Esercizio 1

FACOLTA’ DI INGEGNERIA

Corso di Fisica Tecnica Ambientale

ESERCIZI SVOLTI

CONDUZIONE

Esercizio 1

Esercizio 1

Determinare il flusso termico per unità di superficie che attraversa in regime permanente una

lastra piana omogenea dello spessore di 38 mm con le due facce mantenute alle temperature di

311 K e 294 K (k = 0.19 W/mK).

1T

x

T2

k

2

21 85038.0

)294311(19.0

m

W

m

KmK

W

x

TTk

A

q

Esercizio 2

Esercizio 2

Il coefficiente di trasmissione del calore per convezione forzata per un fluido caldo che scorre

alla temperatura di 394 K su una superficie fredda vale 227 W/m2K. Sapendo che la temperatura

della superficie è 283 K, determinare il flusso termico unitario trasmesso dal fluido alla

superficie.

fT

Tp h

222

2,2525197)283394(227m

kW

m

WK

Km

WTTh

A

qpf

Esercizio 3

Esercizio 3

Determinare il raggio critico per un tubo ricoperto di isolante (k = 0.208 W/mK) esposto ad aria

sapendo che il coefficiente di scambio termico convettivo dell’aria è 8.51 W/m2K.

h

k

cmm

Km

WmK

W

h

kr 44.20244.0

51.8

208.0

2

Esercizio 4

Esercizio 4

Un forno industriale è costruito con una muratura di mattoni spessa 0.22 m, avente coefficiente

di conducibilità termica k1 = 0.95 W/mK, ed è ricoperto all’esterno da uno strato di 0.03 m di

materiale isolante, avente conducibilità termica k2 = 0.06 W/mK. La superficie interna del muro

si trova alla temperatura di 1000°C, mentre quella esterna dell’isolante a 40°C. Calcolare la

quantità di calore trasmessa per unità di superficie e la temperatura interfacciale fra il muro e

l’isolante.

1TT2 T3

1x x2

k1 k2

mK

W

m

mK

W

m

K

k

x

k

x

TT

A

q

06.0

03.0

95.0

22.0

)401000(

2

2

1

1

31

Km

W2

1312

A

q

C

mK

W

m

m

WT

k

x

A

qT

k

x

TT40

06.0

03.01312

23

2

2

2

2

2

32 C696

Esercizio 5

Esercizio 5

Un cilindro di rame ha raggio interno di 1 cm ed esterno di 1.8 cm, la superficie interna e quella

esterna sono mantenute rispettivamente a 305 K e 295 K e la conducibilità termica k varia

linearmente con la temperatura secondo la legge k = k0 (1+ b Tm) dove k0 = 371.9 W/mK e b = -

9.25 x10-5 K-1. Valutare le perdite di calore per unità di lunghezza.

2r1r

k

mk

rr

TT

L

q

2

)/ln( 12

21

con:

)1( mom bTkk

essendo 2

21 TTTm

K

KK300

2

295305

. Pertanto:

)1( mom bTkk 371.9 KKmK

W300)1025.91( 15 361.58

mK

W

m

W

mK

W

mm

K

L

q65.38

58.3612

001.0018.0ln

295305

Esercizio 6

Esercizio 6

Un tubo di acciaio con diametro esterno di 7.5 cm è ricoperto con uno strato di 1.25 cm di

materiale plastico, avente conducibilità termica pari a 0.207 W/mK, il quale è a sua volta

ricoperto da uno strato di 5 cm di lana di vetro, la cui conducibilità termica vale 0.055 W/mK.

Sapendo che le temperature esterne del tubo di acciaio e della lana di vetro valgono

rispettivamente 200°C e 35°C, determinare il flusso termico per metro lineare e la temperatura

interfacciale fra il materiale plastico e la lana di vetro.

1T

T2

T3

1rr 2 r 3

Lkam

klv

Il flusso lineare può essere valutato attraverso i due strati di materiale plastico e lana di vetro, ai cui

estremi sono note le temperature:

m

W

mK

W

mm

mK

W

mm

K

k

rr

k

rr

TT

L

q85.73

0548.02

05.01.0ln

207.02

0375.050.0ln

)35200(

2

ln

2

ln

2

23

1

12

31

Per valutare la temperatura interfacciale tra materiale plastico e lana di vetro si sfrutta la conduzione

attraverso uno dei due strati, ad esempio il primo:

kL

rr

TTq

2

)/ln( 23

32

T2 = T3 +kL

rrq

2

)/ln( 23 =

)5/10ln(

055.02

85.73

35 cmcm

mK

Wm

W

C

183.66°C

Esercizio 7

Esercizio 7

Un muro di calcestruzzo spesso 15 cm, con conduttività termica k = 0.87 W/mK, è esposto dal lato

interno ad aria a 25°C e dall’altro ad aria a 0°C. Il coefficiente di scambio termico convettivo per

l’aria interna vale 10.46 W/m2K mentre per quella esterna vale 52.3 W/m2K. Determinare il

flusso termico e la temperatura sulle due facce del muro.

