Κμαισήρες flap και piston typearion.naval.ntua.gr/~hydro/ergasiatsevas.pdf ·...
TRANSCRIPT
Κυματιστήρες flap και piston type
Αναλυτική Λφση
Κυματιστήρας flap type
−𝜕Φ
𝜕n=
𝜕Φ
𝜕x= θ t = 0 ∗ (z + d) =
−iω ∗ z + d , −d < z < 0 0, −h < z < −d
(για θ0 = 1)
όπου Φ x, z = (A0+eik0x+A0
−e−ik0x)∗ Z0 z + ,Ane−knx∞
𝑛=1 ∗ Zn z -
Ο όροσ A0−e−ik0x= 0, γιατί δε δθμιουργείται ανακλϊμενο κφμα
→ 𝜕Φ
𝜕xx, z = i k0A0e
ik0x ∗ Z0 z − ,knAne−knx
∞
n=1∗ Zn z -
→ 𝜕Φ
𝜕xx = 0, z = i k0A0 ∗ Z0 z − ,(knAn)
∞
𝑛=1∗ Zn z - (1)
όμωσ 𝜕Φ
𝜕xx = 0, z = f z =
<f z ,Zn z >
||Zn(z)||2
∞n=0 ∗ Zn z , (2)
όπου ||Zn||2 = *
cosh kn z+h
cosh knh+2dz =
1
2
0
−h
cosh knh ∗sinh knh +knh
kncosh2(knh)
Για n=0 από τισ (1),(2):
iA0k0 = −iω ∗ z + d ∗ cosh k0 z + h dz0
−d
cosh k0h ∗ ||Z0||2
→ A0 = −iω
ik0∗
⨂0
cosh k0h∗
1
||Z0||2
με ⨂0 = z + d ∗ cosh k0 z + h dz0
−d
=
= z ∗ cosh k0 z + h dz0
−d
+ d ∗ cosh k0 z + h dz0
−d
=
= z ∗sinh k0 z + h
k0
0
−d−
1
k0∗ sinh k0 z + h
0
−d
dz +
+ d ∗sinh k0 z + h
k0
0
−d=
= z ∗sinh k0 z + h
k0−cosh ,k0 z + h -
k02
0
−d+ d ∗
sinh k0 z + h
k0
0
−d
=d ∗ sinh (k0h)
k0−cosh k0h
k02 +
cosh,k0(h − d)-
k02
Άρα με αντικατάςταςθ ςτον παραπάνω τφπο υπολογίηεται ο όροσ A0
Για n≥1 από τισ (1),(2):
−Ankn = −iω ∗ z + d ∗ cos kn z + h dz0
−d
cos knh ∗ ||Zn||2
→ An =iω
kn∗
⨂n
cos knh∗
1
||Zn||2
με ⨂n = z + d ∗ cos kn z + h dz0
−d
=
= z ∗ cos kn z + h dz0
−d
+ d ∗ cos kn z + h dz0
−d
=
= z ∗sin kn z + h
kn
0
−d−
1
kn∗ sin kn z + h
0
−d
dz +
+ d ∗sin kn z + h
kn
0
−d=
= z ∗sin kn z + h
kn+cos ,kn z + h -
kn2
0
−d+ d ∗
sin kn z + h
kn
0
−d=
=d ∗ sin (knh)
kn+cos knh
kn2 −
cos,kn(h − d)-
kn2
Άρα με αντικατάςταςθ ςτον παραπάνω τφπο υπολογίηεται ο όροσ An
Για n≥1: knh → nπ, n → ∞
Π.χ. για n=1: x=kh≈ π → e−k1x = e−(k1h x
h) = e−(π∗
x
h)
• Για x=2h→ e−(π∗2h
h) = 0,0019
• Για x=3h→ e−(π∗3h
h) = 0,0001 κλπ
Άρα για μεγάλα x, δθλαδι μακρυά από τον κυματιςτιρα, οι όροι
αυτοί είναι αμελθτζοι, οπότε τελικά ,Ane−knx∞
𝑛=1 ∗ Zn z - = 0
Επομζνωσ τελικά προκφπτει ότι: Φ x, z = A0+eik0x ∗ Z0 z
Από Δ.Σ.Ε.Ε.: η x, z = 0 = −1
g
𝜕Φ
𝜕t= −
1
g∗ −iω ∗ Φ x, z = 0
→ η x, z = 0 = ηFAR =iω
g∗ A0
+eik0x (για θ0 = 1)
Άρα τελικά το πλάτοσ τθσ ανφψωςθσ τθσ Ε.Ε. είναι:
H
2=ω
g∗ A0 ∗ θ0 →
H= 4θ0 sinh k0h ∗sinh k0h
d
k0−sinh k0h
k02 +cosh k0h ,−
1
k02+
cosh k0h
k02 -
1
2,sinh 2k0h +2k0h-
Κυματιστήρας piston type
−𝜕Φ
𝜕n=
𝜕Φ
𝜕x= x t = 0 = −iω για 𝑥0 = 1 , −ℎ < 𝑧 < 0
όπου Φ x, z = (A0+eik0x+A0
−e−ik0x)∗ Z0 z + ,Ane−knx∞
