T U B E R G A K A D E M I E F R E I B E R G

Fakultät für Geowissenschaften, Geotechnik und Bergbau

F O R M E L S A M M L U N G

Fördertechnik und Speichertechnik

S. FÖRSTER und V. KÖCKRITZ

Institut für Bohrtechnik und Fluidbergbau

Überarbeitete Auflage 2010

2

Inhaltsverzeichnis Benutzungshinweise 1 Grundgleichungen 1.1 Spezielle Zustandsgleichungen für Gase 1.2 Geschwindigkeitsberechnung für die Gasströmung in Rohren 1.3 Druckberechnung - flüssige Medien 1.3.1 Druckbilanz für eine fördernde Sonde 1.3.2 Hydrostatischer Druck einer Flüssigkeitssäule (senkrechtes Rohr) 1.3.3 Reibungsdruckverlust in Rohren 1.4 Druckberechnung - gasförmige Medien 1.4.1 Bewegungsgleichung für die stationäre, einphasige und isotherme Gasströmung mit Reibungsverlustglied im senkrechten Rohr 1.4.2 Zusammenhang zwischen Kopf- und Solendruck in Sonden 1.4.2.1 Aus- und Einspeisung 1.4.2.2 Ruhende Sonde (statische Bedingungen) 1.4.3 Druckverlust in waagerechten Rohren 1.5 Temperaturberechnung in Fördersonden 1.5.1 Grundgleichung für die stationäre einphasige nicht isotherme Fluidströmung in senkrechten Rohren 1.5.2 Aus- und Einspeisung - flüssige Medien 1.5.3 Aus- und Einspeisung - gasförmige Medien 1.5.4 Fluidtransport in Pipelines 1.6 Kompressibilität, thermische Ausdehnung und Dichte von Flüssigkeiten 1.7 Viskosität von Flüssigkeiten 1.8 Konzentration, Mineralisation und Löslichkeit 2 Stoffwertberechnung von Gasgemischen 2.1 Pseudokritische Zustandsgrößen 2.2 Pseudoreduzierte Zustandsgrößen 2.3 Molmasse, spezielle Gaskonstante und Dichte von Gasgemischen 2.4 Spezifische Wärmekapazität cp von Gasgemischen

2.5 Viskosität von Gasgemischen 2.6 Realgasfaktor von Gasgemischen 2.7 Joule-Thomson-Effekt 2.8 Wasserdampfgehalt Index- und Symbolverzeichnis Anhang - Die Umrechnung von Zahlenwerten bei einer gewünschten Änderung von Einheiten beliebiger physikalischer Größen - Die Ermittlung des Druckkoeffizienten und Umrechnungen

Tabellen

3

Tab. 1 Rohrreibungsbeiwerte im hydraulisch rauen Bereich Tab. 2 Rauigkeitswerte für technisch raue Rohre Tab. 3 Physikalische Werte von Gasen Tab. 4 Wärmetechnische Kennziffern ausgewählter Stoffe Tab. 5 Koeffizienten zur Berechnung der spezifische Wärmekapazität cp0(T)

einiger Gase Tab. 6 Stoffwerte von Wasser Tab. 7 Konzentration, Mineralisation, Löslichkeit und Dichte von NaCl-Sole in Abhängigkeit von der Temperatur bei Sättigung Tab. 8 Dichte, Kompressibilität, thermische Ausdehnung und Viskosität von NaCl-Sole in Abhängigkeit von der Konzentration

Arbeitsblätter (lose beigefügt) A 1 Dampfdruckkurven

A 2 Druckkorrektur der spez. Wärmekapazität cp M,

A 3 Spezifische Wärmekapazität eines Erdgases

A 4 Viskosität von Erdgasen

A 5 Realgasfaktor von Erdgas

A 6 Joule-Thomson-Effekt

A 7 Wasserdampfgehalt

A 8 Funktion f(t)

A 9 Rohrreibungsbeiwerte glatter und rauer Rohre bei laminarer und turbulenter Strömung

4

Benutzungshinweise

Die als Lernhilfe für die Vorlesung Fördertechnik gasförmiger und flüssiger Medien

erarbeitete Formelsammlung soll dem Studierenden bei seinen Berechnungen

zeitraubendes Nachschlagen ersparen.

