faculdade de engenharia da universidade do porto
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FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE DOPORTO
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotecnica e deComputadores
ANALISE MATEMATICA 1
EXERCICIOS
PARTE II
Maria do Rosario de Pinho e Maria Margarida FerreiraSetembro 2007
Indice
1 Integral Indefinido 3
2 Integral Definido 13
3 Equacoes Diferenciais 19
3.1 Equacoes diferenciais de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Equacoes Diferenciais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3 Outros exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Equacoes Diferenciais-Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Resolucao de alguns exercıcios da seccao anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Exercıcios genericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4 Transformada de Laplace 28
5 Sucessoes e Series Numericas 32
6 Aproximacao Polinomial e Series de Potencias 41
2
Capıtulo 1
Integral Indefinido
Tabela de Integrais Imediatos
1.∫
dx = x + K
2.∫
xndx =xn+1
n + 1+ K, n 6= −1
3.∫
1x
dx = ln |x|+ K
4.∫
exdx = ex + K
5.∫
axdx =ax
ln(a)+ K, a > 0 e a 6= 1
6.∫
1√1− x2
dx = arcsin(x) + K
7.∫
11 + x2
dx = arctan(x) + K
8.∫
sin(x)dx = − cos(x) + K
9.∫
cos(x)dx = sin(x) + K
10.∫
sec2(x)dx = tan(x) + K
11.∫
csc2(x)dx = − cot(x) + K
12.∫
sec(x)dx = ln | sec(x) + tan(x)|+ K
13.∫
csc(x)dx = ln | csc(x) + cot(x)|+ K
14.∫
unu′dx =un+1
n + 1+ K, n 6= −1
15.∫
1u
u′dx = ln |u|+ K
16.∫
euu′dx = eu + K
17.∫
auu′dx =au
ln(a)+ K
18.∫
1√1− u2
u′dx = arcsin(u) + K
19.∫
11 + u2
u′dx = arctan(u) + K
Tecnicas de Integracao
1. Integracao por Partes
(f · g)′ = f ′ · g + f · g′ logo f ′ · g = (f · g)′ − f · g′.
3
Capıtulo 1. Tecnicas de Integracao Page 4
Assim ∫f ′ · g dx =
∫(f · g)′ dx−
∫f · g′ dx
2. Mudanca de Variavel
Seja x = φ(t) uma funcao bijectiva e derivavel. Entao:∫f(x) dx =
∫f(φ(t)).φ′(t) dt
3. Algumas mudancas de variavel
Seja f uma funcao racional da forma f(x,√
a2 − b2x2). A mudanca de variavel normal-mente utilizada e:
x =a
bsin(t) ou x =
a
bcos(t)
Seja f uma funcao racional da forma f(x,√
a2 + b2x2). A mudanca de variavel normal-mente utilizada e:
x =a
btan(t) ou x =
a
bcot(t)
Seja f uma funcao racional da forma f(x,√
b2x2 − a2). A mudanca de variavel normal-mente utilizada e:
x =a
bsec(t) ou x =
a
bcsc(t)
Se R e uma funcao racional da forma R(arx, asx, · · · ) onde r, s, · · · sao numeros inteiros,faz-se a mudanca de variavel t = amx onde m = m.d.c.{r, s, · · · }.
4. Integrais envolvendo funcoes trigonometricas
(a) Seja R uma funcao racional da forma R(sin(x), cos(x)).
i. R(− sin(x), cos(x)) = −R(sin(x), cos(x)), fazer mudanca de variavel cos(x) = t.ii. R(sin(x),− cos(x)) = −R(sin(x), cos(x)), fazer mudanca de variavel sin(x) = t.iii. R(− sin(x),− cos(x)) = R(sin(x), cos(x)), fazer mudanca de variavel tan(x) = t.iv. Caso global (que engloba os precedentes), fazer mudanca de variavel tan(x/2) = t.
(b) Funcoes da forma sinm(u) cosp(u) quando:
i. m ou p inteiro positivo ımpar: seja m = 2k + 1. Entao
sin2k+1(u) cosp(u) = sin2k(u) sin(u) cosp(u)= (1− cos2(u))k sin(u) cosp(u)
Capıtulo 1. Tecnicas de Integracao Page 5
ii. m e p sao inteiros positivos pares: usar as formulas
sin2(u) = (1/2)(1− cos(2u))cos2(u) = (1/2)(1 + cos(2u))
sin(u) cos(u) = (1/2) sin(2u)
(c) Funcoes da forma tanm(u) ou cotm(u), com m inteiro positivo.Usar a formula:
1 + tan2(u) = sec2(u) ou 1 + cot2(u) = csc2(u)
(d) Funcoes da forma secm(u) ou cscm(u).i. m e inteiro positivo par.
Por em evidencia sec2(u) ou csc2(u) e passar para tan usando as formulas:
1 + tan2(u) = sec2(u) ou 1 + cot2(u) = csc2(u)
ii. m e inteiro positivo ımpar.Por em evidencia sec2(u) ou csc2(u), integrar por partes e considerar:
tan2(u) = sec2(u)− 1 ou cot2(u) = csc2(u)− 1
(e) Funcoes da forma tanm(u). secp(u) ou cotm(u). cscp(u).i. m e inteiro positivo par.
Como em (d)i.ii. m e inteiro positivo ımpar.
Transformar o produto de modo a obter sec(u). tan(u) ou csc(u). cot(u) e utilizaras formulas de (d)ii.
5. Integrais de funcoes racionais
Funcoes da formaf(x)g(x)
onde f e g sao funcoes polinomiais em x.
(a) Grau de f e maior do que o grau de g:
Obter, por divisao polinomial,f(x)g(x)
= p(x) +r(x)g(x)
. Ir para (b).
(b)r(x)g(x)
, fraccao irredutıvel, com grau de r menor que grau de g, onde
g(x) = a0(x− a)sa(x− b)sb · · · (x− l)sl
[(x− p)2 + q2]λ · · · [(x− u)2 + v2]µ
Entaor(x)g(x)
e decomposta numa soma da forma:
r(x)g(x)
=A1
(x− a)sa+ · · · Asa
(x− a)+
B1
(x− b)sb+ · · · Asb
(x− b)+
+M1x + N1
[(x− p)2 + q2]λ+ · · ·+ Mλx + Nλ
(x− p)2 + q2+ · · ·
+U1x + V1
[(x− u)2 + v2]µ+ · · ·+ Uλx + Vλ
(x− u)2 + v2
Capıtulo 1. Tecnicas de Integracao Page 6
Calculo das primitivas :∫A
x− adx = A. ln(|x− a|) + K∫
A
(x− a)ndx =
A
1− n
1(x− a)n−1
+ K, n > 1∫Mx + N
[(x− u)2 + v2]ndx com mudanca de variavel x− u = vz
6. Integrais de funcoes irracionais
(a) R uma funcao racional nos argumentos da forma R(x, xp1q1 , x
p2q2 , · · · ), com p1, p2, · · · , q1, q2, · · ·
inteiros nao nulos:mudanca de variavel: x = tk onde k = m.m.c.{q1, q2, · · · }.
(b) R uma funcao racional nos argumentos da forma R
(ax + b
cx + d
)p1
q1 ,
(ax + b
cx + d
)p2
q2 , · · ·
,
com p1, p2, · · · , q1, q2, · · · inteiros nao nulos:
mudanca de variavel:(
ax + b
cx + d
)= tk onde k = m.m.c.{q1, q2, · · · }.
(c) R uma funcao racional nos argumentos da forma R(x,√
ax2 + bx + c):mudanca de variavel:
Completar quadrado e reduzir o integral a um integral do tipo 3.
(d) Funcoes da forma xm(a + bxn)p/q, com m e n racionais e p e q inteiros nao nulos:mudanca de variavel:
i. Se p/q e inteiro a funcao e do tipo (a).ii. Se p/q nao e inteiro, mas (m + 1)/n e inteiro faz-se a + bxn = tq.iii. Se p/q nao e inteiro, mas (m + 1)/n + (p/q) e inteiro faz-se a + bxn = xntq.
