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U N I V E R S I D A D A U T Ó N O M A

D E Y U C A T Á N

FACULTAD DE MATEMÁTICAS

ELEMENTOS PARA LA RESIGNIFICACIÓN DE LA SERIE DE TAYLOR

A TRAVÉS DE TECNOLOGÍA

Tesis que presenta

Cynthia Almazán Colorado

Examen profesional para obtener el título de

Licenciada en enseñanza de las matemáticas

Asesor de tesis

M. en C. Landy Sosa Moguel

Modalidad

Tesis individual

Mérida, Yucatán Octubre 2009

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN

CAPÍTULO 1. LA TECNOLOGÍA EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS

1.1. Implicaciones didácticas del uso de la tecnología

1.2. La transposición informática

1.3. Actividades de aprendizaje con tecnología

1.4. Argumentaciones en matemáticas con tecnología

CAPÍTULO 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

2.1. Usos de la tecnología para el desarrollo del pensamiento y lenguaje

variacional

2.1.1. Tratamiento didáctico de la Serie de Taylor

2.1.2. La argumentación como generadora de conocimiento

matemático

2.2. Planteamiento del problema

2.3. Justificación

CAPÍTULO 3. MARCO TEORICO Y METODOLOGÍA

3.1. Enfoques del uso de la tecnología informática en el aprendizaje de las

matemáticas.

3.2. Transformaciones de un instrumento tecnológico de aprendizaje en la

actividad matemática.

3.3. La génesis instrumental

3.4. Metodología de investigación

CAPÍTULO 4. LA SERIE DE TAYLOR: UN ANÁLISIS PREELIMINAR 4.1. Aspectos epistemológicos de la Serie de Taylor

4.2. Estructura conceptual de la Serie de Taylor

4.3. Argumentos sobre la Serie de Taylor

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS A PRIORI Y EXPERIMENTACIÓN

5.1. Diseño experimental

5.1.1. Metodología de experimentación

5.1.2. Análisis a priori de la actividad 1


5.2. Acciones de instrumentación

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CAPÍTULO 6. ANÁLISIS A POSTERIORI

6.1. Lenguaje variacional

6.2. Argumentación de la serie de Taylor

6.3. Significados sobre la serie de Taylor

CAPÍTULO 7. CONCLUSIONES

7.1. Elementos para la resignificación de la Serie de Taylor

7.1.1. Predicción en situaciones de cambio y variación

7.1.2. Aproximación polinomial

7.1.3. Argumentación y tecnología

7.2. Recomendaciones para un tratamiento didáctico de la Serie de Taylor

REFERENCIAS

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INTRODUCCIÓN

El trabajo de tesis que se presenta a continuación, titulado “Elementos para la resignificación

de la Serie de Taylor a través de tecnología” tiene como problema de investigación generar

argumentos de presentación y justificación mediante la visualización de la Serie de Taylor a

través de tecnología, con la intención de identificar los significados que los estudiantes

construyen sobre la Serie de Taylor y caracterizar los elementos necesarios para su

resignificación.

En el primer capítulo se habla sobre la incidencia de la tecnología en el aprendizaje de las

matemáticas, respecto a las transformaciones o cambios que implica su incorporación en el

proceso de enseñanza y aprendizaje. Por ejemplo la transmutación del conocimiento, lo cual

lleva a discutir sobre el fenómeno didáctico la transposición informática, objeto de estudio

de esta investigación. Concluyendo el capítulo con la importancia de la argumentación en

matemáticas, la cual reside en los significados que lleva a generar debido al medio

tecnológico en el que se trata el objeto matemático, según la transposición informática.

En el capítulo dos se enfatiza la relevancia del desarrollo del pensamiento y lenguaje

variacional en los estudiantes para la construcción de la Serie de Taylor, así como la

generación de argumentos con tecnología que se presenta en este capítulo, tales aspectos

son antecedentes del planteamiento del problema de investigación.

En el capítulo tres se describe la génesis instrumental como el sustento teórico de este

trabajo para tratar de explicar la construcción de conocimiento al integrar un instrumento

tecnológico en la actividad matemática del estudiante. También se presenta la ingeniería

didáctica como la metodología de investigación y para el diseño de las actividades de

experimentación.

En el capítulo cuatro se presenta un análisis preliminar sobre la Serie de Taylor sobresaltando

la estructura conceptual y epistemológica de la Serie. La importancia recae en la

presentación de los argumentos de presentación sobre la Serie de Taylor señalando los

modelos de analiticidad, estrategia variacional implicada y significado construido en cada uno

ii

de ellos con el fin de mostrar los elementos que estarían presentes en las actividades del

diseño experimental.

En el capítulo cinco se presenta el diseño experimental, así como el análisis a priori de cada

actividad del diseño, la cual tiene como finalidad comprobar la hipótesis del trabajo y generar

resultados propios para resolver el problema de investigación. Se concluye el capítulo

mencionando las acciones del estudiante que darán evidencia de la integración del

instrumento tecnológico en su actividad matemática.

En el capítulo seis se presentan los resultados obtenidos al poner en escena el diseño

experimental. Este análisis gira en torno a dos elementos importantes: 1) el lenguaje

variacional que los estudiantes utilizaron y 2) los argumentos generados asociados a la serie

de Taylor, junto con la interpretación obtenida al contrastarlo con el análisis a priori.

Finalmente, en el capítulo siete se exponen las conclusiones del trabajo y los elementos

necesarios para la resignificación de la Serie de Taylor con lineamientos para una propuesta

general para tal resignificación.

CAPÍTULO 1

LA TECNOLOGÍA EN EL APRENDIZAJE

DE LAS MATEMÁTICAS

Capítulo 1. La tecnología en el aprendizaje de las matemáticas

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L A T E C N O L O G Í A E N E L A P R E N D I Z A J E D E

L A S M A T E M Á T I C A S

1.1. Implicaciones didácticas del uso de la tecnología

El desarrollo tecnológico está avanzando de una manera exponencial, a tal grado que se

introduce en cada hogar y es utilizada por las personas incluso desde pequeñas edades, el

punto es, que los estudiantes están íntimamente ligados a la tecnología tanto dentro como

fuera de casa, pero ¿cuál es su papel en la escuela?

Hasta ahora diversas propuestas didácticas con tecnología han sido presentadas en reportes

de investigación, desde el uso de calculadoras graficadoras hasta software educativos. Sin

embargo, esta introducción al aula no se debe simplemente a “la actualización” en los

avances tecnológicos, es decir, el uso de la tecnología en el aula de matemáticas tiene una

razón de ser que incide principalmente en el aprendizaje del estudiante en los siguientes

aspectos:

• Problemas interdisciplinares: Más que una transformación de las matemáticas, el uso

de la tecnología implica una transformación de los problemas y situaciones a tratar,

dado que permite experimentar y abordar situaciones que no son factibles de realizar

con lápiz y papel.

• Desarrollo de sus procesos cognitivos: Posibilita el desarrollo de procesos cognitivos

en los estudiantes, como el pensamiento, el lenguaje, la inteligencia, la percepción,

etc. (Camarena y García, 2005).

• Promueve la experimentación y la argumentación: Permite implementar actividades

de visualización matemática, contextualización de conceptos matemáticos, favorecen

la exploración y la experimentación, así como establecer conjeturas, realizar

inferencias y generar argumentos válidos (Aparicio, E., Sosa, L., Tuyub, J., 2008).


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• Estrategias didácticas centradas en el estudiante: Implementación de estrategias

didácticas que favorecen la motivación, el aprendizaje cooperativo, la interacción

(alumno-profesor) y la interactividad (alumno-contenido).

• Las herramientas tecnológicas ayudan en la recolección, grabación, organización y

análisis de datos: Aumentan la capacidad de hacer cálculos y ofrecen herramientas

convenientes, precisas y dinámicas que dibujan, grafican y calculan. Con estas ayudas,

los estudiantes pueden extender el rango y la calidad de sus investigaciones

matemáticas y enfrentarse a ideas matemáticas en ambientes más realistas (NCTM,

2003).

• Promueve una transformación epistemológica: Los entornos tecnológicos

promueven una transformación a nivel epistemológico de la experiencia matemática

del estudiante, ya que el proceso de reificación de los objetos matemáticos y las

relaciones entre ellos, que el estudiante puede activar en los entornos interactivos

computacionales, permite una forma de actividad mucho más directa que la que era

posible anteriormente (Moreno, 2002).

• La transmutación del conocimiento: La introducción de instrumentos tecnológicos en

el aula trae consigo transformaciones en la presentación y tratamiento de los saberes

matemáticos, esas transformaciones pueden dotar de significados al concepto

matemático y enriquecer su aprendizaje (Balacheff, 1994).

El último punto está íntimamente relacionado con el problema de estudio de este trabajo, la

introducción de instrumentos tecnológicos en la enseñanza hace más complejo este proceso,

al verse enfrentado con la transformación que sufre el saber cuando este se presenta a

través de dichos instrumentos, este fenómeno Balacheff lo denomina transposición

informática. Por ejemplo, para realizar la adaptación de un libro a una película, el contenido

sufre ciertas transformaciones, pues puede visualizarse mejor ciertas escenas por medio de

la película o bien, que se pierda el sentido descriptivo que el autor proponía en el libro. Los

trastornos pueden modificar el significado al saber, ya sea dotándolo positivamente o

degenerarlo negativamente. Es por ello que el trabajo de la identificación de estas


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transformaciones, son sumamente esenciales para comprender los trastornos del

conocimiento, entre la enseñanza escolar tradicional y el funcionamiento permitido por estos

instrumentos (Calvo, 2001).

La integración de tecnología en actividades para la construcción de su conocimiento

matemático en situación escolar, implica una adaptación del saber matemático al medio

tecnológico. De modo que la interacción entre el contenido matemático y el estudiante se

dará a través del artefacto tecnológico, dando lugar al establecimiento de códigos de

comunicación por parte del estudiante hasta transformar ese artefacto en un instrumento

que se integre a su actividad matemática para generar significados. Esto nos lleva a

cuestionarnos qué tipo de argumentaciones y significados generan los estudiantes en su

interacción con el medio tecnológico, para la construcción de su conocimiento matemático.

1.2 . La transposición informática

En párrafos anteriores se hizo énfasis en la transmutación del “conocimiento” al transferir su

representación de un medio a otro. No es lo mismo darle un tratamiento a un concepto

matemático con pizarra y gis que tratarlo en un medio computacional, ya que este medio

impone restricciones que exigen determinadas transformaciones del saber a fin de facilitar la

puesta en práctica de la representación adoptada. Sucede un fenómeno análogo al adaptar

una obra de un libro para la filmación y edición de una película.

Balacheff y Kaput (1996), citado en Moreno (2002), han señalado que el mayor impacto de

los instrumentos tecnológicos es de carácter epistemológico, con ello se refieren al hecho de

que las herramientas computacionales han generado un nuevo realismo matemático. En

efecto, los objetos virtuales que aparecen sobre la pantalla se pueden manipular de tal forma

que se genera una sensación de existencia casi material que favorece el desarrollo de la

percepción humana. De hecho, los eventos que dan origen a la percepción no están fuera de

nosotros sino en nuestro sistema nervioso, sin embargo, la organización e interpretación de


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la información que provee el ambiente generan la interpretación del estímulo como objeto

significativo, esto es la percepción.

Este nuevo realismo matemático hace indispensable la extensión de la transposición

didáctica a los contextos computacionales dando lugar a una transposición informática

(Balacheff, 1994).

Balacheff (1994), citado en Contreras y Ortega (2003), define la transposición informática

como “El trabajo sobre el conocimiento que permite una representación simbólica y la puesta

en práctica de esta representación por un dispositivo informático”. Distingue diversas

restricciones: primeramente las ligadas al universo interno de la máquina (computadoras o

calculadoras) y las restricciones relacionadas con la interface. Con la primera se refiere a la

naturaleza del procesador, capacidad de la memoria, estructura de la pantalla, etc. y la

interface es la interacción del usuario con la computadora.

Estas transformaciones, así como pueden ocasionar pérdida de significado del saber

matemático, también pueden generar significados; es en esta idea que queremos centrar la

atención, el estudio de los significados que son atribuidos a un objeto matemático en un

medio tecnológico.

Considerando la idea de que al tratamiento del objeto matemático a través de un medio

tecnológico se le puede sacar mucho provecho didáctico (Balacheff y Kaput, 1996, citado en

Moreno, 2002), el reto está en diseñar el instrumento adecuado para explotar estos

trastornos que sean de utilidad para caracterizar ese conocimiento.

Hasta ahora se han expuesto aspectos acerca de la incidencia de la tecnología en el

aprendizaje de las matemáticas y las transformaciones que conlleva realizar un cambio de un

medio a otro en el tratamiento de un objeto matemático, específicamente en un medio

tecnológico, fenómeno al cual se ha hecho referencia como transposición informática. Ahora,

enfocándonos en qué tipo de actividades realizadas con la tecnología nos ayudan a perseguir

el objetivo de este trabajo, la generación de argumentos al abordar situaciones sobre la Serie

de Taylor con calculadora graficadora.


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1.3. Actividades de aprendizaje con tecnología

En el caso de la tecnología computacional, el conocimiento es la esencia de la interacción con

la máquina. Pero este no puede simplemente leerse en pantalla, es el resultado de una

construcción en el proceso de interacción con la máquina (Balacheff, 2000).

Dicha interacción puede darse en actividades de tres tipos: visualización, experimentación y

modelación.La importancia que le hemos otorgado se debe a que dichas actividades al ser

tratadas a través de la tecnología permiten al estudiante argumentar y por consiguiente

construir conocimiento. Discutiremos cada una de ellas desde la perspectiva de Borba y

Villarreal (2006) en su libro “Humans-with-media…”.

Modelación

La razón de promover el uso de la tecnología en la modelación, según Borba y Villarreal,

puede estar identificada con la palabra “ciudadanía”. De acuerdo con esta perspectiva

(Borba, 2002, citado en Borba y Villarreal, 2006), el acceso a la tecnología no está

necesariamente relacionado con la impresión epistemológica, pero básicamente esta

ciudadanía es un “bien” que se tendrá en su educación. Literacia (instrumentos

comunicativos), materacia (instrumentos intelectuales) y tecnoracia (instrumentos

materiales) están siendo vistos en el mismo nivel.

Ahora discutiremos sobre la modelación desde el punto de vista de otros investigadores.

En el trabajo de Cordero (2006), la modelación matemática es concebida como una práctica

social, una construcción del conocimiento, vista desde tres ejes: el eje epistemológico; el eje

científico, que va a expresar cómo ha evolucionado la disciplina de la matemática educativa;

y el eje social, que va a explicar cómo esta modelación y tecnología ha influido en los

problemas educativos.

Para hablar de modelación necesariamente se debe saber lo que es el conocimiento, se pone

en juego la existencia de una realidad que se modela, esto gira alrededor de dos ideas:


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1. La realidad preexistente al conocimiento, el conocimiento es una representación de la

realidad.

2. La realidad se construye a la par del conocimiento.

Así mismo, Cordero menciona que la modelación en la matemática escolar tiene que ser algo

más elaborado que una representación o una aplicación matemática, tiene que ser una

práctica plasmada específicamente como la argumentación de la situación en cuestión. Con

esto se refiere a que debemos abandonar la idea de la modelación como una aplicación de la

matemática o una herramienta didáctica que le permitirá al estudiante hacer

representaciones del objeto matemático.

Por otra parte, Salett y Hein (2004) miran a la modelación matemática como un método de

enseñanza y de investigación, el primer abordaje consiste en partir de un tema y elaborar

preguntas que desean ser respondidas por medio de modelos y el segundo consiste en un

método que permita al estudiante hacer la modelación.

En este trabajo se menciona la idea de algunos investigadores de la modelación, tal idea se

refiere a tratar de que los estudiantes investiguen sobre un tema de su interés donde se

formulen preguntas que lo lleven al diseño de un modelo matemático con la orientación del

profesor.

Esta idea va más o menos en la misma dirección de Borba y Villarreal. Esta postura consiste

en que el profesor se asegure de que el estudiante está investigando sobre un tema cuyo

problema de investigación puede ser resuelto en el contexto escolar específico.

Experimentación

Borba y Villarreal (2006) apuntan que la experimentación con tecnología no es sinónimo de

“oprimir teclas” de una calculadora graficadora o de una computadora, sino que es un

proceso que va más allá de eso. Uno de los principales argumentos en la década de los

setentas y ochentas, cuando comenzó la oleada tecnológica de la computación, fue que los

estudiantes sólo las usaban para oprimir teclas en lugar de pensar, demostrar y hacer toda


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clase de procesos cognitivos. Estos investigadores recalcan que cuando memorizamos algo

no estamos sólo “memorizando”, cuando copiamos no solamente estamos “copiando”, así

mismo, cuando oprimimos teclas, no solamente estamos “oprimiendo teclas”, sino que

estamos procesando información y construyendo conocimiento.

La experimentación nos permite hacer conjeturas, analizar comportamientos y descubrir

patrones, acciones que desarrollan procesos cognitivos en el estudiante. Es decir, implica la

manipulación de representaciones de objetos matemáticos, el reconocimiento de invariantes

y la incorporación de conocimientos previos para describir y justificar un resultado

matemático.

Borba y Villarreal creen que oprimir teclas en un ambiente de experimentación puede estar

asociado con la generación de conjeturas, con la coordinación de múltiples representaciones,

con “pruebas” y con un nuevo tipo de “ensayo y error”. Características a las que decidieron

llamar Experimental-with-technology approach (aproximación experimental con tecnología).

Coincidimos con Borba y Villarreal en que la experimentación en un ambiente tecnológico

permite al estudiante hacer conjeturas, transitar de un sistema de representación a otro,

reconocer patrones, deducir y analizar comportamientos en gráficas y a partir de ello generar

argumentaciones discursivas, visuales o gestuales sobre un objeto matemático. En este

trabajo, se pretende que a través de este tipo de acciones, el estudiante genere argumentos

sobre la Serie de Taylor, las cuales fungirán como peldaño para identificar las nociones y

significados que los estudiantes atribuyen a este concepto matemático, con la ventaja de que

en este proceso tendrá la oportunidad de ir desarrollando ciertas formas de pensamiento,

tales como ideas y estrategias variacionales.

Visualización

Las siguientes son definiciones sobre visualización de diversos autores, obtenidas de Borba y

Villarreal (2006):


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• Bed-Chaim, Lappan y Houang (1989): visualización es la habilidad de interpretar y

comprender información de figuras y la habilidad de conceptualizar y trasladar

relaciones e información proveniente de no figuras dentro de términos visuales.

De aquí se pueden extraer dos ideas, interpretación de información visual y la generación de

imágenes mentales que no provienen de figuras.

• Según Gutiérrez (1996): la visualización está compuesta principalmente por cuatro

elementos: imágenes mentales, representaciones externas, procesos de visualización

y habilidades de visualización. Las imágenes mentales son el resultado del

procesamiento de las estructuras internas que por medio de los procesos de

visualización es posible generar representaciones externas que en el transcurso del

ejercicio desarrollan en el estudiante habilidades de visualización.

Se puede decir, que la visualización permite al estudiante comprender mediante las

estructuras internas y llevar esa comprensión al medio externo por medio de la

argumentación visual, gesticulativa o discursiva.

• Zimmerman y Cunningham (1991): definen a la visualización como la capacidad de

articular un conjunto de representaciones de un mismo objeto para darle significado,

usada por entre otros.

• Cantoral y Montiel (2003): Actualmente la idea de visualización es vista como la

habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar

información visual en el pensamiento y el lenguaje del que aprende.

En este trabajo al hablar de visualización nos estaremos refiriendo a la habilidad para

articular representaciones, visuales o no visuales, transformarlas en imágenes mentales,

generar representaciones externas, argumentarlas y reflejarlas en el pensamiento y el

lenguaje del que aprende. Por lo que concebimos a la visualización como un proceso

puramente cognitivo.