Die Formelsammlung orientiert vorzugsweise auf das Rechnen mit SI - Einheiten.

Deshalb gelten für die in den Gleichungen angegebenen Formelzeichen (Symbole)

die jeweiligen SI - Einheiten, soweit keine gesonderten Vereinbarungen getroffen

wurden.

So ist z. B. in der Gl. (1.2.2) für die Geschwindigkeitsberechnung in Meter je

Sekunde der Volumenstrom nV in Kubikmeter je Sekunde und der Durchmesser d in

Meter einzusetzen. Für Gl. (1.2.3) hingegen wurde eine gesonderte Vereinbarung

getroffen, wie aus dem nebenstehenden "Rechen" ersichtlich ist. In dieser

Zahlenwertgleichung ist der Volumenstrom nV in Kubikmeter je Stunde und der

Durchmesser d in Millimeter einzusetzen.

Es ist ferner zu beachten, dass beim Rechnen mit SI-Einheiten die Vorsätze vorher

in Zehnerpotenzen umzuwandeln sind. Es bleibt dem Benutzer überlassen, die

angegebenen Formeln für seine speziellen Berechnungen weiter umzuformen. Dazu

dient der im Anhang gegebene Leitfaden für die Umrechnung von Zahlenwerten bei

einer gewünschten Änderung der Einheiten.

1 Grundgleichungen

1.1 Spezielle Zustandsgleichung für reale Gase

p v z R T (1.1.1)

p V z m R T (1.1.2)

5

1.2 Geschwindigkeitsberechnung für die Gasströmung in Rohren

; 1o o

oo

p V T zwT A p

z

(1.2.1)

Für Index o gilt wahlweise entweder der Norm- oder der Standardzustand.

Für den Normzustand gilt beispielsweise:

2472,3 n

T zw V

d p

(1.2.2)

oder

20,131 n

T zw V

d p

3nw V d T p

m s m h mm K MPa

(1.2.3)

1.3 Druckberechnung – gasfreie flüssige Medien

1.3.1 Druckbilanz für eine fördernde Sonde

ep p p ph R ibBf Stf (1.3.1)

1.3.2 Hydrostatischer Druck einer Flüssigkeitssäule (senkrechtes Rohr)

hp L g (1.3.2)

p T,

Berechnungsgleichung s. Pkt. 1.6

oder

102hLp

3hp L

MPa m kg dm

(1.3.3)

6

1.3.3 Reibungsdruckverlust in Rohren

2

Re 2ib

L wp

d

(1.3.4)

p T k d, ; Re,

2

Re 50,811ib

L Vp

d

(1.3.5)

oder

2

Re 562,544ib

L Vp

d

3 3

reibp L V d

MPa m m h kg m mm

(1.3.6)

Ermittlung des Rohrreibungsbeiwertes :

REYNOLDS-Zahl Rew d w d

(1.3.7)

laminare Strömung: 64

Re 2320Re

(1.3.8)

turbulente Strömung:

Für den Übergangsbereich, 0,875350 Rek d , gilt:

22 18,7

1,74 2 lgRe

k

d

(1.3.9)

Für den hydraulisch rauen Bereich, 0,875350 Rek d , gilt:

22 lg 1,14d k (1.3.10)

Werte für die Rauigkeit k siehe Tabelle 2

7

1.4 Druckberechnung - gasförmige Medien

1.4.1 Bewegungsgleichung für die stationäre, einphasige, isotherme

Gasströmung mit Reibungsverlustglied im senkrechten Rohr

210

2

wdp wdw g dl dl

d

(1.4.1)

1.4.2 Zusammenhang zwischen Kopf- und Sohlendruck in Sonden

1.4.2.1 Aus- und Einspeisung (Produktion und Injektion)

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 22

2

sp p e V signVBf Stf o o

PRODUKTION

sp p e VBf Stf o

INJEKTION

sp p e VBf Stf o

p VBf op

Stf se

(1.4.2)

Für Förderung (Produktion) gilt: 0, 1o oV signV

Für Injektion gilt: 0, 1V signVo o

0,03416

L d g L dv vs

T z R T zm m L m m

(1.4.3)

