Εισαγωγή στη Μιγαδική Ανάλυση

Σημειώσεις(Πρώτη Ολοκληρωμένη Γραφή)

Ε. Στεφανόπουλος

Τμήμα ΜαθηματικώνΠανεπιστήμιο Αιγαίου

Καρλόβασι Καλοκαίρι 2016

Πρόλογος

Οι σημειώσεις αυτές είναι αποτέλεσμα επεξεργασίας υλικού διδασκαλίας το οποίο χρησιμοποιήθη-κε, κατά καιρούς, σε παραδόσεις του μαθήματος Μιγαδική Ανάλυση ή μαθημάτων που περιείχανστην ύλη τους στοιχεία Μιγαδικής Ανάλυσης, τα οποία διδάχθηκαν στα τμήματα ΕφαρμοσμένωνΜαθηματικών του Πανεπιστημίου Κρήτης, Μαθηματικών και Στατιστικής του Πανεπιστημίου Κύ-πρου και Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Το μεγαλύτερο μέρος των σημειώσεων έχειαναρτηθεί στη Πλατφόρμα Ηλεκτρονικής Μάθησης Moodle του Τμήματος Μαθηματικών του Πανε-πιστημίου Αιγαίου. Η παρούσα μορφή αποτελεί ουσιαστικά την πρώτη ολοκληρωμένη, αλλά υπόεξέλιξη, γραφή.

ΕΙΙΙa, Ιούλιος 2016Ε.Σ.

iii

Περιεχόμενα

1 Οι μιγαδικοί αριθμοί 11.1 Το σώμα των μιγαδικών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Το μέτρο ο συζυγής και το όρισμα μιγαδικού αριθμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Το μιγαδικό επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4 Γεωμετρικοί τόποι στο μιγαδικό επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Τοπολογία στο μιγαδικό επίπεδο 172.1 Ακολουθίες και σειρές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Στοιχεία τοπολογίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Συμπαγοποίηση του C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.1 Στερεογραφική προβολή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.2 Το σημείο στο άπειρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Διάφορες Συναρτήσεις 333.1 Η γεωμετρική σειρά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2 Η εκθετική συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Τριγωνομετρικές και υπερβολικές συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.4 Ο λογάριθμος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Δυνάμεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4 Αναλυτικές Συναρτήσεις 414.1 Η μιγαδική παράγωγος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Οι συνθήκες Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Δυναμοσειρές 535.1 Μιγαδικές δυναμοσειρές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Παράγωγος δυναμοσειράς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

v

vi

5.3 Οι ρίζες δυναμοσειράς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6 Μιγαδική ολοκλήρωση 676.1 Καμπύλες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.2 Επικαμπύλια ολοκληρώματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7 Το ϑεώρημα του Cauchy Ι 797.1 Το ϑεώρημα του Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797.2 Παραμορφώσεις καμπυλών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.3 Ο τύπος του Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877.4 Οι παράγωγοι αναλυτικής συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 907.5 Το ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8 Το ϑεώρημα του Cauchy ΙΙ 978.1 Δείκτης σημείου ως προς καμπύλη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.2 Το ϑεώρημα του Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9 Ανώμαλα σημεία και σειρές Lawrent 1079.1 Ανώμαλα σημεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079.2 Σειρές Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1129.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

10 Ολοκληρωτικά υπόλοιπα 12110.1 Το ϑεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12110.2 Υπολογισμός πραγματικών ολοκληρωμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10.2.1 Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων στο [0, 2π] . . . . . . . . . . . . . 12510.2.2 Καταχρηστικά ολοκληρώματα ρητών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . 12910.2.3 Μετασχηματισμοί Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210.2.4 Ολοκληρώματα με εγκοπή κλάδου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13610.2.5 Διάφορα χαρακτηριστικά ολοκληρώματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

10.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.4 Παράρτημα: Η ανισότητα του Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

11 Ιδιότητες αναλυτικών συναρτήσεων 15111.1 Οι ρίζες αναλυτικής συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15111.2 Η αρχή του μεγίστου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15311.3 Το Λήμμα του Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511.4 Το ϑεώρημα της ανοικτής απεικόνισης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15511.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Κεφάλαιο 1

Οι μιγαδικοί αριθμοί

1.1 Το σώμα των μιγαδικών αριθμών

Η εξίσωση x2 + 1 = 0 δεν έχει λύση στους πραγματικούς αριθμούς αφού x2 ≥ 0, για κάθε πραγματικόαριθμό x. Διατυπώνεται λοιπόν το ερώτημα κατά πόσον υπάρχει ένα σύστημα αριθμών που κατάκάποια έννοια επεκτείνει τους πραγματικούς αριθμούς και είναι τέτοιο ώστε η εξίσωση x2 + 1 = 0να έχει λύση. Αποδεικνύεται ότι ένα τέτοιο σύστημα υπάρχει και αυτό είναι το σώμα των μιγαδικώναριθμών. Στη συνέχεια με R συμβολίζουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών με N το σύνολοτων φυσικών και με Z το σύνολο των ακεραίων αριθμών. Επίσης με Q συμβολίζουμε τους ρητούςαριθμούς.

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ. Στο σύνολο R × R με τη γνωστή πρόσθεση

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (1.1)

ορίζουμε την πράξη του πολαπλασιασμού με τη σχέση

(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1). (1.2)

Παρατηρούμε ότι για (x, y) ∈ R2

(x, y) + (0, 0) = (x, y) (1.3)

(x, y) + (−x,−y) = (0, 0) (1.4)(x, y)(1, 0) = (x, y), (1.5)

δηλαδή το (0, 0) είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης, το (−x,−y) είναι το αντίθετο του (x, y),ενώ το (1, 0) είναι ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Εάν (x, y) , (0, 0) και (a, b) είναι τοαντίστροφο στοιχείο του (x, y), εάν αυτό υπάρχει, τότε ϑα πρέπει

(x, y)(a, b) = (xa − yb, xb + ya) = (1, 0).

Υπενθυμίζουμε ότι (x1, y1) = (x2, y2) εάν και μόνον εάν x1 = x2 και y1 = y2, τότε από την παραπάνωισότητα προκύπτουν οι σχέσεις xa − yb = 1 και xb + ya = 0. Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε

a =x

x2 + y2, b =

−yx2 + y2

.

1

2 .

Οι αριθμοί a και b υπάρχουν, καθόσον x2 + y2 > 0 οποτεδήποτε (x, y) , (0, 0), επομένως το αντί-στροφο του (x, y) το οποίο συμβολίζουμε με (x, y)−1 είναι το

(x, y)−1 =( x

x2 + y2,−y

x2 + y2

). (1.6)

Το σύνολο των σημείων z = (x, y) ∈ R×R εφοδιασμένο με τις πράξεις (1.1) και (1.2) συμβολίζουμε με Cκαι τα στοιχεία του καλούμε μιγαδικούς αριθμούς (complex numbers). Είναι εύκολο να αποδειχθείότι το C είναι σώμα, ικανοποιούνται δηλαδή οι νόμοι

I. z1 + z2 = z2 + z1, για κάθε z1, z2 στο C.II. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), για κάθε z1, z2, z3 στο C.III. Υπάρχει ο μοναδικός μιγαδικός αριθμός 000 = (0, 0), έτσι ώστε z + 000 = z, για κάθε z ∈ C.IV. Για κάθε z ∈ C υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός −z, έτσι ώστε z + (−z) = 000.V. z1z2 = z2z1, για κάθε z1, z2 στο C.VI. (z1z2)z3 = z1(z2z3), για κάθε z1, z2, z3 στο C.VII. Υπάρχει ο μοναδικός μιγαδικός αριθμός 111 = (1, 0), έτσι ώστε z · 111 = z, για κάθε z ∈ C.VIII. Για κάθε z ∈ C με z , 0 υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός z−1 έτσι ώστε z · z−1 = 111.IX. z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, για κάθε z1, z2, z3 στο C.

Απόρροια των πράξεων (1.1) και (1.2) είναι ότι (x, y) = (x, 0) + (0, y) και (0, 1)(y, 0) = (0, y), έτσικάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφεί στη μορφή

(x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0). (1.7)

Εάν x είναι ένας πραγματικός αριθμός, σημείο της ευθείας, μπορεί να ταυτοποιηθεί με το (x, 0),σημείο του επιπέδου. Επιπλέον παρατηρούμε ότι

(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 + x2, 0), (x1, 0)(x2, 0) = (x1x2, 0),

δηλαδή το σώμα των μιγαδικών αριθμών επεκτείνει κατά φυσιολογικό τρόπο το σώμα των πραγμα-τικών αριθμών, και υπό το πρίσμα της ταυτοποίησης x ≡ (x, 0) μπορούμε να ϑεωρούμε ότι R ⊂ C.Στη συνέχεια ϑα γράφουμε 0 αντί για 000 και 1 αντί για 111. Θέτοντας i = (0, 1) σύμφωνα με τηνπαραπάνω ταυτοποίηση η (1.7) γράφεται

(x, y) = x + iy. (1.8)

Ο μιγαδικός αριθμός i λέγεται φανταστική μονάδα (imaginary unit) για λόγους που ϑα γίνουνκατανοητοί παρακάτω. Εάν z = (x, y) είναι ένας μιγαδικός αριθμός από εδώ και στο εξής ϑαγράφουμε z = x + iy. Εάν z1 = x1 + iy1 και z2 = x2 + iy2 είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε το άθροισμα z1 + z2και το γινόμενο z1z2 δίνονται, μέσω των (1.1) και (1.2), από τις σχέσεις

z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) (1.9)

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1). (1.10)

´Οπως και στους πραγματικούς αριθμούς, επαγωγικά ορίζουμε zn+1 = znz, για κάθε φυσικό αριθμόn. Παρατηρούμε ότι i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0), ή i2 = −1, γεγονός που δικαιολογεί την ονομασίαφανταστική μονάδα. Επειδή −i = (0,−1) ϑα είναι (−i)2 = (0,−1)(0,−1) = (−1, 0), ή (−i)2 = −1.Βλέπουμε λοιπόν ότι i2 + 1 = 0 και (−i)2 + 1 = 0.

.. 3

Παρατήρηση 1.1. Ας ϑεωρήσουμε τον μιγαδικό αριθμό z = x + iy. Από τον αντιμεταθετικό νόμο(νόμος V) έχουμε iy = yi οπότε ο μπορούμε να γράφουμε

z = x + iy, ή z = x + yi.