𝑛=1 ∗ Zn z -
Ο όροσ A0−e−ik0x= 0, γιατί δε δθμιουργείται ανακλϊμενο κφμα
→ 𝜕Φ
𝜕xx, z = i k0A0e
ik0x ∗ Z0 z − ,knAne−knx
∞
n=1∗ Zn z -
→ 𝜕Φ
𝜕xx = 0, z = i k0A0 ∗ Z0 z − ,(knAn)
∞
𝑛=1∗ Zn z - (1)
όμωσ 𝜕Φ
𝜕xx = 0, z = f z =
<f z ,Zn z >
||Zn(z)||2
∞n=0 ∗ Zn z , (2)
όπου ||Zn||2 = *
cosh kn z+h
cosh knh+2dz =
1
2
0
−h
cosh knh ∗sinh knh +knh
kncosh2(knh)
Για n=0 από τισ (1),(2):
iA0k0 = −iω ∗ cosh k0 z + h dz0
−h
cosh k0h ∗ ||Z0||2
→ A0 = −iω
ik0∗
sinh (k0h)
k0 ∗ cosh k0h∗
1
||Z0||2
→ A0 = −2 ∗ω
k0∗
sinh k0h ∗ cosh (k0h)
sinh k0h ∗ cosh k0h + k0h
Για n≥1 από τισ (1),(2):
−Ankn = −iω ∗ cos kn z + h dz0
−h
cos knh ∗ ||Zn||2
→ An =iω
kn∗
sin(knh)
kn ∗ cos knh∗
1
||Zn||2
→ An = 2 ∗iω
kn∗
sin knh ∗ cos(knh)
sin knh ∗ cos knh + knh
Όμοια με τον κυματιςτιρα flap type για μεγάλα x, δθλαδι μακρυά από τον κυματιςτιρα, οι όροι για τα κφματα με n≥1 είναι αμελθτζοι, οπότε τελικά ,Ane
−knx∞𝑛=1 ∗ Zn z - = 0
Επομζνωσ τελικά προκφπτει ότι: Φ x, z = A0+eik0x ∗ Z0 z
Από Δ.Σ.Ε.Ε.: η x, z = 0 = −1
g
𝜕Φ
𝜕t= −
1
g∗ −iω ∗ Φ x, z = 0
→ η x, z = 0 = ηFAR =iω
g∗ A0
+eik0x (για θ0 = 1)
Άρα τελικά το πλάτοσ τθσ ανφψωςθσ τθσ Ε.Ε. είναι:
H
2=ω
g∗ A0 ∗ θ0 →
→ H = 2 ∗ x0 ∗cosh 2k0h − 1
sinh 2k0h + 2k0h
Piston type
Ζςτω διζγερςθ S ςτουσ κυματιςτιρεσ. Όγκοσ εκτοπιηόμενου νεροφ από τον κυματιςτιρα = όγκοσ κορυφογραμμισ διαδιδόμενου κφματοσ.
Sh = H
2sin kx dx →
λ/2
0
→ Sh =H
k→H
S= kh
Flap type
Sh
2=
H
2sin kx dx →
λ/2
0
→Sh
2=H
k →
H
S=kh
2
Ζτςι ςχθματίηεται το ακόλουκο διάγραμμα για τουσ δφο κυματιςτιρεσ.
Στο ςχιμα που ακολουκεί φαίνεται το διάγραμμα τθσ δφναμθσ P που απαιτείται για τθν ενεργοποίθςθ κυματιςμϊν και του όρου k0h και για τουσ δφο κυματιςτιρεσ.
Από τα δφο παραπάνω ςχιματα παρατθροφνται τα εξισ:
1. Σε ρθχό νερό, δθλαδι για k0h <π
10 , για τθ δθμιουργία φψουσ
κφματοσ H ο κυματιςτιρασ flap χρειάηεται διπλάςιο βάκοσ πυκμζνα h από τον κυματιςτιρα piston, ενϊ θ απαιτοφμενθ δφναμθ P δε διαφζρει ιδιαίτερα για τουσ δφο κυματιςτιρεσ.
2. Σε ενδιάμεςο και βακφ νερό, δθλαδι για k0h >π
10 , για τθ
δθμιουργία φψουσ κφματοσ H ο κυματιςτιρασ flap χρειάηεται μεγαλφτερο βάκοσ πυκμζνα h από τον κυματιςτιρα piston, όμωσ ο κυματιςτιρασ flap απαιτεί αρκετά μικρότερθ δφναμθ P.
Συμπζραςμα: Για τθ δθμιουργία κυματιςμοφ ίδιου φψουσ ςε ρθχό, ενδιάμεςο και βακφ νερό, ιδανικότεροσ είναι ο κυματιςτιρασ Piston ςε ρθχό νερό, ενϊ ςε ενδιάμεςο και βακφ νερό κατάλλθλοσ είναι ο κυματιςτιρασ Flap.