𝑃 𝑥= 𝜎2𝜋 - gunadarmasrava_chrisdes.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/...pendugaan...

Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 1

PENDUGAAN INTERVAL

A. DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL

Distribusi probabilitas normal:

𝑃 𝑥 =1

𝜎 2𝜋𝑒−

𝑋−𝜇 2

2𝜎2

dengan

𝜋 = 3,1416....

𝑒 = 2,7183....

𝜇 = parameter, yang merupakan rata-rata untuk distribusi

𝜎 = parameter, yang merupakan simpangan baku (deviasi standar) untuk

distribusi

Karakteristik dari distribusi probabilitas normal:

berbentuk bell-shaped, yaitu saat mean aritmetika, median, dan modus bernilai sama

dan terletak di tengah kurva distribusi; total luas daerah di bawah kurva adalah 1 mean-nya bersifat simetris, sehingga luas daerah di bawah kurva ke kiri dari mean

adalah 0,5 dan luas daerah di bawah kurva ke kanan dari mean adalah 0,5 lokasi dari distribusi normal ditentukan oleh mean (𝜇), sedangkan penyebaran data

ditentukan oleh simpangan baku (𝜎)

Secara grafik, karakteristik dari distribusi probabilitas normal adalah sebagai berikut.

Gambar 1. Karakteristik dari suatu distribusi probabilitas normal

Banyaknya distribusi normal tidak terbatas karena setiap sampel dari populasi bisa jadi akan

memiliki mean yang berbeda dan simpangan baku yang berbeda pula.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh gambar berikut dengan:

a. mean-nya sama dan simpangan bakunya berbeda,

b. mean-nya berbeda dan simpangan bakunya sama,

c. mean dan simpangan bakunya berbeda.


a.

b.

c.

Gambar 2. Contoh suatu distribusi probabilitas normal dengan beragam nilai 𝝁 dan 𝝈

Sembarang distribusi probabilitas normal dapat diubah menjadi distribusi probabilitas

normal standar. Distribusi probabilitas normal standar ini disebut juga distribusi 𝑧, karena

hasil standardisasi dari distribusi probabilitas normal menjadi distribusi probabilitas normal

standar disebut dengan nilai-𝑧, yaitu:

𝑍 =𝑋 − 𝜇

𝜎 ↔ 𝑥 = 𝜇 + 𝑍𝜎

dengan 𝑋 = nilai observasi pada data

𝜇 = mean populasi

𝜎 = simpangan baku populasi


Distribusi 𝑧 atau distribusi probabilitas normal standar ini memiliki keunikan, yaitu mean

𝜇 = 0 dan simpangan baku 𝜎 = 1.

Setelah memiliki distribusi probabilitas normal standar yang didapat dari distribusi

probabilitas normal, maka daftar distribusi normal standar (tabel distribusi 𝑧) dapat

digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat dicari.

Contoh 1

Tentukan 𝑃(𝑍 ≤ 1,63).

Jawab:

𝑃(𝑍 ≤ 1,63) berarti bahwa probabilitas ini bergantung pada luas area di bawah kurva ke kiri

dari titik 𝑧 = 1,63.

𝑃 𝑍 ≤ 1,63 = 𝑃 −∞ < 𝑍 < 0 + 𝑃 0 ≤ 𝑍 ≤ 1,63 = 0,5 + 0,4484 = 0,9484

Gambar 3. Luas area di bawah kurva normal standar pada Contoh 1

Pada Contoh 1, perhatikan bahwa 𝑃 0 ≤ 𝑍 ≤ 1,63 = 0,4484 (lihat tabel distribusi 𝑧). Ini

menunjukkan bahwa probabilitas secara acak terpilihnya suatu objek yang berada antara

𝑧 = 0 hingga 𝑧 = 1,63, atau antara 𝑥 = 𝜇 dan 𝑥 = 𝜇 + 1,63𝜎 adalah sebesar 0,4484 .

Contoh 2

PT Work Electric memproduksi bola lampu yang dapat menyala dengan rata-rata selama 900

jam dan deviasi standarnya 50 jam. Perusahaan tersebut ingin mengetahui berapa persen

produksi bola lampu dapat menyala sekitar 800 – 1000 jam, dan sebanyak berapa persen

perusahaan tersebut harus menyediakan garansi. Bantulah perusahaan tersebut dalam

menghitung persentase-persentasenya.

Jawab:

Diketahui 900 dan 50 .

