基底と次元基底と次元

第第99、、1010回回部分空間の基底と次元部分空間の基底と次元

基底とは基底とは??

線形空間を格子状に“番地付けするものであ線形空間を格子状に“番地付けするものであるる

( )nRR ⊂2

O

1br2b

r

格子を生成する元の組

1br

2br

＜ >

1br

// 2br

1br

と 2br

は1次独立

•格子の取り方は無数にある•基底を構成する元の数は常に２こ

基底を構成する元の数

１．Oから格子点へのベクトルx

は整数mlbmblx ,,21

rrr+=

2．Oから任意の点へのベクトルx

は実数212211 ,, xxbxbxxrrr

+=

形式的に

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=

2

1212211 x

xbbbxbxxrrrrr

2R 2個

線形独立なベクトルの最大数

に関する座標というを基底 212

1 bbxx rr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

基底と座標の関係基底と座標の関係

通常のxy座標

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=

2

1212211 x

xeeexexx rrrrr

基底座標

※ 基底を決めれば座標はそれに応じて一意に決まる※ 同じ点でも基底の取り方を変えれば、それに応じて

座標も変わる

xxyy 座標系で（１，２）という点座標系で（１，２）という点

21 ee rr基底：

y

x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛42

5.05.0 21 に対する座標は基底 ee rr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21

21 に対する座標は基底 ee rr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21

10

01

10

201

121

21 5.05.0 ee rr基底：

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛42

5.00

05.0

5.00

405.0

221

xxyy 座標系で（１，２）という点座標系で（１，２）という点

221 eee rrr+基底： y

x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

11

221 に対する座標は基底 eee rrr

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

10

11

10

111

121

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

111

基底：⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

111

21

21 cc

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

−==

⇔=−=+

⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

21

2

23

1

21

2121 2

11

111

21

cc

cccc

cc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

21

23

11

11

に対する座標は基底：

xxyy 座標系で座標系でPP（１，２）という点（１，２）という点の座標を求めよに対する基底：問 P 1 12 ee rr

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−1

212 に対する座標は基底 ee rr

⎩⎨⎧

−==

⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

201

10

21

2

1

1

221 x

xxx

xx

の座標を求めよに対する点基底：問 P11

11

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎩⎨⎧

⎩⎨⎧

==

⇔=+=−

⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

21

2

23

1

21

2121 2

111

11

21

cc

cccc

cc

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

21

23

11

11

に対する座標は基底：

y

x

P

基底基底nn個のベクトルの組が次の性質を持つとき、個のベクトルの組が次の性質を持つとき、ベクトル空間の基底（ベクトル空間の基底（base)base)であるという。であるという。

riir bbbb 121 }{,,, =≡

rrL

rr

( )( )

( )

を張っているというは空間このことを

つまり、

の一次結合で表せるのベクトルが

次独立であるが互いに

Vb

riRcbcbbbbV

bVb

ba

rii

i

r

iiir

rii

rii

rii

1

1211

1

1

}{

1,,,,}{

}{

1}{

=

==

=

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤∈=≡= ∑

r

rrL

rrr

r

r

Vの任意のベクトルがこのr個のベクトルの1次結合で一意に表されれば、r個のベクトルは基底となる つまり格子を生成する上で必要なものが全て揃っている

基底について基底について

明らかに明らかに11次独立なベクトルの組がみな基底次独立なベクトルの組がみな基底

になれるわけではありませんになれるわけではありません

例えば，例えば，33次元ベクトル空間での次元ベクトル空間での２つの２つのベクトルの組ベクトルの組 {{ii, , jj} } を考えてみましょを考えてみましょうう

{{ii, , jj} } はは11次独立ですがどんな実数次独立ですがどんな実数 a,ba,bを用を用いてもいても kk==aaii+b+bjj は不可能です．は不可能です．

ij

k

基底かどうかの判定基底かどうかの判定

の基底ではないは 3

010

001

R⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

( )ない軸方向を番地付けできが不成立 z (b)Q

x

y

zこの点を表すことができない

の基底には3つの1次独立なベクトルが必要3R

基底かどうかの判定基底かどうかの判定

一次独立か一次独立か??VVのすべての点をのすべての点を11次結合で表せるか次結合で表せるか??

基底か基底でないか基底か基底でないか

( ) 次独立は1100

010

001

1. 321 eee rrr

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

次独立は． 1101

110

011

2⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

次従属は1101

110

011

.3⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

の基底である3R

の基底である3R

の基底ではない3R

基底か基底でないか基底か基底でないか

( ){ }3,2,1.1 3322113 =∈++= iRxexexexR i

rrr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧∈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= RxxxxxxR 321321

3 ,,101

110

011

.2

33．について．について

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

101

110

011

.3

になるのある部分空間の基底つのベクトルを選ぶとどれか

つのベクトルのうち、の基底ではないが、は3

3

23

RR

が不成立　　

とできるので

)(

0101

110

011

a

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛Q

も成り立たない実際には、 )(b

( )内の平面

任意定数

330

:,11

1,,

101

110

011

RRzyxzyx

V

kkzyx

RzyxzyxV

⊂⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=+−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⇔

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧∈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

問題問題

次のベクトルの組は基底となるか調べよ次のベクトルの組は基底となるか調べよ

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

321

210

111

1.⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100

210

111

2.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

101

111

100

210

3.⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

111

100

4.

