Factorisations de polynmesI. est racine de PSi P est de la forme P(x) = c, alors P est un polynme de degr 0. Si P est de la forme P(x) = bx + c, alors P est un polynme de degr 1. Si P est de la forme P(x) = ax + bx +c, alors P est un polynme de degr 2.

Dans une fonction polynme, il ne peut jamais y avoir de est dit racine de P si P( ) = 0 Exemple : P(x) = 3 + x -3 est racine de P car P(-3) = 0

ou ou

ou

...

Thorme : Si est racine de P, alors on peut factoriser P par (x - ). Rciproquement si on peut factoriser P par (x - ), alors est racine de P. Exemple : Q(x) = x + 3x - 10 0 = Q(2) = 2 + 6 - 10 En soustrayant ces deux lignes, on obtient : Q(x) = Q(x) - Q(2) = (x - 2) + (3x - 6) = (x + 2)(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x + 5)

II. Forme canoniqueRien de mieux que de comprendre partir d'un exemple... On a : On commence par factoriser par le nombre devant

est le dbut d'une identit remarquable de type (a + b) Donc :

Maintenant a - b D'o :

Fonctions Polynmes : CoursI. Fonctions polynmes

1. DfinitionsUne fonction polynme est une fonction P : dfinie par une expression du type : n n-1 P(x) = anx + an-1x + ... + a1x + a0 Les nombres a0,...,an sont appels les coefficients de P. Si an 0, n est appel le degr de P.

2. Oprations sur les degrsSoit P et Q deux fonctions polynmes non nulles. Alors : deg (PQ) = deg P + deg Q et deg (P + Q) sup(deg P, deg Q) Remarque : l'ingalit stricte est possible, les termes de plus haut degr pouvant s'annuler.

3. Egalit de deux fonctions polynmesSoit P et Q deux fonctions polynmes Thorme 1 P = Q signifie que : deg P = deg Q et les coefficients des termes de mme degr de P et Q sont gaux Cas particulier : P = 0 signifie que tous les coefficients de P sont nuls.

4. Racine d'une fonction polynmeSoit P une fonction polynme de degr n, n 1. Dfinition : Une racine (ou zro) de P est un nombre a tel que P(a) = 0. Dterminer les racines de P, c'est rsoudre l'quation P(x) = 0. Thorme 2 a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynme Q telle que pour tout rel x, P(x) = (x - a) Q(x).

Remarques : on a alors deg Q = n - 1 ; ce thorme permet de rduire le degr d'une quation.

5. Une formule utileQuels que soient les rels x et a, xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + ... + akxn-k-1 + ... + an-2x + an-1).

II. Trinme du second degr

1. DfinitionsUn trinme du second degr est un polynme de la forme : P(x) = ax + bx + c avec a 0. Rsoudre l'quation du second degr P(x) = 0, c'est chercher l'ensemble S des racines de P.

2. Mthode gnraleDfinition : On appelle discriminant de P le rel Thorme 3 Si < 0, S = Si Si = 0, S = > 0, S = = b - 4ac.

3. Somme et produit des racinesThorme 4 Si le trinme P(x) = ax + bx + c, avec a 0, admet deux racines x1 et x2 alors : x1 + x2 = et x1 x2 = .

Remarque : ces formules restent valables si les racines sont confondues. Thorme 5 Les solutions du systme sont les couples (u, v) tels que u et v soient les solutions de l'quation du second degr Remarque : quand on connat une solution (u, v) du systme on a entirement rsolu celui-ci, car l'autre solution est (v, u).

4. Factorisation du trinmeThorme 6 Si le trinme P(x) admet deux racines x1 et x2 (ventuellement confondues), alors pour tout rel x, P(x) = a(x - x1)(x - x2).

5. Signe du trinmeThorme 7 Si < 0, P(x) a le signe de a pour tout x. Si Si = 0, P(x) a le signe de a pour tout x . > 0, P(x) a le signe de a l'extrieur des racines et le signe de (- a) entre les racines.

Remarque : un lve de premire S doit connatre parfaitement ce rsultat, mais peut, au dbut, faire rapidement un tableau de signes.

