fakulta stavebnÍ Ústav betonovÝch a zdĚnÝch ... · 32 % epoxidové pryskyřice. délka lamely...

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRN Ě

FAKULTA STAVEBNÍ

ÚSTAV BETONOVÝCH A ZD ĚNÝCH KONSTRUKCÍ

DIPLOMOVÁ PRÁCE

Brno, červen 1998 Ivana Šustalová

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRN Ě FAKULTA STAVEBNÍ

Ústav betonových a zděných konstrukcí

NÁVRH ZESÍLENÍ ŽELEZOBETONOVÉHO

TRÁMU POMOCÍ EXTERNÍ LEPENÉ VÝZTUŽE

Vypracovala: Ivana Šustalová

Konzultant: Doc. RNDr. Ing. P.Štěpánek, CSc.

Brno, červen 1998

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Prohlášení

Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala samostatně s použitím literatury

uvedené v přiloženém seznamu.

V Brně dne 12.6.1998 Ivana Šustalová

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Poděkování

Děkuji Doc.RNDr.ing. P.Štěpánkovi, CSc. za velmi užitečnou metodickou a

odbornou pomoc, kterou mi poskytl jako konzultant mé diplomové práce.

V Brně dne 12.6.1998 Ivana Šustalová

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

OBSAH

A. ZESILOVÁNÍ STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ POMOCÍ CFK LAMEL

Specializace z pozemního stavitelství................................................................................................................6

Úvod.........................................................................................................................................................................7

1. Vlastnosti CFK lamel ............................................................................................................. 8

1.1. Výroba lamel .................................................................................................................... 8

1.2. Fyzikálně mechanické vlastnosti lamel............................................................................ 8

1.2.1. Fyzikálně mechanické vlastnosti vláken.................................................................... 9

1.2.2. Fyzikálně mechanické vlastnosti ............................................................................... 9

1.3. Srovnání CFK lamel a ocelových pásků......................................................................... 10

1.4. Vlastnosti epoxidového lepidla...................................................................................... 11

2. Lepení lamel ......................................................................................................................... 13

2.1. Příprava podkladu .......................................................................................................... 13

2.2. Vlastní lepení ................................................................................................................. 15

2.3. Schema postupu lepení................................................................................................... 16

3. Případy pro zesilování .......................................................................................................... 17

3.1. Zvýšení zatížení.............................................................................................................. 17

3.2. Poškození nosných prvků............................................................................................... 17

3.3. Zlepšení užitných vlastností........................................................................................... 17

3.4. Změna statického systému .............................................................................................18

3.5. Chyby při projektování nebo provádění......................................................................... 18

4. Důvody pro použití CFK lamel ............................................................................................ 19

5. Zesílené konstrukce ............................................................................................................. 20

5.1. Zesílení stropní konstrukce ve fakultní dětské nemocnici v Brně Černých polích [3] .. 21

B. ALGORITMUS NÁVRHU ZESÍLENÍ CFK LAMELAMI ........................................................................23

1. Cíl.......................................................................................................................................................................24

2.a. Úvod................................................................................................................................................................24

2.b. Popis chování prvku........................................................................................................................................25

3. Metodika výpočtu...............................................................................................................................................28

3.1. MS únosnosti...............................................................................................................................................28

3.1.1. Předpjatá lamela - namáhání N, M ......................................................................................................30

3.1.2. Předpjatá lamela - namáhání M ..........................................................................................................32

3.1.3. Nepředpjatá lamela - namáhání N, M ..................................................................................................36

3.1.4. Nepředpjatá lamela - namáhání M......................................................................................................36

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

3.1.5. Namáhání Q.........................................................................................................................................39

3.1.6. Posouzení kotevní oblasti ....................................................................................................................43

3.1.7. Delaminace ..........................................................................................................................................46

3.2. MS použitelnosti .........................................................................................................................................49

3.2.1. MS vzniku trhlin ..................................................................................................................................49

3.2.2. MS šířky trhlin.....................................................................................................................................56

3.2.3. MS přetvoření ......................................................................................................................................60

C. VÝPOČET ZESÍLENÍ STROPNÍ KONSTRUKCE ..................................................... 66

1.Technická zpráva..............................................................................................................................................67

2. Statický výpočet ..............................................................................................................................................68

D. SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOL Ů..........................................................................................................101

LITERATURA A STUDIJNÍ PRAMENY ........................................................................ 107

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební

A. ZESILOVÁNÍ STAVEBNÍCH KONSTRUKCÍ POMOCÍ CFK LAMEL

Diplomová práce

Specializace z pozemního stavitelství

Vypracovala : Ivana Šustalová Kontroloval : ing. Šmoldas Brno, červen 1998

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce Specializace z pozemního stavitelství

- 7 -

ÚVOD

V současné době velmi často dochází ke změnám v užívání stavebních konstrukcí, a tím

mnohdy i ke zvyšování užitného zatížení. Také koroze oceli a rozrušování betonu, způsobené

agresivitou prostředí, snižuje spolehlivost konstrukce. Z těchto důvodů je potřeba některé

stavby rekonstruovat, aby byly schopny nové zatížení přenést. Rekonstrukce staveb lze

provádět různě, jedním z možných způsobů je zesilování pomocí lamel.

První pokusy se zesilováním pomocí lamel byly provedeny v Anglii v roce 1949.

Lamely byly vyráběny z ropy. Tato technologie byla prodána do Japonska, kde ji dodnes

používají.

Od roku 1969 se používají lamely ocelové. Mají však mnoho nevýhod, mezi něž patří

koroze, velká hmotnost, nutnost podpůrného zařízení při lepení lamely zespodu zesilované

konstrukce.

V roce 1990 začala firma SIKA se zkoušením nového zesilovacího systému SIKA

CARBODUR. Jedná se o zesilování pomocí lamel z uhlíkových vláken přilepované

pryskyřicovým dvousložkovým lepidlem. Díky snadné technologii provádění se tato

technologie zesilování velmi rychle rozšířila.

V této práci bych chtěla ukázat přednosti uhlíkových lamel, možnosti jejich použití,

případy. kdy je jejich použití výhodné a přiblížit technologii zesilování pomocí CFK lamel

( Carbon Faser Kunstoff ).

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 8 -

1. VLASTNOSTI CFK LAMEL

1.1. VÝROBA LAMEL

Lamely jsou vyráběny z uhlíkových vláken, která jsou namotána na cívkách. Průměr

vlákna je 5/1000 mm, a je tedy pouhým okem neviditelné. Vlákna jsou impregnována

v pryskyřicové lázni a tažena silou asi 80 kN a následně tvarována lisováním. Potom se

lamely nechají ztuhnout a zakalit v peci. Výsledný materiál má vynikající fyzikálně

mechanické vlastnosti ( viz 1.2 ).

Lamela obsahuje asi 68 % vláken, což je asi 1,2 miliónu vláken v lamele 50 / 1,2 mm, a

32 % epoxidové pryskyřice. Délka lamely je prakticky neomezená, zpravidla jsou však lamely

dodávány v délce 240 m. Jsou smotány do cívek a dodávány v dřevěných krabicích.

Lamely se vyrábějí v šířkách 50, 80 a 120 mm a v tloušťkách 1,2 a 1,4 mm.

1.2. FYZIKÁLNĚ MECHANICKÉ VLASTNOSTI LAMEL

CFK lamely mají velmi vysokou pevnost v tahu, v dosahu až 3000 MPa ve směru

vláken. Jejich prakticky nulová pevnost v tahu kolmo k vláknům není závažná pro požadavky

zesilování. V případě příčného zatížení vznikne

v lamele podélná trhlina, která však nemá vliv

na podélnou pevnost lamely v tahu. Pokud je

potřeba přenášet velká zatížení v příčných

směrech, je možno bez problémů lamely křížit.

Lamely mají lineárně pružné chování, a

proto u nich nedochází k tečení (viz obr. 1).

Modul pružnosti lamely je :

• u lamely SIKA CarboDur S ............ E = 155 GPa

• u lamely SIKA CarboDur M........... E = 210 GPa

• u lamely SIKA CarboDur H ........... E = 300 GPa

Mnoho požadavků, takových jako oslabení betonové desky vyřezanými otvory, vyžaduje

přilepení lamel křížem. Díky malé tloušťce je to jednoduché ( viz odstavec 2.2 ).

Obr. 1

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 9 -

1.2.1. FYZIKÁLN Ě MECHANICKÉ VLASTNOSTI VLÁKEN

Výrobky z vláken vykazují ve směru vláken velmi vysokou pevnost a tuhost stejně jako

vynikající odolnost proti únavě. Jejich objemová hmotnost je velmi malá. Jednosměrné lamely

( všechna vlákna probíhají ve směru délky lamely ) však vykazují jen nízkou pevnost ve

smyku a téměř nulovou pevnost v tahu kolmo ke směru vláken.

Chování lamely ve směru vláken je určeno především mechanickými vlastnostmi

zesilujících vláken. Pro zesilovací práce se nejčastěji užívají uhlíková vlákna ( C-vlákna )

T300 a T700S. Jejich fyzikálně-mechnické vlastnosti jsou uvedeny v tab.1. Tato tabulka je

převzata z výsledků zkoušek provedených v laboratořích EMPA [1].

Vlákna Průměr

dF [µm]

Pevnost v tahu

σuF [MPa]

EF||[MPa] Přetvoření

εF [%]

Hustota

ρF [g/cm3]

T300 7-8 3´530 230´000 1,5 1,76

T700S 7-8 4´900 230´000 2,1 1,80

Kevlar 29 12 2´900 60´000 3,6 1,44

Tab.1

C-vlákna vykazují kolmo k podélnému směru značně rozdílné vlastnosti, což je

způsobeno strukturou vlákna. Cena lamely se řídí především podle typu vlákna a podle

množství vláken v lamele.

V tabulce jsou pro srovnání uvedena vlákna Kevlar 29. Tato vlákna jsou organická,

vyráběna chemickým procesem. Jsou mnohem odolnější při mechanickém namáhání než

vlákna uhlíková, je nutné je však chránit před UV-zářením.

1.2.2. FYZIKÁLN Ě MECHANICKÉ VLASTNOSTI PRYSKY ŘICE

Pryskyřicová matrice musí zajistit přenos zatížení mezi jednotlivými uhlíkovými vlákny

a zároveň musí umožnit vytvoření stálého tvaru průřezu. Používají se především termosety

jako nenasycené polyesterové pryskyřice a epoxidové pryskyřice, již několik let však také

plasty jako polyethylketon PEEK.

Pryskyřice není odolná proti UV záření, a proto nesmí být lamela vystavena slunečnímu

záření. Většinou je však lamela schována v omítce, a tím je dostatečně chráněna. V ostatních

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 10 -

případech musí být lamela opatřena ochranným nátěrem.

V tab. 2 jsou uvedeny fyzikálně-mechanické vlastnosti nejpoužívanějších

pryskyřicových matric, které jsou převzaty z protokolu o výsledcích zkoušek v laboratořích

EMPA [1]. V této literatuře však nejsou uvedeny podmínky, při jakých zkoušky proběhly. U

hodnoty pro nasákavost značí d dny.

Typ matrice Typ I Typ II Typ III

Označení 2088 EP-Harz 828

Härter JPD

Araldit LY 564

Härter HY 2954

EP 251 (Ems-Chemie/

CIBA-GEIGY)

Tuhá báze Amin Amin Anhydrid

Sklovatění TG [°C] 90-110 130-178 110

Hustota ρM [g/cm3] 1,15-1,20 1,05-1,14 1,23

Pevnost σuM [MPa] 65-85 74-80 85

Přetvoření εuM [%] - 5,0-6,6 4

EM [MPa] 3000-3600 2600-2700 3300

Poissonovo č. υ[−] - 0,35 0,35

α [10-6/K] - 70-75 68

Nasákavost - 0,20%/10d (23°C) 0,35%/10d (23°C)

Tab. 2

1.3. SROVNÁNÍ CFK LAMEL A OCELOVÝCH PÁSKŮ

Před používáním uhlíkových lamel se zesilování stavebních konstrukcí provádělo

pomocí ocelových pásků. Tento způsob zesilování však měl několik nevýhod, jako například

náchylnost oceli ke korozi a tím nutnost opatřit pásky ochranným protikorozním nátěrem;

díky velké hmotnosti oceli pásek ihned po nalepení nedrží adhezí, a proto je nutno pásek

k zesilované konstrukci přitlačit pomocí podpůrné konstrukce.

K nevýhodám také patří omezená výrobní délka a především manipulační délka, což se

projeví především u mostních konstrukcí, kde je nutno ocelové pásky obtížně nastavovat.

Křížení ocelových lamel je oproti uhlíkovým velmi složité kvůli velké tloušťce ocelového

pásku.

Veškeré výhody a nevýhody CFK lamel a ocelových lamel jsou shrnuty do tab. 3.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 11 -

Kriteria CFK lamely Ocelové lamely

Vlastní hmotnost Nízká Vysoká

Pevnost v tahu Velmi vysoká Vysoká

Celková tloušťka Velmi nízká Nízká

Koroze Žádná Ano

Délka lamely Jakákoli Limitována

Manipulace Snadná, pružná Obtížná, tuhá

Zatížení, nosnost Pouze v podélném směru V jakémkoli směru

Křížení lamel Jednoduché Složité

Odolnost proti únavě Výborná Dostatečná

Materiálové náklady Vysoké Nízké

Instalační náklady Nízké Vysoké

Požadavky na montáž Bez výstroje Se zvedacím a podpůrným

zařízením

Tab.3

1.4. VLASTNOSTI EPOXIDOVÉHO LEPIDLA

V tab. 4 jsou uvedeny mechanicko-fyzikální vlastnosti epoxidového lepidla. Tato

tabulka je převzata z protokolu o provedených zkouškách v laboratořích EMPA [1].

Typ lepidla Typ A Typ B

Označení Scotch-Weld 9323 B/A Sikadur 30 Typ 02

Hmotnostní poměr 100 : 27 3 : 1

Barva červená - oranžová světle šedá

Teplota zpracování 20 °C - 25 °C 15 °C - 35 °C

Doba zpracovatelnosti 120 minut min. 40 minut (35°C)

Vytvrzení 120 min./ 65°C

2-7 N/cm2 tlak

80 hodin./ 15°C

15 hodin./ 35°C

Měrná hmotnost ρK 1,13 g/cm3 1,77 g/cm3

Smyková pevnost 40 N/mm2 při 24°C 18 N/mm2 při 15°C

Koeficient roztažnosti - 0,9 10-6/°C

Modul pružnosti E - 12´800 N/mm2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 12 -

Tab.4

Oba uvedené druhy lepidla jsou dvousložkové epoxidové pryskyřice. Obě složky se

musí před použitím lepidla dokonale smíchat ručně nebo strojně v homogenní hmotu. Kvalita

smíchané směsi se denně kontroluje na vzorcích

odebraných z první a poslední várky. Na kvalitě

smíchání je závislá pevnost spoje beton - lamela.

Jednotlivé zkoušky jsou popsány v literatuře [1].

Lepidlo umožňuje rovnoměrné přenášení

napětí po celé kontaktní ploše, proto nedochází k

špičkám napětí jako v bodech spojení šroubových

spojů. Mezi povrchem podkladu a lepidlem

nedochází k chemické reakci, lepícího účinku je

dosaženo molekulární přitažlivostí (adhezí) a

případně mechanickým kotvením (viz obr. 2).

Pevnost této přitažlivosti závisí na typu

molekul a jejich vzájemné vzdálenosti. Špína,

prach, oleje a tuhé tuky zhoršují vzájemnou přitažlivost molekul. Proto se klade velmi velký

důraz na přípravu podkladní plochy.

Zdrsnění povrchu tzv. mechanické kotvení zlepšuje soudržnost mezi lepidlem a

spojenými částmi a zvyšuje měrné povrchové plochy a tím i celkové spojení povrchu.

Ke spojení CFK lamel s betonem, cihlami, ocelí nebo dřevem jsou zejména vhodná

dvousložková epoxidová lepidla, například Sikadur -30. Tento typ lepidla má vysokou

mechanickou pevnost a dobrou chemickou odolnost proti agresivním prostředkům.

Pro těžký provoz lepených konstrukcí jsou velmi

důležité následující charakteristiky:

• dobrá odolnost proti vlhkosti a alkáliím

• silná přilnavost spojovaných částí

• silná soudržnost

• malá náchylnost k dotvarování lamely od stálého

zatížení

Pokud lepidlo tuhne při teplotě prostředí 35°C,

dosahuje vyšších konečných pevností a tvrdne rychleji

než při teplotě prostředí 15°C. Lepení se doporučuje

Obr. 2

Obr. 3

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 13 -

při teplotách 10-35° C.

Při teplotách prostředí kolem 0°C ( provádění v zimním období ) je třeba při lepení dát

pozor na bod tání, protože voda způsobí, že lepidlo dobře nepřilne. Pokud je povrch betonu

zmrzlý, lepení se vůbec nedoporučuje.

Urychlení tvrdnutí lepidla lze provést zavedením elektrického proudu do lamely. Tím

dojde k zahřátí lamely i lepidla na asi 80°C. Obr.4 ukazuje závislost pevnosti epoxidu

na změně teploty. Z obrázku je zřejmé, že při postupném zahřívání dochází k poklesu pevnosti

až na 5% původní hodnoty při teplotě

70°C. Pokud po dosažení této teplotní

hranice budeme ochlazovat, pevnost se

vrátí na původní hodnotu. Je-li tato

teplotní hranice překročena, je ztráta

pevnosti trvalá. Při teplotě 110°C

dochází k přeměně epoxidu ve sklo a

při teplotě 200°C k úplnému rozpadu. Obr. 4

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 14 -

2. LEPENÍ CFK LAMEL

2.1. PŘÍPRAVA PODKLADU

Cílem přípravy podkladu je tedy vytvoření optimálních podmínek pro přilnavost lepidla

mezi spojovanými částmi. Očištěním plochy podkladu odstraňujeme stávající cizí hmoty jako

špína, prach, oleje a tuky. Tvarově stálý a pevný podklad je podmínkou dobrého spojení

existujících konstrukcí. Zesílení většinou požadujeme u starších konstrukcí, a je proto velmi

důležité objevit a odstranit možné existující více rozrušené části, případně výkvěty.

Přilnavost hrubozrnného kameniva je obecně lepší než u zatvrdlého cementového tmelu,

proto je třeba hrubozrnné kamenivo odhalit tak, aby zůstalo zapuštěno do cementového tmelu.

Tohoto lze dosáhnout různými metodami. Nejpoužívanějšími metodami jsou pískování nebo

otryskání vodou a pískem. Pískování vytváří optimální střední zrnitost 0,5 - 1,0 mm.

Dalšími metodami jsou pemrlování, plošný obrus diamantovým kotoučem, vysokotlaké

vodní tryskání nebo případně otloukání kladivem ( malé plochy ). Vzniklé výčnělky, třísky

dřevěného bednění, hmoždinky aj. musí být odstraněny.

Těsně před nanesením lepidla je třeba zkontrolovat čistotu podkladu, očistit povrch

štětcem a vysát zbylý prach, a také je třeba ověřit rovnost podkladu kovovou lištou. Nerovnost

povrchu na 2 m nesmí překročit 10 mm, případně 2,2 mm na 50 cm. Rozsáhlé vady a nerovné

plochy musí být prve upraveny a vyhlazeny epoxidovou pryskyřičnou maltou. Tato operace

musí být provedena jeden den před započetím lepicích prací, aby uplynulo dost času

pro vlastní ztuhnutí a ztvrdnutí vysprávkové epoxidové malty.

Pevnost v tahu podkladu je vymezena testem přídržnosti kovového terčíku, průměrná

hodnota pevnosti je 2 N/mm2, žádná hodnota by neměla být menší než 1,5 N/mm2.

