

Megoldás:

A mintavételes PI szabályozó egyenlete

C zU z

E zK

z z

zPI ( ) =( )( ) = ⋅

−−

1

1

ahol

z e T T1 = − s I/

továbbá u a szabályozó kimenete, e pedig a hibajel.

A példában adott esetre

U z

E zK

z z

z

z

z

( )( ) = ⋅

−−

= ⋅−

−1

13

0 71481

.

tehát K = 3 és z1 0 7148= . , így a z e T T1 = − s I/ feltételbôl:

ln s

I I0 7148

1.( ) = − = −

T

T T ⇒ TI ln

sec= − ( ) = −−

≅1

0 71481

0 33573

. .

A mintevételes szabályozónak megfelelô folytonos PI szabályozó átviteli függénye:

C ss

sPI ( ) ≈ ⋅ +3

1 33

és közelítô BODE amplitúdó diagramja:

ω1 3 1

16

5. Feladat:

Adja meg a gyökhelygörbe definícióját. K > 0 esetén vázolja fel a gyökhelygörbét, ha a felnyitott

kör átviteli függvénye L s Ks s

s s( ) =

− ++( )

2 2 21

. Határozza meg azt a Kmax értéket, amely mellett a

zárt kör még stabilis. Határozza meg a rendszer pólusait a stabilitás határhelyzetében.

Megoldás:

Feltételezve, hogy egy zárt rendszer hurokátviteli függvénye L s K G s( ) = ( ) alakú, a gyökhelygörbe

a zárt rendszer pólusainak (másszóval a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete gyökeinek) mértanihelye, miközben 0 ≤ < ∞K .A pontos gyökhelygörbe a

rlocus([1 -2 2],[1 1 0]);

MATLAB utasítással rajzolható fel. A gyökhelygörbe ágainak száma azonos a rendszer

fokszámával (ez jelen esetben 2), L s( ) pólusaiból (jelen esetben p1 0= és p2 1= − ) indul és ágai

L s( ) zérusaiba (jelen esetben z j1 1 1= + ⋅ és z j2 1 1= − ⋅ ) tartanak.

A valós tengely − ≤ <1 0σ szakasza része a gyökhelygörbének, mindezek alapján agyökhelygörbének ki kell lépnie a valós tengelyen elhelyezkedô szakaszából és − ≤ <1 0σ zérusaifelé kell tartania, szükségképpen át kell lépnie a labilis tartományba. A stabilitás megítéléséhez a zártrendszer

1 0+ ( ) =L s ⇒ s s K s s2 2 2 2 0+ + − +( ) =

karakterisztikus egyenletét vizsgáljuk. A Routh séma szerint

1 2

1 2

+−

K K

K

K = 0 5. adódik K kritikus értékére.

Ellenôrzés: K = 0 5. esetén a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete

1 5 1 02. s + =

ahonnan

p j j1 223

0 8165, .= ± = ±

17

6. Feladat:

Az

A =

αβ1

0 b =

0

1 cT = [ ]1 0 d = 0

állapottér-modellel adott rendszert k T = [ ]1 1 erôsítéssel negatívan visszacsatolva a zárt

rendszer pólusai: p j1 2 2, = − ± . Határozza meg α és β értékét.

Megoldás:

A zárt rendszer karakterisztikus egyenlete:

ss

ss sI A bk− + =

− −− +

= + − −( ) ⋅ + ⋅ − +T αβ

α β α β α1

1 11 12

illetve

P s s p s p s s( ) = −( ) −( ) = + +1 22 4 5

majd az együtthatók összehasonlításával:

1 4− − =α β illetve α β α⋅ − + =1 5 .

Innenα = −2 és β = −1.

18

7. Feladat:

Mutassa meg, hogy egy állapotteres modelljével adott, külsô gerjesztés nélküli ( u t( ) = 0) lineáris

folytonos rendszerre x xt t t t t2 1 2 1 1−( ) = −( ) ( )ΦΦ ahol ΦΦ t e t( ) = A és t t2 1 0> > .

Megoldás:

x x x x

x x x

A A

A A A

t t e e

e e e t t

t t t t

t t t t t

2 2

2 1

0 0 0

0 1 1

2 2 1 1

2 1 1 2 1

( ) = ( ) ( ) = ( ) = ( ) =

= ( ) = ( ) = −( ) ( )

− +( )

−( ) −( )ΦΦ

ΦΦ

19

8. Feladat:

Egy mintavételes szabályozási körben a diszkretizált szakasz G zz

( ) =1

, a soros szabályozó

pedig C zKz

z( ) =

−1 , ahol K > 0. Határozza meg K maximális értékét (Kmax ), amely mellett a

zárt kör még stabilis. Ezekután K K= max 2 mellett számítsa ki G z( ) bemenetének és

kimenetének értékét a k=0, 1 és 2 mintavételi idôpillanatokban, ha az alapjel egységugrás.

