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24/08/2016
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Introdução
Márcio Júnior Nunes
Faculdade PitágorasUnidade Divinópolis
Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
O que é um Sinal? Sinal Unidimensional Sinal Multidimensional
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Nível de líquido
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Eletrocardiograma
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Pressão Arterial
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Índice Ibovespa
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
O que é um Sistema?
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Sistema Não existe um propósito único para um
sistema Sistema de reconhecimento automático
de locutor Sistema de comunicação Sistema de controle de velocidade de
motor elétrico
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Transdutor de temperatura
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
CLP
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Válvula de Controle
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Filtro Digital de Imagens
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Sinais de tempo contínuo x(t)Sinais de tempo discreto x[k]
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Sinais de tempo discreto x[k] Uniformemente espaçados Deriva do sinal de tempo contínuo através
de amostragem a taxa uniforme
x[n] = x(nT) , n = 0, ±1, ± 2 ...
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Sinais Pares Um sinal de tempo contínuo é um sinal par se
satisfaz:x(t) = x(-t), para todo t
Sinais pares são ditos simétricos em relação ao eixo vertical
Sinais de Ímpares Um sinal de tempo contínuo é um sinal ímpar se
satisfaz:x(-t) = -x(t), para todo t
Sinais ímpares são ditos antissimétricos em relação ao eixo vertical
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Decomposição par/ímpar de um sinal geral x(t)
x(t) = xp(t) + xi(t)Fazendo t = -t na expressão acima:
x(-t) = xp(-t) + xi(-t)Utilizando as definições de sinais pares e ímpares e resolvendo para xp e xi:
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
As definições de sinais pares/ímpares pressupõem que os sinais têm valores reais. Quando o sinal tem valor complexo, podemos falar em simetria conjugada:
x(-t) = x*(t)
x(t) = a(t)+ jb(t)x*(t) = a(t) – jb(t)Para que x(-t) = x*(t), a parte real deve ser par e a parte imaginária deve ser ímpar
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Exemplo: Decompor o sinal nas suas partes par e ímpar:
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Solução: Decompor o sinal nas suas partes par e ímpar:
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Sinais Periódicos
Contínuo: x(t) = x(t + T) para todo t,em que T é uma constante positiva
Discreto: x[n] = x[n + N] para todo n,sendo o período N dado em núm. de amostras
Se esta condição for satisfeita para T = T0, ela será também para T = 2T0, 3T0, ...
T0 é chamado período fundamental de x(t)
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Sinais Não Periódicos
Qualquer sinal para o qual não haja um valor de Tque satisfaça x(t) = x(t + T) para todo t, em queT é uma constante positiva
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Exercício: Determine a frequência fundamental e a frequência angular do sinal abaixo:
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Sinal DeterminísticoSua descrição física é completamente conhecida, seja na forma matemática ou na forma gráfica, não havendo incerteza quando ao seu valor em qualquer tempo.
