fakulta matematiky, fyziky a informatiky · margaréte halickej, csc. za odborné vedenie,...

FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKYUNIVERZITY KOMENSKÉHO

V BRATISLAVE

BAKALÁRSKA PRÁCA

Bratislava 2007 Miroslav Mlynárik

FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKYUNIVERZITY KOMENSKÉHO

V BRATISLAVEKatedra aplikovanej matematiky a ²tatistiky

DEA MODELYASSURANCE REGIONMODEL

Bakalárska práca

�tudijný odbor: 9.1.9 Aplikovaná matematika�tudijný program: Ekonomická a �nan£ná matematika

Vedúca bakalárskej práce: Doc. RNDr. Margaréta Halická, CSc.

Bratislava 2007 Miroslav Mlynárik

�estne prehlasujem, ºe som bakalársku prácu vypracovalsamostatne len s pouºitím uvedenej literatúry.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Miroslav MlynárikV Bratislave 15. júna 2007

Po¤akovanie

�akujem svojej vedúcej bakalárskej práce Doc.RNDr. Margaréte Halickej, CSc. za odborné vedenie,pripomienky a cenné rady, ktoré mi pomohli pripísaní tejto bakalárskej práce.

Abstrakt

Bakalárska práca sa zameriava na opis neparametrickejmetódy Data Envelopment Analysis (DEA) ako efektívnehonástroja na vyhodnocovanie efektívnosti nevýrobných orga-niza£ných jednotiek (DMU), pri£om bliº²ie analyzuje CCRmodel a z neho odvodený Assurance Region model. Popismodelov je zaloºený na teórií lineárneho programovania, po-mocou ktorej sú (matematicky) exaktne odvodené príslu²némodely a ich vlastnosti. V poslednej praktickej £asti de-mon²trujeme pouºitie DEA modelov pri tvorbe vlastnéhorankingu kvality fakúlt slovenských vysokých ²kôl.

K©ú£ové slováData Envelopment Analysis, technická a zmie²aná neefek-tívnos´, CCR model, Assurance Region model, ranking kvalityfakúlt slovenských vysokých ²kôl

Obsah

Predhovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Teória lineárneho programovania 51.1 De�nícia úlohy LP a jej duálny tvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 V²eobecný tvar úlohy LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Komplementarita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Úvod do DEA modelov 122.1 Motivácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Analýza jedného vstupu vo£i jednému výstupu . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Ilustrácia rôznych typov neefektívnosti na príklade s dvoma výstupmi . . . 14

3 CCR model 163.1 V²eobecný nelineárny model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Transformácia na úlohu lineárneho programovania . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Zis´ovanie optimálnych váh, referen£nej mnoºiny a zmie²anej neefektívnosti

CCR modelom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Duálny obálkový CCR model 214.1 Dualizácia CCR modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2 Vlastnosti duálneho modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.3 Komplementárne premenné (slacky) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.4 Výstupne orientovaný model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Assurance Region model 295.1 Metóda ohrani£ených multiplikátorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 De�nícia modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Zmena mnoºiny efektívnych DMU ako dôsledok

ohrani£ených multiplikátorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6 Ranking kvality vysokých ²kôl ako úloha DEA 356.1 Úvod do problematiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2 Hodnotenie kvality ²kôl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.3 Aplikácia DEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3.1 Prvá fáza výpo£tu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3.2 Druhá fáza výpo£tu a ur£enie ohrani£ení na váhy . . . . . . . . . . 386.3.3 Programová implementácia a vyhodnotenie výsledkov . . . . . . . . 39

2

OBSAH 3

6.4 Zhrnutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Záver 44

Literatúra 46

Príloha iA Výstupne orientovaný AR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iB Výstupne orientovaný CCR model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iC Optimálne váhy ukazovate©ov (Celkové výsledky - AR model) . . . . . . . iiD Vstupné údaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

PredhovorV sú£asnom rýchlo sa rozvíjajúcom svete sa pomerne £asto sklo¬uje slovo efektívnos´.

Slovo, ktoré sa dostalo do povedomia najmä koncom minulého storo£ia, kedy sa u nás pozmene reºimu za£ala rozvíja´ trhovo orientovaná ekonomika. Práve trhový mechanizmusje hnacou silou, ktorá vyºaduje, aby sa podniky zaoberali efektívnosóu svojej výroby.V prípade na zisk orientovaných �riem ide pritom o relatívne presne de�novaný pojem,ktorý sa dá ©ahko kvanti�kova´ napríklad ve©kosóu vyprodukovaného zisku, prípadne¤al²ími pomerovými ukazovate©mi, ktorých výpovedná hodnota je vä£²inou posta£ujúca.

V prípade organizácií, ktorých primárnym cie©om nie je produkova´ zisk, sa v²akpodobné ²tatistiky nedajú uspokojivo realizova´. Do tejto kategórie patria typicky nevýrob-né sféry hospodárstva, ako sú ²kolstvo £i zdravotníctvo. Vykazova´ totiº efektívnos´ vprípade ²kôl alebo zdravotníckych zariadení je áºko de�novate©ný pojem. �al²í typ in²-titúcií, pri ktorých sa len áºko de�nuje efektívnos´, sú pobo£ky �riem, napríklad �liálkybánk, poisóvní, ale aj predajne (angl.outlets) v rámci jedného podniku, ktoré si nepria-mo konkurujú v zmysle, aby pritiahli najviac zákazníkov. Typickým príkladom sú sietesupermarketov, obchodných domov a pod.

Teória Data Envelopment Analysis (¤alej len DEA), ktorá vznikla v sedemdesiatychrokoch minulého storo£ia, je vo svojej podstate model matematického programovaniaaplikovaného na empirické (namerané) dáta. Svojou metodikou zaloºenou na relatívnomporovnávaní výkonov jednotlivých útvarov s hrani£nými hodnotami v rámci danej skupinysa odlí²ila od iných beºných metód, ktoré sa zameriavali skôr na priemerovanie dát � reg-resiu.

Cie©om na²ej práce bude ukáza´, ako sa pomocou DEA dá zisóva´ a porovnávaéfektívnos´ uº spomenutých nevýrobných organiza£ných jednotiek. Prvá £as´ práce jeteoretická a pozostáva z piatich kapitol. V úvodnej kapitole stru£ne vysvetlíme základ-né pojmy z teórie lineárneho programovania, ktoré neskôr pouºijeme pri budovaní teórieDEA. Následne v druhej kapitole zavedieme pojem efektívnos´ a spôsoby jej vyhodnoco-vania. Na tento ú£el nám posta£ia malorozmerné úlohy, ktoré vyrie²ime gra�cky. �alejde�nujeme v²eobecný nelineárny model, z ktorého neskôr odvodíme CCR model. �al²iukapitolu venujeme duálnej forme CCR modelu, ktorá nám pomôºe pri klasi�kácii neefek-tívnosti. Na záver teoretickej £asti odvodíme Assurance Region (AR) model, popí²emejeho vlastnosti a na£rtneme moºnosti jeho vyuºitia.

�aºiskom praktickej £asti bude pomocou odvodených CCR a AR modelov vyhodnotińa základe dostupných dát efektívnos´ (kvalitu) fakúlt slovenských vysokých ²kôl. Podob-nú analýzu zverej¬uje agentúra ARRA1, pri£om pouºíva jednoduch²iu priemerovaciu meto-diku. Z dôvodu moºného porovnania metodík preto spolu s na²imi výsledkami uvediemeaj príslu²né rankingy, ktoré vykázala vo svojej správe ARRA.

1Akademická rankingová a ratingová agentúra

1 Teória lineárneho programovania

1.1 De�nícia úlohy LP a jej duálny tvar

Základom pre pochopenie a následné pouºitie DEA je teória lineárneho programovania.Úloha lineárneho programovania (LP) je v matematickom ponímaní de�novaná ako opti-maliza£ná úloha na viazaný extrém, £iºe úloha typu:

max {f(x) | x ∈ M}, (1.1)

kde ú£elová funkcia f(x) aj mnoºina prípustných rie²ení M sú tvorené lineárnymi funk-ciami. Zave¤me preto ozna£enie A = (aij) pre maticu z priestoru R

m×n, vektor z Rm

ozna£me b = (bi) a vektor c = (cj) nech patrí priestoru Rn. Úloha (1.1) sa potom dá

chápa´ ako úloha maximalizova´n∑

j=1

cjxj,

pri daných ohrani£eniachn∑

j=1

aijxj ≤ bi, i ∈ {1, . . . ,m}

xj ≥ 0, j ∈ {1, . . . , n}.

V praxi sa pre takto de�novanú úlohu zauºíval symbolický zápis v tvare:

max {cT x | Ax ≤ b, x ≥ 0n1}. (1.2)

Vo v²eobecnosti sa v úlohe (1.2) môºu vyskytnú´ opa£né znamienka nerovností, prípadneaj rovnice. Podobne vektor x ∈ R

n nemusí patri´ nezápornému ortantu. Tieto alternatív-ne verzie úlohy (1.2) vy²etríme neskôr.

O moºných rie²eniach úlohy lineárneho programovania dáva úplnú informáciu nasle-dujúca dôleºitá veta, ktorú uvádzame bez dôkazu s odvolaním sa na knihu [2].

Veta 1.1 (Základná veta lineárneho programovania). [2,Veta (8), str.70]Pre úlohu LP de�novanú pod©a (1.2) ozna£me M = {Ax ≤ b, x ≥ 0n}. Potom pre taktode�novanú úlohu nastáva práve jedna z moºností:

(i) ∃x ∈ M : ∀ x ∈ M cT x ≥ cT x (Optimalita)

(ii) supx∈M

cT x = +∞ (Neohrani£enos´)

(iii) M = ∅ (Neprípustnos´)1x ≥ 0n znamená, ºe xi ≥ 0 ∀ i ∈ {1 . . . n}

5

KAPITOLA 1. TEÓRIA LINEÁRNEHO PROGRAMOVANIA 6

Dôleºitým dôsledkom predchádzajúcej vety je, ºe vylu£uje moºnos´, pri ktorej je ú£elováfunkcia cT x ohrani£ená na mnoºine M , av²ak maximum sa na nej nenadobúda � existujelen supx∈M cT x.

Prejdime teraz k pojmu dualita. Kaºdej úlohe (nazvime ju primárnou) vieme jedno-zna£ne priradi´ tzv. duálnu (=pridruºenú) úlohu, sp¨¬ajúcu niektoré dôleºité vlastnosti.Duálna úloha k úlohe (1.2) je de�novaná v nasledujúcom tvare:

min {bT y | AT y ≥ c, y ≥ 0m} (1.3)

Vidíme, ºe primárna úloha vykazuje vo vz´ahu k duálnej úlohe zjavnú symetriu. Tentojav je spôsobený de�novaním vhodného tvaru primárnej úlohy. V duálnej úlohe je vektorpravých strán z priestoru R

n a vektor b optimalizovanej funkcie náleºí Rm. V porovnaní

s primárnou úlohou si teda vymenili miesto. Nasledujúce dve vety objas¬ujú súvis týchtodvoch úloh.

Veta 1.2 (Slabá veta o dualite). Pre kaºdé prípustné rie²enie x = (x1, x2, . . . , xn) primárnejúlohy a pre kaºdé prípustné rie²enie y = (y1, y2, . . . , ym) duálnej úlohy platí:

cT x ≤ bT y.

Dôkaz:Vynásobením AT y ≥ c z©ava vektorom xT , respektíve Ax ≤ b vektorom yT dostávame:

xT AT y ≥ xT c resp. yT Ax ≤ yT b.

TedacT x ≤ xT AT y ≤ yT b.

Dôsledok 1.3. Ak pre prípustné rie²enie x primárnej úlohy a pre prípustné rie²enie yduálnej úlohy platí

cT x = bT y,

potom sú obe optimálnymi rie²eniami príslu²ných úloh.

Dôsledok 1.4. Ak je ú£elová funkcia jednej z úloh na mnoºine prípustných rie²eníneohrani£ená, potom v druhej úlohe nastala neprípustnos´.

Slabá veta o dualite teda hovorí, ºe ©ubovo©né prípustné rie²enie primárnej úlohe tvorídolnú hranicu pre ©ubovo©né prípustné rie²enie duálnej úlohy a naopak. Pre neprípustnéúlohy tak vznikne tzv. duálna medzera (duality gap), £o je vlastne rozdiel medzi najvä£²ouhodnotou ú£elovej funkcie primárnej úlohy a najmen²ou hodnotou ú£elovej funkcie duálnejúlohy. Pre prípustné úlohy v²ak medzera nevznikne, pretoºe platí tzv. silná veta o dualite,ktorú tu uvádzame bez dôkazu. Jej dôkaz moºno nájs´ napríklad v [1].

Veta 1.5 (Silná veta o dualite). Ak má primárna úloha prípustné rie²enie a zárove¬duálna úloha má prípustné rie²enie, potom existujú optimálne rie²enia x a y oboch úloh a

cT x = bT y. (1.4)


Silná veta hovorí, ºe v prípade prípustnosti oboch úloh nastáva u oboch optimalitaa hodnoty ú£elových funkcií v optime sa rovnajú. Teda nutnou podmienkou optimalityje nulová duálna medzera. Zo slabej vety v²ak vieme, ºe je to zárove¬ aj posta£ujúcapodmienka. Optimalita je preto ekvivalentná nulovej duálnej medzere.

1.2 V²eobecný tvar úlohy LPCie©om tejto £asti bude ukáza´, ºe kaºdú úlohu LP vieme jednoducho transformova´ navopred poºadovaný tvar. Potom v²etky vety a vlastnosti dokázané pre nerovnicové tvary(1.2) a (1.3) ostanú v platnosti aj pre akýko©vek iný tvar úlohy LP, s ktorým budemeneskôr pracova´.

• Majme systém rovníc, ktorý potrebujeme transformova´ na nerovnice. V takomtoprípade pouºijeme identitu:

aT1 x = b1

aT2 x = b2

. . .aT

nx = bn

⇔

aT1 x ≤ b1

aT2 x ≤ b2

. . .aT

nx ≤ bn∑n

i=1 aTi x ≥

∑n

i=1 bi

.

• Naopak, kaºdú nerovnicu vieme transformova´ na rovnicu pridaním aditívnej pre-mennej:

aTi x ≤ bi ⇔ aT

i x + λi = bi, λi ≥ 0.

• V prípade minimalizovanej funkcie sa na prevod pouºije triviálna vlastnos´:maxx∈M

f(x) ⇔ −minx∈M

−f(x)

• Ostáva nám e²te ukáza´, ako previes´ vo©né premenné na nezáporné. Uvaºujmespolo£nú nezápornú premennú x0. Pouºitím tejto premennej a nasledujúcej ekviva-lencie sa nám beºný spôsob rozkladu vo©nej premennej na dve nezáporné zjednodu²ío n − 1 premenných:

xi − vo©ná ⇔ xi = x′

i − x0, kde x′

i ≥ 0, x0 ≥ 0.

Takto moºno ©ubovo©nú úlohu LP previes´ na poºadovaný tvar (1.2), s ktorým budemepracova´ v tretej kapitole, kde zavedieme DEA modely. Rovnako sa tento tvar zvy£ajnevyºaduje pri výpo£te rie²enia simplexovou metódou.

Pre v²eobecné tvary primárnej (maximaliza£nej) a duálnej (minimaliza£nej) úlohyplatia nasledujúce vz´ahy:

Primárna Duálna

max z = cT1 x1 + cT

2 x2

x1, x2 A11x1 + A12x2 ≤ b1

A21x1 + A22x2 = b2

x1 ≥ 0

x2 − vo©né

min w = bT1 y1 + bT

2 y2

y1, y2 AT11y1 + AT

12y2 ≥ c1

AT21y1 + AT

22y2 = c2

y1 ≥ 0

y2 − vo©né

(1.5)


Je zjavné, ºe dualizácia vo v²eobecnosti znamená zásah do symetrie oboch úloh. Aksa v primárnej úlohe vyskytujú rovnice, v duálnej úlohe sa zmení príslu²ný po£et pre-menných z nezáporných na vo©né. Analogická situácia nastáva aj pri "premene" vo©nýchpremenných na rovnice.

1.3 KomplementaritaV tomto odseku vysvetlíme ¤al²í dôleºitý pojem, ktorý neskôr vyuºijeme pri odvodenívlastností DEA modelov. Za£neme tvrdením z teórie lineárnej algebry, ktoré je moºnézapísa´ bu¤ ako vylu£ujúce sa alternatívy, alebo ako ekvivalenciu dvoch výrazov. Prena²e potreby sformulujeme a dokáºeme len verziu alternatívnych tvrdení.

Veta 1.6 (Farkasova). Pre kaºdú maticu A ∈ Rm×n a kaºdý vektor b ∈ R

m má v prípade(i) aj (ii) rie²enie práve jeden systém nerovníc v zloºených zátvorkách:

(i)

{

Ax = b

x ≥ 0

}

XOR

{

AT y ≤ 0n

bT y > 0

}

(1.6)

(ii)

{

Ax ≤ b

x ≥ 0

}

XOR

AT y ≥ 0n

bT y < 0

y ≥ 0

(1.7)

Dôkaz:Dôkaz uvedieme pre obe tvrdenia sú£asne. Vychádzajúc z neexistencie rie²enia ©avéhosystému v prípade (i) dostávame sériu ekvivalencií:

⟨

Ax = b

x ≥ 0

⟩

⇐⇒

⟨ min 0T x

Ax = b

x ≥ 0

⟩

⇐⇒

⟨

max yT b

AT y ≤ 0

⟩

⇐⇒

⟨

AT y ≤ 0

yT b > 0

⟩

(1.8)

Nemá rie²enie Neprípustnos´ Neohrani£enos´ Má rie²enieTretí systém má prípustné rie²enie 0n, preto musí by´ neohrani£ený. Vidíme teda, ºezo série ekvivalentných tvrdení o systémoch nerovníc, v ktorej sme vyuºili Dôsledok 1.4slabej vety o dualite, vyplýva platnos´ tvrdenia (i). Druhá £as´ sa dokazuje analogic-ky s tým rozdielom, ºe v priebehu dôkazu je primárna úloha maximaliza£ná a rovniceAx = b nahradíme nerovnicami, £o pod©a teórie duality pridá dodato£nú podmienku nanezápornos´ y.

Veta 1.7. Pre kaºdú kososymetrickú maticu G (GT = −G) sústava

Gx ≥ 0, x ≥ 0 (1.9)

má rie²enie x také, ºe:Gx + x > 0 (1.10)


Dôkaz:[ 2, Lemma 14, str. 90] Nech matica G pozostáva z p riadkov a nech k ∈ N : 1 ≤k ≤ p. Uvaºujme najprv o sústave

gTi x ≥ ek

i

x ≥ 0,1 ≤ i ≤ p (1.11)

kde gTi je i-ty riadok matice G a ek je k-ty jednotkový vektor. Ak má sústava (1.11)

rie²enie xk, potom toto rie²enie je zárove¬ rie²ením sústavy (1.9) a má vlastnos´:

gTk xk + xk

k > 0,

gTi xk + xk

i ≥ 0,1 ≤ i ≤ p. (1.12)

Ak sústava (1.11) nemá rie²enie, potom ho nemá ani sústava:

−Gx ≤ −ek, x ≥ 0.

Pod©a uº dokázanej Farkasovej vety, presnej²ie jej £asti (i) má potom rie²enie sústava

−GT y ≥ 0, (−ek)T y < 0, y ≥ 0.