RL spezielle Gaskonstante für Luft

2 2 22

2 2 5

18s

m mo

o

T z ep

T g d

(1.4.4)

8

Für den Normzustand ( pn = 101325 Pa ; Tn = 273,15 K ) gilt: 0 nV V

2 2 2 141,137 10

5

sT z em m

d

(1.4.5)

Für den Standardzustand ; 288,15St n Stp p T K gilt: o StV V

1 022 10

14

2 2 2

5,

T z e

dm m

s

(1.4.6)

Ermittlung des Rohrreibungsbeiwertes siehe Pkt. 1.3

Danach gelten die in Tab. 1 errechneten Rohrreibungsbeiwerte im hydraulisch

rauen Bereich.

Für den Übergangsbereich Re,k d gilt bei n minV V und k mm 0 15,

näherungsweise:

0,13

23,491 10v n

d

d V

(1.4.7)

d in mm

3nV in m h

Ermittlung des Realgasfaktors z s. Pkt. 2.6.

Da z z p,T kann Gl. (1.4.2) nur iterativ gelöst werden. Für die hierzu

erforderlichen Mittelwertbildungen von Druck pm und Temperatur Tm gelten:

p pp

p pm BfStf

Bf Stf

2

3

2

(1.4.8)

TT T

mBf Stf2

(1.4.9)

9

Ringraumförderung (konzentrische Rohre)

Einführung des äquivalenten (gleichwertigen) Durchmessers däq

dA

Ud däq Ri Sta 4 (1.4.10)

U - benetzter Umfang

Daraus ergibt sich beispielsweise bei Anwendung

der Gl. (1.3.5) bzw. (1.4.4) für d 5 :

d d d d dRi Sta Ri Sta5 3 2 (1.4.11)

Bei der Ermittlung von Re für die Bestimmung von muss ebenfalls mit däq

gerechnet werden.

1.4.2.2 Ruhende Sonde (statische Bedingungen)

sp p eBs Sts

(1.4.12)

Berechnung von s nach Gl. (1.4.3), Mittelwertbildung von Tm und pm :

TT T

mBs Sts2

(1.4.13)

pp p

mBs Sts2

(1.4.14)

1.4.3 Druckverlust in waagerechten Rohren

2162 22 5

p V T z Lo o op p

A E T do

(1.4.15)

Für den Normzustand p Pa T Kn n 101325 27315; , und bei einer

Fortleitungstemperatur von T=288K (15°C) gilt:

22 2 417,148 10

5

V z Ln np p

A E d

(1.4.16)

10

Berechnung von s. Pkt. 1.3.3

Für Stadt- und Erdgas gilt näherungsweise bei 0,5k mm

1 665 1012

0 249,

,d (1.4.17)

1.5 Temperaturberechnung in Förder- und Speichersonden

1.5.1 Allgemeine Gleichung für die stationäre, einphasige, nichtisotherme

Fluidströmung in senkrechten Rohren

1,

ax pe g axT x t aT sign e T x signL Aa L c

p

(1.5.1)

Für Förderung (Ausspeisung) gilt: sign 1

Für Injektion gilt: sign 1

TL - ungestörte Gebirgstemperatur an der Stelle x=0

TA - Eintrittstemperatur des Mediums

x - Länge (gerechnet vom Eintrittspunkt des Mediums)

p - Druckdifferenz zwischen Eintritt und Austritt des Fluids

a - Komplexvariable nach Gl. (1.5.5) bzw. (1.5.6)

- JOULE-THOMSON-Koeffizient

- geothermischer Gradient

a - Komplexvariable s.u.