Capıtulo 1. Tecnicas de Integracao Page 7
Exercıcios
1. Calcule os seguintes integrais:
(a)∫
1x3
dx
(b)∫
3xex dx
(c)∫
7x3 dx
(d)∫ (
sin(x) +3
1 + x2
)dx
(e)∫
(a + bx3)2 dx
(f)∫
tg(x) dx
(g)∫
ln(x)x
dx
(h)∫
1√16− 9x2
dx
(i)∫
x√4− x4
dx
(j)∫
x
9 + 4x2dx
(k)∫
cos(x)1 + sin2(x)
dx
(l)∫
1√4− x2
dx
(m)∫
arccos2(x)√1− x2
dx
(n)∫
x2
1 + x2dx
(o)∫
11 + cos(x)
dx
(p)∫
x3
x8 + 5dx
(q)∫
sin(√
2x)dx
(r)∫
ln(x)x(1− ln2(x))
dx
(s)∫
sin(x)1 + cos(x)
dx
(t)∫
sin(x) cos(x)√2− sin4(x)
dx
2. Calcule os seguintes integrais:
(a)∫
x ln(x)dx
(b)∫
(x + 1) sin(x)dx
(c)∫
x.5xdx
(d)∫
ln(x)dx
(e)∫
e3x(2x + 3)dx
(f)∫
sin(2x) cos(3x)dx
(g)∫
ln(ln(x))x
dx
(h)∫
ln2(x)x2
dx
(i)∫
x. arctan(x)(x2 + 1)2
dx
3. a) Utilize integracao por partes para deduzir que∫sinn(x)dx = − sinn−1(x) cos(x)
n+
n− 1n
∫sinn−2(x)dx
b) Calcule∫
sin5(x)dx.
4. a) Seja In(x) =∫
xn(x2 + a2)−12 dx. Utilize a integracao por partes para mostrar que
se n ≥ 2, entao
n.In(x) = xn−1√
x2 + a2 − (n− 1)a2In−2(x)
b) Calcule∫
x5(x2 + 52)−12 dx
Capıtulo 1. Tecnicas de Integracao Page 8
5. Utilize integracao por partes para calcular
(a)∫
x.exdx
(b)∫
ln(x2 + 1)dx
(c)∫
xn ln(x)dx
(d)∫
ln(x +√
1 + x2)dx
6. Utilize a mudanca de variavel indicada para calcular os seguintes integrais:
a)∫
1x√
x2 − 2dx, x = 1/t.
b)∫
x√x + 1
dx, x = t2 − 1.
c)∫
1(x− 2)n
dx, para n 6= 1, x− 2 = t.
7. Calcule:
(a)∫
x2 − 1(1 + x)
√2− 4x2
dx.
(b)∫
1√x2 + 2
dx.
(c)∫
x2√
4− x2 dx.
(d)∫ √
(1 + x2)3
x4dx.
(e)∫
1x√
x2 + 4dx.
(f)∫
1x√
x2 − 9dx.
8. Calcule:
(a)∫
sin3(x) cos2(x) dx.
(b)∫
cos3(x/2) dx.
(c)∫
sin4(x) cos2(x) dx.
(d)∫
tan5(2x) dx.
(e)∫
sec6(x) dx.
(f)∫
tan5(x) sec3(x) dx.
9. Mostre que sendo Im(x) =∫
secm(x) dx, entao
(m− 1)Im(x) = tan(x) secm−2(x) + (m− 2)Im−2(x)
10. Calcule:
(a)∫
2x− 1(x− 2)(x− 3)(x + 1)
dx
(b)∫
1(x− 1)(x + 1)3
dx
(c)∫
x2 − 2x− 1x(x2 + 2)(x + 1)2
dx
(d)∫
2x + 1x(x− 1)3(x2 − 2x + 2)
dx
Capıtulo 1. Tecnicas de Integracao Page 9
(e)∫
x5 + x4 − 8x3 − 4x
dx (f)∫
x3 + 2x2 + 6(x− 1)(x2 + 2)2
dx
11. Calcule:
(a)∫ √
x
1 + x3/4dx
(b)∫ √
1 + x
1 + (1 + x)1/3dx
(c)∫
1√x2 − x + 2
dx
(d)∫
2x− 8√1 + x− x2
dx
(e)∫
12 + 3x− 2x2
dx
(f)∫ √
x√1 +
√x
dx
12. Calcule:
(a)∫
sin(x)(1− cos(x))3
dx
(b)∫
1sin(x) sin(2x)
dx
(c)∫
cos(x)sin(x) + cos(x)
dx
(d)∫
3 + cos(x)1 + sin(x)
dx
13. Calcule:
a)∫
2x
1− 4xdx. b)
∫e2x − 2ex + 1
e3x − 1dx.
14. Calcule os seguintes integrais:
(a)∫
x2 + 3x + 2(1 + x2)2
dx
(b)∫
sin3 x cos3 x dx
(c)∫
x5
x3 − 3x2 + 2xdx
(d)∫
sin2 x cos x
2− sinxdx
(e)∫
x4 − x3 + x2 + 1x4 − 2x3 + x2
dx
(f)∫
x2
√2− x2
dx
15. (a) Mostre que:∫
dx
cos(x) + sin(x)=
∫2
−t2 + 2t + 1dt, com t = tan
(x
2
).
(b) Calcule∫
2−t2 + 2t + 1
dt.
(c) A partir das alıneas (a) e (b) determine∫
dx
cos(x) + sin(x).
16. (a) Mostre que:∫
dx
(1 + sin x) cos x= 2
∫1 + t2
(1− t)(1 + t)3dt, com t = tan
(x
2
).
(b) Calcule o seguinte integral:∫
1 + t2
(1− t)(1 + t)3dt.
(c) A partir das alıneas (a) e (b) determine∫
dx
(1 + sin x) cos x.
17. Calcule
Capıtulo 1. Tecnicas de Integracao Page 10
(a)∫
dx
x4 − 16
(b)∫
dx
x4√
x2 − 1
(c)∫
t
(t + 1)(t2 + 1)2dt
(d)∫
x2 +√
1 + x3√
1 + xdx
Exercıcios de Revisao
18. Calcule os seguintes integrais:
(a)∫
x sin(3x) dx
(b)∫
cos(x) sin(2x) dx
(Sug: sin(2x) = 2 cos x sin x)
(c)∫ (
− 4x− 2√x2 − x + 1
)dx
(d)∫
arccos(x)dx
(e)∫
x2ex dx
(f)∫
32x− 4
dx
(g)∫
3(2x− 4)5
dx
(h)∫
32x2 + 4
dx
(i)∫
3x
2x2 + 4dx
(j)∫
3x + 12(x− 3)2 + 4
dx
(k)∫
sin2(x) cos2(x) dx
(l)∫
cos3(x) dx
(m)∫
cos2(x) sin3(x) dx
19. Calcule os seguintes integrais:
(a)∫
sin2(x) cos3(x) dx.
(b)∫
sec2(x)5 + tan(x)
dx.
(c)∫
cos(x) sin(x)5 sin2(x) + 1
dx.
(d)∫
cos(x)4 sin2(x)
dx.
(e)∫
x cos(x) dx.
(f)∫
x2
√1− x6
dx.
(g)∫
sec(x) tan(x) dx.
(h)∫
x2x dx.
(i)∫
ln2(x)x
dx.
(j)∫
x2
√x3 + 1
dx.
(k)∫
cos(x)(sin(x) + 1)2
dx.
(l)∫
sec3(x) tan(x) dx.
(m)∫
sin2(x) cos3(x) dx.
(n)∫
x cos(3x) dx.
(o)∫
x2 ln(x) dx.
(p)∫
sec2(x)5 + tan(x)
dx.
Capıtulo 1. Tecnicas de Integracao Page 11
(q)∫
5x
25− 4x2dx.
(r)∫
x2 sin(x) dx.
(s)∫
sin3(2x) dx.
(t)∫
5x
25 + 4x2dx.
(u)∫
sec2(x) tan2(x) dx.
(v)∫
arctan(x/2)x2 + 4
dx.
(w)∫
(2x + 1)ex dx.
(x)∫
x2 sin (2x3) dx.
(y)∫
x
4 + 4x2 + x4dx.
20. Calcule os seguintes integrais:
(a)∫
cos3(5x) dx.
(b)∫
(x3 − 2) ln (2x) dx.
(c)∫
ex
√1− e2x
dx.
(d)∫
1√25− 4x2
dx.
(e)∫
ex + 2x
ex + x2 + 1dx.
(f)∫
sec2(x)(3 + tan(x))2 dx.
21. Calcule os seguintes integrais:
(a)∫
sin(x/2)cos3(x/2)
dx.
(b)∫
13√
2x + 8dx.
(c)∫
3x3 − 9x
dx.
(d)∫
sin3(x) cos4(x) dx.
(e)∫ √
x√1 +
√x
dx.
(f)∫
e2x − 2ex + 1ex − 1
dx.
(g)∫
6x2
2− x3dx.
(h)∫
sec2(x)(1− tan(x))2 dx.
(i)∫
5√2x + 8
dx.
(j)∫
x + 5x3 − 4x
dx.
(k)∫
sin3(3x) cos3(3x) dx.
(l)∫
x
2e2x dx.
(m)∫
x√
x + 1 dx.
(n)∫
e2x − 6ex + 93− ex
dx.
(o)∫
1x ln(x)
dx.
(p)∫
(tan(x) + 5)3 sec2(x) dx.