Επειδή i(−y) = (−y)i = (−1)yi = (−1)iy και i(−y) + iy = i(−y + y) = i0 = 0, συνδυάζοντας τα δύοαποτελέσματα συμπεραίνουμε ότι

i(−y) = (−1)iy = −iy.

´Ετσι από τις (1.8), (1.4) και (1.6) έπεται ότι οι −z και z−1, εφόσον z , 0, δίνονται αντίστοιχα από τιςσχέσεις

−z = −x + i(−y) = −x − iy (1.11)

z−1 =x

x2 + y2+ i

−yx2 + y2

=x

x2 + y2− i y

x2 + y2(1.12)

Παρατήρηση 1.2. ´Εστω z1 = x1 + iy1 και z2 = x2 + iy2, τότε κάνοντας χρήση του νόμου IX (επιμερι-στική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση) υπολογίζουμε

z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2)

= x1(x2 + iy2) + iy1(x2 + iy2) (νόμος IX)

= x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + iy1iy2 (νόμος IX)

= x1x2 + ix1y2 + iy1x2 + i2y1y2 (νόμος V)

= x1x2 + ix1y2 + iy1x2 − y1y2 (i2 = −1)= (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1) (νόμος IX)

που είναι η (1.10). Ο πολλαπλασιασμός δηλαδή, μιγαδικών αριθμών μπορεί να εκτελεσθεί με χρήσητης οικείας, από τους πραγματικούς αριθμούς, επιμεριστικής ιδιότητας.

Παρατήρηση 1.3. Εάν z1 = x1+iy1 και z2 = x2+iy2, είναι μιγαδικοί αριθμοί, όπως στους πραγματικούςαριθμούς, η αφαίρεση και το πηλίκο ορίζονται, αντίστοιχα, με τις σχέσεις

z1 − z2 = z1 + (−z2) = (x1 + iy1) + (−x2 + i(−y2)) = (x1 − x2) + i(y1 − y2) (1.13)z1z2

= z1z−12 = (x1 + iy1)( x2

x22 + y22

+ i−y2

x22 + y22

)=

x1x2 + y1y2x22 + y

22

+ i−x1y2 + x2y1

x22 + y22

. (1.14)

Παρατηρούμε ότι για z1 = 1 = 1 + i0 και z2 = z = x + iy από την τελευταία σχέση έπεται

1z

=x

x2 + y2+ i

−yx2 + y2

= z−1. (1.15)

Επακόλουθο της τελευταίας αυτής σχέσης είναι η

z1z2

= z11z2. (1.16)

4 .

• ´Εστω ο μιγαδικός αριθμός z = x + iy, τότε από τον ορισμό του C έχουμε ότι x ∈ R και y ∈ R. Οx λέγεται πραγματικό μέρος (real part) του z και γράφουμε x = Re z, και ο y λέγεται φανταστικόμέρος (imaginary part) του z και γράφουμε y = Im z. ´Ετσι εάν z ∈ R τότε Re z = z και Im z = 0, ενώεάν z = iy, με y ∈ R, τότε Re z = 0 και Im z = −iz.

• Οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = x1 + iy1 και z2 = x2 + iy2 είναι ίσοι και γράφουμε z1 = z2, εάν και μόνονεάν x1 = x2 και y1 = y2, ισοδύναμα Re z1 = Re z2 και Im z1 = Im z2.

• Δείξαμε λοιπόν ότι το σώμα των μιγαδικών αριθμών C αποτελεί μία φυσιολογική επέκταση τωνπραγματικών αριθμών, όπου στο σύστημα αυτό η εξίσωση z2 + 1 = 0 έχει λύση.

• Κλείνουμε αυτή τη παράγραφο με μία παρατήρηση. Δεν υπάρχει στο C μία διάταξη που να είναισυμβατή με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και να επεκτείνει τη γνωστήδιάταξη του R. Πράγματι αν υποθέσουμε ότι μία τέτοια υπάρχει και αν τη συμβολίσουμε με ‘≤’,τότε ϑα πρέπει να ισχύει 0 ≤ 1, όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Επίσης ένα από τα δύοείναι αληθές: είτε 0 ≤ i, είτε 0 ≥ i. Εάν 0 ≤ i, τότε πολλαπλασιάζοντας με i παίρνουμε 0i ≤ i2, ήισοδύναμα 0 ≤ −1, ή ισοδύναμα 0 ≥ 1 που είναι άτοπο. ´Ομοια εάν 0 ≥ i τότε πολλαπλασιάζονταςπάλι με i ϑα είχαμε 0i ≤ i2, ή ισοδύναμα 0 ≤ −1, ή ισοδύναμα 0 ≥ 1 που είναι επίσης άτοπο.

1.2 Το μέτρο ο συζυγής και το όρισμα μιγαδικού αριθμού

• Μέτρο (modulus) του μιγαδικού αριθμού z = x + iy ορίζεται να είναι ο πραγματικός αριθμός

|z| =√

x2 + y2. (1.17)

Εάν z ∈ R, ισοδύναμα y = 0, τότε |z| =√

x2 = |x|, δηλαδή το μέτρο μιγαδικού αριθμού γενικεύει τηναπόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού. Για το λόγο αυτό το μέτρο το λέμε και απόλυτη τιμή.

• Συζυγής (conjugate) μιγαδικός αριθμός του z = x+ iy, συμβολίζεται με z, ορίζεται να είναι ο αριθμός

z = x − iy. (1.18)

Παράδειγμα 1.1. Να βρεθεί το μέτρο και ο συζυγής του μιγαδικού αριθμού −i(2 − i3).

Εάν z = −i(2 − i3), τότε z = −i2 + 3i2 = −3 − i2, οπότε

|z| = | − i(2 − i3)| = | − 3 − i2| =√

(−3)2 + (−2)2 =√13

z = −i(2 − i3) = −3 − i2 = −3 + i2.

Οι ιδιότητες του μέτρου και του συζυγούς μιγαδικού αριθμού συνοψίζονται στη

Πρόταση 1.1. Ισχύουν οι ιδιότητες:

(1) |z| ≥ 0, για κάθε z ∈ C, και |z| = 0 εάν και μόνον εάν z = 0.(2) |z1z2| = |z1||z2|, για κάθε ζευγάρι μιγαδικών αριθμών z1 και z2.(3) |z1/z2| = |z1|/|z2|, για κάθε ζευγάρι μιγαδικών αριθμών z1 και z2 με z2 , 0.

.. 5

(4) z = z εάν και μόνον εάν z ∈ R.(5) z = z, για κάθε z ∈ C.(6) |z| = |z|, για κάθε z ∈ C.(7) |z|2 = zz, για κάθε z ∈ C.(8) z1 + z2 = z1 + z2, για κάθε ζευγάρι μιγαδικών αριθμών z1 και z2.(9) z1z2 = z1z2, για κάθε ζευγάρι μιγαδικών αριθμών z1 και z2.

(10) (z1/z2) = z1/z2, για κάθε ζευγάρι μιγαδικών αριθμών z1 και z2 με z2 , 0.

Απόδειξη. ´Εστω z = x + iy, z1 = x1 + iy1, και z2 = x2 + iy2 να είναι μιγαδικοί αριθμοί.

(1) Επειδή |z| =√

x2 + y2, είναι προφανές ότι |z| ≥ 0, ενώ |z| = 0⇔ x2 + y2 = 0⇔ x = 0 και y = 0⇔z = 0.

(2) Από την σχέση (1.10) έπεται ότι |z1z2| = |(x1x2 − y1y2) + i(x1y1 + x2y2)| έτσι έχουμε

|z1z2| =√

(x1x2 − y1y2)2 + (x1y1 + x2y2)2 =√

x21 x22 + y

21y

22 + x

21 y

21 + x

22y

22

=

√(x21 + y

21 )(x

22 + y

22) =

√x21 + y

21

√x22 + y

22

= |z1||z2|.

(3) Από την (1.15) για z , 0 έχουμε

1 = z1z

=⇒ 1 =∣∣∣∣∣z 1z

∣∣∣∣∣ = |z|∣∣∣∣∣ 1z∣∣∣∣∣ =⇒ 1|z| =

∣∣∣∣∣ 1z∣∣∣∣∣

με χρήση της ιδιότητας 2, επομένως για z2 , 0∣∣∣∣∣ z1z2∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣z1 1z2

∣∣∣∣∣ = |z1|∣∣∣∣∣ 1z2∣∣∣∣∣ = |z1| 1|z2| = |z1||z2| .

(4) ´Εστω z = x + iy, τότε z = z⇔ x + iy = x − iy⇔ 0 = i2y⇔ y = 0⇔ z ∈ R.(5) ´Εστω z = x + iy, τότε z = x − iy = x + iy = z.(6) ´Εστω z = x + iy, τότε |z| = |x − iy| =

√x2 + (−y)2 =

√x2 + y2 = |z|.

(7) Εάν z = x + iy, έχουμε zz = (x + iy)(x − iy) = x2 − ixy + ixy − i2y2 = x2 + y2 = |z|2.(8) Από την (1.9) έπεται ότι z1 + z2 = x1 + x2 − i(y1 + y2) = (x1 − iy1) + (x2 − iy2) = z1 + z2.(9) ´Εχουμε z1z2 = (x1 − iy1)(x2 − iy2) = x1x2 − y1y2 − i(x1y1 + x2y2) = z1z2, μιας και από την (1.10)

z1z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y1 + x2y2).(10) Από την (1.15) για z , 0 έχουμε

1 = z1z

=⇒ 1 = 1 =(z1z

)= z

( 1z

)=⇒ 1

z=

( 1z

)με χρήση της ιδιότητας 9, επομένως για z2 , 0( z1

z2

)= z1

1z2

= z1( 1z2

)= z1

1z2

=z1z2.

6 .

Η απόδειξη είναι πλήρης. �

Παρατήρηση 1.4. Εάν z = x + iy είναι ένας μιγαδικός αριθμός τότε x = Re z και y = Im z. Επειδήz + z = x + iy + x − iy = 2x, και z − z = x + iy − (x − iy) = i2y, συμπεραίνουμε

Re z =z + z2

, Im z =z − z2i

. (1.19)

Επίσης x ≤ |x| ≤√

x2 + y2, όμοια y ≤ |y| ≤√

x2 + y2, οπότε

Re z ≤ |Re z| ≤ |z|, Im z ≤ | Im z| ≤ |z|. (1.20)

Άσκηση 1.1. Να δειχθεί ότι ο αριθμός a είναι πραγματικός εάν και μόνον εάν Re a = a.