Nutno je také měřit vlhkost podkladu, která by neměla přesáhnout 4%. Jestliže rozdíl

teplot prostředí a rosného bodu je menší než +3°C → tprostředí - trosný bod ≤ 3°C, má být

podklad zahříván a nebo má být zmenšena relativní vlhkost vzduchu. Při nedodržení této

podmínky může dojít ke vzniku vrstvy zkondenzované páry, která poruší soudržnost.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 15 -

2.2. VLASTNÍ LEPENÍ

Lamely jsou dodávány s jednou stranou hladkou a druhou zdrsněnou - je na ní odstraněn

epoxidový film. Zdrsněná plocha je znečištěna prachem z uhlíkových vláken, a proto musí být

před nanesením lepidla otírána bílou tkaninou napuštěnou ředidlem tak dlouho, dokud

nezůstane čistá. Dvousložkové epoxidové lepidlo je na lamelu nanášeno rovnoměrně po celé

délce v tloušťce okolo 2 mm a srovnáno do tvaru lichoběžníka.

Na betonový podklad je lepidlo nanášeno ocelovým hladítkem. Lamela se jemně přitlačí

k povrchu rukou. Rovnoměrné přitlačení k povrchu betonového podkladu a vytlačení

nadbytečného lepidla se provede za pomoci gumového válečku ( viz obr. 5 ).

Nadbytečné lepidlo, které se vytlačilo bokem, se odstraní ocelovou stěrkou. Lamela se

očistí a je připravena k dalším úpravám jako je opětovné zakrytí omítkou. Díky malé tloušťce

lamely není problém lamely skrýt pod omítkou a uvést tak konstrukci do původního stavu

bez viditelné známky rekonstrukce objektu ( viz obr. 6 ).

U dodatečně vyřezaných otvorů do železobetonové desky je

požadavek křížení lamel. Postup lepicích prací je naprosto stejný,

druhá lamela má pouze větší vrstvu lepidla = 2 mm lepidla první

lamely + tloušťka lamely 1,2 mm + druhá vrstva lepidla 2 mm

(viz obr. 7 ).

Obr. 5

Obr. 6

Obr. 7

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 16 -

2.3. SCHEMA POSTUPU LEPENÍ

Očištění lamely Sika CarboDur čistícím prostředkem Colma

Příprava betonového podkladu pevnosti > 1,5 N/mm2

Je-li potřeba, reprofilace betonu Sikadur -30

Míchání lepidla Sikadur -30

Je-li potřeba, reprofilace betonu Sikadur -30

Nanesení lepidla Sikadur -30

Kontrola kvality lepidla Sikadur -30

Nalepení lamel Sika Carbodur na beton a přitlačení pomocí gumových válečků

Odstranění přebytečného lepidla Sikadur -30

Vytvrzení lepidla Sikadur -30

Očištění CFK lamely

Kontrola dutých míst

Je-li potřebné, překrytí maltou nebo nátěrem

D

iplom

ová p

ráce

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 17 -

3. PŘÍPADY PRO POUŽITÍ ZESILOVÁNÍ

3.1. ZVÝŠENÍ ZATÍŽENÍ

V současné době dochází poměrně často ke změně majitele stavebního objektu a tím

i ke změnám požadavků na užívání. Většinou jde o požadavek zvýšení užitného zatížení,

na velikost, která není přípustná s ohledem na stávající výztuž, která byla navržena podle

statického výpočtu.

Díky velkému rozvoji dopravy jsou starší mostní konstrukce zcela nevyhovující, a to

jak z hlediska únosnosti, tak i z hlediska dynamických účinků.

S rozvojem průmyslu se zlepšuje technologie, která s sebou však přináší požadavek

zabudování těžších strojních zařízení. Staré výrobní haly však nejsou schopny zvýšené

zatížení přenést, a proto je nutno stropní konstrukce zesílit.

3.2. POŠKOZENÍ NOSNÝCH PRVKŮ

Vlivem zvýšené agresivity prostředí dochází k rychlejšímu stárnutí stavebních

materiálů a k rozrušování krycí vrstvy výztuže. Díky tomu výztuž koroduje a přestává tak

plnit statickou funkci. Stavební konstrukce tak ztrácí svou únosnost, která je předepsána

statickým výpočtem.

K poškozování stavebních konstrukcí, a tím ke ztrátě únosnosti a spolehlivosti

konstrukce, může také dojít nárazem vozidla, havárií nebo požárem.

3.3. ZLEPŠENÍ UŽITNÝCH VLASTNOSTÍ

Jedním z požadavků na konstrukci může být snížení deformací. Velké průhyby

stropních konstrukcí mohou mít za následek neustálé poruchy technologických zařízení.

I přes různá protikorozní opatření dochází ke korozi výztuže a tím k oslabení plochy

prutu, která přenáší tahová napětí. Zesílením stavební konstrukce docílíme redukce napětí

ve výztuži a ke zvýšení únosnosti.

Při zatížení železobetonových prvků dochází ke vzniku trhlin. Trhlinou pak proniká

vlhkost k výztuži a způsobuje korozi výztuže. Proto vzniká požadavek zmenšení šířky trhlin .

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 18 -

3.4. ZMĚNA STATICKÉHO SYSTÉMU

Z důvodů zvětšení užitného prostoru stavebního objektu - vytvoření volných

obchodních nebo skladových prostor - je mnohdy potřeba vybourat nosné prvky - sloupy nebo

nosné stěny ( snížení počtu podpěr ).

Ve starých i nových stavebních objektech je někdy nutno vyřezat nové otvory v

železobetonových deskách z důvodů instalace výtahů nebo osazení nového schodiště,

případně požárního schodiště, případně klimatizace.

3.5. CHYBY PŘI PROJEKTOVÁNÍ NEBO PROVÁDĚ NÍ

Při špatném statickém výpočtu může dojít k poddimenzování průřezu. Nedostatečná

velikost průřezu nebo malé množství navržené výztuže způsobí, že stavební konstrukce

nepřenese zatížení, jaké je v požadavcích uživatele objektu. Z tohoto důvodu je nutno průřez

zvětšit, například zesílením.

Malá konstrukční výška může znesnadnit, nebo v některých případech znemožnit

užívání stavebního objektu. Tím vzniká požadavek stavební úpravy, která může zasáhnout

do statického systému konstrukce.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 19 -

4. DŮVODY PRO POUŽITÍ CFK LAMEL

Závěrem můžeme shrnout veškeré klady použití uhlíkových lamel.

Při použití současných technologických metod zesilování například nadbetonováním,

dochází vlivem zesílení ke zvětšení tloušťky stropní konstrukce a tím k redukci užitné výšky

konstrukce. Při aplikaci CFK lamel k redukci nedochází, a pokud ano, je pouze minimální.

Na rozdíl od zesilování pomocí železobetonu je doba zhotovení zkrácena na tři dny,

v případě nutnosti lze tuto dobu zminimalizovat na tři hodiny - u stavebních konstrukcí

bez vyloučení provozu, u mostů.

Použití uvedených lamel se nabízí i jako velmi hospodárné řešení při lepení v

omezených prostorách jako jsou kotelny, strojovny. Tím, že jsou lamely velmi flexibilní,

nemusí docházet k odstraňování stávajících technologických celků. Lze se vyhnout i bourání

příček, lamela se jednoduše protáhne otvorem vysekaným ve zdivu u stropu.

Uhlíkové lamely jsou vyráběny prakticky v libovolných délkách, což odstraňuje

nevýhodu ocelové lamely - obtížné nastavování jednotlivých dílů k získání velké délky.

Tohoto lze s velkou výhodou využít především u mostních konstrukcí.

Pro svou malou tloušťku je doslova

unikátním řešením pro záchranu různých

památkových objektů i veřejných

místností. I v případě, že je nutno lamely

přes sebe křížit, lze tyto nerovnosti

snadno překrýt omítkou nebo nátěrem a

jejich fyzikální vlastnosti dovolují i

přilepení obkladových materiálů.

Jako velmi zajímavý příklad je možno uvést rekonstrukci dřevěného kazetového stropu.

Do trámů byla vyfrézována z boku drážka a do ní zasunuta a přilepena CFK lamela. Pro

zalepení byla použita pryskyřice v okrové barvě (viz obr. 8 ). Při zběžném pohledu na dřevěný

strop není tento zásah patrný, pouze při podrobnějším pohledu je možno vidět na bocích

trámů tenké linie odlišnějšího odstínu. [4]

Obr. 8

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 20 -

5. ZESÍLENÉ KONSTRUKCE

V současné době je touto metodou zesílena již řada konstrukcí na celém světě. V roce

1996 byl systém použit například na těchto objektech :

Most Oberriet-Meiningen ( hranice Rakousko-Švýcarsko ), zesilování spodní strany

mostovky, 670 m CFK lamel

Most Niederwartha ( Drážďany, Německo ), zvýšení únosnosti, 250 m CFK lamel

Shopping Center Coop City ( Winterthur, Švýcarsko ), rekonstrukce - eskalátory, výtahy,

1500 m CFK lamel, cca 320 křížení

Lodžie obytných domů ( Magdeburg, Německo ), zesílení, 1 140 m CFK lamel

( Chemnitz, Německo ), zesílení, 13 500 m CFK lamel

Občanská budova ( Miláno, Itálie ), zesílení nosníků pod nově zřízenou knihovnou, 100 m

CFK lamel

Škola Yarborough ( Lincoln, Anglie ), zesilování stupňů schodiště, 80 m CFK lamel

Kostel St. Rupert ( Stuttgart, Německo ), sanace zesilování prefabrikovaných překladů, 1 000

m CFK lamel

Nemocnice King College ( Londýn, Anglie ), zesilování stropních trámů, 1 300 m CFK lamel

Čokoládovna ( Budapešť ), zesilování stropů, 44 m CFK lamel

Také v České republice byla již tato metoda použita a je připraveno několik dalších

projektů.V roce 1996 a 1997 byl realizován systém Sika Carbodur :

Fakultní dětská nemocnice ( Brno, viz ), zesilování železobetonového skeletu pod novým

tomografem, 30 m CFK lamel ( Unistav a.s., JaPe Projekt )

Výrobní hala AMP ( Kuřim ), zesílení dodatečně prořezaných otvorů pro klimatizaci, 20 m

CFK lamel ( Vojenské Stavby Brno a.s., Stavoconsult )

Ústav sociální péče ( Brno-Chrlice ), zesilování podesty schodiště při rekonstrukci, 5m CFK

lamel ( Vadas s.r.o., JaPe Projekt s.r.o.)

Objekt Občanské vybavenosti ( Rokytnice nad Jizerou ),zesílení stropní desky okolo nově

prořezených otvorů pro výtah a kruhové schodiště

Shopping Centrum ( Hatě u Znojma ), zachycení zvětšených momentů poloprefabrikované

stropní desky ( prefabrikát filigránové desky tl. 60 mm se spřaženou nadbetonávkou na

celkovou tloušťku stropu 250 mm )

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 21 -

5.1. ZESÍLENÍ STROPNÍ KONSTRUKCE VE FAKULTNÍ DĚTSKÉ NEMOCNICI V BRNĚ -ČERNÝCH POLÍCH [[[[3]]]]

Objekt postavený v letech 1948 - 1952 se skládá ze dvou různě vysokých částí : z části

vyšší s operačními sály a ambulancemi a části nižší, ve které došlo k zesílení, s původním

ředitelstvím a rentgenovým pracovištěm. Předmětná část je samostatným dilatačním celkem se

dvěma podzemními a dvěma nadzemními podlažími. V půdoryse má prakticky tvar obdélníku

o rozměrech asi 44,2 x 28,9 m. Uprostřed dispozice je mezi přízemím a patrem vnitřní

dvoupodlažní hala o půdorysných rozměrech 11,7 x 7,75 m.

Objekt je řešen jako monolitický železobetonový skelet s průvlakovým roštem

obráceným do vrstev podlahy v obou ortogonálních směrech a rovným spodním lícem.

Průvlaky jsou tvaru obráceného písmene T, stropní desky jsou u spodního líce průvlaků v

modulech po 6,4 m v obou směrech. V příčném směru je objekt čtyřtrakt, v podélném směru

je celkem sedm polí. Konstrukční výška v přízemí a patře je 3,7 m. Průvlakový stropní rošt

má v obou směrech průřez asi 1,0 x 0,4 m s křížem armovanou deskou tloušťky od 140 mm

do 160 mm při jeho spodním líci. Tato deska je v jednom směru poddimenzována a ve

druhém převyztužena pomocí zabudovaných trubek topného systému Critall. Monolitické

železobetonové sloupy jsou buď kruhové ( průměru 600 mm, resp. 450 mm ), nebo pravoúhlé

( průřezu 0,6x0,6 m, resp. 0,45 x 0,45 m ).

V místě původní radioskopie v patře bylo nutné umístit radiodefektoskopickou kliniku

s angiografem a počítačovým tomografem pro vyšetřování dětských pacientů. Tímto

způsobem vzniklé přitížení řešil projekt odstraněním stávajících těžkých podlah nad

obrácenou konstrukcí stropního roštu a jejich nahrazením podlahami lehčími. Projekt rovněž

navrhoval odstranění stávajících cihelných příček tl. 150 mm z dvoudutinových příčkovek a

jejich nahrazení novými ze sádrokartonu. Tyto příčky jsou lehčí a méně citlivé na přetvoření

stropní konstrukce. Bylo však nutné řešit problém stínění proti záření od přístrojů - mezi dvě

sádrokartonové desky při obou lících příčky a do skladby podlah bylo proto navrženo vložit

olověný plech.

Tento způsob sice zajistil celkové odlehčení stávající stropní konstrukce nad přízemím

tak, že bylo možné vyměnit a rozšířit stávající přístrojové vybavení radiodiagnostické kliniky,

ale v místě počítačového tomografu získaná rezerva v zatížení nepostačovala ( počítačový

tomograf se skládá ze stolu pacienta o hmotnosti 500 kg, stacionární jednotky 1750 kg a

počítačové jednotky 500 kg ). Zařízení se umístilo nad příčný průvlak a zároveň se provedl

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 22 -

radiografický průzkum vyztužení stávajících průvlaků. Výztuž byla zjišťována u příčného

průvlaku pod tomografem uprostřed jeho délky zespodu, v místě napojení do podélného

průvlaku shora a stejným způsobem také u podélného průvlaku. V místě křížení průvlaků není

tento průvlak podepřen sloupem a navíc je spodní - podporující - sloup odsunut osově oproti

sloupu v předmětném podlaží.

Kvalita ( pevnost ) betonu se zjišťovala nedestruktivními metodami ( Schmidtův

tvrdoměr ) a úpravou korekčním součinitelem podle pevností dosažených na jádrových

odvrtech. Zjišťovala se také povrchová přídržnost na očištěném a upraveném betonu. Bylo

zjištěno, že beton prakticky odpovídá betonu třídy B20 podle dnešní klasifikace, ale jeho

povrchová přídržnost je poměrně malá ( při spodním povrchu těsně pod 1,0 MPa ). Přepočtem

předmětné části konstrukce bylo zjištěno, že je nutné zesílit příčný průvlak pod tomografem a

podporující podélný průvlak. Protože je část stropní konstrukce ( celý podélný průvlak a asi

dvě třetiny příčného ) situována v podjezdu pro sanitní vozy pod průčelím objektu a tím

vystavena venkovnímu prostředí, byly pro zesílení obou průvlaků zvoleny CFK lamely, které

není nutné korozně chránit. Malá tloušťka lamel umožnila jejich bezproblémové křížení.

Zároveň bylo možné je lehce schovat do původní tloušťky venkovní omítky podjezdu.

Vzhledem k materiálové bázi ( uhlíkové vlákno ) nehrozí ani poškození opravené omítky

kondenzací případných vodních par, protože teplota povrchu lamel je vždy vyšší než teplota

povrchu sousedního betonu. Jako podstatná výhoda se jeví i nízká hmotnost lamel,

umožňující poměrně snadnou manipulaci. Hlavně však nebylo nutné lamely plošně přitlačovat

po dobu tvrdnutí epoxidového lepidla ( lamela se po řádném osazení udrží adhezí lepidla ).

Pro úplnost ještě dodejme, že ani výrobcem požadovaná povrchová přídržnost k betonu vyšší

než 1,5 MPa nebyla nepřekonatelným, bylo ovšem nutné speciálně posoudit napětí v

povrchových vrstvách betonu na soudržnost s koncem lamely ( kotevní délka lamely za

místem částečného využití přilepené lamely ).

Toto zesílení bylo realizováno počátkem října 1996 jako první v České republice.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební

B. ALGORITMUS ZESÍLENÍ CFK LAMELAMI

Diplomová práce

Vypracovala : Ivana Šustalová Kontroloval : Brno, červen 1998

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce Cíl

- 24 -

1. Cíl

V současné době neexistuje algoritmus výpočtu průřezů zesílených pomocí externí

lepené výztuže podle metodiky vycházející z ČSN 73 1201-86.

Návrh a posouzení takových konstrukcí se provádí podle švýcarských ( SIA ) a nebo

německých ( DIN ) předpisů. Algoritmus posouzení je ověřen zkouškami, které byly

provedeny v letech 1991 - 1992 ve švýcarských laboratořích EMPA ( Eidgenössische

Materialprüfungs- und Forschungsanhalt ).

Cílem této práce je vytvořit postup návrhu a posouzení průřezů zesílených pomocí

externí lepené výztuže podle metodiky vycházející z ČSN 73 1201-86.

Tento algoritmus by měl být ověřen zkouškami v laboratořích.

2.a. Úvod

Při zesilování externí lepenou výztuží můžeme využít dvě technologie zesílení :

* zesílení předepjatou lamelou,

* zesílení nepředepjatou lamelou.

K aktivizaci předepjaté lamely dochází ihned po uvolnění z čelistí přepínacího zařízení.

Lamela má tendenci vrátit se do původního stavu a tím vnáší do prvku napětí. Předepnutá

lamela má však jednu nevýhodu - předpětím jí bylo vnuceno počáteční přetvoření, kterým je

snížena velikost přetvoření od zatížení na konstrukci ( viz kap. 2.b. ). Předpjatá lamela tak

dosáhne mezního stavu dříve než nepředpjatá.

K aktivizaci nepředepjaté lamely dochází až po zvýšení zatížení na konstrukci. Aby

k aktivizaci vůbec došlo, provádí se před vlastním lepení různé úpravy - snížení zatížení

stálého odstraněním podlah, případně vybourání příček nebo přemístění technologických

zařízení. Tak dojde k odlehčení konstrukce a zmenšení přetvoření od dlouhodobého zatížení.

Po nalepení lamely se konstrukce uvede do původního stavu ( provedení podlah, ... ) - je

znovu zatížena, zvětší se přetvoření krajních vláken - lamela je aktivizována.

Při zesilování konstrukcí externí lepenou výztuží se prozatím využívá pouze lamel

nepředepnutých, protože ještě nebyla dopracována technologie předpínání přímo na staveništi.

Předpínání bylo prozatím odzkoušeno v laboratořích EMPA.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce Popis chování prvku

- 25 -

2.b. Popis chování prvku

Při navrhování zesílení konstrukce pomocí CFK lamel musíme brát v úvahu tři možné

fáze působení železobetonového prvku ve vztahu k jeho zatížení. Každé z nich má

bezprostřední vliv na rozdělení napětí a poměrného přetvoření po výšce průřezu. V konečném

stavu všechny fáze superponujeme.

1. Fáze působení železobetonového prvku před nalepením lamely

Před vlastním nalepením lamely je železobetonový prvek zatížen vlastní tíhou a vnějším

zatížením, které se snažíme minimalizovat například odstraněním podlah. Vlivem stávajícího

zatížení je do konstrukce vneseno počáteční přetvoření εo. Průběh poměrného přetvoření

po výšce průřezu je patrný z obr. b.1.

V případě, že je lamela nalepena již

v průběhu výroby prvku (zkoušení trámců

v laboratořích EMPA), je počáteční poměrné

přetvoření rovno nule.

Poměrné přetvoření horních tlačených vláken

je

ε εbo

do x

h x= − ⋅

−, ( b.1 )

kde x je výška tlačené oblasti,

h výška průřezu,

εdo poměrné přetvoření dolních tažených vláken.

Při namáhání N , M musí platit podmínky rovnováhy

Nd = Nbc + Nsc + Nst ( b.2 )

Md = Nbc . ( zb - zs2 ) + Nsc

. zs1 + Nst . zs2 ( b.3 )

Z těchto podmínek můžeme vypočítat výšku tlačené oblasti a poměrná přetvoření

jednotlivých vláken.