1.5.2 Förderung- und Injektion flüssiger Medien

Bei mäßigen Druckverlusten gilt näherungsweise:

0p g

L cp

11

1,

axax

L A

eT x t aT sign e T x sign

a

(1.5.2)

Vereinfacht gilt nur für Förderung (sign ) von Flüssigkeiten bei T T Tx o L A :

(1 ),

ax

L

eT x t T x

a

( 1.5.3 )

1.5.3 Förderung- und Injektion gasförmiger Medien

S. Gl. (1.5.1)

Für Gasförderung gilt unter Vernachlässigung der Temperaturabsenkung durch

Depression im Speicher bei T T Tx o L A :

1,

a x

Lp

pe gT x t T x

a L c (1.5.4)

Berechnung der Komplexvariablen a

Vereinfachter Fall: Fluidströmung in der Sonde ohne Steigrohrstrang,

Wärmetransport im Gebirge durch Wärmeleitung

2

-

( )

G

p

n n

n n n

n

p

G

am c f t

mit

m Massenstrom

m V

V Volumenstromunter Normalbedingungen p T

DichtedesFluidsunter Normbedingungen

c spezifischeWärmekapazität desFluids

unter Betriebsbedingungen

Wärmeleitfähig

/

( ) - ,

'

, . 8

keit desdie

Bohrung Leitung umgebendenGesteins

f t Funktion die die zeitliche Veränderung

des Wärmeausbreitungsradius

im Gebirge berücksichtigt s Arbeitsblatt

1.5.5)

Reale Bedingungen: Fluidströmung im Steigraum der Sonde, Wärmetransport im

Ringraum durch Leitung, Konvektion und Strahlung

12

2

2G

Gp

Ri

a

mc f td

(1.5.6)

- komplexe Wärmeübergangszahl für den Ringraum ( ) 10 30 2 W m K

f t - Funktion, die die zeitliche Veränderung des Wärmeausbreitungsradius' im

Gebirge berücksichtigt, s. Arbeitsblatt 8

1.5.4 Fluidtransport in Pipelines

Für den stationären Gas- und Flüssigkeitstransport in waagerecht verlegten Pipelines

gilt die folgende Gleichung, wobei

TU – mittlere Temperatur in der Verlegungstiefe H,

H – Rohrachsentiefe,

TA – Eintrittstemperatur des Fluids in die Pipeline:

1 U A

pax axT x e T e TaL

(1.5.7)

22 / 5

4ln( )

22

arcoshyp( )

G

p

G

p

a für H d sonstH

mcd

aH

mcd

(1.5.8)

13

1.6 Kompressibilität, thermische Ausdehnung und Dichte von

Flüssigkeiten

Kompressibilität

1 1

T T

V Vc

V p V p

(1.6.1)

thermischer Ausdehnungskoeffizient

1

p

V

V T

(1.6.2)

Dichte

, 1o o op T c p p T T (1.6.3)

1.7 Viskosität von Flüssigkeiten

Allgemeine Näherung:

expn

aT c

T b

(1.7.1)

Für Wasser gilt:

a 511 6,

b 149 4,

c 4 139,

31,791 10 ( 273,15 )n nPa s T K

14

1.8 Konzentration, Mineralisation und Löslichkeit

Aus der Vielzahl der möglichen Konzentrationsmaße werden folgende ausgewählt:

Konzentration, bezogen auf die Lösung (Lösungsmittel+gelöster Stoff)

LsgLsg

mc

m (1.8.1)

m - Masse des gelösten Stoffes

mLsg - Masse der Lösung

Konzentration des Stoffes in Masseprozent

% 100 Lsg

mMasse

m (1.8.2)

Diese Angabe kann gelesen werden als g je100g Lösung

Konzentration, bezogen auf das Lösungsmittel

1Lm

Lm

mc

m (1.8.3)

mLm - Masse des Lösungsmittels

Konzentration in g je 100g Lösungsmittel: cLm 100 (1.8.4)

Die Löslichkeit entspricht der Sättigungskonzentration

Die Löslichkeit bezieht sich jedoch stets auf das Lösungsmittel und ist in erster Linie von der Temperatur und in geringem Maße vom Druck abhängig. Als Mineralisation cMin wird das Produkt aus Konzentration cLsg und der Dichte der Lösung Lsg definiert cMin = cLsg Lsg

Sie wird angegeben in kg / m3 Lösung bzw. in g / l Lösung.

Für Werte von NaCl-Lösungen siehe dazu Tabelle 7.

