MECANICA DE MATERIALES

F. R. SHANLEYProfesor de IngenieraUniversidad de California, Los Angeles

Traduccin y Adaptacin:Dr. Alejandro Martnez MrquezInstituto Politcnico Nacional, Mxico

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CENTRO REGIONAL DE AYUDA TECNICAAGENCIA PARA EL DESARROLLO INTERNACIONAL (A.I.D.)

MEXICO - BUENOS AIRES

Primera edicin en espaol, 1971

NOTA A ESTA EDICION

Esta publicacin es traduccin de "Mechanics o[ Materials",por F. R. Shanley editada originalmente en ingls por McGraw-Hill Book Company, Inc., 1967.

La presente edicin ha sido preparada conjuntamente por Li-bros McGraw-Hill de Mxico, S. A. de C. V. y el Centro Regio-nal de Ayuda Tcnica (RTAC), Agencia para el DesarrolloInternacional (A. 1. D.), Departamento de Estado del Gobiernode los Estados Unidos de Amrica. El Centro es una organiza-cin dedicada a la produccin de versiones en espaol del ma-terial flmico e impreso de los programas de cooperacin tcnicade la Alianza para el Progreso.

e..:-J. .. .' ..Ttulo de la obra original: Mechanics o[ MaterialsVersin autorizada en espaol de la la. edicin publicada eningls por McGraw-Hill Book, Co., Inc.

Versin en espaol de: Alejandro Martnez Mrquez

91903

IMPRESO EN COLOMBIAPRINTED IN COLOMBIA

Prlogo

Este libro se destin originalmente como una revisin del autoral libro de RESISTENCIA DE MATERIALES (1971), pero lasrevisiones se volvieron tan extensas que ahora el libro se publicacomo un trabajo totalmente separado.* La organizacin de lostemas en RESISTENCIA DE MATERIALES se bas en elnivel de abstraccin incluido. Aunque este punto de vista no seha abandonado en el presente texto, el orden de presentacinde los temas fue cambiado para mejorar el rendimiento dellibro, desde el punto de vista pedaggico.

Se espera que el nuevo libro cumpla los requisitos de los edu-cadores que desean presentar la mecnica de materiales a unnivel primario en el programa de ingeniera. Para cursos cortos,gran parte de este material en tipo menudo se puede omitir. Ade-ms, el libro se puede usar tambin como texto propuesto paracursos sobre diseo estructura!.

Durante los cinco aos que dur la preparacin del origi nal hahabido un creciente desarrollo de la importancia del diseo (osntesis).1' Ha existido tambin un nfasis creciente en el as-pecto cientfico de la ingeniera.

La enorme capacidad de los computadores electrnicos se hautilizado en el anlisis y ha comenzado ahora a desempear unpapel importante en el diseo. El progreso rpido en astronuticava acompaado de la aparicin de nuevos materiales, nuevasformas de construccin, severas condiciones ambientales, nfa-sis creciente en la reduccin de peso, y as sucesivamente. Lanaturaleza interdisciplinaria de la ingeniera de proyectos harecibido mucha atencin. Estos cambios se reflejan con algunaextensin en el presente texto.

Un curso elemental de esttica es prerequisito para su uso. (Se inclu-yen algunos ejemplos del uso del lgebra lineal como material opcionalpara aquellos que han tenido un entrenamiento en este tema.) Despusde definir los elementos, componentes y sistemas desde el punto de vista

Resistencia de materiales ser til.t En este texto la palabra diseo se usa siempre en el sentido cientifico, es decir,

un diseo de ingeniera se basa en las leyes de la naturaleza, por lo menos en parte.Este uso excluye el estudio de diseo desde el punto de vista puramente intuitivoo asctico.

v

vi

de la transmisin de fuerza, el texto admite el comportamiento de loscomponentes estructurales bajo varios estados de carga, haciendo nfasisen el concepto de transmisin de fuerza como la funcin que va a serrealizada.

El componente mismo se puede considerar como una subclase de unsistema estructural. La transicin entre el componente y el sistema pare-ce ser una base lgica para limitar el propsito del libro. Sin embargo,con el fin de que esta transicin sea complementada fcilmente, se haincluido el captulo 15 para describir los principios y la filosofa de los sis-temas estructurales de diseo.

Desde el punto de vista educativo, sera importante que el programaproporcionara (relativamente temprano) alguna oportunidad al estu-diante que actualmente "disea" algo, en el proceso en el cual utilizarasus conocimientos de matemticas y leyes fsicas. Tales oportu nidadesmotivan al estudiante de ingeniera, quien las selecciona (en vez de laciencia pura) porque tiene una fuerte inclinacin a crear algo en el aspec-to fsico.* Casi todos los sistemas de ingeniera tienen componentesque ejecutan funciones estructurales (inclusive estas funciones puedenser secundarias). Por tanto, parece lgico incluir algunos ejemplos dediseo estructural en el programa de ingeniera.

Los textos modernos sobre propiedades de los materiales se basan prin-cipalmente en el aspecto elemental. En este libro aplicaremos tales cono-cimientos a los componentes bajo varios estados de carga. Objetivoespecial de este libro es suministrar al ingeniero mtodos en los cualespueda utilizar el diagrama de esfuerzo y deformacin. En el anlisis delos estados de carga, tanto dentro como fuera de la zona de deformacinelstica.

Al estudiar el anlisis del estado de esfuerzos se adopta el esquema cl-sico de la teora de la elasticidad.

Los tensores de deformacin y esfuerzo se estudian desde el punto devista fsico (no es necesario que el estudiante tenga un conocimientoprevio del anlisis de tensores). Es importante revelar que ciertas canti-dades obedecen a leyes similares de transformacin; por tanto, se hacenfasis para mostrar el esfuerzo, fuerza lineal, deformacin y momentode inercia, todos clasificados como magnitudes tensoriales que se anali-zan por el mismo procedimiento del lgebra lineal.

Aunque el estudio de diagramas de esfuerzo cortante y momento flexio-nante se ve generalmente en esttica, se incluye un repaso breve de estostemas en el captulo 6. Se enfatizan las relaciones diferenciales funda-mentales incluidas. El uso de funciones de singularidad hace posibletratar las funciones de carga locales y discontinuas por mtodos de inte-

El autor ha encontrado que los problemas de diseo elemental que requierensoluciones individuales, los cuales ha comparado como habilidad, proporcionanuna atmsfera de competencia que estimula el inters del estudiante. Algunosproblemas tpicos se esbozan en la Ref. 76, y se incluyen problemas similares enel texto.

Prlogo

Prlogo

graClOn simple. El anlisis de deflexin de vigas debido al momentoflexionante se simplifica tambin par el uso de funciones de singularidad.

El tema de pandeo se trata en un c;aptulo extenso. Al estudiante se lepresenta el concepto fundamental de inestabilidad estructural, analizan-do una columna simple, que incluye comportamiento inelstico. Elpandeo local es un fenmeno muy importante en el diseo de. estructurasprcticas aunque los elementos matemticos para el desarrollo de lateora de pandeo local no sern muy tiles al estudiante. Es imposibledesarrollar los mtodos de optimizacin estructural para cargas compre-sivas (vase la seccin 15.10) sin algunos conocimientos de este tema.

Se le ha dado especial atencin a la combinacin insidiosa de concen-tracin de esfuerzos y fatiga. Un estudio elemental de fractura por fragili-dad se ha incluido en vista del aumento de uso de materiales refractariospara operaciones a altas temperaturas.

Los problemas multiordinales se han usado extensivamente. Esta ideapermite al instructor asignar ciertos problemas importantes con granflexibilidad como a las proporciones fsicas, propiedades y tamao.

Los apndices incluyen propiedades fsicas y los diagramas reales deesfuerzo y deformacin para varios materiales. Tambin se incluye lainformacin sobre los efectos de la temperatura y los efectos estadsticos.

El autor desea expresar su agradecimiento y apreciacin por la yudaque ha recibido de varias partes durante la preparacin de este nuevolibro. Un compaero de la Simon Guggenheim Memorial Foundationnos dio la oportunidad de gastar muchos meses estudiando todo el temade la filosofia del diseo estructural, con un nfasis particular en la se-guridad y optimizacin. Una donacin de la VCLA Engineering Deve-lopment Program, patrocinado por la Fundacin Ford, ayud al autoren la publicacin de Apunte.~ sobre di.~eo (Ref. 77). Otra donacin, dela misma parte, permiti a los miembros de la facultad de DivisinEstructural hacer un estudio intensivo del programa de ingeniera conrespecto a las estructuras y temas relacionados.

Debemos dar crdito a las sugerencias tiles de los instructores queusaron el primer libro. Varios expertos que cuidadosamente revisaron lasprimeras versiones del nuevo original, hicieron contribuciones importan-tes. Entre ellos estn el doctor Vincent Anderson San Fernando Valley,profesor de ingeniera, State College, y los profesores James Gere deStanford University, Lawrence E. Malvern de Michigan State University,y D. K. Wright, Jr., de Case Institute of Technology.

El doctor Lewis P. Felton de la Divisin de Estructuras proponcionuna ayuda tcnica til en la preparacin de problemas y apndices y enla revisin crtica del original y las pruebas. El seor Iraj Farhoomandayud en la solucin de los problemas. La seora Edith Corsario mereceun agradecimiento especial por sus servicios como secretaria durante elpaso final en la preparacin de este origi na\.

F. R. Shanley

VII

Te bla de Contenido

Prlogo vSmbolos xv

1 Carga uniaxial

1.1 Introduccin 11.2 Clasificacin de estados de carga 21,3 Relaciones fuerza-desplazamiento 71.4 El diagrama esfuerzo-deformacin 111,5 Propiedades de los materiales 151.6 Alargamiento local (estrechamiento) 171,7 Aspectos estadsticos de las relaciones e,.fuerzo.deformacin 191,8 Frmulas emprica., esfuerzo-deformacin 191.9 Desplazamiento axial y energa de miembro,. rectos 221,10 Eje de resistencia 271.11 Miembros curvos 291.12 Deformacione. trmicas 311.13 Modelo,. y leyes conceptuales 32

Problemas 34

2 Estado de esfuerzo

2.1 E,.fuerzos en carga uniaxial 422.2 Estado de esfuerzo en un punto 452.3 Direcciones principales y esfuerzos principales 482.4 Esfuerzo plano (carga biaxial) 492.5 Ejes y esfuerzos principales (esfuerzo plano) 512.6 Crculo de Mohr 562.7 Crculo de Mohr para el estado general de esfuerzo 572.8 Estados especiales de esfUerzo 592.9 Teora de la membrana 612.10 Esfuerzos principales en el estado general de esfuerzo 65

Problemas 67

1

42

x3 Estado de deformacin

3.1 Deformacin normal 713.2 Estado general de deformacin 733.3 Convern de las lecturas de exten,,,,metro 80

Problemas 81

4 Relaciones elsticas esfuerzo-deformacin

4.1 Clasificacin de deformaciJ" en cuanto a 'u cuusa 844.2 Relaciones elsticas esfuerzo-deformacin (carga uniaxial) 854,3 Deformacin elstica tridimen,~ional 874.4 Deformaciones volumtricas 934.5 Energa de deformacin elstica 95

Problemas 96

5 Relaciones plsticas esfuerzo-deformacin

5.1 Naturaleza de la deformacin pl8tica 995.2 Deformacin plstica tridimensional (carga multiaxial) 1015.3 Creep (deformacin plstica dependiente del tiempo) 1125.4 Ecuaciones generale,,; para deformacin, incluyendo el

escurrimiento (creepj 117Problemas 118

6 Cortante y momento flexionante

6.1 Definiciones y convenciones 1236.2 Relacione" entre carga, cortante y momento flexionante 1266.3 Cargas locales y discontinuas (funciones de singularidad) 1326.4 Mtodo del rea de momentos 1356.5 Cortante y flexin en vigas curvas 138

