Випуск 314-315 Математикаlibrary.chnu.edu.ua/.../visnyk_chnu_2006_0314_0315.pdf ·...

О і

№

ЧЕРНІВЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ

со

Рік заснування 1996

Випуск 314-315

МатематикаЗбірник наукових праць

ІП Е Г Е К Н О 2011)

Чернівці ‘ ‘Р у т а "

2006

Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наук, праць. Вип. 314 - 315. Математика. - Чернівці: Рута, 2006. - 188 с.

Naukovy Visnyk Chernivetskogo Universitetu: Zbirnyk Naukovyh Prats. Vyp. ЗЦ - 315. Matematyka. - Chernivtsi: Ruta, 2006. - 188 p.

До збірника увійшли статті з таких розділів: теорія функцій дійсної і комплексної змінної, диференціально-операторні рівняння, інтегродиференціальні рівняння, звичайні диференціальні рівняння і рівняння з частинними похідними, теорія груп, функціональний аналіз.

The collection includes articles on such sections: theory of real and complex functions, differential-operator equations, integral differential equations, ordinary and partial differential equations, group theory, functional analysis.

Редколегія випуску:Городецький В .В ., доктор фіз.-мат. наук, професор (науковий редактор);Матійчук М .І., доктор фіз.-мат. наук, професор;Маслюченко В .К ., доктор фіз.-мат. наук, професор;Петришин Р.І., доктор фіз.-мат. наук, професор;Сопронюк Ф.О., доктор фіз.-мат. наук, професор;Ясинський В .К ., доктор фіз.-мат. наук, професор;Романенко Н .В. (відповідальний секретар).

Свідоцтво Міністерства України у справах преси та інформації № 2158 серія КВ від 21.08.1996

Загальнодержавне видання

Збірник входить до переліку наукових видань В А К України Друкується за ухвалою Вченої ради Чернівецького національного

університету імені Ю рія Федьковича

Адреса редакції: 58012 м.Чернівці, вул. Університетська, 28, тел. 58-48-70

©Чернівецький національний університет, 2006

Свідоцтво про державну реєстрацію ДК №891 від 08.04.2002р.

Підписано до друку 14.11.2006. Формат 60 х 84/16. ( ^Папір офсетний. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 20,6. І\ ^ '

Обл.-вид. арк. 22,1. Зам. 93-п. Тираж 100.Друкарня видавництва “Рута” Чернівецького національного університету

58012, Чернівці, вул. Коцюбинського, 2

ЗМІСТБалабушенко Т.М ., Івасишен С .Д ., Лавренчук В .П., Мельничук Л .М . Задача Коші для деяких параболічних рівнянь з оператором Бесселя і зростаючими коефіцієнтами 7

Бігун Я.Й. Про усереднення в багаточастотних крайових задачах із постійним запізненням ................................................................................................................................................................ 17

Вітюк О.Н., Голушков О.В. Початкова задача для одного класу диференціальних рівнянь дробового порядку ................................................................................................................................ 22

Городецький В .В ., Ш евчук Н .М . Задача Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання ................................................................................... 28

Готинчан Т.І. Про існування області, в якій зберігаються оцінки на дійсній осі деяких цілих функцій ........................................................................................................................................... 36

Гринців Н .М . Розв’язність оберненої задачі для виродженого параболічногорівняння в області з вільною межею ............................................................................................................40

Долинюк М .М ., Скасків О. Б. Про правильне зростання деяких додатнихфункціональних рядів ...........................................................................................................................................50

оДрінь С. С. Оператор узагальненого зсуву аргументу в просторах типу С ...........................59

Заводя М .В ., Сікора B .C ., Сущансъкий В.І. Системи твірних метазнакозміннихгруп скінченного рангу ............................................................................................. 64

Звоздецький Т.І., Лінчук С.С. Одне зображення лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій ............................................................................................73

Карлова О. О. Нарізно неперервні а-дискретні відображення ........................................................77

Керекеша Д .П . Конструктивний розв’язок одного класу операторних рівнянь із застосуваннями ....................................................................................................................................................80

Клевчук 1.1. Застосування методу усереднення до дослідження періодичних розв’язків та стійкості диференціально-різницевих рівнянь ...................................................................................85

Ковдриш В. В. Ширина членів нижнього центрального ряду групи верхніх унітрикутних матриць над комутативним кільцем з одиницею ....................................................91

Кожан Р.В. Про непрерервність відповідностей ймовірнісних мір в категоріїцілком регулярних просторів .............................................................................................. 94

Коркуна О. 6 ., Лавренюк С. П. Про деякі властивості розв’язку мішаноїзадачі для нелінійного 2Ь-параболічного рівняння .............................................................................100

Ленюк М .П ., Мороз В .В . Побудова скінченного гібридного інтегрального перетворення при наявності спектрального параметру в крайових умовах та умовах спряження . . . 105

Лінчук Н. Є. Інваріантні підпростори степеня оператора інтегрування в базових підпросторах простору аналітичних функцій ....................................................................................... 114

Мартинюк О. В. Еволюційні рівняння вищого порядку по tз оператором диференціювання-Бесселя ..................................................................................................118

Маслюченко В .К ., Філіпчук О. І. До питання про точки розриву А^с-функцій на неперервних к р и в и х .................................................... 122

Науковий вісник Чернівецького університету. 2006. Випуск 314-315. Математика.

Матвій О .В ., Черевко І.М . Про апроксимацію систем лінійних диференціально-функціональних рівнянь ...................................................................................................................................125

Маценко В.Г. Аналіз математичної моделі відбору в екосистемахз віковою структурою .........................................................................................................................................129

Мироник В.І. Періодична задача Коші для одного класу еволюційних рівнянь ................134

Процах Н. П. Задача для нелінійного гіперболічного рівняння третього порядку в необмеженій за просторовими змінними області ............................................................................ 143

Пукалъсъкий І.Д . Нелокальна задача Діріхле та задача оптимального керуваннядля лінійних параболічних рівнянь з виродж енням..........................................................................150

Пукач П .Я. Мішана задача для одного нелінійного рівняння типу коливань балки в необмеженій області ........................................................................................................................................ 159

Сніжко Н.В. Про критерій компактності в узагальнених просторах Гельдера ................... 171

Стасюк 1.3. Оператори одночасного продовження псевдометрик, заданих на опуклих тілах в евклідовому просторі ..................................................................................................... 175

Шарай Н .В ., Самкова Г.Є. Асимптотика розв’язків деяких напів’явнихсистем диференціальних р ів н я н ь................................................................................................................. 181

4 Науковий вісник Чернівецького університету. 2006. Випуск 314-315. Математика.

CONTENTSBalabushenko T .M ., Ivasyshen S.D ., Lavrenchuk V.P., Melnichuk L .M . Cauchy problem for some parabolic equations with Bessel operator and increasing coefficients .............................. 7

Bigun Ya.J. On'averaging in multifrequency boundary value problems with constant delay 17

Vitjuk O.N., Golushkov О. V. Initial problem for the one class of differential equations of fraction order ..........................................................................................................................................................22

Gorodetsky V. V., Shevchuk N.M . Cauchy problem for evolutionary equationswith operators of generalized differentiation ................................................................................................. 28

Gotinchan T.I. On existence of the domain, on which estimations of some entire functions are hold out on the real axis ................................................................................................................................ 36

Grinziv N.M . Solvability of the inverse problem for the singular parabolic equationin the domain with free boundary .................................................................................................................... 40

Dolinjuk M .M ., Skaskiv O.B. On right increasing of some positive functional series ................50• o

Drin S. S. Operator of generalized shift of the argument on spaces of type C ............................ 59

Zavodja M .V ., Sikora V.S., Suscanskii V.I. Generators systems of metaalternating groups of the finite rank ........................................................................................................................................................64

Zvozdetsky T .I., Linchuk S. S. One representation of linear continuous operators,which operate on spaces of analytical functions ...................................................... 73

Karlova 0 . 0 . Separately continouos ст-discrete representations ..........................................................77

Kerekesha D.P. Construction solution of the one class of operator equationwith applications ........................................................................................................................................................80

Klevchuk 1.1. Application of the averaging method to the investigation ofperiodical solutions and stability of differential-difference equations ................................................85

Kovdrysh V. V. Terms width of lower central series of the group of upperunitriangular matrixes on commutative ring with the one .................................................................... 91

Kozhan R. V. On continuity of comformities of probabilistic measures in the category of whole regularly spaces ....................................................................................................................................... 94

Korkuna O .Ye., Lavrenyuk S. P. On some properties of the solution of mixed problemfor the nonlinear 26-parabolic equation ........................................................................................................ 100

Lenyuk M .P ., Moroz V.V. Construction of the finite hybrid integral transformationwith spectral parameter on edge conditions and conjugation conditions ..................................... 105

Linchuk N. Ye. Invariant subspaces of the degree of integration operatoron reference subspaces of the space of analytical functions ................................................................ 114

Martinyuk О. V. Evolutionary equations of the higher order on twith Bessel differentiation operator ................................................................................................................118

Maslyuchenko V .K ., Filipchuk O.I. On points of discontinuity of /c^c-functionson continuous curves ............................................................................................................................................. 122

Matvij О. V., Cherevko I.M . On approximation of systems oflinear functional differential equations .......................................................................................................... 125

Науковий вісник Чернівецького університету. 2006. Випуск 314-315. Математика. 5

Mazenko V. G. Analysis of the mathematical model of the selection in ecosystemswith age structure ................................................................................................................................................... 129

Myronyk V.I. Periodic Cauchy problem for one class of evolutionary equations ......................134

Protsah N.P. Problem for non-linear hyperbolic equation of the third orderin the non-finite on space variables domain ...............................................................................................143

Pukalskij I.D. Nonlocal Dirichlet problem and optimal control problemfor linear parabolic equations with degeneration .....................................................................................150

Pukach P. Ya. Mixed problem for one nonlinear equation of the beam oscillations type on the non-finite domain .....................................................................................................................................159

Snizhko N. V. On the criterion of compactness on the Holder generalized spaces ....................171

Stasyuk I.Z. Operators of simultaneous continuation of pseudometrics,which are given on the convex body on euclidean space ......................................................................175

Sharaj N .V ., Samkova G .Ye. Asymptotic of solutions of some semi-evidentdifferential equations systems ............................................................................................................................181

6 Науковий вісник Чернівецького університету. 2006. Випуск 314-315. Математика.

УДК 517.956.4

© 2006 р. Т.М.Балабушенко, С.Д.Івасишен, В.П.Лавренчук, JI.M. Me л ьничу к

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці

З А Д А Ч А КОШ І Д Л Я Д Е Я К И Х П АРАБО ЛІЧ Н И Х РІВН ЯН Ь З ОПЕРАТОРОМ Б Е С С Е Л Я І ЗРОСТАЮ ЧИ М И КОЕФІЦІЄНТАМИ

Доведені теореми про розв’язність у спеціальних вагових Д-проеторах задачі Коші для одного класу параболічних рівнянь зі зростаючими за змінною x є R" при |ж| — коефіцієнтами та оператором Бесселя за змінною t є R .

Theorems on a resolvability in spécial weight Lp-spaces of the Cauchy problem for one class of parabolic équations with growing coefficients on a variable x є R" as |x| —> and with Bessel operator on a variable y є R are proved.

У попередній статті [1] для деяких пара- t > 0 , X є Rn+1,болічних рівнянь другого порядку з опера- x _ (x ) x — (x x ) ^ Rтором Бесселя і зростаючими коефіцієнтами ,Д’Є ™~ (x, y) ,m х = (Хі , - - - ,Хп)

- „ . „ , y Є R; a ц Є R, причому матриця A =побудований та досліджений фундаменталь- ;„ , . т, /лчКот/\ лг •- ( a j l ) j l= 1 симетрична и додатно визначена:нии розв язок задачі Коші (Ф гЗ К ). У даній , J А’1- 1 Г1 і іbj, і є {1 , . . . , и \ , - неперервно диферен-

статті означаються сім і спеціальних бана- .„ . , - тп і/ ■ іTk(ta) . т k(t а) р ті Щиовні функцн в КД bj - похідна від b j ;хових просторів LA і Lv . t Є \0, t І, „ п2 , ґґп , J _Г1 -, , . B y = о2. + ( (2v + 1)/y ) ov оператор Бесселя,p є [1, функцій, як і швидко зростають yз ростом просторових змінних. Належністю v > 0, y > 0; Rn+1 = {X є Rn+1 y > 0}.до цих просторів характеризується еволюція у праці [1] знайдені явні формули дляв часі t розв’язк ів розглядуваних рівнянь. ФРЗК G і Z відповідно для рівнянь (1) і

k(t a)Коші для рівнянь з [1] у просторах іl k (t’a )P , t є [0 , T ], p є [1, то]. Аналогічні ТЄО- X; т, Е)| - CklmrP(t — r ) xреми для випадку и = 1 доведені в праці [2] одного з авторів.

п

x ( a ( t - T ) ) - ( \k\+\m\')/2( t - T ) - ( l+r)/2Ê ( t - т , X, Е) x

x Ê Ê1 c 2 (t — т, X, Е), t > т, {X, Е} С R++1,

{k,m} С Z+, { l , r } c Z+, (3)1. Розглянемо рівняння

n \'Ю " vj c ^+dtU( t , X ) = aj i dXjdxiu( t , X )+ в яких Е = (£,n), a ( t ) = 1 — e -2t , /3(t) =

J ’l =1 ( a ( t ) ) - n/2t - v - 1 ,

+ £ ô Xj (xju( t , X )) + Byu ( t , X ), (1) E ( t , X , E) = exp{—c 1 lx — e - t ^ /a( t ) —

J - 1 —c : ( y — y ) 2/t},

d t v ( t , X ) = Y ^ [ d j + 2b j (xj ) ô x . + Eci c ( t , X , E) = exp {—C1|x — e ^ /a( t ) }x

xTv [exP{—C:y2/t}],3 = 1

+ ( ~ - 4 + 3 x 3 + 3 X ) ) )'и (і >Х )+ВуУЦ,Х ), С1 > 0 С 1 > 0 с 2 е (о, 1/А), С2 = 4 - С2, 4 ' у туп оператор узагальненого зсуву, власти-

(2) ^^^^і якого ^^^^^^^ені в [3]. Д ля функції Z

Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер си т ет у. 2006. В и п у ск 314-315. М атематика. 7

правильна формулаП

г {г ,Х ; т, - ) = е х р ^ (—р ( х ) + р {Сі) + 3=1

+ (Хі — С3)/ 4 )} Є (і,Х ; т, ^ ) ,

і > т , {X, Е }С Е++1, (4)

д е Є ФРЗК для рівняння (1), в якому а3І = 3 {3,1} Р {1, ■ ■ ■ ,п} ( 3 - символ Кро- некера), Ру - первісна функції Ьу.

Наведемо означення потрібних норм і просторів.

і/рЫ х , у)\ру 21'+1 Л,хё,у

-ьп + 1

Позначимо через Ь^(*’а) і Ь- к{Ь,а)’Р р просто

ри всіх вимірних за Лебегом комплексно- значних функцій у (Х ), X Є К++1, для яких скінченні відповідно норми |М|р(*’а) іМ і Р “,'р

Нехай В - а-алгебра борельових множин півпростору Е++1, а М — сукупність усіх злі- ченно адитивних функцій V В ^ С (узагальнених борельових мір), я к і мають скін-

Нехай а ь а 2 і Т фіксовані числ сщо ченну повну вар іацію \и\(Е++1 . Якщо для Vаз > 0 у Є {1, 2} 0 < Т < шіп( 2 1п ^ , 02) П = (0 ,Т ] х Е++1;

а2 '

к і ( і , а і ) =в і а ї в

с 1 — а 1 в 2і а ( і ) к2 ( і , а 2) =с 2а 2

ввести норму за формулою |ф|| = V\(Е++1), то М стане банаховим простором, який мож на ототожнити з простором, спряженим до простору Со(К++1) усіх таких неперервних

с2 — а2 функцій р (Х ), X Є Е++1, що \р(Х)\ ^ 0

Фг (І ,Х ) = ехр{г(к1( ( ,а 1) іх \2 + к2 ( і , а 2)у2)}, Ж І Х ' " 3 рівномірною " ормою' Через4 ' 4 4 У| 1 4 ^ л М к( ’а) позначимо сукупність усіх узагаль-г Є { — 1 , 1} ,і > 0 , Х Є Е++1 ■ (5) нених борельових мір у : В ^ С таких, що

Нехай п ( і , Х ), ( і ,Х ) Є П, - задана ком- ФункФя плекснозначна функція, вимірна за Лебегом при кожному і Є [0 ,Т ]. Д ля і Є [0 ,Т ] і 1 0 Р < ж означимо норми

V (А) Ф_1(0 ,Х )ф ( Х ), А ЄВп+ 1 ,А

|п(і, - іи р ^ = || п (£, .)Ф_1 (і, •) ІТР(К++1:А)М

довільної у Є М к(0’а)

\п ( і , ОІІрк(і,а)’Р —

х ехр Рз (хз ) —.3=1

\ Х\4

п( і , Х ) х

Ф_ 1 ( і , Х )ЫК++1.

де к (і, а) = (к1 0 , а 1) ,к 2 0 , а 2)), Ьр(Е++1,А) - Ьр-простір функцій р: Е++1 ^ С відносно

А

,2 +1dxdy■А(А) = уА

Зауважимо при цьому, що для 1 < р < ж

1/р

(6)

Ар(К++\А) = \р(Х )\р dА(X)зп+1+

А)

к(0’а) = / ф_1 (0 , Х^\у \(Х ) < ж -

Використовуватимемо ще так і простори: М к(0,а,,р - сукупність усіх узагальнених

борельових мір у : В ^ С таких, що

к(0,а)’Р — ехрп і

^ Рз (хз ) — Х2

К++1/ у -1 3\ 3

.3 = 1 4X

хФ _1(0 ,Х ^ \ у\ (Х ) < ж ;т_к(Т,а) . т_к(Т,а)’_Р Ь 1 Ь 1

мірних за Лебегом комплекснозначних функцій п ( Х ), Х Є К++1, для яких скінченні відповідно норми

-к<Т-а> = ІІп(Х )Ф1(Т ,Х )||Т1(К++1’А)

Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер сит ет у . 2006. В и п у ск 314-315. Математика.

К+2

П(Х )ехр <{ — X Рз (хз ) +3=1

|х|х

= п п/2 (а( і )/С г)п/2впі ,

ехр{—С \ l x - e - і у І"2/а( і ) }дх = п п/2 ( а ( і ) / С 1 )п/2 ,

х Ф\ (Т , Х )Ьі( ї" + ! А)

К'і-к(Т,а) ■ /~і—к(Т,а), — РС0 і С0 - простори неперервних комплекснозначних функцій п ( Х ), X Є Ш++1, таких, що при ІХ| ^ то відповідноФ і ( Т , Х ) І п ( Х ) Н о і

ту [ехр{—С2У2 /і}]ц2и+1дц

ТУ [ехр {—С 2гп2/і}] п 2и+1дп

ехМ — X I Р3 (х3) +3=1

ІХІ23\ 3> + А~ Ф і ( Т , Х ) І п ( Х ) І ^ 0.

Зауважимо, що функції (5) мають такі властивості:

кз (і — т,кз (т , а )) = к з ( і , а з ) , ї Є {1 , 2}, (7)

Е( і — т, Х, Е)Фі ( г , Б) < Ф і ( і , Х ), (8 )

0 < т < і < Т, {Х, Б } с Е++1.

Рівності (7) перевіряються безпосередньо, доведення (8) зводиться до доведення нерівностей

( х е - ( і -т )У )2с 1 ------- д ------+ к 1 (т,а 1 ) у 2 < к 1 ( і , а 1 )х2,

а ( і — т)

С2^ — — + к2 (т, а 2) у 2 < к2 (і, а 2) у 2, і — т0 < т < і < Т, {х, у , У, п} С Е.

Перша з цих нерівностей доведена в [4], а друга - в [5, с. 41 - 42].

Д алі користуватимемося рівностями

в ( і ) Е £иь ( і ,Х, БД$Б) = С е пі

К++1

у ТУ [ехР{—С п /і}\у д у = с 1 і . (11)0

Перші дві рівності з (11) одержуються, якщо в інтегралах перейти відповідно від змінних У і х до за формулою х — е - і у = ( а ( і ) /С$1/2г. Доведення решти рівностей наведене в [2 , 3].

2 . Сформулюємо теореми про коректну розв’язність задачі Коші для рівнянь (1) і (2).

Т ео р ем а 1. Д л я д о в і л ьн о ї ф у н кц і ї р Єт к(0,а,) -і ____ ••ь р , 1 < Р < оо, т а у з а г а л ь н е н о ї мі ри/І Є М к(0,а) формули

и ( і , Х ) = У [ р ) ( і ,Х ) =

С ( і , Х ;0, Б ) р (БД\ (Б ) , ( 1 2 )

К++1

и о ( і , Х ) = У о [ і ) ( і , Х ) =

= ( С ( і , Х ; 0 , Б) д у (Б ) , (13)

(9) К++1

в ( і ) Е ^ А2 ( і ,Х, Б Д \ ( Х ) = С, (10)

і > 0, {Х, Б} С Е++1,

як і випливають з таких рівностей:

ехр{—С]\х — е іУІ‘2/&(і)}дУ =

(і, Х ) Є П,

в и з н а ч а ю т ь є д ин і р о з в ’я з к и р і в н я н н я ( 1 ) в П

дуи ( і , Х )Іу=о = 0, і Є (0 ,Т) ,х Є Еп, (14)

і м а ю т ь так і в л а с т и в о с т і : і с н у є ста ла С > 0, я к а н е з а л е ж и т ь в і д р т а і і така,

і Є (0, Т)

||и(і,ОИк“- ’ < С ||р||Р'(0,а), (15)р р

Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер си т ет у. 2006. В и п у ск 314-315. Математика.

2

+

+

im « , о н ;1“ 1 < с іуц ;(0,a).

при 1 0 (17)

n (X M X )dX(X),

tino J n ( X ) u 0 ( t , X ) d \ ( X )

R++1

(18)

y ( X ) d y ( X ). (19)

R++1

П о J n(X)v(t,X)dX(X)R++1

а при р = ж і д л я ф у н кц і ї (13) и(Ь, •) ^ р , и 0(Ь, •) ^ у , коли Ь ^ 0 , слабко , т о б т о для д о в і л ьних у в і дп о в і д н о і з п р о с то р і в Ь —к(Т,аа і С—к(Т,аа правильн і с п і в в і д н о ш е н н я

tino у y ( X ) u ( t , X ) d \ ( X )

R++1

n (X ) m(X ) dX(X),

R++1

tino / y ( X ) v 0( t ,X) dX(X )

R++1

y ( X ) d y ( X ),

R++1

Т ео р ем а 2. Нехай р Є Д А А Д 1 < p < ж , i ß Є M k(0’a)’P . Тоді ф ун кц і ї

v ( t , X ) = [ Z ( t , X ; 0, ~)p(~)dX(~), (20)

Vo(t ,X) = J Z( t , X ; 0, E)dy(E) , (21)

R++1

( t , X ) Є П,

є є д и н и м и р о з в ’я з к а м и р і в н я н н я (2 ) еП , як і з а д о в о л ь н я ю т ь у м о в у ( Ц ) т а у мо ви : для б у д ь - я к о г о t Є (0 ,T ] с п р а в д ж у ю т ь с я о ц і н ки

iMt,->^k(t’“)’P < с Bvik(o’“>’P ,

l|vo(t, О С “1 P < C ||y|k(0’a)’P;

npu 1 o p

в я к их у - д о в і л ьна функція , в і дп о в і д н о і з. т—к(Т,а,,- Р . ґч—кіТ,а,,- Рп р о с т о р і в Ь 1 г С 0

Інтеграли із (12), (20) та (13), (21) називатимемо і нте г р алами Пу а с с о н а відповідно функції р та узагальненої міри у .

Із теорем 1 і 2 випливає, що розв’язки (12) і (13) при кожному фіксованому Ь Є (0 ,Т ]

Тк{і,а) ”належать відповідно до просторів Ьрх іД (*’а), а розв’язки (20) і (21) - відповідно

Тк(і,а),Р . тк(і,а),Рдо просторів Ьр і Ь 1 .Оскільки ФРЗК ^ ^ ^ н н я (2) і С

для рівняння (1) у частинному випадку пов ’язані м іж собою формулою (4), то досить довести тільки теорему 1.

У наступних пунктах доводяться леми, з яких випливає, що формулами (12) і (13) визначаються розв’язки рівняння (1), як і мають указані в теоремі 1 властивості. Єди- ність розв’язк ів є наслідком теореми про інтегральне зображення розв’язк ів задачі Коші, я к а буде доведена в наступній статті. У цій статті буде також установлена теорема, в певному розумінні обернена до теореми 1.

3. Наведемо властивості інтеграла Пуассона (12) функцій з просторів Д (0’а), 1 < р <сю.

Л е м а 1. Я к щ о р Є Д (0’а)г 1 0 У Є (0,T] :

т о

10 Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер си т ет у. 2006. В и п у ск 314-315. Математика.

R+

R+

\\и(і, ')Вр(і,а') < С ||р|р 0,а)- (22) Якщо р = 1, то на підставі нерівностей_ тт (3) і (8) одержуємоД оведення. Нехай спочатку р = то. За

допомогою (3), (8) і (9) маємо І и ( і ,Х )І < С [ в ( і ) ( Е ( і , Х , Б)Фф0, Б ) )х

\u( t ,X)\< С в ( t ) (E( t ,X, Б )Ф 1 (0, Е) )х R+R++i хЕ &ъ&2 (t , X, Е)(\^(Е)\Ф_і(0, E))dX(E) <

х Е дид2 ( t ,X, Е)(\^(Е)\Ф_і(0, E))dX(E) < < C ( t , X ) / в ( t ,X, E')x

< C e nTм й 0• a^ p t , X ), ( t , X ) є n ,R++1

х(Ір(Б)ІФ-1(0, Б)ДХ(Б) , (і, Х ) Є П,звідки випливає оцінка (22) для р = сю. • • • /т\^ ^ 1 ^ 1 звідки з урахуванням рівності (10) випливає

Розглянемо випадок, коли 1 < р < то.и Д І п К с І

Використовуючи оцінки (3) і (8), а такожнерівність Гельдера для інтеграла відносно \\и (і. .)\\р(і,а) < С Ір(Б)ІФ 1(0 Б )хміри X з (6), одержуємо

«++1

\u ( t , X )\< Сфі ( t , X ) [ j М Е)\Рф_Р(0, Е) х х ( ! P( t )Ec 1>e2 ( t ,X, E)dX(X)] dX(E)n + 1 \ J I+ Vn+1 X

. E E 1 /р ( r = С B Bk*0'“1, t Є ( 0 ,7 1x e (i)E pi1 / 2.,>i2/ 2 ( t , X , E )dX(E ) j I J I3(t)x з а у в а ж е н н я . Використовуючи власти-

K++1 в о с т і ФРЗК, л е г к о д о в о д и т ь с я , щ о д л я б у д ь -

1/p ЯКОЇ ф у н к ц і ї p Є Lp*0'а\ 1 5 > j ’ \ 1 ! > довольняє умову (14).

З ’ясуємо, в якому сенсі функція (12) заде число p таке, що 1/p + 1/p = 1. Звідси довольняє початкову умову,за допомогою рівностей (9) і (10) маємо Л ем а 2. Нехай p Є Lp*0'а\ 1 0 3$ > 0 y t Є (0, д) :

х в ( t )Epc 1/2'Pc2/2 ( t , X , E)dX(E)^dX(E) j = BY[p](t, •) — pBp(t'a) < є. (23)

Д ля R > 0 означимо функцію p*R'1( X ), за допомогою рівностей

C / \Р(Е) \Рф_р( 0 , ЕР / в ( р х + ’1 7 1 ґ p ( X ), X Є Cr ,

0, X Є R++1 \ Crі/р

х Е р ^ р ^ ^ Л , E)dX(X) ) dX(E) ) = Де c r = {X Є Rn+1 \x \ < R , y Є (0 ,R ]}Маємо

/ -LXJKJb VJb Sb y j y u i b U j V t

\u(t, •)Bkp(ta) < C ( / ( / \р(Е)\РФ_р(0, Е)х » я (17) і (18).\ J V J Д оведення.Vn+1 TTpn + 1

R R і T T A R P P T n Т Т Т П

П+1 Rn+1 P (R)(Y) — / p (X ); X Є CR, (24)+ R+ p (X) V ^ T »n + ^ ^ ^ (24)

= С ||pBp(0'a ) , t Є ( 0, Т] . BY[p]( t , •) — p\\ .f'a) < BY[p — p*R)](t ,

+ IIY[p(R)](t, ■) - tp{R)\\kp{t,a) + ||p - p (R)||p(t,a), одержуємо

t Є (0,T ].

З леми 1 випливає нерівність

(25)

і у [р - р (я ,]((. •)ік(*-“) < с і\р - р (к)ик(0'а),

Ь Є (0 ,Т ],

використовуючи яку та нерівності (25) і ||р||р(*’а) < ІІРІіР(°’а\ Ь Є (0 , Т ], одержуємо

НУ[р](ь,• ) - р С ,а) < ( С + 1)||р- р (д| (0>а) +

+ ||У[ р(Е)](Ь, •) - р (^Цкр(і’а), Ь Є (0,Т ].

Нехай є > 0 задане. Виберемо Я > 0 так, щоб

ї ї < С J U в ( t )E( t , X, ~)£сьс2 (t, X , S ) x

К++1\С2Д Vr

x\p(R)(S) \dA(S)) d \ ( X ) < C K ( t , R ) l \ p (R)(S)|x

x ( j e ( t ) E dlc ( t ,X, S ) d A ( X ) j dA(S) <)jn + 1+

IP - P (R)IlP(aa) |p(X )|px

> " + ‘ \ C r

< С И р ^ И щ к ^ л К '(« ,Я ) , і Є (0 ,Т ],(28)

де К(Ь,Я) дорівнює е х р { - с 1 Я 2/а(Ь)} або е х р { -о2Я 2 /Ь}.

р > 1рівності Гельдера для X Є К++1 \ С2Е маємо

\ 1/pxФ_p(0, X )dA(X ) ) <

J 2(C + 1 ) 'G ( t , X ; 0, S )p (R)(s)d A (s)

Оскільки ||g(t,-)||k(t’a) < \g(t > )\\L. -СП + 1X)>

< C K (t, R )x

i/pто для доведення (23) досить довести, що

> 0 У Є (0, S) : 11/p = IIY[p(R)](t, ■)-

x / \p(S)\Pe ( t )Epcupc2 (t, X, S)dA(S) x

p(R)|Lp(R++1,X) < 2 ‘1/p

(26) x / в (t)^p/01^02 ( t ,X, S)dA(S) <

Запишемо I у вигляді I = I 1 + I2, де

ї ї =

R++1\C2R

C2

'G ( t ,X ;0 , S )p (R) (S)dA(S)

G ( t ,X ;0 , S )p (R)(H)dA(H)

dA(X),

dA(X).

р = 1ЩО ДЛЯ ДОВІЛЬНИХ Ь > 0, X Є К++1 \ С2Е і 2 Є Се виконується принаймні одна з нерівностей

І*- е- *£І2 > 1 1 * 1 -е—і ш 2 > І І* І - ІШ 2 > Я 2,

ІУ - УІ2 > І І У І - ІУІ І2 > Я 2, (27)

< C K (t,R )| I |p(~)|pв ( t )x

4 1/px Epci,pc2 ( t ) x , ^ )d \ (^ )

звідки за допомогою (10) одержуємо

І 1 < C l|p(R)ib,(Mj+1.j) (K ( t , R ) ) p , t Є ( 0 , T ].

R (29) Оцінимо I2. Нехай p P середня функціядля p (R). На підставі властивості середніхфункцій

llpR) _ piR)|LD(R"+1,A) ^ 0 , h ^ 0 (30)


R+

2

p

p

Оскільки р (я) - нескінченно диференці- ДЛЯ ДОВІЛЬНИХ р Є Ьж°’а\ у Є Ь —к(Т,а) і і Є йовна фінітна функція, то з властивостей (0 ,Т ], бо згідно з лемою 1 ||и(і, ОЦоО < ж , ФРЗК випливає, що при фіксованому к > 0 і є ( 0 ,Т ^ щ о р Є Ь00°а ■ Справді, оскіль- рівномірно щодо точок X Є С2Д, для яких ки к (0 а ) < к ( і а ) < к ( Т а ) і Є (0 Т ]у Є [ є ,ЯЬ є > Ф і є {1 , 2}, то

G ( і , X ; 0 , - р Г ( X )(я),

уП + 1

Ь 0 .

0 ,

(31)

у (X ) u ( t , X )dA(X)зП+1

< /(|у(X)|Ф1(T ,X ))x

Маємо

1 1/р < 12 <

x (|u ( і ,X )ІФ—1(і,X ))d A (X ) < |\уН—к(Т,а)х

х|и (і, < ж ,

G ( і . X ; 0, Е )(р (я)(Е )-

К++1

+ 1

\ 1/Рр!E)(S))dA(S)|’>d A (xИ +

/ С ( і ,X ; 0 , Е р ^ Е ^ Е ) -

у (X )р (X )dA(X)

ЕП+1

< (|у(X)|Ф ( T , X) ) x

К++1

x(|р (X )ІФ—1(0 ,X ))dA (X ) < М —к(Т'а ,х

х\\р\й0,а) < ж .

2Я М+

(я) рр ї

\ 1/р г( X )| dA(X) + ( / | р ï ) ( X )

' С2Я/ \ \ 1/Р

- р (я ) (X )|pdA(X)

На підставі (12) для доведення (18) досить установити, що

№ (і) = Е ) - У(Е ))р (ЕЩ (Е) ^ 0 , і 0К++1

де

Повторивши для першого доданка оцінки, аналогічні наведеним при доведенні леми 1, та використавши співвідношення (ЗО) і (31), одержимо, що

т(і , Е) = / G ( і , X ; 0, Е)у (X)dA(X ). (33)

К++1

Враховуючи нерівність

33-2 > 0 Уі Є (0 , 32) : І 2 < 2 ( 0 " . (32) № (і)| < \\р\й0■a')[ Н і . Е )-у(Е )|Ф ,(0 , Е)dA(Е),1 /є\ Р2 \2

З нерівностей (28) і (29) випливає, що

1 / є \Р331 > 0 Уі Є (0 ,31 ): І 1 < 2 ( 2 ) ,

а звідси та з (32) одержуємо

' є \Р ,2

Уі Є (0, 3), 3 = шіп(31, 32) : І < ^ 2 )

К++1

досить довести? що

ІІт( і , Е) - у(Е)|Ф1(0, Е)dA(Е) ^ 0 , і ^ 0.

(34)К++1

Оскільки кі (0,а і ) < кі ( Т , а і ), то

3^ > 0 Уі Є [0,7) : кі (Т, а і ) > Д і ) > к і(0 ,а і) ,

і Є {1, 2},


І, отже, нерівність (26).Доведемо співвідношення (18). Спочатку

відзначимо, що інтеграли із (18) мають зміст

+

де

д і р ) = —с і к і (Т, а 1)е 2і

с 1 + к і (Т, а і ) е 2і а ( і )

/,ч с 2к 2 ( Т , а 2)д 2 р ) =С2 + к2 (Т, а 2) і '

Тому замість (34) досить довести тверджен-ня

Ує > 0 35 є (0 ,д ) Уі Є (0,5)

ІИ У ■) - п\\- т < Є (35)

де

О ІІ і^ = Р (і , х )Ф і (і , х Д ^ ^ + у л )

Фг ( і ,Х ) = ехр {г (д 1 (і)ІхІ2 + д 2 ( і ) у 2) }-,

г є {—1, 1}.

Доведення (35) аналогічне доведенню (23). Так само, як і там, введемо для Я > 0 функцію ц (К') за допомогою рівностей (24), в яких р треба замінити на ц. Д ля і Є (0 , 7 ) маємо

\\w( і , ■) — ц\\-д(і) <

а ( і , х - , о , ■) (п - п (К)) ( х ) д \ ( х )-д{У

Ї++1

+ Є(і , X ; 0 , - )п(К) ( X Д \ ( х ) - п (а)- д(к

І++1

ємо

Є(і , х ; 0 , Б) (п - П(К)) ( х Д \ ( х ) <

Т ут використана нерівність

Е( і ,Х , Б )Ф 1 ( Т , Х ) < Ф - 1 (і, Б),

і > 0, {Х, Б } С Е++1, (38)

яка доводиться так само, як (8).Із (37) за допомогою (9) випливає, що

Д < С\\ц — ц (к)\\-к(Т'а), і Є (0 ,7 ). (39)

Оскільки д і ( і ) < к і (Т , а і ), і Є (0 , 7 ), і Є {1, 2}, то Ті < ||ц — ц (К) \\-к(Т’а), і Є (0 , 7 ), тому Д + .І3 < (С + 1)\\ц — ц (К') В~-кі'Т'а\ і Є (0, 7)

Ці—іД Н У ™ = у Іц(Х)ІФ1(Т ,Х У ЩХ ) ^ 0,

К++1\Ся

Я ,

маємо

Д + Уз ^ 0 , Я ^ то, і Є (0 , 7 ). (40)

Розглянемо вираз Д . Запишемо його у+ вигляді

+2 —К++1\С2д К++

С ( і , х ; 0 , Е)п(я) ( х ) с І \ ( х ) х

+ \\ц — ц ( я )\\-д(і) = я + 32 + Д . (36)

Оцінимо 31. За допомогою оцінки (3) ма-

х Ф і ( і , б )3,\(б ) + С ( і , х ;0 , Б)хЧй К++1

х д (К)( х ) с І \ ( х ) - д (К)(Б) Фі ( і , Б)сІ\(Б) =

= 32 + з ї .

< С в ( і ) ( Е ( і , х , ~)Ф- і (Т, Е))Е&иь ( і , х , Б) х

Так само, як у випадку нерівності (39),ДОВОДИТЬСЯ^ що

К++1 Є ( і , х ; 0 , Б ) п (К\ х Д \ ( х )- яУ)

<

х(\(г/- г р ' ) ( х )| Ф і(т ,х ) ) а \ ( х ) <

< С 1 - і ( і , Б ) ! в ( і )Е„1,Ь2 ( і , х , Б )х

К++1

< С\\'П(К)\\-к(Т,а),

К++1 звідки випливає, що

х(І (ц — ц (К)) (Х) ІФ 1 ( Т , Х) Д Х( Х). (37) 32 0 , Я ~^то, і Є (0 , 7 ). (41)

14 Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер сит ет у . 2006. В и п у ск 314-315. Математика.

і

і

К+

і

Д ля З!) маємо

з'І < с Є ( і , Х ; 0 , Е)п(Я)( Х ^ А (Х ) —

С2Я К++1

- у ^ ( Е ) dA(Е).

Провівши для останнього інтеграла мірку-І2

одержимо 3% ^ 0 при і ^ 0 Я > 0, звідки та із співвідношень (36), (40), (41) випливає твердження (35).

4 . Властивості інтеграла Пуассона узагальнених мір описуються в наступній лемі.

Л е м а 3. Нехай у Є М к(0,а). Тоді фу нкц і я(13) є р о з в ’я з к о м рівня,ння, ( 1 ) бП, дл я я к о г о в и к о н у ю т ь с я у м о в а ( 1 4 ), о ц і нка (16) і с п і в в і д н о ш е н н я (19).

Д о в е д е н н я . Використовуючи нерівності(3) і (8), одержуємо

|uo( і ,X)|< С [ в ( і ) ( Е ( і , X, Е)ФД0, Е ))х

х£ Д с2( і ,Х, 2)Ф_1(0, S)d\у\(S) < С Ф ^ і , Х ) х

X [ ( і ,Х ,2 )Ф_1(0 , Э Д у\(~ ),

(і, X ) Є П,

звідки за допомогою рівності (10) випливає оцінка (16).

Те, що и0 є розв’язком рівняння (1), який задовольняє умову (14), випливає із властивостей ФРЗК.

Доведемо співвідношення (19). На підставі оцінки (11) інтеграли з (19) мають сенс Д Л Я будь-яких у Є С0 к(Т,а); у Є М к(0,а) і (0 ,Т ]. Використовуючи формулу (13), одержуємо

де ш функція із (33). Тому досить довести,

ІИ і, •) — ПІ ІМ ^ 0 , і ^ 0, (42)де вектор-функція д = ( д 1 , д 2) та сама, що в п. 3.

Нехай Я > 0 і ви - функція з С (Д Е ++1) така, що 0 < ви < 1 в Е++1, ви = 1 в Си/2 і ви = 0 в Е++1 \ С^. Покладемо ц(и) = вий- Д ля і Є (0 , 7 ) маємо

||w(і, •) — вИ М < ! Є( і , Х ; 0, •) ( п —К++1

—П(и)) (Х )dА(X)_ 9(0

+ Є ( і , Х ; 0 , •) х

К++1

_ 9(Ґ)x у (я)) (X)dA(X ) - у (я )0 + ||у(я)-

О

- v Н ; ^ (t) = Ь 1 + Ь2 + Ьз. (43)Так само, як при доведенні нерівностей

(37), за допомогою рівності (10) одержуємо

Є ( і , Х ; 0 , •)(п — П(и)) ( Х )dА(X) <

п (Х ) п 0( і , Х )dА(X) — п(Х ) d у ( X ) <

К++1 К++1

< С Ну - у ( я )Ц-ок(ТМ —1(і,Е ),

звідки випливає, що Ь 1 < С ||у - у (я) ||Ок(Т,а),Ь Є (0 , 7 ) -

На підставі нерівностей

9і(і) < кі(і , а(), і Є (0 ,у ) , і Є {1, 2},

маємо

Ьз < ||у - у т НО(Т'‘) , І Є (0 ,7 ),

тому

Ь1 + Ьз < (С + 1)||у- У (Я)НОk(T■a), і Є (0 ,7 ).

О с к і л ь к и

\ll|-l|(R)\\-J(T■a) < зир (|у(X)|Ф1(T ,X )) ^ 0 ,X ЄК++1\Сд/2

Я ^ ж ,

то

< І И і •) — ПІУ ^ У ІУ І І^ Д Ь1 + Ь3 ^ 0, Я ^ ж , і Є (0 , 7 )■ (44)


СО

К+К+

К+

Д алі маємо задачі Коші для деяких параболічних рівнянь з оператором Бееееля і зростаючими коефіцієнтами //

L < sup ( /G(t X '0 ~)n(R) ( X ) d \ ( X ) х ^ а^к' в сник Чернівецького ун-ту: 36. наук. ир. Вии. 2 ~ -х-тап+ь \ ’ ' ’ 288. Математика.— Чернівці: Рута, 2006. — С. 5-11.і \c2RR++1 2. Ивасишин Л.М. Интегральное представление

и множества начальных значений решений парабо- (t + e x | ( (T) + (T) )R2\x лических уравнений с оператором Бесселя и расту-

1( ’ =)) ^ W 1( ) g 2 ( )) } щими коэффициентами,—Черновцы, 1992,— 62 с.—г Деп. в УкрИНТЭИ 26.10.92, № 1731-Ук92.

X sup I G(t , X ' 0, E)n(R)(X)dX(X) — 3. Левит,an Б.М. Разложение по функциям Бес-s eC2R J селя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат.

“і 11 наук,- 1951.- 6 , Ш,— С.102-143.(r) ; 4. Вильчак В.В., Ивасишен С.Д. О задаче Коши

- V(R)(=) = L2 + L I (45) для некоторых параболических уравнений с растущими коэффициентами.— Черновиц. ун-т.— Черно-

За допомогою нерівностей (3), (27), (38) і BbIj igg i._ 45 c._ д еп. в УкрНИИНТИ 9.08.91, №рівності (10) одержуємо 1130—Ук91.

5. Эйдельман С.Д. Параболические системы.— L2 < sup ( с [ / 3 ( t )E&1, с2 ( t ,X, =) (E ( t ,X, = ) х Ш-: НаУка’ 1964.-443 с.

■=x-mn+U „ \ I€R++1\C2R R'П + 1Стаття надійшла до редколегії 10.03.2006

х Ф - i i T . X )}{|4 (R)(X )|O i(T,X ) ) d\ (X ) x

xXSlit, =0 < с ІІПІ—fc(r’u)TT(t,R)X

х і в ( ( ) Е Є1/2А/2 ( і .Х. Б т . Х ) = С І М ^ х

R++1

х К ( і , Я ) ^ 0 , і ^ 0, (46)

д е К ( Т , Я) дорівнює ехр{—с 1 Я 2/(2а ( і ) )} або ехр{—с 2Я 2/(2і)}. Т ут використана нерівність

Ес 1 ,Є2 ( і ,X, Б ') < Ес 1/2С /2 (t ,X, б) х

х ехр{— І2/(2 а ( і ) ) —а2 ( у —п ) гЦ 2 і ) ) ,(47)

яка справджується на підставі нерівності (32) з [1].

Оскільки р (К) - неперервна й обмежена функція, то згідно з властивостями ФРЗК для рівняння, спряженого до рівняння (1), маємо

Ь'2, 0, і 0 , Я > 0. (48)

Зі співвідношень (43) - (46) і (48) випливає потрібне співвідношення (42).

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ1. Балабушенко Т.М., Івасишен С.Д., Лавренчук

В.П., Мельничук Л.М. Фундаментальний розв’язок

УДК 517.929

© 2006 р. Я.Й. Бігун

Чернівецький національний університет ім. Юрія Федьковича, Чернівці

ПРО УСЕРЕДН ЕН Н Я В БАГАТО Ч АСТО ТН И Х КРАЙ О ВИ Х З А Д А Ч А Х ІЗ ПОСТІЙНИМ ЗАПІЗНЕННЯМ

Обґрунтовано метод усереднення за швидкими змінними для системи диференціально- різницевих рівнянь із повільними та швидкими змінними. Процедура усереднення застосована як до правих частин системи, так і до інтегральних крайових умов. Доведено існування розв’язку крайової задачі та одержано оцінку похибки методу усереднення.

In this paper we satisfy the averaging method for differential-differenee equations with a fast and slow variables. A system and the integral boundary conditions are averagined by the fast variables. An existence of solution of the boundary-value problem and for error of the method, an estimate evidently dependent of a small parameter, is obtained.

Вступ. Обґрунтуванню методу усереднення для багаточастотних систем, починаючи з праці В.І. Арнольда для двочасто- тних систем із аналітичними правими частинами [1], присвячені роботи Ю.А. Митро- польського, Є.О. Гребенікова, М.М. Хапає- ва, А.М. Самойленка, Р.І. Петришина та ін. (див. [2 - 4] і наведену в [5] бібліографію).

Складність дослідження багаточастотних систем обумовлена резонансними явищами, що описуються точною чи наближеною раціональною співвимірністю частот. Якщо така співвимірність зберігається на протязі досить великого часового проміжку, то процедура усереднення може привести до похибки 0 (1) для відхилення розв’язк ів точної й усередненої задач.

Д ля систем із запізненням, як і в процесі еволюції проходять через резонанс, метод усереднення був обґрунтований в [6 , 7] та ін. Зокрема, система із лінійно перето- вореним аргументом й інтегральними крайовими умовами розглянута у [8]. В [9] досліджувалась двоточкова крайова задача із- постійним запізненням. У даній роботі за допомогою методу усереднення досліджується резонансна система диференціально- різницевих рівнянь з інтегральними та початковими умовами.

1. Розглянемо систему диференціальних рівнянь вигляду

dx v f \— = А (т,Х,ХА, р , р д , є ) , d r

d p и (т ) л^. .— = -------- + Y ( т , х , х д , р , р д , є ) , (1)d r є

де малий параметр є Є (0 ,є0], т Є [0,L], х Є D с R™, р Є Rm, хд (т) = х(т — є А), А = const > 0 и (т ) - вектор частот.

Задамо для розв’язку системи (1) інтегральні умови

L

J f ( т , x , x д , р , р д , є ) d т = di , (2)0

L

j [А(т, х, х д , є ) р + д(т, х, х д , р , р д , є ) ^ т =0

= d2, (3)

де f , А і д - задані вектор-функції, di і d2 -вектори з ЕЮ Rm в і д п о в і д н о . Функції X, Y, f i g - 2^-періодичні за кожною з компонент

р р д ще початкові умови

х(в) = х°(в) , р ( в ) = р° (в ) , s Є [—єА, 0). (4)

Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер си т ет у. 2006. В и п у ск 314-315. Математика. 17

Зауважимо, що умов (4) недостатньо для де 9 = ш(т)Д , Г = (Х , У , / , д ),визначення розв’язку системи (1), оскільки Гкї(т,х,хА,є ) - коефіцієнти Ф ур’є. не задано значень х(0) і у (0 ). Алгоритми побудови усереднених рів-

Під розв’язком задачі (1) - (4) розуміємо нянь із врахуванням резонансних гармонік абсолютно неперервні функції х = х(т, є ) , для систем без запізнення наведені в [2, 4, у = у ( т , є ) як і для всіх є Є (0 ,є0] задоволь- 5], а в системах із запізненням - в [10,11]. няють систему (1) майже всюди на [0,Ь] іумови (2), (3), а на [—єД , 0) - умови (4). 2. Введемо позначення: С = [0,Ь] х

Нехай к, І Є Z m , р = (к,1) Є Z 2m , ||р|| = В х В х Кт х Кт х (0,є°], С 1 = [0,Ь] х|. Гармоніка ехр[і(к, у ) + і(І, у А)] резо- В х В х (0 ,є °], ь = (у , уа ) є г =

(х ,х д ) Є В 2, М = (т,х,хА,У,УА,є ) Є С,нансна в точці т Є [єД, Ь], якщо

( к ,ш(т )) + ( І ,и(т — єД )) = 0 , = 0 ,

М і = (т, х, хА, є ) , М° = (т,х,хА). Нехай х = х(т, у , є ) - компонента розв’язку системи (5), х (0 ,у ,є ) = у; х = х(т, у + у , є ) , М 1 = (т,х,хА, є ) , М 1 = (т,х,хА,є ) .

Припустимо, що виконуються наступні умови:

10. Функції Є Ст [0,Ь], V =Д ля гармонік е х р [і(к ,у — у А)] при т > єД а побудований за цією системою вронскіан

Ш[ш1 (т) , . . . , шт (т)] = 0 для т Є [0, Ь].2°. Вектор-функції Г Є С2Тг)(С, а 1) , і А Є

СТ г) ( С , а 1) та обмежені разом із похіднимиа 1

30. Виконуються нерівності:

де (•, •) - скалярний добуток. Д ля т Є [0, єД) система (1) є системою без запізнення, тому умовою резонансу частот є виконання рівності [4]: ( к , и (т )) = 0 к Є Z m \ {0}.

фаза змінюється повільно, оскільки

й ( у — у а)йі

и(т )Д + О(є),

тому усереднена система включатиме також гармоніки, для яких к + 1 = 0. Усереднена за змінною у задача, набуває вигляду

вир ||Г00|| + вирйх — ___— = X (т, х, хА, є ) , ат

дГ°° дГ°°дт

+ вирд г +

й у _ + у ( т , х , хА , є ) ,ат є

/ (т, х, хА, є ) = а 1,

(5)

(6)

+ УІ|к||+||ї||=°

(||к|| + ||І||) вир ||Ги||+8ирд Г кїдт

+ вирд Г кїд г

1[А(т, х, хА)у + д(т, х, хА, є)]йт = й2. (7) £ » ||к+ і »

вир

< а 2 ,

д 2Гкїд т д г +

+

Т ут

2пГ(т, х, хА, 9, є)

(2^ )г

2т+ вир

V =1

д 2Г кїд г д г , . < а 2 ,

С 14°. Матриці

2п/ Г ( т , х , х А , у , у —9 , є ) й у = ^ Гкїв

0 к+ї=0і(к,в)

/ І % (М 1) щ ( г - у - є )+0


Ь

1

Ь

+ f ( M l) l y {т 'у ' є) ]dT'

Q 2 ( e ) = A(t , x ( t , y , є ) ,Хд (T , y , e ) ) dT

не вироджені, КОЛИ Є Є (0 ,є0], І

(е)\\ < є - х ,

де оV > 0 о < хі < т - 1 , 0 < хі + Х2 < т - 1 .

3. Питання існування розв’язку задачі вигляду (1) - (3) із лінійно перетвореним аргументом розглядалося в [8]. Д ля задачі (1)- (4)розв’язок тільки неперервний при т > 0. Тому, щоб скористатися методикою [4], виділимо проміжки [0, 2 є А ] і [2 єА,Ь] , на другому з яких ( х ( - , є ) , р ( - , є ) ) Є Є 2 для кожного є Є (0 , є0]•

Т ео рем а. Нехай в и к о н у ю т ь с я у м о в и 10 - 40, в е к т о р - ф у н к ц і ї х 0 і н е п е р е р в н і на [—є А, 0). Тод і У є Є ( 0 , є 0], д е є 0 - д о с и т ь м а ле, і с н у є р о з в ’я з о к ( х ( т , у , ф , є ) , р ( т , у , ф , є ) ) з а д а ч і ( 1 ) - (4 ), (х(0 , у , ф , є ) , р ( 0 , у , ф , є ) ) = (у, ф), і така функція , С(є), щ о в и к о н у є т ь с я н е р і в н і с т ь

\\х(т, у , ф, є ) — х(т, у , є ) || +

+ У (т, у , ф , є ) — Р (т,у , є ) — С(є )ІІ < с і і є а ,

а = 1 /т — х 1

дл я всіх: (т,є) Є [0,Ь] х (0 ,є0], с 11 не залежить від б\

Д о в е д е н н я . Нехай р 1 = 0.5р , ц Є Е™, ||ц|| < с - 1 р 1, с 1 = ехр(2а1 и Ь ). Тоді Ує Є (0 ,є 0] крив а х = х(т, у + ц, є ) лежить в р1- околі кривої х = х (т, у , є ) . На підставі теореми 3 [10] існує розв’язок системи (1), визначений для т Є [0, Ь], і

\\х(т, у + ц , ф + С,є) — х(т, у + ц,є)\І < С2є

Звідси випливає нерівність

\\х(т,у + ц ,ф + С,є) — х(т,у + Ц, є ) \\ <

1/т

Покажемо, що Зц = ц(С, є ) Є Е™ таке, що У(С,є) Є Ет х (0 ,є0] існує розв’язок системи (1) який при ї = 0 набуває значень (х (0 , є), Д 0 ,є )) = ( у + ц , ф + С) і задовольняє умову (2). Із (2) і (6) випливає

2єД

( f ( M ) - f ( M i ) ) dT +

+ Т . 1 ( Мі ) в г(к^ А _к+1=02єД

—Ікі ( м і ) в г(к’ш(т )]Д)дт+ ь

+ ^ [ І к і ( И і У ^ + ^ д т +к+1=02єД

ь

+ / ( І ( м і ) — 1 (Мі ) ) дт =2єД

= Ні + Я 2 + Яз + Я 4 = 0 .1 0

ЦЯфІ < 4а 1 Ає. (9)

При т > 2 єА маємо

II Д т ) — р(т — є А) — и(т )А|| < Сзє,

c 3 = A max max\<v<m Т€[0,L]duv (t )

dT+ 2 sup

G\A/2 .

Тоді для R 2 одержимо оцінку

IR 2II < с 3Ьє ^ s up \\fki(Mi)\\ +k+ = 0 G

+L ^ \\f kl( M l) — f kl( M l)\\ < (10)k+l=0

< ( 2c inL ^ 2 ( s up IIfki(Mi)\I +k+l=0 ' Gl

+ supGl

d f kldx

(Ml )

c 2nякщо є 0 < ----

c l

+supGlmm- 1

d f kldx Д

(Ml ) є = с 4є ,

< с і||ц\І + с 2є /т■ (8)


L

L

Застосуємо одержану в [10] оцінку осци- ляційного інтеграла для оцінки такого інтеграла:

Р з = J д н (т ,є )ех р ( ^ J у н ( s , є ) d Л d т ,2єА ' 2єА '

де

9ki(т ,є ) = fki (Mi ) exp i (k, р ) + i ( l , Р а) —

Yki ( s ^ ) d s2єА

7 кі(т,є) = ( k , u ( r )) + (l, u ( r — єД )).

Маємо

\\Яз\\< с 5є m ( suP \\fkl\\ +||k+i||=o V Gl

1

\\k + 1 \\ ^d fd r

< (1 + а і ) й 2С5є m . (11).

Д алі одержимо,

R 4 = [f (M 0 — f ( M l )]dT = Я і ( є )В+2єА

d f d f + f ( M ) P i i + f ( M ) P i 2 + Pi.

dx d x AТут

P iii \~ _ dxX — X — „ LL

d y

i (x) =a 3 (x) = supv=i

d 2xd y d y v L

Pi

Pi

d f —— rv_ (M i )(x A — xA)d x A

с1пє m sup d fdx

+sup d fd x A

<

2 a 3( f ) \\L\\2 <

< Сб( є ™ + ||ц||2), сб > 0-

Д ля ц маємо рівняння

У = —Я - і ( є ) (р і + р 2 + р з + р і + - р (М і)Рц +

+ вир d fdx а

dx

Pl2) = М 1 (У,С, є )-

На підставі нерівностей (8)-(10), оцінок для Д ь р і2 і Р 1 справджується нерівність

\\Мі\\< о7є а + с8є - ^ М 2,

де С7 = 4 а іД + С4 + (1 + аі)а,2С5 + 0$, С8 =а і а 3 ( а ) п + с$-

Нехай ||ц\| < 2с7є а , 2с7с 8є а-хі < 1. Тоді Є і є Є (0 ,єо]

\\Мі\\ < 2с7є° (12)

< 2 п азШ\ , Де

Отже, М і Д Д є ) : Бі ^ $ ь де Уі - куля з радіусом г і = 2с7є“ .

Аналогічно як в [8] доводиться, що для досить малого є 0 > 0 відображення М і є стискаючим. Тому, на підставі теореми Бра- уера [12] У(С,є) Є х (0 ,є0] існує єдиний розв’язок ц = ц(£, є ) .

Доведемо, що З£ Є таке, що розв’язок системи (1) із значеннями ( у + ц ( С , є ) , ф + С(є)) задовольняє умову (3). Із (3) і (7) маємо

2єАр0ч

Така ж оцінка справджується і для Р 32 = „ _ д х дXд — Xд — „ [Л.

Таким же чином одержується оцінка для

С = — Q 2 (є ) ї J (A(Mi ) р —А ( М і ) р +9(М) — 0 L

—9 ( M i ) ) d r + f [A(M i ) (y — Ф) + (A (M i ) —2єА

A(M ° ) )^+ A (M 0 ) ( p —p ) + (9 ( M i ) —9 ( M i ) )+

f (M l) — f (M i) — d x (M i) (x — x) — + 9ki (Mi ) exp( i (k,<f ) + (l,<fA))]dk+l=0

T } =


l

Є

L

= И 2 (С,є) .

Аналогічно, як була одержана оцінка (12), дістанемо

\\М2 (£,є)\\ < с д є а -х 2 ||£II + с ю є а - х 2- 1 . (13)

Нерівність (13) виконується для всіх (£,є) Є Rm х (0 ,єо]. Нехай

||£II < Г2 = 2 с і о є а-Х2- 1 , єо < (2 с д ) 1/(х2-а+1).

Тоді Vє Є (0, єо] маємо Md2\ S 2 —— S2y де S2 - куля в R m з радіус ом r 2 . На підставі теореми Брауера з неперервності відображення М 2 по £ Vє Є (0, єо] випливає існування нерухомої точки £ = £(є) відображення М 2(- , є ) . Отже, існує розв’язок системи (1), який задовольняє інтегральні умови (2) і (3). Крім того,

\\р(т,У + У,ф + £,є) — р (т,У,ф , є ) — £(є )|| <

< \\р(т,У + У,ф + £,є) — р (т,У + У,ф + £ ,є )ІІ +_ _ (14)

+ \\р (т ,У + У,ф + £,є) — р (т,У, ф , є ) — £ (є)\| <

< С2є m + 11 \ Сд < С2є m + 2 с іСіоєа < 4сіСіоєа ,

якщо є о < (2 с 1 с і о/с2) 1/хі.Об’єднавши оцінки (8) і (14) одержимо

оцінку похибки методу усереднення із сталою Сії = 4сіСіо-

Нехай 2с і і є'а < р. Тоді крива х = х(т,У + У, Ф +£, є ) лежить в р і-околі розв’язку усередненої задачі для всіх (т,є) Є [0,L] х (0 ,єо].

Теорему доведено.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Арнольд В .И. Условия применимости и оценка погрешности метода усреднения для систем, которые в процессе эволюции проходят через резонанс // Докл. АН СССР. - 1965. - 161, № 1. - С. 9 - 12.

2. Г ребеников Е.А., М ит ропольский Ю.А., Р я бов Ю.А. Введение в резонансную аналитическую динамику. - М.: Янус-К, 1999. - 320 с.

3. Хапаев М.М. Усреднение в теории устойчивости. - М.: Наука, 1986. - 192 с.

4. Самойленко А.М., П етришин Р.І. Математичні аспекти теорії нелінійних коливань. - Київ: Наукова думка, 2004. - 474 с.

5. Арнольд В .И., К озл ов В .В., Н ейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики,— М.: УРСС, 2002,— 416 с.

6. Б и гун Я.И., Самойленко А.М. Обоснование принципа усреднения для многочастотных систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. - 1999. - 35, № 1. - С. 8 - 14.

7. Б ігун Я. И. Обгрунтування методу усереднення для нелінійних резонансних систем із запізненням // Нелінійні коливання. - 1999. - Т. 2, 2. - С.162 - 169.

8. Б ігун Я.Й. Усереднення в багаточастотних системах із лінійно перетвореним аргументом та інтегральними крайовими умовами // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту: 36. наук. пр. Вип. 269. Математика. - Чернівці: Рута, 2005. - С. 5 - 10.

9. Б ігун Я.Й. Дослідження багаточастотних коливних систем із запізненням // Наук, вісник Чернівецького ун-ту: 36. наук. пр. Вип. 150. Математика. - Чернівці: Рута, 2002. - С. 1 5 -2 0 .

10. Б ігун Я.Й. Усереднення крайових задач для багаточастотних систем із сталим запізненням // Вісник Київського ун-ту: 36. наук. пр. - Сер. фіз,- мат. науки. - Київ, 2005.- Вип. J#2. - С. 90 - 96.

11. М едведев Г.Н., М оргунов Б.И. Об асимптотическом решении методом усреднения некоторых систем дифференциальных уравнений с запаздыванием // Вестник МГУ. - Сер. 3. - М.: МГУ, 1968, №2. - С. 109 - 111.

12. Х атсон В., Пим Дою. Приложения функционального анализа и теории операторов. - М.: Мир, 1983. - 432 с.

Стаття надійшла до редколегії 10.10.2006

Ріауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер си т ет у. 2006. В и п у ск 314-315. Математика. 21

УДК 517.954

© 2006 г. О.Н. Вітюк, О.В. Голушков

Одеський національний університет ім. 1.1. Мечникова Інститут математики, економіки та механіки. Одеса

П О Ч А Т К О В А З А Д А Ч А Д Л Я О ДН О ГО К Л А С У Д И Ф Е Р Е Н Ц ІА Л Ь Н И Х Р ІВ Н Я Н Ь Д Р О Б О В О Г О П О Р Я Д К У

Розглянуто питання існування та єдиність розв’язку початкової задачі для диференціального рівняння з регуляризованою похідною. Запропоновано метод чисельного розв’язання цієї задачі та доведено його збіжність.

The question of existence and uniqueness of the solution of an initial problem for the differential equation with regularized derivative is considered. The method of the numerical solution of the problem is offered and its convergence is proved.

Нехай 3 = (0 ,а ], 3 = [0,а]. Інтегралом Якщо / (х) Є ЛЄ( 3 ), то легко переконатися, Р імана-Л іувілля порядку а > 0 від функції що Б^/ (х) = Б / (х) для майже всіх (м.в.) / (х) називаємо функцію [1, с.40] х є 3. Нехай

I S f (x)d

Г ( а )(x — t ) a - 1 f ( t )dt , x > 0, I f (x) = f ( t )dt , I f (x) = f (x), Dx = — .

dx

де Г(-) — гамма-функція Ейлера, А С( 3 ) — множина абсолютно неперервних функцій f : 3 ^ Я.

Якщо натуральне число т таке, що т — 1 < а < т , то похідною Рімана-Л іувілля порядку а від функції f (х) називаємо функцію [1, с.44]

D a f (x)dm

dxm-x

xГ ( т — a )

(x - t) m—a— 1f ( t )dt

Дослідженню диференціальних рівнянь, що містять дробову похідну Рімана- Л іувілля, присвячено роботи багатьох авторів (огляд робіт в [1 , 2]).

Нехай далі а Є (0 ,1). Регуляризованою похідною [3 - 5] і похідною Капуто [6] порядку а від функції / (х) є відповідно функції:

10. Розглянемо початкову задачу

Б оУ(х) = Я (х , у (х ) ) , (1)У(0) = Уо- (2)

Початкова задача для диференціального рівняння БО;у(х) = Б (х , у ( х ) ) , а Є Є, Яв (а ) > 0 у просторі неперервно диферен- ційовних функцій розглянута в роботах [4,5].

Припустимо, що функція Б ( х , у ) : 3 х С ^ Я , де С = {(х , у ) : х Є 3, \у - у о\< Ь), задовольняє умови:

(а) Б(х, у ) вимірна по х при фіксовано- у у

х

(б) існує стала М така, що \Б(х,у)\ <М.

Розв’язком задачі (1), (2) називаємо функцію у (х) Є Є ( 3 ), що задовольняє умову (2) і диференціальне рівняння (1) для майже всіх (м.в.) х Є 3.

22

Do f (x) = D 00 ( f (x) — f (0 )),

d a f (x ) = i i - a f \x) .


X X1

X1

Т ео рем а 1. Нехай ф ун к ц і я И (х , у ) з а д о в о л ь н я є у м о в и (а), (б). Д л я то г о , щ о б ф у н кція, у (х) Є С ( б ) б ула р о з в ’язком, з а д а ч і (1),

у (х)ла р о з в ’язком, і нт е г р ал ь но г о р і в н я н н я

y (x) = Уо +1

Г(а )(x — t ) a F ( t , y ( t ) ) d t . (3)

Д о в е д е н н я . Нехай у (х) - розв’язок задачі (1), (2), а ф ) = у (х) - уо, у і - а (х) = /д - а д(х) . Відповідно до визначення регуляризованої похідної Р 0 у (х) = РхУі—а (х) ■

Тоді

I 0D<oV(x) = Ql -a(x) — Ql -a(0) ,

де

q i - a (x)Г(1 — а )

x 1—ay ( 0 )

(x — t) ay ( t ) d t —

Г(2 — а )

Якщо \y(x)\ < P, x Є J , то для x Є J

1Г(1 — а )

(x — t) ay ( t ) d tГ(2 — а ) '

I l i - a i a D l y ( x ) — I l— q(x) = 0,

1 1 a ( i a D a0 y (x) — q (x)) = 0 .

Інтеграл порядку а від лівої та правої частини (7) дає

Диференціюючи останню рівність, отримаємо для м.в. х Є б

У(х) = Уо + ^ Р ^ у Д ) = уо + (х, у (х) ) . (8)

Доведемо, що у (х ) задовольняє (3) для х Є б . Д ля цього досить довести, що і а и (х , у ( х ) ) Є С ( б ).

Нехай х 1 , х 2 Є (0, а], причому х і < х 2 . Тоді

(x2 — t ) a F ( t , y ( t ) ) d t —

(4)

1X2

Г (а )((0

Xi

— (x 1J0

xi

\a—1 <

< MГ Й

((x i — t ) a 1 — (x2 — t ) a 1) dt+

X2

+ I (x2 — t ) a d t ) <(5) xi

< Mа • Г (а )

P x l—а < (6)

(2(x 2 — x 1)1 а — (x 2 а — x 1 a )) <

2M (x2 — x 1) 1—a<

Ha підставі (5), (6) lim q1 - a (x) = 0 при x ^ 0+ тому продовжуючи q1 - a (x) за неперервністю, отримаємо, що q 1 - a (0) = 0. Отже, q i - a (x ) Є C ( б ) и q i - a (0 ) = 0.

Використовуючи (4), послідовно одержуємо

I l D<ay (x) = q i - a (x ) ,

(7)

Г (а + 1)

Отже, /аТ (х , у ( х ) ) Є С ( б ). Крім того, д л я х Є б \/аТ(х,у(х))\ < ( М х а )/ (Г (а+ 1)). Оскільки ИшДаТ ( х , у ( х ) ) ) = 0 при х ^ 0+, то довизначимо функцію /£Р(х, у (х) ) нулем у точці х = 0. Таким чином, /£Р(х, у (х) ) ЄС ( б ). _

Отже, розв’язок у (х) Є С ( б ) задачі (1), (2) для х Є б задовольняє інтегральне рівняння (3).

Нехай тепер у (х) Є С ( б ) - розв’язок ін-у (х)

задовольняє (1) майже скрізь на б . Маємо

У(х) = у (х) - уо = /рР (х , у (х ) ) ,

/ 1 - а У(х) = / 1 Т (х , у (х ) ) .

Згідно з умовами (а), (б) функціяТ (х , у ( х ) ) Є 1(0, а) , тоді д і - а ( х ) Є АС ( б ).І о ( I 0 D o y (x) — q (x) ) = 0


X

X1

X

Відповідно до визначення регуляризо- ваної похідної Я 0у (х) = Я хд і - а (х) = Я (х , у (х) ) для м.в. х Є б, тобто у (х) - розв’я зок задачі (1), (2). Теорему 1 доведено.

Нехай стала Т, 0 < Т < а задовольняє умову ( М Т а )/(Г(а + 1)) < Ь.

Т ео рем а 2. Нехай Я ( х , у ) : О — Я з а д о в о л ь н я є у м о в и (а), (б). Тоді на п р о м і ж к у [0, Т ] і с н у є р о з в ’я з о к з а д а ч і ( 1 ) , (2 ).

Д о в е д е н н я . На проміжку [0,Т] побудуємо послідовність [ у к (х)}, к > 0 , де уо(х) = уо,

Якщо ж х Є (тк , Т ], то

М\Ук(х) - Ук(х - тк)| ^ г ( о)

Х-Ткх( І ((х - тк - і )а - 1 - (х - і ) а -1 ) д і+

+ (х - і ) а д і )Х-Тк

М

У к(х)

У0 , х Є [ -Тк, 0),

Уо + гТОГ І (х - і ) а - 1

Г (а + 1)(2та - (ха - (х - Тк)а )) <

<

Г(а) ох Я (і, у к (і - тк ) ) д і , х Є [0,Т ],

(9)

2 Мтк Г (а + 1)

(12)

т&тк = к .Функцію у к (х) послідовно визначаємо

для х Є [ітк, (і + 1)тк], і = 0 , к - 1.Очевидно, що \ук(х) - у 0\ < Ь, х Є [0 ,Т ].