Megoldás:

A felnyitott kör átviteli függvénye:

L z C z G zKz

z z

K

z( ) = ( ) ( ) =

−⋅ =

−11

1

A zárt kör karakterisztikus egyenlete:

1 0+ ( ) =L z ⇒ z K− + =1 0

A stabilitáshoz a diszkrét pólusoknak a z < 1 tartományba kell esniük, innen Kmax = 2 .

K K= =max 2 1 mellett L zK

z z( ) =

−=

−11

1, az eredô átviteli függvény:

Y z

R z

L z

L zz

zz

z( )( ) =

( )+ ( ) = −

+−

= = −1

11

11

1

1 1

y k k[ ] = −[ ]1 1 ⇒ y 0 0[ ] = , y 1 1[ ] = , y 2 1[ ] = .

A bemenôjel

U zY z

G z

Y z

z

zY z( ) =( )( ) =

( )= ( )

1 ⇒ u 0 1[ ] = , u 1 1[ ] = , u 2 1[ ] = .

20

9. Feladat:

Egy zárt szabályozási kör felnyitott körének átviteli függvénye L sK

se sT( ) = − d . Határozza meg

az erôsítési tartalék értékét.

Megoldás:

A Nyquist diagram (elsô) metszéspontja a negatív valós tengellyel az ω ωπ= körfrekvenciánál az

alábbi feltételre vezet:

− − = −π

ω ππ2Td

ahonnan

ωπ

π =2Td

Az erôsítési tartalék:

gK KTt

d= =1

2

ω

π

π

.

21

10. Feladat:

A P ss s

( ) =+( ) +( )

171 2 1 3

átviteli függvényû szakaszt mereven visszacsatoljuk. Határozza meg a

zárt rendszer százalékos túllendülését és a zárt rendszer átmeneti függvényében jelentkezôlengések periódusidejét.

Megoldás:

A zárt kör átviteli függvénye:

T sL s

L s

s s

s ss s s s

K

s s( ) = ( )

+ ( )=

+( ) +( )+

+( ) +( )

=+ +

=+ +

=+ +1

171 2 1 3

117

1 2 1 3

17

6 5 18

17 6

5 6 3 22 2 2 2ξω ωo o

ahonnan

ωo = 3 , 2 5 6ξωo = ⇒ ξ = =5

12 30 24.

A zárt rendszer százalékos túllendülése

σ

ξπ

ξ= ⋅ = ⋅ =

−

−−

100 100 4610 7536

0 97082

e e.

. %

a lengések periódusideje

Tpd d o

= = =−

=−

=2 2 2

1

2 3

1 0 243 74

2 2

πω

πω

π

ω ξ

π

.. sec

22


Feladatok - MegoldásokIII.



23

1. Feladat:

Egy zárt folytonos rendszer hurokátviteli függvénye

L sK

s s s s( ) =

+( ) + +( )4 2 52

Hány ága van a fenti rendszer gyökhelygörbéjének és ezekbôl hány ág nem tart a végtelenbeK → ∞ esetén?

Határozza meg K > 0 maximális értékét ahhoz, hogy a zárt rendszer stabilis legyen.

Megoldás:

A gyökhelygörbe összes (4) ága a végtelenbe tart K → ∞ esetén, mert a felnyitott kör átvitelifüggvényének nincs zérusa.


s s s s K4 3 26 13 20 0+ + + + =

A Routh-séma alkalmazásával

1 13

6 20586

580 3 658 6

K

K

K−

így a stabilitáshoz Kmax = 32 2. .

24

2. Feladat:

Tekintsük a H ss s

( ) =+ +

ωξω ω

o

o o

2

2 22 kéttárolós rendszert a ξ < 1 feltétellel. Adja meg a

következô mennyiségek értékét a rendszerparaméterekkel kifejezve: százalékos túllendülés,csúcsidô, a lengés periódusideje, emelkedési idô (10-90%), beállási idô (1%).

Megoldás:

Százalékos túllendülés:

σ

ξπ

ξ= ⋅

−

−100 1 2

e

Csúcsidô

tcp

=π

ω

ahol ω ω ξp o= −1 2 .