Problemas 141

7 Anlisis por flexin

7.1 Desarrollo histrico de la teora de la flexin 1477.2 Teora de flexin pura (simetra) 1507.3 Flexin asimtrica (mtodo del eje principal) 1577.4 Flexin asimtrica (mtodo general) .1637.5 Flexin y carga axial combinadas 1657.6 Carga axial excntrica 1687.7 Flexin i"elstica 1727.8 Resumen de la teora de flexin pura 175

Problemas 178

Tabla de Contenido

71

84

99

123

147

Tabla de Contenido

8 Cortante y flexin

8.1 Cortante y flexin combinadas 1868.2 Distribucin de los esfuerzos cortantes en vigas 1898.3 Esfuerzos combinados en cortante y flexin 1948.4 Vigas de seccin variable 1988.5 Eje de cortante y centro de cortante 2008.6 Deflexiones debidas a cortantes y energa de cortant< 207

Prublemas 208

9 Desplazamiento en vigas

9.1 Ecuaciones generale,,, 2149.2 MPtudos de integracin 2159.3 Vigas estticamente indeterminadas 2289.4 Desplazamiento de vigas inicialmente curvas 223

Problemas 235

10 Torsin

10.1 Introduccin 23910.2 Torsin en miembrus de seccin transverwl circular 23910.3 Torsin de miembros de pared delgada 24410.4 Torsin de miembros gruesos de seccin no-circular 24810.5 Resumen de las ecuaciane" de torsin elstica y constantes 25310.6 Tpico,,, especiales (de torsin) 253

Problemas 254

11 Pandeo//.1 La columna de Euler 25911.2 Efectos de restriccin en los extremos 26411.3 Teora de la columna inelstica 26.911.4 Frmulas empricas de columnas 274ll.,'j Columnas excntricas y vigas-columna 27611.6 Mtodo de interaccin para columnas excntricas y

vigas-columna 28211.7 Pandeo de placas planas 29011.8 Pandeo local de tubos redondos y cascarones 29511.9 Pandeo lateral de vigas en flexin 29910.10 Pandeo local bajo carga combinada 302

Problemas 305

12 Uniones y conexiones

12.1 Clasificacin de uniones 31212.2 Resistencia de remaches, pernos y pasadores 312

XI

186

214

239

259

312

xii

12.312.412.5

12.612.712.812.9

Anlisis de uniones de un .~olo perno 316Anlisis Je conexiones corLtinua,< 319Distribucin de Crlr/ia en conexiones remachadas y

atornilladas 323Resistencia de grupos de remaches (o tornillos) 324Resistencia de unione,s adherida" 827Uniones soldadas 329Tipos especiales de junta. y conectore.' 332Problemas 3J3

Tabla de Contenido

13 Concentracin de esfuerzos

13.1 Naturaleza de la concentracin de esfuerzos 33913.2 Pactores de concentracin de e"fuerzo :NO13.3 La analoga. de la lnea de corriente 34213.4 Los esfuerzos combinados producidos por la concentracin

de esfuerzo 34413.5 Efectos inelstico,. en la concentracin de esfuerzos 34613.6 Esfuerzos residuales ori{linadn,s por la concentracirin de

esfuerzo 347Problemas M8

14 Fatiga y fractura frgil

14.1 Pat iga 35014.2 El diagrama S-N 35014.3 Concentracin de esfuerzo y fatiga 35414.4 Efecto del esfuerzo medio sobre la fatiga 35714.5 Torsin, car{la combinada y ntro,s efecto" 36114.6 Carga de amplitud variable 36214.7 Fractura frgil 363

Problemas 365

15 Sistemas estructurales elementales

339

350

369

15.115.215.315.415.515.615.715.815.915.1015.11

Introduccin 369Desplazamiento" en armadura" (mtodo grfico) 369Mtodo" ener{lticos 371Carga dinmica 378Principios del di"e.o e"tructural 382Dise.o de un elemento de armadura plano 387El diseo de un tripi 391Diseo de viga.' de concreto 398Principio,. de "imilitud dimensional en el di~eo 399Elementos de diseo ptimo 401Introduccin a estructura" e"taticamente indeterminada,s 407

Tabla de Contenido

15.12 Anlisi. para resistencia ltima (diseo al lmite) 412Problemas 416Apndice

A Propiedades mecnicas de los materiales

B Propiedades geomtricas de reas planas

Referencias 453Respuestas a problemas selectos 459Indice

xiii

427

435

Smbolos

A rea (de la seccin transversal de un material)@ rea (encerrado por la lnea media)a aceleracin; subndice de "axial"B base de una seccin transversal rectangularb base de una seccin transversal rectangular; anchura sobre la

cual se distribuye la fuerza; subndice de "flexin"e constante; deformacine distancia mxima desde el eje neutro (en flexin); coeficiente

de empotramiento (columna)D profundidad de la seccin transversal rectangular; dimetroE mdulo de elasticidad para carga axial (mdulo de Young);

subndice de "Euler"; subndice de "elstico"Es mdulo secanteE, mdulo tangentee excentricidad; subndice de "efecti vo"F fuerzaf "subndice" de "ala"G mdulo de elasticidad para plano de carga cortante (mdulo de

rigidez)g aceleracin de la gravedad (= 32.2 pies/seg2 )h altura (de la seccin transversal rectangular; cada libre, etc.);

altura media de una viga de dos alas1 momento de inercia (segundo momento de rea)lp momento polar de inerciaIx I con respecto a un eje xr subndice que indica un elemento individual; subndice de

"interior"J propiedad de seccin para la torsin de una seccin redondaJ su bndice que indica un elemento individual o estacinK factor o constante; constante de elasticidad; rigidezK, factor terico (elstico) de concentracin de esfuerzok constante; coeficiente de influenciakip mil libras = 1,000 lbksi mil libras por pulgada cuadrada = 1,000 psi

xiv

Simbolos

LLeInMM.M,m

N11

o

PPpsiQq

Rr

reS

Tt

UU

Vww

y

Zel'

(j'Y.

1)O

"p~

longitudlongitud efectiva (para columnas)logaritmo hiperblico (natural) = log,momento (general)momento flexionantemomento torsionalmasa (en slugs)nmero; nmero de ciclos para que se produzca falla por fatiganmero; subndice de "normal"subndice de "exterior"; "original"; "base"fuerza; probabilidad; subndice de "plstico"presin; poso de juntas remachadas; subndice de "polar"libra por pulgada cuadradamomento esttico (primer momento de rea); carga ficticia(virtual)fuerza lineal (carga por unidad de longitud, carga corriente, flujode cortante); factor de sensitividad de la muesca (fatiga)radio; reaccin (vigas); relacin (para curvas de interaccin)distancia normal al eje neutro (torsin)radio centraldistancia a lo largo de una lnea curva; subndice de "cortante";"secante"torque (generalmente remplazado por M,); temperaturaespesor (de lminas o tubos); tiempo; subndice de "torsin","tangente"energaenerga por unidad de volumen; subndice de "ltimo"cortante; volumen (de materia!); velocidadvolumen cerradopesodensidaddistancia normal al plano neutro (flexin); denexin de unaviga; subndice de "deformacin"mdulo de seccin (flexin)coeficiente de expansin trmica (linea!); coeficiente de longitudefectiva (columnas)mdulo volumtrico de elasticidaddeformacin cortantesmbolo para "elemento finito de " "cambio finito dede flexindeformacin normaleficiencia; factor de reduccin inelstica; longitud (adimenBional)ngulorelacin de Poissonradio de giro de la seccin transversaloperador "suma"

xv

xvi

rJ

T

w

esfuerzo (normal)esfuerzo (cortante)nguloaceleracin angular

Smbolos

CONVERSION DE UNIDADES

1 pulg.1 pulg. 21 pulg. 31 lb1 psi1 pulg.-Ib1 knot60 mph

2.540 cm6.452 cm 216.39 cm 30.4536 kg7.03 X 10- 4 kg/mm 21.152 kg-cm1.15155 mph88 pies/seg

1Carga Uniaxial

1.1 IntroduccinLa mecnica de materiales * trata del comportamiento de los cuerpos s-lidos bajo la accin de fuerzas. Tal comportamiento incluye defonnacin,falla por separacin real,. falla por pandeo, los efectos del tiempo, repeti-cin de cargas y otros fenmenos. En el Captulo 15 se incluyen algunosprincipios de diseo de estructuras elementales sujetas a fuerzas.

Para conveniencia dividiremos, a grosso modo, los miembros transmi-sores de fuerza, en tres da."es: elementos, componentes y sistemas; y sedefinen como sigue:

La palabra elemento se refiere, generalmente, a un cuerpo pequeo demateria o a una pequea seccin a travs de una componente. Sin embar-go la palabra elemento se usa con frecuencia, en literatura, como sinnimade componente. Una componente de un sistema estructural es un miembroai

2 Carga uniaxial

puramente emprica o esttica; el tipo de diseo para el que los ingenierosestn preparados va ms all de ste, y hace el mejor uso posible de lasleyes de la mecnica, junto con datos empricos o experiencias pasadas.

1.2 Clasificacin de estados de cargaPara miembros esbeltos, un estado general de carga se puede dividir en lossiguientes estados simples:

AxialTransversalMomentoTorsin

(tensin o compresin)(cortante)(flexin)(alabeo)

Es conveniente trabajar con estos estados separadamente en el anlisisdel comportamiento de las componentes. La figura 1.1 muestra las com-

(af Componentes de fuerza (bl Componentes de momento

Fig. 1.l. Cargas en una seccin aislada".

ponentes de un sistema general de fuerzas en una seccin particular de unmiembro estructural esbelto. La seccin es "cortada" normal al eje longi-tudinal.

Para mayor claridad, los vectores de fuerza y momento se muestranseparadamente en (a) y (b) l pero todos actan simultneamente en lamisma seccin transversal. Una flecha de doble punta se usa para momen-los y la regla de la mano derecha da el sentido del momento. El ndiceindica la direccin de la fuerza o vector-momento.*

En la figura 1.1, la fuerza Fx representa la carga axial. Cuando talcarga (tensin o compresin) acta a travs de un eje nicamente, se llamauniaxia/. Al eje x en la Fig. 1.1 se I~ puede considerar como el eje de trans-misin de la fuerza.

Las fuerza~ F, y F, actan normales al eje longitudinal. Tal carga se* En el captulo :1 se usa un ndice doble, en el cual 1a primera letra se refiere a la

orientacin de la superficie. Esta notacin no es necesaria cuando todos los vectoresactan en la misma superficie.

Clasificacin de estados de carga 3

llama transversal o cortante. Esta.~ dos fuerzas son, obviamente, componen-tes de una sola fuerza resultante transversal.

El momento M~ produce torsin. Los momentos Mil y M, producenflexin: esos momentos son componentes de un solo momento de flexinresultan te. t

Pla no de corte

r!

00------ 60 pulg. ------1(a) Carga aplicada

Mz- -60P- -60,000 Ib-pulg.

r L. M%- -20P- +20,OOOlb-pulg.lPy --:'000 lb

(M Resultantes en la seccin aislada

tP- +1,000 lb

M% - -20,000 Ib-pulg.f'~============:;Q"...../~I =??

Mz- +60,000 Ib-pulg. V~P - -1,000 lble) Diagrama de cuerpo libre

Fig_ El.l

Cuando un miembro en equilibrio esttico es "cortado", cada porClonse convierte en un "cuerpo libre". Las fuerzas que aeta~ en una de las

t En Esttica, las fuerzas, generalmente, se denotan por el smholo F. En anlisi,estructural el smbolo P es ms comnmente lISado para una fuerza concentrada. Am-bas son usadas.

4 Carga uniaxiul

superficies cortadas se puede representar por una suma de todas las fuerzasy momentos que estuvieron actuando en el cuerpo libre que fue "quitado".Estas fuerzas y momentos son, generalmente, cxpresados en trminos desus componentes, como se describi antes.

Los cjemplos siguientes ilustran algunos de los procedimientos estndarusados en la determinacin del estado de carga. Se ilustra el uso del lgebrade vectores, as como el lgebra de matrices, pero la ltima no cs esencialpara lo que sigue.