Д ля х 1 , х 2 Є [0,Т], х 1 < х2 ,

З (]_о) _ ^ 2) випливає рівномірна збіжність послідовності у к(х — тк) , к > 0 на [0 , Т ] до функції и(х) , а на підставі теореми Лебега з (9) при к — ж одержуємо, що

и(х) = Уо +1

Г(а )(х - і ) а Я ( і , и ( і ) ) д і ,

\Ук(х 2) - Ук (х 1 ) \ <2М

Г (а + 1)(х2 - х і ) а

Таким чином, послідовність у к(х ) , к > 0 є рівномірно обмеженою та одностайно неперервною. Відповідно до теореми Арцела існує ї ї підпослідовність, що рівномірно на [0,Т] збігається до и(х) Є С ([0 ,Т ])). Не порушуючи загальності, можна вважати, що послідовність у к (х), к > 0 рівномірно збігається до и(х) Є С ( б ) .

Доведемо, що послідовність у к (х — тк), к > 0 , також рівномірно на [0,Т ] збігається до и(х).

Одержуємо

\ук (х — Тк) — у(х)\ < \ук (х — Тк) — ук (х)\ +

+ \ук (х ) — у (х ) \. (10)

тобто и(х) - розв’язок задачі (1), (2).

З а у в а ж е н н я . Я к щ о Я ( х , у ) : б х Я — Яз а д о в о л ь н я є у м о в и (а), (б) , т о анало г і чно доводим,о і с н у в а н н я р о з в ’я з к у з а д а ч і (Я), (2 ) на п р о м і ж к у б .

Т ео р ем а 3. Нехай Я( х, у ) : б х О — Я х у

н я є у м о в у Л і п ш и ц я по у з п о с т і й н о ю К т а у м о в у (б). Тоді з а д а ча (Я), (2) м а є є д и н и й р о з в ’я з о к при х Є [0,Т].

Д о в е д е н н я . Нехай и(х) Є С ([0 ,Т ]) також роз’язок задачі (1), (2). Тоді

\и(х) - и(х)\ <К

(х - і) а— 1 X

х Є [0 , тк ]

\Ук(х) - Ук(х - тк^ <Мтк

Г (а + 1)(11)

х\и(і) - и( і )\ді . (13)


X

X

X

Інтегральне рівняння х (хП-к+і — хП-к) ■ (14)

z(x)K

(х — t ) a z ( t ) d t

має єдиний розв’язок г (х ) = 0 . З (13) за теоремою про інтегральні нерівності [9] одержуємо, що \и(х) — п(х)\ < г ( х ) , х Є [0,Т]. Отже, у (х) = п ( х ) , х Є [0,Т]. Теорему 3 доведено.

2°. Нижче мова йтиме про один метод чисельного розв’язання задачі (1), (2).

Припускаємо, що функція И(х , у ) : б х О ^ Я неперервна по (х , у ) , за-

уК та \Я(х, у)\ < М.

Нехай розв’язок задачі (1), (2) існує і єдиний для х Є [0 ,Т ].

Вважаємо, що хі = іН, і = 0, N N 6 = Т, а уі — наближене значення у ( х і ). Використовуючи (3) одержимо

Нехай 8n = y ( x n ) — y n . Тоді

n xk + l 1 nк + і і < ^ 2 j (xn + i — t )a 1 X

xi

У(х і ) = yo +Г (а )

(х і — t ) a F ( t , y ( t ) ) d t

тобто

+ F ( x o , y o ) „ yo + Г (а + 1 ) Х і '

f ( xo , y o ) ■ xaУі = Уо + Г (а + 1)

Якщо y 1, . . . , y n знайдені, то

y (xn+i) = yo +1

xn + 1

Г(а ) (xn+1 — t )a X

x F ( t , y ( t ) ) d t =xk + 1

y +Г (а ) 5 3 / (xn+і — t ) a i F ( t , y ( t ) ) d t

k=0 xk

y + Г а + 1) k C F (xk, yk) « - k+ і— < - k )

Таким чином,

уп+і = y0 + Г (а + 1) ^ 2 f (xk , yk) x

x l F ( t , y (t)) — F (tk , yk) l d t■ (15)

Д ля x Є [xk jxk+і]

lF(x , y (x )) — F ( xk,yk)| <

< lF(x , y (x )) — F ( xk, y (x ))l +

+ lF(xk, y (x) ) — F(xk, y (xk ))l +

+ lF(xk, y (xk)) — F ( x k, yk) l = Аі + A 2 + A3. Нехай [10, с. 124]

u ( F ; h, 0 ) = sup s up l F (x , y ) — F(xk, y ) lУ \x-xk\<h

є частинний модуль неперервності функції F(x, у ) . Т оді Аі < u ( F ; h, 0).

Потім для x Є [xk, x k+\]

(x) — y (xk^ <M

X

Xxk

{(xk — І)а - і — (x — t )a- і ) dt+

+ (x — t ) a dtxk

MГ (а + 1) \2 (x — xk)a — (x<a — x<k)] <

< 2 M h a Г (а + 1)

(16)

k=

Отже, враховуючи (16), маємо оцінку А2 < (2КМНа )/(Г(а + 1)).

Беручи до уваги оцінки для Аі ,А2 , а також те, що А3 < К \8к \, одержимо для х Є [хк, хк+і] наступну оцінку

\Т(х,у (х) ) - Т (хк, у к)\ < К \8к\ + В,


x

1

x

1

1

В = и ( Я ; к, 0) +2 М К к а Г (а + 1)

Звідси та з (15) випливає оцінка

1 п№,+і\< щ £ К ' \ + в ) X

к=0Хк+1

<

X J (хп+ 1 - і ) а д іХкп

х £ ( К \5к \ + В )к=оК п

Г (а + 1)х

-у* -у*'хп-к+1 хпа к п к <

Г (а + 1) У \4 \ (ха-к +1 - х<а-к ) + Р , (17)к=о

рТ а

и ( Я ; к , 0) +Г (а + 1)

Інтегральне рівняння

2 М к а Г (а + 1)

г (х ) = Р +

має розв’язок [11, с. 123]

г (х ) = Р ■ Е а ( К х а ),аОО

(7о,71> • • • , 3м ) , 3 0, ш0 = Р і

\кп+1 \ <

д , і у такі , щ о д0

К п

Г (а + 1) Х ^ к \хк=о

х (ха-к+1 - х<а- к ) + р

®п+1 АК

Г (а + 1) к=о

Д о в е д е н н я . Скористаємося методом математичної індукції. За умовою леми \?0\ < ^ 0. Нехай \дк\ < ю к, к = 0,п . Тоді співвідношення \дп+1\ < шп+1 безпосередньо випливає з (20), (21).

Доведемо, що ю п = г ( х п ) задовольняють (21). Згідно (19) г (х ) > 0 і зростає на [0 , Т ]. Тоді в силу (18)

z(xn+l) = Р +К

X

Г (а)

пУ / (хп+1 - і ) а - 1 г ( і ) д і >

п V

Хк+1

> Р +

к=о

К

Хк

Хк+1

Г( а ) ^ к=о(хп+1 - і ) а z(xk) д і

Хк

(х - і ) а г ( і ) д і (18)

Р +К

Г (а + 1) У2 г (хк ) (х - х<а- к ) .п - к+1 - п -кк=о

(19) Лему доведено.

де [1, с.ЗЗ] Я а (т) = ^ 2 г т д а г _ функціяк=0

Мі г гаг - Леффлера.

Л ем а. Нехай с іт к о в і ф у н кц і ї у у =

Н аслідок. Зг і дно (17), (19) т а л емиотр има є мо , щ о \£п\ < г (хп ) < Р ■ Еа ( К Т а ). О т ж е , 5п — 0 при к — 0, том,у щ о Р — 0 при к — 0. Зазначим,о, щ о я к щ о Я ( х , у ) з а-

хК\ = 0 ( ка ).

П риклад. Розглянемо задачу

(2 0 )О 0 У(х) = х у +

1х 2

г § )х х

У(0) = 1•

х {х<а- к + 1 - х<а- к ) + Р , П = 0 , Я - 1• ( 2 1 ) у = 1 + х

ТодіШ < 'шп,п = 0 ,М,

п р и ч о м у с п і в в і д н о ш е н н я м (2 1 ) з а д о в о ль н я -

Позначимо через уп(щ) — наближене значення у ( х п ) при к 1 = 0, 0025 та у п(и2) — наближене значення у ( хп ) при к 2 = 0 , 001 .

Нижче у таблиці наведені значенняю т ь ю п = г ( х п ), д е г (х ) — р о з в ’я з о к і нт е - у ( х п ), у п(щ) та ущщ)- г р ально г о р і в н я н н я (18).


1

Х

№ х У(хп) Vn(hi) y n(h2)1 0 1 1 12 0.1 1.1 1.0986 1.09953 0.2 1.2 1.1986 1.19944 0.3 1.3 1.2985 1.29945 0.4 1.4 1.3984 1.39946 0.5 1.5 1.4983 1.49937 0.6 1.6 1.5981 1.59938 0.7 1.7 1.6979 1.69929 0.8 1.8 1.7976 1.799110 0.9 1.9 1.8973 1.898911 1 2 1.9968 1.9987


1. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.Н. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минек: Техника, 1987. — 688 е.

2. Kilbas A.A., Bonilla, В., Trujillo J.J. Existence and uniqueness theorems for nonlinear fractional differential equations. // Demonstration Math. — 2000. - 33, № 3. - P. 583 - 602.

3. Джрбашян M.M., Нерсесян А.Б. Дробные производные и задача Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка. / / Изв. АН Арм.ССР - 1968. - 3, № 1. - С. 3 - 29.

4. К оч уб ей А.Н. Задача Коши для эволюционных уравнений дробного порядка. // Дифференц. уравнения. - 1989. - 25, № 8. - С. 1359 - 1367.

5. Эйдельман С.Д., Чикрий A.A. Динамические игровые задачи сближения для уравнений дробного порядка. // Укр. мат. журнал — 2000. — 52, 11.- С. 1566 - 1583.

6. Caputo М. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent. // Geophys. J.R.Astr.Soc. - 1967. - 13. - P. 529 - 539.

7. Килбас A.A., М арзан С.А. Задача Коши для дифференциальных уравнений с дробной производной Капу i d . // Докл. РАН. — 2004. — 339, № 1. -С. 7 - 11.

8. Килбас A.A., М арзан С.А. Нелинейные дифференциальные уравнения с дробной производной Капуто в пространстве непрерывно дифференцируемых функций. // Дифференц. уравнения - 2005. - 41, № 1. - С. 82 - 86.

9. А збелев Н.В., Цалюк З.Б. Об интегральных неравенствах. // Мат. сб. - 1962. - 56, № 3. - С. 325 -342 .

10. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. - М.: ГИФМЛ, 1960.- 624 с.

11. Д ж рбаш ян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. - М.: Наука, 1966. - 671 с.



УДК 517.956

© 2006 р. В.В.Городецький, Н.М.Шевчук


З А Д А Ч А КОШ І Д Л Я ЕВОЛЮ ЦІЙНИХ РІВН ЯН Ь З ОПЕРАТОРАМИ УЗАГАЛЬН ЕН О ГО ДИФЕРЕНЦІЮ ВАННЯ

Розвивається теорія задачі Коші для еволюційних рівнянь з операторами Гельфонда- Леонтьєва: встановлюється розв’язність задачі Коші для таких рівнянь у просторах типу W та просторах узагальнених функцій (аналітичних функціоналів) типу W

The theory of the Cauchy problem is developed for the evolutionary equations with Gelfond- Leontjev operators. The solvability of the Cauchy problem is established for such equations on the spaces of type W and on the spaces of generalized functions (analytical functionals) of type W

У праці [1] знайдено умови коректної визначеності та непереревності операторів узагальненого диференціювання Гельфонда- Леонтьєва у просторах типу W. Відомо, що простори типу W та W - простори, тополо-

Wнами початкових даних задачі Коші для широких класів рівнянь з частинними похідними як скінченного, так і нескінченного порядків. У цій роботі встановлюється розв’я зність задачі Коші для еволюційних рівнянь з операторами Гельфонда-Леонтьєва в про-

Wфункцій типу W '.

1 . Простори типу W . Нехай M (x) =x x

J ß (0 d£, Q(x) = J и ( С де ß, и - 0 0неперервні зростаючі на [0 , + ж ) функції, причому ß (0) = и (0) = 0 lim ß(x) =x—

lim u (x ) = + ж . Функції M, Q продов-X— + 0жимо на (—ж , 0] парним чином. Отже, M та Q - диференційовні, парні на R функції, зростаючі та опуклі на [0 , ж ) (тобто[2], y { x i , x 2} С [0 , + ж ): M (x i) + M (x2) < M (x i + x 2), Q (xi) + Q © ) < Q(xi + x 2)), M (0 ) = 0 Q(0 ) = 0 lim M (x) =X— + 0lim Q(x) = + ж . За допомогою функцій MX— + 0

та Q Б. Л.Гуревич ввів простори Wm , W п, Ч Д як і він назвав просторами типу W.

Зокрема, символом Ч ^ позначається сукупність цілих функцій д : С ^ С, для яких

З с > 0 За > 03Ь > 0Уд = х + і у Є С :

|р(д)| < с ехр{—М (ах ) + П(Ьу)}

(сталі с, а Ь > 0 залеж ать лише від функції Д . Ч ^ можна подати як об’єднання злічен-

тт гО,,Ьно нормованих просторів ЧМаї котР! складаються з тих функцій д Є Ч Д для яких справджуються нерівності

Д(х + іу) | < с ехр{—М( ах ) + П(Ьу)},

д = х + і у Є С,

де а - довільна додатна стала, менша за а, Ь Ь Д Є Ч^-’О, покласти

II ДІД = 8ир[|Д(д)| ехр{ — П((Ь + р)у ) +хЄЄ

+ М (а(1 — Д х)}], р Є К Д Є {1/п,п > 2},тт тП’6то з цими нормами Ч Ма перетворюється

в повний досконалий зліченно нормований простір. Збіжність в Ч ^ (як об’єднанні зліченно нормованих просторів) еквівалентна такій збіжності [2]: послідовність { д п , п > 1} С Ч ^ збігається в Ч ^ до нуля тоді і тільки тоді, коли вона: 1) правильно збігається до нуля (тобто рівномірно збігається до нуля на кожній обмеженій області Q С С); 2) обмежена (тобто { ^ ( д ^ < с ехр{ — М(ах) + П(Ьу)}, де сталі с, а, Ь те залеж ать від п).

Зауважимо, що якщо М(х) = х 1/а, 0 < а < 1, х Є [0, + ж ), П(у) = у 1/(1- в \ 0 < в < 1, у Є [0, + ж ) і а + в > 1, то Шм = 3 е (про простори типу 3 див. у книзі [3]).

У просторі визначені і неперервніоперації диференціювання, множення на незалежну змінну, зсуву аргументу. При певних умовах у просторі визначений і є неперервним оператор диференціювання нескінченного порядку [4].

Важливим є питання про нетривіальність просторів Шм, оскільки ці простори можуть містити лише єдину функцію р = 0. Так буде, наприклад, якщо

І іт (П(Ьх) — М( ах ) ) = — жХ Ж

для довільних а Ь > 0 [2]. В [5] доведено, що необхідною і достатньою умовою нетри- віальності простору є умова:

З і > 0 Зс0 > 0 Зхо Є (0, + ж ) Ух > х0 :

П(х) > с 0М ( і х ) .

Припустимо, що функції П та М задовольняють умову нетривіальності вигляду П(х) = М ( і х ) , х > 0 , з деякою сталою d > 0 . Символом позначимо сукупність тихфункцій р з простору Шм, для яких

З а > 0 З с > 0 Уг = х + і у Є С :

\р(х + іу)\ < с е -м(ах)+м(а1У)

і покладемо, за означенням,

Ш(d) := У Ш := П Ш(і ) .а>0 d>0

компактної збіжності. Т ут ми розглядаємо такі оператори у просторах типу Ж, тобто в просторах цілих функцій, відмінних за своєю топологією та властивостями від просторів Ак . Оператор Гельфонда-Леонтьєва будується за допомогою послідовності [йк , к Є Е+}, яка задовольняє умову

І іт (к 1/р\йк\1/к) = (6в р ) 1/р, 0 < 6 , р < СЮ,к^жтобто йк, к Є Е+, - коефіцієнти Тейлора деякої спеціальної цілої функції Я порядку р і типу а. Слідуючи [6], задамо оператор Гельфонда-Леонтьєва Б п (Я, •) (и Є N - фі-

Жксоване) таким чином. Нехай р ( г ) = Е Ьк г к

к=0- довільна функція з простору Ж ; покладемо, за означенням,

В п ( Т , р ) ( ; ) : = У ' Ьк — г—У п »п „к—п —

к=п йк

Ьк=0

'к+п'йк к ґГ'і- г к С.

ак+п

Простори Ш( і ) Ш нетривіальні.

2. Оператори узагальненого диф еренціювання Гельф онда-Леонтьєва у просторах типу Ш. Оператори Гельфонда-Леонтьєва утворюють важливий клас операторів узагальненого диференціювання. Властивості цих операторів досить повно вивчені у просторах Ле , 0 < Я < ж , всіх однозначних та аналітичних у крузі К е = {г : \г\ < Я} функцій з топологією

В [1] доведено, що наведене означення є коректним, оператор Б 71 (Я, •) неперервно відображає Ш в Відзначимо, що

і прБ п ( е г , р ) = т°бто Пп ( Я , р ) дійсно мож на розуміти як узагальнену похідну порядку п функції р, породжену функцією Я ( г ) (замість функції еД. При певних умовах у просторах типу Ш визначений і неперервний оператор Гельфонда-Леонтьєва нескінченного порядку [1], тобто оператор вигляду

Жд (Б{Я, 0 ) : = Е СпОп (Я, •),

п=0Ж

де д ( г ) = Е с пг п - ціла функція, яка задо-п=0

вольняє умову

Ує > 0 Зсє > 0 Уг = х + і у Є С :

\д(г)\ < с є е м(єх)+м(єу) .При цьому оператор Лд := д ( Б ( Я , •)) неперервно відображає Ш в Ш м . Д алі вваж аємо, що Я (г ) = еУ

3. З а д а ч а К ош і д л я еволю цій них р івн я н ь з оператором Гельф онда-

Звідси вже випливає (див. [1]), що в просторі Ч

Р0Л ео н тьева . Нехай Р ( д ) = а кд к , д Є С, є ір (а) . 4 Ч м

м

а 0 = т а х |ак|,1<к<р0

к=1

Р0 Р0Р (А) := ^ ] а к О к (У, •) = X ] акАк

к=1 к=1

(Ь > 0 - фіксований параметр), тобто для довільної функції р Є Ч ряд

^ ЬП( е ‘р <ЛУ ) ( д ) ;= У ] ~ Р П(А)Р(д) (3)

п!п=0

Ак := Б к (У, •) - оператор узагальненого ди- зображає деяку функцію ф з простору Ч М ' ференціювання Гельфонда-Леонтьєва. Відомо [1], що для довільної функції р Є Ч справджуються нерівності:

при цьому оператор е іР(а) є неперервним.

\(Атр ) ( д )| < е тв -м(аіх)+м(Ьіу),

д = х + і у Є С,

де сталі а 1; Ь1 > 0 не залеж ать від ш, причому

а 0

ао ао

НІСТЬ

\Рп(А)р(д)\ < ^ с с ^ е -м(а2х)+м(Ь2у),

а 2,Ь2 > 0, д Є С.

Нехай БП’і’р позначає частинну суму ряду(3). Тоді Ап ’ф

Че іР(А)р при п ^ ю за

0 < с т < со — , со > 0 , ао > 0 ,\VrnJ

ит - розв’язок рівняння ху (х ) = ш , ш Є N (послідовність [ ит , ш > 1} є зростаючою і необмеженою). Звідси випливає, що

Р ( А ) е іР(А)р = Р (А) І іт Бп,і, =п—

П ькІ іт Р(А)Бп,і ,р = І іт V —Р к+1(А)рп—х п—х ' й!к=0

п Ьк= Е й Р к+1(А)р;

к=0рР (А),при цьому функція ф := Р ( А) е ^ ‘' р нале-

ЧЧ

с т < с0 І І = с0 <Рт > ш0 = . (1)\А/ Л

Із (1) випливають також нерівності

\ (А^р)(д)\ < с е ^ е -м(аіх)+м(Ьіу),

У І : 1 < і < ш,

де (с0 = т а ^ 1, >. ТодіІ ^1 )

\Р(А)р(д)\ < С0Д 0е-м(аіх)+м(Ьіу),

с0 = с^арро, д = х + і у Є С. (2)

Врахувавши (2) доводимо, що для довільного фіксованого п Є N правильною є нерів-

д и — = Р(А)и , ( і , д ) Є ( іо,Т] х С = П,

і > 0 ,Т < о о ,

и ( і, •)І=І0

= ро, Ро Є Ч.

(4)

(5)

Під розв’язком задачі Коші (4), (5) розумітимемо функцію и(Ь,д) , диференційов- ну по і, яка при кожному Ь Є (Ь0 , Т ] є елементом простору Ч м , задовольняє рівняння (4) та початкову умову (5) в тому розумінні, що и(Ь, •) ^ р 0 при Ь ^ Ь0 у просторі Ч ^ ; при цьому и неперервно залежить від р0.

Т ео р ем а 1. Задача К о ш і (4), (5) р о з в ’я - Ч

є г п ь с я формулою

и(Ь,д) = е (і-І0)Р (А)ро(д) =

= і : {рч 1 - р п(А)Ро(д).п=0 п !

зо Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер сит ет у . 2006. В и п у ск 314-315. Математика.

т

т

Д оведення. Введемо позначення: К С С і рівномірно по Аї, для досить малих Ж(ї , ї0, Л ) р 0 = е ( і - і°р ( л ) р 0 і доведемо, що значень \АЬ\. Отже, можна здійснити грани- функція ЖЦЦ0,Л )р 0, як абстрактна фун- чний перехід при Аї — 0 під знаком суми; кція параметра ї і з значеннями в просторі в результаті дістанемо, що І іт Ф д і ( г ) = 0Шм ) диференційовна по С Іншими словами, (рівномірно по г Є К С С). Цим доведено, доведемо, ЩО граничне співвідношення щ0

{ 1 дФ д г ( г ) :^ А [Ж(ї + А ї , ї 0, л ) р 0( г ) — — Ж(ї, Ї0, Л ) р 0( г ) = Р(Л)Ж(ї , Ї0 , Л ) р 0 ( г ) =

) Ж (ї _ ї )п— 0, ^ " П Р ( л ) р 0 ( г )-

п=0 'Аї — 0, г = х + і у Є С, Таким чином, функція

виконується В тому розумінні, ЩО сім ’я фун- п (_, г ) = Ж(ї ї Л) п ( г ) =• „ Гі т • / \ Ґ- и ( ї , г ) = Ж(ї , У0 , Л ) р 0( г ) =кціи {ФдЦ рівномірно (по г ) збігається донуля при Аї — 0 у кожній обмеженій обла- Ж ( — ї 0)псті К С С і при цьому справджується оцінка П ^ ~ Р п (Л)р 0( г )

\Фд*(г)\ < с е - м (ах)+м Уу) , г = х + і у Є С, (6 )

П!n=0є розв’язком рівняння (4).

зі сталими а, Ь с > 0 , те залежними від At. „ (t — to) „ n/ .. , . _tt Р яд > ;-P (A)p0(z) збігається заСкориставшись теоремою Л агранжа про n ! v /r v 7n=o

скінченні прирости дістанемо, що топологією простору W M і рівномірно по t Єж (t + 9At — t 0)n [t0 ]■ У зв ’язку з цим можна перейти до

ФдДД = P ( A ) ^ ^ ------------j----------P n(A) p 0 (z) —границі при t ^ t 0; в результаті дістанемо,п!n=o

Ж ( + - Р )п Іі т Я ( і ’ *0 ’ А ) р 0 ( г ) = р 0 ( г ) .Р ( А ) Ж ( р п ( А) р 0 ( г ) = ^ і0' и ! _п=0

ж (і + 9АЬ — і )п — (і — і )п Далі в просторі (Ж^У вивчимо задачу= р А ) £ — 1 ----- !------------------ х Коші для еволюційного рівняння з опера-

п=0х р п (А)р 0( г ) =

ж (+ п а , \п (, \п ний до Б п (Р, •) оператор, який позначатиме----------- —------ (------— р п+ 1 (А)р0(г ), мо символом (Па (Я, •))*.

п=0 и ' Кожна функція р Є Ж С Ж єдиним0 < $ < 1 (7 ) способом розкладається в степеневий ряд:

' ' ЖЯкщо вважати, наприклад, що \Аі\ < і, то р ( г ) = Ькг к; відомо [1], що коефіцієнти

к=0нерівність (6) виконується зі сталими с = Ьк = Ьк( р ) , к А 1, задовольняють нерівності

Ж' ^пС ь Ж Ж т Д е Ь = 2(2і - а = а 2 , ( оЛ\кп и ! 0 \Ьк \ < е [ — , с > 0 , а > 0 , 9 > 0,с и Ж к )Ь = Ь2 -

Ряд, написаний у правій частині остан- де ик - розв’язок рівняння хр(х) = к, нього співвідношення в (7), збігається рів- к > 1 (послідовність [ и к , к > 1} є зроста-

г

при цьому

(A T : 4 - С0 , f * : c° - (WM)', ( f T

Ьф = {Ьк ( р ) , к > 1} є елементом просто- с 0

р Є Чність послідовність ї ї коефіцієнтів Тейлора ч , м у І (Тп)*(£*)-1 : ( ч м ) /Ьф = {Ьк( р ) , к > 1} При цьому різним фун- ( м ) со’ ( ) (/ ) : ( м ) со.кціям з простору Ч відповідають різні по- Візьмемо довільний функціонал д Є с '0.слідовності в со- Таким чином, відображення Відомо, що с0 = І1 , д е /1 - простір усіх абсо

лютно сумовних послідовностей д = {дк , к Є / : Ч м Э р ^ Ьф = {Ьк(р ) , к Є Т } Є со ^ +}. Д ія функціоналу д Є с0 = /1 на елемент

є ін’єкцією. Відображення / як оператор, є, очевидно, лінійним, який має обернений, боКег/ = {0}-

Коефіцієнти Тейлора функції

T ( z ) — Dn ( F , p ) ( z ) = V Ък+п^ - , p Є W,к=0 ak+n

при певних обмеженнях на послідовністьak

= {А, Ъ2 , . . . } Є Со задається формулою

< 9 , К >= 9 (М = ^ 2 Ък9к-к=0

Отже, для довільного 9 Є С0 маємо:

< 9, f (A%P ) >=< 9, A n f (P ) >—< 9, AnK >

=< (An) * 9 \ >;

[1]:a k+n

к Є Z+ задовольняють нерівності < 9 ,ЛпЪ >=< 9 ,Ъфп >= Ъп— 90+Ъп+1— — 91+an an+1

а к,п\ — \Ък+пak

а к+п. a 1d

< С1 ----Vк

к > 1,

+Ъп+2-------92 + • • • = Ъп = 9о + Ъп+1----- : 91 +an+2 an an+1

+Ъ'п+2:де c1 = c 1 (n) > 0 a 1 > 0 d > 0. Отже, а к,п — 0 при к — ж (при фіксованому n Є N). Таким чином, відображення f зіставляє функції фп = Dn (F, p ) послідовність

a 2an+2

92 + . . . . (9)

j, - I k a0 j, a iЪФп — Ї Ъп ,Ъп+ 1 -------:an an+1

'n+2_a 2

an+2

Нехай

(An )*9 := 9 * = {9*, 9 * }Є Со = 0 ;

тоді з (9) випливає, що

a !9

Д ля зручності введемо позначення: An := Dn (F, •) і розглянемо oneратор 4n: Со ^ с0, який кожній послідовності bv = f (р) Є со, р Є W, ставить у відповідність послідовність f (Anp) = Ьдпр = Ьфп Є со, тобто

0 , . . . , 0 , 0° 9оan an+1

91,nгМ \!

( 10)

У просторі (WM ) розглянемо рівняння

du( t )dt

- ( A n )*u(t ) , t Є [0,T] ,T < ж ,

(11)де (Ап)* - оператор, спряжений до оператора узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва Б п (У, •) (п Є N - фіксоване).

Під розв’язком рівняння (11) розумітимемо абстрактну функцію параметра Ь із зна-

Отже, спряжений до оператора Ап опера- ченнями в просторі ( Ч м )| (тобто узагальнену функцію и(Ь) Є ( Ч м )0 , сильно диферен-

Ь(Ч )і

An f (p) = f (Anp ) , Vp є W.

Звідси дістаємо співвідношення:

( f • An)* = (An f )*, (An) * f * = f *(An)

тор (Ап)* має вигляд

(Ап)* = (Пп(К, •))* = f *(Ап )* ( І* ) - \


к

Якщо для (11) задати початкову умову

и|*=о = ио Є ( Ч М )', (12)

то під розв’язком задачі Коші (11), (12) розуміємо розв’язок рівняння (11), який задовольняє початкову умову в слабкому сенсі, тобто и(Ь) ^ и 0 при Ь ^ +0 у просторі(ЧМ) ' -

Теорема 1 стверджує, що задача КошіЧ

ма, у випадку Р (А) = Ап = Б п (Е, •)); тоді, використовуючи зв ’язок м іж розв’язками задачі Коші в основному та в спряженому просторах (див. [2, с. 41]), дістаємо, що задача Коші (11), (12) коректно розв’я-

( Ч ) ' и о Є ( Ч ) '

( Ч ) 'від початкової умови - узагальненої фун-

и о Є ( Ч ) '(Ап)* = f * (An ) * ( f *)- 1, то рівняння (11) набуває вигляду

du( t )dt

dtпри цьому

= goCO, = = g i i t ) , 4 = 92(t ),an an+1 an+2

d9 (t), lim *d t At^o At


g (t + At) - g (t)

lim ( f *) At—* 0

* \ - l u ( t + At) — u(t)At

( f *)l lim

At ou ( t + At) — u(t)

At( f *)—і du( f ) dt

—f* (An )* ( f * ) —1 u( t ) . (13)

На обидві частини (14) подіємо відображенням ( f *)-1 ; в результаті одержимо рівняння

у . ) _1 = — { І п у (f . ) - 1и(Ь);

, An du(тут ми скористалися тим, що —------> — при

At dt At ^ 0 у просторі (W м) ' ) - Отже,

( л —1 d'Пф = ' ( ( f V u M ) =

= {«0 ( t ) .« 1( t ) . 92 ( t ) , . . . }. (16)Із співвідношень (15), (16) випливає, що

«0(t) = 0 , 9І (t) = 0 , - - ■,9'n-i(t) = °

тобто

«0(t) c0,g 1 (t) С1 j • • • ■ g n—1 (t) c n— 1 ■

де Сі = const І Є {0, 1, • • • , n — 1}. Тоді

g n (t) = — = g0(t) = — = c0jan an

«n+1(t) = — = = g1(t) = — = = c1jan+1 an+1

» , , 1 / 4 1g2n—1 (t) = — = = g n 1(t) = — = c n—1 .

a 2n - 1 a 2n—1Звідси дістаємо, що

a0(У*) ~ Ч =0 = (У*)- 1ио Є с0. (14)

Введемо позначення: (У*)-1 и(Ь) := д(Ь) Є с0- Оскільк и с0 = 0 , то д(Ь) ={д0(Ь,д1 (Ь ) , . . . )}. Тоді, скориставшись формулою (10) знайдемо, що

(An ) * ( f *)—1 u( t ) = (An )*g (t)= 0 , . . . , 0,

gn(t) = — = Cot, + Cn,an

gn+1(t) = — c1t + c n+1 ,an+1

an— 1

(15)

д2п -1(Ь) = — с п - 1Ь + с 2п - 1.а 2п -1

Нехай (У *)- 1 и 0 = {и0,и0,и2, . . . } Є с0 =0 . Урахувавши початкову умову (14) знайдемо, що і1ігп0ді(Ь) = д і (0 ) і Є ^ +, тобто

дг(0) = и°, і Є ^ +. Отже,g (t ) tзначеннями в просторі C0, сильно диферен-

t

Co = u 0, C1 = u 1, . .. , Cn—1 = u n—1,

go(t) = u00, g1(t) = u ° , . . . , g n —1(t) = un—1,/ \ ao 0 о , v 41 0 0

g n (t) = —= uot +un, gn+1(t) = — u 1t+un+1ian+1

33

=< и 0, р > .

д2 1 (Ь) = — — 1 и 0 ї + и 0 Ь Є (0 Т] приклад оператора Гельфонда-1------------------ п— 1 2п— 1 5 V ) т~\п / 7—і \а 2п - 1 Леонтьєва розглянемо оператор Б'" (Я, •),Д алі знаходимо, що побудований за спеціальною функцією

ґі ґі ґі Ж Ж к/ /,\ ап / ,\ а 0 , ап 0 X—г 7 X—г г кд 2п (ї) = — = д п (ї) = — и 0ї — — и п , Я ( г ) = V ак г к = 1 + V — ——д-------- гт-,

а 2п а 2п а 2п к —0 р ( 1 ) р ( 2 ) . . . р ( к )тобто (18)

— ап Де Р(х) ~ поліном: р(х) = а рхр + • • • + а 1х ,

д 2п( ї ) ---- и°0Ь2 — =п и^Ь + С2п = причому р ( к ) = 0 к Є {1, 2 , . . . }. При ве-2 а 2п а 2п 1

ликих значеннях к коефіцієнт ак= Л Д ?/Д _ * 1 . и 0 Ь + и 0 ак (к!)Р

2а2й а й п 2п ' і) я к показано в [6 , с. 75], Я -- ціла фун-Продовжуючи цей процес, знайдемо всі ко- КЦІЯ порядку 1 /р і типу а = р /р \а Р\. Якщо ординати д і (Ь), і Є Е+. р ( х ) = Т то Я ( г ) = е ■

Таким чином, розв’язок задачі Коші (11), У випадку (18) маємо, що [6 , с. 75](12) миє вигляд тр

и(Ь) = /*д( і ) = / - Ш ) , д і (Ь) , . . . } Є (Шму . ° т ( Я ' р ) = Е - к т гк—тр<к' ( г У ( !9 )к=т

З ’ясуємо, як діє функціонал и(Ь) на довільну тфункцію р Є Маємо, що де коефіцієнти ^ знаходяться з розкладу

< и (Ь) , р >=< /*д(Ь) ,р >=< д(Ь) ,/( р ) > . фт(х) = р ( х )р (х — Д .. . р ( х — т + 1) =

Зауважимо, що /(р ) Є а , тобто /(р) = ПР А " ,{Ьк , к Є Е+}, де Ьк, к Є Е+, - коефіцієнти = ~ к Т х(х — 1 ) . . . (х — к + 1)Тейлора функції р, д ( ї ) Є сС0 при кожному =Ь Є [0,Т]. Оскільки сС0 = ї 1 , то функціонал 5 отже, мають виглядд (ь) Є Д, діє на елемент / (р ) Є с0 за форму- " . ~ „ 0\лою; Ак = ф" (к) — Ск фт ( к —1) + Ск фт (к — 2)------- +

+ (—1)кФт (0), к Є { 0 ,1 , . . . , т р } .< д ( ї ) , / (р ) > = ^ Ьк д к (t),к=0 Зауважимо, що оскільки фт (0 ) = фт (1)

(+\ и с у х ■ ••• = Ф" ( т — 1) = 0 (бо р (0) = 0), то А 0т)де д к а ) , к Є £+, обчислюються за від повід- А(т) А(т)•••АІ ) = • • • = А"п—1 = 0, і тому

(к)уп\ " Ф А (т)< и ( і ) р р > = ^ Ьк дк (ь), Ьк = — , фт(х) = ^ ^ ~ к ~ х(х — ^ . . . ( х —к + 1). (20)

к=к !к=0

к Є Ж+,Ь Є [0,Т]. (17) Формула (19) здійснюється для довіль-лм ної функції р Є Ш. якщо р ( г ) =

Формула (17) задає функціонал и(Ь) на Шм жпри к о ж н о м у Ь Є [0,Т], ^^^й ^ ^ ^ о т о л ь н я є "'^^Ьпг п ,то при к > т

п=0СЮ СЮ

І іт < и ( Ь ) , р > = Ь кд к (0) = Ьки°к = г к т р (к') ( г ) = п ( п —1 ) . . . ( п —к+1)Ьпг п тк=0 к=0 п=к

= У п ( п — 1 ) . . . (п — к + 1)ЬпДп - т .п=т

Аношення (19); тоді

с0 = І1; а також вигляд коефіцієнтів {ап , п Є Z+} знаходимо, що

д (Ь) = {1, Ф

АтР д (т )Х""' Д кк=т к!к=т

■X

Ь. 0 , — = , 0 ,

ап

Ь^_ 03!а3п

Ь2,0 , — , 0 ,

2 а 2п

},

, 0 ,

кпх

п(п — 1) . . . (п — к + 1)ЬДЄ а кп р ( і )

х п ( п —п= т

х

І=1

тР д (т)X ! Ьп ( У —ккрп ( п —1) . . . (п—к+ 1)дп

яка визначає розв’язок рівняння (11) як лі-Ч

п=т к=тА

XУ " Ьп'фт(п)да - т . Алеп= т

'Фт.(п) = р(п)р(п — 1) . . . р ( п — Ш + 1)

( 1) к кп< и ( ь ) , р >= Ьо + у Ьк п ~ к ~ І П р (і) І ьк;

к=1 І=1

ап т

тобто

А = Ьп дап

о т ^ , р ) ,

що й потрібно було довести.Розглянемо тепер задачу Коші (11), (12)

з оператором Гельфонда-Леонтьева, побудованим за функцією У, яка визначається формулою (18) та з початковою умовою и0 = 8 , де 8 - дельта-функція Д ірака. О с к і л ь к и < и 0, р >=< 8 , р >= р (0), то для

р (д ) = Е Ькдк Є Чк Є Чк=0

р (0) = Ь0

XУ Ькй°к =< 8 , р >= р (0) = Ьок=0

дістаємо, що

(/*)- 1ио = {1, 0 , 0 , . . . } = {и0,и 0, . . . } =

= {д0(0) , д1 (0 ) , . . . } Є с0 — І1 .Урахувавши співвідношення, як і визначають д (ь) = (/*) - 1и(ь) = {до(ь),д1 (Ь)^ . . } Є

Ьо = р (0 ),

прн цьому и(Ь) ^ 8 при Ь ^ +0 в просторі (Ч )і


1. Городецький В .В ., Гома Н.М. Оператори узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьева у просторах типу Ш // Науковий вісник Чернівецького університету: 36. наук. пр. Вип. 288. Математика. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 41 - 50.

2. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. - М.: Фи- зматгиз, 1958. - 274 с.

3. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. - М.: Физматгиз, 1958. - 307 с.

4. Городецький В .В ., Л енюк О.М. Задача Коші для еволюційних рівнянь з оператором диференціювання нескінченного порядку // Вісник Київського університету. Серія: фіз-мат. науки, 2000. - Вип.4. - С. 65 - 70.

5. Готинчан Т.І. Про нетривіальність та вкладення просторів типу Ш // Науковий вісник Чернівецького університету: 36. наук. пр. Вип. 160. Математика. - Чернівці: Рута, 2003. - С. 39 - 44.

6. Л еонт ьев А.Ф. Обобщения рядов экспонент. - М.: Наука, 1981. - 320 с.


п тд

ап

п= т

УДК 517.956.4

© 2006 p. Т.І. Готинчан


П РО ІС Н У В А Н Н Я О Б Л А С Т І, В Я К ІЙ З Б Е Р ІГ А Ю Т Ь С Я О Ц ІН К И Н А Д ІЙ С Н ІЙ О СІ Д Е Я К И Х Ц ІЛ И Х Ф У Н К Ц ІЙ

Описано область комплексної площини, на яку поширюються оцінки з дійсної осі цілих однозначних функцій спеціального вигляду, зокрема, елементів та мультиплікаторів просторуWM ■

The domain of complex plane is described. The estimations of entire single-valued functions of special form (for example, elements and multiplieators of WM~space) from real axe are kept on abovementioned domain.

У праці [1], використовуючи теорему Фрагмена-Ліндельофа у випадку кута, для цілих функцій експоненціального зростання порядку р й скінченного типу була побудована область комплексної площини, в якій зберігаються оцінки з дійсної осі для зазначених функцій. За допомогою цієї методики можна узагальнити отриманий результат на випадок цілих однозначних функцій спеціального вигляду, зокрема, елементів та мультиплікаторів простору WM [1].

Розглянемо функцію щ: [0, + ж ) ^^ [0 , + ж ), яка є неперервною і монотонно зростаючою, причому щ(0 ) = 0 щ(1) > 1 ,І іт щ(к) = + ж . Д ля х > 0 розгляне-І^+Ж

X

мо П(х) = J щ(п)9щ Функція П є дифе- 0

ренційовною, монотонно зростаючою, опуклою вниз на [0, + ж ), причому П(0) = 0, І іт П(і) = + ж . Довизначимо парним чи-І^+Ж

ном ї ї на (—ж , 0].Розглянемо також функції р та М , як і

мають ті самі властивості, що й функції щ і П відповідно. За функціями М, П можна, зокрема, побудувати основні просториWm , W n , W ^ [2]:

(р Є Wm ) Ба > 0 Уи Є Z+ БСп > 0

Ух Є R : |p(n)(x)| < Cne -M(ax);

(р є W п) ^ БЬ> 0 Ук Є Z+ БСк > 0

Уг = х + i y Є C : lzhp(z) l < Cken(by);

(p Є w m ) a > 0 Ь > 0 C > 0

Уz = ж + г у Є С : \рД)\ < С е - м УУ+п(ьу) .

У праці [3] доведено, що = Шм Д Шп і простір є нетривіальним тоді й тільки тоді, коли виконується умова

3С0 > 0 39 > 0 Ух Є Е+ :

П(х) > С0М(9х) (1).

Надалі розглядатимемо функції П і М, як і задовольняють умови (1) і

ЗСо > 0 З х > 0 Ух Є Е+ : П(х) < СоЄт .

Правильне твердження.Т ео рем а. Я кщо ціла ф ун кц і я з а д о в о л ь

н я є у мо ви :

БСі > 0 БЬ> 0Уг Є C

|p(z)| < С івп№|);

БС2 > 0 Б а > 0Ух Є R

|р(х)| < C2e -M(ax),

(2)

(3)

т о і с н у є о б л а с ть О = ^ г = х + і у Є С

М (а\х\ + 1) г „1\у\ < Ь —:------Ь > 0 > , в як г и вико -П'(Ь\х\ + 1) )

н у є т ь с я н е р і в н і с т ь

\/(г)\ < С з е -М(ах), Сз > шах{С\, С2 ],

п р и ч о м у с т а л у а (0 < а < а ) м о ж н а в ибра т и я к з а в г о д н о б л и з ь к о ю до а.

Д о в е д е н н я . Розглянемо спочатку частину комплексної площини С++ = {г = х + і у , х > х0 > 0, у > 0}. Д ля неперервної функції д можна побудувати аналітичну в С++ функцію д а таку, що \д(х) — д а (х)\ < С, х > х0 [4]. Тому без обмеження загальності можна вважати, що функції М і П так і, що продовжуються аналітично в С++. Тоді, наприклад, для функції П в С++ правильний розклад

П(г ) = ^к=0

причому

к\ (іУ) , 0 < \у\ < х ,

ЯеП( г ) = ^ — 1 )к=0

,П(2к\х)' ~ т - у 2к,

І т П (г ) = у ^ (—1)к П(2к+ 1 '>(х) 2к

к=0 (2 к + 1)\ у

= j х д (2\ х ) б х + д ( і ) , і > 0 .0

дд (2\х) > 0 , х > 0 , то для неї правильна нерівність

д (і) < і д ' ( і ) , і > °. (4)Зазначимо, що функції М і П задоволь

няють нерівність (4).С++

/ (г ) = / ( г ) е м а ) е гП{іг),

де Ь > 0 - деяка стала. х > 0

\/(х)\ = \/(х)\еМ(ах)\Є^(Ьх') \ < С12 -

Враховуючи (2), у С++ функція / задовольняє нерівність

\/(г )\ < С і е п(ь^ е шм(ах)\е - Іт^д>х)у

Згідно з (1) і властивістю опуклості вниз М П

Я е М ( а г ) < \М(аг)\ < М(а\г\) <

< (1/Со)П((а/б)\г\) <

< П(([1/Со] + 1)(а/б)\г\),

а тому

Я е М (а г ) + П(Ь\г\) < П(Ь1 \г\),

де Ь1 = ([1/С0] + 1)(а/б) + Ь > 0 — стала. Оскільки функція П' є невід’ємною і зро-

х > 0 ,

ІтП(Ьг ) = ЬуП'(Ь(х + в у ) ) > П'(Ьх)Ьу,

0 < в < 1 .

Розглянемо спочатку випадок, коли фун- П

3 р > 2 З СА Є (0; 1] З С5 > 1 Vх > 0 :

С4хр - 1 < П(х) < С5хр .п

Тоді існує ЧИСЛО 5 > 0 таке, ЩО 5 < — . Роз-2р

С++ г = х + іу,


д ЄС к ((0, + го)), д(0) = 0, правильне співвідношення

і

[ х 1 д (к)(х) бх = і 1 д (к - 1 ) (і) —

—І I х1- 1 д (к - 1\х) бх , і > 0 , к > 1 , І > 1 . 0

І = 1 , к = 2

і і

і д ' ( і ) = J х д (2') (х) бх + ^ д ’ (х) бх = 0 0

і

x = s 0y , so = ctg(s), який разом з додатним Отже,напрямком дійсної осі є сторонами кута Gs . ,_____ _Тоді, враховуючи (4), одержуємо, що на цьо- \f ( x + i s ) \ < Ci e ix s £x ■му промені функція f задовольняє умову ~-------------,-------- ,

Якщо розглядати Ьє > щ у 1 + s 2, то на межі\f (z)\ < C 1 e Q(bi!zl ) e -Q'(*>x)*>y < z = x + i s смуги Gs функція f обмежена

сталою C 1 , де C 1 > C 1 .< C\eQ(b1V x2+y2)e -Q'(by)iy < У межах цієї смуги згідно з властивістю_ _ опуклості вниз функції 0 для функції f пра

вильна умова< C\en(biyv l+sDe -n(by) .

гг _ Г / л ö \f (z)\< C 1 e Q((bl+bЯкщо тепер розглядати b > щ у 1 + sö, тоТІ)

на зазначеному промені виконується ощн- Згідно з теоремою Фрагмена-Ліндельофа у ка \І( г ) \ < С 1 . Отже, на, сторонах утворе- випадку смуги функція / обмежена сталою ного кута функція / обмежена сталою С3 = та^С]^, С2} й усередині цієї смуги [5]. Сз = тах{С 1 , С2}. У межах цього кута згід- Отже, в обох випадках функція / обме- но з властивістю опуклості вниз функції П Жена на Є,? сталою.

/,

\f (z )\ < C l e Q(blIzI)e IImQ(bz)I <

< C i e Qj(bi IzI)+IQj(bz)I < C i e Qj((bi+bz)IzI).

f

f (z) = f ( z ) e -M (az)e -in(bz),

а томуЗгідно з теоремою Фрагмена-Ліндельофа у випадку кута функція / обмежена сталою \/(г )\ < С^е -Явм(ах)+іт^(Ьх)С3 й усередині цього кута [5].

Нехай тепер функція П задовольняє умо- Знайдемо таку підобласть у С 3 , щоб викову нувалась нерівність

Vр > 1 З Ср > 0 З V > 0 З С6 > 0 —Я е М ( а г ) + ІтП(Ьг ) < —М(ах)

Vх > 0 : Срхр < П(х) < С6е ^ х. з деякою сталою а (0 < а < а).Оскільки M (2) (x) > 0, x > 0, то

Урп

Тоді існує ЧИСЛО 5 > 0 таке, ЩО 5 < — .Розглядатимемо в С++ смугу О3 = {г = Я е М ( г ) = М ( х ) — М ) (х + в 1 у ) у 2 < м ( х )х + і у \ х > х0 > 0, 0 < у < 5}. Тоді аналогі- 2!чно до попереднього випадку встановлюємо, 0 < в 1 < 1

х > 1 /Враховуючи (4) і те, що функції М, П, М ',

\І(х + і 5)\ < С ^ ^ 1 ^ е - п '(і>х))у < П' зростаючі, одержуємо

—Я е М (а г ) + ІтП( Ьг) =< C 1 e Q(bi'X+SI) e - n /(bx)bx-X <

, . M (2\ a ( x + Oiy)) 2 2= - M (ax) + ------------ — a 2y 2+

+by —'(b(x + 02y ) ) <

Оскільки lim —— = +то, то —(— — < < —M(ax) + M ( a ( x + y ) ) — M(ax ) —ж^+те x x

< — ( bex), де b£ > b - д е я к а стала. —M ' (ax)a y + b y —'(b(x + y ) ) <

< - 2 М( ах ) + М ( а ( х + у)) — М ( а х ) У+х

+ЬуО!( Ь (х + у) ) .

Візьмемо а < а і розглянемо нерівність

ЬуП'(Ь(х + у)) + М ( а ( х + у)) — М ( а х ) У <х

< 2М (ах ) — М(ах) .

Множина ї ї розв’язк ів непорожня, оскільки функції М, М ', П' неперервні і при у ^ 0+ отримуємо

М(ах) < 2 М( ах ) — М(ах) ,

тобто М( ах ) > М(ах) .Отже, в підобласті області С 3 , верхнею

межею якої є

ЬуП ( Ь(х + у)) + М (а(х + у)) — М (ах ) у =х

= 2М (ах) — М (ах),

виконується нерівність

\ ! ( г )\ < С з е -М

Якщо розглядати

ЬуП'(Ьх) < ЬуО!(Ьх) <

< ЬуП'(Ь(х + у)) < ЬуП'(Ь(х + у)) +

+ М (а(х + у)) — М ( а х ) у <х

< 2 М( ах ) — М(ах) ,

тобто

ЬуП'(Ьх) < 2 М( ах ) — М(ах) ,

і врахувати, що

2М (ах) — М(ах ) > М(ах) ,

то в області С =

ТМ (ах)< Ь , х > х0 > 0 , 0 <Ь = Ь(а ,Ь, а ) < Ь>

и'(Ьх) )виконується необхідне обмеження для функції f .

Аналогічні дослідження можна провестиС ,

необхідністю замість х і у слід писати |х| і\у\-

Згідно з неперервністю функції

й в області О = | г = х + і у Є С

М (а\х\ + 1) 1у < Ь ^ ,—:-----Ь > 0 > , буде такожІУІ “ П'(&|х| + 1) ’ / ’ ^

виконуватись нерівність

и (г)|< С з е -М(ах), Сз > Сз.

Зауваж ення 1 . Отже, для елементів з простору Wм існує область зазначеного вигляду, на яку поширюються оцінки функції з дійсної осі.

Зауваж ення 2. Теорема правильна також й у випадку заміни умови (3) на умову

ЗС2 > 0 З а > 0Ух Є Е :

И х)| < С2ЄМ(“х). (3')Тоді в зазначеній області виконуватиметься оцінка

и (г)| < С з е М(ах), Сз > т а х { С і, С2},

а > аа.

Отже, й для мультиплікаторів простору W^I існує область зазначеного вигляду, на яку продовжуються оцінки функції з дійсної осі.

Зауваж ення 3. Якщо М (х) = хк ,П(х) = хр , х > 0, 1 < к < р, то отримані результати збігаються з наведеними у [1].

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ1. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства

основных и обобщенных функций. - М.: ГИФМЛ, 1958. - 308 с.

2. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. - М.: ГИФМЛ, 1958. - 276 с.

3. Готинчан Т.1. Про нетривіальність та вкладення просторів типу Ш // Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наук, праць. Вип. 160. Математика. - Чернівці: Рута, 2003. - С.39 -4 4

4. Л аврент ьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1987. - 688 с.

5. Л евин Б.Я. Распределение корней целых функций. - М.: Гостехиздат, 1956. - 434 с.

39Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер си т ет у. 2006. В и п у ск 314-315. Математика.

г = х + і у Є С |у| <

УДК 517.95

© 2006 p. Н. М. Гринців

Львівський національний університет імені І. Франка, Львів

Р О З В ’Я З Н ІС Т Ь О БЕ РН Е Н О Ї З А Д А Ч І Д Л Я В И Р О Д Ж Е Н О Г О П А Р А Б О Л ІЧ Н О Г О Р ІВ Н Я Н Н Я В О Б Л А С Т І З В ІЛ Ь Н О Ю М Е Ж Е Ю

Встановлено умови існування і єдиності розв’язку оберненої задачі визначення залежного від часу коефіцієнта при старшій похідній у параболічному рівнянні в області з вільною межею. Припускається, що невідомий коефіцієнт прямує до нуля при t ^ 0 як степенева функція te , 0 < в < 1.

There were established conditions of existence and uniqueness of a solution of inverse problem for parabolic equation with unknown time-dependent coefficient at the higher-order derivative in a free boundary domain. It was assumed that unknown coefficient vanishes at initial moment as a power t e , 0 < в < 1.

У роботі досліджено обернену задачу ви- та умовами перевизначення значення коефіцієнта при старшій похіднійу слабковиродженому параболічному рів- а ( і ) и х{0,і) = у з{і), 0 < ї < Т , (4)нянні в області з вільною межею. Вказаназадача поєднує два типи задач: обернену —'(Ь) = - и х ( к ( і ) , і ) + у 4 (і ) , 0 < і < Т , (5)задачу з виродженням та задачу з вільноюмежею, прикладом якої є задача Стефана де —о = к(0) > 0 - задане число.[1]. Кожен з цих типів задач досліджувався Заміною змінних у = —— = ї, зведемораніше. Так, обернену задачу з вироджен- к( і )ням для параболічного рівняння вивчено в заДачУ (1)- (5) до оберненої відносно невідомі, а для рівнянь еліптичного та гіпербо- мих ( а ( і ) , —і ) , у ( у , і ) ) , д е ь ( у , і ) = и (у— і ) , і= лічного типів - в [3, 4] відповідно. Задача в °оласті зі сталими межами і^тз вільною межею з інтегральною умовою {( y , t ) : 0 < y < l , 0 < t < T } :

перевизначення досліджена в [5], а з умовою а ( ) b ( yh ( t ) t) + yh ' ( t )Стефана, що задана і в даній роботі, - в [6]. v t = h 2{t)Vyy +---------------h( t )--------- Vy +

1. Ф о р м ул ю ван н я з а д а ч і. В області +c ( y h ( t ) , t )v + f ( y h ( t ) , t ), (6)Qt = {(x, t ) : 0 < x < h( t ) , 0 < t < T }де h( t ) - невідома функція, розглядаємо v (y, 0 ) = p ( y h ( 0 )), 0 < y < 1 , (7)обернену задачу визначення коефіцієнтаa( t ) > 0, t Є (0 ,T ] в рівнянні

u t = a ( t ) u xx + b (x , t ) ux + c ( x , t ) u ++ f (x, t ) , (x, t ) Є Qt , (1) a( t )

v ( 0 , t ) = y \(t), v ( l , t ) = /і2 ( t ) , 0 < t < T, (8)

Vy(0,t) = Уз(і ) , 0 < t < T, (9)з початковою умовою

h (t)

ф , 0) = ф ) , 0 < х < Ц°) , (2) г , у ) = - 0 < і < Т . (10)

крайовими умовами2. Т ео р ем а існ у в ан н я . Припу стимо ,

и ( 0 , і ) = у і ( і ) , и(Ь, ( і ) , і ) = у 2 (і ) , і Є [0, Т ] (3) щ о в и к о н у ю т ь с я у мо ви :

А!) щ є С 1 {0,Т], > 0,Ь Є [0,Т], + у ^ 4 (т) ) \ / ) + с (п к ( т) т)хІ = і , 2 , ь , с , ! Є С ([0 ,то) х [0, Т] ) , ! ( х , г ) > + к(т) ) ш(п,т) + с ( пк (т) ,т)х> о , ( х , і ) є [о , то) х [о , т], ц і є С [о , т], і = з , 4, у 4 (і) > 0 , г є [0, Т ], у 3 (і) > °, \і Є (0,Т], 3 И ш у 3 ( і ) і - в = М > 0; ^ ^Пйт, (у , і ) є Я т, (13)

і^+0А2) р є С 1 [0,к0], р ' (х) > 0, х Є [0, к 0]х ) Ж є І ? 0 1 "> Ж V / ? є І ? 0 1 ) ( х\ ?

Ь с f є На,0([0 Ні] х [0 Т]) а є (0 1) д е ^ ^0( у , і ) _ роз язок рівняння чи сло Н 1 б у д е в и з н а ч е н о н и ж ч е ; а (і)

А3) р ( 0 ) = у 1 (0), р ( к 0) = у 2 (0)- Уі = к 2 ( і ) Ууу + f ( у '( і ') , і ') 7Тоді м о ж н а в к а з а т и т а к е чи слоТ0 : 0 < Т0 < Т, я к е в и з н а ч а є т ь с я який задовольняє умови (7), (8). Він має на-в их і дними даними , щ о і с н у є р о з в ’я з о к ступний вигляд:( а , к , ь ) є С [0,%] х С 1 [0,Т0] х С 2 1 (Ят0) ПГ\С ’0( 0 Тп) з а д а ч і (6) - (10) такий , щ о . . [ ^ ^ ,к ( і ) > Х і є Ю,П а( і ) > Ь, і є (0 Л\ V, {у . і ) = у ° ( у л п 0) Л л к 0)Л!+та, і с н у є с к і н ч е н н а г р а ниц я 1ігп0 а ( і ) х 0

х і - в > 0 ' } а (т) } а (т)Д о в е д е н н я . Замінимо задачу (6)-(10) екві- + Є 1ц(у, і, 0,т) у,1 (т) дт — х0 к (т) 0 к (т)

д ( у , і ) = ь у (у, і ) , з умови (10) маємо * 1

Д( 1 і ) х Є 1п( у , і , 1 ,т)и2 (т)дт + І / О 1 ( у , і , п , т ) хк' ( і ) = — л М , і є М . (11) чУд ' { ’ Ц ^ '

Припустимо тимчасово, що функції а (і) > 0, х f (цк(т ) , т ) д ц д т- (15)і є ( 0 ,Т ], к ( і ) > 0 , і є [0,Т] відомі. Тодіпряма задача (6)-(8) еквівалентна наступній Продиференціювавши (15), знаходимо системі інтегральних рівнянь: 1

* 1 ^0у (у , і ) = к 0 J G2 (y , і , n , 0) Д (п к 0) д п —ь (у , і ) = Ь0(у , і ) + С 1 (у , і , у ,т)х 0

0 0 * *

Ь(ук(т) ,т)к(т) — у ш ( 1 ,т) — О2 ( у , і , 0 , т) к 1 (т) дт + ^ О2 ( у , і , ! , т) хх М , 2/ Ч + 0 0

і 1к 2 (т)

+ П { т ) ^ ш(п ,т) + с ( Пк(т) ,т)х хД( т) дт + ^ ! Є 1у (у, і , п , т )х0 0

хь (ц ,т)^ дудт, ( у , і ) є Я т, (12) х І' (Пк(т),т) д у д т- (16)

і 1Через Ок( у , і , п , т ), к = 1, 2 позначено функції Гріна відповідно першої (к = 1) та дру-

ш ( у , і ) = ь 0у (у, і ) + І І О 1у ( у , і , п , т ) х гої (к = 2 ) крайових задач для рівняння0 0 (14). Вони мають вигляд:

/ / Ь(п к(т) ,т)к(т) — п Д 1 ,т) + О ( у і п т) = _______ 1_______((--------------- Щт) --------------- + О‘ {%*''п Т] = -Щп(В( і ) — в іт))к 2 (т)

X Е exp +

+ (—1)к e x p i —

(у — П + 2 и ) 2ч т — ° (т))

( у + П + 2 и ) 24 (Є(і ) — Є(т))

в ( і ) = [ \ Ут, к = 1 , 2 .З п 2 (т)0

З умови (9), враховуючи введені позначення, отримуємо

а ( і)^ (0 ,і) = іл3{і)Н{і), і Є [0,Т]. (17)

іємо

потрібну гладкість, задовольняє рівняння

h (t) ho + Уі(т )dT —

u ( 1 , t )

Vt a( t ) . ( b(y h ( t ) , t ) + y ß 4(t)h 2 ( t ) Vyy + V h( t )

y v y (1, t ) h 2 (t)

+ f (y h ( t ) , t )

Vy + c ( y h ( t ) , t ) v +

(19)

dT, t Є [0,T ]. (18)

Таким чином, задачу (6)-(10) зведено до системи рівнянь (12), (13), (17), (18) з невідомими ( а ( і ) , Н ( і ) , ь ( у , і ) , ш ( у , і ) ) . Задача (6) - (10) та вказана система еквівалентні в тому сенсі, що, якщо трійка функцій ( а ( і ) ,Н ( і ) , ь ( у , і ) ) є розв’язком задачі (6) - (10), то ( а ( і ) , к ( і ) , р ( у , і ) , ш ( у , і ) ) є неперервним розв’язком системи (12), (13), (17), (18). Правильним є і обернене твердження: якщо ( а ( і ) , Н ( і ) , ь ( у , і ) , и ( у , і ) ) є неперервним розв’язком системи (12), (13), (17), (18), то функції ( а ( і ) ,Н ( і ) , ь ( у , і ) ) є розв’язком задачі (6)-(10). Д ля цього достатньо довести, що ці функції належать класу С [0 , Т ] х х С " ^ Т ] х С 2,1 ^ т ) П С 1,0 ) і задовольняють умови (6) - (10).

Отже, нехай ( а ,Ь , , ь , и ) Є (С[0,Т ])2 х х ( С ^ т) )2 є розв’язком системи (12), (13), (17), (18). Припущення теореми дозволяють

уві частини отриманої рівності і рівності (13) співпадають, тому и ( у , і ) = уу(у , і ) . На підставі (12) робимо висновок, що у ( у , і ) має

і умови (7), (8) для довільних неперервних на [0 , T ] функцій a ( t ) , h ( t ) .

Оскільки v Є C 2,1 (QT) П C 1,0 (QT), то з (18) h Є C 1 [0,T] і виконується рівність (10). Враховуючи це в (19), приходимо до рівняння (6). Умова (17) співпадає при цьому з умовою (9).

Таким чином, еквівалентність задачі (6)- (10) та системи (12), (13), (17), (18) доведено. Д ля дослідження отриманої системи застосуємо теорему Ш аудера про нерухому точку цілком неперервного оператора. Д ля цього спочатку встановимо апріорні оцінки розв’язк ів системи.

Використовуючи принцип максимуму [7, с.25] для розв’язку задачі (6)-(8), отримуємо

v ( y , t ) > C 1 min {min ф(х), min ш (t),[оДо] [0TV

nun ß 2 (t)} = M 0 > 0, (y, t) Є QT. (20)

Розглянемо рівняння (13). Оскількиіf G2 ( y , t , n , 0 ) d y = 1 , то, згідно з умо-0вою (А2) теореми, матимемо додатність першого доданка (16), всі інші доданки (13) та (16) при t ^ 0 прямують до нуля. Таким чином, існує таке число t 1 : 0 < t 1 < T, яке визначається нерівністю

Y f G2 (y , t , n , 0) <f'(n h o) dn > ! ш1(т ) х

х G2 (y, t, 0, т)dT — J G2 (y, t, 1,т) Ш2 (т) dT—0

t 1

J G 1y (y , t , V,T) f (п Ч т),T) d n dT—0 0


и=—оо

t

t

1 t

t

* 1 , , ) т ) 111,0 Для НКЦІ'1' h( t ) правильна оцінкаGi y{ y , t , n ,T ) ( ( ---- — h

І І ^ h ( r ) h( t ) > j 0 = H0 , t Є [0, t2]. (27)2

гд(щ(1,т) - ß 4 (T) h ( r ) ) ^jш (п,т)+ Позначимо W(t ) = \u(y,t)\. Врахо

вуючи (13), (16) та оцінки функції Гріна

+ с (ф (т),т) v (g , T U d g d r , (21) G2 ( y , t , g , r ) < c j 1 + 1 = = Y/ V л / в ф — в (т) )

iГ c

h o ^ \ - \G iy{y , t , V,r ) \dV < 4Ф у Ф > y i j i i n ^ (y J o ) = M i > 0 , J y ’ ’ ’ ^ в ( ї ) — в(т) ’

t Є [0,ti]. (22) приходимо до нерівності

Оскільки третій доданок правої частини рів- І ^тності (18) в ід ’ємний згідно з (22), то для h( t ) W( t ) < C5 + C6 — — +отримуємо оцінку І v m — в(т)

th ( t ) < h 0 + Т ^ ß 4(t) = н і ф Є [0,Т ]. (23) Г W (т) + W 2 (т)

[М] +Cj — . dr . (2о). , J V e ( t ) — в(т)

v ( y , t) Істосовуючи принцип максимуму, одержує- Введемо позначення Wi (t) = W( t ) + 1,мо: / ч a (t) , \ • / ч оao( t ) = — , amin(t) = min a 0 ( r ). Вгадую-t e 0<т <t

v ( y , t ) < C 2 m a x {m ax ^ (x)} max чи вигляд функції в (t), знаходимо

max ß 2 (t), max f (x, t )} = t t[ o , T ] ^ ' [o,n1]x[o,T] ^ f d r C8 f dT

< 8= M 2 < ж , (у ,ф) є Q t . (24) J ^ e ( t ) — в(т) y/amm( t ) t 2 J V t —T

З умови (17), враховуючи оцінки (22), —(23) та припущення (A l) теореми, знаходи- = Cd 2

MO \J amin( t )Hi n 3(t) a Враховуючи це в нерівності (28), отримуємо

a( t ) < T T ; < Aitß , t Є [0, t l ]. (25)M i C t — C

n ■ ■ - • • Wi(t ) < Cio + i + ß 1 хОскільки інтеграли в правій частині рівно- 7 7 _ \Jamin (t) t в Ma i (t)сті (18) прямують до нуля при t ^ 0 то існує tтаке число t 2 : 0 < t 2 < Т, Г W f ( r )нерівністю х J ^ t — т Т' ^ 7

t

t[ Ш( 1 , Т)

к 0 + І л (т) д т — Обидві частини нерівності (29) піднесемо до2 J квадрату, використовуючи при цьому нерів-

0

dT > 0, t Є [0,t2], (26) ,Är2U\ ^ o n 2 . 2Ci i 2t l - ß 2Ci22t 1 - ß ,, h ( r ) ^ - ^ ^ W2(t) < 2C2o + - + “ x0 amin\t) amin\t)

t t

x W M dT,t € m . H(t) = m + [ d, (33)y/t — T ’ ’ * ( t ) T1

В останній нерівності змінимо П а а і, до- Тоді з (ЗО) маємо

множивши на , проінтегруємо ї ї по а W 1 (t) . . , ,. Vі - а -^ТіТ < н ( і ) ■ (34)

від 0 до і Одержимо ^ (і)4 Продиференціювавши (33) за часом та вра-[ Ш^(а) 2 і 4С 21 і 2- в 2С22 хувавши (34), одержуємо

Уа < 4С1оі2 І-----------—— І------- ~ хy/t — О amin( t ) amin(t)o

0

t -, t m - ( + h 4(/)' (36)

^ f a 2 e d [ W 2( t ) d Останню нерівність розділимо на H4 (t) іy/t — o J y/a — r ' проінтегруємо її від 0 до t. Матимемо

0 01 1 Ф(t) 1 Ф(0) 1

Змінюючи порядок інтегрування в останньо- /Hp i ÿ j — 3 H 3(t) < * ( t ) H4(і) — Ф(0) H 4 //) +му доданку і враховуючи рівність

t t, 4 f Ф(т) H'(t ) , , f Ч>Цт) ,

Ло +4 w ) H W ) + J ^ ■0 0V (t — a ) ( a — т )П,

ЗВІДКИ

знаходимо t

r W2 (a) 7 ^ C a + C i4t§-e , C 15Vt 3 H ( 0 ) V ^ ' V J * ( t ) h ( t )r . da < C i W t + -----------+ j - г X 0

J y/t — a amin(t) amin(t)0 t

t + ґ - 4 / л т) ) < m + ^ об)x / " 1 У J Лт. о

W4(t ) d_ J тв J J ~ * ( t ) 3T e

0 Ф(0 )де H (0) = . В інтегралі

Останню нерівність підставимо в (29). Отри- * (0)маємо

1 - в 3 ( 1 - в)

tf Ф(т) H '(т)

Лт зробимо заміну о = H (т)./ч C w t — C 17t '-‘ї в J * 6 ) и 5(т)

W 1 (t) < C10 + , + 3 / 2 ------ + J.y/a.min(t) amin (t) Отримаємо

t , t н (t)+ A X Лт, t € ю м - m f * d l H Z ) d T = f ф ( и - 1 {о » d o ,

0 Te J * ( t ) H5( t ) J * ( H - 1 ( o ) ) o 5 '0 0 н (0)

Позначимо де H - 1(o) - обернена функ ція до H (t).i - в ^ 3(1-в) H(t)

^ ( t ) = C10 + C,161 + , (31) Оскільки i f Ф (Н d 0 - +' ' v ^ r n n r n am£„(t) J m * ( H - 1 ( o ) ) o 5

tC f * 4( t ) ,* ( t ) = ° 18 32 + — в— Лт ^ 0 , толи t ^ 0 , то існує

amin(t) 0


t

таке число t 3 : 0 < t 3 < Т, що п , І аC 19 ( ^ I d °f_ w y ехр ( C2o І в * , , I х

4 — 3H3(0)1 4 І + 0

H(t) + 3/2 /,\ ехр І C20 ° ß a 6 (°)r тт-1 ( „W amin(t) V 7 ° amin (G)' 3/2 /,\

Ф(Н- 1 ( а ) ) d a amin( t ), Щ И - H a ) ) a 5 + , t_t m _n

H(0) f ( Г1 , Ci 6T 2 C UT 2 \t x I C io + , : + 3/2 ) xf Ф4(т) \ J \ V amin(T) amin (T) /

+ J ф р - dTj > 1 , t є [0 , t 3]. (37) 0 V minK J0 1 oo

Тоді з (36) випливає нерівність X тв n 9/2 ( ) dT} t є 'T amin(T)

H4(t) ФП) H (t) r 4 Q (ЛП\H ^0) < 3 , t є [0, t3], 3 умови перевизначення (17) знаходимо

або amin(t) >Wi( t )

H ( t < Ф /t) H (0) + H (0^H ( t ) t Є [0,1з]' або, беручи до уваги (38)

3 (1 -в )Використовуючи це в (35), знаходимо ,----------— C 17t —2C 10amin(t) + C 1* y a min ( t ) t ~ + г -----ттт+

/ Ф(Ф)\ Ф4(0 V amin(t)

H'(t) < ( 4 ) ) + ~ І Г H m (t )+ tC 19 ( f d ° V

+ ™ ß( t ) m H 3 (0 ). + ^ am i n ( t ) Є Х \ 20 0 ° ß a rnin(° ) J X

Останню нерівність домножимо на t _ ,

( f 9 ‘ M \ X f ( C l0 + Ci^T + Ci7Texp ( - H3 (0) J a і проінтегруе- / V Va,min(T) a / „ ( t )

0mo ї ї. Отримаємо

t x -----9/2 dT — C2i > 0, ф є [0 ,OV (39)Ф « . , „3,„* І Ф(т)Ф3(т ) . . Tßa ‘JL(T)

J

t 1 C t 4 1 - ß )X exp| H (0) I - ° T K{t ) = v + у / = щ( h 3 (0 ) d ° } d r . K ( t = Ci6y/amin( t ) t 2 + 2--------- +

t tТоді з (34) маємо c w d a . . . ^

+ , ЄХЩ C 20---------e 6--- /—T I C 10 +Wl (t) < Ф ф + Ш 3 ( 0 ) 4 ( t ) x Vamin( t ) V 0 а в amin( a ) j 0 V

Л ч f ^ 4 (a) , \ [ Ф(т)Ф3 (т) , Ci 6T— C u t ^ \ 1 , nx exp ( H (0) d a ) в--dT, +— , +------^ --------) ------1/2-----dT ^ 0,

v y J J a e J J тв ’ ^ — ф ) c m j j ) ) тв am i/ T )

або, враховуючи (31), (32), при t ^ ° ’ то існує таке число I,4 . 0 <1, < T,

W C + Ci 612 , C u t , CWl{ ) < C l 0 + Т У Ш ) + Ч І Ї ( і 7 + k (t) < C 1, t є [0 , і 4]. (40)

Тоді з нерівності (39) знаходимо

і Є [0 ,і 4],С21

С 10атіп( і ) --------- — 0

ЗВІДКИ

/і ) —є ,22

2 С= Ао > 0 ,

10

або, враховуючи введені позначення,

а( і ) — А0і в , і Є [0 ,і4]. (41)

Використовуючи останню оцінку в (38), отримуємо

Р(уА)\ < Мз, і Є [0,и], у Є [0 ,1]. (42)

Таким чином, оцінки розв’язк ів системи (12), (13), (17), (18) встановлено.