A lengés periódusideje:

T tpp

c= =2

2π

ω

Emelkedési idô (10-90%):

tro

=1 8.ω

Beállási idô (1%):

ts =4 6.α

ahol α ξω= o.

25

3. Feladat:

Ismertesse [vezesse le] az alapmátrix meghatározására szolgáló Leverrier-Faddeeva algoritmust.

Megoldás:

ss

s a s a

nn

n nn

I AAA

E E−( ) =

( )( ) =

+ ++ + +

−−

−1 1

1

11

adjdet

...

...

Átrendezés után

s a s a s sn nn

nn+ + +( ) −( ) = + +− − −

11 1

11... ...I A E E

Tovább rendezve

s a s a s sn nn

nnI I I I A E E+ + + = −( ) + +( )− −

11

11... ...

s a s a s s En nn

n nn n nI I I E E A E AE AE+ + + = + −( ) + + − −− −

− −11

11

2 1 1 1... ... ( )

Az együtthatók összehasonlításából:

E I1 =E AE I2 1 1− = a ⇒ E AE I2 1 1= + aE AE In n na− =− −1 1

⇒ E AE In n na= +− −1 1AE In na=

Felhasználva, hogy aii i=

− { }1tr AE a következô rekurzív algoritmus konstruálható:

i = 1E I1 =

Cycle _ :iC AEi i=

aii i=

− { }1tr AE

E C Ii i ia+ = +1

if i n<( ) goto Cycle _ i

26

4. Feladat:

Egy P se

s s

s

( ) =+ +

−0 1

2 5 6

.

átviteli függvényû folytonos folyamatot merev visszacsatolás mellett egy

C z( ) soros mintavételes [azaz impulzusátviteli függvénnyel adott] kompenzátorral, nulladrendû

tartószerv közbeiktatásával szabályozunk.(a) Ts = 0 05. másodperces mintavételi idô mellett adja meg a kisfrekvenciás közelítés Tuschák-

módszerével tervezett PID szabályozó átviteli függvényét úgy, hogy egységugrás alakú alapjel

esetén a beavatkozójel kezdeti értéke u 0 10[ ] = legyen.

(b) Adja meg (továbbra is egységugrás alakú alapjel esetén) a beavatkozójel értékét a k=0,1 és 2mintavételi idôpillanatokban.

Segítség: egy 1

1+ sT átviteli függvényû folytonos szakasz nulladrendû tartószervvel együttesen

vett impulzusátviteli függvénye 1−

−

−

−e

z e

T T

T T

s

s, ahol Ts a mintavételezési idô.

Megoldás:

a/ Mivel a holtidô és a mintavételezési idô hányadosa 2, így

P z z zs s s

z zs s s s

ze

z ez

e

z e

T

T

T

( ) = −( )+ +( )

= −( ) +( ) −

+( )

=

= ⋅ ⋅−−

− ⋅ ⋅−−

− − − −

−−

−−

−

2 12

2 1

20 5

0 52

0 33

11

5 61

12

13

12

1 13

1

Z Z

s

s

s.

.

.

−−−

−

=−

−−

=

= ⋅+( )

−( ) −( )

T zz z

z z

z z

s 0 332

2

0 04760 9048

0 04640 8607

0 00120 92

0 9048 0 8607

.

.

.

.

.

..

. .

A szabályozó:

C z Kz

z

z

z( ) = ⋅

−−

⋅−0 9048

10 8607. .

A szabályozó bemenete a hibajel, kimenete a beavatkozó jel:

C zU z

E zK

z

z

z

zK

z z

z z( ) =

( )( ) = ⋅

−−

⋅−

= ⋅− +

−( )0 9048

10 8607 1 7655 0 7788

1

2. . . .

avagy az idôtartományban:

u k u k K e k K e k K e k[ ] = −[ ] + [ ] − −[ ] + −[ ]1 1 7655 1 0 7788 2. .

Az u 0 10[ ] = feltételbôl K = 10

b/ A holtidô miatt e e e0 1 2 1[ ] = [ ] = [ ] = , így u 0 10[ ] =u 1 10 10 17 655 2 345[ ] = + − =. .u 2 2 345 10 17 655 7 788 2 478[ ] = + − + =. . . .

27

5. Feladat:

Tekintsünk egy folytonos kettôs integrátort: P ss

( ) =12 .