Lalu, misalkan 1 800X dan 2 1000X . Dengan menggunakan transformasi distribusi 𝑧,

didapatlah nilai-nilai 𝑧-nya:

11

22

800 9002

50

1000 9002

50

XZ

XZ

Jadi, probabilitas produksi bola lampu dapat menyala selama sekitar 800 – 1000 jam adalah:

(800 1000)P X = ( 2 2)P Z

= ( 2 0) (0 2)P Z P Z (lihat tabel distribusi 𝑧)

= 0,4772 + 0,4772 = 0,9544


Dengan demikian, persentase produksi bola lampu dapat menyala selama sekitar 800 – 1000

jam adalah 95,44%.

Hasil ini dapat diinterpretasikan bahwa hasil produksi bola lampu yang dapat menyala selama

800 – 1000 jam adalah sebanyak 95,44% ; dan, perusahaan tersebut harus menyediakan

garansi sebanyak (100 – 95,44)% = 4,56% .

B. ESTIMASI TITIK (POINT ESTIMATE) UNTUK MEAN POPULASI

Estimasi titik adalah suatu nilai tunggal yang diturunkan dari sampel dan digunakan untuk

menduga nilai dari populasi, sehingga estimasi titik sering juga disebut sebagai suatu statistik

tunggal yang diperoleh dari informasi pada sampel dan kemudian digunakan untuk menduga

parameter dari populasi.

Sebagai contoh, suatu biro pariwisata di Bali ingin menduga mean dari dana yang dihabiskan

oleh para wisatawan yang berkunjung ke Bali. Karena menghubungi semua wisatawan

tidaklah mungkin, maka 500 wisatawan dipilih secara acak ketika mereka akan meninggalkan

Bali dan mereka ditanya tentang detil dana yang mereka habiskan selama berkunjung di Bali.

Mean yang diperoleh dari 500 wisatawan ini digunakan untuk menduga mean dari seluruh

wisatawan yang berkunjung ke pulau Bali, sehingga mean dari dana yang dikeluarkan oleh

500 wisatawan tersebut menjadi estimasi titik.

C. INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK MEAN POPULASI

Walaupun estimasi titik hanyalah bagian cerita dari suatu populasi, namun diharapkan

estimasi titik tersebut sangat dekat pada parameter populasi. Oleh karena itu, perlu diukur

seberapa dekat estimasi titik dengan parameter populasi, yakni melalui interval kepercayaan.

Interval kepercayaan (confidence interval) merupakan suatu rentang nilai yang diperoleh

dari data sampel sehingga parameter populasi kemungkinan akan terjadi di dalam rentang

nilai yang diperoleh tadi pada suatu probabilitas tertentu. Probabilitas tertentu tersebut

selanjutnya disebut sebagai tingkat kepercayaan (level of confidence).

Pendugaan interval akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval, atau dengan

kata lain, dapat menyatakan seberapa besar kepercayaan bahwa interval benar-benar

mencakup parameter yang diduga. Pendugaan interval ini selanjutnya akan menjadi interval

kepercayaan.

Dalam pendugaan interval ini, ada dua hal yang perlu diperhatikan:

1) penggunaan data pada sampel untuk menduga mean dari populasi dengan simpangan

baku populasi diketahui

2) penggunaan data pada sampel untuk menduga mean dari populasi dengan simpangan

baku populasi tidak diketahui. Dalam hal ini, simpangan baku sampel digunakan untuk

menggantikan nilai simpangan baku populasi.

Perhatikan gambar berikut ini.


Gambar 4. Penentuan kapan saat yang tepat untuk menggunakan distribusi 𝒛 atau distribusi 𝒕

Macam-macam pendugaan interval:

1. pendugaan interval satu rata-rata

2. pendugaan interval selisih dua rata-rata

3. pendugaan interval satu proporsi

4. pendugaan interval selisih dua proporsi

Interval kepercayaan dihitung dengan menggunakan 2 statistik, yaitu mean dari sampel ( X )

dan simpangan baku dari sampel.

Rumus umum pendugaan interval untuk populasi tidak terbatas:

“Mean atau Proporsi” "distribusi" SE

dengan SE merupakan kesalahan baku (standar error) dari mean atau proporsi.

1. Pendugaan interval satu rata-rata

>> SIMPANGAN BAKU POPULASI ( 𝜎 ) DIKETAHUI

Interval kepercayaan untuk mean populasi dengan simpangan baku populasi diketahui dan

populasinya tidak terbatas adalah:

𝑋 ± 𝑧𝛼/2

𝜎

𝑛 ↔ 𝑋 − 𝑧𝛼/2

𝜎

𝑛≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑧𝛼/2

𝜎

𝑛

dengan 𝑋 mean sampel, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝜎 simpangan baku populasi, 𝑛 ukuran

sampel, 𝜎

𝑛 sebagai kesalahan baku (SE) dari mean populasi, dan 𝑧𝛼/2

𝜎

𝑛 sebagai margin

error (ME).