Pretoºe GT = −G, môºeme túto sústavu písa´ v tvare

Gy ≥ 0, y ≥ 0, yk > 0,

Opä´ teda existuje rie²enie y := xk sústavy (1.9) s vlastnos´ami (1.12). Ak poloºímex = x1 + x2 + · · ·+ xk, dostaneme zrejme rie²enie sústavy (1.9) s vlastnos´ami (1.10).

Pri poh©ade na dôkaz sa dá kon²tatova´, ºe jeho princíp spo£íva vo vlastnosti kososyme-trie matice G a pouºití Farkasovej vety na vhodne zvolenú sústavu (1.11).

Pojem komplementarity, ako uvidíme, je ve©mi názorný. Zave¤me do primárnej aduálnej úlohy nezáporné aditívne premenné λ a µ, aby sme dostali sústavy rovníc:

max z = cT x

Ax + λ = b

x ≥ 0n, λ ≥ 0m

min w = bT y

AT y − µ = c

y ≥ 0m, µ ≥ 0n

(1.13)

Pre potreby DEA budeme nazýva´ premenné λ a µ tzv. slacky. Dokáºeme tvrdenie, ktoréhovorí, ºe v optimálnom rie²ení oboch úloh je sú£in λT y a µT x rovný nule.

Veta 1.8 (O komplementarite). Nech (x, λ) a (y, µ) sú prípustné rie²enia príslu²nýchúloh (1.13). Potom (x, λ) a (y, µ) sú optimálne rie²enia (1.13) vtedy a len vtedy ak platí:

µT x = yT λ = 0, (1.14)

respektíve z nezápornosti premenných vyplýva

µixi = 0 ∀ i = 1 . . . n,

λjyj = 0 ∀ j = 1 . . . m.(1.15)


Dôkaz:"⇐ ”

Z µT x = 0 : (yT A − cT )x = 0 ⇒ cT x = yT Ax. (1.16)Z λT y = 0 : yT (b − Ax) = 0 ⇒ yT Ax = yT b. (1.17)

Teda cT x = bT y. Pod©a Dôsledku 1.3 slabej vety o dualite sú potom x a y optimálnerie²enia príslu²ných úloh."⇒ ” Naopak, ak sú x a y optimálne, potom zo silnej vety platí cT x = bT y. Zárove¬ zprípustnosti oboch úloh vyplýva:

yT (Ax − b) ≤ 0 a (yT A − cT )x ≥ 0. (1.18)

TedayT Ax − bT y ≤ 0 ≤ yT Ax − cT x.

Ke¤ºe cT x = bT y, v (1.18) nastáva rovnos´, preto platí vz´ah (1.14).

Ak je teda súradnica premennej v jednej úlohe (napr. xi) v ©ubovo©nom optimálnomrie²ení kladná, potom príslu²ná súradnica ©ubovo©ného slacku (µi) duálnej úlohy je nulová.Rovnaký princíp platí, ak zameníme pojmy slack�premenná. Premenné x a µ, resp. y aλ nazývame navzájom komplementárne premenné (v optimálnom rie²ení).

Na záver tejto teoretickej £asti uvádzame aj s dôkazom dôleºité tvrdenie o komple-mentarite, ktoré zaru£uje existenciu tzv. ostrokomplementárnych rie²ení.

Veta 1.9 (O ostrej komplementarite). Medzi optimálnymi rie²eniami navzájom duálnychúloh (1.13) existuje také, ºe v podmienkach (1.15) je práve jedna z komplementárnychpremenných nulová (=druhá je nutne kladná).

Dôkaz:[ 3, Theorem A7, str. 288]Nech r ∈ R. Potom de�nujme systém nerovníc:

−Ax + rb ≥ 0m (1.19)AT y − rc ≥ 0n (1.20)cT x − bT y ≥ 0 (1.21)

x ≥ 0n, y ≥ 0m, r ≥ 0. (1.22)

Na základe tohto systému de�nujeme maticu K a vektor w:

K =

0 −A bAT 0 −c−bT cT 0

, w =

yxr

. (1.23)

Vzh©adom na platnos´ Vety 1.7 má systém

Kw ≥ 0, w ≥ 0,

rie²enie wT = (y, x, r)T také, ºeKw + w > 0.


Z toho vyplývajú nasledujúce nerovnice:

−Ax + rb + y > 0m (1.24)AT y − rc + x > 0n (1.25)cT x − bT y + r > 0. (1.26)

Sú dva moºné prípady pre r:

(i) Ak r > 0, de�nujeme postupne x, λ, y a µ :

x = x/r, y = y/r

λ = b − Ax, µ = AT y − c

Potom (x, λ) je prípustné rie²enie primárnej a (y, µ) je prípustné rie²enie duálnejúlohy (vzh©adom na (1.13)). �alej cT x ≥ bT y, preto dané rie²enia sú zárove¬optimálne. V tomto prípade (1.24) a (1.25) spolu dajú

λ + y > 0 & µ + x > 0.

Tým je tvrdenie vety dokázané.

(ii) Ak r = 0, nemôºu ma´ obe úlohy (1.13) naraz prípustné rie²enia. Keby totiºx∗ a y∗ boli prípustné, potom by nutne platilo:

Ax∗ ≥ b, x∗ ≥ 0, AT y∗ ≤ c, y∗ ≥ 0,

£o za predpokladu r = 0 by s pouºitím (1.21) a (1.20) dalo:

cT x ≤ y∗T Ax ≤ 0 ≤ yT Ax∗ ≤ yT b,

£o odporuje (1.26) za predpokladu, ºe r = 0. Preto prípad r = 0 nemôºe nasta´.

Týmto sme dokázali vetu o ostrej komplementarite pre symetrické duálne úlohy (1.13).

2 Úvod do DEA modelov

2.1 MotiváciaAko uº bolo spomenuté v úvode, DEA sa zaoberá vyhodnocovaním efektívnosti zvä£²anevýrobných organiza£ných jednotiek. Tieto aj ke¤ vo vä£²ine prípadov neprodukujú zisk,defacto v²ak transformujú vstupy na výstupy. Pod pojmom vstup budeme v zmysle DEArozumie´ v²etko, £o vstupuje do procesu produkcie výstupov. Zjednodu²ene povedané,vstupy majú v rámci DEA rovnaké postavenie, ako majú náklady v teórii �rmy. V obochprípadoch sa totiº snaºíme o ich minimalizáciu. Naopak, medzi výstupy zaradíme v²etko,£o moºno povaºova´ za hodnotu, ktorá sa získa transformáciou vstupov. Cie©om kaºdejorganiza£nej jednotky je potom dosiahnú´ maximálnu produkciu výstupov pri minimál-nej spotrebe vstupov. V literatúre sa pre takýto typ jednotiek zauºíval pojem DMU(Decision making unit), ke¤ºe do ve©kej miery môºu ovplyv¬ova´ svoju efektívnos´.

Vo v²eobecnosti existuje mnoho spôsobov, ako efektívnos´ vyhodnoti´. Jedným zdôleºitých ukazovate©ov efektívnosti (úspe²nosti) �rmy je rozdiel medzi výnosmi a ná-kladmi � zisk. �ím vä£²í je zisk, tým viac je �rma úspe²nej²ia. Naopak, pri zis´ovaníefektívnosti pomocou DEA, v rámci ktorej pracujeme s vstupmi a výstupmi ako charak-teristikami nevýrobného procesu, je opodstatnené pouºitie podielu

E =VýstupVstup . (2.1)

V prípade jedného vstupu a výstupu máme teda efektívnos´ dobre de�novanú � porov-nanie efektívností jednotlivých DMU zodpovedá porovnaniu príslu²ných pomerov (2.1).Ak ale potrebujeme zisti´ efektívnos´ procesu, pri ktorom sa spotrebúva viacero vstupovalebo produkuje viacero výstupov, musíme sa vysporiada´ nielen s problémom, ktoré vstu-py a výstupy vyberieme do analýzy, ale aj aké váhy im máme priradi´, aby sme opä´ získalijednoduchý tvar (2.1). Jeden prístup k problému je de�nova´ si vopred vlastné váhy ana ich základe následne ur£i´ efektívnos´ pre v²etky DMU. DEA v²ak apriórnu informá-ciu o váhach nevyºaduje, pretoºe, ako neskôr uvidíme, nám optimálne váhy vyplynú ako�sekundárny� produkt na²ich výpo£tov.

2.2 Analýza jedného vstupu vo£i jednému výstupuPrejdime teraz ku konkrétnemu príkladu. Predpokladajme, ºe máme zhodnoti´ efek-tívnos´ deviatich modelových kniºníc v závislosti od celkovej d¨ºky otváracích hodín(vstup) a celkového po£tu vypoºi£aných kníh (výstup). Podrobné dáta sú zapísané vnasledujúcej tabu©ke.

12

KAPITOLA 2. ÚVOD DO DEA MODELOV 13

Kniºnica A B C D E F G H IOtváracie hodiny 2 3 2 5 4 4 6 7 8Výpoºi£ky 2 2 1 2 1 3 4 5 5Výpoºi£ky/Otváracie hodiny 1 0.667 0.5 0.4 0.25 0.75 0.667 0.714 0.625

Tabu©ka 2.1: Jeden vstup vs. jeden výstup

Pod©a efektívnosti de�novanej vz´ahom (2.1) (posledný riadok tabu©ky) je kniºnicaA najviac efektívna a kniºnica E najmenej. Názorne sa dá situácia zobrazi´ grafom, vktorom otváracie hodiny (vstup) nanesieme na os x a výpoºi£ky (výstup) na os y.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

Otváracie hodiny

Výp

ozic

ky

A B

C E

D

F

G

H I

Regresná priamka

Efektívna hranica

x

y

1 1.5 2 2.5 3 3.5 41

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Otváracie hodiny

Výp

o�ic

ky

B

B1

B2=A

Obrázok 2.1: Vysvetlenie Tabu©ky 2.1 (v©avo), zlep²enie pre B (vpravo).

Uvaºujme priamku vychádzajúcu z po£iatku súradnicovej sústavy a prechádzajúcuniektorým z bodov (bod = reprezentácia kniºnice). Smernica tejto priamky predstavujepomer výpoºi£iek k otváracím hodinám danej kniºnice. Z Obrázka 2.1 vidíme, ºe naj-vä£²ia hodnota sa nadobúda v prípade A. �iaru prechádzajúcu bodom A preto nazvemeefektívnou hranicou. Môºeme si v²imnú´, ºe v²etky body leºia bu¤ na alebo pod toutohranicou. Práve z tejto vlastnosti �obalenia dát�(envelopment) bolo odvodené ozna£enieDEA. 1

�iara zobrazujúca hranicu efektívnosti nemusí ma´ vo v²eobecnosti rovnaký sklon.V tomto jednoduchom prípade v²ak ostaneme pri tejto hranici a nazveme ju efektívnahranica pri kon²tantných výnosoch z rozsahu. Ke¤ºe bod A leºí jediný na hranici, sú os-tatné kniºnice neefektívne a ich mieru efektívnosti môºeme ur£i´ vzorcom, ktorý vyjadruje"pomer pomerov"(ratio of ratios)2:

1[3, str. 3]: " and all points are therefore on or below this line. The name Data Envelopment Analysis,as used in DEA, comes from this property because in mathematical parlance, such a frontier is said toenvelope these points."

2vi¤ [3, str. 4].


0 <Výpoºi£ky vzh©adom na otváracie hodiny (ostatní)

Výpoºi£ky vzh©adom na otváracie hodiny (A) ≤ 1 (2.2)

Pod©a (2.2) sú potom hodnoty efektívností pre jednotlivé kniºnice nasledujúce:

Kniºnica A B C D E F G H IEfektívnos´ 1 0.667 0.5 0.4 0.25 0.75 0.667 0.714 0.625

Problém zefektívnenia tých DMU, ktoré neleºia na efektívnej hranici bez toho, abysme zvý²ili spotrebu vstupov alebo zníºili produkciu výstupov, ilustrujeme na kniºnici B,ktorá pod©a hodnoty v tabu©ke nie je efektívna (dosahuje mieru efektívnosti 0.667 < 1).Na Obrázku 2.1 (vpravo) vidíme, ºe moºné zlep²enia pre kniºnicu B sp¨¬ajúce uvedenédve kritériá leºia na úse£ke ←−→

B1B2, pri£om bod B1 je totoºný s efektívnym bodom A. Priprojekcii na zvy²nú £as´ efektívnej hranice by sme bu¤ zmen²ili produkciu, alebo zvý²ilivstupy, £o v²ak nie je na²ím zámerom pri zlep²ovaní efektívnosti danej DMU.

2.3 Ilustrácia rôznych typov neefektívnosti na príklades dvoma výstupmi

Analogicky ako v predchádzajucej £asti analyzujeme kniºnice, av²ak v tomto prípadezavedieme dodato£ný výstup. Presné dáta sú uvedené v tabu©ke.

Kniºnica A B C D E F G HOtváracie hodiny x 1 1 1 1 1 1 1 1Výpoºi£ky y1 3 2 4 5 1 7 6 4Po£et £itate©ov y2 4 7 6 5 5 2 4 2

Tabu©ka 2.2: Jeden vstup vs. dva výstupy

Pre názornos´ pri vizualizácii sme normalizovali vstupy v²etkých kniºníc na jednotku.Takto môºeme vytvori´ podiel Výpoºi£ky / Otváracie hodiny a Po£et £itate©ov/Otváraciehodiny a zobrazi´ na grafe podobnom z predchádzajúcej £asti. Teraz v²ak budeme h©ada´efektívne kniºnice medzi tými, ktoré majú zárove¬ obe súradnice £o najvä£²ie. To zod-povedá interpretácii efektívnosti v zmysle h©ada´ pri pevne danom mnoºstve vstupu xmaximálnu hodnotu oboch výstupov. Ak chceme nájs´ hranicu, ktorá "oba©uje" v²etkydáta tak, aby na nej leºali efektívne kniºnice, dostaneme lomenú £iaru spájajúcu bodyB, C, D, G a F.

Neefektívne kniºnice sú teda v tomto prípade A,E, H, ktoré sú vnútri mnoºiny nazý-vanej aj mnoºina produk£ných moºností. Jej presnú de�níciu zavedieme v ²tvrtej kapitole.Miera neefektívnosti sa v tomto prípade ur£í pomocou pomeru vzdialeností daného bodua radiálneho pred¨ºenia na efektívnu hranicu, vi¤ Obrázok 2.2.


Obrázok 2.2:V prípade kniºnice H to napríklad znamená:

||←→OP ||

||←→OH||

= 1,6 (2.3)

�íslo 1,6 nám dáva informáciu o potrebnom zlep²ení danej DMU, aby sa dostala naefektívnu hranicu. V tomto prípade je potrebné zvý²i´ oba výstupy kniºnice H rovnako o1,6 - 1 = 60%.

Pri tomto proporcionálnom zlep²ení bodu H hrajú k©ú£ovú úlohu body F a G, pretoºebod P , na ktorý sa sprojektoval bod H, patrí úse£ke←−→FG. Body F a G nazývame referen£námnoºina bodu H. Táto mnoºina je rôzna pre jednotlivé neefektívne kniºnice.

Zopakujme, ºe získané hodnoty efektívnosti odzrkad©ujú proporcionálnu neefektivitu(v tomto prípade) výstupov. To znamená, ºe neefektívnos´ je obsiahnutá v oboch vý-stupoch, £iºe na dosiahnutie efektívnej hranice je potrebné zvý²i´ oba výstupy o 60%,pri£om sa zachováva ich pomer. Neefektívnos´ vyzna£ujúca sa tým, ºe môºe by´ elimi-novaná bez toho, aby sa zmenil pomer faktorov (vstupov alebo výstupov), sa nazývatechnická neefektívnos´.

Opa£ný prípad nastane, ke¤ len niektorý z faktorov vykazuje neefektívnos´. Tento typneefektívnosti sa v literatúre ozna£uje pojmom zmie²aná neefektívnos´ (mix ine�ciency)3,pretoºe na jeho elimináciu je potrebné zasiahnu´ do pomeru faktorov (pomeru v akom súvyuºívané vstupy, respektíve produkované výstupy).

Objasníme tento prípad na na²om príklade. Pomocou radiálnej projekcie, ktorou saako sme uviedli, nemení pomer faktorov, sme sprojektovali bod E na hranicu mnoºinyproduk£ných moºností ( 6= efektívna hranica). Takto sme dostali bod S, ktorý v²ak e²tenie je efektívny. �ahko sa o tom môºeme presved£i´ porovnaním bodov S a B, pri ktoromzistíme, ºe bod S e²te vºdy vykazuje neefektívnos´, konkrétne v druhom výstupe, ktoréhoprodukuje menej ako B. Zvý²ením tohto výstupu síce nezmeníme (nezhor²íme) mnoºstvoostatných faktorov, zmení sa ale pomer výstupov.

V prípade kniºnice E teda môºeme pozorova´ oba druhy neefektívnosti � technickú,ktorú moºno eliminova´ projekciou, a zmie²anú, ktorá zostala prítomná aj po projekcii, aktorej eliminácia si vyºiadala zmenu pomeru faktorov. Takto sme uº dostali bod, ktorýpatrí efektívnej hranici, £iºe je efektívny.

3vi¤ [3, str. 11]

3 CCR model

3.1 V²eobecný nelineárny modelV nasledujúcich dvoch kapitolách bude na²im cie©om opísa´ CCR model z primárnej aduálnej stránky. Táto problematika je podrobne spracovaná v mnohých publikáciach. Vna²ej práci vychádzame najmä z [3] a [6], pri£om ²tandardný teoretický výklad (zaloºenýna teórii LP) doplníme o vlastný roz²irujúci komentár a ilustra£né príklady.

Vieme uº, ºe DEA vyhodnocuje efektívnos´ na základe údajov o vstupoch a vý-stupoch. V predchádzajúcej kapitole sme opísali podrobne prípady, ktoré sa dali rie²i´gra�cky, pretoºe boli malorozmerné. V praxi v²ak môºeme ma´ zadaných ve©a faktorov,pre spracovanie ktorých je potrebné zavies´ vzáh analogický vzáhu (2.1). Pomocou nehototiº uº vieme ©ahko ur£i´ efektívnos´.

Predpokladajme, ºe pre kaºdú z n DMU máme vybraných rovnakých m vstupov a svýstupov, pri£om v²etky vstupy aj výstupy sú relevantné pre danú (ne)výrobnú £innos´.Zave¤me ozna£enie (xo,yo) ∀o ∈ {1 . . . n} pre body v m + s rozmernom (euklidovskom)priestore, kde zloºka xo ∈ R

m reprezentuje vektor vstupov a yo ∈ Rs vektor výstupov

danej DMUo. �alej predpokladajme, ºe vektory dát pre danú DMUo sú nezáporné anenulové, teda

xo ≥ 0m, xo 6= 0m, resp. yo ≥ 0s, yo 6= 0s. (3.1)

Aby sme boli schopní ur£i´ efektívnos´ jednotlivých DMU pomocou vzorca typu (2.1),zavedieme pre vstupy a výstupy systém váh (u, v), kde u = (u1, . . . , us), resp. v =(v1, . . . , vm). Potom efektívnos´ DMUo (v danom systéme váh) de�nujeme ako:

Eo(u, v) =uT yo

vT xo

=

∑s

r=1 uryro∑m

i=1 vixio

, (3.2)

kde yoT = (y1o, y2o, . . . , yso)

T a xo = (x1o, x2o, . . . , xmo). V predchádzajúcej kapitole sapri interpretácii výsledkov osved£ila efektívnos´ z intervalu 〈0, 1〉, preto túto vlastnosáplikujeme aj na ná² v²eobecný model. Z tohto dôvodu zave¤me tzv. systém prípustnýchváh (u, v), od ktorého budeme vyºadova´ tieto vlastnosti:

(i) Eo(u, v) ≤ 1, ∀o ∈ {1 . . . n}

(ii) u > 0s, v > 0m.