Παρατήρηση 1.5. Εάν a και b είναι πραγματικοί αριθμοί ϑυμίζουμε τη γνωστή ιδιότητα της από-λυτης τιμής |a + b| ≤ |a| + |b|. Το ίδιο ισχύει και για μιγαδικούς αριθμούς. Ας είναι z1, και z2 δύομιγαδικοί αριθμοί. Τότε ισχύει η τριγωνική ανισότητα

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|. (1.21)

Κάνοντας χρήση της Πρότασης 1.1 έχουμε

|z1 + z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) = (z1 + z2)(z1 + z2) ( ιδιότητες 7 και 8 )= z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2

= |z1|2 + z1z2 + z1z2 + |z2|2 ( ιδιότητες 7 και 5 )= |z1|2 + 2Re(z1z2) + |z2|2 ( σχέση (1.19) )≤ |z1|2 + 2|z1z2| + |z2|2 ( σχέση (1.20) )= |z1|2 + 2|z1||z2| + |z2|2 ( ιδιότητα 2 )= (|z1| + |z2|)2 ( ιδιότητα 6 )

απ´ όπου έπεται η ζητούμενη τριγωνική ανισότητα.

Άσκηση 1.2. Εάν z ∈ C δείξτε ότι

|z| ≤ |Re z| + | Im z| ≤√2|z|.

Παρατήρηση 1.6. Από τις ιδιότητες που περιγράφονται στη Πρόταση 1.1 έπεται ότι για z , 0

1z

=zzz

=z|z|2 (1.22)

που είναι ακριβώς η σχέση (1.15). Επειδή |i| =√02 + 12 = 1, έπεται αμέσως ότι

1i

=i

ii=−i|i|2 = −i. (1.23)

γενικότερα εάν z ∈ C και |z| = 1, από την (1.22) έπεται ότι 1/z = z.

.. 7

• Αν z , 0, τότε |z| > 0, οπότε για z = x + iy τα κλάσματα

x|z| =

x√x2 + y2

καιy|z| =

y√x2 + y2

ορίζονται και ικανοποιούν τη σχέση

( x|z|

)2+

( x|z|

)2=

x2

x2 + y2+

y2

x2 + y2= 1,

κατά συνέπεια υπάρχει θ ∈ R τέτοιο ώστε

cos θ =x|z| και sin θ =

y|z| .

Ορίζουμε σαν όρισμα (argument) του z και γράφουμε arg z το σύνολο όλων των τιμών θ+ 2kπ, k ∈ Z,έτσι

arg z = {θ + 2kπ : k = 0,±1,±2, . . . }.

Είναι προφανές ότι κάθε διάστημα (a, a+2π], με a ∈ R περιέχει ένα μοναδικό όρισμα του z. Ορίζουμεσαν κύριο ή πρωτεύον (principal) όρισμα του z εκείνο το θ για το οποίο ισχύει θ ∈ (−π, π].Συμβολίζουμε με Arg z το κύριο όρισμα του z, οπότε για κάθε z , 0 στο C είναι −π < Arg z ≤ π.

Παράδειγμα 1.2. Να βρεθεί το όρισμα και το κύριο όρισμα για κάθε έναν από τους αριθμούς (i)z = 1, (ii) z = −2, (iii) z = i, (iv) z = −1 − i.

(i) Επειδή z = x = |z| = 1, είναι cos θ = 1, sin θ = 0, άρα θ = 2kπ, k ∈ Z, επομένως

arg 1 = {2kπ : k ∈ Z} και Arg 1 = 0.

(ii) Εδώ είναι x = −2, y = 0 και |z| = 2, άρα cos θ = −1, sin θ = 0, άρα θ = (2k + 1)π, k ∈ Z,επομένως

arg(−2) = {(2k + 1)π : k ∈ Z} = {−π + 2kπ : k ∈ Z} και Arg(−2) = π.

(iii) Εδώ είναι x = 0, y = 1 και |z| = 1, άρα cos θ = 0, sin θ = 1, άρα θ = π/2 + 2kπ, k ∈ Z,επομένως

arg i = {π/2 + 2kπ : k ∈ Z} και Arg i = π/2.

(iv) Εδώ είναι x = y = −1 και |z| =√2, άρα cos θ = sin θ = −1/

√2, άρα ένα όρισμα είναι

θ = 5π/4, και ένα άλλο το θ = −3π/4, επομένως

arg(−1 − i) = {5π/4 + 2kπ : k ∈ Z} = {−3π/4 + 2kπ : k ∈ Z} και Arg(−1 − i) = −3π/4.

Σημειώνουμε ότι 5π/4 < (−π, π].

8 .

1.3 Το μιγαδικό επίπεδο

Οι πραγματικοί αριθμοί αντιστοιχούν σε σημεία μιάς προσανατολισμένης ευθείας. Από τον ορισμότων μιγαδικών αριθμών έπεται ότι υπάρχει μία ένα προς ένα αντιστοιχία μεταξύ του μιγαδικούαριθμού z = x + iy και του σημείου (x, y) του επιπέδου. ´Ετσι το επίπεδο του οποίου κάθε σημείο(x, y) ταυτίζουμε με τον μιγαδικό αριθμό z = x + iy ονομάζουμε μιγαδικό επίπεδο (complex plane). Οάξονας των x λέγεται πραγματικός άξονας (real axis), ενώ αυτός των y λέγεται φανταστικός άξονας(imaginary axis). Το μέτρο |z| είναι η απόσταση του σημείου z από το 0, ενώ ο συζυγής z του zείναι το συμμετρικό σημείο του z ως προς τον πραγματικό άξονα.

x

iy

0

z = x + iy

z = x − iy−z = −x − iy

iy

−iy

x−x

|z|

Σχήμα 1.1: Γραφική απεικόνιση των μιγαδικών αριθμών z, z και −z.

x

iy

0

z2

z1

z1 + z2

z1 − z2

−z2

Σχήμα 1.2: Το άθροισμα και η διαφορά μιγαδικών αριθμών.

Το άθροισμα των z1 = x1 + iy1 και z2 = x2 + iy2 αντιστοιχεί στο σημείο (x1 + x2, y1 +y2). ´Ετσι λοιπόνο αριθμός z = x + iy μπορεί να ταυτιστεί με το διάνυσμα με αρχή το σημείο (0, 0) και πέρας το (x, y)

.. 9

ενώ το μέτρο |z| είναι το μέτρο του διανύσματος, δηλαδή το μήκος του ευθυγράμου τμήματος απότο (0, 0) στο (x, y). Ο z1 + z2 είναι το διανυσματικό άθροισμα των διανυσμάτων z1 και z2, και ο z1 − z2είναι το διανυσματικό άθροισμα των διανυσμάτων z1 και −z2.

Οι αριθμοί z1 και z2 ορίζουν ένα παραλληλόγραμο με κορυφές τα σημεία (0, 0), (x1, y1), (x2, y2),και (x1+ x2, y1+y2). Τα |z1+z2| και |z1−z2| είναι τα μέτρα των διαγωνίων του παραλληλογράμου. ´Ετσιη ισότητα |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2) (νόμος του παραλληλογράμου) μας λέει ότι το άθροισματων τετραγώνων των διαγωνίων παραλληλογράμου ισούται με το άθροίσμα των τετραγώνων τωνπλευρών του.

1.3.1 Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού

Εάν r και θ είναι οι πολικές συντεταγμένες του σημείου (x, y) , (0, 0) τότε ο μη μηδενικός μιγαδικόςαριθμός z = x + iy μπορεί να γραφεί στη μορφή z = r cos θ + ir sin θ. Παρατηρούμε ότι

|z| =√

(r cos θ)2 + (r sin θ)2 = r

ενώ το θ ∈ arg z, είναι καταληπτό σαν τη γωνία (σε ακτίνια) μεταξύ της πραγματικής ϑετικήςημιευθείας και του ευθυγράμμου τμήματος από το 0 στο z. Η έκφραση

z = r(cos θ + i sin θ) (1.24)

λέγεται τριγωνομετρική μορφή (trigonometric form) ή πολική μορφή (polar form) του μιγαδικούαριθμού z.

x

iy

0 1

θ = arg z

z = r(cos θ + i sin θ)

r = |z|

Σχήμα 1.3: Τριγωνομετρική μορφή μιγαδικού αριθμού.

Παράδειγμα 1.3. Να γραφούν σε πολική μορφή οι αριθμοί (i) z = 1 + i, (ii) z = 1, (iii) z = −2.

(i) Επειδή |1 + i| =√2, έχουμε

z = 1 + i =√2( 1√2

+ i1√2

)=√2(cos

π

4+ i sin

π

4

)(ii) 1 = 1 + i0 = cos 0 + i sin 0.(iii) −2 = 2(−1 + i0) = (cos π + i sin π).

10 .

Για τους μιγαδικούς αριθμούς z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) και z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2) παρατηρούμε ότι

z1z2 = r1r2(cos θ1 + i sin θ1)(cos θ2 + i sin θ2)

= r1r2[(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + i(sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2)],

οπότε η πολική μορφή του γινομένου z1z2 δίνεται από τη σχέση

z1z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]. (1.25)

Εάν z = r(cos θ+ i sin θ) είναι μη μηδενικός αριθμός, ισοδύναμα r , 0, τότε από τη σχέση (1.25) έπεταιότι

1z

=1r

[cos(−θ) + i sin(−θ)]. (1.26)

Σημειώνουμε ότι η σχέση αυτή προκύπτει επίσης από την (1.22). Εάν τώρα z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2)είναι διάφορος του μηδενός, τότε συνδυάζοντας τις (1.25) και (1.26) έχουμε

z1z2

=r1r2

[cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)]. (1.27)

Παράδειγμα 1.4. Εάν z1 = 2√3− i2 και z2 = −1+ i

√3 να γραφούν οι z1 και z2 σε πολική μορφή και

να υπολογισθούν οι z1z2 και z1/z2.

Επειδή |z1| = |2√3 − i2| =

√16 = 4 και |z2| = | − 1 + i

√3| =

√4 = 2 ϑα έχουμε αντίστοιχα

z1 = 4[ √32

+ i(− 12

)]= 4

[cos

(−π6

)+ i

(−π6

)],

z2 = 2[(− 12

)+ i

√32

]= 2

[cos

2π3

+ i sin2π3

].

Από την σχέση (1.25) υπολογίζουμε το γινόμενο

z1z2 = 4 · 2[cos

(−π6

+2π3

)+ i

(−π6

+2π3

)]= 8

[cos

π

2+ i sin

π

2

]= i8,

ενώ από την (1.27) το πηλίκο

z1z2

=42

[cos

(−π6− 2π

3

)+ i sin

(−π6− 2π

3

)]= 2

[cos

(−5π

6

)+ i sin

(−5π

6

)]= 2

[−√32

+ i(− 12

)]= −√3 − i.