Доведемо існування границіа( і )

У+О і вІ іт > 0 .

І іт Уу (0, і)У +0І іт к 0

і у +О € 2 (0 , і , п, 0 )х

Тоді

Ііт

х р ( п —о ) д у = —о р ( 0 ).

а( і ) Уз ( і )—(і) МІітР (0)

> 0 .

0 < А0 <

{ ( а , к , у , ш ) Є а( і ) <

У +0 і в У +0 і в у у (0 , і )

Визначимо множину N

(С[0 ,То ])2 х (С ( Р То) )2 ----------_ ^ ^< А1 < ж , 0 < Н0 < к( і ) < Н 1 << ж , 0 < М 0 < у ( у , і ) < М 2 < ж , \и(у, і)\ << М 3 < ж } , де Т0 = т і п { і 1 , і 2 , і 3 , і 4}. Систему (12), (13), (17), (18) подамо у вигляді операторного рівняння w = P w , де w = = (а( і ) , к ( і ) , у ( у , і ) , и ( у , і ) ) , а оператор Р визначається правими частинами рівнянь (12), (13), (17), (18). Очевидно, що множина N задовольняє умови теореми Ш аудера. Те, що оператор Р цілком неперервний, доводиться аналогічно як в [2] і [8]. Тоді згідно з теоремою Ш аудера існує розв’язок системи рівнянь (12), (13), (17), (18), а, отже, і розв’язок задачі (6)-(10) при і Є [0,Т0], у Є [0,1].

Зауважимо, що підставивши знайдені оцінки функцій а ( і ) , к ( і ) , у ( у , і ) , ш ( у , і ) в нерівності (21), (26), (37) та (40), отримаємо обмеження на числа и , і = 1, 4, котрі визначаються вихідними даними задачі (6)- (10).

3. Теорема єдиності. При пу стимо , щ о в и к о н у ю т ь с я у м ов и :

В1) Ь , с Д Є С 1’°([0, то) х [0,Т]), р Є С 2 [0,к°], Ці Є С 1 [0,Т], і = 1 , 2;

В2) = 0 Д Є [0,Т].і в

Тоді р о з в ’я з о к ( а , к , у ) з а д а ч і ( 6) - (10), такий , щ о к ( і ) > 0 , і Є [0,Т],а( і ) > 0 , і Є ( 0 ,Т ] та, і с н у є с к і н ч е нн а г р ан и ц я 1іт ° а ( і ) Д > 0 , 0 < в < 1 , є д и н и й у

клас і С[0,Т] х С 1 [0,Т] х С 2’1 (Ят) ПС 1 ’° (Ят ).Д о в е д е н н я . Нехай (а і ( і ) , к і ( і ) , у і ( у , і ) ) ,

і = 1 , 2 - два розв’язки задачі (6)- (10). Позначимо

г і (і)аі ( і )к і ( і ) '

і = 1 , 2 , г ( і ) = г 1 (і) — г 2 (і),

к ( і ) = —1 (і') —2 ( і ) , у ( у , і ) = У1 ( у , і ) —У2 ( у , і ) . Вказані різниці задовольняють рівняння

(і) , ( Ь(у —2 ( і ) , і ) Уу 2у (1, і ) += Г2(і)ууу + { — ш ------------Щ Г +

+ — ( р ) у у + с ( У—2(Ґ>’ + г і й Ч у у +

+ ( Ь(у —1 ( і ) , і ) — Ь(у —2 ( і ) , і ) +V к 1 ( і ) +

+Ь(;у Ь , Ш ) ( —Р — —Д - у х

( у , у (М ) у 2у С1 , І ) + У\ ~ Щ —! ( Ї Г + у (1 , і )

X X

X1 1

—21 ( і ) 1

— Ц4 (і)1

к 2 (і)

к р і ) / ' \ —1 (і)

У1у + ( с ( у —1 ( і ) , і ) —

— с ( у —2 ( і ) , і ) ) у 1 + / (у —1 ( і ) , і ) —— / (Ук 2 ( і ) , і ) , (у , і ) Є Ят (43)

та умови

46

у ( у , 0) = 0, у Є [0,1], (44)


а

1

у ( 0 , і ) = у ( 1 , і ) = 0, і Є [0,Т], (45)

у у 2у ( 1 , і ) у у + с ( у к 2 ( і ) , і ) ьк 2 (і) 1 у

розв’язок задачі (43)-(45) подамо у вигляді

і 1

у ( у , і ) = і ' [ ^ і (у , і , П,тП г ( т) у 1пп+о о

1+ ( Ь(Пк 1 (т ) ,т ) - Ь(Пк 2 (т ) ,т ) +V к 1 (т) V к 1 (т)

1 Ь ( ф 2 (т ) ,т) - ( у 2п ( 1 , Т) 1к 2 (т ) к 1 (т)

1 Ч І’' п(1' Т), - 1’2" (1' Т] - ц і (т)х

X1

к 2 (т)1

к 1 (т) к 2 (т)

с ( Пк 2 (т ),т ) ) у 1 + / (Пк 1 (т ) ,т ) -

к 21 (т)

ПУ1п + ( с ( п к 1 (т ) ,т ) -

X1 1

г ( і ) і 1у (0 , і ) + Г2 (і)Уу (0 , і ) =

№( і ) ( , - , , і Є [0, Т ]. (46)к 1 (і) к 2 (і)

За допомогою функції Гріна С \ ( у , і , п , т ) для рівняння

у = г ( і ) у + ( Ь(у к 2 ( і ) , і ) + у у 4 (і)І і = Г2(і)Ууу + ^ к 2 (і)

ь г \ ь і \ І І І Пу 1п + ( с ( п к 1 (т ) , т) - к 1 (т) к 2 (т)/ / /

с ( Пк 2 (т ) ,т ) ) у 1 + / (Пк 1 (т ) ,т ) -

- / ( Пк 2 (т),т^ dndт, (у , і ) Є д т. (48)

Оскільки (а і ( і ) , к і ( і ) , у і ( у , і ) ) , і = 1,2 -розв’язки задачі (6) - (10), то для к і (і), і = 1 , 2 справджуються рівності, аналогічні(18). Віднявши їх, отримаємо

к( і )

X

у у ( 1 ,т ) к 1 (т )

Ут - І 2у ( 1 ,Т) х

к 1 (т) к 2 (т)Ут.

Зауважимо, що

1 1 к( і )к 1 (і) к 2 (і) к 1 ( і ) к 2 (і)

к ( і ) ( к 1 (і) + к 2 (і ))

к 1 (і) к 2 (і) к 1 ( і ) к 2 (і)

(49)

(50)

(51)

Припущення (В1) теореми забезпечує правильність перетворення

/ (у к 1 ( і ) , і ) - / (у к 2 ( і ) , і ) = у ( к 1 (і) - к 2 ( і ) )х

- / ( Пк 2 (т),т^ dVdт, (у , і ) Є Ят. (47)

у

у у (у , і )

і 1

о оЛ у (у , і , п ,тЯ г ( т) у 1у у+

1+ ( Ь(Пк 1 (т ) ,т ) - Ь(Пк 2 (т ) ,т ) +V к 1 (т) V к 1 (т)

1к 2 (т)

Ь(пк2 (т),т) - І 2п( 1 ,т)1

к 1 (т)

^ , у 1п (1 ,т ) - у 2п (1 ,т ) ,І------------ -------------------- ^і (т )х

х /х(у (к2 (і) + а ( к 1 (і) - к 2 ( і ) ) ) , і )Уа. (52)

Аналогічні перетворення виконуються для функцій Ь(у, і ) та с ( у , і ) .

Знайдемо поведінку функції у 1у у ( у , і ) . Позначимо через О к \ у , і , П , т ), к = 1,2функції Гріна для рівняння

_ а 1 (і)У1 і = к 1 ( і ) У1уу

з крайовими умовами відповідно першого та другого роду. Розв’язок у 1 (у, і ) задачі (6)-(8) подамо у вигляді (12). Продиференціюємок 2(т V к2 (т )


і і

1 1

1 1

1

унами та використовуючи властивості фун- го рівняння (53). Застосовуючи нерівність

0 1 1 '1( у , і , п , 0) < Є2 \ у , і , п , 0) до І 1, отримуємо

кції Гріна, отримуємо

1

х1у у (у , і ) = к 0 [ О 11) (y , і , п , 0) р ' ' (п к 0) д п+

+ У О Іl (У, і , 0 , т ) (л '1(т) — f ( 0 ,т) —

Ь(0, т) к 1 (т)

V1^(0 , т) — с(0 , т)л 1 (т) дт—

— I ^ і Л у Ф 1,т М Л2 (т) — f ( к 1 (т ) ,т ) +

+ , ^ 1у (1,т) Ь(к1 (т),т) + Л4(т) ! хк2 (т) к 1 (т)

XVln ( 1 ,т) — с ( к 1 (т ) ,т ) л 2 (т) ) дт —

і 1

О / (У, і, п , т) ( к 1 (т) и (п к 1 (т),т) —0 0

( ^У(1,т) , Л4(т) , и Г и+ нЦт) + Ьп ] ' т)+

+ с ( п к 1 (т ),т ) 0 VlV (п ,т) + к 1 (т )х

х с п( п к 1 (т ) , т^^п , т)^ д д дт —

( Ь(пк 1 (т ) , т)і 1

0 0

О (1 ) ( у і п ти Ь(пк 1 (т),0 1 п ( у , і ,п ,т ^ к 1 (т)

п Ф п ( 1 , т) — Л4(т)к1 (т))к 1 (т)

Vlщ (п,т )х

і 1Xдпдт = ' £ і і — І у

і=1 0 0О / (у , і , П,т )х

\І1 І < к 2 т а х \ ф ( у к 0)\ 0 2 \ у , і , п , 0 ) д п <ує[0,1]0

< С23■

і 2О 1п(у , і , п ,т) ■

\І2 І < С24 ^ \О<11 ) ( у , і , 0,т)\дт < С25і "2 х 0

30+1

/ +<х

* - 3 X ! \у + 2 п \X

х. , С26(у + 2 п У ( Ах е х р -ти, 1 аг .і 1+в г

Вводячи нову змінну а =

приходимо до нерівності

С27

С25і 1+в г (у + 2 n ),

САналогічно \ І 3 \ < ■ Д ля І 4 запишемо

і 1

\ І4 \ < С29 I / \ О 110 (у , і , п ,т) \ д п дт <0 0

і

< С30дт

X

у/в 1 (і) — в 1 (т)

дт

< Сз 1 х

\/ів х 1 — тв Х11 - е

< Сз2і 2 ■

( Ь(пк 1 (т) , т) п ^ 1п(1,т) — Л4 (т)к 1 (т))\ _ ОтжеЧ к 1 (т)

X

|Іі| < С33

48

к 1 (т)

XV1VV(п,т)дпдт, ( у , і ) є Qт■ (53) І=1


і в(54)

1

і

іі

і

З оцінки для І 4 випливає, що ядро інтегрального рівняння (53) має інтегровну особливість. Тоді, враховуючи (54), отримуємо наступну оцінку для функції v i y y (y , t ) :

\viy y (y , t ) \< < f . (55)

Підставивши (48), (50)-(52) в (46), (49) та беручи до уваги нерівність (55), отримаємо систему однорідних інтегральних рівнянь Вольтерри другого роду відносно невідомих r ( t ) , h ( t ) з ядрами, що мають інте- гровні особливості. З єдиності розв’язку таких систем одержуємо

r ( t ) = 0, h( t ) = 0, t Є [0,T],

або згідно з введеними позначеннями

ü i ( t ) = Ü2 (t), h i (t) = h 2 (t), t Є [0,T ].

Використовуючи це в задачі (43)-(45), знаходимо

v i (y , t ) = v 2 (y , t ) , (y , t ) Є Q t ,

що й завершує доведення теореми.


1. Фридман А. Уравнения е частными производными параболического типа.— М.: Мир, 1968.

2.Салдіна Н. Обернена задача для параболічного рівняння з виродженням // Вісн. Львів, ун-ту. Сер. мех. - мат. — 2005.— Вип. 64. — С. 245—257.

3. Гаджиев М. М. Обратная задача для вырождающегося эллиптического уравне- ния // Применение методов функц. анал. в уравнениях мат. физ,— Новосибирск,— 1987.— С. 66—71.

4. Елдесбаев Т. Об одной обратной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения второго порядка // Известия АН КазССР. Серия физ,- м ат ,- 1987,- № 3,- С. 27-29.

5. Іванчов М.І. Обернена задача з вільною межею для рівняння теплопровідності // Укр. мат. ж ур н ,- 2003,- 55, Ж . - С. 901-910.

6. Lorenzi L. An identification problem for a one- phase Stefan problem // J. Inv. Ill-Posed Problems. — 2001,- Vol. 9, № 6,- P. 1-27.

7. Ладыженская O.A., Солонников В.A., Уралъ- цева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа,— М.: Наука, 1967.

8. Ivanchov М. Inverse problems for equations of parabolic type.— Lviv: VNTL Publishers, 2003.

УДК 517.5

© 2006 p. М.М. Долинюк, О .Б. Скасків

Львівський національний університет імені Івана Франка

ПРО П РАВИ ЛЬН Е ЗРО СТАН Н Я Д Е Я К И Х ДОДАТН И Х Ф УН КЦ ІОН АЛЬН И Х РЯ Д ІВ

Отримано умови правильного зростання логарифмів максимального члена і суми додатного функціонального ряду, що є узагальненням ряду Тейлора-Діріхле.

We establish conditions for regular growth of logarithms of the maximal term and the sum of a positive functional series which is a generalization of Taylor-Dirichlet series.

10. Вступ. Повільно з м і н н о ю фун кц і єю вслід за [1] називатимемо кожну додатну вимірну на [0 ; + © функцію І, для якої І(2х) = (1+о(1))І(х) (х ^ + © . Клас таких функцій позначимо через Ь.

Через Ь+ позначатимемо клас нестрого зростаючих до функцій І Є Ь.

Нехай також Ьр - клас правильн о з р о с т а ю ч и х фу нкц і й п о р я д к у р Є (0; + © , тоб

ІІ(х) = хра(х) , а Є Ь.

У статтях [2-4] встановлюються умови належності до класів Ь+ і Ьр різних характеристик цілих функцій. У цій статті встановимо умови належності до вказаних класів деяких характеристик додатних функцій, зображуваних для всіх х ^ 0 рядами вигляду

F (x) = £ Fn x\n+T (x)Pn Fn ^ 0 (n ^ 0),n=0

{Xn : n ^ 0} С R+, в = {впR+, т (x) - неспадна неперервно ди-

20. П овільне зростання . Д ля Е ЄБ(А, в , т) і х ^ 0 позначимо

ф Е ) = ш а х {ЕпЄхЛ"+т(х)вп : п ^ 0},

а через V(х) = V(х, Е ) кожне з тих п, що Епе хЛп+т(х')вп = ф Е ). Надалі V(х) = V(х ,Е ) за потреби для всіх х визначатиметься однозначно.

Не складно переконатись, що якщо вир{п : Еп > 0} = і Е Є Ь+ або1пЕ Е ) Є Ь+, то Хп = 0 (п ^ 0). Тому ряд (1) у таких випадках переписується у вигля-Д 1

F (x) = £ F„ ,Т (х)в„(2)

n=0де в = {вп : ^ 0} — послідовність попарно різних невід’ємних чисел, а зростаюча до

функція т(х) така, що

1п+ т (х)limX— + 0 ln x

0 . (3)

(1)П ^дб А -

0} сференційовна на [0 ; + © функція така, що т(0) = 0 .

Клас функцій вигляду (1) позначимо через Б (А, в , т).

Зазначимо (див. [5-6] ), що дослідження асимптотичних властивостей цілих функцій, зображуваних рядами Тейлора, Дірі- хле, Тейлора-Діріхле, деякими інтерполяційними рядами можна звести до подібної задачі для рядів вигляду (1).

При цьому функція 1п ц ( х , Е ) опукла відносно функції т(х) (тобто, функція р ( ї ) = 1п ц(т- 1 ( Ї ) , Е ) - опукла, де т- 1 - функція,

твирівп : Еп = 0} = +то, очевидно, що т(х) = о(1п ц ( х , Е )) (х ^ + © .

Не зменшуючи загальності, вважатимемо, що 1п ц ( 0 , Е ) = 0. Остання умова забезпечує неспадання частки 1п ц(х,Е)/т(х) .

Евигляду (2) необхідною умовою повільного зростання 1п ц ( х , Е ) є повільне зростання функції т(х). Справді, нехай 1пц ( х , Е ) =


1п Д (х) + т (х)в„(х), тоді з означення ма- Отже, за у мови (4) для х Є (к п; к п+1) отри-ксимального члена маємо 1п ц (2х ,Т ) ^ муємо1п Т У ) + т(2х)в„(х). Тому, враховуючи, що

т (х ) в хт (х ) т (х )1п Д (х) А О Д Л Я ВСІХ ДОСИТЬ великих х, При х = в п ________—— Ах ^ маємо 1п Л(х ,Р ) п т(х ) 1п Л( х , Р ) ^

1п Л(2х ,Т ) ^ 1п Д(х) + т (2х )Д(х) ^ в к пт (к п)^ 4 Ї4 і 74 А р п1п Д х ф ) 1п Д(х) + т іх)ви(х) П 1п л ( х п ф ) '

(т (2х) — т(х ))в ( ) Т(2х) Звідси отримуємо, що достатньою умовою= 1 + з—р --------+—( ) в ^ —Д Г 1 для справедливості (7) є умова

1п и(X) + Т (х )Р (ж) Т (х)звідки випливає потрібний висновок, а та- Упк пт,(кп)кож, зокрема, що виконується (3). Добре ln Fn + /Зпт(к п)

0 (п ^ +то). (8)

відомо, що достатньою умовою повільногозростання диференційовної функції т є умо- ^ іншого боку, за умови (5) маємо, що ва,жт'(ж)/т(ж) ^ 0 (ж ^ +то). Надалі у цьо- P (x ,F ) = іц Pv(t)dt, v(t) однозначно виму підрозділі вважатимемо, що т(ж) Д значена Для всіх t ф к і отже, якщо в то-(ж —> +оо) і виконується умова чках послідовності к вибрати як звичайно

v(t) = max {n : Fne T(t)F = y ( t , F )}, то зро-жт/(ж) ^ о (ж ^ +го) (4) 3Ум1ло> Щ° ви{х) Д (ж ^ +го) (тобто, послі-

т(ж) довність в зростаюча).. Якщо тепер додатково припустити, що

Зазначимо, що співвідношення (3) випливає г,а. . . . . JoJttіУІХІХ у fc- X Х>\^Я у iv llX JD d

з умови жт (ж) = о(ж) (ж ^ +го), а тим пачез умови (4). п т'(2ж) , .

л г -а. го /її l im in f——— > q > 0, (9)Міркуючи тепер подібно, як в [З, 4J, вста- х^+ > т'(ж)новимо умови повільного зростання логарифма максимального члена ц (ж, F ) ряду (2). то5 оскільки з повільного зростання

Припустимо спочатку, що існує послідов- ln ц (ж, F ) Для всіх досить великих ж отриму- ність к п \ (п ^ +го) така, що ємо l n Л( 2жФ ) ^ 2 l n Л(жФ ) , при ж ^

Л(х, F ) = Fn exp{т (х)вп} (5)маємо

1 1п /і(2х) Г2х в т(ї) їт'(ї) д ї ^для всіх х Є [к п; к п+і]- Не складно зауважи- 1— л ( х ф ) ] х (р 1п л ( ї ф ) т(ї) ї ^ти, що тоді при п ^ + о

т (2х) 2хт'(2 х)т(к п) = 1п(Рп-1/Рп)/(вп — Уп- і ) Т + о (6) ^ в »(х) 1п Д 2х , Р ) т(2х ) 1п2 ^

У цьому випадку (1п л ( х ф ) ) = т'(х)/Зп для хт'(х )всіх х Є ( к п ; к п+1) і всіх п ^ 0. ^ яР^(х) 1п ( х р ) 1п2'

Враховуючи, що достатньою умовою для того, щоб 1пл ( - ф ) Є Ь+ є умова Залишається вибрати х = Кп,.

Підбиваючи підсумок проведених вище(1п ц ( х , Р ) ) о ( . і м іркувань, відзначимо, що ми довели насту-х і о (х і оо, .1п л ( х ф ) пні твердження.

досить перевірити, чи

х Є {кп : п ^ 0} = к ) , Л е м а 1. І с н у є п о с л і д о в н і с т ь к п Т + о(п ^ + о ) така, щ о для в с іх х Є [кп; х п+1]в и к о н у є т ь с я р і в н і с т ь (5) т о д і і л и ш е тод і ,

т' ( х) Вп п ґ , . . п,% коли п о с л і д о в н і с т ь в з р о с т а ю ч а і в и к о н у є - -— —М ф ■ х ^ 0 (х ^ + о , х Є К). (7 /я)1 п л (х ,р ) у * ’ ' т ь с я у м о в а (6).


2) Я к щ о п о с л і д о в н і с т ь в н е с п а д н а і вико - 3 ін ш о г о б о к у

н у ю т ь с я у м о в и (6), (4 ), т о дл я то г о , щ о б +оо

ли в и к о н у є т ь с я у м о в а (9) г не о бхі дно , щ о б ' "" ' П=0 ™1п Е , Е ) Є Ь+ д о с т а т н ь о , а у випадку , ко- , е ) ^ е (х ) = V Епе Т 7

пв и к о н у в ал а с ь у м о в а (8).

Доведемо тепер таке твердження. ^ е вт(х) Е Епет (0)в" = Е (0)евт (х),

Л ем а 2. Нехай функція , т(х) з а д о в оль - п=0н я є у м о в у (4)- Я к щ о і с н у є п о с л і д о в н і с т ь звідки за допомогою (14) отримуємо, що я пк І (к ^ + © така, щ о ц ( х , Е ) = 1п Е (х) = (в + о(1))т (х ) (х ^ + © і, отже, Епке Т(х)впк дл я в с іх х Є [япк; я пк+1 ] і в с і х к 7 виконується (12).1, т о для то г о , щ о б 1пц ( - , Е ) Є Ь+ д о ст а - Відзначимо, що у випадку, коли Е Єтньо , а у випа дк у , коли в и к о н у є т ь с я у м о в а Б ( 0 , в , т ), т(х) Д (х ^ + © і виконує- (9) і н е о бхі дно , щ о б в и к о н у в ал а с ь у м о в а ться умова (13), функції 1п Е (х), 1п ц ( х , Е ) і

т(х )впкКпкт (Кпк) ^ 0 (к +то). (10) Припустимо тепер, що вир{в п : Еп =

1п Епк + в пкт ( к пк) 0} = +то. У відповідності з доведеним, неД о в е д е н н я . Позначимо Е*к = ЕПк, в і = зменшуючи загальності можна вважати, що

в п к, я*к = Кпк і М х ) = шахІЕ^еТ(хШ : к 7 в п > 2в (п > 0 ). Справді, нехай 1}. Тоді застосовуючи твердження 1, отри- е (х ) = е Т(Бвп + Е с 7^в™ =п п

вп<2в вп>2вЗастосовуючи схему доведення теореми 1 [8 , с.844], отримуємо наступне твердження. = ЕДх ) + Е2 (х).

Л ем а 3. Нехай ф ун к ц і я т(х) Д За доведеним, 1пЕ\(х) = (1 +(х ^ + © . П рипу стимо , щ о (Еп ) в п о р я д - о(1))1пц ( х , Е 1 ) = (в* + о (1))т(х) (х ^ + © ,кована з а н е з р о с т а н н я м , т о б т о Еп \ 0 де в* = вир{вп : в п < 29, Еп = 0}.(п ^ + © . Я к щ о Е Є Б ( 0 , в , т ) і в и к о н у - Але, т(х) = о(1пц ( х , Е 2)) (х ^ + © ,е г п ь с я у м о в а тому ц ( х , Е ) = ц ( х , Е 2 ) і 1п Е (х) =

в п 1п п (1 + 0 (1))1п Е2(х) (х ^ + © .9 = 1ішвир —п < +то, (11) Отже, вважаємо, що в п 7 29 (п 7 0). Тоді

- 1п Еп з умови (11) випливає, щот о при х ^ в и к о н у є т ь с я с п і в в і д н о ш е - 1п п 1н н я Пшвир 7 - . (15)

п^+те 1п(1/ЕД 21п Е (х) = (1 + о(1))1п ц ( х , Е ). (12) ~ . . . . . .4 ' Зауважимо тепер, що з необхідної умови збі-

Д о в е д е н н я . Припустимо спочатку, що жності ряду (1) випливає, що1/вп 1п(1/Еп) ^ (п ^ + © . Виберемо

вир { вп : Еп = 0} = в < + г о . (13) тепер функцію ф(ї ) ^ з умови

Тоді для кожного є > 0 існує т 1 = ш 1(є) 1 ) 1 1 1 ( 7 1)таке, що для всіх досить великих х г (п е п ) = в п П Еп 7 ) . V /

1п Еті + (в — є )т(х ) 7 1п Еті + т (х )в т і 7 Подібно ДО ТОГО, ЯК ЦЄ роб и Л О С Ь В [ 8 ] , ПО

. і / \п п / \ з н а ч и м о ч е р е з N = N (х) н а й м е н ш е з т и х7 1п Еи(х) + т (х)вп(х) 7 вт (х). 7 ТМ ^ 7у V ; 7 \ / ^ є N що для всіх п 7 к виконується нерів-1

1пц ( х , Е ) = (в + °(1 ))т(х ) (х ^ + © . (14) ^ (1п Е 7 6 т (х ) .

Зауважимо, що звідси за умовою (15) випли-ВсІЄ

ln (N (ж) — 1) < — lnЄ + 1 Рм - 1 FM - 1

1= 7(1п —---- ) < 6т(х),

Е - ітобто, при х ^ +ТО

1пN (х) < 6(9 + 2 )т(х ). (18)

Далі, за умовою вибору (16) і нерівностями(17), (15) при х ^ отримуємо

N (х)- 1Д х , Е ) 7 Е (х) = ^ 2 Епет(х)вп +

п=0

+ ^ 2 exp{ PnP (ln — )+ Т(х)вп} 7F пп=М (x)

5 17 N (x)y (x , F ) + V exp{ — Ь — }

^ 6 Fnп=М (x)

57 N ( x ) y ( x , F ) + exp{ — 4 ln n} 7

п=М (x)

7 2N (x) y (x , F ),

позаяк, за нерівністю (15) ln(1/Fn) 7 3/2 для всіх досить ввеликих п, а також N (ж) ^

(ж ^ +то) за означенн ям N (ж). Звідси, за нерівністю (18), враховуючи, що т(ж) = o(ln у ( ж Е )) (ж ^ + © , отримаємо співвідношення (12). Лему 3 доведено.

З а у в а ж е н н я 1. В и г л я д а є на те , щ о т в е р д ж е н н я л е ми 3 р і в н о с и л ь н е до д о с т а т н о с т і у т е о р е м і 1 [8] з р(ж) = ж, п р о т е нам ц ь о г о н е в д ал о с ь в с т а н о в и т и .

Відзначимо, що у теоремі 1 [8] розгляда-т(ж) = ж

випадку) з невід’ємними показниками такими, що sup{вп : п 7 0} = і коефіцієнтами, що задовольняють умову

де 7 _ деяка додатна неперервна зростаюча до на [0; +го) функція така, щоі/ 7 ( і) І (і ^ + © . З наведеного вище доведення леми 3, зокрема видно, що у достатності теореми 1 [8] (з Д х ) = х) від вимоги, щоб в умові (19) виконувалосьі/ 7 ( і) І +го, 7 ( і) І (і ^ + © , а також від апріорних умов 1пп = 0(1п(1/Еп)) (п ^ + © і вир{в п : п 7 0} = мож на відмовитись. При цьому слід залишити лише умови 7 ( і ) ^ (і ^ + © , (19) і1пп = 0(7(1п(1/Еп))) (п ^ + © .

З лем 2 і 3 випливає наступна теорема.

Т ео р ем а 1. Нехай дл я н е п е р е р в н о д и ф е р е н ц і й о в н о ї ф у н к ц і ї т(х) Д (х ^+ © в и к о н у є т ь с я у м о в а (4 ) , а дл я ф у н кц і ї Е Є Б ( 0 , в , т ) в и к о н у є т ь с я у м о в а (11). Я к щ о і с н у є п о с л і д о в н і с т ь к пк | (к ^+ © така, щ о ц ( х , Е ) = Епк ехр{т(х ) впк} дл я в с іх х Є [кпк ; к пк+1 ] і в с іх к 7 1, т о на с т у п н і т в е р д ж е н н я р і в н о с ил ь н і :

а) 1пц(- , Е ) Є Ь+;б ) 1 п Е Є Ь+;в) в и к о н у є т ь с я у м о в а (19).

Наступне твердження дозволяє виділити просту умову, що забезпечує існування послідовності ( к пк) з потрібного властивістю. Сформулюємо ї ї для класу цілих додатних рядів Діріхле Б (в ) = Б ( 0 ,в ,т ), т (х) = х.

Л е м а 4 . Нехай Е Є Б ( в ). Я к щ о

(Vn 7 0) : в п < sup{7j : Fj > 0, j 7 0}(20)

т о V(х,Е) Д і в»(хщ) Д (х ^ + © .

Д о в е д е н н я . Не зменшуючи загальності вважаємо, що Еп \ 0 (п ^ + © . Зауважимо, що для фіксованих і Є К, { к щ } С Е+, нерівність

Еке в 7 Еуе Ф (21)

виконується тоді і лише тоді, коли для а =- 1 / ї , ц п = /п(1/Еп), Ьп = е вп виконуєтьсянерівність

ЬкеЕк 7 К е Е " , (22)

в п 7 1n(1/Fn)/ ln 7(1n(1/Fn)) (n 7 n i) , позаяк (bne a^n )x = Fne t en. Нехай F* (a)(19) Y +До ЬпЄа^п для a < 0 .

Зауважимо, що Ьп < вирД^ : і ф 0} і д п Д +то (п ^ +то) для кожного а < 0. Крім цього, оскільки 1/Рп 1п(1/Рп) ^ +то (п ^ +то), то Ьпва^п ^ 0 (п ^ +го).

Далі, міркуючи подібно, як і при доведенні леми 2 [9, с.121], отримуємо, що щ (а) _ шах{п ^ 0 : Ьпва^п _ ц ( а Д * ) } ^ +то(а ^ —0). А, оскільки нерівності (21) і (22) рівносильні, то V(ЬД) _ и*(—1/Л) ^ +то (Ь ^ +го).

Лему 4 доведено.З теореми 1 за допомогою леми 4 отри

муємо наступне твердження.

Н аслідок 1. Нехай для п о с л і д о в н о с т і в _ (Рп) в и к о н у є т ь с я у м о в а (2 0 ) , функція , т така, я к у т е о р е м і 1, Я Є А (0 ,Р ,т ) і в и к о н у є т ь с я у м о в а (11). Н а с ту п н і т в е р д ж е н н я р і в н о с ил ь н і :

а) 1п Д- , Т ) Є Ь+;б ) 1п Я Є Ь+;в) дл я п о с л і д о в н о с т і ( к пк) т о ч о к с т р и б

ка ц е н т р ал ьн о г о і н д е к с у V(х, Я ) в и к о н у є т ь с я у м о в а (10).

Зауваж ення 2. П ов то р юю ч и н а в е д е н і в и щ е м і р к у ван ня , н е с кла дн о в с т а н о в ити , щ о у випадку , коли р - д о д а тн а н е с п а д н а д иф е р е нц і й о в на функція , така, щ о

Ь \ (Ь ^ +го), а, ф ун к ц і я т така, я к у т е о р е м і 1 , т о у в ипа дк у , коли і с н у є п о с л і д о в н і с т ь ( к пк) І +то (к ^ +го) т а ка, щ о (Ух Є [Кпк ; Кпк+1 ]) : Д х Д ) _РД ехр{т(х ) впк}, д о с т а т н ь о ю у м о в о ю для тог о , щ о б р(1п Д- , Я )) Є Ь +, є у мо в а

Д (1п Рпк + т К к )рпк ) ) к Р 0/17-, . / \ п \ т (Кпк )Кпк впк * 0Д(1п Рпк + т К к ) рпк) к к к

(к ^ +то).

Нам н е в д ал о с ь в с т а н о в и т и н е о бх і д н і с ть ц і є ї умови . Висловим,о п р и п у щ е н н я , щ о для, д е я к их фу нкц і й Я і р ц е н е так.

30. П равильне зростання. В [7] наведено наступне твердження, що встановлюється безпосередньою перевіркою.

Л ем а 5. ([7, л ема 1]). Нехай Я Є А(Х, в ,т ). Центр альни й і н д е к с V ( х Д ) є не -

с п а д н о ю функц і єю , я к т іл ьк и в и к о н у є т ь с я прина ймн і о д на з н а с т у п н и х умо в :

т(х )с т і X = (Ап), в = (вп) _ н е с па дн і ;

б) функція , т(х) - дифер е нц і йо вна , 0 ^ т '(х ) ^ 1 (х > 0), п о сл і д о в н о с т і А = (Ап) - н е с па дна , а = (Ап + в п ) - з р о с т а ю ч а ;

т(х )на, т'(х) ф 1 (х > 0), п о с л і д о в н о с т і а = (Ап + вп) _ з р о с т аю ча , в = (вп) _ не с падна .

Безпосередньою перевіркою переконуємось також у справедливості наступного твердження.

Л ем а 6 . Нехай Я Є А(А, в ,т). Я к щ о і с н у є п о с л і д о в н і с т ь п о парн о н е п е р е т и н н и х і нтер в ал і в Д = (а,п ; Ьп), У+ДДп = [хо; + о ) і для, к о ж н о г о ) і с н у є п таке , щ о (Ух Є ІЗ) : Д х Д ) = РД ехр{хА^ + т ( х ) вп і}, т о

х > хох

1п ц (х ,Р ) = 1п ц (х о ,Р )+ / Аи(і)бі+'Х0

+ (23)х0

Власне, у випадку неперервної диферен- ційовності функції т(х ) з (23) отримуємо, що Д Л Я ВСІХ х Є и+=1 Іп існує ЄДИне V ( х Д ) і

(1п Д х Д ))' = Аи(хЩ) + т'(х)ви(хЩ)'

З леми 6 також випливає, що (Ух > х 0) : V(х, Я ) < + о .

Доведемо наступне твердження.

Л ем а 7. Нехай р ф 1, т(х) - н е п е р е р в н о диференц ійовна , функція , така, щ о т'(х) Д або т'(х) \ і х2т'(х) Д (х ^ + о ) , а, т а к о ж п о с л і д о в н о с т і А = (Ап), в = (вп) такі , щ о V ( х Д ) Д (х ^ + о ) і с п р а в д ж у є т ь с я р і в н і с т ь (23). Тоді н а с т у п н і т в е р д ж е н н я р і в н о с ильн і :

1 ) 1п Д- , р ) Є Ьр;2 ) ф(х)/ 1п Д х Д ) ^ р (х ^ + ю ), д е

ф(х) = х(Аи(х) + т'(х)ви (х));3) ф Є Ьр.


х

Д о в е д е н н я . Доведемо спочатку імплікацію 3) = ^ 2). Оскільки для довільної додатної ПОВІЛЬНО ЗМІННОЇ функції ф0 виконує-ться

. г -хр - 1 ф0(х) дх — — ф0(г) ( г ^ +го),

Л Ра з умови 3) випливає, що ф(х) = хрф0 (х), де ф0 - повільно змінна функція, то

ф(г) г рф0 (г)ЇЛДсГГЕ) ~ Д хр- і ф 0 ( х ) іх - Р (г ^ +тс ) ’

при цьому ми скористались рівністю (23).Доведемо тепер, що 2) = ^ 1). З рівності

(23) за допомогою 2) отримуємо, що

1п Д х , Е ) - [ ^ д г - Р [ 1п^ ( І ,Е ) сіг = Ухо г 1 Д хо і

= рхрф 1 (х) (х ^ +то). (24)Оскільки функція ф 1 неперервно диферен- ційовна при х > х0 , то досить перевірити, чи хф/1(х)/ф1(х) ^ 0 (х ^ +го). Використовуючи співвідношення (24), при х ^ +то отримуємо

р

хф' 1 (х) 1п ц ( х , Е )^ і(х ) Г Ліох 0 і

— р = ° (1).

с — 11

1п у ( х , Е ) / 1п у ( х , Е )

1 ( 1п ц ( с х , Е )с — 1 V 1п у ( х , Е )

1 (27)

Позаяк 1пу ( - , Е ) Є Тр, то 1пу ( с х , Е ) — с р 1пц ( х , Е ) (х ^ +го), тому з нерівностей (27) отримуємо

с р 17 1іш іпї

ф (х )(с — 1)ср 1 х +гс> 1п у ( х , Е )

7

7 1іш вирф (х ) 7

с р 1

1п Д х , Е Р (с - 1)'Спрямовуючи с ^ 1 + 0, звідси отримуємо 2), а отже, у відповідності із зробленим вище зауваженням, і 3).

У випадку, коли виконується умова т'(х) \ , міркуємо подібно. Справді, тоді за допомогою умови х2т' (х) Д отримуємо, що т(сх) — т(х) 7 (с — 1)хт'(сх) 7 ((с — 1)/с2)хт'(х), т(х) — т(х/с) 7 (1 — 1 /с)хт'(х/с) 7 с2(1 — 1/с)хт'(х) і, тому за допомогою нерівностей (25), (26) отримуємо

1п ц( сх , Е ) — 1п у (х , Е ) 7

7 (с — 1)(с хАи(х)+хт (х)Д(х)) 7

(с — 1) ф (х )

Залишається довести, що 1) = ^ 3). Зауважимо, що за умови 2), маємо 1) 3).Тому досить перевірити, чи з 1) випливає 2).

Справді, нехай с > 1,х > 0. Оскільки 1пц ( с х , Е ) 7 1п Еи(сх) + с х\и(ех) + т(сх)ви(ех) 7 1п Еи(х) + с х\и(х) + т(сх)ви(х) , то з одного боку

1пц( сх , Е ) — 1пу (х , Е ) 7

7 (с — 1)хА^(х) + (т(сх) — т(х))ви(х), (25) а з іншого боку

1п у (х , Е ) — 1п ц ( х / с , Е ) 7

7 (1 — 1/с)хА„(х) + (т(х ) — т(х/с))вви(х). (26)Якщо тепер припустити, що виконується умова т '(х ) Д , то т(сх) — т(х) 7 (с—1)хт '(х ), т(х) — т(х/с) 7 (1 — 1/с)хт'(х) і, тому, з нерівностей (25), (26) отримуємо

1пц ( х / с , Е ) 7 ф(х)

а також

1п у ( х , Е ) — 1п ц ( х / с , Е ) 7

7 с2(1 — 1/с) ( (1/с2)хАи(х) + хт'(х)ви(х) 7

7 с ( с — 1) ф (х ) .

Звідси, замість (27) отримуємо

1 /1 1пц (х/с,Е ) 7 ф(х) 7с(с — 1) V 1п у ( х , Е ) / 1п у ( х , Е )

с 2 ( 1п ц ( с х , Е )1 .

7 с — 1 V 1п/і(х, Е )

Не складно зрозуміти, що завершує доведення міркування проведене вище. Лему 7 доведено.

Наступна лема є аналогом леми 3 для класу Б (А, в , т).

Л е м а 8. Нехай для ф ун кц і ї т(х) в и к о н у ю т ь с я у м о в и т(х) Д +то, т(х) 7 х (х ^ +то). Припу стим,о , щ о вир{Ап : п 7


Г

0} = + ж , a (Fn) в по р я д к о в ан а з а н е з р о с т а - = , 1 ) < ^x \ n - 1 + P n - i t ( x ) <нням, т о б т о Fn \ 0 ( п _ + ж ) . Я к щ о = ^ ( FN- 1 XN- 1 + ß N- 1F є S ( X , ß , r ) і в и к о н у є т ь с я у мо в а < 6(x + r (x)),

в = lim sup (Xn + ß n )ln n < + ж , (28) тобто, при x _ +жn— ln F n

. ln N (x) < 6(в + 2)(x + r (x ) ) . (31)т о при x _ + ж в и к о н у є т ь с я с п і в в і д н о ш е ння, (12). Далі, за умовою вибору (29) і нерівностями

Д о в е д е н н я . Не зменшуючи загальності, (30)> (-*-5) ПРИ x _ +ж отримуємо вважаємо Fn < 1 (п У 0). З умови sup{Xn : N/)- іFn = 0} = + ж елементарно отримуємо, що ( f ) < f ( ) = F xXn+T(x)ßn + x + r (x) = o(lnß ( x , F ) ) (x — + ж ). М ірку- ^ x ’ < x пЄlo'in. як у доведенні леми 3, переконуємось, що, не зменшуючи загальності можна вва- +Д

\ I а ^ 0/3 І ^ (W + p-(\n+ßn)P(\n\/Fn)+x\n+T (x)ßn <ж ати виконаною умову Xn + ß n У 2в (п У 0). + e <Справді, якщо n=N(x)

F (x )= £ Fn exXn+T(xß + < N (x M * ,F )+ У e x p { -5 ln У } <Xn+ßn<20 ' 6 Fnn=N (x)

+ FnCxXn+T (x)ßn = F i(x ) + F2 (x), +~ 5Xn+ßn>2в < N ( x ) y ( x , F ) + + ^ exp{ — 4 ln n} <

то не складно зрозуміти, що ln F 1 (x) = n=N(x0 (x) = o(ln ß (x , F2)) (x _ + ж ) , то- < 2 N(x) y (x , F ),му y ( x , F ) = y ( x , F 2) і ln F (x) = (1 +o (1 ))ln F2 (x) (x _ + ж ) позаяк, за нерівністю (15) ln(1/Fn) У 3/2

Отже, вважаємо, що Xn + ß n У 2в (п У 0). для ВС1Х Доситв великих щ а також N (x) _Тоді з умови (28) випливає, що виконує- + ж (x _ +ж ) за визначенням N (x ) . Звід-

x +дної умови збіжності ряду (1) випливає, що r (x) = o(ln 6 ( x , F )) (x _ +ж ) отримаємо1/(X + ß )ln (1/F ) - + ж ( n _- + ж ) Ви співвідношення (12). Лему 8 доведено.беремо тепер функцію F( t ) _ + ж з умови Наступне твердження є очевидним на

слідком з лем 7 і 8.

'^( ln TT) = T і я ln ТТ (п У 1). (29) Теорема 2. Нехай в ик о н у ють с я , у м о в иF n Xn І ßn F nF S (X, ß, r ) .

Подібно до того, як це робилось в [8], по- у м о в а (28), т о у м о в а ln F є Lp і т в е р д ж е - значимо через N = N (x) найменше з тих н н я а ) - в ) л е ми 7 е кв і валетн і .k є N, що для всіх п У k виконується нерівність Наслідком нашого розгляду у даному

1 X ß ( ) пункті є такий аналог теореми 1 з [4] для^ ( ln — ) у 6x n + ßnT . (ЗО) класу S ( X , ß , r ), у якому вказано необхідні і

Fn Xn + ßn достатні умови для того, щоб ln ц(-, F ) є LpN ln F

ності (ЗО) не перевищує 6(x + r (x ) ) . З нерів- Lp)-ності (ЗО) за умовою (15) отримуємо m „ ТТ ^ гv 7 J v 7 И J Теорема 3. Нехай р У 1, ф ун кц і я

1 і (ЛТ( \ і ч 1 і 1 r (x) н е п е р е р в н о д и фе р е н ц і й о в н а і r ' (x) \ ,в + 1 n( (x) - ) < Xn- і + ßN- i n Fn- i = x V (x ) / (x _ + ж ) 0 < r ' (x) < 1

(х > 0), п о с л і д о в н о с т і А = (Ап) - н е с па - дна до +го, а = (Ап + Дп) ~ з р о с т а ю ча до +<х. Я к щ о Е Є Б(А, в ,т ), т о для тог о , щ о б 1п р(- , Е ) Є Ьр не о бхі дно , а у випа дк у , коли і с н у є д о д а тн а н е з р о с т а ю ч а функція , І(х) така, щ о х/ 1пу ( х , Е ) ~ 1 (х) (х ^ +го), і д о с т а т н ь о , щ о б і с н у в ала така з р о с т а ю ч а до + ж п о с л і д о в н і с т ь ( к Пк), щ о р(х, Е ) = БПк ехр{хА„к + т(х)вПк} дл я в с іх х Є [кПк; к Пк+1 ] і в с і х к ^ 1, а т а к о ж при к ^ в и к о н у в а л и с ь у мо ви :

* пк (А^ + г \ н Пк ) рПк)ІП БПк + КПк АПк + Т(кпк ) в Пк

Кпк+і (АПк + Т (КПк+1 )Рпк )

р, (32)

^ р. (33)1п ЕПк + Кпк+1 АПк + Т(КПк+1 )в ПкЗауважимо, що у випадку, коли

1пр(- , Е ) Є Ьр, р > 1, незростаюча функція І(х) така, що х/ 1п р ( х , Е ) ~ І(х) (х ^ +го), завжди існує.

Д о в е д е н н я т е о р е м и 3. З огляду на леми 6, 7, а також п. б) леми 5, для встановлення необхідності досить перевірити, чи з того, що ф(х)/ 1п р ( х , Е ) ^ р (х ^ +то), де ф(х) = х(Аи(х) + т'(х)вщх)), випливають умови (32), (33). За лемою 5 центральний індекс V(х,Е) Д (х ^ +го), тому існує послідовність к Пк | така,що V(х,Е) = Нк для всіх х Є ( к Пк; к пк+1), а отже р ( х , Е ) = ЕПк ехр{хАпк + т(х)Рпк} для всіх х Є [кпк; к Пк+1 ]. Якщо тепер в п. 2) леми 7 вибрати спочатку х = х,пка потім спрямувати х ^ ( к пк+1 — 0), то отримаємо відповідно (32) і (33), позаяк

А. ІП Еп + +ІП РПк + КПк+1 АПк + т(кпк+і )@Пк КПк + 1 АПк + і + т ( к Пк + і )Рпк + і = ІП б ( к Пк + і , Е ) -

Д ля встановлення достатності умов (32) і (33) за умовами 1(х) \ і т'(х) \ для х Є [хпк; Кпк+1 ) при к ^ +то отримуємо

ф(х)= (1 + 0(1))1(х)(Апк + т' (х)Рпк) ^ІП р(х, Е )

^ (1 + 0(1)ЖКпк )(Апк + т ( к пк )Рпк )

= (1 + о(1)) Ф(Япк)ІП Епк + Кпк Апк + т(кпк )Рпк

= Р + о (1) ,

а з іншого боку

ІП^ Е ) = (1 + о(1))1(х)(Апк + т'(х)Рпк) ^

^ (1 + 0 ( 1 ) ) 1 (Япк+і )(Апк + т ( к пк+і )Рпк ) =

(1 + о(1))X, (Апк + т ( к пк+і )впк )пк +і пк

ІП Епк + Кпк+і Апк + т(кпк+і )Рпк

= Р + 0(1 ),

ІП Епк + Кпк+і Апк +при цьому ми знову скористались рівністю ІП р ( к п к+1, Е ) т(кпк+1 ) в пк ■ Теорему 3 доведено.

Вибираючи т(х) = ІП х (х ^ е) і т(х) = х/е (0 ^ х ^ е ) , з отриманих вище тверджень одержуємо такий наслідок для додатних рядів Тейлора-Діріхле..

Еб р а ж а є т ь с я з б і ж н и м дл я всіх: х ^ е рядом, в и г л я д у

Е (х) = У Епхвпе хХп, Еп ^ 0 ( п ^ 0 ),п=0

д е п о с л і д о в н о с т і А = (Ап) - н е с п а д н а до + ж , а, а = (Ап+ вп) - з ро стаюча , до такі , щ о в п = 0(Ап ) (н ^ +то) . Я к щ о р ^ 1 і в и к он у є ть с я , у м о в а (28), т о н а с т у п н і т в е р д ж е н н я р і в н о с ил ь н і :

1 ) 1п ц (-, Е) Є Ьр;2 ) ф(х)/ 1п р ( х , Е ) ^ р (х ^ д е

Ф (х) хАи(х) + Ри (х) !3) ф Є Ьр;

1п Е Є Ьр5) і с н у є така з ро стаюча , до п о сл і

д о в н і с т ь ( я Пк), щ о р(х, Е ) = ЕПк ехр{хАпк + т (х ) впк} для, в с іх х Є [кПк; к Пк+1 ] і в с і х к ^ 1, а, т а к о ж при к ^ в и к о н у ю т ь с я у м о ви:

Лпк+1 ^пк

Кпк А пк + ДпкІП Епк + Кпк Апк + ІП Кпк Рпк

Кпк+і пкАпк + АпкІП Епк + Кпк+і Апк + ІП Кпк+і Рпк

,

р. (35)

Д о в е д е н н я на с л і дк у 2. Не зменшуючи загальності м іркувань, вважаємо, що Д 0 Д ) = 1. Порівняння формулювання на-

_ (1 + о ( 1 ) ) (Кпк^Пк + ßnk) КпкІП Д я п к Д ) Кпк+1

Р + о(1)-

ІП КпиПк+Д п

ІП Fnk + КПк К,к +

_ При цьому ми знову скористались рівно-слідку 2 з наведеними вище твердженнями , ( р ) _ 1 р + \ +р р СТЯМИ 1п Д(Кпк+і, Х ) 1п Хпк + Кпк+і Лпк +показує, що для того, щоб можна було вва- к+1 кжати твердження наслідку цілком доведеним, досить довести, що 1) 5).

Доведемо спочатку, що 1) _ ^ 5). За теоремою 3 умови (34) і (35) випливають з умо-

1).ж на переписати у вигляді

‘'Пк+і ><'їгк+1 Рпк 1 ІП Л( к пк , F )

ІП Кпк Рпк ■Наслідок 2 доведено.

( к пк Апк + в пк )/ 1п Л( к пк , Р ) ^ р ,

(к пк+і Апк + в 'Шк)/ 1пу ( к пк+і Д ) ^ р ,відповідно. Звідси, скориставшись умовою в п = 0(А п) (п ^ + о ) , при к ^ + о отримуємо

(к пк+і/1п Л( к п к + і )) ~ (Кпк/1п Л(Кпк ) ) '

Зауважимо тепер, що у випадку, коли виконується 1), існує диференційовна функція 1 (х) така, що 1п Д х Д ) ~ хр1 (х) і хі'(х)/1(х) ^ 0 (х ^ + о ) . Тоді, очевидно, ЩО хЄі(х) Т (х ^ + о ) д л я кожного є > 0. Вибираючи тепер є Є (0; р — 1), остаточно при к ^ + о отримуємо

1 < і Кпк+іX,пк

p—1 —є Xпк+1X,пк

p- 1

(1 + о(1))-Кпк ІП Л( к пк+і ,Д )Кп

1 ( к пк+і) _ 1 ( к пк )

(1+ о(1)),і'пк+1 1п д ( к пк , Д)

звідки маємо к пк+1 ~ к пк (к ^ +то).Доведемо тепер, що 5) _ ^ 1). За лемою

7 для цього досить довести, що виконується 2). Д ля х Є [кпк; к пк+1) при к ^ +то отримуємо

ф(х) X,пк +і пкАпк + ßiпкІП л ( х Д ) ІП л ( я п к , F )

(1 + о(1)) (Кпк+1 пк + Дк ) Кпк + 1ІП Л( к пк + 1

а з іншого боку

ф(х)

F ) X, о(1),пк


1. Сенет а Е. Правильно меняющиеся функции,- М.: Наука, 1982,- 142 с.

2. Заболоцкий Н.В., Ш еремета М.Н. О медленном возрастании основных характеристик целых функций// Мат. заметки,- 1999.- Т.65, №2,- С.206-214.

3. Скасків О.Б., Тракало О.М. Про повільне зростання лічильної функції додатної послідовності// Вісник Львів, ун-ту, сер. мех.-мат,- 2000,- Вип.57,- С.36-40.

4. Ф ілевич П.В., Ш еремета М.М. Про правильну зміну основних характеристик цілої функції// Укр. мат. жури. 2003.-Т.55, Л"6. С.840—849.

5. Осколков В. А. О росте целых функций, представленных регулярно сходящимися рядами// Мат. сборн,- 1976,- Т.100, №2,- С.312-334.

6. Скасків О.Б., Т русевич О.М. Максимальний член і сума регулярно збіжного функціонального ряду// Вісник Львів, ун-ту, сер. мех,- мат,- 1998,- Вип.49,- С.75-79.

7. Скасків О.Б., Т русевич О.М. Асимптотичні властивості регулярно збіжних функціональних рядів// Препринт .Y’* 17-1. Львів: Ін-т ІНШІМ ПАН України, 1999.- 18 с.

8. Ш еремета М.Н. Об одном свойстве целых рядов Дирихле с убывающими коэффициентами// Укр. мат. жури. 1993.-Т.45, №6.- С.840- 849.

9. Скаскив О.Б. О минимуме модуля суммы ряда Дирихле с ограниченной последовательностью показателей// Матем. заметки,- 1994,- Т.56, №4,- С. 117-128.

Кпк Ф к + Дк

58


1пД х Д ) ^ 1п Л (Кпк+1 Д )

УДК 517.956

© 2006 р. С.С.Дрінь

Запорізький національний технічний університет, Запоріжжя

ОПЕРАТОР УЗАГАЛЬН ЕН О ГО З С У В У А Р Г У М Е Н Т У В П РО СТО РАХ ТИПУ с

Досліджуються властивості інтегрального оператора (оператора узагальненого зсуву аргументу) у просторі цілих функцій, які на дійсній вісі спадають швидше за exp{—a|x|}, a > 0 x Є R.

There are investigated the property of the integral operator (operator of generalized displacement of argument) in space of entire functions in the case when these function decrease on real axis rather than exp{—a\x\}, a > 0 x Є R.

При розв’язуванні задач математичної фізики, квантової механіки, газової динаміки, теорії теплопровідності, тепломасопере- носу, кристалографії, задач про взаємодію тіл, при математичному моделюванні різних реальних процесів виникає необхідність дослідження крайових задач (зокрема, задачі Коші) для диференціальних рівнянь та систем рівнянь з різними особливостями та виродженнями, коли, наприклад, рівняння має особливості в коефіцієнтах, вироджується тип рівняння, рівняння замість диференціальних операторів м істять псевдоди- ференціальні оператори, у рівняннях наявні випадкові збурення і т.п.

До рівнянь, я к і мають особливості в коефіцієнтах, відносяться Л-параболічні рівняння - рівняння з оператором Бесселя, який вироджується по певній просторовій змінній, а саме рівняння при цьому виродж ується на межі області. Л-параболічні рівняння за своїми внутрішніми властивостями близькі до рівномірно параболічних рів-

При дослідженні проблеми про класи єдиності та класи коректності задачі Коші для таких рівнянь широко використовуються простори типу Б, введені І.М.Гельфандом та Г.Є.Шиловим [1], та простори типу Ж, введені Б.Л.Гуревичем

Бскінченно диференційовних на К функцій,

поведінка яких та їхніх похідних на дійсній вісі характеризується величинами c kn = sup \xk'ß(n\x)\, {k, n} С Z+, де подвійна пос

лідовність {ckn} задовольняє певні умовиc kn =

kka . ппД a ß > 0). Простори т ипу W є узагальненнями просторів типу S внаслідок заміни степеневих функцій довільними опуклими, що дозволяє точніше охарактеризувати особливості зростання або спадання функцій на нескінченності.

Методика дослідження властивостей оператора Бесселя у таких просторах ґрунтується на властивостях оператора узагальненого зсуву аргументу, який вперше був введений у праці Б .М .Левітана [3]. У просторах

S Wненого зсуву аргументу вивчалися у працях [4, 5]. В.В.Городецьким та P.C.Колісник [6] побудовані класи цілих функцій (названі ними просторами типу C ), я к і на дійсній вісі спадають швидше за exp{—a\x\}, a > 0 , x є R. Простори Sa , S e , S e , { a , ß } С (0 ,1),

S W

просторів типу C. Т ут вивчаються властивості оператора узагальненого зсуву аргу-

Cзультати можуть бути використані при дослідженні задачі Коші для сингулярних еволюційних рівнянь, що містять оператор Бесселя (або функції від такого оператора), у


однозначних функцій С ^ С, як і задовольняють умову

За > 0 ЗЬ > 0 З е > 0 Уг = х + і у Є С :

\Ф)\ < с у (ах)р{Ьу).Збіжність у просторі С р визначається

так: послідовність { р и , и Є М} називається збіжною до нуля, якщо вона рівномірно збігається до нуля у кожній обмеженій області комплексної площини і при цьому справд-

кладемо

просторах типу С.

1. Простори типу C. Нехай {mn , n Є Z+} - монотонно зростаюча послідовність додатних чисел така, що:

1) lim Пm n/n = 0 m 0 = 1;2) Va > 0 3 ca > 0 Vn Є Z+: m n > c a ■ a n ;3) 3 M > 0 3h > 0 Vn Є Z+: mn+i <

M h nm n .Поряд розглянемо монотонно зростаючу послідовність додатних чисел {ln , n Є Z+}, яка ЖУЮТЬСЯ нерівності \pv (z )| < с , у(ax)p {by),також володіє властивостями 1) - 3), і по- Vz = x + i y Є C 3* сталими с , a , b > °, не

залежними від v.В С р визначені і є неперервними опера

ції множення на незалежну змінну, диференціювання, зсуву аргументу. Мультиплікатором у просторі С р є кожна ціла функція f : C ^ C, яка при довільйому є > 0 задовольняє нерівність

\f ( z ) \ < с є (у (є х ) ) - 1р (є у ) , z = x + i y Є C .

Символом C P(R) позначатимемо сукупність функцій, заданих на R, як і допускають аналітичне продовження у всю комплекснуплощину і я к функції комплексної змінної є

0елементами простору С р. Символ ом С р позначимо сукупність усіх цілих парних функцій з простору С р. Цей простір з відповідноютопологією називатимемо основним просто-

0

р{х)

Y(х)

1\х\п

sup -----nEZ+ m n

1 ,п

inf T wn \ х\

\x\ < 1 ,

\x\ > 1 .

\ х\ < 1 ,

\ х\ > 1 .

Функція р - диференційовна, парна на К, монотонно зростає на проміжку [1 , то) і монотонно спадає на (—то, —1], р(х) > 1, Ух Є К, р(1) = 1. Крім того,

Зсо > 0 З с > 0 Ух Є К \ [—1,1] :

р(х) > с 0 ехр{с\х\}.

основними функціями. Відповідно симво- 0

Зазначимо також , що функція 1п р - опукла ром або простором типу С, а його елементи на [0, +то), тобто

У{хі ,х2} С (0, +то) :

1п р (х і) + 1п р (х2) < 1п р (х і + х2).

лом CY позначатимемо сукупність пар-

Функція у - невід’ємна, диференційовна, парна на К, монотонно спадає на проміжку [1; +то), монотонно зростає на проміжку (—то; —1], у (х) < 1 Ух Є К, і

Зс0 > 0 ЗсС > 0 Ух Є К \ [—1,1] :

У(х) < Соехр{—с'\х\}.

Якщо ввести позначення: у = 1/у, то функція 1п у володіє властивістю опуклості у наведеному вище розумінні. Символом С р у праці [6] позначається сукупність усіх цілих

них функцій з простору С р (К). Із результа-0

тів, одержаних в [6] випливає, що С р (К) є0 0

підпростором простору 0 (0 складається з парних функцій простору Б Л.Ш варца). Д алі наведемо приклад функції, яка є мульти-

0С

Л е м а 1. Нормована ф ун к ц і я Б е с с е л я , V > -1 / 2 , я к а є р о з в ’язком, р і в н я н н я Б е с с е л я

в?п 2 v + 1 в,птощ + -----------г + \п = 0 ,2

з а умови , щ о п (0 ) = 1 , п ' (0) = 0 , є м у л ь т и -0

пл і катор ом у п р о с т о р і С р ■

Д оведення. Нормована функція Бесселя V > - 1/2 , пов’язана із звичайною функцією Бесселя J першого роду так [7]:

Д (х ) = (х), х Є Е. (1)хиФункція допускає аналітичне продовження у комплексну площину С, при цьому правильним є інтегральне зображення Пуассона функції .]„ [7]:

2Ъ (*) \ f n r ( v + 1/2) \2

z \ v- X

v/nr(v + 1/2)7т / 2

х J cos(z cos t) s in 1' tdt . 0

1

узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя [3]:

ПТ І p(x) = bv p ( \ j x 2 + £2 — 2x£ cos u )x

х sin2v u d u , p Є C P1 '

де Ъ„ = Г(v +1)/(Г(1/2)Г(v + 1/2)) V > -1/2 .Теорема 1. Оператор у з а г а л ь н е н о г о з с у

в у а р г у м е н т у Т 1 в и з н а ч е н и й і н е п е р е р в н и й 0

у п р о с т о р і С р (Е).Д оведення. Д ля доведення твердження

0(2) скористаємось співвідношенням FB [C

0

Із співвідношень (1) та (2) випливає, що нормована функція Бесселя Д комплексного аргументу £ є цілою парною функцією і для Д правильним є інтегральне зображення

• ( 2Г^ + 1)> (£) = ^ — х

= C (R) [8], де FB - перетворення Ф ур’є- Бесселя:

Fb [ p ] ( a ) = p ( x ) j v ( ax )x 2v+1dx,

v > - 1/2 , p Є CY

1 і И

(3)

1, |a| < 1 ,e x p j- i* ( a )} , |a| > 1,

Pi (t )

Урахувавши, що cos z = ^ (e^ + e %Z) z = x + i y Є C, за допомогою (3) дістаємо оцінку:

j v (z)| < c v e ІУІ, ^z = x + i y Є C,

де Cv = v n r ( v + 1 )(r (v + 1/2))“ ) V > -1/2. Оскільки для опуклих функцій ln 1(x) та ln p(y) при довільному є > 0 правильною є нерівність

У < ln 1 ( ex) + ln р ( є у ) + c, c > 0 ,

то звідси випливає, що

j v (z)| < C£,v Є1" )+ln Р(ЄУ) = Ce>v ( l ^ x ) ) - 1 p ^ y ) .

Отже, j v - мультиплікатор у кожному про- 0

сторі C Лема доведена.

2. Оператор узагальненого зсуву аргументу. Символом ТІ позначимо оператор

1 , \т\ < 1 ,ехр{р*(т)}, \т\ > 1 ,

7 *(о) - функція, двоїста за Юнгом до функції 1п р(о + 1 ) о Є [0, +го); р*(т) - функція,двоїста за Юнгом до функції — 1п у (т + 1),

0 0т Є [0, +го); оператор Тв : С р (Е) ^ С Ц (Е) є неперервним. Урахувавши відомі властивості оператора ТІ у просторі Л .Ш варца У (див. [9]), для довільної основної функції р маємо:

СЮ

f b [т|Р]И = J Т І P (x ) j v (a x)x2v+1dx 0

СЮ

= J p ( x ) T l j v ( ax )x 2v+1dx =0

Ю

= p ( x ) j v ( ax ) j v (a£ )x2v+ 1 dx =


0

Р

= j v (аС)FB [у ](а ) = Ф5(а ) . (прямого і оберненого), досить довести, що

Із леми 1 випливає, що при кожному f b [ФД£](z) > f b щTZу (z) ПРИ ДС ^ 0фіксованому С функція j v (аС), я к функція . о

0 у просторі C тобто, що:а , є мультиплікатором у просторі C P1 (R)- г

0 071 1) сім ’я функцій { у д (z) := FB Ф д —Оскільки FB [У] Є C P1(R ), то Ф? Є C P1(R) Q_ті 1 ( ) |ДС| < > 0 _при кожному С- Скориставшись оберненим dt z У_ (z) ’ 1 С1 — Є° Є0 деяке фіперетворенням Ф ур’є-Бесселя знайдемо, що ксоване число, z = х + і у Є С} збігаєтьсяmt ^ _ 1ГТ п 0 Р/™ч рівномірно до нуля при ДС ^ 0 у кожнійО у = F - Ф І є C р (R), тобто вказаний one-хт B 7 4 п обмеженій області K С С;0ратор визначений у просторі C р (R)- 2) За > 0 ЗЬ > 0 Зс > ° : \уд£ (z )| <

Неперервність оператора Т| випливає з с7 і (сх)р і (Ьу) = c e 1пФ(ах)+1прі(ьФ, ^ z = х + неперервності операції прямого і оберненого і у Є С, де с = 1/уі, сталі а, Ь, с не залежать

Д С ДСс і \ -і "і р /тгт) ч ЛИЧИНсІ.{ у , У к , k > 1} С C Р (R), причому Ук ^ У0 Урахувавши, щопри k ^ то у просторі C Р (R), то rm£ 1 • / с м г г і/ \7 FB [Тр ф] = Jv (z Q F B [ф](Д1

Fb [TX фк] = J v (°P)Fb [фк]к^ж одержимо співвідношення

к Jv к^жj v (ap)FB [ф] = Fb [Ті ф] Fb [Фді ](z) = Д (Fb [T«+A ф]Д ) - F b T ф]Д))

0 1у просторі C (R). Застосувавши перетво- = _ _ ( j (z (p + Др)) — j ( zp ))F b [ф](Д =рення F " 1 знайдемо, що T 1 фк ^ Т 1 ф при Др

о дk ^ то у просторі C Y(R )- = — j v (z(p + 9Др ) )Fb [f ](z ), 0 < 9 < 1.

Теорема доведена. дрТеорема 2. Операц і я у з а г а л ь н е н о г о з с у - Далі скористаємось такими відомими

в у а р г у м е н т у ф ^ Т 1 ф д ифе р е нц і й о в на у формулами [9]:0

пр о с т о р і C р (R). д— j v ( s x ) = c s x j v+i ( sx)Д оведення. Нехай, за означенням, d s

1 дФд? (5) = д [Т|+Д| ф — Т ф], — j v (sx) = cxs2 j v+i(sx )>

де стала с залежить лише від v. Тоді0ф є C р (R), (Є, Д р ,5 } с R.

Д ля доведення твердження досить f B 'д - т *д р рфф

дQ - B Т ф] (z)

д р “Fb [Фде](z) = c p z 2j v+i(z (р + вДр ) )Fb [ф](Д

праці [8] випливає, що якщо ф є C р (R), Отже

встановити, що граничне співвідношенняФд? — щ Д ф д р ^ 0 має місце у про- = ^ ( ^ ) р в ф ]Д) = с р Д ^ + Д р ^ в [ф](г),

осторі С р (К). Із результатів, одержаних у

о1Р (

то функція Г в [ф] допускає аналітичне продовження у всю комплексну площину і І д ? ( г ) = срг [Ф +і ( г ( Р + 9Ар)) — j v +l (zp ) ]х

о рГ в [ф] Є С р - властивість п л е с 2 днеперервності перетворення Ф ур’є-Бесселя х в [ф](г) = С £ > г д^jv +l(z ( + 1 £))х

х Ре [И (*) = с е г в А ^ ■ £2 ■ г АД +2(г (£ + Д А£))х

хДе М (г ) , 0 < ві < 1

(стала еі залежить від и). Із останнього співвідношення випливає, що якщо г Є К С С, дЄ к ............ обмежена область в С, то ( г ) ^ 0при А£ ^ 0 рівномірно по г Є К, оскільки існують додатні сталі йі 5 й2, й3 = й3(£) такі,

|г4| < Д , \Де [<р] ( г )\< Д ,

|>+2(г (£ + віА£))| < йз, Уг Є К.

Таким чином, умова 1) виконується. Доведемо, що умова 2) також має місце.

Передусім зазначимо (див. доведення леми 1), що

|Д+2(г(£ + віА£))| < Ь„еу І«+0іД«І < Ь„еС0 УІ,

г = х + і у Є С.

Д ля опуклих функцій 1п Д та 1п р г при довільному є > 0 та фіксованому £ правильною є нерівність

Со|£||у| < 1п 7 і(єх ) + 1п р і(єу) + й, й > 0 ,

тому

ln аі(єх )+ln р1 (ey)

Тоді

z = x + i y Є C.

Ы е (z)l <

тобто

— ln уіф оx) + ln 7 i(ex ) < — ln 7 i((«o — e )x) .