Kým prvá podmienka vyjadruje poºadovanú vlastnos´ normovania hodnoty efektívnosti,druhá súvisí s uº spomenutou významnosóu v²etkých faktorov zahrnutých v modeli.Na²ou úlohou bude teda nájs´ také (pre kaºdú DMU jednotlivo) optimálne prípustné váhy,ktoré pri sú£asnom aplikovaní na v²etky DMUmaximalizujú pomer (3.2) pre DMUo. Tútoslovnú de�níciu vieme jednozna£ne opísa´ nasledujúcou optimaliza£nou úlohou (zatia©)

16

KAPITOLA 3. CCR MODEL 17

nelineárneho programovania, ktorej rie²enie nám dá h©adaný optimálny systém váh ahodnotu efektívnosti pre DMUo:

maxu,v

θ =

∑s

r=1 uryro∑m

i=1 vixio

∀j ∈ {1 . . . n} :

∑s

r=1 uryrj∑m

i=1 vixij

≤ 1

v1, v2, . . . , vm > 0

u1, u2, . . . , us > 0.

(3.3)

Model (3.3) je úlohou zlomkového programovania, £o znamená, ºe ho nevieme rie²i´ metó-dami LP. Preto sa ho pokúsime linearizova´.

3.2 Transformácia na úlohu lineárneho programovaniaUvaºujme model (3.3). Je zrejmé, ºe pre jeho ú£elovú funkciu f = f(u, v) platí vz´ah

f(αu, αv) = f(u, v).

Z tohto dôvodu môºeme menovate© poloºi´ rovný jednej a presunú´ ho do ohrani£ení, £ímnezmeníme optimálnu hodnotu ú£elovej funkcie. Nová ú£elová funkcia

∑s

r=1 uryro, ktorúnásledne maximalizujeme, je uº lineárna. Vzh©adom na nezápornos´ (kladnos´) v²etkýchmenovate©ov v ohrani£eniach (3.3) môºeme kaºdú nerovnicu bez ujmy na v²eobecnostilinearizova´ prenásobením príslu²ným menovate©om. Navy²e, ak zmiernime podmienkukladných prípustných váh tak, ºe pripustíme nezáporné váhy, dostaneme spolu s pred-chádzajúcimi úvahami nasledujúcu úlohu lineárneho programovania:

maxu,v

θ =s∑

r=1

uryro

∑m

i=1vixio = 1

∀j ∈ {1 . . . n} :∑s

r=1uryrj ≤

∑m

i=1vixij

v1, v2, . . . , vm ≥ 0

u1, u2, . . . , us ≥ 0.

(3.4)

Model (3.4) nazveme vstupne orientovaný CCR model.

Predpokladajme, ºe existuje optimálne rie²enie úlohy (3.4), ktoré má v²etky zloºkykladné. Potom vzh©adom na (vä£²iu) mnoºinu prípustných rie²ení úlohy (3.3) je toto rie²e-nie zárove¬ optimálnym rie²ením aj pre úlohu (3.3), £o znamená, ºe optimálne hodnotyú£elových funkcií oboch úloh sa rovnajú.

Pred samotným de�novaním efektívnosti by bolo vhodné ukáza´, ºe pre lineárny modelplatí optimalita v zmysle Vety 1.1, a to pre ©ubovo©nú sadu dát sp¨¬ajúcu uº spomenuté


podmienky nezápornosti (3.1). Tento dôkaz v²ak urobíme aº v ¤al²ej kapitole, ke¤zavedieme duálny model.

De�nícia 3.1 (Efektívnos´ pod©a primárnej úlohy). DMUo je efektívna, ak v (3.4) platímax θ = θ∗ = 1 a existuje aspo¬ jedna kombinácia optimálnych váh (v∗, u∗) taká, ºev∗ > 0m a u∗ > 0s. V opa£nom prípade je neefektívna a hovoríme, ºe θ∗ je mierou jejefektívnosti.

Pod©a tejto de�nície je teda DMU neefektívna bu¤ ak θ∗ < 1, alebo ak θ∗ = 1 aaspo¬ jedna zloºka v∗ alebo u∗ je nulová pre kaºdé optimálne rie²enie úlohy (3.4). Druhýprípad vy²etríme neskôr, ke¤ zavedieme duálnu úlohu. Pre prvý prípad de�nujeme tzv.referen£nú mnoºinu.

De�nícia 3.2. Nech DMUo je neefektívna v zmysle θ∗ < 1, pri£om jej optimálne váhy sú(v∗, u∗). Potom mnoºinu

Eo = {j :s∑

r=1

u∗

ryrj =m∑

i=1

v∗

i xij}, (3.5)

kde xij, yrj sú zloºky vstupov a výstupov efektívnych DMUj, nazývame referen£nou mnoºi-nou vzh©adom k neefektívnej DMUo.

Je zrejmé, ºe mnoºina (3.5) je neprázdna. Ak by sa totiº vo v²etkých nerovniciach(3.4) nadobúdala nerovnos´, mohli by sme zvä£²i´ hodnotu θ∗, £o by bolo v spore s jejoptimalitou. Poznamenajme, ºe práve existencia prvkov referen£nej mnoºiny je dôvodom,pre£o je daná DMUo neefektívna.

3.3 Zis´ovanie optimálnych váh, referen£nej mnoºiny azmie²anej neefektívnosti CCR modelom

V optimálnom rie²ení úlohy (3.4) máme k dispozícii dvojicu váh (v∗, u∗), ktorá ur£ujehodnotu

θ∗ =

∑s

r=1 u∗

ryro∑m

i=1 v∗

i xio

Ke¤ºe menovate© sme normalizovali na 1, predchádzajúci vz´ah sa redukuje na

θ∗ =s∑

r=1

u∗

ryro.

Z de�nície modelu vyplýva, ºe uvedené optimálne váhy maximalizujú hodnotu θ.Zárove¬ ve©kos´ u∗

r vyjadruje mieru, akou daný výstup yro relatívne prispieva k celkovejhodnote θ∗. Rovnaký záver platí aj pre v∗

i a xio, pri£om celková hodnota∑m

i=1 v∗

i xio = 1(normalizácia menovate©a).


Teraz predvedieme rie²enie konkrétneho príkladu spolu s gra�ckou interpretáciou.My²lienka tohto príkladu vychádza z [ 3, str. 27-28]. Podobne ako v predchádzajucejkapitole predpokladajme, ºe máme daných 6 DMU, pre kaºdú dva vstupy a jeden výstupnormalizovaný na jednotku. Presné údaje sú zaznamenané v nasledujúcej tabu©ke:

DMU A B C D E FVstup x1 4 7 7 2 4 9

x2 4 3 1 5 2 1Výstup y 1 1 1 1 1 1

Tabu©ka 3.1: Dva vstupy vs. jeden výstup

Vytvorme pre DMU A a B lineárne modely v zmysle (3.4):

max θ = u

〈A〉 4v1 + 4v2 = 1

u ≤ 4v1 + 4v2 u ≤ 7v1 + 3v2

u ≤ 7v1 + v2 u ≤ 2v1 + 5v2

u ≤ 4v1 + 2v2 u ≤ 9v1 + v2

max θ = u

〈B〉 7v1 + 3v2 = 1

u ≤ 4v1 + 4v2 u ≤ 7v1 + 3v2

u ≤ 7v1 + v2 u ≤ 2v1 + 5v2

u ≤ 4v1 + 2v2 u ≤ 9v1 + v2

(3.6)

Rie²enie prvého systému � prípad A � nám dáva optimálne hodnoty:

v∗

1 = 0.15, v∗

2 = 0.1, u∗ = 0.80, θ∗ = 0.80

Efektívnos´ DMU A pod©a CCR modelu (3.4) je 0,8. Preto A je neefektívna v zmysleDe�nície 3.1. �alej môºeme pre A zisti´ jej referen£nú mnoºinu, ak aplikujeme optimálneváhy na ohrani£enia (3.6). Podmnoºina efektívnych DMU, pre ktoré sa nadobúda vohrani£eniach (3.6) rovnos´ je {D, E}, £o pod©a De�nície 3.2 znamená, ºe {D,E} jereferen£ná mnoºina pre A.

DMU x1 x2 y θ∗ Referen£ná mnoºina v∗

1 v∗

2 u∗

A 4 4 1 0.8 D,E 0.15 0.1 0.8B 7 3 1 0.625 C,E 0.0625 0,1875 0.625C 7 1 1 1 C 0,1 0.3 1D 2 5 1 1 D 0.1875 0.125 1E 4 2 1 1 E 0.1875 0.125 1F 9 1 1 1 C 0 1 1

Tabu©ka 3.2: Rie²enie

Na prípade B ukáºeme význam váh. Optimálne rie²enie v tomto prípade je:

v∗

1 = 0.0625, v∗

2 = 0.1875, u∗ = 0.625, θ∗ = 0.625,


a pre pomer optimálnych váh platí:v∗

2

v∗

1

= 3,

£o moºno interpretova´ tak, ºe pre (neefektívnu) DMU B má redukcia vstupu x2 vä£²ívplyv na zlep²enie efektívnosti ako redukcia vstupu x1.

Rovnako ako pre A, môºeme ur£i´ referen£nú mnoºinu aj pre B. Dosadením opti-málnych váh do ohrani£ení (3.6) dostávame referen£nú mnoºinu {C,E}. Na Obrázku 3.1môºeme vidie´, ºe radiálnou projekciou bodov A a B na efektívnu hranicu dostanemebody patriace úse£kám ←→

DE, resp. ←→CE.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

A

B

C

D

F

E

x1

x2

Efektívna hranica

Projekcie

Obrázok 3.1: Vysvetlenie Tabuliek 3.1 a 3.2

Pri poh©ade na Tabu©ku 3.2 si moºno v²imnú´ aj to, ºe o DMU F sa nedá poveda´,£i je efektívna, pretoºe v∗

1 = 0. Aby sme vylú£ili jej efektívnos´, potrebovali by smeoveri´, £i v kaºdom optimálnom rie²ení existuje nulová súradnica pre u∗

i alebo v∗

i . Na toposta£í dosadi´ za v∗

1 miesto nuly malú hodnotu ε > 0 a zisti´, ako sa zmení hodnota θ∗

v lineárnom modeli pre DMU F .

max θ = u

〈F 〉 9v1 + v2 = 1

u ≤ 4v1 + 4v2 u ≤ 7v1 + 3v2

u ≤ 7v1 + v2 u ≤ 2v1 + 5v2

u ≤ 4v1 + 2v2 u ≤ 9v1 + v2

⇒

max θ = u

〈F ′〉 9ε + v2 = 1

u ≤ 4 − 32ε u ≤ 3 − 20ε

u ≤ 1 − 2ε u ≤ 5 − 43ε

u ≤ 2 − 14ε u ≤ 1

(3.7)

Ak v ©avom systéme dosadíme do ohrani£ení namiesto (v1, v2) → (ε, 1−9ε), dostanemepravý systém, z ktorého vyplýva, ºe

θ∗ = u ≤ 1 − 2ε,

teda, aby F bola efektívna, je nutné, aby ε bolo rovné nule. Tým sme dokázali jejneefektívnos´.

Tento prípad ilustruje zmie²anú neefektívnos´, pretoºe DMU F spotrebúva o dve jed-notky prvého vstupu viac ako DMU C, pri£om obe vykazujú efektívnos´ v zmysle hodnotyθ∗. Dôvod, pre£o tento fakt nebol pozorovaný z tabu©ky výsledkov, je práve nulová hod-nota váhy v∗

1 v optimálnom rie²ení, ktorá zakryla tento �defekt�. V tomto prípade môºemeidenti�kova´ neefektívnos´ F aj pomocou referen£nej mnoºiny, ktorú tvorí práve DMU C.

4 Duálny obálkový CCR modelV predchádzajúcich kapitolách sme pri rie²ení úlohy DEA spomenuli pojem mnoºina pro-duk£ných moºností, ktorý sme presnej²ie nede�novali. V tejto kapitole ju na základenieko©kých axióm de�nujeme, £o nám neskôr pomôºe pri pochopení duálnej úlohy k úlo-he (3.4). Poznamenajme, ºe pod©a Obrázka 2.1 na str. 13 bola mnoºina produk£nýchmoºností £asóu roviny ohrani£ená lú£om prechádzajúcim bodom B a kladnou £asóu osix. Prívlastok produk£né moºnosti hovorí, ºe kaºdý bod tejto mnoºiny reprezentuje hy-potetickú (v zmysle spotrebúvaných vstupov a produkovaných výstupov) DMU, ktorá sadá skon²truova´ na základe informácií o zadaných DMU a predpokladu platnosti vopredde�novaných axióm.

Pouºijúc ozna£enie z predchádzajúcej kapitoly predpokladajme, ºe máme daných nDMU a pre vektory vstupov a výstupov platí:

xi ≥ 0m, xi 6= 0m, resp. yi ≥ 0s, yi 6= 0s. (4.1)

Pre takto de�nované body zave¤me axiomaticky mnoºinu P:

(i) ∀i ∈ {1 . . . n} : (xi,yi) ∈ P

(ii) {(x, y) ∈ P ∧ x ≥ x1 , y ≤ y} ⇒ (x, y) ∈ P

(iii) P je konvexná.

(iv) {(x, y) ∈ P ∧ t ≥ 0} ⇒ (tx, ty) ∈ P (kon²tantné výnosy z rozsahu)

Najmen²iu mnoºinu P sp¨¬ajúcu axiómy (i), (ii) a (iii) nazveme mnoºinou produk£nýchmoºností pri variabilných výnosoch z rozsahu (vo vzáhu k daným DMU) a ozna£ujeme:

Pvar ={

(x, y) ∈ Rm+s | x ≥

n∑

i=1

λixi, y ≤n∑

i=1

λiyi,

n∑

i=1

λi = 1, λi ≥ 0}

(4.2)

Ak naviac P sp¨¬a axiómu (iv), hovoríme o mnoºine produk£ných moºností pri kon²tant-ných výnosoch z rozsahu a zapisujeme:

Pconst ={

(x, y) ∈ Rm+s | x ≥

n∑

i=1

λixi, y ≤n∑

i=1

λiyi, λi ≥ 0}

(4.3)

Predchádzajúce dva zápisy sú trocha áºkopádne, preto zave¤me pre vstupy a výstupyDMU maticový zápis vo forme:

Rm×n ∋ X =

x11 x12 · · · x1n

x21 x22 · · · x2n

... ... . . . ...xm1 xm2 · · · xmn

, Rs×n ∋ Y =

y11 y12 · · · y1n

x21 y22 · · · y2n

... ... . . . ...xs1 ys2 · · · ysn

, (4.4)

1x ≥ x ⇔ xk ≥ xk ∀k ∈ {1 . . .m}

21

KAPITOLA 4. DUÁLNY OBÁLKOVÝ CCR MODEL 22

pri£om st¨pce oboch matíc reprezentujú jednotlivé DMU , teda napríklad prvok xij zna-mená i-ty vstup j-tej DMU. Vz´ah (4.3) potom nadobudne tvar

P ={

(x, y) | x ≥ Xλ, y ≤ Y λ, λ ≥ 0n

}

(4.5)

Takýto typ mnoºiny produk£ných moºností sme (bez zmienky o vlastnosti výnosov zrozsahu) uvaºovali pri vysvet©ovaní CCR modelu v predchádzajúcich kapitolách. Pozna-menajme, ºe vlastnos´ kon²tantných výnosov z rozsahu patrí medzi ²tandardné paramet-re DEA modelov. Ke¤ºe v²ak CCR model implicitne predpokladá kon²tantné výnosy zrozsahu, budeme v na²om výklade aj na¤alej pracova´ s mnoºinou produk£ných moºnostítypu (4.5).

4.1 Dualizácia CCR modeluVrá´me sa teraz k CCR modelu (3.4), ktorý sme zaviedli ako úlohu LP. Zistili sme v²ak,ºe na ur£enie (100%-ej) efektívnosti je potrebné overovanie existencie rie²enia s kladnýmiváhami. Takýto postup nie je praktický, preto zavedením duálnej úlohy tento problémvyrie²ime efektnej²ie.

Uvaºujme primárny model (3.4). Na základe teórie LP de�nujeme k nemu duálnuúlohu, ktorá má v tomto prípade tvar:

minθ,λ

θ

∀i ∈ {1 . . . m} : θxio −n∑

j=1

xijλj ≥ 0

∀r ∈ {1 . . . s} :n∑

j=1

yrjλj − yro ≥ 0

λ1, . . . , λn ≥ 0

(4.6)

Ke¤ºe primárna úloha obsahovala n+1 ohrani£ení, duálna má n+1 premenných. Podob-ne, m+s premenných primárnej úlohy znamená m+s ohrani£ení v prípade duálnej úlohy.V²etky premenné s výnimkou θ sú nezáporné, £o zodpovedá rovnici

∑m

i=1 vixio = 1. Jedi-ná nenulová pravá strana nerovníc v primárnej úlohe má za následok, ºe ú£elová funkciaduálnej úlohy je funkcia jednej premennej θ.

Ak pouºijeme zápis (4.4), primárna a duálna úloha nadobudnú úspornej²í tvar:

maxu,v

uT yo

vT xo = 1

Y T u − XT v ≤ 0n

u ≥ 0s, v ≥ 0m.

minθ,λ

θ

θxo − Xλ ≥ 0m

Y λ ≥ yo

λ ≥ 0n,

(4.7)

S jednoduch²ím tvarom (4.7) oboch úloh budeme ¤alej pracova´. V zmysle duálnych úloh(1.2) a (1.3) vieme zapísa´ príslu²né modely symbolicky:


(P) max

{

(yTo 0

Tm)

(u

v

)∣∣∣∣∣

(0

Ts xT

o

Y T −XT

)(u

v

)=≤

(10n

)

,u ≥ 0s, v ≥ 0m

}

(4.8)

(D) min

{

(1|0Tn)

(θλ

)∣∣∣∣∣

(0s Yxo −X

) (θλ

)

≥

(yo

0m

)

, θ − vo©ná, λ ≥ 0n

}

,

(4.9)

kde θ ∈ R,λ ∈ Rn+,yo ∈ R

s+, xo ∈ R

m+ ,u ∈ R

s+,v ∈ R

m+ , X ∈ R

m×n+ , Y ∈ R

s×n+ .