Ti Te

hi he

1x

T2T1 k

2

22

1.87

46.10

1

87.0

15.0

3.52

1

)025(

11 m

W

Km

W

mK

W

m

Km

W

K

hk

x

h

TT

A

q

ei

ei

C

Km

W

m

W

CAh

qTT

h

TT

A

q

i

i

i

i

7.16

46.10

1.87

251

2

2

1

1

C

Km

W

m

W

CAh

qTT

h

TT

A

q

e

e

e

e

7.1

3.52

1.87

01

2

2

2

2

Esercizio 8

Esercizio 8

Del vapore scorre in un tubo di acciaio avente raggio interno pari a 5 cm ed esterno pari a 5.7

cm, rivestito da uno strato di isolante di 2.5 cm. I coefficienti di scambio termico convettivo

interno ed esterno valgono rispettivamente 87.1 W/m2K e 12.43 W/m2K, mentre i coefficienti di

conducibilità per l’acciaio e per l’isolante valgono rispettivamente 45 W/mK e 0.071 W/mK.

Determinare il coefficiente globale di scambio termico.

1T

T2

T3

iT

eT

1rr2 r3

L1k

k2

ih

eh

Km

W

Km

W

mK

W

mmm

mK

W

mmm

Km

Wm

m

hk

rrr

k

rrr

hr

rU

ei

2

22

2

233

1

123

1

3

5.0

43.12

1

071.0

)57.0/082.0ln(082.0

45

)05.0/057.0ln(082.0

1.8705.0

082.0

1

1lnln

1

Esercizio 9

Esercizio 9

Sia dato un muro piano costituito da uno strato di pietra ed uno di calcestruzzo, di spessore

uguale e pari a 10 cm, separati da un’intercapedine d’aria di 30 cm. Il muro separa due ambienti

a temperatura rispettiva di 40°C e 20°C, aventi coefficiente di scambio convettivo pari

rispettivamente a 30 e 5 W/m2K. Sapendo che i coefficienti di conducibilità della pietra, del

calcestruzzo e dell’aria valgono rispettivamente 1.5 W/mK, 1.2 W/mK e 0.022 W/mK, determinare

il flusso scambiato e l’andamento della temperatura nei casi in cui:

a) l’aria non dia luogo a moti convettivi

b) l’aria dia luogo ad uno scambio per convezione con coefficiente h pari a 2.5W/m2K.

a)

TiTe

hihe

1x x2 x3

k1 k2 k3

T1 T2 T3 T4

)( ie TTUA

q

dove

Km

W

Km

W

mK

W

m

mK

W

m

mK

W

m

Km

Whk

x

k

x

k

x

h

U

ei

2

223

3

2

2

1

1

07.0

5

1

2.1

1.0

022.0

3.0

5.1

1.0

30

1

1

11

1

avendo supposto l’aria in quiete e quindi lo scambio attraverso di essa per conduzione. Pertanto:

)( ie TTUA

q

224.1)2040(07.0

m

WK

Km

W

Per determinare T1 e T4 si sfrutta la convezione, rispettivamente per l’aria esterna ed interna.

Esercizio 9

C

Km

W

Km

W

CAh

qTTTTAhq

e

eee 95.39

30

4.1

40)(

2

2

11

CC

Km

W

Km

W

TAh

qTTTAhq i

i

ii 28.2020

5

4.1

)(

2

2

44

Per determinare T2 e T3 si sfrutta invece la conduzione, rispettivamente attraverso gli strati 1 e 3:

C

mK

W

m

Km

WC

k

x

A

qTT

k

x

TT

A

q

C

mK

W

m

Km

WC

k

x

A

qTT

k

x

TT

A

q

4.20

2.1

1.04.128.20

86.39

5.1

1.04.195.39

23

3

43

3

3

43

21

1

12

1

1

21

b)

TiTe

hihe

1x x2 x3

k1 k3

T1 T2 T3 T4

haria

Procedendo come nel caso precedente:

Km

W

Km

W

mK

W

Km

W

mK

W

Km

Whk

x

hk

x

h

U

iariae

2

2223

3

1

1

26.1

5

1

2.1

1.0

5.2

1

5.1

1.0

30

1

1

111

1

222.25)2040(26.1)(

m

WK

Km

WTTU

A

qie

Esercizio 9

Come per il caso a) per determinare T1 e T4 si sfrutta la convezione rispettivamente per l’aria

esterna ed interna:

C

Km

W

Km

W

CAh

qTTTTAhq

e

eee 16.39

30

2.25

40)(

2

2

11

CC

Km

W

Km

W

TAh

qTTTAhq i

i

ii 04.2520

5

2.25

)(

2

2

44

e per determinare T2 e T3 si sfrutta la conduzione rispettivamente attraverso gli strati 1 e 3:

C

mK

W

m

Km

WC

k

x

A

qTT

k

x

TT

A

q

C

mK

W

m

Km

WC

k

x

A

qTT

k

x

TT

A

q

6.27

2.1

1.02.2504.25

48.37

5.1

1.02.2516.39

23

3

43

3

3

43

21

1

12

1

1

21

Esercizio 10

Esercizio 10

Sia dato un muro di 50 cm che separa due ambienti rispettivamente a temperatura di 18°C e

40°C, aventi coefficienti di convezione pari rispettivamente a 3.5 e 29 W/m2K.

Calcolare il flusso termico che attraversa il muro e l’andamento della temperatura nei tre casi:

a) muro di pietra arenaria con coefficiente di conducibilità pari a 1.5 W/mK;

b) muro composto da tre strati (arenaria, mattoni forati, polistirolo) di spessore rispettivo pari a

30, 15 e 5 cm con coefficienti di conducibilità rispettivamente pari a 1.5 W/mK, 0.35W/mk,

0.0035 W/mK.

c) muro di arenaria con conducibilità termica variabile con la temperatura con la legge k =

1.5W/mK(1+10-3K-1T).

a)

TiTe

hihe

1x

T2T1 k

)( ie TTUAq

22

2

22

66.33)1840(53.1

53.1

29

1

5.1

5.0

5.3

1

1

11

1

m

WK

Km

W

A

q

Km

W

Km

W

mK

W

m

Km

Whk

x

h

U

ei

Pertanto:

C

Km

W

Km

W

CAh

qTTTTAhq

e

eee 84.38

29

66.33

40)(

2

2

11

CC

Km

W

Km

W

TAh

qTTTAhq i

i

ii 62.2718

5.3

66.33

)(

2

2

44

Esercizio 10

b)

k1

x1 x2 x3

k2 k3

Ti

T1

hihe

Te

T2 T3 T4

)( ie TTUAq

con

22

2

223

3

2

2

1

1

44.1)1840(065.0)(

065.0

29

1

0035.0

05.0

35.0

15.0

5.1

3.0

5.3

1

1

11

1

m

WK

Km

WTTU

A

q

Km

W

Km

W

mK

W

m

mK

W

m

mK

W

m

Km

Whk

x

k

x

k

x

h

U

ie

ei

Pertanto:

C

Km

W

Km

W

CAh

qTTTTAhq

e

eee 95.39

29

44.1

40)(

2

2

11

CC

Km

W

Km

W

TAh

qTTTAhq i

i

ii 41.1818

5.3

44.1

)(

2

2

44

C

mK

W

m

Km

WC

k

x

A

qTT

k

x

TT

A

q

C

mK

W

m

Km

WC

k

x

A

qTT

k

x

TT

A

q

39

0035.0

05.044.141.18

66.39

5.1

3.044.195.39

23

3

43

3

3

43

21

1

12

1

1

21

Esercizio 10

c)

TiTe

hihe

1x

T2T1 k

mK

WKK

mK

WTTbk

kkk

con

hk

x

h

U

m

ime

53.1)2

84.3862.27(1015.1

21

2

11

1

13210

21

Essendo T1 e T2 quelle determinate per il caso a). Pertanto:

22

2

22

1.34)1840(55.1)(

55.1

5.3

1

53.1

5.0

29

1

1

m

WK

Km

WTTU

A

q

Km

W

Km

W

mK

W

m

Km

W

U

ie

Esercizio 11

Esercizio 11

Con riferimento alla parete composta schematizzata in figura si determini la potenza termica

trasmessa per unità di superficie, sapendo che i coefficienti di conducibilità termica dei vari

elementi valgono rispettivamente k1 = 175 W/mK, k2’ = 35 W/mK, k2’’ = 60 W/mK, k3 = 80 W/mK e

che le temperature sulle facce esterne valgono rispettivamente 370°C e 66°C.

k1

x1 x2 x3

k"2

k3k'2

T1 T2 T3T4

)( 41 TTUATUAq

dove

iR

UA1

Le resistenze sono rappresentabili per mezzo dell’analogia elettrica

1T T4R 1

R'2

R 3

R"2 con

W

K

mmK

W

m

Ak

xR 0014.0

1.075.1

105.2

2

2

1

11

W

K

mmK

W

m

Ak

xR

W

K

mmK

W

m

Ak

xR

025.0

)2/1.0(60

105.7

2/""