6. Second degr et parabolesDe nombreux rsultats de ce chapitre se traduisent graphiquement l'aide de la parabole P d'quation : y = ax + bx + c, a 0.

Les Fonctions Polynmes : Fiche Mthode

I. Fonction polynmeNe pas oublier qu'une fonction polynme est dfinie sur et que les puissances de x sont des entiers naturels.

II. Equation de degr suprieur ou gal 3Chercher une ou plusieurs racines : en programmant une calculatrice, souvent parmi -2, -1, 0, 1, 2, dont 0 si le coefficient constant est nul, puis utiliser le thorme suivant : a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynme Q telle que pour tout rel x, P(x) = (x - a) Q(x). une ou plusieurs fois pour factoriser et se ramener une quation de degr 2.

III. Equation de degr 2Vrifier d'abord s'il s'agit ou non d'une identit remarquable. S'il y a une racine simple (souvent parmi -2, -1, 0, 1, 2), utiliser le thorme suivant pour obtenir l'autre racine : Si le trinme P(x) = ax + bx + c, avec a 0, admet deux racines x1 et x2 alors : x1 + x2 = et x1 x2 =

Sinon utiliser les formules du thorme suivant : - Si < 0, S = - Si - Si = 0, S = > 0, S =

qui ne sont valables que pour une quation du second degr et qui doivent tre connues par cur ! Retenir qu'un polynme de degr 2 a au plus deux racines. Dans un problme concret, vrifier la cohrence des rsultats.

IV. InquationCommencer par factoriser au maximum en utilisant les mthodes du II. et du III., puis utiliser la rgle des signes avec un tableau. Ne pas oublier le facteur a dans a(x - x1)(x - x2).

Vrifier les rsultats en prenant des valeurs particulires et en dterminant le signe du polynme pour ces valeurs.

Factorisations de polynmesexercice 1Factoriser H(x) = x - x - 2 aide : calculer H(2)

exercice 2Factoriser R(x) = x + 2x - 5x - 6 aide : calculer R(2) a - b = (a - b)(a + ab + b)

exercice 3Factoriser A(x) = 2x + 10x - 3 Voir la correction

exercice 1H(x) = x - x - 2 Calculons H(2) : H(2) = 2 - 2 - 2 = 0 Donc : H(x) = H(x) - H(2) H(x) = x - x - 2 - (2 - 2 - 2) H(x) = (x - 2) - (x - 2) H(x) = (x - 2)(x + 2) - (x - 2) H(x) = (x - 2)(x + 2 - 1) H(x) = (x - 2)(x + 1)

exercice 2R(x) = x + 2x - 5x - 6 Calculons R(2) = 2 + 2 2 - 5 2 - 6 = 0

Donc : R(x) = R(x) - R(2) R(x) = x + 2x - 5x - 6 - (2 + 2 2 - 5 2 - 6) R(x) = (x - 2) + 2(x - 2) - 5(x - 2) R(x) = (x - 2)(x + 2x + 4) + 2(x - 2)(x + 2) - 5(x - 2) R(x) = (x - 2)(x + 2x+ 4 + 2x + 4 - 5) R(x) = (x - 2)(x + 4x + 3) Pour aller plus loin... On prend : Z(x) = x + 4x + 3 0 = Z(-1) = (-1) + 4 (-1) + 3 ____________________________ Z(x) = Z(x) - Z(-1) = (x - (-1)) + 4(x - (-1)) Z(x) = (x - 1)(x + 1) + 4(x + 1) Z(x) = (x + 1)(x + 3) Donc pour reprendre R(x) : R(x) = x + 2x - 5x - 6 R(x) = (x - 2)(x + 4x + 3) R(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 3)

exercice 3On va utiliser la forme canonique ...