4.2 Vlastnosti duálneho modeluTeraz, ke¤ máme zavedený duálny model, dokáºeme nieko©ko tvrdení, ktoré nám ostali zpredchádzajúcich kapitol. Za£neme optimalitou oboch úloh.Veta 4.1. Vstupne orientovaný a k nemu duálny CCR model (4.6) majú optimálne rie²e-nia pre akýko©vek súbor dát sp¨¬ajúci podmienky (3.1).Dôkaz:Pod©a dôsledku silnej vety o dualite z prvej kapitoly sta£í dokáza´ prípustnos´ oboch úloh.V prípade obálkového je prípustné rie²enie θ = 1, λo = 1, λj = 0 ∀ j 6= o. Uvaºujme terazprimárny model sp¨¬ajúci podmienky (3.1), pri£om predpokladajme, ºe platí xo 6= 0m,presnej²ie xℓo 6= 0. Potom de�nujme vℓ = 1

xℓo

, vi = 0 ∀ i 6= ℓ. Ak zárove¬ poloºíme u = 0s,dostávame vzh©adom na nezápornos´ matice X rie²enie sp¨¬ajúce uT Y −vT X ≤ 0. Ke¤ºeprimárny aj duálny model majú prípustné rie²enia, nastáva u oboch optimalita.Veta 4.2. Hodnota ú£elovej funkcie θ je z intervalu 〈0, 1〉.Dôkaz:Z predchádzajucej vety máme θ∗ ≤ 1. Z podmienky nezápornosti dát Y ≥ 0s×n vyplýva,ºe Y λ ≥ yo → λ 6= 0n. Potom z X ≥ 0m×n,xo ≥ 0m a θxo − Xλ ≥ 0 máme θ∗ ≥ 0.Dostali sme teda hranice, v ktorých sa pohybuje hodnota efektívnosti a potvrdili smeDe�níciu 3.1, v ktorej sme de�novali efektívnu DMU podmienkou θ∗ = 1.

V²imnime si teraz body (θxo,yo) a (Xλ, Y λ) vystupujúce v duálnom modeli. Zohrani£ení duálneho modelu vyplýva, ºe prvý z nich patrí P, mnoºine produk£nýchmoºností vzh©adom na dáta X a Y , pri£om druhý je vytvorený ako nezáporná lineár-na kombinácia zadaných DMU. Minimalizáciou θ "získame" popri optimálnom λ aj právebod (Xλ, Y λ). Tento bod, ako uvidíme neskôr, je za ur£itých predpokladov totoºný sh©adaným bodom (θxo, yo), ktorý vykazuje zachovanú úrove¬ výstupov pri maximálnezmen²enom vstupe θxo. V kaºdom prípade v²ak bod (Xλ, Y λ), ktorý vyplynie z modeluje lep²í ako bod (θxo, yo)(dôsledok ohrani£ení). Podrobnej²ie tento problém rozoberiemev nasledujúcej £asti.


4.3 Komplementárne premenné (slacky)V súvislosti s rie²ením duálnej úlohy

minθ,λ

θ

θxo − Xλ ≥ 0m

Y λ ≥ yo

λ ≥ 0n,

(4.10)

ozna£me pojmom slack vektory s+ ∈ Rs a s− ∈ R

m de�nované ako:

s− = θxo − Xλ, s+ = Y λ − yo, (4.11)

pri£om s− ≥ 0m a s+ ≥ 0s pre ©ubovo©né prípustné rie²enie (θ, λ) úlohy (4.10). Zh©adiska DEA budeme pod symbolmi s− resp. s+ rozumie´ tzv. nadbytky vstupov(input excesses), respektíve nedostatky výstupov (output shortfalls).

Na základe tejto de�nície a uº dokázanej vety o komplementarite (Veta 1.8) dokáºemeteraz tvrdenie, ktoré bude k©ú£om k de�nícii efektívnosti pomocou duálnej úlohy.

Veta 4.3. Optimálne rie²enie primárnej úlohy, v ktorom vektory u ∈ Rs,v ∈ R

m ma-jú v²etky zloºky kladné, existuje práve vtedy, ak kaºdé optimálne rie²enie duálnej úlohyvykazuje vlastnos´ nulových slackov s+ a s−.

Dôkaz:” ⇐ ” Dôkaz sporom. Nech kaºdé optimálne rie²enie má s− = 0m a s+ = 0s. Predpo-kladajme, ºe neexistuje kladné rie²enie (u, v) primárnej úlohy, presnej²ie uvaºujme vektoru,2 v ktorom existuje zloºka i taká, ºe pre v²etky optimálne rie²enia je zárove¬ s+

i a ui

nulové. To je ale spor s vetou o ostrej komplementarite, preto platí na²e pôvodné tvrdenie.” ⇒ ” Nech existuje optimálne rie²enie primárnej úlohy také, ºe u > 0s, v > 0m. Na zá-klade vety o komplementarite, ktorá hovorí, ºe pre ©ubovo©né optimálne rie²enia navzájomduálnych úloh je skalárny sú£in nezáporných vektorov

uT s+, respektíve vT s−

nulový, dostávame, ºe potom kaºdý optimálny slack s− resp. s+ musí by´ nulový.

De�nícia 4.4. (Efektívnos´ pod©a duálnej úlohy)Nech θ∗ = 1 a kaºdé optimálne rie²enie (θ∗, s−∗, s+∗) úlohy (4.10) vykazuje vlastnos´nulových slackov. Potom hovoríme, ºe DMUo je efektívna. V opa£nom prípade, tedaak θ∗ < 1, alebo ak existuje optimálne rie²enie obsahujúce nenulový slack, hovoríme, ºeDMUo je neefektívna.

Poznámka 4.5. De�nície 3.1 a 4.4 v prípade θ∗ < 1 zhodne de�nujú príslu²nú DMUo

ako neefektívnu, a naviac v dôsledku Vety 4.3 de�nujú prípadnú efektívnos´ DMUo ekvi-valentným spôsobom.

2Analogický záver by platil aj v prípade vektora v.


Spôsobov ako nájs´ nenulové rie²enie primárnej úlohy (ak existuje) je viacero. Medzimoºné postupy patrí metóda vnútorného bodu rie²enia danej úlohy LP, alebo aplikáciatzv. nearchimedovského epsilon na prípustné váhy. V prípade duálnej úlohy v²ak existujeaj iný postup, zaloºený na rie²ení doplnkovej duálnej úlohy LP, ktorý teraz vysvetlíme.

Nech θ∗ je optimálna hodnota ú£elovej funkcie duálnej úlohy. Zave¤me pomocou θ∗

tzv. druhú fázu rie²enia duálnej úlohy (4.10) nasledujúcim spôsobom:

maxs+,s−,λ

ω = eTs− + eTs+

s− = θ∗xo − Xλ

s+ = Y λ − yo

λ ≥ 0n, s− ≥ 0m, s+ ≥ 0s,

, (4.12)

kde e = (

n︷︸︸︷

1, 1, . . . , 1) ⇒ eTs(·) =∑

s(·)i .

Optimálne rie²enie (θ∗,λ∗, s−∗, s+∗) úloh (4.10) a (4.12) nazveme tzv. dvojfázovýmrie²ením duálnej úlohy. Optimálna hodnota ú£elovej funkcie systému (4.12) nám posky-tuje informáciu o maximálnej hodnote sú£tu súradníc slackov, ktorý sa môºe nadobúda´v duálnom modeli (4.10). Na základe tejto informácie zave¤me nasledujúcu de�níciu:De�nícia 4.6. Optimálne rie²enie (λ∗, s−∗, s+∗) úlohy (4.12) (= druhá fáza úlohy (4.10))sa nazýva rie²enie typu max-slack (rie²enie s maximálnymi slackmi).Ak pre rie²enie typu max-slack platí: s−∗ = 0m a s+∗ = 0s, potom toto rie²enie nazvemerie²ením typu zero-max-slack (rie²enie s nulovými maximálnymi slackmi).3

Na£rtnutá dvojfázová metóda je univerzálny spôsob, ako ur£i´ efektívnos´ DMU, pri£omrie²enie nám automaticky udáva ve©kos´ slackov jednotlivých faktorov. Spolu s De�ní-ciou 4.4 teda platí, ºe rie²enie typu zero-max-slack s hodnotou θ∗ = 1 je ekvivalentnéefektívnosti danej DMU.

Vrá´me sa teraz k interpretácii duálneho modelu a analyzujme moºné prípady opti-málneho rie²enia dvojfázovej úlohy:

• V prípade, ºe optimálne rie²enie je typu zero-max-slack a θ∗ = 1, máme efektívnuDMUo. Majme teraz rie²enie, pre ktoré platí θ∗ < 1. Pre kaºdú DMUo s touto vlast-nos´ou platí, ºe je u nej prítomná technická neefektívnos´, ktorú v²ak vieme elimino-va´ proporcionálnym zmen²ením v²etkých vstupov o (1−θ∗) %. Toto zmen²enie zod-povedá bodu (θ∗xo, yo), patriacemu pod©a (4.10) mnoºine produk£ných moºností,ktorý vykazuje maximálnu radiálnu redukciu vstupov. Zave¤me e²te ¤al²ie delenieneefektívnych rie²ení pod©a vlastnosti zero-max-slack:

• Nech DMUo s rie²ením θ∗ < 1 nemá vlastnos´ zero-max-slack (t.j. ∃ i u∗

i 6= 0 ∨ v∗

i

6= 0). Potom maximálna proporcionálna redukcia vstupov danej DMUo neodstrániv²etky jej neefektívnosti, pretoºe bod (Xλ, Y λ) de�novaný pomocou (nenulových)slackov s− = θxo − Xλ, s+ = Y λ − yo je lep²í (vyuºíva menej vstupov a/aleboprodukuje viac výstupov) ako bod (θ∗xo, yo). Teda v prípade nenulových slackovnám zlep²enie de�nované bodom (Xλ, Y λ) vyjadruje technickú a zárove¬ zmie²anúneefektívnos´ (technical & mix ine�ciency) obsiahnutú v danej DMUo.

3vi¤ [3, De�nition 3.1, str. 45]


• Naopak, v prípade optimálneho rie²enia s vlastnosóu zero-max-slack a hodnotouθ∗ < 1 platí, ºe v ohrani£eniach (4.10) sa nadobúda rovnos´, z £oho vyplýva, ºebod (Xλ, Y λ) je totoºný s bodom (θ∗xo, yo), £iºe v DMUo je prítomná len tech-nická neefektívnos´. Moºné zlep²enie sa dá rovnako ako v predo²lom prípade opísa´pomocou bodu (Xλ, Y λ), teda tými DMUi, pre ktoré je λi nenulové.

• Aby bola na²a analýza kompletná, musíme e²te vy²etri´ rie²enie, ktoré nie je ty-pu zero-max-slack a θ∗ = 1. V tomto prípade platí, ºe daná DMUo nevykazujeºiadnu proporcionálnu neefektívnos´, av²ak nenulové slacky udávajú informáciu ozmie²anej neefektívnosti. Tento typ neefektívnosti sa niekedy zvykne ozna£ova´pojmom pseudoefektívnos´ vzh©adom na to, ºe hodnota ú£elovej funkcie θ∗ = 1.

V dôsledku ekvivalencie de�nicií efektívnosti pod©a primárnej a duálnej úlohy nám tátoanalýza poskytla kompletnú informáciu o moºných rie²eniach lineárneho CCR modelu(3.4). Z duálnej úlohy moºno navy²e odvodi´ alternatívny vzáh pre referen£nú mnoºinu,ktorý je konzistentný s jej pôvodnou de�níciou. Uvaºujme mnoºinu

Eo ={j

∣∣ λ∗

j > 0}

∀ j ∈ {1 . . . n}, (4.13)

pri£om λ∗ ∈ Rn je zloºka optimálneho rie²enia duálnej úlohy. Z teórie komplementarity

aplikovanej na duálne úlohy (4.7) okamºite vyplýva, ºe optimálne nenulové λ∗

j zodpoveda-jú nulovým hodnotám výrazu

∑s

r=1 u∗

ryrj −∑m

i=1 v∗

i xij z primárnej úlohy. Z tohto dôvoduje mnoºina (4.13) ekvivalentná s referen£nou mnoºinou (3.5) z tretej kapitoly.

Uvaºujme teraz súvis medzi sprojektovaným bodom (θ∗xo,yo) a referen£ným bodom(Xλ, Y λ), ktoré sú zviazané vzáhmi:

θ∗xo =∑

j∈Eo

xjλ∗

j + s−∗

yo =∑

j∈Eo

yjλ∗

j − s+∗

(4.14)

Na základe týchto vzáhov de�nujeme vzáh medzi referen£ným (vzh©adom k neefektívnejDMUo) bodom a pôvodným bodom (xo,yo):

De�nícia 4.7. [ 3, Corollary 3.1, str. 48] Pre referen£ný bod (xo, yo) platí:

xo =∑

j∈Eo

xjλ∗

j = θ∗xo − s−∗ ≤ xo

yo =∑

j∈Eo

yjλ∗

j = yo + s+∗ ≥ yo

(4.15)

De�ni£né vzáhy (4.15) sa v literatúre zvyknú ozna£ova´ pojmom CCR-projekcia. Oefektívnosti bodu (xo, yo) hovorí nasledujúca veta.

Veta 4.8. [ 3, Theorem 3.3, Theorem 3.4, str. 49] Nech Eo je de�novaná v zmysle (4.13).Potom Eo je neprázdna a pre v²etky j ∈ Eo platí:


(i) Referen£né DMUj sú vzh©adom k DMUo efektívne.

(ii) �ubovo©ná nezáporná kombinácia prvkov Eo je efektívna.

Urobme teraz krátke zhrnutie ná²ho doteraj²ieho výkladu DEA. Opísali sme (vrá-tane dôkazov) teóriu vstupne orientovaného CCR-modelu. De�novali sme efektívnos´lineárneho CCR modelu pomocou optimálnej hodnoty jeho ú£elovej funkcie a podmienkynezápornosti váh. Demon²trovali sme aj výpo£tovo "prístupnej²iu"de�níciu efektívnostipomocou duálnej úlohy. Nakoniec sme zaviedli referen£nú mnoºinu a odvodili projektívnevzorce (4.15), ktoré popisujú v²etky druhy neefektívnosti obsiahnuté v danej DMUo.

Predtým ako uzavrieme teóriu CCR modelu a prejdeme k modelu Assurance Region,zavedieme e²te analogický výstupne orientovaný CCR model a vyjasníme jeho súvis smodelom vstupne orientovaným. Výstupne orientovaný model vyuºijeme v poslednej(praktickej) kapitole pri tvorbe rankingu fakúlt slovenských vysokých ²kôl.

4.4 Výstupne orientovaný modelVo vstupne orientovanom modeli sme h©adali takú maximálnu redukciu vstupov, pri ktorejsa zachová daná úrove¬ výstupu. Touto metodikou sme jasne de�novali na²u preferenciuh©adania neefektívností na strane vstupov. Ak v²ak máme vstupy dostato£ne efektívnevyuºívané a chceme vylep²i´ produkciu výstupov, je potrebné zvoli´ iný prístup. Ukáºemeodvodenie modelu, v ktorom budeme projektova´ (zvä£²ova´) výstupy pri zachovaní danejúrovne vstupov.

Zave¤me nasledujúcu analógiu vstupne orientovaného modelu vo forme primárnej aduálnej úlohy:

Primárna Duálna

minu,v

vT xo

uT yo = 1


u ≥ 0s, v ≥ 0m.

maxη,ξ

ξ

xo − Xη ≥ 0m

Y η ≥ ξyo

η ≥ 0n,

(4.16)

Aby sme nahliadli súvis tejto dvojice úloh s dvojicou (4.7), de�nujme

λ = η/ξ, θ = 1/ξ.

Potom duálny model (4.16) nadobudne tvar

minθ,λ

θ

θxo − Xλ ≥ 0m

Y λ ≥ yo

λ ≥ 0n,

, (4.17)


£o je známy tvar duálnej úlohy vstupne orientovaného modelu. Preto pre hodnoty ú£elovýchfunkcií a zloºiek vektorov λ a η v rámci vstupne a výstupne orientovaného modelu platianasledujúce vzáhy:

ξ∗ = 1/θ∗, η∗ = λ∗/θ∗. (4.18)Pre komplementárne premenné (slacky) výstupného modelu de�nované ako

s−

out = xo − Xη

s+out = Y η − ξyo

existuje taktieº vyjadrenie v závislosti od hodnôt slackov vstupne orientovaného modelu:

s−∗

out = s−∗/θ∗, s+∗

out = s+∗/θ∗.

Ke¤ºe θ∗ ≤ 1, pouºijúc vzáh (4.18) dostávame obmedzenie pre ξ∗:

ξ∗ ≥ 1.

�ím vä£²ia je hodnota ξ∗, tým menej efektívna je DMU. Kým θ∗ reprezentuje mieruredukcie vstupov, ξ∗ popisuje mieru proporcionálneho zvä£²enia výstupov. Z vy²²ie uve-dených vzáhov vyplýva, ºe DMUo je efektívna v zmysle vstupne orientovaného CCRmodelu práve vtedy, ke¤ je efektívna v zmysle modelu výstupne orientovaného.

Rovnako ako pri vstupne orientovanom modeli, existuje projekcia na hranicu efek-tívnosti aj v prípade výstupne orientovaného modelu, ktorú de�nujeme nasledujúcimivzáhmi:

De�nícia 4.9. Pre efektívny bod (xo, yo) výstupného modelu (4.17) platí:

xo =∑

j∈Eo

xjη∗

j = xo − s−∗

out ≤ xo

yo =∑

j∈Eo

yjη∗

j = ξ∗yo + s+∗

out ≥ yo

(4.19)

5 Assurance Region modelDruhou £as´ou tejto práce je uº spomínaný Assurance Region model. Podobne ako priCCR modeli budeme v na²om výklade vychádza´ z [3], pri£om ho roz²írime o vlastnývysvet©ujúci komentár.

Po jednoduchej motivácii, ktorou na£rtneme zmysel ohrani£ených multiplikátorov (as-surance region), uvedieme matematickú de�níciu modelu, pri£om vyuºijeme práve CCRmodel, ktorého teóriu sme podrobne spracovali v predchádzajúcich kapitolách. Nakoniecna modelovom príklade demon²trujeme jeho praktické pouºitie.

5.1 Metóda ohrani£ených multiplikátorovV predchádzajúcich kapitolách sme sa zaoberali modelmi, ktoré vyºadovali minimumapriórnych informácií o dátach. Presnej²ie, jedinou podmienkou bola nezápornos´ hodnôtvstupov a výstupov a ich celková nenulovos´. V praxi v²ak niekedy nastanú situácie,výsledkom ktorých je obmedzenie prípustných a teda aj optimálnych váh. Takáto situá-cia môºe nasta´ bu¤ ak dané obmedzenie vyplynie priamo z podstaty úlohy, alebo aksa rie²ením "beºného" CCR modelu získajú také optimálne váhy (u∗, v∗), v ktorýchje rozdiel alebo podiel niektorých zloºiek neprimerane ve©ký. V takom prípade je tedavhodné zahrnú´ do ohrani£ení modelu aj obmedzenia na váhy (= multiplikátory).

V na²ej práci sa budeme venova´ ohrani£eniam v tvare podielu. Konkrétne obmedzeniena pomer váh pre vstupy 1 a 2 môºe vyzera´ napríklad takto:

d1,2 ≤v2

v1

≤ h1,2 (5.1)

kde d1,2 a h1,2 sú dolná a horná hranica, ktorú môºe pomer v2/v1 nadobúda´. Z toh-to pochádza aj názov modelu Assurance region (AR), pretoºe podmienky typu (5.1)ohrani£ujú mnoºinu (región) váh, ktoré sa môºu nadobúda´. �astým javom je situácia,ke¤ sa optimálna hodnota váh nadobúda práve ako dolná alebo horná medza de�novanáohrani£eniami. Preto je dôleºité voli´ ich s náleºitým uváºením, aby optimálne hodnotyváh neboli príli² za´aºené prípadnou chybou na²ich apriórnych poºiadaviek.