EJEMPLO 1.1. La figura EU muestra una situacin en la que se ha hechoun "corte" a una cierta seccin. En el croquis b, las fuerzas resultantes internasy momentos se muestran actuando en la porcin izquierda del cuerpo cortado.(Se excluye el peso de la viga, en este modelo.)

En este ejemplo simple, los valores de las fuerzas resultantes internas ymomentos en la seccin cortada (a) se pueden calcular por inspeccin. En loscroquis b y e, el sentido de un vector componente se indica por e! signo ms(+) o menos (~). De acuerdo con la tercera ley de Newton, los vectoresen los croquis b y e son de signo opuesto. El croquis e representa un cuerpolibre. Si esa porcin de la estructura est realmente separada de sus alrede-dores mediante cortes, todas las fuerzas y momentos respectivamente mostradosdeben sumar cero (vectorialmente); de otra manera, habr aceleracin.

La carga resultante en la seccin cortada se puede describir, brevementemediante la expresin de fuerzas y momentos en el orden de los ejes de re-ferencia (x, y. z). As P = (O, -1,000, O) lb; M = (20,000, 0, -60,000)lb-pul.

EJEMPLO 1.2. Clculo de momentos. Este ejemplo ilustra el uso del pro-ducto en cruz (o producto vectorial) de! lgebra vectorial para el clculo demomentos. y

Fig. El.2El estado resultante de fuerzas se encontrar en dos puntos B y e (Fig.

E1.2). El vector fuerza se designa por la terna (10, -20, O) lb. El brazo delmomento del vector r tambin se designa por una terna. Entonces'*

M = r X F No se usarn letras de tipo negrita para componentes de vectores.

-61-20

Clasificacin de estados de carga

EN LA SECCIN B

TI! = -12 sen 300 = - 6 pulg., ro = 12 cos 30 0 = 10.4 pulg.,r = (O, -6, 10.4) pulg. F= (lO, -20, O) lb.

j k j kTI T. T. O -6 10.4F. F. F. 10 -20 O

=il-6 10.41-'1 0 10AI+k] O-20 O J 10 O 10

= 20Si + 104j + 60kEN LA SECCIN e

r = (40, -6, 10.4) pulg. F = (10, -20, O) lbi j k j k

M(o) = TI T. r. = 40 -6 lOAF. F. F. 10 -20 O

= 20Si + 104j - 740kRespuestas:EN LA SECCIN B

5

(r", = O)

M 0 = 208Ib-pulg. Mil = 1041b-pulg. M:: = 60 lb-pulg.EN LA SECCIN e

M 0 = 2081b-pulg. Mil = 1041b-pulg. M:: = -740 Ib-pulg.

EJEMPLO 1.3. Rotacin de ejes. Este ejemplo bidimensional ilustra la ope-racin de rotacin del sistema base de ejes. Las fuerzas y momentos se trans-miten primeramente al punto B en el eje estructural (Fig. E1.3), en tnninosde componentes en el sistema x, y, z; entonces se encuentran las componen-tes en el sistema x', ;/, Z'. * Los ejes z y Z' son idnticos, normales al papel ydirigidos hacia el lector.Para rotacin de ejes

Entonces

Prueba:

F~ = F. cos () + F. sen ()F~ = -F. senO + F. cos OF~ = SOO X 0.5 + 400 X 0.S66 = 400 + 347 = 747 lbF~ = -SOO X 0.866 + 400 X 0..5 = 692 + 200 = -492 lbM~ = J1f. = 800 X 70 + 400 X 60 = 80,000 Ib-pulg.

IFI = V8002 + 4002 = VSOO/OOO = 895 lbIF'I = V7472 + 4922 = VSOO/OOO = 895 lb

* Las prinas identifican el segundo sistema de ejes. Las primas estn asociadas asmbulos para fuerzas y momentos (en lugar de smbulos en los ejes) por convenienciade la impresin.

6Para ilustrar el uso del lgebra matricial t se usa la matriz dc rotacinIR) = [ cos fJ sen fJ]

-sen () cos ()El vector girado '* est dado por

F') = [RllFI

Carga uniaxial

Desarrollando las matrices, da

{F:} = [ cos fJ sen (J] {F.} = [ 0.500 0.866] {BOO}F y -sen ecos fJ F y -0.866 0.,500 400Realizando la multiplicacin matricial obtcncIllos las mismas ccuaciones

quc antes.y

y''-.

(b)

F-(800,400) lb

F; - -492(e)

Fig. EI.3

t Puede ser omitido si los estudiantes no tienen conocimientos de lgebra matricialelemental.

* Los { } son usados frecllentemente en lugar de 1m [], al expresar un vector enforma matricial.

Relaciones fuerza-desplazamiento 7

Las ecuaciones de transformacin rotacional en tres dimensiones se obtie-nen sumando, algebraieamente, las componentes de cada fuerza a lo largode los ejes respectivos, as se obtiene:

F~ = l.,.F, + l.,.F. + 1."F,F~ = l."F. + ly,.F. + 1."F,F: = l.,.F. + 1.,.F. + l.,'p.

donde tir,x es el coseno director del ngulo entre los ejes ;.:' y ,-.:, y as sucesiva-mente. En lgebra matricial la transformacin es

1.3 Relaciones fuerza-desplazamientoLa Fig. 1.2 muestra un miembro al que se le transmite una fuerza detensin P. La fuerza est aplicada al miembro a travs de articulaciones oconexiones. Las conexiones pueden ser articuladas, remachadas, soldadas,fijas, o de alguna otra forma. La distribucin de fuerzas internas en la ve-cindad de una articulacin es, la mayor de las veces, muy complicada. Sinembargo, se omite en el modelo conceptual de la Fig. 1.2b.

(a) Miembro a tensin

P~~======~IJ----"p1-.----Lo'-----I&~

(b) Modelo conceptual

Abrazadera

/ ~de ~ruebas ~-----"'~,"".D' "\ = J \.. -= 1 f\ -:--=--- -;;- \/

~ -----_ ...~- ~1\ ..;;.. =-- ~ \u._~_~ 2

1j::~~L

pug,

(c) Espcimen t1pico para un ensaye e la tensinFig. 1.2. Miembro cargado axialmente,

8 Carga uniaxial

- (160,000 lb)

II De.pla.amiento uniforme~trechamiento

J

---rr Carga ltima'" ......... "-/' Auptura~IVo Umita delimit proporci anal idad,J,-- Pend iente = K

J:::- Elstico J

Relaciones fuerza-desplazamiento 9

Debe tenerse cuidado de asegurar que los desplazamientos del cuerpo comoun todo queden excluidos.

La palabra desplazamiento la usaremos en este libro para describiruna deformacin medida en una direccin particular o con respecto a uneje particular. Una deformaci6n puede ser lineal (v. gr., alargamiento)o angular (v. gr.} alabeo).

Cuando la carga medida P se dibuja en un eje, y en el otro se dibujael cambio de longitud 8 (llamada desplazamiento axial), se obtiene unaCurva fuerza~desplazamiento, como se ilustra en la Fig. 1.3.

La porcin lineal de la curva se llama rango elstico. Si se detiene Jacarga dentro del rango elstico y se permite que decrezca hasta cero, ladeflexin tambin decrecer hasta cero. El comportamiento elstico secaracteriza por la ausencia de deformacin permanente al ret,irar la carga.Una definicin ms concisa es: el comportamiento elstico se caracterizapor una relacin lineal entre carga y deformacin. Esta definicin constituyela Ley de Hooke, que se puede establecer como:

La deformacin es proporcional a la carga.Debido a que el comportamiento de muchos materiales sigue esta ley casipor completo, la Ley de Hooke es muy importante y base de la teora dela elasticidad. Esta ley no se limita solamente a la carga axial, sino acualquier forma de carga, como en el caso de la aplicacin de momentos.

La Ley de Hookc se puede expresar, para la carga axial, en cualquierade las dos siguientes maneras:

en donde K es la rigidez (o constante de resorte),

I = CP I

(1.1 )

(1.2)

en donde e es la aceptancia * (o flexibilidad). Obviamente e = l/K.Para algunos materiales, como el hule, la curva fuerza-desplazamiento

no es lineal; sin embargo, el desplazamiento regresa virtualmente a cerodespus de la carga y descarga. En este sentido, el material es elstico perono obedece a la Ley de Hooke. A menos que se diga de otra manera,la palabra elstico se usar en el sentido hookeano.

El trahajo hecho en el elemento, hasta una carga P, o desplazamien-to Il est dado por

( ~lU = Jo P do (1.3)

... N. del T. Se introduce esta palabra como equivalente a compliance; significa lacapacidad para aceptar deformacin.

10 Carga uniaxial

en donde U es un smbolo para el trabajo. (En general este smbolo seusa para otras fonnas de energa.)

En la Fig. 1.3 el trabajo se representa por el rea bajo la eurva P -

El diagrama esfuerzo-deformacin 11

(1.5)f =-Lo

1.4 El diagrama esfuerzo-deformacinEl diagrama fuerza-desplazamiento de la Fig. 1.3 nos dice cmo un miem-bro particular se comportar bajo una fuerza de tensin. Cmo podemosusar esta informacin para predecir el comportamiento de un miembrohecho de un material similar pero que tiene una longitud y rea de laseccin transversal diferentes? Nuestro sentido comn nos sugiere que unmiembro con el doble de longitud, con la misma seccin transversal ten-dr el doble de desplazamiento axial, puesto que la deformacin se distribu-ye uniformemente a lo largo de la longitud. Los experimentos muestran quepara metales, y muchos otros materiales, la deformacin se distribuyeuniformemente a lo largo de la longitud, hasta la carga mxima. Ms allde este punto, el desplazamiento adicional (mostrado por la lnea puntea-da en la Fig. 1.3) ocurre un estrechamiento localizado en una longitudrelativamente corta. Algunos materiales se rompen (ruptura) cuando lacarga se incrementa, y antes de que empiece el estrechamiento.

El desplazamiento por unidad de longitud se llama deformacin. Ladeformacin, en ingeniera, se define como un desplazamiento por unidadde longitud original. Para carga uniaxial (8 Y L. coaxial), la deformacinse llama normal. Para distribucin uniforme de Il sobre L., se aplica lasiguiente ecuacin

f = lim ~l>z->O L!.x

en donde 8 es el incremento de la longitud, medida con respecto a lalongitud original Lo. A la deformacin normal se le llama, arbitrariamente,positiva para un aumento de la longitud.

La siguiente definicin general de deformacin normal, usada en inge-niera, se aplica cuando el desplazamiento no se distribuye uniformementea travs de la longitud:

Esta ecuacin se escribe generalmente como

IE = ~~ I (1.6')en donde dx se mide a lo largo de L. En pruebas de rutina, a L, se lellama "longitud calibradora".

Todos los "medidores de defom1acin" o extensmetros e instrumentossimares miden desplazamiento (cambio de longitud), la cual se debedividir entre otra longitud medida para obtener deformacin. En este sen-tido "deformacin" es una abstraccin, o una cantidad derivada.

Si prohramos dos elementos "idnticos" juntos (en paralelo), el sen-tido comn nos dice que la fuerza total que se requiere para producir elmismo cambio en la longitud debe ser doble. Esto sugiere que el com-portamiento est controlado por la fuerza por unidad de rea de la seccin

12 Carga uniaxial

transversal, llamada esfuerzo. El esfuerzo,* en ingeniera, se define comouna fuerza por unidad de rea de seccin transversal (sin carga). PaTacarga uniaxial pura, se aplica la siguiente ecuacin

Pa = A

o(1.7)

en donde P es la fuerza axial, y A" es el rea original de la seccin transoversal normal a la linea de accin de la fuerza.

Como la fuerza acta normal al rea, el esfuerzo est clasificado, ade-ms, como esfuerzo normal. En este libro el smbolo lT representa siempreesfuerzo normal (se usan frecuentemente otros simbolos).