(a) Az x y1 = , x x2 1= ˙ állapotváltozók bevezetésével írja fel P s( ) állapotteres modelljét.

b/ Határozza meg azt a k T = [ ]k k1 2 erôsítési vektort, amelyen keresztüli negatív

állapotvisszacsatolással a zárt rendszer természetes frekvenciája ωo = 4 , csillapítása pedig

ξ = 0 5. lesz.

(c) Ts mintavételezési idô és nulladrendû tartószerv feltételezésével származtassa [vezesse le] az

a/ pontban kapott folytonos állapotteres modell diszkretizált alakját.

(d) Egy kdT

d d= [ ]k k1 2 erôsítési vektoron keresztül negatívan visszacsatoljuk a (c) pontban

kapott állapotteres modellt. Írja fel a zárt rendszer karakterisztikus egyenletét.

Megoldás:

(a) Az x y1 = , x x1 2= , x u2 = egyenletekbôl felírható az állapotmodell:

˙

˙

x

xu

x

xu1

2

1

2

0 1

0 0

0

1

= + =

+

Ax b

yx

x= = [ ]

c xT 1 0 1

2

(b) A zárt kör karakterisztikus egyenlete:

s

s

k s ks k s k s s sI A bk− + =

−+

= + + = + + = ( )To o

12

1 2

22 1

2 2ξω ω R

ahonnan

k12 16= =ωo illetve k2 2 4= =ξωo .

(c) A diszkretizált modell:

x A x bk k u k+[ ] = [ ] + [ ]1 d d

y k k d u k[ ] = [ ] + [ ]c xdT

d

ahol

A Ad

s= e T b bAd

s

d= ⋅∫ eT

η η0

c cdT = d dd =

28

e ss

ss s

s

ttA I A= −( ){ } =−

=

=

− − −

−−

L L L1 1 1

11 21

0

1 1

01

1

0 1 ⇒ Ad

s=

1

0 1

T

b bAd s

s

s

s

s

s

d= ⋅ =

⋅

=

∫ e T

T

T

T

T

Tη η

0

2 2

20

0

1 2

(d) A zárt rendszer karakterisztikus egyenlete:

Rd d d dT d

ss d

s

d d s

ds

d s ds

d s d s

z z z kT

T kT

k T z k T

z z kT

k T kT

k T k T T

s

( ) = − + = − + − +

− +=

= + + −

+ −

−( ) +

I A b k 12 2

1

22

21 1

1

2

2

2

2 2

21

2

2 1

2

2 2 ss ds−

k

T2

2

2

29

6. Feladat:

Tekintsünk egy merev visszacsatolású zárt szabályozási rendszert, amelyben a felnyitott kör

átviteli fügvénye L ss

s s( ) =

++ +

α2 3 2

. Vázolja fel a zárt kör pólusainak elhelyezkedését 0 < < ∞α

függvényében. Milyen α értéknél lép ki a gyökhelygörbe a valós tengelybôl?

Megoldás:


1 13 2

02+ ( ) = ++

+ +=L s

s

s s

α

s s s2 3 2 0+ + + + =α

amelyet átalakítva

14 2

02++ +

=α

s s

Látható, hogy az ′( ) =+ +

L ss s

α2 4 2

felnyitott kör az eretetivel azonos zárt karakterisztikus

egyenletet ad. A gyökhelygörbe az s s2 4 2 0+ + = egyenlet p1 2 2 2, = − ± gyökeibôl indul és az

α = 2 értéknél lép ki a valós tengelybôl, ekkor ugyanis a zárt kör karakterisztikus egyenlete:

s s s s s2 2 24 2 4 4 2+ + + = + + = +( )α

α > 2 esetén a gyökök komplex konjugáltak lesznek.

30

7. Feladat:

Egy zárt szabályozási kör felnyitott körének átviteli függvénye L sK

se sT( ) = − d . Határozza meg a

fázistartalék értékét K és Td függvényében.

Megoldás:

A L jωc( ) = 1 feltételbôl ωc = K , innen

arg c c d dL j T KTωπ

ωπ( ){ } = − − = − −

2 2

és a fázistartalék

ϕ π ω ππ

ωπ

t c c d darg= + ( ){ } = − − = −L j T K T2 2

31


Feladatok - MegoldásokIV.



32

1. Feladat:

A P ss

( ) =+4

1 2 átviteli függvényû folytonos szakaszt mereven visszacsatolva mintavételesen

szabályozzuk zárt körben. Azt tapasztaljuk, hogy a zárt szabályozási kör a stabilitáshatárhelyzetében van. Határozza meg a mintavételezési idôt.