(q)∫
5√1− x
dx.
(r)∫
x
(x + 1)(x + 2)(x + 3)dx.
(s)∫
sin3(2x) cos4(2x) dx.
(t)∫
x sec2(x) dx.
(u)∫
x√1 + x
dx.
(v)∫
e2x + 4ex + 42 + ex
dx.
(w)∫
3x3 + x2 − 31− x3
dx.
Capıtulo 1. Tecnicas de Integracao Page 12
22. Usando algumas(s) mudanca(s) de variavel recomendada(s), se necessario, calcule os seguintesintegrais:
(a)∫
1x3 − x
dx.
(b)∫ √
x + 11 + x3/4
dx.
(c)∫
x√4− x2
dx.
(d)∫
x√4 + x2
dx.
(e)∫
cos(x) sin(x)1 + cos(x)
dx.
(f)∫
1x(x2 + 1)
dx.
(g)∫
x4 + 2x3 + 2x2
x4(x2 + 2x + 2)dx.
(h)∫
x3/2 + x
x2/3dx.
(i)∫
1√x2 + 1
dx.
(j)∫
1sin(x)
dx.
(k)∫
1cos(x)
dx.
(l)∫
x√1 + x2
dx.
(m)∫
x
(x− 1)(x− 2)2dx.
(n)∫
x
(x− 1)(x2 + 1)dx.
(o)∫
(x + 1)3/2 + x + 1(x + 1)2/3
dx.
(p)∫
1√x2 − 1
dx.
(q)∫
x2 + 1(2− x)(1− x)x
dx.
(r)∫
sin(x)cos(x) + 1
dx.
(s)∫
x + 1x(x2 + 1)
dx.
(t)∫
x4 − 5x3 + 9x2 − 7x + 2(x− 1)(x− 2)
dx.
(u)∫
1(x− 1)(x2 + 1)
dx.
(v)∫
x4 + 2x3 + 2x2
x3(x2 + 2x + 2)dx.
(w)∫
x1/2
x4/3 + xdx.
(x)∫
1√x2 − 1
dx.
23. Usando algumas(s) mudanca(s) de variavel recomendada(s), se necessario, calcule os seguintesintegrais:
(a)∫
2x + 39x2 + 4
dx.
(b)∫
x2 + 3x− 13x2 − x− 6
dx.
(c)∫
4x + 5(x− 1)(x + 2)2
dx.
(d)∫
x2
√1− x2
dx.
(e)∫
1√9 + 16x2
dx.
(f)∫
1√9x2 − 16
dx.
(g)∫ √
x + 23√
x2 +√
xdx.
Capıtulo 2
Integral Definido
1. Calcule a area entre o grafico da funcao f dada e o eixo dos x’s.
(a) f(x) =√
x + 1 onde x ∈ [3, 8].
(b) f(x) = (x + 2)−2 onde x ∈ [0, 2].
2. Esboce a regiao limitada pelas curvas dadas e calcule a area dessa regiao:
(a) y =√
x, y = x2.
(b) y = 5− x2, y = 3− x.
(c) y = 8− x2, y = x2.
(d) y = cos(x), y = 4x2 − π2.
(e) y = x2, y = −√
x, x = 4.
(f) y =√
x + 2, y = 0, x = 2, x = 7.
(g) y = 3√
3− x, y = 0, x = −5, x = 3.
(h) y =x
(x2 + 1)2, y = 0, x = 0, x = 3.
(i) y = x, y = sin(x), x = π/2.
(j) y = x3, y = 6 + x, y = −x/2.
13
Capıtulo 2. Integral Definido Page 14
(k) 2y2 = x + 4, y2 = x.
3. Calcule a area limitada pela curva
(a) x2 + y2 = 1.
(b) (x− 1)2 + y2 = 4.
(c) (x− 1)2 + (y − 2)2 = 4.
(d)x2
4+
x2
9= 1.
4. Calcule os seguintes integrais:
(a)∫ 2
1
dx√3x + 2
.
(b)∫ 0
−17x8 dx.
(c)∫ 3
2
x
(x2 − 1)2dx.
(d)∫ 3a
2a
x
(x2 − a2)2dx.
(e)∫ b/2
0
x√b2 − x2
dx, b > 0.
(f)∫ π/4
0sin(4x) dx.
(g)∫ π/3
0
sin(θ)cos2(θ)
dθ.
5. Seja f uma funcao definida em R tal que f(−x) = −f(x) ∀x ∈ R.
(a) Mostre que ∫ a
−af(x) dx = 0
para todo a ∈ R.
Capıtulo 2. Integral Definido Page 15
(b) Calcule o integral ∫ π/2
−π/2
sin3(x)x2 + 9
dx.
6. Seja f uma funcao definida em R tal que f(−x) = f(x) ∀x ∈ R.
(a) Mostre que ∫ a
−af(x) dx = 2
∫ a
0f(x) dx
para todo a ∈ R.
(b) Calcule o integral ∫ π
−πcos(x) dx.
7. Um objecto move-se em linha recta com aceleracao a(t) = (t + 2)3 m/s2.
(a) Calcule a funcao velocidade sabendo que a velocidade inicial e de 3 m/s.
(b) Encontre a funcao posicao sabendo que a velocidade inicial e de 3 m/s e a posicaoinicial e a origem.
8. Um objecto move-se em linha recta com velocidade v(t) = t(1 − t) m/s. A sua posicaoinicial e s(0) = 2 m.
(a) Calcule a posicao do movel ao fim de 10 sec.
(b) Qual a distancia percorrida pelo movel ao fim de 10 sec?
9. Um objecto move-se ao longo do eixo dos xx com aceleracao constante a. Verifique que
v2(t) = v20 + 2a [x(t)− x0]
10. Um objecto move-se num dos eixos coordenados com velocidade v(t) = sin(t) m/s. Oobjecto passa na origem no instante t = π/6 sec. Quando e que o objecto passa na origemoutra vez? Quando o faz sera que se move da esquerda para a direita ou vice-versa?
11. Um automovel percorre uma distancia de 5 km em 5 mn a uma velocidade v(t). Qualo resultado que lhe permite afirmar que pelo menos num instante o velocımetro deve termarcado 60 km/h?
12. Calcule a derivada da funcao g(x) definida por:
Capıtulo 2. Integral Definido Page 16
(a)∫ x2
1
dt
t.
(b)∫ x2+1
1
dt√2t + 5
.
(c)∫ a
xf(t)dt.
(d)∫ b
x
dy
1 + sin2(y).
(e)∫ x+1
1−x
t− 1t
dt.
(f)∫ x2+x
√x
dt
2 +√
2
13. Calcule H ′(2) sendo H(x) =∫ x3−4
2x
x
1 +√
tdt.
14. Calcule H ′(3) sendo H(x) =1x
∫ x
3
[2t− 3H ′(t)
]dt.
15. Calcule (H−1)′ em funcao de H−1 sendo H(x) =∫ x
1
dy
y.
16. Determine os valores de α, α 6= −1, para os quais o integral∫ +∞
1
dx
xαe convergente e
mostre que∫ +∞
1
dx
xe divergente.
17. Verifique se sao convergentes os seguintes integrais improprios e, em caso afirmativo,calcule-os:
(a)∫ +∞
0x3ex2
dx.
(b)∫ 0
−∞
ex
1 + exdx.
(c)∫ 1
0
dx√1− x
.
(d)∫ +∞
−∞
dx
x2 + 4x + 9.
Capıtulo 2. Integral Definido Page 17
(e)∫ +∞
−∞sin(2x)dx.
(f)∫ +∞
−∞
x
x2 + 1dx
18. Seja f contınua. Deduza que∫ x
0f(µ)(x− µ)dµ =
∫ x
0
(∫ µ
0f(t)dt
)dµ
OUTROS EXERCICIOS
1. Seja f definida e derivavel em R+ tal que f(xy) = f(x) + f(y) para todo o x e y em R+.Mostre que existe um c ∈ R tal que f(x) = c. ln(x).
2. Seja f definida e derivavel em R tal que f ′(x) = Kf(x). Seja x0 ∈ R tal que f(x0) = c.Mostre que f(x) = c.eK(x−x0).
3. Se f e contınua em [a, b], entao existe µ ∈ [a, b] tal que∫ b
af(x)dx = f(µ)(b− a).
Sugestao: Considere a funcao F (x) =∫ x
af(t) dt. Verifique que F e contınua em [a, b]
e diferenciavel em ]a, b[ e que existe um µ ∈]a, b[ tal que F (b) − F (a) = F ′(µ)(b − a).Conclua.
4. Se f integravel em [a, b] e se para todo o x ∈ [a, b] se tem m ≤ f(x) ≤ M , entao existe um
µ : m ≤ µ ≤ M tal que∫ b
af(x)dx = µ(b− a).