Fonctions Polynmes : Exercicesexercice 1Calculer x1 + x2 et x13 + x23 o x1 et x2 sont les deux racines de ax + bx + c.

exercice 2Rsoudre dans l'quation suivante : indication : on pourra poser

exercice 3Rsoudre dans l'quation suivante : indication : on pourra poser

exercice 4Soit P une fonction polynme de degr n, n 1. 1. Montrer que si P a n racines distinctes a1, .... an, alors il existe une fonction polynme Q telle que pour tout rel x, on ait : P(x) = (x - a1)(x - a2)...(x - an) Q (x). 2. En dduire que toute fonction polynme de degr n a au plus n racines distinctes. 3. La fonction f : x sin x est-elle polynomiale ? = P(x-

4. Existe-t-il une fonction polynme P non nulle telle que pour tout x 0, x5P 1) et telle que 1 soit racine de P ? Pour rpondre la question, on montrera que : si P existe, deg P 5 ; et sont racines de P ; il existe six racines distinctes de P.

exercice 5Soient A, B, C trois villes telles que : d(A, B) = d(B, C). Deux voitures se rendent de A C en passant par B. La premire va la vitesse v de A B, puis deux fois plus vite ensuite. La deuxime va de A B 48 km/h de moyenne, puis roule la vitesse (v + 20) entre B et C. Les deux voitures mettent le mme temps : calculer v.

exercice 6

Le livre de mathmatiques de premire S a la forme d'un paralllpipde rectangle d'artes de longueurs a, b et c. Son volume vaut V = 792 cm3, la somme des aires de ses faces vaut S = 954 cm et la somme des longueurs de ses artes vaut P = 170 cm. Retrouver les dimensions du livre (on pourra dvelopper le polynme Q(x) = (x - a)(x - b)(x c) et trouver l'paisseur du livre comme racine vidente de Q).

exercice 7Soit une fonction polynme P et soit (P) la fonction polynme : x P(x + 1) - P(x).

1. Calculer (P) lorsque P est un polynme de degr 0, de degr 1, de degr 2. Comparer deg (P ) et deg P sur ces trois cas particuliers. Formuler un rsultat gnral reliant deg (P) et deg P si deg P 1 et dmontrer ce rsultat. 2. Montrer que (P) = ( (P)) est la fonction polynme : x P(x + 2) - 2P(x + 1) + P(x). Donner une expression analogue pour 3(P) = ( ( (P))). 3. Que peut-on dire de3

(P) lorsque deg P = 2, puis lorsque deg P = 3 ?

4. Montrer que pour toute fonction polynme P de degr 3, on a pour tout rel x : P(x + 4) + 6P(x + 2) + P(x) = 4[P(x + 3) + P(x + 1)]. 5. Application. Existe-t-il une fonction polynme P de degr 3 vrifiant : P(-3) = P(-1) = P(1) P(-2) = P(0).

exercice 8On appelle polynme symtrique un polynme dont les coefficients peuvent se lire indiffremment dans un sens comme dans l'autre. exemple : f (x) = x4 - 5x3 + 6x - 5x + 1 Le but de l'exercice est de rsoudre l'quation (E) : , pour tout appartenant . 1. Vrifier que 0 n'est pas solution de (E).

2. Montrer que si

est solution de (E), alors

est solution de (E). .

3. Montrer que l'quation (E) est quivalente l'quation (E') :

4. Calculer 5. En posant degr.

. , montrer que l'quation (E') se ramne une quation du second

6. Rsoudre l'quation du second degr, puis en dduire les solutions de l'quation (E).

exercice 9On appelle polynme symtrique un polynme dont les coefficients peuvent se lire indiffremment dans un sens comme dans l'autre. Exemple : f (x) = 3x4 + x3 - x + x + 3. Nous allons voir des mthodes permettant de rsoudre l'quation f(x) = 0. 1. Degr 2. Soit : f: x ax + bx + a, a 0. Rsoudre l'quation f (x) = 0 et dans le cas o f admet deux racines distinctes, les comparer. 2. Degr 3. Soit : f: x ax3 + bx + bc + a, a 0. est aussi racine de

a) Montrer que 0 n'est pas racine de f et que si x1 est racine de f, alors f.

b) Trouver une racine vidente de f et en dduire une factorisation de f(x). Discuter alors le nombre de solutions de l'quation f(x) = 0. c) Application f: x 7x3 - 43x - 43x + 7. Rsoudre l'quation f(x) = 0 et factoriser f(x). 3. Degr 4. Soit : f: x ax4 + bx3 + cx + bx + a, a 0. a) Mme question que B. a). b) Soit y = x + .