5.2 De�nícia modeluAko sme uº spomenuli, AR model je odvodený od CCR modelu, presnej²ie je to jeho ur£itánadstavba, pretoºe do ohrani£ení zahrnieme aj ohrani£enia typu (5.1). Vo v²eobecnostirozli²ujeme ohrani£enia zvlá²´ pre vstupy a výstupy:

vjdji ≤ vi ≤ vjhji ∀ j ∈ {1 . . . m − 1}, i ∈ {2 . . . m}, i > j (5.2)uqDqr ≤ ur ≤ uqHqr ∀ q ∈ {1 . . . s − 1}, r ∈ {2 . . . s}, r > q,

kde dji, hji, Djr a Hjr sú dané horné a dolné medze.

29

KAPITOLA 5. ASSURANCE REGION MODEL 30

V praxi nie je zvy£ajne potrebné ohrani£i´ v²etky váhy, znak ∀ je preto skôr volite©ný.Celkový po£et (jednostranných) ohrani£ení vyjadrený kombina£ným £íslom je 2

(m

2

)pre

vstupy, resp. 2(

s

2

)pre výstupy. Môºeme si tieº v²imnú´, ºe vz´ahy (5.2) sú v porovnaní

s (5.1) lineárne, preto ich môºeme zahrnú´ do lineárneho CCR modelu (3.4). Pomocoumaticového zápisu zahr¬ujúceho ohrani£enia (5.2) potom dostávame vstupný AssuranceRegion model:

maxu,v

uT yo

vT xo = 1


P T v ≤ 0α

QT u ≤ 0β

u ≥ 0s, v ≥ 0m,

, (5.3)

pri£om ak α a β vyjadrujú po£et ohrani£ení na vstupy, resp. výstupy, potom P ∈ Rm×α

a Q ∈ Rs×β sú matice typu

P =

d12 −h12 d13 −h13 0 0 · · · · · ·−1 1 0 0 d23 −h23 · · · · · ·0 0 −1 1 −1 1 · · · · · ·0 0 0 0 0 0 · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

, (5.4)

Q =

D12 −H12 D13 −H13 0 0 · · · · · ·−1 1 0 0 D23 −H23 · · · · · ·0 0 −1 1 −1 1 · · · · · ·0 0 0 0 0 0 · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

. (5.5)

Kaºdý st¨pec matíc P a Q de�nuje práve jedno ohrani£enie (zvy²né prvky daného st¨p-ca sú preto nulové). V prípade, ºe celkový po£et ohrani£ení je vä£²í ako dim u (dim v), súobd¨ºnikové matice P (Q) "dlh²ie ako ²ir²ie". Takáto situácia nastala aj v prípade mode-lových matíc (5.4) a (5.5), ktoré znázor¬ujú ohrani£enia pre dvojice váh {1, 2}, {2, 3} a{1, 3}. Poznamenajme, ºe vertikálny rozmer matíc P, Q súhlasí s dimenziou príslu²nýchvektorov u,v.

Systém (5.3) de�nuje AR model vo forme primárnej úlohy lineárneho programovania.Ak nás v²ak zaujíma referen£ná mnoºina pre jednotlivé neefektívne DMU, je potrebnéodvodi´ duálny AR model. Pouºijúc techniku pri dualizácii CCR modelu a ²truktúrovanézápisy modelov (4.8) a (4.9) dostávame vzh©adom k primárnej úlohe (5.3) dvojicu duál-nych úloh:


(P) max

(yTo 0

Tm)

(u

v

)

0Ts xT

o

Y T −XT

0α×s P T

QT0β×m

(u

v

)=≤

10n

0α

0β

, u ≥ 0s, v ≥ 0m

(D) min

(1 0Tn0

Tα0

Tβ)

θλ

π

τ

(0s Y 0s×α Qxo −X P 0m×β

)

θλ

π

τ

≥

(yo

0m

)

,

θ − vo©ná,λ ≥ 0n

π ≥ 0α

τ ≥ 0β

,

kde θ ∈ R,λ ∈ Rn,π ∈ R

α, τ ∈ Rβ, yo ∈ R

s, xo ∈ Rm, (u v) ∈ R

s+m, X ∈ Rm×n,

Y ∈ Rs×n, Q ∈ R

s×β, P ∈ Rm×α, α, β ∈ N.

Duálny tvar AR modelu moºno potom zapísa´ v ²tandardnom skrátenom tvare:

minθ,λ

θ

θxo − Xλ + Pπ ≥ 0m

Y λ + Qτ ≥ yo

λ ≥ 0n, π ≥ 0α, τ ≥ 0β.

(5.6)

Podobne ako pri CCR modeli de�nujeme nezáporné slacky

s− = θxo − Xλ + Pπ, s+ = −yo + Y λ + Qτ . (5.7)

Na základe hodnôt týchto slackov v optimálnom rie²ení platí nasledujúca

De�nícia 5.1 (Efektívnos´ AR modelu). DMUo s hodnotami vstupov a výstupov (xo,yo)je efektívna v zmysle Assurance Region modelu práve vtedy, ak v kaºdom optimálnomrie²ení, pre ktoré

θ∗ = 1,

platí zárove¬s−∗ = 0m, s+∗ = 0s.

Ak bod (xo,yo) nie je efektívny, potom pomocou optimálneho rie²enia (θ∗,λ∗,π∗, τ ∗,s−∗, s+∗) môºeme podobne ako v CCR modeli de�nova´ jeho projekciu na hranicu efek-tívnosti nasledovne: 1

xo = θ∗xo − s−∗ + Pπ∗(= Xλ∗)

yo = yo + s+∗ − Qτ ∗(= Y λ∗)(5.8)

Môºeme si v²imnú´, ºe na rozdiel od CCR modelu, v prípade projekcie (5.8) môºe nasta´situácia, ke¤ neplatí xo ≤ xo alebo yo ≥ yo. Dôvodom je prítomnos´ matíc P a Q vovzorcoch (5.8).

1[ 3, De�nition 6.1, str. 154]


5.3 Zmena mnoºiny efektívnych DMU ako dôsledokohrani£ených multiplikátorov

Z de�nície modelu (5.3) vyplýva, ºe vzh©adom na vä£²í po£et ohrani£ení je mnoºina prí-pustných rie²ení v porovnaní s CCR modelom men²ia. Z toho vyplýva, ºe optimálna(maximálna) hodnota ú£elovej funkcie v AR modeli je nutne men²ia alebo rovná optimál-nej hodnote v CCR modeli. Zjednodu²ene povedané, pouºitím AR modelu sa hodnotaefektívnosti môºe zníºi´. V prípade efektívnej DMU to napríklad môºe znamena´, ºe sastane neefektívnou.

Pre lep²ie pochopenie predchádzajúcich my²lienok uvaºujme príklad z tretej kapitoly,£asti 3.3, kde sme analyzovali ²es´ DMU pri zadaných dvoch vstupoch a jednom výstupepomocou CCR modelu. Analyzujme teraz tento príklad podrobnej²ie.2 Vzh©adom nanormalizáciu výstupu na jednotku zobrazíme pôvodnú situáciu gra�cky:

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

D

E

C

F

A

B

P3

P1

P2

P4

P

Hranica mnoziny prípustných riešení

v1/u

v2/u

Obrázok 5.1: Aktívne ohrani£enia primárneho modelu

Obrázok 5.1 zobrazuje lineárne ohrani£enia CCR modelu (3.6) v priestore (v tomtoprípade roviny) váh. Ukáºeme, ºe úse£ky P1P2, P1P3 a P2P4 reprezentujú tzv. aktívneohrani£enia pre efektívne DMU. To znamená, ºe body patriace týmto úse£kám zodpoveda-jú optimálnym váham príslu²ných efektívnych DMU.

Uvaºujme teda ohrani£enia modelu (3.6):

(A) u ≤ 4v1 + 4v2 (B) u ≤ 7v1 + 3v2

(C) u ≤ 7v1 + v2 (D) u ≤ 2v1 + 5v2

(E) u ≤ 4v1 + 2v2 (F ) u ≤ 9v1 + v2

. (5.9)

Vydelením u > 0 dostaneme systém nerovníc

(A) 1 ≤ 4(v1/u) + 4(v2/u) (B) 1 ≤ 7(v1/u) + 3(v2/u)

(C) 1 ≤ 7(v1/u) + (v2/u) (D) 1 ≤ 2(v1/u) + 5(v2/u)

(E) 1 ≤ 4(v1/u) + 2(v2/u) (F ) 1 ≤ 9(v1/u) + (v2/u)

. (5.10)

2My²lienka príkladu vychádza z [3, str. 30-32,157,158].


Na Obrázku 5.1, v ktorom sme za osi vzali podiely v1/u a v2/u, sú tieto (ne)rovnicezobrazené £iernymi úse£kami, pri£om £ervené úse£ky P1P2, P1P3 a P2P4 reprezentujúohrani£enia pre efektívne DMU. V takomto priestore váh potom oblas´ P vyjadrujemnoºinu prípustných rie²ení primárneho CCR modelu (3.6) a jej hranica pozostáva (mi-mo súradnicových osí) práve z úse£iek, reprezentujúcich aktívne ohrani£enia pre efektívneDMU C, D a E. Napríklad v prípade DMU E rie²ime úlohu LP:

max u

4v1 + 2v2 = 1

+ ohrani£enia (5.10)

(5.11)

Ak sa v úlohe (5.11) obmedzíme na oblas´ P a vydelíme rovnicu v ohrani£eniach (5.11)premennou u, dostaneme úlohu

max{

u∣∣∣ 4(v1/u) + 2(v2/u) = 1/u

}

,

£o je to isté, ako h©ada´ najmen²ie t, pre ktoré sa priamka

4(v1/u) + 2(v2/u) = t (5.12)dotýka oblasti P . Z Obrázka 5.1 vidíme, ºe úse£ka P1P2, ktorá je £as´ou hranice oblastiP je podmnoºinou priamky (5.12) za podmienky t = 1 (⇒ u = 1), £iºe E je efektívna.Rovnako platí, ºe E je efektívna pre ©ubovo©nú kombináciu váh (v1, v2) z úse£ky P1P2. Ztohto jednoduchého príkladu je zrejmé, ºe optimálne váhy pre efektívne DMU nie sú vov²eobecnosti ur£ené jednozna£ne.

Obrázok 5.2: Zmen²enie mnoºiny efektívnych DMU.

Uvaºujme teraz model Assurance Region, pri£om váhy v1, v2 obmedzíme podmienkami

0.5 ≤v2

v1

≤ 2, (5.13)

£o v na²om príklade so súradnicovými osami v1/u a v2/u znamená:

0.5(v1/u) ≤ (v2/u), (v2/u) ≤ 2(v1/u).


Pozrime sa teraz, ako sa ohrani£eniami (5.13) zmení mnoºina efektívnych DMU. NaObrázku 5.2 je zobrazená pôvodná oblas´ prípustných rie²ení P - jej hranica je vy-zna£ená £ervenou farbou. Ak aplikujeme obmedzenia Assurance Region modelu, oblas´ Psa zredukuje na vy²rafovanú oblas´ ohrani£enú modrými lú£mi vychádzajúcimi z po£iatkusúradnicovej sústavy.

Mnoºinu nových efektívnych DMU teraz tvoria D a E, pri£om C, ktorá predtýmvykazovala efektívnos´, je teraz vylú£ená z mnoºiny efektívnych DMU. Pri novej efektívnejhranici je efektívnos´ DMU C ur£ená �alovou priamkou, ktorá je rovnobeºná s pôvodnou£ervenou priamkou reprezentujúcou DMU C a dotýka sa efektívnej hranice (priese£níkúse£ky P1P2 s modrým lú£om). Rovnica �alovej priamky je

7(v1/u) + (v2/u) = 1.125,

preto hodnota (miery) efektívnosti DMU C klesla na 1/1.125 .= 0,89.

Uvedený príklad potvrdzuje, ºe Assurance region model nachádza vyuºitie v prí-padoch, ke¤ preferujeme nie ve©ký rozptyl optimálnych váh, alebo ak ich vieme do ur£itejmiery vopred ²peci�kova´. V oboch prípadoch to má za následok zmen²enie mnoºinyprípustných rie²ení (primárneho modelu) a £asto aj mnoºiny optimálnych DMU v rámcidanej skupiny. Naproti tomu mnoºina produk£ných moºností, ktorá je popísaná duálnoustránkou AR modelu, je v¤aka ²peciálnej ²truktúre matíc P a Q vä£²ia. Z tohto dôvo-du je AR model ú£innej²í pri odha©ovaní nenulových slackov (pseudoefektívnosti) akojednoduch²í CCR model.

6 Ranking kvality vysokých ²kôl akoúloha DEA

6.1 Úvod do problematikyPokúsme sa teraz aplikova´ teoretické poznatky z predchádzajúcich kapitol na konkrét-nom príklade z praxe. Takým ur£ite je problematika hodnotenia kvality ná²ho vysokého²kolstva. Dlhodobo nebola otázka kvality vysokých ²kôl spolo£ensky dôleºitá. V posled-nom období sa v²ak situácia zmenila, pri£om existujú uº dve hodnotiace správy o stavevysokého ²kolstva na Slovensku. Touto agendou sa uº nejaký £as zaoberá nezávislá Aka-demická rankingová a ratingová agentúra (ARRA), ktorá uvedené správy zverej¬uje. Jejpresnú metodiku hodnotenia fakúlt popí²eme v ¤al²ej £asti. Teraz len uvedieme cie© tejtopraktickej £asti, ktorým je pouºitie DEA modelov, konkrétne základného CCR a so�stiko-vanej²ieho AR modelu pri vyhodnotení kvality vysokých ²kôl. Úloha porovnávania ²kôl(fakúlt) je totiº typický príklad pre pouºitie DEA analýzy vzh©adom na typ organiza£nýchjednotiek, ktorý fakulty predstavujú. Výsledné hodnoty, ktoré takto dostaneme, potomporovnáme s rankingom, ktorý uverejnila ARRA a pokúsime sa na£rtnú´ moºné dôvodyprípadných rozdielnych výsledkov.

6.2 Hodnotenie kvality ²kôlAko sme uº uviedli, agentúra ARRA zverej¬uje kaºdoro£ne na svojej stránke výro£núsprávu o stave vysokého ²kolstva (pozri [5]). Popí²me teraz v skratke postup ako takátospráva vzniká.

Vo v²eobecnosti moºno fakulty rozdeli´ do nieko©kých kategórií pod©a prevládajúcehovedného zamerania. Takýto princíp uplat¬uje aj ARRA vo svojej správe, pri£om fakultyrozde©uje pod©a tzv. Frascati manuálu do ²iestich skupín:

• prírodné vedy

• technické vedy

• lekárske vedy

• pôdohospodárske vedy

• spolo£enské vedy

• humanitné vedy

Následné hodnotenie fakúlt potom prebieha len v rámci uvedených skupín. Niektoréskupiny obsahujú ²tandardne málo fakúlt, preto by mohlo by´ otázne, nako©ko je rele-vantná kvalita danej ²koly v porovnaní s vä£²ou skupinou, av²ak tento problém správanerie²i. Zostávame preto pri porovnaní ²kôl s pribliºne rovnakým zameraním.

35

KAPITOLA 6. RANKING KVALITY VYSOKÝCH �KÔL AKO ÚLOHA DEA 36

Prejdime teraz ku kritériám, ktoré sú relevantné pre hodnotenie kvality. Na za£iatokpoznamenajme, ºe uvedené kritériá zoh©ad¬ujú intenzitu výkonu a nie celkový výkon.1 Ztohto dôvodu je vä£²ina z nich v tvare podielu dvoch hodnôt. Kvalitatívne to znamená,ºe sú invariantné vzh©adom na ve©kos´ danej fakulty. ARRA pouºila vo svojej správetri kategórie - Veda a výskum, �túdium a vzdelávanie a Financovanie. V na²ejanalýze pomocou DEA pouºijeme v²ak len prvé dve, ke¤ºe dáta z poslednej kategórie smenemali k dispozícii.

V rámci kaºdej kategórie bolo stanovených nieko©ko ukazovate©ov, ktoré ¤alej obsahujútzv. indikátory kvality. Presnej²ie to vidno z nasledujúcej tabu©ky.

Kategória Ukazovate© Indikátor

Publikáciea citácie

Po£et publikácii na tvorivého pracovníkaPo£et citácií na tvorivého pracovníkaPo£et citácií na jednu publikáciuPo£et publikácií s aspo¬ 5 citáciami na tvorivehopracovníkaPo£et publikácií s aspo¬ 25 citáciami na tvorivehopracovníka

Doktorandi

Po£et interných doktorandov na jednéhoprofesora alebo docenta

Veda a výskum Po£et v²etkých doktorandov na jednéhoprofesora alebo docentaPo£et absolventov doktorandského ²túdiana jedného profesora alebo docentaPo£et doktorandov ku po£tu ²tudentovbakalárskeho a magisterského ²túdia

Granty Granty na tvorivého pracovníkaGranty VEGA a KEGA na tvorivého pracovníkaGranty APVT na tvorivého pracovníka

U£itelia a²tudenti

Po£et u£ite©ov na 100 ²tudentovPo£et profesorov a docentov na 100 ²tudentovPomer po£tu u£ite©ov s PhD. k po£tu v²etkých u£ite©ov

�túdium a Pomer po£tu profesorov a docentov k v²etkým u£ite©omvzdelávanie

Záujem o²túdium

Podiel prihlásených ²tudentov kpo£tu plánovaných na prijatiePomer po£tu zapísaných k po£tu prijatých²tudentovPodiel zahrani£ných ²tudentov

V kritériách, ktoré pouºila ARRA, �guruje v ukazovateli U£itelia a ²tudenti ajindikátor vek profesorov, ktorý v tejto práci nebudeme uvaºova´. O otázke, £i optimálnahodnota tohto ukazovate©a má by´ malá alebo ve©ká, by sa dalo totiº polemizova´, £o v²aknie je cie©om tejto práce.

1pod©a [5, str. 13]


Prejdime teraz k hodnoteniu fakúlt, tak ako ho uskuto£nila ARRA. V prvej fázehodnotenia sa kaºdej fakulte priradili hodnoty v jednotlivých indikátoroch. Bodový zisk zadaný indikátor sa ur£il tak, aby fakulta s najvä£²ou hodnotou daného indikátora dosiahla100 bodov. Pre ostatné fakulty sa body lineárne na²kálovali vzh©adom k maximálnejhodnote, ktorú dosiahla najlep²ia fakulta, pri£om fakulta s nulovou hodnotou získala nulabodov. Z bodov za jednotlivé indikátory sa vypo£ítal aritmetický priemer, £ím sa získalobodové ohodnotenie fakulty v rámci daného ukazovate©a zah¯¬ajúceho uvedené indikátory.Takýmto postupom sa vyhodnotili v²etky ukazovatele, z ktorých sa potom ur£il výslednýbodový zisk fakulty ako aritmetický priemer bodov za jednotlivé ukazovatele. Z týchtohodnôt sa potom vypracoval ranking pre danú skupinu fakúlt. Podrobnej²ie informáciemoºno nájs´ v [5].