15

2 Stoffwerteberechnung von Gasgemischen

2.1 Pseudokritische Zustandsgrößen

1

n

pc i cii

p p

(2.1.1)

1

n

pc i cii

T T

(2.1.2)

2.2 Pseudoreduzierte Zustandsgrößen

prpc

pP

p (2.2.1)

prpc

TT

T

(2.2.2)

2.3 Molmasse, spezielle Gaskonstante und Dichte von Gasgemischen

1

n

M i ii

M M

(2.3.1)

1

n

M i ii

R R

(2.3.2)

1

n

M i ii

r

(2.3.3)

Für den idealen Gaszustand gilt: i ir

Unter Benutzung des Molvolumens vmol = 22,42 m3/kmol kann näherungsweise

die mittlere Gasdichte unter Normbedingung wie folgt berechnet werden:

MM n

mol

M

v (2.3.4)

16

Umrechnung von Molanteil i in Masseanteil i :

i i

i n

i ii=1

y × Mx =

y × M (2.3.5)

2.4 Spezifische Wärmekapazität cpM von Gasgemischen

Die spezifische Wärmekapazität (bezogen auf die Molmasse) setzt sich additiv aus 2

Gliedern zusammen:

spezifische Wärmekapazität des Gasgemisches bei Normdruck in Abhängigkeit

von der Temperatur c°p,M (T)

Druckkorrektur cp,M in Abhängigkeit von den pseudoreduzierten

Zustandsgrößen Tpr und ppr

0, , ,( ) ( , )p M p M p M pr pr

kJc c T c p T in

kmol K

(2.4.1)

c T c Tp M p i ii

n

, ,( ) ( )

1

(2.4.2)

c T a bT cT dTp i, ( ) 2 3 (2.4.3)

Druckkorrektur cp,M (ppr, Tpr) siehe Arbeitsblatt 2.

Koeffizienten a;b;c;d für ausgewählte Gaskomponenten siehe Tabelle 5.

Werte für cpM eines Erdgases in Anhängigkeit von Druck und Temperatur siehe

Arbeitsblatt A 3 (Einheit beachten!!).

2.5 Viskosität von Gasgemischen

Die Viskosität eines Gasgemisches bei Normdruck in Abhängigkeit von der

Temperatur errechnet sich nach HERNING und ZIPPERER aus:

17

M

ii

n

i i

i ii

nTM

M

( ) 1

1

(2.5.1)

Näherungsweise lässt sich die Viskosität M T ( ) als Funktion der Molmasse MM

bzw. der relativen Gasdichte dv nach Arbeitsblatt A 4 bestimmen.

Bei erhöhten Drücken ist eine Druckkorrektur erforderlich, die ebenfalls aus

Arbeitsblatt A 4 über die pseudoreduzierten Werte ppr und Tpr bestimmt werden kann:

M pr pr Mp T k p T T( , ) ( , ) ( ) (2.5.2)

2.6 Realgasfaktor von Gasgemischen

Bestimmung nach dem Theorem der übereinstimmenden Zustände

nach KATZ et.al. für Kohlenwasserstoffgemische

z z p TM M pr pr ( , ) (2.6.1)

s. hierzu Arbeitsblatt A 5

Für Gasgemische mit Anteilen von CO2 und N2 über 10 % nicht anwendbar.

im Bereich 0,1 MPa p 10 MPa und 10°C t 50°C gilt näherungsweise für

methanreiches Erdgas

zT T T

e pMpr pr pr

Tpr

pr

10 188 0 468 0 887

2 2

5, , , (2.6.2)

18

Für technische Gase und Gasgemische kann mit ausreichender Genauigkeit

die Beziehung nach REDLICH-KWONG benutzt werden:

z z z p B p B A A B p3 2 2 2 2 2 0 ( ) (2.6.3)

mit

A Ai ii

n

1

B Bi ii

n

1

Ap

T

Tici

ci

0 42782 5 0 5

,, ,

(2.6.4)

BT

p Tici

ci

0 0867,

(2.6.5)

Die Lösung der Gleichung (2.6.3) kann mit Hilfe des Newtonschen

Tangentenverfahrens erfolgen:

1

( )-

´( )

( ) ³ - ² - ( ² - ²) - ² ² .

ii i

i

f zz z

f z

f z z z z p B p B A A B p

2.7 Joule-Thomson-Effekt

Tritt bei der adiabaten isenthalpen Entspannung von Gasen auf.

