Fısica EstadısticaTarea 6

A entregar: viernes 25 de octubre de 2013.

Prob. 24. Un solido con atomos de tres estados.

Considere un solido cristalino con N atomos, uno en cada sitio de la red.Cada atomo puede estar en tres estados, cuyas energıas son −ε0, 0, y ε0.

Suponiendo que el cristal se encuentra a temperatura T , calcule:

a) La funcion de particion canonica.

b) La probabilidad de hallar a un atomo con energıa ε0.

c) La energıa total promedio y la capacidad calorıfica. Discuta los lımites debaja y alta temperatura.

d) La entropıa. Discuta los lımites de baja y alta temperatura.

e) Calcule la entropıa en el ensemble microcanonico y verifique que se obtieneel mismo resultado que en el inciso d).

Prob. 25. Paramagnetismo clasico.

Considere un cristal paramagnetico con N sitios a temperatura T y enpresencia de un campo magnetico externo uniforme ~H. El Hamiltoniano delsistema puede escribirse como

H = −N∑i=1

~µi · ~H

donde ~µi es el momento magnetico del i-esimo atomo. Considere al momentomagnetico como una cantidad que obedece la mecanica clasica, es decir,que los valores de ~µ no estan cuantizados: su magnitud es constante |~µi| =µ = constante y su orientacion puede tomar cualquier valor, p. ej. ~µi =µ(sin θi cosφix+ sin θi sinφiy + cos θiz) donde 0 ≤ θi < π y 0 ≤ φi < 2π sonlos angulos polar y azimutal de las coordenadas esfericas.

a) Calcule la magnetizacion promedio de este sistema.

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b) La expresion anterior estrictamente solo es valida a temperaturas altas.Aproxime dicha expresion en ese lımite y muestre que se obtiene la Ley deCurie para la susceptibilidad magnetica,

χM ≈ Nµ2

3kT.

Prob. 26. Termodinamica de un paramagneto.

En clase vimos que la energıa libre de Helmholtz para estos materiales esfuncion de la temperatura y el campo magnetico: F = F (T,H). M = − ∂F

∂H.

a) Suponiendo que conoce F (T,H), construya la correspondiente energıalibre F(T,M), i.e. como funcion de la temperatura y la magnetizacion M .

Muestre que

H =

(∂F∂M

)T

b) De manera analoga al caso de un gas, podemos definir las capacidadescalorıficas a magnetizacion y campo magnetico constantes CM y CH respec-tivamente como:

CM = T

(∂S

∂T

)M

CH = T

(∂S

∂T

)H

Muestre que

CH − CM = −T(∂H

∂T

)M

(∂M

∂T

)H

c) Muestre que para un material paramgnetico que obedezca la ley deCurie (i.e. T “altas”), se tiene

CH − CM = CH2/T 2

donde C es la constante de Curie; identifıquela.

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Superficie adsorbente de moléculas diatómicas con energía de amarre -εΒ

Gas atómico

Prob. 27. Absorcion molecular en una superficie.

Suponga un gas ideal (clasico) monoatomico (masa m) a temperatura Ty presion p. El gas se pone en contacto con un cristal en cuya superficiesolo se pueden ligar pares de atomos (i.e. “moleculas diatomicas”). Vea lafigura. La energıa de amarre de cada molecula en un sitio cristalino es −εB.La superficie tiene N sitios de amarre. Suponga que se establece equilibriotermodinamico entre el gas y las moleculas ligadas a la superficie. Encuentre(de la manera que usted quiera) una expresion para el numero promedio Np

de pares amarrados a la superficie. Debe encontrar una expresion del tipo

Np

N=

p2

p2 + p20.

Identifique p0.

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Problemas opcionales

1. Realiza las siguientes integrales:

a)∫x√

1− 2x dx

b)∫

sin2 3x dx

c)∫ ∞0

1

x2 + adx a > 0

d)∫ x+ 3

(x2 + 6x)1/2dx

2. Considera la siguiente matriz,

M =

1 0 00 −4 4i0 −4i 6

(1)

Encuentra los eigenvalores y eigenvectores normalizados de M .

3. Sea la entropıa

S = k(N lnN − 1

2(N − E

ε0) ln

1

2(N − E

ε0)− 1

2(N +

E

ε0) ln

1

2(N +

E

ε0))

(2)

donde ε0 es una constante. Encuentra la energıa E como funcion de la tem-peratura T y el numero de atomos N .

4. Considera la ecuacion del oscilador armonico, amortiguado, forzado:

md2x

dt2+mγ

dx

dt+mω2x = A0 cos(ω0t). (3)

Para condiciones iniciales arbitrarias, encuentra x(t) para tiempos largos, esdecir, t � γ−1. Haz un bosquejo de la amplitud de x(t) en ese lımite ymuestra que se tiene una resonancia cuando ω = ω0.

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