6.3 Aplikácia DEAPri poh©ade na metodiku ktorú pouºila ARRA vidíme, ºe hodnoty v ukazovate©och súpo£ítané ako priemer z hodnôt, ktoré fakulta dosiahla v rámci indikátorov, resp. výslednýbodový zisk fakulty je po£ítaný ako priemer hodnôt ukazovate©ov. Pouºijúc terminológiuDEA to znamená, ºe kaºdý indikátor v rámci ukazovate©a má rovnakú (kon²tantnú) váhu,a taktieº, ºe kaºdý ukazovate© má rovnakú váhu pri kone£nom hodnotení danej fakulty.Takto zvolené váºenie v²ak nemusí by´ vºdy vhodné, najmä ak niektorá z fakúlt vykazujedobré výkony len v niektorých indikátoroch, resp. ukazovate©och. V takomto prípade jepreto vhodné pouºi´ analýzu DEA, ktorá takéto variabilné váºenie umoº¬uje.

Uvaºujme teda skupinu fakúlt, ktorú chceme vyhodnoti´. V²etky vy²²ie uvedené in-dikátory boli zvolené tak, aby vy²²ia hodnota bola lep²ia, preto v rámci DEA modelu ichbudeme povaºova´ za výstupy, pri£om (jediný) vstup normalizujeme na jednotku. Pretakto de�nované vstupy a výstupy je zrejmé pouºitie výstupne orientovaných CCR a ARmodelov.

6.3.1 Prvá fáza výpo£tuRovnako ako pracovníci v ARRE, aj my budeme uvaºova´ fakulty v rámci skupín, pri£omhodnoti´ budeme fakulty len v rámci danej skupiny. Na²a analýza bude pozostáva´ z dvochkrokov. V prvom kroku vyrie²ime v rámci výstupného AR modelu úlohu lineárneho pro-gramovania, pri£om ako výstupy vezmeme hodnoty, ktoré dosiahli fakulty v indikátorochv rámci jedného ukazovate©a2. Vstup normalizujeme ²tandardne na jednotku. Taktobudeme postupova´ pri kaºdom ukazovateli, aº dostaneme pä´ hodnôt pre kaºdú fakultu.Tieto hodnoty budeme povaºova´ za výkony fakulty v rámci jednotlivých ukazovate©ov.V druhej fáze (výpo£et celkovej efektívnosti fakulty) ich potom pouºijeme ako výstupy.Pre lep²iu preh©adnos´ uvádzame výsledné tabu©ky s oboma údajmi (ARRA aj DEA)výkonu v rámci kaºdého ukazovate©a.

2Vstupné údaje sú uvedené v prílohe


6.3.2 Druhá fáza výpo£tu a ur£enie ohrani£ení na váhyZ prvej fázy sme získali hodnoty v piatich ukazovate©och pre kaºdú fakultu. Na tietohodnoty sa moºno opä´ pozera´ ako na výstupy vzdelávacieho procesu, preto ich môºemezahrnú´ do ¤al²ieho DEA modelu, pri£om vstup opä´ normalizujeme na jednotku. Podob-ne ako v prvej fáze pouºijeme AR model, av²ak pre lep²iu porovnate©nos´ výsledkov ap-likujeme v tejto £asti aj základný CCR model. Takto získame hodnoty efektívností pod©aCCR a AR modelu, pri£om tieto hodnoty nám po zaokrúhlení dajú h©adaný bodový ziskfakulty (v rozpätí 0 aº 100) v rámci danej skupiny a modelu.

Vieme, ºe v prípade AR modelu je potrebné zade�nova´ ohrani£enia na váhy. Pri ichtvorbe sme oslovili troch nezávislých odborníkov z na²ej fakulty, ktorí na základe svojichosobných preferencií ur£ili kladné váhy v jednotlivých indikátoroch (v rámci jedného uka-zovate©a) tak, aby ich sú£et dával 100. Na základe týchto váh sme potom pre kaºdéhohodnotite©a vy£íslili podiely typu

váha indikátora i

váha indikátora j,

a pre kaºdý podiel (dvojicu váh) sme ur£ili maximálnu a minimálnu hodnotu. Vypo£ítanéminimá a maximá sme potom povaºovali za ohrani£enia na váhy indikátorov. V nasledu-júcej tabu©ke sú zhrnuté v²etky ohrani£enia jednotlivých indikátorov a ukazovate©ov.

Ukazovate© Indikátor i / Indikátor j Min MaxPublikácie a citácie SCI/tvp. / pub/tvp 0,2 1

SCI/pub / pub/tvp 0,17 2,675cit/tvp / pub/tvp 0,08 125cit/tvp / pub/tvp 0,08 1SCI/pub / SCI/tvp 0,5 2,675cit/tvp / SCI/tvp 0,25 125cit/tvp / SCI/tvp 0,25 15cit/tvp / SCI/pub 0,38 0,525cit/tvp / SCI/pub 0,38 0,525cit/tvp / 5cit/tvp 1 1

Doktorandi dokt/P+D / dokt.i./P+D 1 1abs.dokt/P+D / dokt.i./P+D 1 49

dokt/²tud / dokt.i./P+D 2 49abs.dokt/P+D / dokt/P+D 1 49

dokt/²tud / dokt/P+D 2 49dokt/²tud / abs.dokt/P+D 1 2

�tudenti a u£itelia P+D/100² / u£/100 ²t. 0.25 1P+D/u£it. / u£/100²t. 0.25 1.67PhD/u£it. / u£/100²t. 1 2PhD/u£it. / P+D/100²t. 2 5P+D/u£it. / P+D/100²t. 1 5P+D/u£it. / PhD/u£it. 0,25 1


Záujem o ²túdium zapís/prij / prihl/plán 1 80100zahr.²t./v².²t. / prihl/plán 0,25 19100zahr.²t/v².²t. / zapís/prij 0,24 0,75

Granty VG+KG/tvp / granty/tvp 0,13 0,75APVT/tvp / granty/tvp 0,13 0,75APVT/tvp / VG+KG/tvp 1 1,5

Váhy ukazovate©ov Záujem o ²t. / U£it. a ²tud. 0,5 1Publ. a cit. / U£it. a ²tud. 0,4 1,95Doktorandi / U£it. a ²tud. 0,05 1,5Granty / U£it. a ²tud. 0,5 1

Publ. a cit. / Záujem o ²t. 1,95 3Doktorandi / Záujem o ²t. 0,05 3Granty / Záujem o ²t. 1 2

Doktorandi / Publ. a cit. 0,03 1Granty / Publ. a cit. 0,33 0,67Granty / Doktorandi 0,33 20

6.3.3 Programová implementácia a vyhodnotenie výsledkovPri výpo£toch hodnôt efektívností, ako aj programovaní CCR a AR modelov sme pouºilisoftvér MATLAB a jeho zabudovanú funkciu linprog. Zdrojové kódy oboch modelovuvádzame v prílohe. �iadne numerické problémy pri výpo£toch nenastali. Pre lep²iuorientáciu sme transformovali v²etky hodnoty efektívností na celé £íslo z intervalu 〈0, 100〉.Výnimku tvoria len výsledné hodnoty v rámci AR modelu, ktoré sme zaokrúhlili na jednodesatinné miesto, aby sme sa vyhli situácii, ked na jednej prie£ke v rámci rankingu �gurujeviacero fakúlt.

Prejdime teraz k výsledkom. Na nasledujúcich stranách uvádzame postupne tabu©ky svýsledkami pod©a jednotlivých skupín (vedných zameraní). V prvej £asti kaºdej tabu©kyuvádzame získané body v rámci jednotlivých ukazovate©ov ako vypo£ítané hodnoty efek-tívností v danom ukazovateli (prvá fáza). Ako sme uº spomenuli, súbeºne s kaºdou hod-notou efektívnosti sú v tabu©kách uvedené aj hodnoty pod©a ARRY.

V druhej £asti sú potom vyhodnotené výsledné body fakulty ako hodnoty celkovej efek-tívnosti, pri zoh©adnení výsledkov vo v²etkých ukazovate©och. Pre porovnanie s výsledka-mi, ktoré uvádza ARRA, sme zahrnuli do tabuliek aj st¨pec Priemer, ktorý je vypo£ítanýako aritmetický priemer z hodnôt v ukazovate©och pri pouºití AR modelu v prvej fáze. Zhodnôt celkových efektívností sme nakoniec zostavili rankingy pod©a pouºitých modelovv druhej fáze, teda CCR, AR a pri aplikovaní aritmetického priemeru.

V prílohe uvádzame tabu©ky s optimálnymi váhami ukazovate©ov, ktoré vy²li pripouºití AR modelu. Ukázalo sa, ºe ohrani£enie váh malo svoje opodstatnenie, pretoºev²etky optimálne váhy vy²li nenulové. To znamená, ºe sme sa vyhli problému nenulovýchslackov (= zmie²anej neefektívnosti).

KAPITO

LA6.

RANKING

KVALITY

VYSOKÝCH

�KÔLAK

OÚLO

HADEA

40

Humanitné vedy Výsledky v ukazovate©och Celkové výsledky Rankingy

Publ.

a cit.

Dokto

randi

Gran

ty

U£it.

a ²tud

.

Záuje

mo ²

t.

Priem

er

Priem

er

CCR

AR

Priem

er

CCR

AR

Priem

er

Fakulta AR ARRA AR ARRA AR ARRA AR ARRA AR ARRA ARRA Prvá fáza AR Prvá fáza AR ARRA

Evanj UK 82 24 92 42 3 3 84 64 84 50 37 69 100 100 1 1 1 11Fil UK 100 58 55 43 16 17 81 61 76 45 45 65.6 100 100 2 1 1 2Fil PU 96 47 47 35 39 41 66 52 68 38 43 63.2 100 99.2 3 1 3 5HumPrír PU 100 72 13 14 32 64 71 53 62 35 48 55.6 100 98.9 7 1 4 1Fil TVU 63 22 57 38 22 23 70 52 70 50 37 56.4 88 82.3 5 15 5 9Umení TUKE 18 0 36 0 100 75 53 49 85 59 37 58.4 100 80.3 4 1 6 10Pravosl PU 18 0 100 67 14 15 76 53 74 41 35 56.4 100 79.7 5 1 7 12Teol TVU 18 0 38 67 19 19 100 71 97 56 43 54.4 100 78.4 8 1 8 6Divadelná V�MU 18 0 46 42 21 22 98 78 89 55 39 54.4 100 77.2 8 1 9 8MuzUm AU 18 0 13 0 19 34 100 85 91 54 35 48.2 100 76.5 13 1 10 13FilmTel V�MU 18 0 50 69 28 26 86 69 89 49 43 54.2 98 75.2 10 14 11 4HudTan V�MU 18 0 37 57 5 8 98 83 99 69 43 51.4 100 74.4 11 1 12 3V�VU BL 18 0 16 29 14 14 83 72 100 84 40 46.2 100 69.8 15 1 13 7DramUm AU 18 0 0 0 0 0 100 80 81 46 25 39.8 100 69.4 18 1 14 16Greckokat PU 18 0 76 6 22 16 65 50 69 32 21 50 88 69 12 15 15 20RímsKat UK 20 2 63 45 2 2 64 54 91 41 29 48 99 64.4 14 13 16 14VýtvarUm AU 18 0 0 0 1 0 81 69 78 54 25 35.6 82 60.6 22 17 17 18Teol KU 18 � 78 � 1 � 53 � 59 � - 41.8 79 59.4 17 19 18 �Fil KU 20 5 21 17 59 23 53 43 46 23 22 39.8 80 58.8 18 18 19 19Fil UKF 18 0 66 26 11 10 53 43 64 44 25 42.4 77 58.5 16 20 20 17Fil UCM 26 5 47 0 8 10 57 46 54 39 20 38.4 64 54.3 20 22 21 21Hum UMB 31 10 33 28 15 30 50 42 55 25 27 36.8 62 52.7 21 23 22 15Filolo UMB 18 0 6 0 4 4 49 47 75 34 17 30.4 76 46.7 23 21 23 22

Tabu©ka 6.1: Humanitné vedy. Celkové výsledky

KAPITO

LA6.

RANKING

KVALITY

VYSOKÝCH

�KÔLAK

OÚLO

HADEA

41

Technické vedy Výsledky v ukazovate©och Celkové výsledky Rankingy

Publ.

a cit.

Dokto

randi

Gran

ty

U£it.

a ²tud

.

Záuje

mo ²

t.

Priem

er

Priem

er

CCR

AR

Priem

er

CCR

AR

Priem

er


ChemTechn STUBA 100 100 96 82 100 84 100 99 73 48 83 94 100 100 1 1 1 1Elektr STUBA 51 38 79 51 75 82 81 78 81 57 61 73 95 75.6 2 5 2 2Hutn TUKE 29 19 84 69 46 43 79 76 72 35 48 62 90 65.7 4 7 3 3Archit STUBA 2 1 73 48 76 40 74 72 100 74 47 65 100 62.8 3 1 4 4Ban TUKE 25 15 94 67 26 31 61 59 91 58 46 59 100 62.5 5 1 5 7Stroj �U 8 4 100 71 56 59 73 71 54 29 47 58 100 61.8 6 1 6 5Stav STUBA 34 20 60 44 28 37 71 68 77 37 41 54 86 57 7 11 7 9Stroj STUBA 33 19 58 44 29 41 72 72 79 57 47 54 88 56.8 7 8 8 6PriemTech TUAD 39 27 60 46 19 47 66 64 71 31 43 51 81 54.9 9 15 9 8Stav TUKE 21 12 43 36 32 26 74 72 85 47 39 51 92 53.7 9 6 10 13Elektr TUKE 19 12 52 44 31 30 70 69 71 44 40 49 81 50.3 11 15 11 11EnvirTech TUZV 3 2 61 49 38 38 71 71 73 39 40 49 83 50 11 12 12 10Stroj TUKE 10 5 58 53 36 41 61 60 75 35 39 48 78 48.4 13 17 13 12�pecInº �U 0 0 59 23 46 12 62 58 73 36 26 48 78 47.4 13 17 14 21Stav �U 0 0 58 41 35 22 67 67 63 34 33 45 75 45.7 15 19 15 17Elektr �U 8 4 48 39 19 19 69 68 75 45 35 44 83 45.1 16 12 16 15Mech SPU 4 2 37 36 17 16 72 68 81 47 34 42 88 43.8 19 8 17 16�pecTechn TUAD 0 0 33 19 30 28 68 67 83 45 32 43 87 43.6 18 10 18 19Riadenia a Inf �U 11 6 44 46 43 21 50 52 71 36 32 44 74 42.5 16 20 19 18VýrTech TUKE 5 3 29 30 23 50 65 61 77 38 36 40 82 41.9 20 14 20 14MatTechn STUBA 10 6 36 30 9 20 56 58 60 38 30 34 67 35.8 21 21 21 21MechTron TUAD 6 4 25 0 18 9 49 50 66 35 20 33 67 33.9 22 21 22 22

Tabu©ka 6.2: Technické vedy. Celkové výsledky

KAPITO

LA6.

RANKING

KVALITY

VYSOKÝCH

�KÔLAK

OÚLO

HADEA

42Prírodné vedy Výsledky v ukazovate©och Celkové výsledky Rankingy

Publiká

cieacitácie

Doktorandi

Granty

U£itelia

a²tu

denti

Záujem

o²tú

dium

Priem

er

Priem

er

CCR

AR

Priem

er

CCR

AR

Priem

er


FMFI UK 100 97 100 81 74 77 100 96 86 62 83 92 100 100 1 1 1 1Prír UPJ� 94 62 55 60 64 56 96 89 77 61 66 77 96 92.6 3 7 2 3Prír UK 56 53 89 94 96 88 93 83 98 87 81 86 100 89.7 2 1 3 2Ekolenv TUZ 16 9 92 66 20 17 76 70 96 69 46 60 100 63.8 5 1 4 5FIIT STUBA 4 � 53 � 100 � 64 � 100 � � 64 100 63.2 4 1 5 �Prír UKF 17 11 88 73 28 28 65 60 94 78 50 58 97 60.9 6 5 6 4Prír UMB 20 13 48 41 15 13 55 53 69 51 34 41 70 43.9 7 9 7 6Prír UCM 12 8 0 0 7 7 76 68 66 37 24 32 76 43.5 9 8 8 8Prír �U 2 1 19 17 6 6 46 50 97 66 28 34 97 35.5 8 5 9 7Pôdohospodárske vedyVeterLek UVL 100 85 100 61 100 81 100 94 100 88 82 100 100 100 1 1 1 1Les TUZV 100 54 55 61 54 42 93 79 77 49 57 76 100 87.7 3 1 2 3BiotPotr SPU 62 76 78 49 94 65 79 66 87 56 62 80 94 78.1 2 5 3 2Agro SPU 28 12 72 59 94 77 81 67 79 54 54 71 94 68.1 4 5 4 4Záhrad SPU 17 4 100 83 54 43 64 55 100 69 51 67 100 64.6 5 1 5 5Drev TUZV 20 8 80 65 41 36 73 65 98 63 47 62 98 60.7 6 4 6 6Lekárske vedyFarm UK 100 100 100 46 100 81 94 85 100 81 79 99 100 100 1 1 1 2JessenLek UK 66 40 100 100 100 82 87 85 100 86 79 91 100 90 2 1 2 1Lek UK 67 41 69 77 42 28 100 96 94 76 64 74 100 80 3 1 3 3Lek UPJ� 77 48 67 67 43 24 79 78 84 54 54 70 84 75 4 4 4 4

Tabu©ka 6.3: Prírodné, pôdohospodárske a lekárske vedy. Celkové výsledky

KAPITO

LA6.

RANKING

KVALITY

VYSOKÝCH

�KÔLAK

OÚLO

HADEA

43Spolo£enské vedy Výsledky v ukazovate©och Celkové výsledky Rankingy

Publ.

a cit.

Dokto

randi

Gran

ty

U£it.

a ²tud

.

Záuje

mo ²

t.