2

Unter Benutzungder Zustandsgleichungfür realeGase

kannder differentielle Joule-Thomson-Koeffizient wie folgt

berechnet werden:

Dabei kann die partielle Ableitu

p

ph

pp

vT v

TT

p c

R T z

p c T

ng durch eine zentrale Differenz

( ,( ) ( ( )

2

mit einer TemperaturdifferenzΔT von0.01K

näherungsweise gebildet werden.

p

z p T T z p T Tz

T T

(2.7.1)

19

Berechnung der Temperaturabsenkung bei Entspannung

m mT (p ,T ) p (2.7.2)

Integraler Joule-Thomson-Effekt:

T p T dpp

p

o

( , )1

(2.7.3)

- Werte für Methan und Erdgas siehe Arbeitsblatt A 6

2.8 Wasserdampfgehalt

Die hier angegebenen Gleichungen beziehen sich auf den Wassergehalt je

Kubikmeter trockenen Gases im Normzustand.

Wasserdampfgehalt bei Sättigung:

xp T

p p Tin kg mn

s

s

0 804 3,( )

( )/ (2.8.1)

ps(T) - Sättigungsdampfdruck des Wassers (Sattdampf)

p - Gesamtdruck des feuchten Gases

Gleichung 2.8.1 gilt nur bis zu einem Gesamtdruck von ca. 1 MPA. Bei höheren

Drücken gibt es Abweichungen infolge :

Realgasverhalten

Abhängigkeit des Dampfdruckes vom Systemdruck

Lösungserscheinungen

Wasserdampfgehalt für methanreiche Erdgase siehe Arbeitsblatt A 7.

20

Index- und Symbolverzeichnis

Indizes in alphabetischer Reihenfolge

a - außen (nur in Verbindung mit geometrische Größen)

A - Anfang

B - Bohrlochsohle (Meßteufe)

c - kritisch

E - Ende

f - fördernde Sonde (nur in Kombination mit anderen Indizes)

G - Gebirge

h - hydrostatisch

i - innen (nur in Verbindung mit geometrischen Größen)

L - Lagerstättenlehre

m - Mittelwert

M - Gemisch

n - Normzustand (101,325 kPa; 0°C)

p - pseudo- (nur in Verbindung mit den Indizes c und r)

r - reduziert (nur bei Drücken und Temperaturen)

R - Ringraum (bei Drücken und Temperaturen; Sondenkopfbedingungen)

Reib - Reibung ( nur in Verbindung mit Reibungsdruckverlust)

s - statisch (nur in Verbindung mit anderen Indizes)

st - Standardzustand (101,325 kPa; 15°C)

St - Steigraum

Für alle Symbole, die mit dem Index o versehen sind, gilt wahlweise entweder der

Norm- oder der Standardzustand.

21

Symbole

Anmerkung:

Im allgemeinen gelten die hier genannten Symbole mit den entsprechenden SI-

Einheiten.

Ausnahmen:

Es werden Symbole verwendet, die unmittelbar in den einzelnen Unterpunkten

erläutert sind (z.B. die Konstanten A und B in Pkt. 2.6).

Es werden gesonderte Vereinbarungen über Einheiten getroffen, die vom SI

abweichen (meist mit Hilfe eines "Rechens").

Für die in diesem Symbolverzeichnis mit einem * gekennzeichneten Einheiten

werden im praktischen Fall allgemein Vorsätze verwendet!

Symbol Bezeichnung SI-Einheit

a Komplexvariable in Gl.1.5.5 m-1

c Kompressibilität Pa-1 *

c Konzentration (siehe Punkt 1.8)

cp spezifische Wärmekapazität J/(kg·K) *

d Durchmesser m

dv relative Gasdichte -

g Erdbeschleunigung m/s2

k Rauigkeit m *

l Länge m

m Masse kg

m Massenstrom kg/s

p Druck Pa *

p Reibungsdruckabfall, Druckdifferenz Pa *

r Radius m

ri Raumanteil m3 / m3

s Komplexvariable -

t Zeit s

t Temperatur °C

v spezifisches Volumen m3/kg

w Geschwindigkeit m/s

22

x Ortskoordinate m

z Realgasfaktor -

A Fläche m2

L Teufe, Länge m

M molare Masse (Molmasse) kg/mol*

Q Wärmestrom W

R spezielle Gaskonstante J/(kg ·K)*

Re Reynoldszahl -

T Temperatur K

V Volumen m3

V Volumenstrom m3/s

Wärmeübergangszahl W/(m2·K)

thermischer Ausdehnungskoeffizient K-1

dynamische Viskosität Pa·s

Rohrreibungsbeiwert -

Wärmeleitfähigkeit W/(m·K)