Contoh 3

Asosiasi Manajemen Amerika ingin mengetahui informasi mean dari pendapatan manager-

manager toko di industri retail. Secara acak, dipilih 256 manajer dan terungkap bahwa mean

dari pendapatan manajer toko di industri retail adalah $45.420. Simpangan baku dari populasi

ini adalah $2.050. Hitunglah berapa estimasi nilai mean yang wajar untuk populasi jika

tingkat kepercayaan yang diinginkan adalah 95% ?

TIDAK YA

Asumsikan populasinya berdistribusi normal.

Apakah simpangan bakunya diketahui?

Gunakan distribusi 𝒛. Gunakan distribusi 𝒕.


Jawab:

Dengan tingkat kepercayaan 95%, maka 0,95 sehingga / 2 0,475 .

Nilai 𝑧 yang memenuhi untuk / 2 0,475 adalah 𝑧0,475 = 1,96. (lihat tabel distribusi 𝑧)

Selain itu, diketahui pula 𝑋 = 45420, 𝜎 = 2050, dan 𝑛 = 256.

Jadi, interval kepercayaan untuk nilai mean yang wajar untuk populasi jika tingkat

kepercayaan yang diinginkan adalah 95% adalah:

𝑋 ± 𝑧 ∙𝜎

𝑛 = 45.420 ± 1,96 ×

2.050

256 = 45.420 ± 251

⇒ $45.420 − $251 ≤ 𝜇 ≤ $45.420 + $251

⇒ $𝟒𝟓.𝟏𝟔𝟗 ≤ 𝝁 ≤ $𝟒𝟓.𝟔𝟕𝟏

Dalam Contoh 3 ini, $251 adalah margin error-nya.

>> SIMPANGAN BAKU POPULASI ( 𝜎 ) TIDAK DIKETAHUI

Jika simpangan baku populasi tidak diketahui, maka simpangan baku populasi dapat diduga

dengan menggunakan simpangan baku sampel. Namun dalam hal ini, tidak bisa lagi

menggunakan distribusi 𝑧, melainkan digunakan distribusi 𝑡, yaitu:

𝑡 =𝑋 − 𝜇

𝑠

𝑛

dengan 𝑋 = mean sampel

𝜇 = mean populasi

𝑠 = simpangan baku sampel

𝑛 = ukuran sampel

Interval kepercayaan untuk mean populasi dengan simpangan baku populasi tidak diketahui

dan populasinya tidak terbatas adalah:

𝑋 ± 𝑡1−𝛼2

(𝑑𝑓)𝑠

𝑛 ↔ 𝑋 − 𝑡1−𝛼

2(𝑑𝑓)

𝑠

𝑛≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑡1−𝛼

2(𝑑𝑓)

𝑠

𝑛

dengan 𝑋 mean sampel, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝑑𝑓 derajat kebebasan (𝑑𝑓 = 𝑛 − 1), 𝑠

simpangan baku sampel, 𝑛 ukuran sampel, 𝑠

𝑛 sebagai kesalahan baku (SE) dari mean sampel,

dan 𝑡(1−𝛼)/2𝑠

𝑛 sebagai margin error (ME).

Contoh 4

Manager dari Inlet Square Mall ingin mengestimasi mean dari dana yang dihabiskan oleh

pelanggan setiap kali belanja. Suatu sampel yang terdiri dari 20 pelanggan mengungkapkan

dana yang dihabiskan oleh mereka adalah sebagai berikut.

a) Berapa estimasi terbaik untuk mean dari populasi ?

b) Dengan tingkat kepercayaan 95%, tentukan interval kepercayaan untuk mean populasi ! c) Interpretasikan hasil yang diperoleh pada jawaban b !

$48,16 $51,45 $54,86 $48,59 $61,83 $61,46 $58,84

$42,22 $23,78 $37,92 $50,82 $61,69 $51,35 $43,88

$46,82 $41,86 $52,64 $46,94 $49,17 $52,68


d) Apakah wajar jika populasi diduga pada $50 ?

e) Apakah wajar jika populasi diduga pada $60 ?

Jawab:

Diasumsikan populasi dari dana yang dihabiskan oleh pelanggan di mal tersebut berdistribusi

normal.

a) Mean dari sampel yang terdiri dari 20 pelanggan tersebut adalah:

𝑋 =48,16 + 42,22 + 46,82 + ⋯ + 43,88

20= 49,35

Mean populasi dalam hal ini tidak diketahui, tapi mean sampel merupakan estimasi titik

untuk mengestimasi nilai mean dari populasi, sehingga estimasi terbaik tentang mean

populasi adalah $49,35.

b) Dengan tingkat kepercayaan 95%, maka 0,95 sehingga (1 ) / 2 0,025 .