Una definicin ms general de esfuerzo normal se necesita en situa-ciones donde el esfuerzo no est distribuido uniformemente sobre el reade la seccin transversal. Entonces, se aplica la siguiente ecuacin

a = liro t:1Pt>A.->O t:1A o

Esta ecuacin se escrihe generalmente como

~II~ (1.8)

(1.9)0""'''')'41 == ---A "'nl

Bajo carga de tensin, el rea se har ms y mi,; pequea. Si dividimosla fuerza P entre el rea de la seccin transversal real (A) que correspon-de al valor de la fuerza, obtendremos lo que se llama "esfuerzo verdadero"

p

El esfuerzo verdadero es de inters cientfic.o, pero para la mayora delos fines ingenieriles se utilizan tanto el esfuerzo t "ingenieril" como la de-formacin "ingenieril". Por eso omitiremos de aqu en adelante los ndicesde A o y !A, entendiendo que A y L se refieren al miembro no-cargado,a no ser que se diga otra cosa.

El esfuerzo no puede ser medido directamente. Podemos medir la fuer-za y tambin calcular el rea de las secciones transversales de las medicionesde longitud. En este sentido, esfuerzo, as como deformacin, es una abs-traccin o cantidad derivada.

El diagrama fuerza-desplazamiento se puede reducir a un diagramaesfuerzo-deformacin al dividir todos los valores de P entre A, y todos losvalores de S entre L. La Fig. 1.3 est, as, linealmente transformada enla Fig. 1.4. Esto es un diagrama tpico de esfuerzo de tensin-deformacinpara un material estructural. Para el ingeniero es la fuente ms importantede informacin acerca del comportamiento de los materiales.

.. Er la definici6n de esfuerzo se debe hacer la distincin entre "esfuerzo" y "esta-do de esfuerzo". El ltimo se trata en el Cap. 2. Vea Ref. 1, pg. 108, para Su discusinhistrica.

t En los clculos de diseo, por ejemplo, quien lo realiza desea encontrar el reatransversal de la seccin A. requerida, sin la aplicacin de carga.

El diagrama esfuerzo-deformacin 13

La Fig. 1.5 muestra la porcin inicial de la Fig. 1.4 dibujada con unaescala de deformacin aumentada. (Ntese, en ese diagrama que las de-formaciones mostradas, representan solamente una pequea fraccin de ladeformacin total permisible.) En la determinacin de ciertas propiedadesde materiales (E y Uy en la Secc. 1.5) es necesario dibujar el diagrama deesa manera.

0.10

.- (80,000 Ibjpulg'

I-

Esfuerzo "verdadero'~ ___ -----

----- strechamiento---~ Esfuerzo ltimo ()l "'Z-

Ruptura1p;."de fluencia (fTy ) iY. Limite de Iproporcio,nalidad (__ Pendiente = E?EI~stico

IoO 0.02 0.04 0.06 j.oat== _deformacin) IDeformacin uniforme ----..lDeformacin permanente

(en una longitud calibrada de 2 pulg.)Fig. 1.4. Diagrama e,fuerzo-deformacin obtenido de una pruebaa la tensin.

20

80

60

Los diagramas parciales de esfuerzo-deformacin, para algunos mate-riales, estn dados en la Fig. 1.6. La gran ventaja del diagrama esfuerzo-deformacin (sobre la curva fuerza-desplazamiento) es casi enteramenteindependiente del tamao del miembro y por tanto representa solamentelas propiedades del materiaI.*

La rama de compresin del diagrama esfuerzo-deformacin (no mostra-da en las Figs.) tiende a ser casi similar a la rama de tensin hastaesfuerzos poco ms all del esfuerzo de fluencia. Al hacer pruebas de com-presin en elementos delgados, es necesario proporcionar un soporte lateralpara evitar el pandeo (se pueden usar rodillos).

" Filamentos muy finos, cristales nicos y grandes componentes son adecuados paramostrar las variaciones considerables de los diagramas esfuerzo-deformacin que se""tienen para especmenes de tamao normal. Otros cfectos importantes, como tempe-ratura y el tipo dc carga, se discutirn ms adelante.

14

60 r--,..--,..--,---.-----;---;----------,----,

Carga uniaxiaJ

E= ~: - lO X 106 Ibjpulg.' -

e,.,;,:;-E:oC~ 401--'---7"'--+-'"~.'2] 20'"2b

0.004 0008 0.012 0.016 0.0200.002

Fig. 1.5. Diagrama esfuerzo de tensin-deformacin (escala dedeformacin agrandada).

80

o.

1Il"C

'"~.sot'":J 30;:

20

10

. 'o de alta resistencia.' de a\U1'T1'n

p.leac'O!\ , looxl061b!pulg.-)(E~ .

Acero con bajo contenido de carbn(E=30.0 X 10 6 Ibjpulg,')

Alurnlnio suave(E= 10.Ox 106 lb/pulg,'

Vidrio(E=7.0 X 106 Ib/pulg.'

Fig. J .6. Diagramael Apndice A).

o~.LJ..l..u..LLL:':UJ..LUJ.,Ll:-':ll.liJ-U::~L1_LL.Ll.J I 1 I 1 I I I I I I I IO 0.02 0.03 0.04 0.05

E, pulg.jpulg.parciales esfuerzo-deformacin (ver tambin

Propiedades de los materiales 15

Algunos materiales (por ejemplo el concreto) muestran un comporta-miento considerablemente diferente a la tensin y a la compresin.

1.5 Propiedades de los materialesEnseguida se definen algunas propiedades de los materiales en una pruebaa la tensin (ver Figs. 1.4, t.5 y. 1.6 para las interpretaciones grficas).ESFUERZO LTIMO A LA TENSIN (

16 Carga uniaxial

una medida de la rigidez de un material, esto es, su resistencia a la defor-macin axial en tensin o compresin.

ENERGA POR UNIDAD DE VOLUMEN (u). El rea bajo el diagrama esfuerzo-deformacin. La energa total por unidad de volumen, hasta el punto defalla, est dad

Alargamiento local (estrechamiento) 17

para la mayora de los metales estructurales,* con tal que el rango elsticono sea excedido.

La cantidad denominada "relacin de Poson"J se puede considerarcomo una propiedad del material y se indicar por v en este libro. Expre-sadas en una ecuacin quedara:

I

18 Carga uniaxial

t

lizarse en una zona, formando un cuello o estrechamiento en el espeClmen,como se muestra en la Fig. 1.8. La falla ocurre, eventualmente, en la seccintransversal ms pequea.

Es importante, en la forja de metales, el alargamiento total que se puedelograr sin fallar. La distribucin de deformacin, en la porcin del estrecha-miento del espcimen, es entonces de inters especial. En la Fig. 1.8 una curvade alargamiento local se ha dibujado en el sentido longitud del espcimen. Losdatos para dibujar esta curva se obtienen generalmente por medio de fotogra-fas y el trazo de una cuadrcula fina en el espcimen antes de que se lesometa a la prueba. Despus de que la carga se ha terminado de aplicar, 01que la falla ha ocurrido, esta red o cuadrcula se fotografa, y la figura aumen-tada en tamao se observa, entonces, a travs del microscopio para determinarel alargamiento sobre longitudes muy pequeas. La curva en la Fig. 1.3 mues-tra que se pueden alcanzar grandes deformaciones sobre longitudes cortas decalibracin, antes de que ocurra la falla.

El fenmeno de estrechamiento es una forma de inestabilidad a la tensin.Las acciones involucradas son complejas y de inters primordial en los estudiosdel comportamiento de un material bajo esfuerzos combinados (Vanse Refs.9 y 16).

Localizacin

Seccin transversaldespus de fallar.

,.",.".,

I0.4 0.2 O

EXlocal

Fig. 1.8. Alargamiento local y fract~ra por tensin.La reduccin de rea est ntimamente relacionada con el alargamiento

local. Este trmino se aplica generalmente al porcentaje de reduccin delrea de la seccin transversal, que se determina al medir la seccin trans-versal final del espcimen roto, en el punto de falla. La reduccin del

Frmulas empricas esjuerzo-deformacin 19

rea se puede considerar como un valor lmite para el alargamiento local,conforme la longitud de calibracin se aproxima a cero. La Fig. 1.8 mues-tra un tipo de fractura de la forma de una copa cnica.

Puesto que el rea de la seccin transversal disminuye rpidamente du-rante el estrechamiento, el esfuerzo verdadero no disminuye sino que au-menta como se indica en la Fig. 1.4. Es evidente que el esfuerzo promediosobre la seccin transversal real que falla es considerablemente mayor queel esfuerzo lmite de tensin nominal.

La deformacin verdadera se basa en que cualquier etapa de la carga,un pequeo incremento de desplazamiento se divide entre la longitud real decalibracin que exista precisamente antes del aumento de desplazamiento y noentre la longitud de calibracin original. La deformacin verdadera se puedeobtener a partir de la deformacin ingenieril con la siguiente transformacin(vea la Ref. 9, p. 73): l ( )

SVOl'd = n 1 + E (1.12)Esta definicin de deformacin no ser usada en este texto.

1.7 Aspectos estadsticos de las relaciones esfuerzo-deformacinEn la prediccin de la resistencia o del desplazamiento de un elemento es-tructural, es necesario usar los datos obtenidos en las pruebas. Dos pruebasde especmenes no siempre sern iguales en todos los aspectos; habr dife-rencias inevitables. Los resultados de muchas pruebas en espeemenes "idn-ticos" dejarn ver desviaciones o dispersiones. El rango de tales desviacionespuede ser grande o pequeo. Los valores medidos del Mdulo de Young,por ejemplo, muestran pequeas dispersiones insignificantes para la mayo-ra de los materiales estructurales. Por otro lado, la resistencia a la compre-sin de especmenes de concreto varan en un amplio rango. La mayorade estas dispersiones son resultado de las variaciones casuales en los factoresde control y, por tanto, obedecen a ciertas leyes estadsticas en forma ms[) menos cercana. En captulos siguientes, el tratamiento estadstico no serespecialmente tratado. Debe entenderse que todos los datos usados estnsujetos a variacin lo cual se puede tomar en cuenta mediante el uso demtodos estndar. (Ver, tambin, Apndice A.)1.8 Frmulas empricas esfuerzo-deformacinMs all del rango elstico, la deformacin E se puede separar en dospartes distintas: la elstica y la plstica, como se muestra en la Fig. 1.9.La deformaci6n elstica E~' es reversible (recuperable),. la deformacinplstica es irreversible. La deformacin total se expresa por:

E = EE + Ep (1.13)La deformacin elstica (reversible), por la Ley de Hooke y la definicinde Mdulo de Young, es:

(1.14)

20 Carga uniaxia/

Para carga uniaxial podemos aproximar la relacin plstica esfuerzo~deformacin por medio de una frmula emprica. La frmula ms comnes la ley potencial:

o

(J .15a)(1.15b)

donde Ce (o B) Y n son constantes, determinadas mediante ajuste de lacurva (graficar ep contra (F sobre un papel lag-lag). As, la Ec. (1.13) sepuede expresar como:

(J.16a)

Esta expresin se denomina, frecuentemente, Ecuacin de Ramberg-Os-good, desde que estos autores la usaron para desarrollar diagramas adi-mensionales esfuerw-deformacin (Ref. 17).

Fig. 1.9. Deformaciones elsticas y plsticas.

La Tabla 1.1 indica algunos valores tpicos de las constantes de larelacin esfuerzo-deformacin para varios materiales.

La ecuacin Rambcrg.Osgood en la forma adimensional, COlllo fue pre-sentada originalmente por sus autores (Ref. 17), es:

f U 3 (u)n~=;';+7 ;,; (l.18b)(>n donde u" = esfuerzo base

Eo =deformacin base = u,,/En = constante emprica

En la adaptacin de esta ecua

Frmulas empricas esfuerzo-deformacin 21

TABLA 1.1Constantes tpicas de f'sjuazo-df'formacin (aproximadas)

Material E X 10-", B,lbjpulg." nIbjpulg."Aleacin de acero: UTS * = 100,000

lbjpulg. 2 ; alargamiento uniforme =20% 29 122,400 25

Aleacin de acero; UTS = 180,000 lb!pulg."; alargamiento uniforme =10% 29 202,000 30

Alearin de aluminio 2024-T3: UTS =65,000 Ib/pulg."; alargamiento uni-forme = 15% 10 72,300 10

Aleacin de aluminio 7075-T6: UTS =83,000 Ib/pulg." i alargamiento uni-

20forme = 10% 10 101,200Aleacin de magnesio: UTS = 39,000

lb/ pulg."; alargamiento uniforme =15% 6.5 47,500 10

mediante ajuste a la rurva (vea tambin Ref. 17). La Fig. 1.10 muestra unacurva adimensional Ramberg-Osgood para ti = 10.