試験日程試験日程

77月月2222日日((金）金）33限（１３：００～限（１３：００～14:14:３３00））

基底の個数基底の個数

の基底は一意ではない3R

個の場合は、

ても等しい数はどのセットについ基底を構成する元の個

33R

大個数を表している次独立なベクトルの最その空間での1

原点と基底で作られる図形は原点と基底で作られる図形は??

：1R

：2R

：3R

線分

三角形

四面体

（基底の個数＋１）=頂点の個数

次元次元

VVの基底を構成するベクトルの個数がの基底を構成するベクトルの個数がrrであるである

rrは基底の取り方によらず、定まる。は基底の取り方によらず、定まる。

このこのrrのことをのことをVVの次元というの次元という

dimVdimV = r= rで表すで表す

zerozeroベクトルの次元はベクトルの次元は0 0 { } 00dim =r

次元についての基本事項次元についての基本事項

nRRRR

n =

===

dim,3dim,2dim,1dim 321 L

W3の部分空間R

{ }0W0imWr

=⇒=d原点を通る直線W1imW ⇒=d原点を通る平面W2imW ⇒=d

33imW RWd =⇒=

和と積空間の次元定理和と積空間の次元定理

( ) ( )WUWUWU Idimdimdimdim −+=+

( )のとき直和特に、 WUWU ⊕=+

( ) WUWU dimdimdim +=+

例例

UWUWWUWUd

==+==

I,2dim

1imWU

( ) 2dimdim ==+ WWU

( )( ) 213dimdimdim

1dimdim21dimdim

=−=−+⇒⎭⎬⎫

==+=+

WUWUUWU

WU

I

I

直行する直線の次元定理直行する直線の次元定理

dimUdimU=1,dimW=1=1,dimW=1U+W=U + WU+W=U + Wdim(U+Wdim(U+W)=2, )=2, dim(U+Wdim(U+W)=)=dimU+dimWdimU+dimW

交わる平面の次元定理交わる平面の次元定理

( ) ( ) 1dim,3dim2dim2im

==+==

WUWUWUd

I

( )( ) 314dimdimdim

1dim422dimdim

=−=−+⇒⎭⎬⎫

==+=+

WUWUWU

WU

I

I

教科書P31問題２：U＝xy平面、W＝ｙｚ平面、U+W＝ｘｙｚ空間、U∩W=y軸dimU=2,dimW=2 dim(U+W)=3, dim U∩W=1

例例

WbWbzyxzyx

W ∈⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=∈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

01

1,

101

,0 21

rr

( ) ( ) 21

01

1

101

00

bybyxyyx

yy

yx

yx

yxyx

zyx

rr−+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

11次独立か次独立か

⎩⎨⎧

==

∴

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

00

000

01

1

101

2

1

1

2

21

21

cc

cc

cccc

02211

rrr=+ bcbc とおく

よって一次独立

基底であり、次元基底であり、次元dimdimWWはは

WWの任意のベクトルはの任意のベクトルはWWのの22個のベクトル個のベクトルのの11次結合で表され、次結合で表され、

はは11次独立であるから基底次独立であるから基底

基底の個数は基底の個数は22であるからであるから dimWdimW=2=2

21, bbrr

21, bbrr

GramGram--SchmidtSchmidtの直交化法の直交化法

11次独立なベクトル次独立なベクトル

正規直交系を作り出すこと正規直交系を作り出すこと

正規直交系とは正規直交系とは

ベクトルのノルムが１ベクトルのノルムが１

どのどの22つのベクトルも直交しているつのベクトルも直交している

直交系なら線形独立直交系なら線形独立

( ) が、互いに直交すれば、

それらは線形独立

kxxx rL

rr ,,, 21 0≠

正規直交基底正規直交基底

グラムグラム==シュミットの直交化法シュミットの直交化法

幾何学的意味幾何学的意味

幾何学的意味幾何学的意味

つまり

線形空間線形空間

命題の証明命題の証明

練習問題練習問題

の正規直交基底を作れから 3

101

110

011

R⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

011

21,

.011

,110

,011

1

111

321

aaua

aaa

r

rrr

rrr

を正規化して

とする

( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

′′

=′

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

−=′

′

211

61

211

21

011

21

110

011

21

011

21110

110

|

2

222

11222

221

aaua

uuaaaaau

r

rrr

rrrrr

rrr

を正規化して、

）、正規化する。から作り（に直交するベクトルを

練習問題解答続き練習問題解答続き

( ) ( )

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

′′

=′

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

−−=′

′

11

1

31

11

1

32

44

4

61

211

61

63

3

61

211

61

011

21

101

211

61

211

61101

011

21

011

21101

101

||,

3

333

22311333

3321

aaua

uuauuaaaaauu

r

rrr

rrrrrrrr

rrrr

を正規化して、

）、正規化する。から作り（に直交するベクトルを

練習問題解答続き練習問題解答続き

問題問題

の正規直交基底を作れから 2

21

11

R⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

の正規直交基底を作れから 3

111

010

001

R⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

問題問題