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De las tres actividades que se discutieron anteriormente (experimentación, modelación y

visualización), nos interesa centrarnos en la visualización, principalmente a través del uso de

calculadoras graficadoras.

Devlin 1997 (citado por Borba y Villarreal, 2006) afirma que las computadoras no asisten a los

humanos en la elaboración de matemáticas, sino que cambian la naturaleza de lo ya hecho,

así mismo, sugiere que la interacción de los humanos con el medio producirá nuevas

matemáticas, por ejemplo, la matemática producida por un estudiante con papel y lápiz no

será la misma matemática del estudiante que la produce con la computadora.

De modo que nos interesa identificar esas diferencias de la matemática, producidas por el

fenómeno de la transposición informática al adaptar el tratamiento de la Serie de Taylor en

el medio tecnológico, para analizar los significados que puedan ser atribuidos a este

conocimiento.

Considerando que mediante la visualización se pueden generar argumentos de tipo visual,

gesticulativo, discursivo y que del trabajo de Aparicio y Cantoral (2006) se generaron diversas

formas discursivas en los alumnos al introducir una actividad visual en el medio tecnológico

podemos resaltar la importancia de la generación de argumentos con tecnología en este

trabajo.

1.4. Argumentaciones en matemáticas con tecnología

La argumentación en matemáticas es esencial, pues de esta manera el estudiante da señal de

su aprendizaje como resultado del análisis, reconocimiento de patrones, deducciones,

conjeturas, etc. Por medio de la argumentación el estudiante puede justificar y validar, ya sea

una demostración o propiedad que esté resignificando a un concepto matemático. Según

Balacheff 1987 (citado por Calvo, 2001) por argumentación entendemos cualquier discurso

destinado a obtener el consentimiento de interlocutor sobre una afirmación.

La argumentación es a la conjetura como la demostración es al teorema (Balacheff, 1999).


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En nuestro trabajo concebimos a la argumentación como la acción de defender una idea

aportando un conjunto de razones y justificaciones válidas que la respalden.

En las matemáticas las argumentaciones tienen cabida para la construcción de conocimiento

y más aún cuando hay una interacción de dicho conocimiento con el estudiante a través de

un instrumento tecnológico, es decir, cuando el estudiante interactúa con el objeto

matemático a través de un medio tecnológico, la construcción de conocimiento está ligado a

los procesos cognitivos como la deducción, la reflexión y el establecimiento de conjeturas; así

en la medida que el estudiante argumente todos esos procesos e ideas será capaz de

construir o resignificar su conocimiento.

Los tipos de argumentación que pueden tener lugar en actividades matemáticas de

aprendizaje con tecnología, son:

Discursiva. El estudiante argumenta su idea de forma oral o escrita

Oral. El habla es una acción situada dentro del contexto discursivo que construye

significados de manera que el lenguaje relaciona lo cognitivo con lo social, de tal

forma que se comprende al desarrollo cognitivo y lingüístico como social y

culturalmente condicionados (Green, 1998; Hicks, 1995; citado en Aparicio y Cantoral,

2006).

Escrita. Tipo de argumentación en la que se describe de forma escrita una idea,

conclusión o conjetura sobre el objeto matemático, de tal suerte, que este escrito

permite la construcción del conocimiento.

Corporales y gestuales. Medio que ofrece la posibilidad de articular las acciones de la

visualización de objetos matemáticos por medio de gestos faciales y ademanes.

Visuales. Por medio de gráficas, formas icónicas, o diagramas, el estudiante palpa

visualmente el argumento que defiende su idea y le permite resignificar el conocimiento.


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En estos tipos de argumentación, la tecnología juega un papel importante debido a que

permite crear condiciones para conformar un escenario donde el estudiante amplíe y genere

nuevas significaciones, más aún, si dichas representaciones son articuladas con sus

argumentaciones. Por tanto, ubicar a un estudiante en un escenario donde tenga la libertad

de argumentar de forma discursiva, gestual o visual, de modo que no se vea restringido al

formalismo escolar, va a permitir que resignifique y construya nociones matemáticas al

tiempo que surgen elementos de análisis para entender las formas de cómo se produce el

aprendizaje (Aparicio y Cantoral, 2006).

Un ejemplo del tipo de argumentaciones que se puede generar con la tecnología se

encuentra en el trabajo de Torres (2004), quien ha considerado en su trabajo el uso de la

graficación por medio de la simulación de un fenómeno físico empleando tecnología, no solo

en su relación con el concepto matemático tratado (función) sino con los significados,

instrumentos y argumentos que intervienen en las acciones que desarrolla un estudiante

ante una actividad de graficación por medio de la tecnología. Estos significados atribuidos se

ven registrados en la tabla 1.1.

Construcción de

representaciones

Gráficas a partir de la simulación de un fenómeno físico

con tecnología

Significados y sistemas simbólicos

Comportamiento de las gráficas de la posición y de la velocidad con relación a la simulación (función primitiva y su derivada)

Procedimientos

Determinar la escala para el tiempo y la posición. Identificar el tipo de movimiento. Relacionar las gráficas con la situación.

Procesos y objetos

Forma de la gráfica para relacionar patrones de comportamiento relacionando las gráficas de la posición y la velocidad.

Argumentos

A mayor velocidad mayor valor absoluto de la pendiente en la gráfica de posición. A mayor pendiente en la gráfica de posición, mayor distancia con respecto al eje en la gráfica de velocidad.

Tabla 1.1- Representaciones que se construyen al emplear gráficas, como herramienta de visualización, a través de situaciones con tecnología.


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Cordero y Suarez (2006) mencionan que la tecnología permite a los estudiantes tener una

mejor visión global y local tanto cualitativa como cuantitativa de la gráfica, también permite

a los estudiantes explorar y dar argumentaciones de lo que sucede con la situación, tal como

se muestra en la tabla.

En el trabajo anterior observamos que utilizan la tecnología para que el estudiante visualice y

experimente con las gráficas en una situación de modelación matemática, que a fin de

cuentas, le permite crear argumentos que le dan significado al concepto función y al mismo

tiempo explicar la situación. En esta dirección queremos ir, nos interesa la “forma” en que se

puede utilizar la tecnología para que el estudiante genere argumentos que le den significado

a un saber matemático. El entrecomillado requiere de una cuidadosa explicación, ya que nos

referimos a la manera de cómo convertir esa herramienta tecnológica o artefacto, en un

instrumento que se integre en la actividad del estudiante para construir conocimiento

matemático. Aquí entra en juego la génesis instrumental, pues será esta teoría la que nos

permitirá dar tal explicación; este tema se discutirá con detalle en el capítulo 3.

CAPÍTULO 2

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

DE INVESTIGACIÓN

Capítulo 2. Planteamiento del problema de investigación

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P L A N T E A M I E N T O D E L P R O B L E M A D E

I N V E S T I G A C I Ó N

2.1. Usos de la tecnología para el desarrollo del pensamiento y lenguaje

variacional

La tecnología informática es una herramienta útil para construir escenarios donde el

estudiante, por medio de la visualización y la interacción con el artefacto tecnológico, genere

argumentos que le permitan atribuir significados a un saber matemático. Aludimos que

durante la interacción con un instrumento tecnológico (computadoras o calculadoras

graficadoras), el estudiante puede generar argumentos a la par que desarrolla ideas,

nociones y estrategias requeridas para la comprensión de saberes matemáticos.

Se precisa en la comprensión de conceptos y procesos del Cálculo desarrollar en los

estudiantes el pensamiento y lenguaje variacional (PyLV) para abordar exitosamente

actividades y ejercicios de la disciplina. Cantoral y Farfán (1998) presentan una actividad que

fortalece esta idea, en la que se exhibe la siguiente gráfica de una función polinomial �(�),

como la siguiente:

Imagen 2.1

En la actividad se solicita a estudiantes que marquen las regiones de la gráfica donde

�(�) > 0 y sus derivadas sucesivas sean tales que ��(�) > 0, ��(�) > 0, ��(�) > 0. Se


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reporta que los estudiantes realizan con éxito las tres primeras peticiones apoyándose en

conocimientos previos, tales como criterios de derivación o el uso de algún recurso

mnemotécnico, sin embargo, exteriorizan problemas al momento de marcar las regiones

donde ��(�) > 0. Así mismo, se dice que esto ocurre como consecuencia de la forma casi

algorítmica de proceder del profesor y a la falta de uso de estrategias variacionales, pues la

clave de este ejercicio mental es reconocer los códigos variacionales que se presentan en las

tres primeras condiciones y así, articularlos en símbolos variacionales para poder construir la

cuarta condición, ��(�) > 0. Finalmente, argumentan que para poder desarrollar el PyLV es

necesario tener un amplio dominio de las formas gráficas y transitar entre diferentes

representaciones (sobre todo gráfica y analítica).

En diversos trabajos, se ha observado que a través del uso de tecnología es posible que el

estudiante genere argumentos visuales, algebraicos o numéricos al tiempo que desarrolla sus

nociones y estrategias variacionales, propiciando el entendimiento y resignificación de los

conceptos y procesos del Cálculo.

Por ejemplo, en la experiencia descrita por Sánchez (2006) se trata de introducir la noción de

derivada por medio de una estrategia variacional de diferencias finitas utilizando la

calculadora gráfica. En el reporte del autor, se observa que al tratar de encontrar una

expresión algebraica para cada tabla de valores (proporcionadas por el profesor), los

estudiantes utilizan argumentos visuales:

Imagen 2.2- Argumento gráfico

Es decir, grafican los valores de las tablas para poder argumentar de forma visual cuál es la

expresión correspondiente a cada tabla. Para otros estudiantes esto es insuficiente y


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recurren a argumentos numéricos donde a través de las diferencias de los valores de

variables ordenadas deducen el grado de la expresión de la tabla de valores.

Imagen 2.3- Argumento numérico

Por otra parte, algunos estudiantes utilizan argumentos algebraicos utilizando

implícitamente la interpolación por medio de sistemas de ecuaciones para tratar de construir

una expresión que se aproxime a los valores.

Imagen 2.4- Argumento algebraico

Nótese que en estos argumentos se ven implicadas nociones y estrategias variacionales tales

como la noción de variación, la diferenciación de variables ordenadas y la noción de

aproximación. Los significados que encontramos en cada argumento refieren a la forma

como varía la función lineal, cuadrática y cúbica.

Así mismo, Cantoral y Mirón (2000) proponen una secuencia didáctica para introducir la

noción de derivada como pendiente de la recta tangente a una curva. A través de actividades

visuales con la calculadora gráfica, los estudiantes por medio de la discusión en tercias,

generan argumentos analíticos al identificar patrones entre las regularidades lineales y la

variación de parámetros, también generan argumentos visuales para constatar dichas


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regularidades. Por otro lado, en la transcripción que los autores presentan de la discusión

entre los estudiantes se puede apreciar que su argumentación discursiva los lleva a

reflexiones que conducen a la formulación de significados de la función derivada y a adquirir

un significado geométrico de ésta.

Nótese que, en los trabajos anteriores la tecnología ha sido empleada como instrumento

para el desarrollo del PyLV, lo cual ha posibilitado que los estudiantes formulen diferentes

tipos de argumentaciones hacia la resignificación de ideas y conceptos del cálculo en

particular, y de la variación y el cambio, en general. Algunas de las ideas y estrategias

variacionales que se requieren para la comprensión de conceptos del cálculo son:

• Diferenciación finita de variables continuas

• Variación de parámetros

• Identificación de qué cambia y cómo cambia una situación

• Reconocimiento de patrones

• Covariación

• Dependencia entre variables

• Tránsito entre diferentes registros de representación

En este trabajo nos enfocamos en el estudio de la Serie de Taylor a través de tecnología, lo

cual requiere que los estudiantes desarrollen estrategias variacionales tales como la

diferenciación finita de variables y lleven a cabo prácticas de predicción y aproximación

(Cantoral y Farfán, 1998; Marcolini y Perales, 2005) para su comprensión.

2.1.1. Tratamiento didáctico de la Serie de Taylor

En el trabajo de Marcolini y Perales (2005) se menciona que coexisten dos modelos

didácticos respecto al tratamiento de la Serie Taylor, uno es sugerido por los trabajos de

Newton, Euler y Laplace, entre otros, donde la expresión de la Serie lleva consigo un

significado perteneciente a las ciencias experimentales, y que se introduce mediante una

construcción natural para gran variedad de problemas. El otro se desprende de los trabajos


19

de Cauchy, donde las series son el resultado más de la teoría, una consecuencia del concepto

límite y del teorema fundamental del cálculo. Bien sabemos que el segundo esquema es el

que predomina en la enseñanza actual, mientras que el primero aunque se usa en varios

contextos, no es contemplado en los temas que se imparten en la enseñanza universitaria.

El tratamiento didáctico que se le da hoy a la Serie de Taylor se encuentra muy distante del

verdadero significado de la construcción de esta Serie y es exhibido más como un resultado

de naturaleza teórica, que requiere para su deducción de principios propios del análisis

matemático (Cantoral y Farfán, 2008). Esto muestra que la noción de predicción que

originalmente era descrita en la Serie ha sido desplazada de la enseñanza actual, implicando

falta de significado para el estudiante, pues con esta noción la Serie de Taylor puede ser

abordada en marcos contextuales interdisciplinarios predictivos; de lo contrario carece de

sentido.

2.1.2. La argumentación como generadora de conocimiento matemático

Con los apartados anteriores pretendemos hacer ver que, así como la tecnología es muy útil

para el desarrollo del PyLV, el cual se requiere para comprender la Serie de Taylor, también

favorece la generación de argumentos. En realidad no existe una definición unánime de

argumentación o argumento, sin embargo, Cordero (2005) denomina argumentación a las

resignificaciones de los participantes en las situaciones específicas que ocurren en un sistema

local, cuyas formas de producción y difusión no corresponden a una estructura axiomática,

sino al frecuente uso de argumentos intuitivos y espontáneos, envueltos en la resignificación

del conocimiento que manifiestan los participantes. Es decir, expresiones verbales,

gesticulativas y visuales (analítico, numérico, algebraico, …) que permiten justificar o validar

una afirmación, conjetura o resultado matemático. La argumentación es importante no solo

porque hace viable observar las ideas y nociones que el estudiante está concibiendo sobre un

saber matemático y así poder identificar qué tipo de concepciones tiene, sino también

porque es una forma de generar o construir conocimiento matemático.


20

Para que un estudiante pueda entender un concepto matemático, es necesario que trabaje y

genere argumentos tanto de presentación como de justificación. Es decir, argumentos que

favorezcan mostrar el significado del concepto en determinado registro de representación

semiótica, y argumentos con los que el estudiante pueda validar un resultado.

Las representaciones (en tanto argumentos) de la Serie de Taylor por medio de tecnología,

evocan significados distintos. De manera que, esos significados generan nociones e ideas en

el estudiante que, al integrarlos, ayudan a la aprehensión conceptual de la Serie.

Imagen 2.5- Esquema sobre la aprehensión conceptual de la Serie de Taylor.

Es importante hacer énfasis en que, la idea de trabajar con las representaciones y

argumentaciones que los estudiantes generan, no solamente es porque las argumentaciones

son una forma de exteriorizar el pensamiento, sino que también es una forma de construir

conocimiento y desarrollar el pensamiento matemático.

2.2. Planteamiento del problema

En el capítulo 1 se expuso sobre el fenómeno didáctico de la transposición informática, que

consiste en que la transformación de la presentación de un objeto matemático al tratarlo en

un ambiente de tecnología informática puede dotar de significado a dicho objeto. Dicho

fenómeno nos llevó a cuestionarnos sobre qué nociones pueden derivar del tratamiento de

la Serie de Taylor mediante actividades con calculadoras graficadoras.

En los trabajos que se mencionaron en el apartado anterior se observó que con el uso de la

tecnología informática es posible que el estudiante genere argumentos al tiempo que

Argumentos

Representaciones

Nociones e ideas

Significados

Aprehensión

conceptual


21

desarrolla sus nociones y estrategias variacionales, propiciando el entendimiento y

resignificación de los conceptos y procesos del Cálculo. Aparicio y Cantoral (2006), dan

evidencia de que un aspecto importante para la construcción de conocimiento matemático

referente al Cálculo, es la generación de argumentos discursivos, gestuales y visuales de tipo

variacional por parte del estudiante.

Inmerso en lo anterior, está la idea que para la construcción de conocimiento matemático se

hace necesario que el estudiante sea capaz de representar un concepto matemático en por

lo menos dos registros distintos de representación semiótica, de tratar esa representación en

un mismo registro y de convertir esas representaciones de un registro a otro, tal como

refieren Duval (1999) y De Amore (2005). Una actividad matemática que favorece llevar a

cabo esas acciones es la visualización de los conceptos matemáticos (Cantoral y Montiel,

2003).

En el estudio del cálculo, construir significados sobre la Serie de Taylor precisa del desarrollo

de nociones, ideas y estrategias variacionales, tales como la noción de cambio y de variación,

prácticas de predicción y estrategias como la diferenciación sucesiva de una variable

continua (Marcolini y Perales, 2005).

Por tanto, nuestro objetivo con este trabajo es generar argumentos de representación y

justificación, mediante la visualización de la Serie de Taylor a través de tecnología. La

intención es, identificar cuáles son los significados que construyen los estudiantes sobre la

Serie de Taylor al interactuar con un medio tecnológico.

Por tanto, suponemos que a través de un sistema de cálculo simbólico, se puede dar un

tratamiento de tipo visual a la Serie de Taylor, lo cual provocará que el estudiante genere

argumentos visuales, gesticulativos o discursivos, de manera que le permita otorgar

significados a dicha Serie.


22

2.3. Justificación

Los beneficios que se tendrán al intentar generar argumentos en los estudiantes al visualizar

la Serie de Taylor a través de tecnología, se verán enmarcados en los siguientes aspectos:

• Formas de favorecer el desarrollo del pensamiento variacional en lo que respecta a

ideas y estrategias variacionales.

• Propiciar que los estudiantes construyan su conocimiento de acuerdo a sus

habilidades y forma de pensamiento, es decir, podrán argumentar sus ideas de forma

analítica, algebraica, visual, etc.

• Identificar directrices sobre la forma de incorporar el uso de calculadoras graficadoras

en el estudio de la Serie de Taylor, para favorecer la construcción de este saber

matemático, en la interacción directa del estudiante con el instrumento matemático.

• Este trabajo trae consigo un cambio en la presentación de la Serie de Taylor, lo cual

según Balacheff, puede atribuir de significado a este objeto matemático.

Por otro lado, como idea principal de nuestro trabajo es propiciar la argumentación a través

de un instrumento informático, las razones de introducir dicho instrumento para lograr lo

cometido, a grandes rasgos son las siguientes:

• La tecnología favorece la visualización y ayuda a crear cierta percepción del movimiento

que en un ambiente de papel y lápiz sería imposible, propicia el tránsito en distintas

representaciones y se logra construir, evolucionar y reforzar nociones que con la

enseñanza tradicional no se ven favorecidas (Cantoral y Montiel, 2003).

Zimmermann (1990, citado en Hitt, 2003) afirma que:

Conceptualmente, el papel del pensamiento visual es tan fundamental para el

aprendizaje del cálculo que es difícil imaginar un curso exitoso de cálculo que no enfatice

los elementos visuales del tema. Esto es especialmente verdad si el curso tiene la

intención de promover un entendimiento conceptual, el cual es ampliamente reconocido

como carente en la mayoría de los cursos de cálculo como es actualmente enseñado. La


23

manipulación algebraica ha sido enfatizada en demasía y… en el proceso el espíritu del

cálculo se ha perdido.

De modo que, se precisa que la visualización forme parte en el proceso de construcción

de conocimiento, ya que permite acceder a diferentes registros de representación. Como

menciona Duval (1998), para la construcción de conceptos matemáticos no basta

trabajar las actividades dentro de un solo sistema de representación, sino también

realizar las tareas de conversión de una representación a otra, y viceversa.