ε

ε

Obr. b.1

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 26 -

2. Fáze působení po přilepení lamely - zatížení vyvozené předpětím

Při současných technických podmínkách se předpínání provádí pouze na zkušebních

trámcích v laboratořích. Pro technickou praxi je prozatím nepoužitelné.

Před nalepením se do lamely vnese pomocí předpínacího zařízení předpětí. Po

zatvrdnutí lepidla se čelisti uvolní a lamela má snahu vrátit se do původního stavu - dojde ke

ztrátě předpětí pružným přetvořením. Tím vnese do železobetonového průřezu napětí od

předpínání.

Postup výpočtu poměrných přetvoření je v souladu s navrhováním předpjatých

konstrukcí podle ČSN 73 1201-86. Podrobný postup výpočtu je uveden v kapitole 3.1.1.

V případě, že lamelu před aplikací na konstrukci nepředepínáme, je poměrné přetvoření

od předpětí rovno nule.

3. Fáze po nalepení lamely - zatížení užitné a nahodilé

V této fázi působení prvku -

po zesílení - je konstrukce zatížena

veškerým stálým (jsou provedeny

podlahy ) i nahodilým zatížením.

|Při výpočtu poměrného

přetvoření jednotlivých vláken

musíme superponovat veškeré

učinky vyvozené v předchozích

fázích. V případě, že byl prvek předepnut, postupujeme podle návrhu předpjatých konstrukcí v

souladu s normou ČSN 73 1201-86. Pokud nebyl předpínán, provádí se výpočet podle návrhu

betonových konstrukcí ČSN 73 1201-86. Podobný postup řešení je uveden v kapitole 3.1.1.

V závislosti na přetvoření konstrukce vlivem vnějších účinků zatížení uvažujeme

při posuzování tři možná stadia působení prvku :

I. stadium - před vznikem trhlin

II. stadium - částečně porušený průřez

III . stadium - zcela porušený průřez

ε

∆ε

∆ε

∆εε

∆∆

∆∆

σ

Obr. b.2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 27 -

I. stadium - před vznikem trhlin

V prvku ještě nedošlo ke vzniku trhlin, všechny materiály se nachází v lineární oblasti,

beton v tahu působí - tzn. že započítáváme celý průřez. Napětí σbt v krajním taženém vlákně

ideálního průřezu je nejvýše rovno hodnotě γb1 Rbtn , napětí σbc v krajním tlačeném vlákně

ideálního průřezu nepřesáhne hodnotu 0,6γbz Rbn.

Poměrné přetvoření nejvíce tažených vláken nesmí přesáhnout hodnotu

εγ

btb btn

b

R

E=

⋅1 , ( b.4 )

kde γb1 Rbtn je maximální napětí nejvíce tažených betonových vláken,

Eb modul pružnosti betonu.

Poměrné přetvoření nejvíce tlačených vláken nesmí přesáhnout hodnotu

εγ

bc0,6

=⋅ ⋅bz bn

b

R

E , ( b.5 )

kde 0,6γbz Rbn je maximální napětí v nejvíce tlačených vláknech betonového průřezu.

II. stadium - částečně porušený průřez

V prvku vznikly trhliny a beton v potrhané části již v tahu nepůsobí. Se zvyšujícím se

zatížením konstrukce dochází k prohlubování trhlin. Toto stadium končí, když trhlina dosáhne

k tlačené oblasti.

III. stadium - zcela porušený průřez

Tlačený beton se nachází v nelineární oblasti působení, v tahu je zcela vyloučen. Vznik

trhlin je dokončen, trhliny se neprohlubují, ale pouze zvětšují svou šířku.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce MS únosnosti

- 28 -

3. Metodika výpočtu

3.1. MS únosnosti - metoda mezních přetvoření

Předpoklady výpočtu:

* výpočtová zatížení se uvažují extrémními hodnotami v základní a mimořádné

kombinaci zatížení,

* základní předpínací síla se uvažuje extrémní hodnotou,

* pevnosti materiálů se uvažují výpočtovými hodnotami,

* jsou známy pracovní diagramy betonu a oceli (dle ČSN 73 1201-86) a lamel,

* poměrná přetvoření jednotlivých vláken jsou přímo úměrná jejich vzdálenosti

od neutrálné osy průřezu - Bernoulli-Navierova hypotéza zachování rovinnosti průřezů,

* namáhání se stanoví na základě výpočtových pracovních diagramů viz

obrázek 1.1, beton v tahu nepůsobí,

* poměrná přetvoření nejvíce namáhaných vláken jednotlivých materiálů dosahují alespoň

v jednom z nich výpočtové hodnoty mezního poměrného přetvoření - dle ČSN 73 1201-86

v tlačeném betonu a v tlačené

výztuži je výpočtové poměrné

přetvoření ε = - 0,0025,

v tažené oceli se ε = 0,01 a

v tažené lamele je dáno podle

typu lamely - typ 1 má ε =

0,0127, pro typ 2 je ε =

0,0162.

Velikost poměrného

přetvoření je závislá na

chování prvku před a po

nalepení lamely ( kap. 2.b. ).

Konečná velikost přetvoření je

výsledek superpozice všech

stavů - počáteční přetvoření

od stálého zatížení, počáteční

přetvoření od předpětí.

ε

ε

ε

εε

εε

ε

ε

ε

Obr. 1.1

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 29 -

Na obr. 1.1 jsou znázorněny pracovní diagramy všech materiálů. V pracovním diagramu

uhlíkových lamel ukazuje přímka (1) průběh přetvoření v závislosti na napětí lamely typu 1:

RL = 1525 MPa, EL = 120,1 GPa,

přímka (2) je lamela typu 2:

RL = 2100 MPa, EL = 130 GPa.

K dosažení meze únosnosti může dojít těmito způsoby :

1. přetržení lamely, tečení výztuže, beton není drcen,

2. přetržení lamely, ocel v oblasti pružné, beton není drcen,

3. přetržení lamely po přetržení oceli, beton není drcen,

4. přetržení lamely, tečení výztuže a zároveň drcení betonu,

5. drcení betonu a tečení výztuže, lamela neporušena,

6. drcení betonu ,ocel v oblasti pružné, lamela neporušena,

7. drcení betonu po přetržení oceli, lamela neporušena

Při výpočtu uvažujeme :

* součinitele podmínek působení γb = 1,0, γs = 1,0, γp = 1,0, jestliže při

dimenzování ŽB a předpjatých prvků se uplatní pouze základní vlivy.

* nepříznivý vliv záporných odchylek průřezů a nepřesnosti uložení výztuže

je vyjádřen součinitelem

geometrie γu.

Při dosažení meze

únosnosti se průřez nachází

v jednom ze čtyř stavů ( obr. 1.2

):

1 celý průřez tažen, mezní

poměrné přetvoření oceli

je εs,

2 poměrné přetvoření oceli je εs, poměrné přetvoření betonu má hodnotu od 0 do εbd,

3 poměrné přetvoření betonu je rovno εbd , poměrné přetvoření oceli má hodnotu od εs do 0,

4 celý průřez je tlačen, mezní poměrné přetvoření je rovno εbd.

ε

εObr. 1.2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 30 -

3.1.1. Předpjatá lamela, namáhání normálovou silou a ohybovým momentem

Podle obr. 11.1 se uvažují tyto síly působící na průřez :

- Md ohybový moment od extrémního zatížení stanovený k těžišti betonového průřezu,

- Nd normálová síla od extrémního zatížení stanovená k těžišti betonového průřezu,

- P normálová složka extrémní hodnoty základní předpínací síly, která vzhledem k těžišti

betonového průřezu působí s výstředností epd.

Základní předpínací síla je považována za jeden z účinků vnějšího zatížení a sečítá se

tedy s ostatními účinky zatížení. Pro průřez namáhaný N, M bude ed,TOT výsledné normálové

síly od vnějšího zatížení (Nd, P ) vztažené k těžišti betonového průřezu

eN e P e

N Pd TOT

d d Pd

d, = ⋅ + ⋅

+ ( 11.1 )

Při namáhání N, M musí být splněny podmínky spolehlivosti:

N N Pu d≥ + , ( 11.2 )

Mu ≥ Md + P . ePd . ( 11.3 )

U předpjaté lamely nesmíme zapomenout, že při předpínání bylo do lamely vneseno

počáteční přetvoření εLo ( viz kapitola 2b ), které ovlivní velikost maximálního poměrného

přetvoření od vnějšího zatížení. Poloha neutrálné osy

(viz obr. 11.2) se určí z průběhu poměrných přetvoření

po výšce průřezu postupnou iterací, přičemž limitní

průběh poměrného přetvoření po výšce průřezu je

x=hbd eL

bd L

εε ε

⋅ −

, ( 11.3 )

kde heL je vzdálenost těžiště lamely k tlačenému

okraji betonového průřezu,

εL výpočtové poměrné přetvoření lamely,

εbd výpočtové poměrné přetvoření betonu

Obr. 11.1

ε

ε

Obr. 11.2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 31 -

Postup výpočtu :

Nejprve je nutno určit počáteční napjatost a přetvoření průřezu před zesílením od

vnějšího zatížení, z podmínek rovnováhy

Nbo + Nsto = Ndo, ( 11.4 )

Mdo = Nsto . ( h - ast -

1

3x ), ( 11.5 )

kde Nbo je síla v betonu na nezesíleném průřezu,

Nsto síla ve výztuži na nezesíleném průřezu,

Ndo normálová síla působící na nezesílený průřez,

Mdo ohybový moment na nezesíleném průřezu.

Z podobnosti trojúhelníků můžeme vyjádřit poměrná přetvoření

− =−

ε εbo do

x h x, ( 11.6 )

a dosazením pom. přetvoření do rovnic rovnováhy určit polohu neutrálné osy před zesílením.

Při předpínání se lamela protahuje a její počáteční poměrné přetvoření lze vyjádřit:

εLoL L

P

A E=

⋅, ( 11.7 )

kde P je základní předpínací síla v lamele.

Mezní přetvoření lamely od zatížení je tedy rovno ∆εL = εL - εLo .

Přetvoření po výšce průřezu probíhá lineárně a tedy napětí ve výztuži - ocelové i

uhlíkové je závislé na přetvoření je vhodné při konkrétním řešení postupovat iterací. Napětí se

vypočte z pracovních diagramů a z poměrných přetvoření.

Z podmínek rovnováhy, kdy vnější zatížení položíme rovno normálové síle na mezi

únosnosti

( )P N N N Nu u bc L st= = ⋅ − −γ ∆ ∆ . ( 11.8 )

a momentu na mezi únosnosti,

( )M P e M N z N z N zd Pd u u bc bg L L st s+ ⋅ = = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅γ ∆ ∆ . ( 11.9 )

je cílem nalezení takové polohy neutrálné osy x, při které bude splněna podmínka

rovnováhy normálových sil ( 11.8 ). Po jejím nalezení se pak únosnost průřezu určí z rovnice

( 11.9 ). Při výpočtu polohy neutrálné ose je vhodné dodržovat tento iterační postup:

1. odhad polohy neutrálné osy x1,

při prvním odhadu x je vhodné vycházet z limitního přetvoření průřezu, tzn. že v

krajních tlačených vláknech betonu je dosaženo mezní stlačení εbd = - 0,0025 a současně

v tažené uhlíkové lamele je celkové protažení rovno mezní hodnotě předepsané podle

druhu lamely. Zároveň je nutné překontrolovat poměrné přetvoření ocelové výztuže

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 32 -

( )( ) ( )ε ε εso

e

eLL do

h x

h x=

−−

⋅ + ≤ 0 01, . ( 11.10 )

2. stanovení tlakové síly v betonu pro polohu neutrálné osy odhadnutou v kroku 1,

Nbc = γb . Abc

. Rbd . ( 11.11 )

3. z přetvoření průřezu se stanoví přetvoření všech vrstev výztuže ( ocelové a uhlíkové ) a

jejich odpovídající přírůstky napětí ∆σ ,

4. celkový přírůstek předpínací síly v lamele je

∆ ∆σN AL L L= ⋅ . ( 11.12 )

5. celkový přírůstek v betonářské výztuži

∆Nst = Ast . ∆σst . ( 11.13 )

6. přezkoušení rovnováhy normálných sil ( 11.8 )

( )P N N N Nu u bc L st= = ⋅ − −?

γ ∆ ∆ . ( 11.14 )

Pokud není rovnice ( 11.14 ) splněna, je nutno postup opakovat s novou, vhodnější

volbou polohy neutrálné osy. Změny výšky lze dosáhnout dvěma způsoby - zmenšení

poměrného přetvoření tažené lamely nebo zmenšení přetvoření tlačeného betonu.

Pokud je rovnice ( 11.14 ) splněna s jistou přesností, pak moment únosnosti na mezi

porušení lze vyčíslit z rovnice ( 11.9 ) a podmínka spolehlivosti tedy musí pro průřez platit

M P e Md Pd u+ ⋅ ≤ . ( 11.15 )

3.1.2. Předepjatá lamela, namáhání ohybovým momentem

Postup výpočtu je shodný s bodem 3.1.1., pouze v podmínkách spolehlivosti je

normálová síla od vnějšího zatížení rovna nule.

Opět se vyjde ze vztahu rovnosti sil

( )P N N Nu u bc L= = ⋅ −γ ∆ . ( 12.1 )

Po nalezení polohy neutrálné osy iterační metodou je moment na mezi porušení

ohybovým momentem dán rovnicí

( )M P e M N z N zd Pd u u bc bg L L+ ⋅ = = ⋅ ⋅ + ⋅γ ∆ . ( 12.2 )

Obr. 12.1

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 33 -

Příklad 1

Tento příklad vychází ze zkoušek provedených na zesílených železobetonových trámcích v

laboratořích EMPA. Jde v podstatě o početní ověření provedeného experitmentu, a proto nejsou ve

výpočtu uvažovány spolehlivostní součinitele a poměrná přetvoření jsou uvažována normovými

hodnotami. Veškeré materiálové charakteristiky a rozdělení napětí po výšce průřezu jsou převzaty z

protokolů o zkouškách.[1]

Beton B35/25

Eb =37,5 GPa, Rbtn =4,6 GPa, bw = 0,3 m, Rbd = 45,8 MPa, hw = 0,25 m, he = 0,21 m,

Ab = 0,075 m2, asc = 0,04 m

Ocel S 500c

Es = 210 GPa, Ast = 396 mm2, Rsd = 486 MPa, Asc = 396 mm2

Lamely - typ 2

EL = 130 GPa, bL = 0,2 m, AL = 200 mm2, hL = 0,001 m, heL = 0,2505 m

Maximální přetvoření betonu v tlaku : εb = 0,35 %

Maximální přetvoření oceli v tahu : εs = 3,0 %

Maximální přetvoření oceli v tlaku : εs = 0,35 %

Maximální přetvoření lamely : εL = 1,62 %

Rozdělení napětí v tlačeném betonu je určeno podle metodiky

švýcarských předpisů parabolicko rektangulárním průběhem.

εb > -0,2%

k1 = (-1000 / 6)*(500 εb2 + 3 εb)

k2 = 1 - [( 750 εb +4 ) / (2*(500 εb +3))]

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 34 -

(-0,2% > εb > -0,35%)

k1 = 1 + 1/ ( 1500 εb )

k2 = 1-[(0,5-(3 106 εc2)-1)/(1+(1500 εc)

-1)]

Normálová síla v tlačeném betonu

Nbc = k1 b x Rbd

Normálová síla ve výztuži

εs < εsy Nst = εs Es Ast εs > εsy Nst = Ast Rsd

εsc < εsy Nsc = εsc Es Asc εsc

> εsy Nsc = Asc Rscd

Normálová síla

NL = εL EL AL

Předpětí : P = 153 kN

σL = P / AL = 765 MPa

εLo = σL / EL = 0,0064

Maximální možné přetvoření lamely : εLmax = 0,0162

∆εL = εLmax -εLo = 0,0098

Iterace : k1 = 0,6076 x = 0,03680

εb = -0,0017 Nbc = -307,3 kN

∆εs = 0,00797 ∆Nst = 192,46 kN

∆εsc = 0,0001 ∆Nsc = 12,23 kN

∆εL = 0,00983 ∆NL = 255,59 kN

Podmínka rovnováhy

Nbc + ∆Nst + ∆Nsc +∆NL = 153,00 kN

k2 = 0,36609 k2x = 0,01347

Moment na mezi únosnosti :

Mu = Nst.(he - h/2)+Nsc

.(h/2 - asc)+Nb.(h/2 - k2x)+NL

.(heL- h/2)

Mu = 81,665 kNm

Moment od předpětí : ep = heL- h/2 = 0,12550 m

Mp = P ep = 19,202 kNm

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 35 -

Moment od vlastní tíhy :

Mq = q l2 / 8 = 0,9375 kNm

Osamělé břemeno na mezi únosnosti :

Fu = (Mu - Mq +Mp) / c = 246,05 kN

Mezního stavu je dosaženo v lamele.

Při experimentu byla při porušení trámce naměřena hodnota zatížení Fu = 137 kN.

Rozdílnost výsledků experimentu a výpočtu je dána tím, že ke kolapsu prvku nedošlo přetržením lamely,

ale byl způsoben odtržením lamely vlivem delaminace dříve než bylo v lamele dosaženo mezního stavu.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 36 -

3.1.3. Nepředpjatá lamela, namáhání normálovou silou a

ohybovým momentem

Předpoklady a postup výpočtu jsou stejné jako v kapitole 3.1.1., pro nepředpjatou

lamelu je P = 0 a tedy počáteční přetvoření od předpětí je také rovno nule. Podmínky

spolehlivosti v mezním stavu únosnosti mají tedy tvar

( )N N N N Nu u st L bc d= ⋅ + − ≥γ ( 13.1 )

( )( )M N z N z N z z Mu u st s L L bc b s d= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ − ≥γ 2 2 ( 13.2 )

3.1.4. Nepředpjatá lamela + namáhání M

Předpoklady i postup výpočtu je stejný jako v kap. 3.1.2., pouze s tím rozdílem, že pro

předpjatou lamelu je P = 0 a tedy přetvoření od předpětí je také rovno nule. Podmínka

spolehlivosti má tedy tvar

( )M N z N z Mu u st b L L d= ⋅ ⋅ + ⋅ ≥γ ( 14.1 )

γ

Obr. 13.1

γ

Obr. 14.1

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 37 -

Příklad 2

Tento příklad má stejné zadání jako příklad 1 ( viz. strana 33 )

Maximální přetvoření betonu v tlaku : εb = 0,0035

Maximální přetvoření oceli v tahu : εs = 0,03

Maximální přetvoření oceli v tlaku : εs = 0,0035

Maximální přetvoření lamely : εL = 0,0127

Rozdělení napětí v tlačeném betonu je dáno :

εb > -0,2%

k1 = (-1000 / 6)*(500 εb2 + 3 εb)

k2 = 1 - [( 750 εb +4 ) / (2*(500 εb +3))]

(-0,2% > εb > -0,35%)

k1 = 1 + 1/ ( 1500 εb )

k2 =1-[(0,5-(3 106 εc2)-1)/(1+(1500 εc)

-1)]

Normálová síla v tlačeném betonu

Nbc = k1 b x Rbd

Normálová síla ve výztuži

εs < εsy Nst = εs Es Ast εsc < εsy Nsc = εsc Es Asc

εs > εsy Nst = Ast Rsd εsc > εsy Nsc = Asc Rscd

Normálová síla v lamele

NL = εL EL AL

Iterace : k1 = 0,7568 x = 0,04447 m

εb = -0,0027 Nbc = -474,58 kN

εs = 0,0102 Nst = 192,46 kN

εsc = -0,0003 Nsc = -22,93 kN

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 38 -

εL = 0,0127 NL = 305,05 kN

Podmínka rovnováhy

Nbc + Nst + Nsc + NL = 0,000 kN

k2 = 0,3979 k2x = 0,0177

Moment na mezi únosnosti :

Mu = Nst (he-h/2)+Nsc (h/2-asc)+Nb (h/2-k2x)+NL (heL-h/2)

Mu = 107,52 kNm


Mq = q l2 / 8 = 0,9375 kNm

Osamělé břemeno na mezi únosnosti :

Fu = ( Mu - Mq ) /c = 161,48 kN

Mezního stavu je dosaženo v lamele.