Megoldás:

Egy K

sT1+ átviteli függvényû folytonos szakasz nulladrendû tartószervvel együttesen vett

impulzusátviteli függvénye Ke

z e

T T

T T

1−−

−

−

s

s, ahol Ts a mintavételezési idô. A megadott szakaszra így

G ze

z e

T

T( ) =−−

−

−41 2

2

s

s


1 1 41

02

2+ ( ) = +−−

=−

−G ze

z e

Ts

sT ⇒ z e eT T− + −( ) =− −s s2 24 1 0

ahonnan

z e T= − + −4 5 2s

A stabilitás határhelyzetében z = −1, így

5 32e T− =s ⇒ e T− =s 2 3 5 ⇒ − = = −Ts ln 2

0 6 0 5108. . ⇒ Ts sec= 1 0217.

33

2. Feladat:

Az e

s

s− átviteli függvényû tag az u t t( ) = ( )4sin oω szinuszos bemenôjelre állandósult állapotban

120°-os fáziskésleltetéssel ad választ. Határozza meg ωo értékét és írja fel a kimenôjel

állandósult állapotbeli értékét analitikus formában.

Megoldás:

Az adott szakasz frekvenciafüggvényee

j

j− ω

ω, így a fáziskésleltetése tetszôleges körfrekvencián

− −

πω

2. Az a körfrekvencia, ahol a fáziskésés 120°

− −

= −π

ωπ

223o ⇒ ω

π π πo = − =

23 2 6

Ezen a körfrekvencián a frekvenciafüggvény amplitúdó komponense 1 6

ω πo= , ahonnan a

kimenôjel állandósult értéke:

y t t t∞( ) = −

= −

46

623

246

23π

π ππ

π πsin sin

34

3. Feladat:

Egy lineáris rendszer állapotegyenleteinek megoldása egységugrás alakú bemenôjel esetén akövetkezô:

x t e t1 10( ) = − , t > 0

x t e t2

25 2( ) = +− , t > 0

x t e t3

320( ) = − , t > 0

x t e t4

42 4( ) = +− , t > 0

y t x t x t( ) = ( ) + ( )2 4 esetén írja fel a rendszer átviteli függvényét, valamint az állapotváltozók

kezdeti értékét.

Megoldás:

Az átviteli függvény a rendszer irányítható és megfigyelhetô alrendszerét reprezentálja, így

x t e et t2

2 22 1 7( ) = −( ) +− − és x t e et t4

4 44 1 6( ) = −( ) +− − következtében az átviteli függvény

H ss s

( ) =+

++

42

164

továbbá x1 0 10( ) = , x2 0 7( ) = , x3 0 20( ) = és x4 0 6( ) = .

35

4. Feladat:

Tekintsünk egy folytonos harmonikus oszcillátort, mint szabályozott szakaszt, amelynek átviteli

függvénye P ss

( ) =+

ω

ωp

p

2

2 2 . Ehhez a folytonos szakaszhoz egy két-szabadságfokú mintavételes

szabályozót tervezünk. A tervezéshez tudjuk, hogy Ts mintavételi idô mellett a harmonikus

oszcillátornak a nulladrendû tartószervvel együttesen képzett impulzusátviteli függvénye

G zz

z z( ) =

−( ) +( )− +

1 1

2 12δ

δ , ahol δ ω= ( )cos p sT .

Határozza meg a követni kívánt referencia modellt úgy, hogy egységugrás alakú alapjel esetén azárt rendszer lengésmentes véges beállási idejû legyen. Írja fel a szabályozót meghatározóDiophantoszi egyenletet [az egyenletet nem kell megoldania, de az egyenlet alapján fel kell írni aszabályozóparaméterek vektorának kifejezését].

Megoldás:

Az egységugrás alakú alapjel feltételébôl a zárt rendszer átviteli függvénye

Y z

R zz zk( )

( ) = ( )− −B

ahol

B− ( ) = +z z0 5 0 5. . és k = + =−1 21δ BA szabályozótervezés terminológiája szerint a modell polinomok:

Br− ( ) =z 1 illetve Ar z z( ) = 2

A keresett Diophantoszi egyenlet:

z a z a z r z s z s z s z21 2

21 2

20 5 0 5+ +( ) +( ) + +( ) + +( ) =. . o

ahol

A z z a z a z z( ) = + + = − +21 2

2 2 1δAz együtthatók összehasonlításával:

z3: 1 0 5+ . so

z2 : r a s s+ + + =1 10 5 0 5 1. .o

z1: a r a s s1 2 20 5 0 5 0+ + + =. .1

z0: a r s2 20 5 0+ =.ahonnan

36

s

s

s

r

a

a

a

a

o

1

2

=

−−−

−0 5 0 0 0

0 5 0 5 0 1

0 0 5 0 5

0 0 0 5

1

1

01

2

1

1

2

.