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Sinal AleatóriosSinal cujos valores não podem ser preditos precisamente, mas são conhecidos por uma descrição probabilística (valor médio ou valor médio quadrático)
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Potência instantânea Sistemas Elétricos: A potência é proporcional à amplitude ao quadrado
do sinal Definimos então a POTÊNCIA INSTANTÂNEA em
termos de um resistor de 1 ohm
Baseando-se nessa convenção, definimos a ENERGIA TOTAL do sinal:
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Potência média ou potência Quando a amplitude do sinal não tende a 0 quando o
tempo tende a ∞, a energia do sinal é infinita
Neste caso, uma medida mais significativa é a potência média do sinal, definida por:
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Sinal de Energia ou Potência? Sinal de Energia sse a energia total do sinal
satisfazer:0 < E < ∞
Sinal de Potência sse a potência média do sinal satisfazer:
0 < P < ∞ As classificações de energia e potência são
mutuamente excludentes
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Exemplo: Calcule a energia total do primeiro sinal e a potência do segundo sinal
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Exercício
Lista de Exercícios 2.0
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Mudança de escala de amplitude x(t) é o sinal de tempo contínuo
y(t) = c x(t) c é o fator de escala y(t) é obtido multiplicando-se x(t) pelo escalar c O mesmo para sinais de tempo
discretoy[n] = c x[n]
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Adição x1(t) e x2(t) sinais de tempo contínuo O sinal y(t) formado pela adição é
y(t) = x1(t) + x2(t) De maneira semelhante
y[n] = x1[n] + x2[n]
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Multiplicação x1(t) e x2(t) sinais de tempo contínuo O sinal y(t) formado pela multiplicação é
y(t) = x1(t)x2(t) De maneira semelhante
y[n] = x1[n]x2[n]
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Diferenciação x(t) sinal de tempo contínuo O sinal y(t) formado pela diferenciação é
Integração x(t) sinal de tempo contínuo O sinal y(t) formado pela integração é
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Mudança de escala de tempo x(t) sinal de tempo contínuo O sinal y(t) obtido pela mudança de escala da variável
independente, tempo t, por um fator a é y(t) = x(at)
a > 1: y(t) é a compressão de x(t) 0 < a < 1: y(t) é a expansão de x(t)
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ExemploEx. 1: x(2t)? Ex.2: z(0.5t)?
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Exemplo - Solução1 - x(2t) 2 – z(0.5t)
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Mudança de escala de tempo x[n] sinal de tempo discreto O sinal y[k] obtido pela mudança de escala da variável
independente, n, por um fator k é y[n] = x[kn], k > 0 e somente k inteiro
Se k>1, alguns valores do sinal de tempo discreto y[k] são perdidos
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Exemplo k= 2
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Reflexão y(t) denota o sinal observado substituindo-se o tempo
t por –ty(t) = x(-t)
y(t) representa uma versão refletida de x(t) em relação ao eixo da amplitude Sinais pares: Como x(-t) = x(t), um sinal par é o mesmo
que sua versão refletida Sinais ímpares: Como x(-t) = -x(t), um sinal ímpar é o
negativo de sua versão refletida O mesmo se aplica aos sinais de tempo discreto
y[n] = x[-n]
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Exemplos
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Sinal Par Sinal Ímpar1) 2)
3)
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Deslocamento no tempo x(t) sinal de tempo contínuo. A versão de x(t)
deslocado no tempo é:y(t) = x(t – t0)
t0 é o deslocamento no tempo t0 > 0 → deslocamento para a direita (atraso) t0 < 0 → deslocamento para a esquerda (avanço) X[n] sinal de tempo discreto. A versão de x[n]
deslocado no tempo é:y[n] = x[n – m]
m deve ser um inteiro, positivo ou negativo
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Exemplo
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Exercício
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Regra de Precedência para Deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo Suponhamos que y(t) é um sinal contínuo derivado de
outro sinal contínuo x(t) por uma combinação de deslocamento e mudança de escala no tempo:
y(t) = x(at – b) Assim, temos as seguintes condições:
As operações têm uma ordem de execução
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Regra de Precedência para Deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo1. Executa-se o deslocamento de tempo em x(t),
gerando um sinal intermediário v(t)
2. Em seguida, a operação de mudança de escala é executada em v(t)
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Regra de Precedência para Deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo Supondo que, intencionalmente, não seguimos a
ordem de precedência, e executamos a mudança de escala e só então o deslocamento no tempo
Não satisfaz a equação
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Exercício Dado x(t) abaixo, encontre y(t) = x(2- t)
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Exercício
Lista de Exercícios 3.0
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
A lista de sinais elementares inclui: Sinais exponenciais Sinais Senoidais Função Degrau Função Impulso Função Rampa
Servem como blocos de construção para sinais mais complexos ...
... E para modelar sinais físicos que ocorrem na natureza
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
A lista de sinais elementares inclui: Sinais exponenciais Sinais Senoidais Função Degrau Função Impulso Função Rampa
Servem como blocos de construção para sinais mais complexos ...