Diketahui juga 𝑛 = 20, sehingga derajat kebebasannya 𝑑𝑓 = 𝑛 – 1 = 19.

Maka, 𝑡0,025 (19) = 2,093. (lihat tabel distribusi 𝑡)

Ingat kembali cara mencari simpangan baku sampel:

2

1 1

ni

i

X Xs

n

Jadi, interval kepercayaan untuk populasi ini jika tingkat kepercayaannya 95% adalah:

𝑋 ± 𝑡 ∙𝜎

𝑛= 49,35 ± 2,093 ×

9,01

20= 49,35 ± 4,218

No Amount spent (dalam $) (x-mean)2

1 48,16 1,41

2 42,22 50,81

3 46,82 6,39

4 51,45 4,42

5 23,78 653,72

6 41,86 56,07

7 54,86 30,38

8 37,92 130,60

9 52,64 10,84

10 48,59 0,57

11 50,82 2,17

12 46,94 5,80

13 61,83 155,80

14 61,69 152,32

15 49,17 0,03

16 61,46 146,70

17 51,35 4,01

18 52,68 11,10

19 58,84 90,10

20 43,88 29,90

TOTAL = 986,96 TOTAL = 1543,14

Mean = 49,35 std deviasi (s) = 9,01

t = 2,093

margin error = 4,218=

986,96

20

= 1543,14

20 − 1

Perhatikan tabel distribusi 𝑡 dengan tingkat kepercayaan 95%, 𝑑𝑓 = 19.

= 𝑡.𝑠

𝑛= 2,093 ×

9,01

20


⇒ $49,35 − $4,218 ≤ 𝜇 ≤ $49,35 − $4,218

⇒ $𝟒𝟓,𝟏𝟑𝟐 ≤ 𝝁 ≤ $𝟓𝟑,𝟓𝟔𝟔

c) Dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dikatakan bahwa estimasi mean dari dana yang

dihabiskan oleh semua pelanggan yang berkunjung ke Inlet Square Mall berada antara

$45,132 sampai $53,566.

d) Dengan memperhatikan interval kepercayaan pada tingkat kepercayaan 95%, menduga

mean populasi sama dengan $50 adalah hal yang wajar.

e) Dengan memperhatikan interval kepercayaan pada tingkat kepercayaan 95%, menduga

mean populasi sama dengan $60 adalah hal yang tidak wajar.

3. Pendugaan interval satu proporsi

Proporsi adalah pecahan atau rasio atau persentase yang menunjukkan bagian dari sampel

atau bagian dari populasi yang memiliki sifat khusus.

Proporsi dari sampel:

𝑃 =𝑋

𝑛

dengan 𝑃 = proporsi dari sampel

𝑋 = banyaknya sampel yang „sukses‟


Populasi proporsi diidentifikasikan oleh 𝜋. Maka, 𝜋 sebagai persentase „sukses‟ dalam suatu

populasi.

Interval kepercayaan untuk proporsi dari populasi yang tidak terbatas adalah:

𝑃 ± 𝑧𝛼/2 𝑃 (1 − 𝑃 )

𝑛 ↔ 𝑃 − 𝑧𝛼/2

𝑃 (1 − 𝑃 )

𝑛≤ 𝜋 ≤ 𝑃 + 𝑧𝛼/2

𝑃 (1 − 𝑃 )

𝑛

dengan 𝑃 proporsi sampel, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝑛 ukuran sampel, 𝑃 (1−𝑃 )

𝑛 sebagai

kesalahan baku (SE) dari proporsi sampel, dan 𝑧𝛼/2 𝑃 (1−𝑃 )


Contoh 5

Cliff Obermeyer adalah seorang kandidat yang mengikuti kongres pemilu pada periode ke-6

di New Jersey. Asumsikan 500 pemilih dihubungi setelah melakukan pemungutan suara, dan

terindikasi bahwa sebanyak 275 pemilih mendukung Cliff Obermeyer.

a) Berapa proporsi populasi yang memilih Obermeyer ?

b) Cliff Obermeyer akan memenangkan pemilu tersebut jika dia bisa memperoleh lebih

dari 50% dukungan, maka apakah Cliff Obermeyer memiliki chance besar untuk

terpilih menjadi anggota kongres ? Jawab:

a) Proporsi dari sampel yang memilih Cliff Obermeyer adalah:

𝑃 =𝑋

𝑛=

275

500= 0,55


Proporsi ini merupakan proporsi terbaik untuk menduga proporsi populasi yang

mendukung Cliff Obermeyer, sehingga bisa dikatakan bahwa sebesar 55% dari populasi

kemungkinan besar mendukung Cliff Obermeyer.

b) Dengan tingkat kepercayaan 95%, maka nilai 𝑧0,475 = 1,96, sehingga interval

kepercayaan untuk proporsi populasi adalah:

𝑃 ± 𝑧 ∙ 𝑃 1 − 𝑃

𝑛= 0,55 ± 1,96 ×

0,55 1 − 0,55

500= 0,55 ± 0,044

⇒ 0,55 − 0,044 ≤ 𝜋 ≤ 0,55 + 0,044

⇒ 𝟎, 𝟓𝟎𝟔 ≤ 𝝅 ≤ 𝟎, 𝟓𝟗𝟒

Artinya, dengan tingkat kepercayaan 95%, dapat dikatakan bahwa proporsi populasi

yang mendukung Cliff Obermeyer adalah antara 50,6% hingga 59,4%, sehingga dapat

disimpulkan bahwa lebih dari 50% dari pemilih mendukung Cliff Obermeyer dan hal

itu cukup untuk menyatakan Obermeyer terpilih sebagai anggota kongres.

Prosedur ini sangat sering digunakan oleh lembaga-lembaga survei, TV, ataupun majalah

dalam hal pemilihan/pemungutan suara.

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._.

Sampai sejauh ini, populasi yang dibicarakan adalah populasi yang tidak terbatas. Jika

populasinya terbatas, maka perlu memperbaiki kesalahan baku dari mean/proporsi, yaitu

dengan cara mengalikan kesalahan baku tersebut dengan faktor koreksi populasi terbatas

(FPC), yakni:

𝐹𝑃𝐶 = 𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

dengan 𝑁 = banyaknya populasi


Rumus umum pendugaan interval untuk populasi terbatas:

“Mean atau Proporsi” "distribusi" SE FPC

dengan SE merupakan kesalahan baku dan FPC merupakan faktor koreksi populasi terbatas.

Interval kepercayaan untuk mean populasi dengan simpangan baku populasi diketahui dan

populasinya terbatas adalah:

𝑋 ± 𝑧𝛼/2

𝜎

𝑛 ∙

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

𝑋 − 𝑧𝛼/2

𝜎

𝑛 ∙

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑧𝛼/2

𝜎

𝑛 ∙

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1


dengan 𝑋 mean sampel, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝜎 simpangan baku populasi, 𝑁 banyaknya

populasi, 𝑛 ukuran sampel, 𝜎

𝑛 sebagai kesalahan baku (SE) dari mean populasi, dan 𝑧𝛼/2

𝜎

𝑛

sebagai margin error (ME).

Interval kepercayaan untuk mean populasi dengan simpangan baku populasi tidak diketahui

dan populasinya terbatas adalah:

𝑋 ± 𝑡(1−𝛼)/2 𝑑𝑓 𝑠

𝑛∙

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

𝑋 − 𝑡(1−𝛼)/2(𝑑𝑓)𝑠

𝑛∙

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1≤ 𝜇 ≤ 𝑋 + 𝑡(1−𝛼)/2(𝑑𝑓)

𝑠

𝑛∙

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

dengan 𝑋 mean sampel, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝑑𝑓 derajat kebebasan (𝑑𝑓 = 𝑛 − 1), 𝑠

simpangan baku sampel, 𝑛 ukuran sampel, 𝑠

𝑛 sebagai kesalahan baku (SE) dari mean sampel,

dan 𝑡(1−𝛼)/2𝑠


Interval kepercayaan untuk proporsi dari populasi yang terbatas adalah:

𝑃 ± 𝑧𝛼/2 𝑃 1 − 𝑃

𝑛∙

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

𝑃 − 𝑧𝛼/2 𝑃 (1 − 𝑃 )

𝑛∙

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1≤ 𝜋 ≤ 𝑃 + 𝑧𝛼/2

𝑃 (1 − 𝑃 )

𝑛∙

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1

dengan 𝑃 proporsi sampel, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝑛 ukuran sampel, 𝑃 (1−𝑃 )

𝑛 sebagai

kesalahan baku (SE) dari proporsi sampel, dan 𝑧𝛼/2 𝑃 (1−𝑃 )


Contoh 6

Ada 250 keluarga di Scandia. Sampel acak berupa 40 keluarga menyatakan rata-rata

sumbangan untuk gereja per tahun adalah $450 dan simpangan bakunya sebesar $75.

a) Tentukan estimasi terbaik untuk rata-rata populasi !

b) Dengan tingkat kepercayaan 90%, tentukan interval kepercayaan untuk rata-rata

populasi !

c) Interpretasikan interval kepercayaan yang diperoleh dari jawaban b !