Joule-Thomson-Koeffizient K/Pa*

kinematische Viskosität m2/s

o Druckkoeffizient -

i Masseanteil kg/kg

Dichte kg/m3

Molanteil mol/mol

geothermischer Gradient K/m

Komplexvariable Pa2·s2·/m6

23

Anhang Die Umrechnung von Zahlenwerten bei einer gewünschten Änderung von Einheiten beliebiger physikalischer Größen. Vorbemerkung Physikalische Größen werden als Produkt von Zahlenwert und Einheit dargestellt.

EinheitZahlenwertGröße Die Größe ist immer unabhängig von der gewählten Einheit, sie ist einheiteninvariant. So kann beispielsweise eine bestimmte Geschwindigkeit durch die Wahl unterschiedlicher Einheiten durch verschiedene Zahlenwerte angegeben werden, wobei die Größe immer konstant bleibt:

s

mm

h

kmv 78,27

min7,1666100

(1 ) Wie das Beispiel zeigt, hängt der Zahlenwert immer von der gewählten Einheit ab. Wählt man eine n - mal kleinere Einheit, so vergrößert sich der Zahlenwert um den n - ten Teil und umgekehrt. Das Produkt aus der Zahlenwert und Einheit bleibt dabei konstant. Für die Umrechnung von Zahlenwerten bei einer gewünschten Einheitenänderung sind zweckmäßigerweise zwei Fälle zu unterscheiden - Umwandlung von Einheiten, die selbständig vorgegeben sind, - Umwandlung von Einheiten in einer vorgegebenen Gleichung. 1. Umwandlung von Einheiten, die selbständig vorgegeben sind Für die Umwandlung vorgegebener Einheiten in andere gewünschte Einheiten müssen naturgemäß die entsprechenden Umrechnungsbeziehungen (Einheitengleichungen) bekannt sein. Soll beispielsweise eine Kraft, die in der Einheit Megapond vorgegeben ist, in Kilonewton umgerechnet werden, so muss wenigstens folgende Einheitengleichung bekannt sein: 1 kp = 9,80665 N Daraus folgt 1 Mp = 9,80665 kN d.h., die vorgegebene Kraft in Megapond ist mit dem ( gerundeten ) Faktor 9,81 zu multiplizieren, um diese in der Einheit KiloNewton darzustellen. Eine solche Umwandlung ist einfach. Es gibt jedoch schon Schwierigkeiten bei zusammengesetzten Einheiten. So soll beispielsweise ein Druck, der in Kilopond je Quadratzentimeter vorgeben ist, in Newton je Quadratmeter umgewandelt werden.

24

Auch hier ist von den entsprechenden Einheitengleichungen auszugehen, wobei diese so anzugeben sind, dass auf der linken Seite der Gleichung die vorgegebene Einheit und auf der rechten Seite die gewünschte Einheit steht. Mit Hilfe dieser Einheitengleichung kann die Umrechnung problemlos vorgenommen werden:

2 4 2

42 4 2 2

1kp 9,80665 N

1cm 10 m

kp 9,80665N N1 9,80665 10

cm 10 m m

Für die praktische Rechnung sollte man sich folgende Regel merken, die leicht nachprüfbar ist: Soll die Druckeinheit Kilopond je Quadratzentimeter in Megapascal umgerechnet werden, so ist der zur vorgegebenen Einheit gehörige Zahlenwert durch 10,2 zu dividieren. Soll umgekehrt eine Umrechnung von MPa in kp/cm2 erfolgen, so ist der zur vorgegebenen Einheit MPa gehörige Zahlenwert mit 10,2 zu multiplizieren. 2. Umwandlung von Einheiten in einer vorgegebenen Gleichung Es besteht oft der Wunsch, die in einer Gleichung festgelegten Einheiten zu verändern, um damit gewisse Rechenvereinfachungen oder auch einheitliche Darstellungen in einer größeren Arbeit zu erreichen. Die Problematik soll zunächst an folgendem einfachen Beispiel klargemacht werden : In der Gleichung für die Kreisfläche