Priem

er

Priem

er

CCR

AR

Priem

er

CCR

AR

Priem

er


ZdravSoc TVU 100 10 100 79 17 7 100 96 69 42 47 77 100 100 1 1 1 1Ekonom TUKE 28 10 18 14 100 85 69 70 69 51 46 57 100 81.6 4 1 2 4Pedag TVU 57 27 13 14 40 48 79 76 55 30 39 49 88 76.2 7 11 3 7MedzVz´ah EU BA 19 11 100 60 26 30 74 71 100 73 49 64 100 75.6 2 1 4 2TV UK 14 12 71 40 38 49 97 92 97 44 47 63 100 75.5 3 1 5 3�portu PU 0 � 32 � 37 � 100 � 87 � � 51 100 68.1 5 1 6 �Eur �t SPU 9 14 26 29 79 42 65 57 71 46 38 50 93 65.7 6 10 7 9Obchod EU BA 34 12 43 28 24 27 77 72 66 50 38 49 78 64.8 7 23 8 8SocEkon UK 8 8 11 9 35 29 86 88 81 45 36 44 88 63.5 15 11 9 12NárHosp EU BA 26 10 40 20 20 25 84 81 59 38 35 46 84 62 11 16 10 13EkonomManSPU 6 3 34 32 26 35 77 76 100 75 44 49 100 61 7 1 11 5Práv UK 3 1 22 19 27 19 72 68 100 62 34 45 100 57.8 13 1 12 15Ekonom UMB 7 3 29 20 68 43 60 61 55 36 33 44 82 56.5 15 17 13 18Pedag UMB 13 7 18 20 3 4 80 72 76 44 29 38 82 54.1 20 17 14 21Pedas �U 0 0 48 35 13 22 75 75 94 67 40 46 94 53.5 11 9 15 6Manag UK 8 3 48 29 13 6 64 59 100 75 34 47 100 53.4 10 1 16 14Pedag UK 5 2 50 29 28 42 68 68 76 44 37 45 78 53 13 23 17 11HospInfo EU BA 24 10 36 20 11 13 66 67 65 35 29 40 71 52.7 18 31 18 22Práv TVU 0 0 43 25 29 38 80 82 59 42 37 42 81 52.6 17 19 19 10Práv UPJ� 6 4 22 9 7 9 80 78 72 39 28 37 81 51.4 22 19 20 25PodnHosp EU BA 24 8 34 23 9 11 71 71 49 31 29 37 71 50.9 22 31 21 23PodnMan EU BA 13 4 34 16 14 18 72 73 55 36 29 38 72 49.5 20 30 22 20SocEkon TUAD 1 0 0 0 40 44 51 49 82 43 27 35 88 48 26 11 23 27VerSpr UPJ� 10 5 0 0 26 33 59 61 67 35 27 32 69 48 28 33 23 27Polit UMB 9 5 31 15 2 3 70 75 73 42 28 37 75 47.9 22 26 25 24Pedag UKF 0 0 38 25 30 36 59 63 72 35 32 40 75 46.9 18 26 26 19Soc UKF 3 5 14 11 8 38 66 58 79 52 33 34 80 46 27 22 27 17Sredoeur �t UKF 0 � 0 � 1 � 74 � 61 � � 27 74 42.7 33 28 28 �Pedag PU 0 0 34 26 11 47 53 56 87 36 33 37 87 42.4 22 15 29 16Pedag KU 3 4 14 13 15 17 52 55 73 30 24 31 73 41 29 29 30 29Manaºment PU 0 � 0 � 12 � 53 � 76 � � 28 76 39.8 31 25 31 �Práv UMB 0 0 22 10 2 3 62 64 63 45 24 30 65 38.9 30 34 32 28Zdravotnícka PU 1 1 0 0 10 3 42 42 88 35 16 28 88 37.6 31 11 33 31MasMed UCM 0 0 0 0 7 10 45 52 81 50 22 27 81 36.2 33 19 34 30

Tabu©ka 6.4: Spolo£enské vedy. Celkové výsledky


Pri poh©ade na tabu©ky si moºno v²imnú´ nieko©ko faktov. V skupine technických aspolo£enských vied je zrejmé rozdelenie na "lep²ie" a "hor²ie" fakulty, ke¤ºe v obochskupinách dosiahlo efektívnos´ vy²²iu ako 60% priemerne len 5 aº 10 fakúlt. Naopak, v prí-pade spolo£enských vied (najvä£²ia skupina) a pôdohospodárskych, resp. lekárskych vied(najmen²ie skupiny) sú výsledky podstatne homogénnej²ie. V prípade pôdohospodárskych,lekárskych a prírodných vied je tieº vidie´ pribliºne rovnaký ranking pod©a nami zvolenejmetodiky DEA a metodiky, ktorú pouºila ARRA. Povaºujeme to najmä za dôsledokmalého po£tu fakúlt v zmienených skupinách. V skupinách s vä£²ím po£tom fakúlt (hu-manitné a spolo£enské vedy) v²ak uº vidie´ vä£²ie rozdiely medzi výsledkami z DEA az ARRY. Na druhej strane, v porovnaní s podobne ve©kou skupinou technických viedto napríklad môºe znamena´, ºe fakulty humanitných a spolo£ensky orientovaných viedvynikajú len v niektorých ukazovate©och, kým technické fakulty majú svoju 'kvalitu'rovnomerne rozloºenú vo v²etkých ukazovate©och. Zvlá²´ zaujímavo vyznieva výsledokEvanjelickej fakulty UK, ktorá v hodnotení AR modelu dosiahla prvenstvo, pri£om vARRA rankingu obsadila aº jedenáste miesto. Dôvod na takýto výrazný rozdiel by sadal zrejme nájs´ vo váhach jednotlivých indikátorov (pri porovnaní s ostatnými fakultamidanej skupiny).

Z h©adiska DEA sa potvrdilo tvrdenie o men²ích hodnotách efektívnosti v prípadeAR modelu (v porovnaní s CCR modelom). Takisto mnohé efektívne fakulty tak akoich identi�koval CCR model, sa v prípade AR modelu ukázali ako neefektívne, £o moºnorovnako pripísa´ (vhodne) ohrani£eným váham. Pri porovnaní výsledkov týchto dvochmodelov si moºno v²imnú´ dos´ výrazný rozdiel v hodnotách efektívnosti. Kým v prípadeCCR modelu bola v skupine spolo£enských vied najmen²ia hodnota 65, v prípade AR savyskytla hodnota 36. Rovnako, ak uvaºujeme fakulty s 90% a vy²²ou efektívnos´ou, takohrani£enie váh spôsobilo zníºenie po£tu takýchto fakúlt z desa´ na jednu. Analogickývýsledok sa dosiahol aj v skupine humanitných a technických vied.

6.4 ZhrnutieV predchádzajúcej £asti sme uskuto£nili analýzu kvality fakúlt slovenských vysokých ²kôl,pri£om sme pouºili aparát Data Envelopment Analysis. Pouºitie DEA nám umoºnilo, abyv rámci výsledkov mohli vyniknú´ aj fakulty, ktoré nedosahujú nadpriemerné výsledkyvo v²etkých ukazovate©och kvality. Tento fakt spolu s vhodne zvolenými ohrani£enia-mi na príslu²né optimálne váhy (zamedzenie nadmerných rozdielov vo váhach pre jed-notlivé ukazovatele) potvrdzuje oprávnenos´ pouºitia DEA pri analýze takéhoto druhu.Je dôleºité zdôrazni´, ºe DEA vo svojej podstate neporovnáva kvalitu, ale efektívnos´daného (nevýrobného) procesu. V na²ej analýze v²ak vystupujú ako relevanté iba výs-tupy, a preto maximalizácia v zmysle efektívnosti môºe by´ stotoºnená s maximalizáciou vzmysle kvality. Ak v rámci analýz uvaºujeme len údaje, ktoré pouºila ARRA, majú výsled-ky získané pomocou DEA porovnate©nú výpovednú hodnotu ako výsledky, ktoré vykázalaARRA. Metodika ARRY v²ak nie je univerzálna, ke¤ºe okrem iného nezoh©ad¬uje niek-toré ´aºko kvanti�kovate©né faktory (spokojnos´ ²tudentov so ²túdiom, ich úspe²nos´ vpraxi a pod.), ktoré vplývajú na celkovú kvalitu fakulty. Preto moºno uvedené výsledkypovaºova´ len za jednu z moºných interpretácii kvality vysokých ²kôl.

Záver

Cie©om bakalárskej práce bolo spracova´ tému Data Envelopment Analysis a bliº²ie popísa´model Assurance Region. Ako uº bolo spomenuté v samotnom texte, pri odvodzovaní jed-notlivých modelov (resp. ich vlastností) sme vychádzali najmä z literatúry [3] a [6]. Pripísaní sme sa zárove¬ snaºili postupova´ matematicky exaktne, o £om sved£í aj prvákapitola, v ktorej sme dokázali v²etky potrebné tvrdenia.

Základnú teóriu DEA sme opísali pomocou jednoduchých, gra�cky zobrazite©nýchpríkladov, na ktorých sme vysvetlili pojmy ako technická, resp. zmie²aná neefektívnos´.Na£rtli sme problém pseudoefektívnosti, ktorý sme takisto v prípade jednoduchého prí-kladu vyrie²ili, £ím sme sa vyhli skresleným výsledkom.

V prípade CCR modelu sme podali vy£erpávajúcu analýzu jeho moºných výstupov(z primárnej a duálnej stránky), objasnili sme pojem referen£nej mnoºiny a pomocouvhodne de�novanej dvojfázovej metódy sme zaviedli klasi�káciu neefektívností, ktoré vietento model zachyti´. Pre potreby praktickej £asti sme zaviedli výstupne orientovanýmodel, ktorý úzko súvisí so vstupne orientovaným modelom.

Na základe motivácie ohrani£enia prípustných váh sme v ¤al²ej kapitole popísali As-surance Region (AR) model, ktorý predstavuje jednoduchú nadstavbu nad CCR mode-lom. Primárny AR model sa totiº od primárneho CCR modelu lí²i len men²ou mnoºinouprípustných rie²ení, £o znamená, ºe hodnoty efektívnosti budú v prípade CCR modeluniº²ie. Na jednoduchom príklade sme demon²trovali zmen²enie mnoºiny efektívnych út-varov (DMU) ako dôsledok pouºitia AR modelu a nazna£ili jeho pouºitie pri efektívnej²omodha©ovaní pseudoefektívnosti.

V praktickej £asti sme vytvorili ranking kvality fakúlt slovenských vysokých ²kôl,pri£om ako vstupné dáta sme pouºili výsledky fakúlt vo vopred ur£ených výstupne oriento-vaných ukazovate©och kvality. Následne sme porovnali na²e výsledky s výsledkami, ktoréuverej¬uje nezávislá agentúra ARRA (pozri [5]) a pokúsili sme sa zdôvodni´ vzniknutérozdiely, ktoré vyplynuli z pouºitia rozdielnych metodík.

45

Literatúra

[1] Dantzig, G. B., Thapa, M. N., Linear Programming 2: Theory and Extensions,Springer; 1 edition (July 12, 2006).

[2] Plesník, J., Dupa£ová, J., Vlach, M., Lineárne programovanie, Alfa, Bratislava, 1990.

[3] Cooper, W. W., Seiford, L. M., Tone, K., Data Envelopment Analysis - A Compre-hensive Text with Models, Applications, References and DEA-Solver Software, KluwerAcademic Publishers. Fifth Printing 2004.

[4] Kolátor V.: Metódy vnútorného bodu vo �nan£ných modeloch, Diplomová práca,Bratislava, 2006.

[5] ARRA: Správa 2006, Hodnotenie verejných vysokých ²kôl a ich fakúlt, ARRA, 2006.Dostupné na: <http://www.arra.sk/oldweb/ARRA-Sprava_o_VS-2006.pdf>

[6] Halická, M., Seminár z DEA modelov, Bratislava 2006/2007.

46

Príloha

A Výstupne orientovaný AR modelZdrojový kód MATLAB-ovského programu pod©a modelu (5.3):

function [Fun_value,Vahy]=ARO(X,Y,P,Q)global Qglobal P[m,alfa]=size(P);[s,beta]=size(Q);[m,n]=size(X);[s,n]=size(Y);Fun_value=zeros(n,1);Vahy=zeros(m+s,1);for i=1:n

y0=Y(:,i);x0=X(:,i);f=[zeros(s,1)' x0'];b=zeros(n+beta+alfa,1);A=[Y',-X';

zeros(alfa,s), P' ; Q', zeros(beta,m)];Aeq=[y0' zeros(1,m)];beq=[1];lb=zeros(s+m,1);[xval,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,[]);xval;Vahy=[Vahy,xval];Fun_value(i)=fval;

endFun_value;Vahy=Vahy(:,[2:n+1])'

B Výstupne orientovaný CCR modelfunction F=CCRO(X,Y)[m,n]=size(X);[s,n]=size(Y);F=zeros(n,1);for i=1:n

y0=Y(:,i);x0=X(:,i);

i

f=[zeros(s,1)' x0'];b=zeros(n,1);A=[Y',-X'];Aeq=[y0' zeros(1,m)];beq=[1];lb=zeros(s+m,1);[xval,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,[]);fval=fval;xval;F(i)=round(100*fval);

end

C Optimálne váhy ukazovate©ov (Celkové výsledky -AR model)

Humanitné vedy Pub.cit. Dokt. Granty U£it.²tud. ZáujemEvanj UK 0.0044 0.003 0.0018 0.0027 0.0015Fil UK 0.0052 0.001 0.0022 0.0031 0.0018HumPrír PU 0.0052 0.0002 0.0035 0.0035 0.0017Fil PU 0.0052 0.0002 0.0035 0.0035 0.0017Umení TUKE 0.0049 0.0002 0.0033 0.0033 0.0025MuzUm AU 0.0043 0.0002 0.0029 0.0043 0.0022HudTan V�MU 0.0043 0.0002 0.0022 0.0044 0.0022Fil TVU 0.0038 0.002 0.0026 0.0039 0.002V�VU BL 0.0043 0.0002 0.0029 0.0043 0.0022RímsKat UK 0.0033 0.0033 0.0022 0.0033 0.0017DramUm AU 0.0043 0.0002 0.0022 0.0044 0.0022FilmTel V�MU 0.0038 0.002 0.0026 0.0039 0.002VýtvarUm AU 0.0043 0.0002 0.0022 0.0044 0.0022Divadelná V�MU 0.0038 0.002 0.0026 0.0039 0.002Teol.TVU 0.0043 0.0002 0.0029 0.0043 0.0022Pravosl.PU 0.0033 0.0033 0.0022 0.0033 0.0017Teol KU 0.0033 0.0033 0.0017 0.0034 0.0017Fil KU 0.0043 0.0002 0.0029 0.0043 0.0022Hum UMB 0.0038 0.002 0.0026 0.0039 0.002Fil UKF 0.0033 0.0033 0.0022 0.0033 0.0017Fil UCM 0.0038 0.002 0.0026 0.0039 0.002Greckokat.PU 0.0033 0.0033 0.0022 0.0033 0.0017Filolo UMB 0.0043 0.0002 0.0022 0.0044 0.0022

Tabu©ka I. Humanitné vedy. Optimálne váhy.

ii

Lekárske vedy Pub.cit. Dokt. Granty U£it.²tud. ZáujemFarm UK 0.0035 0.0012 0.0018 0.0021 0.0016JessenLek UK 0.0024 0.0024 0.0016 0.0025 0.0012Lek UK 0.0033 0.0002 0.0017 0.0034 0.0017Lek UPJ� 0.0043 0.0001 0.0014 0.0029 0.0014Prírodné vedy Pub.cit. Dokt. Granty U£it.²tud. ZáujemFMFI UK 0.0038 0.0016 0.0016 0.002 0.0016Prír UK 0.0033 0.0002 0.0022 0.0034 0.0017Prír UPJ� 0.0045 0.0001 0.0015 0.003 0.0015Ekolenv TUZ 0.0026 0.0026 0.0013 0.0027 0.0013Prír UKF 0.0026 0.0026 0.0013 0.0027 0.0013FIIT 0.0033 0.0002 0.0022 0.0034 0.0017Prír UMB 0.0026 0.0026 0.0013 0.0027 0.0013Prír UCM 0.0035 0.0002 0.0018 0.0035 0.0018Prír �U 0.0035 0.0002 0.0018 0.0035 0.0018Technické vedy Pub.cit. Dokt. Granty U£it.²tud. ZáujemChemTechn. STUBA 0.0038 0.0005 0.002 0.0026 0.0015Elektr STUBA 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013Archit STUBA 0.0025 0.0025 0.0017 0.0025 0.0013Ban TUKE 0.0028 0.0028 0.0015 0.0019 0.0015Hutn TUKE 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013Stroj �U 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013Stroj STUBA 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013PriemTech TUAD 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013Stav STUBA 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013Stav TUKE 0.0034 0.0002 0.0017 0.0035 0.0017Riadenia a Inf �U 0.0025 0.0025 0.0017 0.0025 0.0013Stroj TUKE 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013Elektr TUKE 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013EnvirTech. TUZV 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013�pecInº �U 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013Elektr �U 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013Stav �U 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013MatTechn STUBA 0.0026 0.0026 0.0013 0.0026 0.0013Mech SPU 0.0034 0.0002 0.0017 0.0035 0.0017�pecTechn TUAD 0.0034 0.0002 0.0017 0.0035 0.0017VýrTech TUKE 0.0034 0.0002 0.0017 0.0035 0.0017MechTron TUAD 0.0034 0.0002 0.0017 0.0035 0.0017

Tabu©ka II. Lekárske, prírodné a technické vedy. Optimálne váhy.

iii

Spolo£enské vedy Pub.cit. Dokt. Granty U£it.²tud. ZáujemZdravSoc TVU 0.0046 0.0013 0.0021 0.0025 0.0018Ekonom TUKE 0.0046 0.0002 0.0031 0.0031 0.0024MedzVz´ah EU BA 0.0032 0.0032 0.0021 0.0021 0.0016Pedag TVU 0.0046 0.0002 0.0031 0.0031 0.0024�portu PU 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Eur.�t. SPU 0.0046 0.0002 0.0031 0.0031 0.0024TV UK 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002SocEkon UK 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Ekonom UMB 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002EkonomManSPU 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Obchod EU BA 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Pedag UK 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Manag UK 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002NárHosp. EU BA 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Pedas �U 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Polit UMB 0.004 0.0002 0.002 0.0041 0.002Práv UK 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Práv TVU 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002HospInfo EU BA 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Pedag UMB 0.004 0.0002 0.002 0.0041 0.002Pedag UKF 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Práv UPJ� 0.004 0.0002 0.002 0.0041 0.002Zdravotnícka PU 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002PodnMan EU BA 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002PodnHosp. EU BA 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002SocEkon TUAD 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Pedag PU 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Soc UKF 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002VerSpr UPJ� 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Práv UMB 0.004 0.0002 0.002 0.0041 0.002Stredoeur.�t.UKF 0.004 0.0002 0.002 0.0041 0.002MasMed UCM 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Pedag KU 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Manaºment PU 0.0039 0.0002 0.0026 0.004 0.002Pôdohospodárske vedy Pub_cit. Dokt. Granty U£i_²tud. ZáujemVeterLek. UVL 0.0032 0.002 0.0016 0.0018 0.0014Les TUZV 0.0042 0.0001 0.0014 0.0028 0.0014BiotPotr. SPU 0.0031 0.0002 0.0021 0.0031 0.0016Agro SPU 0.0024 0.0024 0.0016 0.0024 0.0012Záhrad SPU 0.0027 0.0027 0.0014 0.0018 0.0014Drev TUZV 0.0025 0.0025 0.0013 0.0025 0.0013

Tabu©ka III. Spolo£enské a pôdohospodárske vedy. Optimálne váhy.

iv

Zam

eran

ie

Fakulta pu

b/t

vor.

p

SC

I/tvo

r.p

SC

I/pu

b

5cit

/tvo

r.p

25ci

t/tv

orp

do

kt.i/

P+

D

do

kt/P

+D

absd

ok/

P+

D

do

kt/š

tud

gra

nty

/tvp

VG

+K

G/t

vp

AP

VT

/tvp

uč/

100

št.