Jawab:

Diketahui 𝑁 = 250, 𝑛 = 40, 𝑋 = 450, dan 𝑠 = 75.

a) Rata-rata populasi dalam hal ini tidak diketahui, tapi rata-rata sampel merupakan

estimasi titik untuk mengestimasi nilai rata-rata dari populasi, sehingga estimasi terbaik

tentang rata-rata populasi adalah $450.

b) Dengan tingkat kepercayaan 90%, maka 0,90 sehingga (1 ) / 2 0,05 .

Karena 𝑛 = 40 dan derajat kebebasannya 𝑑𝑓 = 𝑛 – 1 = 39, maka 𝑡0,05 (39) = 1,685.

(lihat tabel distribusi 𝑡)


𝑋 ± 𝑡 ∙𝑠

𝑛∙

𝑁 − 𝑛

𝑁 − 1= 450 ± 1,685 ×

75

40×

250 − 40

250 − 1= $450 ± 18,343

⇒ 450 − 18,343 ≤ 𝜇 ≤ 450 + 18,343

⇒ 𝟒𝟑𝟏, 𝟔𝟓𝟕 ≤ 𝝁 ≤ 𝟒𝟔𝟖,𝟑𝟒𝟑 Dengan demikian, dengan tingkat kepercayaan 90%, rata-rata populasi berada di antara

$431,657 dan $468,343.

c) Interpretasi dari jawaban b adalah bahwa kemungkinan rata-rata populasi dari

pengeluaran keluarga untuk kebutuhan rumah tangga di Scandia itu lebih dari $431,657

tetapi kurangdari $468,343.

2. Pendugaan interval selisih dua rata-rata

>> SIMPANGAN BAKU POPULASI ( 𝜎1 dan 𝜎2 ) DIKETAHUI

Karena ini merupakan „selisih dua rata-rata‟, maka harus ada dua simpangan baku populasi

yang diketahui.

(a) Jika 𝜎1 = 𝜎2, maka : - Interval kepercayaan dari selisih dua rata-rata dengan populasi tidak terbatas adalah:

𝑋 1 − 𝑋 2 ± 𝑧𝛼/2 ∙ 𝜎 1

𝑛1+

1

𝑛2

𝑋 1 − 𝑋 2 − 𝑧𝛼/2 ∙ 𝜎 1

𝑛1+

1

𝑛2≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 𝑋 1 − 𝑋 2 + 𝑧𝛼/2 ∙ 𝜎

1

𝑛1+

1

𝑛2

dengan 𝑋 1,2 mean sampel pertama dan kedua, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝜎 = 𝜎1 = 𝜎2

simpangan baku kedua populasi, dan 𝑛1,2 ukuran sampel pertama dan kedua.

- Interval kepercayaan dari selisih dua rata-rata dengan populasi terbatas adalah:

𝑋 1 − 𝑋 2 ± 𝑧𝛼/2 ∙ 𝜎 1

𝑛1+

1

𝑛2∙

𝑁1 + 𝑁2 − (𝑛1 + 𝑛2)

𝑁1 + 𝑁2 − 1

dengan 𝑋 1,2 mean sampel pertama dan kedua, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝑁1,2 banyaknya

populasi pertama dan kedua, 𝜎 = 𝜎1 = 𝜎2 simpangan baku kedua populasi, dan 𝑛1,2

ukuran sampel pertama dan kedua.

(b) Jika 𝜎1 ≠ 𝜎2, maka :

- Interval kepercayaan dari selisih dua rata-rata dengan populasi tidak terbatas adalah:

𝑋 1 − 𝑋 2 ± 𝑧𝛼/2 ∙ 𝜎1

2

𝑛1+

𝜎22

𝑛2

𝑋 1 − 𝑋 2 − 𝑧𝛼/2 ∙ 𝜎1

2

𝑛1+

𝜎22

𝑛2≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 𝑋 1 − 𝑋 2 + 𝑧𝛼/2 ∙

𝜎12

𝑛1+

𝜎22

𝑛2


dengan 𝑋 1,2 mean sampel pertama dan kedua, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝜎1,2 simpangan

baku populasi pertama dan kedua, dan 𝑛1,2 ukuran sampel pertama dan kedua.


𝑋 1 − 𝑋 2 ± 𝑧𝛼/2 ∙ 𝜎1

2

𝑛1+

𝜎22

𝑛2∙

𝑁1 + 𝑁2 − (𝑛1 + 𝑛2)

𝑁1 + 𝑁2 − 1

dengan 𝑋 1,2 mean sampel pertama dan kedua, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝑁1,2 banyaknya

populasi pertama dan kedua, 𝜎1,2 simpangan baku populasi pertama dan kedua, dan 𝑛1,2

ukuran sampel pertama dan kedua.