.. 11

Εάν zk = rk(cos θk + i sin θk), k = 1, 2, . . . , n με μαθηματική επαγωγή μέσω της (1.25) έχουμε

z1z2 · · · zn = r1r2 · · · rn[cos(θ1 + θ2 + · · · + θn) + i sin(θ1 + θ2 + · · · + θn)], (1.28)

και ειδικά για z1 = z2 = · · · = zn = z προκύπτει

zn = rn[cos(nθ) + i sin(nθ)], (1.29)

για κάθε φυσικό αριθμό n. Εάν z = r(cos θ+ i sin θ), r , 0, από τις σχέσεις (1.26) και (1.29) έπεται ότιγια n = 1, 2, 3, . . .

z−n = (z−1)n =( 1z

)n=

1rn

[cos(−nθ) + i sin(−nθ)],

και επειδή z0 = 1, τελικά η σχέση (1.29) ισχύει για κάθε ακέραιο 0,±1,±2, . . . .Εάν z = cos θ + i sin θ η (1.29) μετασχηματίζεται στην

(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ). (1.30)

Η τελευταία σχέση είναι γνωστή σαν τύπος του de Moivre.Μία ενδιαφέρουσα εφαρμογή του τύπου του de Moivre είναι η εύρεση ριζών μιγαδικών αριθμών.

Θέτουμε λοιπόν το εξής

ΠΡΟΒΛΗΜΑ: Εάν w είναι ένας μιγαδικός αριθμός και n ≥ 2 είναι ένας φυσικός αριθμός να βρεθούνμιγαδικοί z τέτοιοι ώστε zn = w. ´Εστω ότι w = r(cos θ + i sin θ), τότε παρατηρούμε ότι ο αριθμόςz0 = r1/n(cos(θ/n) + i sin(θ/n)) ικανοποιεί την

zn0 =[

n√r(cos

θ

n+ i sin

θ

n

)]n= r(cos θ + i sin θ) = w, (1.31)

δηλαδή ο z0 είναι μία λύση του προβλήματος. ´Ομως και οι zk = r1/n(cos[(θ+2kπ)/n]+i sin[(θ+2kπ)/n]),k = 1, 2, . . . είναι λύσεις μιας και

znk =[

n√r(cos

θ + 2kπn

+ i sinθ + 2kπ

n

)]n= r(cos(θ + 2kπ) + i sin(θ + 2kπ)) = w. (1.32)

Από τις (1.31) και (1.32) βλέπουμε ότι οι αριθμοί zk = r1/n(cos[(θ + 2kπ)/n] + i sin[(θ + 2kπ)/n]) ικανο-ποιούν znk = w για k = 0, 1, 2, . . . . Στη συνέχεια ϑυμίζουμε ότι για n σταθερό καθε k ∈ N γράφεταιμοναδικά στη μορφή k = m + ln όπου m = 0, 1, . . . , n − 1 και l ∈ N (διαίρεση του k δια n). ´Ετσι εάνk ≥ n, τότε

zk =n√r

(cos

θ + 2kπn

+ i sinθ + 2kπ

n

)=

n√r(cos

θ + 2mπ + 2lnπn

+ i sinθ + 2mπ + 2lnπ

n

)=

n√r(cos

(θ + 2mπ

n+ 2ln

)+ i sin

(θ + 2mπ

n+ 2lπ

))=

n√r(cos

θ + 2mπn

+ i sinθ + 2mπ

n

)= zm

12 .

όπου m = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Συμπέρασμα: Οι n το πλήθος μιγαδικοί αριθμοί

zk =n√r

(cos

θ + 2kπn

+ i sinθ + 2kπ

n

), k = 0, 1, 2, . . . , n − 1 (1.33)

είναι οι λύσεις της εξίσωσης zn = r(cos θ + i sin θ) και λέγονται nοστες ρίζες του w = r(cos θ + i sin θ).

Παράδειγμα 1.5. Επειδή 1 = cos 0 + i sin 0, οι n-οστες ρίζες της μονάδας είναι οι αριθμοί

ζk = cos2kπn

+ i sin2kπn, k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. (1.34)

Εάν ορίσουμε

ωn = cos2πn

+ i sin2πn, (1.35)

τότε από τον τύπο του de Moivre έπεται ότι οι nοστες ρίζες της μονάδας είναι οι 1, ωn, ω2n, . . . , ωn−1n .Παρατηρούμε ότι ωnn = 1. Οι nοστες ρίζες της μονάδας είναι οι κορυφές ενός κανονικού πολυγώνουμε n πλευρές εγγεγραμμένου στο μοναδιαίο κύκλο.

Παράδειγμα 1.6. Να βρεθούν αριθμοί z τέτοιοι ώστε z2 = −2 (τετραγωνικές ρίζες του −2).

Είναι −2 = 2(cos π + i sin π), οπότε οι αριθμοί που ζητούμε δίνονται από τη σχέση

ζk =√2(cos

π + 2kπ2

+ i sinπ + 2kπ

2

), k = 0, 1.

´Ετσι έχουμε

z0 =√2(cos

π

2+ i sin

π

2

)= i√2, z1 =

√2(cos

3π2

+ i sin3π2

)= −i

√2.

Πράγματι z20 = (i√2)2 = i22 = −2 και z21 = (−i

√2)2 = i22 = −2.

1.4 Γεωμετρικοί τόποι στο μιγαδικό επίπεδο

Η ευθεία των πραγματικών αριθμών, σαν υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου, μπορεί να εκφρασθείσαν το σύνολο των μιγαδικών αριθμών με μηδενικό φανταστικό μέρος, δηλαδή

R = {z : z ∈ C και Im z = 0}.

Επίσης κάθε πραγματικός αριθμός είναι ίσος με τον συζυγή του, κατά συνέπεια

R = {z : z ∈ C και z = z}.

Γενικότερα, υποσύνολα του μιγαδικού επιπέδου μπορούν να εκφρασθούν με κατάλληλες αλγεβρικέςσχέσεις. Άλλα παραδείγματα είναι το σύνολο {z : z ∈ C και Re z > 0} που παριστάνει το ημιεπίπεδοστα δεξιά του φανταστικού άξονα, και το {z ∈ C : Re z > 0 και Im z > 0} που παριστάνει το πρώτοτεταρτημόριο του επιπέδου.

Ας ϑεωρήσουμε τώρα τους μιγαδικούς αριθμούς z με την ιδιότητα |z| = 1. ´Ετσι εάν z = x + iy οιαριθμοί αυτοί ικανοποιούν τη σχέση

√x2 + y2 = 1 ή x2 + y2 = 1 που είναι η εξίσωση του κύκλου

.. 13

κέντρου (0, 0) και ακτίνας 1. Επομένως το υποσύνολο {z ∈ C : |z| < 1} είναι το εσωτερικό τουμοναδιαίου κύκλου, ενώ το {z ∈ C : |z| > 1} είναι το εξωτερικό του μοναδιαίου κύκλου.1 Το σύνολο{z ∈ C : |z| < r} λέγεται ανοικτός δίσκος κέντρου (0, 0) και ακτίνας r, ενώ το {z ∈ C : |z| ≤ r} λέγεταικλειστός δίσκος κέντρου (0, 0) και ακτίνας r. Εάν w είναι ένας σταθερός μιγαδικός αριθμός τότεοι αριθμοί z που ικανοποιούν τη σχέση |z − w| = r, όπου r είναι ένας μη αρνητικός πραγματικόςαριθμός, είναι όλοι εκείνοι των οποίων η απόσταση από τον w ισούται με r, άρα το

C(w, r) = {z ∈ C : |z − w| = r}

περιγράφει τον κύκλο κέντρου w και ακτίνας r. ´Ετσι τα {z ∈ C : |z − w| < r}, {z ∈ C : |z − w| ≤ r},{z ∈ C : |z − w| > r}, και {z ∈ C : |z| ≥ r} περιγράφουν αντίστοιχα τον ανοικτό δίσκο κέντρου w καιακτίνας r, τον κλειστό δίσκο κέντρου w και ακτίνας r, το εξωτερικό του ανοικτού δίσκου κέντρουw και ακτίνας r, και το εξωτερικό του κλειστού δίσκου κέντρου w και ακτίνας r.

Παράδειγμα 1.7. Να περιγραφεί το σύνολο

F = {z ∈ C : Re z = Im z}.

Εάν z = x + iy ∈ F, τότε x = Re z = Im z = y, κατά συνέπεια το F είναι η ευθεία y = x τουεπιπέδου.

Παράδειγμα 1.8. Εάν z0 και z1 , 0 είναι μιγαδικοί αριθμοί να περιγραφεί το σύνολο

L = {z : z = z0 + tz1, όπου t ∈ R}.

´Εστω ότι z1 = r(cos θ + i sin θ) με −π < θ ≤ π, τότε,

tz1 = tr(cos θ + i sin θ), εάν t ≥ 0,tz1 = −tr(− cos θ − i sin θ = −tr(cos(θ + π) + i sin(θ + π)), εάν t < 0,

(γιατί;) επομένως το σύνολο L′ = {z : z = tz1, όπου t ∈ R} είναι η ευθεία που περνάει απότα σημεία 0 και z1 (του μιγαδικού επιπέδου). Για κάθε t ∈ R τα σημεία 0, tz1 z0 + tz1 και z0σχηματίζουν παραλληλόγραμο στο οποίο οι πλευρές δια των σημείων z0, z0 + tz1 και των 0, tz1είναι παράλληλες. Άρα το σύνολο L είναι ευθεία που περνά από το z0 και είναι παράλληληστην L′, ή ισοδύναμα L είναι η ευθεία που περνά από τα σημεία z0 και z0 + z1, ή ισοδύναμαη ευθεία που περιέχει το z0 και είναι παράλληλη στο διάνυσμα z1.

Παράδειγμα 1.9. Εάν z0 και z1 , 0 είναι μιγαδικοί αριθμοί να δειχθεί ότι το σύνολο

E ={z : Im

z − z0z1

= 0}

περιγράφει την ευθεία που περνά από το z0 και είναι παράλληλη στο z1.

Εάν z ∈ E τότε Im[(z− z0)/z1] = 0, επομένως (z− z0)/z1 = λ, για κάποιο λ ∈ R, οπότε z− z0 = λz1ή z = z0 + λz1, δηλαδή z ∈ L (Παράδειγμα 1.8). ´Ετσι E ⊂ L. Επειδή ισχύει και το αντίστροφοέχουμε τελικά ότι E = L.