Оскільки, за припущенням, |Д£| < є0, то

- ln 7і (ax)+ln рі (by)

l j v+2 (z(£ + ^1Д С))| < ЬvЄ0 0

Оскільки FB [p] Є C Pl і у просторі C рівизначена операція множення на z2, то

4 оz FB [p] Є C р і , тобто існують сталі а0, Ь0, с0 > 0 такі, що

lz4Fb [p](z)| < С0Є- ln Yl(a0x)+ln pl(boy),

< Ь\А£\є- 1п71 (“°х)+1п71 (£Х)+1пРіФоД+ІпРі (єр)

(тут стала Ь > 0 залежить від V, £ і не залежить від А£). Врахувавши нерівність опуклості для функції 1п 7 і та зафіксувавши є з інтервалу (0 , а0) дістанемо, що

1п у і (єх) + 1п 7 і ((ао _ є)х) < 1п у і (а0х),

|7д ?(x)| < LєoЄ

= Lє0y 1(ax)p1(Ьy), z = x + i y Є C,

де а = а0 — є, Ь = Ь0 + є. Цим доведено, що умова 2) також виконується, тобто операція узагальненого зсуву аргументу диференці-

0 рйовна в просторі C р (R )Н асл ід о к . Операц і я у з а г а л ь н е н о г о з с у

в у а р г у м е н т у н е с к і н ч е н н о д и ф е р е н ц і й о в н а у0 рпр о с т о р і C р (R).

Д ля доведення цього твердження досить скористатися теоремою 2 та методом математичної індукції.


1. Гельфанд И.М., Ш илов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. - М.: Физматгиз, 1958. - 307 с.

2. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. - М.: Физматгиз, 1958. - 274 с.

3. Л евитан Б.И. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук.- 1951. - Т. 6, вып. 2. - С. 102 - 143.

4. Городецький В.В. Множини початкових значень гладких розв’язків диференціально- операторних рівнянь параболічного типу. - Чернівці: Рута, 1998. - 219 с.

5. Городецький В .В ., М артинюк О.В. Оператори Бесселя нескінченного порядку та їх застосування // Доповіді НАН України. - 2003. - N 6. - С. 7 - 12.

6. Городецький В .В ., К ол існик F. С. Про одне узагальнення просторів типу W // Науковий вісник Чернівецького ун-ту: 36. наук. пр. Вип. 134. Математика. - Чернівці: Рута, 2002. - С. ЗО - 37.

7. Корн Т., К орн Г. Справочник по математике.- М.: Наука, 1977. - 832 с.

8. Городецький В .В ., Д рінь С.С. Перетворення Фур’є-Бесселя просторів типу C та C ' // Доп. НАН України. - 2004. - N 8. - C. 19 - 24.

9. Ж ит ом ирский Я.И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальным оператором Бесселя // Матем. сб.- 1955. - Т. 36, N 2. - С. 299 - 310.

УДК 512.54

© 2006 p. М.В. Заводя1, B.C. Сікора2 , В.І. Сущанський3

1 Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича,Чернівці

3Сілезький політехнічний університет, Глівіце, Польща

СИСТЕМИ ТВІРН И Х М ЕТАЗН АКОЗМ ІН Н И Х ГРУП СКІНЧЕННОГО РА Н ГУ

Побудовано незвідні системи твірних n-ітерованого вінцевого добутку скінченних знако- змінних груп степенів > 7, які складают ься з 4 перетворень. Встановлено, що такі s-елементні системи твірних існують при довільному s, 4 < s < 2n.

The irreducible generators systems are constructed for n-iterated wreast product of finite> 7

s

1. В с туп . Метасп,метричні групи, тобто ітеровані вінцеві добутки симетричних груп скінченного степеня, було введено до розгляду в роботі Л.А. К алужніна [1] у зв ’язку з дослідженням груп ізометрій так званих метричних просторів Кантора. Пізніше виявилося, що ці групи природним чином виникають в теорії графів, теорії автоматних груп, фрактальній геометрії тощо. У зв ’язку з цим, цілий ряд робіт різних авторів було присвячено дослідженню будови різних типів метасиметричних груп (див., наприклад, [2]—[5]). Зокрема, в роботах [3], [5] досліджувалися системи твірних метасиметричних груп. Кожна метаси- метрична група містить природну підгрупу — вінцевий добуток відповідних знакозмін- них груп. Називатимемо такі вінцеві добутки м ет а з н а к о з м і н н и м и групами. У порівнянні з метасиметричними групами, будова метазнакозмінних груп досліджена поки що мало. Найвідомішим результатом тут є теорема М. Бхаттачар’ї [6] про те, що вінцевий добуток за нескінченними послідовностями знакозмінних груп степеня > 5 є 2-породженим як проскінченна група. Проте, доведення цього ф акту неконструктивне. Воно істотно опирається на класифікацію скінченних простих груп, а повне доведення класифікаційної теореми ще й досі не

в, 4 < з < 2п.

опубліковане. А тому, природною задачею є питання конструктивної побудови і характе- ризації скінченних незвідних систем твірних (в топологічному сенсі) в різних метазнакозмінних групах.

У даній роботі ми конструюємо системи твірних з "малим"числом елементів у метазнакозмінних групах, що є скінченно Керованими вінцевими добутками знакозмінних груп степеня > 7 .У наступній публікації ці результати буде застосовано для побудови 2- елементних систем твірних довільних Керованих вінцевих добутків знакозмінних груп степенів > 5. Всі позначення, що вживаються нижче, загальноприйняті, для визначення неозначуваних понять відсилаємо читача до книги [7].

2. М етазнакозмінні групи скінченного рангу. Нагадаємо [8], що вінцевим добутком груп перетворень ( С 1, Х 1), ( ^ 2,^62),..., (Сп ,Хп )у п Є П, називається група всіх підстановок щ множини X = Х 1х Х 2х ... х Х п , як і мають такі дві властивості:

(І) ЯКЩО (Хі,Х2, .. . ,ХпГ = (Уі ,У2, - ;Уп) , ( (х1,Х2, ...,Хп ), ( у 1, у 2, ■■■,уп ) Є X ), то при довільному к, 1 < к < п, елемент ук Є Хк залежить від вибору елементів Х1,Х2, ...,Хк (і перетворення щ);

(іі) при фіксованих х1,х0, ■■■,Х°к_ 1, перетворення Хк ^ ук, Хк Є Хк, 1 < к < п,

яке однозначно визначається підстановкою щ буде підстановкою на множині Х к, яка належить до групи С к-

Із означення випливає, що кожне перетворення щ множини X , яке задовольняє умови (і), (іі), визначає набір вигляду

и = [ д і , д 2 ( х і ) , . . . , д п ( х і , . . . ,Хп - і )], (1)

де ді Є С і,/ \ /— \ _ „ Х л х іді (хі , . . . ,Хі- і ) = д і (х і - і ) Є С і де

яка функція, визначена на множині Х і х Х2 х ... х Хі - і зі значеннями в групі С і (і = 2, 3 , . . . , и ) . Набори вигляду (1) далі на

иХ

з (і) та (іі), д ія визначається рівністю:

( ш і , ш 2, . . . , шп )и =

т ді у т д2(ті') тдп(ті ,...,тп-і) т п

■кп (ж?1, дп-і(хі,...,Хп-2)Хп_ 1

9з?

9і 1 9- 1 Д діж1

жд - 11д2 і и -

ж2 \

і=1

ї П Х і ) має наступні властивості.і=1 і=1

Ч > '"-2 > •••> " ип J > (2)

(Ші,Ш2, .. . ,Шп) Є X.Д ії (2) відповідає наступне правило множення таблиць:

[д і ) д2 (х і ) ) ...) дп (хі) ...) Хп — і )]"

• [Л ^ Д Д і), . . . , к п ( х і , .. . , хп—і )] =

= [ді • к і , д 2 (хі ) • к 2 (хаі1), . . . , д п ( х і , .. . , хп—і )•

(3)

Нейтральним елементом вінцевого добутку буде таблиця [е, е , . . . , е] (символом е позначено нейтральний елемент в групах Єі , 1 < і < и) , а оберненою до (1) буде таблиця

(4)

Д алі символом [и]к позначено к-ту координату таблиці и вигляду (1), 1 < к < п.

Вінцевий добуток груп підстановок ( С і , Х і ) . ( С2уХ2),..., (СПу Хп ) позначати-

пмемо символом ї С і . Група підстановок

Л е м а 1. 1) В і н ц е в и й д о б у т о к г р у п п і д с т а н о в о к (Сі , Х і ), 1 < і < и, б у д е т р а н з и т и в н о ю г р у п о ю т од і й т іл ьки тод і , коли к о ж н а з г р у п (С і , Х і) є т р а н з и т ив н о ю .

2) Гратка си стем, і м п р и м і т и в н о с т і він-п п

ц е в о г о д о б у т к у І С і на м н о ж и н і П Хі і=і і=і

і з оморфна в п о р я д к о в а н і й сум,і г р аток с и с т е м ім, примітивно сті г р у п п і д с т а н о в о к (Сі, Хі) , 1 < і < и.

При цьому впорядкована сума Г граток Г (1 < і < и) , таких, що Гі П Д = 0 при 1 < і = І < и, — це гратка на множині, якап

Гіі=і

вання для всіх і = 1, 2 , . . . , и — 1 мінімаль-Гі

том Гі+і; порядок всередині кожної з частин Гі С Г наслідується з порядку Гі5 а порядок м іж цими частинами індукується природним упорядкуванням множини {1 , 2, . . . ,и}.

О зн ачен ня 1. М е т а с и м е т р и ч н о ю (відповідно, м е т а з н а к о з м і н н о ю ) г р у п о ю р а н г у и иметричних (відповідно, знакозмінних) груп скінченного степеня. Якщо к і , к 2, . . . , кп — степені компонент вінцевого добутку, то вектор к = ( к і , к 2, . . . , кп ) Є N називатимемо м е т а с т е п е н е м метасиметричної (відповідно, метазнакозмінної) групи.

Розглядаючи метасиметричні групи, природно вважати, що всі ї ї компоненти мета- степеня > 2 , а для метазнакозмінних — що всі ці компоненти > 3. Метасиметричну гру-

кБ ( к ), а ї ї метазнакозмінну підгрупу — символом А( к ). Групи Б ( к ) та А( к ) є група-

Х і х Х2 х ... х Хп де Хі = {1, 2 , . . . ,кі}, 1 < і < и.

Л е м а 2. Д л я д о в і л ьн о г о д о п у стим, о г о в е ктор а к = ( к і , к 2, . . . , кп ) с п ра в е длива р і в н і с т ь

Б ( к ) : А( к ) 21+кі+кік2 +...+кі к2...кп

Доведення випливає з оцінки порядків груп Б( к ) і А( к ).


)

і

п

При п > 2 метазнакозмінна груп а рангу п не буде нормальним дільником у відповідній метасиметричній групі.

пУ вінцевому добутку і С і транзитив-

І=1них груп С і в и д і л я ю т ь с я стандартні системи твірних, як і будуються за фіксованими системами твірних груп С^ 1 < і < п. А саме,нехай Иі = {д\1\д\2\ . . , д \ 8і)} - фіксованасистема твірних групи Сі, і = 1, 2, . . . ,п. Таблиці вигляду

[ е , . . . , е ,Ні (Хі -1) , е , . . . , е ] , 1 < і < п,

піз і С і називатимемо і -к о о р д и на тн и ми .

І=1Множина і-координатних таблиць утворює

ппідгрупу вінцевого добутку і С і , я к а ізо-

І=1і ...хХі 11морфна прямому степеню Сі гру

пи Сі. При к о ж н ому і = 1, 2 , . . . , п — 1 виберемо в множин і Х 1 х Х 2 х ... х Х і певний

( (1) (2) (і)\ — ■кортеж [ш\ ,ш\ , . . . , ш \ \ = т і і визначи

мо зі+1 функцій із СУ Х---хХі7 поклавши

( (І)________ _ _<£,(Х,) = 1 д і+1- ЖЩ0 Хі = ш (5) + ( в — в іншому вип адку,

де і = 1, 2 , зі+1. Нехай и і і — і-координат- на таблиця, і-та координата якої збігаєтьсяз д\І1(Хі)-

Л е м а 3. Я к щ о г р у п и п і д с т а н о в о к ( С 1, Х 1), (С2, Х 2), . . . , (Сп ,Хп ) т р а н з и т и в ні, т о м н о ж и н а та б ли ц ь и і,І (і = 1, 2 , . . . , п , і = 1, 2,. . . , © є с и с т е м о ю тв і рних в і н ц е в о г о

пд о б у т к у і С і .

І=1к

(1 < к < п) за допомогою таблиць и іуІ, 1 < і < $к, можна побудувати довільну к к яко ї є функцією, котра набуває неодиничного значення лише в точці ш к-1. Оскільки групи підстановок ( С і , Х і ) є транзитивними для і = 1,2,...,к — 1, то для довільного кортежа

%к-1 = (%1, г2, . . . ^ к - 1) Є Х 1 х Х 2 х ... х Х і-1

66

існує таблиця вигляду

[hi , h 2 ( X i h k - 2 (Xk-2) , e , e]

така, що

zk- i = m k- i [ h i , h 2(xi ) , . . . , hk-2 (xk- 2)].

Звідси легко дістаємо, що довільну k- координатну таблицю можна розкласти на добуток таблиць вказаного вище вигляду. Тепер залишилося скористатися тим, що будь-яку таблицю [gi , g 2(xi ) , g n (xn - i )] мож на розкласти на добуток координатних таблиць:

[gi, g 2(xi ) , ■■■, g n{xn- i ) ] [e, ■■■, e , g n{xn—i)\'

'\e , ■■■, e , g n - i (xn -2 ) , e \ ' ■■■ ' [gi , e , ■■■, e]і лему доведено.

З а у в а ж е н н я . Легко переконатися, що коли системи твірних Ul в групах Gl (1 < l < k) є незвідними, то побудована ви-

nще система твірних вінцевого добутку I Gi

i=iтакож буде незвідною.

Користуючись лемою 3, побудуємо стандартну систему твірних метазнакозмінної групи фіксованого метастепеня. Скористаємося тим що знакозмінна група An при довільному n > 4 є 2-породженою, а 2-еле- ментна система твірних в ній може бути вибрана таким чином.

An n > 4я к а д і є на м н о ж и н і {1, 2,■■■,n}, п о р о д ж у є т ь с я парою ел ем ен т і в a , b в и г л я д у :

а) a = (1, 2,■■■,n), b = (1, 2, 3) п р и н епар - n

б) a = (1, 2, ■■■,n — 1^ b = (2, 3, ■■■,n) приn

Доведення див., наприклад, у [9].A3

(1, 2, 3)Нехай тепер k = (ki ,k2, ■■■,kn ) — дові-

nльний допустимий вектор, A( k ) = I Aki

i=ik

a i biного вище вигляду в групі Akl. Якщо kl = 3,

то залишається лише одна твірна — щ. Покладемо и і = {аі , Ьі} (чи и і = {аі}, якщо кі = 3). Д ля кожного і = 1, 2, . . . , п побудуємо і-координатні таблиці и і, 1 та и і,2, і-та координата яких є функцією вигляду (5), котра

аі иі ,1 Ьіи і,2) . (Якщо кі = 3, то буде побудована ли-

и і,1наслідок, дістаємо наступне твердження.

Л е м а 5. М е т а з н а к о з м і н н а г р у п а А( к ) р а н г у п, п о р о д ж у є ш ь с я 2п — Ь ел ементами , д е Ь — к і л ь к і сть к о о р д и н а т в е ктор а к , щ о д о р і в н ю ю т ь 3.

Так побудована система твірних групи А( к )залежить від рангу метазнакозмінної групиА( к )де доведення теореми про те, що при певних

к А( к )же містити також "малі" системи твірних, кількість елементів у яких не залежить від

п

3. П обудова 4 -ел ем ен тн о ї си стем иА( к ).

Символом п( к ) позначимо найменшу коор- к

А( к )для яких п( к ) > 7. Нехай

к = ( к1 ,к2 , ..., кп),

Ь-к (в) = (к1,к2, . . . , к3),

1~їк (в) (ks+1, ks+2, ..., кп )(2 < з < п — 1). Згідно з визначенням вінцевого добутку, для довільного 8 2 < в < п —1, має місце рівність:

А(~к ) = А(Ьк (в)) і А(Ік (в)).

А тому метазнакозмінна група А ( Ь ( з ) ) природним чином занурюється в групуА( к )

[д1, д2(Х1) , .. . , д.3(х.3- 1 )]

при такому зануренні буде таблиця

Образ всієї групи А(Ь-к(в)) при такому зануренні позначимо А(Ь-к(в)). 4-елементна си-

А( к )дуватимемо,має дуж е спеціальний вигляд. А саме, ми встановимо, що в стандартній системі твірних підгрупи

А(Ьк (2)) ~ Ак! і Ак2

досить змінити один елемент так, щоб продовження трьох інших ї ї елементів до та-

А( к )ментом складали систему твірних групи А( к ). Оскільки п( к ) > 7, то, згідно з лемою 5, існує незвідна система твірних групи А( к ) 2премо таблиці щ , и 2, ..., ип, щ, ь 2,..., ьп згідно з наведеною вище загальною конструкцією, поклавши

и і \в, . . . , в, д і (хі— 1^ в, .. ., в\,

Ьі = [в , ..., в, кі(Хі—1),в, ... ,в],

де д 1 = а^ Н1 = Ь1у а при і > 1 функцїї д , та к І визначено рівностями:

9і (хі- і )

Ні (хі- і )

й і ^ щ о Хі- і = (1 , 1, 1),е — в іншому випадку,

Ьі} я к щ о Хі - і = ( 1 ,1 , 1), е — .

(6)

Побудуємо тепер спеціальну таблицю и Є А( к )

и = \с1 ,в,Сз(Х2 ), . . . , ^ ^ —1 )] , (7)

де с 1 = а 1у а функції с І (ХІ—1) визначено рівностями

{ а І^ щ о ХІ—1 = (5, 4,. . . , 4 , 1), ЬІ, якщо ХІ—1 = (5, 4, . . . , 4, 2),

в — ,(8)

і = 2, 3, ... , п и

[9і ,92(хі ) , ■■■,98(х8 - і ) , є , .. ., е\. и - і [ д і , е , д з ( х 2 ) , . . . , д п (хп- і ) ) , (9)

де б і = с— і , а функції б і (хі— і ) при і = одинична, досить переконатися, що будуть 4, 5 , . . . , и визначено рівностями справедливими рівності

(5 ,4 ,..., 4, 2)ик-1'ик-і = (6 , 4 ,..., 4, 2).

Д ля першої з рівностей маємо:

а—і , якщо Жі_і = (6 , 4 ,..., 4 ,1 ), (5 ,4 ,. . . , 4 ,1)ик-1-'€к-і = (6 , 4 ,..., 4 ,1);б і (хі— і ) = Ь—і , якщо х і—і = (6 , 4 ,..., 4, 2),

е — ,

. . _ (ю )і, крім того, координата б3(х2) визначена таким чином: (5 , 4 ,. .., 4 , 1)ик-і = (5Сі, 4С2 (6), 4С3 (6’4),...

[ а—\ ЯКЩО Х2 = (5, 1),........................................................ (6,4...4) .Ск-1 (6,4...4)Аб3(х2) = < Ь3 і ^ щ о х 2 = (5 ,2 ), (11) . . . , , ) .

е — інакше. За визначенням таблиці и, дістаємо: 5Сі =тт . . . 5“1 = 6 С2(6) = сз(6 , 4) = ... = с к— і (6 , 4 ,..., 4)Це легко перевіряється безпосереднім = е Отже (5 4 4 1)ик-1 = (6 4 4 1)

підрахуванням. Тим самим, потрібна систе- п ■ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ — Звідси маємо, щоА( к )

є множина {и, и 2, ь і , ь 2}. (5, 4 ,..., 4 ,1)ик-і "ик-і = (6 , 4 ,..., 4 , 1Дк-і =

Д опоміж ні обчислення. Д ля довільної підстановки ц Є Ак2 розглянемо функції р 2 : Х і — Ак2, д2 : Х і — Ак2, визначені рів- бо £>2(6) = е. Д руга рівність перевіряється ностями: аналогічно і лему доведено.

( . З рівності и ■ V ■ и —і = щ дістаємо, що/_ ч ц ^ щ о х і = 4, _ір2(хЦ = < . и і - щ - и = V.е — ;К Д ля і = 1, 2, 3 позначимо через

/_ N _ / Ц, ЯКЩО Хі = 3, г (■) _ "| —д2 (Хі) = \ е ^ к ш е . щі = Д 2 (х і ) , е , . . . , е Є А( к )

Л ем а 6 . Таблиці v = [е,рДХ і), е , . . . ,е] і таблиці, другі координати яких визначено Щ = [е, Я_2(Ті ), е , ..., е] є с п р я ж е н и м и в м е т а - рівностями

(6 , 4Р2(6),..., 4 ,1 ) = (6 , 4 ,..., 4 ,1 ),

А( к )лиц і и. Л ^ Х ) = і ц , п^и Хі = 1,

2 е - ,

и • V • и —і = [Зі, в2 (хі ) , ..., 8п(Хп— і)] . (2) / \ / Ц, при Хі = 4,4 ) (х і) е ,

і пересвідчимося, що таблиця з правої частини цієї рівності дорівнює [ е , д2(хі ) , е , . . . ,е]. (%— \ Г ц ^ и х і = 6 ,

і (Х ) _Д ля цього обчислимо координати цієї табли- 2 ( і) 1 е — інакше,ці. Маємо: [и • V • и —і ] і = а і • а —і = е, тобто

ут - г —і! ( аі\ ( \ Де Ц Є Ак2 довільна підстановка.Зі е* Д^алр [и v и ]2 р2(х і ) ?2(х іД т *7 ту уг* оаі л л. - ( аі\ Л е м а 7. К о ж н а з т аб л иц ь щ , Щбо 3аі = Д ТОбтО фуНКЦ1Я Р2 (Хі1 ) єдине не- — 3А( к )

к > 3, згідно з (3), координата з к(хк— і ) зна- р о д ж е н а е л е м е н т а м и щ щ , щ .и 2

v2, маємо:[и • V • и і ]к = Ск(хк—і) • 4 (хик— р к г )

[и2 ]2 = д2(Хі), [V2]2 = 4 (Х і),де и к—і; v k — і — початкп до в ж и н и к — 1 таблиць и ^ . Щоб переконатися, що вона д2(1) = а2, 4 ( 1 ) = Ь2.

68 Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер сит ет у. 2006. В и п у ск 314-315. Математика.

Множина {а2,Ь2} є системою твірних зна- козмінної групи Ак2, а тому для довільної підстановки у Є Ак2 існує групове слово Ж( х1, х2) від двох змінних таке, що у = Ж( х1, х 2). Звідси дістаємо, що щ 1 = Ж ( и 2, ь 2), тобто щ 1 міститься в підгрупі, породженій и 2, ь 2. Після цього, як і при доведенні попередньої леми 6 , досить скористатися спряженням за допомогою таблиціи. В результаті дістаємо, що щ 2, належатьдо підгрупи, що породжена и , и 2, ь 2. Лему доведено.

Символом и ( : і = 1, 2 , . . . , п ) позначимо таблицю вигляду

\С1, в, .. ., в, Сі+2 (х:+1) , . . ., с п (хп — 1)] ,

де с1 = а 1у а координати с т (хт—1) ( ш = І + 2 , . . . , п ) визначаються рівностями (8). Очевидно, и (1 = и, а при і > 1 таблиця и : отримується з таблиці (7) заміною ї ї ( і - 1 )ничним елементом. Безпосередньо перевіряється, що оберненою до таблиці и (:') буде таблиця вигляду

\$1, в, . . . , в, (І:+2 (х:+1) , . . . , $п (хп— 1)],

де d 1 = с — \ а функц її dm (Хm—1)( ш = і + 2,.. .,п) визначаються рівностями (10)-(11). Іншими словами, обернена до и (:') отримується з таблиці (9) заміною на

( і - 1)починаючи з третьої.

Таблиці и ( : ( і = 2 , . . . , п ) мають властивість, подібну до вказаної вище в лемі 6 властивості таблиці и. А саме, нехай А Є Акт+2 — довільна підстановка, а функції

Іт+2 : Х 1 х ... х Хт+2 ^ Акт+2 ,

кт+2 '■ Х 1 х ... х Хт+2 ^ А кт + 2визначено рівностями

/т+2(хт+1) —е ^ щ о Хт+1 X — інакше,

(5, 4,. . . , 4),

Нт+2(хт+1)е ^ щ о Хт+1 = (6 , 4, 4),X — інакше.

Побудуємо таблиці у (т\ т (т') Є А( к ), поКЛЯВШИ

(т)

(т)

[е, ..., е , їт+2 (хт+1) , е , ..., е ) ,

- [e, . . . , e, Нт+2 (хт+1) і е і ■■■■! е ]

(ш = 1, 2, . . . , п — 2).Л ем а 8. Д л я д о в і л ьн о г о н а ту р ал ь н о г о

ш , 1 < ш < п — 2, м а є м і с ц е р і в н і с т ь

и (т) ■ щ (т) ■ ( и (т)) —1 = ь (т).

Доведення леми цілком аналогічне до доведення леми 6 і ми його не наводимо.

5. Основна теорема.п > 3

на ту р ал ьн е число . Д л я д о в і л ьн о г о в е ктора к Є Пп тако г о , щ о п( к ) > 7, м ет а з н а к о -

А( к ) ц я м и и, и 2, у1, у2.

Д оведення. Переконаємося, що кожна з визначених вище таблиць и :-, у ^ и (:—1') (3 < і < п) міститься в підгрупі, що породжена таблицями и, и 2, щ, у 2. Д ля цього ско-

іі = 3

переконатися, що таблиці и 3, та и (2 мож уть бути зображені у вигляді добутку таблиць иц у2, щ, у 2. Згідно з лемою 7, підгрупа, породжена и 2, у2, и, містить таблиці

Д (Т7.хі = [е,Н2) (хі ) , є, ■■■,є), і = 1, 2, 3,

де

Ь{2 ] (хі )

(х і)

а2^ щ о хі = 4, е — інакше;

(1, 6, 3), якщо Хі = 6, е — інакше;

(2, 6, 3), якщо Хі = 6, е .

Враховуючи, що к ^ 1 (6) = е, тобто4^2 )(6) = 4, дістаємо, що спряжена таблиця

— іХ4 = и • Хі • и 1 має вигляд

>(4)^ л /ЛСтіг^ = [ е , к 2 ) ( х і ) , к у ( х 2 ) , е , . . . , е ] ,

де

Н2 )(хі )

Н<34)(х2) =

(1, 6, 3), якщо хі = 5, е — інакше;

й з ^ щ о х2 = (5 ,1), й -1^ щ о х2 = (5, 3), е .

Аналогічно, спряжена таблиця = и ■ 1и —1

= \в,н2) (х1),Н<35)(х2) , в , . . . , в] ,

де

Ні 2) (хі )

Нз ) (х2) =

(1, 6, 3 ) ^ щ о хі = 4, е — інакше;

а3^ щ о х2 = ( 4 , 1), й - і ^ щ о х2 = (4, 3), е — інакше.

(5) \ — 1

Х8 = [е,е,Н3 ) (Х2 ) , е , . . . , е ) ,

де

є функцією, що набуває неодиничного зна-(4, 1)

значення дорівнює Ь3. Спряженням за допомогою елементів підгрупи, породженої таблицями и, щ, и 2, ь 2, можна досягти, щоб це значення набувалося в будь-якій іншій то-

(1, 2)в такий спосіб побудовано таблицю ь 3. Д ля побудови таблиці и 3 врахуємо рівність

аз • Ь-1 (3, 4 , . . . , к з ) .

Таблиця

г 9 = [ е , е ,Н3) (х2) , е , . . . , е ]

Таблиця = \в,к2 (х1) — 1 , в , . . . , в ] міститься в підгрупі, що породжена таблицями и 2, ь 2, и, а тому таблиця

= Z5 ■ = \в , в , к (£) (х2) , в , ...,в]

також належить до цієї підгрупи. Цілком аналогічні м іркування показують, що до неї належить і таблиця

(8) (~„

така, що к 3 \ х 2) набуває неодиничного зна-(4, 1)

значення дорівнює Ь3, нами вже побудована.Нехай z1o = ( г 7 ■ z - 1J кз 2. Тоді координата\z1o\з набуває неодиничного значення лишев точці (4, 3), причому це значення дорівнює а2

, 2 ( 2 (кз+1)\ - іУ = Н • (хіо ) • Н

має вигляд у' = [е , е , д 3(х2) , е

9з(х 2) =а 3, якщо х2 е .

., е)

(4 ,1),

Ь3, якщо х2 = ( 4 , 1), к33\ х 2) = Ь—1, якщо х2 = (4, 3),

в — в інших випадках.

Д алі розглянемо два випадки, залежно від парності чи непарності числа к3.

а ) Нехай число к3 є парним. У такому разі має місце рівність

а —1 ■ Ьз ■ аз ■ Ьз = (1, 2)(3, 4),

тобто підстановка а —1 ■ Ь3 ■ а 3 ■ Ь3 має поря- Ьз = (1, 2, 3)

порядку 3, то третя координата таблиці

у = 1 ■ Z7 ■ z6 ■ Z7) 2

За допомогою спряження елементами з виділеної вище підгрупи, з цієї таблиці легко отримати таблицю и 3.

б) Нехай число к3 є непарним. У такому разі підстановка А = (1, 2)(3, 4 , . . . , к3) є пар-

к3 - 2А а 3 Ь3

А = ц(а3,Ь3),

де ц — деяке групове слово, і побудуємо наступну таблицю з метазнакозмінної групиА(і к )

Zll = Ц^6^7) .

Д ля неї маємо, що

к ( а 3, Ь3) , якщо х2 = (4, 3), Уї. ^ Х ) = { к ( в , Ь3), якщо Х2 = ( 4 , 1),

в .

Оскільки ц ( е ,Ь3) = Ь3 при певно му І, 1 < І < |Ь3|, а Ь3 — підстановка по рядку (к3 — 1),

к3 2то очевидне спряження підстановки г і 3 є таблицею вигляду

г і 2 = [е,е,д3(Х2),е, ...,е ],

де д 3 набуває єдиного неодиничного значення Ь3 лише в точці х2 = (4 ,1). Звідси легко

и 3Далі, враховуючи, що підстановка а3•Ь3 =

(1, 3 ,5, . . . , к3 — 3, к3 —1)(2, 4, 6, . . . , к3 — 2, к3) має

порядок -23, то таблиця

г і3 = (г6 • г і 2) к3

має третьою координатою функцію д3(Х2), я ка набуває єдиного неодиничного значення а 3 лише в то чці х2 = (4, 3). Аналогічно до попереднього випадку, звідси легко д істаємо таблицю г і 4, лише третя координата яко ї є неодиничною, причому набуває нео-

а 3 (4 , 1)г 4

цю v3. Залишилося побудувати таблицю и(2). Спрягаючи таблицю v3 однією з таблиць г і7 1 < і < 3, дістаємо такі таблиці г і 5 і г і 6, що [гі 5]3 набуває єдиного неодиничного значення а 3 в точці (6 , 2) та [гі 5]3 набуває єдиного

Ь3 (6 , 1)ля цього легко перевіряється, що має місце рівність

и (2) = и • г 5 • г 6

і перевірку бази індукції в доведенні теореми закінчено.

І н д у к ц і й н и й крок. Припустимо, що для всіх і = 3, 4 ,..., ш таблиці щ-, V— и(і —і ) вже подано у вигляді добутку таблиць и іу и 2, Vіу v 2 і пересвідчимось, що ит + і , vm+і , и(т) також можна представити у вигляді такого добутку.

За допомогою таблиць и т , v m ми можемо побудувати таблиці

ті = [е ,. . . , е , діт+ і (Xm) , e , . . . , e ], і = 1, 2,

Д 6

д( і ) (- ) [ (1, С Д При Хт = (1 , ..., 1),д т +і( т ) | е — інакше,

д(2) (- ) Г (2, 6, Д ПрИхт = ( 1 , .. . , 1),д т +і ( т ) | е — інак ше.

Після цього, будуючи послідовні спряжені таблиць т і 5 т 2 за допомогою четвертих сте-

ит ит илиці т 3, т4 такі, що єдиною їх неодиничною координатою є (ш + 1)-ша, причому функція [т 3]т +і набуває єдиного неодиничного значення (1, 6 , 3) в точці (1, 4 ,..., 4), а функція [т 4]т +і — єдиного неодиничного значення (2 , 6 , 3)за допомогою таблиць т 3, т4 можна побудувати такі (ш + 1)-координатні таблиці ш5, т 6, ЩО [ш5]т +і набуває єдиного неодиничного значення (1, 6 , 3) в точці (6 , 4 ,..., 4 ) а Щ6]т +і

(2 , 6 , 3)в цій точці. Оскільки циклічна підстановка д т+ і (6 , 4 ,..., 4) = (1, 6 , 3) залишає нерухомою точку 4, то таблиця = и т— і • т 5 • ит— імяє вигляд

[е, ..., е , д т+ і (хт) , д т+2 (хт+і ) , е , . . . , е ],

де д т+і набуває неодиничного значення (1, 6 , 3) лише в точці (5, 4 ,..., 4 ) а д т+2 — не-

а 3 а3(5, 4 ,..., 4 ,1) і (5, 4 ,..., 4, 3) відповідно. Аналогічно, таблиця = и т — і • • ит— і також має такий вигляд, де д т+і набуває єди-

(1 , 6 , 3)(4, 4 ,..., 4), а дт+2 — неодиничних значень а3 і а— і лише в точках (4 ,..., 4 ,1) і (4 ,..., 4, 3) відповідно.

Далі, враховуючи лему 8 , з таблиці т — і можемо отримати (ш + 1)-координатну таблицю таку, що [т 9]т +і набуває єдиного

(1 , 3 , 6 )чці (4, 4 ,..., 4). Звідси дістаємо, що таблиця т і0 = є (ш + 2)-координатною, причому [ті 0]т +2 набуває значення а 3 в точці (4, 4 ,..., 4 ,1 ), значення а— і в точці (4 ,..., 4, 3) і одиничного значення в інших точках. Провівши аналогічні м іркування для таблиць т 6 і и т— і , дістанемо (ш + 2)-координатну таблицю т і і таку, що [тіі ]т +і набуває значення Ь3 в точ ці (4 ,4 ,..., 4, 2), значен ня Ь— і в точці (4 , ... , 4 , 3) чках.

Міркуючи аналогічно як у випадку доведення випадку бази індукції, за допомогою таблиць w 10, ,ш11 можна сконструювати (ш + 2)-координатні таблиці w 12, w 13 такі, що ^ 12]т+2 набуває єдиного неодиничного значення ат+2 в точці (4, 4, . . . , 4 , 1), а 13]т+2 — єдиного неодиничного значення Ьт+2 в цій точці. За допомогою таблиць w 12 і w 13 тепер очевидним чином конструюються таблиЦІ и т+2у ьт+2‘

и (т)очевидним чином конструюється з використанням таблиць w 12, w 13, и т+1 і и (т+1\ Теорему доведено.

Таким чином, в групі А( к ), п( к ) > 7, поряд із незвідною системою твірних, яка

2пментна система твірних. Насправді, кількість елементів у незвідних системах може змінюватися в цих межах. Точніше, має місце таке твердження.

Т ео р ем а 2. Д л я д о в і л ьн о г о н а ту р а л ь н о г о з , 4 < в < 2п, м е т а з н а к о з м і н н а г р у п а А( к ) м е т а с т е п е н я к , п( к ) > 7, м і с т и т ь н е з в і д н у с и с т е м у тв і рних, я к а с к л а д а є т ь с я т о ч н о з в ел ементі в .

Доведення цієї теореми фактично випливає з обчислень, наведених при доведенні теореми 1, і ми його опускаємо.


1. К ал уж нин Л.А. Об одном обобщении си- ловеких р-подгрупп симметрических групи // Acta math. H ung.- 1951.- V.2, N 3 -4 - P. 197-221.

2. Заровпый В.П. Автоматные подстановки и сплетения групп // Доклады АН СССР.— 1965.— Т.160, N 3 ,- С.562-565.

3. Иванюта И.Д. Силовекие р-подгруппы счетной симметрической группы // Укр. мат. журнал.— 1963,- N 15,- С.240-249.

4. Чакань Б., Г ечег Ф. О группе автоматных подстановок // Кибернетика,— 1965.— N5.— С.14-17.

5. Сикора B.C., С ущ анский В.И. Системы порождающих групп автоматных подстановок // Кибернетика и системный анализ.— 2000.— N3.— С.121-133.

6. M .Bhattacharjee. The probability of generating certain profinite groups by two elements / / Israel journal of M athem atics.- 1994,- 8 6 ,- P.311-329.

7. С ущ анський В.І., Сікора B.C. Операції на групах підстановок. Теорія та застосування.— Чернівці: Рута, 2003,- 255 с.

8. K alou jn in e L., K ra sn er М. Le produit complet des groupes de permutations et le problème d’extension des groupes // C. R. Acad. Sci. Paris.— 1948.— Vol. 227 ,- P. 806-808.

9. Пикар С. О базисах симметрической группы // Кибернетический сборник, М.: Мир, 1965.— Вып.1.— С.7-34.

С таття надійшла до редколегії 4.09.2006

УДК 517.983

© 2006 р. Т.І. Звоздецький, С.С. Лінчук

Чернівецький національний університет ім.Ю .Федьковича, Чернівці

ОДНЕ ЗО БРАЖ Е Н Н Я ЛІНІЙНИХ НЕПЕРЕРВНИХ ОПЕРАТОРІВ, ЩО ДІЮ ТВ У П РО СТО РАХ АН АЛІТИ Ч Н И Х ФУНКЦІЙ

У даній роботі встановлюється взаємно однозначна відповідність між одним класом аналітичних функцій двох змінних та множиною всіх лінійних неперервних операторів Т : Л (О і) ^ А (02), де С\ - ^опукла, а б 2 - довільна області комплексної площини.

We establish an one-to-one correspondence between a class of analytic functions of two variables and the set of all linear continues operators T : A(Gi) ^ A(G2 ), where G\ is a p-convex domain and G2 is an arbitrary domain of the complex plane.

Нехай О - область комплексної площини, а А(О) - простір усіх аналітичних в О функцій, що наділений топологією компактної збіжності. Д ля областей С 1 і С 2 з С через С ( А ( 0 1), А ( 0 2)) позначатимемо сукупність усіх лінійних неперервних операторів, що діють з простору А ( 0 1) у простір А ( 0 2). При розв’язуванні різних задач комплексного аналізу важливим є опис у різних формах операторів з класу С( А( С1), А ( 0 2)).

У роботі [1] вивчався взаємозв’язок м іж операторами Т Є С(А(0\) , А ( 0 2)) і локально аналітичними на множині С0 1 х О2 (С0 1 = С \ С і) функціями двох змінних 1(Х, х) , для яких

і ( х ' г ) = Т ( © ) ■

У цьому випадку функція Ь(Х,х) називається характеристичною за Кете для опера-

Тжного компакта К 2 С О2 існує такий компакт К 1 С С І5 що для всіх функцій / Є А ( 0 1) та всіх х Є К 2

(Т/)(х) = А І ї (х,х)/(X) ах,

де ^х - замкнений контур, що міститься в О 1 К 1

У роботі [2] введені оператори узагальненого диференціювання, як і лінійно й непе

рервно діють у просторах функцій, аналітичних у кругових областях, за правилом

( V / ) ( г ) = Т ^ г п - 1 , а “

де {ап }П=о """""" деяка послідовність комплексних чисел, що задовольняє певну умову.

Якщо функція а ( х ) = ^2 а пхп є аналіти-п=0

чною в початку координат, то система функцій {а(Хх) : X Є Л} є повного у відповідному просторі для деякої множини Л С С. Тому для випадку кругових областей 0 1 і О2 кожен оператор Т з клас у С ( А( С1), А ( 0 2)) однозначно визначається за допомогою характеристичної функції виду

Ь(Х,х ) = Т [а(Хх)]. (1)X

У [3] для певного класу функцій а ( х ) описано взаємозв’язок м іж характеристичними функціями ї(Х, х) виду (1) і операторами з С ( А ( 0 1), А ( 0 2)) у цьому випадку. Відзначимо, що характеристичні функції (1) зручно використовувати при вивченні різних властивостей операторів узагальненого диференціювання та узагальненого інтегрування, оскільки функції /\(г ) = а(Хх), X Є Л , є власними для відповідного оператора узагальненого диференціювання Va .

У роботі [4] встановлено, що оператор узагальненого диференціювання


Гельфонда-Леонтьєва що побудований за функцією Міттаґ-Лефлера Ед (х; ц) , продовжується до лінійного неперервного оператора, який діє у просторі Л ( О ), де О - довільна зіркова відносно нуля область комплексної площини. Тому важливою є задача про опис операторів з класу С( Л( О1), Л(О2)), який був би зручним при вивченні різних властивостей оператора узагальненого диференціювання Гельфонда-Леонтьєва. Розв’язанню цієїзадачі присвячена дана стаття.

Зафіксуємо сталі д > 0 та ц Є С(Ле ц > 0) і через Ед(х; ц ) позначимо функцію Міттаґ-Лефлера, тобто

EAz ; ß ) ==0 Г ( n + ß

z є C.

кція відносно А. Крім цього, оскільки оператор T неперервний, то

VK 2 с С 2 З С > 0 3 K i С Gi V f є A(Gi ) :

mKx \( T f ) ( z ) \ < C V K l f ( z ) \zeK2 z£Ki(тут і дал і KM K 2 компактні підмножини відповідних областей). Звідси, покладаючи f (z) = Ee (Az; ц) , А є C, отримаємо, що

V К 2 с G2 З С > 0 3 K i С Gi V А є C :

m a x \t(A, z)\ ^ С m a x \EJAz; /ї)\. (2)zeK2 zeKi

Подамо дал і умову (2) в іншому вигляді для випадку, коли G1 є ^-опуклою областю.

Нагадаємо означення ^-опуклої області. Елементарною ^-опуклою областю, яка відповідає параметрам 9 є (—п; п] і v > 0 називається множина [5, с. 1591

Нехай С і і О2 - довільні області в С, причому О 1 - однозв’язна. Функцію і ( \ , г ) , яка для оператора Т Є С (Л (О 1), Л(О2)) визначається формулою

х) = Т [Eg (Xz; ц)], X Є С, х Є О 2 ,

будемо називати характеристичною функцією цього оператора. Зауважимо, що оскільки функція М іттаґ-Лефлера є цілою, всі ї ї тейлорівські коефіцієнти відмінні від нуля і область О 1 однозв’язна, то система функцій [ Е ё (Хх; ц ) : X Є С} є повного в Л ( О 1). Тому різним операторам із С (Л (О 1), Л ( О2)) відповідають різні характеристичні функції.

Нехай Т Є С (Л (О 1), Л(О2)). Очевидно, що характеристична функція Ь(Х, х) цього оператора аналітична при X Є С і х Є О2. Більше того, оскільки функція М іттаґ- Лефлера має порядок д і скінченний тип при порядкові д, а Т Є С (Л (О 1), Л ( О2)), то для кожного х Є О2 порядок цілої відносно X функції Ь(X, х) те перевищує д, а у випад-

дд

сукупність усіх таких цілих функцій позначають символом [д; то). Отже, для кожного х Є О2 характеристична функція х) оператора Т належить до класу [д; то) як фун-

де

D,

D*(9; v ) = C \ D e (9; v ),

,(9; v ) = I z Є C : Re ( e - i e z ) e > v,

|Argz — 9\ ^ min < п , — l 2g

Зауважимо, що тут і надалі для 9 Є (—п; п] і z Є C \ {0} під (в - гвz ) e розумітимемо вираз

\z |е exp[*g(Arg z — 9)},

де 9 — п < Arg z ^ 9 + п. Розглянемо множину K вигляду

K = П D (9j ; Vj),je/

д е I деяка сім ’я індексів. Зрозуміло, що K

gпакт. Тоді, наслідуючи [6], область G нази-

gg

Ggнуль. Крім цього, для випадку g = 1 поня-

gзвичайної опуклої області, я к а містить нуль.

nz

Вважатимемо надалі, що Gi - ф-опукла область. Зафіксуємо компакт К 2 С G2. Я к було відзначено вище, для всіх z Є К 2 ціла функція t z(X) = t (X,z ) належить до класу ф; ж ) . Нагадаємо, що для цілої функції g Є ф; ж ) ї ї індикатором h(9; g ) називається функція [7, с. 72]

h ( 6; g ) = lim ^ ^ , в Є (—п ; ж].

Відзначимо, що функцію h( e ; g ) можна продовжити до 2п-періодичної на R функції, яка буде неперервною на R.

З умови (2) отримаємо, що для зафіксованого компакта К 2 С G2 існує такий ф

K i С Giz Є К 2 і в Є (—п; п] індикатор h ( e ; tz) функції t z (X) задовольняє нерівність

max ln \ E0 ( г в гв Z; ß)\ h( e ; tz) ^ lim -------- . (3)r—

Зафіксуємо є > 0. З рівномірної оцінки модуля функції М іттаґ-Лефлера за допомогою ї ї індикатора h( e ; Ев) [5, с. 328] одержимо, що для цього є існує таке Я( є ) > 0, що при ф| ^ Я ( є ) виконується нерівність

ln ^ ß ; ß )l < [h(arg Z ; Ее) + є ]Ф|е-

Тоді з (3), скориставшись співвідношенням [5, с. 329]

Ц в ; Е е ) = / C0S Фв' § } '1 0, min І п, < в ^ п,

будемо мати, що для z Є К 2 і в Є (—п; п]

h ( e ; t z) ^ l im max[ ( h ( a r gZ+в; Eg)+s ) lZ|e] ^r — CeK!

^ max lZ |e cos[g(Arg Z + в)] +CeKi,|Arg Z+ö| min{ ,П }

+ єmax IZIe .CeKiОтже, враховуючи довільність числа є > 0, отримуємо, що для z Є К 2 і в Є (—п; п]

h ( e ; tz) ^

Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер си т ет у. 2006.

^ max R e ( (e t6> ) в. (4)CeXi,|Arg C+6| min{^,п }

Нагадаємо тепер, що для д-опуклої множини M ї ї д-опорна функція ke (9; M ) визначається співвідношенням [5, с. 334]

ke (9; M ) = sup R e ( (e -t6>) в ,C€Xi,|Arg C-6|^min{ , п }

д е 9 Є (—п; п ] . Зауважимо, що д-опорна функція ke (9; M ) д-опуклої множини M є ^-тригонометрично опуклою [7, с. 74] Крім цього, д-опорна функція д-опуклої області (ф-опуклого компакта) є додатною (невід’ємною) і 2п-періодичною. І навпаки, кож на додатна (невід’ємна), 2п-періодична іф

ф фф

Нехай ke (9; К 1) - д-опорна функція ф опуклого компакта К і. Тоді з (4) випливає, що для z Є К 2 і 9 Є (—п; п]

h(9; t z) ^ ke (—9; К і ) .

Таким чином, встановлені необхідні умови наступної теореми.

Теорема. Нехай д > 0 G1 - д - о п у кла о бла сть , a G2 - д о в і л ьна о б ла є ть в C. Ф у н кц і я t(X, z ), я к а а н ал і тична в і д н о с н о z в G2 і н а л е ж и т ь до кла с у [д; ж ) в і д н о с н о X, є х а р а к т е р и с т и ч н о ю дл я д е я к о г о о п е ратора T Є L(A(G1), A(G2)) т о д і и л и ш е тод і , к о ли для к о ж н о г о к омпак та К 2 С G2 і с н у є т а к и й д - о п у к л и й к ом пакт К 1 С G 1} щ о для в с іх z Є К 2 і н ди катор h(9; tz) ц і ло ї ф ун кц і ї tz (X) = t(X, z) з а д о в о л ь н я є н е р і в н і с т ь

h(9; tz) ^ ke (—9; К і ) , 9 Є (—п; п], (5)

д е ke (9; К і ) — д - о п о р на ф ун к ц і я к омпакта К 1. При цьому , дл я в с іх f Є A(G1) і z Є К 2

( T f )(z ) = 2 - J ( B M z ) (X) f (X) dX, (6)Yz

д е Yz - з а м к н е н и й к о нту р , щ о л е ж и т ь в G1 і охопл,юе К 1} а ( Б вгg t z)(X) - у з а г а л ь н е н е д, ц - п е р е т в о р е н н я Б о р ел я ц і ло ї ф ун кц і ї tz (X) [5, с. 324].

В и п у ск 314-315. М атематика. 75

Д оведення. Достатність. Нехай функція Ь^, х) є аналітичною відносно х в О 2, цілою із класу [д; то) відносно X і для кожного компакта К 2 С С 2 існує такий д-опуклий компакт К 1 С що для всіх х Є К 2 індикатор к(в ; Ьх) цілої функції Ьх(X) = Ь^,х) задовольняє нерівність (5). Побудуємо оператор Т Є С (Л (О 1), Л (С 2)), для якогоЬ (X, х) є характеристичною функцією.

Зафіксуємо компакт К 2 С О2, знайденийд

пакт К 1 С точку х Є К 2 і розглянемо функцію

кх(в) = т ах { 0 , к ( - в ; Ьх)}, в Є Е.

Вона є невід’ємною, 2п-періодичною і д- тригонометрично опуклою, а тому визначає д

Кх = П (в; кх ( в ) ) ,вЄ(—п;п]

д

кх (в) ^ кв(в; К 1 ), в Є ( - п ; п],

то К х С К 1. Згідно з теоремою 6.5 із [5], функція ( В вцЬх)(\) аналітична поза компактом К х (а тому й поза К 1). Якщо тепер позначити через ^х замкнену спрямну жор- данову криву, яка лежить у С 1 і охоплює компакт К 1 (а, значить, і К г ), то для кожної функції f Є Л ( С 1) рівністю (6) визна-

хВраховуючи довільність компакта К 2 С С 2 та точки х Є К 2, отримаємо, що формулою (6) визначається функція з Л ( С 2).

Т :Л ( С 1) ^ Л ( С 2). Його лінійність та неперервність очевидні. Крім цього, за теоремою 6.3 із [5]

Т [ Е ^ х ; ц)] = Ь(X, х), X Є С, х Є С 2,

тобто функція Ь(X, х) є характеристичною для оператора Т Є С( Л( О1), Л(О2)), що і потрібно було довести.

Зауваження. Оскільки

то зрозуміло, що характеристична за Кете функція

t (X,z) = T1

X — z

є узагальненим д, ц-перетворенням Бореля X

t (X,z ) = T [Ee (Xz ; ц )].


1. K öth e G. Dualität in der Funktionentheorie // J. reine und angew. Math. - 1953. - V. 191. - S. 30-49.

2. Гельфонд A. О., Л еонт ьев A. Ф. Об одном обобщении ряда Фурье // Матем. еб. - 1951. - Т. 29 (71), № 3. - С. 477-500.

3. Л инчук С. С. О представлении линейных непрерывных операторов, действующих в пространствах аналитических функций. - Черновцы, 1982. - 37 с. - Деп. в ВИНИТИ 13 апреля 1982 г., № 1798-82.

4. Л инчук Н.Е. Представление коммутантов оператора обобщенного интегрирования Гельфонда- Леонтьева // Изв. вузов. Математика. - 1985. - Ш 5. - С. 72-74.

5. Д ж рбаш ян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. - М.: Наука, 1966. - 671 с.

6. Епифанов О.В., Л енев A.A. О разрешимости одного интегрального уравнения в пространствах аналитических функций // Матем. анализ и его приложения: Сб. научн. тр. - Ростов-на-Дону, 1974. - Т. 6. - С. 258-261.

7. Л евин Б. Я. Распределение корней целых функций. - М.: Гостехиздат, 1956. - 632 с.


Bg ,ß[Eg{Xz; ц )]1

X z


Z

Z

\

УДК 517.51

© 2006 р. Карлова О.О.

Чернівецький національний університет ім. Ю .Федьковича

НАРІЗНО НЕПЕРЕРВНІ а-ДИ СКРЕТН І В ІД О БРАЖ Е Н Н Я

Доводиться, що кожне нарізно неперервне відображення, визначене на добутку метризовних просторів і діє в лінійно зв’язний і локально лінійно зв’язний метризовний простір, належить до першого класу Бера.

We prove that every separately continuous mapping which defined on a product of metrizable spaces and acts into an arcwise connected and locally arcwise connected metrizable space belongs to the first Baire class.

1. Д ля топологічних просторів X і У позначимо через И\(Х,У ) сукупність всіх відображень Д : X ^ У перил,ого кла с у Леб е - .і'а. тобто таких, що для довільної замкненої в У множини Б прообраз f - 1 ( Б ) подається у вигляді перетину послідовності відкритих множин в X .

Сукупність всіх неперервних відображень f : X ^ У будемо позначати символом В 0( Х , У ). Нехай класи Д ) вже визначені для всіх £ < а , де а - не більш ніж зліченний орлина, і. Ми кажемо, що відображення f : X ^ У належить до а - г о кла с у Бера, якщо існують така послідовність порядкових чисел £п < а і послідовність відображень Дп Є В^п , У ), яка поточково на X збігається до відображення f .

Якщо У - ще один топологічний простір, то С С ( X х У, У ) - це сукупність всіх нарізно неперервних відображень f : X х У У. _

Будемо позначати через С В а (X х У, У ) сукупність всіх відображень f : X х У ^ У, як і неперервні відносно другої змінної і ■їв, ( І ) = X , де

X в a и ) = {X Є X : Д' Є В Щ Щ )}.

Згідно з теоремою Рудіна [1] кожне нарізно неперервне відображення Д : X х У ^ У, яке визначене на добутку метризовного простору X та топологічного простору У і діє у локально опуклий простір У, належить до першого класу Бера.

Т. Банахом у [2] було поставлено питання: чи кожне нарізно неперервне відображення / : А х У ^ У належить до першого класу Бера, якщо А та У - метризовні компакти, а У - метризовний топологічний векторний простір?

Т ут ми даємо позитивну відповідь на це питання. Більше того, ми доводимо, що включення С С (А х У, У ) С В\(Х х У, У ) має місце, якщо А та У - метризовні простори, а Узний метризовний простір.

2. Нагадаємо, що система А множин в то- А

тною, якщо для кожної точки х Є А існує окіл В, який перетинається не більше ніж з однією з множин А Є А.

Система А називається а - д и с к р е т н о ю , якщо ї ї можна подати у вигляді зліченного об’єднання дискретних систем.

Система В підмножин топологічного про- А

/ : А ^ У , якщо для довільної відкритої в У множини V існує підсистема В у С В, така, що /-1 (V) = и Ву . Якщо, до того ж , система В є а-дискретною, то ї ї називають а-дискретною базою для /, а відображення / : А ^ У, яке має а-дискретну

а а дискретних відображень ми будемо позначати через У ( А , У ).

Очевидно, що довільне відображення,

яке ДІЄ В простір З другою аксіомою злічен- = г ( д кік2...кп) = ,'Р{х)(дкік2...кп) =ності, є а-дискретним. Також легко бачити, _ ( ч

е. д кік2...кп \х ) -що кожне неперервне відображення з метри-зовною областю визначення чи простором Покладемозначень є а-дискретним, адже метризовний

е. го лі с і тт к ( г ) = ііш ііш . . . ііш к кік2 к (г ) .простір має а-дискретну базу [3, с. 416]. Д ля 4 ' к і к 2 ^ ж кп^ ж к1к2---кпК 'метризовних просторів X і У клас Т, (Х,У )

Тоді к ( г ) = т (х ).замкнений відносно взяття поточкової границі [4], тому всі відображення а-того класу Зрозуміло, що відображення к : У ^ УБера, а < и І7 будуть а-дискретними. належить до п-то класу Бера. Згідно з [4],

Розпочнемо з встановлення а- к ^ У(У , У )-дискретності відображень скінченного Нехай V це а -дискретна база для к. По- класу Бера зі значеннями в метризовному кладемо просторі. К _ г - іВ = У - 1 (У) : V Є V}

Т в е р д ж е н н я 1. Нехай X - т о п о л о г і ч н и й пр о ст і р , У - м е т р и з о в н и й п р о с т і р і і покажемо, що В - база для відображення f .г- л /ча чп т т ■ с Нехай О - відкрита в У множина. Оскіль-т Є В п ( Х , У ). 1 оог в і д о б р а ж е н н я т є а - г/ \ г./ / V, ки т(х) = к ( р ( х ) ) для кожного х Є X , то

ди скретним, . т-_і/^ч — к і . — к ґ '<\\ о л; є.X с т ^ / 1(О) = р 1(к 1 (О)) . З того, що V - це ба-Д оведення. Відображення т : X —> У Xкналежить до и-го класу Бера, тому існує . , X система VG С V, така, щосім я неперервних відображень

Т = ( дк1к2...кп : к ъ к2, . . . , к п є Н), к - 1(О) = Ц ІVG■

дк1к2...к„ : X ^ У ■, така, що Позначимо

» Ї Х ■ ■ ■ кі^оо дк'к2-к~(х) = т(х) В с = [ р - 1(У) : V Є ^ } .

ДЛЯ КОЖНОГО х Є X. ТодіРозглянемо відображення р : X ^ У т,

Ф ) ( д ) = д ( х )■ Т~1(О> = Р~1(и ^ = 11 Вс

Оскільки всі відображення д Є Т є непе- Відображення р неперервне, тому систе-рервними, то р також неперервне. ма В є а_ Дискретною в X . Таким чином, від-

Розглянемо образ У = р ( X ) з тополо- ображення т : X ^ У є а -дискретним. ♦У т

гр є-■ ■ • Теорема 2. Нехай X - м е т р и з о в н и йТ■ ллт ■ ■ гу і- т^т п р о с т ір, У - т о п о л о г і ч ни й пр о ст і р , У - м,с-стір У т метризовнии, тому і простір У С Ут г р —

- о т р и з о в н и й п р о ст і р і т Є C B n (X х У , У ).п,7 ае и Є N и ]0В Тоді в і д о б р а ж е н н я т є а д Є Т відображення п д : У ^ У , 1 J г •’

д и с к р е тн и м .Пд(г) = г ( д ) , Д оведення. Згідно з [5, с. 88], існує го-

меоморфне вкладення ф : У —> X (У ). По-ор. 7 7 7 тм значимо д = ф о т. ХодіД ля кожного к 1, к 2, ■ ■ ■ , кп Є N покладемо

к ^ . . . к , = Пдк л ...к„. д Є С В п (X - У-ф(У))•

Нехай х Є X г Є У і г = р (х) . Тоді 3 [6, теорема 8.2.3] випливає, що

к кік2...кп (г) пдк1к2...кп (г) д Є B n+1 (X х У, ко (У) ) ,

адже простір £ж(У) локально опуклий. Застосувавши твердження 1, отримаємо, що

д Є X X х У ,Х (У )).

Тоді д Є X X х У,ф{2 )).Нехай В - це а-дискретна база для від

ображення д. Покажемо, що В - база для відображення и Нехай С - відкрита множина в У. Тоді ф(С) - відкрита в ф (У ) множина. Тоді існує система Вс С В, така, що

д-1 « '(С ) ) = и В с .

Оскільки Д-1 = д -1 о ф, то

и - 1 (С) = д -1 « '(С ) ) = и Вс .

Отже, В - це база для Д.Таким чином, відображення Д : X х У

є а-дискретним. ♦Зауважимо, що Р. Ганселл у [7] показав,

що довільне нарізно неперервне відображення Д : X х У ^ У має а-локально скінченну базу, якщо X та У - метризовні простори, а У

Т ео р ем а 3. Нехай X і У - м е т р и з о в н і п р о ст о ри , У - л ін ійн о з в ’я з н и й і л окально л ін ійно з в ’я з н и й м е т р и з о в н и й пр о ст ір . Тоді

С С ( X х У, У ) С В ^ х У, У ).

Д о в е д е н н я . Нехай Д Є С С ( X х У, У ). З [6, теорема 8.5.5] випливає, що

Д Є х У, У ).

Згідно з теоремою 2, відображення Д є а- дискретним. Тому з теореми Фосґерау [8] маємо, що відображення Д : X х У ^ У належить до першого класу Бера. ♦


1. Rudin W. Lebesgue first theorem // Math. Analysis and Applications, Part B. Edited by Nachbin. Adv. in Math. Supplem. Studies 78. - Academic Press, 1981. - P. 741 - 747.

2. Banakh T.O. (Metrically) quarter-stratifiable spaces and their applications // Мат. студії. - 18, №. - C. 10 - 28. - 2002.

3. дн гел ьк и н г P. Общая топология. - M.: Мир,1986. - 752 с.

4. H ansell R. Extended Bochner measurable selectors // Math. Ann. - 1987. - 277. - P. 79 - 94.

5. Б ор сук K. Теория ретрактов. - M.: Мир, 1971. - 292 с.

6. М аслюченко В.К. Нарізно неперервні відображення і простори Кете: Дис...докт. фіз.-мат. наук: 01.01.01. - Чернівці, 1999. - 345 с.

7. H ansell R. Sums, products and continuity of Borel maps in nonseparable metric spaces // Proc. Amer. Math. Soc. - 1988. - 104, №2. - P. 465 - 471.

8. Fosgerau M. When are Borel functions Baire functions? // Fund. Math. - 1993. - 143. - P. 137 - 152.


УДК 517.9

© 2006 р. Д.П.Керекеша

Одеський національний університет ім. І.І.Мечникова, Одеса

КОН СТРУКТИ ВН И Й Р О З В ’Я ЗО К ОДНОГО К Л А С У ОПЕРАТОРНИХ РІВН ЯН Ь ІЗ ЗА С Т О С УВАН Н Я М И

Запропоновано конструктивний розв’язок одного класу операторних рівнянь із застосуваннями.

The constructive solution of a ceratin class of operator equations is propose.

1. Постановка проблеми та ї ї ана- Очевидно, що K - лінійний і обмежений ліз. У 2000 році в роботі [1] був отриманий оператор, причому він діє із простору L в розв’язок інтегрального рівняння вигляду простір L.

x Теорема 1. Я к щ о оп ер ат ор K - оборо -p (x )g (x ) + [ k (x - t )g (t ) d t = f (x ) , (1) т п и й e L> m o Р о з в ’я з о к о п е р а т орн о г о ргв-

J н я н н я0 K p = ф (2)

де функції p (x ) , k(x ) , f (x ) - відомі. Вони ха- . TLрактеризують ймовірнісний зміст рівняння с п о с г о :(1), причому функція ’ _ / Ч /о\

p — p n (x ) ) foj

p (x ) = I P l ) P (x ) ~ U0, Функ'^я Pn (x ) б у д у є т ь с я з а н а ст у п н о юI p 2’ p (x ) > Uo■ р е к у р е н т н о ю формулою

В даній статті розглядається питання про вилучення класу операторних рівнянь, p . (x ) = к -1 \ х п ф + Хі- 1 Pj - 1 I (x)розв’язки ЯКИХ будуються конструктивно. У 3 \ ki jEk Д Ekякості застосування запропонованої теорії уп.4 буде досліджено більш загальне рівняй- З — ° ,Ео (4)ня ніж рівняння (1).

Д о в е д е н н я . Нехай р - розв’язок операторного рівняння (2). При цьому припущенні розглянемо ланцюжок операторних рів-

2. Основна теорема про побудову розв’язку операторних рівнянь спеціальної структури. Нехай К р Ь ^ Ь, і = нянь1 , п - лінійні, обмежені й оборотні операто- ___ри; Ь - простір локально інтегровних фун- К р р = х у Екф + Хі-1 е К р р з - 1 >.3 = 1, п - (5)кцій, заданих на множині Е = (0 ,Т ) , Т ^ то. к=з к=о

Уведемо оператор Оскільки оператори Кр передбачаютьсяп оберненими в Ь, то будуть справедливі рів-

К = М (хЕз) К р . (1) ності (4). Далі, з рівностей (5) убачаємо, що3=1 р- і

Т ут оператори М [хЕі) У просторі Ь діють р р - і (х) = р р (х) ,х Є и Ек , і = 1,п. (6)так: М ( х Еі ) р = ХЕі Р Де ХЕі характеристи- к=0чні функції, я к і задані на вимірних за Ле- Тепер покажемо, що рр = р при х Є

п jбегом множинах Еф Е2, . . . , Ет Е = Д Ер, [ф Ек , і = 1,п. Доведемо це твердження ме-

р=і к=іЕр П Ек = 0 (і = к), т Е к = 0, к = 1, п. тодом математичної індукції. При і = 1 це


твердження вірне. Припустимо, ЩО ВОНО вір- у ЯКОГО bj (x ) - обмежені вимірні функції, не при j = k: що прямують до скінченних границь при

x ^ X = c o n s t ; kj (x) , j = 1 , n відо-

UE /„N мі функції, що належать простору L1+, Vj ^

1 ' 0 , j = 1, щ f (x) — відома функція, що нале-=1 жить простору L’V°+,vo ^ 0. Невідома фун-

Доведемо, що твердження (6) буде вірним КЦІЯ ф (x) ш укається у просторі L 2+, V ^ 0-k У ведемо п = max v k й зробимо заміну

При j = k + 1. ДІЙ СН О , Я К ЩО x Є (J Ej, к=0“Пj=1 ф (x) = е -пхф (x). Тоді інтегральне рівнян-

то згідно з (5) і припущенню (7) №+i (x) = ня (8) буде мати такий виглядфк (x) = ф ( x ^ ^ o ж x Є Ek+1, то з (5)випливає, що K j = К , а це означає, що n хфк+i = К - 1ф = K -1 ф = ф. Хф—Y , bj (x) Sj (x — t) ф К = f 1 (x) ,x > 0,

Теорема доведена. j =1 0Надалі нам знадобляться деяк і поняття і (9)

допоміжні твердження. де

3. Д опоміж ні твердж ення. s j (х) = є -1Хк] (х ) ^ = 1, п, /і (ж) = є -]Х/ (ж) .Означення 1. Позначимо [2] через _ ___

Т2+ (Р2 - ) простір фунКЦІЙ/+ (/- ) , як і нале- Очевидно, що Sj (х) Є Т Д Ч, і = 1, п , ж ать простору Ь2 і мають так і властивості /і (х) Є Р ’гц П•

f +(t) =f (t), t > 0 0, t < 0

Уведемо тепер таку константу v, що:

А — bj ( ж ) Б+ ( г ) = 0 при І т г ^ V. (10)

/ - а ) = { у у 0 . , =і( / ( ї ) } . < 0 Це завжди можна здійснити на підста-

О зн ачен ня 2. Позначимо через Ь± про- в* властивостей Функцій ) - Д ^ і знову стір функцій Ф образів Ф ур’є простору Ь2±. 3Р°^имо зам інУ • и (х) = є ф (х)- Тоді ін-

О зн ачен ня 3. Позначимо через Ц+ { М } тегрэльне рівняння буде мати такий виглядпростір функцій виду Хм^+>де М -в и м ір и а п х

за Лебегом множина М С Я+. + аш — ^ ^ (х) [ r j (х — ї) и й ї = /2 (х) ,х > 0О зн ачен ня 4 . Позначимо через Ь+и { М }

ФЦ+ {М }■

О зн ачен ня 5. Позначимо через Р+щі

j =1 о(11)

Д 6

в У 0 оператор проектування у просторі г і (ж) — е их&і (ж) — У П / 2 (ж) — е их/і (ж ).(-<х>, ж ) на підпростір К „ , , V -„-V . —

З а у в а ж е н н я . Простір Ь+ збігається із Очевидно, що Гі(ж) Є Д + , ф = 1 , п ,Ч і л ї ( \ а Т —гЦ—'и гтпростором Харді Н2+ [3] у верхній півплощи- /2(ж) Є Ь2+ ■ А1РИ Цьому індекс рівняння

щ (11)) завдяки умові (10), дорівнює нулю, а цеТепер розглянемо рівняння рівносильне тому, що рівняння (11) має єди

ний розв’язок у просторі Ь2+. З наведених п X міркувань випливає, що рівняння (8) має

Хр— ^ Ьі (ж) кі (ж — — / (ж) ,ж> 0, завжди єдиний розв’язок, який пов’язанийі=і 0 з розв’язком рівняння (11) співвідношенням

(8) р(ж) — е (и+,п)хи(ж).

4. Р ів н я н н я з го р тки із зм інною гр а ницею ін те гр у в а н н я н а ск ін ч ен н о м у інт е р в а л і. Рівняння згортки із змінною границею інтегрування на скінченному інтервалі млє вигляд

Ри0+ ( г )

т т » х + К + ( г ) ■

Нарешті, застосовуючи обернене перетворення Ф ур’є, одержимо

Р * Е + (г){(0т)} X + К + ( г )

Хр(х) +1

к(х — і ) р ( і ) і і = д(х) ,р (х) = Р V С + гр (х> = Р{(0т)} X + К + ( г )

1ОО+ІР

0 < х < Т , (12)

де задані функції к(х) , д (х) відповідно належ ать просторам Ь 1+, Ь2+{(0 ,Т )}, а невідома функція р (х ) ш укається у просторі І2+{(0.Т)} .

Увівши в розгляд простори типу Ь2±, рівняння (12) запишемо в такому вигляді

0 + ( г ) е ІХ*і г 7 2 ^ і X + К + ( г ) '

-О+Іи

Хр+(х) + к+ (х — і) р+ (і) і і

= д+ (х) + е+ (х) + р - (х) ,х Є Я, (13)

де е+ (х) Є Ь2+ {(Т, +то)}.Тепер до рівняння (13) застосуємо інте

гральне перетворення Ф ур’є. У результаті р а ти п у з го р тки н а пром ен і (0, то) зкуско во -стал и м и ко еф іц ієн там и . Воно має такий вигляд

0 < х < Т.

(16)Отже, справедливаТ ео р ем а 2. Нехай з а д ан і ф у н кц і ї к (х),

д (х), я к і в і дп о в і д н о н а л е ж а т ь п р о с то р ам Ь 1+, Ь2+. Тоді у п р о с т о р і Ь2+{(0 ,Т )} р і в н я н н я (12) м а є є д и н и й р о з в ’я з о к р (х), щ о б у д у є т ь с я з а формулою (16).

З а у в а ж е н н я . Розв’язок рівняння (13) наведено у роботі [4]. У данній статті для побудови розв’язку рівняння (13) запропоновано інший підхід, який викладено у цьому пункті.

4 . Ін те гр ал ьн е р івн ян н я В о льтер -

одержимо таку крайову задачу

Ф+ (х) (А + К + (х)) = С + (х) + Е + (х) +

+Ф- (х) х Є Я, (14)

де С + (х) = (Vд+) ( х ) , К + (х) = (Ук+) (х), Ф- (х) = ( У р - ) (х) ■

Завдяки властивостям функцій Ф+ (х), К + (х), С + (х) і теореми Л іувіля функція Ф- (х) — 0. Тоді з рівності (14) знаходимо,

р (х) + ХЕ,к=р

1'У2П

к (х — і) р (і) і і = / (х),

х Є ( 0 , Т ) , Т ^ ж , (17)

Ф+ ( г )0+ ( г )

+Е + ( г )

X + К + ( г ) X + К + ( г ), І т г ^ 0.