>> SIMPANGAN BAKU POPULASI ( 𝜎1 dan 𝜎2 ) TIDAK DIKETAHUI

Karena ini merupakan „selisih dua rata-rata‟ dan simpangan baku populasi tidak diketahui,

maka harus ada dua simpangan baku sampel yang diketahui.

(a) Jika 𝜎1 = 𝜎2, maka :


𝑋 1 − 𝑋 2 ± 𝑡1−𝛼2

(𝑑𝑓) ∙ 𝑠 1

𝑛1+

1

𝑛2

𝑋 1 − 𝑋 2 − 𝑡1−𝛼2

𝑑𝑓 ∙ 𝑠 1

𝑛1+

1

𝑛2≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 𝑋 1 − 𝑋 2 + 𝑡1−𝛼

2(𝑑𝑓) ∙ 𝑠

1

𝑛1+

1

𝑛2

dengan

𝑠2 = 𝑛1 − 1 𝑠1

2 + 𝑛2 − 1 𝑠22

𝑛1 + 𝑛2 − 2

dan

𝑑𝑓 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2

dimana 𝑋 1,2 mean sampel pertama dan kedua, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝑑𝑓 derajat

kebebasan, 𝑠 = 𝑠1 = 𝑠2 simpangan baku kedua sampel, dan 𝑛1,2 ukuran sampel pertama

dan kedua.


𝑋 1 − 𝑋 2 ± 𝑡1−𝛼2

(𝑑𝑓) ∙ 𝑠 1

𝑛1+

1

𝑛2∙

𝑁1 + 𝑁2 − (𝑛1 + 𝑛2)

𝑁1 + 𝑁2 − 1

dengan dengan 𝑋 1,2 mean sampel pertama dan kedua, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝑁1,2

banyaknya populasi pertama dan kedua, 𝑑𝑓 derajat kebebasan, 𝑠 = 𝑠1 = 𝑠2 simpangan

baku kedua sampel, dan 𝑛1,2 ukuran sampel pertama dan kedua.


(b) Jika 𝜎1 ≠ 𝜎2, maka :


𝑋 1 − 𝑋 2 ± 𝑡1−𝛼2

(𝑑𝑓) ∙ 𝑠1

2

(𝑛1 − 1)+

𝑠22

(𝑛2 − 1)

𝑋 1 − 𝑋 2 − 𝑡1−𝛼2

𝑑𝑓 ∙ 𝑠1

2

𝑛1 − 1 +

𝑠22

𝑛2 − 1 ≤ 𝜇1 − 𝜇2 ≤ 𝑋 1 − 𝑋 2 + 𝑡1−𝛼

2(𝑑𝑓) ∙

𝑠12

(𝑛1 − 1)+

𝑠22

(𝑛2 − 1)

dengan

𝑠2 = 𝑛1 − 1 𝑠1

2 + 𝑛2 − 1 𝑠22

𝑛1 + 𝑛2 − 2

dan

𝑑𝑓 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2

dimana 𝑋 1,2 mean sampel pertama dan kedua, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝑑𝑓 derajat

kebebasan, 𝑠1,2 simpangan baku sampel pertama dan kedua, dan 𝑛1,2 ukuran sampel

pertama dan kedua.


𝑋 1 − 𝑋 2 ± 𝑡1−𝛼2

(𝑑𝑓) ∙ 𝑠1

2

𝑛1 − 1+

𝑠22

𝑛2 − 1∙

𝑁1 + 𝑁2 − (𝑛1 + 𝑛2)

𝑁1 + 𝑁2 − 1

dengan dengan 𝑋 1,2 mean sampel pertama dan kedua, 𝛼 tingkat kepercayaan, 𝑁1,2

banyaknya populasi pertama dan kedua, 𝑑𝑓 derajat kebebasan, 𝑠1,2 simpangan baku

sampel pertama dan kedua, dan 𝑛1,2 ukuran sampel pertama dan kedua.

Contoh 7

Diketahui ada dua cara untuk mengukur kelembaban suatu zat. Cara I dilakukan sebanyak 50

kali yang menghasilkan rata-rata 60,2 dan variansnya 24,7. Sedangkan, cara II dilakukan

sebanyak 60 kali yang menghasilkan rata-rata 70,4 dan variansnya 37,2. Dengan tingkat

kepercayaan 95%, tentukanlah interval kepercayaan dari perbedaan rata-rata pengukuran

kedua cara itu ?