Při experimentu byla při porušení trámce naměřena hodnota zatížení Fu = 137kN.

Rozdílnost výsledků experimentu a výpočtu je dána tím, že ke kolapsu prvku nedošlo

přetržením lamely, ale byl způsoben odtržením lamely vlivem delaminace dříve než bylo

v lamele dosaženo mezního stavu.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 39 -

3.1.5. Mez porušení posouvající silou Qd

Při dimenzování prvků namáhaných posouvající silou musí být pro maximální

posouvající sílu splněna podmínka spolehlivosti podle ČSN 73 1201-86

max Q b h Rd w b bd≤ ⋅ ⋅ ⋅⋅1

3γ , ( 15.1 )

s omezením

γb bdR⋅ ≤ 18,0 MPa, ( 15.2 )

kde Qd posouvající síla od extrémního zatížení,

bw šířka obdélníkového průřezu,

h výška průřezu,

Rbd výpočtová pevnost betonu v tlaku,

γb součinitel podmínek působení betonu v tlaku.

Výpočtová posouvající síla přenášená na mezi porušení betonem se pro obdélníkový

průřez určí ze vztahu podle ČSN 73 1201-86

Q b h Rbu w q b btd= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1

3χ γ , ( 15.3 )

kde χq je součinitel smykové pevnosti ,

Rbtd výpočtová pevnost betonu v tahu.

Výpočet se provede dle metody šikmého řezu. Délka c kolmého průmětu šikmého řezu

do směru střednice se vypočte dle vztahu ( 15.4 ).

cb R

Q Qh

w d bd

d buet= ⋅

⋅ ⋅−

⋅1 21

2,γ

, ( 15.4 )

Obr. 15.1

D

iplom

ová p

ráce

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 40 -

s omezením

z cR

Rhb

bd

q btd≤ ≤ ⋅

⋅⋅0 18,

χ, ( 15.5 )

kde Qd1 posouvající síla od extrémního zatížení působící ve vzdálenosti rovné h

od podpory,

Qbu výpočtová posouvající síla na mezi porušení přenášená betonem (15.3),

het účinná výška průřezu stanovená započtením tažené lamely

hh N h N

N Net

e st eL L

st L=

⋅ + ⋅+

, min

, min, ( 15.6 )

zb rameno vnitřních sil v místě, kde se měří výška het,

he učinná výška průřezu vyztuženého betonářskou výztuží,

Nst osová síla ve výztuži,

heL učinná výška průřezu vyztuženého lamelou,

NL,min minimální síla v lamele, která je potřeba k přenesení momentu Md.

Další posouzení se provádí ve smyslu normy ČSN 73 1201-86.

Pokud započteme taženou lamelu do účinné výšky průřezu, je potřeba lamelu opatřit

konstrukčně třmeny ( obr. 15.2 ).

Pokud lamela není v kotevní oblasti opatřena třmeny, neměl by se její vliv započítávat .

Obr. 15.2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 41 -

Konstruktivní kotvení lamely

Pesimistický předpoklad :

• na konstrukci vznikly před zesílením smykové mikrotrhliny Qbu → 0,

• vzdálenost třmínků ss je menší než maximální kotevní délka lamely lk,max,

• smyková trhlina je krátká ( viz obr. 15.3 ), na přenášení Qd se podílí jeden třmínek - zbytek

musí přenést konstruktivní ukotvení lamely třmenem. Třmen se navrhne na sílu o velikosti

Qd,třmen = Qd,max (xlam) - Qss1, ( 15.7 )

kde Qd,max (xlam) je maximální posouvající síla v místě osazeného třmenu ve

vzdálenosti xlam od teoretické podpory,

Qss1 posouvající síla přenesená jedním třmínkem.

Obr15.3

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 42 -

Příklad 1

Tento příklad je převzat z protokolu o zkouškách provedených na ČVUT prof. Vaňkem.

Beton : B40 Rb = 22 MPa xu = 0,0505 m

Rbtd = 1,4 MPa he = 0,155 m

Ocel : 10 505 Rs = 450 MPa Nst = 0,07065 kN

Rsc = 420 MPa Ass = 57 . 10-6 m2

10 216 Rss = 190 MPa ss = 0,1 m

Lamela 50/1,2 RL = 2400 MPa Nsp = 0,0626 kN

Síla přenášená betonem

Q b h Rbu w bt= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1

3

1

3012 018 14 10 10 083, , , , kN

Qbu = 10,08 kN ≤ Q = 18,11 kN

Účinná výška průřezu

hh N h N

N Net

e st sp

st sp=

⋅ + ⋅+

=⋅ + ⋅

+=

0155 0 07065 018 0 0626

0 07065 0 06260167

, , , ,

, ,, m

Kolmý průmět šikmého řezu

cb R

Q Qh

w bt

buet= ⋅

⋅−

⋅ = ⋅⋅ ⋅−

⋅ =12 12012 14 10

1811 10 080167 0 7002

32, ,

, ,

, ,, , m

cR

Rh

bd

q btdmax , ,

,, ,= ⋅

⋅⋅ = ⋅ ⋅ =018 018

22

14018 0509

χm

Rameno vnitřních sil

z hx

b etu

= − = − =2

01670 0505

20142,

,, m

zb = 0,142 m < c = 0,700 m > cmax = 0,509 m

Síla přenášená třmínky

Q R Ac

sss ss ss

s= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅− −190 57 10

0509

015512 106 3,

,, MN

Qmax = Qss + Qbu = 55,12 + 10,018 = 65,2 kN

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce Kotevní oblast

- 43 -

3.1.6. Posouzení kotevní oblasti

Při posouzení MS únosnosti je nutno zkontrolovat, zda nedochází k porušení kotevní

oblasti. Tento výpočet je převzat ze švýcarských předpisů, které byly ověřeny experimenty.[6]

a. verze 02 / 93 [6].

Výpočtová kotevní délka se určí ze vztahu

( )( )

erf mmlz

b k tk

L

L L k

=⋅ ⋅ ⋅

≥2

2 500τ

, ( 16.1 )

kde

k referenční napětí 30 N/mm2,

bL šířka lamely,

tL tloušťka lamely,

zL je tahová síla v lamele - podle DIN je to 1,75 násobek provozního zatížení

z b tL L L L≤ ⋅ ⋅β , ( 16.2 )

βL napětí v lamele, které lze přidat než ocel dosáhne meze kluzu ( obr. 16.1 ),

τk napětí v soudržnosti na rozhraní lepidlo - beton,

fctm střední hodnota tahového napětí na povrchu betonu - odtrhová zkouška

Pevnost betonu v tahu fclm [ MPa ] 1,5 2,2 2,8 3,1 3,3

τk [ MPa ] 5 8 11 12 13

b. verze 03 /96 [6]

Při výpočtu podle vztahu ( 16.1 ) dojdeme k závěru, že čím delší bude kotevní délka

lamely, tím větší sílu je schopna přenést. Tento princip je však v rozporu s provedenými

experimenty.

εεε

σσ

σ

εε εσ

βσ

Obr. 16.1

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 44 -

Experimentálně bylo ověřeno, že síla přenášená lepenou lamelou v kotevní oblasti již

nenarůstá, je-li kotevní délka

l lk k≥ , max , ( 16.3 )

kde lE t

fk

L L

ctm, max = ⋅

⋅4 , ( 16.4 )

fctm střední tahová pevnost betonu,

EL modul pružnosti lamely.

Maximální kotevní síla se určí podle vztahu

T b lk L k k, max , max , max= ⋅ ⋅ ⋅2

3τ , ( 16.5 )

τ χk ctmf, max = ⋅ , ( 16.6 )

kde τk,max je maximální smykové napětí

v kotevní oblasti, které je schopen

styk beton - lamela přenést

Dosazením vztahů (6) a (4) do vztahu (5) získáme

T b t fk L L L ctm, max = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1

3χ Ε . ( 16.7 )

V SRN [6] mají tento vztah upravený spolehlivostními součiniteli do podoby

T b k k k E t fk L b c bu L L ctm, max ,= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅0 35 , ( 16.8 )

kde kb b

bb

L

L= ⋅ −

+≥1 06

2

1 4001, , ( 16.9 )

1,0 povrch betonu ve styku s bedněním , kc = ⟨ 0,85 ostatní ,

1,0 desky , kbü = ⟨ vliv třmínkové výztuže, >1,0 nosníky ,

zjednodušeně lze uvažovat :

k k kb c bu⋅ ⋅ ≥ 1 0, .

Sílu nutnou k ukotvení lze určit grafickou metodou, která je obdobou rozdělení

materiálů, při které určujeme délku prutu ( obr. 16.3 ). Podmínka spolehlivosti je vyjádřena

vztahem

Tk,max ≥ FLE ≤ βL . AL ( 16.10 )

τ

Obr. 16.2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 45 -

Msu = Nst . zs , ( 16.11 )

Mlu,min = NL,min . zL, ( 16.12 )

kde Msu je moment únosnosti průřezu vyztuženého betonářskou výztuží,

Mlu,min minimální moment, který musí přenést průřez vyztužený lamelou.

∆ ∆

Postup konstrukce grafického řešení :

1. Ze vztahů ( 16.11 ) a ( 16.12 ) vypočteme síly Nst a Nlu,min ,

2. sestrojíme paraboly, které ukazují průběh sil Nst a Nlu,min po délce průřezu v závislosti

na průběhu momentů Msu a Md,

3. posuneme větve paraboly vodorovně od středu o vzdálenost ∆l = h/2,

4. odměříme minimální délku aktivní lamely bez kotevní oblasti,

5. zvolíme délku lamely bez kotevní oblasti,

6. odečteme sílu k ukotvení a zkontrolujeme podmínku spolehlivosti ( 16.10 ),

7. pokud není splněna, musíme zvětšit délku lamely,

8. k délce lamely přidáme vypočtenou kotevní délku lk,max ( 16.4 ) a tak získáme celkovou

délku lamely.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce Delaminace

- 46 -

3.1.7. Delaminace

Vznik delaminace

Předpokládáme, že na zesílené konstrukci dojde vlivem působení ohybového momentu

M ke vzniku svislých trhlin o šířce w. V případě, že v průřezu působí i posouvající síla, může

dojít ke svislému posunu v trhlině.

Pokud se průřez nachází ve stadiu II.,

není ještě vznik trhlin dokončen a trhliny se

prohlubují. Posouvající síla v místě trhliny je

přenášena smykovým napětím v tlačeném

betonu, částečně i v taženém a silami

v ocelové výztuži a v lamele.

Pokud se průřez nachází ve stadiu III.,

kdy je vznik trhlin dokončen a trhlina se

neprohlubuje, ale zvětšuje svou šířku. Pokud

překročí kritickou šířku je posouvající síla

přenášena pouze smykovým napětím

v tlačeném betonu a silami ve výztuži a

v lamele.

V případě, že posouvající síla od

extreémního zatížení Vd je větší než síla VA,

kterou je průřez schopen přenést Vd > VA

dojde k delaminaci.

Rozdělení smykového napětí při delaminaci

1. Smykové napětí přenášené tlačenou plochou betonu

V b x RA q b btd12

3= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅χ γ , ( 17.1 )

kde τcA je průměrné smykové napětí

přenášené betonem

V souladu s ČSN 73 1201-86 je :

τ χ γcA q b btdR= ⋅⋅ ( 17.2 )

Obr. 17.1

τ

χ γ

Obr. 17.2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 47 -

2. Smykové napětí ve střední části průřezu

Ve střední části je svislá síla

přenášena v důsledku zazubení trhliny (

obr. 17.3 ).

Délka l , na které k přenosu napětí

dochází , je závislá na rozevření trhliny.

Jestliže šířka trhliny překročí kritickou

hodnotu poměrného přetvoření lamely εL,krit

( obr. 17.4 )., je délka l nulová a tím není

posouvající síla ve střední části

přenášena.

Maximální poměrné přetvoření

lamely bylo zjištěno experimentálně.

Je-li εL < εL,krit

( )l h xL

L krit= − ⋅ −

1

εε ,

, ( 17.3 )

je-li εL > εL,krit

l = 0 ( 17.4 )

Síla, kterou přenáší střední část průřezu v důsledku zazubení trhliny :

V b lA cA2 = ⋅ ⋅τ , ( 17.5 )

kde b je šířka průřezu.

3. Smykové síly ve výztuži a lamele způsobené ohnutím střednice

Vlivem posunu v místě trhliny dojde

k ohnutí střednice prutu výztuže a lamely.

Sílu působící ve výztuži a v lamele lze

rozložit na horizontální složku Ns a NL a

vertikální složku Vzs a VzL . Vertikální

složky se podílí na přenosu posouvající

síly.

τ

Obr. 17.3

ε ε εObr. 17.4

Obr. 17.5

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 48 -

Odvození síly, která přenáší posouvající sílu :

sinα = =V

N

V

N

zs

s

zL

L

Vzs = NS sin α Ns = Es . εs

. As

VzL = NL sin α NL = EL . εL

. AL

Vzs + VzL = sin α ( Ns + NL )

Vzs + VzL = sin α (Es . εs

. As + EL . εL

. AL) εs = εL

Vzs + VzL = sin α εs (Es . As + EL

. AL )

sin α εs = χ

Konečný vztah pro sílu ve výztuži a v lamele, která přenáší posouvající sílu v místě trhliny

{ }V V V E A E AA zs ZL s s L L3 = + = ⋅ ⋅ + ⋅χ , ( 17.6 )

kde χ je určeno ze zkoušek EMPA, wkrit = 0,4 mm; v(wkrit) = 0,05 mm ⇒⇒⇒⇒

χ = 1,03 . 10-3.

Podmínka spolehlivosti

V V V V VA A A A= + + ≥1 2 3 . ( 17.7 )

Ve prospěch bezpečnosti návrhu je vhodné uvažovat, že střední část průřezu nepřenáší

smykové napětí a tedy Va2 = 0.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce MS vzniku trhlin

- 49 -

3.2. MS použitelnosti

3.2.1. MS vzniku trhlin

Předpoklady výpočtu :

• výpočtové zatížení se uvažuje extrémními hodnotami,

• pevnosti materiálů se uvažují normovými hodnotami,

• beton v tahu působí,

* jsou známy pracovní diagramy betonu a oceli (dle ČSN 73 1201-86) a lamel (

dle pro-vedených experimentů v laboratořích EMPA),

* poměrná přetvoření jednotlivých vláken jsou přímo úměrná jejich vzdálenosti od

neurálné osy průřezu - Bernoulli-Navierova hypotéza zachování rovinnosti průřezů,

• všechny materiály se nachází v lineárně pružné oblasti

Nosník s nepředpjatou lamelou - namáhání ohybovým momentem

U průřezů namáhaných ohybovým momentem nedojde ke vzniku trhlin, je-li splněna

podmínka spolehlivosti

d M Mr≤ . ( 21.1 )

kde Md ohybový moment od extrémního zatížení,

Mr moment na mezi vzniku trhlin.

Vzhledem k předpokladu, že beton v tahu působí, můžeme velikost ohybového

momentu na mezi vzniku trhlin stanovit pomocí teorie lineární pružnosti. Napětí v krajním

taženém vlákně je vyjádřeno vztahem

σbt,r

ti

M

Wmax = , ( 21.2 )

kde W =I ati i gt je průřezový modul ideálního průřezu k taženému okraji. ( 21.3 )

V případě, že konstrukce před zesílením byla již potrhána, provede se výpočet vzniku

trhlin na konstrukci bez lamely - do ideálního průřezu je tedy započten betonem a ocelová

výztuž. Jestliže dojde ke vzniku trhlin až po nalepené lamely, uvažujeme ideální průřez i

s lamelou.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 50 -

Dosazením vztahu ( 21.3 ) do rovnice ( 21.2 ) a následnou úpravou dostaneme vztah

pro výpočet ohybového momentu na mezi vzniku trhlin

M = R I

a, R Wr b btn

i

gtibtn t1 1 175γ i= ⋅ , ( 21.4 )

kde γ γ γb bb bg1 = =1,0 1,75=1,75⋅ ⋅ ,

γbg je vliv gradientu přetvoření. Při namáhání ohybovým momentem γbg = 1.75,

Rbtn normová pevnost betonu v tahu,

agti vzdálenost těžiště ideálního průřezu ke krajnímu vláknu taženého okraje.

Současně se vztahem ( 21.4 ) musí však platit

M R Wr bz bn ci2 ≤ ⋅ ⋅ ⋅0,6 γ , ( 21.5 )

kde Rbn je normová pevnost betonu v tlaku

Wci průřezový modul ideálního průřezu k tlačenému okraji

γbz = 1,0

Obecně tedy platí :

Mr = min ( Mr1, Mr2) ( 21.6 )

Postup výpočtu :

1. Poměry modulů pružnosti ωss

b

E

E= , ωL

L

b

E

E= .

2. Plocha ideálního průřezu ( ) ( )A A A A Ai b s st sc L L= + − ⋅ + + ⋅ω ω1

3. Statický moment k horní hraně průřezu ( ) ( )S A a A h A a A hi b gc s st e sc sc L L eL= ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ω ω1

4. Těžiště ideálního průřezu xS

Ai

i

i= .

5. Moment setrvačnosti I i

6. Modul průřezu ( )WI

h xi

i

w i=

−.

7. Moment na mezi vzniku trhlin ( 21.4 ) M R Wr btn i1 175= ⋅ ⋅, .

8. Moment na mezi vzniku trhlin ( 21.5 ) M R Wr bz btn ci2 06≤ ⋅ ⋅ ⋅, γ

9. Porovnání ( 21.6 ) Mr = min ( Mr1, Mr2 )

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 51 -

Příklad 3

Tento příklad je ověřením experimentů provedených v laboratořích EMPA a je

pokračováním příkladu ze strany 33.

Poměry modulů pružnosti :

ωs =Es / Eb =5,6

ωL =EL / Eb =3,2027

Plocha ideálního průřezu :

A i =Ab + ( ωs - 1 )*( Ast + Asc ) + ωL AL

A i =0,0793m2

Statický moment k horní hraně :

Si =Ab hw /2 + ( ωs -1 )*(Ast he + Asc asc ) + ωL AL heL

Si = 0,00999 m3

Těžiště ideálního průřezu :

xi = Si / Ai = 0,126 m

Vzdálenosti os :

xc = xi -hw/2 = 0,0010 m

xs = he - xi = 0,0840 m

xs = asc - xi = 0,0860 m

xL = heL - xi = 0,1245 m

Moment setrvačnosti :

Ji = bwhw3/12 +Abxc

2+(ωs-1)*(A stxs2 + Ascxs

2 ) +ωLALxL2

Ji = 4,26954 10-4 m4

Modul průřezu :

Wi = Ji / ( hw - xi ) = 3,4436 10-3 m3

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 52 -

Rozpětí nosníku : l = 2,00 m

Délka nosníku : lcel = 2,40 m

Vzd. břemene : c = 0,66 m

Moment od osamělých břemen :

MPs = F * c

Moment na mezi vzniku trhlin :

Mr = Rbtn Wi = 16,185 kNm

Vlastní tíha nosníku:

q = Ab * 25 = 1,875 kN/m


Mq = q l2 / 8 = 0,9375 kNm

Osamělé břemeno na mezi vzniku trhlin :

Fr = ( Mr - Mq ) / c = 23,1 kN

Při experimentu byla naměřena při vzniku trhlin hodnota zatížení 35 kN.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 53 -

Nosník s předpjatou lamelou - namáhání N,M

Při výpočtu momentu na mezi vzniku trhlin je potřeba brát v úvahu počáteční přetvoření

průřezu před nalepením lamely. V případě,že ke vzniku trhlin došlo již před nalepením

lamely, posuzujeme průřez bez lamely.

U průřezů namáhaných normálovou silou a ohybovým momentem platí podle zákonů

lineární teorie pružnosti pro napětí v krajních tažených vláknech vztah

σ γbt, b btnd p

i

d fi p pi d

tiR =

(N +N )

A

N e +N e +M

Wmax= 1⋅ +

⋅ ⋅ , ( 21.7 )

kde γb1 = γbb . γbg,

γbg součinitel vyjadřující vliv gradientu přetvoření,

γbgf

f=

, e+h

e +h

105

6

⋅⋅

, ( 21.8 )

ef základní výstřednost normálové síly stanovená s přihlédnutím k působícímu ohybovému momentu bez přihlédnutí k přetvoření konstrukce,

h kolmý průmět obrysu průřezu na spojnici působiště normálové síly dané základní výstředností ef a těžiště betonového průřezu,

Np základní předpínací síla v lamele.