. .

. .

.

37

5. Feladat:

Egy P ss s

( ) =+ +

1

5 62 átviteli függvényû folytonos folyamatot merev visszacsatolás mellett egy

C s( ) soros folytonos kompenzátorral szabályozunk.

(a) Az x y1 = , x x2 1= ˙ állapotváltozók bevezetésével írja fel a megadott P s( ) folytonos

folyamat állapotteres modelljét, majd határozza meg annak a C s Ks

sT( ) =

++

31

szabályozónak a K

és T paraméterét, amely a szakasz állapotteres modelljének a kT = [ ]42 9 erôsítési vektoron

keresztüli negatív állapotvisszacsatolásával ekvivalens karakterisztikus egyenletet biztosítja a zártkörre.

(b) Vázolja fel az (a) pontban kapott C s( ) szabályozó mellett a rendszer gyökhelygörbéjét.

(c) T = 0 2. sec esetén határozza meg K azon értékét, amely mellett a zárt rendszer egységugrásalapjelre adott válaszában 15%-os túllendülés lesz megfigyelhetô. Határozza meg továbbá, hogymekkora lesz ebben az esetben a statikus hiba értéke.(d) Adja meg K > 0 maximális értékét, amely mellett a zárt kör stabilis marad.

Megoldás:a/

H sY s

U s s s( ) =

( )( ) =

+ +1

5 62 ⇒ U s

s ss Y s

( )+ +

= ( ) = ( )2 5 6ς

ahonnan

s s U s s s s2 5 6ς ς ς( ) = ( ) − ( ) − ( )vagy az idôtartományban:

˙ ˙x x u t x x1 2 2 15 6= = ( ) − −Az állapotteres modell:

˙

˙

x

xu

x

xu t1

2

1

2

0 1

6 5

0

1

= + =

− −

+

( )Ax b

yx

x= [ ]

1 0 1

2

A visszacsatolás figyelembe vételéhez

bk T =

[ ] =

[ ] =

0

1

0

142 9

0 0

42 91 2k k


ss

ss sI A bk− + =

−+

= + +T 1

48 1414 482

38

A szabályozó és a szakasz átviteli függvényébôl a felnyitott kör átviteli függvénye:

C s P s Ks

sT s s

K

sT s( ) ( ) =

++ +( ) +( ) =

+( ) +( )3

11

2 3 1 2

ahonnan a zárt kör átviteli függvénye:

1 11 2

12 1 2

02+ ( ) ( ) = ++( ) +( ) = +

+ +( ) +=C s P s

K

sT s

K

Ts T s

⇒

Ts T s K2 2 1 2 0+ +( ) + + = ⇒ sT

Ts

K

T2 2 1 2

0++

++

=

Az együtthatók összehasonlításából:

2 114

T

T

+= illetve

248

+=

K

Tahonnan

T =1

12 és K = 2

(b) L s C s P sK

sT s ss

( ) = ( ) ( ) =+( ) +( ) =

+

+( )1 22

112

2

(c) A zárt kör átviteli függvénye T = 0 2. sec esetén

T sC s P s

C s P s

K

s sK

s s

K

s s K

K

s s K( ) =

( ) ( )+ ( ) ( ) = +( ) +( )

++( ) +( )

=+ + +

=+ + +1

1 0 2 2

11 0 2 2

0 2 1 4 2

5

7 10 52 2.

.. .

ahonnan

2 7ξωo = és ωo2 = +10 5K

A megadott túllendülésbôl a csillapítás kiszámítható:

0 15 1 2

. =−

−e

ξπ

ξ ⇒ − = −

−1 8971

1 2.

ξπ

ξ ⇒ 1 2 74232 2− =ξ ξ. ⇒ ξ = 0 5169.

39

Visszahelyettesítve a 2 7ξωo = és ωo2 = +10 5K egyenletekbe

ωξo = =

⋅=

72

72 0 5169

6 7711.

. és K =−

=ωo

2 105

7 1697.

A statikus hiba értéke:

12

0 2181−+

=K

K.

(d) Minden K > 0 értékre stabil.

40

6. Feladat:

Tekintsünk egy folytonos, A b c, , ,T d{ } négyessel definiált állapotteres rendszert u bemenettel, x

állapotvektorral és y kimenettel.