3.02.01.0

, !

/ -(

22

o(a) Lineal

(f

o,L..-------(bf Elastoplstico

(f

(fyl--------

0'1-.-------

lel Idealmente plstico

Carga uniaxial

Fig. l.! l. Diagramas aproximados de esfuerzo-de}ormacin.se ve un modelo que se cita, en ocasiones, como "modelo de endurecimientolinal a la defonnacin". El diagrama elastoplstico (Fig. 1.11 b) se usafrecuentemente. En el modelo idealmente plstico., se omiten las deforma-ciones elsticas. El ltimo modelo es la base de algunas teoras de pla"tieidad.

1.9 Desplazamiento axial y energa de miembros rectosNosotros creamos un modelo general de un miembro recto que tiene unaseccin transversal de cualquier forma. Los centroides de todas las seccionestransversales caen sobre la misma recta, llamada eje estructural. Puede ha-ber una variacin del rea con la longitud. (Las variaciones bruscas causanconcentraciones de esfuerzo, pero no tienen un efecto apreciable en el des-plazamiento.) La fuerza P acta a lo largo del eje estructural y puedevariar con la longitud. Tal modelo se describe mediante las siguientesfunciones:

GeometraCargaDiagrama esfuerzo-deformacin

A = fA(X)P = f,,(x)F=f(o-)

De la Ec. (1.6): [ 8 = .J;/' e dx I (J ./7)Si todas las funciones anteriores (A, P, e) son integrables, el despla-

zamiento se puede encontrar matemticamente. Si no, un mtodo numrico(tal como la regla de Simpson) o el dibujo de la curva se pueden usar.

El caso ms simple es aquel de un mi~mbro recto de seccin transversaluniforme, en el rango elstico, y bajo una carga constante. Entonces:

A = constante; P = constante; PQ' =-'A'u

s =-E

Entonces la Ec. (1.1 7) se reduce a la importante ecuacin:

1, ~ PL IAE (1.18)

Desplazamiento axial y energa de miembros rectos 23

Las armaduras y estructuras reticulares se construyen, generalmente,con miembros de seccin constante. El desplazamiento en cualquier puntode la estructura se puede encontrar usando la Ec. (1.18) para cada miem-bro y determinando los efectos geomtricos de estos cambios de longitud.(Vase Cap. 15.)

La energa elstica en un miembro de seccin constante, bajo una car-ga P, se encuentra al sustituir 1), de la Ec. (1.18) en la Ec. (1.4a):

Para rea o carga variable, o ambas:1 IoL p2UE = - -dx2 o AE

(1.19)

(1.20)

Como se expuso en la Seco 1.5, el rea bajo el diagrama esfuerzo-defor-macin representa la energa por unidad de volumen (u). La Fig. 1.12muestra cmo se puede dibujar u sobre el diagrama. El volumen de unelemento de longitud dx es:

Por tantoEntonces

dV = A dxdU = uA dx

U = !aL uA dx (1.21)en donde u est determinada por el esfuerzo (1. Ambas, (f y A pueden serfunciones de x.

200

Ruptura

u

0.016 0.020

F,ig. 1.12. Diagrama de energa-inelstica.

24 Carga uniaxial

P = (L - x)Aw

EJEMPLO 1.6. Encontrar el desplazamiento de un alambre de acero de1000 pies de longitud que est suspendido en su extremo superior, y cargadosolamente pOr su peso. El dimetro es constante; E=: 29 X lOe'lb/pulg.";A = 0.50 pulg."; densidad w = 0.29 Ib/pulg.3; lmite de proporcionalidad =50,000 Ib/pulg. 2 Sea x la distancia desde el extremo superior

pfj = A = (L - x)w

Suponiendo una accin elstica:

q (L ~ x)wE = Ji = -=----E=--=---8 = [L E dx = ~ (L (L - x) dxJo E )08 = wL~ = 0.29 X (1,000 X 12)" = 077 ) I

2E 2 X 29 X 106 . l u g.

El esfuerzo en el extremo superior (;( = O) est:T = Lw =: 12000 (0.29) = 3480 pulg. 2

Por tanto, la acci6n es elstica, como se supuso.

EJEMPLO 1.7. Miembro bajo esfuerzo constante. Para lograr mxima efi-ciencia, el rea de la seccin transversal de un miembro a tensin se debe variarde manera tal que P / A =: Up, rm en donde t:Tperm representa el esfuerzo de ten-si6n permisible.

Fuer de escaia(Exagerada la disminucin

en el ancho)

Fig. El.7

En la Fig. El.7, el miembro debe transmitir la fuerza inicial P", mssu peso. Las relaciones siguientes se aplican en el lugar dado por x (densi-dad = w):

dV = A dxdP.pli< = W dV = wA dx (a)

Desplazamiento axial y energa de miembros rectos 25

La carga permisible debe incrementarse con la misma proporcin, esto es

dP perro = O' perro dA (b)Omitiendo el ndice, e igualando,

o

O' dA = wA dxdA = ~dxA O' (e)

Integrando ambos lados, obtenemos:

(a)

e = In A ooIn A o = O+ ePara evaluar e hagamos Ao igual al rea cuando x = 0, la cual es igual aPo/O':

o

La ecuacin (d) se convierte en:In A - In A o = !!! xO'

A wIn- = - xAo uEsto se puede escribir como

Sustituyendo Ao(e)

(f)Ntese que la cantidad w / 0', que aparece en el exponente, es el recproco

de la resistencia especfica (u/w), que es una cantidad que se usa frecuente-mente al comparar materiales.

El desplazamiento, con un esfuerzo constante 0', es:

El volumen es:8 = uL

E(g)

v = (L A dx = A o (L e(wfa). dx = A o !!. (e(wfa)L - 1)Jo Jo w

Hagamos L = 12,500 piesPo = 30,000 lb

lTp rm = 30,000 Ib/pulg. 2W = 0.30 (Ib/pulg.")

Entonces:

Prueba:

Aa = 1 pulg. 3 Volumen = 348,000 pulg."AL = 4.482 pulg. Peso = 140,000 lb

"L = PL = 140,000 + 30,000 = 30000 lb/pulg."AL 4.482 '

26 Carga uniaxial

La Fig. EL 7 se ha dibujado para mostrar la variacin correspondiente enel ancho, p

Eje de resistencia 27

es un ejemplo. (Es tambin necesario, en tales casos, calcular los esfuerzosdebidos a momentos, torsin y otros tipos de carga.)

TABLA E1.8

Clculo del desplazamiento axial de un miembro no-uniformeEnerga

Pi A i(1) (i = .do =

Seccin Ui = (2) f(u,) (4).dL .dU =u, (6) (2)6.L

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)12

10~ o U

1.10 Eje de resistenciaPara carga axial, el vector que representa la resultante de las fuerzas ex-tremas aplicadas debe ser coaxial con la resultante que representa losesfuerzos internos. La posicin de la resultante en la seccin transversalestablece el eje de resistencia.

En el diseo de un miembro a tensin, los anclajes extremos debenestar de tal modo localizados que hagan que la resultante de las fuerzasexteriores aplicadas coincida con el eje de resistencia. Si no se hace esto,alguno de los esfuerzos en el miembro ser mayor que el valor que seobtendra para tensin pura (PIA ), como se ver despus.

Para un miembro recto cargado axialmente, el centro de resistencia dela seccin transversal Se' encuentra mediante la aplicacin de los siguientespostulados:

1. Las secciones planas, permanecen planas. Las secciones son "cor-tadas" en forma normal al eje longitudinal. Por experimentos, se conoceque estas secciones permanecen planas en un miembro cargado axialmente,excepto para condiciones localizadas como las que existen en puntos concargas concentradas.

La Fig. 1.13 muestra una pequea seccin de un miembro en tensin,que tiene la seccin transversal de un "ngulo". Los planos AA, BE Y assucesivamente, se hacen pasar a travs del miembro antes de la carga.Despus de la aplicacin de una fuerza dc tensin, estos planos se apar-tarn, y, de acuerdo con el postulado anterior, seguirn siendo planos.

28 Carga uniaxial

El desplazamiento axial puro de un miembro inicialmente recto, re-quiere que:

2. Las secciones transversales paralelas permanezcan paralelas. El cam-bio de longitud entre los planos AA y BB se indica en la Fig. l.13b por oJlJJ.Puesto que se ha supuesto que los planos permanecen planos y paralelos,el valor 0.111 se aplicar a cada fibra * del material localizada entre AA y BB.De la Ec. (1.5), la deformacin correspondiente a OAIJ es:

/jARf:AB =;: LAR

La SUposlclon de seccJOn planas paralelas resulta, por tanto, en unadeformacin uniforme sobre la seccin transversal para un miembro inicial-mente recto. Para un material homogneo, la distribucin de esfuerzo sobrela seccin transversal, ser, por tanto, uniforme. Por ejemplo, si el valorde la deformacin (e) es conocida, el esfuerzo en cualquier punto de laseccin se podr encontrar, contando con este valor de deformacin al dia-grama esfuerzo-deformacin. Incluso si el esfuerzo as determinado cayeraen el rango plstico, se aplicara todava la proposicin anterior.

j LAB ra~A ,~

--:-

--1-

--(f :-(f (f---

1--

-A J_-

z~ lOABlb) (el

Fig. 1.13. Miembro bajo carga axial pura.

* La palabra "fibra" se usa frecuentemente para describir un elemento imaginariodel material para el que el rea de la seccin transversal tiene un lmite que se aproximaa cero. Algunos materiales son realmente fibrosos, pero esto no es lo que se quiere dar aentender en el con texto de arriba.

Miembros curvos 29

La fuerza resistente total se encuentra mediante la suma o integra-cin de las fuerzas actuando en los elementos de rea, tal como Li.A en laFig. 1.13a. Aplicando la ecuacin de equilibrio de fuerzas a lo largo deleje z (Fig. 1.13c), y tratando a (f como una constante,[~p = O] P - JadA = O

P = qAEsto se usa, en forma inversa, para encontrar el esfuerzo en un miem-

bro inicialmente recto, homogneo * y sujeto a carga pura axial (Ec. 1.7):(f = PjA.

La posicin de la fuerza resistente con respecto a cualesquiera de losdos ejes ortogonales, dibujados en el plano de la seccin transversal (x y )'en la Fig. 1.13a) se puede encontrar al escribir las ecuaciones de equilibriopara momentos, considerando al elemento como un cuerpo libre. Tomandomomentos con respecto al eje x:

[};M~ = O] Py - JyudA = O_ JydAy = ---.r-_ JxdAx = ---.r-

(1.22a)

(1.22b)

Estas son las ecuaciones para el centroide de un rea. El anlisis anteriormuestra que en un miembro homogneo inicialmente recto bajo carga puraaxial, el eje de resistencia pasa a travs del centroide del rea de las sec-ciones transversales. Como un corolario para el diseo, bajo carga purauniaxial, se requiere que los centroides de todas las reas caigan en lnearecta.

1.11 M iembros curvosLa envoltura de una cuerda alrededor de un dedo, la transmisin de unafuerza de tensin ejercida por un cable al pasar por una polea, son ejem-plos de carga axial curva. Este estado de carga no es de tensin pura,porque se requiere una fuerza distribuida radial para mantener el equilibrio.Esta fuerza lineal radial se puede deducir al aislar un elemento de lo~gitud ds a lo largo del arco, y encontrar la fuerza dPr que se requiere paramantener el equilibrio en una direccin radiaL (Vase la Fig. 1.14.) Paravalores indefinidamente pequeos de d r, se obtiene la siguiente relacin(puesto que sen dep --+ dep) :

dsdP. = Pa drjJ = Pa R

* "Homogneo" implica aqni propiedades uniformes y temperatura constanle solJrela seccin transversal.