(15)

де (0 ,Т ) = Е = и Ер, Ер П Ек = 0 І = к)Р=і

Еі Е2 . . . Еп тЕк = 0, к

І1, п; задані функції кр (х ),

Т ут стала V така, що при І т г > V функція у ^ 0-А + К +( г ) = 0- Уведемо оператори

Тепер застосуємо властивості оператора проектування У результаті отримаємо

1, п н ^ е ж а ть просторам Ь і+ / (х), а /(х) Ь2+

кція р (х) ш укається у просторі Ь(,+ {(0, Т )},

к р = р (х) + ХЕі1

Р{(0,т)}ф+(г) = Р {(о,т)}0+ ( г )

к=р+

X + К + (г ) х Є Е,

к (х — і) р (і) і і ,

(18)


Х

1

Х

Х

V

К р р = р (х) + кр (х — і ) р (і) і і ,

І = 1 , п , х Є Е . (19)

Очевидно, що оператори К ) є оберненими у просторі Ь. Оператор К також обернений. Дійсно, оператор К можна зобразити у такому вигляді

К р = р (х) +1

\[2Пк(х, і ) р ( і ) і і , х Є Е,

де

р = рп (х)

і = 1,п; ро = 0,Ео = 0.

Т ут

К - і /і 11+ - \ Р{(0,Т)} 1 + К+ ( г ) (х)

ОО+ІРі1 [ Р + ( г ) в -ІХХ і г

1 + К+ ( г )-О+ІРі

в + (х) = (У /р+) ( х ) , К + (х) = (У кр+) (х)

і ^ 1 - послідовність моментів і розмірів виплат відповідно; М - число страхових виплат за проміжок часу [0,і]. Визначимо [1] процес ризику Ні , і ^ 0 рівнянням балансу

\ Мг/ р ( в * ) і в — ^ 2 и

п І=і

(20)

к (х , і ) = ^ 2 Хе і кр(х — і ) .=і

Відомо, що з таким ядром к (х , і ) оператор К є оберненим у просторі Ь [5].

Тоді згідно з теоремою 1 розв’язок рівняння (17) можна побудувати у просторі Ь+>+ {(0, Т )} так:

(21 )

де функція р п (х) будується за наступною рекурентною формулою

р р(х) = К - і ЇХ у „ / + Хі-1 р - і І (х)іЕк Екк=і

Ні = и + р

де и~і послідовність незалежних однаково розподілених невід’ємних випадкових величин з функцією розподілу В (ї) =Р ( и 1 < ї ) і з скінченним математичним сподіванням у = Е и 1у а функція р (х) - відома. При цьому в моделі, що ми розглядаємо, передбачається, що випадкові величини 9і = Ті — Ті -1 , і ^ 1незалежні, однаково розподілені величини з функцією розподілуК (ї) = Р (91 < ї ) . Передбачається також , що два набори випадкових величин { и 1, и 2, ■ ■ ■ , и п , ■ ■ ■ } і {91,92, ■ ■ ■ ,9п , ■ ■ ■ } взаємно незалежні; при цьому ^ і { и 1, и 2, ■ ■ ■, и п , ■ ■ ■ } теж взаємно незалежні.

Ймовірність не банкрутства страхової компанії визначається так:

Н0 = и ) .

(22)

р ( и ) = Р іп і Ні > 0' і>0

р ( и )д(х)

р ( и ) = 1 — д ( х ) і х . (24)

Відомо [1], що якщо розподіл К ( ї ) має щільність /Зе- в і , то функція д (х) задовольняє таке рівняння Вольтерра

р (х)

~ Гд (х) — В (х — і) д (і) і і = р 0Б (х)

1 з+ = X у Е І + Хі - і р з - і , і = 1 , п (23) и Ек и Екк=і к=0

5. Застосування результатів п.4 в узагальненій теорії ризику. Нехай и - початковий капітал страхової компанії; Т^ и і ,

(25)де

Ро = р (+ 0), і з (х) = 1 — Б ( х ) . (26)

Припустимо також , що функція р (х) за-


Х1

Х

Х

довольняє такі умови теорії, то вона продемонстровано у п. 5. Слід1 1 також сказати, що результати цього пункту

1) p(x) ^ а > 0; 2) Пт . < — (р = EU\) суттєво узагальнюють результати Асмуссе-х^ж p(x) Ц r J J(27) на-

Неважко побачити, що якщо = СПИСОК ЛІТЕРАТУРИn 1. Asmussen S. Ruin Probabilities, vol.2,- World

V PjXEj, то Інтегральне рівняння (26) є час- scientific: Singapore, New jers, London, Hong Kong. -2000. - 385 p.j = l іл o\ t t - a. 2. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типатковим випадком рівняння (18). Цей ф акт . f *

( свбртки . 1V1 . . На> і У і о . іУи с .оогрунтовується введенням нових функцій з Ахиезер Н.И. Лекции об интегральных пре- за наступними співвідношеннями образованиях. - М.: Вища шк., 1984. - 120 с.

1 _ — B(x) 4. Черский Ю.И. К решению интегральных урав-kj (х) = В ( х ) , і = 1 , п , / (х ) = уо—-—-. нений в квадратурах // Математические методы и

Pj р (х) физико-механические поля. - 1982. - 15. - С. 3 - 5.Згідно 3 результатами робіт [1, 5] умови л5' Забрейко П.П., Кошелев АЖ, Красносельский

/л- ч . М.А., Михлин С.і гаковщик Л. С., Стеценко В.Я.(27) гарантують ЄДИШСТЬ розв язку рівняй- Интегральные уравнения. - М.: Наука, 1968. - 448 ня (25) і його обмеженість. С

— р (х)6. П р и к л ад . Нехай В (х) = є ^Х, = Стаття надійшла до редколегії 16.08.2006

пХЕз Е і = [0, х і ) , Еі = [х—і ,хі ) , і =

j=l2 , п — 1, Еп = [хп-і , ж ) .

У відповідності до теореми 1 розв’язок д (х) відповідного рівняння (25) послідовно будується так:

А 1 • ^ ( ( 1 1Оі = р , і = 1 , п , д і = ехр х Д -------Pi \ \Pi Pi+1

і = 1 , п — 1, (28)1 і - і ____

до(х) = — е-<5іХП Як,х Є Еі , і = 1 , п , (29)Рі к=і

7о = ^1 + 1 до (х) ^ , (ЗО)

д (х) = в о д о ( х ) . (з і)І нарешті, за формулами (28), (29),

(ЗО), (31), (24) знаходимо шукану функцію Ф (п), яка визначає ймовірність небанкрут- ства страхової компанії.

Висновки. У поданій роботі, на підставі теореми 1, вказано клас операторних рівнянь, розв’язки яких будуються конструктивно. Щодо застосування запропонованої

УДК 517.929

© 2006 р. І.І.Клевчук


З А С Т О С У В А Н Н Я М ЕТО Д У УСЕРЕДН ЕН Н Я ДО Д О С Л ІД Ж Е Н Н Я ПЕРІОДИЧНИХ Р О З В ’Я З К ІВ ТА СТІЙ КОСТІ ДИ Ф ЕРЕНЦІАЛЬНО-РІЗНИЦЕВИХ РІВН ЯН Ь

Розглядається періодична система диференціальних рівнянь. Метод усереднення застосовується до вивчення періодичних розв’язків збуреної гамільтонової системи, консервативної системи з малим запізненням та сингулярно збуреної системи. Одержано зліченну послідовність періодичних розв’язків для деякого рівняння другого порядку. Досліджено стійкість лінійної системи.

The periodic system of differential equations is considered. The averaging method is applied for studying of periodic solutions for perturbed hamiltonian system, conservative system with small delay and singularly perturbed system. The countable sequence of periodic solutions for some equation of second order is obtained. The stability of linear system has been investigated.

1. Розглянемо рівняння

cPx „ / dx+ f (x) = e F \ t , x , T t (1)

де F ( t + T , x , y ) = F( t , x, y ) , функції f та F тричі неперервно диференційовні за всіма аргументами.

Нехай рівняння

d2xС Д + f (x) = 0

має періодичний розв’язок

(2)

біфуркацій періодичних розв’язків . Метод усереднення застосовано також до дослідження стійкості систем із запізненням.

Зробимо в рівнянні (1) заміну

Нхх = г іф, а) , — = т(а )Ф. (ф, а ) . (4)

а ї ^Врахувавши співвідношення и)2(а)фф 2 + / (г ) = 0, рівняння (1) зведемо до стандартної форми

ааdt D(a)

F ( t ,z ,wz' i ,

х = д (ф,а ) , д (ф + 2п , а ) = д ( ф, а ) ,

ф = ш( а ) і + у . (3)

Дослідженню рівняння (1) присвячено праці М .М .Боголюбова,Ю.О.Митропольського [1], І.Г.Малкіна [2], А.М.Самойленка [9] та ін. До такихрівнянь можна застосувати критерій Мельникова, який встановлює умови існування гомоклінічних точок та розщеплення сепаратрис [3]. У цій статті за допомогою методу усереднення [1] встановлено існування періодичних розв’язк ів рівняння (1). Ці результати застосовано до рівнянь із запізненням. Розглянуто приклад, в якому спостерігається зліченна послідовність

фф = 1Х(а) - - щ о ) Р (І ’ Д’ ™4 ) д 'а > (5)

де Б (а) = ^ 2 + 4 (^ 4 уа.Розглянемо резонансний випадок. Нехай

2п т——- = тт , де т - натуральне число,'іх(а)О (а) = 0 ш(а) = 0. Із другого рівняння системи (5) знайдемо ф = ш ( а ) і + у + О (є), підставимо в перше рівняння і усереднимо його за часом і. Тоді одержимо рівняння

йа\ йіda1 = 7 7 ^ ФЫD(a i ) (6)

mT

де Ф(а)1

mTF (t , z , w z !ф )z!ф dt .


Нехай Ф(а) = 0 Ф '(а)П (а) — П '(а)Ф (а) = 0. Тоді згідно з другою теоремою Боголюбова про усереднення на нескінченному інтервалі існує періодичний розв’язок рівняння (1).

2. Я к приклад розглянемо рівняння

О2х 3 ґОх 2 dx0 + х — х + є д —:— + є в х ——

Оі2 dt Оі

—є р х сов(П(і + і 0)) = 0. (7)

Розв’язок рівняння (7) при є = 0 можна одержати із розкладу еліптичної функції в ряд Ф ур’є [4, с. 47] або зведенням рівняння (7) до нормальної форми

х = г (ф, д)2 п 2п

41 і і = к2

2 - к 2х

X 2п сов иф

ід = ехр

2пФ(д) = —дТі(д) — Щ Дд) + 7^3(д),

2КВ2-к2 Т і(д) = [ (х>(і))2оі,

2к 7 2 — 2

^ 2(д) = J х 2(і)(х ' ( і) )20і,0

де Е — повний еліптичний інтеграл другого роду. Звідси випливає, що

2К2Е = ^ 4п2

0би хОх.

Позначимо би і = б і використаємо формули для похідних функції би і. Тоді одержимо

ОЕ (і) Оі

О2О2Е (і)

Оі22ОО' ,

О3Е (і) Оі3

2(О')2 + 2ОО'' = 2(1 — О2)(О2 — к/2)+

+2О2(1 — 2О2 + к '2),2К

О3 Е (і) О2Е (і)Оі3 Оі2

2К0 ,

де к' доповнювальний модуль. З останніх рівностей випливає, що

п К К І >

, _ п іі _ДЄф К ’ 1 v/2— к2 :к келіптичний інтеграл. Умова резонансу набу-

2К /2— к2 2 т пде вигляду 2К V 2 — к2 = ^ .Звівши рівняння (7) до стандартної фор

ми і усереднюючи, одержимо рівняння вигляду (6), де

2К 2К

J ОАОі = J 0 0

= 4 = 3

2 О2 + 2 О2к '2 — 1 к '2

2- Е (1 + к '2) — - К к '2.

Оі

32К

2КД2-кІ

Е3(д) = J х(т )х/(т )сов(От + Ш0)бт.0

Д ля обчислення Еі (д) розглянемо не-0 0

Отже, Е1(д) = 2(2 — к 2) 3/2 у (б2 — б4 — к +0

б2к/2)бі = 4 [(2 — к2 )Е — 2 к 2К ](2 — к2) - 3/2.Д ля обчислення Е2(д) спочатку двічі про-

диференціюємо функцію б4 = би4ї

(б4)' = 4б3б /, (б4)" = 12б2 б!2 + 4б3б" =

= 16(2 — к2)б4 — 12к/2б2 — 20б6.2К

Використовуючи рівність J (б4)//бї = 0,0одержимо

2К 2К

[ О3Оі = [ 4 (2 — к2)О4 — 3 к '2О2 5 5

Оі

Е (і) = / би2хОх. Тоді Е (і + 2 К ) = Е (і) + 2Е, 0

1— [Е (16к4 + 46к'2) + 8 К к ' г (к2 — 2)]. 15

2 2


01 пд4

Звідси знаходимо2К

р 2(д) = 4 ( 2 - к 2) - 2 [ ( а 4—а 6+а4к і2—а2к і2)аі

= — [2(кі2 + к4)Е + ( к2 — 2)к'2К] (2 — к 2)~5/2. 15Д ля обчислення Т3(д) використаємо фор

мули

і т п гл \ і т п х \сов ( —— х + Шо = соз со8(\И0) —К ) V К !

. І т п х . .— віп І „, І 8іп (и і0),

би х(бп х)' = —

V —

3 ^ т 2д тК 3 ^ 1 — д 2тт=1

віпт п х—

Тоді2К

Гз (д )2

2 - к 2би х(бп х)' X

х сов (^л/2 — к 2 х + Ш0)йх2К

— І би х(бп х )' сов ( ~ ^ х + Qі 0 \йх =2 к 2 к

2К2п3т 2д т 8Іп(Ш0) [ 2 т п х

- — — т - ) ] ™ — йх =0

2п3т 2д т 8Їп(О,і0) 2<й 2п д т . = — т т(2 — к 2) К 2(1 — д 2т) 1 — д2

т 2п 2оскільки О,2 = Т.2(п 12Л- К (2 — к )

к1 можна так вибрати параметри ф у , що

твиконуватися рівність Ф(д) = 0 і існуватиме зліченна послідовність біфуркацій періодичних розв’язк ів [5].

3 . Дослідимо періодичні коливання в рівнянні [61

й2х( і )й і 2

єПозначимо

f (х) = Г ( х , х ) , д (х) =д Г (х , у )

д у у=х

Тоді

йх(і )Т (х(й),х(й — є ) ) = Т (х(й),х(й) — є — ---- +

ай

+ 0 (є2)) = /(х( ї ) ) — є д (х (й ) ) ( ) + ° ( є2) -

Підставляючи в рівняння (8), одержимо

+ / ( х ) = є д (х) + 0 ( є 2 ) - (9)

Це рівняння з точністю до 0 ( є 2) зводиться до вигляду (1). Нехай рівняння (2) має періодичний розв’язок (3). Зробивши в рівнянні(9) заміну (4), одержимо систему

йа єй і О(а ) д ( д )ш ( а ) ( дФ)2,

Нф / \ є ( \ ( \ І !— = 1Х(0) — д ( г ( а )Ч г а-

Поділивши в цій системі перше рівняння на друге, одержимо

а ф = п а д м * )2 + 0 ( є 2) . (10)

Поставимо у відповідність рівнянню (10) усереднене рівняння

Наїї й = є С {а ї >,

де

Є(а)Ф(а)

Ш '

і2п

+ Г ( х ( і ) , х ( і — є)) = 0, (8)

ф(а) = 2 П ] д ( г ( ф , а ) ) ( г Ф(ф,а ) )2аф-о

Т ео р ем а 1. Нехай Т - т ри ч і н е п е р е р в н о д и фе р е нц і й о в на ф ун к ц і я в о б ла с т і (а , в ) х (а , в ), а < в- При пу стимо , щ о р і в н я н н я

а

н а л е ж а т ь д е я к о м у о к ол у з начення , а, при- = ( . ^Ох) . ) . 0 ( 2) =чом,у г ('ш(а)і + р ,а ) Є (а, в ) дл я д о в і л ьних р Оі є ( , х , г ) (є )з н а ч е н ь і т а р . Я к щ о Р ( а ) = 0 ік(а) = 0 Ор(х) 2Ф(а) = 0 С'(а) = 0, т о р і в н я н н я (8) м а є = р(х) + 9г . х + єФ (і, х , г) + 0 (є ) .цикл з п ер і о дом, б л и з ь к и м до 2п/'ік(а). Цей з ВщСИцикл б у д е с т і йким , я к щ о О'(а) < 0 і н е с т і йким , я к щ о О (а) > 0 у ( і — єА) = р (х ) — є А г О р +є Ф (і, х, г) + 0 ( є 2).

Охняння (10) другу теорему Боголюбова про грОМу усереднення на нескінченному інтервалі [1].

4 . Розглянемо сингулярно збурену систе- О (х ,у ( і) ,у ( і — єА )) = О ( х , р ( х ) + є Ф ( і ,х ,г ) , му о

Ох Ог Р (х) — є А г ° Г + є Ф ( і , х , г ) ) = є ( в і (х) +- й = г , - . г = f ( х ( і ) , у ( і ) , у ( і — єА ))+ ОхОі Оі о р о

+ В 2(х ) )Ф ( і,х ,г ) — єА В 2(х )г— + 0 ( є ). + є к ( і ,х ( і ) ,у ( і ) ,у ( і — єА )), Ох, Оу Ор

Оу г-м ґ,\ ґ,\ ґ, л\\ , К рім того, — = г —— + 0 (є ) . Підставляючиє — = О (х ( і) ,у ( і) ,у ( і — єА ))+ к ' Оі Ох ш шОі+ є Р ( і ,х ( і ) , у ( і ) ,у ( і — єА )), (11) тільки члени порядку є, одержимо

де є - малий додатний параметр, А - фіксо- Орване додатне число, х Є Е, г Є Е, у Є Еп, є г Ог = є (В і(х ) + В2(х) )Ф ( і , х -> г ) —функції к (і, х, у , г ) , Р (і, х, у , г ) мають період2п відносно Р Нехай f (0 ,0, 0) = ° (0 0, 0) = —є А В 2(х) г~х + є Р ( і ,х , р (х ), р (х )),0 для всіх х Є Е рівняння О ( х , у , у ) = 0 Охмає ізольований розв’язок у = р (х ), причо- звідкиму р(0) = 0, а функція р (х) та ї ї похідні ф ^ х г ) = (В і (х ) + В 2(х ) ) - і хпо х до третього порядку включно рівномір- ’ ’но неперервні і обмежені; функції f ( х , у , г ), к ( і, х, у , г ) , О(х, у , г ), Р (і, х, у , г ) і & частин- х ні похідні по і, х, у , г до третього порядку

Орпри і Є Е, х Є Е, \у — р(х)\ < р, \г — р(х)| < Позначимо ф щ щ ) = ф (і, х , г) — А г — • р. Лінеаризуючи функцію О ( х , у , г ) в точці Тоді рівняння на многовиді системи (11) на- у = р (х ), г = р(х) відносно у, г , одержимо будуть вигляду О ( х , у + Р ( х ) , г + Р (х)) = В і (х)у + В 2 (х )г + о хО і (х , у , г ) , де О і ( х , у , г ) = 0(\у\2 + \г\2) при —- = г, — = f ( х , р (х ) + є Ф ( і , х , г ) ,р (х ) + \у\ + \г\ ^ 0. Нехай всі корені характеристичного рівняння (В і(х ) + В 2(х) ехр(—ЛА) — + є ц (і,х ,г ) ) + є к ( і , х, р (х) , р (х ) ) + 0 ( є 2).ХЕ) = 0 леж ать у півплощині Бе Л < —2а < (12)0 Підставляючи г = Ох/Оі у друге рівнян-

Аналогічно до [7, 8] інтегральний много- ня системи (12), одержимо рівняння другого0 ( є 2)

у (і) = р (х ( і ) ) + єФ (і, х ( і) , г ( і) ) + 0 ( є 2), де до рівняння вигляду (1). Це дозволить зна- Ф ( і ,х ,г ) - функція, я ку ми визначимо пі- ходити періодичні розв’язки системи (11). зніше. Тоді 5. Розглянемо систему

у ( і + 9) = р (х (і + 9)) + єФ (і, х, г ) + 0 ( є 2) = х' = є Р ( і)х ( і — к + д (і)) , (13)


г~Т (Е + А В 2(х)) — Р ( і , х , р ( х ) , р ( х ) ) Ох

де є - малий додатний параметр, х Є Ер, з д о д а т н о ю д і й с н о ю ч а с ти н о ю , т о си стеми,ІЬ і — _ІЬ . (13) н е сті йка .

\д ( ч\ < К Г р ) = 2_^(АтЄ + АтЄ )) Доведення теореми випливає з теоремип т=1 Хейла про усереднення [10]. Якщо існують

д ( і ) = X ( а те ІЬті + а те -ІЬті) , Ьт - дійсні власні значення матриці В з нульовою та до-т=1

додатні різні числа, ат Є С Ат - матриці з ристати схему доведення теореми про стій- комплексними елементами. кість за першим наближенням.

х( і ) =£ (і) + єГ ( і )£ (і), де осциляторів із запізненням

1 л лЬт і 1 ~л „-ІЬті\ у " + Т у + є Р ( і )у ( і — К + д ( і )) = 0, (15)= X — 1 Г АтЄіЬ іЬ_ л \ штт=1 \ / де є - малии додатний параметр, у

х ( і —І ...................... .. ............................................... )Т т2Тоді х ( і —К+д( і ) ) = £+ (д ( і ) — К)£'+єГ( і—К+ (Ш , . . . , у я )Т; р2 біаЄ І^ і, . . . , ХЯ} К > 0д( і ) )£ + о ( є 2) = £ + є Г ( і — к + д( і ) )£ + о ( є 2), хк = ^ к = ° \д( і ) \ < К р ( і )оскільки £' = О(є2) матриця з елементами

подержимо Рі з ( і ) = ^ ( Ь т Іа" ’ + 0 зтЄ-Шт’ ),

£' + є Г (і)£ + є Р( і )£' = є Г (і)£ + є 2 Г (і) х т=1

х Р ( і — К + д( і ) )£ + О ( є 3), Ь)зт Є С , ат > 0 ( 1 6д ( і )

2 3£' = є Г ( і ) Р ( і — К + д( і ) )£ + О( є ). (14) у праці [8] досліджено стійкість системи

У системі (14) можна ще раз застосувати ме- якш’° д ( і ) = 02

систему £' = є 2В£, де яТ у ) = —К у з — є ^ 2 РІ з ( і )у з (і — К + д ( і )).

в = А і 1 [ г (і ) р (* — к + д (і їУм - з= .0 Позначимо Д) = у)/А), тоді одержимо систе

муу'і = хзп п із ' з^з і

я

Якщо д(й) = 0, тоП

— Щ = У " £ ( , 4 ^ + Аке~л“ ) х г з = —X у — є у Р „ ( і ) у , ( і — Н + д(й)) .к=1 т=1 Аз *—'з=1

(1 ІЬ 1 -Д _ІЬ \ Перейдемо ДО комплексних ЗМІННИХ Пз =

ї ь т АтЄ т — гьтАтЄ т ) ' Уз + іДз, тоді

Тому в цьому випадку є і Р Рп и3 = —іАз и з — ■2 ^ р з8(й)(и з (і — Н + д ( ї ) )+

ж 1 — — 2 Аз _їВ = — 2_^ Ап(Ьт Н)(АтАт + АтАт) . 3

т=ї Ьт +й з ( і — Н + д(й)) ) .Т ео р ем а 2. Я к щ о в с і вла с н і з н а ч е н н я Зробивши заміну из = хз е х р ( —іАзй),

Вни, т о с и с т е м и (13) а с и м п т о т и ч н о с т і й ка, а я к щ о і с н у є в ла с н е з нач ення , м а т р и ц і В х1 = є Т ( і )х( і — Н + д(й)) +

АeG( t )x( t — h А g ( t ) ) , (17)де x = (xl , . . . , xq)T, F ( t ) та G(t) - матриці з елементами

8. К л евчук 1.1. Застосування асимптотичних методів до регулярно і сингулярно збурених диференціально-різницевих рівнянь // Наук, вісник Чернівецького ун-ту: 36. наук. пр. Вип. 150. Математика. - Чернівці: Рута, 2002. - С. 3 6 -4 1 .

9. Самойленко А.М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. - М.: Наука,1987. - 304 с.

10. Hale J.K . Averaging methods for differential equations with retarded arguments and a small parameter // J.Different. Equat. - 1966. - 2, J# 1. - P. 57 - 73.

відповідно.Підставляючи (16) у (18), одержимо

nСтаття надійшла до редколегії 11.10.2006

V ei(^j -^s+am)t а b e i (^j -^s-amx e А bj smej smn

V ei(^j +^s+am)t a b ei(^j+^s-amx e А bj smej smЯкщо д(й) = 0, то аналогічно досліджен

ню стійкості в роботі [8] можна застосувати метод усереднення, але при цьому складніше знаходяться коефіцієнти усередненої системи.

1. М ит ропольский Ю.А. Метод усреднения в нелинейной механике. - K.: Наук, думка, 1971. - 440 с.

2. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. - М.: ГТТИ, 1956. - 491 с.

3. Гельфрейх В.Г., Л азут кин В.Ф. Расщепление сепаратрис: теория возмущений, экспоненциальная малость // Успехи мат. наук. - 2001. - 56, вып. 3. - С. 79 - 142.

4. Б ейт м ен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. - М.: Наука, 1967. - 300 с.

5. Аврамов К.В. Седло-узловые бифуркации параметрических колебаний гибких стержней с тремя положениями статического равновесия // Доп. НАН України. - 2003. - У8 4. - С. 37 - 40.

6. Д олгий Ю.Ф., Захаров A.B. Периодические колебания в консервативных системах с малым запаздыванием / / Дифференц. уравнения. - 2005. - 41, № 10. - С. 1299 - 1309.

7. К левчук 1.1. Гомоклінічні точки для сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням // Укр. мат. жури. - 2002. - 54, 4. - С.563 - 567.



УДК 517.956

© 2006 р. В.В. Ковдриш


Ш ИРИНА ЧЛЕН ІВ НИЖ НЬОГО Ц ЕНТРАЛЬНОГО Р Я Д У ГРУП И В Е РХН ІХ УН ІТРИ К УТН И Х М АТРИ Ц Ь Н АД КОМ УТАТИ ВН И М

К ІЛЬЦ Е М З ОДИНИЦЕЮ

Досліджується вербальна ширина підгруп групи унітрикутних матриць над комутативним кільцем з одиницею.

The verbal width of subgroups of group of unitriangle matrixes under commutative ring with unity is investigated

1. Нехай С — довільна група, т С — ї ї вербальна підгрупа, породжена деяким груповим словом ш. Шириною вербальної підгрупи т С називається таке найменше число к, що будь-який елемент із т С можна подати у вигляді добутку не більше ніж к значень слів т і т -1 в гру пі С. Якщо такого к те існує, то вважаю ть, що т С має нескінченну ширину. Поняття ширини вербальної підгрупи т С ввів Ф.Холл, а термін “ширина” було введено Ю .І.Мерзляковим [1] (див. також [2, §12]). Використовуються також терміни “еліптична ширина” для вербальних підгруп скінченної ширини і “параболічна ширина” для вербальних підгруп нескінченної ширини.

Серед відомих результатів про ширину вербальних підгруп зазначимо такі.

1 .Ширина д о в іл ь н о ї в е р б ал ьн о ї п і д г р у п и т С ал г е б ра ї чн о ї г р у п и м а т р и ц ь С с к і н ч е н на [1, 2].

2.Ш ирина к ом ут а н т а в і л ь н о ї м ет а б ел е - в о ї г р у п и с к і н ч е н н о г о р а н г у п ск і н ч ен на , а н е с к і н ч е н н о г о р а н г у н е с к ін ч енна .

Перше твердження фактично доведеноА.І.Мальцевим в [3], друге випливає з результатів статей [4 -6 ] . Робіт, в яких ширина вербальної підгрупи даної групи точно обчислюється не так вже й багато. Серед них виділимо дослідження Н.Одрібець (див. [7] і список літератури до неї), в яких знайдено ширину різних вербальних підгруп групи

автоморфізмів 2-адичного дерева.2. Нехай, К — довільне комутативне кіль-

пчисло, п > 2, и Т п (К ) — група верхніх уні-

пк , и т т ( к ) — підгрупа матриць з СТга(К ) в яких над головною діагоналлю знаходиться т нульових діагоналей, 1 < т < п — 1, [а,Ь] = а -1Ь-1 аЬ — комутатор довільних двох матриць. Символом е^ ( і , і = 1, 2, . . . ,п ) далі позначатимемо матричну одиницю порядку п, тобто п х п-матрицю у якої на перетині і-го рядка та і-го стовпця знаходиться одиниця, а решта елементі є нулями, а сим-

е п Нехай

а = е + 5 ] е ' ^j — i=m+1

агрупі С Т т (К ). Справедлива така теорема.

Т ео р ем а 1. Д л я д о в іл ь н о ї м а т р и ц і Ь Є и Т Д +1(К ) р і в н я н н я

[а, х] = Ь (2)

м а є принайм н і о д ин р о з в ’я з о к в г р у п іит п (К )

Доведення. Нехай

Ь е + ^ е j —i>m+2

деяка матриця з и т т +*(К)

+ ЕX — Є + 7 Хіз Єізі<3

— унітрикутна матриця з невідомими елементами. Покладемо

ах — є + ^ 2 ї їі<3

ха — Є + ^ 2 'гі Єі3,і<3

хаЬ — є + ^ 2 є гі є гі ,і<3

де

Іізхгі + хі+т+\і , якщо і — і > т ,

хгі , якщо і — і < т ;

гзхі,З-т-1 + х і,3

х із

якщо і — і > т , якщо і — і < т .

х із

ііз ЄІЗ ііз У у ІікРкік=і

З+ хі+т+1,і ^ ^(хі,к-т-1 + хі,к')Ркі

к=і

З -1

х іЗ + х і+ т + 1 , і ( х і , к - т - 1 + х і , к ^ Р к ік=і

Хі , І - т —1 х і і

З -1

х і+ т + 1 , і ( х і , к - т - 1 + х і , к ) Р к ік=і+1

Хі , І —т —1 Р і і

і+ т

х і+ т + 1 , і - Е х ік Р к і " к=і+1

З-1

Ек=г+т+1

(хі ,к-т-1+хік Ркі хі , і -т-1 Ріі 0

і , і = 1, 2 , . . . , п

Звідси для довільних і та і дістаємо рівності

І+тхі+т+1,і хі , і -т-1 + ^ хік$кі +

к=і+1

З-1+ (хі ,к-т-1 + хік ')Рк3 + З'.ІЗ

к=і+т+1

абоІ-1

хі,І хі -т -1 , і—т—1 / хі-т-1,к Зкі +к=і-т

і-1+ У 2 Хі—т—1,к—т—1 + хі-т-1,к')3к] + (3)

+Рі-т-1,ік=і

Оскільки рівняння [а,х\ = Ь можна записати у вигляді ах = хаЬ, то остання рівність буде справедливою тоді і тільки тоді, коли ііз = єізу тобто тоді, коли виконується рівність: т із — є з = 0.Тоді

З останніх рівностей видно, що довільний елемент хіз матриці х лінійно виражається через елементи цієї ж матриці, я к і знаходяться лівіше і вище від нього. Іншими словами, рівності (3) є рекурентними співвідношеннями для обчислення елементів матриці х. При цьому перші т + 1 рядки матри-

хдає можливість застосувати співвідношення (3) для обчислення всіх елементів матриціх

Таким чином, розв’язком рівняння (2) буде матриця х з групи и Т п (К.), яка визначається умовами

1) при і = 1, 2, . . . ,т + 1 і = і + 1, . . . , п елемент хіз вибирається довільно,

2) при і = т + 2, . . . , п — 1 та і = і + 1, . . . , п елементи хі з обчислюються згідно формул (3).

хт

м и в екторами , т о в он а м а т и м е т ак ий ви-

г л я д

x =

(1 ••0 0 0 • • • 0

0 • • 1 А ,m+3 ß 1,m+4 • • • ß 1,n0 • •0 1 ^m+3,m+4 • • •^m+3,n0 • •0 0 1 • • •^m+4,n

\° • •0 0 0 • • • 1

де \і (і = т + 2 ,.. . ,п — 1, і = і + 1 ,...,п ) є лінійними комбінаціями елементів матриці Ь

Зауваж ення 1.Аналог ічн е т в е р д ж е н н яа

г ал ьн о г о в и гл я д у ,

/10 0 0 1 0 0 0 1

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0

• 1 a 1,m+3 a 1,m+4• 0 1 a 2,m+4•0

100

0

010

• 0 0

1

001

0

a 1n ^a 2n a 3n

a m+2,i00

1

де довільні елементи кільця ]К.Нагадаємо, що ряд спадних підгруп

Г і(С ) > Г2(С) > . . .

групи С визначених умовами Г 1(С) = С і Гга+і(С ) = [Г„(С), С], д е [А, В ] взаємини комутант підгруп А та, В , називається н и ж н і м ц е н т р ал ьн им рядом, цієї групи.

Слова

Г і = Хі, Г2 = [Х1,Х2], ...,

Гп [хі , х 2 ,...■, хп\ [[х1 •> х2 ■> ...) хп— 1]) хп]

п = 1, 2 ,...

називаються простими комутаторами, а чип Гп

Нижній центральний ряд групи СТп(К ) має вигляд

> u t :~ к ) > u t :~ к ) = щ

Теорема 2. Д ов іл ь н и й чл ен н и ж н ь о г о ц ен т р ал ьн о г о р я д у г р у п и UTn (K ) м а е ш и р и н у 1.

Доведення. Індукція за числом k. База індукц ії — випадок k = 1

Довільну матрицю b з групи UT^ (К ), з г і

д н о з теоремою 1, можна подати у вигляді комутатора двох матриць з групи UTn (К ), а це означає, що ширина групи UT^ (К ) відносно слова Г2 дорівнює одиниці.

Припустимо, що група UT^(К ) відносно слова Гк+1 має ширину один, тобто для довільної матриці b з UT% (К ) існують матриці х 1} х 2, •••, xk+1 такі, що b = [x1; x 2, •••, x k+1], де Хі - матриці з групи UTn (К ).

Нехай, b — деяка матриця із и т Д Д К ) відносно слова wk+2 має ширину один.

bпи ut„ ‘ +‘ (K ) можна подати у вигляді b = [а ,х ], де х Є UTn(K ). Оскільки а Є UT%(К ), т о за припущенням індукц ії існують матриці х 1,х 2, ^ , x k+1 такі, що а = [хц х 2, •••, x k+1]. Тоді b =[[Х1 ,Х2 , •••,xfc+ 1 ],x ] = [Х1 ,Х2 , •••,xfc+ 1 ,x ], дехі ,х Є UTn(K ). Це й означає, згідно з означенням, що ширина групи UT^+^ K ) в і д н о

с н о слова Гк+2 дорівнює одиниці. Теорему доведено.


1. М ерзляков Ю.И. Алгебраические линейные группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп // Алгебра и логика. 1967. Т.6, .Y» ! . С. 83-94. 2. М ерзляков Ю.И. Рациональные группы.М.: Наука, 1987.

3. М альцев А.И. О свободных разрешимых группах // Докл. АН СССР. 1960. Т. 130, №3. С. 495-498.

4. А лламбергенов Х.С., Ром аньков В.А. О прои- звидениях комутаторов в группах. М., 1985. 19 с. Деи.в ВИНИТИ, №4566-85.

5. А лламбергенов Х.С., Ром аньков В.А. О прои- звидениях комутаторов в группах // Докл. АН УзС- СР. 1981. Т.4. С. 14-15.

6. Bavard С., Meighiez G. Commutateurs dans les groupes metabeliens // Indag. Math. 1992. V.3, N 2. P. 129-135.

7. О дрібець Pl.B. Дисертація кандидата фізико- математичних наук., Київський університет, 2000, 124 с.UTn(K) > UT1(K) > ••• >


а

УДК 515.12

©2006р. Р.В. Кожан

Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів

ПРО Н ЕП РЕРЕРВНІСТЬ ВІДПОВІДНОСТЕЙ ЙМОВІРНІСНИХ М ІР В КАТЕГО РІЇ Ц ІЛКО М РЕ ГУ Л Я РН И Х П РО СТО РІВ

У цій статті розглядається багатозначне відображення, яке кожному набору ймовірнісних радонівських мір на цілком регулярних координатних просторах ставить у відповідність множину мір на добутку з заданими маргінальними розподілами. Доведено, що ця відповідність є неперервною.

In this note we consider a multivalued map which sends a collection of probability Radon measures on completely regular coordinate spaces, to a set of measures with given marginale distributions. It is proved that this correspondence is continuous.

1. Вступ. В даній статті досліджується співвідношення м іж сукупними розподілами на добутку топологічних просторів та їх маргінальними розподілами. Ця тематика в контексті топологічних просторів розглядалася в [5], [7], [9]. Зокрема, доосліджує- ться багатозначне відображення, яке кожному набору ймовірнісних мір на координатних просторах ставить у відповідність множину мір на добутку з заданими маргінальними розподілами. У статтях, так само як і в даній роботі, ставиться питання про неперервність цієї відповідності. Цей тип задач є актуальним в теорії їгор та математичній економіці. Зокрема, в теорії ігор ймовірнісна міра розглядається як змішана стратегія кожного з гравців, а неперервність вище описаної відповідності є достатньою умовою існування рівноваги Неша статичних ігор зі змішаними стратегіями.

Д ж . Бергін [5] розглядає проблему неперервності відповідності для метризовних координатних просторів, а М. Зарічний [9] поширив ї ї на загальний випадок випадок ком- пактих гаусдорфових просторів. В цій статті задача неперервності відповідності поширюється на випадок цілком регулярних просторів. Існує к ілька продовжень функтора ймовірнісних мір Р на категорію ТусЬ, як і були запропоновані А. Чигогідзе [4] та В. Фе- дорчуком [3]. В даній роботі ми розглядаємо багатозначні відповідності на просторах

радонівських мір та на просторі мір з компактними носіями Pp.

В розділі 2 дано необхідні для подальшого аналізу означення та результати. Неперервність відповідностей встановлена в розділі 3.

2. Поняття та означення. Д ля цілком регулярного простору X розглянемо простір мір

P e ( X ) = [ ц Є P ( в х ) : su p p © С X С в х },

де в Х є Стоун-Чехівською компактифікаці- єю простору X та через su p p © ми позначаємо носій міри ц. Ця конструкція продовж ує функтор ймовірнісних мір P : Comp ^ Comp до функтоpa P p : Tych ^ Tych і була запропонована в [4] (див. також [8]).

Множина всіх борелівських мір на цілком регулярному просторі X позначається через M (X ). Слабка* топологія на M ( X ) породжується базою, яка складається з множин вигляду

0 ( ц , У 1, . . . ,Ук© = [ v Є P ( X ) : v (V) >

> ц(Ц) - є , і = 1 , . . . ,k},

д е Vi С X є відкритими множинами та є > 0.Борелівська міра ц Є M ( X ) зветься радо -

н і в с ь к о ю м і р о ю , якщо

ц(А) = su p © (K ): A D K — компактна

X}


для кожної борелевої ПІДМНОЖИНИ A С X.Борелівська міра д Є M (X ) зветься т-

гладкою, якщо для кожної спадної послідовності {Za } замкнених підмножин в X , таких, що HZa = 0 , послідовність {д(Za )}апрямує до нуля.

M (X )усіх радонівських мір, позначається через М (Х ). Через MT (X ) ми позначаємо підпро-

тчимо через P ( X Д а PT (X ) підпростори ра-

тXсторів P ( X Д а PT ( X ) читач може знайти в [1]-

Нехай X та Y - деякі цілком регулярні простори.

За теоремою Pica про зображення існує однозначна відповідність м іж борелівськи-

Xлінійними функціоналами на просторі всіх обмежених неперервних функцій Cb(X), наділеному нормою рівномірної збіжності. В.

тщільних функціоналів, як і репрезентують

тОбмежений лінійний функціонал Л зве

ться т-гла^км^, якщо з /а І 0 слідує, що Л(/а ) ^ 0 для кожної напрямленості { f a } С Cb(X).

Лться щ і л ь н и м , якщо Л(/а ) ^ 0 для кожної напрямленості {/а } С Cb( X ) такої, що \\/а\\ Ф 1 для всіх а \ / а ^ 0 рівномірно на

XВ. Варадараян [2] довів, що міра д є ра-

тт

лінійний функціонал Л такий, що для кожної / Є Cb( X ) виконується Л (/) = J /d д

та ||Л || = ||д||.Позначимо через u X : C (j3X) ^

C (P ( j 3X )) відображення, означене за формулою u X ( д ) ( д ) = д (д )- Дане відображення є лінійним оператором з нормою \\uX || = 1.

Д ля кожної функції д Є Cb( X ) ми можемо розглядати звуження функції u X ( д ) на

простір Р ( Х ).Означимо відображення фх : Р 2(фХ) ^

Р (фХ) за формул ою фх ( М ) ( д ) =М (их (д ) ) -

Л е м а 2 .1 . ф х ( Р 2( Х )) С Д (Х ). Д о в е д е н н я . Розглянемо послідовність

функцій [ д а }а£Г таких, що Цда Ц < 1 для кожного а Є Г і д а ^ 0 рівномірно на

Хзати, що ||и х ( д а )Ц < 1 для вс іх а Є Г та и х ( д а ) ^ 0 рівномірно на компактних під- множинах в Р (Х ). Це випливає з нерівності Цих (Да)Ц < Цих II • ЦДа Ц = ЦДаЦ- ТО ДІ Д Л Я

кожної радонівської міри М Є Р 2 (Х ) виконується

фх ( М )(Да) = М (их (Да)) ^ 0,

і з цього випливає, що фх ( М ) Є Р (Х ).Л е м а 2 .2 . і) Д л я к о ж н о ї пари р а д о н і в

с ь к их мі р д Є М ( Х ) та, V Є М ( У ) т а ких, щ о ЦдЦ = ІфЦ, і с н у є міра Л Є М ( Х х У )МргЦЛ) = д т а М рг2(Л) = V.

іі) Т в е р д ж е н н я і) з а л и ш и т ь с я с п р а в е дливим, я к щ о з а м і н и т и М на М@.

Д о в е д е н н я , і). Припустимо спочатку, що д Є Р ( Х ) та V Є Р ( У ). Позначимо через іх : У ^ Х х У відображення вкладення, означене для кожної точки х Є Х за формулою іх(у) = ( х , у ) . Розглянемо функцію Д : Х ^ Р (Х х У ), яка діє наступним чином: Д (х) = Р і х (V) для кожної точки х Є Х. Перевіримо, що міра Л = фххУ (-РД(д)) Є Р (Х х У ) задовольняє умови леми. Д ля довільної неперервної функції / Є СЬ( Х ) справджується

Р р р Ш ) = фххУ ( Р Д (д ) ) (/ ◦ ргі) =

Р Д (д)(иххУ ( / ◦ рГі)) = д ( иххУ ( / ◦ рГі) О Д ).

Оскільки є справедливим співідношення

(их хУ (/ О р г і) О Д )(х ) = и х хУ (/ О р г і) (Д ) =

= иххУ(/ О р г ф ( Р І х Д )) = Р І х Д )(/ О ргі) =

= V(/ О рг і О іх) = V(/(х)) = / (х ) ,

95Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер си т ет у. 2006. В и п у ск 314-315. Математика.

то ми можемо зробити висновок, що иххУ ( І ◦ ргі) о Д = / т а Ррг^А) = щ.

Аналогічно, для кожної функції д Є СЬ( У ) має місце рівність

р>Рг 2 (А)(д ) = ФххУ (Р/„ (Щ) ) ( І о Рг 1 ) =

= щ(их хУ (д о рг2) о Д ).

Оскільки

(иххУ (д о рг2) о Д )(х) = V(д о р г 2 О гх) = V(д),

то з цього випливає, що

Р р г 2 ( А ) д = щ(у (д )) = V (д ) -

Згідно з лемою 2.1 міра А Є Р ( Х х У ). Позначимо цю міру як А = щ 0 V та будемо називати ї ї тензорним добутком мір щ та V. Детальніше про конструкцію тензорного добутку можна дізнатися у монографії [8].

Далі, якщо с = ||щ|| = |ф|| = 1, то легко перевірити, що міра с ( - 0 - ) задовольняє умови леми.

іі). Позначимо через К - = виррД) та К и = виррД) носії мір. За означенням функтора Рв множини К - та К и є компактами. Звідси випливає, що міри - та V належать відповідно до Р ( К - ) та Р ( К и). Твердження іі) леми випливає з бікомутативності функтора Р.

Л е м а 2 .3 . Нехай А Є Р ( Х х У ). Тоді для к о ж н о ї в і д к р и т о ї п і д м н о ж и н и V С X х У т а є > 0 з н а й д у ть с я , так і е л е м е н т и ба зи то п о л о г і ї д о б у т к у Д , щ о V С V длявсіх: г = 1 , . . . , к та, є с праве дливим, с п і в в і д н о ш е н н я

к ~А(V) - А( и Ц) < є.І=1

Д о в е д е н н я . Те, що множини \/1,...,'Ук є елементами бази топології добутку, означає, що існують відкриті множини V.І С X та V" С У такі, що V = VI х V" для кожного г = 1,.. ., к Оскільки А є радонівською мірою, то існує компакт К С V, який справдж ує умову А(У\К ) < є. Розглянемо покриття елементами бази {\ І}І^г компакта К , як і

96

містяться в множині V. Можна знайти скінченне підпокриття 1У1, ..., 'Ук компакта К та

к уке, що К С и V С V. Легко бачити, щоІ=1твердження леми випливає з останньої нерівності.

Л е м а 2 .4 . Нехай А Є Р ( Х х У ), щ = РргЦА), V = Р р г 2(А) та, є > 0. Тоді для в і д к ритих п і д м н о ж и н ' С X , для, я к их в и к о н у є т ь с я у м о в а щ(У \ V') < є , є с п р а в е дл ив им с п і в в і д н о ш е н н я

А ( ^ \ V') х Ш) < є

для, к о ж н о ї в і д к р и т о ї п і д м н о ж и н и Ш С У.Аналог і чно , для, в і д к ритих п і д м н о ж и н

Ш, Ш' С У таких, щ о V(Ш \ Ш' ) < є, с п ра в е дли в ою є н е р і в н і с т ь

А(У х (Ш \ Ш')) < є

дл я к о ж н о ї в і д к р и т о ї п і д м н о ж и н и V С У.Д о в е д е н н я . Оскільки виконується умо

ва щ = Р р г 1(А), то бачимо, що

щ ^ ) = А ( р г ^ ( У )) = А(V х У ).

Д ля кожної відкритої підмножини Ш С У отримуємо співвідношення

А((У\У' )хШ) < А( (У\У' )хУ) = щ(У\У' ) < є

Друге твердження леми доводиться аналогічно.

Л е м а 2 .5 . Нехай А Є Р ( Х х У ), щ = Ррг1(А), V = Ррг2(А), є1 > 0 є2 > 0. Д л я в і д к ритих п і д м н о ж и н V,V' С X т а ких, щ о щ(У \ V') < є 1 та, в і д к ри ти х п і д м н о ж и н Ш, Ш' С У, дл я я к и х є с п ра в е д ли в ою н е р і в н і с т ь V(Ш\Ш') < є 2, в и к о н у є т ь с я

А((У х Ш) \ (V' х Ш')) < є 1 + є 2 .

Д о в е д е н н я . Легко перевірити, що

А ( ^ х Ш) \ (V' х Ш')) < А(((У \ V') х Ш)и

и © х (Ш \ Ш'))) < А ( ^ \ V') х Ш)+

+А(У х (Ш \ Ш')) < є 1 + є2. □

Л е м а 2 .6 . Р о з г л я н е м о д е я к у р а д о н і в с ь к у мі р у А Є Р ( X х У ), в і д к ри ті в д о б у т к у ти - х он о в с ь ких п р о с т о р і в X х У п і д м н о ж и н и

V , . . . ,Уп т а є 0 > 0 І с н у ю т ь п о парн о н е п е - \(( и х ( и Ш '))) <р е т и н н г е л е м е н т и ба з и т оп о л о г і ї на д о б у - {я: сУіі} У :т к у п р о с то р і в ..., Шт С X х У т а чи сло є є є5 > 0, дл я я к и х с п р а в д ж у ю т ь с я н а с т у п н і 4к 4к 2к"у м о в и : Покажемо, що для всіх і = 1, . . . , п виконує-(І) А(У) — ^2 А(Ші ) < є дл я в с іх і = ться нерівність

[ і : Щ СУі}1 , .. . , п кі „ т(гг) 0(А, Шь ..., Шт, 5) С 0(А, У , .. . ,Уп До), А( .и У у) - \(Шд) < є.(Ні) (ргДШу) П ргг(П>/) = 0 ) V (ргДШу) = 3 я=ргАШ-«)) для І = 1,2 т а і ' , і '' = 1, . . . ,т. „ Л ,тт о • • Д ля кожного і = 1, . . . , к і справджуєтьсяД о в е д е н н я . Згідно з лемою 2.2 з праціВ. Богачова та А. Колесникова [6] можемо Амовавважати, що множини У_,..., Уп є попарно х(уг \ / т и/ \\ ^ \/т7 \ / і і ті/ є

» о п п ‘ А( Уіі \ ( и Ш я)) — А( Уіі \ ( и Ш Я)) < гТТ.неперетинні. оа лемою 2.2 існують елементи я=і {я: шдсУіі} 2кбази топології добутку Vу С Уі7 і = 1, . . . , к ітакі що Використовуючи цей ф акт бачимо, що для

міри А є справдливим твердження, щокі єА(у і) - А( и у ) < - . кі

і 2 кі ~ т х.— - т„ . У А ( ( и У ,) \ ( и \¥я)) — £ А(Уі \ ( и Ш )) <Оскільки кожна множина Уу є елементом з=1 я=і г—; я=іj=iбази, то вона може бути зображена як добуток у у = У і х у і' деяких відкритих множин < к- є < єу і С X та у " С У. За лемою 2.2 В. Богачова 2к 2та А. Колесникова [6], існують попарно непе- Умова (і) легко впливає з останнього спів-ретинні відкриті множини Ю ,...,Ш'т, С X відношення.та Ш", . . , Ш( // С У для яких є справедливы- Справді, для кожного і = 1, . . . , п маємот!ми нерівності

ж Ч ) - 5 ] < 4k A(Vi) - ^ A(w * = A(Vi) - х4=іУгз)+{s: WSС.% }

та , ki ~ ч v— л /т-гт \ є єV( Д - £ v ( W ! ) < 4k Д v * - У A ( w * < 2 +v ; / У Л " Я ^ 2 + 2 = є '

Д ля того, щоб довести твердження (іі) даної леми, необхідно знайти таке 5 > 0, що

і = 1, ... , п

{t: W['cy'}для всіх і = де k = max{y , . . . ,kn }.Розглянемо всі попарно неперетинні добутки множин вигляду Wq х W'J д а я q =1 ,...,m ^ s = 1 ,..., в при- \'(y ) — \ (y ) > —£0наймні одній з множин Vj при j = 1 , . . . ,kта і = 1 ,..., п. Позначимо ці добутки через Для кожної міри X Є 0{A,Wi, . . . ,Wm ,S). ЗW i, ..., Wm . Зрозуміло, що вони попарно не умови (і) випливає, що для 6 < 2m та є < Чперетинаються і множина I j = { і : Wj С У} виконуєтьсяскладається з однієї точки. На додаток, з t ,леми 2.5 випливає, що для всіх j = 1 ,..., ki X (У) — У) > X (Wq) —справджується співвідношення {q: WqeVi}

X( Vi j ) — 5 2 X(Wt) = X( Vij X j — ^ X(Wq)—є > ^ (X\Wq) —X(Wq))-{t: WtcVj} {q: Wq eVi} {q: Wq eVi}

—є > —т,б — є > —єо.

Оскільки твердження (ііі) є очевидним за алгоритмом побудови, то лему доведено.

В подальшому нам буде потрібним поняття звуження міри на борелівську множину. Введемо на множині

{ф Є Сь(X, [0 ,1]),Ф\а = 1}

обернене поточкове відношення порядку. Д ля кожної міри щ Є М ( X ) та борелів- ської підмножини А С X означимо міру щ\а (р ) = И т { щ ( р ф : ф Є Сь(X, [0, 1])),Ф\а = 1} для кожної функції р Є Сь(X) (див. [8]). Легко показати, що для кожної борелівської множини В С X справджується рівність щ\а (В) = щ(А П В ).

Означимо відображення х: Р ( X х У ) ^ Р ( X ) х Р ( У ) За формулою

х(А) = (Р р г 1 (А), Р р г 2(А))

для кожної міри А Є Р ( X х У ).3 .Основний результат. Наступна тео

рема є основним результатом даного розділу.

Теорема 3 .1 . В і д о б р а ж е н н я х є в і д к ри тим.

Д оведення. Нехай А0 Є Р ( X х У ) деяка радонівська міра та О(А0^ 1, ..^Уп,, є ) є ї ї околом в слабкій* топології, де множини V С X х У є відкритими, та є > 0. Згідно з лемою 2.6, ми можемо вважати без обмеження загальності, що множини Vi є попарно неперетинні та існують відкриті множини Ш' С X та Ш'' С У такі, що VІ = Ш' х Щ і для яких виконуються умови т , П = 0 ) V (Ш' , = Ш ) і Ш П Ш =0)У(Ш'і '_і = Ш' ) для г , г 1, г2 = 1, . . . ,и. Розглянемо маргінальні для А міри щ0 = Р р г 1(А°) та V0 = Ррг2(А°). Позначимо через т' = Сагд{Ш'і ,г = 1 ,...,п } та т'' = Сагд{Ш'' , г =1,.. . , п} і покладемо б < є. Введемо наступні позначення: Шдз = Ш' х Ш'' для всіх д Є {1, . . . ,т'} і 5 Є {1, . . . ,т''}.

Д ля того, щоб довести теорему, достатньо показати, що кожна пара мір

© V ) Є О(щ°,Ш1 , . . . ,Шф, , б ) х

х О ф 0, Шф . . , Шф „ , б )

має прообраз в околі О(А°, V1,..., Vn , є ) .Д ля всіх (д, в) Є {1, . . . ,т ' } х {1, . . . ,т' '} ми

позначимо числа

а' _ А0д‘ щ0(Ш')

,, = А0(Ш„ ) у Ш ' ) 0дз іХ’(Щ') '

На додаток до цього, покладемо

а дз = т і п ( а ' а ' ' ) , в ' з = а 'дз —Ідз , а дз) , в дз а дз 0дз

та ф”з = об з — а дз .

Нехай р д = р | щ та и3 = V ф ’у є звуженнями мір р та V на множини © та відповідно для всіх д Є { 1 , . . , т ' } та 5 Є {1, . . . ,т''}. Позначимо через

л / щд _ VзА"‘ Ч щ Ш ) 0 щ Ш ' )

ЯКЩО А°(Шд х Ш") = 0 і Адз = 0 в іншому випадку. Зрозуміло, що

Адз(X х У ) = Адз(Ш' х Ш'') = а.

Далі, ми означимо міри

Ш ш''У = ^ ]> > д з Є М Щ х У ),

=1 з=1

У = щ — іМрг1(А) є Мі (X)

V = V — М р г 2(\) Є М ( У ).

з

та

Оскільки для кожного д Є {1, . . . ,т'} справджується співвідношення

ш'' ш''

щ(Ш'д) = щ(Ш'д) — X /0 дз - щ(Шд ) — X /0 'дз =з=1 з=1

шщ Ш ) А 0Ш х (У \ ( и К ) ) )з=1

щ0(Ш')- 0,

то міри Д та А є невід’ємними. Більше того, очевидно, що ИД І = IIVІ > 0. Таким чином, за лемою 2.2 існує невід’ємна радонів-ська міра А, для якої справджуються рівності М р г\ (А) = А та M p r 2(A) = А. ПокладемоА = А + А. Очевидно, що А Є P ( X х Y ). Крім того, для кожного q Є {1, . . . ,m'} та s Є {1, . . . ,m"} виконується

A(Wqs) — A°(Wqs) = A(Wqs) + A(Wqs) —

- A°(WqS) > ~A(WqS) -A°(WqS) = aq- A°(Wqs) =

= « W. 4 M М ' Ш - ■) ■

З умови ( f , v ) Є 0 ( a° , W [ , . . , W L /,5) х O ( v ° , W f , . . .Wfn//,5) слідує, що

. S aW ) v W ) ,, \ _ . >m m { a°(W') , v°(W^H)aq s ) >

> -s

min{p°(Wq) , v°(W's')} 'а отже

A{Wqs)-A^{Wqs) > —s x \ w q s)

m in{p° (Wq ) , v °(Wg)}>

—б > —є.

Таким чином, А Є О(А0,Ш11, . . . ,Шш'ш " , О (А0, У1, ..., Vn , є ) . Теорему доведено.

Аналогічно, означимо відображення


1. Банах Т.О. Топология пространств вероятностных мер І: функторы Р и Рт // Математичні Студії - 1995. - 5 - С.65—87.

2. Варадараян В. Меры на топологических пространствах // Математический сборник. — 1961. — 55:1. - С.35—100.

3. Ф едорчук В. В. Вероятностные меры в топологии // Успехи мат. наук. — 1991. — 46,№1. — С.41— 80.

4. Ч игоги дзе А. О продолжении нормальных функторов // Вестник Моск. Унив., серия мат.-мех. - 1984. - №6 - С.23—26.

5. Bergin J. On the continuity of correspondences on sets of measures with restricted marginals // Economic Theory - 1999. - №13. - P.471—481.

6. Bogachev V.I., Kolesnikov, A. V. Open Mappings of Probability Measures and the Skorohod Rotation Theorem // Theory Probab. and Appl. — 2001. — 46, №1. - P. 20—38.

7. Eifler L. Some open mapping theorems for marginals / / Transactions of American Mathematical Society. - 1975. - 211. - P.311-319.

8. Teleiko A., Zarichnyi M. Categorical Topology of Compact Hausdorff Spaces // Math. Studies Monograph Series. — 1995. — Volume 5.

9. Zarichnyi M.M. Correspondences of Probability Measures With Restricted Marginals Revisited, (2003), preprint.


є ) С

Хе = х\рв (XXV).

Має місце наступний наслідок попередньої теореми.

Н асл ід о к . В і д о б р а ж е н н я Хе є в і д к ри тим.

Доведення цього наслідку напряму випливає з теореми 3.1 та леми 2.2 іі).

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівникові Зарічному Михайлу Михайловичу за корисні поради та ідеї.


УДК 517.95

© 2006 р. Коркуна О. Є., Лавренюк С. П.


ПРО Д Е Я К І В Л А С Т И В О С Т І Р О З В ’Я З К У М ІШ АН ОЇ ЗА Д А Ч І Д Л Я НЕЛІНІЙНОГО 26-П АРАБОЛІЧН О ГО РІВН ЯН Н Я

Знайдено умови існування та єдиності узагальненого розв’язку мішаної задачі для нелінійного диференціального рівняння з похідною першого порядку за часовою змінною.

Conditions of the existence and uniqueness of the generalized solution of the mixed problem are obtained for the non-linear differential equation with the derivative of the first order on time variable.

У 1960 році С. Д. Ейдельман [1] розглянув узагальнення параболічних за Петров- ським систем, ввіши термін "26—параболічні системи". У цих системах диференціюванню за різними просторовими змінними приписують різну вагу по відношенню до диференціювання за змінною Ь. Було розроблено теорію задачі Коші для лінійних систем вказаного типу (див. праці [2 - 11]).

М ета цієї праці - дослідити мішану задачу для нелінійного диференціального рівняння з похідною першого порядку за часовою змінною, в якому за групою просторових змінних присутній диференціальний оператор четвертого порядку, і за всіма просторовими змінними - другого порядку. Зокрема, одержано умови існування та єдиності узагальненого розв’язку у випадку обмеженої області за просторовими змінними і встановлено поведінку розв’язку при Ь ^ + ТО.

Нехай Ох - обмежена область в й Л регулярною межею дОх [12, с. 45], Оу - обмежена область в з регулярною межею д Оу , О = Ох х Оу ; Q = О х (0, то); Б = д О х (0, то), Qт = О х (0 ,Т ), Т > 0; х = ( х \ , . . . , х и ), У = (у г , . . . , у т) , г = (х, у ) , к + т = п,

D cд \a\

дхЄ1 . . . д х ?

д\в\

д г в 1 . . . d z i nІ а І — а і + ■ ■ ■ + а п

1, 2) за змінними х, О , и - вектор всіх похідних за змінними ц.

В області Q розглянемо рівняння

u t + У Da (aa ( z , t, u, D lxu, DXu)) —\a\=2

У D e ( b e ( z , t , u , D zu) ) +\в\=і

+ c ( z , t , u ) — f (z , t ) (1)

з початковою умовою

u ( z , 0) — u 0(z), z Є H

і крайовими умовами

&Uu \ s — 0, Tv 0 ,

dQx x Qy x (0,œ)

де v - вектор зовнішньої нормалі. Приймемо позначення

1/p

\DXu\p — ( У \Dau\

(2)

(3)

DXu - вектор всіх похідних порядку j ( j —

{ХУаи \р \а\=1

і = ф 2, р є (1, + © ,1/я

X,и\,, = І £ \Огв '\\в\=1

д є (1, +то).

Припустимо, що виконуються так і умови:(А) : функції аа ( - , ) вимірні в

Q для всіх (Є,У, ( ) Є Е 1+й+м© д е N (к) - довжина вектора ( а при Д\ = 2; функції


аа ( г , і , ■, ■, ■) неперервні в Е 1+к+м(к) майже ( г , і ) Є ф і для всіх £ Є Е правильні нерівдля всіх ( г , і ) Є Я, |о| = 2; майже для всіх ностіЯ , і ) Є Я і для всіх (£,п,С) Є Е 1+к+м(к) пра- ~ ~ ~вильні нерівності (Ф А , £) - с ( г , і ,£) ) (£ - £) > Со|£ - % ,

£ ( аа ( г , і , £, Т С) - аа ( г , і, %, 0, ? ))(& - Са) > Со > 0 ПрИ Г Є [2 Со = 0 ПрИ|а|=2 Є

^ Ка - Я 1|а|=2

стала Ао > 0 при р Є [2, +то) і А0 = 0 при р Є (1, 2),

^ аа (г , г , С , п , С Ка > А0 ^ \(а\р|а|=2 |а|=2

при р Є (1, 2), стала А0 > 0,

)| ^ Аі ^ ^ ІР \ М = 2, М=2

де стала А1 > 0.

(B ) : функції Ьв (■,-,£,п) вимірні в Ядля всіх (£,п) Є Е 1+т, функції ЬвХ, і , ■, ■) неперервні в Е 1+т майже для всіх ( г , і ) Є Я, X | = 1; майже д л я всіх ( г , і ) Є Я і для всіх (£, п) Є Е 1+т правильні нерівності

^ 2 (Ьв (А і ,С ,П) - Ьв (г , і , £ , ° ) ) (Пв - % ) ^|в|=1

^ Во ^ \пв - %в ,|в|=1

стала В 0 > 0 при q Є [2, +то) і В 0 = 0 прид є (1 ,2),

^ Ьв (г , і , С , п )пв > В о ^ КвV|в|=1 |в|=1

при д Є (1, 2), стала В о > 0,

\ Ь в а х Ш < В1 £ К „і«-1, цз| = 1,И=2

де стала В 1 > 0.

(C ) : функція е (ц ■,£) вимірна в Я длявсіх £ Є Е, функція о ( г , і , ■) неперервна в Е майже для всіх ( г , і ) Є Я; майже для всіх

г Є (1, 2),

\ Ф , і , £ ) \ ^ сі\С\ _1 де сі > 0-

(Е) и (х , і ) Е (г , і ) +|а|=2

^ (-1)|в|ввд е де и Є Ьр/(д т ), \а\ = івк і2, д е Є Ь* ( Ят ), \в\ = 1, до Є ЬА(Ят), 1 1 1 1 1 1 1----7 — 1, ----1----7 — 1, -----1----7 — 1,р р Ч Чшіп{2, г }.

( и ) : ио Є Ь2(П).Введемо простори

Го Т'о Го

НДП) = ^ о ’9(П) П Ь2(П),

у 2(П) = Ьр (Пу ; Ьр( < ’р(Пх))) П Ь2(П).

Т ео р ем а 1. Нехай в и к о н у ю т ь с я у м о в и (А), (В) , (С), (В), ( и ) . Тоді і с н у є є д и н и й

иділів такий , щ о и Є Ьгх( ( 0 , Т ); Ь2(П)), и Є Ьр ((0, Т ); У02(П)) ПЬ9((0, Т ); ^ (П ) ) ПЬГ0(Ят)

Т > 0 .Кр ім то г о , я к щ о р А 2 і у А П+2, т о

и Є С ([0, Т ]; Ь2(П)).

Т > 0Розглянемо оператори

Ао(и) = с(-, ■, и ),

Аі (и) = - ^ Б в (Ьр(■, ■, и, и) ) ,|в|=і

А2(и) = ^ Б а ( а а ( р ц и В І и ,В ;и )) .|а|=2

На підставі умов (А), (В), (С) очевидно, що

Ао : Ьг0(Ят) ^ Ьг0(Ят),

Аі : К 1(П) ^ (П1(П))*,

А2 : Уо2(П) ^ (Но2(П))*

для майже всіх 6 Є (0 ,Т ), де * позначено спряжений простір. Зазначимо, що простір V(П) = У 2(П) П У ( (П) П Ьт° (П) сепарабель- ний і щільно вкладений в Ь2(П). Тому

V(П) С Т2(П) С V*(П)

і, крім того,

у 2(П) С Т2(П) С ( у 2(П))*,

© (П ) С Т2(П) С (© (П ))* ,

ЬГ0(П) С Т2(П) С © (П).

Згідно з умовами (А), (В) , (С) оператори Лі (і = 0 ,1 , 2) монотонні (рівномірно за змінною і ). Отже, поняття демінеперерв- ності [12, с. 20] і семінеперервності [13, с. 166] збігаються [12, с. 85]. Оскільки аа (Д| =2), Ьр(\в\ = 1) і задовольняють умови леми 2.2 [12, с. 57], то оператори Лі (і = 0 ,1 , 2) де-

і.підставі умов (А), (В), (С) правильні оцінки

ііЛ0 (и )|© (п) ^ Бо ||и |Ііго(П)* ,

ІЛ і (и )І(у01(п}}* ^ Бо ІМ іУ пр

IIЛ2 (и) 1 (У02 (П))* ^ © N 1^2 (П)

для довільних и Є V(П) рівномірно за і.Введемо півнорму [ф на просторі У ( (П)

за формулою

і/я

Н

(У випадку q ^

\DZu\qq dz

2n n + 2

Очевидно, що [п]у тЦ п © (П) визначає норму в © (П ), а [п]р + ||п|І£2(П) - норму в у 2(О). Крім того, на підставі умов (А) і (В)

( Л і ( п ) , п ) і ^ 6і[п]«,

(Л2(п) ,п)2 ^ аі[п]рррівномірно за Ь, де через (■, ■)і позначено скалярний добуток м іж просторами ( У (О))* і У (О ) (і = 1, 2) відповідно, а 61 = В 0 при д ^ 2, 61 = В 0 при д Є (1, 2), а 1 = Л0 при р ^ 2 і а 1 = Л0 при р Є (1, 2).

Крім того, на підставі умови (С)

(A0(u ) , u ) ^ c0||u|

згідно з нерівністю

рівномірно за і при г ^ 2.Отже, виконуються всі умови Зауважен

ня 1.13 [13, с. 180], згідно з яким існує єди- и

(3) такий, що и Є Ьгх( ( 0 , Т ); Ь2(П)), и Є Ьр ((0, Т ); у 2(П))ПТ*((0, Т ); У (П ))П Т Г 0 ). Тоді

Щ = _ Л 2(и) _ Л1(и) _ Л0(и) + / Є

Є Ьр ((0, Т ) ; ( у 2(П ))* )+ © ((0, Т ) ;(У (П ))* ) +

+Ьг'о т ).Звідси зокрема випливає, що

щ Є ЬР0( (0 ,Т ); (V(П))*),

де ро = шіп{р/,д/,г()}. Отже, на підставі леми 1.2 [13, с. 20] и Є С ([0, Т ]; (V(П))*). Крім

2п - , то на підставі

п + 2теореми 1.17 [12, с. 177] и Є С ([0 ,Т ]; Ь2(П)), оскільки у цьому випадку

V(П) С Т2(П) С V*(П)

того, якщо p ^ 2, q ^

Фрідріхса [12, с. 50] і теоремою вкладення Соболева [12, с. 47] ця формула визначаєнорму на У 1© )) , Півнорму [ф на просторі Щільно 1 неперервно. Теорему доведено.^ У 2(П) за формулою З а у в а ж е н н я 1. У випадку p ^ 2, q ^

і /p

2nn + 2 ’

М ї \D2xu\pp dtяк випливає з теореми 1.17 [12, с. 177] для розв’язку u задачі (1)-(3) правильна формула інтегрування частинами

(У випадку р ^ 2 згідно з нерівністю Фрідріхса і теоремою Фубіні ця формула визначає норму на у 2(П)).

t22 / (ut , u ) dt = \u\2 dz — \u\2 dz,


де От = Я П {і = т}, і 1, і 2 Є [0, то).

Позначимо

т( і ) = J и 2 йг ,Пі

де и - розв’язок в сенсі розподілів задачі (1 )- (3). Користуючись ідеями праці [14], доведемо деякі властивості розв’язк ів задачі (1 )- (3),

Т ео р ем а 2. Нехай р А 2, у > 2, / ( г , і ) =0 .

.3-1w ( t ) A ([w(0)]—^ + р і К -У01)- 3-2 А

А 62R e \ q-2

Ot.t2

+ti Ot

У ^ aa ( z , t , u , D l u , D 2xu)D^u+|a|=2

+ b p ( z , t , u , D zu ) D e u+

+c(z, t, u ) u dz dt =

0, Vti, tx, t i < tx .