1Κάθε κύκλος, με ϑετική ακτίνα, χωρίζει το επίπεδο σε δύο ξένα μεταξύ τους σύνολα. Το ένα είναι φραγμένο καιτο άλλο μη φραγμένο. Το φραγμένο υποσύνολο το λέμε εσωτερικό του κύκλου, και το μή φραγμένο υποσύνολο το λέμεεξωτερικό του κύκλου.

14 .

1.5 Ασκήσεις

1. Να γραφούν οι παρακάτω μιγαδικοί αριθμοί στη μορφή a + ib:

(αʹ) (−3 + i)(1 − i2)

(βʹ)1

9 + i2.

(γʹ) (√7 + i

√3)(√7 − i

√3).

(δʹ)7 − i3 + i5

.

2. Εάν z ∈ C να δειχθεί ότι:

(αʹ) (1 + z)2 = 1 + 2z + z2.

(βʹ) (1 + z)n = 1 +(n1

)z +

(n2

)z2 + · · · +

(nk

)zk + · · · +

(n

n − 1

)zn−1 + zn =

n∑k=0

(nk

)zk, για κάθε n ∈ N.

3. Να υπολογισθούν οι δυνάμεις in, για κάθε ακέραιο αριθμό n.

4. Εάν z ∈ C και w ∈ C να δειχθεί ότι:

(αʹ) z2 + 1 = (z + i)(z − i) (βʹ) z2 + w2 = (z + iw)(z − iw).

5. Να δειχθεί ότι οι αριθμοί 1 ± i ικανοποιούν την εξίσωση z2 − 2z + 2 = 0.

6. Εάν x και y είναι πραγματικοί αριθμοί να βρεθούν οι τιμές τους σε κάθε μία από τις εφράσεις:

(αʹ) 5x + i6 = −8 + i2y.(βʹ) i(2x − 4y) = 4x + 2 + i3y.

(γʹ) (3x + i)2 = 8 + iy.

(δʹ) x + iy = (x − iy)2.

7. Να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης z2 + z + 1 = 0. Υπόδειξη: Θέτουμε z = x + iy στην εξίσωσηκαι αφού κάνουμε πράξεις κοιτάζουμε ξεχωριστά το πραγματικό και φανταστικό μέρος.

8. Εάν z ∈ C να δειχθεί ότι: (i) Re(iz) = − Im z και (ii) Im(iz) = Re z.

9. Εάν z, w, v και u είναι μιγαδικοί αριθμοί να αποδειχθούν οι ισότητες:

(αʹ)1

zw=

1z1w

.

(βʹ)z + w

v=

zv

+wv, v , 0.

(γʹ)zwvu

=zv

wu

, v , 0 και u , 0.

(δʹ)zwzv

=wv, z , 0 και v , 0.

10. Να βρεθεί το πραγματικό και το φανταστικό μέρος των αριθμών:

(αʹ)(−1 + i√3

2

)3. (βʹ)

(−1 − i√32

)6. (γʹ)

(2 + i33 − i4

)3. (δʹ) (1 + i)

3.

11. Να βρεθούν τα x και y, όταν x + iy = |x + iy|.

12. Εάν z και w είναι μιγαδικοί αριθμοί να δειχθεί ότι: (i) |z| = | − z| και (ii) z − w = z − w.

.. 15

13. Με χρήση της μαθηματικής επαγωγής να δειχθεί ότι εάν z1, z2, . . . , zn είναι μιγαδικοί αριθμοίτότε ∣∣∣∣∣ n∑

k=1zk

∣∣∣∣∣ ≤ n∑k=1|zk| (1.36)

για κάθε n ∈ N.

14. Να δειχθεί ότι εάν z1 και z2 είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|.

15. Να δειχθεί ότι εάν z και w είναι μιγαδικοί αριθμοί τότε ισχύουν τα παρακάτω:

(αʹ) |z + w|2 = |z|2 + 2Re(zw) + |w|2.(βʹ) |z − w|2 = |z|2 − 2Re(zw) + |w|2.(γʹ) |z + w|2 + |z − w|2 = 2(|z|2 + |w|2) Νόμος του παραλληλογράμου.

16. Αποδείξτε τις ιδιότητες του ορίσματος:

(αʹ) arg(z1z2) = arg z1 + arg z2. (βʹ) argz1z2

= arg z1 − arg z2.

17. Δείξτε ότι εάν Re z1 > 0 και Re z2 > 0, τότε

Arg(z1z2) = Arg z1 + Arg z2.

Δώστε αντιπαράδειγμα όπου Arg(z1z2) , Arg z1 + Arg z2.

18. Η συνάρτηση tan θ είναι ένα προς ένα στο διάστημα [−π2 ,π2 ], κατά συνέπεια η αντίστροφη

συνάρτηση arctan ορίζεται για κάθε t ∈ R με τη σχέση arctan t = θ αν και μόνον αν tan θ = t και−π2 < θ <

π2 . Εάν z = x + iy δείξτε ότι

(αʹ) Arg z = arctanyx, εάν x > 0.

(βʹ) Arg z = arctanyx

+ π, εάν x < 0 και y ≥ 0.

(γʹ) Arg z = arctanyx− π, εάν x < 0 και y < 0.

(δʹ) Arg z =π

2, εάν x = 0 και y > 0.

(εʹ) Arg z = −π2, εάν x = 0 και y < 0.

19. Να βρεθούν οι ρίζες:

(αʹ) (2i)1/2 (βʹ) (1)1/3 (γʹ) (−i)1/2 (δʹ) (−1)1/3.

20. Αφού αποδειχθεί το δυωνυμικό ϑεώρημα

(a + b)n =n∑

k=0

(nk

)akbn−k, με a και b στο C

(βλ. Άσκηση 2) κάνοντας χρήση αυτού και του τύπου του de Moivre να αποδειχθεί ότι

16 .

(αʹ) cos 3θ = cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ, (βʹ) sin 3θ = − sin3 θ + 3 cos2 θ sin θ.

21. Αφού αποδειχθεί ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό z , 1 ισχύει

1 + z + z2 + · · · + zn−1 = 1 − zn

1 − z ,

για κάθε n ≥ 2, με χρήση της ταυτότητας να αποδειχθούν οι

(αʹ) 1 + cos θ + cos 2θ + · · · + cos nθ = 12

+sin[(n + 1/2)θ]

2 sin(θ/2)(0 < θ < 2π).

(βʹ) 1 + ωn + ω2n + · · · + ωn−1n = 0, όπου ωn = cos2πn

+ i sin2πn

.

22. Να περιγραφεί το σύνολο των μιγαδικών αριθμών που αντιστοιχεί σε κάθε μία από τις σχέσεις:

(αʹ) z + z = 1, (βʹ) z − z = i, (γʹ) z + z = |z|2, (δʹ) z = |z|.

23. Να περιγραφούν γεωμετρικά οι σχέσεις:

(αʹ) 1 < Re z < 2,

(βʹ) 1 < |z| < 2,(γʹ) | Im z| ≥ 1,(δʹ) |z| = Im z + 1,

(εʹ) π6 < arg z <π3 ,

(Ϛʹ) |Re z| + | Im z| ≤ 1.

24. Εάν a και b είναι πραγματικοί αριθμοί να περιγραφεί το σύνολο των μιγαδικών αριθμών z πουικανοποιούν τη σχέση Im z = Re(az + b).

25. Να περιγραφεί το σύνολο των μιγαδικών αριθμών z που είναι τέτοιοι ώστε

(αʹ) |z − i| = |z + i|, (βʹ) |z − i| < |z − 1|, (γʹ) |z − 4| ≥ |z|.

26. Πότε η εξίσωση az + bz + c = 0 παριστάνει ευθεία;

27. Η έλλειψη είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισματων αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία που λέγονται εστίες είναι σταθερό.

(αʹ) Να γραφεί η εξίσωση της έλλειψης με εστίες τους μιγαδικούς αριθμούς z1 και z2 καιάθροισμα αποστάσεων από τις εστίες ίσο με 2c, όπου c > 0.

(βʹ) Εάν z1 = −a και z2 = a, όπου a είναι ϑετικός αριθμός, να δειχθεί ότι η εξίσωση τηςέλλειψης σε καρτεσιανές συντεταγμένες x και y γράφεται

x2

c2+

y2

c2 − a2 = 1.

28. Εάν z0 , z1 είναι μιγαδικοί αριθμοί να βρεθεί ο γεωμετικός τόπος των σημείων z που ικανο-ποιούν τη σχέση

Im[ z − z0z1 − z0

]= 0.

29. Να βρεθεί ο γεωμετικός τόπος των σημείων z που ικανοποιούν τη σχέση

Im[z − z0

z1

]> 0.

Κεφάλαιο 2

Τοπολογία στο μιγαδικό επίπεδο

2.1 Ακολουθίες και σειρές

Το μιγαδικό επίπεδο με μετρική d την ευκλείδεια απόσταση, δηλαδή d(z,w) = |z − w| είναι ειδικήπερίπτωση του ευκλείδειου χώρου Rn γνωστού από την Πραγματική Ανάλυση. ´Ετσι πολλά απότα αποτελέσματα της τοπολογίας του C είναι γνωστά, κατά συνέπεια κάποιες από τις αποδείξειςαφήνονται σαν ασκήσεις. Μπορούν βεβαίως να βρεθούν σε βιβλία Ανάλυσης όπως, για παράδειγμα,[1], ή [2].

Ορισμός 2.1. Θα λέμε ότι η ακολουθία των μιγαδικών αριθμών (zn)∞n=1 συγκλίνει, καθώς n → ∞,στον μιγαδικό αριθμό z0 και ϑα γράφουμε

zn → z0 ή limn→∞

zn = z0

αν η ακολουθία των πραγματικών αριθμών |zn − z0| συγκλίνει στο μηδέν, έχουμε δηλαδή

zn → z0 ⇔ |zn − z0| → 0.

Παρατήρηση 2.1. Από την σχέση (βλ. Άσκηση 1.2)

|zn − z0| ≤ |Re(zn − z0)| + | Im(zn − z0)| ≤√2|zn − z0| (2.1)

έπεται ότι zn → z0 αν και μόνον αν Re zn → Re z0 και Im zn → Im z0.

Παράδειγμα 2.1. ´Εστω z ∈ C, με |z| < 1 και έστω zn = zn, n = 1, 2, . . . , τότε zn → 0.

Πράγματι αν z = r(cos θ + i sin θ), με |z| = r < 1, τότε

|zn − 0| = |zn| = |z|n = rn → 0,

καθώς n→ ∞, δηλαδή zn → 0.