30

dividiendo entre ds:dP. = ~Pd8 R"

La fuerza lineal q, se define como dPr/ds. Por lo tanto:1

q, = R Po.

Carga uniaxial

(1.23)en donde:

qT = Fuerza radial lineal distribuida en el plano de curvatura.1/ R = Curvatura.

Pa = Fuerza axial actuando en un plano a lo largo del eje curvo.Para grandes valores de R (pequea curvatura), qr ser relativamente

pequea. Por ello, en esta etapa, omitiremos su efecto en los esfuerzosinternos.

(a)

(a

R

/(/l)

\"

Fig. 1.14, Equilibrio de un miembro curvo a lensin.

Para encontrar el centro de resistencia de un miembro curvo bajocarga axial, "cortemos" el miembro sin cargar, con planos que pasen atravs del eje de curvatura, representado por el punto O en la Fig. 1.15.

As, se proponen los siguientes postulados:

l. Las secciones transversales planas permanecen planas.2. El radio de curvatura permanece constante.

Deformaciones trmicas 31

3. Los planos que pasan a travs del eje original de curvatura (bajocarga cero) continuarn pasando a travs de este eje cuando elmiembro est cargado.

La Fig. 1.15 muestra que los cambios en las longitudes (8,,8 2 , 83 , etc.)son proporcionales a sus distancias del eje de curvatura (en O). Pero laslongitudes iniciales (L, Lo, L., etc.) son tambin proporcionales a estasdistancias. Por consiguiente:

ale =-L

Este resultado significa que en miembros curvos bajo carga axial pura, ladeformacin, y por tanto el esfuerzo axial, eS constante sobre la seccintransversal.

B f-ILl','~\1 L2 2 ')\.---VL3 ,'03 j'.-'',,/"'-

O (b)

Fig. J.J 5. Tensin en un miembro curvo.

En consecuencia, el centro de resistenc.ia de un miembro curvo, estlocalizado en el centroide del rea de la seccin transversal, como ocurreen el centmide del rea de la seccin transversal, como ocurre en un miem-bro recto. Del anlisis anterior, vemos tambin que:

El desplazamiento axial puro de un miembro curvo, involucra cambiode longitud sin cambio de curvatura.

1.12 Deformaciones trmicasUn incremento uQiforme en la temperatura origina, generalmente, expan-sin en el material. El aumento en una dimensin, dividido entre la di-mensin original, se llama deformacin trmica.

Para muchos materiales, la deformacin trmica vara aproximada-mente de manera lineal con la temperatura. La medida del cambio dedeformacin trmica con la temperatura se llama coeficiente de expansinlineal.* Por tanto,

ET = a l:l.T (1.24)

* Los coeficientes de expansin para algunos materiales estn dados en la Tabla A.1del Apndice A_

32 Carga uniaxial

en donde ET = la deformacin trmicaa = coeficiente de expansin lineal

t!..T = cambio en la temperaturaCombinando los tres tipos de deformacin, tenemos

E = EE + Ep + ET (t .25)Si una barra est restringida de modo que no se pueda expandir o

contraer longitudinalmente, E = O. Entonces:fE + fp + fT = O

Sustituyendo en cada trmino las expresiones obtenidas anteriormente

+ (ir + a tlT = OEn el rango elstico, B = 00, y tenemos una expresin para el esfuerzo

trmico:(TT = -Ea tlT (1.26)

Este modelo conceptual es un tanto irreal porque no es creble quecualquier estructura se encuentre completamente restringida. Sin embargo,da una idea general de la magnitud de los esfuerzos trmicos. La canti-dad E" es til para comparar materiales.

1.13 M odelos y leyes conceptualesAntes de emprender el anlisis del comportamiento de un material bajofuerza'> aplicadas multiaxiales, debemos examinar ms cuidadosamente lasabstracciones usadas al tratar con las fuerzas. La representacin comnde un fuerza por un vector, aunque extremadamente til, obviamente no esrealista; implica que la fuerza est aplicada sobre un rea cero. El esfuer-zo correspondiente sera infinito! Al dividir fuerza entre rea, obtenemos laabstraccin ms realista del esfuerzo.

Es conveniente, en muchas aplicaciones estructurales, introducir unaabstraccin que eS intermedia entre fuerza y esfuerzo. Imaginemos que unafuerza se distribuye a lo largo de una lnea, en lugar de un punto, Estasituacin es aproximada cuando se transmiten fuerza'> por medio de unamembrana, o con el filo de una navaja de rasurar. Aunque no se ha adop-tado ninguna palabra estndar para la abstraccin resultante, nosotrosusaremos el trmino fuerza lineal,* y la designaremos con el smbolo q.(El smbolo N se usa, generalmente, en textos avanzados). Matemtica-mente, la fuerza lineal se define como:

)' tlPq = lm-88....0 As

* Se usa frecucntelnente el trmino He_~ftlerzo..resllltanten.

Modelos y leyes conceptuales

que se puede escribir como

IFdPIds33

(1.27)

(Esta ecuacin se us en la Seco 1.11).La tabla 1.2 resume los tres modelos conceptuales que usaremos en los

captulos siguientes. Ntese, en particular, que el vector-fuerza obedecelas leyes del lgebra de vectores, pero no as la fuerza lineal y el esfuerzo.Por ejemplo, el esfuerzo mximo bajo carga biaxial no se puede encon-trar por el uso del Teorema de: Pitgoras. Matemticamente la fuerzalineal y esfuerzo se clasifican conio cantidades tensoriales. En el captulosiguiente, aprenderemos cmo usarlas.

En todas las situaciones estti~as (sin aceleracin, la ley de equilibriose debe satisfacer, esto es, en au.~ncia de aceleracin traslacional o derotacin, las siguientes ecuaciones representan una condicin necesaria:

2:P = O2:M = O (1.28)

Esta ley se aplica en todos los niveles de abstraccin. En algunos sis-temas estructurales, las fuerzas ntemas se pueden encontrar con el uso,exclusivamente, de las leyes de equilibrio. Tales situaciones se clasificancomo estticamente determinadas, e~to es, la condicin de equilibrio es unacondicin necesaria y suficiente para la solucin analtica.

TABLA 1.2

M otlelos conceptuales para fuerza

,

34 Carga uniaxiaf

Si la ley de equilibrio representada por las Ecs. (1.28) no es suficientepara el anlisis de fuerzas internas, la situacin se clasifica como esttica-mente indeterminada. Entonces es necesario aplicar otras leyes o principios.Una de estas leyes se puede establecer, simplemente, como una condicinde compatibilidad. Por ejemplo, en el anlisis del comportamiento uniaxial,supusimos implcitamente que, dentro del material no se produjeron dis-continuidades reales por la accin de la fuerza. Otro ejemplo es el dadoen el Probo 1.11 en donde dos miembros concntricos se mantienen uni-dos en sus extremos. "Compatible", en este caso, significa que no puedehaber cambio de longitud de un tubo con respecto al otro.

En situaciones estticamente indeterminadas, el comportamiento me-cnico del material afectar, en general, la distribucin de las fuerzasinternas (o esfuerzos).

Nota para el maestro: No se puede empezar el estudio de los sistemas es-tructurales en esta etapa (este tema se cubre con ms amplitud en el Cap. 15).Las fuerzas Pi en un sistema estticamente determinado de miembros cargadosaxialmente (armaduras) se pueden determinar a partir de las leyes de laesttica. El desplazamiento axial (8;) de cada componente se puede calcularcomo se muestra en este captulo. El desplazamiento del sistema (armadura)se puede determinar por las Ecs. (15.1) y (15.2) que slo requieren clculoselementales.

Si esta materia se estudia en este punto, se debern incluir los proble-mas 15.1 y 15.2 o debern resolverse problemas similares.

PROBLEMAS

(Nota: Vea los Apndices para las propiedades de materiales, de sec-ciones, ctc.)1.1 En la Fig. Pl.l un miembro curvo situado en el plano xy es car-gado con dos fuerzas F1 Y F.o que se transmiten a la pared. Encuentre los

y

rT""!- -+:::....._F_,

l__~~~_- 300 pulg.------->-1

Fig. Pi.i

Problemas 35

momentos y fuerzas componentes en los sistemas xyz, x'y'z' y x"y"z" enlas secciones a travs de los puntos A y B, respectivamente. (z, z', z" sonejes normales al plano xy). En el sistema base xyz (mano derecha), lascoordenadas de los puntos son A = (210, 30) pulg., B = (60, 130) pulg.,e = (300,40) pulg., D = (140,75) pulg., y las fuer-as son f 1 = (300,500, O) lb Y F 2 = (-400, -100, 100) lb.1.2 Una abrazadera semicircular e se aprieta para ejercer una fuerzade 400 lb sobre un bloque de madera, como se muestra en la Fig. P1.2.

eFig. Pl.2

(a) Encuentre los momentos y las componentes de fuerza en lasdirecciones paralelas y perpendiculares a los "cortes" hechos en las sec-ciones AA y BB. Los cortes se hacen perpendiculares a la lnea centraldel miembro.

(b) Dibuje las variaciones de momentos y componentes de fuerzaa lo largo de la lnea central del miembro. Los valores se pueden calcu-lar ya sea haciendo "cortes" adicionales perpendiculares a la lnea central

en varios puntos, o formulando las expresiones matemticas para lascantidades deseadas. Las curvas debern dibujarse con respecto a lalongitud desarrollada s, dibujada horizontalmente entre e y D.1.3 Un miembro estructural est formado de dos secciones rectas ABy Be unidas rgidamente y cargado con una fuerza F en C. El nodo en Aest empotrado rgidamente a la base.

(a) Encuentre el momento resultante y fuerza en los puntos B y Arespectivamente, en trminos de un sistema x', y', t' en el cual el eje x'est en la direccin de AB, el eje z' es paralelo al eje z, y el eje y' es nor-mal a los ejes x' y z'. Las coordenadas de los puntos son A = (O, 0, O)pulg., B = (4,4, O) pulg., e = (10, 8, -4) pulg. (Respuestas en trmi-nos de las componentes en el sistema de las primas (').)

(b) Encuentre la fuerza axial, fuerza transversal, momento flexio-nante y momento torsionante en el punto A, para el miembro AB.

36 Carga uniaxial

y

~----'-;'ff------;'---.-_~---'

Problemas 37

cuentre el esfuerzo maxlmo y el desplazamiento axial a travs de todala longitud, suponiendo que los esfuerzos permanecen en el rango elstico.Calcule la energa elstica en el miembro. Use Jos valores en las colum-

TABLA Pl.6

Caso 1 2 3 4 5 6

P, lb 30,000 20,000 6,000 60,000 25,000 30,000D" pulg. 1.0 0.75 1.0 1.0 0.75 1.0Do, pulg. 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0 2.0L, pulg. 12 20 24 12 20 24E,lb/pulg! 10 X 10" 30 X 10" 2 X 106(J' - e diag. A.1a A.Id A1.b

Para el Probo 1.6 Para el Probo 1.9 *

nas 1 a 3 de la Tabla P1.6. (Haga caso omiso de los efectos de pandeo.)Dibuje una eurva que muestre el cambo del dimetro como una funcinde la longitud.

Sugerencias: Se pueden usar mtodos alternativos, ya sea indepen-dientes o para comprobar resultados. En el mtodo semigrfico. divida lalongitud en pequeos incrementos y calcule A y (J' para cada seccin.Divida (J' entre E para obtener e. (En situaciones elsticas, esta operacinse puede realizar al ltimo.) Dibuje r (o (J') a travs del claro y ob-tenga el rea bajo la curva (cuadrados, usar planmetro o la Regla deSimpson). Para ahorrar tiempo, provase de una forma tabular paralos clculos. En el mtodo matemtico, escriba una funcin que expliqueaproximadamente la variacin de D con X. (Nota: en este problema,por simetra se puede tomar x = O en la lnea central. Para arcos circu-lares relativamente "planos", una funcin parablica da una buena aproxi-macin. Se puede usar tambin una funcin seno. Los clculos restantesse pueden realizar por integracin.