Sugestao: Considere as funcoes g(x) = f(x)−m e h(x) = M−f(x). Verifique que ambas
as funcoes sao nao negativas. Calcule os integrais∫ b
ag(x) dx e
∫ b
ah(x) dx observando que
cada um desses integrais e maior ou igual a zero e conclua.
5. Se f e contınua e g e integravel e nao negativa em [a, b], entao existe µ ∈ [a, b] tal que∫ b
af(x)g(x) dx = f(µ)
∫ b
ag(x) dx.
Sugestao: Comece por verificar que se∫ b
ag(x) dx = 0 o resultado e trivial. No caso de∫ b
ag(x) dx > 0, mostre que existem constantes M e m tais que
m
∫ b
ag(x) dx ≤
∫ b
af(x)g(x) dx ≤ M
∫ b
ag(x) dx.
Capıtulo 2. Integral Definido Page 18
Conclua usando um teorema sobre funcoes contınuas.
6. Utilizando o exercıcio anterior mostre que:
12√
2≤
∫ 1
0
x√1 + x
dx ≤ 12.
Sugestao: Considere f(x) =1√
1 + xe g(x) = x em [0, 1].
7. Suponha que f e contınua e nao negativa em [a, b] e que∫ b
af(x)dx = 0. Mostre que
f(x) = 0 para todo o x ∈ [a, b].
Sugestao: Considere a funcao F (x) =∫ x
af(t) dt. Mostre que F (x) = 0 e conclua.
8. Suponha que f e contınua em [a, b] e que∫ b
af(x)g(x)dx = 0 para todos as funcoes g
contınuas em [a, b]. Mostre que f(x) = 0 para todo o x ∈ [a, b].
Sugestao: Considere g(x) = f(x) e utilize o exercıcio anterior.
9. Suponha que f e contınua em [a, b] e que∫ b
af(x)dx = 0. Mostre que existe um c ∈ [a, b]
tal que f(c) = 0. Sugestao: Utilize o exercıcio 5.
Capıtulo 3
Equacoes Diferenciais
3.1 Equacoes diferenciais de primeira ordem
1. Resolva as seguintes equacoes diferenciais:
(a) y′ = xy2
(b) y2y′ + x2 = 0
(c) sinx dy + cos y dx = 0
(d) y′ = 3y23 . Determine a solucao particular que passa no ponto (1, 1).
(e) x2 dy + y dx = 0
(f) sinx dy + y dx = 0
(g) (y′)2 = xy2
(h) y′ + y sec x = 0
2. Determine as solucoes de:
(a) y′ =y
x+ 7; y(1) = 2
(b) y′ = y sec x + cos x; y(π
2
)= 0
(c)dx
dt+ x = e2t; x(0) = 1
(d) y′ =x + 1y4 + 1
; y(2) = 0
(e) y′ = 2(1− y)2; y(0) = 0
3. Determine as solucoes de y′ sinx + y cos x = 1 em (0, π). Mostre que apenas uma dassolucoes tem limite finito quando x tende para 0 e que so uma outra tem limite finitoquando x tende para π.
4. Prove que existe uma so funcao f , contınua em (0,∞), tal que f(x) = 1 +1x
∫ x
1f(t) dt e
determine essa funcao.
19
Capıtulo 3. Equacoes Diferenciais Page 20
5. Cada uma das equacoes seguintes tem pelo menos um coeficiente com uma descontinuidadeem x = 0. Resolva cada uma das equacoes para x > 0 e descreva o comportamento dasolucao quando x tende para 0, para varios valores da constante de integracao. Esboce osgraficos de algumas curvas integrais.
(a) y′ +2x
y =1x2
(b) y′ − 1x
y =√
x
(c) y′ − 1x
y = x
(d) y′ +1x
y =cos x
x
6. Determine um intervalo no qual a solucao de cada um dos seguintes problemas de valorinicial existe.
(a) (x− 3)y′ + (lnx)y = 2x; y(1) = 3
(b) y′ + (tanx)y = sinx; y(π) = 0
7. Seja
f(x) =
{ sinx
xse x 6= 0
1 se x = 0e T (x) =
∫ x
0f(t) dt
Mostre que f(x) = xT (x) satisfaz a equacao diferencial xy′ − y = x sinx em toda a rectareal e determine a solucao geral desta equacao. Mostre que a equacao diferencial nao temsolucao que satisfaca a condicao inicial f(0) = 1 e explique porque e que isto nao contradizo teorema da existencia e unicidade de solucao.
8. Considere a equacao diferencial y′′ =1
2y′e a sua solucao geral y(x) = ±2
3(x + C)
32 + K.
Verifique que a famılia de curvas dada satisfaz a equacao diferencial. Determine a solucaoda equacao que passa pelo ponto (1, 2) e cuja tangente nesse ponto forma com o eixopositivo Ox um angulo de 45 graus.
3.2 Equacoes Diferenciais Lineares
1. Para cada um dos seguintes problemas de valor inicial determine o maior intervalo em quepode garantir existencia de solucao.
(a) y′′ + cos x y′ + ln |x| y = 0, y(2) = 3, y′(2) = 1
(b) (x− 3)y′′ + xy′ + ln |x| y = 0, y(1) = 0, y′(1) = 1
2. Se o wronskiano de duas funcoes f e g e 3e4x e se f(x) = e2x, determine g.
3. Se W e o wronskiano de f e g e se u = 2f − g, v = f − g determine o wronskiano de u e v.
4. Determine a solucao geral das equacoes diferenciais:
Capıtulo 3. Equacoes Diferenciais Page 21
(a) y′′ − y = 0
(b) y′′ + y = 0
5. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) y′′ − 4y′ + 3y = 0, y(0) = −1, y′(0) = 3
(b) y′′ + 4y = 0, y(π) = 1, y′(π) = −4
6. Resolva as equacoes diferenciais:
(a) y′′ + 2y′ + y = 4e−x ln (x).
(b) y′′ − 3y′ + 2y = 6e3x.
(c) y′′ − 5y′ + 6y = x + sin (x).
(d) y′′ + y′ − 2y = x
(e) y′′ + y′ − 2y = 1
7. Considere a equacao diferencial y′′+2 tan (x)y′+f(x)y = 0. Utilize a mudanca de variavely = uv de forma a que a equacao diferencial obtida nao contenha termos em v′. De seguida,calcule f de modo a que a equacao diferencial tenha coeficientes constantes. Integre essaequacao diferencial.
8. Determine o wronskiano das seguintes funcoes:
(a) ex sinx, ex cos x
(b) 1, x, x2, x3
(c) x, xex, x2ex
9. Determine a solucao geral das equacoes diferenciais:
(a) y′′′ = 0.
(b) y′′′ + y′′ + y′ + y = 0.
(c) y(4) − y = 0.
(d) y(4) + y = 0.
(e) y(4) + 2y′′ + y = 0.
10. Determine a equacao diferencial linear homogenea de coeficientes constantes, de ordem taobaixa quanto possıvel, tal que g(x) = xe−2x seja solucao da equacao.
11. Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) y′′′ − 2y′′ − y′ + 2y = e4x, y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0.
(b) y′′′ − y′ = x, y(2) = −2, y′(2) = −2, y′′(2) = −1.
(c) y′′′ + y′′ = 0, y(0) = 2, y′(0) = 1, y′′(0) = −1.
Capıtulo 3. Equacoes Diferenciais Page 22
3.3 Outros exercıcios
Nota: Diz-se que uma equacao diferencial tem uma solucao de equilıbrio quando essa solucaoe da forma y(x) = C onde C e uma constante. Diz-se ainda que essa solucao e de equilıbrioestavel quando os graficos de todas as restantes solucoes se aproximam do grafico dessa solucaoquando x cresce. Diz-se que essa solucao e de equilıbrio instavel quando os graficos de todasas restantes solucoes se afastam do grafico dessa solucao quando x cresce. Quando os graficos dassolucoes que se encontram num dos lados da solucao de equilıbrio aproximam-se dessa solucaoquando x cresce, enquanto aquelas que estao no outro lado afastam-se, essa solucao diz-se deequilıbrio semi-estavel.
1. Considere a seguinte equacao diferencial: y′ − y = 1. Verifique y(x) = −1 e solucao deequilıbrio. Trace o grafico de algumas das solucoes dessa equacao. Verifique se a solucaode equilıbrio e ou nao estavel.
2. Considere a seguinte equacao diferencial: y′ + xy = 0. Verifique y(x) = 0 e solucao deequilıbrio. Trace o grafico de algumas das solucoes dessa equacao. Verifique se a solucaode equilıbrio e ou nao estavel.
3. Considere a equacao diferencial y′(x) = y2 − 4. Verifique que essa equacao tem duassolucoes de equilıbrio, a saber y(x) = 2 e y(x) = −2. Classifique-as.