Jawab:

Diketahui:

𝑛1 = 60 ; 𝑋 1 = 70,4 ; 𝑠12 = 37,2

𝑛2 = 50 ; 𝑋 2 = 60,2 ; 𝑠22 = 24,7

Karena 𝜎1 dan 𝜎2 tidak diketahui, 𝑠1 ≠ 𝑠2, serta populasinya tidak terbatas, maka

digunakanlah

𝑋 1 − 𝑋 2 ± 𝑡1−𝛼2

(𝑑𝑓) ∙ 𝑠1

2

(𝑛1 − 1)+

𝑠22

(𝑛2 − 1)

Dengan 𝛼 = 0,95, maka 1−𝛼

2= 0,025. Lalu, 𝑑𝑓 = 60 + 50 − 2 = 108. Jadi, didapatlah

𝑡0,025 108 = 1,984.


𝑋 1 − 𝑋 2 ± 𝑡 ∙ 𝑠1

2

(𝑛1 − 1)+

𝑠22

(𝑛2 − 1)= (70,4 − 60,2) ± 1,984

37,2

60 − 1+

24,7

50 − 1

= 10,2 ± 1,984 × 1,065 = 10,2 ± 2,113

⇒ 𝟖, 𝟎𝟖𝟕 ≤ 𝝁𝟏 − 𝝁𝟐 ≤ 𝟏𝟐, 𝟑𝟏𝟑

Dengan demikian, dengan tingkat kepercayaan 95%, selisih rata-rata cara I dan cara II berada

di antara 8,087 dan 12,313.

4. Pendugaan interval selisih dua proporsi

Karena ini merupakan „selisih dua proporsi‟, maka harus ada dua proporsi sampel yang

diketahui.

Interval kepercayaan untuk selisih dua proporsi dari populasi yang tidak terbatas adalah:

(𝑃 1 − 𝑃 2) ± 𝑧𝛼/2 𝑃 1(1 − 𝑃 1)

𝑛1+

𝑃 2(1 − 𝑃 2)

𝑛2

𝑃 1 − 𝑃 2 − 𝑧𝛼/2 𝑃 1(1 − 𝑃 1)

𝑛1

+𝑃 2(1 − 𝑃 2)

𝑛2

≤ 𝜋1 − 𝜋2 ≤ 𝑃 1 − 𝑃 2 + 𝑧𝛼/2 𝑃 1(1 − 𝑃 1)

𝑛1

+𝑃 2(1 − 𝑃 2)

𝑛2

dengan 𝑃 1,2 proporsi sampel pertama dan kedua, 𝛼 tingkat kepercayaan, dan 𝑛1,2 ukuran

sampel pertama dan kedua.

Contoh 8 Dua sampel acak yang terdiri dari 500 pemudi dan 700 pemuda yang mengunjungi sebuah

pameran telah diambil. Ternyata, 325 pemudi dan 400 pemuda menyenangi pameran itu.

Dengan tingkat kepercayaan 95%, tentukan interval kepercayaan untuk perbedaan persentase

pemudi dan pemuda yang mengunjungi pameran dan menyenanginya ?

Jawab:

Proporsi pemudi yang menyenangi pameran adalah:

𝑃 1 =325

500= 0,65 = 65% → 1 − 𝑃 1 = 0,35 = 35%

Proporsi pemuda yang menyenangi pameran adalah:

𝑃 2 =400

700= 0,57 = 57% → 1 − 𝑃 2 = 0,43 = 43%

Dengan 𝑛1 = 500 dan 𝑛2 = 700, didapat:

𝑃 1(1 − 𝑃 1)

𝑛1+

𝑃 2(1 − 𝑃 2)

𝑛2=

0,65 × 0,35

500+

0,57 × 0,43

700= 0,0284

Untuk tingkat kepercayaan 95%, maka 𝑧 = 1,96, sehingga

𝑃 1 − 𝑃 2 ± 𝑧 𝑃 1 1 − 𝑃 1

𝑛1+

𝑃 2 1 − 𝑃 2

𝑛2= 0,65 − 0,57 ± 1,96 × 0,0284 = 0,08 ± 0,0557

⇒ 𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝟑 ≤ 𝝅𝟏 − 𝝅𝟐 ≤ 𝟎, 𝟏𝟑𝟓𝟕

Jadi, 95% yakin bahwa perbedaan persentase pemudi dan pemuda yang mengunjungi

pameran dan menyenanginya akan ada dalam interval yang dibatasi oleh 2,43% dan 13,57%.

𝑃 𝑥= 𝜎2𝜋 - gunadarmasrava_chrisdes.staff.gunadarma.ac.id/downloads/files/...pendugaan...

Documents