Отже,

w' ( t ) = —Ot

У^ aa (z, t, u, DXu, DXu )D > + |a|=2

+ У~ b p ( z , t , u , D zu ) D e u+

+c(z, t, u ) u dz = g ( t ) ,

ставі умов (А), (В), (С)

д(і) А Во J В и\9 д г ,Пі

то з (4) випливає нерівність

Х ( і ) + 2Во [ \Бг и\9 д г А 0 (6)

майже для всіх і Є (0, то). Згідно з нерівністю Гальярдо-Ніренберга [15, т. 7.1]

2 qD 2u (0-1)3 ,

(4 )

д е ст ал а р і з а л е ж а т ь в і д у, п, В о , Я - р а д і у с н а й м е н ш о ї кулі , я к а м і с т и т ь о бла с ть

_ У п + 2(у - п) і б и о = ---------2--------- .

Д о в е д е н н я . Згідно із зауваженням 1

2 1 \и \2 д і - 2 1 \и\2 й г +

(П) А в о К 20 ІІи ИЬ(п)

для майже всіх і Є (0, то ), де в = у п—--------------- -, а стала р о залежить тільки

2( уп — п + у)від п, у. Отже, з (6) одержуємо

ю' ( і ) + 2Во/ЗоЕ ( -о)ч [ш(і)]22 ^ 0. (7)

Розв’язавши нерівність (6), матимемо оцінку (4). Теорему доведено.

Т ео р ем а 3. Нехай p А 2,2п

п + 2 А У < 2. То-

ді и ( г , і ) = 0 м а й ж е дл я в с іх (г , і ) Є Я \ Яг0, де.. і о = ц3[ш(0)] , а ст ал а ц3 з а л е ж и т ьв і д В о , п, у, П.

Д о в е д е н н я . Використавши теорему вкладення Соболева [12, с. 47], одержимо оцінку

u \w1’3 (O) А 64 ||u II L2(O)

(5)

для майже всіх і Є (0, то ), де стала ц4 залежить від п, у, О. Отже, з (6) випливає нерівність

w \ t ) + B 0y 4[w( t ) ]2 А 0.

Звідси,

[w (t)]2-3 « — Bo64(22 У)t + [w(0)]2-3.

Оскільки w(t) А 0 майже для всіх t Є (0, то),то з останньої нерівності одержуємо, що

2w(t) = 0 Д Л Я ВСІХ t А t0, 6з

майже для всіх і Є (0, то). Оскільки на під-


Теорему доведено.

В и п у ск 314-315. Математика.

b o64(2 — у)

103

t

2

З а у в а ж е н н я 2. Аналогічно до теореми 1п

розподілів задачі (2), (3) для рівняння

Щ + X ] О (вав(г . і )ОХвп)) +N=101=2

І ^ в а (г , Ь)ОХ.п —N<2

— ^ °У (ЬаХ(г ,Ь)° Хп) +І«І=ІХІ=1

І Ьх(г , Ь)ОХп + с ( г , Ь, п) = f ( г , Ь),ІХІ=1

р =2 , д = 2 і, крім того, в а0 (|а| = \в| =2), ва (|а| ^ 2), Ьав(М = \в\ = 1), Ьх(\в| =1) Є Ь ^ ^ ) для майже всіх (г ,Ь) Є Q,

'У '] в а0 ( г , Ь)СаСв ^ Л0 ^ ] |Са| ,І«І=ІХІ=2 І а І=2

Ло > 0, Є Е" (к),

^ Ьа0 ( г ,Ь)ПаПв > В 0 ^ ^Х|2, І«І=ІХІ=1 ІХІ=1

Во > 0 Уух Є Ет .Зокрема, тоді

п Є С ([0, Т ]; Ь2(О))П

ПЬ2((0 ,Т ); Ь2(Оу; Щ2(Ох)))П

ПЬ2((0, Т ); Ь2(Ох х Я0(Оу))) П ЬГ 0 )

Т > 0 .


1. Эйдельман С. Д. Об одном классе параболических систем// Доклады АН СССР. - 1960. - Т. 133. - N 1. - С. 40-43.

2. М ат ійчук М. І. Фундаментальні матриці розв’язків загальних 26-параболічних і 26- еліптичних систем, коефіцієнти яких задовольняють інтегральну умову Гельдера// Доповіді НА УРСР. - 1964. - N 8. - С. 1010-1013.

3. Эйдельман С. Д. Параболические системы. - М., Наука, 1964. - 443 с.

4. М атийчук М. И., Эйдельман С. Д. О фундаментальных решениях и задаче Коши для параболических систем, коэффициенты которых удовлетворяют условию Дини// Труды семинара по функциональному анализу. - Воронеж, 1967. - Вып. 9.- С. 54-83.

5. И васиш ен С. Д ., Эйдельман С. Д. 26- параболические системы// Труды семинара по функциональному анализу. - Киев. Ин-т математики АН УССР. - 1968. - Вып. 1. - С. 3-175, 271-273.

6. М артыненко М. Д ., Б ойко Д. Ф. 26- параболические граничные задачи/ / Дифференциальные уравнения. - 1978. - Т. 14. - N 12. - С. 22122222.

7. И васиш ен С. Д. Интегральное представление и начальные значения решений 26-параболичееких систем// Укр. мат. журн. - 1990. - Т. 42. - N 4. - С. 500-506.

8. Б ер езан Л. П., Іва сиш ен С. Д. Фундаментальна матриця розв’язків задачі Коші для 26- параболічних систем з виродженням на початковій гіперплощині// Доп. НАН України. - 1998. - N 12.- С. 7-12.

9. Б ер езан Л. П., Іва сиш ен С. Д. Про сильно вироджені на початковій гіперплощині 26-параболічні системи// Вісник держ. ун-ту "Львівська політехніка". Прикладна математика. - 1998. - N 337. - С. 73-76.

10. М атійчук М. І. Параболічні сингулярні крайові задачі. - Київ, Ін-тут математики НАН України, 1999. - 176 с.

11. Іва сиш ен С. Д ., П асічник Г. С. Про фундаментальну матрицю розв’язків задачі Коші для дисипативних 26-параболічних систем з виродженням на початковій гіперплощині// Доп. НАН України. - 1999. - N 6. - С. 18-22.

12. Баевский X., Г регер К ., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. - М., Мир, 1978, 336 с.

13. Л ионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. - М., Мир, 1972, 588 с.

14. Bernis F. Qualitative properties for some nonlinear higher order degenerate parabolic equations// Huston J. Mathem. - 1988. - Vol. 14. - N 3. - P. 319352.

15. Л ады ж енская О. А. Краевые задачи математической физики. - М., Наука, 1973, 408 с.

УДК 517.4

© 2006 р. М.П.Ленюк, В.В.Мороз


П О БУД О ВА СКІНЧЕННОГО ГІБРИДНОГО ІН ТЕГРАЛЬН ОГО ПЕРЕТВОРЕННЯ ПРИ Н АЯВН О СТІ СП ЕКТРАЛЬН О ГО П А Р А М Е Т Р У В

К РАЙ О ВИ Х У М О В А Х ТА У М О В А Х СП РЯЖ ЕН Н ЯВ роботі побудовані власні елементи для лінійного диференціального оператора 2-го

порядку самоспряженого типу з кусково-однорідними коефіцієнтами на сегменті з n точками спряження у випадку, коли спектральний параметр бере участь і в умовах спряження.

In this paper the own elements for linear differential operator of the second order ofn

conjugate points in the case if spectral parameter takes part in the conjugate conditions.

Скінічені гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку, запроваджені в роботі [1]. В даній статті ми подаємо їх узагальнення на випадок, коли спектральний параметр спеціальним чином входить в крайові умови та умови спряження. Наявність таких інтегральних перетворень дає можливість одержати інтегральне зображення точного аналітичного розв’язку достатньо широкого класу задач квазістатики й динаміки для областей з м ’якими межами.

Задача Н Ітур м а-Л іув ілля на кусково-однорідному сегменті зі спектральним параметром в крайових умовах та умовах спряження. Розглянемо задачу побудови на множині

П+1Іп {х * х Є I \ (ат—1і ат ) ; а0 — ап+1 —

т=1

обмеженого ненульового розв’язку сепаратної системи лінійних однорідних звичайних диференціальних рівнянь

a n+l d/dx + Д ^ 1) u n+i

та умовами спряженняx=b 0 (2)

a j l d/ dx + PJ1) u m —

— a d/dx + u m+i

j = 1, 2 , m = 1, n. (3)

a - 1m mУ рівностях (1) - (3) bm = \JA2 + km km > 0 A - числовий (спектральний) параметр, Lm = d/dx(pm (x)d/dx) — qm (x), am > 0 функції p m (x), qm (x), pm (x) - дійсні фун-

a jkm

a jk — b2 dm Г— m jk jkв т - т т а т > 0 вті > 0 > 0 і т > 0І = 1, 2 т = 0, и, к = 1, 2. Будемо вважати, що й/йхрт (х), qm (x), рт (х) неперервні на інтервалі (ат - 1 , ат) функції; р т (х) > р 0 > 0, Рт(х) > ро > 0.

Розглянемо квадратні матриці:

L [u\ =n+1

У 'm=1

(x — am - i )0 (am — x) X

за крайовими умовами

a (01d/dx + ДД j u 1

x) X AU,k = ak1a 21

e h ' e h .

, A12,k =Г fik °11

(jk°21Y1 1 'y21 .

0 (1) A21,k = a 12a 2k2

e k 2 ' в 22

, A22,k =Г fik °12

(jk°22Yk2 ' 722 .

Введемо до розгляду числа c ij,k = — det Aijk, j визначник роз міру 2 X 2,

x=am

m

2 m

0x=a


перший стовпець в якому 1 \ взятий із матриці А^,к, а другий стовпець д к - із матриці А-г*-ти,к‘

Д ля елементів и(х) Є С та у (х ) Є С визначимо скалярний добуток

11,к41,12 11 и11

к Ок21 21к к к к

а и О21 - а 21°и,( и (х ) , у (х ) ) = п (х ) у (х ) а (х ) =

11,2 _ С11,21 =

22,к11,21

а и а22а 21 а 22

в И вк2в 21 в 22

к к к ка 11а 22 — а 21а 12'

п+1

0Ц'к22 = в 12X22 - вЇ2дк12-Вимагаємо виконання умов на коефіцієн-

ти:

С11,к ■ С2 1 ,к > 0, с 1 2 ,к = 0, С22,к = Ф

12,Сі 21,С11, 12 = С11,12-

О зн ачен ня 1. Розв’язком крайової задачі (1) - (3) назвемо вектор-функцію V(х , в ) = {Уі{х , в ) ; У2 ( х , в ) ; . . . ; Д + і (х , в )} з такими властивостями: 1) функції Vj( х , в ) задовольняють однорідне рівняння

(Ьт + bm )Vm (x, в ) °) х Є [^т—1, ат (4)

та умови спряження (3); 2) справджуються крайові умови

а 1 1 д/дх + /Зп ) К1(х, в )

Ш+1Л

0 ,х=ао

У^ / Пі(х)Уі(х)аідх, (7)І=1 ,аі— 1

де числа а і > 0 підлягають визначенню.Т ео р ем а 1. Я кщо и(х) Є Є, у (х ) Є С,

т о с п р а в д ж у є т ь с я ба з о ва т о т о ж н і с т ь

С2 1 , к С11,

[ик (х)Ук (х) - ик (х)у'к (х)]х=ак =

[ик+1 (х ) ук +1(х) - и к+1 (х ) у 'к+1 (х)]х=ак .

(8)Д о в е д е н н я . Приймемо позначення:

7,т = ат ат _ ат ат ат = ат пт _ ат пта і 1 — а 11а 22 а 21 а 1 2 , а і2 — а і1в22 а 21в 12,ат _ от ат от ат ат _ от от от ота 21 — в 11а 22 в21 а 12, а 22 — в11в22 в 21в 12 *

Запишемо для и(х) умови спряження:

а і1и т (ат) + Р ц и т (ат)

а 1 2и т+1 (ат') + Р\2и т+ 1 (ат) -

а 21и т (ат) + і°21и т (ат)21 2 2

а 22ит+1(ат ) + /°22ит+1 (ат) ■ (9)

а п^+ід/сіх + /Зга+Л V (х в ) = 0 (5) Визначник алгебраїчної системи (9)' х=Ь _ _

Виділимо з рівняння (1) гібридний диференціальний оператор (ГДО)

п+1М = в (х - а,т—і)0(а.т - х ) )Ьт . (6)

т=1

д _ ~т от хт от&т — а 11 /°21 — а 21 /°11

2 . Областю визначення С

О значенняГДО мфункцій д (х ) = {ді(х); д 2 ( х ) ; . . . ; дп+і(х)}, як і задовольняють умови: 1) вектор-функція f (х) = {Ьі [ді(х)]; І 2 [д2 (х)^ . . . Ьп [дп (х)]; Ьп + 1 [дп + 1 (х)]} неперервна на множині /п; 2) функції g j (х) задовольняють умови спряження (3) та крайові умови (2).

= (ат - ь т о т к в и - ьПхп) -

- ( а т - ь т о т к в и - ь2пч п ) =

= а х в т - а х в т + ь т - а ю т - б т х т д

в а т о т + в п о т ] + ь т х т о т - о т т ) =

= - С 11,т + Ь2п( - С 1і ’!і2 + СИ,12) + ЬтС12,т =

= - С 11,т = 0.

За правилами Крамера маємо співвідношення:

и т (ат ) С11,т (а11и т+1(ат)+а 12и т+1 (ат)) -


Ьк к

ак к

и т (ат ) С11,т(а21и т+1(ат') + а 22и т+ 1 (ат ) ) .(10)

Такі ж рівності мають місце для компо- у (х) у (х ) Є С

у т (ат ) С11,т (а і 1 Ут+ 1 (ат ) + а 1 2 ут + 1 (ат )) ,

Ут (ат ) С11,т (а 2 1 у т+ 1 (ат ) + а 22у т+ 1 (ат ) ) .(11)

Із рівностей (10), (11) безпосередньо одержуємо:

ик (а ) у (а ) - и (а ) у к (а ) =

= С11,т (акка22 - а к2а2к) [ит+1(ат)у т+1(ат ) -

и т+1 ( ат )у т+ 1 (ат)\. (12)В силу умов на коефіцієнти

а11а22 - а12а31 = - « 2 )(Й1 Р&

- № Р?2) - « Д І - а2гl/nk2)(/nkkа22 - п ї О =

- °І+1Рі+1(аІ )[и3 + 1 (а3 ) у3+1(а3 ) -

- и 3+1(а3 ) у3+1(а3 )]І- (13)

Якщо а'^+1 = 0, то, поклавши в г Е = 1маємо:

<+1(Ь)уп+1(Ь) - и и+1 (Ь)у'п+1 (Ь) =

= и П+1 (Ь) ■ 0 + 0 ■ УП+1 (Ь) = 0Якщо аП+1 = 0, то

иП+1 (Ь)уп+1 (Ь) - и п+1 (Ь)уП+1 (Ь) =

1 Кг+Ч+фЬ) + в 2П2+1ип+1(Ь)]Уп+1(Ь)-п+1 1 22 “п+Ра 22в п+1

п + 1 и п+1(Ь)Уп+1(Ь) - ип+1(Ь)уп+1(Ь)а

21 12 - 11 22- 21 12 11 22- 21 12х яг х т о т о т ~гтг ~гтг о т о т , х яг о т х яг о та 11а 221° 21 И1 2 - а 2 1 а 12 ° 1 1 ° 2 2 + а 1 1 ° 2 2 а 12 ° 2 1 ~т х яг Ът о т _ ~пг о т / х я г о т х яг о т \ ,21а 22М11М12 = - а 11 ° 2 1 ( а 2 2 ° 1 2 - а 1 2° 22 ) +

т о т / х я г о т х я г от \21 ° 1 1 ( а 2 2 ° 1 2 - а 12У2 2 ) ті х я г о т ( х яг о т х я г ояг\ _ Л Л+а 21 Р 1 1 ( а 22М12 - а 12Н2 2 ) — С21,тС11

Рівність (12) при т = к набуває вигляду (8).

Т ео р ем а 2. Я кщо в и к о н ан і у м о в и на к о еф іц і єнти , т о ГДО М с а м о с п р я ж е н и й .

Д о в е д е н н я . Нехай и(х) Є С та у (х ) Є С. Розглянемо скалярний добуток

п+1 ДI = (Ш[и],у(х)) — ^ / Ьт [ит}ут (х)Нтбх.

=1ат — 1

Проінтегруємо двічі частинами під знаком інтегралів:

п+1I = X ат [Рт (х)(и'т (хДт ( х ) -

=1

и т (х ) у 'т Х Ж 2 - 1 + ( и - М [у]) = ( и - М [у]) +

+ап+1Рп+ 1 (Ь)[и'п+ 1 (Ь)уп+1 ( Ь ) - и п+ 1 (Ь)у 'п + 1 (Ь)}- - а 1р 1(а)[и'1( а ) у 1(а) - и 1 (а)у\ (а)] +

22

= <ап2+1) — 1 • 0 • уп+1<6) - (а 22+1)— 1уп+1(Ь)Х

х ^ 1 у'п+1(6) + в ' І Д + т —Ч.Аналогічні міркування показують, що

и'1( а ) у 1(а) - и 1(а)у'1 (а) = 0.В силу базової тотожності (8)

з з (а щ (щ ) у (а ) - щ (а Щ (а )] =

= а зРз (аз ) — [и3+1(аз ) у j+l (аз ) - С11,3

- у 3+1(а )и з+1(аз )].Внаслідок цього маємо суму:

п

У 2 [а Р j (а3) ~ - а 3+ЯГ+1(а3)]х■л С11,33 = 1

х[и3+1(аз ) у з+1(аз ) - и з+1(аз ) у 3+1(аз )]. Звідси випливає рівність

а зРз (аз ) — - а з+1Рз+1(аз ) = 0, І = 1 п. С11,3

Якщо покласти ап+1рп+1(ап) = 1, то маємо рекурентні співвідношення

1ОД+1

рп+1 (ап)аз = Д і —^г- х

=з

С11 р т+1 (а )С21 р т+1 (а т+1)

{азРз (а3)[и3(а3) у3(аз ) - и з (аз ) у 3(аз )]з=1

х р„.+ і( ап+і) ^ = — г. (14)Р3 (а3 )рп+1(ап )

При такому виборі чисел оу, о 2, . . . , о п , Оскільки параметр Л входить в системуо п + 1 рівність (13) набуває вигляду: (1) аналітично, то фундаментальна система

(M [u ] , v (x ) ) = (u, M [v(x)]).розв ЯЗК1В

{u 1m(x,A); u 2 (x,A))m+ } 1Значить, оператор М самоспряжений.

Отже, його спектр дійсний [2]. є цілими функціями цього параметра наВ и сн о во к . Д ля того, щоб ГДО М був са- площині Л. Тоді функції ,Л) теж є

моспряженим, необхідно й досить, щоб чи- цілими аналітичними функціями параметра сла о з ви зн ачай ся із рекурентних співвід- Л. Тому Л.п (Л) ціла аналітична функція ношень (13). параметра Л. Оскільки Л.п (Л) — 0, то згі-

Фундаментальну систему розв’язк ів для дно теореми про нулі аналітичної функції рівняння [3], корені трансцендентного рівняння (13)

є ізольованими точками на площині Л. От-[Ьт + Ьтрт(х)]ит (х) °, т 1 ,п + 1 же, множина власних чисел крайової задачі

.................................... ( 15) ( і ) (з) не більше, ніж зліченна, й не маєутворюють регулярні функції и 1т(х,Ьт ) та ЖОд НОї скінченної граничної точки на пло-и2т(х,Ьт) [3]- щині Л. Іншими словами, точкою згущення

Загальним розв язком рівняння (10) є Нул ів трансцендентного рівняння (13) є не-функція скінченно віддалена точка.

V ( Л) — А ( Ь ) + в ( Ь ) В и сн о во к . Власні числа оператора Ь*т(х ) Л) — Ати 1т(х ,Ьт) + в ти 2т(х ,Ьт) ■, .„ . „дійсні и утворюють дискретну множину. т — 1 , п + 1. (16) Введемо до розгляду функції:

Визначимо функції Щ (ат , Ьт , Ьт+1 ) — и™т+ 1 (ат , Ьт+1 ) X

Urk$am,bm(A)) = (am d/dx+(3m ) u 1 s (x,bm) XU2mjm(am, bm) — U11jm(am, b m W ^ m ^ ^ , bm+1 ) ,

k h \ a 0,A) = U011(a,b1),Uik% a m ,bm (\ )) = (a im d/dx+pm )u 2s (x ,bm) ^

ki2 ) (ao ,X] = U<° A(a , b i ) ,ao = a,Крайові умови (2) та умови спряження

(3) для визначення (2n + 2) невідомих Am , k( 1\ a o , a i , b i , b 2) = k f \ ao, $ t y l2(a i ,b\ ,b2) -

му з (2n + 2) рівнянь

U0 1 1 ( a , b 1 (A))A1 + U02 1 ( a , b 1 (A))B 1 = 0,

B m (m = 1 ,n + 1) дають алгебраїчну систе- l0( Л\т 1 иVTV 3 (2n + 2) niRWCTWK- 2 (a°} A)* j1(a1,b1,b2)’ j = 1, 2>

j ( a o , a 1 , . . . , a p ; b 1 ,b2 , . . . , bp+1 )

a, a 1, . . . , ap -1 ; b1, b2

X j2 (aP, bP, bP+1)

k 1, 2 , m l , n , = kip 1) (aQ, a 1 , . . . , a p - 1 ; h , b 2 , . . . ,bp)xUj l ,m (am, bm)Am + Uj\tm(am, bm ) B m —

— Uj 2 ,m+ 1 (am , bm+ 1 )Am+ 1 — k(P-1)

— Ujj2 2m+1(am , bm+ 1 ) B m+ 1 = (17)—k2 (a0, a 1 , . . . , a p - 1 ; b1 , b 2 , . . . , b p ) x

п+11 ^ ' " ' + 1 7 " ^ " ,Ьр,Ьр+і), Р = 1 , и .и 22,п+і(ь,Ьп+і )Ап+і + и 22п + 1 (Ь,Ьп+1)Вп + 1 = 0 д ля знаходження власних чисел ГДО Ш

Д ля того, щоб алгебраїчна система (12) маємо рекурентні співвідношення: мала ненульові розв’язки, необхідно й до- + 2СИТЬ, щоб ї ї визначник був рівний нулю [4]: Д п(А) = и 22,п+ 1 (ап+ 1 , Ьп+ 1 ) к 1 (а0, а 1, . . . , ап;

Дп(А) = 0. (18) Ь1,Ь2,...,Ьп,Ьп+1) - Ц22Іп+1 (ап+1, Ьп+ 1 ) х


x=am

Х к2 (а0 5 а 1} ■ ■ ■ 5 ап; Ь1,Ь25 ■ ■ ■ 5 Ьп 5 Ьп+1) 0 к 1 (а05 а 15 а 25 ■■■ 5 ат ; Ь1з 5 Ь2З > • • • > Ьт+1,з ) •(т) .

(19) п+1Корінь А (Ьт = ^А] + Ьт) рівняння (19) Покладемо Ао = ]^[ Д і А )

підставимо в алгебраїчну систему (17) й від- п+1кинемо останнє рівняння внаслідок лінійної ТТ . 1 .(А -) Одержуємо1О О Т Т£ 3'Ч Т^ТТ/Л / '»ГП 1 Г Г г ч Т ^ ТТ О ПОЛ /Г/Л А .. Л ~ Т Т®2 ( п ~ А. Л АХ ’ ^

і=2

залежності. Покладемо А1 = Ао и 0‘ 1(ао ,Ь1 ), і=2 В 1 = —А0и Ц 1(а0,Ь1з ), де величина А0 підлягає визначенню. Перше рівняння стає тотожністю, а решта утворюють попарно сепаратну систему:

и і2,т+1(ат 5 Ьт+1,3 )Ат+1 +

+ и і2,т+1(ат , Ьт+1,3 )В т+1 — и ц ,т (ат , ЬтЗ )Ат+

+ и тт ( а т ^ ) В т , т = 1 , и , і = 1, 2. (20)

Визначник алгебраїчної системи (20)

Д т+1(А ) = и 12т+1(ат , Ьт+1+ ) х

х В 22,т+1(ат, Ьт+1+) —

В22,т+1(ат, Ьт+1+ ) В 12,т+1(ат , Ьт+1+ )

= с 21,т+ \п 1,т+1(х,Ьт+1 + ) ) п 2,m+1(x, Ьm+1,j )] =

= c 21,m^m+1(Аj ) = 0. (21')

Ут+1(х5Лі ) Ат+1и 1,т+1 (х,Ьт+1,3 ) +

+В т+1и 2,т+1 (х,Ьт+1з ) —п+1П С21, і -МЛ3) {к 2п)(а1 , а 1 ) ■■■) ат ;

і=т+2

Ьи 5 Ь23 і і Ьт+1, З) и 1,т+1(х> Ьт+1+)

к 1 ( а 1 у а 1 , ■ ■ ■ у ат ; Ь1з 5 Ь2з 5 ■ ■ ■ 5 Ьт+1,з ) Х

х п 2т + 1 (х,Ьт+1 +)}; т = 0 , и - 1, (22)

Уп+1(х ) Аj ) к2 ( а 1, а 1, . . . , ап ;

Ь1j) + , . . . , Ьп+1 + )п 1,п+1(х ) Ьп+1 + ) —

к 1 ( а 1 , а 1 , . . . , ап ; Ь , Ь2j, . . . , Ьп+1+) х

х п 2,n+1(x, Ьп+1+) .За відомими Ут (х, Аj) ( т = 1 ,и + 1) стає

Отже, алгебраїчна системи (20) має єди- відомою власна вектор-функція у (х , + ), що ний розв’язок. Згідно правил Крамера зна- відповідає власному числу Д :ХОДИМО. п+ 1

У (x,Аj ) ^ 0(х а т - 1) (9(ат x)Уm (x,Аj ) .А2

А0С21,1$2(ЛЗ )

к21)(а о , а1 ,Ь з ), т=1

В 2 — — А0 к 1 \ а о , а 1 ,Ь з ),С21 + $2(Л )

Аз А0

(23)Обчислимо квадрат норми власної фун

кції У(х, Аj ) .Д ля А. = А- розглянемо Ут (х, А.) та

А2(Лз )Аз (Лз ) 2к 12 ) (а0, а 1, а 2; Ь1З ,Ь2З ,Ь3З), Ут(х , Лз У За побудовою фу нкція у т (х , Лі )

задовольняє рівняння

Вз — — А0к 1 (а0, а 1, а 2; Ь ,Ь2j , Ь \- т + ат (Аі + кт ) рm (x)\Уm (x, Аі) 0> (24')

............................. а функція Ут (х, Аj) задовольняє рівняння&2( + )А з (Лі )

А0Ат+1 т + 1 к2 (а05 а 15 а25 ■ ■ ■ 5 ат ;

П А і(Лз)і=2

Ьц 5 Ь2І 5 ■ ■ ■ 5 Ьт+1,З ) 5т — 1 5 П5

А0В тХ1 т+1П °21,і-1Аі (Лі )і=2

X

{^т + ат (А‘2 + кт) Рт(х)]Ут (х , Аj ) = 0 . (25)

Рівняння (24) помножимо на функцію Уm (x,Аj), а рівняння (25) помножимо на функцію Ут (х, А.) й віднімемо від першого друге:

Ут (х і Аj ')к,т\Ут (х і Аі )] Ут (х і Аі ')Lm[Уm (x, Аj )] +


+ [62п( і) - 6>2п(^3 ) ]Ут(х,\і)Ут(х,\з) = 0. Одержану рівність перепишемо так:

[6т (Хі ) 6т (Х3 )]^Гт (х ) ^і)^Гт (х ) ^3 }рт (х)

^ Г ( \\ЛГ ( \ \аУт (х , Л3)~г{рт(х)[Ут(х, Лі)--------------ах ахЛГ ( \ \ аУт (х , Лі 7

- У т (х,Л3 ) ----- ах }

Рівність (26) помножимо на а тйх та про- інтегруємо по х від х = ат—1 до х = ат :

(ат

I ^т^ч ^і^Ут^ч Хз а трт (х')$хат — 1

атрт(х) г . аУт(х,Л3)ьт (лі ) - ьт (л3)

[Ут (х ; Лі ) " ах

- У т (х , Л3)аУт (х і Лі )

ах ат-1Просумуємо по т від т = 1 до т = п + 1:

Ь

/ У(х,Лі )У(х,Л3 ) а (х )р (х )йх =

п+1

Еа тр т (х) |-Т/- л ^аУт (х-Л3)

ьт(\і) - ь т л ) [Ут(х,Лі) ах

- У т (х , Л3)аУт(х, Лі)

ах ат — 1

=пап+ 1 а п+1р п+ 1 (ап+1)

Лі2 - Л32X

, ,ЛҐ М І і П ^ „ХУп+1(ап+1,\і )] В | Л2 Л2 іУ8(а8 ,Лі)8=1 І і 3

ХУ8 (а8- Л3 ) - У (а8, Л 3 )У8 (а8 , Лі ) ] -

а 2+ 1 а 8+1р 8 + 1 (а8)Л7 _ Л 2 \У 8+1 (а8, Лі)У+1 (а8, лз ) -

- У 8+1(а8,Л3 )У8 + 1(а8, Лі )] >-

а ^ р і М Л2 - л2 [ - Ь (ао , Лі)У{(ао, Л3 ) +

(26)

(27)

Праву частину рівності (27) зобразимо у такому вигляді:

+у ( а о , Хз )Уг (ао,Хі)]. (28)

Функції Ут (х, X) задовольняють умови спряження. В силу рівностей (10) маємо співвідношення:

^ (а 3 ,ХІ) С — \(І 11 (ХІ) Р +1 (а , Хі ) +

+a l2(Xi )Vs+1(a в-, Хі )]ч

У^(а8 , Хі ) = С—1в [aS2l(Xi )Vs+1(as -Xi ) +

+a22(Xi )Vs+1(as , Хі )]-

у ( а в ,Хз ) = - С — [а11 (Х3 К + 1 (а8,Х3 ) +

+а 12(Х3 ) У +1(а .з, Х3 )],

) = С—і,в[а21(Х3 )Vs+1(as ,Xj ) +

+а22(Х3 ) У +1(а8,Хз )]. (29)На основі рівностей (29) безпосередніми

підрахунками знаходимо:

а 11( 83 )Р і 1 (Я8і) а 11 (78і )Рі 1 (Я83 )

(Я-83 - Я8і )ЯС11,12,

а 21(7 8і ) ° 1 1 (Я 83 ) - а 11(7 83 )/°2 1(7 8і ) І х-'у12,8 х-~у21,8 С11,8 + Я с 11, 12 8і я С 11,12 83 -

а 21( 83 ) ° 1 1 (Я8і) - а 11(Я8і)°21(Я83 ) І х-'у12,8 х-~у21,8 С11,8 + Я с 11, 12 83 Я С11,12^8і-

а 21( 83) - а 21(^8і) (°21( 83)

(0_83 Я-8рЯС 11Л2 т

х [ -У п+1 (ап+1 ,\і ')У!і+1 (ап+1 , \ 3 ) + Уп+1 (ап+1 , \ 3 ) х

І а 8'р8(а8

Л 2 - Л2

Б уква Я означає, що беруться елементи із рядків: и сЦ 12 = а11Ті1 - в і7 8 1 _ визначник другого порядку, в якому перший рядок утворюють елементи першого рядка матриці А 11)8, а другий рядок - елементи першого рядка матриці А12>8, . . . .

О . . . /~у12,8 /-у21,8Зауважимо, що із рівності и п 12 = Сп 12/м12,8 / 21,8одразу випливає рівність и С п 12 = и С п 1 2 -

Розглянемо вираз

Я = У ( а 8 , Хі ) 'У8 (а8ч Х3 ) Vs (as , Х3 ) 'У8 (а 8 - Хі ) .(31)


ат]

ат]

В силу співвідношень (29) маємо:

І3 — {[Й11(ЛЗ ) а21(Лі ) — а 311(Лі ) а21(Лз )]Х11,8

х У і+1(аі, Аі )Уі+1(а і, Лз) + \a l2 (Аj )Р2 2 (Аі )

a l 2 (Аi )a 2 2 (Аj Ш і + Л ^ Аі )У +1(а і) Аj ) +

+ [Р11(А3 ) а 2 2 (Аі ) - а 1 2 (Аі )а 2 1 (А ) ]У +1(а«, А3 ) Х

х У +1(аі; Аі) — [а1 1 (Аі )а 2 2 (А ) а 21 (АІ) р 12(А3)] х

ХУ+1 (а*, АІ)Уі+1 (ав , Аj )} .На основі рівностей (25) встановлюємо:1)

a l 1 (Аj )а 2 1 (Аі) - а 1 1 (Аі )а 2 1 (А ) = (ч sj - 4 і і )х

х {а 22(Я*І) а 2 2 ^ )Я СПД2 + а 12 (ЧіІ )а \2 (^ )х

ХЯСЦД2 —Я С11,12[а12(Чяі) а 22(Чs j ) + Ар12(чіЗ)х

Ха22(ч2І )] С11 ,іС21 ’2 2}

2)

а 11(ЛЗ )а 22(Лі) а 12(Лі )а22(ЛІ ) (чіЗ Ч2і)Х

Х{ р 1!2(Чіі) р ^2(Чіз )Я СПД2 + Р п (Ч2^Рп(Ч2З )Х

Хя С11Д 2 —я С'и’і 2 'Фі 2 (ч 2 (ч 2з ) + Рі 2 (Ч 2з )х

Х ^ 1 2 (а і , Аi )Z 2 2 (a l , Аj ) + Z 1 2 (a l, Аj ) Z22 (а і , АІ ) ] -

- с 1 1 ,і\С2 1 ,22Уз+ 1 (а і, Аі ) У + 1 (а і, А ) + С2 1 ,2 2 Х

х (У 1+1 (а і , Аj ) У +1 (а і , АІ) + У1+1 (а і , А3 ) х

хУз+ 1 (а і-> Аi )) + CK1 ,22Уl +1 (а і ? Аі )У + 1 ( а і, А3 )]} +

+с 1 1 ,і с 2 1 , і Аj )У +1(аи АІ) -

- У + Р а ц А Р У + Р а і,А3)]. (34)

У рівності (34) беруть участь функції

Zm2 (а і , Аj ) = а т2 (ч l j )У +1(а і, Аj ) +

+Рт2 (чі j ')У і+1 (а і , А ) , т 1 , 2 ,

Ат2 (а і, АІ) <ат2 (Чі і )У +1(а і, АІ) +

+Рт2 (чі і )Уі +1 (а і, Аі).Оскільки

✓~у11,і /~і1 2 ,.і ґ~у12,і /~і2 1 , і ЯС 1 1 ,1 2 ЯС 1 1 ,22 - Я С 1 1 ,1 2ЯС 1 1 ,22 =

= с 1 1 ,іс 1 2 , і = с 1 1 ,і ' 0 = 0С 1 1 ,і С 22,і С^ , і С^^’і С2 1 ,2 2С2 1 ,22 - С21 2 2С21 22 —

+яCKKfl 2ZSl2 (a l, А3)Е1_2(аі, А.) - я С Ц ^ х

21,22 21,22

Х Р1,2(ч 2і)] — С11,2 С21’22} (33)

— С21,2С22,2 — С21,2 ■ ° — ° 512, 21, 12, 12,

ТИ ЯС11,12 —Я С 11,12 1 С21,22 — С21,22> ТО МаЄМО

3)

'11,12 рівності

22,а 11(ЛЗ ) а 2 2 (Лі ) а 1 2 (Лі ) а 21 (ЛЗ ) — (Ч 23 Ч 2і )х

х { а 2 2 (ч 23 )Р2 2 (ч 2і )Я С 1 1 Д 2 + а 12 (чіЗ ) Р 1 2 (ч2і )х

1 1 , 22, 1 2 , 2ЯС 1 1 ,1 2 Яс 1 1 ,22 — (ЯС 1 1 , 1 2 ) 5

С И, 2 /С ,2 С21,22С21,22

ХЯ С ц ’і 2 Я С ц ’і 2[Р12(ч 2і)а 22(ч 23 ) + а 12(ч 2З ) Х12,

( с 12,2 )2 (С21,22) ■І

Х Р22 (ч2і)] — С11,2С21’22} + С11,2С21 СП,21 — (Ч 2, — Ч2 ЯС ц ’і 2^22 (а2 5 Л3 )4)

а 11(Лі ) а22(Л3) — а 21(Лі )а 12(Л3) — —(ч 23 — Ч і і ) Х— \/яCTl :2l2Z2l2(a25 Лз)Д / ЯСр ^ 2 ( а 25 Лі)

х { а 322(Чіі) р 22(ЧіЗ )я С\1’І2 + а 312 (Чіі )р і 2(Ч.іі ) х V ' Я<С11’,12^2(а25 Лі )] С11,і [ (\/ С21,22Уз+1(а25 ЛІ ) +

Xя C l l ’,l2 Я С1і’і2 [а22(ч2і)Рі2(ч2З ) + а 12(ч2і)х

х Р322(ЧіЗ )] - с 11,і С2122} + с 11,іс 21,і.Підстановка рівностей (32) у вираз (31)

+ \/ С21,22У2+1(а25 ЛЗ ) ( \/ С21,'22Уі+1(а25 Лі ) +

ДЯЄ!

CKK’,K2Уі+1 (аі , АІ)))]} + с 11,і ■ с 21,іх

Х [ + 1(а і, А3 )У^+1(а і, Аі) - Уі+1(аі , Аі) х

У1,і КЧіЗ~ ЧііЗЦЯ^ 1 1 , 1 2 ^ 2 2 \ 22 \ і ’ хУl+1(аl ; Аj )]. (35)


СИ,2І (ч2З Ч-іі){[ЯС И,12^2(аі5 Лі ) ^ 2 (а і5Лі ) +

а 8 qli - Я13 ■х

а 82 а 8 р 8 ( а 8 ) СцуС11,

а2+1а 8 + 1р8 + 1(а8) = 0«11711 - в Ю п

х [°01У1 (а0) Лі) + ТиУ1(а0, Лі )] х

х [Ои У1 (а0, Л3) + 7°1У1(ао, Л3)].Аналогічно знаходимо:

Уп+1 (ап+1 - Л3 )Уп+1(ап+ь Лі ) -п /---------Я -1 = - ^ а 2а 8гр 8( а8) с 21 1 8 { [ ^ 1 яС 1 1 ' ^ ^ 2 (а8 , Л3 ) - - У п+1 (ап+1 , Лі )Уп+1 (ап+1 , Л3) =

Оскільки д83 - д8і — Х2 + к'2 - (Х2 + к2) — Х2 - X,2, то сума, яка бере участь у виразі (23), набуває вигляду:

+с11,8[(\/ С 21,22Уs+1(a8, Л3) + V С7 12,8

21,22 X

Х У8+1 (а8 , Л3 ) ( \/С 21,22 Уs+1(a8, Лі ) в

+ \ / С 5 ! У иЛ а^Л і)))]} = - К ( Л і ,Л - 3 ),^у11,8С 21,22 - С 2Г22 = а 22°82 - а 12О22 — 0,

С 21:22 = вЦтЬ - в12Т282 — 0.Розглянемо вираз

[а21 У2 (a0 , Лі ) + Лі )] х

х [°01Уі (а0, Л3) + 70l Уl (ао, Л3) ] - — [oP°1y l (aо , Л3) + Л3)]х

х [ОПУ1 (a0, Лі ) + 7 и У1(а0,Л3)] = /_0 ^0 о 0 г0 \ ч/= ( а иТи - в 1 1 О1 1 ) х

х \У1(а0,Л3 )У2_(a0, Лі ) - У1(а0,Лі )УІ (а0,Л3 )]

Яп+1,і Яп+1,3 •X

У я С Ц ^ а у Л3 )]х

х I У ЯC 22,S2 Z2 2 (a l , Лі) - у іХ '22 І2Х 8 2(•'■■■ Лі )] +

О Д Уп+1 - вз+1гз+1 х[X'22+1vn+l(an+ьXi) + і І Ї ^ п + Л а п + и Щ х

х[S'n+1Vk(an+l, Хз ) + т2п+1 Уn+l(an+l- Хз )].На основі обчислених співвідношень ви

раз (28) набуває вигляду:

=пап+1 а п+1рп+1 (ап+1) х

«п2+1Т2п2+1 - ^ О ^ 1

х ■ 2:+1 (ап+1, Лі ) ^ 22+1 (ап+1, Л3) -

- R *n(Лi , Л3) -а^ р ф а о )

/ В Д і - «и Т их

х г°1 1 (а0 ,Л0) г°1 1 (а0 ,Л3) = - в п (Лі ,Л3),

■ 01 (а0, Л) = о 0n y : (aо , Л) + Y0l Уl (aо, л),

^ 22+1(ап+1 , Л) = оп2+1Уп+1 (ап+ 1 ,Л )+

+Yn2Уn+1(an+1, Л).

Ми вважаємо, що (ап+1уп+1 - вп2+1Оп+1) = дп+ 1 > 0 (в01 °01 - ап Т 0 = Яо > 0-

Повертаючись до рівностей (22), маємо:

(3 7 ) / У(х, Лі)У(х, Л3 ) а (х )р (х )ах + 9у Лі, Л3 ) = 0.Із крайової умови в точці ао маємо рівно

сті:« П ^ ^ о , Хі ) + в l 1 У ( a 0 ■, Хі) =

= д 1і[^иУі (ао- Хі) + Y01Vl (aо, \ )] ,

а0 1 ^ о , Хз ) + в п і у (ао, Хз ) =

= д 1 з[5? 1 Vк(aо>, Хз) + YоlV (ао , Хз)]. (38)

Із (37) внаслідок співвідношень (38) знаходимо:

(40)Лі = Л3

стема власних вектор-функцій {У(х, Л3 )})= 0 узагальнено ортогональна.

Лі =Л3функції

ІІУ (х, Л3 )||2 [У (х, Л3 )]2а (х )р (х )ах+У 1 (ао ,Л3 )УІ (ао ,Лі ) - У 1 (ао ,Лі )У{(ао ,Л3 ) =


Ь

Ь

+9п {\у, \ ) .

У рівності (41) функція

(41)

9 п{\ , Ху )ап+1 @п+1р п+1(ап+1) X

аЩ 1 і п + - в п + ^ п ї1п

х [^ п+1(ап+і,Ху )]2 + У а 2 asP s (a s )xs=1

ХС11 {[у Я С 11,12^22(а > ХІ ) у я Сц,12^

x Z 22(as , ХІ )]2 + С1М ^ С 21,22Уэ+1(^ , ХІ ) +

С 22 У (а Х 2і + а21а1Р1(а0)+ \ С 21,22 -^+1(а .в, Хі )] } + во Ф _ а 0 М

в 11°11 а 11 111X

Х ^ а . Х ; )]2. (42)

Наявність вагової функції а (х ) , спектральної вектор-функції V(х,Ху) та ї ї квадрату норми IV (г ,Ху)|Ц дає можливість визначити пряме Нп й оберне не Н - 1 скінченне гібридне інтегральне перетворення, породжене спектральною задачею Ш турма- Л іувілля (1) - (3):

Нп [д(х)] = д (х )У (х, Ху ) а (х ) бх = ду

п+1У / д т (х)Ут (х,Ху ) а тр т (х)бх, (43)т=1 ^

в е к т ор -ф ун к ц і й г і б р и д н о г о д и ф ер е н ц і ал ьн о г о оп ератора Ь у з а г а л ь н е н о о рт о г онал ьна , п о вн а т а зам кн ена .

Т ео р ем а 5 (про зо б р аж ен н я р яд о м Ф у р ’є ) . Б у д ь - я к а в ектор -функц ія , д (х ) Є О з о б р а ж а є т ь с я а б с о л ю т но й р і в н ом ірн о з б і ж н и м на м н о ж и н і Еп рядом, Ф у р ’є за, с и ст ем о ю {У (х,Ху Д Д и

со Ь

Ф ) = £ / д ( 0 У (і , хі )Л і ф У І і і 2 ■у 1 а

(45)Р яд Ф ур’є (45) і визначає оператори інте

грального перетворення Нп та Н - 1.Доведення сформульованих тверджень

й застосування запровадженого гібридного скінченного інтегрального перетворення до розв’язання задач математичної фізики неоднорідних структур автори подадуть в інших роботах.


1. Комаров Г.М., Л енюк М.П., М ороз В. В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. - Чернівці: Прут, 2001. - 228 е.

2. Б ер езан ский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосопряженных операторов. - Киев: Наук, думка, 1965. - 798 с.

3. Ст епанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. - М.: Физматгиз, 1959. - 468 с.

4. К урош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1971. - 431 с.

Н - 1 [ду] = У і 2 = д (х) ■ (44)І=1 ІІУ(х, Ху)|І1

Математичним обгрунтуванням правил (42), (43) є твердження.

Т ео р ем а 3 (про ди скр етн и й сп ек т р ).К о р е н і т р а н с ц е н д е н т н о г о р і в н я н н я Ап (Х) = 0 с к л а даю т ь д и с к р ет н и й с п е к т р : д ій сн і , р і з н і , с и м ет р и ч н і в і д н о с н о Х = 0, на, д о д а т н ій п і в в і с і Х > 0 у т в о р ю ю т ь м о н о т о н н о з р о с т а ю ч у ч и с л о в у п о с л і д о в н і ст ь з є д и н о ю гр аничн ою т оч к ою Х = ж .

Т ео р ем а 4 (про д и с к р е т н у ф ун кц ію ). Системи, {У (х,Ху вла сних


Ь

УДК 517.51

© 2006 р. Н.Є. Лінчук

Чернівецький національний університет ім. Ю .Федьковича

ІН ВАРІАН ТН І ПІДПРОСТОРИ СТЕПЕНЯ ОПЕРАТОРА ІН ТЕГРУВАН Н Я В Б АЗО В И Х П ІД П РО СТО РАХ П РО С ТО РУ АН АЛІТИ Ч Н И Х ФУНКЦІЙ

Описані замкнені підпростори степеня оператора інтегрування в базових підпросторах простору функцій, аналітичних в довільних областях.

The closed subspaces of a degree of an operator of integration in base subspaces of space of functions, which are analytic in arbitrary areas are described.

Нехай С - довільна область комплексної площини. Через 'Н(С) позначимо простір усіх функцій, аналітичних в С, що наділений топологією компактної збіжності. Якщо С - довільна область комплексної площини, яка зіркова відносно початку координат, то оператор інтегрування № лінійно і неперев- но діє в 'Н(С) за правилом

г

№ / ) = [ / ф м .

Д ля подальших досліджень наведемо деяк і відомості і допоміжні твердження [8]. Якщо С - довільна зіркова відносно початку координат область комплексної площини, то загальний вигляд лінійних неперервних операторів Т Є С(Н(С) ) , як і переставні з оператором Д , дається формулою

d( T f ) (z) = dz 'Az — t ) f ( t ) d t (1)

В працях М.К. Нікольського [1], М.І. Нагни- біди [2], М.Ю. Царькова [3], В.А. Ткаченко[4] досліджувалася характеристика всіх замкнених підпросторів, я к і інваріантні відносно операторів звичайного та узагальненого інтегрувань, що діють в різних просторах аналітичних функцій. Інваріантні підпростори т -го степеня звичайного інтегрування, що діє у просторі Ак , описані М.І. На- гнибідою в [5], а у просторі Н(С) у випадку ^-інваріантної області С - Н.Є. Л інчук [6]. В [7] описані замкнені інварінтні підпростори матричних операторів інтегрування, як і діють в прямій сумі просторів аналітичних функцій.

В цій статті досліджується структура інваріантних підпросторів степеня оператора інтегрування в базових підпросторах простору аналітичних функцій. Я к застосування цих результатів одержано опис замкнених інваріантних підпросторів степеня оператора інтегрування в просторах аналітичних функцій.

де p ( z ) - деяка функція з H(G). При цьому p ( z ) = T 1. Оператор T, який визначається формулою (1), буде ізоморфізмом простору H(G) тоді і лише тоді, коли p(0) = 0.

Нехай m - фіксоване натуральне число і и = exp (2m)- Область G називається и - інваріантною відносно початку координат, якщо u G = G. Нехай G зіркова відносно точки z = 0 і w-інваріантна відносно початку координат. Через H k(G), k = 0 , m — 1, позначимо замкнені підпростори простору H(G)

Hk(G) = { f € H(G) : f ( uz ) = u kf ( z ) , z € G}.

В [9] показано, що кожну функцію f (z) € H(G)

m—1ДІ f (z) = E f k ( z ), ДЄ fk(z) € Hk(G). При

k=0rn— 1

цьому f k{z) = (Pkf ) {z) = A J 2 IX k j f {xj z),j=0

k = 0 , m — 1. Таким чином, простір 'H.(G) є прямою сумою своїх підпросторів H k(G),


к = 0 , т — 1, тобто

Н(Є) = Н о (Є) ф Н і ( Є ) ф . . . ф Н т—і ( Є ) . (2)

Підпростори Н к(С) називатимемо базовими підпросторами простору Н(Є) .

Вважатимемо надалі, що Ні(Є) = Нг (Є), якщо І , г Є Z і І = г(тосІ т ) . Легко перевірити, що1°. J H k(Є) = Н к+1(Є) при к Д т-1(гш хі т ) ; 2°. J H k(Є) = Д тН0(Є) при к= т-1 (тосІ т ) ; 3° £ Нк(Є) = Нк - г (С ) , к Є Z.

Тому кожен з підпросторів Н к(Є), к =0 , т — 1, є інваріантним відносно операторів

Опишемо всі замкнені підпростори базових підпросторів простору Н(О) , я к і інваріантні відносно степеня оператора інтегрування.

Т ео р ем а 1. Нехай О - д о в і л ьна з і р к о ва в і д н о с н о т о ч к и г = 0, и - і н в а р і а н т н а в і д н о с н о п о ч а т к у к о о р д и на т о б л а с т ь в С. Д л я то г о , щ о б М б у в з а м к н е н и м п і дпро - с т о р о м п р о с т о р у Н к(О), і н в а р і а нт ним в і д н о с н о о п е ратора Д т н е о бх і дн о і д о с т ат н ь о , щ о б в і н п о д а в а в с я у в и г ля д і

М J nk mH k (G), (3)

д е n k - д е я к е ц і ле н е в і д ’є м н е чи сло аб о с и м вол, ж ( у в и п а д к у n k = ж п оклада ємо M = 0).

Д о в е д е н н я . Розглянемо випадок k = 0, тобто опишемо замкнені підпростори простору H0(G), як і інваріантні відносно оператора J m . З означення простору H0(G) випливає, що для кожної функції f (z) Є H0(G) виконуються рівності f j ) (0) = 0 при j = 0 (mod m).

Mстору H0(G), інваріантним відносно оператора J m . Розглянемо далі можливі випадки.

1. Нехай f (mj) (0) = 0 для кожної функції f Є M і для кожного цілого невід’ємного j .

M = 0 MПк = + ж .

2. Нехай існує функція р Є M для якої р(0) = 0. Розглянемо оператор T, який визначається рівністю (1). Оскіль к и р(0) =

0, то оператор Т є ізоморфізмом простору Н(Є)Н к(Є), к = 0 , т — 1, є інваріантним відно-

ТД ля функцій Д,д Є Н(Є) через д * Д по

значимо згортку Дюамеля, тобто

(д * f ) ( z ) = J g (z - t ) f (t )dt .0

Якщо р Є Ho(G) , f Є Hk(G), то £ ( р * f ) Є H k (G). Дійсно, як що р Є H0(G) і f Є H k (G), то для довільного z Є G маємо:

UJZ

(Р * f ) (^ z ) = j P (^ z - t ) f ( t )d t =0

= р (^ ( г — т) ) f (^ г ) бт = и к+1(р * f ) ( г ) .0

Т о м у £ (р * f ) Є Нк (Є).Т

підпростір Н0(Є) є ізоморфізмом Н0(Є).Т Н(Є)

то оператор Т є ін’єктивним в Н0(Є).Т

Н0( Є ) . Нехай д 0( г ) Є Н0(Є) . Оскільки Т є ізоморфізмом Н(Є) , то існує функція f ( г ) Є Н(Є) така, що ( Т f ) ( г ) = д 0(г ) . З рівності (2) випливає, що f ( г ) єдиним чином подається

т - 1у вигляді f ( г ) = ^2 fk ( г ) , де fk Є Нк (Є),

к=0_________ т— 1

к = 0 , т — 1. Тому ^ (Т Дк) ( г ) = д 0( г ). Алек=0

ТДк Є Н к(Є), к = 0 , т — 1. Тоді з рівності(2) випливає, що Т f k = 0, при к = 1 , т — 1. Таким чином, (ТД0) ( г ) = д0( г ), Д0 Є Н0(Є) і, отже, Т є сюр’єктивни м на Н0(Є). Том у Т є ізоморфізмом Н0(Є).

Оскільки оператор Т переставний з Д і Т1 = р ( г )від ’ємного і виконується рівність Т Д т 1 = Д т р ( г ) , тобто Т г т = ( т і )\Дт р ( г ). Але система ( г т )°=0 є повного в Н0(Є). Тому система ( Дті р( г ) ) р=0 є також повного в Н0(Є), оскільки Т - ізоморфізм простору Н0(Є).


З іншого боку, Д т р ( г ) Є М, і = 0 ,1, . . . . Оскільки М - замкнений підпростір простору Н0(С), то М = Н0(С) і М подається у вигляді (3) з п 0 = 0.

3. Нехай Д (0) = 0 для кожної функції Д Є М, але М = 0. Позначимо п 0 = ш т { ] Є N : ЗД Є М Д (тЯ(0) = 0}. Тоді для кожної функції f Є М : f (тЛ(0) = 0 при і = 0 ,1 , . . . , п 0 — 1 і існує функція ф( г ) Є М , д л я я к о ї ф (тпо)(0) = 0. Позначимо Мі = £”т°0 ( М ). Тоді Мі є замкненим підпростором простору Н0(С), який інваріантний відносно оператора Д т . Функція р ( г ) = Д тпо)( г ) Є М і і р(0) = 0. Тому за доведеним в п.2 М і = Н0( С ) . Відновлюючи М звідси одержуємо, що М = Д тп0Н0(С).

Таким чином, при к = 0 кожен замкнений підпростір простору Н0(С) подається у

ктуральне число, 1 < к < т — 1 і М - замкнений підпростір простору Нк(С) , який інваріантний відносно оператора Д т . Через М позначимо підпростір виду: М = ( М ).Тоді М є замкненим підпростором простору Н0(С) , інваріантним відносно оператора Д т . Тому за доведеним раніше М подається у вигляді М = Д пктН0 (С) , де п к - ціле нев ід ’ємне число, або символ + ж . З цієї рівності випливає, що М = Д кД пктН0(С) = Д Пкт( Д кНо(С) ) = Д ПктН к( С ) , тобто М подається у вигляді (3).

Навпаки, при кожному цілому невід’єм-п к

ний підпростір простору Н к (С) , який інва-Д т

доведено.Опишемо дал і інваріантні підпростори

степеня оператора інтегрування.С

си м ет р и ч н а в і д н о с н о п о ч а т к у к о о р д и н а т о б л а ст ь к ом п л е к с н о ї пл ощ ини . Д л я то г о ,

М Н(С)

тора, Д 2, н е о бх і дн о і д о ст а т н ь о , щ о б в ін п о д а в а в с я у в и гл я д і

М = т (Д*п0Но(С) 0 Д 2піНі (С ) ) , (4)

Т Н(С)

116

я к и й п е р е с т а в н и й з опера,тором, Д , а п 0, п і - цілі н е в і д ' ємн і числа, або сим,воли + ж ( у в ип а д к у п 0 = п і = + ж п оклада ємо М = 0).

МН(С)

Д 2Покладемо к = т і п { п : З f Є М Д (п)(0) = 0}. Тоді для кожної функції Д Є М : Д(0) = Д'(0) = . . . = Д(к- і ) (0) = 0 і існує функція ф ( г ) Є М для якої ф (к\0) = 0. Через Мі Н(С)ду М і = ЛД ( М ). Тоді М і також буде за-

Н(С)Д 2

існує функція р ( г ) Є М І7 для якої р(0) = 0.Т

формулою (1). Він є ізоморфізмом просто- Н(С) Д

нього виконується рівність Т 1 = р ( г ) .М 2

ру Н(С) виду: М 2 = Т - і ( М і ). Зрозуміло, М 2

Н(С) Д 2Оскільки 1 Є М 2, то Д 2п1 Є М 2, п = 0 ,1, . . тобто { г2п : п = 0 , 1 , . . . } С М 2. Викори-

М 2ту системи ( г 2п) Д 0 в просторі Н0(С), звідси одержуємо, щ о Н0(С) С М 2. Позначимо далі М2 = М 2 П Ні (С) .

ТодіМ 2 = Но (С) 0 М2. (5)

Дійсно, нехай функція Д Є М 2, тоді Д єдиним чином подається у вигляді Д = Д0+Діу де Д0 Є Н0(С) , а, Ді Є Н і (С) . З цієї рівності випливає, що Ді = (Д — До) Є М 2, бо Д, До Є М 2 ,

М2 Н(С)ном, Ді Є М'2 і, тим самим, доведене включення М 2 С Н0(С) 0 Мф Оскільки обернене включення є очевидним, то рівність(5) виконується. Крім того М ' є замкненим підпростором простору Н і (С) , інваріантним

Д 2подається у вигляді М' = Д 21Н і (С) , де І - ціле невід’ємне число або символ + ж .

Таким чином, М 2 зображається у вигляді

М 2 — Но(С) 0 Д 21Ні (С) .

Звідси одержуємо, що M i = T ( H 0 (G) ф J 21 Hi (G) ) , а

M = J kT(Ho(G) ф J 21 Hi (G) ) =

= T ( J kHo(G) ф J 2l+kHi (G) ) .Розглядаючи випадки парного і непарного fc, одержимо, що завжди підпростір M подається у вигляді (4).

T H(G)

ром інтегрування, а n0 та n i - цілі невід’ємні числа або символи +то, то формулою (4) ви-

M H(G)

J 2З а у в а ж е н н я . Доведена теорема уза

гальнює опис замкнених підпросторів про- H(G)

оператора інтегрування [6], за яким у ви- G

точки z = 0 область комплексної площини, яка інваріантна відносно повороту навколо цієї точки на кут ІД то загальний вигляд

H(G)варіантних відносно оператора J m , дається формулою

M = T ( J nomHo(G) ф J nimHi (G) ) ф . . .

. . . Ф J nm- imH m - i (G)),T H(G)

що комутує з J m , а n k (к = 0 , n — 1) - деякі цілі невід’ємні числа або символи то.


1. Н икольский Н.К. Инвариантные подпространства в теории операторов и теории функций. // Математический анализ, т. 12: М. ВИНИТИ, 1974. - С. 199-412.

2. Н агнибида Н.И. О некоторых свойствах операторов обобщенного интегрирования в аналитическом пространстве. // Сиб. матем. ж. -1966.-Т.7Д«6.-С.1306-1318.

3. Царьков М.Ю. Изоморфизмы аналитических пространств, перестановочные со степенью оператора интегрирования. // Теория функций, функц. анализ и их прилож.: Респ. ме- жвед. науч. сб. - Харьков, 1971. - Вып. 13.- С. 54-63.

4. Ткаченко В.А. Инвариантные подпространства и одноклеточность операторов обобщённого интегрирования в пространствах аналитических функционалов. // Матем. заметки,- 1977.-Т.22, №2,- С.221-230.

5. Н агнибида Н.И. Инвариантные подпространства оператора кратного интегрирования в пространстве аналитических функций в круге. // Теория функций, функц. анализ и их прилож.: Респ. межвед. науч. сб. - Харьков, 1970. - Вып.11 .- С. 63-66.

6. Л инчу к НЕ. Представление решений некоторых операторных уравнений в аналитических пространствах и их применения. Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Киев, 1987, 121 с.

7. Л інчук Н. Є. Інваріантні підпроетори операторів узагальненого інтегруваня в прямій сумі просторів аналітичних функцій // Науковий вісник Чернівецького університету. Вип. 191192. Математика,- Чернівці: Рута, 2004,- С. 76-78.

8. Н агнибіда М.І. Класичні оператори в просторах аналітичних функцій. -Київ, 1995.-297с.

9. Dimovski І.Н. Convolutional Calculus. Series: Mathematics and its Applications-1990.- Vol. 43,- 208p.


УДК 517.4

© 2006 р. О.В.Мартинюк


ЕВОЛЮ ЦІЙНІ РІВН ЯН Н Я ВИЩ ОГО П О РЯ Д К У ПО t З ОПЕРАТОРОМ ДИ Ф ЕРЕН Ц ІЮ ВАН Н Я-БЕССЕЛЯ

Встановлена коректна розв’язність задачі Коші для одного класу еволюційних рівнянь вищого порядку по t з оператором диференціювання-Бесселя нескінченного порядку й початковими умовами, які є узагальненими функціями типу ультрарозподілів.

The correct solvability of Cauchy problem is established for one class of evolutionary equations of higher order on t with differentiation-Bessel operator of infinite order and initial conditions, which are generalized function of ultradistribution.

Предметом багатьох досліджень є псев- додиференціальні оператори (ПДО), побудовані я к за гладкими, так і за негладкими символами, а також псевдодиференціальні рівняння (ПДР). їх теорія у сучасній формі створена в 60-х роках ХХ-століття. ПДО та ПДР тісно пов’язані з важливими задачами аналізу і сучасної математичної фізики.

У цій роботі вивчається коректна розв’я зність задачі Коші для еволюційних рівнянь вищого порядку по Ь з оператором диференціювання-Бесселя нескінченного порядку у певних просторах узагальнених функцій типу (Ж)', як і збігаються з множинами початкових значень гладких розв’язк ів вказаних рівнянь. При цьому оператор диференціювання-Бесселя трактується як ПДО, побудований за певним аналітичним символом.

1. Простір В+. Нагадаємо, що символом В = В (Е ) позначається множина всіх фінітних нескінченно диференційовних на Е функцій. Сукупність усіх лінійних неперервних функціоналів на В зі слабкою збіжністю позначається символом В ' = В' (Е) . Елементи В ' називаються узагальненими функція-

В 'як і обертаються в нуль на півосі (—то, 0), позначається через В+. Відомо [1], що для довільних {/,д} С В+ у просторі В+ існує згортка / * д, яка визначається співвідноше-

нням< / * д , у > =

< / © х д (у ) , п і (х)П2 (у ) ^ (х + у ) > , ? є В ,

де Пі І довільні функції з просторуС™(Е), рівні одиниці в околі піввісі [0, +то) і нулю для досить великих в ід ’ємних значень аргументу. В+ утворює асоціативну і комутативну алгебру відносно операції згортки. Оскільки 5 * / = / * 5 = /, У/ Є В+, то одиницею в ній є 8-функція Д ірака.

Якщо узагальнена функція / = /г залежить від параметра Ь, /г Є В+ при кожному

д /гі, існує -V—, д Є В+, то тоді [1]

d t

d m 6 t n {ft * g )

d m f t d t m

* g , m Є N.

Нехай узагальнена функція /а Є В+ залежить від параметра а Є (—то, +то) і визначається формулою

f a {t)0( t ) t a - l {Y(a) ) - 1 , а > 0,

Æ L {t), а < 0 ,

де т - найменше серед натуральних чисел таке, що т + а > 0 9 - функція Хевісайда. Правильними є наступні твердження [1]:

1) У{а , (3} С Е: /а * /в = /а+в-2) Нехай I ( а ) / = / * / а У/ Є В+. Тоді

а) У/ Є В + I (0)/ = /■б) У/ Є В+ Уп Є N I ( —п)/ = / (п);в) У/ Є В+ Уп Є N ( I ( п ) / ) (п) = /;

г) Vf Є 0+ } С Е: Символом ШМ(Сп) = шМі ’ф ’Мп (Сп) позначимо сукупність усіх цілих функцій ф :

І ( а ) І ( в = I ( а + в )f . С Д Л Я ЯКИХ!

Завдяки властивостям б) і в) оператори з с > о За > 0 Зbj > 0,^' Є {1 , . . . , п },І (а) при а < 0 називають операторами дробового диференціювання, а при а > 0 - оте- Vz = (х + іу) = (х\ + і у\ , . . . , хп + і у п ) Є Сп : раторами дробового інтегрування в 0+ .

2. П ростори основних ф ун кц ій . Не-(z) | = \Ф^1 , . . . , z n )\ < c ■ e x p { -M i(a iX i) -

хаи X = (x1 , . . . , x k) Є R fc, x" = M n (anxn ) + ^ i (b i y i ) + ■■■ + ^п (ЬпУп)}-(xk+1, . . . , xn ), 1 < k < n — 1 n Є N n > 2: „ . T1.0n r _ ( \ Простір WM (Cn) можна подати як

об’єднання повних досконалих злічен- но нормованих просторів w M a(Cn ) =

x = (x', x") Є Еф Rk,+ := {х = (x\ , . . . , xn ) Є Rn : xk+1 > 0 , . . . , xn > 0}.

Розглянемо функції w . [°, + to ) w nb...,n шп,ьг<гп\[0, + ТО), І Є { 1 , . . . , n } , ЯКІ Є неперерв- WM1,...,Mn;a1,...,an (C ) ) ДЄ WM,a(C ) СКЛадаЄ-ними і зростаючими, причому ^ (0 ) = 0, ться 3 тих функцій ф Є Wm (Cn), для яких

lim Ui(x) = +то, І Є { 1 , . . . , п}. Д ля x > 0 правильні нерівностіx n

покладемо Qi (x) = u i (^)d£, i Є {1 , . . . ,n}. \ф ( г і , . . . , zn)\ X exp{—M i (aixi ) +Qi(biy i )}J i=10

Функції Д , i Є {1, . . . , n , мають так і вла- Ty T a i > 0 _ довільна стала, менша за ay,P T P f R O P T l " T" j ,bi bi

1) Q диферещійовш, зростаючі на w M ba (Cn) визначаються формулами [0, +то) функції, причому Qi (0) = 0 ’lim Qi (x) = +то, i Є { 1 , . . . , п};

2) Qi5 І Є { 1 , . . . , п}, - опуклі функції, тоб- \\ф \\р6 = ^Upто:

№(z)| п exp{ — Üi(bi + p)yi+i=i

а) V{x i , x2} С [0, + то ) : 1

Qi(xi) + Qj(x2) < Hj(xi + x2); + ^ ^ ö ) ^

б) Vx Є [0, +то) Vn Є N n ^ i(x ) < Üi(nx). p є N, ö Є {2, 3 , . . . } ,ф Є W ^ ba (Cn )-M,a'fi

Довизначимо кожну функцію П на (—то, 0] парним чином. Отже, Д , і Є О тж е, збіжність в (Сга) - це збіжність{1, . . . , п}, зростає на [0, +то) швидше за до- в °б ’єднанні зліченно нормованих просторів, вільну лінійну функцію. Поряд з цим роз- Символом ШМ(<ск>+), 1 < к < п — 1, глянемо функції цр [0, +то) ^ [0, + то ) і Є позначатимемо сукупн ість усіх цілих фун- { 1 , . . . , п}, я к і маю ть такі ж властивості, що к ДІй з простору (Ск ) , парних за зміні функції иі . Д ля х > 0 покладемо Мі(х) = ними г к+\, . . . , г п . Цей простір з відпо-

х„ відною топологією називатимемо основним/ Ці(£)й£, Мі (—Х) = Мі (Х), і Є { 1 , . . . , п }. простором, або простором типу Ш, а йо-

0 го елементи - основними функціями. Суку-Функції М і ан ^о гічн і ^а своїми властиво- пність функцій, заданих на Ек , я к і допу- стями до функцій П . За допомогою функцій екають аналітичне продовження в Ск і, як Мі і Пі Г.М.Гуревич увів серію просторів, функції комплексних змінних, є елементами названих ним просторами типу Ш. Означи- простору (Ск,+) ) позначатимемо симво-мо деякі з них. лом ШМ (^к,+ ) 1 < к < п — 1.

У просторі WM ( C l - ) визначені, є лінійними і неперервними оператори Бесселя

Bjд 2 2v3 + 1 д

dz]+

dz j(1)

k,+

2vk+1+lXjv-+1 (ixk+lxk+l) • • - j v n (^nxn )xk--l

. • • x2nVn+ldx'dx", ф є W£ (Щ + )

ф(х) = f d b Ш х ) : = (2п) СV-+1 • • • CVn X

x v (a ' , a " ) e {x'’a') j Uk+i (ak+ixk+i)

к < п — 1, - деяка ціла функція, парна за змінними г к+1, ■■■ у %п - Говоритимемо, що у просторі ШМ (СП,+) задано оператор диференціювання-Бесселя нескінченного порядку

j Є {к + 1 , . . . , п}, порядку Vj, а також one-П

ратор B := П Bj .j=k+l

У просторі Wм (Е © ) можна користуватися прямим і оберненим перетвореннями Ф ур’є - Ф ур’є-Бесселя, я к і позначатимемо символами Fd b , ,в '

<р(а) = Fd,b [ф](&) '■= [ ф(х' ,х")e~(x'’a'') х

Ж<p(DB) := У У « -

j=0 \i\=j

l1---- Н- dl1+--- - k

d z l1 • • • d z l-x

А - В + ) ■■■ ( - в П ) =

= ^ ^ оі (—і)\1'\(—1)\1"\П1'В 1"3=0 \1\=3

(V = (ї ї , . . . ,1к), I" = (Ік+ 1 , ■■■, їп ) ~ мультиін-ДЄКСИ, |Г| = її + • • • + їк, \ї"\ = їк+1 + ■ ■ ■ + їпуВ а, в Є {к + 1, . . ■, и ] , - оператори Бесселя, що визначаються співвідношеннями (1)), якщо для довільної основної функції ф ЄШм (СП,+) ряд

( , ц п в » ' ) ( : ) = У У о і( - і ) '1'І ( -1 ) '1"\х3=0 \і\=з

ч,+

• • • j Vn (^nXn)^2?i+1+1 • • • a ^ n+ld a ,d o ,‘n n k-Де j v s y s є {k + 1, • • •, и}, -- нормована функція Бесселя vs-ro порядку, c Vs = (22VsГ2(и3+

11)) 1, иа > — 2 - фіксовані параметри; при цьому

В о . в [шП (®п,+)] = К 4 (кп,+) =

пі пі^ ( ч + ) ,

оператор У д в є неперервним (тут П1 та М 1 -- функції, двоїсті за Юнгом відповідно до функцій М і та Ц , і Є { 1 , . . . , и ] (див. [2]), Р в , в [X] позначає простір Ф ур’є-образів функцій з простору X ).

Отже, простори ШМ (ЕП,+) перетворен-

х ( В 1 В 1 ф) ( г )

зображає деяку основну функцію з просторуШМ Х І + ) .

Якщо Др - звуження оператора р ( В В ) на простір ШМі (ЕП,+Х 1 < к < п — 1, то для довільної функції ф Є ШМі (ЕП+) правильною є рівність [3]

Д ф ) (х) = В—в [р ( )ВП,в [ф] (Ш х ) ,

{ х , Є } с Еп.