Παράδειγμα 2.2. ´Εστω zn = n+in , τότε zn → 1.

17

18 .

Πράγματι zn = n+in = 1 +in , οπότε

|zn − 1| =∣∣∣∣∣ in

∣∣∣∣∣ = 1n → 0,καθώς n→ ∞, κατά συνέπεια zn → 1.

Ορισμός 2.2. Η ακολουθία των μιγαδικών αριθμών (zn)∞n=1 ϑα λέγεται ακολουθία Cauchy αν γιακάθε � > 0 υπάρχει N ώστε αν n,m ≥ N, τότε |zn − zm| < �.

´Οπως και στους πραγματικούς αριθμούς έχουμε το αποτέλεσμα

Πρόταση 2.1. Η ακολουθία των μιγαδικών αριθμών (zn)∞n=1 συγκλίνει αν και μόνον αν είναι ακολουθίαCauchy.

Απόδειξη. ´Εστω ότι η (zn)∞n=1 είναι ακολουθία Cauchy. Από τις σχέσεις

|Re zn − Re zm| ≤ |zn − zm| και | Im zn − Im zm| ≤ |zn − zm|

έπεται ότι οι (Re zn)∞n=1 και (Im zn)∞n=1 είναι ακολουθίες Cauchy πραγματικών αριθμών και σαν τέτοιες

συγκλίνουν. ´Εστω Re zn → x και Im zn → y. Αν z = x + iy, τότε έχουμε

|zn − z| = |Re zn + i Im zn − (x + iy)| ≤ |Re zn − x| + | Im zn − y| → 0,

άρα zn → z.´Εστω τώρα ότι η (zn)∞n=1 συγκλίνει στον αριθμό z. Τότε για � > 0 υπάρχει N ώστε αν n ≥ N, τότε

|zn − z| < �2 . ´Ετσι αν n,m ≥ N ϑα είναι

|zn − zm| ≤ |zn − z| + |zm − z| <�

2+�

2= �,

κατά συνέπεια η (zn)∞n=1 είναι ακολουθία Cauchy. �

Ορισμός 2.3. ´Εστω ότι (zn)∞n=1 είναι μία ακολουθία μιγαδικών αριθμών.

(1) Θα λέμε ότι η ακολουθία είναι φραγμένη αν υπάρχει M > 0 ώστε |zn| ≤ M για όλα τα n.(2) Θα λέμε ότι η ακολουθία (wn)∞n=1 είναι μία υπακολουθία της (zn)

∞n=1 εάν υπάρχει ακολουθία

φυσικών αριθμών n1 < n2 < · · · < nk < · · · ώστε wk = znk για όλα τα k.

Άσκηση 2.1. Δείξτε ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία μιγαδικών αριθμών είναι φραγμένη.

Πρόταση 2.2. Κάθε φραγμένη ακολουθία μιγαδικών αριθμών έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.

Απόδειξη. ´Εστω (zn)∞n=1 μία ακολουθία μιγαδικών αριθμών με |zn| ≤ M για όλα τα n. Τότε γιατην ακολουθία πραγματικών αριθμών (Re zn)∞n=1 ισχύει |Re zn| ≤ M, για n = 1, 2, . . . , κατά συνέπειαυπάρχει ακολουθία φυσικών αριθμών n1 < n2 < · · · < nk < · · · ώστε η Re znk → x0 καθώς k → ∞ γιακάποιο x0 ∈ R. Η ακολουθία (Im znk )∞k=1 είναι επίσης φραγμένη οπότε υπάρχει ακολουθία φυσικώναριθμών m1 < m2 < · · · < m j < · · · , όπου m j = nk j ώστε Im zm j → y0 καθώς j→ ∞, για κάποιο y0 ∈ R.´Ετσι για τη υπακολουθία (zm j)∞j=1 ϑα έχουμε zm j → x0 + iy0 καθώς j→ ∞. �

.. 19

Ορισμός 2.4. ´Εστω ότι (zn)∞n=1 είναι μία ακολουθία μιγαδικών αριθμών. Θα λέμε ότι η σειρά∑∞

n=1 znσυγκλίνει στον μιγαδικό αριθμό z και ϑα γράφουμε

∞∑n=1

zn = z

αν η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων (∑n

k=1 zk)∞n=1 συγκλίνει στον z. Θα λέμε ότι η σειρά

∑∞n=1 zn

συγκλίνει αν υπάρχει μιγαδικός αριθμός z ώστε∑∞

n=1 zn = z. Αν αυτό δεν συμβαίνει ϑα λέμε ότι ησειρά αποκλίνει. Θα λέμε ότι η σειρά

∑∞n=1 zn συγκλίνει απολύτως αν η σειρά

∑∞n=1 |zn| συγκλίνει.

Παρατήρηση 2.2. Για κάθε n έχουμεn∑

k=1zk =

n∑k=1

Re zk + in∑

k=1Im zk (2.2)

κατά συνέπεια από την ανάλογη της (2.1) σχέσης∣∣∣∣∣ n∑k=1

zk − z∣∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣∣ Re( n∑

k=1zk − z

)∣∣∣∣∣ + ∣∣∣∣∣ Im( n∑k=1

zk − z)∣∣∣∣∣ ≤ √2∣∣∣∣∣ n∑

k=1zk − z

∣∣∣∣∣ (2.3)έπεται ότι η

∑∞n=1 zn συγκλίνει στο z ∈ C αν και μόνον αν οι σειρές

∑∞n=1 Re zn και

∑∞n=1 Im zn συγκλί-

νουν αντίστοιχα στο Re z και Im z.

Πρόταση 2.3. Αν η σειρά∑∞

n=1 |zn| συγκλίνει, τότε η∑∞

n=1 zn συγκλίνει.

Απόδειξη. ´Εστω σn =∑n

k=1 zk και έστω τn =∑n

k=1 |zk|. Αν n > m είναι φυσικοί αριθμοί έχουμε

|σn − σm| = |zm+1 + zm+2 + · · · + zn|≤ |zm+1| + |zm+2| + · · · + |zn|= |τn − τm|.

Επειδή η ακολουθία (τn)∞n=1 είναι Cauchy έπεται ότι το αυτό είναι και η (σn)∞n=1, κατά συνέπεια

συγκλίνει, επομένως η σειρά∑∞

n=1 zn συγκλίνει. �

Παράδειγμα 2.3. Η σειρά∑∞

n=1in

n2+i συγκλίνει.

Αρκεί να δείξουμε ότι η σειρά των μέτρων∑∞

n=1 | in

n2+i | συγκλίνει. Πράγματι επειδή∣∣∣∣∣ inn2 + i∣∣∣∣∣ = 1|n2 + i| = 1√n4 + 1 ≤ 1n2

και η∑∞

n=11

n2 συγκλίνει έπεται ότι η∑∞

n=1 | in

n2+i | συγκλίνει επομένως και η∑∞

n=1in

n2+i .

Παράδειγμα 2.4. Η σειρά∑∞

n=0znn! = 1 +

∑∞n=1

znn! συγκλίνει για κάθε z ∈ C.

Αν z ∈ C και |z| = r ≥ 0 είναι∞∑

n=0

∣∣∣∣∣ znn!∣∣∣∣∣ = ∞∑

n=0

|zn|n!

=

∞∑n=0

rn

n!= er = e|z| ∈ R,

κατά συνέπεια η∑∞

n=0znn! συγκλίνει για κάθε z ∈ C. Αν z = x ∈ R, τότε

∑∞n=0

znn! =

∑∞n=0

xnn! =

ex, κατά συνέπεια η σειρά∑∞

n=0znn! φαίνεται ότι επεκτείνει την εκθετική συνάρτηση στους

μιγαδικούς αριθμούς. Αυτό πράγματι συμβαίνει και ϑα το συζητήσουμε στο επόμενο κεφάλαιο.

20 .

Σημειώνουμε ότι αν η σειρά∑∞

n=1 |zn| συγκλίνει, τότε και η∑∞

n=1 zn συγκλίνει. Αν η∑∞

n=1 |zn|αποκλίνει η

∑∞n=1 zn μπορεί να αποκλίνει ή να συγκλίνει. Υπενθυμίζουμε το ανάλογο αποτέλεσμα

στις εναλλασσόμενες σειρές. Σε περίπτωση που ϑέλουμε να δείξουμε ότι μία σειρά αποκλίνει αρκείνα δείξουμε ότι το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος της σειράς αποκλίνει (γιατί;).

Παράδειγμα 2.5. Η σειρά∑∞

n=11

n+i αποκλίνει.

´Εχουμε ότι1

n + i=

n − i(n + i)(n − i) =

n − in2 + 1

=n

n2 + 1− i 1

n2 + 1

και

Re1

n + i=

nn2 + 1

=1

n + 1/n≥ 1

2n.

Η σειρά∑∞

n=11n αποκλίνει, άρα και η

∑∞n=1 Re

1n+i . Συνεπώς και η αρχική σειρά

∑∞n=1

1n+i

αποκλίνει.

Σημείωση 2.1. Για τον έλεγχο της απόλυτης σύγκλισης, άρα και της σύγκλισης, μιας σειράς μιγα-δικών αριθμών

∑∞n=1 zn έχουμε τα ακόλουθα κριτήρια, γνωστά από τον Απειροστικό Λογισμό:

(1) Κριτήριο σύγκρισης: ´Εστω an ≥ 0, για όλα τα n και έστω ότι η σειρά∑∞

n=1 an συγκλίνει. Αν|zn| ≤ an, για όλα τα n, τότε η σειρά

∑∞n=1 |zn| συγκλίνει.

(2) Κριτήριο του λόγου: ´Εστω ότι |zn| > 0 για n ≥ N και έστω ότι το

L = limn→∞

|zn+1||zn|

(2.4)

υπάρχει ή είναι +∞. Εάν L < 1 η ∑∞n=1 |zn| συγκλίνει. Εάν L > 1 η ∑∞n=1 |zn| αποκλίνει. Εάν L = 1δεν μπορεί να εξαγχθεί συμπέρασμα για τη σύγκλιση της σειράς από αυτό το κριτήριο.

(3) Κριτήριο της ρίζας: ´Εστω ότι το

L = limk→∞

n√|zn| (2.5)

υπάρχει ή είναι +∞.1 Εάν L < 1 η ∑∞n=1 |zn| συγκλίνει. Εάν L > 1 η ∑∞n=1 |zn| αποκλίνει. Εάν L = 1δεν μπορεί να εξαγχθεί συμπέρασμα για τη σύγκλιση της σειράς από αυτό το κριτήριο.