Obsrvese que, pues la relacin entre e y (J' es lineal entre todas lassecciones, (> permanecer proporcional a P. Por consiguiente, la energaelstica total se puede detenninar fcilmente a partir de y P.

1.7 Comportamiento inelstico: Usando el diagrama I'sfuerzo-deforma-cin de la Fig. Ala (Apndice A) :

(a) Encuentre el desplazamiento total de una barra de 120 pulg. delongitud, y seccin transversal uniforme con rea de 0.50 pulg?, que'se carga axialrnente bajo un esfuerzo de 70,000 libras/pulg."

(b) Calcule la energa elstica almacenada en la barra (obtenga Jidel diagrama).

(e) Calcule el trabajo total hecho en el alargamiento de la barra(a (J' = 70,000 Ib/pulg. 2 ).

" Ver el Apndice A.

38 Carga uniaxial

(d) Calcule el trabajo convertido en calor.(e) Encuentre la longitud de la barra despus que se ha retirado

la carga.

1.8 (a) Dada una barra de 60 pulg. de longitud y seccin uniforme de0.6 pulg." encuentre la carga axial que se requiere para aumentar lalongitud de la barra en 0.30 pulg. Suponga un comportamiento elstico,con E = 10 X lO" Ibjpulg. 2

(b) Referente al diagrama esfuerzo-deformacin de la Fig. 1.5,determine la carga axial que se requiere para producir un alargamientopermanente de 0.5 pulg. en la barra anterior. Cul es el alargamientototal con esta carga axial?

1.9 Seccin transversal variable-inel.ftica. Referente a la Fig. P1.6 Yusando los valores consignados en las columnas 4 a 6 de la Tabla P1.6.

(a) Encuentre el desplazamiento total del miembro.(b) Calcule la energa elstica almacenada por el miembro.(c) Calcule el trabajo total hecho en la deformacin de la barra.(d) Calcule el trabajo convertido en calor.(e) Encuentre la longitud del miembro despus de que se ha reti-

rado la carga.

1.10 (a) A cada una de las tres barras mostradas en la Fig. P 1.1 O, sele aplica una carga axial P tal que el esfuerzo mximo (PjA) sea de35,000 lbjpulg" Suponiendo un comportamiento elstico con E = 29 X1O"lbjpulg. 2 , determine la energa elstica almacenada en cada barrapara este valor de carga.

(b) Construya un diagrama esfuerzo-defoflnacin dastoplstico, con

Problemas 39

1.11 Un tubo circular de lt pulg. de dimetro exterior con pared de0.035 pulg..de espesor se coloca dentro de otro tubo de 2.0 pulg. de dimetro exterior que tiene un espesor de pared de 0.049 pulg. El tubomayor es de una aleacin de aluminio (E = 10 X laG lbfpulg.") y eltubo interior es de acero (E = 29 X 106 Ib/pulg. 2 ). La longitud de am-bos tubos es de 40.00 pulg. Con esta configuracin los tubos son cargadosa compresin colocndolos entre superficies planas paralelas de unamquina de ensayes.

(a) Suponga un comportamiento elstico, determine el esfuerzo encada tubo cuando la carga de compresin alcanza 10,000 libras (omitalas consideraciones de pandeo).

(b) Usando las curvas esfuerzo-deformacin de las Figs. Ala yAl d (Apndice A ) dibuje la curva compuesta carga-desplazamiento,hasta el punto para el que el esfuerzo en uno de los tubos alcanza suvalor ltimo, mostrado en su diagrama esfuerzo deformacin.

(e) Superponga a la curva en la parte b, la curva carga-desplaza-miento que se obtuvo tras la descarga del miembro compuesto.

1.12 Modifique el Probo 1.11 de tal modo que el tubo de acero tengauna longitud original de 39.96 pulg. mientras que la otra longitud per-manezca en 40 pulg. Las partes a, b, y c son las mismas.

1.13 Esfuerzo trmico. Una barra recta de 100 pulg. de longitud yseccin por una base masiva, bajo esfuerzo cero, y a una temperaturade 70F. Calcule el esfuerzo quc causa el cambio de temperatura a300F. (La temperatura de la base pennanece sin cambio.) Use cadauno de los siguientes materiales: acero, aluminio, magnesio y titanio.Suponga solamente una accin elstica. Los valores de E ya (coeficientede expansin trmica se dan en la Tabla Al.

1.14 Un tubo de acero de 8 pies de longitud con dimetro exteriorde 2 pulg. y espesor de pared de 0.065 pulg. (vase el Apndice B), cir-cunda una barra slida de aleacin de titanio de la misma longitud y conun dimetro de t pulg. Los extremos de los miembros concntricos estnrgidamente sujetos, pero el miembro, compuesto como un todo, estlibre de expansin o contraccin segn cambie la temperatura. Supongasolamente la accin elstica. Usando las propiedades del Apndice A,determine los esfuerzos y fuerzas axiales en los tubos cuanclo se calientade 70F (estado de esfuerzo cero) a 470F. Encuentre tambin el des-plazamiento completo del miembro compuesto (ami ta la consideracinde pandeo).

Sugerencia: Escriba la ecuacin de equilibrio (unidimensional). Es-criba la ecuacin para el desplazamiento de cada miembro, suponiendofuen:as P1 y P2 para que ambas sean de tensin, e incluyendo las defor-maciones trmicas. Aplique la condicin de compatibilidad 81 = 8" yresuelva para Pi, Po, etc. (Nota: Este problema se puede asignar paracualquier combinacin de los diferentes materiales para los que E y aestn dados en el Apndice A.)

40 Carga uniaxial

1.15 Usando el diagrama simplificado esfuerzo-deformacin de la Fig.A.la (Apndice A), dibuje el diagrama total de esfuerzo-deformacinpara una barra que se somete a un csfuerzo de 65 ksi en un cuarto quese encuentra a 70oP, despus se calienta hasta una temperatura de450F (el esfuerzo permanece constante), luego se descarga hasta un es-fuerzo cero (temperatura a 450F), y finalmente se enfra hasta los70F iniciales. Calcule la energa por uni,dad de volumen representadapor la curva cerrada de histrisis.

1.16 Una capa nica de alambre de acero fino se envuelve alrededorde una barra cilndrica de cermica, con el objeto de que los hilos seencuentren uno junto al otro. El dimetro de la barra es de 2 pulg. yel dimetro del alambre es 0.005 pulg. Durante el enrolJamiento, se man-tiene sobre el alambre una earga de tensin constante de 10 lb. Qupresin radial (lb/pulg.") se ejerce de esta manera sobre la cermica?Suponga que la barra de cermica no cambia de dimetro bajo estapresin. (Despus en el Captulo 4 se completar, y ser posible incluirlos efectos de la contraccin de la barra en tal situacin.)

1.17 Un aro de acero tiene un radio medio inicial de 10 pulg. y reade la seccin transversal de 0.32 pulg. 2 Encuentre el esfuerzo de tensiny el incremento en el dimetro, cuando gira a 1,800 rpm, suponiendoE = 29 X 10" lb/pulg. 2 (Repita para otros materiales elegidos del Apn-dice A.)

La aceleracin radial es (de ,la Dinmica) a = OJ2R, donde O) = velo-cidad angular (Radianes/segundo) = (2 X 1,800)/60 = 60 . La fuerzadistribuida radial es la fuerza centrfuga de un elemento de longitud unitaria:unitaria:

W Awa Aww 2Rq=ma=-a=--=---g (J g

donde m = densidad de masaW = peso por unidad de longitudw = densidad (ver Apndice A)

1.18 Un objeto que pesa 1,000 lb est suspendido en la parte centralentre dos edificios que. estn separados por 50 pies. Dos barras de aceroen forma de una V plana se van a usar, con una articulacin en elcentro. El pice debe estar 2.0 pies por debajo de la lnea horizontalque une. los extremos de las barras. Omitiendo el peso de las barras,encentre las cargas en stas cuando se est en esa posicin. Usando unesfuerzo permisible de 30,000 lb/pulg", calcule el rea requerida de laseccin transversal y e! desplazamiento axial en cada barra (E = 29 X10" lb/pulgo"). Demuestre por geometra (o por referencia a la Sec.15.2) la magnitud aproximada de! error que se implica en la omisindel efecto dc los desplazamientos elsti'cos, cuando se dimensionan lasbarras al realizar su dibujo (vea el Cap. 12, si es necesario).

Problema. 41

1.19 Obtenga la siguiente frmula aproximada para la relacin de "es-fuerzo verdadero" a esfuerzo "ingenieril" en la regin elstica. Mencionecualquier suposicin hecha.

CTven}ade!'o

O'ingeuieri I ] - 2VU ingHl1i-Pl'l/E

Encuentre el valor numenco de esta relacin para acero, aluminio ymagnesio, para un /Tiu" = 100,000 Ibj'pulg.' y con v = !.

2Estado de Esfuerzo

2.1 Esfuerzos en carga uniaxialEn el Captulo 1, consideramos solamente el esfuerzo normal (u = P/ A)en una componente estructural o espcimen de prueba, donde A repre-senta la seccin transversal que estara expuesta por un "corte" perpendicu-lar a la lnea de la transmisin de la fuerza. Cuando el corte se hace conalgn otro ngulo, se observa una situacin diferente. Analizaremos estasituacin, primero para el caso de la carga uniaxial y, posteriormente, seinvestigar la carga biaxial y la carga triaxial de un elemento. Los resul-tados sern tiles para predecir el comportamiento de materiales bajocualquier estado de esfuerzo.

En la Fig. 2.1 se ha hecho pa

Esfuerzos en carga uniaxia! 43

--0'",,_

--

-(b)

Fig. 2.1. Esfuerzos en una superficie "aislada".

El rea de la seccin cortada es:

A' (b)

Para encontrar los esfuerzos, dividamos las componentes de fuerza en-tre A':

u~z = P' p~. cos 6 = 11.. cos2 O (2.1).... -p- Aicos (JT'~u =- P~v = P u sen O -O'~~ senO cos O (2.2)A' Aleas O

Como ya se haba indicado, el smbolo O' representa un esfuerzo normal;T se usa para un esfuerzo cortante o tangencia/. En la Fig. 2.1 b se usanflechas de media punta para identificar fuerzas o esfuerzos cortantes.

Es importante una comprensin clara del concepto de esfuerzo cortante.La palabra "cortante" viene del instrumento usado para cortar lana, endonde dos navajas se deslizan una sobre otra. La accin fsica asociadacon los esfuerzos cortantes es el de deslizamiento. En el modelo mostrado

44 Esfuerzos de estado

Fig. 2.2. Ilustracin del modelo de deslizamiento.

q' 2a: -cos e

20 40 60e,grados

lb) Esfuerzo

1.0 ....,.-.-....,..--.-~~....,..--.-..--..,

0.8..~-..

~"C 0.6c:

'"

20 40 608, grados

(al fuerza

0.8

0.6c.,-..

c.,'"

0.4

Fig. 2.3. Variacin de fuerzas y esfuerzos con el ngulo (Carga uniaxial).en la Fig. 2.2, los rodillos son capaces de transmitir fuerzas de compresinnonnales a la superficie, pero se movern cuando sea aplicada una fuerzade compresin en sus extremos.

Las Ecs. (2.1) y (2.2) se pueden normalizar al dividir entre tJ",r, dando:,

T .y = _ sen /1 cos 8U""IC

La Fig. 2.3a muestra cmo las componentes de un vector de fuerzavaran con la rotacin de ejes. El vector de fuerza, en s mismo, permane.

Estado de esfuerzo en un punto 45

ce inalterado. La Fig. 2.3b muestra los diagrama'> correspondientes paraesfuerzo.