• Para el tratamiento e introducción de la Serie de Taylor se requiere de estrategias

variacionales como la predicción, la diferenciación de variables finitas y nociones como la

aproximación. Una práctica atribuible a la Serie de Taylor es la aproximación de

funciones por medio de polinomios, por ejemplo con la Serie de Taylor se puede

aproximar la función exponencial, logarítmica, trigonométrica, etc., a través de

polinomios compuestos de sus diferenciaciones sucesivas.

Imagen 2.6- Aproximación de la función exponencial por medio de los polinomios de la Serie de

Taylor


24

Imagen 2.7- Aproximación de la función Coseno por medio de los polinomios de la Serie de Taylor

Para que el estudiante determine estas diferenciaciones requiere principalmente de

estrategias visuales y variacionales, las cuales se ven favorecidas con el uso de la

tecnología por medio de la manipulación gráfica, numérica y algebraica que proporciona

un sistema de cómputo algebraico (CAS) al estudiante. Estas acciones no se logran en un

ambiente de papel y lápiz, porque la estática no permite visualizar la variación de las

imágenes ni mucho menos la aproximación que se da al incrementar polinomios a la

Serie.

• Otra razón del uso de la tecnología en nuestro trabajo es que para el tratamiento e

introducción de la Serie de Taylor se requiere de estrategias variacionales como la

predicción, porque tal como menciona Marcolini y Perales (2005) en su trabajo, la idea

germinal de la construcción de la Serie de Taylor son las nociones de predicción en los

fenómenos naturales de flujo y lo analítico en el cálculo que se presentan como

estrategias naturales en la construcción de saber matemático.

En el anexo del trabajo de Marcolini y Perales (2005) referente a manuales de cálculo,

observamos que la Serie de Taylor se estudia en un marco totalmente analítico y más

enfocado al estudio de la convergencia, ya sea de residuo, de orden de magnitud o de

error. Esto es, se desplaza la noción de predicción y un tratamiento en ciencias

experimentales, por otro de corte teórico. Al respecto, analícese la siguiente analogía:


25

El martillo es una herramienta cuyo fin principal es la construcción. Puede ser usado de

dos formas: 1) para martillar, clavar y construir; 2) extraer clavos con el otro extremo de

la cabeza. Si los albañiles lo utilizan simplemente para extraer clavos, entonces ¿qué hay

de su función principal? Peor aún, ¿qué pasa con lo que se requiere construir? Debido a

que no utilizan la herramienta para lo que debe efectuar, entonces ¿cómo se construye

lo que no se está haciendo con el martillo? Así mismo, si el tratamiento de la Serie de

Taylor en el aula está basado solamente en lo analítico del cálculo, entonces realmente

no está siendo usado para su función principal, ¿dónde quedan las nociones de

predicción que con la Serie son desarrolladas a través de los fenómenos naturales de

flujo?

Esta naturaleza didáctica es una de las razones por la cuales nos interesa el estudio de la

Serie de Taylor en un medio diferente, donde el estudiante interactúe con el saber

matemático a través de un instrumento tecnológico, centrándonos principalmente en la

visualización y en el desarrollo de estrategias variacionales que la Serie requiere para su

comprensión.

• Otra razón del uso de la tecnología en este trabajo va en dirección a la argumentación,

pues es útil para crear las condiciones necesarias que propicien la generación de

argumentos en los estudiantes al poder visualizar, emplear estrategias variacionales y al

justificar sus procedimientos.

En el trabajo de Aparicio y Cantoral (2006) utilizan una secuencia de actividades

desarrolladas en el software Sketchpad 4.0 para analizar las formas discursivas y

gestuales en los estudiantes sobre la noción de continuidad puntual. Debido a las

herramientas que este software posee se implementó una nueva representación

animada de las funciones con respecto a los ejes x e y:


26

Imagen 2.8- Representación de tres funciones en ejes paralelos

Imagen 2.9- Representación de una función con saltos, en ejes paralelos

En las imágenes anteriores, el eje x e y están representados por los segmentos

horizontalmente paralelos. Las actividades consistían en presentar a los estudiantes las

animaciones y fomentar la discusión entre ellos para determinar si éstas representaban

una función y, posteriormente, en determinar sobre si es continua o no.

Al tratar de explicar los comportamientos de cada representación gráfica, las discusiones

fueron ricas en argumentos sobre todo de tipo gestual y discursivo. Aunque no fue el

estudiante quién interactuó directamente con la computadora, fue por medio de la

visualización con tecnología, que fueron capaces de argumentar sus ideas.

Para concluir, recordemos del capítulo 1 que la matemática producida por un estudiante con

papel y lápiz no será la misma matemática del estudiante que la produce con la computadora

(Devlin, 1997; citado en Borba y Villarreal, 2006), porque la interacción del estudiante con el

saber matemático a través del instrumento tecnológico, favorece crear ambientes de

aprendizaje aptos para el desarrollo del PyLV que se requiere para la comprensión de la Serie

de Taylor, así como la visualización y da pauta a la generación de argumentos.

CAPÍTULO 3

MARCO TEÓRICO

Y

METODOLOGÍA

Capítulo 3. Marco teórico y metodología

28

M A R C O T E O R I C O Y M E T O D O L O G Í A

En este capítulo se presentará la aproximación teórica que respaldará este trabajo previo a

ello, se iniciará mencionando la transformación de las perspectivas y rol de uso de la

tecnología en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas con el fin de señalar cuál es la

postura que se tiene sobre la forma en que la tecnología se integra en la actividad del

estudiante para construir conocimiento, postura que será respaldada por la aproximación

teórica de la Génesis Instrumental.

3.1. Enfoques del uso de la tecnología informática en el aprendizaje de las

matemáticas.

Desde hace varias décadas los psicólogos educativos comenzaron a interesarse cada vez más

en cómo la gente percibe, interpreta, codifica, almacena y recupera la información perdida.

En efecto, con el auge de la informática y la influencia de las teorías de aprendizaje,

comenzaron a surgir diferentes perspectivas y enfoques en cuanto al uso de la tecnología en

la enseñanza de las matemáticas.

En la década de los 50’s aparecieron los primeros sistemas de enseñanza (Almeida, et al,

1997), los llamados programas lineales, en los que ningún factor podía cambiar el orden de

enseñanza establecido en su momento por el programador. Estos sistemas desconocían la

posibilidad de que el alumno no hubiera entendido correctamente los conceptos expuestos

hasta el momento, pues no ofrecían una enseñanza individual, es decir, todo alumno recibía

el mismo conocimiento y exactamente en la misma secuencia. En el desarrollo de una sesión

de enseñanza no se tenía en cuenta la aptitud del alumno; si le era más rápido entender las

cosas, si aprendía mejor con ejemplos que con explicaciones, etc. La delimitación de este

programa tiene origen en la teoría conductiva de Skinner (1959) que consistía en usar

maquinas de enseñar, de encadenamiento lineal pregunta-respuesta-estimulo.


29

A finales de los años 60 y principios de los 70 (1967-1971) surgieron los sistemas generativos,

asociados a una nueva filosofía educativa que manifiesta: "los alumnos aprenden mejor

enfrentándose a los problemas de dificultad adecuada, que atendiendo a explicaciones

sistemáticas"; es decir, adaptando la enseñanza a sus necesidades. Estos sistemas surgieron

al reconocerse el hecho de que el material de enseñanza podría ser generado por la misma

computadora; ellos son capaces de generar problemas, construir sus soluciones y

diagnosticar las respuestas del alumno, controlando, a su vez, el nivel de dificultad de los

problemas.

Los sistemas mencionados anteriormente (lineales y generativos) son ejemplos del enfoque

Enseñanza Asistida por Computadora (CAI, por sus siglas en ingles), el cual consiste

básicamente en llevar adelante las tareas habituales que involucra un curso de formación-

transmisión de contenidos, práctica y ejercitación, evaluación de conocimientos, etc.

En la década de los 70’s preside una variación del enfoque CAI dando lugar a la Enseñanza

Asistida por Computadoras Inteligentes (ICAI) basado en la teoría del aprendizaje cognitivo y

el empleo de la inteligencia artificial.

A finales de esta década devienen los ambientes de aprendizaje y los lenguajes de

programación (LOGO), los cuales se basan en el constructivismo de Piaget y la interacción

humano-computadora.

Los Sistemas de Cálculo Simbólico (CAS, por sus siglas en inglés) comenzaron a aparecer en

los comienzos de la década de los 70 y surgió de la investigación en inteligencia artificial,

aunque los campos son ahora considerados en gran parte por separado. Su principal uso es la

realización de cálculos y ejecución de operaciones, está basado en la teoría de aprendizaje

cognitivo y los más conocidos son Derive, Maple, Matlab, calculadoras gráficas, entre otros.

Durante la década de los 80 aparecen los llamados Sistemas Tutores Inteligentes (ITS, por sus

siglas en inglés), los ITS combinan técnicas de inteligencia artificial (IA), modelos psicológicos

del estudiante y del experto y teorías de la educación como el aprendizaje cognitivo y el

constructivismo.


30

También en esta ápoca tienen cabida los Micromundos. La primera utilización de este

término fue dentro del área de la Inteligencia Artificial, pero Seymour Papert lo utilizó (y por

ende modificó su significado) para describir ambientes computacionales que fueran lugares

para familiarizarse con un conjunto de ideas, de situaciones problemáticas, de actividades;

lugares en los que el estudiante y el maestro puedan probar ideas dentro de un tema de

interés (Weir, 1987; citado en Sacristán, 2003). Los micromundos pertenecen a la tradición

de aprendizaje vía descubrimiento. La meta de un micromundo matemático es pues la

construcción de significado y de relaciones que sirvan como modelo para un sistema formal;

es decir, el micromundo da a los estudiantes oportunidades para crear modelos mentales

que reflejen la estructura y composición de los sistemas formales (Sacristán, 2003).

En la actualidad existen diversas teorías, aproximaciones teóricas y posturas que tratan de

explicar cómo se concibe la construcción del conocimiento matemático. Por ejemplo la teoría

de las situaciones didácticas se encuentra bajo la postura de que en un conjunto de

actividades el alumno adquiere un saber matemático cuando pasa por tres etapas: acción,

formulación y validación; otro ejemplo es la aproximación teórica de la socioepistemología

que se centra en la idea de que la construcción de conocimiento ha estado ligado a los

mecanismos que normas ciertas prácticas sociales, como la predicción. Sin embargo, la

postura que es de nuestro interés es la que propone la aproximación teórica de la génesis

instrumental, donde la construcción de conocimiento mediada por un instrumento

tecnológico de aprendizaje, se da a partir de la interacción del estudiante con dicho

instrumento de forma bilateral (instrumentalización y la instrumentación). Esta

aproximación será explicada a detalle más adelante.

3.2. Transformaciones de un instrumento tecnológico de aprendizaje en la

actividad matemática.

En la historia humana hasta el día de hoy, el hombre ha utilizado herramientas tecnológicas

que median su actividad humana para resolver problemas de la misma, por ejemplo las

antiguas civilizaciones utilizaban como herramienta cuerdas con marcas equidistantes para


31

medir sus terrenos, en la actualidad la herramienta tecnológica que los ingenieros utilizan

para medir distancias es, entre otros, el distanciómetro.

Imagen 3.1- Medición de distancias realizadas por los antiguos Egipcios (derecha) y por los ingenieros de la actualidad (izquierda)

Estas herramientas han servido a la humanidad para construir conocimiento que le permita

subsistir, desarrollarse y al mismo tiempo crear conocimiento científico. En este trabajo no se

está pensando en cualquier herramienta tecnológica, sino en calculadoras graficadoras

(sistemas de cálculo simbólico) y no en cualquier actividad humana sino en la actividad

matemática (como la predicción, aproximación, estimación, etc.), de tal forma que el uso y

conocimiento de este artefacto favorecerá que sea convertida en un instrumento para

construir conocimiento matemático. De manera que, al integrar las calculadoras graficadoras

en la actividad matemática se presentarán diferentes transformaciones cognitivas con su

uso. A continuación se hablará sobre estas transformaciones.

Por una parte, con el instrumento tecnológico como un micromundo, se pueden manipular

y/o ejecutar las representaciones matemáticas generando un nuevo realismo matemático

(Balacheff y Kaput, 1996, citado en Moreno, 2002), en efecto se pueden manipular los

objetos de la pantalla de tal manera que se genera una existencia casi real de tales objetos.

Por ejemplo, con el software Cabri se pueden manipular las representaciones de rectas,

circunferencias, etc., objetos que en un ambiente de papel y lápiz se perciben como

inexistentes o irreales. Si solo se manipulan esas representaciones no se adquiere ningún

significado, se requiere experimentar, argumentar y comunicar para que ocurra una

sistematización de las formas de pensamiento.


32

Imagen 3.2- La manipulación de representaciones matemáticas generan un realismo matemático

Por otra parte, así como podemos manipular ciertas representaciones a través de un

micromundo también es posible ejecutar otras representaciones en un CAS, por ejemplo, con

el software derive es posible ejecutar sumatorias, integrales, derivadas, etc., simplemente al

oprimir “enter” el sistema interno de la computadora efectúa el proceso y muestra el

resultado en la pantalla, esta acción es un acto cognitivo exteriorizado, de modo que la

persona que utiliza la computadora no solamente tiene a su disposición un espacio de

representación externa sino la posibilidad de procesar esa información de cierta manera,

debido a la ejecutabilidad del sistema de representación que le suministra la computadora

(Moreno, 2002).


33

Imagen 3.3- Ejecutabilidad de las representaciones matemáticas con el software Derive

En el momento en que ocurre una resignificación de los objetos matemáticos en términos de

las representaciones ejecutables comienza la mediación instrumental, lo que sugiere una

simbiosis entre el artefacto tecnológico y el sujeto que lo utiliza, es decir, ambos se unen

para hacer matemáticas. Moreno (2002) menciona una analogía referente a la mediación

instrumental:

El pianista ha necesitado de un esfuerzo intenso y prolongado para aprender a tocar

ese instrumento. Su conocimiento no es independiente del instrumento. Uno no va a

escuchar cantar al pianista: va a escucharlo tocar el piano y a valorar en términos

estéticos la naturaleza simbiótica de la relación pianista-piano.

En esta relación simbiótica el sujeto hace matemáticas con el instrumento tecnológico, pero

antes tiene que actuar sobre el artefacto para conocerlo y posteriormente utilizar las

cualidades del artefacto integrándolo a su quehacer matemático.

Hasta ahora se ha mencionado que la tecnología crea un nuevo realismo matemático en el

que es posible manipular y ejecutar las representaciones matemáticas, sin embargo, es

necesario sistematizar las formas de pensamiento y la mediación instrumental para que


34

verdaderamente se construya conocimiento. Una característica más que la tecnología

permite apreciar en su uso, es que permite utilizar al artefacto tecnológico como

herramienta de amplificación o de re-organización cognitiva, Moreno (2002) hace la

siguiente analogía:

Las herramientas de amplificación sugieren pensar en una lupa. La lupa deja ver,

amplificado, aquello que podía ser visto a simple vista. No cambia, por esto mismo, la

estructura del objeto de nuestra visión. La metáfora de las herramientas de re-

organización, sugiere pensar en un microscopio. Con el microscopio podemos ver lo

que no era posible sin dicha herramienta. Accedemos entonces a otro nivel de la

realidad, cualitativamente distinto. Se abre entonces, la posibilidad de acceder a un

conocimiento nuevo.

Por ejemplo, en el ambiente papel y lápiz es posible ver una recta en posición de tangencia,

pero en el ambiente informático esa visión aumenta y mejora la exactitud, incluso con la

opción “Zoom” es posible acercar la gráfica y apreciar el punto de tangencia. Estamos usando

el instrumento tecnológico como herramienta de amplificación.

Imagen 3.4- Ejemplo: herramientas de amplificación

Ahora, ¿qué es lo que el instrumento tecnológico de aprendizaje puede hacer ver de los

conceptos matemáticos, que sin ella quizás no podría apreciarse?

Pensemos en la variación de la pendiente de la recta tangente al mover el punto de

tangencia, esto no es visible en el ambiente papel y lápiz, pero en el ambiente informático si


35

es apreciable. Ahora consideremos una colección de rectas tangentes a una curva cuya

expresión analítica sea desconocida, a partir de la deliberada suma de tangentes

determinadas por medio de diferencias en las alturas, se puede aproximar a la curva.

Imagen 3.5- Aproximación de una función por medio de sus tangentes

De ser esto posible, estaríamos usando el instrumento tecnológico como herramienta de re-

organización cognitiva, pues lo que no era visible (variación) sin el uso de tecnología ahora lo

es y lo que no era conocido (expresión analítica) ahora lo es.

Las herramientas de amplificación y de re-organización cognitiva no pueden estar separadas

una de la otra, ya que se puede ver como la transición de herramienta a instrumento que

sufren las computadoras y calculadoras, la cual será explicada más adelante. Por ahora se

presenta el siguiente esquema que sintetiza a grandes rasgos este apartado y nuestra

postura sobre el papel de la tecnología en la construcción de conceptos matemáticos,

entendiendo por esto como la forma en que concebimos la integración de la tecnología en la

actividad del estudiante.


36

Imagen 3.6- Esquema de las transformaciones cognitivas con el uso de tecnología en matemáticas

Bajo esta perspectiva, la aproximación teórica conocida como génesis instrumental nos

permitirá explicar la interacción estudiante-instrumento tecnológico hacia la resignificación

de la Serie de Taylor, por lo que se describe a continuación el objeto de estudio y elementos

o nociones que la fundamentan.

3.3. La génesis instrumental

En su objeto de estudio, la génesis instrumental trata de entender cómo un artefacto

tecnológico se va incorporando al conocimiento matemático de un estudiante,

convirtiéndolo en un instrumento de aprendizaje que media su actividad y lo incorpora

orgánicamente para hacer matemáticas. Esta perspectiva orienta la discusión del papel que

juega el uso del instrumento en el conocimiento matemático y el desarrollo de los

instrumentos mismos (Briseño, 2008).

Un artefacto es un objeto material o abstracto, destinado a dar sustento a la actividad del

hombre en la ejecución de un cierto tipo de tarea. Sin embargo, con el término “artefacto”

Sistematización

de formas del

pensamientoReorganización

cognitiva

Mediación

instrumental

Representación

y su

manipulación

Representaciones

ejecutables

Amplificación

nos estamos refiriendo en el mismo sentido de Trouche (2004; citado en Briseño, 2008)

dispositivos informáticos tales

computadoras. El instrumento es lo que el sujeto construye a través del artefacto, como

menciona Rabardel (1999) (citado en Briseño, 2008) el instrumento no existe en sí mismo, el

artefacto se hace un instrumento cuando el sujeto ha sido capaz de incorpor

a su actividad matemática producto de la génesis instrumental. Se distingue entre un

artefacto y el instrumento que un ser humano es capaz de construir a partir de él. Mientras

el artefacto se refiere a una herramienta objetiva, el instrumento se refiere a una

construcción mental hecha por el usuario de la herramienta. El instrumento no viene dado

con el artefacto, se construye mediante el proceso complejo que se denomina génesis

instrumental y da forma a la actividad y el pensamiento matemático (Camacho, 2005; citado

en Briseño, 2008).

Por ejemplo, un estudiante puede estar utilizando la computadora para graficar ciertos datos

sobre el ingreso y costo de un producto. En este momento la computa

artefacto tecnológico, debido a que

herramienta para graficar datos. Cuando a partir de la gráfica, el estudiante interpreta esos

datos, hace conjeturas, relaciona valores, analiza, hace cambios

representación y comunica sus hallazgos

siendo utilizada como un instrumento

o dar respuesta a una actividad matemática. El artefacto se

aprendizaje y para entender ese proceso está el estudio de génesis instrumental

postura sugiere la interacción bilateral entre el usuario y el artefacto.