... E para modelar sinais físicos que ocorrem na natureza
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Representação tempo contínuox(t) = B e at
B e a são parâmetros reais
B é a amplitude do sinal exponencial em t=0
O parâmetro a identifica dois casos Exponencial crescente para a > 0 Exponencial decrescente para a < 0
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Exemplo
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Representação tempo discretox[n] = B r n
B e r são parâmetros reais
B é a amplitude do sinal exponencial em n=0
O parâmetro r identifica quatro casos
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0 < r < 1 : Exponencial Decrescente r > 1: Exponencial Crescente
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-1 < r < 0 : Exponencial Decrescente (+, -) r < -1: Exponencial Crescente (+, -)
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Conforme vimos na revisão, têm a forma:x(t) = A cos(ωt + φ)
A -> Amplitudeω -> frequência em rad/sφ -> fase ou ângulo de fase
É um sinal periódico:
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
A versão de tempo discreto tem a forma:x[n] = A cos(Ωn + φ)
A -> AmplitudeΩ -> frequência em rad/sφ -> fase ou ângulo de fase
Para que um sinal discreto seja periódico:x[n] = x[n + N] para n inteirox[n] = A cos(Ωn + φ) = x[n + N] = A cos(Ωn + ΩN + φ) =
K = algum número inteiro
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Exemplos
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
No tempo contínuo, para toda frequência distinta temos um sinal distinto
No tempo discreto, os sinais com frequência Ω0 são idênticos aos sinais com frequência Ω0 + 2π, Ω0 + 4π, ... Etc
Ex: x(t) = cos(πt) e x[n] = cos[πn]
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
O sinal senoidal exponencialmente amortecido é resultado da multiplicação do sinal exponencial de tempo contínuo A sen(ωt + φ) pela exponencial e-αt:
Ex:
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
A versão de tempo discreto do sinal senoidal exponencialmente amortecido é:
Para que esse sinal decresça com o tempo, o parâmetro r deve estar na faixa 0 < |r| < 1
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Versão de tempo discreto u[n]
Versão de tempo contínuo u(t)
Diz-se que u(t) tem descontinuidade em t = 0, pois se modifica instantaneamente de 0 para 1
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Sinal particularmente simples de se aplicar.Ex:
Como sinal de teste, revela sobre a rapidez do sistema
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Pode ser usado para construir outras formas de ondas descontínuas. Exemplo
Para o pulso mostrado abaixo de amplitudeA e duração 1, expresse x(t) como umaúnica expressão
Se quisermos que um sinal comece em t=0 (valor nulo para t<0) , o que chamamos de sinal causal, basta multiplicá-lo por u(t)
Exemplo O sinal e-at representa uma exponencial com
duração infinita começando em t = -∞.Obtenha a forma causal dessa exponencial.
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Exercícios Um sinal de tempo discreto x[n] é descrito conforme abaixo.
Represente x[n] como a superposição de duas funções degrau u[n]
Descreva o sinal abaixo como função x(t) de uma única expressão
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Também chamada de Delta de Dirac Derivada da função degrau u(t) em relação ao tempo t No tempo discreto é descrita por δ[n] e definida como:
No tempo contínuo é descrita por δ(t) e definida pelo par:
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
A descrição gráfica do impulso δ[n] no tempo discreto é obtida diretamente
A descrição gráfica para o tempo contínuo pode ser vista como o limite de um pulso retangular de área unitária
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Propriedades da função Impulso δ(t) = δ(-t) ou seja, δ(t) é uma função par
, propriedade do peneiramento
, propriedade da mudança de escala de tempo
Prova:
e
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Assim como a função impulso δ(t) é a derivada da função degrau u(t) em relação ao tempo, pelo mesmo raciocínio, a função rampa com inclinação unitária é a integral da função degrau u(t)
É denotada por r(t) no tempo contínuo ou r[n] no tempo discreto Permite avaliar como um sistema reage a um sinal que cresce
linearmente Definida por
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Um sistema pode ser visto como a interconexão de operações O operador H global denota a ação do sistema (modelo matemático
ou função de transferência). Assim, a aplicação de um sinal de entrada x(t) na entrada produz um sinal de saída descrito por
y(t) = Hx(t) Exemplo: Um sistema discreto cuja saída y[n] é a média dos três
últimos valores da entrada x[n] é:
Se o operador Sk denota um sistema que desloca a entrada x[n] de k unidades de tempo produzindo a saída igual a x[n – k], conforme a figura abaixo, desenvolva um diagrama de blocos para o sistema de médias.