Calculer y et en dduire l'expression de g(x) = en fonction de a, b, c, y et y (ceci pour x 0). Montrer que rsoudre f (x) = 0 revient rsoudre successivement deux quations du second degr. Montrer que si b < 4a(c - 2a), f(x) = 0 n'a pas de solution. c) Application Rsoudre l'quation : 12x4 + 11x3 - 146x + 11x + 12 = 0.

exercice 101. Trouver une fonction polynme , de degr 2, telle que

,

,

.

est-elle unique ? Si oui, pourquoi ? Sinon, trouver toutes les fonctions polynmes de degr infrieur ou gal 2 vrifiant les mmes conditions. 2. Reprendre la question 1. pour les fonctions polynmes de degr infrieur ou gal 2 qui vrifient : et 3. Soient , , , quatre rels donns. Montrer que s'il existe une fonction polynme , et .

de degr 3 vrifiant

,

, alors elle est unique. dfinie par :

4. Montrer qu'il existe quatre rels tels que la fonction polynme soit la solution du problme. Le polynme obtenu s'appelle le polynme d'interpolation de Lagrange. 5. Gnraliser les questions 3. et 4. en remplaant deux deux distinctes. , , ,

par des valeurs quelconques

6. Gnraliser la recherche des fonctions polynmes de degr vrifiant o sont des rels donns deux deux distincts et o sont des rels donns quelconques.

exercice 11Dossier d'Interpol (utiliser l'exercice 10). La socit secrte du troisime degr se livre de redoutables activits et ses membres se reconnaissent grce un code numrique qui change chaque mois suivant une formule connue d'eux seuls. A Interpol, le commissaire Lagrange n'a pas beaucoup d'lments pour son enqute : il sait seulement que les codes pour les 3e, 5e, 6e et 8e mois taient respectivement 729, 1313, 901 et 1014. Nanmoins, le nom de la socit secrte lui donne une ide. Il va dcouvrir la formule, et connaissant le code pour le 10e mois, il va s'infiltrer dans la socit et arrter peu peu tous ses membres. Quelle est la formule ? Quel est le code du 10e mois ?

exercice 12

Dterminer le polynme P(x) de degr 3 tel que : P(1) = ; P(2) = 1 ; P(3) = et P(4) = 21.

exercice 2Posons , donc quivaut :

L'quation admet donc deux solutions : et Or , donc : ou n'admet pas de solution dans quivaut x = 2 ou x = -2 D'o : .

exercice 3Posons , quivaut :

Calculons le discriminant : L'quation admet donc deux solutions : et Or , donc : ou n'admet pas de solution dans quivaut x = 81 D'o : .

exercice 81. 0 n'est donc pas solution de l'quation (E). 2.

Or, x0 est solution de l'quation (E), donc : x04 - 5x03 + 6x0 - 5x0 + 1 = 0. Donc : D'o : si x0 est solution de (E), alors 3. x4 - 5x3 + 6x - 5x + 1 = 0 quivaut est solution de (E).

4. 5. Posons , donc : quivaut

X - 2 - 5X + 6 = 0 X - 5X + 4 = 0 6. Rsolvons l'quation X^2 - 5X + 4 = 0. L'quation admet donc deux solutions : et Or , donc : ou

quivaut soit : x - x + 1 = 0 L'quation n'admet donc pas de solution dans .

quivaut soit : x - 4x + 1 = 0 L'quation n'admet donc deux solutions : et D'o : .

Les Fonctions Polynmes : Exercicesexercice 1Cocher la rponse exacte. I.Comment s'crivent ces expressions ? 1. (2x - 1) - 4(x - 2) 2. 4(x - 1) - (x - 3) A 2(x + 1) (x + 1)(3x - 5) B 3(4x - 5) (x + 1)(x - 7) C 4(x - 1)(x - 2) 3(x + 2)

II. Quel ensemble de solutions admettent ces quations ? A 3. 5x - 20x = 0 {3 ; 0} 4. 3x + 27 = 0 {1} 5. 9(3x + 5) - (x - 1) = 0 6. 4x + 4x + 1 = 0 {1 ; 3}