Imagen 3.7


nos estamos refiriendo en el mismo sentido de Trouche (2004; citado en Briseño, 2008)

tales como: calculadoras numéricas, calculadoras gráficas y


citado en Briseño, 2008) el instrumento no existe en sí mismo, el

ento cuando el sujeto ha sido capaz de incorpor



e refiere a una herramienta objetiva, el instrumento se refiere a una



y da forma a la actividad y el pensamiento matemático (Camacho, 2005; citado


sobre el ingreso y costo de un producto. En este momento la computadora funge como un

, debido a que está siendo utilizada simplemente como una


datos, hace conjeturas, relaciona valores, analiza, hace cambios en registros de

sus hallazgos, entonces se puede decir que la computadora está

siendo utilizada como un instrumento; pues el instrumentarlo permitió obtener un producto

o dar respuesta a una actividad matemática. El artefacto se convierte en un instrumento de

aprendizaje y para entender ese proceso está el estudio de génesis instrumental

postura sugiere la interacción bilateral entre el usuario y el artefacto.

Imagen 3.7- Fases de la génesis instrumental

Génesis Instrumental

Instrumentalización

Instrumentación


37

nos estamos refiriendo en el mismo sentido de Trouche (2004; citado en Briseño, 2008), a

, calculadoras gráficas y


citado en Briseño, 2008) el instrumento no existe en sí mismo, el

ento cuando el sujeto ha sido capaz de incorporarlo e integrarlo



e refiere a una herramienta objetiva, el instrumento se refiere a una



y da forma a la actividad y el pensamiento matemático (Camacho, 2005; citado


dora funge como un

siendo utilizada simplemente como una


en registros de

entonces se puede decir que la computadora está

instrumentarlo permitió obtener un producto

convierte en un instrumento de

aprendizaje y para entender ese proceso está el estudio de génesis instrumental, cuya


38

La primera dirección se llama instrumentalización, la cual se dirige del sujeto hacia el

artefacto cargándolo progresivamente de potencialidades y esquemas de uso que le

permiten conocer el artefacto, los menús y su ambiente; y la segunda dirección se llama

instrumentación, que se dirige del artefacto hacia el sujeto lo cual conlleva al desarrollo y

apropiación de esquemas de acción instrumentada que le permiten entender las

potencialidades y restricciones (o limitaciones) del artefacto. Dichos esquemas constituyen

habilidades que permiten una respuesta efectiva a actividades matemáticas.

Imagen 3.8- Construcción del artefacto al instrumento producto de la génesis instrumental1

1 Esquema tomado de Briseño (2008)

Potencialidades Limitaciones

Instrumentalización Instrumentación

Esquemas de

acción

Génesis instrumental

Esquemas de uso

Estudiante

Artefacto

Estudiante

Instrumento


39

A continuación presentamos las definiciones de instrumentalización e instrumentación,

según Artigue y Trouche (Briseño, 2008):

• Según Artigue (2002) la instrumentalización del artefacto es cuando a éste se le dota

progresivamente de potencialidades y se le transforma eventualmente para

aplicaciones específicas. Por otro lado, Trouche (2004) la define como un proceso de

diferenciación del artefacto mismo que puede pasar por diferentes etapas: la de

descubrimiento, la de personalización, la de transformación y a veces en direcciones

no previstas como la modificación de la barra de tareas, la creación de atajos cortos

del teclado, el almacenaje de programas y la ejecución de tareas automáticas. Es

decir, la instrumentalización es el reconocimiento del artefacto. Por ejemplo, cuando

una persona compra un celular nuevo lo primero que hace es leer el instructivo,

oprimir teclas, indagar por el menú, es decir, conocer el artefacto, familiarizarse con

él para proceder a integrarlo a su actividad de comunicación y entretenimiento. Lo

mismo sucede con una calculadora científica, gráfica o una computadora, es

necesario desarrollar esquemas de uso sobre el artefacto.

• En cuanto a la instrumentación, Trouche (2004) la define como el proceso donde el

instrumento afecta al sujeto, es decir permite que el sujeto desarrolle su actividad

dentro de algunos límites (restricciones del artefacto) y que elabore esquemas de

acción instrumentada el cual le permita construir conocimiento matemático. Artigue

(2002) la define como una acción dirigida hacia el sujeto, y que cada vez lo conduce al

desarrollo o a la apropiación de esquemas de acción instrumentada que están

orientados al cómo enfrentar las potencialidades y limitaciones del artefacto para un

desarrollo óptimo en la solución de una tarea específica.

En la imagen 3.6 donde se esquematizan las transformaciones del uso de la tecnología,

obsérvese que las representaciones manipulables, las representaciones ejecutables y las

herramientas de amplificación se encuentran en el círculo central simbolizando la fase de

instrumentalización, pues se está considerando el uso de la herramienta tecnológica como


40

un artefacto, en el momento en que se transforman las representaciones ejecutables como

una mediación instrumental, la amplificación de las herramientas en una re-organización

cognitiva, etc. formando el anillo exterior del esquema, se comienza a hablar de la fase de

instrumentación, pues ahora la herramienta se ha integrado a la actividad del sujeto y la ha

transformado del artefacto al instrumento.

Conviene dar un ejemplo y un contra ejemplo donde se observe la acción matemática

instrumentada. Estos dos trabajos que a continuación se presentan son sobre el tema

“introducción de la derivada” con el uso de tecnología informática:

1) López (2008) elaboró una secuencia didáctica a través del uso del software Geogebra.

La puesta en escena se llevó a cabo en un aula que contaba con una computadora y

un videoproyector donde se utilizaba como un pizarrón electrónico para interactuar

con los alumnos, el docente y la secuencia didáctica.

El tratamiento del tema se realiza en tres etapas que consisten en la construcción de

la recta tangente a una curva en máximos y mínimos por medio del método de

Descartes (etapa 1) y Fermat (etapa 2), posteriormente en la etapa tres se presenta la

gráfica de una función derivada y se pide un bosquejo de la función primitiva. Estas

actividades son visualizadas con el software, tecnología utilizada por el profesor, pero

los estudiantes se confinaban a observar y no a interactuar con la computadora.

Aunque es claro que procesos como la variación y aproximación son susceptibles a ser

visualizados bajo esta presentación, pero si el estudiante se limita a observar lo que el

profesor realiza y no interactúa con el artefacto tecnológico no habrá manera de

integrarlo a su actividad matemática y construya conocimiento.

2) Cantoral y Mirón (2000) también emplearon, una secuencia didáctica, pero con el uso

de calculadoras gráficas, que consistía en tres etapas. La primera etapa es la de

preparación para que el estudiante aprendiera a utilizar la calculadora, en términos

de la génesis instrumental, esta etapa corresponde al desarrollo de los esquemas de

uso. La segunda etapa de desarrollo se realizó en grupos pequeños que efectuaban


41

actividades que consistían en la experimentación con los parámetros de funciones

cuadráticas y lineales de tal forma que la línea recta presentada en la gráfica fuera

tangente a la(s) parábolas, cada actividad aumentaba el grado de dificultad, es decir,

las primeras instrucciones consistían en “mover” la recta en posición de tangencia con

la parábola, en otra actividad, se trataba de una familia de parábolas, etc.

Imagen 3.9- Recta tangente a una

parábola en un punto Imagen 3.10- Familia de parábolas

tangentes a una recta en un mismo punto

El estudiante se veía en la situación de desarrollar esquemas de acción para enfrentar

las limitaciones de la calculadora y aprovechar las potencialidades que le permitían

encontrar las regularidades lineales entre las parábolas y realizar exitosamente las

tareas solicitadas.

La última etapa fue de institucionalización, donde todo el grupo y el profesor

discutían sobre sus argumentaciones de tipo analítico, visual y discursivo para llegar a

un consenso sobre la regularidad lineal encontrada. En cada etapa fue visible la

integración de la calculadora en la actividad del estudiante para identificar patrones,

regularidades entre las curvas y construir su conocimiento a partir de sus

argumentaciones.

Se puede observar que en el ejemplo 1) es el profesor quien utiliza la herramienta

tecnológica, que en este caso esta funcionando como un “artefacto”, a través del software

los estudiantes pueden visualizar las funciones con sus respectivas rectas tangentes, sin

embargo no está interactuando directamente con el artefacto tecnológico, no lo está

dotando de potencialidades ni lo están integrando a su aprendizaje, por lo tanto no se logra

presentar la fase de instrumentación de la génesis instrumental.


42

Por el contrario, en el ejemplo 2) los estudiantes son los principales participantes en cuanto a

la interacción con el aparato tecnológico. Obsérvese que al principio es utilizado

simplemente como un artefacto pues el estudiante “realiza lo que le solicitan” en las

actividades, incluso en la fase de preparación se puede observar la presencia de los

esquemas de uso. Estamos en la instrumentalización, donde el sujeto (estudiante) empieza a

reconocer al artefacto (calculadora). Después, en la discusión los estudiantes argumentan y

conjeturan sus “descubrimientos”, sus procedimientos con la calculadora y dotan de

significado la interpretación geométrica de la derivada. En este momento la calculadora pasó

de artefacto a instrumento, pues la calculadora permitió que el estudiante dote de

potencialidades al objeto matemático y construya su conocimiento, es decir, presenciamos la

fase de la instrumentación.

Ahora que se ha presentado la parte científica de la génesis instrumental conviene hablar

sobre los aspectos sociales que intervienen en esta aproximación teórica según Briseño

(2008). Por un lado, el énfasis en la instrumentación recae en la actividad humana que hace

incorporar el artefacto tecnológico en la construcción de un conocimiento, es decir, en la

necesidad de atender y resolver una situación o un problema al que se enfrenta una persona.

Por otro lado, Artigue (2002) reporta que se exige dos principales demandas educativas en el

aprendizaje de las matemáticas con el uso de instrumentos tecnológicos:

1) Que sean instrumentos pedagógicos. Es decir, que permitan aprender mejor los

contenidos matemáticos que han sido definidos sin tomar en cuenta esta tecnología.

2) Que contrarresten prácticas de enseñanza inadecuadas. Ya sea prácticas de

enseñanza orientadas a la exposición excesiva o hacia el aprendizaje de habilidades

matemáticas.

De manera que, un estudio de génesis instrumental contribuye a estas demandas para un

mejor aprendizaje en esta área dando mayor énfasis a la importancia de la construcción del

instrumento por parte del sujeto, y para ello su reflexión radica en que el valor epistémico se

enriquezca, no se pierda en contra del valor pragmático de técnicas instrumentadas. Con


43

esta reflexión la génesis instrumental se centra en estos tres puntos para responder a tales

demandas:

• Entender que un estudio de génesis instrumental presenta complejidades

inesperadas: se han observado diferentes esquemas de acción instrumentada en

cada estudiante de acuerdo al procedimiento que realizan para resolver un problema.

Esto ha llevado a que investigadores se cuestionen si el estado de las técnicas

instrumentadas en clases experimentales ha sido el adecuado y la manera en que

dicho estado podía haber influido en los resultados obtenidos.

• La situación del estado de técnicas instrumentadas: a diferencia de técnicas con lápiz

y papel, en técnicas instrumentadas no se puede apreciar los procedimientos

intermedios de los estudiantes al resolver una actividad matemática pues la

tecnología da saltos inmediatos al resultado, en esta situación el profesor no es capaz

de intervenir debido a que el artefacto tiene varias técnicas o estrategias para

solucionar el problema (ambiente gráfico, numérico y simbólico) por lo que deja al

estudiante que determine la solución del problema. Si bien es cierto que para

técnicas a lápiz y papel hay un discurso teórico que respalde al profesor (libros,

sistema educativo) para técnicas instrumentadas no hay ninguna institución que le

proporcione reglas o guías para tomar decisiones sobre el uso tecnológico sino que el

mismo profesor la crea o permite que los estudiantes exploren. Según Briseño (2008)

es muy difícil para los profesores dar un estado adecuado a las técnicas

instrumentadas, pues depende de dos elementos, 1) de situaciones ajustadas para

que el valor epistémico se desarrolle, y 2) de la evolución de la instrumentación para

poder construir un discurso teórico de técnicas instrumentadas. Este discurso

necesariamente entrelazará el conocimiento matemático, el conocimiento del

instrumento y el conocimiento matemático representado por el instrumento, para

que pueda responder a las demandas educativas.

• Las exigencias matemáticas: En Artigue (2002) se menciona que hay dos exigencias

matemáticas para calculadoras simbólicas, las cuales son:


44

o El ajuste de la ventana gráfica. Ya que el ambiente de papel y lápiz no obliga

al estudiante a entender los procesos de discretización y sus posibles efectos

ligados al manejo de la representación de funciones en una calculadora, Guin

y Trouche (1999) proponen diseñar tareas para fomentar el trabajo de

exploración, con interacciones entre observaciones gráficas y cálculos teóricos

para estimular a los estudiantes a comparar resultados y observar las

diferencias entre el papel y los ambientes con artefactos tecnológicos.

o La equivalencia algebraica. Al introducir una expresión algebraica en una

calculadora simbólica, el estudiante se enfrenta con el resultado de una

evaluación realizada automáticamente por la calculadora. Este resultado

puede ser muy diferente a la expresión inicial, y el estudiante está en una

posición muy diferente de aquel que efectúa su trabajo con papel y lápiz, pues

este último va simplificando gradualmente y sabe cuáles son las diferentes

expresiones intermedias que él mismo ha producido.

Para concluir este capítulo nos atrevemos a decir que la aproximación teórica de la génesis

instrumental nos permitirá explicar que “la resolución de actividades de visualización” será

el puente que favorecerá la transformación artefacto-instrumento. Por tal motivo nuestra

hipótesis es que a través de actividades de visualización, el estudiante pueda integrar ese

artefacto tecnológico como un instrumento de aprendizaje para generar argumentos visuales

y discursivos sobre la Serie de Taylor.

3.4. Metodología de investigación

Hemos considerado un diseño experimental para verificar nuestra hipótesis y, para ello,

utilizaremos la ingeniería didáctica, tanto como metodología para el diseño de actividades,

como para su implementación y análisis de resultados.

El proceso experimental de la ingeniería didáctica consta de cuatro fases:


45

• Primera fase: Análisis preliminar. En esta etapa realizaremos un análisis

epistemológico de la construcción de la serie de Taylor, un análisis conceptual,

didáctico y cognitivo.

• Segunda fase: Concepción y análisis a priori de las situaciones didácticas. En esta fase

presentaremos las acciones que se esperaría lleven a cabo los estudiantes, que nos

permitirán determinar si logró incorporar el artefacto tecnológico como un

instrumento de su actividad matemática para la construcción de conocimiento, así

como cuáles fueron los argumentos y significados que generó en el proceso de

instrumentación tecnológica, descrito por la génesis instrumental.

• Tercera fase: Experimentación. En este momento se llevará a cabo la experimentación

de la actividad diseñada con una muestra poblacional de estudiantes de cuarto

semestre de la facultad de matemáticas.

• Cuarta fase. Análisis a posteriori y evaluación. Se analizarán los resultados obtenidos

de la experimentación y se contrastarán con los resultados que se esperaban del

análisis a priori.

CAPÍTULO 4

LA SERIE DE TAYLOR:

UN ANÁLISIS PRELIMINAR

Capítulo 4. La Serie de Taylor: Un análisis preliminar

47

L A S E R I E D E T A Y L O R : U N A N Á L I S I S

P R E E L I M I N A R

A fin de validar nuestra hipótesis sobre la posibilidad de generar argumentos variacionales

mediante tecnología e indagar cuáles son las nociones y significados que un grupo de

estudiantes atribuyen a la Serie de Taylor en un tratamiento didáctico a través de tecnología,

específicamente calculadoras graficadoras, se diseñará una actividad experimental. Por ello,

es preciso realizar un análisis preliminar cuya estructura conceptual y epistemológica nos dé

elementos a considerar en el diseño de la actividad, y así, nos permita verificar que a través

de la argumentación es posible atribuir un significado a dicha noción matemática.

Por tanto, en este capítulo se realizará un análisis epistemológico de la construcción de la

Serie de Taylor y un análisis de tipo cognitivo. Debido a que en el capítulo 2 se mencionaron

los aspectos didácticos de la Serie convenimos en omitir ese análisis en éste capítulo

tratando de evitar ser repetitivos.

4.1. Aspectos epistemológicos de la Serie de Taylor

En Cantoral y Farfán (1998) se realiza una discusión breve sobre el origen del binomio de

Newton, preguntándose ¿por qué Newton escribió por primera vez su binomio como

(� + �)� �⁄ y no como actualmente lo conocemos (� + �)�?, los autores comentan que

ambas expresiones son equivalentes matemáticamente, sin embargo son conceptualmente

distintas; que no se trata simplemente de un asunto de notación sino de un programa de

matematización de los fenómenos emergente en esa época, que buscaba modelar, anticipar

y predecir fenómenos naturales con el respaldo matemático. La idea básica consiste en la

asunción de que con la predicción de los fenómenos de flujo continuo en la naturaleza, es


48

posible anunciar, anticipar su estado ulterior, pues conociendo ciertos valores iniciales de un

sistema de evolución, sabremos la forma en la que éste progresa.

El binomio de Newton, se presenta como una entidad que emerge progresivamente del

sistema de prácticas socialmente compartidas ligadas a la resolución de una clase de

situaciones que precisan de la predicción. De modo que, si P evoluciona de cierta manera, la

cuestión central consiste en saber cómo será B(P) si conocemos el inicio de P, el cambio que

sufre P, el cambio del cambio de P, etcétera. El binomio fue entonces, una respuesta a la

cuestión y una organización de las prácticas sociales. Véase esto con un ejemplo particular.

Suponga que B ha sido dada respecto de P por la relación �(�) = ��. Entonces imagine que

P evoluciona y pasa de P, hasta llegar a ser ella misma incrementada por un pequeño pedazo

PQ (la magnitud Q es menor que la unidad), de modo que P deviene P+PQ. Luego, como B

está dada según la fórmula particular que se estableció, la cuestión central radica en saber

quién es B después del flujo de P. La respuesta es, en este caso, inmediata, pues será

(� + �)� = �� + 2�� + 2�� = ��(1 + 2 + �).

Del mismo modo, y aquí sí interviene la época, imagine que sólo se conocen fórmulas que

combinan expresiones de la forma �� , la extensión necesaria del resultado anterior estaría

dada por la expresión (� + �)�� (Cantoral y Farfán, 1998).

La razón de discutir primeramente sobre la construcción del binomio de Newton es debido a

que este binomio es una herramienta para construir la Serie de Taylor (Cantoral, R., 1995).

Durante 1715, Brook Taylor publicó su “Methodus incrementoum directa et inversa”, el cual

contiene la primera publicación del desarrollo en serie, conocida hoy como Serie de Taylor y,

que a juzgar por el escrito original, se presenta con el fin de estimar el valor de una ordenada

a partir del conocimiento de otra que se encuentre ubicada en sus proximidades. Esto se

expresa en la siguiente proposición (Taylor, 1715; citado en Cantoral, et al., 2004).


49

Proposición VII: Sean z y x dos cantidades variables de las cuales z crece uniformemente con

incrementos dados ∆z. Sea n∆z=v, v-∆z=�� , v-∆z=�� , etc. entonces digo que cuando z crece

hacia z+v, se tiene que x crece hacia

� + ∆� �1 · ∆� + ∆

�� 1 · 2(∆�)� + ∆

�� 1 · 2 · 3(∆�)� +···

En la expresión anterior debemos interpretar que lo que Taylor llama z es nuestra habitual �,

es decir, la variable independiente, y lo que llama � es nuestra �(�) !. De este modo, si se

hace tender n a infinito, se tendrá que ∆� tenderá a cero, de donde,

"#"$ → &#

&$ , "(#"$( → &()(#)

&$( , etc.