4. Determine e classifique as solucoes de equilıbrio da equacao diferencial
y′(x) = (y − 2)(y2 − 1).
5. Considere a equacaodN
dt= k(1−N)2
onde k e uma constante positiva.
(a) Mostre que N(t) = 1 e uma solucao de equilıbrio.
(b) Trace o grafico de f(N) = k(1 − N)2 e conclua que N(t) = 1 e uma solucao deequilıbrio semi-estavel.
(c) Resolva a equacao diferencial dada para varios valores de N(0) e confirme as con-clusoes da alınea b).
Resolucao do Exercıcio 5.
(a) Considere a equacaodN
dt= k(1 − N)2, onde k e uma constante positiva. Se N(t) e
constante e igual a 1, entaodN
dt= 0 e k(1− 1)2 = 0, ∀t, e portanto N(t) = 1 e solucao da
equacao diferencial.
Capıtulo 3. Equacoes Diferenciais Page 23
(b) Grafico de f(N) = k(1−N)2: a fazer pelo aluno
Se N < 1, entao f(N) e positiva, ou seja, a derivada de N em ordem a t e positiva. Logo
N(t) e crescente. Como f(N)(
=dN
dt
)e decrescente, entao N tem a concavidade voltada
para baixo.
O Teorema da existencia e unicidade de solucao garante-nos que duas solucoes da equacaodiferencial nunca se cruzam. Assim, para N(0) = N0 < 1, N(t) tende para 1 quando tcresce.
Quando N > 1, f(N) continua a ser positiva, ou seja, a derivada de N em ordem a te positiva. Logo N(t) e crescente. Como f(N) e crescente, entao N tem a concavidadevoltada para cima. Para N(0) = N0 > 1, N(t) afasta-se de 1 quando t cresce.
Nota: O grafico de f(N) foi visto como fornecendo informacao sobredN
dt. Podemos,
contudo, retirar imediatamente informacao sobred2N
dt2a partir deste mesmo grafico. Note-
se que f(N(t)) = f ◦N(t) e que
d2N
dt2= f ′(N)f(N)
Assim, para N < 1, f(N) > 0 e f ′(N) < 0. Logod2N
dt2< 0 e N(t) tem a concavidade
virada para baixo. Se N > 1, f(N) > 0 e f ′(N) > 0. Logo N(t) tem a concavidade viradapara cima.
(c) Solucao geral da equacao diferencial:
N(t) = 1 ou N(t) =−1 + kt + kC
k(t + C)
Note-se que a solucao de equilıbrio nao pode ser calculada a partir da solucao geral, ouseja, qualquer que seja o valor da constante C, nunca se obtem N(t) = 1. Relembreque esta e uma caracterıstica das equacoes diferenciais nao lineares: pode haver solucoesque nao se obtem a partir da solucao geral. Observe-se ainda que N(t) nao esta definidaem t = −C. Relembre o Teorema da existencia e unicidade de solucao destas equacoes.Observe que este nao nos diz em que intervalo e que a solucao da equacao diferencial estadefinida como quando as equacoes diferenciais sao lineares de primeira ordem. Realmente,o Teorema da existencia e unicidade de solucoes e um resultado local.
Vejamos agora como e que a solucao varia em funcao das condicoes iniciais N(0) = N0.
Ora, N(0) =−1 + kC
kC. Logo C = − 1
k(N0 − 1). A expressao da constante em funcao das
condicoes iniciais ilustra o facto de nao se poder determinar C de forma a incluir a solucaode equilıbrio na solucao geral, pois C nao esta definida para N0 = 1. Substituindo C naexpressao da solucao geral da equacao diferencial, tem-se, para N0 6= 1,
N(t) =kt(N0 − 1)−N0
kt(N0 − 1)− 1
Capıtulo 3. Equacoes Diferenciais Page 24
N(t) nao esta definida para t = 1k(N0−1) (nao esquecer que N0 6= 1). Assim, se a condicao
inicial e da forma N(0) = N0, a solucao so esta definida em[0,
1k(N0 − 1)
).
Argumentos analogos permitem-nos analisar o comportamento para outras condicoes ini-ciais.
3.4 Equacoes Diferenciais-Aplicacoes
1. Suponha que uma determinada especie de peixe, numa determinada area do oceano satisfaz
a equacaodN
dt= r
(1− N
k
)N . Suponha que uma certa quantidade desse peixe e pescada
a uma razao constante h, ou seja, a quantidade de peixe nessa regiao satisfaz a equacao
diferencialdN
dt= r
(1− N
k
)N −h. A hipotese da taxa de pesca ser constante faz sentido
quando a quantidade de peixe existente N e grande. Quando N diminui, tal hipotese deixade ser razoavel.
(a) Se h < rk
4, mostre que a equacao tem dois pontos de equilıbrio, N1, N2, com N1 < N2
e determine-os.
(b) Mostre que um desses pontos e instavel e que o outro e estavel.
(c) A partir do grafico da funcao f(N) = r
(1− N
k
)N −h, mostre que se N(0) = N0 >
N1, entao N(t) → N2 quando t →∞, mas que, se N0 < N1, entao N(t) e uma funcaodecrescente. Observe que N = 0 nao e um ponto de equilıbrio. O que acontecequando N0 < N1?
(d) Mostre que se h > rk
4, entao N(t) e uma funcao decrescente, independentemente do
valor de N(0).
(e) Seja h = rk
4. Mostre que existe um unico ponto de equilıbrio e que esse ponto e
instavel. Qual a taxa maxima de pesca que podera ser permitida de forma a que estase possa manter constante?
2. Algumas doencas, como e o caso da febre tifoide, sao disseminadas por portadores, in-divıduos que podem transmitir a doenca mas que nao apresentam quaisquer outros sin-tomas. Designe-se por x e y, respectivamente, a proporcao de elementos que sao sus-ceptıveis de contrair a doenca e de portadores. Suponha que os portadores sao identifica-
dos e removidos da populacao a razao de b, isto edy
dt= −by. Suponha ainda que a taxa
de disseminacao da doenca e proporcional ao produto xy, isto e,dx
dt= −axy.
(a) Determine y(t) que satisfaz a y(0) = y0.
(b) Use o resultado da alınea anterior para determinar x(t) que satisfaz x(0) = x0.
(c) Encontre a proporcao da populacao que sobrevive a epidemia calculando x(t) quandot tende para infinito.
Capıtulo 3. Equacoes Diferenciais Page 25
3. O crescimento de uma certa populacao obedece a equacaodN
dt= r
(1− N
k
)N .
(a) Seja N(0) =k
3. Encontre o instante s em que a populacao duplica de tamanho.
Encontre o valor de s que corresponde a r = 0.025 por ano.
(b) SeN(0)
k= a, encontre o instante t em que
N(t)k
= b, onde, a > 0, b > 0 e b < 1.Observe que esse instante t tende para infinito quando a tende para 0 ou quando btende para 1. Determine o valor de t quando r = 0.025 por ano, a = 0.1 e b = 0.9.
3.5 Resolucao de alguns exercıcios da seccao anterior
1. (a) Considere a equacao diferencialdN
dt= r
(1− N
k
)N − h. Entao
dN
dt= 0 ⇒ rN2 − krN + hk = 0 ⇒ N =
kr ±√
(kr)2 − 4hrk
2r
Logo
N1 =kr −
√(kr)2 − 4hrk
2rN2 =
kr +√
(kr)2 − 4hrk
2r
(b) Grafico dedN
dtem funcao de N : a fazer pelo aluno.
Se N(0) = N0 > N1, entao N(t) cresce e tem a concavidade voltada para cima,
ate atingir o pontok
2. A partir daı a concavidade passa a estar voltada para baixo.
Como N(t) = N2 e ponto de equilıbrio, N(t) < N2. Logo N(t) aproxima-se de N2.Se N0 > N2, entao N(t) decresce aproximando-se de N2 e tem a concavidade voltadapara cima. Logo N2 e ponto de equilıbrio estavel. Ou seja, se no instante t = 0,a quantidade de peixe e superior a N1 e se a taxa de pesca e constante e inferior
ark
4, entao a quantidade de peixe presente na area sera, ao fim de algum tempo,
aproximadamente N2. Os peixinhos nao desaparecem e podemos continuar a pescar.Do que acima foi visto, podemos tambem concluir que N1 nao e estavel, pois, paraN(0) = N0 > N1, as solucoes afastam-se de N1. Suponhamos agora que N(0) =N0 < N1. Entao N(t) e decrescente. Logo, N(t) afasta-se de N1, ou seja, N1 einstavel. Como N(t) = 0 nao e ponto de equilıbrio, deduzimos que se no instanteinicial o numero de peixes for inferior a N1 e a taxa de pesca for constante e inferior
ark
4, entao os peixinhos desaparecem num intervalo finito de tempo. Entretanto,
os peixinhos serao considerados uma especie em vias de extincao e a pesca deve serproibida ate que o seu numero seja superior a N1.Resumindo, as solucoes da equacao diferencial tem o aspecto: a fazer pelo aluno
(c) Suponhamos agora que h >rk
4. Entao f(N) = r
(1− N
k
)N − h tem o grafico: a
fazer pelo alunoPara qualquer valor N(0) = N0, N(t) e decrescente.