2.2 Estado de esfuerzo en un puntoUn cuerpo que transmite fuerzas se le puedc "cortar" a travs de cual-quier seccin, y las fuerzas internas pueden reemplazarse por un vectorresultante de fuerzas, junto con un vector de momento resultante, como semuestra en la Fig. 2.1. Si todo el cuerpo est en equilibrio esttico, cada

lal Cuerpo en equilibrio

(b) Fuerzas resultantes en laseccin "cortada" (esquemtico)

(e) Distribucin de esfuerzoen la seccin "co rtada"

Fig. 2.4. Esfuerzos sobre una seccin "cortada" (caso general).porcin aislada permanecer en equilibrio, bajo la accin combinada delas fuerzas externas, y las resultantes de los esfuerzos actuando en la sec-cin aislada, como se muestra en la Fig. 2.1b.

46 Esfuerzos de eslado

Para detenninar el estado de esfuerzo en un punto dentro de un cuerpoque est transmitiendo fuerzas, imagnese que un elemento cbico infini-tesimal * se asla en e! punto en cuestin como se indica en la Fig. 2.4c.En la Fig. 2.5 se observa una vista aumentada de ese elemento. El estadode esfuerzo se describe entonces al establecer los valores de los esfuerzosnonnal y cortante, en las tres caras adyacentes de! cubo, relativas al siste-ma coordenado asociado con el cubo. (Solamente se necesita e! anJi...isde tres caras, porque los esfuerzos en las caras opuestas deben ser igualesy opuestos. Se omiten los cambios infinitesimales entre las caras al establecerel estado de esfuerzo.)

Los esfuerzos nonnales crq;;C, cryy y crzz estn mostrados como positivos yrepresentan tensin. Cuando actan en sentido negativo, los esfuerzos nor-males representan compresin.

Se muestran dos componentes de esfuerzo cortante para cada superficiedel elemento. No hay diferencia fsica que distinga los esfuerzos cortantespositivos de los negativos.

Al aplicar las ecuaciones de equilibrio a las fuerzas que actan sobreel elemento de la Fig. 2.5, se encuentra que el par representado por la'>fuerzas cortantes actuando en dos caras opuestas de! cubo debe ser equi-librado por otro par igual y opuesto en las caras contigua... As se encuen-tran las importantes relaciones siguientes:

T;ZJI = T u:;

'1'118 = T.uT sz = Tu:

(2.3)

Para mostrar (lue las relaciones de arriba son independientes de la formadel elemento, la primera ecuacin se obtendr para un paraleleppedo rec-tangular, como se muestra en la Fig. 2.6. Primeramente, los esfuerzos se convierten en fueras al multiplicarlos por la magnitud del rea de la superficiesobre la que acta cada esfuerzo.

Imaginemos que al hacer el diagrama b, se traza, primeramente, el vectorde fuerza Pxy- Para mantener la relacin 'i,P = O en la direccin y, es nece-sario aplicar una fuerza -P"y en la cara opuesta. As tenemos un par desequi-librado, actuando cn direccin contraria a la de las manecillas del reloj,tjue tiene el valor

M = P a = abcr

Es necesario aplicar otro par para restablecer el equilibrio, cuyo valor es:

.. Por supuesto, el concepto de esfuerzo en un "punto" es una abstraccin, y eluso de un elemento de rea "infinitesimal" se justifica solamente cuando pensamosintegrar a travs de reas finitas. Cuando estemos realmente interesados en qu pasa enuna escala muy pequea, es 'necesario trabajar con cristales, tomos, molculas, etc.

Estado de esfuerzo en un punto

Para equilibrio de momento:

47

Por tanto:

Los nueve esfuerzos mostrados en la Fig. 2.5 se pueden acomodar enun arreglo ordenado (matriz) llamado tensor de esfuerzo, que representael estado general de esfuerzo en un punto.

La primera fila horizontal muestra los esfuerzos que actan wbre la cara x.la se,~unda, aqullos que actan sohre la cara Y" y a.s sucesivamente.

Fig. 2.5. Estado general de esfuer-zo en un punto (los esfuerzos en loslados opuestos no se muestran ellosson iguales y opuestos a aquellos

que s se ilustran).

----a----(a)

Fig. 2.6. Equilibrio en cortante(plano) pum.

En este tensor hay solamente seis cantidades independientes, en virtudde las relaciones dadas por las Ecs. (2.3). Ellos son, los esfuerzos normalesO'u, O'w, 0"" y los esfuerzos cortantes T"'h TU" T.~. El tensor es simtrico conreferencia a la diagonal que contiene los esfuerzos normales.

Si el estado de esfuerzo con referencia a una serie de ejes ortogonales(x, )', z) es conocido, el mismo estado de esfuerzo puede ser representadopara un conjunto diferente de ejes (x', y', z'). Aunque los nmero3 queaparecen en la matriz cambiarn al girar los ejes de referencia, el estadode esfuerzo permanece invariahle. Las dos matrices se dice que son si-milares.

48 Esfuerzos de estado

2.3 Direcciones principales y esfuerzos principalesEl estado general de esfuerzo en un punto, como se describi en la Fig. 2.5,no dan una visin clara de la manera en la cual las fuerzas se transmitenpor el elemento de material. Los teoremas y definiciones siguientes acla-rarn la situacin:

l. En cualquier estado de esfuerzo en un punto, un elemento se pue-de orientar de tal forma que los esfuerzos cortantes se conviertan encero sobre todas sus superficies. (Se demuestra en la siguiente seccinpara un estado bidimensional.)2. Las tres direcciones normales a las superficies del elemento as

orientadas se llaman direcciones principales.3. Los tres esfuerzos normales (0"1,

Direcciones principales y esfuerzos principalesEsfuerzo plano (carga biaxial)

49

(2.5)

El tensor de esfuerzo bsico para el estado de esfuerzo en un punto, sepuede escribir, en trminos de los esfuerzos principales, como sigue:

T~.prin = [~l ~2 g]O O

so Esfuerzos de estado

del cual tienen las longitudes dx, dy y ds. En el croquis e se ohservan lasfuerzas. '

Las ecuaciones de equilibrio se escrihirn con respecto a los ejes x' y y'.Vea la Fig. 2.10c para fuerzas.

Para la direcci6n x' C"i.p" = O),

u:.t ds - u.J, dy CDS O -

Ejes y esfuerzos principales (e4uerzo plano) 51

Para la direccin y' (~~ = O), un procedimiento similar nos da:r~ = (-(J"zz + o"uu) sen fJ cos fJ + TZlJ(C082 fJ - sen2 fJ) (:2.8)

Estas ecuaciones se pueden simplificar al usar las siguientes identidades

2 O cos 2fJ + 1cos = 2

2 O 1 - cos 20sen = 2

2 sen Ocos (J = sen 2fJC082 (J ~ sen2 (J = cos 2fJ

Entonces, las ecuaciones se convierten en:

I U;t:;1.': + rTJlJI + (J'zx - U ll11U zz = 2 2 cos 20 + rZlJ sen2l1

I O"xx - (fY1IrX1J=- 2 sen2(J+Tzucos211

(2.9)

(2.10)

Para encontrar los esfucrzos en la cara y' del elemento girado, se puedeusar un procedmiento similar, pero es ms simple substituir O + 7r /2 enlugar de fJ en las ecuaciones de arriba.

2.5 Ejes y esfuerzos principales (esfuerzo plano)Por definicin, todos los esfuerzos cortantes en las superficies del elementose cancelan, cuando al elemento se le oricnta en las direcciones principales.En el estado de c~fuerzo plano, uno de los ejes principales es nomla1 a lasuperficie dc esfuerzo cero (el eje z en la Fig. 2.10). Las otras dos direccionesprincipales se pueden encontrar al hacer el esfuerzo cortante, dado en laEc. 2.10, igual a cero y resolver para (J:

- Un; Uyy sen2fJ + TX1J cos 2fJ = ODe la cual

tan 2fJ = __2_rz-"u_ (2.11)

Dos ngulos que difieren por 7r radianes, tienen el mismo valor de latangente. Por tanto la Ec. (2.11) representa dos ngulos, 0, y O2 , que estnseparados 90. Estos ngulos sitan los otros dos ejes principales, los cualesestn en el plano xy.

52 Esfuerzos de estado

Para probar que los elifucrzos normales tienen valores mximos y m-nimos con respecto a los ejes principales, vamos a diferenciar la Ec. (2.9)con respecto a O e igualar el resultado con cero:

da:", (azo - ayy) 2 OdO = - 2 2 sen 2 (;1 + 2Txy COS (J =De la que

tan 28 =

Esta ecuaclOn es idntica a la Ec. (2.11), probmdo as que, en unestado plano de esfuerzo, los esfuerzos mximos y mnimos ocurren en lassuperficies que son normales a los ejes principales.

Los valores de los esfuerzos principales, se encuentran al sustituir en laEc. (2.9) los valores de 20 correspondientes a las direcciones de los ejes

y

29LL. ---I~ ....L__ x

O"u - U'yy--2-

Fig. 2.1 J. Relaciones geomtricas.

cos 20 =

principales dados por la Eeo (2.11). Como se muestra enrelaciones siguientes se pueden obtener a partir de la Ec.

sen28 = + T xy- ~(a",x; U"I/Y + Tx/

t(CT xx - O"YlI)

la Fig. 2.11, las(2.11) :

Sustituyendo estas identidades en la Eco (209) obtenemos la respuesta de-seada, ~omo sigue:

, = ':..xx + U yy + -(axx-- a",,)2 + 2O'trlaX,mln 2 - '\J 2 T xv (2.12)

Cuando esta ecuacin se calcula con signos positivo y negativo, respecti-vamente, obtenemos los valores de los dos esfuerzos principales en unestado plano de esfuerzo. El tercer valor es cero.

Ejes y esfuerzos principales (esfuerzo plano) 53

El esfuerzo cortante mximo en cualquier plano cortado paralelamenteal eJe z (Fig. 2.10) se encuentra al igualar con cero la derivada de laEc. (2.1 O). Esto da los valores de O para los que T;y tiene valores extremos,como sigue:

t 20 "xx - (1 yy ( )an = - 27" x/l a

Por un procedimiento similar al que se us para derivar la Ec. (2.12),los valores de Tm

54 Esfuerzos de estado

Otro valor de 2() est dado por 2() = -63.45 + 180 = 116.55. Por tanto losejes principales estn localizados a:

(J = _ 63~45 = -31.720 (J = + 11~.,55 = +58.28La localizacin de estos ejes para este caso particular se muestra en la Fig. E2.1.En el diagrama a se observa el elemento original, que fue cortado con res-pecto a los ejes x y y. El diagrama b ilustra un elemento cortado con respectoa los ejes principales. Es importante comprender que estos dos diagramasrepresentan la misma condicin de carga; la nica diferencia es la orientacindel elemento.

ty ,l1

y=l,OOO Ib!pulg.' '..l1min =380 PS~~

t .t.. t. t.. t.. t t TXY=_1'OOOlb!PUI9'~~ 1.. l.. \ / \~~- . " ~ 1 1 5828=1\''.'......................................., ( (2.00"'1,"~' 0............................"...........................................:..............;/............................... 1 1 .--1 ."'f- ~~!Y .. I

-:=1' ... ', ~ ~ _,X t" .." .:'0' f>i" ,X-1"" '., .. f- Ejes principales tt :0 l. ~-3l.72.--nn1n- ~:~~t'~~,

I1max =2,620 Ib!pulg.'(a) (b)

(e)Fig. E2.1

Los valores maXlmo y mnimo de (J' se hallan sustituyendo los valoresdados de (J'zz, (J'yy y 7"zy en la Ec. (2.12), como sigue:

(J' . = 2,000 + 1,000 1(2.000 - 1,000)' + (-1000)'mllX,mlD 2 "\J 2 '

de la que"max = 2,620 lb/pulg.', (J'min = ~80 Ib/pulg.'

Ejes y esfuerzos principales (esfuerzo plano) 55

La direccin de O"n,,,, se puede revisar usando la Ec. (2.9).La localizacin de los ejes de los esfuerzos cort