Y �� → �, �� → �, � → �*, +,-., lo que conduce efectivamente a la obtención de la Serie de

Taylor.

La presentación anterior de Taylor se apoya en una tabla de diferencias finitas arregladas

adecuadamente:

Imagen 4.1- Tabla de diferencias finitas de Euler, tomada de Cantoral, R., Et al, (2004)

El cálculo de Newton está basado en la idea intuitiva del movimiento continuo, manejando el

concepto de fluente, como cantidad que varía respecto al tiempo y el de fluxión como su


50

velocidad de cambio respecto al tiempo. Todos los fluentes son variables dependientes y las

fluxiones son sus derivadas consecutivas.

En la tabla de la imagen 4.1 Euler denota las fluentes con � y denota las fluxiones con ⋅

x, ⋅⋅

x,

⋅⋅⋅

x,…, etc. En ésta se presenta una diferenciación sucesiva de fluentes y fluxiones, cuyo

desarrollo consiste en sumar a la variable fluente su fluxión, luego a esta expresión se le

suma su fluxión y así sucesivamente. De tal forma que el desarrollo de las diferencias finitas

de la tabla de Euler coinciden con el desarrollo del binomio de Newton.

Así, por el teorema del binomio de Newton se tendrá:

� + /∆� → ! + /∆! + /(/ − 1)2! ∆�! + /(/ − 1)(/ − 2)

3! ∆�! + ⋯

Haciendo /∆� = ℎ, se obtiene:

� + ℎ → ! + ∆!∆� ℎ + ∆�!

∆�� ∙ ℎ(ℎ − ∆�)2! + ∆�!

∆�� ∙ ℎ(ℎ − ∆�)(ℎ − 2∆�)3! + ⋯

En los siguientes corolarios, mediante una operación de aproximación al límite, cuando n

tiende a infinito se obtiene finalmente la expresión:

�(� + ℎ) = �(�) + 6�(�)6� ∙ ℎ + 6��(�)

6�� ∙ ℎ�

2! + ⋯

Hacia finales del siglo XVIII, con los trabajos de Lagrange se adopta la notación de primas en

las derivadas, es así como se llega a la notación con la que es conocida la Serie de Taylor en la

actualidad:

�(� + ℎ) = �(�) + ��(�)ℎ1! + ��(�)ℎ�

2! + ��(�)ℎ�

3! + ⋯ + �(�)(�)ℎ�

/! + ⋯


51

4.2. Estructura conceptual de la Serie de Taylor

Marcolini y Perales (2005) resaltan en su trabajo algunas de las ideas germinales2 de la Serie

de Taylor. Desde la perspectiva de Cantoral (2001) la idea germinal que destaca en esta Serie

es la noción de predicción de los fenómenos naturales de flujo y lo analítico en el Cálculo, en

su trabajo se mencionan ocho modelos de lo analítico, que representan los diversos

esquemas paradigmáticos asociados a la Serie de Taylor en distintos contextos y momentos

históricos:

1. Modelo de regularidad binomial: se caracteriza por percibir y utilizar una regularidad

en los desarrollos binomiales y centra su atención en su semejanza operativa con los

números y magnitudes variables.

2. Modelo variable-variación: consiste en reconocer y utilizar sistemáticamente, la idea

de que “la parte contiene información del todo”, es decir, así como se estudia la

variación de magnitudes variables respecto de otras, se reconoce que la variación

instantánea o puntual proporciona la información integral del fenómeno.

3. Modelo de predicción paramétrica: radica en la determinación del estado futuro

(más ampliamente, estado vecino) con la información del estado actual (más

generalmente, al estado facto). De modo que si conocemos el estado inicial de la

magnitud a estudiar, es decir, la ordenada y sus variaciones sucesivas, es posible

predecir el comportamiento del estado vecino con la ayuda del método de los

incrementos finitos.

4. Modelo de evolución paramétrica: descansa en la determinación de las leyes que

rigen el comportamiento del sistema, siempre que el estado inicial sea conocido.

5. Modelo de aproximación polinomial: se caracteriza por reducir el cálculo de la

función al cálculo de polinomios. Para ello se construye una sucesión de éstos que

converja a la función determinada y que hereden el comportamiento puntual de la

función, para lo que también se estima el margen de error. 2 Idea germinal es el motor central en la construcción del conocimiento, a partir de la cual tanto procedimientos

como significaciones se construyen paulatinamente y adquieren así una completa significación epistémica. (Marcolini y Perales, 2005).


52

6. Modelo de metamorfosis funcional: se evoca el hecho de transformar una función

por una expresión polinomial infinita, en tanto que la noción de función se encuentra

impregnada por la de fórmula analítica arbitraria.

7. Modelo de generalización inductiva: se establece a partir del reconocimiento de una

colección de resultados previos, la utilización del concepto de límite como

organizador del cálculo, de la serie del valor medio para derivadas, el estudio de las

funciones arbitrarias y su clasificación en clases.

8. Modelo de analiticidad compleja: se localizan en el reconocimiento de lo derivable

en los dominios complejos, y su importancia en la teoría del análisis complejo

(distinguiéndose de las funciones reales valuadas).

En el trabajo de Marcolini y Perales (2005) se hizo uso de elementos tales como la

visualización, el reconocimiento de patrones, el recurso de la analogía, la inducción, los

diversos modos de validación y todo aquello que permitió en algún momento de la

elaboración del conocimiento, construir y transmitir información socialmente útil y que hoy

puede estar omitida en la enseñanza, con el fin de reconocer y usar aquellas ideas germinales

para poder explorar la función de la Serie de Taylor en el contexto actual.

En la revisión histórica realizada por estos autores se identificó que la noción de predicción

en los fenómenos de flujo continuo en la naturaleza, se ubicó como la base de significación

primaria para el concepto matemático de la Serie de Taylor.

La consideración acerca de la idea de predicción y de la noción de convergencia, en su

relación con la Serie de Taylor, se presenta como una dificultad de naturaleza didáctica, la

cual se manifiesta en el momento de trabajar con la Serie de Taylor en un contexto

fenomenológico. Si se quiere centrar la atención en el movimiento en la naturaleza se deben

plantear estrategias que permitan describir su evolución, entendida como el pasaje sucesivo

entre estados primarios y secundarios. Además, es preciso determinar los aspectos que

caracterizan los estados y los tránsitos sucesivos, así como establecer el conjunto de

variables que en mutua dependencia se relacionan en el fenómeno y reconocer aquellos

aspectos invariables asociados a los fenómenos de movimiento en la naturaleza, los cuales


53

suelen descansar en la naturaleza misma del movimiento, en la forma en que se alteran las

variables, es decir, la constantificación que permite buscar la relación de dependencia

funcional, ya no entre las variables, sino también entre sus sucesivas variaciones

instantáneas. (Marcolini y Perales, 2005).

En el capítulo 2, se resaltaron las principales ideas y estrategias variacionales que se

requieren para la construcción de la Serie de Taylor. Estas prácticas, estrategias y nociones

son necesarias para la comprensión de la Serie, bajo un tratamiento visual e instrumental.

Por lo que se presentan a continuación una breve descripción de cada una de ellas.

• Predicción: Al igual que Cantoral y Farfán (1998) desde nuestro punto de vista, la

noción de predicción se construye socialmente a partir de vivencias y experiencias

cotidianas de los individuos y de los grupos sociales, por tanto, la predicción es vista

como una práctica social; ésta es la determinación de un estado futuro cercano a

partir del conocimiento del estado inicial. Así, si los valores de un parámetro son

conocidos en un único sitio espacial o temporal, digamos en �7, se precisa entonces

con estos datos, anunciar el estado posterior de dicho parámetro, su valor en �7 + ℎ.

De modo que, al conocer los valores de inicio, �7, ℎ, �(�7), ��(�7), ��(�7), etc., se

podrá anunciar el valor posterior del parámetro representado, en este caso se trata

del valor de �(�7 + ℎ). Pues, �(�7 + ℎ) = �(�7) + ��(�7)ℎ + ��(�7) ℎ� 2!⁄ + ⋯.

• Variación: La variación es la cuantificación del cambio. La determinación de qué es lo

que cambia y cómo cambia.

• Diferenciación de variables finitas: Esta estrategia consiste en buscar la relación

entre los aumentos o disminuciones sucesivas de la variable dependiente para

aproximar la expresión en serie. Tal como se mencionó en el análisis epistemológico,

esta estrategia era usada por Newton, Euler entre otros matemáticos con el fin de

aproximar la expresión en serie de una función.


54

Imagen 4.2- Esquema de diferencias finitas realizado por Isaac Newton, 1676 (Tomado de Cantoral y Montiel, 2001)

• Aproximación: Entendemos por aproximación como un proceso en el infinito

potencial de acercarse a determinado número o función con el fin de asemejarse a

éste. En el caso de la Serie de Taylor, a través de la suma de términos polinomiales, la

Serie se avecina cada vez más a la función que se desea aproximar.

• Reconocimiento de patrones: Proceso de identificación, caracterización, clasificación

y reconstrucción sobre un conjunto de objetos.

• Tránsito entre registros de representación: Para la construcción de conocimiento

matemático se hace necesario que el estudiante sea capaz de representar un

concepto matemático en por lo menos dos registros distintos de representación

semiótica, de tratar esa representación en un mismo y de convertir esas

representaciones de un registro a otro, tal como refieren Duval (1993) y De Amore

(2005).

4.3. Argumentos sobre la Serie de Taylor

Previo al estudio del Cálculo se precisa poseer la habilidad de lectura gráfica, el tránsito entre

diferentes registros de representación semiótica y la integración entre esos registros, sobre

todo el algebraico y el gráfico. Según Cantoral y Farfán (1998), se requiere de un excelente

manejo de formas graficas, extenso y rico en significados para el que aprende, de esta


55

manera, los registros de representación más apropiados para los objetos del cálculo son el

geométrico, algebraico, numérico, analítico y físico, los cuales favorecen la generación de

argumentos por parte del estudiante.

Al momento de argumentar cada representación refiere a un significado del concepto y esos

significados generan ideas y nociones que ayudan a la construcción de su aprehensión

conceptual. Por ejemplo, el concepto de línea recta puede evocar diferentes significados

dependiendo de cómo esté representada:

Es un conjunto de puntos que poseen cierta propiedad en común referente a

estar alineados

Es la distancia más corta entre dos puntos

Modela situaciones en que las magnitudes son directamente proporcionales y cuya razón de cambio es constante

Imagen 4.3- Representaciones de la línea recta y sus significados

Así, utilizando argumentos de la Serie de Taylor en diferentes tipos de representación, se

estará trabajando con diferentes significados de ésta, lo cual se espera genera nociones en el

estudiante que le ayuden a desarrollar su aprehensión conceptual.

Como bien se ha dicho, se precisa del desarrollo del PyLV para la comprensión de la Serie y

como antecedente tenemos que es posible generar argumentos al tiempo que se desarrollan

estrategias variacionales.

A continuación, se presentan distintos argumentos de presentación para construir la Serie de

Taylor (Castillo, 1993), para cada uno se mencionan las ideas y estrategias variacionales que

se trabajan, el modelo analítico al cual refiere y los significados asociados a la Serie de Taylor

que se espera construir con cada argumento:

x

y

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

2

Argumento geométrico

Como ya se mencionó en el capítulo 1, ver no es lo mismo que visualizar

pueden ir a la par. Este tipo de argumento tiene mucha eficacia para significar un concepto,

idea o proceso, no solamente

Los aspectos visuales facilitan la comprensión y le otorgan una razón de ser a la génesis de la

presentación analítica.

El argumento geométrico de la Serie de Taylor está asociado con la estra

finitas de variables, en el cual subyace la idea de derivada como la pendiente de la recta

tangente a una curva en un punto y también la idea de derivada como razón de cambio, la

determinación de incrementos y decrementos de las variab

mencionado numerosas veces esta estrategia, pero no hemos mostrado una interpretación

visual:

Supongamos que ! = �(�), tomemos un punto

el incremento ∆� (un número muy pequeño) hasta el punto

sucesivamente, de manera que cuando cambia

imagen 4.4:

Imagen 4.4

Trazando tangentes en cada punto sobre la función, de forma indefinida, la suma de tales

tangentes nos dará la aproximación más precisa de la función.


Como ya se mencionó en el capítulo 1, ver no es lo mismo que visualizar, pero en ocasiones


idea o proceso, no solamente para la Serie de Taylor sino para cualquier objeto matemático.


El argumento geométrico de la Serie de Taylor está asociado con la estrategia de diferencias

de variables, en el cual subyace la idea de derivada como la pendiente de la recta


determinación de incrementos y decrementos de las variables. Hasta el momento se ha


, tomemos un punto � sobre el eje de las abscisas y consideremos

(un número muy pequeño) hasta el punto � ∆�, � 2∆sucesivamente, de manera que cuando cambia �, hay un cambio en !, como se muestra en la

Imagen 4.4- Grafica de diferencias


tangentes nos dará la aproximación más precisa de la función.


56

pero en ocasiones


para la Serie de Taylor sino para cualquier objeto matemático.


tegia de diferencias

de variables, en el cual subyace la idea de derivada como la pendiente de la recta


les. Hasta el momento se ha


sobre el eje de las abscisas y consideremos

∆�, � 3∆� y así

, como se muestra en la


¿Por qué se utilizan tangentes? Porque es la mejor aproximación de la derivada, y la derivada

es precisamente el cambio que sufre la ordenada cuando la abscisa cambia. Podemos decir

que ese cambio está determinado por la aproximación tangencial o con diferencias finitas.

Imagen 4.5-Aproximación a través de diferencias de tangentes

Por ejemplo, supongamos que conocemos la imagen de

imagen en un punto posterior

tomando en cuenta que conocemos la tangente en el punto

punto � ∆� será igual a la imagen o altura del punto

igual al cambio de !, es decir,

siguiente tabla:

Cambio en x

8

8 ∆8

8 9∆8

8 :∆8

Tabla 4.1- Desarrollo de la generación de diferencias a partir de la representación geométrica.




mente el cambio que sufre la ordenada cuando la abscisa cambia. Podemos decir


proximación a través de diferencias de tangentes

s que conocemos la imagen de �, entonces para aproximar la

imagen en un punto posterior � ∆� trazamos una tangente en el punto �tomando en cuenta que conocemos la tangente en el punto ��, !�, entonces la imagen en el

igual a la imagen o altura del punto ��, !� más un incremento que será

, es decir, ! ∆!. Para mostrar mejor lo que intentamos explicar véase la

Cambio en y

!

! ∆!

�! ∆!� ∆�! ∆!� � ! 2∆!�! 2∆! ∆�!� ∆�! 2∆! ∆�!�

� ! 3∆! 3∆�! Desarrollo de la generación de diferencias a partir de la representación geométrica.



57


mente el cambio que sufre la ordenada cuando la abscisa cambia. Podemos decir


, entonces para aproximar la

�� ∆�, ! ∆!�, , entonces la imagen en el

más un incremento que será

Para mostrar mejor lo que intentamos explicar véase la

∆�!

� ∆�!

Desarrollo de la generación de diferencias a partir de la representación geométrica.


58

� /∆� → ! /∆! /�/ − 1�2! ∆�! /�/ − 1��/ − 2�

3! ∆�! ⋯

Donde si hacemos /∆� � ℎ, y también hacemos tender ∆� a cero, por lo tanto tendremos:

�� ℎ� → ;! Δ!Δ� ℎ

∆�!∆�� ∙

ℎ�ℎ − ∆��2! ∆�!

∆�� ∙ℎ�ℎ − ∆��ℎ − 2∆��

3! ⋯=

Como lim∆#→7 ABA# � &B

&# , lim∆#→7 ∆(B∆#( � &(B

&#( , ⋯

Realizando estos cambios se tiene

� ℎ → ! 6!6� ℎ

6�!6�� ∙

ℎ�2!

6�!6�� ∙

ℎ�3! ⋯

Luego

�� ℎ� � �� ℎ �� ℎ�2! �� ℎ�3! ⋯

Estrategia variacional:

Diferencias finitas de variables.

Significado de la Serie:

La Serie de Taylor es una aproximación por medio de tangentes hacia la imagen de un punto

desconocido.

Modelo:

El modelo de predicción paramétrica está presente en el argumento visual el cual, como ya

se mencionó, radica en la determinación del estado futuro con la información del estado

actual. Pues se aprecia que si conocemos el estado inicial de la magnitud a estudiar, es decir,

la ordenada y sus variaciones sucesivas, es posible predecir el comportamiento del estado

vecino con la ayuda del método de los incrementos finitos.


59

Así, mientras el estudiante genera este argumento de presentación también estará

empleando la estrategia variacional sugerida, y a su vez podrá otorgarle un significado a la

Serie.

Argumento algebraico

Tal como se explicó en el argumento geométrico, supongamos tenemos las variables � y ! tal que un cambio en x produce un cambio en y.

Cambio en x Cambio en y

8 ! !

8 ∆8 ! ∆! ! ∆!

8 9∆8 �! ∆!� ∆�! ∆!� ! 2∆! ∆�!

8 :∆8 �! 2∆! ∆�!� ∆�! 2∆! ∆�!� ! 3∆! 3∆�! ∆�!

⋮ ⋮ 8 E∆8 ! /∆! /�/ − 1�∆�!

2 /�/ − 1��/ − 2�∆�!2 ∙ 3 ⋯

Tabla 4.2- Desarrollo algebraico de las diferencias finitas de variables.

Si hacemos un cambio de variable para simplificar los cálculos tenemos que:

/∆� � ℎ

Entonces / � ℎ ∆�⁄

Por lo tanto

�� ℎ� → ! ℎ ∆�⁄ ∆! ℎ ∆�⁄ �ℎ ∆�⁄ − 1�∆�!2 ℎ ∆�⁄ �ℎ ∆�⁄ − 1��ℎ ∆�⁄ − 2�∆�!

2 ∙ 3 ⋯

�� ℎ� → ! Δ!Δ� ℎ ∆�!

∆�� ∙ℎ�ℎ − ∆��

2! ∆�!∆�� ∙

ℎ�ℎ − ∆��ℎ − 2∆��3! ⋯

Si ∆� es infinitamente pequeño, es decir, si ∆� tiende a cero, entonces:


60

ABA# se convierte en

&B&#, así mismo

∆(B∆#( se convierte en

&(B&#(,… y así sucesivamente

Por lo tanto tenemos que:

!�� ℎ� � ! 6!6� ℎ 6�!

6�� ∙ℎ�2!

6�!6�� ∙

ℎ�3! ⋯

Así, con la notación actual introducida por Lagrange tenemos:

�� ℎ� � �� ℎ �� ℎ�2! �� ℎ�3! ⋯

Nociones y estrategias variacionales:

Predicción, Diferencia finita de variables y Reconocimiento de patrones.

Significado:

La Serie de Taylor es un desarrollo binomial obtenido a partir de la diferenciación finita de

variables, que al reconocer el patrón establecido se obtiene la expresión:

! /∆! ��FG�∆(B� ��FG��F��∆HB

�∙� ⋯ la cuál es útil para predecir valores desconocidos.

Modelo:

El modelo de regularidad binomial está presente en este tipo de argumento, pues se

caracteriza por percibir y utilizar una regularidad en los desarrollos binomiales y centra su

atención en su semejanza operativa con los números y magnitudes variables.

Argumento numérico

Generalmente, se deja rezagado el argumento de corte numérico, pero este tipo de

argumentaciones puede llevar al estudiante a visualizar la aproximación de la suma de

polinomios a través de números concretos, es decir, sin la complejidad o abstracción de lo

analítico del cálculo.


61

Veamos un ejemplo para aproximar la función �� 3� 4 por medio de la suma de

polinomios de Taylor. La aproximación será en el punto � � 0, se presentará la gráfica de

�� y sus aproximaciones sucesivamente:

Llamemos J�� a la función que se construirá como aproximación de ��. La primera

aproximación será con la imagen de � � 0, entonces J�� 0� � 4.