Zároveň musí být splněna podmínka v krajních tlačených vláknech betonového průřezu

σ γbc, =d p

i

d fi p pi d

cibz bn

(N +N )

A

N e +N e +M

W, Rmax +

⋅ ⋅≤ ⋅ ⋅0 6 , ( 21.9 )

kde γbz = γbb . γbg ,

Wci průřezový modul ideálního průřezu k tlačenému okraji.

Postup výpočtu :

1. Poměry modulů pružnosti ωss

b

E

E= , ωL

L

b

E

E= .

2. Plocha ideálního průřezu ( ) ( )A A A A Ai b s st sc L L= + − ⋅ + + ⋅ω ω1 .

3. Statický moment k horní hraně průřezu ( ) ( )S A a A h A a A hi b gc s st e sc sc L L eL= ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ω ω1 .

4. Těžiště ideálního průřezu xS

Ai

i

i= .

5. Moment setrvačnosti I i

6. Modul průřezu ( )WI

h xi

i

w i=

−.

7. Mom. na mezi vzniku trhlin ( 21.8 ) ( )

M R W N e N eN N W

Ar b btn ti d fi P Pi

d P ti

i1 1= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ −

+ ⋅γ .

8. Moment na mezi vzniku trhlin ( 21.9 ) M R Wr bz btn ci2 06≤ ⋅ ⋅ ⋅, γ .

9. Porovnání Mr = min ( Mr1, Mr2 )

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 54 -

Příklad 4 Tento příklad je pokračování příkladu 1 ze strany 33.

Beton B35/25

Eb =37,5 GPa, Rbtn =4,6 GPa, bw = 0,3 m, Rbd = 45,8 MPa, hw = 0,25 m, he = 0,21 m,

Ab = 0,075 m2, asc = 0,04 m

Ocel S 500c

Es = 210 GPa, Ast = 396 mm2, Rsd = 486 MPa, Asc = 396 mm2

Lamely - typ 2

EL = 130 GPa, bL = 0,2 m, AL = 200 mm2, hL = 0,001 m, heL = 0,2505 m

Poměry modulů pružnosti :

ωs = Es / Eb = 5,6

ωL = EL / Eb = 3,4667

Plocha ideálního průřezu :

A i = Ab + ( ωs - 1 )*( Ast + Asc ) + ωL AL

A i = 0,0793 m2

Statický moment k horní hraně :

Si = Ab hw /2 +(ωs-1)*( Ast he + Asc asc) + ωL AL heL

Si = 0,01000 m3

Těžiště ideálního průřezu :

xi = Si / Ai = 0,1261 m

Vzdálenosti os :

xc = xi -hw/2 = 0,0011 m

xs = he - xi = 0,0839 m

xs = asc - xi = 0,0861 m

xL = heL - xi = 0,1244 m

Moment setrvačnosti :

Ji = bwhw3/12 + Abxc

2+ (ωs-1)*(A stxs2+Ascxs

2) + ωLALxL2

Ji = 4,2777 10-4 m4

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 55 -

Modul průřezu :

Wi = Ji / ( hw - xi ) = 3,4525 10-3 m3

Rozpětí nosníku : l = 2,00 m

Délka nosníku : lcel = 2,40 m

Vzd. břemene : c = 0,66 m

Moment od osamělých břemen : MPs = F . c

Přepínací síla : P = 153 kN

Výstřednost předpínací síly : epi = 0,12440 m

Moment na mezi vzniku trhlin :

σ = ( -P/ Ai ) + ( Ms - P epi )/ Wi

σ A i Wi = Ai Ms -P Wi -P epi Ai

A i Ms = σ A i Wi + P Wi + P epi Ai

Mr = Rbtn Wi + P Wi/ Ai+ P epi

Mr = 41,573 kNm

Vlastní tíha nosníku:

q = Ab * 25 = 1,875 kN/m


Mq = q l2 / 8 = 0,9375 kNm

Břemeno na mezi vzniku trhlin :

Fr = ( Mr - Mq ) / c = 61,6 kN

Při experimentu byla při vzniku trhlin naměřena hodnota zatížení Fr = 62,1 kN.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce MS šířky trhlin

- 56 -

3.2.2. Mezní stav šířky trhlin Předpoklady výpočtu :

• zatížení se uvažují provozními hodnotami v základní kombinaci. Rozlišujeme přitom

zatížení stálé, nahodilá dlouhodobá a krátkodobá,

• pevnosti materiálů se uvažují normovýni hodnotami.

Posouzení šířky trhlin je v souladu s ČSN 73 1201-86. Podmínka spolehlivosti má tvar :

w w≤ lim , ( 22.1 )

kde w je šířka trhliny závislá na účincích zatížení, vlastnostech konstrukce (způsob a

druh vyztužení, kvalita betonu, statické působení prvku atd.), prostředí a na čase,

wlim je maximální přípustná (mezní) šířka trhliny.

Trhliny kolmé ke střednici prvku

1. trvalá šířka trhliny

vzniká při působení dlouhodobě působících zatížení (stálého g, nahodilého dlouhodobého

vlt a mnohokrát opakovanou složkou vc nahodilého krátkodobého zatížení).

( )w w g v va lt c3 = ⋅ ⋅λ κ , , , ( 22.2 )

kde w(.) je základní šířka trhliny pro zatížení uvedená v závorce ( 22.4 ),

g zatížení stálé,

vst (vlt) krátkodobé ( dlouhodobé ) nahodilé zatížení,

vc mnohokrát opakovaná část nahodilého krátkodobého,

κ součinitel způsobu namáhání,

λ součinitel trvalé šířky trhliny

2. přechodná šířka trhliny

vzniká při působení všech zatížení (tj. i nahodilého krátkodobého zatížení vst).

( )w w w g v vb a st c3 3= + ⋅ ⋅ −κ , , ( 22.3 )

3. základní šířka trhliny

Zjednodušený výpočet šířky trhlin uvedený v ČSN 73 1201-86 vychází z výsledků

experimentálních měření a zavádí vztah

( )w kE

dtb sts

sw= ⋅ − ⋅ ⋅ω µ

σ0 035 3, , ( 22.4 )

kde k součinitel povrchu výztuže, který vyjadřuje vliv soudržnosti betonu a výztuže.

Pro betonářskou výztuž

• hladkou k = 2500,

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 57 -

• s vtisky k = 2300,

• žebírkovou se součinitelem povrchu χsf ≤ 1 k = 2000,

• žebírkovou se součinitelem povrchu χsf < 1 k = 1600,

ωtb součinitel tloušťky krycí vrstvy

ω tbta

h= ⋅6 , s omezením ωtb ∈ 1 3, , ( 22.5 )

at vzdálenost těžiště největší výztužné vložky v krajní vrstvě výztuže od taženého

okraje průřezu,

h je výška průřezu,

µst stupeň vyztužení tahovou výztuží s omezením µst ≤ 0,02. Uvažujeme-li do plochy

výztuže i plochu lamely ( Asti = Ast + ωL AL ), bude toto omezení zřejmě nevhodné

- mělo by se experimentálně ověřit.

Es modul pružnosti betonářské výztuže [ MPa ],

dw rozhodující průměr výztuže [mm]. Označíme-li dw největší z jmenovitých průřezů

výztuže v krajní nejvíce tažené vrstvě a dmax maximální průměr vložky v pásmu Ts

d1 pro d d1

1

3≥ max

dw = ⟨ ( 22.6 )

11,A

nsti

t

pro d d1

1

3< max

Asti je průřezová plocha výztuže Ast + ωL AL v pásmu Ts v [ mm2 ],

nt je počet vložek v pásmu Ts ,

σs napětí v tahové výztuži v místě trhliny [ MPa ].

Pro zjednodušení výpočtů šířky trhlin železobetonových prvků namáhaných prostým

ohybem lze užít zjednodušeného vztahu pro výpočet napětí σs ve výztuži

σs sdu

RM

M= max , ( 22.7 )

kde Mmax je největší ohybový moment ve vyšetřovaném průřezu od provozního

zatížení,

Mu moment na mezi porušení průřezu při namáhání ohybovým momentem

(moment únosnosti průřezu v ohybu),

Rsd je výpočtová pevnost betonářské výztuže v tahu ve vyšetřovaném průřezu.

Napětí σs vypočtené dle vztahu ( 22.7 ) pro těžiště výztuže je nutno zvětšit na hodnotu

v krajní vrstvě výztuže ( lamela ) - tahová výztuž je uložena ve více vrstvách.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 58 -

Napětí v krajní vrstvě výztuže získáme vynásobením napětí σs součinitelem

α1 =− −

−h x a

h xu t

e u

. ( 22.8 )

Zjednodušený výpočet napětí σs pro železobetonové prvky namáhané mimostředným

tlakem je uveden v komentáři k ČSN 73 12 01-86. K tomuto výpočtu jsou potřeba tabulky, a

proto jej neuvádím.

Pokud nelze vypočítat hodnotu σs ze zjednodušených vztahů, které norma připouští, je

při výpočtu nutno vycházet z těchto předpokladů:

• beton v tahu nepůsobí,

• poměrná přetvoření jednotlivých vláken průřezu jsou přímo úměrná jejich vzdálenosti

od neutrální osy,

• napětí ve výztuží se stanoví podle Hookeova zákona jako Es násobek poměrného

přetvoření betonu v úrovni výztuže,

• napětí v lamele se stanoví podle Hookeova zákona jako EL násobek poměrného přetvoření

betonu vúrovni lamely,

• napětí v tlačené části betonu se stanoví podle Hookeova zákona jako Eb násobek

poměrného přetvoření,

• silový účinek zatížení a výslednice napětí v průřezu jsou v rovnováze.

Při výpočtu napětí σs je nutno rozlišit, zda v průřezu existuje, nebo neexistuje tlačená

část (tj. zda neutrálná osa prochází či neprochází průřezem). Z toho plyne, že:

• u prvků namáhaných ohybem, mimostředným tlakem a tahem s velkou výstředností

prochází neutrálná osa průřezem,

• u průřezů namáhaných tahem s výstředností menší než je hraniční výstřednost ebal,c leží

neutrálná osa mimo průřez.

Hranici mezi oběma případy tvoří při namáhání tahovou silou excentricita ebal,c , při

které se neutrálná osa dotýká průřezu.

eJ

Sabal c

s

sgc, = −1

1

, ( 22.9 )

kde Js1 (resp. Ss1) je moment setrvačnosti (resp. statický moment) průřezových ploch

výztuže k hornímu okraji průřezu, Js1 = Σ Asi zi ,2

Ss1 = Σ Asi zi, ( 22.10 )

agc je vzdálenost těžiště průřezu od horního okraje.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 59 -

Při výpočtu napětí σs pro výpočet šířky trhlin průřezů namáhaných tahem s výstředností

eM

Nes

s

sbal c= ≤ , , ( 22.11 )

tj. u průřezů, které jsou celé tažené, je možno napětí σs vypočítat ze vztahu

σss

s

s ss gts

s gs

N

A

N e a

J= +

⋅ ⋅

,

, ( 22.12 )

kde As je plocha veškeré výztuže v průřezu ( tlačené, tažené a lamely) ,

ess výstřednost síly Ns k těžišti veškeré výztuže Gs v průřezu,

agts vzdálenost těžiště nejvíce tažené vrstvy vložek od těžiště Gs ,

Jsgs moment setrvačnosti všech výztužných vložek k jejich těžišti Gs .

Trhliny šikmé ke střednici prvku

Mezní stav šířky trhlin šikmých ke střednici prvku je nutno posuzovat u prvků

s nosnou smykovou výztuží, u kterých platí alespoň jedna z podmínek:

• prvek je namáhán mnohokrát opakovaným namáháním,

• konstrukce je v silně agresivním prostředí a musí být vůči účinkům prostředí chráněna

účinnou izolací,

• na prvek působí převážně stálé zatížení. Stálé zatížení představuje 80 % (a více) veškerého

zatížení,

• třmínková výztuž je ve velkých vzdálenostech, resp. má malý průměr

ss > 0,75 heq , ss > 400 mm, ( 22.13 )

kde ss je vzdálenost větví třmínkové výztuže v podélném směru,

heq nejmenší účinná výška prvku ( ČSN 73 12 01-86 ),

dst největší jmenovitý průměr podélné tahové výztuže.

Součinitel κ se určí ze vztahu

0,33 pro třmínky z oceli nižší třídy než podélná výztuž,

κst = ⟨ 0,25 v ostatních případech.

Podmínka spolehlivosti má tvar

wg ≤ w lim , ( 22.15 )

kde wg je šířka šikmé trhliny stanovena dle přílohy 9 normy ČSN 73 12 01.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce Přetvoření

- 60 -

3.2.3. MS přetvoření

Posouzení přetvoření se provádí podle metodiky vycházející z normy ČSN 731201-86.

Předpoklady výpočtu :

• na prvky působí provozní hodnoty zatížení stálých, nahodilých krátkodobých a nahodilých

dlouhodobých, popř. jejich základní kombinace,

• k nahodilým zatížením mimořádným se přihlíží jen pokud to vyžadují jiné předpisy,

• základní předpínací síla se při výpočtu uvažuje provozní hodnotou.

Při dimenzování prvku musí být splněna podmínka spolehlivosti podle vztahu

ω ω≤ lim , ( 23.1 )

kde ω je největší absolutní hodnota vyšetřovaného přetvoření od provozního

zatížení,

ω lim mezní přetvoření podle PŘÍLOHY 7 ČSN 73 1201-86.

Celkové přetvoření ωtot v okamžiku t se stanoví ze vztahu

ω ω ω ω ωtot st lt in c in lt c sh= + + + + +, , ∆ω ∆ω , ( 23.2 )

kde ωst přetvoření od všech krátkodobě působících zatížení uvažovaných ve

vyšetřovaném okamžiku ( počáteční přetvoření ),

ωlt,in, (ωc,in) počáteční přetvoření od všech dlouhodobě působících zatížení

(od mnohokrát opakovaného namáhání ),

∆ωlt, (∆ωc) přetvoření dotvarováním betonu od dlouhodobě působícího zatížení

(od mnohokrát opakovaného namáhání ),

ωsh přetvoření od smršťování betonu - vzhledem k tomu, že lamely

aplikujeme na stávající objekty, toto nebudeme uvažovat.

Účinky krátkodobých zatížení

Železobetonový prvek, ve kterém při zatížení vzniká tahová oblast , prochází při růstu

zatížení dvěma hlavními stadii působení:

1. do vzniku trhlin,

2. po vzniku trhlin.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 61 -

V 1. fázi je závislost ω - F téměř

v celém rozsahu lineární, s relativně strmým

stoupáním - působí celý průřez, beton i

výztuž se chová pružně, pouze

před dosažením pevnosti betonu v tahu tuhost

prvku klesá s postupujícím zplastizováním

betonu v tahové oblasti. Při výpočtu se v této

fázi počítá s přímkovou závislostí až

po dosažení meze trhlin a uvažuje se ideální,

pružně působící plný průřez. Vpřípadě, že

ke vzniku trhlin dojde před zesílením

průřezu, je do ideálního průřezu započítán

pouze beton a ocelová výztuž. Pokud trhliny vzniknou až po zesílení, je do ideálního průřezu

započítána i lamela. Sečnová tuhost se v této fázi rovná tečnové.

Ve druhé fázi - po vzniku trhlin se růst přetvoření zrychluje tím, jak se postupně

oslabuje spolupůsobení betonu v tahové oblasti. Sečnová tuhost při daném zatížení Fs se

rovná směrnici přímky S.

V ČSN je zaveden předpoklad trilineárního diagramu ( viz obr. 23.1 ):

I - průřez bez trhlin, Ba = tg αa ,

II - po vzniku trhlin, s postupným vyřazováním betonu v tahu, Bs = tg αs ,

II I - bez spolupůsobení betonu v tahu, Bb = tg αb .

Účinky dlouhodobých zatížení

Vlivem dotvarování se přetvoření dlouhodobě zatížených prvků v čase zvětšují a mohou

dosáhnout i několikanásobně větších hodnot, než od zatížení krátkodobých.

Výpočet počátečních tuhostí

Tuhosti průřezů a prvků neporušených trhlinami (stadium I)

Ohybová tuhost průřezů neporušených trhlinami

Při sestavení diferenciálních podmínek rovnováhy na elementu ohýbaného prvku byl

v pružnosti odvozen vztah

( ) ( ) ( )B x w x M xfl ⋅ = −′ ′ , ( 23.3 )

αα

α

ωαα

α

Obr. 23.1

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 62 -

kde Bfl(x) je ohybová tuhost,

w´´(x)=1/r(x) je křivost,

M(x) je ohybový moment v daném průřezu (v místě x).

Počáteční křivost ohybové čáry je možno vypočítat ze vztahu

( )1 2 1

12r x h=

−ε ε, ( 23.4 )

kde ε1(ε2) jsou průměrné hodnoty poměrných délkových přetvoření protilehlých vláken

průřezu,

h12 je vzdálenost těchto vláken.

Ohybová tuhost pro průřez namáhaný normálovou silou a ohybovým momentem se získá

ze vztahu

( )1

0 85r

N e a a

E Ii

s gi gb

b=

⋅ − +⋅ ⋅,

, ( 23.5 )

postupnou úpravou do konečného tvaru

BE I e

e a afl a

b i

gi gb,

,=

⋅ ⋅ ⋅− +

0 85 , ( 23.6 )

kde e je výstřednost provozní hodnoty normálové síly k těžišti betonového průřezu,

I i moment setrvačnosti ideálního pružně působícího průřezu k vlastní těžišťové

ose,

agi, (agb) vzdálenost těžiště ideálního ( betonového ) průřezu od nejvíce tlačeného okraje

průřezu.

Ohybová tuhost železobetonového prvku namáhaného ohybovým momentem se vypočte

ze vztahu

B E Ir a b i, ,= ⋅ ⋅085 . ( 23.7 )

Osová tuhost prvků neporušených trhlinami

Osová tuhost průřezu Bax(x) se určí z definičního vztahu

( ) ( ) ( )B x x N xax bx⋅ =ε , ( 23.8 )

kde N(x) je působící normálová síla ,

εbx(x) je poměrné délkové přetvoření v těžišti betonového průřezu, které lze vypočítat

ze vztahu

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 63 -

( ) ( )εγ γbx

s

beb b i

s f gc gci

beb b igci gc

N

E A

N e a a

E Ja a=

⋅ ⋅−

+ −

⋅ ⋅⋅ − . ( 23.9 )

Osovou tuhost průřezu neporušeného trhlinami Bax,a získáme po úpravě ve tvaru

( )( )B E Ji e a a a a

ax a beb b i

i f gc gci gci gc

, = ⋅ ⋅ ⋅− + − −

γ1

2. ( 23.10 )

kde i J Ai i i= / je poloměr setrvačnosti ideálního průřezu.

Smyková tuhost prvku neporušeného trhlinami

Pro trhlinami neporušený obdélníkový průřez byla experimentálně ověřena tuhost

B Eb h

g a beb b, ,= ⋅ ⋅

⋅γ

3 75, ( 23.11 )

kde b (resp. h) je šířka (resp. výška) průřezu.