B {1 ; -2} {-3 ; 3}

C {0 ; 4} {-2 ; -1}

{1 ; 2}

III. Quel ensemble de solutions admettent ces inquations ? A B 7. 5x - 20x 0 [0; 4] 8. (2x - 1) - 4(x - 2) 0 9. 4(x - 1) - (x - 3) 0 10. x + 1 2x [1 ; 2] -{1} ]- ;3[

C ]- ; 2[

]1; + [

exercice 2Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions polynmes ? 1. f: ;

2. g:

;

3. h:

.

exercice 3Dterminer le degr et les coefficients des fonctions polynmes suivantes, aprs les avoir crites sous forme rduite et ordonne : f1: x (x - 1) - 4(2x - 3)(x + 2) + 3(x - 4)(x + 2) f2: x (2x - 1)3 - 2(2x + 3)(x - 4) - 4(x - 1)(x + 3) f3: x (2x3 + 2x - 1)(4x4 + 5x + 3).

exercice 4On donne les fonctions polynmes : Exprimer , , , (= ).

exercice 5Un texte de devoir est mal crit, et les coefficients en x3 et en x d'une fonction polynme ont t effacs. On ne voit que p(x) = x4 + ...x3 - 2x + ...x - 3. La premire question du problme est : vrifier que -1 et 3 sont racines de la fonction polynme p. Comment retrouver les coefficients effacs ?

exercice 6Soit les fonctions polynmes : Quels sont les rels tels que et soient gales ?

exercice 7Discriminant rduit Soit l'quation ax - 2b'x + c = 0 et soit ' = b' - ac. En utilisant les rsultats de cours, discuter suivant le signe de ' le nombre de solutions, et, lorsqu'elles existent, exprimer celles-ci en fonction de ', a et b'.

exercice 81. Soit p: x x3 - 3x - 13x +15. Chercher une racine vidente de p, puis rsoudre dans l'quation p(x) = 0. de

2. Soit p: x 4x3 - 8x - 47x + 105. Calculer p(3) et en dduire la rsolution dans l'quation p(x)=0. 3. Mme travail avec p: x x3 + 7x + 12x + 10 et p(-5).

4. Soit p: x 9x4 - 12x3 - 83x - 50x - 8. Calculer p(4) et en dduire une premire factorisation de p(x). Chercher une racine vidente de p, puis rsoudre p(x) = 0.

exercice 9Rsoudre dans les quations : 7x - 12x + 5 = 0 et 7x + 12x + 5 = 0.

Comparer les solutions des deux quations. Ne pouvait-on pas prvoir ce rsultat ?

exercice 10Trouver trois entiers conscutifs dont la somme des carrs est 509.

exercice 11Rsoudre dans les quations suivantes :

1. x4 - 2x - 8 = 0 ; 2. 3x4 - 11x + 6 = 0 ; 3. 2 x + 5 4. -3=0; .

exercice 12

Le nombre d'or est la solution positive de l'quation 1. Dterminer la valeur exacte de .

; on le note .

2. Montrer que

et que

.

exercice 13Rsoudre dans les inquations suivantes :

1. 2x + 7x - 4 0 ; 2. x - 15x + 50 < 0 ; 3. 3x + 20x + 50 > 0 ; 4.

exercice 14

Rsoudre dans

le systme :

En dduire les solutions du systme :

exercice 15La somme des ges de deux amis est 53 ans. Dans cinq ans, le produit de leurs ges sera 990. Quels sont leurs ges ?

exercice 16Quelles sont les dimensions d'une bote paralllpipdique base carre dont le volume est V = 1 875 cm3 et telle que la surface de carton employe est S = 950 cm. (On se ramnera une quation du troisime degr dont on cherchera une racine vidente.)

Polynmesexercice 1Rsoudre dans les quations suivantes : a) 2x2 + x 15 = 0 b) 2 + x + 2 = 0 x c) x2 x+5=0 d) 5x2 + 3x + 2 = 0

exercice 2Factoriser, lorsque c'est possible, les trinmes suivants : a) P(x) = 9x2 + 4x 5 b) P(x) = x2 + 2x 3 c) P(x) = x2 + x + 1 d) P(x) = 12x2 + 7x e) P(x) = 3x2 6x + 3