Capıtulo 3. Equacoes Diferenciais Page 26
(d) Seja agora h =rk
4. Trace o grafico.
Note-se que f(N) = 0 quando N =k
2. Ou seja, N(t) =
k
2e ponto de equilıbrio. Se
N(0) = N0 > k2 , entao N(t) e decrescente e tem a concavidade voltada para cima.
Quando t cresce, N(t) aproxima-se de N =k
2. Se N(0) = N0 <
k
2, entao N(t)
decresce (e tem concavidade voltada para baixo). Logo N =k
2e ponto de equilıbrio
semi-instavel (ver problema 1).Resumindo: Faca o esboco.Podemos entao concluir que, sabendo que o numero de peixes e igual ou superior ak
2, a taxa maxima de pesca permitida devera ser h = r
k
4. Mas lembre-se que
k
2e
ponto de equilıbrio instavel. Logo, se alguem se lembra, um belo dia, de pescar soum pouquinho mais que o permitido, os peixinhos vao tender a desaparecer.Ja tentou resolver a equacao diferencial? Se nao, tente. Pois! Nao e uma equacaode variaveis separaveis nem e linear. Sera que consegue, por mudanca de variavel ououtro processo, resolve-la? Se nao consegue, nao se preocupe. Acabou de estudar ocomportamento das solucoes geometricamente. Como pode ver, o metodo geometricopode ser extremamente util.
2. (a) Equacao diferencial:dy
dt= −by. Solucao geral: y(t) = Ke−bt. Solucao do problema
de valor inicial: y(t) = y0e−bt.
(b)
(c) Equacao diferencial:dx
dt= −axy. Logo
dx
dt= −ay0xe−bt. Donde, para x diferente
de zero (note-se que x = 0 e solucao de equilıbrio), vemdx
x= −ay0e
−btdt. Logo,
ln |x| = −ay0
∫e−btdt + C, ou seja, x(t) = Ke
ay0e−bt
b . Para x(0) = Keay0
b = x0, vem
K = −x0e−ay0
b . Logo a solucao e x(t) = x0eay0(e−bt−1)
b . Ora, t → +∞ ⇒ e−bt − 1b
→
−1b. Logo, t → +∞ ⇒ x(t) → x0e
−ay0b .
3.6 Exercıcios genericos
Exercıcios de escolha multipla
1. Considere o problema de valor inicial xy′ = 3y, y(0) = 0.
(a) Nao tem solucao.
(b) So tem uma solucao.
(c) Tem varias solucoes definidas em toda a recta real.
(d) As solucoes, se existirem, estao definidas em (0,+∞).
Capıtulo 3. Equacoes Diferenciais Page 27
2. A solucao geral de uma dada equacao diferencial e y(t) = C1e2x + e−x(C2 cos x+C3 sinx).
A equacao diferencial tem equacao caracterıstica
(a) r3 − r = 0.(b) (r − 2)(r2 + 2r + 2) = 0.(c) (r − 2)(r2 − 2r + 2) = 0.(d) r2 + r + 2 = 0.
3. A equacao diferencial que nos permite determinar as trajectorias ortogonais a famılia de
curvas de equacao y(x) =C
xe:
(a) y′′ − y′ = 0.
(b) y′ = −y
x.
(c) y′ = − 1yx
.
(d) y′ =1yx
.
4. Considere a equacao diferencial y′′′ − y′′ − 4y′ + 4y = 0. A matriz Wronskiana de umsistema fundamental de solucoes desta E.D. e
(a)
W =
ex e2x e−2x
ex 2e2x e−2x
ex e2x −2e−2x
(b)
W =
ex e3x e−2x
ex 3e3x −2e−2x
ex 9e3x 4e−2x
(c)
W =
ex e2x e−2x
ex 2e2x −2e−2x
ex 4e2x 4e−2x
(d)
W =
1 e2x e−2x
0 2e2x −2e−2x
0 4e2x 4e−2x
5. Qualquer solucao da equacao diferencial y(2) + a1y
′ + a2y = 0 tende para zero quandox →∞ se e so se
(a) Qualquer raız da equacao caracterıstica tem parte real negativa.(b) Pelo menos uma das raizes da equacao caracterıstica e negativa.(c) As raizes da equacao caracterıstica sao reais negativas.(d) As raizes da equacao caracterıstica sao reais.
Capıtulo 4
Transformada de Laplace
1. Determine a transformada de Laplace das seguintes funcoes:
(a) f(t) = t.
(b) f(t) = t2.
(c) f(t) = tn, onde n e um numero natural.
2. Determine a transformada de Laplace da funcao f(t) = cos (at), onde a e uma constantereal.
3. Recorde que cosh (t) =et + e−t
2e sinh (t) =
et − e−t
2. Em cada uma das alineas seguintes
determine as correspondentes transformadas. a e b sao constantes reais.
(a) f(t) = cosh (bt).
(b) f(t) = sinh (bt).
(c) f(t) = eat cosh (bt).
(d) f(t) = eat sinh (bt).
4. Em cada um dos exercıcios seguintes utilize uma integracao por partes para determinar astransformadas das funcoes. n e um inteiro positivo e a e uma constante real.
(a) f(t) = teat.
(b) f(t) = t sin (at).
(c) f(t) = tneat.
(d) f(t) = t2 sin (at).
5. Suponha que f e f ′ sao funcoes contınuas, definidas para t ≥ 0, de ordem exponencialquando t → +∞. Usando uma integracao por partes, mostre que se F (s) = L{f(t)},entao lim
s→+∞F (s) = 0.
6. Funcao Gamma A funcao Gamma e representada por Γ(p) e e definida pelo integral
Γ(p + 1) =∫ +∞
0e−xxp dx.
28
Capıtulo 4. Transformada de Laplace Page 29
Este integral e convergente para todo o p ≥ 0. Para p < 0, e um integral improprio nao sodevido a um limite de integracao ser +∞ mas tambem por causa da funcao integranda setornar nao limitada junto de x = 0. Neste caso o integral e convergente se p > −1.
(a) Mostre que para p > 0, Γ(p + 1) = pΓ(p).(b) Verifique que Γ(1) = 1.(c) Verifique que, para n ∈ N, Γ(n + 1) = n!
Nota: Uma vez que Γ(p) esta tambem definido quando p nao e um numero natural,podemos dizer que esta funcao e uma extensao do factorial a valores nao naturais.
(d) Mostre que, para p > 0,
p(p + 1)(p + 2) · · · (p + n− 1) =Γ(p + n)
Γ(p)
Nota: Esta propriedade permite-nos determinar o valor de Γ(p), onde p e qualquernumero positivo, a partir dos valores de Γ no intervalo ]0, 1].
7. Determine as solucoes dos problemas de valor inicial seguintes:
(a) y′′ + y = sin (2t), y(0) = 2, y′(0) = 1.(b) yIV − y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1, y′′(0) = 0, y′′′(0) = 0.
8. Determine a transformada inversa de Laplace das funcoes dadas:
(a)3
s2 + 4.
(b)4
(s− 1)3.
(c)2s + 2
s2 + 2s + 5.
(d)8s2 − 4s + 12
s(s2 + 4).
9. Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a) y′′ − y′ − 6y = 0, y(0) = 1, y′(0) = −1.(b) y′′ + 3y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0.(c) y′′ − 2y′ + 2y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 1.(d) y′′ − 4y′ + 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1.(e) yIV − 4y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, y′′(0) = −2, y′′′(0) = 0.
10. Seja F (s) =P (s)Q(s)
, onde Q(s) e uma funcao polinomial de grau n com n zeros reais e
distintos, r1, r2, ...rn, e P (s) e uma funcao polinomial de grau inferior a n. Considere adecomposicao desta fraccao em fraccoes simples:
P (s)Q(s)
=A1
s− r1+
A2
s− r2+ · · ·+ An
s− rn.
onde A1, A2, ...An sao constantes reais.
Capıtulo 4. Transformada de Laplace Page 30
(a) Verifique que Ak =P (rk)Q′(rk
.
(b) Mostre que
L−1 {F (s)} =n∑
k=1
P (rk)Q′(rk)
erkt
11. Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(a) y′′ + 4y = g(t), y(0) = 1, y′(0) = −1, onde g(t) ={
1, se 0 ≤ t < π0, se t ≥ π
.