Tuhosti průřezů a prvků zcela porušených trhlinami ( stadium III )

Ohybová tuhost prvku zcela porušeného trhlinami

Při sestavení vztahu pro ohybovou tuhost Bfl,b vyjdeme z výrazu pro křivost

( )1 2

1r

N e

B E h x

s s r

s r=

⋅=

⋅ −σ ,

, ( 23.12 )

a po postupných úpravách dostaneme vztah pro ohybovou tuhost prvku namáhaného

ohybovým momentem a normálovou silou

( ) ( )BA A E z e

A e z A e zfl b

s s s s f

s f s s f s

, =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ + + ⋅ −1 2

2

1 1 2 2

. ( 23.13 )

Ohybová tuhost trhlinami porušeného prvku namáhaného ohybovým momentem se

vyjádří za pomoci vztahu

Bh z

E A E A

r bei r

s sti b c

, =⋅

⋅+

⋅1 2

, ( 23.14 )

kde zr je rameno vnitřních sil ve vyšetřovaném průřezu,

Asti ideální plocha výztuže ( ocel + lamela ),

hei účinná výška průřezu,

Ac plocha tlačené části průřezu.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 64 -

Osová tuhost prvku zcela porušeného trhlinami

Osová tuhost prvku zcela porušeného trhlinami se vypočte dle vztahu

( ) ( )BA A E z

A z e z A z z eax b

s s s s

s s f s s s s f

, =⋅ ⋅ ⋅

⋅ + + ⋅ −1 2

2

1 1 1 2 2 2

. ( 23.15 )

Smyková tuhost prvku zcela porušeného trhlinami

Výpočet smykové tuhosti vychází z experimentálního výzkumu. Norma ČSN 73 1201-

86 umožňuje vypočítat smykovou tuhost železobetonového prvku s konstantním průřezem

dle vztahu

BB

Ib hg

r

i

= ⋅ ⋅ ⋅4

45, ( 23.16 )

kde Br je ohybová tuhost průřezu pro namáhání prostým ohybem,

I i je moment setrvačnosti ideálního průřezu (stadium I),

b je šířka průřezu v úrovni těžiště ideálního průřezu,

h je celková výška průřezu.

Tuhosti průřezů a prvků částečně porušených trhlinami ( stadium II )

Podle způsobu namáhání (prostý ohyb, mimostředně působící síla) vypočteme součinitel

a) pro namáhání prostým ohybem

ρrr s

s

M M

M=

−⋅

5

4, ( 23.17 )

b) pro namáhání excentricky působící silou

ρrr s

s

N N

N=

−⋅

5

4. ( 23.18 )

Výslednou tuhost B ve stadiu II vypočítáme ze vztahu

B

B Br

a

r

b

=+

−11ρ ρ , ( 23.19 )

kde Ba je příslušná tuhost ve stadiu I (buď ohybová Bfl,a, resp. Br,a nebo osová Bax,a),

Bb je tuhost ve stadiu III (buď Bfl,b, resp. Br,b nebo Bax,b).

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 65 -

Vliv dotvarování betonu

Přetvoření dotvarováním betonu od dlouhodobého zatížení se vypočtou podle vztahů :

∆ω = ⋅β ωrl lt in, , ( 23.20 )

kde ( )β ϕ αrl bf tt te= ⋅ ⋅ − − ⋅ −1 0 07 2 1, , ( 23.21 )

při zjednodušeném výpočtu je možno βrl uvažovat podle tab.12 v ČSN 73 1201-86

αtte= + ⋅ − ⋅0 15 0 08 0 015 1, , , , ( 23.22 )

t1 stáří betonu ve dnech od okamžiku vybetonování na začátku působení

uvažovaného dlouhodobého zatížení,

t2 stáří betonu ve dnech na konci působení dlouhodobého zatížení, popř.

v okamžiku, kdy se přetvoření vyšetřuje,

ϕbf základní hodnota součinitele dotvarování.

ωαα

α

α

∆ω

ω

ω∆ω ωβ

Obr. 23.2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

C. ZESÍLENÍ STROPNÍ KONSTRUKCE Z D ŮVODU VYŘÍZNUTÍ PROSTUPU PRO SCHODIŠTĚ

Statický výpočet

D

iplom

ová p

ráce

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce Technická zpráva

- 67 -

1. Technická zpráva

Z důvodů vytvoření prostupu pro schodiště je nutno prolomit stávající stropní

železobetonovou desku otvorem s půdorysnými rozměry 3,6 x 2,0 m.

Stávající stropní deska o tloušťce 160 mm byla navržena jako spojitá nosníková deska

o čtyřech polích s teoretickými rozpětími 3,9 + 6,1 + 6,1 + 3,9 m.

Rozmístění a profily výztuže byly převzaty z armovacího výkresu pana Ing. Jasaně,

ve kterém je zakresleno umístění nově prováděného prostupu. Výztuž je zakreslena ve

výkresu tvaru stropní desky, který je součástí dokumentace.

Zesílení je provedeno externí lepenou uhlíkovou výztuží ( CFK lamely Sika®CarboDur®

S 512 lepené lepidlem Sikadur®- 30 ).

Z cenových důvodů je možné zesílení nad podporou provést ocelovými lamelami

lepenými lepidlem Sikadur®- 30 a kotvenými na každém konci vždy 2 ks chemických kotev

HIT C50 M8- jsou podstatně levnější a při jejich aplikaci na horní líc konstrukce nevznikají

těžkosti při montáži.

Při provádění je nutno dodržet následující technologický postup:

Postup práce při vytvoření prostupu v železobetonové stropní desce

1. odstranění povrchových vrstev podlahy vlevo i vpravo od nového prostupu až na nosnou

konstrukci ( na povrch desky ), v místech kde byla provedena podlaha

2. očištění povrchu nosné konstrukce v místech lepení lamel. Požadované parametry :

- zbavení nesoudržných částí betonu, prachu a nečistot,

- pevnost povrchových vrstev očištěné konstrukce při zkoušce přídržnosti min. 1,5 MPa,

- rovinnost očištěného povrchu 3 až 5 mm / 2 m.

Pokud nebude očištěný povrch splňovat podmínku rovinnosti, je nutno reprofilovat povrch

- vlhkost povrchu před aplikací lamel max. 4 %.

3. nalepení uhlíkových lamel

4. vyříznutí betonové desky v prostoru nového prostupu 48 h po nalepení lamel. Při

prolomení desky není možno používat bouracího kladiva, neboť při tomto způsobu

vznikají v konstrukci mikrotrhliny, které snižují fyzikálně mechanické vlastnosti a

trvanlivost konstrukce.

5. doplnění konstrukčních vrstev podlahy dle stavebních výkresů.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce Statický výpočet

- 68 -

2. Statický výpočet

Zadání :

Do stávající spojité stropní desky o tloušťce 160 mm má být ve čtvrtém poli vyříznut

otvor pro schodiště o rozměrech 2,0 x 3,6 m ( viz. výkres tvaru stropu ). Tímto zásahem došlo

v části konstrukce ke změně statického systému - ze spojitého nosníku o čtyřech polích se stal

spojitý nosník o třech polích.

Tato konstrukce není schopna stávající zatížení přenést (výpočtové ohybové momenty

od zatížení jsou větší než momenty únosnosti stropní konstrukce ) , a proto je potřeba

navrhnout zesílení stropní konstrukce CFK lamelami.

Železobetonová konstrukce je provedena z betonu B15 - Rbd = 8,5MPa, Rbtd = 0,75MPa,

Eb = 23 GPa a z oceli 10 335 (V) - Rsd = 340 MPa, Es = 210 GPa.

Zesílení bude provedeno uhlíkovými lamelami Sika® CarboDur® S512 - RL = 2200 MPa,

EL = 155 GPa, a epoxidovým lepidlem Sikadur® -30.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 69 -

Zatížení

vrstva normové zatížení γf extrémní zatížení

keramická dlažba 0,008 . 23 0,184 1,2 0,221

maltové lože 0,02 . 23 0,46 1,3 0,598

lepenka A 400H 0,004 1,3 0,0052

polystyren 0,08 . 1,5 0,12 1,2 0,144

lepenka A 400H 0,004 1,3 0,0052

cementová mazanina 0,05 . 23 1,15 1,3 1,459

vlastní tíha 0,16 . 25 4,0 1,1 4,4

omítka 0,02 . 23 0,46 1,3 0,598

stálé celkem qs = 6,382 kN/m2 qd = 7,4304 kN/m2

nahodilé byty 1,5 1,4 2,1

příčky 1,5 1,4 2,1

nahodilé celkem vs = 3 kN/m2 vd = 4,2 kN/m2

Stávající stav - před provedením otvoru

Statické schéma

Zatěžovací stavy a kombinace

K1 = ZS1 + ZS2

K2 = ZS1 + ZS3

K3 = ZS1 + ZS4

Nový stav - po provedení otvoru

Statické schéma

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 70 -

Zatěžovací stavy a kombinace

K1 = ZS1 + ZS2

K2 = ZS1 + ZS3

K3 = ZS1 + ZS4

Průběhy vnitřních sil v novém stavu

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 71 -

Kombinace Ohybové momenty na původní konstrukci

zatížení podpory pole

2 3 4 I II III IV

K1 -20,1 -32,4 -28,9 13,3 8,9 23,7 3,5

K2 -28,9 -32,4 -20,1 3,5 23,7 8,9 13,3

K3 -29,8 -39,5 -29,8 9,6 19,8 19,8 9,6

Ohybové momenty na nové konstrukci

podpory pole

2 3 I II III

K1 -17,7 -40,2 14,3 6,8 36,1

K2 -27,2 -37,8 3,9 22,0 18,5

K3 -27,4 -47,6 10,5 17,1 33,0

Momenty na mezi únosnosti

výztuž V18/400 V18/200 V18/400 V10/400 V14/400 V14/400 V10/400

V14/400 V14/400 V14/400 V14/400 V14/400 V14/400

moment 33,5 41,32 33,5 21,0 33,5 33,5 21,0

Momenty, které je nutno vykrýt

2 3 I II III

0 6,3 0 0 2,6

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 72 -

1. Průřez v poli III

Plocha výztuže φ V14 / 400 Ast1 = 385 mm2/ m

φ V18 / 400 Ast2 = 635,5 mm2/ m

Ast = 1020,5 mm2/ m

Tloušťka krycí vrstvy tb = 20 + 5 = 25 mm

Vzdálenost těžiště výztuže od dolního okraje desky

ast = tb + 8 = 33 mm

Dimenzační ohybový moment Md = 23,7 kNm

Dimenzační moment na zesílené konstrukci Md = 36,1 kNm

a. Počáteční napjatost a přetvoření

ε

ε

εσ

Předpoklad : stadium 2

Md = 23,7

Beton v tahu nepůsobí

Beton v tlaku je v lineární oblasti - Hookův zákon

Výztuž tažená je v lineární oblasti - Hookův zákon

− =−

⇒ = − ⋅−

ε ε ε εbo dobo

do

x h x

x

h x , ( C.1 )

ε ε ε εso

st

doso

stdo

h x a h x

h x a

h x− −=

−⇒ = − −

−⋅ . ( C.2 )

Síla v tlačeném betonu

N x b Ex

h xEbo bo b b do= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅

−⋅ ⋅1

2

1

2

2

ε ε . ( C.3 )

Síla v tažené výztuži

N E Aso so s st= ⋅ ⋅ε . ( C.4 )

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 73 -

Do podmínek rovnováhy

N Nb st= , ( C.5 )

M E A h a xs so st st= ⋅ ⋅ ⋅ − −

ε 1

3, ( C.6 )

dosadíme vztahy ( C.1 ) až ( C.4 ) a postupnou úpravou získáme kvadratickou rovnici

pro výpočet polohy neutrálné osy x :

0 5 02, ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =E x x E A h E A a E Ab s st s st st s st , ( C.7 )

Po vyčíslení získáme polohu neutrálné osy

x = 0,040215 m

Napětí ve výztuži ( C.2 )

εso =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − −

−

23 7

210 10 1 021 10 0 16 0 0331

30 0402153 3

,

, , , ,

εso = 0,97355 . 10-3 ⇒ σso = 204,4 MPa

Přetvoření dolních vláknech průřezu ( C.5 )

( )εε

doso s st

b

E A h x

x E=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅

=2

2

( )=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ ⋅

− −2 0 97355 10 210 10 1 021 10 0 16 0 040215

0 040215 23 10

3 3 3

2 3

, , , ,

,

εdo = 1,344 . 10-3

Napětí v tlačeném betonu ( C.1 )

εbo = − ⋅ ⋅−

= ⋅−

−1 344 10 0 040215

0 16 0 0402154 15216 10

34, ,

, ,,

σbo = 10,38 Mpa

b. Mezní stav únosnosti po zesílení

ε

ε

ε

σ

σ

Předpoklad: mezního stavu je dosaženo přetržením lamely.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 74 -

Mezní přetvoření dolního okraje

ε ε εd L do= + = ⋅ + ⋅ = ⋅− − −6 10 1 344 10 7 344 103 3 3, ,

Spolupůsobící šířka

b b hw L s= + ⋅ = + ⋅ =2 50 2 160 370 mm

Síla v lamele při maximálním přetvoření εL = 0,6%

( převzato z experimentů v SRN [6].

σ εL L LE= = ⋅ ⋅ =⋅ 155 10 0 006 9303 , MPa

N AL L L= ⋅ = ⋅ ⋅ =σ 0 05 0 0012 930 0 0558, , , MN

Plocha výztuže na spolupůsobící šířce

Ast = 1020,5 . 0,37 = 377,585 . 10-6 m2

Síla ve výztuži

σs = 340 MPa

N As st s= ⋅ = ⋅ ⋅ =−σ 3 77585 10 340 0 12844, , MN

Síla v betonu z podmínky rovnováhy

N A R N Nb bc bd b L s= ⋅ ⋅ = +γ ( C.8 )

A x bbc w= ⋅ ⋅0 8, ( C.9 )

Dosazením ( C.9 ) do ( C.8 ) a úpravou získáme vztah pro polohu neutrálné osy

xN N

b R

L s

w bd b= +

⋅ ⋅ ⋅= +

⋅ ⋅ ⋅=

0 8

0 0558 0 1284

0 8 0 37 8 5 10 0732

,

, ,

, , ,,

γ m

Kontrola přetvoření tlačené oblasti betonového průřezu

ε εb

d

L

x

h x t= − ⋅

− −= − ⋅ ⋅

− −= ⋅ > ⋅

−− −

2

0 0732 7 344 10

0 16 0 0732 0 00066 151 10 2 5 10

33 3, ,

, , ,, ,

Mezního stavu je dosaženo v tlačeném betonu.

Nový předpoklad : Mezního stavu je dosaženo v betonu - beton se drtí.


ε ε ε εd L do L= + = + ⋅ −1344 103,

Síla v betonu

N A R x xb bc bd b= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅γ 08 037 85 1 2516, , , , MN

Síla v lamele

N Eh x t

xL L L L

Lb= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − − + ⋅ − ⋅

⋅ =−ε σ ε155 10

21 344 10 0 000063 3, ,

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 75 -

= ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

=− −9 3

0 16062 5 10 1 344 103 3,

,, ,

x

x

= ⋅ − −( ,,

, )0 023250 1606

0 01244x

x MN

Síla ve výztuži

N A Rst st s= ⋅ = ⋅ ⋅ =−3 77585 10 340 0 12844, , MN

Dosazením do podmínky rovnováhy

Nb = Ns +NL

získáme kvadratickou rovnici pro polohu neutrálné osy

2,516 x2 - 0,092689 x - 0,003734 = 0

x = 0,06112 m

Přetvoření dolních vláken

εd = − + ⋅ ⋅ = ⋅− −0 16 0 06112 0 0006

0 061122 5 10 4 06892 103 3, , ,

,, ,

Přetvoření lamely

εL = εd - εdo = 4,06892 . 10-3 - 1,344 . 10-3 = 2,72492 . 10-3

Síla v lamele

NL = 155 . 103 . 2,72492 . 10-3 . 0,00006 = 0,02534 MN

Přetvoření výztuže

εs = − − ⋅ ⋅ = ⋅− −0 16 0 06112 0 033

0 061122 5 10 2 6946 103 3, , ,

,, ,

Síla v betonu

Nb = 2,516 . 0,06112 = 0,1538 MN

Moment na mezi únosnosti na spolupůsobící šířce

M N h ax

N hx

tu u s st L L= ⋅ ⋅ − −

+ ⋅ − +

=γ 0 8

2

0 82

, ,

( ) ( )( )= ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ − ⋅ + =0 905 128 4 0 16 0 033 0 4 0 06112 25 34 0 16 0 4 0 06112 0 0006, , , , , , , , , , ,

Mu = 15,038 kNm

Navrženy jsou 3 lamely.

Moment únosnosti celkový

( )[ ]Mucelk = ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ = >1

23 15 038 2 3 0 37 33 5 37 46 36 1, , , , , kNm vyhovuje

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 76 -

c. Posouzení kotevní oblasti

1. verze 02 / 93

fctm = 1,6 MPa ⇒ τk = 5 MPa

zLd = 25.34 kN γf =1,28 zL = 1,75 . 25,34/ 1,28 = 34,64 kN

Výpočtová kotevní délka

( )( )

erf lz

b k tv

L

L k k

=⋅ ⋅ ⋅

=2

2 τ

( )34 64

50 30 12 52666 51 500

2

2

,

,,

⋅ ⋅ ⋅= > mm

Tato hodnota kotevní délka je podle provedených experimentů naprosto nesmyslná,

proto je proveden nový posudek jinou metodou, která vystihuje skutečnost pravděpodobněji.

2. verze 03 / 96

Maximální kotevní oblast

lE t

fk

L L

ctmmax

,

,,= ⋅

⋅= ⋅ ⋅

⋅=

4

155 10 1 2

4 1 6170 48

3

mm

Kotevní síla

T b k k k E t fk L b c bu L L ctmmax ,= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =0 35

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =0 35 50 1 0 1 0 1 0 155 10 1 2 1 6 9 5473, , , , , , , kN

Posouzení z grafického řešení

Nst = Msu / zs = 33,5 / ( 0,16-0,033-0,4 . 0,06112 ) = 326,66 kN

Mlu,min = Md - Msu = 36,1 - 33,5 = 2,6 kNm

NL,mint = Mlu,min / zL = 2,6 / ( 0,16 - 0,4.0,06112 + 0,0006) = 19,096 kN

FLE = 8,95 kN < Tk,max = 9,547 kN vyhovuje

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 77 -

∆ ∆

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 78 -

2. Průřez nad podporou 3

Plocha výztuže φ V18 / 200 Ast2 = 1272 mm2/ m

Tloušťka krycí vrstvy tb = 20 + 5 = 25 mm

Vzdálenost těžiště výztuže od dolního okraje desky

ast = tb + 8 = 33 mm

Dimenzační ohybový moment - redukovaný Md = - 45,259 kNm

a. Počáteční napjatost a přetvoření

ε

ε

εσ

Předpoklad : stadium 2

Md = 39,5 kN

Beton v tahu nepůsobí

Beton v tlaku je v lineární oblasti - Hoockův zákon

Výztuž tažená je v lineární oblasti - Hoockův zákon

− =−

⇒ = − ⋅−

ε ε ε εbo dobo

do

x h x

x

h x , ( C.1 )

ε ε ε εso

st

doso

stdo

h x a h x

h x a

h x− −=

−⇒ = − −

−⋅ . ( C.2 )

Síla v tlačeném betonu

N x b Ex

h xEbo bo b b do= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅

−⋅ ⋅1

2

1

2

2

ε ε . ( C.3 )

Síla v tažené výztuži

N E Aso so s st= ⋅ ⋅ε . ( C.4 )

Do podmínek rovnováhy

N Nb st= , ( C.5 )

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 79 -

M E A h a xs so st st= ⋅ ⋅ ⋅ − −

ε 1

3, ( C.6 )

dosadíme vztahy ( C.1 ) až ( C.4 ) a postupnou úpravou získáme kvadratickou rovnici

pro výpočet polohy neutrálné osy x :

0 5 02, ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =E x x E A h E A a E Ab s st s st st s st , ( C.7 )

Po vyčíslení získáme polohu neutrálné osy

x = 0,0439272 m

Napětí ve výztuži ( C.2 )

εso =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − −

−

39 5

210 10 1272 10 016 0 0331

30 04392723 3

,

, , , ,

εso = 1,316098 . 10-3 ⇒ σso = 276,38 MPa

Přetvoření dolních vláknech průřezu ( C.5 )

( )εε

doso s st

b

E A h x

x E=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⋅

=2

2

( )

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ ⋅

− −2 1316098 10 210 10 1272 10 016 0 0439272

0 0439272 23 10

3 3 3

2 3

, , , ,

,

εdo = 1,839089 . 10-3

Napětí v tlačeném betonu ( C.1 )

εbo = −⋅ ⋅−

= ⋅−

−1839089 10 0 0439272

016 0 04392726 959263 10

34, ,

, ,,

σbo = 16,01 MPa

b. Mezní stav únosnosti po zesílení

ε

ε

ε

σ

σ

Předpoklad: mezního stavu je dosaženo přetržením lamely.


Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 80 -

ε ε εd L do= + = ⋅ + ⋅ = ⋅− − −6 10 1839089 10 7 839089 103 3 3, ,

Spolupůsobící šířka

b b hw L s= + ⋅ = + ⋅ =2 50 2 160 370 mm

Síla v lamele při maximálním přetvoření εL = 0,6%

σ εL L LE= = ⋅ ⋅ =⋅ 155 10 0 006 9303 , MPa

N AL L L= ⋅ = ⋅ ⋅ =σ 0 05 0 0012 930 0 0558, , , MN

Plocha výztuže na spolupůsobící šířce

Ast = 1272 . 0,37 = 470.64 . 10-6 m2

Síla ve výztuži

σs = 340 MPa

N As st s= ⋅ = ⋅ ⋅ =−σ 4 7064 10 340 0 164. , MN

Síla v betonu z podmínky rovnováhy

N A R N Nb bc bd b L s= ⋅ ⋅ = +γ ( C.8 )

A x bbc w= ⋅ ⋅0 8, ( C.9 )

Dosazením ( C.9 ) do ( C.8 ) a úpravou získáme vztah pro polohu neutrálné osy

xN N

b R

L s

w bd b=

+⋅ ⋅ ⋅

=+

⋅ ⋅ ⋅=

0 8

0 0558 016

0 8 0 37 8 5 10 085778

,

, ,

, , ,,

γ m

Kontrola přetvoření tlačené oblasti betonového průřezu

εε

bd

L

x

h x t= −

⋅− −

= −⋅ ⋅

− −= ⋅ > ⋅

−− −

2

0 085778 7 839089 10

016 0 085778 0 00069 1334 10 2 5 10

33 3, ,

, , ,, ,

Mezního stavu je dosaženo v tlačeném betonu.

Nový předpoklad : Mezního stavu je dosaženo v betonu - beton se drtí.


ε ε ε εd L do L= + = + ⋅ −183089 103,

Síla v betonu

N A R x xb bc bd b= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅γ 08 037 85 1 2516, , , , MN

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 81 -

Síla v lamele

N E Ah x t

xL L L L

Lb= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −

− +⋅ − ⋅

⋅ =−ε ε155 10

21839089 10 0 000063 3, ,

= ⋅−

⋅ ⋅ − ⋅

=− −9 3

016062 5 10 1839089 103 3,

,, ,

x

x

= ⋅−

−( ,,

, )0 0232501606

0 017104x

x MN

Síla ve výztuži

N As st s= ⋅ = ⋅ ⋅ =−σ 4 7064 10 340 0 164. , MN

Dosazením do podmínky rovnováhy

Nb = Ns +NL

získáme kvadratickou rovnici pro polohu neutrálné osy

2,516 x2 - 0,119646 x - 0,003734 = 0

x = 0,069048 m

Přetvoření dolních vláken

εd =− +

⋅ ⋅ = ⋅− −016 0 069048 0 0006

0 0690482 5 10 3 31481 103 3, , ,

,, ,

Přetvoření lamely

εL = εd - εdo = 3,31481 . 10-3 - 1,839089 . 10-3 = 1,47572 . 10-3

Síla v lamele

NL = 155 . 103 . 1,47572 . 10-3 . 0,00006 = 0,013724 MN

Přetvoření výztuže

εs =− −

⋅ ⋅ = ⋅− −016 0 069048 0 033

0 0690482 5 10 2 09825 103 3, , ,

,, ,

Síla v betonu

Nb = 2,516 . 0,069048 = 0,17372 MN

Moment na mezi únosnosti na spolupůsobící šířce

M N h ax

N hx

tu u s st L L= ⋅ ⋅ − −

+ ⋅ − +

=γ 0 8

2

0 82

, ,

( ) ( )( )0006,0069048,04,016,0724,13069048,04,0033,016,0160905,0 +⋅−⋅+⋅−−⋅⋅=

Mu = 16,042 kNm

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 82 -

Navrženo je 6 lamel.

Moment únosnosti celkový

[ ]Mucelk = ⋅ ⋅ = >1

26 16 042 48126 45 259, , , kNm

vyhovuje

c. Posouzení kotevní oblasti

1. verze 02 / 93

fctm = 1,6 MPa ⇒ τk = 5 MPa

zLd = 13,724 kN γf =1,28 zL = 1,75 . 13,724/ 1,28 = 18,7633 kN

Výpočtová kotevní délka

( )( )

erf lz

b k tv

L

L k k

=⋅ ⋅ ⋅

=2

2 τ

( )=

⋅ ⋅ ⋅= >

18763 3

50 30 12 5782 359 500

2

2

,

,, mm

2. verze 03 / 96

Maximální kotevní oblast

lE t

fk

L L

ctmmax

,

,,= ⋅

⋅= ⋅ ⋅

⋅=

4

155 10 1 2

4 1 6170 48

3

mm

Kotevní síla

T b k k k E t fk L b c bu L L ctmmax ,= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =0 35

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =0 35 50 1 0 1 0 1 0 155 10 1 2 1 6 9 5473, , , , , , , kN

Posouzení z grafického řešení

Nst = Msu / zs = 41,3 / ( 0,16-0,033-0,4 . 0,069048 ) = 326,66 kN

Mlu,min = Md - Msu = 45,259 - 41,3 = 3,959 kNm

NL,mint = Mlu,min / zL = 3,959 / ( 0,16 - 0,4.0,069048+ 0,0006) = 29,77 kN

FLE = 8,01 kN < Tk,max = 9,547 kN vyhovuje

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 83 -

∆ ∆

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 84 -

3. Posouzení posouvající síly Qd

Maximální posouvající síla

maxQd= 43,2 kN

Posouvající síla přenášená betonem v tlačené části

Q b h Rbu w b btd= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1

3γ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =1

31 016 1 0 75 10 403, , kN

Posouvající síla je přenesena betonem.

4. Delaminace

Smykové napětí přenášené tlačenou plochou betonu

VA1 = τcA . b . x =

2

3

2

30 67 0 06112 10 0 75 103⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅b x Rq b btdχ γ , , , ,

VA1 = 20,48 kN

Smykové napětí ve střední části

VA2 = 0 kN

Smykové síly ve výztuži a lamele

VA3 = χ . ( Es . As + EL

. AL ) = 1,03.10-3 . ( 210.103 . 684,07.10-6 + 155.103 . 6.10-5 )

VA3 = 157,53 kN

Celková síla bránící delaminaci

VA = VA1 + VA2 + VA3 = 20,48 + 0 + 157,53 = 178,01 kN > VA = 43,2 kN

5. Mezní stav přetvoření

Charakteristiky ideálního průřezu nezesíleného v poli III.

a. Průřez ve stadiu I.

Poměry modulů pružnosti

ωss

b

E

E= = =210

239 13,

Plocha výztuže

Ast = 0,0010205 m2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 85 -

Plocha ideálního průřezu

Ai = b . h + ωs . Ast = 1,0 . 0,16 + 9,13 . 1020,5 . 10-6 =

= 0,169317 m2

Statický moment k horní hraně

Si = b h2 / 2 + ωs Ast he =

=1,0 . 0,162 / 2 + 9,13 . 1020,5 . 10-6 . 0,127=

= 0,0139833 m3

Vzdálenost neutrálné osy od horního okraje

xi = Si / Ai = 0,0139833 / 0,169317 = 0,0825864 m

Vzdálenost os

xc = xi -h / 2 = 0,0825864 - 0,08 = 2,5864 . 10-3 m

xs = he - xi = 0,127 -0,0825864 = 0,044414 m

Moment setrvačnosti

I i = 1

12b h3 + Ab xc

2 + ωs Ast xs2 =

= 1

12. 1,0 . 0,163 + 0,16 . (2,5864.10-3)2 + 9,13 . 1020,5.10-6 . 0,0444142 =

= 3,607827 . 10-4 m4

Ohybová tuhost

Bra = 0,85 Eb . Ii = 0,85 . 23.103 . 3.607827.10-4 = 7.0533 MNm2/m

Modul průřezu

Wi = I

h x

i

i−= ⋅

−= ⋅

−−3607827 10

0 16 0 08258644 67723 10

43.

, ,. m3

Moment na mezi vzniku trhlin

Mr = 1,75 Rbtn . Wi = 1,75 . 0,75 . 103 . 4.67723 . 10-3 = 6.13886 kNm/m

5 Mr = 30.6943 kNm/m

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 86 -

b. Průřez ve stadiu III

Z podmínky rovnováhy

( )Ax

A h xbr

s st e r⋅ − ⋅ ⋅ − =2

0ω

získáme kvadratickou rovnici pro výpočet výšky tlačené oblasti

( )1

202b x A x A hr s s r s s e⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =ω ω

xr = 0,040214 m

Tlačená plocha

Ac = b . xr = 1,0 . 0,040214 = 0,040214 m


zb = he - xr / 2 = 0,127 - 0,5 . 0,040214 = 0,106893 m

Ohybová tuhost

Bh z

E A E A

rbe r

s sti b c

= ⋅

⋅+

⋅

= ⋅

⋅ ⋅ ⋅+

⋅ ⋅−

1 20 127 0 106893

1

210 10 1020 5 10

2

23 10 0 0402143 6 3

, ,

, ,

Brb = 2,94456 MNm2

Charakteristiky ideálního průřezu zesíleného v poli III.



ωss

b

E

E= = =210

239 13,

ωLL

b

E

E= = =155

236 74,

Zatěžovací šířka

b = 0,67 m

Plocha výztuže

Ast = 0,67 . 0,0010205 = 684 . 10-6 m2

Plocha lamely

AL = 0,05 . 0,0012 = 6 . 10-5 m2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 87 -


Ai = b . h + ωs . Ast + ωL

. AL =

= 0,67 . 0,16 + 9,13 . 684,07 . 10-6 + 6,74 . 6 . 10-5 =

= 0,11385 m2


Si = b h2 / 2 + ωs Ast he + ωL AL heL =

= 0,67 . 0,162 / 2 + 9,13 . 684,07.10-6 . 0,127 + 6,74 . 6.10-5 . 0,1606 =

= 0,00943413 m3


xi = Si / Ai = 0,00943413 / 0,11385 = 0,0828646 m

Vzdálenost os

xc = xi -h / 2 = 0,0828646 - 0,08 = 2,86458 . 10-3 m

xs = he - xi = 0,127 -0,0828646 = 0,0441354 m

xL = heL - xi = 0,1606 - 0,0828646 = 0,0777354 m


I i = 1

12b h3 + Ab xc

2 + ωs Ast xs2 + ωL AL xL

2 =

= 1

12. 0,67 . 0,163 + 0,1072 . (2,86458.10-3)2 + 9,13 . 684,07.10-6 . 0,04413542 +

+ 6,74 . 6.10-5 . 0,07773542

= 2,441814 . 10-4 m4

Ohybová tuhost

Bra´= 0,85 Eb . Ii = 0,85 . 23.103 . 2,441814.10-4 = 4,774 MNm2

Bra = 4,774/ 0,67 = 7,1254 MNm2

Modul průřezu

Wi = I

h x

i

i−=

⋅−

= ⋅−

−2 441814 10

016 0 0828646316562 10

43,

, ,, m3


Mr´ = 1,75 Rbtn . Wi = 1,75 . 0,75 . 103 . 3,16562 . 10-3 = 4,154876 kNm

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 88 -

Mr = 4,154876 / 0,67 = 6,2013 kNm/m

5 Mr = 31,01 kNm/m


Náhradní plocha výztuže

Asti = Ast + ωω

L

s AL = 684,07.10-6 +

155

210 6.10-5 = 728,356.10-6 m2

Těžiště výztuže

asti = A a A t

A

st st Ls L L

sti

⋅ + ⋅ ⋅=

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅=

−ω 2 684 07 33 0 7381 6 10 0 6

728 35630 957

5, , ,

,, mm


( ) ( )Ax

A h x A h xbr

s st e r L L rL r⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − =2

0ω ω


( )1

202b x A A x A h A hr s s L L r s s e L L eL⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =ω ω ω ω

xr = 0,04126 m

Tlačená plocha

Ac = b . xr = 0,67 . 0,041626 = 0,02789 m


zb = hei - xr / 2 = ( 0,16 - 0,030957 ) - 0,5 . 0,041626 = 0,10823 m

Ohybová tuhost

( )B

h z

E A E A

rbei r

s sti b c

= ⋅

⋅+

⋅

=− ⋅

⋅ ⋅ ⋅+

⋅ ⋅−

1 20 16 0 030957 0 10823

1

210 10 728 356 10

2

23 10 0 027893 6 3

, , ,

, ,

Brb´= 1,44643 MNm2

Brb = 1,44643 / 0,67 = 2,15885 MNm2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 89 -

Charakteristiky ideálního průřezu nezesíleného nad podporou 3.



ωss

b

E

E= = =210

239 13,

Plocha výztuže

Ast = 0,001272 m2


Ai = b . h + ωs . Ast = 1,0 . 0,16 + 9,13 . 1272 . 10-6 =

= 0,171613 m2


Si = b h2 / 2 + ωs Ast he =

=1,0 . 0,162 / 2 + 9,13 . 1272 . 10-6 . 0,126=

= 0,0142633 m3


xi = Si / Ai = 0,0142633 / 0,171613 = 0,083113 m

Vzdálenost os

xc = xi -h / 2 = 0,083113 - 0,08 = 3.113 . 10-3 m

xs = he - xi = 0,126 -0,083113 = 0,042887 m


I i = 1

12b h3 + Ab xc

2 + ωs Ast xs2 =

= 1

12. 1,0 . 0,163 + 0,16 . (3.113.10-3)2 + 9,13 . 1272.10-6 . 0,0428872 =

= 3,64244 . 10-4 m4

Ohybová tuhost

Bra = 0,85 Eb . Ii = 0,85 . 23.103 . 3.64244.10-4 = 7.12097 MNm2/m

Modul průřezu

Wi = I

h x

i

i−= ⋅

−= ⋅

−−364244 10

016 0 0831134 7374 10

43.

, ,. m3

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 90 -


Mr = 1,75 Rbtn . Wi = 1,75 . 0,75 . 103 . 4.7374 . 10-3 = 6.21783 kNm/m

5 Mr = 31.09 kNm/m



( )Ax

A h xbr

s st e r⋅ − ⋅ ⋅ − =2

0ω


( )1

202b x A x A hr s s r s s e⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =ω ω

xr = 0,043717 m

Tlačená plocha

Ac = b . xr = 1,0 . 0,043717 = 0,043717 m


zb = he - xr / 2 = 0,126 - 0,5 . 0,043717 = 0,10414 m

Ohybová tuhost

Bh z

E A E A

rbe r

s sti b c

= ⋅

⋅+

⋅

= ⋅

⋅ ⋅ ⋅+

⋅ ⋅−

1 20 126 0 10414

1

210 10 1272 10

2

23 10 0 0437173 6 3

, ,

,

Brb = 2,2889 MNm2

Charakteristiky ideálního průřezu zesíleného nad podporou 3.



ωss

b

E

E= = =210

239 13,

ωLL

b

E

E= = =155

236 74,

Zatěžovací šířka

b = 0,33 m

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 91 -

Plocha výztuže

Ast = 0,33 . 0,001272 = 419,8 . 10-6 m2

Plocha lamely

AL = 0,05 . 0,0012 = 6 . 10-5 m2


Ai = b . h + ωs . Ast + ωL

. AL =

= 0,33 . 0,16 + 9,13 . 419,8 . 10-6 + 6,74 . 6 . 10-5 =

= 0,053588 m2


Si = b h2 / 2 + ωs Ast he + ωL AL heL =

= 0,33 . 0,162 / 2 + 9,13 . 419,810-6 . 0,126 + 6,74 . 6.10-5 . 0,1606 =

= 0,0047719 m3


xi = Si / Ai = 0,0047719 / 0,053588 = 0,08905 m

Vzdálenost os

xc = xi -h / 2 = 0,08905 - 0,08 = 9,05 . 10-3 m

xs = he - xi = 0,126 -0,08905 = 0,03695 m

xL = heL - xi = 0,1606 - 0,08905 = 0,07155 m


I i = 1

12b h3 + Ab xc

2 + ωs Ast xs2 + ωL AL xL

2 =

= 1

12. 0,33 . 0,163 + 0,0528 . (9,05.10-3)2 + 9,13 . 419,8.10-6 . 0,036952 +

+ 6,74 . 6.10-5 . 0,071552

= 1,2427 . 10-4 m4

Ohybová tuhost

Bra´= 0,85 Eb . Ii = 0,85 . 23.103 . 1,2427.10-4 = 2,429 MNm2

Bra = 2,429/ 0,33 = 7,362 MNm2

Modul průřezu

Wi = I

h x

i

i−= ⋅

−= ⋅

−−12427 10

016 0 089051 75152 10

43,

, ,, m3

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 92 -


Mr´ = 1,75 Rbtn . Wi = 1,75 . 0,75 . 103 . 1,75152 . 10-3 = 2,2989 kNm

Mr = 2,2989 / 0,33 = 6,9663 kNm/m

5 Mr = 34,83 kNm/m


Náhradní plocha výztuže

Asti = Ast + ωω

L

s AL = 419,8 . 10-6 +

155

210 6.10-5 = 464,086.10-6 m2

Těžiště výztuže

asti = A a A t

A

st st Ls L L

sti

⋅ + ⋅ ⋅=

⋅ − ⋅ ⋅=

ω 2 419 8 33 0 7381 6 0 6

464 08629 794

, , ,

,, mm


( ) ( )Ax

A h x A h xbr

s st e r L L rL r⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − =2

0ω ω


( )1

202b x A A x A h A hr s s L L r s s e L L eL⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =ω ω ω ω

xr = 0,046197 m

Tlačená plocha

Ac = b . xr = 0,33 . 0,046197 = 0,015245 m0,130206


zb = hei - xr / 2 = ( 0,16 - 0,029794 ) - 0,5 . 0,046197 = 0,1071075 m

Ohybová tuhost

( )B

h z

E A E A

rbei r

s sti b c

= ⋅

⋅+

⋅

=− ⋅

⋅ ⋅ ⋅+

⋅ ⋅−

1 20 16 0 029794 0 1071075

1

210 10 419 8 10

2

23 10 0 0152453 6 3

, , ,

, ,

Brb´= 0,8181 MNm2

Brb = 0,8181 / 0,33 = 2,479 MNm2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 93 -