Imagen 4.6-Aproximación a �� con el polinomio J�� 4

Ahora, para realizar una aproximación más cercana añadiremos (sumaremos gráfica y

analíticamente) a J�� una recta, pero no cualquier recta sino de la forma ! � �� donde �

será igual a la imagen de la derivada de �� en el mismo punto:

�� 2� 3

�′�0� � 3

Entonces la nueva aproximación será J�� 0� ��0��, es decir, J�� 4 3�


62

Imagen 4.7- Aproximación a �� con el polinomio J�� 4 3�

Aumentaremos un polinomio más a J��. Éste se construirá de forma similar, sumemos a

J�� un polinomio de grado dos de la forma ! � �� donde � será la imagen de la segunda

derivada de �� en el punto � � 0.

�� 2

��0� � 2

Por tanto, la nueva aproximación será J�� 0� ��0�� 0�� es decir,

J�� 4 3� 2��

Imagen 4.8- Aproximación a �� con el polinomio J�� 4 3� 2��


63

Como se observa, si en J�� se divide el coeficiente del término cuadrático entre dos

obtendremos J�� 4 3� �� y esta función es la aproximación más fidedigna de ��. Otro aspecto importante es el comportamiento que adquiere la gráfica de la aproximación

con forme se aumentan los polinomios, ésta se asemeja cada vez más a la función original

hasta ser confundida con ella.

A continuación se presenta todo el proceso de aproximación, nótese que �� J��.

Imagen 4.9- Proceso de aproximación a través de polinomios

La función �� 0� ��0�� )LL�7�#(� es el polinomio de Taylor de grado dos en � � 0

de la serie:

�� − �� − ��2! ��′�� − ��

3! ⋯

Incluso empleando la expresión general:

�� -

Si evaluamos en cero a las funciones ��, �� ! ��

��0� � -

�′�0� � �


64

�′′�0� � 2�

Y sustituimos los coeficientes en ��

�� 0� ��0�� 0��2

Obtenemos también el polinomio de Taylor de grado dos de la Serie.

En este ejemplo se aprecia una especie de tabulación con funciones motivo por el cual lo

consideramos como argumento numérico.

Ahora, presentamos un ejemplo en el que se aprecia la aproximación de la función sen � por

medio del aumento sucesivo de polinomios, pero ahora evaluados con integrales en el

intervalo P , QR. De esta manera, se aprecia la aproximación numéricamente hacia el valor

que converge la integral de la función seno en ese intervalo.

Tomemos la función sen � y desarrollémosla en Serie de Taylor:

sen � � � − ��3!

�S5! −

�U7!

�W9! −⋯

A continuación integremos de forma definida en ambos lados de la igualdad, en el intervalo

P , QR

Y sen �Z7

6� � Y ;� − ��3!

�S5! −

�U7!

�W9! − ⋯=Z

76�

Integrando término a término se tiene:

Y sen �Z7

6� � ��2 − �[

4 ∙ 3! �\

6 ∙ 5! −�^

8 ∙ 7! �G7

10 ∙ 9! − ⋯ `Q0a

Obsérvese en la tabla siguiente que a medida que se toman cada vez más términos del

polinomio las soluciones se aproximan a 2.


65

Polinomio Aproximación

bc � 899 `dea

4.9348

b9 � 899 − 8f

f ∙ :! `dea

0.8760

b: � 899 − 8f

f ∙ :! 8g

g ∙ h! `dea

2.2112

bf � 899 − 8f

f ∙ :! 8g

g ∙ h! −8i

i ∙ j! `dea

1.9758

bh � 899 − 8f

f ∙ :! 8g

g ∙ h! −8i

i ∙ j! 8cece ∙ k! `

dea

2.0016

Y lmn8de

o8 2.0000

Tabla 4.3- Aproximación numérica de la integral de Sen(x) en el intervalo (0,π)

La aproximación, es mucho más explícita con este tipo de argumento. El desarrollo de esta

idea variacional tiene cabida en la Serie de Taylor en su uso para aproximar funciones a

través de polinomios.

Nociones variacionales:

Variación y aproximación


La Serie de Taylor es una aproximación de funciones por medio de polinomios.

Modelo:


66

Modelo de aproximación polinomial, pues se caracteriza por reducir el cálculo de la función

al cálculo de polinomios, donde hemos construido una sucesión de éstos que converge a la

función determinada, o en este caso, convergen a 2.

Argumento analítico

El modelo de metamorfosis funcional se caracteriza por el hecho de transformar una función

en una expresión polinomial infinita, de tal modo que la noción de función se encuentra

estrechamente relacionada con la de fórmula analítica arbitraria. Con el argumento analítico

se aborda este modelo.

Sea p �′�,�6, � �� − ��#q . Reescribiendo se tiene:

�� Y �′�,�6,#q

Integrando p �′�,�6,#q por partes se tiene

r � ��,� 6� � 6,

6r � ��,�6, � � −�� − ,�

X representa una variable constante relativa a t, de modo que al derivar v tenemos dt.

La elección de ��,� � −�� − ,� en lugar de ��,� � ,, se debe a que ésta es la manera que da

el resultado para el cual se quiere llegar.

�� − �� − ,� `��a Y ��,�� − ,�6,#q

Integrando otra vez por partes se tiene:

r � ��,� 6� � �� − ,�6,

6r � ��,�6, � � − �� − ,��2


67

�� − �� − ��,�� − ,��2 `��a Y ��,� �� − ,��

2 6,#q

�� − �� − ��2 Y ��,� �� − ,��

2 6,#q

Siguiendo con el proceso se tiene:

�� − �� − ��2 ⋯Y ��sG��,� �� − ,��

/ 6,#q

El argumento que hemos descrito presenta el residuo de la Serie en su forma integral.

Noción variacional:

La variación y el cambio.


La Serie de Taylor es una función analítica en serie cuyos términos se componen de derivadas

sucesivas.

Modelo:

Modelo de metamorfosis funcional

Argumento físico

La aceleración de un cuerpo en caída libre se supone constante para cada lugar de la tierra ya

que esta varía relativamente poco de un punto a otro, considerando esta idea mostraremos

como es que la aceleración de una partícula que parte del cuerpo en reposo es diferente de

cero, para un tiempo ,7 dado, usando la Serie de Taylor.

Con dicha Serie se tiene que:

t�,� � t�,7� t��,7�, t��,7�2! ,�


68

t�,7� es la posición de la partícula, t′�,7� es la variación de la posición la cual se conoce como

la velocidad y el tercer término es la variación de la variación de la posición, es decir, es la

aceleración de la partícula.

Si t�,7� se toma como la posición inicial de la partícula, es decir t�,7� � 0 y como la partícula

parte del reposo se tendría que la velocidad es cero, por lo tanto t′�,7� � 0, entonces se

llega a que:

t�,� � t��,7�2! ,�

Lo cual muestra que la aceleración es en efecto diferente de cero.

La variación está presente en casi todos los argumentos presentados, sin embargo es en éste

que se hace más evidente esa idea, la cual es imprescindible para la comprensión de la Serie.

Nociones variacionales:

Variación y predicción.


La Serie de Taylor es una herramienta para predecir estados futuros conociendo el estado

inicial.

Modelo:

Modelo de evolución paramétrica, el cual descansa en la determinación de las leyes que

rigen el comportamiento del sistema, siempre que el estado inicial sea conocido.

En conclusión podemos decir, que al generar argumentos de presentación de la Serie de

Taylor se esperaría que el estudiante utilice nociones y estrategias variacionales, necesarias

para la construcción de significados sobre la Serie.

CAPÍTULO 5

ANÁLISIS A PRIORI

Y

EXPERIMENTACIÓN

Capítulo 5. Análisis a priori y experimentación

70

A N Á L I S I S A P R I O R I Y E X P E R I M E N T A C I Ó N

En el capítulo 4, se presentaron argumentos de la Serie de Taylor vinculados con algún

modelo de su analiticidad, propuestos por (Cantoral, 2001); también se enfatizó que cada

argumento y modelo tienen asociados diferentes significados de la Serie. En la tabla 5.1 se

sintetizan estos elementos, indicando en cada argumento: el modelo, práctica, noción o

estrategia variacional y significado que se espera desarrollen los estudiantes en el diseño

experimental sobre la Serie de Taylor.

Con el fin de identificar cuáles son las nociones y significados que los estudiantes construyen

sobre la Serie de Taylor, al interactuar con un instrumento tecnológico, se ha diseñado una

actividad experimental en la que se consideran tres modelos que involucran nociones y

estrategias variacionales básicas para la construcción de la Serie de Taylor, estos son: el

modelo de predicción paramétrica, el modelo de regularidad binomial y el modelo de

aproximación polinomial. Por tanto, se sugiere prestar especial atención en los argumentos

que involucran estos modelos.

ARGUMENTO MODELO NOCION O

ESTRATEGIA VARIACIONAL

SIGNIFICADO

Geométrico Predicción

paramétrica

Diferencia finita de variables,

Aproximación y Predicción

La Serie de Taylor es una aproximación por medio de tangentes hacia la imagen de un punto desconocido

Algebraico Regularidad

binomial

Predicción, Diferencia finita

de variables y Reconocimiento

de patrones

La Serie de Taylor es un desarrollo binomial obtenido a partir de la diferenciación finita de variables, que al reconocer el patrón establecido se obtiene la expresión:

! /∆! /�/ − 1�∆�!2 /�/ − 1��/ − 2�∆�!

2 ∙ 3 ⋯

Numérico Aproximación

polinomial

Variación, Comportamiento

gráfico y Aproximación

La Serie de Taylor es una aproximación de funciones por medio de una suma de polinomios.


71

Analítico Metamorfosis

funcional Variación

La Serie de Taylor es una función analítica en Serie compuesta de derivadas sucesivas

Físico Evolución

paramétrica Variación y Predicción

La Serie de Taylor es una herramienta para predecir estados futuros conociendo el estado inicial

Tabla 5.1- Síntesis de los argumentos de representación asociados a la Serie de Taylor.

En dicho diseño experimental, se consideró el uso de tecnología como un instrumento que

medie la actividad matemática del estudiante con la intención de analizar cuáles o qué tipos

de significados construyen en relación a la Serie; el instrumento al que nos referimos es la

calculadora gráfica Voyage 200. La razón de su elección se asocia con las funciones que ésta

contiene, en tanto sistema de cálculo simbólico (CAS).

Por ejemplo, en los ejercicios de la actividad experimental se requiere manejar el registro

numérico tabular, el editor de ecuaciones y el registro gráfico, lo cual es posible con las

aplicaciones CellSheet, Y=Editor y Graph, es decir, con la calculadora gráfica es posible

transitar fácilmente entre diferentes registros de representación, sin cambiar de software e

incluso permite visualizar dos ventanas en la misma pantalla (aplicación Split Screen). Por

otro lado, el práctico tamaño de este instrumento es propicio para permitir a los estudiantes

llevar consigo la calculadora y manipularla, con el fin de adquirir destreza en el manejo de la

misma.

Sin más preámbulos, se presenta a continuación el diseño experimental que permitirá

aprobar o refutar la hipótesis planteada, respecto a la factibilidad de generar argumentos y

nociones sobre un saber matemático, así como la intencionalidad de cada actividad.

5.1. Diseño experimental

El diseño consistió en dos actividades, cada una con las siguientes intenciones:


72

Actividad 1

• Instrumentalización: Reconocimiento de la calculadora graficadora, es decir, que los

estudiantes conozcan sus esquemas de uso, el menú y su ambiente para que dominen

el sistema simbólico, gráfico y numérico de la misma.

• Acercamiento a las nociones e ideas que son necesarias para comprender la Serie de

Taylor. Por ejemplo, la noción de derivada como razón de cambio y como pendiente

de la recta tangente a una curva, la operación gráfica de funciones y la variación de

parámetros de una función.

• Desarrollo de una estrategia variacional para la aproximación numérica, la cual es una

herramienta para la construcción de la Serie de Taylor.

Actividad 2

• Instrumentación: Mediación instrumental, es decir, la calculadora irá conduciendo al

estudiante a la apropiación de esquemas de acción instrumentada para aprovechar

de manera óptima las limitaciones o restricciones de la calculadora y resolver su

actividad de la mejor manera.

• Generar argumentaciones a través del uso de la calculadora con el fin de identificar

cuáles son los significados que los estudiantes construyen sobre la Serie.

5.1.1. Metodología de experimentación

Para la implementación de las actividades experimentales, se trabajó con un grupo de 6

jóvenes universitarios del cuarto semestre de la Licenciatura en Enseñanza de las

Matemáticas, de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán, con

edades entre 19 y 20 años y con tres cursos de cálculo aprobados.

Como ya se mencionó, la actividad 1 tiene como objetivo que los estudiantes adquieran

habilidad en el uso de la calculadora gráfica y así mismo, desarrollen ciertas nociones

necesarias para generar argumentos sobre la Serie en la actividad 2.


73

La experimentación se llevó a cabo en tres días no consecutivos en el periodo de dos

semanas. A cada estudiante se le entregó una calculadora Voyage 200 y se les permitió

conservarlas durante todo el periodo de experimentación.

En los dos primeros días se aplicó la actividad 1, en ésta se utilizó un View Screen para que

los estudiantes realizaran algunos pasos junto con el instructor para que aprendieran a

utilizar la calculadora y conocer su ambiente, pero se les solicitó que la resolvieran de forma

individual, aunque al final la actividad se discutió de manera grupal.

En el tercer día de experimentación, se aplicó la actividad 2, la cual se resolvió en pequeños

grupos, trabajando los estudiantes en dos tercias. Se hará referencia a cada estudiante como

E1, E2, E3, E4, E5 y E6; de modo que una tercia estaba conformada por E2, E3 y E4; la

segunda tercia conformada por E1, E5 y E6. Se les solicitó que primero trabajaran de manera

individual y posteriormente discutieran con su equipo sus procedimientos. Al final de la

sesión, se discutió de forma grupal los resultados obtenidos en cada ejercicio de la actividad.

Es importante mencionar que posterior a la puesta en escena del diseño experimental, se

entrevistaron a algunos estudiantes con el fin de que explicaran más a detalle ciertos pasos o

ideas que no eran explícitos en su procedimiento al realizar las actividades.


A continuación se describen las partes de la actividad 1, así como el propósito de cada una.

I. Derivada como razón de cambio

1. [Cohete] Al lanzar un pequeño cohete para observaciones meteorológicas se tomaron

mediciones de su posición con respecto al tiempo, desde que se lanzó hasta ocho segundos

después. Los datos recabados se presentan en la siguiente tabla:


74

Tiempo

(t)

segundos

Posición

(s)

metros

0 0 1 5.3125 2 6 3 4.1875 4 2 5 1.5625 6 5 7 14.4375 8 32

Tabla 5.2- Datos de la posición del cohete en función del tiempo.

i. Construye la gráfica de la función posición.

a. ¿En qué intervalo de tiempo el cohete recorre mayor distancia?

b. ¿En qué intervalo de tiempo el cohete tuvo un desplazamiento más rápido?

c. ¿Cuál es la posición en el segundo 9?

Propósito: En las preguntas i.a y i.b se pretende que los estudiantes centren la atención en la

variación de la posición en función del tiempo, para que observen el comportamiento de la gráfica

según su variación y se familiaricen con la lectura de la información, que la gráfica proporciona del

fenómeno.

El inciso i.c es el primer acercamiento a la práctica de predicción, se espera que logren contestar la

pregunta después de realizar el ejercicio ii. Se pretende que utilicen una estrategia para predecir el

valor solicitado en este inciso y en el iii.c, esta estrategia es la diferencia finita de variables continuas,

la cual será preciso desarrollar para poder resolver el ejercicio de la “Partícula” y de “Diferencias” que

se presentan en la actividad 2, cuyo fin es construir una expresión que ayude a predecir estados

posteriores, de tal suerte que esa expresión será la Serie de Taylor.

ii. Construye una tabla en la que registres lo siguiente:

a. Los incrementos de la variable tiempo (∆t)

b. Los incrementos de la variable posición (∆s)

c. Razón de cambio de la posición con respecto al tiempo u∆v∆wx


75

Propósito: Que los estudiantes pongan en práctica la estrategia de diferencias finitas de variables y

construyan la gráfica de la razón de cambio de la posición. Posteriormente, se pedirá a los estudiantes

que sigan realizando diferencias hasta llegar a una constante a fin de que adquieran elementos que le

permitan construir una estrategia (variacional) para aproximarse a un valor desconocido.

iii. Construye la gráfica de la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo.

a. ¿Qué concepto físico representaría la grafica que realizaste, con respecto a la grafica

de la función posición?

b. ¿En qué intervalo de tiempo el cohete cambia de dirección?

c. ¿Cuál es la velocidad inicial? Y ¿Cuál es la velocidad mínima que toma el cohete?

Propósito: En el inciso c, se pretende observar la estrategia que utilizarán para predecir valores

numéricamente, se espera que utilice la estrategia de diferencias en retroceso para predecir los

valores solicitados y, así mismo, responder la pregunta i.c.

En el inciso a, se pretende vincular la derivada con la razón de cambio de la posición y relacionar ésta

con un concepto físico de velocidad. En el inciso b, se espera que el estudiante analice la gráfica de la

velocidad e interprete su comportamiento.

iv. Si calculas nuevamente las razones de cambio de la función que representa la velocidad, ¿qué

concepto físico representa la nueva gráfica con respecto a la anterior?

Propósito: Las columnas generadas por las diferencias proporcionan las razones de cambio debido a

que la variación de las variables dependientes siempre es 1. La intención es que los estudiantes

relacionen las columnas de las diferencias finitas con las derivadas sucesivas.


76

II. Derivada como pendiente de una recta tangente

Nota: En este ejercicio no se requiere el uso de la calculadora.

A continuación se te presenta la gráfica de una función cúbica, bosqueja la gráfica de sus dos

derivadas consecutivas.

y�� y′��

1. Bosqueja la gráfica de la segunda derivada de la función y��

y′′��

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

0

1

2

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

0

1

2

x

y

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

0

1

2


77

Propósito: La Intención es que los estudiantes logren identificar el comportamiento de la primera

derivada de una función M(x), por medio de las pendientes de sus rectas tangentes, para ello se

proporciona la gráfica incompleta de la primer derivada de que. La idea inmersa es precisamente

tratar la noción de derivada gráficamente, identificar el comportamiento de la derivada de una

función observando la tendencia de sus pendientes.

III. Variación de parámetros

3. Considera la función ��

a. Grafica la función

i. �� ii. ��

iii. �� − -� Donde a, b y c son parámetros cuyo valor puedes variar. ¿Qué efecto provoca la

variación de cada parámetro en la gráfica de la función?

b. Determina la expresión analítica de las siguientes gráficas:

Propósito: Se pretende trabajar nuevamente con el comportamiento gráfico, ahora por medio de la

variación de parámetros de una función con la calculadora graficadora. La intención es que el

estudiante adquiera un significado geométrico de las operaciones algebraicas de una función, por

ejemplo, para poder construir la expresión analítica correspondiente a la gráfica de una función

requiere efectuar operaciones como multiplicar por una constante, restar un valor a su argumento y

sobre todo, observar su comportamiento tendencial. Esta práctica también servirá como herramienta

para resolver el ejercicio de los Polinomios de la actividad 2, mencionado anteriormente.

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4

-2

0

2

4

6

8

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-4

-2

0

2

4

6

8


78

IV. Operación gráfica de funciones

Nota: En este ejercicio no se requiere el uso de la calculadora

1. Analiza la suma de las funciones gráficamente

�� z�� ℎ�� z��

a. Realiza la siguiente suma de funciones:

�� z�� ℎ�� z��

2. Analiza el siguiente producto de funciones

�� z�� ℎ�� z��

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

0

5

10

15

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

0

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

0

5

x

y

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

0

2

4

6

x

y

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

0 2

4

6

8

x

y

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

0

2

4

6

x

y

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

0

2

4

6

8

x

y

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

0

2

4

6

x

y

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

0

2

4

6


79

a. Realiza el siguiente producto de funciones:

�� z�� ℎ�� z��

Propósito: La idea inmersa es operar funciones gráficamente, nuevamente como herramienta para

resolver el ejercicio “Polinomios” en la actividad 2.