P+

D/1

00 š

Ph

D/u

čit

P+

D/u

čit

pri

h/p

lan

zap

is/p

rij

100*

zah

ršt/

štu

d

Ekolenv TUZ 1.03 1.68 1.63 0.08 0.00 1.09 4.76 0.385 0.132 34.67 34.674 0.000 7.467 2.779 0.673 0.372 1.769 0.650 0.567FMFI UK 5.02 40.33 8.03 2.01 0.38 1.52 4.89 0.218 0.293 249.61 47.483 31.248 12.854 6.027 0.751 0.469 1.330 0.580 0.628FIIT STUBA 0.28 0.04 0.15 0.00 0.00 1.52 2.46 0.000 0.033 326.31 52.335 77.856 3.469 1.341 0.583 0.387 2.145 0.650 0.972Prír UCM 0.64 1.04 1.62 0.10 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000 22.47 9.885 0.000 6.170 2.655 0.630 0.430 1.051 0.480 0.000Prír UK 3.04 19.10 4.27 1.11 0.14 1.75 3.47 0.353 0.135 236.46 74.797 72.914 9.028 3.929 0.833 0.435 2.711 0.420 1.224Prír UKF 0.95 2.00 2.11 0.13 0.01 1.64 4.98 0.372 0.072 75.06 41.330 0.000 4.692 1.464 0.660 0.312 2.738 0.520 0.706Prír UMB 0.76 2.34 3.07 0.15 0.00 0.80 3.30 0.205 0.031 31.19 20.342 3.266 3.830 0.928 0.595 0.242 1.466 0.470 0.354Prír UPJŠ 6.02 23.26 3.86 1.45 0.12 1.07 1.62 0.230 0.076 142.07 64.962 38.404 9.827 4.731 0.779 0.481 2.527 0.420 0.337Prír ŽU 0.12 0.03 0.27 0.00 0.00 0.32 0.92 0.092 0.012 22.37 5.856 0.000 5.345 1.306 0.365 0.244 2.451 0.670 0.096

Archit STUBA 0.04 0.01 0.20 0.00 0.00 1.06 3.48 0.200 0.122 351.69 21.687 2.228 9.341 3.485 0.699 0.373 1.800 0.790 2.041Berg TUKE 0.61 1.40 2.28 0.08 0.01 1.20 5.30 0.500 0.078 95.12 37.921 0.000 3.887 1.479 0.696 0.381 7.930 0.480 0.288Elektr STUBA 2.07 7.70 3.72 0.48 0.04 1.09 3.34 0.200 0.135 286.29 66.391 43.420 8.664 4.095 0.785 0.473 1.188 0.650 1.527Elektr TUKE 0.75 1.28 1.72 0.10 0.00 0.97 2.49 0.200 0.068 104.61 41.149 6.144 6.581 2.747 0.736 0.417 1.162 0.590 0.856Elektr ŽU 0.29 0.21 0.71 0.01 0.00 1.06 2.49 0.100 0.072 78.56 12.531 8.723 6.899 2.891 0.688 0.419 2.010 0.620 0.619EnvirTech. TUZV 0.13 0.04 0.29 0.00 0.00 1.17 2.98 0.200 0.088 95.63 46.418 20.479 6.821 2.962 0.725 0.434 2.483 0.620 0.163Hutn TUKE 2.60 3.84 1.47 0.28 0.00 1.30 3.15 0.300 0.119 137.84 54.538 20.723 7.872 3.800 0.767 0.483 1.519 0.630 0.138ChemTechn. STUBA 7.59 31.42 4.14 2.16 0.15 1.54 2.35 0.200 0.171 385.98 69.336 79.473 12.628 7.341 0.865 0.581 2.090 0.590 0.892MatTechn STUBA 0.28 0.26 0.94 0.01 0.00 0.72 3.00 0.000 0.054 4.31 4.305 17.842 5.658 1.787 0.592 0.316 3.328 0.430 0.366Mech SPU 0.12 0.05 0.40 0.00 0.00 0.79 1.97 0.100 0.051 54.58 26.167 0.000 5.548 2.612 0.736 0.471 1.908 0.680 0.625MechTron TUAD 0.21 0.12 0.60 0.00 0.00 0.00 0.00 0.200 0.000 71.69 24.302 0.000 4.234 1.287 0.529 0.304 2.114 0.560 0.131PriemTech TUAD 1.63 5.25 3.22 0.37 0.00 1.35 3.42 0.000 0.104 31.19 14.137 26.326 6.935 3.002 0.588 0.433 0.980 0.640 0.000Riadenia a Inf ŽU 0.15 0.16 1.07 0.01 0.00 1.22 3.51 0.000 0.048 189.17 25.246 0.000 6.043 1.375 0.521 0.228 1.983 0.610 0.138Stav STUBA 0.62 2.00 3.21 0.14 0.00 1.14 2.94 0.200 0.087 91.29 22.242 24.735 7.314 2.803 0.741 0.383 1.475 0.690 0.085Stav TUKE 0.28 0.59 2.10 0.03 0.00 0.76 2.16 0.100 0.073 115.48 45.436 0.000 9.672 3.403 0.692 0.352 1.036 0.730 0.697Stav ŽU 0.04 0.00 0.00 0.00 0.00 1.02 2.84 0.200 0.082 62.45 49.250 17.954 7.013 2.729 0.678 0.389 1.640 0.540 0.264Stroj STUBA 0.40 1.29 3.20 0.09 0.01 1.13 2.87 0.100 0.099 82.13 26.289 23.974 8.745 3.665 0.668 0.419 1.117 0.630 1.545Stroj TUKE 0.20 0.20 0.98 0.01 0.00 1.15 4.23 0.100 0.079 130.37 45.618 7.680 5.253 1.863 0.675 0.355 0.963 0.670 0.135Stroj ŽU 0.18 0.14 0.80 0.01 0.00 1.50 5.76 0.300 0.162 142.61 61.393 38.946 7.105 2.815 0.782 0.396 1.624 0.460 0.161ŠpecInž ŽU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.80 1.66 0.400 0.021 187.78 49.151 1.148 3.177 1.266 0.727 0.399 2.238 0.630 0.000ŠpecTechn TUAD 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.52 2.19 0.000 0.063 27.20 17.850 51.315 6.075 2.897 0.631 0.477 0.958 0.710 0.704VýrTech TUKE 0.10 0.05 0.50 0.00 0.00 0.78 2.18 0.000 0.035 102.19 13.616 0.000 4.778 1.587 0.777 0.332 1.800 0.680 0.115

Študenti a učiteliaPublikácie a citácie Doktorandské štúdium Grantová úspešnosť

D Vstupné údaje

Tabuľka IV. Vstupné údaje

Záujem o štúdiumP

ríro

dn

é ve

dy

Tec

hn

ické

ved

y

Zam

eran

ie

Fakulta pu

b/t

vor.

p

SC

I/tvo

r.p

SC

I/pu

b

5cit

/tvo

r.p

25ci

t/tv

orp

do

kt.i/

P+

D

do

kt/P

+D

absd

ok/

P+

D

do

kt/š

tud

gra

nty

/tvp

VG

+K

G/t

vp

AP

VT

/tvp

uč/

100

št.

P+

D/1

00 š

Ph

D/u

čit

P+

D/u

čit

pri

h/p

lan

zap

is/p

rij

100*

zah

ršt/

štu

d

Študenti a učiteliaPublikácie a citácie Doktorandské štúdium Grantová úspešnosť Záujem o štúdium

Farm UK 3.72 15.91 4.28 0.27 0.04 0.55 1.47 0.200 0.362 79.51 56.081 6.477 9.773 3.339 0.717 0.342 3.396 0.860 9.965JessenLek UK 1.18 4.39 3.71 0.23 0.02 1.10 4.21 0.400 0.182 76.12 30.695 10.537 12.236 3.607 0.625 0.295 5.505 0.510 12.378Lek UK 1.95 6.75 3.46 0.22 0.02 0.76 3.50 0.300 0.075 29.20 21.005 3.788 14.913 5.025 0.668 0.337 4.817 0.670 7.644Lek UPJŠ 1.82 7.53 4.13 0.23 0.03 0.82 4.03 0.300 0.024 25.21 17.410 5.256 11.371 3.026 0.567 0.266 2.165 0.760 4.343

Agro SPU 0.94 0.78 0.83 0.03 0.00 1.02 2.31 0.392 0.067 194.39 78.655 37.035 5.526 2.228 0.893 0.403 2.000 0.610 0.596BiotPotr. SPU 1.27 2.72 2.14 0.11 0.00 1.42 2.18 0.000 0.127 197.65 45.654 46.979 6.034 2.397 0.841 0.397 1.833 0.690 1.113Drev TUZV 0.64 0.47 0.73 0.01 0.00 1.34 3.98 0.213 0.101 86.88 50.787 6.697 5.822 2.560 0.665 0.440 2.059 0.770 1.686Les TUZV 0.84 2.72 3.25 0.22 0.01 1.16 3.09 0.188 0.048 104.23 92.394 0.000 7.367 4.133 0.833 0.561 1.710 0.610 0.274VeterLek. UVL 3.30 6.49 1.97 0.13 0.00 0.87 2.28 0.191 0.148 210.59 87.615 36.995 15.956 7.432 0.774 0.466 1.792 0.710 18.005Záhrad SPU 0.20 0.11 0.54 0.08 0.00 1.71 4.82 0.587 0.085 107.00 89.533 0.000 4.579 1.439 0.718 0.314 2.543 0.770 1.026

Divadelná VŠMU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.90 1.35 0.092 0.126 20.71 20.706 0.000 14.308 8.577 0.630 0.599 4.314 0.950 3.162DramUm AU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000 3.20 0.000 0.000 22.936 9.633 0.716 0.420 4.300 0.890 0.000Evanj UK 0.50 0.06 0.13 0.00 0.00 0.33 3.83 0.555 0.177 2.96 2.956 0.000 13.140 4.959 0.723 0.377 1.286 0.870 7.438Fil KU 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.92 1.63 0.000 0.020 391.95 4.836 0.000 4.353 1.238 0.498 0.284 1.395 0.510 0.243Fil PU 0.54 0.14 0.26 0.01 0.00 1.03 3.43 0.229 0.061 43.46 38.749 0.000 5.959 1.792 0.659 0.301 3.123 0.750 0.539Fil TVU 0.35 0.09 0.26 0.00 0.00 1.36 4.32 0.143 0.098 22.31 22.312 0.000 6.093 2.275 0.653 0.373 8.648 0.510 0.000Fil UCM 0.04 0.01 0.20 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.157 22.59 6.281 0.000 5.573 1.566 0.554 0.281 6.351 0.400 0.346Fil UK 0.51 0.27 0.54 0.01 0.00 0.71 4.56 0.448 0.026 30.61 14.602 0.000 9.693 3.488 0.762 0.360 3.584 0.830 1.625Fil UKF 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00 0.92 2.51 0.132 0.186 37.68 7.761 0.000 3.984 1.047 0.533 0.263 5.351 0.640 1.099FilmTel VŠMU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.52 2.99 0.386 0.000 84.11 22.240 0.000 12.343 5.734 0.669 0.465 2.300 0.950 3.937Fil UMB 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.019 4.05 3.666 0.000 10.651 2.381 0.373 0.224 1.150 0.820 0.920Greckokat.PU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.31 2.03 0.000 0.250 132.95 9.631 0.000 3.098 0.940 0.701 0.303 1.350 0.760 0.898HudTan VŠMU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.18 2.87 0.191 0.024 13.18 3.896 0.000 22.058 10.096 0.643 0.458 1.522 0.890 15.756Hum UMB 0.11 0.03 0.25 0.00 0.00 1.00 2.80 0.138 0.025 90.41 7.102 0.000 3.268 0.874 0.494 0.268 1.134 0.610 0.223HumPrír PU 0.33 0.38 1.15 0.02 0.00 0.50 1.55 0.048 0.000 47.72 30.694 0.000 4.348 1.588 0.713 0.365 3.060 0.690 0.000MuzUm AU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.044 116.07 8.607 0.000 27.519 11.654 0.607 0.423 2.025 0.950 6.767Pravosl.PU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.55 4.14 0.574 0.200 13.96 13.958 0.000 3.401 1.072 0.864 0.315 3.556 0.820 0.000RímsKat UK 0.05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.39 4.27 0.550 0.045 1.96 1.961 0.000 17.956 3.239 0.475 0.180 1.089 1.000 1.429Teol KU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.83 8.23 0.000 0.198 0.64 0.644 0.000 2.115 0.552 0.565 0.261 0.650 0.650 1.068Teol.TVU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2.09 3.73 0.000 0.000 33.57 17.190 0.000 9.744 5.641 0.842 0.579 1.469 1.000 8.000Umení TUKE 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.119 595.04 47.507 0.000 12.957 3.502 0.330 0.270 7.354 0.840 1.167VŠVU BL 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.75 1.66 0.038 0.000 27.77 12.943 0.000 20.298 8.194 0.495 0.404 5.536 0.980 13.966

Hu

man

itn

é ve

dy

Tabuľka V. Vstupné údaje

Lek

ár.

Pô

do

ho

sp.

Zam

eran

ie

Fakulta pu

b/t

vor.

p

SC

I/tvo

r.p

SC

I/pu

b

5cit

/tvo

r.p

25ci

t/tv

orp

do

kt.i/

P+

D

do

kt/P

+D

absd

ok/

P+

D

do

kt/š

tud

gra

nty

/tvp

VG

+K

G/t

vp

AP

VT

/tvp

uč/

100

št.

P+

D/1

00 š

Ph

D/u

čit

P+

D/u

čit

pri

h/p

lan

zap

is/p

rij

100*

zah

ršt/

štu

d

Študenti a učiteliaPublikácie a citácie Doktorandské štúdium Grantová úspešnosť Záujem o štúdium

Ekonom TUKE 0.52 0.18 0.35 0.00 0.00 0.83 2.50 0.000 0.031 270.25 24.671 6.463 4.704 1.254 0.620 0.267 5.367 0.630 0.822Ekonom UMB 0.12 0.02 0.17 0.00 0.00 0.72 2.32 0.300 0.020 206.93 16.461 0.000 3.722 0.881 0.572 0.237 2.819 0.490 0.888EkonomManSPU 0.10 0.03 0.25 0.00 0.00 1.03 2.15 0.300 0.036 50.74 17.980 0.000 4.287 1.667 0.626 0.389 8.131 0.910 1.209Eur.Št. SPU 0.13 0.09 0.75 0.00 0.00 1.67 3.97 0.000 0.025 261.07 0.000 0.000 2.384 0.624 0.698 0.262 4.297 0.650 0.620HospInfo EU BA 0.44 0.22 0.51 0.02 0.00 0.58 3.20 0.300 0.040 20.84 7.561 0.000 4.281 1.259 0.566 0.294 1.954 0.600 0.760Manag UK 0.14 0.03 0.20 0.00 0.00 0.86 6.97 0.400 0.053 42.97 0.999 0.000 2.240 0.775 0.570 0.346 5.886 0.750 3.237Manažment PU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000 10.61 10.613 0.000 2.248 0.580 0.516 0.258 3.044 0.720 0.000MasMed UCM 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000 6.46 6.455 0.000 2.968 0.666 0.361 0.224 4.736 0.760 0.341MedzVzťah EU BA 0.38 0.04 0.10 0.00 0.00 2.62 12.92 0.600 0.162 47.13 18.264 0.000 5.141 1.310 0.686 0.255 3.287 0.710 4.637NárHosp. EU BA 0.48 0.21 0.45 0.02 0.00 0.41 2.95 0.300 0.056 24.45 16.009 0.000 4.450 1.891 0.678 0.425 3.896 0.550 0.302Obchod EU BA 0.64 0.16 0.25 0.02 0.00 0.87 4.76 0.300 0.061 45.40 16.537 0.000 3.239 1.297 0.675 0.400 5.398 0.600 0.791Pedag KU 0.03 0.01 0.25 0.00 0.00 0.72 2.32 0.000 0.017 28.78 10.386 0.000 2.757 0.714 0.452 0.259 0.949 0.690 0.059Pedag PU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.22 3.67 0.300 0.025 21.59 7.807 0.000 3.680 0.664 0.501 0.180 1.450 0.830 0.000Pedag TVU 0.17 0.73 4.38 0.31 0.00 0.45 1.06 0.100 0.017 73.13 29.107 0.000 3.725 1.564 0.628 0.420 2.704 0.520 0.000Pedag UK 0.08 0.01 0.18 0.00 0.00 0.94 3.71 0.500 0.039 46.65 21.355 0.000 4.974 1.068 0.635 0.215 3.093 0.700 0.751Pedag UKF 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 4.25 0.300 0.045 41.89 23.178 0.000 4.724 1.059 0.500 0.224 2.282 0.680 0.135Pedag UMB 0.02 0.03 1.50 0.00 0.00 0.63 2.08 0.100 0.028 5.19 2.173 0.000 3.092 1.335 0.671 0.432 2.459 0.680 1.250Pedas ŽU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.07 3.69 0.400 0.053 17.80 10.518 0.000 4.115 1.485 0.653 0.361 3.533 0.700 3.772PodnHosp. EU BA 0.46 0.07 0.15 0.00 0.00 0.73 2.81 0.300 0.036 7.72 7.725 0.000 3.993 1.276 0.661 0.320 3.472 0.460 0.000PodnMan EU BA 0.25 0.01 0.04 0.00 0.00 0.48 3.43 0.200 0.056 14.42 11.862 0.000 4.574 1.652 0.536 0.361 3.375 0.500 0.591Polit UMB 0.04 0.04 1.00 0.00 0.00 0.38 2.69 0.200 0.049 1.93 1.929 0.000 6.188 1.808 0.470 0.292 3.306 0.680 0.425Práv TVU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.91 4.18 0.100 0.089 25.45 25.446 0.000 5.437 2.138 0.552 0.393 5.707 0.520 0.000Práv UK 0.07 0.00 0.00 0.00 0.00 0.71 3.17 0.100 0.033 80.91 7.803 0.000 2.852 1.046 0.656 0.367 4.692 0.910 1.248Práv UMB 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.44 3.11 0.100 0.040 1.73 1.727 0.000 4.101 1.007 0.573 0.245 5.715 0.580 0.000Práv UPJŠ 0.05 0.04 0.67 0.00 0.00 0.29 2.33 0.100 0.039 6.20 6.200 0.000 4.272 1.661 0.685 0.389 3.318 0.680 0.095Soc UKF 0.05 0.01 0.25 0.00 0.00 0.60 1.99 0.000 0.023 20.30 4.501 0.000 2.654 0.638 0.709 0.241 4.261 0.700 1.294SocEkon TUAD 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000 97.54 24.623 0.000 1.967 0.489 0.495 0.249 3.388 0.770 0.155SocEkon UK 0.12 0.08 0.67 0.00 0.00 0.41 1.12 0.000 0.024 100.08 13.621 0.000 5.271 2.126 0.712 0.403 2.114 0.720 1.348Sredoeur.Št.UKF 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000 3.32 0.000 0.000 5.122 1.159 0.706 0.226 1.571 0.580 0.000Športu PU 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.80 2.27 0.000 0.075 32.42 32.424 0.000 11.283 3.319 0.647 0.294 2.625 0.830 0.000FTVŠ UK 0.24 0.17 0.71 0.00 0.00 1.40 5.36 0.400 0.120 34.88 32.979 0.000 6.249 2.249 0.868 0.360 1.410 0.900 0.771VerSpr UPJŠ 0.19 0.03 0.17 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000 22.50 22.500 0.000 3.521 0.903 0.545 0.256 2.896 0.640 0.000Zdravotnícka PU 0.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.000 0.000 32.03 0.000 0.000 6.119 0.622 0.217 0.102 1.078 0.840 0.000ZdravSoc TVU 1.29 5.98 4.62 0.30 0.03 0.96 6.14 0.700 0.151 54.96 0.941 0.000 5.429 2.468 0.900 0.455 3.660 0.640 0.493

Tabuľka VI. Vstupné údaje

Sp

olo

čen

ské

ved

y

fakulta matematiky, fyziky a informatiky · margaréte halickej, csc. za odborné vedenie,...

Documents