(b) y′′ + y = g(t), y(0) = 0, y′(0) = 0, onde g(t) ={
t, se 0 ≤ t < 10, se t ≥ 1
.
(c) y′′ + 4y = g(t), y(0) = 0, y′(0) = 0, onde g(t) ={
t, se 0 ≤ t < 11, se t ≥ 1
.
12. Em cada uma das alıneas seguintes desenhe o grafico da funcao dada, considerando odomınio t ≥ 0. A funcao u representa o degrau unitario.
(a) u(t− 1) + 2u(t− 3)− 6u(t− 4).
(b) (t− 3)u(t− 2)− (t− 2)u(t− 3).
(c) f(t− π)u(t− π), onde f(t) = t2.
(d) f(t− 3)u(t− 3), onde f(t) = sin t.
13. Encontre a transformada de Laplace das funcoes:
(a) f(t) ={
0, se t < 2(t− 2)2, se t ≥ 2
.
(b) f(t) =
0, se t < πt− π, se π ≤ t ≤ 2π0, se t ≥ 2π
.
14. Determine a transformada de Laplace inversa das funcoes:
(a) F (s) =3!
(s− 2)4.
(b) F (s) =2(s− 1)e−2s
s2 − 2s + 2.
15. Suponha que F (s) = L{f(t)} existe, para s > a ≥ 0. Verifique que:
(a) Se c e uma constante positiva, entao
L{f(ct)} =1cF
(s
c
), s > ca.
(b) Se k e uma constante positiva, entao
L−1 {F (ks)} =1kf
(t
k
).
Capıtulo 4. Transformada de Laplace Page 31
(c) Se a e b sao constantes e a > 0, entao
L−1 {F (as + b)} =1ae−bt/af
(t
a
).
(d) Use as alıneas anteriores e determine a transformada inversa das funcoes:
i. F (s) =2s + 1
4s2 + 4s + 5.
ii. F (s) =e2e−4s
2s− 1.
Capıtulo 5
Sucessoes e Series Numericas
1. Calcule os seguintes limites:
(a) limn→∞
n
n + 1
(b) limn→∞
n + 3n3 + 4
(c) limn→∞
n!nn
.
2. Mostre que a) se p > 0, limn→∞
n√
p = 1 b) limn→∞
n√
n = 1.
3. Seja Sn+1 =√
2 + Sn.
(a) Seja S1 = 2. Que pode dizer sobre Sn?
(b) Seja S1 =√
2. Mostre que√
2 ≤ Sn ≤ 2, ∀n ∈ N. Mostre ainda que Sn e monotona.Que pode concluir?
4. Considere a sucessao Sn+1 =√
2 +√
S2n − 2, S1 = 2.
(a) Determine uma forma fechada para Sn.
(b) Calcule o limite de Sn.
5. Seja α > 0 fixo, a1 >√
α e an+1 =12
(an +
α
an
).
(a) 1 Mostre que an decrescente e que limn→∞
an =√
α.
(b) Seja εn = an −√
α. Mostre que
εn+1 =ε2n2an
<ε2n
2√
α
(c) Seja β = 2√
α. Deduza que εn+1 < β
(ε1β
)2n
, n = 1, 2, ... .
1Este exercıcio e difıcil!
32
Capıtulo 5. Sucessoes e Series numericas Pag. 33
(d) Este e um bom algoritmo para calcular raızes, uma vez que a relacao de recorrenciae simples e a convergencia extremamente rapida. Por exemplo, se α = 3 e a1 = 2,
mostre queε1β
<110
e que ε5 < 4× 10−16, ε6 < 4× 10−32.
6. Ao deixar cair uma bola de tenis de um muro de 1 metro de altura, sabe-se que a bolatoca no chao e salta outra vez, atingindo uma altura total igual a 60% da altura do saltoanterior, tal como se representa na figura:
Seja h0 a altura inicial da bola e seja hn a altura maxima da bola no salto n. Entao:
h0 = 1hn+1 = 0.6hn
(a) Mostre por inducao matematica que hn = (0.6)n ∀n ∈ N
(b) Calcule a soma da serie∞∑
n=0
(0.6)n e relacione a soma com o problema descrito em
cima.
7. Prove a seguinte formula por inducao matematica:
1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) = n2 ∀n ∈ N
Capıtulo 5. Sucessoes e Series numericas Pag. 34
8. Considere os rectangulos da seguinte figura:
Cada rectangulo tem largura igual a 1 e altura igual a metade da altura do rectangulo asua esquerda. Seja A1 a area do rectangulo 1 e seja An a area do rectangulo n.
(a) Verifique quais das seguintes afirmacoes sao verdadeiras e quais sao falsas:
A area do rectangulo n, An =122
V F
A area do rectangulo n + 1, An+1 = An12
V F
A area do rectangulo n, An =1
2n+1V F
A area do rectangulo n + 1, An+1 =12n
V F
(b) Considere a serie∞∑
n=0
12n
. Verifique se a serie converge.
(c) Relacione a serie em (b) com o problema dado e diga qual o significado que tera asoma se esta convergir.
Capıtulo 5. Sucessoes e Series numericas Pag. 35
9. Considere uma sequencia de rectangulos tal como se representa na figura:
Cada rectangulo n tem uma altura hn que e igual a metade da altura do rectangulo anteriore tem um comprimento n. Seja An = nhn a area do rectangulo n.
(a) Defina as alturas por recorrencia, sabendo que h1 =12.
(b) Mostre, por inducao matematica, que An =n
2n, ∀n ∈ N
(c) Considere a serie∞∑
n=1
n
2ne mostre que a serie converge.
10. Prove a seguinte formula por inducao matematica:
12
+222
+323
+ · · ·+ n
2n= 2− n + 2
2n, ∀n ∈ N
11. Se um doente tomar A gramas de um medicamento no instante t = 0, a quantidade Sde dose activa que tera no corpo ao fim de t horas sera igual a Ae−6t gramas. Considereque o doente toma o medicamento de hora a hora. Seja Sn a quantidade de dose activade medicamento no corpo imediatamente a seguir ao doente ter tomado A gramas pela(n + 1)-esima vez. Tem-se que:
S0 = AS1 = A + Ae−6
(a) Deduza que Sn = A +n∑
k=1
Ae−6k.
Capıtulo 5. Sucessoes e Series numericas Pag. 36
(b) O doente morre se limn→∞
Sn = +∞. Estude a convergencia da serie∞∑
n=1
Ae−6n e
conclua que o doente nao morre.
(c) Determine limn→∞
Sn.
12. Considere a sucessao seguinte definida por recorrencia:
yn+1 = Ayn + Bcom 0 ≤ A < 1 e y1 = B > 0
(a) Mostre, por inducao matematica, que yn =B
A− 1(An − 1) ∀n ∈ N .
(b) Verifique que a sucessao e limitada e monotona.
(c) Calcule limn→∞
yn.
13. Num texto da area economica pode-se ler que o valor real de um terreno agrıcola, se forplantado um cereal em cada ano, sera, no fim do 10 ano:
P1 = ge−1
no fim do 20 ano:P2 = ge−1 + ge−2
no fim do n-esimo ano:Pn = Pn−1 + ge−n
(a) Deduza que o valor do terreno ao fim do n-esimo ano e:
Pn = g(e−1 + e−2 + · · ·+ e−n)
(b) Estude a convergencia da serie∞∑
n=1
ge−n.
(c) Relacione a serie em (b) com o problema dado e determine limn→∞
Pn.
14. Seja S ={
n ∈ N : 1 + 2 + · · ·+ n =18(2n + 1)2
}(a) Prove que se k ∈ S entao (k + 1) ∈ S
(b) Critique a seguinte afirmacao:”Por (a) e tendo em conta o Princıpio da Inducao Matematica, podemos concluir queN ⊂ S”
15. Estude a convergencia das seguintes series:
(a)∞∑
n=1
n2
(n + 1)(n2 − 3)
Capıtulo 5. Sucessoes e Series numericas Pag. 37
(b)∞∑
n=1
(−1)n+1
(2n + 15n + 7
)n
16. Imagine que decidiu comprar um automovel em “leasing”. Suponha que lhe vao cobrar
J% de juros ao ano, o que corresponde a um juro mensal de r =J
12%. Seja D0 o valor
inicial do automovel e x a prestacao mensal. Suponha ainda que o juro e cobrado depoisde efectuar o pagamento da prestacao.
(a) Mostre que a sua dıvida no mes j se pode escrever em funcao da dıvida no mesanterior segundo a seguinte forma:
Dj = (1 + r)(Dj−1 − x) ∀ j ∈ N
(b) Mostre por inducao matematica que ao fim de n meses a sua dıvida e:
Dn = D0βn − x
[β
1− βn
1− β
]onde β = 1 + r
17. Considere a serie∞∑
n=1
1n
.