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Descrevem as características do operador H que representa o sistema
Estabilidade Um sistema é do tipo entrada limitada – saída limitada (BIBO –
Bounded Input/ Bounded Output) estável se e somente se toda entrada limitada resultar em uma saída limitada A saída não diverge se a entrada não divergir
Se |x(t)| ≤ Mx ≤ ∞ , então |y(t)| ≤ My ≤ ∞
Mx e My são números positivos finitos
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Sistema Instável
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Exemplos Mostre que o sistema abaixo é BIBO estável
Mostre que o sistema abaixo é instável para r > 1.
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Um sistema é linear se ele satisfaz o princípio da superposição: H a x[n] = a H x[n] = a y[n] H x1[n] + x2[n] = H x1[n] + H x2[n] = y1[n] + y2[n]
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Exemplo O sistema de tempo discreto abaixo é linear?
y[n] = n x[n]
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Exemplo O sistema de tempo contínuo abaixo é linear?
y(t) = x2(t)
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Um sistema é causal se o valor atual da saída depender somente dos valores presentes e/ou passados da entrada.
Exemplo:
Se o sinal de saída depender de valores futuros do sinal de entrada ele é não-causal
Se o sistema não-causal não for de tempo real, ele é realizável Exemplo:
Exercício: O sistema abaixo é causal ou não-causal para k positivo?
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Um sistema possui memória se sua saída depende de valores passados do sinal de entrada (ou sistema dinâmico).
Quanto mais longe se estendem no passado os valores de entrada, maior a memória do sistema.
Um sistema é sem memória se sua saída depende apenas do valor atual da entrada (ou sistema instantâneo).
Exemplo:
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Exercícios Quão longe a memória dos sistemas descritos abaixo se estende no passado?
A relação entrada-saída de um diodo semicondutor é dada abaixo, esse diodo tem memória?
v(t) é a tensão aplicadai(t) é a corrente através do diodoa0, a1, a2,... são constantes
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Um sistema é dito invariante no tempo se seus parâmetros não mudam com o tempo (permanecem constantes).
Assim, um retardo ou avanço de tempo no sinal de entrada leva a um deslocamento idêntico no sinal de saída
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Caso contrário, o sistema é dito variante no tempo
Exemplo O sistema abaixo é invariante no tempo?
y[n] = rn x[n]
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
ExercícioUm termistor tem uma resistência que varia com o tempo devido a mudanças de temperatura. Digamos que R(t) denote a resistência do termistor, expressa como uma função do tempo. Se x(t) é o sinal de entrada que representa a tensão no termistor, e y(t) é o sinal de saída que representa a corrente no termistor, podemos representar a relação entrada-saída como
Mostre que este sistema é variante no tempo.
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Um sistema é dito invertível se a entrada puder ser recuperada da saída do sistema
De maneira formal, a saída do segundo sistema é:H-1y(t) = H-1 Hx(t) = H-1 Hx(t)
Para que a saída se iguale a entrada, devemos ter H-1 H = I
sendo I o operador identidade Cada entrada possui uma única saída associada
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Márcio Nunes – Análise de Sinais e Sistemas
Exemplo: Mostre que o sistema descrito abaixo não é invertível.y(t) = x2(t)
Exercício: Considere o sistema de deslocamento no tempo descrito pela relação de entrada-saída
Em que o operador representa um deslocamento no tempo de t0segundos. Encontre o inverso deste sistema.
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