4

2dA

ist bei strenger Anwendung von SI - Einheit d2 in Quadratmetern einzusetzen. Es wird gewünscht, die Gleichung so umzustellen, dass d2 stets in der Einheit Quadratmillimeter eingesetzt werden kann, das Ergebnis A jedoch in Quadratmetern erhalten bleibt. Hierbei muss man sich zunächst folgende Frage stellen: Mit welchem Faktor ist die gewünschte Einheit zu multiplizieren, um die in einer Gleichung festgelegte Einheit zu erhalten? Ist dieser Faktor bestimmt worden, so kann dieser direkt in die vorgegebene Gleichung an der entsprechenden Stelle eingearbeitet werden. Die bei der Rechnung dann einzusetzenden Zahlenwerte müssen der gewünschten Einheit entsprechen. Der Umrechnungsfaktor ergibt sich aus dem Quotienten von gewünschter Einheit zu der in der Gleichung festgelegten Einheit.

25

gewünschteEinheitUmrechnungsfaktor x

festgelegteEinheit

Für das gewählte Beispiel ergibt sich demnach

2 6 26

2 2

mm 10 mx 10

m m

Die Gleichung lautet jetzt

26

26

10785,0

104

dA

dA

2

A d

m mm

Zu beachten ist, dass diese Gleichung nur vollständig ist, wenn gleichzeitig hierzu die Erläuterung über die zu verwendenden ( nicht kohärenten ) Einheiten gegeben wird. Das geschieht zweckmäßigerweise in form eines Rechens. Ein weiteres Beispiel soll diese Umrechnung verdeutlichen, Die Größengleichung für den hydrostatischen Druck einer Flüssigkeitssäule (Bodendruck bzw. Sohlendruck im Bohrloch) der Höhe L lautet: p L g

Die Gleichung soll nun so umgeformt werden, dass sich p in MPa ergibt, wobei die Dichte nicht in kg/m3, sondern in kg/dm3 eingesetzt werden soll. Es ergeben sich folgende Umrechnungsfaktoren:

33

3

2 26

6

10

1010

p

kg mx

dm kg

Pa m m MPax

N N

Daraus folgt:

6 310 9,81 10 p L

102

Lp

p

MPa

L

m 3/

kg dm

26

Die Ermittlung des Druckkoeffizienten und Umrechnungen Der Druckkoeffizient dient als Maß für die Beanspruchung des Gebirges an der Kontur einer Bohrung oder in der Lagerstätte infolge des hier herrschenden Fluiddruckes. Er wird definiert als Quotient aus dem in einer bestimmten Teufe L herrschenden Druck PB und dem hydrostatischen Druck einer Klarwassersäule in der gleichen Teufe

0

B

w

P

L g

oder

L

PB1020 0

Bp L

MPa m

Der Druckkoeffizient stimmt mit dem Zahlenwert des früher gebräuchlichen Druckgradienten (in at/10 m) überein. Weitere Umrechnungen s. nachstehende Tabelle.

gesucht

in gegeben

in

0 o.E.

bar/m

kPa/m

at/10 M

psi/ft

0 o.E. 1 9,81.10-2 9,81 1 4,335.10-1

bar/m 10,2 1 100 10,2 4,42

kPa/m 10,2.10-2 10-2 1 10,2.10-2 4,42.10-2

at/10 m 1 9,81.10-2 9,81 1 4,335.10-1

psi/ft

2,307 2,26.10-1 2,26.101 2,307 1

o. E. - ohne Einheit Berechnungsbeispiele

Berechnungsbeispiele

1 bar/m in 0 : 5

0 3

1010,2

1 10 9,81

1 psi/ft in 0 : 3

0 3

6,89473 10

0,3048.10 9,81

307,2