043.0

)2/1.0(35

105.7

2/''

2

2

2

22

2

2

2

22

Esercizio 11

W

K

mmK

W

m

Ak

xR 00625.0

1.080

105

2

2

3

33

ed

W

K

W

K

W

KRR

R 0158.0

025.0

1

043.0

1

1

''

1

'

1

1

22

2

Pertanto:

W

K

W

KRRRRTOT 0234.)00625.00158.00014.0(321

44

107.22

11

3

W

KRUA

i K

W

kWKK

WTTUAq 4.13)66370(44)( 41

Esercizio 12

Esercizio 12

Determinare le temperature nodali dei punti a, b, c, sapendo che il materiale è omogeneo ed

isotropo e che le temperature delle superfici interna ed esterna valgono rispettivamente 150°C e

50 °C.

a

b

c

c' b'

Ti Te

nodo a: 04' aeibb TTTTT

nodo b: 04 beaci TTTTT

nodo c: 04 cbeib TTTTT

sostituendo:

nodo a: 045050' abb TTT

nodo b: 0450150 bac TTT

nodo c: 0450150 cbb TTT

ed essendo il corpo omogeneo ed isotropo

'

bb TT e '

cc TT . Pertanto :

041002 ab TT 502 ba TT

04100 ac TT 2004 cba TTT

042002 cb TT 1002 cb TT

Risolvendo si ottiene:

.6.95;6.91;8.70 CTCTCT cba

Esercizio 13

Esercizio 13

Derivare l’equazione della temperatura nodale per il caso di un nodo in un angolo esterno con:

a) uno dei lati contigui isolato e l’altro soggetto ad un trasporto termico convettivo;

b) con ambedue i lati contigui isolati.

a)

1

2

e

x

n

h

k

x

b)

1

2

x

x

n

k

a)

x

TTxk n)(

2

1

2

x

TTxk n)(

2

2

2

02

)(2

ne TTxh

nTTxk

12

nTTxk

22

0

2

2

ne TTxh

021

nenn TTk

xhTTTT

0221

ne T

k

xhT

k

xhTT

b)

x

TTxk n )(

2

12

0)(

2

22

x

TTxk n

021 nn TTTT

0221 nTTT

Esercizio 14

Esercizio 14

Stimare per il caso a) dell’esercizio 13 lo scambio convettivo nel punto n sapendo che le

temperature dei punti 1 e 2 e quella esterna valgono rispettivamente 80°C, 100°C e 40°C, che il

coefficiente di scambio termico convettivo è pari a 12 W/m2K è che il numero di Nusselt è pari a

6.

1

2

e

x

n

h

k

x

Utilizzando il risultato trovato nell’esercizio 13, si ha:

0221

ne T

K

xhT

K

xhTT 0221 ne TNuTNuTT

e sostituendo:

06240610080 nT

CTn 5.52

Pertanto:

en TThx

q

A

q

2

22150405.5212

m

WCC

Km

W

Esercizio 15

Esercizio 15

Stimare il flusso termico che attraversa le superfici a e b in corrispondenza dei punti 5, 6, 7 ed 8

relativamente alla configurazione di figura, la cui conducibilità termica è pari a 2W/mK, sapendo

che la temperatura del punto 4 è 150°C e che quella delle superfici esterne è pari rispettivamente

a: Ta = 200°C, Tb = 200°C Tc = 200°C Td = 200°C.

b

a

d

c

21

43

65

7

8

Tb

T4

Tc

Td

Ta

k LL

L’equazione del flusso termico che attraversa le superfici a e b in corrispondenza dei punti 5, 6, 7

ed 8 può scriversi:

5115

51

2

15 TTkL

qTT

L

kLq e analogamente:

7117 TTkL

q ; 62

26 TTkL

q ; 83

38 TTkL

q

Occorre preliminarmente scrivere le equazioni dei punti nodali per determinare le temperature dei

punti 1, 2 e 3.

:

:

:

3

2

1

T

T

T

04

04

04

3841

2146

17325

TTTTT

TTTTT

TTTTT

c

d

:

:

:

3

2

1

T

T

T

04150100100

04150200200

04100200

31

21

132

TT

TT

TTT

4

350

4

550

03004

13

12

321

TT

TT

TTT

e risolvendo la prima equazione:

Esercizio 15

03004

350

4

5504 11

1

TT

T

CT 7.1101

CT 2.1652

CT 2.1153

Pertanto:

51

15 TTkL

q

m

WCC

mK

W6.1782007.1102

62

26 TTkL

q

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