1Θυμίζουμε ότι αν (ck)∞k=1 είναι μία ακολουθία μη αρνητικών αριθμών ορίζουμε

limk→∞

ck = limk→∞

(supn≥k

cn), lim

k→∞ck = lim

k→∞

(infn≥k

cn).

Θέτοντας αk = sup{ck, ck+1, . . . }, και βk = inf{ck, ck+1, . . . } είναι α1 ≥ al2 ≥ · · · ≥ αk ≥ · · · , και β1 ≤ β2 ≤ · · · ≤ βk ≤ · · · . Κατάσυνέπεια το κάθε όριο limk→∞ αk ή limk→∞ βk υπάρχει ή είναι +∞. Τότε

limk→∞

ck = limk→∞

αk limk→∞

ck = limk→∞

βk.

Αν η ακολουθία συγκλίνει, τότε limn→∞ cn = limn→∞ cn = limn→∞ cn.

.. 21

2.2 Στοιχεία τοπολογίας

Αν z0 ∈ C και r > 0 υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο D(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| < r} λέγεται ανοικτόςδίσκος κέντρου z0 και ακτίνας r, το D(z0, r) = {z ∈ C : |z − z0| ≤ r} λέγεται κλειστός δίσκος κέντρουz0 και ακτίνας r, ενώ το σύνολο C(z0, r) = {z ∈ C : |z− z0| = r} είναι ο κύκλος κέντρου z0 και ακτίναςr. Με D′(z0, r) συμβολίζουμε τον δίσκο με τρύπα στο κέντρο, δηλαδή D′(z0, r) = D(z0, r) r {z0}.

Ορισμός 2.5. ´Ενα σύνολο S ⊂ C ϑα λέγεται ανοικτό αν για κάθε z ∈ S υπάρχει r > 0 ώστεD(z, r) ⊂ S . ´Ενα σύνολο S ⊂ C ϑα λέγεται κλειστό αν το συμπλήρωμά του S c = CrS είναι ανοικτό.Εάν z ∈ C ϑα λέμε περιοχή του z κάθε ανοικτό σύνολο που περιέχει το z.

Πρόταση 2.4. Αν το σύνολο S ⊂ C είναι κλειστό και (zn)∞n=1 είναι μία ακολουθία σημείων του S καιzn → z, τότε z ∈ S .

Απόδειξη. Με την εις άτοπο απαγωγή. Ας υποθέσουμε ότι z ∈ S c, τότε ϑα υπάρχει � > 0 ώστεD(z, �) ⊂ S c. Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί κάθε δίσκος κέντρου z περιέχει όλους τελικά τουςόρους της ακολουθίας (zn)∞n=1, δηλαδή D(z, �) ∩ S , ∅, για κάθε � > 0. Καταλήξαμε σε άτοπο γιατίυποθέσαμε ότι z ∈ S c, κατά συνέπεια z ∈ S . �

Ορισμός 2.6. ´Ενα σημείο z ∈ C ϑα λέγεται σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου S ⊂ C αν γιακάθε r > 0 ο ανοικτός δίσκος D(z, r) περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο του S διάφορο του z, ήD′(z, r) ∩ S , ∅. ´Ενα σημείο που δεν είναι σημείο συσσώρευσης του S λέγεται μεμονωμένο σημείο.

´Ετσι η Πρόταση 2.4 μας λέει ότι ένα κλειστό σύνολο περιέχει όλα τα σημεία συσσώρευσής του.

Ορισμός 2.7. ´Εστω S ⊂ C.

(1) Το σύνολο ∂S = {z ∈ C : D(z, r) ∩ S , ∅ και D(z, r) ∩ S c , ∅, ∀r > 0} λέγεται σύνορο του S .(2) Το σύνολο S = S ∪ ∂S λέγεται κλειστή ϑήκη ή περίβλημα του S .

´Ετσι αν z0 ∈ C και r > 0, τότε D(z0, r) = D(z0, r).

Άσκηση 2.2. ´Εστω S ⊂ C. Δείξτε ότι τα σύνολα ∂S και S είναι κλειστά. Δείξτε επίσης ότι το Sείναι κλειστό αν και μόνον αν S = S .

Ορισμός 2.8. ´Εστω S ⊂ C.

(1) Το σύνολο S ϑα λέγεται φραγμένο αν υπάρχει R > 0 ώστε S ⊂ D(0,R).(2) Το σύνολο S ϑα λέγεται συμπαγές εάν είναι κλειστό και φραγμένο.(3) Το σύνολο S ϑα λέγεται συνεκτικό εάν δεν μπορεί να περιέχεται στην ένωση δύο ξένων μεταξύ

τους ανοικτών και μη κενών συνόλων O1 και O2 τέτοιων ώστε S ∩ O1 , ∅ και S ∩ O2 , ∅.(4) Το σύνολο S ϑα λέγεται χωρίο ή τόπος εάν είναι ανοικτό και συνεκτικό.

Ορισμός 2.9. ´Εστω O = {O j : j ∈ J} μια οικογένεια ανοικτών υποσυνόλων του C και έστω S ⊂ C.Η οικογένεια O λέγεται ανοικτό κάλυμμα του S εάν S ⊂ ∪ j∈JO j. Θα λέμε ότι η O περιέχει έναπεπερασμένο υποκάλυμμα του S αν υπάρχουν j1, j2, . . . , jn ∈ J ώστε S ⊂ ∪nk=1O jk .

Πρόταση 2.5. Αν S ⊂ C οι εκφράσεις που ακολουθούν είναι ισοδύναμες:

22 .

(1) Το S είναι συμπαγές.(2) Κάθε ανοικτό κάλυμμα του S περιέχει ένα πεπερασμένο υποκάλυμμα του S .(3) Κάθε ακολουθία σημείων του S έχει υπακολουθία η οποία συγκλίνει σε σημείο του S .

Απόδειξη. Για την απόδειξη παραπέμπουμε στο [1], ή [2]. �

Ορισμός 2.10. Εάν S είναι ένα φραγμένο υποσύνολο του C ορίζουμε τη διάμετρο του S , diam S ,με τη σχέση diam S = sup{|z − w| : z,w ∈ S }. Εάν το S είναι μη φραγμένο γράφουμε diam S = +∞.

Πρόταση 2.6 (Cantor). ´Εστω (Gn)∞n=1 μία ακολουθία μη κενών συμπαγών υποσυνόλων του C τέτοιαώστε Gn+1 ⊂ Gn για κάθε n και diam Gn → 0 καθώς n→ ∞. Τότε η τομή ∩∞n=1Gn είναι μονοσύνολο.

Απόδειξη. Για κάθε n επιλέγουμε zn ∈ Gn. Η ακολουθία (zn)∞n=1 είναι Cauchy γιατί για N ∈ N καιn,m ≥ N έχουμε ότι zn, zm ∈ GN και |zn − zm| ≤ diam GN → 0 καθώς N → ∞. Κατά συνέπεια η (zn)∞n=1συγκλίνει σε κάποιο z0 ∈ C. Επειδή για κάθε n το Gn είναι κλειστό και zk ∈ Gn για k ≥ n έπεταιότι z0 ∈ Gn, συνεπώς z0 ∈ ∩∞n=1Gn. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει z′0 , z0 και z′0 ∈ ∩∞n=1Gn. Τότε ϑαείναι |z0 − z′0| > 0 γεγονός που αντιφάσκει με το ότι |z0 − z′0| ≤ diam Gn για κάθε n κατά συνέπεια|z0 − z′0| = 0. Επομένως ∩∞n=1Gn = {z0}. �

Ορισμός 2.11. (1) Εάν z1, z2 ∈ C με [z1, z2] συμβολίζουμε το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημείαz1 και z2, έτσι

[z1, z2] = {z ∈ C : z = (1 − t)z1 + tz2, 0 ≤ t ≤ 1}.

(2) Πολυγωνική γραμμή στο C είναι η ένωση ενός πεπερασμένου πλήθους διαδοχικών ευθύγραμμωντμημάτων

[z1, z2] ∪ [z2, z3] ∪ · · · ∪ [zn−1, zn].

(3) ´Ενα σύνολο S ⊂ C ϑα λέγεται κυρτό εάν για κάθε ζευγάρι σημείων z1 και z2 του S το ευθύγραμμοτμήμα [z1, z2] περιέχεται στο S , δηλαδή [z1, z2] ⊂ S .

zw

z

w

Σχήμα 2.1: Μη κυρτά σύνολα.

Άσκηση 2.3. Να χαρακτηρισθούν σαν ανοικτά, ή κλειστά, ή φραγμένα ή συμπαγή, ή συνεκτικά, ήκυρτά τα σύνολα:

.. 23

(1) [0, 1] × [0, 1](2) D(z0, r), όπου z ∈ C και r > 0.(3) D(z0, r), όπου z ∈ C και r > 0.(4) {z : Re z > a}, όπου a ∈ R σταθερός αριθμός.

(5) {z : Im z ≤ a}, όπου a ∈ R σταθερός αριθμός.(6) {z ∈ C : Re z > 0 και Im z > 0}.(7) {z : |Re z| > 1}.(8) {z : 1 ≤ |z| < 2}.

Πρόταση 2.7. Αν z1, z2 είναι σημεία ενός χωρίου S , τότε υπάρχει πολυγωνική γραμμή που τα συνδέεικαι περιέχεται εξ ολοκλήρου στο S . Επί πλέον η πολυγωνική γραμμή μπορεί να επιλεγεί ώστε νααποτελείται από τμήματα παράλληλα στους άξονες.