3. З а д а ч а К ош і. Символом р М =Мр П1,...,ППP M1,...,Mn позначимо клас цілих однозначних функцій ф: Сп ^ С, як і є мультиплікаторами в просторі ШМ і такими, що

ням Вв>,в відображаються у простори такого Є Шм- ^ хай р Є Р - опера-ж типу.

Нехай р ( г )

• • • z n2

Ж4 1 •_.zi

з=о \ i\=j= ( z i , • • •, z,n) є Cn

lk z2lk+1k zk-

1

тор диференціювання-Бесселя нескінченно-р

Розглянемо рівняння

В в и (і ,х) = В{і3}А~[і3]и (і , х ) , (2)


zj

о

z

( і , х) Є (0 ,Т] х Е+ = П+, з початковою умовою

о \ 6}п( і , -)|і=0 = Є « і « .+ )) '■ (3)

Т ут в Є ( - т о , 0 ) [в] - ціла, а { в } - дробова частини числа в і В^ - оператор дробового диференціювання, який діє за змінною і у просторі В+.

Під розв’язком задачі Коші (2), (3) розумітимемо функцію п, яка задовольняє умови:

1) п( - , х) Є В+ П С -[в]((0, то)) при кожно-х

2) п (і, ■) Є В (А -[в]), задовольняє рівняння (2) та початкову умову (3) у тому сенсі, що В {в}п(і, ■) ^ / при і ^ +0 у просторі(Ш «1 (Щ,+)'-

в Є [- 3 , - 1) пзадовольняє також наступну умову:

3) для довільного фіксованого проміжку [ф +то) С (0, +то) існує стала с = сф) > 0 така, що

вир \В{в}п( г , •)|і 2(к) < с.іЄ[6.+ж

Правильним є наступне твердження.Т ео рем а. Задача К о ш і (2), (3) к о р е кт но

р о з в ’язна, у п р о ст о р і (ШМ1 (ЕП+))'- Р о з в ’я з о к п (і, ■) при к о ж н о м у ф і к с о в ан ому і нал е ж и т ь до у в и г ля д і

dpz(t , x) d t p + (~ 1)P+lAw z ( t ,x ) — 0

причому функція z задовольняє початкову умову при і ^ +0 у слабкому розумінні (у просторі (ШМі№.+))')■

Задача Коші (2), (3) вивчається аналогічно тому, як це було зроблено у праці [3], при цьому використовується співвідношення

^ = РБ;В [рр ( 0 Р о . Б И(£)], <р Є < і(Е П .+ ),

а також півгрупова властивість операторів В ~в .t ‘

в в — в і в]+{в} Dt Dt{в}

вно значень —1, —2, —3, то маємо рівняння

д п——+ Аф п = 0,d t

д 2и 2w ~ А*и —0-д 3п 3д е + А р ‘ — 0

(4)

ж и т ь до п р о с т о р у WM (Щ(+) і п о д а є т ь с я

п( і , х) = o (t ) z ( t , x) * /-{в}(г ) ,

д е z ( і ,х) = (/ * С) ( і , х ) , ( і ,х) Є П+ ( С - ф у н д а м е н т а л ь н и й р о з в ’я з о к з а д а ч і К о ш і(2), (3)).

Н авед ем о сх ем у д о в ед ен н я .Введемо позначення В {в^п( і ,х) = z ( і ,х) ,

тоді рівняння (2) набуває вигляду

при цьому f - {e} — /0 — 0' — 8, тобто

e ( t ) z ( t ,x) * f -{e}(t) — e ( t ) z ( t ,x) * 8(t) —

— 0(t )z( t , x).

Отже, при t > 0 розв’язки рівнянь (4) зображаються формулою u ( t , x ) — z ( t ,x ) — (/ * G) ( t , x ) .


1. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1988. - 512 с.

2. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. - М.: Фи- зматгиз, 1958. - 274 с.

3. Городецький В .В ., М артинюк О.В. Задача Коші для еволюційних рівнянь з операторами диференціювання та Бесселя нескінченного порядку / / Доповіді НАН України. - 2003. - N 9. - С. 18 - 24.


dp(тут р := — [в], В[ = В г р = 'а'ЛЯ якого розглядається початкова умова

z(t , о и = Є (к »+ )) ',

УДК 517.51

©2006р. В.К. Маслюченко, 0.1. Філіпчук


Д О П И Т А Н Н Я П РО Т О Ч К И Р О З Р И В У K hC - Ф У Н К Ц ІЙ Н А Н Е П Е Р Е Р В Н И Х К Р И В И Х

Доведено, що кожна К^С-функцш, визначена на добутку топологічного простору X та метричного простору У, зі значеннями в сильно ст-метризовному просторі має залишкову множину точок неперервності на графіках неперервних кривих g : X ^ Y.

Let X be a topological space, Y - a metric space, Z - a strongly ст-metrizable space. It is proved that the continuity points set of each KhC-function f : X x Y ^ Z is residual on continuous curves g : X ^ Y graphs.

1. Д ля топологічних просторів X, У, Z і відображень д : X ^ У і / : X х У ^ Z розглянемо множину

О ,(/ ) = {х Є X : ( х , д ( х ) ) Є С (/)},

де С (/) - множина точок сукупної неперерв-/

Р. Бер [1] у випадку X = [а, Ь], У = [е,в\, Z = М встановив, що для кожної СС-функ- ції / : X х У ^ Z і довільної неперервної функції д : X ^ У множина Сд (/) є залишковою в X . Цей результат був узагальнений в [2] на випадок, коли X - берівський простір, а У і Z - метризовні простори. Крім того, в [2] був розглянутий загальніший випадок К д С-функцій зі значеннями в метризов- них просторах і встановлений аналогічний результат, коли у = д(х) є кривою зліченно- го типу.

З другого боку, в [3] вивчалася множина точок неперервності К д С-функцій зі значеннями в сильно а-метризовних просторах щодо ї ї насиченості вертикалями і залишко- вості на горизонталях. У зв ’язку з цим виникло питання про перенесення результатів з[2] на відображення зі значеннями в сильно а-метризовних просторах. Т ут ми здійснюємо таке перенесення, зводячи загальний випадок до метризовного і застосовуючи теорему Банаха про категорію.

2 . Нагадаємо основні поняття і деяк і допоміжні твердження, як і ми будемо тут використовувати .

Топологічний простір У називається а - м е т р и з о в н и м , якщо він подається у вигляді об’єднання зростаючої послідовності своїх замкнених метризовних підпросторів Уп . Ця послідовність підпросторів Уп називається в и ч е р п у в а н н я м п р о с т о р у У. Вичерпування (Уп )П=1 простору У називається с и л ь ним,, якщо для довільної збіжної в У послідовності ( г и)^ =1 існує номер ш , для якого {ги : к Є К} С Ут . Простір У називається с и л ь н о а - м е т р и з о в н и м , якщо він має сильне вичерпування. Д ля зведення загального випадку до метризовного ми будемо використовувати наступне твердження з [4].

Л е м а 1. Нехай У - тополо г і я , ний про-У

ав а н н я м (Ут)т= 1 ї 9 : У ^ У ~ н е п е р е р в н е в і д о б р а ж е н н я . Тоді д л я д о в і л ьн о г о у Є У і с н у ю т ь окіл V т о ч к и у в У і ном,ер ш , т а кі, щ о 9 (V) С Ут .

Нехай X , У ■, У ~ топологічні простори, f : X х У ^ У - відображення і р 0 = (х0 , у 0) Є X х У . Відображення f : X х У ^ У називається г о р и з о н т а л ь н о к в а з і н еп е р е рвним, у т оч ц і ро, якщо для кожного околу Ш точки г 0 = f (р0) в У і для довільних око- лів и і V точок х0 і у 0 в X та У відповідно існує точка р 1 = (х 1 , у 1) Є и х V I окіл и 1 точки х 1 в X , такі, що и 1 С и і f ( и 1 х {у1}) С Ш. Відповідно f г о р и з о н та ль н о к в а з і н е п е р е р в н е , якщо воно є таким


у кожній точці р = (х , у ) Є X х У. Символом К у С (X х У, У ) ми позначаємо клас всіх горизонтально квазінеперервних відображень / : X х У ^ У, я к і неперервні відносно другої змінної.

Наступне допоміжне твердження доведено в [З, лема 2].

Л е м а 2 . Нехай X, У і У - тополо г і чн і пр о с то ри , / : X х У ^ У - г о р и з о н т а л ь н о к в а з і н е п е р е р в н е в і д о б р а ж е н н я , и і V - в і д к ри т і м н о ж и н и в і дп о в і д н о в X і У , А С X і и С А. Тоді / ( и х V) С Л А Х У ) .

Д ля відображення / : X х У ^ У і точки р = (х, у ) Є X х У ми покладаємо /х(у) = /у (х) = / (Р) -

3. Наступна теорема є основним результатом даної праці.

Т е о р е м а . Нехай X - т о п о л о г і ч н ий п р о сті р , У - м е т р и ч н и й пр о ст і р , У - с и л ь но а - м е т р и з о в н и й п р о с т і р з в и ч е р п у в а н н я м (Уп)Ю=и / Є К НС (X х У, У ) і д : X ^ У - н е п е р е р в н е в і д о б р а ж е н н я . Тоді м н о ж и н а Сд (/) є з а л и ш к о в о ю в X.

Д о в е д е н н я . Позначимо відстань м іж точками V і у в метричному просторі У символом \и — у|у. Нехай V ( у , г ) = {и Є У : \и — у\у < г} - відкрита куля в У. Покладемо

Ап = ( х Є X : /х (У (д (х ) , П)) С

с о

і покажемо, що X ^ Д Ап . Включенняп=1

СЮ

и Ап С X очевидне. Доведемо, що вико-п=1нується обернене включення. Нехай х Є X . Тоді відображення /х : У ^ У неперервне, адже / Є К у С (X х У, У ). Оскільки про-

Уності, адже кулі V( у , - ) , п Є N утворюють не більш ніж зліченну базу околів точки у п /х^ ( д ( х ) , п )) С Уп . Звідси випливає, що х Є Ап

Ю

чення X С у Ап . Отже, потрібну рівністьп=1

доведено.


Покладемо Тп = Ап , С п = їп їТп і С =Ю

У С п . Визначена в такий спосіб множина Сп=1є відкритою як зліченне об’єднання відкритих в X множин. Крім того, С - залишкова в X . Справді,

Ю

X \ С ^ (Тп \ Сп).п=1

Множина Тп \ Сп є ніде не щільною як межа замкненої в X множини Тп . Тому

Ю

У (Тп \ С п ) - множина першої категорії вп=1X . Тоді такою ж є й множина X \ С, а значить, С - залишкова в X .

Нехай далі п - фіксований номер, О - відкрита в X непорожня підмножина Сп і хо Є О. Оскільки відображення д неперервне, зокрема й у точці х0, то існує відкритий окіл и 0 точки х0 в X , такий, що и 0 С О і \д(х) — д ( х0)\у < -А на и 0. П оклавши V0 = V(д(х0), ), отримуємо: д ( и 0) С V,. Нехай А = Ап П Сп і А0 = А П и 0. Зрозуміло, що А С Сп С А А0 С А С Ап і А0 С и С А0 Покажемо, що

А0 х И С и ({х} х V(д (х) , п ) ) . (1)хЄА„

Візьмемо (х, у ) Є А0 х Г0- Тоді х Є Ап П и 0 і

\у—д (х )\у < \у—д (х0) \у+ \д(х0) —д (х )\у < п .

Таким чином, у Є V(д(х) , п ), тобто включення (1) виконується. Крім того, за по-

Апх Є А0 С Ап

/х (V(д(х) , і )) = / ({х} х V Ш , п )) С Уп.

Останнє включення показує, що

/ ( А х Vо) С Уп. (2)

Далі, оскільки и 0 С А, то, використовуючи лему 2 і враховуючи (2) та замкне-

Упжок включень:

/ и х Vо) С / (А 0 х Vо) С Уп = Уп.

В и п у ск 314-315. М атематика. 123

Таким чином, на даному етапі доведення знайшлися такі відкриті множини и 0 і У0 в X та У відповідно, що f ( и 0 х У0) С Zn . Зрозуміло, що множини и 0 і У0 залеж ать від вибору множини О. Позначимо и 0 = 0 ( 0 ) , У0 = Н ( О ) . За побудовою f ( 0 ( 0 ) х Н (О)) С Zn для довільного О Є Т * ( 0 п ), де Т * ( 0 п ) - система всіх відкритих непорожніх підмно- жин множини 0 п .

Покладемо и п = { 0 ( 0 ) : О Є Т * ( 0 п )} іСЮ

и = и ип. Д ля довільної множини и ЄІЛпп=1

існує множина О = О ( и ) Є Т * ( 0 п ), така, що и = 0 ( О ) С О.

Покладемо У = У ( и ) = Н ( О ( и )), ^ = f \иху(и ) і 9и = д\и- Оскільки

и х У = 0 ( О ( и )) х Н ( О ( и )),

тоf ( и х У ) С Zn.

Легко перевірити, що ^ Є К у О ( и х У ^ п ). За теоремою 1 з [2] множина Ои = Оди и )

и иУ відкриті, то Ои С Од ). Множина О и = и \ Ои першої категорії в и , а значить, і в X .

Згідно з лемою Куратовського-Цорна зи

и ои 0 легко випливає, що відкрита множина Зо = и и 0 є щільною у відкритій множині5 = и и .

Покажемо, що множина Е = и О и єи Ш0

множиною першої категорії в кожній із своїх точок. Справді, нехай р = (х, у ) Є Е. Тоді існує елемент и Є и 0, такий, що p Є О и . Оскільки Б и С и х У ( и ), то x Є и . Але система и 0 ^^^^^^етна, отже, х Є и , де II Є и 0 і и = и . Значить, множина и Є и 0, для яко їр Є Ои, єдина. М нож ина Ж = и х У ( и ) є відкритим околом точки р і Ж П Е = О и . Отже, Ж П Е - множина першої категорії в X , а значить, множина першої категорії в

р[5, с.87] Е - множина першої категорії в X .

Залишилось доведести, що множина О = О д ) = X \ Од ) першої категорії в X.

Оскільки множини з системи U0 відкриті в X , то

Dg ( f ) П Ac = U Du = E,U eUo

отже, Dg ( f ) П Sc - множина першої категорії X

Sc S Sв G. Тому множини S \ Sc і G \ S e ніде не щільними. Крім того, X \ G множина першої категорії. Тому множина

X \ Sc = (X \ G ) [ j ( G \ S ( S \ Sc)

першої категорії. В такому разі і множина

D = (D П S0) U (D П (X \ Sc ) )

Xжина Cg ( f ) - залишкова в X , що й треба було довести.


1. В аіге R. Sur les fonctions de variables reélles// Annal Mat. Pura Appl., ser.3. - 1899. 3. P.l-123.

2. М аслюченко В .К ., Н ест еренко В.В. Про неперервність нарізно неперервних відображень на кривих// Мат.етудії. - 1998. - Т.9, Х2. - С.205-210.

3. М аслюченко В .К ., Михайлюк В .В ., Ш ишина О.І. Сукупна неперервність горизонтально квазіне- перервних відображень зі значеннями в а-метризов- них просторах // Мат. методи і фіз-мех. поля. - 2002. - 45, X 1. - С.42-46.

4.М аслюченко В.К . Нарізно неперервні відображення від багатьох змінних зі значеннями в ст-мет- ризовних просторах // Нелінійні коливання. - 1999. - 2, N3. - С.337-344.

5. К урат овский К. Топология. Т.1.- М.: Мир, 1966. - 594с.

С таття надійшла до редколегії 05.10.2006


УДК 517.957

© 2006 р. О.В.Матвій, І.М. Черевко


ПРО АП РОКСИ М АЦ ІЮ СИ СТЕМ ЛІНІЙНИХ ДИ Ф ЕРЕН Ц ІАЛЬН О-Ф УН КЦ ІОН АЛЬН И Х РІВН ЯН Ь

Для одного класу лінійних диференціально-функціональних рівнянь побудовано і обгрунтовано схему апрокеимаціїї послідовністю систем звичайних диференціальних рівнянь.

The approximation scheme of initial problem for one class of linear differential-functional equations by sequence systems of ordinary differential equations is investigated.

Вступ. Наближена заміна лінійних диференціально-різницевих рівнянь системою звичайних диференціальних рівнянь вивчалась вперше М.М. Красовським [1] при розв’язуванні задачі про побудову оптимального регулятора у системах із запізненням. Обгрунтування наближеної заміни нелінійних диференціальних рівнянь із запізненням у просторах диференційов- них та ліпшицевих функцій досліджено Ю. М. Рєпіним [2]. Тому називатимемо алгоритм апроксимації рівнянь із запізненням, запропонований у працях [1, 2], схемою апроксимації Красовського-Рєпіна.

У загальному випадку розв’язок початкової задачі рівняння із запізненням є тільки неперервною функцією. Аналіз точності апроксимації диференціально- різницевих рівнянь в цьому випадку проведений в працях [3,4]. Відзначимо, що апроксимація досліджувалась на скінченному інтервалі і точність наближення досягається за рахунок підвищення розмірності апрокси- муючої системи звичайних диференціальних рівнянь.

У даній роботі побудована схема апроксимації лінійних диференціально- функціональних рівнянь послідовністю систем звичайних диференціальних рів-

1. Постановка задачі. Нехай К п — и-вимірний евклідів простір з деякою векторною нормою | • І, С = С([а , в 1] ,Нп) ^ простір неперервних функцій, що відобра

жають [а, в ] в R n з нормою

ІМІ = sup [ р Ш ч р є с .

Д ля довільної неперервної функції x(s ) , визначеної на [t0 — т,Т] , T , r > 0 і довільного фіксованого t є [t0, T ], позначатимемо через xt [5] функцію

xt {0) = x( t + 9), 9 є [—т, 0].

Нехай f ( t , p ) є R n — функція, що визначена для всіх р є C, t є [t0, то). Познача-

dx( t )ючи —:— правосторонню похідну функції

dtx( s ) при s = t, розглянемо диференціально- функціональне рівняння

dx— = f ( t , x t). (1)

Означення [5]. Ф ун к ц і ю x(t ) н а з и в ат и м е м о р о з в ’я з к о м р і в н я н н я (1) з п о ча т к о в о ю ф ун кц і єю р є C е т о ч ц і t = t0,

T > 0 xt є Ct є [t0, t 0 + Т ]; 2) xt0 = р; 3) xt задовольняє рівняння (1) при t є [to, t 0 + Т ].

Умови існування та єдиності розв’язку початкової задачі для рівняння (1) вивчались в працях [5-7]. Зокрема, якщо f ( t , p ) визначена і неперервна для всіх t є R , p є C і глобально ліпшицева по р, тоді існує єдиний розв’язок рівняння (1) з початковою функцією р в точці t = t 0, який визначений на нескінченному інтервалі [t0 — т, то).


Розглянемо лінійне диференціально- dzj = т zфункціональне рівняння dt т j -1 j- 4 = —(zj -\( t ) - Zj(t)), (4)

j = l , m , t є [to , T ], dxdt = L ( t , x t ) xt0 = р ’ р є C [—т’ 0]> (^) з початковими умовами

де L(t, р ) —лінійний по р функціонал, який z . (t0) = р ( t 0 — — ) j = 0 m (5)m

Ґ~Лльтьєса дЄ іНдЄКСИ однозначно визначаються не-

0 рівностями

L( t N ) = [ М к 9)р (9) , t т(і. + 1) < _ ^ ті.J t 0 ----------------- < t0 — т. Р t 0 --------. (6)-т m m

n(t , 9) n X n матриця, елементи якої є ф ун- Другий ДЧганок у першому рівнянні (4)<- ................... а одержаний в результаті заміни інтеграла за9

t t 97______

Серед лінійних систем (2) найчастіше у h = m~ застосуваннях зустрічається система Будемо говорити, що система звичайних

диференціальних рівнянь (4) апроксимує систему диференціально-функціональних рівнянь (3), якщо будуть виконуватись співвідношення

x'(t) = ^2, Ak(t )x(t - Tk) +, .ч )x( t -k=0 0

+ Б ( і , 9 ) х ( і + 9)99, (3) \\х(і-------- ) — ( і ) \\ ^ 0, і = 0 , т , і Є [іс , Т ]9 т-т при т то,

х( і ) = р (р), г Є [іс — т , іД .де \\ • \\ — норма в просторі К '1.

де Лк(і), к = 0~р п х п неперервні ма- 3. Д ослідж ення схеми апроксимації,тричні функції, Б ( і , 9 ) — п х п матрична Дослідимо питання про близкість розв яз- функція, компоненти якої 9^ (і, 9) — непе- к *в початкової задачі для рівняння (3) та рервні за сукупністю змінних функції на розв язк ів задачі Коші (4)-(5).[іс ,Т] х [—т, 0], 0 = Тс < Т\ < . . . < Тр = т. Розглянемо зображення (і) = г (1 (і) +

Метою даної роботи є поширення схеми Рг^22 (і), д е г (1 (і) та г 222 (і) — розв’язки та- апроксимації диференціально-різницевих ких задач Коші рівнянь Красовського-Рєпіна [2-4] на випа- тдок початкової задачі для диференціально- т г 1 ( і + г 1 ( і = х ( і ) ,функціонального рівняння (3). т ц1) (1) (1)

2. С хема апроксимації. Нехай т , р Є т г 2 ( і + ^ ( і = 2 -1 ( і , ^N. Рівнянню (3) поставимо у відповідність і = 2, т , і є [іс ,Т],систему звичайних диференціальних рів-нянь zj ' (to) = x р 0 - — ) . ] = l . m ..( 1) и . \ = x ( t . j T

mт

p m z 12) (t) + z(2) (t) = Zo (t) - x ( t ) .dz0(t) ^ m= Y^ Ak(t)zli ( t )+ —j (t) + z(2) (t) = z(2)

0(d T = ^ Лк' ^ 1- ' ^ m z p (t) + z j ' (t) = z j - ( t ) . (8)

i=o m, m 1 ^ т( m - k © ^ j = 2 ,m , t є [ to ,T],+ / , D(t , )zm - i (t), (2) / ч ------

T i=0 m z(2)(to) = 0, j = l , m .

Оцінимо різниці \\zj (t) — x I t I ||j Tm

-г]Д1)ВИГЛЯДІ суми z j (t) + z f f ^ , д е z j (t) І z i j (t)

є розв’язками таких задач Коші

т d z ] (t) mm , - Jw L + A ( t> = x , w ,

.(!)/ .(2)/

т dzi , )(t)m dt + zi , )( t ) = 4 - і , , ( t ) ,

i = 2, m , j = l , n , (-) iT ,

z( i ) ( t o) = x j ( to — —)mi = l , m , j = l , n .

, (2) іT - ( ) + z -4( t ) = zio(t) — x j ( t ) ,m dt

T d z j > l t , z(2)m = z (2) (t)m dt + ~~г] (t) = 4 —1-j ( )i = 2, m , j = l , n ,

4 ? (to ) =l , m , j = l , n.

Тоді, аналогічно як в [3, 4], можна показати, що справджуються нерівності

інтегральній формі

І = 1 ,ш , враховуючи структуру систем (7)- (8) та нерівність

\\~і ( і ) - х ( ь ї ї «

< ї ї# ’ (і) - х ( і - І £ ) її + ї ї# ’ (і) ||. (9)

Враховуючи позначення % (ї) =( гп ( і ) , . . . ^ ^ ) ) , х( і ) =__ (х і ( і ) , . . . , хп (і )) ,представимо г^ ( і ) і = 1 ,ш , І = 1 , и у

x( t ) = <p(to) + / ^ 2 Ak(t)x(t — Tk)dt +to k=0

t -T+0+1) —r. m-1 „ —+ I ^ 2 I D( t , 6 )x ( t + 6)d6dt , (15)

j. г—o . . —to —т+г —1 —

zo(t) = <p(to) + / ^ 2 Ak(t)zh ( t )d t +to

t -т+(г+-) —m - m

k—o

т( m — i) . . . ,D ( t , ---------------)zm—j,(t)d6dt.

j. г—o . . —to —т+г —mm

(и )

(10)

(11)

(12)

(13)

Позначимо K A = max max \\Ak (t )\\,KD =k=0,p t

max \\D(t,9)\\,Kz = max \\zi(t)\\, t,o tT T T

Ui (—) = n m axu ( d i j , —). u ( d n , —) — mom i,j m m

дуль неперервності функцій dij ( t ,9) , t Є [t0, T ], 9 Є [ - t , 0^ i , j = l , n . Із рівностей (15),(16), враховуючи властивості матриць Ak (t),k = 0,p, D( t , 9 ) та нерівності (14), маємо

\\x(t ) — z0( t )\ \ ^

J2\\Ak ( t )\\ \\x (s — Tk) — zlk (s)||ds+k—o tot —т+{г+і ) —m - m

+ / E\\D(s, 6)x( s + 6) —

+ г—o . . —to —т+г—' mNj( t ) ^ в (—) + No(t) , j = l , m , t Є [ to ,T],(14)m —D ( s , (------- — )^ —г(^ ) \\^^ ^m

Tjде Nj (t) = tra^xt \xi(s - — ) - zj i ( s ) \,

j = 0 , — в (T ) = n K u ( T ), K > 0 u ( T ) =m m mT T

m axu ( x j , —), u ( x j , —) — модуль неперерв- j m m

ності функції xj (t) иа, [t0 — t , T ]. .Д ля оцінки різниці \\x(t) — zo(t)\\, пред

ставимо рівняння (3) та (4) в еквівалентній

p t

^ K a ( n K u ( —) + No(s) + n u ( — ) ) d s+m mk—o to

t —т+(г+-) mmm - m/ IIO ± n

/ \\D ( s , 6 ) ( x ( s +

to г—0 — т+г—mzm—г(s)) + (D( s , 6 ) —

--


t

t

t

— D ( s , ( ~))zm—i ( s ) ) \\d9ds ^mp t

^ К a I (No(s) + n ( K + І ) ^ ( —) ) d s+mk—0 to

}m— 1 — т +(i+ 1) m + / / (||D(s, 9)||(||x(s + 9 ) -

-L i 0 . . тto — т +г —mт- x ( s — т + i —)|| + ||x(s — т + i —) —

m m— zm—i ( s ) \\) + \\D( s , 9 ) —

— D ( s , ----- (---------)||||zm—i (s)||)d9ds ^mp t

^ \ л К a I (No(s) + n ( K + І ) ^ ( — ) ) d s+mk—0 to

t 1 —т+(г+1) mnm— 1 „ m

j- i—0 . . —to — т+г —( K d ( n u ( — ) +

m

+ n K u (—) + N0(s) ) + K zu 1(—) ) d9ds ^ m m

p t

^ "У Л К a (No(s) + n ( K + 1 )^ (— ) ) d s+mk—0 to

т+ (TK D ( n ( K + 1) ^ ( —) + N0(s) ) +

mto т

+ K z ^ l ( —) ) d s ^ (T — t o ) [ n ( K + 1)x m

x ((P + 1)KA + —K D)^ ( ) + K z^1( )] +m m(T

+ j ((P + 1 )KA + —K D)N0(s ) d s , * Є [t0, T ].toСкориставшись тепер нерівністю Гронуо-

Сформулюємо одержаний результат у вигляді теореми.

Т ео рем а. Я к щ о Ак(ї) , к = 0,р , В ( ї , 9 ) — н е п е р е р в н і м а т р и ч н і ф у нк ц і ї п ри ї Є [ї0, Т ], 9 Є [—т, 0], т од і для р о з в ’я з к і в п о ч а т к о в о ї з а дач і (3) т а р о з в ’я з к і в з а д а ч і К о ш і (4) - (5) с п р а в д ж у ю т ь с я с п і в в і д н о ш е н н я

ТІ-\\x(t------- ) — Zj(t)|| ^ О, j = О ^ , t Є [ to ,T]m

при m ^ ж .


1. Красовский H.H. Об аппроксимации одной задачи аналитического конструирования регулятора в системе с запаздыванием // Прикл. математика и механика. 1901. 28. М. С.7І6 725.

2. Репин Ю.М. О приближенной замене систем с запаздыванием обыкновенными дифференциальными уравнениями // Прикл. математика и механика. 1905. 29. N2.-C.226-245.

3. Піддубна Л.А., Черевко І.М. Апроксимація систем диференціально- різницевих рівнянь системами звичайних диференціальних рівнянь / / Нелінійні коливання.-1999.-N1.-C.42-50.

4. Матвій О.В., Черевко І.М. Апроксимація систем диференціально- різницевих та різницевих рівнянь з багатьма запізненнями // Наук, вісник Чернівецького ун-ту: 36. наук. пр. Вип. 150. Математика,- Чернівці: Рута, 2002.-С.50-54.

5. Хейл Дэю. Теория функциональнодифференциальных уравнений.— М.: Мир, 1984.— 421 с.

6. Азбелев Н.В., Максимов Н.П., Рахматул- лина Л. Я. Введение в теорию функциональнодифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1991. - 277 с.

7. Kamont Z., Kwapisz М. On the Coushy problems for differential-delay equations in Banach space // Math. Nachr. - 1976.-74, N1.-P.173-190.


No(t) ^ {Т — t o ) [n{K + 1)((р + 1 )Ка+ (17)

+tK d )u ( m ) + K z u i ( m ) ] e (T-ШР+тл+тКп).t t

Оскільки lim u (—) = 0 та lim u \(—) =ш^ж m ш^ж m0, то із співвідношення (17) випливає, що розв’язки задачі Коші (4) - (5) апрокси- мують розв’язки початкової задачі (3) при m


УДК 517.957

© 2006 р. В.Г.МаценкоЧернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, Чернівці

АН АЛІЗ М АТЕМ АТИЧНОЇ М О ДЕЛІ В ІД Б О РУ В ЕКО СИ СТЕМ АХ З ВІКОВОЮСТ РУК ТУ РО Ю

Дано аналіз моделі відбору в екосистемі з віковою структурою за умови, що загальне число особин популяції є постійним. Розглядається регулювання чисельності через процеси народжування та виживання. Одержано умови виживання видів.

In this article the analysis of the model of selection in ecosystem with the age structure under conditions when the general number of in individuals is constant is presented. The regulation quantitu through the processes of birth and survival are also analysed. This way we obtained the conditions for species survival.

В ступ . Теорія процесів відбору розвинена досить широко, оскільки відбір є фундаментальним механізмом зміни стану екосистем, їх еволюції та самоорганізації [1]. Важливе значення для наслідків процесів відбору має врахування індивідуальних особливостей особин всередині виду, зокрема, вікової структури. Врахування вікового складу популяції обумовлено тим, що, по-перше, процеси народжування та виживання суттєвим чином залежать від віку особин і від їх співвідношення між різними віковими групами, по-друге, раціональна експлуатація популяцій можлива лише при знанні вікової структури. Математична модель процесів відбору в межах однієї популяції з віковою структурою вивчалась в [2].

В даній статті розглядається питання побудови та аналізу математичної моделі відбору в екосистемах з віковою структурою.

Простим прикладом структурованої за віком моделі динаміки біологічних популяцій є модель фон Фоерстера, яка має вигляд [3]

дх дх , , , , 4 — + — = - 3 ( г ) х ( г , і ) , г , і > 0,

Величина Н називається біологічним потенціалом популяції. В залежності від значення Н можливі три якісно різні випадки. При Н > 1 домінують процеси відтворення і при і ^ то х(т,г) ^ то для всіх т Є [0, то). Навпаки, при Н < 1 х(т,г) ^ 0 при і ^ ТО тобто вид вимирає. При Н = 1 процеси виживання і народжування перебувають в рівновазі і в системі (1) існує нескінченно багато стаціонарних станів і тільки від початкового значення >(т) залежить, який із них реалізується.

Ф ормування об’єкта досл ідж ен ня. М атематична модель. Перш за все систему п видів, які не взаємодіють між собою, опишемо рівняннями типу (1):

дхі дхі , , 4~К~ + = -Іїг(т)хі(т, г), т, г> 0,дт д і

сю= J Ьі (т )xi( r , t )dr , t > 0,

Xi(т, 0) = <у>і (т ), т > 0, і = 1, 2 , . . . ,n.

(2)

Нехай параметри системи задовольняють умови:а) 0і (т), Ьі (т) - неперервні, невід’ємні функції на

x(0,t) = j Ь(т )x(T,t)dT, t > 0, (1) [0, то) і j di (£,)d£ = то;

х(т, 0) = у>(т), т > 0,де х (т, t) - вікова густина особин віку т в момент часу t; d (т), Ь(т) - функції, що описують процеси виживання та народжування відповідно, <у>(т) - початковий розподіл вікової структури.

Поведінка розв’язків системи (1), як показано в [4], визначається деяким системним параметром

СЮ / т \H = J Ь(т) exp j - J d(£)d£ J dт.

б) ^і(т) Є С х[0, то)р| Ь 1[0, то), (т) > 0 т Є[0, то);

СЮв) ? і(0 ) = J Ьі(т )<рі(г )^т, і = 1,

0При цих умовах існує єдиний додатний розв’я

зок системи (2) [4]. Крім того, будемо вважати, що біологічні потенціали всіх популяцій

Ю , Т чНі = J Ьі(т)ехр( аі(Є)^\ат > і,


x

і = 1, 2, . . . ,п, (3) де, за означенням

тобто кожний із видів, існуючи окремо (без конкуренції), виживає.

Простим методом введення процесів відбору в систему (2), за аналогією з моделлю Ейгена [1], є вимога постійності загального числа особин в екосистемі, тобто

ЕІ=1

7J хІ(т,і)3т = С = сопєї.

+Б(х\, . . . ,хп )хі^ 3т = - 'УІ^хДО, і )+

7+ ! Зі (т)хі(т,г)Зт + В(хл , . . . ,хп )х

0

7 А ” ( 1х хі(т,г)3т\ = Е ( (Ьі(т) - Зі(т))хі(т,г)3т+о / і= і70

7 \+ ( В ( х і , . . . ,х п ) - Б ( х і , . . . ,хп )) ! хі(т,г)3т\.

0Звідси маємо

В(хі , . . . , х п ) = (Ь), Б ( х і , . . . , хп ) = {3),

(Ь)£ І Ьі (т )хі(т,г)3ті=1 0____________

П 7 .£ / хі(т,г)3т і=1 0

(6)

(4)

Модифікуємо систему (2) так, щоб виконувалась умова (4). Це можна зробити різними способами. В праці [5] цей результат досягається за рахунок модифікації або функції виживання або функції народжування окремо.

Більший інтерес становить випадок, коли регулювання системи відбувається через процеси народжування і виживання одночасно. Для цього в системі (2) замість функцій Зі ( г ), Ьі (т) покладемо Зі( г ) + Б ( х і , х п ), Ьі(т) + В ( х і , . . . ,хп ) відповідно, тобто шукану систему побудуємо у вигляді

д г + = - [З і (т) + Д х ь . . . ,хп)]хі(т,г),

Юхі(0, і) = ! (Ьі(т) + В (х г , .. . ,хп ) )х і (г , і )Зг , (5)

0хі (т, 0) = фі(т), і = 1, 2, . . . ,п .

Знайдемо вирази для В ( х \ , . . . , х п ) таВ ( х і , . . . ,хп).

Продиференціювавши (4) по часу і і врахувавши (5), одержимо

п Ю п Ю /п п0 = Е / д- х З т = - Е / д- В + Зі(т)хі+

Отже, об’єктом нашого дослідження є система вигляду

дт + іх І = - [З і (т) + (Ь)]хі(т,г), т, г> 0,Ю

хі(0, і) = j (Ьі(т) + {З))хі(г,і)Зг, і > 0, (7)0

хі (т, 0) = рі(т), т > 0, і = 1, 2, .. . ,п.

А наліз моделі. Оскільки рівняння в системі (7) зв’язані нелінійними виразами, що визначаються в (6), то систему (7) в загальному випадку не можна розв’язати в явній аналітичній формі, а можна провести лише ї ї якісний аналіз.

Теорема. Нехай вик он ують с я умови а) - в) та (3), тод і р о з в ’я з к и си ст еми (7) хі (т,г) ^ 0 при г ^ то і = т хт (т, г) ^ Ср0т (т) = 0 при г ^ то, де т - ін декс такий, що ст = т а х с і} сі > 0 і визна-іч ають с я з р ів н яння

Ю / Т \1 = I ( Ь і ( Т) + Зі(Т ))ехр( Зі(£)З£ - Сі т \Зт , (8)

0 0і = 1 , 2, . . . , п.

Д оведення. Умови а), б), в) забезпечують існування єдиного додатного розв’язку хі (т,г) системи(7) 16).

Далі введемо заміну

хі(т,г) = пі(г)рі(т,г), (9)Ю

де п і (і) = J хі ( г , і )Зг , а рі (т,і) - нормована вікова

структура:

З умови

7J рі(т,і)3т = 1.

3 (і) [ дх і (т,і) 3з г п і (і) = ~ ^ 3т’

враховуючи (7), одержуємо

3пІ(г)Зі

■ 7! (Ьі (т ) - Зі (т ))рі (т, і)3т - (Ь - 3) х


xni( t ) , (10)СЮ

ni(0) = J ( f i ( r)dr .0

Диференціюючи (9) і враховуючи (7) та (10), ма-

Нехай

cm = J Ьт (т)р°т (т)dr.0

Тоді з (15) знаходимо

(17)

ємо

dpi + dp i дт + dt

СЮdi(T) + J (Ьі (т ) - di(T))х

хрі(т,Ь)Фт + (ф

СЮрі(0, і) = ! (Ьі(т) + фі(т))рі(т,і)фт, (11)

0Ю

Рі(т, 0) = фі (т ) ^ (Рі(т )Фт, і = 1, 2 , . . . , и .0

ПокладемоЮ

\ = ! (Ьі(т) - ф(т))рі(т,г)фт (12)0

і розглянемо рівняння (10) на стаціонарних розв’яз- р і0 (т)

шеться у вигляді

р0т (т) = р 1 (0)єх^ - ! фт (ф)а^ - Ст^ . (18)

Підставляючи (18) в (16), одержуємо рівнянняСт Ю

1 = ! (Ьт (т) + Фт (т ))х0

X ЄХр( Фт(£)Ф£ - СтРфт. (19)0

Це рівняння при умові (3) має єдиний розв’язок Ст > 0 (4).

З умови j рф(т)d;r = 1 знаходимо

P°m(0) =■ Ю У Т \ -| -1J exp ( — J dm (£)d£ - стт ^ т ,, (20)

dni (t) dt [Ф — (X)]n i ( t) , (13)

де (А) = ^ 2 W t ) / 5 > ( t ) .i=1 і=1

(13) є рівнянням типу Ейлера-Фішера і, як відомо [1], n i (t) ^ 0 при t ^ ж , i = m, n m (t) ^

С = ^ 2 ni( t) , де mi=1

Xm = max Xi. Отже, стаціонарний розв’язокі

( 0 , 0 ) (14)

системи (10) є асимптотично стійким.Далі знайдемо стаціонарні розв’язки У (т) систе

ми (11). На підставі (14) рівняння для р0(т), i = m, не являють інтересу, а рівняння для рф(т) замикається і набуває вигляду

а це означає, що рф(т) за формулою (18) визначає-m

СЮАф = max А0 = max / (Ьі (т) — ф(т))р00(т^т, (21)

і і J0

виживає, тобто

хт (т,ї) ^ Срф(т) при t ^ ж ,

хі (т,ґ) ^ 0 при t ^ ж , i = m.

mчерез відомі функції d ^ ), Ьі (т).

Таким чином, для системи конкуруючих видів з віковою структурою, що описується рівняннями (7) на основі заданих, залежних від віку швидкостей народжування та виживання, стає можливим визначити, який із видів виживає в процесі відбору.

Враховуючи співвідношення (17) - (19), для А0 знаходимо

dPф (т)dт

Ю -і Юd m ^ + J Ьm (т)p0m (т)dт р0т (т), (15) А° = J (Ьі (т) — di (т))р< 0 ( т = 2сі — р0(0).

СЮ

р°т(0) = У (Ьт (т) + ^ (т ))р°т(т)^ (16)(1X0

Нескладно показати, що -ф - > 0 при X0 > 0. Та-аві 1ким чином, знайдено зручні умови для визначення

виживання видів в процесах відбору. Якщо обмежитися видами з Л0 > 0, тобто такими, які при відсутності відбору самі не вимирають, то максимум величини Л0 досягається для тог о виду т, для якого величина ст теж максимальна. Теорема доведена.

П риклад 1. Розглянемо два гіпотетичних види з такими значеннями параметрів di (т), Ь (т), і = 1, 2:

1) Ьі(т) = 2Ь0, 0 < т < т0, d(т) = do, т Є [0, то);2) Ь2(т) = Ьо, 0 < т < то, й(т) = do/2, т Є [0, то)

і з ’ясуємо, який із видів виживає в процесі відбору.сі

с2, що визначаються з рівняння (8), є більшим.У випадку 1) рівняння (8) має вигляд

1 = У 2Ьо ехр( —(3,о + с і)т| ,іт+ о '

+ J do ехр ( - ( ^ + c l)т jd т ,о

абосі = 2Ьо(1 - ехр (-^о + сі)то)).

Останнє рівняння запишемо наступним чином:

ехр( - ^ 0 + сі)то) = 1 - А -с і. (22)2Ьо

Аналогічно у випадку 2) одержуємо

ехр то 1 - т-С2-Ьо

П риклад 2. Продемонструємо важливість врахування внутрішньовидової вікової структури для процесів відбору ще на одному простому прикладі, що описується системою (7).

Розглянемо три види з постійною смертністю

йі (т) = йо, і = 1, 2, 3

та з різною народжуваністю

Ьі (т)Ьо

<Г+ т Є 0 ? )Ьо — А, т Є ? ,т о0, т > то;

Ьо — А, т Є о, у )

Ьо+ А, т Є Т ,т о0, т > то ;

= Ьо, т Є [0, то].

Ь2 (т)

Ь3(т )

Графіки цих функцій зображені на Риє. 2.

ЬіЬо + А

Ьо Ьо — А

Ьо + А Ьо

Ьо — АТо то2 То то2

Ьо(23)

то

Тепер порівняємо між собою корені рівнянь (22), (23). Графічне розв’язування цих рівнянь показано на Рис. 1. Графіки функцій, що фігурують в рівнянні (22), позначатимемо 1), а ті, що фігурують в

Рис. 2. Графіки функцій народжуваності

Для того, щоб з’ясувати який з видів виживає в процесі відбору, необхідно дослідити, який з коренів рівняння (8) є найбільшим.

В нашому випадку рівняння (8) має вигляд

1 = ^ Ьі (т )ехр ^ —d0т — с і ^ с і т +

+ йо ехр -йот — віт йт,

або

Як видно з Рис. 1 сі = тах(щ , с2). Це дає підставу стверджувати, що перший вид виживає, а другий вимирає, тобто на виживання має більше шансів той вид, в якого народжуваність більша, хоча і вища смертність. Вид, у якого менша народжуваність і менша смертність, вимирає.

Тові = (ві + йо) ! Ьі(т) ехр(—йот — віт)йт. (24)

Враховуючи вирази для функцій Ьі (т ), побудує-і = 1, 2

т

т

При i = 1 маємо

To/2

VСі = (ci + do) J (bo + A) exp(—dor - cqt)dr+o

To+ J (b0 — A) e x p ( - d 0r — c 1r ) d r

To/2

або

2To

— — ln p i — do + bo (pi — 1) = A(1 — pj ) ,

Поведінка кривих, які фігурують в правій та лівій частинах системи (26), показує, що

Рі <Р3 <Р2.

Оскільки заміна (25) є монотонно спадною функці-С

ci > сз > С2. (27)

сі = Ьо(1 - ехр (-(с і + Фо)то)) + Ах

х ^ 1 + ех р (-(с і + Фо)то) - 2ехр( (сі + Ф о ) .

і = 2

С2 = Ьо(1 - ехр (-(с 2 + Фо)то)) - Ах

- ^1 + е х р (- ( с 2 + фо)то) - 2ехр^- ( с 2 + фо) .

При і = 3

сз = Ьо(1 - е х р ( - ( с 3 + Фо)то)).

Зробимо підстановку

е х р ( - (Сі + Фо)у ) = Рі, І = 1, 2, 3. (25)

Тоді прийдемо до системи

(26) ln Р2 — do + bo(p2 — 1) = —A(1 — p 2,),r o

2 ln p3 — do + bo(p3 — 1) = 0.

r oГрафічне розв’язування системи (26) подано на Рис.3.

Нерівність (27) показує, що в процесі відбору перемагає перший вид, у якого швидкість народжування є більшою для молодших віків. Переваги другого виду за швидкістю народжування в старшому віці й перед першим видом й перед третім видом не може збільшити шанси на його виживання.

Без урахування вікової структури, тобто у випадку динаміки Ейгена усі три види характеризуються однаковим параметром виживання

Ф = bo — do, i = 1, 2, 3,

тому ніякого відбору би не відбулося і висновки, які одержуються з моделі Ейгена показали б, що усі три види будуть співіснувати.


1. Эйген М. Самоорганизация материи и эволюция биологических макромолекул. - М.: Мир, 1973.- 216 с.

2. Маценко В.Г. Моделі відбору в популяціях з віковою структурою // Наук, вісник Чернівецького ун-ту: 36. наук. пр. Вип. 228. Математика. - Чернівці: Рута, 2004. - С. 70 - 73.

3. Von Foers t e r Н. Some remarks on changing populations // Kinetics of Cellular Proliferation. - New- York: Grune and Stratton, 1959. - P. 382 - 407.

4. Полуэктов P.A., Пых Ю.А., Швытов И.A. Динамические модели экологических систем. - Л.: Гидрометеоиздат, 1980. - 288 с.

5. Ebeling W., Engel A., Macenko V.G. Modelling of Selection Processes width Age-dependent Birth and Death Rates // Biosystems. - 1986. - 19. - P. 213 - 221.

6. Маценко В.Г. Нелінійна модель динаміки вікової структури популяцій // Нелінійні коливання.- 2003. - 6, № 3. - С. 357 - 367.


Рис. 3. Графічне розв’язування системи (26)

УДК 517.956

© 2006 р. В.І. Мироник


ПЕРІОДИЧНА З А Д А Ч А КОШ І Д Л Я ОДНОГО К Л А С У ЕВОЛЮ ЦІЙНИХ РІВН ЯН Ь

Досліджуються оператори узагальненого диференціювання нескінченного порядку у просторах періодичних функцій; розвивається теорія задачі Коші для еволюційних рівнянь з такими операторами.

The generalized differential operators of infinite order in the spaces of periodic functions are investigated. The theory of the Cauchy problem for evolution equations with such operator isdeveloped.

При розв’язуванні багатьох задач аналізу та математичної фізики широко використовуються простори періодичних функцій та зображення таких функцій у вигляді тригонометричних рядів. З розвитком теорії узагальнених функцій тригонометричні ряди з необмежено зростаючими коефіцієнтами д істали природну інтерпретацію у рамках цієї теорії; зокрема, теорія гіперфункцій та уль- трарозподілів, розвинена в працях Кете, Комацу, М.Л. Горбачука, В.І. Горбачук (див. [1-3]) дозволяє вивчати тригонометричні ряди з коефіцієнтами, як і зростають швидше за будь-який степінь. Із створенням теорії узагальнених функцій розширилось також поняття границі, а, отже, і граничного значення. Це, в свою чергу, дає можливість будувати теорію граничних значень у різних просторах узагальнених функцій для широких класів рівнянь з частинними похідними як скінченного, так і нескінченного порядків. У даній роботі будуються оператори узагальненого диференціювання нескінченного порядку, я к і діють у просторах періодичних функцій, описуються множини початкових значень гладких розв’язків еволюційних рівнянь з такими операторами, встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для вказаних рівнянь з початковими умовами з просторів узагальнених періодичних функцій. Із вказаних результа

тів випливають відомі факти теорії періодичної задачі Коші у просторах ультрарозпо- діл ів Жевре.

1. Простори основних та узагальнених періодичних функцій.

Через T позначимо множину всіх тригонометричних поліномів

P(x ) = ^ 2 c k,peikx,x Є R ,s Є Z+ , г =k=-s

над полем комплексних чисел. Зрозуміло, що відносно звичайних операцій додавання

Tнійним простором.

Нехай Tm , m Є Z+, - сукупність усіх поліномів з T, степінь яких не перевищує m. Тоді T = Tm T

mється так: послідовність {Pn , n Є N} С T

T PPn — > P , n ^ то), якщо, починаючи з деяко-

Pnж простору Tm (з деяк им © і c kpn ^ c kp при n ^ то для кожного к 0 < \к\ < m.

TTm T =

lim indTm.

Tції диференціювання, множення поліномів

та згортки2п

(P *Q)(x) = 2П P { P , Q } С T ,

як і є неперервними в Т.Символом Т' позначимо простір всіх лі

ТТ '

2^-періодичними узагальненими функція-Т '

чається за допомогою формули

(/ (к), Р ) = ( - 1)к (/, Р (к)) , Р Є Т , к Є N

(символом (/, ■) позначається д ія функціоналу / на основний елемент). Вона є непе-

Т 'Т

Т 'Т '

(/ * д , р ) = (/ ( х ) (д (у ) , р (х + у) ) ) ,

{ / , д } с Т', УР Є Т.Рядом Ф ур’є узагальненої 2^-періодичної

функції / Є Т' називається ряд+ <Е Ск(/ )егкх, де Ск(/ ) = ( / , е -гкх), к Є 2 , -

к=—оокоефіцієнти Ф ур’є функції /. Д ля довільної узагальненої 2:т-періодичної функції / ї ї ряд

І Т 'ки, послідовність частинних сум довільного

+<тригонометричного ряду Е с ке гкх збігає-

к=-жться в Т' до деякого елемента / Є Т' і цей ряд є рядом Ф ур’є для / [4]. Звідси випли-

Т Т ' будь-яку узагальнену 2^-періодичну функцію / Є Т' можна ототожнювати з ї ї рядом

Т 'стір формальних тригонометричних рядів

+<ВИ ГЛЯДУ Е Ске гкх (без жодних обмежень

к=-жна числову послідовність {ск , к Є 2}).

Розглянемо послідовність { т к, к Є 2+}, т 0 = 1, додатних чисел, яка володіє властивостями: 1) Уа > 0 Зса > 0 Ук Є 2+ : т к > с а ■ а к (тобто { т к, к Є 2+}

зростає швидше за експоненту); 2) 3 M > 0 Зк > 0 Ук Є Z+ : m k+i < M h km k(стабільність відносно операції диференціювання); 3) ЗА > 0 3L > 0 У{к,1} С Z+ : m k ■ т і < ALk+lm k+i (стабільність відносно операції множення); 4) 3 B > 0 3 s > 0 Ук Є Z+ : т к <B s k min m k-lm l (стабільність відносно згор-0< l<k

/тк 0тки); 5) limk^-жчності).

Прикладами таких послідовностей є послідовності Жевре вигляду:

m k = (k !)ß , m k = kkß, 0 < ß < 1.

Введемо тепер деякі класи нескінченно диференційовних періодичних функцій. Символом H ( m k) позначимо сукупність всіх 2п —періодичних і нескінченно диференційовних на R функцій <р, як і володіють властивістю: існують сталі c , B > 0 такі, що

|p(k)(x)| < c B km k,k Є Z+,x Є R. (1)

Елементи простору H ( m k) називаються ультрадиференційовними функціями класу {m k}. Множина функцій р Є H ( m k), для яких оцінки (1) виконуються з фіксованою

B > 0 Hb {mk) відносно норми

M k)(x)\B = sup ~рк------хє[о,2п| B km,k

keZ+

При цьому HBl {mk) С HB2 {mk^ щ о B i 0природно ввести топологію індуктивної границі банахових просторів HB {mk): H {mk) = lim indHB{mk). При цьому H{mk) перетво-B^<x

рюється в повний локально опуклий простір. Внаслідок властивостей 2) - 4) послідовності { m k , к Є Z+} цей простір інваріантний відносно операцій диференціювання, множення та згортки, як і є неперервними в H{mk). Відносно операцій множення та згортки цей простір утворює також

топологічні алгебри [4]. Якщо послідовність дено, що простори Н ( ш к) та Н { ш к} збіга- {т,к,к Є %+} збігається з однією із послі- ються не тільки як множини, але і тополо- довностей Ж евре, то Н ( ш к) = О щ , де Ощ} гічно. Звідси випливає, що простори Н ( ш к) - простір ультрадиференційовних функцій та Н ' ( ш к) можна охарактеризувати так [4]: класу Ж евре порядку в-

Символом И'{тк) позначатимемо простір всіх лінійно неперервних функціоналів на И{тк) зі слабкою збіжністю. Відомо [4], що И' {тк) збігається з проективною границею банахових просторів Ив {тк) : И'{тк) = lim ргИ'в {тк). Елементи просто

ру И'{тк) називаються ультрарозподілами класу { т к}.

У праці [4] дається характеристика просторів И {тк) та И'{тк) з точки зору поведінки коефіцієнтів Фур'є їхніх елементів. Покладемо

р(А) = supkez+ m k \А| > 1.

Із властивостей послідовності { ш к, к Є Z+} випливає, що фу нкція р монотонно зростає на [1, +то), диференційовна на (1, +то), функція 1пр-опукла на [1, +то), тобто У Ц і, х 2} С [1, +то) :

1п р (х і)+ 1п р (х2) < 1пр(хі + х 2) (2)

((2) відповідає означенню опуклої функції / з [5]:/ (х і) + / (х2) < / (х і + х 2), х і > 0, х 2 > 0)

Нехай

Н{а] := {/ Є т'\ Е \ск( / )\2р 2 ( Щ < ж ,к=-ж ' '

с к (/ ) = і /, е - ікх) }, а > °.Н{а} - гільбертів простір зі скалярним до

бутком

( f , g ) n_\k\

Y c k ( f ) c k (g ) p ( —\ аk=—oo

{/, д } С Н{а}. Якщо а\ > а 2 Н{а і } 3 Н{а2} і це вкладення є неперервним внаслідок монотонності функції р. Покладемо Н { ш к} = У Н{а}. Природно в

а>0И{тк}ці: И { т к} = lim гп0,И{ау. У праці [4] дове-

( f Є И{тк)) ^ (Зц > 0 З с > 0 Ук Є Z :

\ск( f ) | < с Р- 1 (ц\к \) ) ;( f Є И'{тк)) ^ (Уц > 0 Зс = с(ц) > 0

у к Є Z : \с к( f ) \ < ср(ц |к|));

Я кщо т к = kk,ß, ß > 0, то р(А) ~ exp (\А\в ), тобто в цьому випадку для f Є T' правильними є співвідношення еквівалентності:

( f Є G{ß}) ^ (Зц > 0 Зс > 0 Ук Є Z :

\с к ( f ) \ < с exP(—ц\к \1 ) ) ;( f Є G{ß}) ^ (Уц > 0 Зс = с(ц) > 0

Ук Є Z : \ск( f )\ < сехр(ц\к\ 1)).

2. П севдодиф еренціальні оператори нескінченного порядку

Нехай G : R ^ [0, то) - деяка неперервна парна функція. За функцією G у просторі T '

і : T ' Э fkeZ

G ( k ) c k ( f ) e ikx e T

с к (/) = ( І , е~гк х).

Легко бачити, що оператор А є лінійним і неперервним в Т '. Оператор А згортувач у алгебрі Т' . Справді, якщо розглянути узагальнену функцію

/с (х ) = ^ , О ( к ) е ікх Є Т keZ

то для довільної узагальненої функції f e Tf]p0 МШЗМО

ЕkeZ

A f = > G ( k ) c k ( f ) e ikx = f * f G

бо

136

c k ( f * f G) = c k ( f ) c k ( f G) = c k ( f )G(k) , k e Z

Науковий вісник Чернівецького університету. 2006. Випуск 314-315. Математика.

—>

Якщо О(х) = 1x1і , р > 0, х Є Е, то Я Доведемо, що Я* С А (бо включення збігається з оператором А1 дробового дифе- А С А* Для симетричного оператора є оче- ренціювання в Т' [6]. видним). Нехай ф Є Н (А*) і А*ф = ф *. По-

Зазначимо, що сім ’я операторів А1, р > кладемо 0, володіє властивостями: Ф \ л с („їлАкх ф * \ л с (ф*)е гкх

. ) У/ Є Т' У{а, в} С (0, ф : Ф = & ск(Ф)Є ' Ф = & ск(Ф )Є ■

■ Ш в / ) = ( - 1 ) 'Аа+в/; Тодіе к (ф*) = (ф*, в -гкх) = (в - гкх, Л*ф) =

б) У/ Є Т : А21/ = В^/ , І Є N.Т ео р ем а 1. Нехай Л - з в у ж е н н я опера,- (Ле гкх, ф) = (ф, Ле ) =

тора А на п р о с т і р Н = ^ ( [0 , 2п]). Тоді Л - = С ( - к ) ( ф , в -гкх) = С ( к ) е к(ф)н е в і д ’є м н и й с а м о с п р я ж е н и й о п е р а то р в Н / -ікх г , (тут ми скористались тим, що е х Є В (А)

( ) ікхГТ1 'ПГ л\ при кожному к Є А причому е ікх є власнимп р и ч о м у С ( ). вектором оператора Л, а С ( - к ) = С(к ) -

Д о в е д е н н я . Із означення оператора А відповідне власне число).та теореми Ріса-Фішера випливає, що Звідси знаходимо що

В( Л) = і р Є Н | ^ С 2(к)|0к(^)|2 < то,^ 2 /кЄ%

Ск(р) = ( р , е - ікх) , к Є А} . (3)

т(ф)

Е С2(к )|Ск(ф)| = X ! ІСк (ф*)|2 = \\ф*\\Н <2 2Ск (ф

кЄ% кЄ%

тобто ф Є В(А) . Крім того,

Лф = 5 ] ° ( к ) с к ( ф ) е ікх = ^ Ск(ф*)еікх = ф*кЄ% кЄ%

Якщо р Є Т С Н С Т ', то р = £ с ке ікх,к=-т(ф) Отже, Л* С Л. Невід’ємність оператора Л

при цьому перевіряється безпосередньо. Теорема дове-т< Д0НсХ.

Ар = Е С ( к ) Скеікх. Зауваження 1. Оператор Л надалі на-к=- т з и в а т и м е м о п с е в д о д и ф е р е н ц і а л ь н и м о п е ра

т о р ом у п р о с т о р і Ь 2 ([0 , 2п]).р Є Т

то Т С Т>(А) . Цим доведено, що на [0, то) функцію

Р (А ) = Н р (х ) = Е ЬН

~.3’Зх ,3=0

яка набуває додатних значень і побудуємо у (Ар ,ф) = Е С ( к ) с к ( р ) с к (ф) = прос торі Т' за оператор ом Я оператор р(Я ):

кЄТ р ( 4 ) / = £ Ь* 4 /, У/ = £ с к ( / ) е гкх Є Т ' .’ =0 к еТ

= ( р , А ф ) у {р ,ф} С 'Н( А ) . Оскільки

Оскільки В ( А ) = Н, то існує оператор А’ / = О* ( к ) с к ( / ) е г к х ,А* , область визначення В ( А * ) якого скла- кет,

ф Є Ніснують елементи ф* Є Н, що задовольня- /ють співвідношення (Ар, ф ) = ( р , ф * ) ДЛЯ р ( 4 ) / = Е ф Е О* ( к ) с к ( / ) е гкх довільного р Є Д А ) ; при цьому А*ф = ф*. *=0 \ ке т

( го! > о (к)

3=0

= Е Ск (/ )'р (Є (к))е ікх =кеЪ

= ^ р(Лк)ск(/ )еікх, Лк = О Д .кеЪ

Нехай Лр - звуження оператора р(Л ) наН. Тоді Лр - невід’ємний самоспряжений

Нння Д А Д , причому Т С Д А Д . Доведення цього твердження аналогічне доведенню теореми 1. З ’ясуємо, за яких умов на функцію р оператор Лр буде неперервним у просторі Н ( ш к}. Д ля цього розглянемо елемент Д з простору Т' , побудований за функцією р:

= Е р ( а ( к ) у кх = Е Р(Лк у кх.кЄ% кЄ%

Т ео р ем а 2. Я кщо є Н' {шк}, т о о п е р а то р Лр н е п е р е р в н и й у п р о с т о р і Н {шк}.

Д о в е д е н н я . Нехай Д Є Н ' ( ш к}, тобто

Ур > 0 Зо = е ( р ) > 0 Ук Є Z :

Р (Лк) < оР(р\к \). (4)

Доведемо, що тоді Лрф Є Н ( ш к} для довільного елемента ф Є Н ( ш к}. Оскільки

ок(Л Д ) = (Лрф, е - ікх) = (ф,Ліре -ікх) =

= р(Лк ) ( ф , е - ікх) = р(Лк )ок (ф),

то досить довести, що

Зр 0 > 0 Зо0 > 0 Ук Є 2! :

р(Лк)\ок(ф)\ < е о р - і (ро\к\).

За умовою ф Є Н ( ш к}, тобто

З р і > 0 Зоі > 0 Ук Є 2 :

\ок (ф)\ < щ р ^ Д Д Д

Отже,

р(Лк)\ок(ф)\ < ооір(ц\к\)р- і (ці\к\) =

= 00іЄ1п рТІкІ)-1п р(юІкІ)

138

Візьмемо параметр у з проміжку (0 ,у Д Врахувавши нерівність опуклості (2) для функції ln р знайдемо, що

ln р(у\к\) - ln р ( у і|k|) < - ln р ((у і - у)\к\) =

= - ln р(уо\к\),

де у і — у = уо- Тоді

p ( h )\cfc(ф)\ < Coe-lnp(Mo|k|) = сор-1 (уо\к\),

звідки й випливає, що Л Д є H {m k).Доведемо, що Л^ - неперервний оператор

у просторі H {mk), тобто кожну обмежену множину цього простору оператор Л^ відображає у обмежену множину цього ж простору.

Нехай L - обмежена множина у просторі H{mk). Оскільки

H {mk) = У Н{а},а>0

Lбертовому просторі Н{а0}, ТОбтО

ЗЬ> 0 Уф є L :

\\ф \\н{*0} = ^ \c k(ф)\ У ( Щ < Ь>kez А 0 /

або

ЗЬ> 0 Уф Є L : \ck(ф)\ < Ьр- 1 ( к \ , к Є Z.\ a o J

У нерівності (4) покладемо у = До • Тоді, скориставшись нерівністю опуклості (2) знайдемо, що

\ck(Л Д)\ = p(\k)\ck(ф)\ <

< Л р - 1 ( ( а - у ) w ) = Ь і ' р - ' ( 2 а ) ■к Є %,де Ь1 = cb. Отже, множина A^L обмежена у просторі H{2ao}, тобто у просторі Н {mk). Теорема доведена.

З а у в а ж е н н я 2. Умова Fv є H'{mk) екв і -p

Уу > 0 3 c = Д у ) > 0 :

0 < р(О(Л)) < ср(рЛ) , X > 0.

рв о л ь н я є у м о в у

Зуо Зсо > 0 :

0 < р(О(Л)) < с ор ( р оЛ), Л> 0,

т о оп е р а то р А^ н е п е р е р в н о в і д о б р а ж а є п р о с т і р На+ Р0 ( т к) у п р о ст і р На ( т к) для до-

а > 03. Г ран и чн і вл асти во ст і гл а д к и х

р о зв ’я з ів п севдо ди ф ер ен ц іал ьн и х р ів н ян ь . З а д а ч а К ош і

О ртково задовольняють так і умови:

Зб > 0 : О(х) > б Х 1, у > 1, х Є Е,

Зро Є N Зсо > 0 Зєо > 0 :

р(Л) > со У Р М ) , Л > 0. (5)

' 1, |Л| < 1,

№Пі,х)\ e - t<e( k) . Dpe ikxkeZ

<

< ^ ' \k\Pe — (t—s)v(^k)g — £lf(M) <keZ

\k\p ■ (po) !

<

EkeZ(Po)!

(t - є ) Р0 ■ p P0 (Ak)e - eip(\k) ^

E — £CoXk jk\p

(t - Є)Р0 keZ P^ oAk), 0 < є < t.

Оскільки

Ak = G(k) > S\k\Y > 5\k\, k e Z;

р ( є о Ak) > p ^ o 6 \k\), k e Z, (7)TO

DX r ( t , x ) \ < (Po)! E 1—£Co5|k| _ \k\p, e(t - є)Р0 keZ pM l k l)

Р(Л) ~ 1 Р(Л), |Л| > 1.

Зазначимо, що з умови 5) на послідовність { т к, к Є 2} випливає, що функція р задовольняє умову:

У є > 0 Зсє > 1 УЛ : |Л| > 1 ^ р(Л) > с є е ЄІАІ.

Звідси та з (5) випливає, що

р(Л) > со рі/сЄе™|Л| > со|Л|, |Л| > 1. (6)

Розглянемо функцію

= (po)! e -scoS\k\ (Єоб\к\)р(t - є ) р0М ) р ^ р ( є о s\k\)

Д алі скористаємося оцінками

 ----- .seZ+ m s 'm p

r ( t ,x ) :=- tp^k )+ikx

кеТ

Лк = О(к) , і Є ( 0 ,Т ], х Є Е.

Л е м а 1. Функція , Г (і, ■) в оло д і є н а с т у - п н и м и в л а с т и в о с т я м и :

а) Г (і, ■) Є Н ( т к) при к о ж н о м у і Є (0 ,Т ];б) Г (і, ■), я к а б с т р а кт н а функція , пара

м е т р а і у п р о с т о р і Н ( т к), диференц ійовна ,ів) Г (і, ■) ^ б при і ^ + 0 у п р о ст о р і

Н ' ( тк ).і Є (0 , Т ]

та врахувавши нерівності (5), (6) знайдемо,

Тоді

^ ' < т,> , Ук Є 2 .р(єоб|к|)В результаті дістаємо нерівності

\ВрхГ(і,х)| < с В рт х, р Є 2+

де

(Ро)! (t - є)Р

e - e c 0$lkl B = ___’ єобkeZ

що й потрібно було довести,б) Доведемо, що

Фг,Аі(х) := ^ [Г (і + А і , х ) -

д- Г( і , х)] ^ — Г (і, х), Аі ^ 0, ^ р ( Л к ) е Ч і+вкДі)У Хк)+ікх, 0 < в к < 1 ,

кеЪ

Ч ф*,д*(х) = - г р х

х ^ 2 р(Лк) • кре -(ї+вкДЫХк)+ікх (9)

у тому розумінні, що: то1) Ч РФ*,д*(х) — ► ЧР ( | г ( і , х ) ) , Аі ^ 0 ,

хш Є 2 +);

2) вир \ЧхФ*,д*(х)\ < о Б рш Р} кеЪхЄ . (якщо А і < 0, то вважаємо А і таким, що

до сталі о, Б > 0 не залеж ать від А і (для і + а і і/2■ тому і + 0 Аі > і + А і ^ і/2)Аі к

^ . ' . Крім того, при кожному х Є КПередусім зазначимо, що функція Г (і, • )

іні. Д ля цього досить довести, що ряд ® хі д г ( і ,х ) гр

^ р(Лк ) е -ЫХк )+ікхкЄ%

(8) X ^ р (Лк)кРЄ їр(Хк)+ікх (10)кЄІ.

збігається рівномірно по Ь Є [ є ,Т ], є > 0, при фіксованому х.

Врахувавши умову (5), я к у задовольняє функція р, а також нерівності (7) знайдемо, що на відрізку [є ,Т ]

р(АкІе“^ ) < ( р + Ц У (Ак) =

Із співвідношень (9) та (10) випливає, що

0д

ЧхФїДї (х) - Ч х \ д і Г( і , х ) <

У )е

(Р0 + 1)! < (Р0 + 1)!Ьро+1 р ро(Ак) - с0огро+1 р(єо\к\)'

Із властивостей функції р випливає, що

РМ |к|) > в е аЩ, в > 0, к Є Z.

Тоді

ф(Ак) е - і ^(Хк) < Ье - а к Ь = (ро + 1)!Л Ак)Є - , Ь сО0ІРо+ів '

Звідси вже випливає рівномірна збіжність[є , Т ]

Г (і, х) диференційовна по Ь на відрізку [ є ,Т ]. Оскільки є > 0 - довільне, то функція Г(Ь, • ) диференційовна по і на проміж ку (0 ,Т ], при цьому правильними є співвідношення

д- Г (і, х) = - £ р(Лк) е - ї ^ Хк)+ікх.

кЄ%

О с к і л ь к и

- р(Ак) е - і ір(Хк)\е-вкАіУХк) - 1\ -keZ

— ^ р 3(Ак)е~‘^ІХк> • \ДІ\ —— 0, АІ —— 0.kez

Т ут враховано те, що ряд ХЧ Р3(Ак) е -іір(Хк') при фіксованому Ь > 0 єkeZзбіжним: як і раніше можна довести нерівність р 3 (Ак) е -іір(Хк) — Ье-аІкІ, Ь = Ь(і) > 0, звідки і випливає збіжність вказаного ряду. Отже, умова 1) виконується.

Очевидно також, що

ЧХФіМх)\ — ^ р(Ак)\к\Ре -іір(Хк), х Є Е keZ

Аналогічно тому, як це було зроблено при доведенні властивості а) встановлюємо, що

\ ХФі,Аі (х )\ — с В Ршр, Ух Є Е,

де сталі с , В > 0 залеж ать від Ь і не залежать від АЬ. Твердження доведено.

в) Нехай р - довільна функція з простору Н ( ш к) . Тоді

2п1 Ге (ї+ Дї)(Р(Хк) е - ї

кеЪ

ікх 1г ( і ,х ) * р (х) = 2п г ( і , х - ^)р (

2п

= 2П f ^ єхр{— ) + i k (x—£)}р (0 ^£ = 0 keZ

У Ck(р) exp (-tp (A k ) + ikx} t——0keZ

tZ+0 Д Ck = P (x ) ’ keZ

ДЄ2n

Ck (р) = 2П / P ( ' )e" ‘kf -о

коефіцієнти Ф ур’є функції р. Отже,

r ( t , •) * р — р = б * р , t — +0,

тобто r ( t , •) — б при t — +0 у просторі H '{Шк).

Лема доведена.З а у в а ж е н н я 4 . І з н а в е д е н и х р е з у л ь т а

т і в в ип л и в а є т а к о ж , щ о дц r ( t , •) Є H {шк) при к о ж н о м у t Є ( 0 ,T ].

Розглянемо диференціально-операторне рівняння

u' ( t ) + Av u( t ) = 0, t Є (0 ,T ], (11)

де Av - оператор, побудований за функцією р, який діє у просторі H {шк). Рівняння (11) називатимемо параболічним, п с е в д о д и ф е р е н - ц і ал ьним р і в н я н н я м .

Під розв’язком рівняння (11) розумітимемо функцію u : (0 ,T ] 9 t — u( t , •) Є H {шк),

tняння (11).

