factores gradiente aritmético y geométrico _8-9
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Factores de gradiente aritmético
• En las aplicaciones, el patrón de flujo de efectivo anual no
es el único tipo de patrón encontrado.
• Otros dos tipos de patrón de fin de periodo son comunes:
• El gradiente lineal o aritmético.
• El gradiente geométrico (% por periodo).
• Esta sección presenta el gradiente aritmético.
Factores del gradiente aritmético
• Un gradiente aritmético (lineal) es una serie de flujo de
efectivo que aumenta o disminuye en un monto constante
durante n periodos.
• Un gradiente lineal siempre está formado por DOS
componentes:
• El componente gradiente.
• El componente anualidad base.
• El objetivo es hallar una expresión en forma cerrada para el
valor presente de un gradiente aritmético.
Suponga lo siguiente:
0 1 2 3 n-1 N
A1+G
A1+2G
A1+(n-2)G
A1+(n-1)G
Esto representa un gradiente aritmético positivo, creciente.
factor P/G
2
(1 ) 1( / , %, )
(1 )
N
N
i iNP G i N
i iRecuerde, el punto de valor presente de cualquier gradiente lineal está 2
periodos a la izquierda del flujo de efectivo del gradiente.
P=G(P/G,i%,n)
Si tengo un pago inicial de 100 en el primer año y quiero ir
aumentando en 10 cada año, voy a tener el segundo año 110,
tercero 120, y así sucesivamente. Y deseo saber a cuanto equivale
eso en el presente, se hace de la siguiente manera:
Gradiente decreciente. El mayor valor del
gradiente es la base, y G siempre se manifiesta
desde el segundo período. En el flujo de efectivo,
la G le va restando su valor.
(n-1)G
P
G
1 2 3 N-1 N
i %
2G A
3G
A > (n-1)G
Ptotal = PAnualidad - Pgradiente
Si tengo un pago inicial de 100 en el primer año y quiero ir
disminuyendo en 10 cada año, voy a tener el segundo año 90,
tercero 80, y así sucesivamente. Y deseo saber a cuanto
equivale eso en el presente, se hace de la siguiente manera:
Otros casos…
P
G
1 2 3 N-1 N
i %
(n-1)G
A
P
G
1 2 3 N-1 N
i %
(n-1)G
A
A = (n-1)G
El último valor del gradiente
es mayor que A.
A < (n-1)G
Este es un caso que podría analizarse de dos formas: serie uniforme
más gradiente (izquierda) o solo como gradiente, como que no hubiera
anualidad (derecha):
Entonces P0 = PG
P
20
1 2 3 4
i %
40
60
P
A=20
0 1 2 3 4
i %
40
60
P’
Ejercicio :Usted va a depositar dentro de 6 meses $50,000; dentro de
9 $100,000; dentro de 1 año $150,000 y así sucesivamente hasta su
último depósito en 4 años. ¿Cuánto tendrá acumulado si los depósitos
ganan un 8% trimestral?
Gradientes geométricos
• Un gradiente aritmético (lineal) cambia en una cantidad
fijada en dólares cada periodo.
•Un gradiente GEOMÉTRICO cambia en un porcentaje fijo
cada periodo.
•Definimos una TASA DE CAMBIO UNIFORME (%) para cada
periodo.
•Definimos “g ” como la tasa de cambio constante en forma
decimal en la cual las cantidades aumentan o disminuyen de
un periodo al siguiente.
Gradientes geométricos: Crecientes
• Perfil típico de un gradiente geométrico.
• Sea A1 = el primer flujo de efectivo de la serie.
0 1 2 3 4 …….. n-1 n
A1 A1(1+g) A1(1+g)2
A1(1+g)3
A1(1+g)n-1
Gradientes geométricos: Decrecientes
• Perfil típico de un gradiente geométrico.
• Sea A1 = el primer flujo de efectivo de la serie.
A1
A1(1-g)
A1(1-g)2
A1(1-g)3
A1(1-g)n-1
0 1 2 3 4 …….. n-1 n