Nota: Se ha nombrado entre corchetes algunos ejercicios de las actividades, con una palabra clave de

su contenido, para hacer referencia a éstos más adelante.


La actividad 2 se conforma por 3 ejercicios, se espera que realizando prácticas y estrategias

como la aproximación y la predicción, los estudiantes generen argumentos sobre la Serie de

Taylor.

A continuación se presenta la actividad 2 y debajo de cada ejercicio su intención:

1. [Partícula] Una partícula cambia de posición de manera inconstante, su posición varía con

respecto al tiempo, de manera que su comportamiento lo modela la función {�,� � √,. Así en el tiempo t=4 la partícula se encuentra a 2 unidades sobre el eje S(t), es decir S(4)=2.

La representación gráfica de la función de la posición S(t) de la partícula se presenta a

continuación:

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

0

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

0

5

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-5

0

5


80

a. Conociendo {�4� � 2 realiza una aproximación para predecir la posición de la partícula en

t=7.

Propósito: Se pretende observar la estrategia que utilizan para predecir un valor de forma gráfica

después de haber predicho numéricamente. En este momento se espera que generen el argumento

geométrico de presentación, exhibido en el capítulo 4, que muestra la estrategia de diferencias finitas

de manera geométrica. El modelo presente en este ejercicio es el de predicción paramétrica. Se

planea que de manera informal se induzca a la generalización del método que utilicen para predecir

este valor.

2. [Diferencias] Si ∆s denota la diferencia de s} − s}FG.

a. Completa los espacios vacíos y calcula tS

t7

∆t7

tG

∆�t7

∆tG

t�

∆[t7

∆�tG

∆�t�

∆t�

∆�t�

∆t[

b. Propón un método general para predecir valores a partir de un valor conocido

1 2 3 4 5 6 7 8 9

-2

0

2

s

t


81

Propósito: En este ejercicio no se pretende que utilicen la calculadora, se espera que se generalice y

formalice lo que se ha venido realizando en los últimos ejercicios: predicción de un valor próximo a

partir del conocimiento de un valor inicial.

En este ejercicio se contempla el modelo de regularidad binomial. Se espera que generen un

argumento numérico-algebraico.

3. [Polinomios] De los siguientes polinomios considera los que creas conveniente operar para

aproximarte gráficamente a la función �(�) = �� + 3�� − 2� + 1 en el punto � = 1. (Nota:

puedes sumar, multiplicar o dividir los polinomios entre si o bien, multiplicar por un escalar).

Propósito: Con este ejercicio se pretende que los estudiantes construyan una aproximación

polinomial en Serie de Taylor de la función dada, por medio de la manipulación deliberada de los

polinomios, es decir, por medio de la operación gráfica de los polinomios dados y escalares que los

estudiantes propongan. Entre los polinomios propuestas se encuentran las derivadas sucesivas de la

función, pero esto no se hace explicito a los estudiantes, ya que se espera que ellos identifiquen esa

relación. En este ejercicio se considera que los estudiantes generarán un argumento gráfico-

algebraico de justificación; el modelo de la analiticidad de la Serie inmerso en este ejercicio es el de

aproximación polinomial. La función que debe obtenerse a través de la Serie de Taylor es f(x) =

f(1) + f �(1)(x − 1) + �LL(G)(�FG)(

� + �LLL(G)(�FG)H

\ . Se espera que los estudiantes pongan en juego las

ideas inmersas en la construcción de la Serie, como por ejemplo la suma deliberada de polinomios, el

comportamiento gráfico y la aproximación, para que atribuyan un significado geométrico a la Serie.

3

(� − 1)�

(� − 1) 6� + 6 (� − 1)

3�� + 6� − 2 6


82

5.2. Acciones de instrumentación

Para conocer que el estudiante esta instrumentalizando o instrumentando, hemos realizado

un listado de las acciones que nos permitirá observar el estado de esta dualidad:

Instrumentalización

• Exploración y manejo del menú principal de la calculadora: en el menú principal se

encuentran los iconos de las aplicaciones contenidas en la calculadora. Si el

estudiante explora cada aplicación, podrá reconocer las herramientas informáticas

que contiene la calculadora para su que hacer matemático y acudir a ellas en cuanto

vea la necesidad. Por ejemplo, las aplicaciones que se necesitarán en las actividades

son CellSheet, Editor Y=, Principal y Gráficos.

• Exploración y manejo de las funciones de cada aplicación: cada aplicación contiene

un menú con las funciones de la misma. Si el estudiante explora y conoce esas

funciones irá desarrollando los esquemas de uso de la calculadora.

Las acciones particulares que indicarán que el estudiante está instrumentalizando al resolver

las actividades son:

• Graficar datos de la tabla de la posición (aplicaciones CellSheet y Gráficos)

• Calcular diferencias entre valores de datos (aplicación CellSheet)

• Variar los parámetros de una función y graficar las funciones resultantes (aplicación

Principal o Editor Y=)

• Realizar cálculos de aproximación hacia √7

• Graficar expresiones para aproximarse a una función

Instrumentación

• Predecir estados anteriores o posteriores utilizando el método de diferencias finitas.

• Interpretar el comportamiento de la gráfica de la posición y velocidad para

determinar la dirección del cohete.


83

• Aproximarse al valor de √7 empleando un método geométrico.

• Construir una expresión general en términos de diferencias para predecir estados

posteriores.

• Aproximar una función f(x) en un punto dado por medio de la suma y productos de

polinomios.

Argumentación de la Serie de Taylor

Se espera que con el diseño experimental se generen argumentos sobre la Serie de Taylor. La

intención es que en cada ejercicio se trabajen los siguientes:

• Ejercicio del Cohete: Argumento numérico y físico

• Ejercicio de la Partícula: Argumento geométrico-numérico

• Ejercicio de las Diferencias: Argumento algebraico-numérico

• Ejercicio de los Polinomios: Argumento algebraico-gráfico

CAPÍTULO 6

ANÁLISIS A POSTERIORI

Capítulo 6. Análisis a posteriori

85

A N Á L I S I S A P O S T E R I O R I

En este capítulo se presentan los resultados obtenidos al poner en escena el diseño

experimental y, así mismo, su interpretación al contrastarlo con lo que se esperaba obtener,

descrito en el análisis a priori.

De los resultados obtenidos hemos rescatado dos elementos importantes:

1) El lenguaje variacional que los estudiantes utilizaron

2) Los argumentos generados asociados a la serie de Taylor

6.1. Lenguaje variacional

Tal como se pretendía, la actividad 1 fue un entrenamiento para los estudiantes en el manejo

de la calculadora. Las ideas que se discutieron fueron las siguientes:

• Se trabajó con la derivada como razón de cambio en un contexto físico, por ejemplo

E3 argumentó por qué con la derivada de la función posición se obtiene la velocidad.

• Algunos estudiantes descubrieron y utilizaron la estrategia de diferencias finitas para

aproximar y predecir valores desconocidos a partir de uno conocido.

• Se discutió sobre el efecto que ocasiona variar los parámetros de funciones en sus

respectivas gráficas.

• E1 comentó que en la operación grafica de funciones lo que se opera son las

imágenes de x, sin embargo, E3 lo resolvió de otra manera: primero realizó una

aproximación con otra función intentando encontrar la expresión de las funciones

gráficas, después las operó analíticamente y finalmente graficó la que solicitaba el

ejercicio.

La actividad 2 fue diseñada con el fin de que los estudiantes generaran distintos tipos de

argumentos sobre la serie de Taylor al resolver los ejercicios. Con respecto a las prácticas,


86

nociones y estrategias variacionales que pusieron en juego los estudiantes se obtuvieron los

siguientes resultados:

• Noción de variación. Se observó esta noción cuando interpretaron la información de

las gráficas, al mirar los cambios de la posición con respecto al tiempo.

Por ejemplo en el ejercicio del Cohete, E2 muestra con la gráfica que en el intervalo

de tiempo (7,8) el cohete tuvo un desplazamiento más rápido debido a que hay

mayor variación.

Imagen 6.1- Evidencia de la noción de variación interpretando el comportamiento de la gráfica.

Otra evidencia de esta noción se presenta en el inciso donde se cuestiona en qué

intervalo de tiempo el cohete cambia de dirección, ya que se ocasionó la siguiente

discusión:

Instructor: ¿En qué intervalo de tiempo el cohete cambia de dirección?

E2: De 2 a 5 porque el cohete sube y luego baja, porque supuestamente cuando está

subiendo va en una dirección y cuando baja esa dirección cambia.

E3: ¿A qué se refieren con que “el cohete cambia de dirección”? Porque según yo, el

cohete todo el tiempo cambia de dirección ya que no estamos hablando de una recta

sino una curva. Porque lo que estamos midiendo es la posición con respecto al tiempo

y si constantemente cambia de posición entonces cambia de dirección.

E2: Ah! Ya entendí tu punto. Como la gráfica no es constante, oscila mucho, entonces

en cada intervalo de tiempo tiene cierta dirección, entonces cada que varía el tiempo

cambia de dirección.

Instructor: Entonces ¿en qué caso la respuesta sería de 2 a 5? ¿qué entendieron E1 y

E2 con “cambio de dirección” para responder (2,5) y no (1,9)?

E6: Como que fue un cambio repentino o brusco


87

El conflicto de E3 ocurre porque no está mirando la dirección como un “sentido

definido” (Norte-sur, Este-Oeste) sino como la inclinación de las pendientes de las

rectas tangentes a la curva, es por esta idea que E3 argumenta que la dirección

cambia constantemente, esta es una evidencia de la presencia de la noción de

variación y del uso de un lenguaje variacional.

• Práctica de predicción. Esta práctica fue observada al tratar de aproximarse a una

posición desconocida en los ejercicios del Cohete, Partícula y Diferencias.

Por ejemplo para predecir la posición del cohete en t=9, E2 comentó lo siguiente:

E2: Podemos hacer como una formulita, como son diferencias entonces x número

menos el último número da 2.25 y luego ir regresando.

Imagen 6.4- Predicción de la posición del Cohete en el tiempo t=9 utilizando la estrategia de diferencias finitas hacia atrás.

E2 denotó con x cada valor que debía estimar para poder llegar a predecir la posición

en el segundo 9. Utilizó las diferencias que ya había realizado en su calculadora y se

dispuso a ejecutar el proceso inverso de las diferencias, es decir:

Como � − 8.125 = 2.125 entonces � = 2.125 + 8.125 = 10.3

Luego, como � − 17.563 = 10.3 entonces � = 10.3 + 17.563 = 27.863

E2 no se molestó en hacer distinción entre los diferentes valores y nombró con una x

a todas sus incógnitas, pese a ello, no ocurrió ninguna confusión al momento de

realizar sus cálculos, y finalmente:

Como � − 32 = 27.863

Así, E2 concluye que la posición del cohete en t=9 es 59.863, ésta fue su predicción.

E1, por su parte, utilizó el teorema del valor medio

partícula en t=7, con la expresión

que conociendo �(4)procedimiento.

Como la trayectoria de la partícula sigue a la función

E1 denotó con a al valor de tiempo cuya posición si conocía, es decir

2, también denotó con

aquí se obtiene que

fórmula:

Ya que t�7� es el valor que E1 desea predecir, realiza un despeje, d

t�7� � 3 u G�√Ux + 2 �

exacto.


863 entonces � = 27.863 + 32 = 59.863


utilizó el teorema del valor medio para predecir la posición de la

con la expresión ��(�) = )(�)F)(q)�Fq . La instrucción del ejercicio era

( ) = 2 prediga la posición en t=7. La imagen 6.5 muestra su

Imagen 6.5- Predicción de la posición de la Partícula en el

tiempo t=7 utilizando el teorema del valor medio.

Como la trayectoria de la partícula sigue a la función t(,) = √, entonces

al valor de tiempo cuya posición si conocía, es decir

, también denotó con b al valor que deseaba predecir, o sea, � =aquí se obtiene que � − � = 3, por tanto sustituyendo todos los valores en la

12√, = t(7) − 2

3

es el valor que E1 desea predecir, realiza un despeje, d

2.567 lo cual difiere aproximadamente en 0.079 d


88


para predecir la posición de la

. La instrucción del ejercicio era

prediga la posición en t=7. La imagen 6.5 muestra su

entonces t�(,) = G�√w.

al valor de tiempo cuya posición si conocía, es decir � = 4 ! �� 7 ! �� ?. De

, por tanto sustituyendo todos los valores en la

es el valor que E1 desea predecir, realiza un despeje, de manera que

lo cual difiere aproximadamente en 0.079 del valor


89

Cuando E1 explicó su método comentó lo siguiente:

E1: Yo hice trampa, lo que hice al principio fue derivar la función y sustituí el valor de 7

en t.

A lo que E1 se refiere es que sustituyó con t=7 en G

�√w, en realidad no es trampa sino

un error, E1 debió sustituir con el valor t=4 y se puede observar claramente en la otra

versión de la fórmula de derivada:

�� ℎ� − ��ℎ

En este caso � � 4 ! ℎ � 3, entonces:

��(4) = �(4 + 3) − �(4)3

Así, �(7) = 3��(4) + �(4) = 2.75

No obstante omitiendo ese pequeño error, es importante enfatizar las nociones que

E1 implicó en la resolución de este ejercicio, se observa la noción de derivada como

pendiente de una recta tangente a una curva, la noción de aproximación y la práctica

de predicción, eso sin mencionar que casi comienza a construir la serie de Taylor con

este argumento, lo cual se discutirá más adelante.

• Estrategia de diferenciación finita de variables. Esta estrategia fue utilizada para

obtener los valores de las razones de cambio de la función posición del cohete y para

predecir estados anteriores y posteriores en los ejercicios Cohete, Partícula y

Diferencias.

Por ejemplo, en el ejercicio del Cohete se solicitaba al estudiante estimar la posición

de éste en el tiempo t=9, la tabla proporcionaba valores en el intervalo de tiempo

(0,8) por lo que el estudiante se veía en la necesidad de predecir. La imagen 6.2

muestra el desarrollo de la estrategia de diferencias finitas realizada por E2 y la

imagen 6.4 muestra su predicción utilizando esta estrategia hacia atrás.


90

Imagen 6.2- Estrategia de diferencias finitas utilizada para predecir la posición del cohete en el tiempo t=9

Imagen 6.3- Estrategia de diferencias finitas empleada para predecir la posición de la partícula en el tiempo t=7

Por otro lado, en la imagen 6.3 se observa la estrategia finita de variables empleada

por E4 para tratar de predecir la posición en el tiempo t=7 en el ejercicio de la

Partícula. Obsérvese que en la columna A el estudiante E4 ordenó los valores de la

posición de la partícula en el intervalo de tiempo de 0 a 5 con el fin de llegar a una

constante por medio de las diferencias. Ésta estrategia también la adoptó E2 para

resolver al mismo ejercicio, sin embargo se dan cuenta de que al tratarse de una

función irracional, es decir, que no es polinomial se detienen y consideran utilizar otra

estrategia.

• Aproximación. La noción de aproximación estuvo en juego casi en todo momento de

la actividad, como una práctica y como una estrategia. Se observa como práctica

siempre que antecede, o bien, media la predicción (por ejemplo, en el ejercicio de la

Partícula, imagen 6.6) y se observa como estrategia cuando se trata de igualar un

comportamiento (por ejemplo en el ejercicio de los Polinomios, imagen 6.7).

Imagen 6.6- Aproximación al valor √7 para predecir la posición de la Partícula en el tiempo t=7.

Imagen 6.7- Aproximación de una función gráficamente.


91

• Tránsito entre registros de representación. Estrategia observada al resolver los

ejercicios de las actividades, constantemente transitaban entre el registro numérico,

gráfico y algebraico.

Por ejemplo, en el ejercicio del Cohete se aprecia el empleo de una representación

numérica y gráfica:

Imagen 6.8- Registros de representación utilizados al resolver el ejercicio del Cohete.

La imagen 6.8 de la izquierda muestra la posición del cohete (columna B) con

respecto del tiempo (columna A) y las diferencias finitas ∆tG, ∆t�, ∆t� (columna C, D, E

respectivamente) que a su vez cada una de estas tres últimas columnas describe la

razón de cambio de la posición para este caso en que ∆, = 1. Por tanto, en la imagen

de la derecha se exhibe la función posición y su primera razón de cambio, es decir, la

velocidad del cohete.

La integración de estos dos registros se observó durante la discusión grupal para

describir el movimiento del cohete en la que los estudiantes relacionaron cada razón

de cambio con un concepto físico haciendo referencia a su gráfica.

En el ejercicio de los Polinomios se observa el registro algebraico y gráfico:


92

Imagen 6.9- Registros de representación utilizados al resolver el ejercicio de los Polinomios

El ejercicio consiste en construir una función polinomial con el fin de aproximarse

gráficamente a la función �(�) = �� + 3�� − 2� + 1. A medida que observaban el

comportamiento de la gráfica, los estudiantes variaban parámetros o modificaban las

expresiones que utilizaban hasta aproximar gráficamente la función �(�) con una

función polinomial que cada estudiante construía. En la imagen 6.9 (derecha inferior),

se observa la aproximación exitosa de E5, es decir, con la expresión marcada en negro

del registro algebraico E5 logró aproximar exactamente la función solicitada.

Inclusive en las hojas de trabajo se aprecia la integración de tres registros de

representación para resolver el ejercicio de los Polinomios:


93

Imagen 6.10- Evidencia del uso de diferentes registros de representación (I Algebraico, II Numérico y III Gráfico) en el ejercicio de los polinomios.

E2 combinaba polinomios de los proporcionados en el ejercicio de forma algebraica a

su vez operaba las expresiones de forma numérica y bosquejaba las graficas de

ciertos polinomios que obtenía.

• Reconocimiento de patrones. Esta estrategia se aprecia en el ejercicio de las

Diferencias, en la cual tenían que identificar cierto patrón entre los exponentes de las

deltas y los subíndices de las variables para poder completar los espacios vacíos y

construir la predicción de la posición tS.

I

II

III

Imagen 6.11en la generación del argumento algebraico de la Serie.

En la imagen 6.11 se aprecia que el estudiante E2, al identificar el patrón que seguían

las diferencias, utilizó el proceso inverso para construir la expresión que le ayu

predecir la posición tS

6.2. Argumentación de la serie de Taylor

Los argumentos asociados a la serie de Taylor, generados por los estudiantes,

siguientes:

• Argumento geométrico

Aprovechando el espacio de la entrevista, real

se le solicito a dos estudiantes (E1 y E4) que efectuaran las siguientes actividades:

Al estudiante E1 se le pidió que representara en la gráfica (proporcionada en una hoja

impresa, imagen 6.12) el método que llevó a

Partícula en el tiempo t=7, esto es porque al efectuarlo en el pintarrón no se distingue

claramente su desarrollo.


Imagen 6.11- Reconocimiento de un patrón en la generación del argumento algebraico de la Serie.


las diferencias, utilizó el proceso inverso para construir la expresión que le ayu

S.

Argumentación de la serie de Taylor

Los argumentos asociados a la serie de Taylor, generados por los estudiantes,

Argumento geométrico-numérico:

Aprovechando el espacio de la entrevista, realizada posterior a la puesta en escena,



impresa, imagen 6.12) el método que llevó a cabo para predecir la posición de la


claramente su desarrollo.