(a) Verifique que a sucessao an =1n
converge para 0 mas que a serie diverge.Sug: verifique que
S2n = 1 +12
+(
13
+14
)+
(15
+16
+17
+18
)+ ... +
(1
2n−1 + 1+ ... +
12n
)≥ 1 +
n
2
(b) Conclua de a) que para 0 < r < 1 a serie∞∑
n=1
1nr
diverge.
18. Verifique que a serie∞∑
n=1
1nr
e convergente se r > 1.
Sug: Verifique que
S2n−1 = 1 +(
12r
+13r
)+
(14r
+15r
+16r
+17r
)+ ... +
(1
2(n−1)r+ ... +
1(2n − 1)r
)
≤ 1 +22r
+44r
+ ... +2n−1
2(n−1)r=
n−1∑i=0
(22r
)i
19. Determine qual a natureza das seguintes series
(a)∞∑
n=1
3n− 12n + 1
(b)∞∑
n=1
cos (n)n√
n
Capıtulo 5. Sucessoes e Series numericas Pag. 38
(c)∞∑
n=1
(n
2n + 1
)n
(d)∞∑
n=1
(−1)ne−n2
(e)∞∑
n=1
1n√
n2 + 1
(f)∞∑
n=1
(−1.075)n
(g)∞∑
n=1
n
(23
)n
20. Estude a natureza das series:
(a)∞∑
n=1
5n+1 − 2n+1
5n + 2n
(b)∞∑
n=1
1n(n + 1)(n + 2)
(c)∞∑
n=1
n!nn
(d)∞∑
n=1
[nr
n + 1
]r
, r 6= 0
(e)∞∑
n=1
3nn!nn
(f)∞∑
n=1
1(n + 1)2 − 1
(g)∞∑
n=1
sin (nπ)n
(h)∞∑
n=1
sin (nβ)n2
(i)∞∑
n=1
e−n
n cos (nπ)
(j)∞∑
n=1
(−1)n n!nn
21. Mostre que a serie∞∑
n=1
ln(
n
n + 1
)e divergente.
Capıtulo 5. Sucessoes e Series numericas Pag. 39
22. (a) Mostre que o integral∫ ∞
2
ex
xxexiste.
(b) Mostre que a serie∞∑
n=2
1(lnn)ln (n)
converge.
23. Mostre que as seguintes series convergem para as somas indicadas:
(a)∞∑
n=1
1(2n− 1)(2n + 1)
=12
(b)∞∑
n=1
23n−1
= 3
(c)∞∑
n=2
1n2 − 1
=34
(d)∞∑
n=1
2n + 3n
6n=
32
(e)∞∑
n=1
√n + 1−
√n√
n2 + n= 1
(f)∞∑
n=1
(−1)n−1 2n + 1n(n + 1)
= 1
24. Para a ∈ (−1, 1), sabe-se que∞∑
n=0
an converge e a sua soma1
1− a. Calcule a soma das
seguintes series quando a ∈ (−1, 1).
(a)∞∑
n=1
a2n
(b)∞∑
n=0
a2n+1
(c)∞∑
n=0
(−1)nan
(d)∞∑
n=0
(−1)na2n
25. Seja x = a0.a1a2a3a4... > 0, onde 0 ≤ ak ≤ 9, ∀k ∈ N. Entao
a0 +a1
10+ · · ·+ an
10n≤ x ≤ a0 +
a1
10+ · · ·+ an + 1
10n
Seja Sn =n∑
k=0
ak
10k. Entao 0 ≤ x− Sn ≤ 10−n. Observe que:
Capıtulo 5. Sucessoes e Series numericas Pag. 40
limn→∞
Sn = x e x =∞∑
k=0
ak
10k
Nas alıneas seguintes os numeros x dados sao dızimas infinitas. Em cada caso, expresseos numeros x como series, encontre as respectivas somas e expresse finalmente x como oquociente de dois inteiros.
(a) x = 0.4444...
(b) x = 0.515151...
(c) x = 2.020202...
(d) x = 0.123123...
Capıtulo 6
Aproximacao Polinomial e Series dePotencias
1. Calcule o intervalo de convergencia das series:
a)∞∑
n=0
(x
2
)n
Sol: ]− 2, 2[
b)∞∑
n=0
(−1)nnxn
Sol: ]− 1, 1[
c)∞∑
n=1
(−1)n xn
n
Sol: ]− 1, 1]
d)∞∑
n=0
xn
n
Sol: [−1, 1[
e)∞∑
n=0
(−1)n xn
(n + 1)(n + 2)
Sol: [−1, 1]
f)∞∑
n=0
(x− 2)n+1
3n+1(n + 1)
Sol: [−1, 5[
g)∞∑
n=0
(−1)n+1 (x− 1)n+1
n + 1
Sol: ]0, 2]
h)∞∑
n=1
1n(1− x)n
Sol: ]−∞, 0[⋃
[2,+∞[
i)∞∑
n=1
(x− 2)n+1
n2 + n
Sol: [1, 3]
j)∞∑
n=1
(−1)n (x− 2)n+1
(2n + 2)(2n + 1)
Sol: [1, 3]
k)∞∑
n=1
(−1)n(x
2
)2n 12n + 1
Sol: [−2, 2]
l)∞∑
n=1
xn n!nn
Sol: ]− e, e[
2. Seja f(x) =∞∑
n=0
(−1)n x2n+1
(2n + 1)!e seja g(x) =
∞∑n=0
(−1)n x2n
(2n)!.
(a) Calcule o intervalo de convergencia das duas series.
41
Capıtulo 6. Aproximacao polinomial e series de potencias Pag. 42
Sol: ]−∞,+∞[(b) Mostre que f ′(x) = g(x) e que g′(x) = −f(x).(c) Identifique as duas funcoes.
3. Considere as funcoes
f(x) =1
1− x, g(x) =
11 + x
, h(x) = sin(x), l(x) = ex.
(a) Calcule as funcoes polinomiais de Taylor em torno de 0 de grau 1 e de grau 2 de cadauma destas funcoes.
(b) Esboce o grafico de cada das funcoes polinomiais calculadas na alınea a).(c) Esboce o grafico de cada das funcoes dadas numa vizinhanca de 0.(d) Comente os resultados.
4. Considere as funcoes
f(x) =1
1− x, g(x) =
11 + x
, h(x) =1
(1 + x)2, l(x) =
1(1− x)2
.
Para cada uma destas funcoes determine a funcao polinomial de Taylor em torno de 0 degrau n.
5. Considere a funcao f(x) = e3x.
(a) Determine a funcao polinomial de Taylor em torno de 0 de grau n associada a f .(b) Calcule uma estimativa do resto de Taylor para x ∈ (0, 2).(c) Determine o grau do polinomio de Taylor em torno de 1 que lhe permite calcular e3/2
com erro inferior a 10−3.
6. Calcule 5√
1.01 com erro inferior a 5× 10−4.
7. (a) Utilizando polinomios de Taylor, calcule sin(2) com erro inferior a 10−4.(b) Utilizando polinomios de Taylor, calcule sin(1) com erro inferior a 10−10.
8. Verifique que o polinomio de Taylor de grau 7 da funcao exponencial permite calcular onumero de Neper, e, com erro inferior a 5× 10−4. Quantas casas decimais exactas tem ovalor que calculou?
9. Verifique que tan(x + y) =tan(x) + tan(y)
1− tan(x) tan(y)e utilize esta igualdade para mostrar que
arctan(x) + arctan(y) = arctan(
x+y1−xy
)indicando qualquer possıvel restricao dos argu-
mentos.
Conclua que:π
4= arctan
12
+ arctan13
π
4= 4 arctan
15− arctan
1239
Utilize a ultima equacao e os polinomios de Taylor de arctan(x) para mostrar que π =3.14159 . . ..
Capıtulo 6. Aproximacao polinomial e series de potencias Pag. 43
10. Verifique que:
(a) ax =∞∑
n=0
(ln (a))n
n!xn, a > 0, x ∈ R.
(b) sin2(x) =∞∑
n=1
(−1)n+1 22n−1
(2n)!x2n, ∀x ∈ R.
(c) e−x2=
∞∑n=0
(−1)n x2n
n!, ∀x ∈ R.
(d)x
−2x2 + x + 1=
13
∞∑n=1
[1− (−2)n]xn, para x ∈(−12
,12
).
11. Seja f uma funcao tal que f ′′(x) + f(x) = 0 para todo o x ∈ R e f(0) = 0, f ′(0) = 0.Verifique que todas as derivadas de f existem. Calcule o polinomio de Taylor desta funcaono ponto 0 e o respectivo resto. Conclua que qualquer funcao satisfazendo estas condicoese necessariamente a funcao nula.