Απόδειξη. ´Εστω r > 0 ώστε D(z1, r) ⊂ S και έστω O1 το σύνολο των σημείων του S που συνδέονταιμε πολυγωνική γραμμή εντός του S με το z1. Τότε D(z1, r) ⊂ O1. ´Εστω O2 = S r O1. Δείχνουμεότι τα O1 και O2 είναι ανοικτά. ´Εστω w1 ∈ O1, τότε για κάποιο r1 > 0 είναι D(w1, r1) ⊂ S καιεπιπλέον κάθε σημείο z με |z − w| < r1 συνδέεται με το w με ευθύγραμμο τμήμα και στη συνέχεια μεπολυγωνική γραμμή με το z1, κατά συνέπεια D(w, r1) ⊂ O1. ´Εστω w2 ∈ O2 και έστω D(w2, r2) ⊂ Sγια κάποιο r2 > 0. Ισχυριζόμαστε ότι D(w2, r2) ⊂ O2. Αν αυτό δεν συνέβαινε ϑα υπήρχε σημείοz με |z − w2| < r2 το οποίο ϑα συνδεόταν με το z1 με πολυγωνική γραμμή στο S . Στη περίπτωσηαυτή όμως το ευθύγραμμο τμήμα από το z στο w2 μαζί με την πολυγωνική γραμμή ϑα αποτελούσεμία πολυγωνική γραμμή στο S που συνδέει το z1 με το w2. Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί w2 ∈ O2,συνεπώς D(w2, r2) ⊂ O2, δηλαδή το O2 είναι ανοικτό. ´Ετσι έχουμε ότι το S εκφράζεται σαν ένωσηδύο ανοικτών και ξένων μεταξύ τους ανοικτών συνόλων. Αυτό όμως είναι άτοπο γιατί το S είναισυνεκτικό, συνεπώς O2 = ∅ επειδή z1 ∈ O1, δηλαδή S = O1. Τα τμήματα της πολυγωνικής γραμμήςμπορούμε να τα πάρουμε, εξ αρχής, παράλληλα στους άξονες. �

Σημείωση 2.2. Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν ένα ανοικτό σύνολο έχει την ιδιότητα κάθεζευγάρι σημείων του να συνδέεται με πολυγωνική γραμμή στο σύνολο, τότε το σύνολο είναι συ-νεκτικό. Αφήνουμε την απόδειξη σαν άσκηση. Το Θεώρημα και το αντίστροφο γενικεύεται στοRn.

2.3 Συναρτήσεις

Αν S ⊂ C και f : S → C είναι μία συνάρτηση τότε για z = x + iy ϑα έχουμε

f (z) = f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) ∈ C.

Θα γράφουμε u = Re f και v = Im f . Μία τέτοια συνάρτηση ϑα τη λέμε μιγαδική συνάρτηση μίαςμιγαδικής μεταβλητής.

Αν, για παράδειγμα, f (z) = z2 + 1, τότε f : C→ C και

f (z) = (x + iy)2 + 1 = x2 − y2 + 1 + i2xy,

επομένωςu(x, y) = Re f (x, y) = x2 − y2 + 1, v(x, y) = Im f (x, y) = 2xy.

Γενικά γράφουμε f = u + iv, όπου u, v : C→ R.

24 .

Ορισμός 2.12. ´Εστω S ⊂ C και έστω f : S → C μία συνάρτηση. Αν z0 ∈ S ή z0 ∈ ∂S , ϑα λέμε ότι ηf έχει όριο L στο z0 και γράφουμε

limz→z0

f (z) = L, ή f (z)→ L, καθώς z→ z0

εάν για κάθε � > 0 υπάρχει δ > 0 ώστε αν z ∈ S και 0 < |z − z0| < δ, τότε | f (z) − L| < �.

Ορισμός 2.13. ´Εστω S ⊂ C και έστω f : S → C μία συνάρτηση.

(1) ´Εστω z0 ∈ S . Η f ϑα λέγεται συνεχής στο z0 αν για κάθε � > 0 υπάρχει δ > 0 (δ = δ(�, z0)) ώστεαν |z − z0| < δ, τότε | f (z) − f (z0)| < �.

(2) Η f ϑα λέγεται ομοιόμορφα συνεχής στο S αν για κάθε � > 0 υπάρχει δ > 0 (δ = δ(�)) ώστε ανγια z1, z2 ∈ S είναι |z1 − z2| < δ, τότε | f (z1) − f (z2)| < �.

Παράδειγμα 2.6. ´Εστω f (z) = |z|. Η f ορίζεται και είναι ομοιόμορφα συνεχής στο C.

Αν z1, z2 ∈ C, τότε| f (z1) − f (z2)| = ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|

κατά συνέπεια για κάθε � > 0 η συνθήκη για την ομοιόμορφη συνέχεια ισχύει για δ = �.

Παράδειγμα 2.7. ´Εστω f (z) = 1z−1 . Η f ορίζεται και είναι συνεχής στο C r 1.

´Εστω z0 , 1, τότε για z , 1 έχουμε

| f (z) − f (z0)| =∣∣∣∣∣ 1z − 1 − 1z0 − 1

∣∣∣∣∣ = |z − z0||z − 1||z0 − 1| . (2.6)Αν � > 0, τότε επιλέγοντας δ ≤ min { 12 |z0 − 1|, 12�|z0 − 1|2} για |z − z0| < δ υπολογίζουμε

|z0 − 1| ≤ |z − z0| + |z − 1| <|z0 − 1|

2+ |z − 1| ⇒ |z − 1| > |z0 − 1|

2.

Κατά συνέπεια από την (2.6) έπεται ότι

| f (z) − f (z0)| <2|z − z0||z0 − 1|2

<2δ

|z0 − 1|2≤ 2�|z0 − 1|

2

2|z0 − 1|2= �,

οπότε η f είναι συνεχής στο z0.

Πρόταση 2.8. ´Εστω f : S → C μία συνάρτηση και έστω z0 ∈ S . Η f είναι συνεχής στο z0 αν γιακάθε ακολουθία (zn)∞n=1 σημείων του S ώστε zn → z0, έπεται ότι f (zn)→ f (z0).

Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση. �

Παρατήρηση 2.3. ´Εστω f : S → C με f = u + iv μία συνάρτηση και έστω z0 ∈ S . Από τη σχέση

| f (z) − f (z0)| ≤ |u(z) − u(z0)| + |v(z) − v(z0)| ≤√2| f (z) − f (z0)|

συμπεραίνουμε ότι η f είναι συνεχής στο z0 αν και μόνον αν το πραγματικό και το φανταστικόμέρος της f είναι συνεχείς στο z0.

.. 25

Σημείωση 2.3. ´Εστω f : C → C μία συνάρτηση και έστω S ⊂ C. Θυμίζουμε ότι με f (S ) ⊂ Cσυμβολίζουμε την εικόνα του S μέσω της f , δηλαδή f (S ) = { f (z) : z ∈ S }, ενώ με f −1(S ) συμβολίζουμετην αντίστροφη εικόνα του S μέσω της f , δηλαδή f −1(S ) = {z : f (z) ∈ S }. Χωρίς ιδιαίτερη δυσκολίαμπορεί να δειχθεί ότι f ( f −1(S )) ⊂ S και ότι S ⊂ f −1( f (S )). Θυμίζουμε επίσης ότι ένα σύνολο U ⊂ Sλέγεται ανοικτό στο S αν υπάρχει ανοικτό σύνολο V ⊂ C ώστε U = V ∩ S . Παρόμοια ένα σύνολοF ⊂ S λέγεται κλειστό στο S αν υπάρχει κλειστό σύνολο G ⊂ C ώστε F = G ∩ S .2

Πρόταση 2.9. ´Εστω S ⊂ C και έστω f : S → C μία συνάρτηση. Δείξτε ότι

(1) Η f είναι συνεχής στο S αν και μόνον αν για κάθε ανοικτό σύνολο O ⊂ C το f −1(O) είναι ανοικτόσύνολο στο S .

(2) Η f είναι συνεχής στο S αν και μόνον αν για κάθε κλειστό σύνολο F ⊂ C το f −1(F) είναι κλειστόσύνολο στο S .

Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση. �

Πρόταση 2.10. ´Εστω S ⊂ C και έστω f : S → C μία συνάρτηση συνεχής στο S , τότε ισχύουν ταπαρακάτω

(1) Εάν το S είναι συμπαγές το f (S ) είναι συμπαγές.(2) Εάν το S είναι συνεκτικό το f (S ) είναι συνεκτικό.

Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση. �

Πρόταση 2.11. ´Εστω S ⊂ C ένα συμπαγές σύνολο και έστω f : S → C μία συνάρτηση συνεχής στοS , τότε

(1) Η f είναι φραγμένη, υπάρχει δηλαδή ϑετική σταθερά M ώστε | f (z)| ≤ M για όλα τα z ∈ S .(2) Η | f | παίρνει τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της στο S , υπάρχουν δηλαδή σημεία z1, z2 ∈ S ώστε| f (z1)| ≤ | f (z)| ≤ | f (z2)| για όλα τα z ∈ S .

Απόδειξη. Αφήνεται σαν άσκηση. �

Ορισμός 2.14. ´Εστω ( fn)∞n=1 μία ακολουθία συναρτήσεων ορισμένων σε κάποιο σύνολο S .

(1) Θα λέμε ότι η ( fn)∞n=1 συγκλίνει σημειακά σε κάποια συνάρτηση f στο S εάν για z ∈ S ηακολουθία των μιγαδικών αριθμών ( fn(z))∞n=1 συγκλίνει στο f (z), ισοδύναμα για κάθε z ∈ S καιγια κάθε � > 0 υπάρχει N = N(z, �) ώστε αν n ≥ N είναι | fn(z) − f (z)| < �.

(2) Θα λέμε ότι η ( fn)∞n=1 συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια συνάρτηση f στο S εάν για κάθε � > 0υπάρχει N = N(�) ώστε αν n ≥ N είναι | fn(z) − f (z)| < � για κάθε z ∈ S .

2Εδώ σκεφτόμαστε το S σαν μετρικό υπόχωρο του μετρικού χώρου (C, | · |), κατά συνέπεια το S είναι ανοικτό καικλειστό (στο S ). ´Ετσι ένα σύνολο E ⊂ S είναι ανοικτό, αντίστοιχα κλειστό, στο S εάν το E είναι ανοικτό, αντίστοιχακλειστό, υποσύνολο του χώρου (S , | · |). Στην Άσκηση 5 δείχνεται η ισοδυναμία των δύο χαρακτηρισμών για ανοικτά ήκλειστά υποσύνολα ενός S ⊂ C. Γενικά τα ανοικτά ή κλειστά υποσύνολα του S δεν είναι κατ´ ανάγκη ανοικτα αντίστοιχακλειστά υποσύνολα του C.

26 .

(3) Θα λέμε ότι η σειρά∑∞

n=1 fn συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια συνάρτηση f στο S εάν η α-κολουθία των μερικών αθροισμάτων της σειράς (

∑nk=1 fk)

∞n=1 συγκλίνει ομοιόμορφα στην f στο

S .

Πρόταση 2.12. ´Εστω ( fn)∞n=1 μία ακολουθία συναρτήσεων ορισμένων και συνεχών σε κάποιο σύνολοS η οποία συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάποια συνάρτηση f στο S . Τότε η f είναι συνεχής στο S .

Απόδειξη. ´Εστω � > 0. Τότε υπάρχει N ώστε | fn(w)