94


las diferencias, utilizó el proceso inverso para construir la expresión que le ayudaría a

Los argumentos asociados a la serie de Taylor, generados por los estudiantes, fueron los

izada posterior a la puesta en escena,



cabo para predecir la posición de la


Imagen 6.12-

E1 no obtuvo el desarrollo acertado

pasó al pintarrón durante la discusión del ejercicio de la Partícula,

argumento geométrico de la serie de Taylor

Imagen 6.13- Argumento geométrico de la serie de Taylor generado por E1

Al estudiante E4 se le entregó una copia de la misma hoja pero se le pidió que

intentara representar geométricamente el método de diferencias finitas que se ha

venido utilizando en los ejercicios, el resultado fue que logró construir el argumento

geométrico de presentació


- Gráfica proporcionada para reconstruir el argumento generado en el

ejercicio de la Partícula

obtuvo el desarrollo acertado en esta segunda ocasión, sin embargo cuando

pasó al pintarrón durante la discusión del ejercicio de la Partícula,

geométrico de la serie de Taylor tanto de manera visual como discursiva.

Argumento geométrico de la serie de Taylor generado por E1

se le entregó una copia de la misma hoja pero se le pidió que



geométrico de presentación de la serie de Taylor el cual se observa en la imagen 6.14


95

proporcionada para reconstruir el argumento generado en el

en esta segunda ocasión, sin embargo cuando

pasó al pintarrón durante la discusión del ejercicio de la Partícula, generó el

tanto de manera visual como discursiva.

se le entregó una copia de la misma hoja pero se le pidió que



ual se observa en la imagen 6.14.


96

Imagen 6.14 Argumento geométrico de la serie de Taylor generado por E4

Según el desarrollo de E4 la imagen de �� en términos de la primera diferencia de

variables es:

�� = !7 + ∆!7 + ∆!G + ∆!�

Siendo !7 el valor inicial conocido.

Lo cual es correcto pues la interpretación de la expresión anterior es que a la altura

conocida se le suman los incrementos que la variable y va teniendo hasta llegar a !�.

Procedamos a expresar �� de otra forma. Por la construcción de E4 tenemos que:

�� = !7 + ∆!7 + ∆!G + ∆!�

Pero observando la gráfica podemos decir que:

!G = !7 + ∆!7

Entonces:

∆!G = ∆(!7 + ∆!7) = ∆!7 + ∆�!7 (1)

Análogamente, observando en la gráfica podemos expresar !�como:

!� = !7 + ∆!7 + ∆!G = !7 + 2∆!7 + ∆�!7

Entonces:

∆!� = ∆(Por tanto sustituyendo (1) y (2) en la construcción de E4 tenemos:

�� = !7

Esta expresión a la que hemos llegado es muy similar al desarrollo de diferencias

finitas de Euler presentado en el capítulo 4, si se prolonga este procedimiento,

digamos hasta n, obtendremos el binomio de Newton y finalmente la serie de Taylor.

• Argumento algebraico

Durante la resolución del ejercicio de las Diferencias, E2 utilizó el método que

propuso en la actividad del Cohete para predecir valores, esto es el método de

diferencias finitas hacia atrás, en la imagen se aprecia dicho desarroll

Imagen 6.15

La expresión que obtuvo E2 es la siguiente:

tS


(!7 + 2∆!7 + ∆�!7) = ∆!7 + 2∆�!7 + ∆�!7

Por tanto sustituyendo (1) y (2) en la construcción de E4 tenemos:

7 + ∆!7 + (∆!7 + ∆�!7) + (∆!7 + 2∆�!7 + ∆�!�� = !7 + 3∆!7 + 3∆�!7 + ∆�!7


presentado en el capítulo 4, si se prolonga este procedimiento,

, obtendremos el binomio de Newton y finalmente la serie de Taylor.

o algebraico-numérico:



diferencias finitas hacia atrás, en la imagen se aprecia dicho desarroll

Imagen 6.15- Argumento algebraico-numérico

generado por E2

La expresión que obtuvo E2 es la siguiente:

S = t[ + ∆t� + ∆�t� + ∆�tG + ∆[t7 + ∆St7


97

(2)

!7)


presentado en el capítulo 4, si se prolonga este procedimiento,

, obtendremos el binomio de Newton y finalmente la serie de Taylor.



diferencias finitas hacia atrás, en la imagen se aprecia dicho desarrollo:


98

Procedamos a expresar tS en términos de t7 de la misma forma que se realizó en el

argumento geométrico. En este caso nos apoyaremos del siguiente arreglo:

t7

∆t7

tG

∆�t7

∆tG

∆�t7

t�

∆�tG

∆[t7

∆t�

∆�tG

∆St7

t�

∆�t�

∆[tG

∆t�

∆�t�

t[

∆�t�

∆t[

tS

De lo anterior podemos observar que:

tG = t7 + ∆t0

Entonces:

∆�tG = ∆�(t0 + ∆t7) = ∆�t0 + ∆[t7 (1)

Por otro lado, podemos observar que:

t� = tG + ∆tG = t0 + 2∆t7 + ∆�t�

Entonces:

∆�t� = ∆�t7 + 2∆�t7 + ∆[t7 (2)

Continuando este proceso obtendremos que:

∆t� = ∆t7 + 3∆�t7 + 3∆�t7 + ∆[t7 (3)

t[ = t0 + 4∆t0 + 6∆2t0 + 4∆3t0 + ∆4t0 (4)

Sustituyendo 1, 2, 3 y 4 en la expresión que E2 construyó, obtenemos:

tS = t0 + 5∆t0 + 10∆2t0 + 10∆3t0 + 5∆4t0 + ∆St7 (5)

Es bastante evidente el desarrollo binomial tanto en la última expresión como en las

anteriores. El resultado obtenido por E2 es una forma equivalente de la serie de

Taylor. Si extendiéramos este proceso, digamos hasta n obtendríamos el desarrollo


99

binomial de Newton y siguiendo el procedimiento presentado en el capítulo 4

obtendríamos finalmente la serie de Taylor.

Es importante observar cómo a través de estas argumentaciones generadas por los

estudiantes se justifica su conjetura o idea sobre cómo es posible aproximarse a un

punto o a la posición de una partícula conociendo un estado previo de su posición no

necesariamente el anterior inmediato. Estos argumentos no solamente representan

el significado de la Serie de Taylor sino también son argumentos de justificación para

el estudiante.

• Argumento algebraico-gráfico:

Este argumento fue generado en el ejercicio de los Polinomios, el cual consistía en

construir una función polinomial que se aproximara gráficamente a la función

�(�) = �� + 3�� − 2� + 1 en el punto �7 = 1. Se generaron dos tipos de resultados

concernientes a la noción de “aproximación” que cada estudiante concibió:

1. Aproximación puntual

Inicialmente se pretendía que la aproximación fuera global, no obstante algunos

estudiantes se dieron a la tarea de realizar una aproximación de la función

�(�) específicamente en el punto �7 � 1.

Por ejemplo, E3 realiza lo siguiente:


100

Imagen 6.16- Procedimiento de E3 al resolver el ejercicio de los Polinomios

E3 se da cuenta de que al sustituir 1 en f�x� obtiene 3, también al sumar 3 a (x-1)

y posteriormente evaluar en 1 vuelve a obtener 3, después se le ocurre sustituir 1

en f′�x� pero lo multiplica por el escalar ¼ para que de nuevo le de 3.

Sucesivamente todas las combinaciones que E3 realiza, las manipula para que de

cómo resultado 3. Expresándolo de otra forma se obtiene lo siguiente:

Suponiendo que �x − 1�� f��x� f�1� � 3 = fG(1) + 3 = f�(1) + 3 = f�(1) + 3 = 3

7 f �(1) = 14 f ��(1) = 1

2 f ��(1)

Esto da evidencia de una aproximación puntual, E3 construye varias expresiones

que se aproximan a f�x� exactamente en f�1�. Al graficar todas sus

construcciones, se percata de que todas se intersecan justo en x7 � 1


101

Imagen 6.17- Aproximación puntual realizada por E3

E2, por su parte, realiza lo siguiente:

Imagen 6.18- Procedimiento realizado por E2 al resolver el ejercicio de los Polinomios

E2 comienza combinando de forma algebraica los polinomios propuestos en el

ejercicio, los valores que marca con un recuadro en la parte superior derecha los

obtuvo evaluando x7 � 1 en algunos polinomios, sin darse cuenta de que ha

obtenido los escalares 3, 7, 12 y 6 que formarán parte del polinomio de Taylor


102

�� 3 + 7(� − 1) + G�(#FG)(

� + \(#FG)H

\ . Después de discutir con E3 sus ideas,

E2 se deja influenciar y termina realizando el mismo procedimiento que E3.

Imagen 6.19- Aproximación puntual realizada por E2

2. Aproximación global

Los estudiantes E1, E4, E5 y E6 realizaron una aproximación global, es decir,

intentaron construir una expresión polinomial cuya gráfica fuera casi la misma

que la gráfica de �(�) = �� + 3�� − 2� + 1.

Por ejemplo E1 realiza lo siguiente:

Imagen 6.20- Procedimiento de E1 al resolver el ejercicio de los Polinomios


103

E1 obtuvo la función polinomial J�G(�) = (3�� + 6� − 2) + (� − 1)� +3(� − 1)� − 5(� − 1) − 4

Imagen 6.21- Aproximación global realizada por E1

Nótese que la gráfica de la función que obtuvo es idéntica a la función que desea

aproximar, esto es porque al desarrollar su expresión se obtiene �(�) = �� +3�� − 2� + 1.

E4 y E5 realizaron lo siguiente:

Imagen 6.22- Procedimiento realizado por E4 para resolver el ejercicio de los Polinomios


104

Imagen 6.23- Procedimiento realizado por E5 para resolver el ejercicio de los Polinomios

Las expresiones:

J�[(�) = (� − 1)� + (3�� + 6� − 2) + 3(� − 1)� − S\ (6� + 6) + 2 y

J�S(�) = (� − 1)� + 6(� − 1)� + 7(� − 1) + �\ (6)

Construidas por E4 y E5 respectivamente son equivalentes a la función �(�).

Cualquiera pensaría que estos procesos fueron realizados “al tanteo”, sin embargo, en ellos

intervienen procesos cognitivos para construir con éxito la función correcta y junto con la

integración tecnológica el estudiante pudo realizar acciones y estrategias como la integración

de registros de representación algebraica, gráfica y numérica, la toma de decisiones sobre la

elección adecuada de los polinomios propuestos y de los escalares para alargar o comprimir

la gráfica según fuera conveniente, observar del efecto en el comportamiento de su gráfica y

regresar al registro gráfico para modificar parámetros hasta obtener la aproximación más

precisa. También interviene la operación gráfica de funciones y sobre todo, lograron

construir expresiones globalmente aproximadas a la función solicitada instrumentando la

calculadora gráfica e interactuando con el significado de aproximación polinomial sumergido

en la Serie.

6.3. Significados de la Serie de Taylor

Las ideas, nociones y significados que los estudiantes construyeron de la Serie de Taylor, se

observaron a través de sus argumentaciones.


105

Por ejemplo, en el argumento geométrico-numérico de representación y justificación de la

Serie de Taylor, trabajado en el ejercicio de la Partícula y del Cohete, los estudiantes lograron

construir que:

• La Serie es una herramienta de predicción a corto y largo alcance generada mediante

el aditamento del estado conocido más todos los incrementos o decrementos

(variaciones) de las variables en juego de estados posteriores o desconocidos

(aproximaciones).

• La Serie de Taylor es una herramienta de predicción, cuya aproximación de estados

(imágenes o alturas) se obtiene geométricamente por medio del triangulo formado

por la variación de las variables y un recta secante, es decir, utilizando el cociente del

teorema del valor medio.

Con el argumento algebraico-numérico de representación de la Serie de Taylor, trabajado en

el ejercicio de las Diferencias, los estudiantes construyeron lo siguiente:

• La Serie de Taylor es un patrón, una regularidad binomial obtenida también de la

adición de variaciones.

• Con la Serie de Taylor es posible predecir numéricamente estados vecinos siempre

que se conozcan todas las diferencias, es decir, que sean finitas.

Con el argumento algebraico-gráfico de justificación de la Serie de Taylor, generado en el

ejercicio de los Polinomios, los estudiantes pudieron construir que:

• Con la Serie de Taylor es posible aproximar funciones de manera puntual y global por

medio de la suma deliberada de polinomios.

• La Serie de Taylor es una función cuya gráfica representa una operación de funciones

de diferentes grados y comportamientos con una tendencia en común.

Así podemos decir que las argumentaciones fueron ricas en significados y estamos listos

considerar ciertos elementos para la resignificación de la Serie de Taylor a través de

Tecnología.

CAPÍTULO 7

CONCLUSIONES

Capítulo 7. Conclusiones

107

C O N C L U S I O N E S

Con el diseño experimental se pudo comprobar que es posible generar argumentos de

representación y justificación de la Serie de Taylor, mediante una actividad visual con

tecnología que propiciara la construcción de significados geométricos y conceptuales sobre la

Serie, con la intención de identificar elementos para su resignificación.

De los resultados obtenidos se reportaron las prácticas, nociones y estrategias variacionales

que los estudiantes pusieron en juego durante la realización de la actividad y los argumentos

generados, asociados a la Serie de Taylor al ser visualizada con una calculadora graficadora,

lo cual proporcionó elementos a considerar hacia su tratamiento y resignificación.

7.1. Elementos para la resignificación de la Serie de Taylor

En general se ha discutido que el desarrollo del PyLV tiene que estar sumergido en el

tratamiento de la Serie de Taylor para entender los significados de ésta. Con los resultados

obtenidos se observó lo importante que es poner en juego estrategias y nociones

variacionales tales como la diferencia finita de variables, la noción de variación,

aproximación, reconocimiento de patrones, tránsito entre registros de representación, entre

otras. Convenimos en que estos elementos deben ser considerados para la resignificación y

construcción de la Serie. No obstante hay elementos sobresalientes en los cuales debe girar

tal resignificación.

7.1.1 Predicción en situaciones de cambio y variación

La imposibilidad de controlar el tiempo a voluntad obliga a los grupos sociales a predecir, a

anticipar los eventos con cierta racionalidad (Cantoral y Cols., 2005). La necesidad de

predecir inmersa en las actividades propuestas sobre la Serie de Taylor llevó a los estudiantes

que participaron en la experimentación, a tener que desarrollar alguna estrategia o

procedimiento para aproximarse a la posición de un objeto en movimiento o al valor de una

función. Es por lo anterior que esta práctica en situaciones de variación y cambio debe estar


108

ligada a la práctica del estudiante. De aquí se desprende el primer elemento a considerar

para la resignificación de la Serie, enmarcar las actividades en un cuadro de predicción

continua, en el que la construcción matemática del estudiante gire en torno a esta práctica

con el implícito objetivo de construir una herramienta para aproximarse a un punto en una

curva o al valor de una ordenada: la Serie de Taylor.

Aunque la actividad 1 [Cohete] se preparó inicialmente para la instrumentalización de la

calculadora graficadora, también se consideró como parte de los ejercicios de construcción

de la Serie, debido a que sentaría las bases para la generación de una estrategia variacional

para el desarrollo de la Serie. Fue una experiencia bastante enriquecedora para los

estudiantes permitirles emplear sus estrategias para aproximarse a un valor desconocido,

por ejemplo las diferencias finitas de variables y la derivada, sin darse cuenta que estaban

trabajando nociones íntimamente asociadas a un instrumento de predicción.

Si bien se observó, en los ejercicios de la Partícula y las Diferencias no estuvo presente el uso

de tecnología y sin embargo se obtuvieron los resultados que esperábamos gracias al haber

interactuado previamente con nociones y estrategias variacionales a través de tecnología en

la actividad del Cohete. Este acercamiento predictivo de la Serie de Taylor propició la

construcción de varios significados de la Serie en de los argumentos generados por los

estudiantes.

7.1.2. Aproximación polinomial

La aproximación polinomial es otro elemento considerable para la resignificación de la Serie,

aunque en el ejercicio de los Polinomios los estudiantes obtuvieron expresiones equivalentes

a la forma analítica del polinomio de Taylor, cabe resaltar el proceso que emplearon para

resolverlo más que el resultado. Algunos estudiantes tuvieron confusión en lo que se quería

aproximar, nosotras pretendíamos que la aproximación fuera de manera global, pero dos

estudiantes procedieron a aproximar de forma puntual. No obstante, los resultados fueron

muy interesantes, pues todos los polinomios que combinaban tenían la semejanza de

intersecarse en el punto donde sería la aproximación. Lo anterior se puede lograr con la Serie


109

de Taylor numéricamente, esto nos da pauta para decir que dentro de los elementos a

considerar para la resignificación de la Serie debe prevalecer la aproximación global y

puntual de un valor utilizando la Serie de Taylor.

El uso de la tecnología en este ejercicio se hace vital para poder resolverlo, al hacer plausible

acciones como variar parámetros y mirar el comportamiento gráfico efectuado por tal

variación o sumar gráficamente polinomios.

7.1.3 Argumentación y tecnología

Propiciar la argumentación en los estudiantes sería el principal ingrediente para un nuevo

tratamiento didáctico de la Serie, no solamente porque nos consiente observar las

concepciones del estudiante, sino por ser un proceso cognitivo que permite construir

conocimiento y desarrollar el pensamiento matemático.

En este trabajo, el uso de la tecnología permitió a los estudiantes tener una visión global y

local (tanto cualitativa como cuantitativa) de las gráficas que utilizaban, también les permitió

transitar entre diferentes registros de representación, observar nociones como la variación y

el cambio, así como explorar opciones para su proceder y explicar sus hallazgos, o bien,

justificar sus procedimientos y afirmaciones.

Por ejemplo en el ejercicio del Cohete la tecnología jugó un papel importante no solamente

para visualizar las razones de cambio de cada concepto físico trabajado en el ejercicio, sino

que al instante de calcular las diferencias permitió a los estudiantes procesar mejor la

información con la que se estaba trabajando. Acciones como cambiar aplicaciones en el

menú sin modificar sus datos, el ir y venir entre las ventanas numérica y gráfica, y sobre todo,

transitar entre esas representaciones integrándolas en una misma, convirtió a la herramienta

tecnológica en un artefacto indispensable para efectuar la actividad, el cual jugó el papel de

instrumento tecnológico al permitir al estudiante emplear todas sus potencialidades para

construir cierto conocimiento matemático.


110

Gracias a los resultados obtenidos podemos decir que sí es posible generar argumentos de la

Serie de Taylor a través de tecnología, por ello se sugiere el uso de instrumentos tecnológicos

para su resignificación.

7.2. Recomendaciones para un tratamiento didáctico de la Serie de Taylor

Ahora bien, teniendo en cuenta las consideraciones antes expuestas es posible proponer un

tratamiento didáctico para la Serie de Taylor, como hincapié a continuar este trabajo. En

síntesis y como conclusión final se propone a grandes rasgos lo siguiente.

Podría considerarse integrar en un mismo ejercicio la tarea de predecir y aproximar

polinomialmente, esto es posible ya que en este caso, para predecir se requiere de la

aproximación. Por ejemplo, adecuar la actividad del Cohete centrada en la predicción de

forma gráfica-numérica y la aproximación de forma gráfica-polinomial, la razón de utilizar

este ejercicio es el contexto físico que le proporciona mayor significado a las nociones con las

que se trabaja, de igual manera en este contexto se puede trabajar de forma significativa con

derivadas sucesivas y razones de cambio. Al decir “gráfica-numérica” y “gráfica-polinomial”

nos referimos a integrar estos registros, al tiempo que se trabaja con lo numérico, como en el

caso de la predicción mediante la estrategia de diferencias finitas, pero en este caso

integrando esa predicción con el registro gráfico, y de manera similar con la aproximación

gráfica-polinomial como fue el caso del ejercicio de los polinomios.

Con estas ideas se espera contribuir a la resignificación de la Serie de Taylor; la tarea

siguiente sería idear la forma de conjugar en las actividades la formalización-teórica de la

Serie.

111

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