(a) Ismertesse az állapotvisszacsatolás Ackermann-féle összefüggését és alkalmazhatóságának feltételét.(b) Negatív visszacsatolást feltételezve számítsa ki az állapotvisszacsatolás erôsítési vektorát, ha

A =−

0 1

4 0 b =

0

1

és a visszacsatolással a zárt rendszer pólusait a p1 1= − és p2 2= − pozícióba kívánjuk

áthelyezni.(c) Feltételezve, hogy az állapotváltozók nem állnak rendelkezésre a visszacsatolás

realizálásához, mutassa meg, hogyan választandók egy ˆ ˆx F x g h= + +y u lineáris

becslôhálózat dimenziói és paraméterei azzal a feltétellel, hogy a becslôhálózat (másnéven

megfigyelô) F s( ) karakterisztikus polinomja adott.

Megoldás:

(a) Az állapotvisszacsatolás erôsítése:

k M ATc= [ ] ( )−0 0 0 1 1K R

ahol

M b Ab A bc = [ ]−K n 1 az irányíthatósági mátrix R s( ) a zárt kör karakterisztikus egyenlete

R A A A I( ) = + + +−n nnα α1

1 ... mátrix polinom. A rendszernek irányíthatónak kell lennie

( Mc ≠ 0).

(b) Jelen esetben

R s s p s p s s( ) = −( ) −( ) = + +1 22 3 2 ⇒ R A A A I( ) = + + +−n n

nα α11 ... ⇒

R( )A A A I= + + =−− −

2 3 2

2 3

12 2

M b Abc = [ ] =

0 1

1 0 ⇒ Mc

− =

1 0 1

1 0

k M ATc= [ ] ( ) = [ ]

−− −

= −[ ]−0 1 0 1

0 1

1 0

2 3

12 22 31R

41

(c) A becslés hibájára felírható a következô differenciálegyenlet:

˜ ˙ ˆ ˆ ˆ

˜

x x x Ax b F x g h Ax b F x g h F x F x

F x b h A F gc x

= − = + − − − = + − − − + − =

= + −( ) + − −( )u y u u y u

u T

x → 00 ⇒ F A gc= − T és h b= , ekkor ˜ ˜x F x=

Az állapotmegfigyelô karakterisztikus egyenlete:

F s s s( ) = − = − +I F I A gcT

ahonnan az Ackermann formula ismételt alkalmazásával:

g

c

c A

c A

c A

AT

T

T

T

T

T= [ ]

( )0 0 0 12

3

... F

42


Feladatok - MegoldásokV.



43

1. Feladat:

A P se

s

s

( ) =+

−2

1 átviteli függvényû folytonos szakaszt mereven visszacsatolva mintavételesen

szabályozzuk zárt körben. Ts = 1 sec mintavételezési idô és egységugrás alakú alapjel esetén

határozza meg azt a soros C z( ) szabályozót, amely véges beállást biztosít:

(a) Minimális beállási idôvel a mintavételezési pontok közötti hullámosság megengedésével(b) Minimális beállási idôvel a mintavételezési pontok közötti hullámosság kizárásával.

Segítség: Egy K

sT1+ átviteli függvényû folytonos szakasz nulladrendû tartószervvel együttesen

vett impulzusátviteli függvénye Ke

z e

T T

T T

1−−

−

−

s

s, továbbá egy

K

s átviteli függvényû integrátor

nulladrendû tartószervvel együttesen vett impulzusátviteli függvénye K T

zs

−1 , ahol Ts a

mintavételezési idô.

Megoldás:

(a) Határozzuk meg elôször G z( ) értékét. Annak érdekében, hogy a fent megadott összefüggéseket

alkalmazni tudjuk, bontsuk részlettörtekre P s( ) holtidô mentes részét:

′( ) =+( )

= + −+

P ss s s s

11

1 11

′( ) = −( ) ′

=−

− −−

=−

− −−

= +− +

−−

−G z zP s

s z

e

z e z z

z

z z1

11

1 11

1 0 36790 3679

0 3679 0 2642

1 3679 0 36791

1

1 2Z( ) .

.

. .

. .

A holtidô figyelembevételével

G z z G zz

z z z( ) = ′( ) = +

− +−2

4 3 20 3679 0 2642

1 3679 0 3679

. .