Výpočet ohybových tuhostí

1. Provozní zatížení vlastní tíhou a podlahou - nezesílený nosník

Ohybový moment v poli III

Ms = 10,8 kNm

Mr = 6,13886 kNm 5Mr = 30,6943 kNm

ρrr

s

M

M= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

=1

45 1

1

4

30 6943

10 81 0 46052

,

,,

Bra = 7,0533 MNm2

Brb = 2,94456 MNm2

B

B B

rr

ra

r

rb

=+ − =

+ − =11

10 46052

7 0533

1 0 46052

2 94456

4 0241ρ ρ ,

,

,

,

, MNm2

Ohybový moment nad podporou 3

Ms = - 21,6 kNm

Mr = 6,21783 kNm 5Mr = 31,09 kNm

ρrr

s

M

M= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

=1

45 1

1

4

31 09

21 61 0 10984

,

,,

Bra = 7,12097 MNm2

Brb = 2,2889 MNm2

B

B B

rr

ra

r

rb

=+ − =

+ − =11

10 10984

7 12097

1 0 10984

2 2889

2 4732ρ ρ ,

,

,

,

, MNm2


Ms = - 16,3 kNm

Mr = 6,13886 kNm 5Mr = 30,6943 kNm

ρrr

s

M

M= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

=1

45 1

1

4

30 6943

16 31 0 22077

,

,,

Bra = 7,0533 MNm2

Brb = 2,94456 MNm2

B

B B

rr

ra

r

rb

=+ − =

+ − =11

10 22077

7 0533

1 0 22077

2 94456

3 379ρ ρ ,

,

,

,

, MNm2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 94 -

2. Provozní zatížení podlahou - nezesílený nosník


Ms = - 4,0 kNm

Mr = 6,13886 kNm 5Mr = 30,6943 kNm

ρrr

s

M

M= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

=1

45 1

1

4

30 6943

10 81 0 46052

,

,,

Bra = 7,0533 MNm2

Brb = 2,94456 MNm2

B

B B

rr

ra

r

rb

=+ − =

+ − =11

10 46052

7 0533

1 0 46052

2 94456

4 0241ρ ρ ,

,

,

,

, MNm2


Ms = 8,0 kNm

Mr = 6,21783 kNm 5Mr = 31,09 kNm

ρrr

s

M

M= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

=1

45 1

1

4

31 09

21 61 0 10984

,

,,

Bra = 7,12097 MNm2

Brb = 2,2889 MNm2

B

B B

rr

ra

r

rb

=+ − =

+ − =11

10 10984

7 12097

1 0 10984

2 2889

2 4732ρ ρ ,

,

,

,

, MNm2


Ms = 6,1 kNm

Mr = 6,13886 kNm 5Mr = 30,6943 kNm

ρrr

s

M

M= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

=1

45 1

1

4

30 6943

16 31 0 22077

,

,,

Bra = 7,0533 MNm2

Brb = 2,94456 MNm2

B

B B

rr

ra

r

rb

=+ − =

+ − =11

10 22077

7 0533

1 0 22077

2 94456

3 379ρ ρ ,

,

,

,

, MNm2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 95 -

3. Provozní zatížení vlastní tíhou - zesílený nosník


Ms = 11,3 kNm

Mr = 6,2013 kNm 5Mr = 31,01 kNm

ρrr

s

M

M= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

=1

45 1

1

4

31 01

11 31 0 43606

,

,,

Bra = 7,1254 MNm2

Brb = 2,15885 MNm2

B

B B

rr

ra

r

rb

=+ − =

+ − =11

10 43606

7 1254

1 0 43606

2 15885

3 10155ρ ρ ,

,

,

,

, MNm2


Ms = - 16,3 kNm

Mr = 6,9663 kNm 5Mr = 34,83 kNm

ρrr

s

M

M= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

=1

45 1

1

4

34 83

16 31 0 2842

,

,,

Bra = 7,362 MNm2

Brb = 2,479 MNm2

B

B B

rr

ra

r

rb

=+ − =

+ − =11

10 2842

7 362

1 0 2842

2 479

3 0548ρ ρ ,

,

,

,

, MNm2

4. Provozní zatížení podlahou - zesílený nosník


Ms = 6,7 kNm

Mr = 6,2013 kNm 5Mr = 31,01 kNm

ρrr

s

M

M= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

=1

45 1

1

4

3101

181 0 18069

,,

Bra = 7,1254 MNm2

Brb = 2,15885 MNm2

B

B B

rr

ra

r

rb

=+ − =

+ − =11

10 18069

7 1254

1 0 18069

2 15885

2 4699ρ ρ ,

,

,

,

, MNm2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 96 -


Ms = - 9,7 kNm

Mr = 6,9663 kNm 5Mr = 34,83 kNm

ρrr

s

M

M= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

=1

45 1

1

4

3483

261 0 0849

,,

Bra = 7,362 MNm2

Brb = 2,479 MNm2

B

B B

rr

ra

r

rb

=+ − =

+ − =11

10 0849

7 362

1 0 0849

2 479

2 627ρ ρ ,

,

,

,

, MNm2

5. Provozní zatížení nahodilé - zesílený nosník


Ms = 10,7 kNm

Mr = 6,2013 kNm 5Mr = 31,01 kNm

ρrr

s

M

M= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

=1

45 1

1

4

31 01

28 71 0 02012

,

,,

Bra = 7,1254 MNm2

Brb = 2,15885 MNm2

B

B B

rr

ra

r

rb

=+ − =

+ − =11

10 02012

7 1254

1 0 02012

2 15885

2 1896ρ ρ ,

,

,

,

, MNm2


Ms = - 12,2 kNm

Mr = 6,9663 kNm 5Mr = 34,83 kNm

ρrr

s

M

M= ⋅ ⋅ −

= ⋅ −

=1

45 1

1

4

34 83

28 21 0 058777

,

,,

Bra = 7,362 MNm2

Brb = 2,479 MNm2

B

B B

rr

ra

r

rb

=+ − =

+ − =11

10 058777

7 362

1 0 058777

2 479

2 5796ρ ρ ,

,

,

,

, MNm2

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 97 -

Výpočet přetvoření

Při výpočtu přetvoření třetího pole byla uvažována tuhost vypočtená v místě

maximálního ohybového momentu v poli po celé délce průřezu. Při požadavku přesnějšího

výpočtu by bylo možné rozdělit nosník na několik částí a pro každou část spočítat příslušnou

ohybovou tuhost.

1. Provozní zatížení vlastní tíhou a podlahou

Br = 4,0241 MNm2

Počáteční přetvoření

5

384

5

384

6 382 6 1

4 0241 100 02859

4 4

3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅=q l

Br

, ,

,,

1

16

1

16

21 6 6 1

4 0241 100 01249

2 2

3⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅

⋅= −M l

Ba

r

, ,

,,

1

16

1

16

16 3 6 1

4 0241 100 00942

2 2

3⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅

⋅= −M l

Ba

r

, ,

,,

ωωωωlt,1 = 0,00668 m

Přetvoření dotvarováním

počáteční přetvoření od podlahy 0,00252 m

počáteční přetvoření od vlastní tíhy 0,00416 m

Dotvarování vlastní tíhou

t1 = 28 dní , t2 = 365 dní

αtte e= + ⋅ = + ⋅ =− ⋅ − ⋅015 0 08 0 15 0 08 0 20260 015 0 015 281, , , , ,, ,

( )βrl e= ⋅ ⋅ − =− ⋅ −38 0 2026 1 0 55690 07 365 28, , ,,

∆ω = ⋅ = ⋅ −0 5569 0 00416 2 317 103, , , m

Dotvarování podlahou

t1 = 180 dní , t2 = 358dní

αtte e= + ⋅ = + ⋅ =− ⋅ − ⋅015 0 08 0 15 0 08 0 15540 015 0 015 1801, , , , ,, ,

( )βrl e= ⋅ ⋅ − =− ⋅ −38 01554 1 0 35840 07 358 180, , ,,

∆ω = ⋅ = ⋅ −0 3584 0 00252 9 03 104, , , m

∆ω∆ω∆ω∆ωlt1 = 0.00322 m

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 98 -

2. Provozní zatížení podlahou

Br = 4,0241 MNm2


5

384

5

384

2 382 6 1

4 0241 100 01068

4 4

3⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅

⋅= −q l

Br

, ,

,,

1

16

1

16

8 6 1

4 0241 100 00462

2 2

3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅=M l

Ba

r

,

,.

1

16

1

16

61 6 1

4 0241 100 00352

2 2

3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅=M l

Ba

r

. ,

,.

ωωωωlt,2 = - 0,00254 m


t1 = 358 dní , t2 = 365dní

αtte e= + ⋅ = + ⋅ =− ⋅ − ⋅015 0 08 0 15 0 08 0 15040 015 0 015 3581, , , , ,, ,

( )βrl e= ⋅ ⋅ − =− ⋅ −38 01504 1 010 07 365 358, , ,,

∆ω = ⋅ = ⋅ −01 0 00254 2 54 104, , , m

∆ω∆ω∆ω∆ωlt2 = - 0.00254 m

3. Provozní zatížení vlastní tíhou

Br = 3,102 MNm2


5

384

5

384

4 0 6 1

3102 100 023248

4 4

3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅=q l

Br

, ,

,,

1

16

1

16

16 3 6 1

3102 100 01322

2 2

3⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅

⋅= −M l

Ba

r

, ,

,,

ωlt, = 0,001003 m

ωωωωlt,3 = ωlt - ωlt1 - ωlt2 = 0,00676 m

Dotvarování

t1 = 365 dní , t2 = ∞ dní

αtte e= + ⋅ = + ⋅ =− ⋅ − ⋅015 0 08 0 15 0 08 0 15030 015 0 015 3651, , , , ,, ,

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 99 -

( )βrl e= ⋅ ⋅ − =− ⋅ ∞−38 01503 1 0 570 07 365, , ,,

∆ω = ⋅ = ⋅ −0 57 0 00676 3861 104, , , m

∆ω∆ω∆ω∆ωlt3 = 0.00386 m

4. Provozní zatížení podlahou

Br = 2,4699 Mnm2


5

384

5

384

2 382 6 1

2 4699 100 017387

4 4

3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅=q l

Br

, ,

,,

1

16

1

16

9 7 6 1

2 4699 100 0091834

2 2

3⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅

⋅= −M l

Ba

r

, ,

,.

ωωωωlt,4 = 0,008203 m


t1 = 372 dní , t2 = ∞ dní

αtte e= + ⋅ = + ⋅ =− ⋅ − ⋅015 0 08 0 15 0 08 0 15030 015 0 015 3721, , , , ,, ,

( )βrl e= ⋅ ⋅ − =− ⋅ ∞−38 01503 1 0 570 07 372, , ,,

∆ω = ⋅ = ⋅ −0 57 0 008203 4 681 104, , , m

∆ω∆ω∆ω∆ωlt4 = 0.00468 m

5. Provozní zatížení nahodilé

Br = 2,1896 MNm2


5

384

5

384

3 0 6 1

2 1896 100 0247

4 4

3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅=q l

Br

, ,

,,

1

16

1

16

12 2 6 1

2 1896 100 01316

2 2

3⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅= −M l

Ba

r

, ,

,.

ωωωωlt,5 = 0,0115 m

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 100 -

Přetvoření celkové

ωtot = Σωlti + Σ∆ωlti = 0,00668 - 0,00254 + 0,00676 + 0,0082 + 0,0115 +

+ 0.00322 - 0.00254 + 0.00386 + 0,00486 =

= 0,040 m

Limitní p řetvoření podle PŘÍLOHY 7 Č SN 73 1201-86

Zachování tvaru dílce - předpoklad lineárního výpočtu

flim = l / 100 = 6,1 / 100 = 0,061m > 0.040 m

Uložení prvku

flim = l / 150 = 6,1 / 150 = 0,041m

V případě nutnosti snížení průhybu je nutno navrhnout jinou lehčí skladbu podlah.

Součástí statického výpočtu jsou dva výkresy:

Výkres tvaru stropní konstrukce se stávající ocelovou výztuží.

Výkres zesílení externí lepenou výztuží.

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce Symboly

- 101 -

D. SEZNAM POUŽITÝCH SYMBOLŮ

Velká latinská písmena

Ab Plocha betonového průřezu

Abc Plocha tlačené části betonového průřezu

A i Plocha ideálního průřezu

AL Průřezová plocha lamely

Asc Průřezová plocha tlačené výztuže

Ast Průřezová plocha tažené výztuže

Bfl,a Ohybová tuhost flexibilní průřezu neporušeného trhlinami

Bfl,b Ohybová tuhost flexibilní průřezu porušeného trhlinami

Br,a Ohybová tuhost průřezu neporušeného trhlinami

Br,b Ohybová tuhost průřezu porušeného trhlinami

Cbg Těžiště betonového průřezu

E Youngův modul pružnosti

Eb Modul pružnosti betonu

EF|| Modul pružnosti vláken v podélném směru

EL Modul pružnosti lamely

EM Modul pružnosti matrice

Es Modul pružnosti oceli

Fr Síla na mezi vzniku trhlin

Fu Síla na mezi únosnosti

Ii Moment setrvačnosti ideálního průřezu

Md Dimenzační moment

Mg Moment od vlastní tíhy

MP Moment od předpětí

MPs Moment od osamělých břemen

Mr Moment na mezi vzniku trhlin

Mr1 Moment na mezi vzniku trhlin z podmínky spolehlivosti pro taženou oblast

Mr2 Moment na mezi vzniku trhlin z podmínky spolehlivosti pro tlačenou oblast

Ms Ohybový moment od provozního zatížení

Mu Moment únosnosti

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 102 -

Nb Normálová síla v betonu

Nd Normálová síla od zatížení

NL Normálová síla v lamele

NP Normálová síla od předpětí

Ns Normálová síla od provozního zatížení

Nsc Normálová síla v tlačené výztuži

Nst Normálová síla v tažené výztuži

Nu Normálová síla na mezi únosnosti

P Předpínací síla

Qbu Výpočtová posouvající síla přenášená na mezi porušení přenášená betonem

Qd Výpočtová posouvající síla od extrémního zatížení

Qd1 Posouvající síla od extrémního zatížení působící ve vzdálenosti rovné h

od podpory

Rbd Výpočtová pevnost betonu v tlaku

Rbn Normová pevnost betonu v tlaku

Rbtn Normová pevnost betonu v tahu

RL Pevnost lamely

Rs Výpočtová pevnost oceli v tahu

Rsc Výpočtová pevnost oceli v tlaku

Sbc,o Statický moment betonového průřezu k neutrálné osy

Si Statický moment ideálního průřezu k horní hraně

Ssc,o Statický moment průřezové plochy tlačené výztuže k neutrálné osy

Sst,o Statický moment průřezové plochy tažené výztuže k neutrálné osy

TG Bod sklovatění

Tk,max Maximální síla přenášená kotevní oblasti

V Vertikální smyková síla

VA Síla na mezi porušení delaminací

Wci Modul průřezu k více tlačené části průřezu

Wti Modul průřezu k více tažené části průřezu

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 103 -

Malá latinská písmena

agc Vzdálenost těžiště betonového průřezu k tlačenému okraji

agcio Vzdálenost těžiště ideálního průřezu k tlačenému okraji

agt Vzdálenost těžiště betonového průřezu k taženému okraji

agtio Vzdálenost těžiště ideálního průřezu k taženému okraji

asc Vzdálenost těžiště tlačené výztuže k tlačenému okraji

b Šířka průřezu

bL Šířka lamely

bw Šířka průřezu, spolupůsobící šířka

c Délka kolmého průmětu šikmého řezu do směru střednice

dF Průměr vlákna

e Výstřednost provozní hodnoty normálové síly k těžišti betonového průřezu

ed Výstřednost normálové síly od extrémního zatížení

efi Základní výstřednost normálové síly stanovená s přohlédnutím k působícímu

ohybovému momentu bez přihlédnutí k přetvoření konstrukce

eP Výstřednost předpínací síly

epi Výstřednost předpínací síly na ideálním průřezu

erf lk Výpočtová kotevní délka

eu Výstřednost normálové síly na mezi únosnosti

fctm Střední tahová pevnost dle EC2

h Kolmý průmět výšky průřezu

he Účinná výška výztuže

heL Účinná výška lamely

het Účinná výška průřezu se započtením lamely

hL Tloušťka lamely

hw Výška průřezu

k Referenční napětí 30 N / mm2

k1 Součinitel pro výpočet velikosti síly v tlačeném betonu, převzato z SIA 162

k2 Součinitel pro výpočet polohy síly v tlačeném betonu, převzato z SIA 162

kb Součinitel

kbü Součinitel vlivu třmínkové výztuže

kc Součinitel povrchu betonu

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 104 -

l Rozpětí

lcel Celková délka nosníku

lk,max Maximální kotevní délka

q Vlastní tíha

r Křivost

t Teplota

t1 Stáří betonu ve dnech od okamžiku vybetonování na začátku působení

uvažovaného dlouhodobého zatížení

t2 Stáří betonu ve dnech na konci působení dlouhodobého zatížení, popř. v

okamžiku, kdy se přetvoření vyšetřuje

tL Tloušťka lamely

wkrit Kritická šířka trhliny

xc Vzdálenost těžiště betonového průřezu k těžišti ideálního průřezu

xi Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od horního kraje

xL Vzdálenost těžiště lamely k těžišti ideálního průřezu

xs Vzdálenost těžiště tažené výztuže k těžišti ideálního průřezu

xs Vzdálenost těžiště tlačené výztuže k těžišti ideálního průřezu

xu Výška tlačené části betonového průřezu

zb Rameno vnitřních sil

zL Síla v lamele

Velká řecká písmena

δ Diferenciál

δεbt Přetvoření betonu v tažené oblasti při působení zatížení

δεL Přetvoření lamely od účinku zatížení

δεs Přírustek přetvoření v tažené výztuži

δεsc Přírustek přetvoření v tlačené výztuži

δω Přetvoření dotvarováním betonu od dlouhodobého zatížení

σ Suma

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 105 -

Malá řecká písmena

α Tepelné vodivost

βL Hodnota napětí v lamele, při kterém dochází k mezi kluzu oceli

χq Součinitel smykové pevnosti

εbc Poměrné přetvoření betonu v tlaku

εbco Počáteční poměrné přetvoření betonu v tlaku

εbP Poměrné přetvoření betonu od předpětí

εbt Poměrné přetvoření betonu v tahu

εbto Počáteční poměrné přetvoření betonu v tahu

εF Maximální poměrné přetvoření uhlíkového vlákna

εL Poměrné přetvoření lamely

εLkrit Poměrné přetvoření lamely, kdy není možný přenos smykového napětí ve střední

části betonového průřezu

εLmax Maximální poměrné přetvoření lamely

εLo Počáteční poměrné přetvoření lamely

εo Počáteční poměrné přetvoření

εsc Poměrné přetvoření tlačené výztuže

εst Poměrné přetvoření tažené výztuže

εuM Maximální poměrné přetvoření matrice

γb Součinitel podmínek působení betonu v tlaku

γb1

γbb

γbg Vl iv gradientu přetvoření

γbz

γs Součinitel podmínek působení ocelové výztuže

γu Součinitel geometrie

ϕbf Základní hodnota součinitele dotvarování

ρF Objemová hmotnost uhlíkových vláken

ρM Objemová hmotnost pryskyřicové matrice

σ Napětí

σb Napětí v betonu

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana


- 106 -

σbc,max Maximální napětí betonu v tlaku

σbco Počáteční napětí betonu v tlaku

σbt,max Maximální napětí betonu v tahu

σbto Počáteční napětí betonu v tahu

σL Napětí v lamele

σs Napětí ve výztuži

σuF Pevnost uhlíkového vlákna v tahu

σuM Pevnost pryskyřice v tahu

τk Napětí v soudržnosti na rozhraní lepidlo - beton

υ Poissonovo číslo

ω Největší absolutní hodnota vyšetřovaného přetvoření od provozního zatížení

ωL Poměr modulů pružnosti lamely a betonu

ωlim Mezní přetvoření podle PŘÍLOHY 7 ČSN 73 1201-86

ωlt,in Počáteční přetvoření od všech dlouhodobě působících zatížení

ωs Poměr modulů pružnosti výztuže a betonu

ωsh Přetvoření od smršťování betonu

ωst Přetvoření od všech krátkodobě působících zatížení uvažovaných ve

vyšetřovaném okamžiku ( počáteční přetvoření )

ωtot Celkové přetvoření

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

Diplomová práce Literatura a studijní prameny

- 107 -

LITERATURA A STUDIJNÍ PRAMENY

[1] Deuring M. Verstärken von Stahlbeton mit gespannten

Faserverbundwerkstoffen, Bericht Nr. 224, Dübendorf, EMPA

1993

[2] Steiner W. Strengthening of structures with CFRP strips, Sika AG,

Tüffenwies 16-22, CH-8048 Zürich, Switzerland

[3] ing. Perla J. Zesilování betonových konstrukcí pomocí CFK lamel,

Materiály a technologie pro stavbu č. 3/97, str. 48-50

[4] Technický list a propagační materiál Sika CarboDur

[5] Odborný seminář Wernera Steinera ze dne 17.3.1998 v Praze

[6] Dipl.ing. D.Sandner Sika Fachseminar, Neue Technologien zum Erhalten und

Verstärken von Bauteilen mit Sika CarboDur, 1997

[7] ČSN 73 1201-86 Navrhování betonových konstrukcí

[8] Doc.ing. M.Šanda, CSc. Betonové konstrukce I., Technologie betonu a navrhování

betonových prvků, nakladatelství VUT v Brně, 1991

[9] Prof. Vaněk a kol. Protokol o zkoušení lamel, ČVUT Praha

Dipl

omov

á prác

e

Šva

říčko

vá Iv

ana

fakulta stavebnÍ Ústav betonovÝch a zdĚnÝch ... · 32 % epoxidové pryskyřice. délka lamely...

Documents