. .Mivel ′( )P s nem stabil, így a stabilis folyamatokra levezetett összefüggések közvetlenül nem

alkalmazhatók, viszont a zárt rendszer átviteli függvényére felírható, hogy

T zC z G z

C z G zz( ) =

( ) ( )+ ( ) ( ) = −

13

ahonnan C z( ) kifejezhetô:

C zz z z

z z z

z z z

z z

z z z

z z z

( ) =−( ) −( )

−( ) +( )=

−( ) −( )−( ) +( )

=

=−( ) −( )

+ +( ) +( )

−

− −

3

3 2

2

3

2

2

1 0 3679

1 0 3679 0 7183

1 0 3679

0 3679 1 0 7183

1 0 3679

0 3679 1 0 7183

.

. .

.

. .

.

. .

Látható, hogy a felnyitott körnek a hibamentes beálláshoz szükséges integrátorát most a szakasz, ésnem a szabályozó tartalmazza.

44

A fenti szabályozó alkalmazásával egységugrás alakú alapjel esetén a kimenôjel

mintavett értékei Y z z R z( ) = ( )−3 szerint:

y 0 0[ ] = y 1 0[ ] = y 2 0[ ] = y 3 1[ ] = y 4 1[ ] = y 5 1[ ] = ...

(b) G z( )-nek egyetlen zérusa van: z1 0 7183= − . . A mintavételezési pontok közötti hullámosság

elkerülésére ezt a zérust hagynunk kell megjelenni a zárt kör átviteli függvényében:

T zC z G z

C z G zz z( ) =

( ) ( )+ ( ) ( ) = ( )− −

14B

ahol

B− ( ) =

++

= +zz

z0 7183

1 0 71830 582 0 418

.

.. .

innen

C zz z z z

z z z

z z z

z z z z( ) =

+( ) −( ) −( )− −( ) +( )

=+( ) −( )

+ + +( ) +( )2

4

2

3 2

0 582 0 418 1 0 3679

0 3679 0 582 0 418 0 7183

0 582 0 418 0 3679

0 3679 0 418 0 7183

. . .

. . . .

. . .

. . .

A fenti szabályozó alkalmazásával egységugrás alakú alapjel esetén a kimenôjel

mintavett értékei Y z z z R z( ) = ( ) ( )− −B 4 szerint:

y 0 0[ ] = y 1 0[ ] = y 2 0[ ] = y 3 0 582[ ] = . y 4 1[ ] = y 5 1[ ] = ...

45

2. Feladat:

Tekintsünk egy soros RL áramkört, ahol az ellenállás áramfüggô: R R I k I= ( ) = 2 , ennek

következtében a rendszer nemlineáris. Írja fel [vezesse le] a rendszer Io munkapontban linearizált

differenciálegyenletét és átviteli függvényét.

Megoldás:

A soros áramkör huroktörvénye:

U L I R I L I k I= + = +˙ ˙ 3

ahol U a feszültségforrás feszültsége.A nemlineáris differenciálegyenletet

˙ ,IL

Uk

LI f U I= − = ( )1 3

alakra hozva, majd bevezetve a munkaponttól való eltéréseket:i I I= − o és u U U= − o

Behelyettesítve a nemlineáris differenciálegyenletbe és az f U I,( ) függvényt a munkapontban

elsôrendûen közelítve:

˙ ˙ ,I i f U If

Ii

f

Uu

I Uo o o

o o

+ ≡ ( ) + +∂∂

∂∂

Mivel Io = 0 és f U Io o,( ) = 0, így a munkaponti linearizált modell

i ai bu= +ahol

af

I

k

LI

I

= =−∂

∂o

o23 és b

f

U LU

= =∂∂

o

1, azaz i

k

LI i

Lu=

−+

3 1o2

A munkapontban linearizált rendszer átviteli függvényének meghatározásához vegyük adifferenciálegyenlet Laplace transzformáltját:

si sk

LI i s

Lu s( ) =

− ( ) + ( )3 1o2

ahonnan

i s

u sL

sk

LI L s kI

kIL

kIs

( )( ) =

+=

+=

+

1

31

3

1

3

13

o2 o

2o2

o2

szerint az egytárolós jelleg jól látható, valamint az a lényeges következtetés is levonható, hogy alinearizált rendszer átviteli függvénye munkapontfüggô, statikus átvitele és idôállandója egyarántfügg az Io munkaponti értéktôl:

46

i s

u skI

L

kIs

A I

sT I

( )( ) =

+= ( )

+ ( )

1

3

13

1o2

o2

o

o, ahol A I

kIo

o2( ) =

1

3illetve T I

L

kIo

o2( ) =

3.

feladatmegoldÁsi gyakorlatokgaul/tszhonlap_public/szabtech/feladmegold.pdf · karakterisztikus...

Documents