Т ео р ем а 3. Д ля довільного f = YX с к е гкх Є H'{шк) функціяkeZ

u ( t , x) = ( f * r ) ( t >x) = { f , r ( t , x — •)) (12)

є розв’язком рівняння (11).u

t

d u ( t , x ) 1 г / . \ ,— d t— = At^0 A t [u(t + A t’ x) - u (t ’ x)] =

= І т A t {f) r ( t + A t ,x - £) - r ( t ,x - £)) =

= i i m0{f’ ^ A t (x — € ) ) .it^-0

За доведеним раніше (лема 1, твердження б)) Tt ) it (x — £) — §tr ( t , x — £) при A t — 0 у просторі H {шк) (при фіксованому x Є R). Тоді, з властивості неперервності функціо-

f

duy = f І А —£)) =

д д= { f , d t r ( t , x — £)) = ( f * d t r ) ( t ,x )

(нагадаємо, що т|r ( t ,x — •) Є H {шк) як функція £ при кожному t Є (0 ,T ]). Оскільки r ( t , •) Є H Шк), f Є H'Шк ), то { (f * r ) ( t > •) , ( f * dt r ) ( t , •)} С H {шк Отже, A^( f * r ) ( t , •) Є H {шк) при кожному t Є (0 ,T ], при цьому, згідно з означенням оператора Av ,

Ar ( f * r ) ( t , x) = Д р(Ак)Ск( f * Г)егкх =keZ

= Д р(Ак )ck ( f ) e - t ^ k)+ikx = keZ

д= — E Ck ( f ) ( e - “c (Xk k)eikx =

keZ

= — ( f * д Г ) X x ) -

Таким чином, функція u ( t , x ) = ( f * r ) ( t ,x ) дійсно є розв’язком рівняння (11).

u (t, • )при t — +0 і с н у є в п р о с т о р і H' {mk), т о б т о

u ( t , •) — f 'у ] Ck(f )e ikx Є H>{mk) , t — +0.keZ

Д о в е д е н н я . Ця властивість є наслідком твердження в) леми 2.6.

Задача Коші для рівняння (11) полягає у відшуканні розв’язку цього рівняння,

u (0 , • ) =lim0u( t , •) = f , де границя береться у про-

T '


Т ео р ем а 4. Задача К о ш і дл я р і в н я н н я ( 1 1 ) к о р е к т н о р о з в ’я з н а у п р о с т о р і п о ч а т ко ви х даних Н ' ( ш к). ї ї р о з в ’я з о к з о б р а ж а є т ь с я формулою ( 1 2 ), п ри ц ь о м у и(Ь, • ) — / при Ь — +0 у п р о с т о р і Н ' ( ш к).

Д о в е д е н н я . Це твердження випливає з теореми 3 та наслідку 1. Властивість єдино- сті розв’язку задачі Коші для рівняння (11)

/ = 0с к = (/, е -гкх) = 0, к Є ^ ^ то и(Ь, • ) = 0, Ь Є ( 0 ,Т ]. Властивість неперервної залежності розв’язку від початкової умови є наслідком властивості неперервності згортки узагальненої функції / Є Н ' ( ш к) з основною функцією.

Я к приклад, розглянемо функцію р(А) =\к^ щ е , А > 0 , в Є (0 ,1) - фіксований па-

к=0 (раметр. Відомо [7], що існують додатні сталі с1, с2 такі, що

с1 ехр{вА1/в} — р(А) — с2 ехр{2вА1/в}, А > 0.

Нехай(уА)к

A Р = ^ 2 \k\Y Ck ( р КkeZ

Р = Е Ck (P>e ‘kx,

р (у\ )3 + kke

\ Є [0, то),

в Є (0 ,1), у Є (0, то) ( у , в _ параметри). Тоді [8]

с ехр | в (уА)1/в| — р(уА) — ехр | в (уА )1/в

Врахувавши ці нерівності знаходимо, що якщо О(А) = \А\, то функція р(О(А)) = р(А)

А > 0ження 3 з параметром у 0 = (2е)в , умову (5) з параметрами є0 = в , р 0 = 1. Оператор А У цьому випадку збігається з оператором диференціювання нескінченного поряд-

кКУ ^ у ш , в Є (0 ,1 ); при цьому задача Ко-

к=0 ( !)ші для рівняння (11) з таким оператором коректно розв’язна у просторі початкових даних О'{р} = Н' (ккв).

Аналогічно встановлюємо, що задача Коші для рівняння (11) з оператором дробового диференціювання нескінченного порядку

keZ

коректно розв’язна у просторі H 1 (hke/l) = 0'Ш } , ß Є (0 ,1).


1. Käthe G. Die Randverte einer analytischen Funktionen //Math.Z. - 1952. - Bd.57. N1,- S. 13-33.2. Komatsu H. Ultradistributions and hyperfuncti- ons// Lecture Notes in M ath.- 1973.-V.287.-P. 164261.3. Горбачук В.И., Горбачук М.Л. Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений,- Киев: Наук, думка, 1984.-284с.4. Горбачук В. И. О рядах Фурье периодических ультрараспределений // Укр. мат. журнал. - 1982. - Т.34, N2. - С.144-150.5. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. - М.:Физматгиз, 1958.- 274с.6. Городецький В. В. Множини початкових значень гладких розв’язків диференціально-операторних рівнянь параболічного типу.-Чернівці: Рута, 1998.219с.7. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. - М.: Наука, 1969. - 576с.8. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций.-М.:Физматгиз, 1958.307с.


AГО Ak

Е Ak=0 Ц !)А Y > 1 ,


УДК 517.95

© 2006 р. Н.П. Процах

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я .С . Підстригана НАНУкраїни, Львів

З А Д А Ч А Д Л Я НЕЛІНІЙНОГО ГІП ЕРБОЛІЧН ОГО РІВН ЯН Н Я ТРЕТЬОГО П О РЯ Д К У В НЕОБМЕЖ ЕНІЙ З А ПРОСТОРОВИ М И

ЗМІННИМИ О Б Л А С Т ІУ необмеженій за просторовими змінними області розглянуто мішану задачу для гіпер

болічних рівнянь третього порядку, які містять нелінійності степеневого вигляду зі змінними показниками. Досліджено розв’язність цієї задачі в узагальнених просторах Лебега без обмежень на зростання вихідних даних задачі.

The mixed problem for nonlinear equations of the third order with the function power nonlinearities are considered in the unbounded on the spatial variables domain. The solvability in the generalized Lebesque spaces is proved for the mixed problem without any assumptions on the grows of the initial data of this problem.

Теорія узагальнених просторів Соболева досягла свого розквіту у середині 90-х років минулого століття. їх дослідження тривають і по сьогоднішній день. Про це, зокрема, свідчать праці [1] - [4]. Узагальнені простори Лебега знайшли своє застосування у різноманітних задачах математичної фізики[4], при дослідженні мішаних задач для нелінійних рівнянь еліптичного, параболічного та гіперболічного типів [1], [5-7].

В останні десятиліття також з ’являється зацікавленість нелінійними рівняннями третього порядку, як і виникають при дослідженні поширення хвиль у в ’язко- пружному середовищі (див., напр., [6-10]). Рівняння, розглянуті в [6] та [7] м істять нелінійності степеневого вигляду зі змінними показниками та досліджувалися в обмежених областях. Ці дослідження продовжено на випадок необмежених областей. Зауважимо, що раніше розв’язність задач для гіперболічних рівнянь в необмежених областях проводилися у працях [11-13].

У цій праці досліджено існування та єди- ність узагальненого розв’язку мішаної задачі для нелінійного рівняння третього порядку в необмеженій за групою просторових змінних області. Використовуючи властивості узагальнених просторів Лебега, отри

мано розв’язність цієї задачі в класі локально інтегровних функцій. Обмежень на характер поведінки розв’язку на нескінченності не припускалося.

Нехай О С К™ - необмежена область з межею Г є С 1 , Т Є (0, то).

Позначимо через т довільний фіксований момент часу з проміжку (0 ,Т ], Qт = О х (0, т), Бт = Г х (0, Т ), V - зовнішня нормаль до поверхні Бт.

Нехай область О задовольняє такі умови:1) існує таке Я 0 Є N що для всіх Я > Я 0

теэО П {Щ < Я} = 0;2) О = ЦІ Ои, причому Ои = О П Б и

К>Коє регулярною областю в сенсі Кальдерона [14, с.45] для всіх Я > Яо, де Б и - п-вимірна куля простору К™ з центром в початку коор-

Я3) д о и = т и и т и де { т и , т и } є с и

тез{Т и П Т І} = 0 теэТ^и = 0 УЯ > Я 0;д о = и

и>иоРозглянемо в області Qт задачу

ПЩг 'У ] © і ( х ,У) ихіі )хі —

Щ=1П

— (аі (хЯ)\ихіі\РхХ 2Пхіі)хі—і=1

(Ь / і\ ) і / (\ і Зафіксуємо довільне число Я > її$. По- ^ і=[ 0г і (х, Т)ихг)Х] + ^ с г[х , Т)ихг + значимо ^ = п Я х /0 , ^) ГЯ = ш Я , з Я =

+ Д х , і)\щ\Ф ) - 2 Щ + Ьо/х, і ) и = дПп Х (0 ,Т ) Гз(х)(ОЯ) ( ) сп Введемо простори: Ь*(Х)(мЯ), в(х) Є= /0(х Д — ^2 /г>Хі(х, ї ) , (1) [ р (х ) , д ( х )} (узагальнений простір Лебега)

г=1 [1] з нормоюи(х, 0) = и 0(х), и і (х, 0) = и1(х), х Є О, (2)

и\вт = 0. (3) \\у;Ьз(х)(ОЯ)||=іп£[ц > 0 :^ у \ а(х)/р"(х) й х Щ ;

Припускатимемо, що для коефіцієнтів пНрівняння (1) виконуються умови: ^ £ 2 (О т) = [ у : [ у , ущ} с Ь2(ОЯ), х\3я = 0};

(A ) : аг Є Ь™(От) а ^ аг(х,к) ^ а і майже ШІ’р(х\ о Я) = [ у : у Хі Є Ьр(х\ О Я), у\г д = 0};ДЛЯ ВСІХ (х , Ь) Є О т, і Є [ 0 , 1,. . . , п }, а о, а і - ^ 1,2,д(х)(оЯ) = ^(х) (оЯ) р щ 1>2(лЯ ).додатні сталі; х'0 (От) = (От) х'0 (От);(B ) : Ьч Є Ь - М т ) , {Ь^Ьо } С Щ У "(х)( « Я) = Ь"(Х)(ПЯ) П Ж Д(П Я).І ™( (0 ,Т ) ; 1 ™с(О )), Ьа (Щ ) = М х Л ма йже у ^ О т ) = [ у : [ у , Уі , Ухі } С С ([0,Т]; Ь2(О)),Д Л Я ВСІХ (х , ІІ) Є ° т , [ і , І } С [ 1, 2, ■ ■ ■ , п } ; у і є ^2 ((0 Т ). Ь2 (О))

^о\С\2 ^ Ьг і (хФ)£гО ^ ^ 0\С\2 майже у є р^(х)((0 Т )' Ьд(х)(О))

для всіх (х, г ) Є От і для всіх £ Є Еп, у хі є Ьр(х)( (0,Т) ; Ьр(х)( О ) ) , і є [ 1 , 2 , . . . ,п } } . Дь р - додатні сталі; ) = [ у : [ у , у , у х } с Ь2([0,Т]; Ь2(О)),(C ) : с гЄ Ь^с ((0 , Т); Ь—с (О )), і є [ 1 , 2, . . . , п}; у є ь^ (х) ((0 Т )' Ьд(х)(О))

Ухі Є Ьр(х)((0, Т ); Ьр(х)(О)), і Є [1 , 2 , . . . , п}}.

К ,іос(От) = [ у : У є У,(ОЯ) д л я в с іх Я > 1},гд= 1 ч '~ ' " гМ ” "1 ^ в Є [1 , 2}. Позначимо У и = (ихі , и Х2 , . . . , и Хп )■

(D): dij Є L ^ ( Q t ), d i j (x , t ) = d j i (x , t ) ,n n

Y d ij ( x , t ) 0 0 ^ d0 Y ICi |2 майже д л я в с і х

£ Є R n , { i , j } C {1, d0 - додатна О зн ачен ня 1. У за г ал ьн е ним р о з в ’я з к о мстала; з а д а ч і (1), (2), (3) н а з в е м о таку ф у н к ц і ю u(Р ) : М : П ^ (1, +<»), {q.p} C L~(Q); 3 Щ>°™р У V'u - ( Qt ) П С ((0 ,Г ) ; LL (С ) ) , ш} . с , 3 , / \ з а д о в о л ь н я є рівні сть1 < p i = essm ip (x ) ssupp (x ) = p 2 ,

n П „ n

1 < q i = ess inf q(x) ^ s slip q (x) = q2 . h - + E d i j (x, t ) u x i tVx j +

Q i j = i(P I ) : Виконується одна з умов

1 ) p 2 < R ( p i ) = { — ї ’ 1 6i7- (x , t ) u x . v x . + У d ( x , t ) u x . V +ни \lj C П, j = 1 ,^ , як і складаю ться з 2-^ ’ > xi x j 2-^ ’ > xij

с к і н ч е н н о ї к і л ь к о с т і к о м п о н е н т З Л1ПНІ1ЦЄ-i,j=1 i=1

вою межею такі, що тез(О \ и П?-) = 0 + а0(хД\иі\9(х) 2иіУ + Ь0(х, Ї)пу —1 І^Ш п

1 = ^ ^ 52 < ,ві < ,в3* < < < •• + < — М х Ф )у — ^ 2 І г ( х , і )у хі ] ^х ^і +вт-1 < вт-2 < п < вт < вт-1 < вт =І, к р і м ТОГО, в2 ^ р(х) ^ ві м а й ж е Д Л Я г гв с і х х Є Оя І Є [1 , 2 , . . . , т } , в І < Я( в к) + UiУdx — щ ( х ) у йх = 0к = [1 , 2 , . . . , т — 1}. Пт По

д л я в с іх ф у н к ц і й V Є У2,Іос(Ят), ЯКІ мають о б м е ж е н и й но с і й .

Спочатку розглянемо рівняння (1) у обмеженій області QR з умовами

п\8п = 0 ,и(х, 0) = п%(х) ,щ(х, 0) = п^{х), (4)

де п^(х) = и 0(х)£(х), п^(х) = и 1(х)Дх) , а

С (x)1, якщо x Є QR;0, в іншому випадку .

У праці [7] доведено існування та єди- ність розв’язку мішаної задачі (1), (2), (3) (в сенсі розподілів) в обмеженій області:

Т ео р ем а 1. Нехай в и к о н у ю т ь с я умо -( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )

QR г, кр ім то г о , /0 Є Ь / Є Ь2^ Я), і Є {1, 2 , . . . , п } , и 0 Є Щ(ПЯ), и 1 Є Ь2(ПЯ). Тоді і с н у є є д и н и й р о з в ’я з о к и з а дач і (1) - (3) (в с е н с і р о з п о д іл і в ) т а кий, щ о и Є С ([0 ,Т ]; Н1( і ї я ) ) , щ Є» 4 Д <х)( 0 ? ) п с ( [ 0 , Т ]; (Ц'0’2’Ф>(ПЕ) У ), и„Є

Доведемо існування розв’язку задачі (1),(2), (3) в необмеженій за просторовими змінними області Qт. Д ля цього спочатку доведемо допоміжну лему, я к а виконується для класичних просторів Лебега.

Л е м а . Нехай П - о б м е ж е н а о бла с тьв Rn g - ф у н кц і ї з Lq(x)(Q), 1

\р(д^ — д)\ ^ \р\ і л іва частина прямує до 0 майже всюди). Оскільки Ф - щільна в Ьд>(х)(П), то лему доведено.

Т ео р ем а 2. Нехай в и к о н у ю т ь с я у м о в и т е о р е м и 1 в к о ж н і й о б м е ж е н і й п і добла- с т і о бла с ті QT і, крім, то г о , в и к о н у ю т ь с я у м о в и (А ), (В ), (С ), (О), (Р ), (Р 1 ), ф ун кц і я р(х) Є (П+2, 2] д л я м а й ж е в с іх х Є П.

Тоді і с н у є у з а г а л ь н е н и й р о з в ’я з о к з а дач і(1), (Ю, (3).

Д о в е д е н н я . З теореми 1 випливає, що в кожній обмеженій області QЯ існує и Я така,

uR — У ] (dij (x, t )u Xit)xji, j =1

i=

Y (bij (x , t )uRi )Xj + Y Ci (X} t)uRi +i j = i=

+a0(x, t ) l uRlq(x)-2u R + b0(x, t ) u R =n

= f R(x , t ) — Y R ( x , t ) ’i=

R

<

иняє крайові і початкові умови(4), и Я Є С([0,Т]; НІ(ПЯ)), иТ Є

Ф ) ^ Я ) П С ([0,Т ]; Щ ’ 2 Ф \ПЯ))*), и и Є

ЩХ0'Ф ) № ) У а

e,s,sinf q(x) < q(x) < e s s sup q(x) < + ж такі , щ о \\дщ Lq(x\ Q )\\ ^ С, g^ — g e Q. Тоді g Ц — g слабко e Lq(x)(Q).

Д о в е д е н н я . Нехай {N}))= 1 - зростаюча послідовність чисел, як і прямують до + ж . Покладемо En = {x| x Є Q і lg^(x) — g(x) l ^ 1 для у ^ N }. Зауважимо, що Е1 С Е2 С • • • С En С . . . і mes (En ) — mes Q при N — ж оскільки g^ — g майже всюди в Q.

Нехай ^ ^^^жина функцій р зLq'(x') (Q) з носієм En і Ф = Р| ФN, Ф -

Nщільна в Lq/(x)(Q). Візьмемо р Є Ф. За теоремою Лебега J p ( g — g ) dx — 0 при у — ж

п(бо р Є Фn0 і якщо вибрати у ^ N0, то

f ir J f i , якщо |x| ^ R,

0, якщо |x| > R, і Є { 0 ,1, 2 , . . . }.

Продовжимо и Я нулем на QT \ QЯ. Виберемо Я = Я 0 + 1 ,Я0 + 2 , Я 0 + 3 , . . . . Позначимо через и к’т = и к — и т , де к , т Є П, фЯ(х) = [ки(х)]в , в > 1, а

( Я2-\х\2 І І ^ о, , . — У-1- , якщо х ^ Я,кп (х ) = { Я

0, \ х\ > Я.

Виберемо в означенні 1 функцію V = иУфив- *1. За теоремою 2 [6, с. 51], врахувавши умови теореми 2, в першому інтегралі отриманої рівності можна проінтегрувати

частинами. Тому для k, m > R (враховуючи, де d° = max ess sup Idij (x, t)|.що на От різниця f k — у т = 0, и\ — Рф = 0) з означення 1 випливає, що

i,j QR

QR

k \p(x)-2u k

i,j=1

x(u k’m^R)Xj+ y a i (x ’ t) {\<t\p(:k \p(x)-2u kUxjt

І2 = I ^ a i (x , t ) (\UU V(Qr i=1 v

(ukm ih)x<e-Kt d x d t >

i=1-\umtt\«x)- 2umtt) (Ukm tR)x, +

n+ Y 1 bij ( x , t ) u xm (uk’m^R)xj +

QR

\ 3 1 k,m C1fi (p1 1) k,mn .a o У 0iu x t --------------------u xit di +i p 1 i

i,j=1+ k,m 12'+ 2 \u t \ фRe dx dt +

2p(x)(2-3p(x))fi 2-p(x)

+ У c l ( x , t ) uxmuk^ R + a o (x , t ) xi=1

x(\uk\q(x)-2uk - \um \q(x)-2u m)uk’mikR+ X E \ф

Q2p(x)2-p(x)

2p(x) R 2-p(x)

■X

Rxi

+bo(x, t ) u kmu t ’ R= 1 \ ф рп х) 2

e dx dt+

1+ J ( u r )2фRe dx = 0. (5)

Позначимо r 1>(x)

2-p(x)

e K dx dt.

2p'(x)p'(x)- 2

- p x . Оскільк и \фRxi \ ф p[hR]e - 1 ,2p(x)

nRПозначимо через 9і \u k \p(x)-2u k _\ x•t \ x' t

ф \hR\e , TO

\и, тіі \р(х) 2 и ’ тіі . Зауваж имо, що за ви конай- \ьЯ\ ня умови (Р ) при р 2 ф 2 виконується оцій-

\'ФR,xi \ ^ p'(x) 2

2-p(x)ф

(в— 1) 2p(x) (3p(x)~2 2p(x) в)(в 1) 2-p(x) ( 2p(x) 2-p(x)в) =Г1

в_ 2p(x)\hR\e 2-p(x).

ка \9i\ ф C u r n \ p(x) де C - стала, яка Тоді f ( \ R,xiУ e Ktd x d t фзалежить тільки від р (х). Тод і \9г\р'(Х 1 фС1\икти е С1 = Ср,(х)-1І \вг\р'(х) ф С и Х т X Зафіксуємо довільне число д0, яке задовольняє умови 2 < д0 < ПП та 2 < д0 < д 1. Д ля чисел д0, д(х) , £ поточково виконується оцінка \£\10 ф \£\2 + \£\і(х). Оцінимо кожний доданок рівності (5):

/п

У йгз (х, фиХ’™(ик’тфЯ)хЄ-КІйхйгф

Я? * =1

~2

qr \ R x) 2іЯ 2Рі і іЯ 2Рі

Т Р п Яп \2Я\в - ^ = МІзЯп ^ , де Рпкоефіцієнт в рівності / йх = РпЯ п .

ВяДалі,

р пХз = у ^ 2 Ьгі ( х , і ) и Х’Г ик’т(іФЯ)Хз х

QRв 0

x e Kt d x d t ф — (ux;m)V R +/ І О

і \ л / k,m\2 d \ л { k,m\

d0 / у (uxit ) 2 / Mu xit )i=1

i=1

QR i=1

- — ( \ukm \q(x) + \ukm \2 ) +qo

X E

u

240\фRxi \ q0-2

- qo-2(qo - 2)fi q0-2

2qo

(ukm )q(x) + (uk'my

Xqo

- qo-2-d?kR + qo-2 x

x <q02- ~ ^ ^ ^ R ) q0-2 (фR)-2-qo 2

2q0 1 q0-2

-2-q0 i=1 W r q0-2

1

2qo i=1e d x d t ,

фRe dx dt,де в o = ш а ш з sup\bi,j(x,t)\.

i j qr

1 1

x

я ?

^ 2 Ьіз{х, і )икхт и хт + І,3 = і

к,т„.к,т+Ьо ( х , і ) и ,ти фЕЄ СхСі ф

Ф

п?

Фо І ^ и к’т \2 + \ик т \22 2

фЕ є кт С х -

- у / + ^ ' ’Т Ф е вх+п?

+ 2 УЯт

( к в о - Рі )\Уик,т\2+

+ (к р00 — в 0і)\ик,т\2 Фе є Сх Сі,

хфЕє кт Сх+

Я?П

к + 1 - м - 6Со - 6 Д х2 2 2до 2 д о )

к,т\2 , С і5 (Рі - ї м , « к,т і ,х ( и Ф ) + а о ---------- —— у в и Ф і і \+

6Со \ п

+ Т (Со - Д Д > Т )' І=1

п

) Т , ( « Х т ) 2 + І “ о

І=1в °6 р 0

2 6 х хІ=1

к в 0 в і — г2 2

6 в 0 6Со2до до

х

х\икт \і(х) + - ( к в о о - воі )\и к,т\22

Фея к Сх Сіф

Фіи 2чо

(до - 2)6 чо-2 С іфф [ \Фехн \^-2 і +

Я? І=1 ф- 2-чочо-2К

2р(х)(2-3р(х)) п 6 2-Р(х)

Е\ф .

2р(х)2-р(х)Ехі

де 6о > 0, в і = Ьффхф), в о і = 2=ф) І=1 \ ф ф (я т V і,і =і

2Р(х) Д — +1------ 1 ' р' (х) 2

єбб вир л/Щфхф), в оо = Є!3!3 вир Ь)(х, і ). Далі,Ят Ят

пX до- 2 (Фе ) ф ф Е )

2до І ґ і

2чочо-2х3

в о - чо-2+ — 6 чо-2 х 2

є К Сх Сі.

п5 — І \ г (™ +\„.кт„.кт„і, „ - кІ5 = офхф)их,тщ ’тфЕе К СхСі ф

Я? І=1

ф 2 1 (6 \^ик,т\2 + 6\щ’т \2)фЕЄ- к СхСі,Я?

пр о = евв вир Ф2 с 2(х, і).

я ? І=і

І6 — І а о ( х . і С \ и к \«<х) -2ик - - 2и ' Л хЯ?

х и к,тфЕє к СхСі Ф

Ф а о ( \щ’т \д{х)фЕє - К СхСі.Я?

На підставі оцінок інтегралів І 1 - І 6 з рівності (5) отримаємо оцінку

п?( и кт )2 + в о ( У и к’т)2 + в о о ( ик т )2]х

Виберемо числа 6 =™ п { ; Ф л ; Ш }; * = ^ Ф +вО £ Оі; + і ; 26 + 4 ( і + в 0) + ^ }.

Я 1Я 0 к т

к > Я 1у в > Я 1. Тоді з попередньої оцінки Я > Я1

( Я - Пі )вП?!

( щ ’т)2 + \Уик’т \2 +

+ \ик т \2 Сх + (Я - Я і ) в

?

/ к,т\2 і( иФ ) +

+ Т , ( и кхт ? + Т М т )2 +І=іп

І=і

+ £ \ в и і т \ + м ї(і) +І=і

СхСі Ф

ф Мі ( я п+в-2 -1 + Я п+в- я - 2 ^

де стала М 1 те залежить від Я. Отже,

dx+

НІСТЬ

+

(ик,т)2 + \Упк т \2 + \ик т \2

/п п

и т т + 2>хя2 + 5>хп2+,• і -•__і

[ - Ьгик + У (х > )и х ^ +Ят і,І=1

+ У а і (х , і)\икХіі \р(к \р(х)-2 и ки хіі'ихі +

Ягі=1 і=1 і=1

+ Е \ f i d m \+ іи,\«(х) + \ик т \2і=1

й х й і + X ! Ьіі (х,і)икхіу хі + У Сі (х,І)икхіУ+

і,І=1 і=1

ЯЯ Я1

2рі доЯ ~ 2 - г + я ™- д— ) . (6)

+а0(х, і )\ик \д(х 2и кV + Ь0( х , і ) и ку -п

— ( х , ф - ^ 2 М х , ф х ^ d x d t+і=1

+ и V dx — и1 (x) v dx = 0

О.Т По

Д ля достатньо великих Я при п < 2-ррі та для випадку, коли д 1 > 2 і п < І— ,, тобто, для довільних степенів р(х) Є ( ; 2] та д(х) Є (2, ж ) , права частина цієї нерівностіє як завгодно малою. Отже, з (6) ви- обмежений носій. Перейдемо до границі при пливає, що [ и к}£°=1, [иХ.}™=1, [ и к}-=1фундаментальна в С ([0 ,Т ]; Д2ос(О)), матимемо[ик}г=1, [ и к}?=1, [иХ. }-=1, [ихгл г =1 вЬ2([0 ,Т ]; Ц ос(О)). З леми 1 [6, с. 46] та (6)

для всіх функцій у Є У2дос (От), я к і мають обмежений носій. Перейдемо до границі при к ^ ж . Врахувавши отримані збіжності,

оп

[ — у и + У йгі (х, і)ихііУхі +і,І=1випливає, що \\ик — ит; Ьд(2 (О)\\ ^ М 1. ЯТ

Тому {и1к} ==1 збігається сильно в ™Ьд(х') ([0 ,Т ]; Ц С (О)). Оскільки {и'хіг}Гк=1 + 5 ^ Т (х> )\и хЛ \р(х 2их^хі +фундаментальна в Т2([0 ,Т ]; Ьдос(0 ) ) , функція р(х) < 2, то {их.і }к=1 фундаментальна

і=1

в Ьр(х)([0,Т]; Ь р С Щ ) .Оскільки ПОСЛІДОВНОСТІ [иХіі}’к°=1, [ и к}—=1

збігаються сильно в Ь2((0 ,Т ); Ьдос (О)), то існує підпослідовність цих послідовностей, яка збігається майже всюди на кожній обмеженій підобласті області От. Збережемо за нею те саме позначення. Крім того, з [1] випливає, що \\иХі і\р(х') -2иХіі ; Ьр0(х)(О)\| ф М 2. З леми випливає, що

І У Ьіі (х, г )ихіVxj + У Сі (х, г)ихі v+ і,І=1 і=1+а0(х, і)\щ\д(х - 2и ^ + Ь0(х, t ) u v —

к \р{х)-2и ки х ,/ 1 хЛ к

х)-2и хіг

слабко в Ьр'(х)( [0,Т]; (О));

к\д(х)-2и к\ик\д( к \щ\д(х)-2 иг

слабко в Ьд(х)( [0,Т]; Ьд(х\ 0 ) ) .

— ( х , ф — У /i(x,t)vxi] dx dt+і=1

+ J u tv dx — J u 1( x ) v d x = 0Пт По

для всіх функцій v Є У2>іос т) з обмеженим носієм.

Звідси випливає результат теореми 2. Аналогічно доводимо теорему єдиності

розв’язку.Т ео р ем а 3. Нехай в и к о н у ю т ь с я у м о в и

т е о р е м и 2. Тоді у з а г а л ь н е н и й р о з в ’я з о к з а дач і (1), (2), (3) є диний .

и 1Д ля функцій {ик в и к о н у є т ь с я р ів- і и 2) задачі (1), (2), (3). Тоді їх різниця и1,2


1

в

П\ — U2 задовольнятиме рівністьn

[K2 (ult ’2)2^R + Y 1 dj (x’ t ) u Xi(u l'2pR )xj +Qt i,j=1

+ Y 1 a i ( x , t ) ( I u l i t I p(x) 2ul it —I u lHt\p(x) xi=1

x ( u l ’2 P r )h + Y 1 bij ( x , t )u ll2(ut 2^R)xi +i,j=1

n+ Ci (x, t )u ll:2u 1t ’2pR + a o (x , t ) x

x ( I u I q(x)- 2u l — Iu2t \q^ - 2u 2t ) u l ’2 R+

+b0(x, t ) u 1,2u l ' 2 ^ e -Kt dx dt+

+ 1 / ( u lt 2) 2 R e -KT dx = 0. n

Аналогічно як в теоремі 2 отримуємо оцінку

( u t ’2)2 + I V u 1'212 + I u 1'212 dx+

n Ri

+ f (u l '2)2 + ^ ^ (u l 2t )2 + y Su X'2)2+i=1 i=1

qRi

+ I @iu X'2t I + I u t I q(X + I u1,21 2i=1

dx dt ^

RR — R 1

■n- 2pi n - mRn 2-pi + Rn qo-2

Д ля достатньо великих R при n < Ppp- та для випадку, коли q1 > 2 і n < qo

qo-2 ’ 2nT 0 6 -

то, для довільних степенів р(х) Є (2+п; 2] та д(х) Є (2, ж ) , права частина цієї нерівності є як завгодно малою.

4. Dinu Т. L. Оп а nonlinear eigenvalue problem in Sobolev spaees with variable exponent// Сибирские электронные математические известия,- 2005. - Т. 2. - С. 208-217.

5. Лавренюк С. П., Процах Н. П. Мішана задача для одного параболічного рівняння // Мат. методи та фіз. - мех. поля. - 2000. - Т. 43, 3. - С. 56-63.

6. Бугр ій О., Доманська Г., Процах Н. Мішана задача для нелінійного рівняння третього порядку в узагальнених просторах Соболева //Вісник Львів, ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2005. - Вип. 64. - С. 44 - 61.

7. Доманська Г.П., Лавренюк С. П., Процах Н. П. Задача для нелінійного гіперболічного рівняння третього порядку // Наук, вісник Чернів. ун-ту: зб. наук. пр. Математика. Чернівці. ЧНУ. - 2005. - Вип. 269. - С. 34 - 42.

8. К о ж а н о в А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. - Новосибирск, 1990.

9. К о ж а н о в А. И. Краевые задачи и свойства решений для уравнений третьего порядка. - Новосибирск, 1989.

10. Zhijian Yang. Cauchy problem for quasi-linear wave equations with nonlinear damping and source terms // J. Math. Analisys and Appl. - 2004. - Vol. 300. - P. 218-243.

11. Шишков A.E., Слепцова П.П. Существование растущих на бесконечности обобщенных решений смешанной задачи для некоторых эволюционных уравнений// Докл. АН УССР, Сер. А. - 1989. - № 12. - С. 20 - 23.

12. Шишков A.E., Слепцова П.П. Классы един- ствености и разрешимости смешанных задач для некоторых эволюционных уравнений в неограниченных областях// Сиб. мат. жури. - 1991. - Т. 37, № 5. - С. 166 - 178.

13. Слепцова П.П., Шишков А.Е. Принцип Фрагмена-Линделёфа для некоторых квазилинейных эволюционных уравнений второго порядка// Укр. матем. жури. -2005. - Т.57, 2. - С. 239 -249.

14. Гаевский X., Гре г ер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. - М, 1978.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ1. Kovacik О., Rakosnik J. On spaces Lp(x') and

W l px) // Czechosl. Math. J. - 1991. - Vol. 41. - № 4. - P. 592-618.

2. Fan X.L., Zhao L. On spaces Lp(x) and Wm’p(x)// J. Math. Anal. Appl. - 2001. - Vol. 263. - P. 424-446.

3. Edmunds D. E., Rakosnik J. Sobolev embedding with variable exponent// Studia Math - 2000. - Vol. 143. - P. 267-293.

УДК 517.956

© 2006 р. І.Д.Пукальський


Н Е Л О К А Л Ь Н А З А Д А Ч А Д ІР ІХ Л Е ТА З А Д А Ч А ОП ТИ М АЛЬН ОГО К Е Р У В А Н Н Я Д Л Я ЛІНІЙНИХ П АРАБ О ЛІЧ Н И Х РІВН ЯН Ь З

ВИР ОДЖ ЕН Н ЯМ

У просторах класичних функцій з степеневою вагою доведенно коректну розв’язність задачі Діріхле для лінійних параболічних рівнянь з довільним степеневим порядком виродження коефіцієнтів за часовою та просторовими змінними. Знайдено оцінку розв’язку задачі у відповідних просторах. Розглянуто задачу вибору оптимального керування системою, яка описується нелокальною задачею Діріхле з обмеженням керуванням. Функціонал якості задається об’ємним інтегралом.

Correct solvability of Dirichlet’s problem in the spaces of classical functions has been established for parabolic equations under nonlocal condition for the time variable and arbitrary power order of coefficients with respect to the times variable and space variable. The problem of choice of optimal control by system circumscribed by Dirichlet’s problem with limited control is examined. The quality functional is determined by the volume integral.

В книзі [1] побудовано теорію класичних розв’язк ів задачі Коші та крайових задач у просторах максимально широких класів функцій для нерівномірно параболічних і Б- параболічних рівнянь, як і мають особливості обмеженого порядку на меж і області.

Коректній розв’язності крайових задач з нелокальною умовою за часовою змінною для параболічних рівнянь другого порядку зі степеневими особливостями на меж і області присвячено праці [2, 3].

Т ут за допомогою принципу максимуму і апріорних оцінок досліджується перша крайова задача з нелокальною умовою за часовою змінною для лінійних параболічних рівнянь другого порядку без обмеження на степеневий порядок виродження коефіцієнтів за всіма змінними, а також встановлено необхідні і достатні умови існування оптимального розв’язку системи, що описується нелокальною задачею Діріхле. Критерій якості задається об’ємним інтегралом.

Постановка задачі і основний результат. Нехай Б - обмежена область в Е™ з межею д Б Розглянемо в області а = (0 , Т ] х Б задачу знаходження функції п, я ка задовольняє в Q(0) = а \ {{(* ,х) Є

Q 11 = t i0 є ( 0 , T ) , x є Б ] U {(t, x) є Q 11 є (0 ,T] ,x = x (0) є Б ] ] рівняння

dt - У Aij ( t ,x)dxiд Хз ij=l

(Lu)( t , x) =

n- У Ai(t, x)dxi - Ao(t, x)

i=lu( t , x)

= f ( t ,x) (1)і нелокальну умову

Nи(0,х) + Е д- (х)ф ,х) = ф ) , (2)

3 = 1а на бічній меж і Г = ( 0 ,Т ] х д Б крайову умову

и|г = ф(ї , х). (3)де 0 < ї ї < ... < t N < Т , ї - = ї (0).

Особливості коефіцієнтів диференціального виразу Ь будуть характеризувати такі функції: в 1(11, ї ) = її — ї ^ ї 11 при її — ї (0)ї < 1, 81(І1, ї ) = 1 при її — ї (0Ц > 1; 82(І2,х) = їх — Х(0 ІІ2 при їх — х (0)| < 1, в2(І2,х) = 1 при їх — х (0)ї > 1; з(І; Р ) = з 1(І1, ї ) в 2(І2, х );

■ - ■ 1/2їх — х (0)ї у © - xi0 )

i=l

Позначимо через 0 , /3^, у (г/\ д ^ , а - дай- С“ (А + /3 , ф) і для довільного вектора £ сні числа, V Є {1, 2}, 0 > 0 Є (_ т о , (^ь ’ ’ ’ ’ п) виконується нерівністьр!ф ) > 0 7 > 0 і Є { 0 , . . . ,п } , к Є п{ 1 , . . . , п }, а Є (0 ,10 г - довільне число, [г] пі|£|2 0 £ > ( в і + в і ; р )Лі ( р ) « і < ^2ІСІ;- ціла частина числа г, в = {вь ■■■,вп}, 1 = іі=і{1 ( ))7^ 2}, в і = {ві ' , в і },/ = {/ь /2}- Озна- п ъ п 2 - фіксовані додатні сталі,чимо функціональні простори, в яких дослідж ується задача.

С г (7 , в ; /; ф) - простір неперервних фун- / (у)'кцій и, (Ь,х) Є ф, як і мають неперервні ча- т а х ( т а х ( і + в ^ ) ; тах (ц -^ ) — в ^ ) ; ~ стинні похідні в області ф(0) вигляду д £д 3хи, 0 і і 22к + Ц І< [г], для яких є скінченною норма V Є {1, 2} і Є {1 , . . . , п }, 7 = (0 ,у (2)),

20 Функції f Є С а (у, в ; До; Q), У ЄС 2+а(у , /; 0; D), ф Є C 2+а (Г), у (v)

IIй ; ч ,Р ; 1 ; ФІІг = IIй; ч , Р ; 1 ; Я ІІм+

+ !щ; і , в ; 1; ,

де, наприклад,

11«; ч , Р ; 1 ; Я Ь = 8ир0(/; р )Щ (р )|]+р ЄЯ

п+ ^ й и р [5(/ + 7 - /Зі; Р )ІдХіи (Р )|] +

1=1р ЄЯп

+ 8ир[5(/ + 27 — (Зі — в ; Р ) Ідхн д Хуи ( Р )|] +і і= 1 р ЄЯ

+ 8ир0(/ + 27 ; Р ) д и ( Р )|]. р ЄЯ

С г (дд Я) - множина Функцій щ, ф,х) Є Я , я к і мають частинні неперервні похідні в Я (0) вигляду дХщ, ІкІ < [г], д л я я к и х є скінченною норма

3 = (0 ,/ (2)), q,(x) Є С 2+a(D),

Nф(0, x) + Е qj (х ) ф( і і ,x)

j=i= ¥(x)\dD,

dDN

д хф( 0 ,х) + E [qj ( х ) ( д ф ( Ф ,x) - f (t j ,x ) )+j=i

n n+ (^ ] Aik (0, x)dXi + У [ Ak (0, x) ) X

ik=1 k=

x ^ (t j , x ) dxk q j (x ))]

N( У ] Aik(0, x)dxidxk + ^ 2 Ai(0, x)dxH +

cedD

ik= 1 i=l

+Ao(0, x )) p (x ) + f (0, x)cedD

30 М еж a d D належить класу С 2+cN

II u i ; ді ; Q || r || u i ; ді ; Q II [r] + 1 u i ; Дi ; Q ]

де, наприклад,

supD

\qj(x)\e xtj < A0 < ф де A - довіль-j =l

не число, яке задовольняє нерівність А <іп£(—Лоф, х ) ) .Я

, Правильна така теорема.и к ф |[г] = 8иР [в(^ і + |І |5 р )\д І и і ( р )\. Т ео р ем а 1. Нехай дл я з а дач і (1) - (3)

|j|<[r] P eQ вик онан і у м о в и І0 - 30 Тоді і с н у є є ди -„ . . ни й р о з в ’я з о к з а д а ч і ( 1 ) - (3) в п р о ст о р іПовністю означення просторів наведено у ^ 2+п/ 0 п ^^ i- і - j c za-^(y , / ; 0 ; Q) г для н ь о г о правильна оц і нка

Нехай для задачі (1) - (3) виконуються умови:

10 Коефіцієнти Ai Є C a ( y i ,Q) , і Є { 0 , . . . , n}, A0 < K < ж , K - const Aij Є

\и; у , в ; 0 ; Q|2+a < ^ f ; у , Ф ; До; Q|«+

+ !д ; 7,/3; 0; D|2+a + Ш ф 2+“( г ) ) . (4)

Д ля доведення теореми 1 побудуємо по- Т ео р ем а 2. Я к щ о ь т - к ла с и чн ий р о з в ’я -слідовність розв’язк ів крайових задач з з о к з а д а ч і (9) - (11) в о б ла с т і а і в ик о нан і гладкими коефіцієнтами, граничним значе- у м о в и 1 - 30, т о дл я ь т правильна оц інка нням якої буде розв’язок задачі (1) - (3). ,

в 1( 1 , і ) > \Ут\< ш а х іш а х \Б( - а о - А)_1\,Нехай Qm = Q P||(t , x ) є QQ

m - l , s 2 ( 1 ,x) > m 2 11 - послідовність обла- N

фт ( у q (x )l e xt j ) 1 )• (12)стей, я ка при m l ^ то, m 2 ^ то збігається maxдо Q, де m = {m l , m 2 ] , m ^ m 2 натуральні D j=iчисла, m l > 1 m 2 > 1. Доведення теореми проводиться за схе-

Розглянемо в облает і Q крайову задачу мою дОВЄдення теореми 3 із [2].n Існування розв’язку задачі (9) Д і ї ) вста-

dt ^ « новлюється такою теоремою.ij=l

р е м и 1. Тоді і с н у є р о з в ’я з о к з а дач і (9) - (11)

(Llum) ( t , x ) =

n- У a i ( t ,x)dxi - ao ( t ,x)

i=l(t ) = f (t ) г ^Ля н ь о г о п равильна о ц і нка ( 1 2 ).

Um ’ x f m ( ’ x ’ Д о в е д е н н я . Розв’язок задачі (9) - (11)(5) шукаємо у вигляді

N пи т (0 ,х) + У у- (х)ит (їз ,х) = р т (х), (6 ) Ут ( ї , х ) = Ет ( ї , х , 0 ,^)у т (0 ,^) д^+ут>(ї, х ) ,

3= 1 оФ г = ф ( ї , х ) . (7) _ ( 1 3

. 1 - е Де вгпІ( ї ,х) - розв’язок задачі (9), (11) з по-Коефщієнти а ц , а*, а0, функцїї тт , р т є— . Р . . , П і чатковою умовоюпродовженням коефіцієнтів А- , А*, Л0.І фун

кцій /, р 3 області Qm В облаС ТЬ Q \ Qm [4]. Ут (0,х) = Фт (х), (14)Позначимо через ф 1 ( ї ,х) -- продовження

ф( ї ,х ) ї з Г в ^ належності Em(t ,x, ° р ) _ Функція Гріна для задачі (9),класу С 2+а^ ) . В задачі (5) - (7) зробимо с ' ^69]- ,1.заміну Згідно з теоремою 2, для уП ( ї , х) пра

вильна оцінкаи т ( ї , х ) = Ут( ї ,х)в - Х + ф ^ ї , х ) , (8 )

ї ут) ( ї , х ) ї <де А задовольняє умову 3 . Одержимо

< шах(||Фт||с(о), \\Ет(—а 0 — А)-1 |С(д})(Ь2Ут)( ї ,х) = ( (Ь 1 — А)Ьт) ( ї ,х)= .

= фт( ї ,х)вХі — (Ьрф1 ) ( ї , х ) = Б ( ї ,х) , (9) Г\ Ет( ї ,х, 0 , 0 > 0, 0 < ] Ет( ї ,х , 0 , 0 % < 1.

Ут (0 ,х) + У у- (х ) в -ХІ2 Ут(ф , х) = Рт(х) — 03= 1 Задовольняючи нелокальну умову (10),

N маємо— ф 1 (0 ,х) — У у- (х ) е - Х 2 ф ф , х) = Фт(х), N

3= 1 (10) у т (0,х) + У-(х) е -Щ х

Утїг = 0. ( 1 1 ) 3Знайдено оцінку розв’язк ів крайових за- х Ет ( ї - ,х , 0 , 0 у т (0,0^£ =

дач (9) - (11)- Правильна така теорема. 0

152 Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер си т ет у . 2006. В и п у ск 314-315. Математика.

N^ Я з (х)е -ХЬ рАї (0-,х) = Т і(х ). (15)3=і

Розв’язок інтегрального рівняння (15) знаходимо методом послідовних наближень. Оскільки

* Г^ Я з ( х ) е -Х^х) е '"'3 І Ет (Ьі,х, 0 , € ) ут (0 ,£)д£ і=1 в

<

Іу

* Фт (0 ^ + ^ Ет^з ,Х,Т,ф)р (Т,С )3£0 Б

і змінивши порядок інтегрування, отримуємо

*г т (0 ,х ) = ^

і=і

іі

J & і Ет)(ф , х , г , с ) р (т, с № +0 в

N

< Т . І У з ( х ) І е-ХІз < Л0 < 1,3=1

то для розв’язку рівняння (15) правильна оцінка

К ( о , х )| < І Д Ц с ( б ) .1 — Л0

Підставляючи значення рт (0,х) у (13), дістанемо розв’язок задачі (9) - (11)-

Запишемо розв’язок інтегрального рівняння (15) у вигляді

+ Е У х ,х, 0 , о * т Х О З ів

(17)

де*

Ет (0 , х , Т , І ) = — ^ Яі (х) е Щ Ет фі , х , Т,ф) —і=1

*

в^ (х , У) ^ Яз (у ) е ХЬ Ет (із , У> п 0 3 У.

3 = 1Підставляючи (17) у інтеграл рівності

(13) і змінюючи порядок інтегрування, одержимо зображення

«т (0 , х) = Р\(х)+ / С (х ,у )Р \ (у)ду , (16)в

де С(х, у ) - резольвента, яка задовольняє інтегральне рівняння

*£ (х Д = X ] Яі (х)е Хіі Ет (Іі , х , °,£)

і=і

*/ ^ 2 я і (х) е ХііЕт фі , х , ° ,у Д ( у ,£ )Уу,

в і=ізвідки отримуємо оцінку

\ С (х , у)ду\ <в

А01 А0

Поклавши в рівності (16) замість (х)значення

*

Еі (х) = У ] Яі(х)е Хііі=і

хт (і, х) = J д г ! Ет(Ь,х, г ,£)Е( г ,€ № + 0 в

+ [ Ет ( і , х , 0 ,С)Фт (С)дС+

*

+ Еі =і

в. іі

дт г і ( і ,х,т,ф)Р (т,0 д £+0 в

+ У Гі ( і , х , 0Д Фт (£)дС в

(18)

де

г 3ф , х , т , 0 = ! е ( ° Д ,х , о,у ) е ( °)(0 , у ,т,С )3У,Б

І Є I і , . . . , N }.Розглянемо однорідну крайову за

дачу для рівняння з "замороженими "коефіцієнтами у точці Р1 Є Я (0)

Ет (і і , х , 0 ,С) Х (Ьох) ( і , х ) =в

д і 2 [ я ( в і + в і ; Р і ) хіі=і


і

хЛіз ( Р і ) д Хі дх у ( і , х ) = ! о ( і , х ) , (19) Еі = У д ф - (Зі- /Зз + а (ч - (Зт); Р і \хО-І3,г=1

Nу (0 ,х) + У Уз (х ) е -Хі2у ф з , х ) = <р0 (х), (20)

з=іу\г = 0.

Коефіцієнти диференціального виразу Ь0 обмежені сталими, не залежними від точки Р 1. За допомогою методики доведення теореми 3 встановлюється така теорема.

Т ео р ем а 4 . Нехай ф0 Є С а ( а ) , р 0 Є С 2+а (Б ) і в ик о нан і у м о в и т е о р е м и 1. То-

- х [2)\\дхн дхз Ут(Рі) - дхі дхз Ут(Рг2))\;

Е2 = У 3(2д - (Зі - в з + а 7 ; Р2)\і{1) - в 2)\ 2 хІ3 = і

х \д хі д хз Ут (Р і ) д хі д хз Ут (Р2 ) \;п

Ез = У 3(2д + а ( д - в г ); р і)\х[х ) - х [2)\- а х

х\діУт(Р(2)) - діУт(Рі)\;

=і

ді і с н у є є д и н и й р о з в ’я з о к з а д а ч і (19) - (20) в п р о с т о р і С 2+а( а ) і для, н ь о г о правильна Е4 = 3((2 + а ) д ; Р2 )\і( і - в р \ 2 \д^ ( Р і ) -

— д tУm (P2) \,

3(І; р и) = шіп(3(І , Ри), 3(1, р Г22)), V Є {1, 2}.

оц і нка

ІІУІІс2+“(д) Е с ( \\Іо\\єа(д) + ДоІД+щд)^

Введемо В просторі С 2+а( а ) норму Розглянемо випадок \х<в і - х <в 2\ <\\ут ; Ч , в ; І; Q||r , еквівалентну при кожному р П- 1 у ( ^ — в г ' Р ) = Т 1 а б о їД ) — Д ) ї < шц т 2 гельдеровій нормі, яка визначається р 2у ( 2^- р ) = т2 Нехай V = {(ї х) Є Q\|t — ЯК ||и; Ч , в ; І; Q\\r , тільки замість функцій НУ 2 \ Р)і ’ г81 (І1 , ї ) , 82 (І2 ,х) беремо ВІДПОВІДНО 3 1 (І1 , ї ) , ї ї < Р T2, їхг — х г ї < рТ3, г Є { 1 ’ . . . ,П/І- сІ2 (І2 , х ) , д е о ( І 1 , і ) = ш а х ( 81 (І1 в ) , т - Іі ) при БУДемо вважати, що 3 (1 , Р и ) = 3 (Т; Д ) . В І1 > 0 і О Ф ) = ш і п ( 8 1 (І1 , ї ) , т -1і ) при задачі (9) - (11) зробимо заміну у т (і , х) =11 < 0 02 (І2 , х) = ш а х (,82 (І2 , х ) , т -12) при Шт(ї,у\ Уг = 0(вг ; р 1 )хг> г Є {1 , . . . , п}. Тод і12 > 0 і д 2 (І2 ,х) = ш т ( 82(І2, х ) , т - 12) при ^ ( ї , у ) = ^ т ( ї , у ) 0 ( ї , у ) задовольняє кра-12 < 0 3(1; Р ) = 3і (Іі в ) 3 2 (12 ,х) .

Правильна така теорема.Т ео р ем а 5. Я к щ о вик онан і у м о в и т е о

р е м и 1, т о для р о з в ’я з к у з а д а ч і (9) - (11) правильна оц і нка

\Ут; Т, в ; 0; а \| 2+а Е С ( \\р ;!■>в ; б ; ^ 1 «+

+ \| Фт ; й , в ; 0 ; Б \2+а) ■ (21)Нерівність (21) одержується за методи

кою праці [2].Із визначення норм і інтерполяційних

нерівностей із [6, с.176] випливає існу-

нову задачу

д і - У 3 ( в і + в з ; Р і ) а з (Р і ) д уід У2із = і

Wm

У К - ( ’ у ) - а із ( р і ) ) 3 ( в і + в з ; Р і )хіз = і

пх д Уі д Уф т Е а і ( г ,У)3 ( в і ; Рі )ду і

і=і

вання в а точок Р і ( в 1') , хі , ■ ■ ■ , хп ) Р (2) ( і (і) Б ) Л 2 г (2') г (і ) г (і '))з \ ) і ) * * * ) з з ) з 5 •Т'П у

(ід - а о (І , У ) <Хп

П + У ' а і з (Р і )3 ( в і + в з ; Р і )хіз=і

,х(і)Р2( в 2') , х 2 , ■ ■ ■ ,хП2), для яких справедлива

одна з нерівностей:

1 \\Ут; 7 , в ; 0 ; а\І2+а Е Ек , к Є {1 ,2, 3 ,4},(2 2 )

X

х [дуі тд уз О + д У] и тд уі 0\ + ^ т хп

Т . (азз(Р і ) 3 ( в і + в з ; Р і ) ( д уід узп - д я\ + із = і

+р в , у )п = р і в , У ) , (23)

Д Враховуючи результати теорем 2, 5 дове-Wm(0 ,y) + qj (Y )e Wm(tj ,У) = ДЄМО ТЄОрЄМу 1.

j =1 ОскількиN

(Y ) e -xtj [ n( t , y ) — n ( 0 , y ) ] u m (t3 ,y )+ l lF ; Y ß; ^°; Q|a - c ( l f ; Y ß ; ^°; Q H“+

j =1 +ІЖІС2+“(Г)),+ S m(Y M ° , y ) = 4 ( y ), (24) |$ m; 7 , Д .0; B |2+a - c( l\v, 7 , ß ; 0; В\І2+<,+

Wm |r = 0, (25) + \M|c»+.(n). (28)де

_ / 1 ( t ,y ) Є H1/2n ( t , y ) = 1 n ’ л Д Л .у Tr / ЄМО

то, використовуючи нерівності (21), (28), ма-

°, ( t ,y ) І H3/4,

\dj3^n\ — c kjd - 1 ( (2j + |fc|)7 ; P 1 ); \Vm'; ß ;0 ; Q h+* — c ( l l f ; Y’ ß ; d °; Q ll«+

0 — 4 (t ' y) — 1 + \ ta 7 ,ß ;0 ; D|b+„ + \МД+.<Г)). (29)Hß = {( t>y) є Q | ß - t(1)\ — Д т 2. \y, - Права частина нерівності (29) не за-2T

2 l1\ — ß d ( y ; р 1 )р п - 1 , y l<11 = d(ß r ; р 1)тГ1 , леж ить від га і послідовності { У ^ і —

Y Z (d l 1(ßi; p 1)x j d - 1(ßh; Pi )x“0 { M P ) !} , { У р = {d(Y— Д ; P)\e„ vm.(P)\}.(2)j-) m ■ ■ {Vm } — {d(27 ß i ß j ; P ) \д Хі д хі Vm ( P Л})лими, не залежними від P^ 1 ому, на підставі <3)

теореми 4, для довільних точок {M1, M 2} С {Vm } = {d (2d ; P )\dtVm(P)\h P є Q piß- H1/4 правильна нерівність номірно обмежені і рівностепенно неперерв

ні. За теоремою Арчела існують підпослі-d - a ( M 1, M 2)\dj д{u m ( M 1) — d j dkum (M 2)\ — довності {V^y)} k є {0,1, 2, 3}, рівномір

но збіжні в Q. Переходячи до границі при — c (\F1 \с“(я 3/4) + \Ф\с2+“(Яз/^l t=°})) ’ (26) l ^ ж в задачі (9) - (11), одержимо, що

де d ( M 1, M 2) - параболічна відстань м іж то- u = v e -xt + Ф - єдиний розв’язок задачі (1) чками M 1 і M 2, 2j + \k\ = 2. - (3), u є C 2+a(y , ß; 0; Q) і правильна оцінка

Використовуючи властивості функції (4). n(t , y ) , означення простору С 2+“ (у, ß; 0; Q) і З а д а ч а оп ти м ал ьн о го к е р у в а н н я . Вповертаючись до змінних (t, x), знаходимо області Q розглянемо задачу знаходження

пари функцій ( u , p ) , на яких функціоналEk — c ( n 2pa + єа (п +2))[\vm; Y, ß ;0 ; Уз/4\Ь+«+

T+ c1 ( IIF ; ß ; 2 T; Q \a + ||$m; 7) ß7;0; Д І 2+«+ I (p) = J dt J F ( t , x , u , p ) d x (29)

+ sup \Vm\), ° D

Q досягає мінімуму в класі функційє - довільне дійсне число, є є (0 ,1).

У випадку — x f 2\ > T in, або \t(1) — p є у = {p є C a (Q) t (2)\ > T2, використовуючи інтерполяційні

u

Ek — e a [ vm ; Y, ß ; 0 ; Q|2+a + с(ф и р \v m\. (Lu) ( t , x) = f (t, x , p ) ; u (0 ,x ) +

(27) NВраховуючи теорему 2, нерівності (22), + E q j (x ) u ( t j ,x ) = <^(x), u\r = 0 ( t ,x) .

(26), (27) і вибираючи p і є досить малими, j =1(30)


01 — p — Ф2},

Будемо вважати, що виконуються такі умови:

Теорема 6. Я к щ о ф ун к ц і я Н ( п т ,Хі ,р) з а а р г у м е н т о м р є м о н о т о н н о з р о с т а ю ч о ю

40. Функції фі Є С а ( а ) , ф2 Є С * ^ ) , дл я р Є V, т о о п т и м а л ь н и м є к е р у в а н н я Д р (0 = фі г о п т и м а л ь н и м р о з в ’я з к о м з а дач і

/ у \Уз (х )\ Е ^0 < 1 Ло < 0 / (ї ’ х ’р ) (32) Є Пт ( і , х , р (°Ф = п т \ і , х , М і , х ) ) .з=і Я к щ о ф ун к ц і я Н ( п т , \ і ,р) з а а р г у м е н

т о м р є м о н о т о н н о с п а д н о ю для р Є V, т о о п т и м а л ь н и м є к ерування , гр (0 = ф2

мають гельдерові похідні другого порядку о п т и м а л ь н и м р о з в ’я зком, з а д а ч і (32) єп р (0) (0) (0)

/. \ ( ґ~\\ Пг ь х )р ) п х ) ф 2 Ущі х ) ) '

Я ф , х , п , р ) визначені відповідно в областяха (і) = а х [фі,ф2\, а (2) = а х е і х іФі,Ф2\,

Ф, х) простору С а ( а ) .При обмеженнях 1 - 40 для будь-якого

р Є V існує єдиний розв’язок задачі (ЗО) із простору С 2+а( р , в ; 0; а ) і для нього правильна оцінка (4).

Покладемо

т

Хі ( і ,х) = 3т Ет ( г , £ , і , х ) хи

х д ит Я (т,Ф п т , р )3£+

N+ Х ] / ° Т ] Г3 (т,£, ї , х ) д ит Б (тЛ , и т ,р ) в Ф

3= 1 0 о

Н (ит, А1 , р ) = Б ( ї , х , и т , р ) + А1 ( ї ,х)ф ( ї , х , р ) .

Д ля встановлення існування розв’язку задачі (29), (ЗО) потрібно встановити розв’я зність допоміжних задач з гладкими коефіцієнтами.

Розглянемо в області Q задачу знаходження функцій (ит ,р) , на яких функціонал

тІ {р ) = ) л ) к

о и

Д оведення. Нехай Ар - допустимий приріст керування р (0') (Ь,х). Позначимо через Апт приріст функції п т ( і , х , р (°ф. Тоді Апт в області а буде розв’язком крайової задачі

(Ь і Апт)ф ,х ) = / ( г , х , р (0) ( г ,х) + Ар )

- / (і , х , р (0)Ф , х)) = А / (Ф,х , р ) ,N

Апт( 0 , х , р ) + ^ Уз (х)АптФз , х , р ) = 0,з=і

Апт\Г = °- (33)За допомогою формули Тейлора знаходи

мо приріст функціоналу І (р)т

АІ

(31)

досягає мінімуму в класі функцій р Є V, із и т

(Ь 1 ит) ( ї , х ) = І ( ї , х , р ) ,

NПт(0 ,х) + ^ 2 Уз ( х ) ит( ї - , х) = р(х) ,

3=1

итї г = ф( ї ,х) . (32)

Правильна така теорема.

2 вІ 2 [дит Б ( ї , х , и т , р )Аит +0 О

+ д іЯ ( ї , х , и т , р ) А р+

+ 0( ї Аи тї 2) + 0 ( ї Ар ї 2 )]дх. (34)Аит

використовуючи формулу (18), дістанемо1

Аит = ! Ет( ї ,х , ТД ) А І (Т,£,р)в£+0 о

N І2+ ^ / вт / Г- ( ї , х , Т ,0 АІ (т,Ф р ) вФ (35)

3=1 0 оПідставляючи (35) в (34) і змінюючи по

рядок інтегрування, знаходимот

А І = ! У [ дрН(ит,А1,р)Ар+0 о


tз

+0(|Дит|2) + 0(|Др|2)]дх. (36)

Якщо р = р (0)( і ,х ) і Н (ит ,Аі ,р) задовольняє умови теореми 6, то при досить малих Др маємо, що Д І > 0.

Нехай р (0)( і ,х ) - оптимальне значення, Д І > 0

теореми 6. Якщо Н (ит ,А і ,р) не є монотонною за аргументом р, то д рН ( и т , Аі , р) - зна- козмінна величина, тобто д рН (ит ,Аі ,р) > 0 в Я+ С Я і д рН(ит, Аі,р) < 0 в Я - = Я \ Я +. Використовуючи теорему про середнє значе-

Д/ dpH ( u m , Хі , р )Дрй і йх—

Q+

\dpH ( u m , \ i , p ) ^ p d t d x +

Q-

б) дл я д о в і л ьн о г о в е ктор а (е1,е 2) = 0 і (Ь, х) Є Я в и к о н у є т ь с я н е р і в н і с т ь

К ( е і ,е 2) = д 2гітF (Ь, х , и т ,р(0))е1+

+2дитРF (Ь, х, и т , р (0)) е і е 2 —

— Л1 ( і ,х)др>і (Ь ,х,р(0))е2 > 0.Д о в е д е н н я . Д о с та тн іс т ь . Нехай

Р(0)(Ь,х) задовольняє умови теореми 7. Покажемо його оптимальність. Надамо керуванню р (0)(Ь,х) деякого допустимого приросту Др і позначимо через Д и т відповідний приріст функції и т ( ї ,х ,р (0)). Тоді Д ит Я(33).

За допомогою формули Тейлора знаходимо приріст функціоналу I (р):

Д /+ J J [O(\Aum \2) + 0(\Др\2)]^х^ї =

Q

= dpH( um , , \ t ,P+) J J Д р д х д ї -

Q+

- \dpH(um, X - , р - )\ J J Др д ї дх+

Q-

+ U [O ( \ Дит \2 ) + O (^p\2)]dxdt.Q

При досить малому Др знак Д І визначається першими двома членами суми. Різниця перших двох доданків змінює знак в залежності від величини mes Q+, mes Q - -, Др- При досить малих mes Q+ і Др > 0 маємо Д І < 0 і навпаки, Д І > 0, якщо мала mes Q

Др > 0муму.

Т ео р ем а 7. Нехай H (ит ,Х\,р) н е є м о р

то г о , щ о б керування , р (0) (t, х) і в і д п о в і д ний р о з в ’я з о к и т Ч б х , ^ ) к рай о в о ї з а д а ч і (32) б ули о п ти ма ль ними , н е о бх і дн о т а д о с т а тньо , щ о б в и к о н у в а л и с я у мо ви :

а) функція , H (ит , Х\,р) за, а р г у м е н т о м р м а є в т о ч ц і р (0) мі н і мальн е з н а ч е н н я ;

І d t J0 D

dum F (t, x, И т,Р(0))Д «т +

1+dpF ( t , x ,Um,p ( ))Д р+ 2 (дит F ( t , x , U m , p ( ))x

х ( Д « т )2 + 2dUm dp F (t,X,Um,Р(0))ДUmДp+

+ d 2F( t , x,Um, р (0))(Д р )2) + O(^Um\2+“) +

+0(\Др\2+а ) dx. (37)

Підставляючи (35) в (37) і змінюючи порядок інтегрування, одержуємо

Д/ = J dt /0 D

dpH (Um,Xl ,p(0) )Дp+

+ - K (Д Um, Дp) + O(\ДUm\2+a) + O(\Дp\2+a) dx.

Оцінимо Д І знизу, враховуючи, що дрН (ит,Лі ,р (0)) = 0 за умовою а) теореми 7. Позначимо ф = т ї К (ф Д 2). За умовою

б) маємо Д > 0 для всіх (Ь, х) Є Я- Тоді

Кі (ДИт, Др) > Ді(|Ди|2 + |Др|2).

Отже,T

Д/ А Я dt \ Д u m \2 (1 — O (^ Um\a)) +0 D

+ \ Д p \2 ( і - 0 (^ p \ a )) dx.

Враховуючи співвідношення (35), маємо, що Д и т ^ 0 при Др ^ 0. Тому при досить

малих Др таких, що 1 — 0(|Дит |“ ) > - , 1 —

O ( \ Дp \а ) > 2 одержуємо оцінку,2'

T

Д/ > 2 dt / (\Дum\2 + \Дp\2)dx > 0.

Необхідність обгрунтовується аналогічно доведенню теореми 2 із [8].

Існування (и(т) ,р (0)) встановлюється наступним чином. Нехай р (0)(Ь,х) - оптимальне керування. Тоді дрН (иО?, Л1,р (0)) = 0 і д 2 Н (ит°) ,Л1,р (0)) > 0. Застосовуючи теоре-

х Р ,Аі )№, (38)

де ші - розв’язок крайової задачі

(Ьіші ) ( г ,х ) = 0,^і|і=о = ф(х),

^і|г = Ф(г ,х) .

Розв’язок системи (38) знаходимо методом послідовних наближень. Переходячи до границі в задачі (31), (32) при т і ^ то, т 2 ^ то одержуємо розв’язок задачі (29), (ЗО).


1. М.І.Матійчук. Параболічні сингулярні крайові задачі. - Київ: Ін-т математики НАН України, 1999. - 176 с.

2. И.Д.Пукальекий. Нелокальные краевые задачи для неравномерно параболических уравнений // Дифференц. уравнения. - 2003. - Т. 39, N 6 .- 0 . 777

му про неявну функцію із [7] до рівняння - 787. dpH = 0, одержуємо

p(0)(t,x) = w m u o

і W (U m U ) диференційовна функція за(0)ЗМІННИМИ Xi, Um .

Використовуючи формулу (18), у відпо-

3. Пукальський І.Д. Одностороння нелокальна крайова задача для сингулярних параболічних рівнянь // Укр. мат. жури. - 2001. - Т. 53, N 11. - С. 1521 - 1531.

4. Пукальский И.Д. Краевая задача для линейных параболических уравнений с вырождениями // Укр. мат. жури. - 2005. - Т. 57, N 3 . - 0 . 377 - 387.

5. О.А.Ладыженская, В.А.Солонников,

інтегральних рівнянь

t

відність задачі (31), (32) поставимо систему Н.Н.Уральцева. Линейные и квазилинейныеуравнения параболического типа. - М.: Наука, 1967. - 736 с.

6. Эйдельман С.Д. Параболические системы. - М: Наука, 1964. - 445 с.

7. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное уравнение. - М.: Наука, 1979. - 429 с.

8. Пукальський І.Д Функція Гріна параболічної крайової задачі і задача оптимізації // Укр. мат. жури. - 2000. - 52, N 4. - С. 567 - 571.

U(n°) = І d r І Em( t ,x ,T ,£)х0 D

x f (T , i W («Ю’ А М +

N tj

+ £ / dT / Г ( t ,x,T, 0x j =i 0 D

x f (t , ï , w ( U m u M + w i ,


T

Xi = dT Em(T,C, t ,x)dum xD

x F (T,5,U<0),W ( » m U i M T

+N

Z Jj=i 0

dT J Гі (T, i , t , x ) d um xD

УДК 517.95

© 2006 р. П.Я. Пукач

Національний університет "Львівська політехніка", Львів

М ІШ АН А З А Д А Ч А Д Л Я ОДНОГО НЕЛІНІЙНОГО РІВН ЯН Н Я ТИПУ К О ЛИ ВАН Ь Б А Л К И В НЕОБМЕЖ ЕНІЙ О Б Л А С Т І

Праця присвячена дослідженню першої мішаної задачі для нелінійного рівняння п’ятого порядку в обмеженій за часовою та необмеженій за просторовими змінними області. Розглянуте рівняння узагальнює рівняння коливань балки в середовищі з опором, що вивчається в теорії пружності, на випадок довільної скінченної кількості просторових змінних. Отримано умови існування та єдиності узагальненого розв’язку. Вказані класи існування та єдиності є просторами локально інтегровних функцій.

The paper is devoted to investigation of the first mixed problem for nonlinear fifth order equation in domain bounded with respect to time variable and unbounded with respect to space variables. Described equation generalizes the equation of beam vibrations in medium with resistance, which is studied in elasticity theory, for a case of any finite number of space variables. The conditions of the existence and uniqueness of generalized solution have been obtained. The classes of the existence and uniqueness are the spaces of local integrable functions.

У цій праці досліджено першу мішану задачу в необмеженій за просторовими змінними області для нелінійного рівняння

A (u ) = utt + Е\o\ = \ß\=2

Dß (aa ß (x , t)D<0ut ) —

У (al,i(x,t)\utxi\P1 2utx i )xi + a o o (x , t ) u t +i=l

I ^ ( - 1 ) ^ Dß (ba ß ( x ) D 0 u ) + b00( x , t ) u +l<\a\=\ß\<2

I У Ca(x, t ) D au + g ( x , u t ) = f ( x , t ) , (1)l <\a\<2

D a =d\a \

а ( a l і ■ ■■, а п ) 1дх\аі . . . дхпап

а і Є N и {0} , і = 1, |аІ = а і + ... + а п .Рівняння та системи вигляду (1), як і узагальнюють модель коливання балки у середовищі з опором, вивчають у теорії пружності. Актуальність вивчення крайових задач для таких рівнянь та систем пояснюється проблемою зношування контактних поверхонь [1]. Зокрема, у праці [1] досліджено існування слабких розв’язк ів мішаних задач в обмеженій області Н для системи двох

лінійних еволюційних рівнянь з частинними похідними першого та другого порядку за часовою змінною, одна з невідомих функцій у якій описує вертикальне зміщення балки. Відповідне рівняння такої системи u tt + autxxxx + buxxxx = / є частинним випадком рівняння (1 ) за умов n = 1 , ащ = 0 , i = 1 , . . . , n , аоо = 0 baß = 0 \а\ = \ß| < 1 ,c a = 0 1 < |а| < 2, g = 0. Формулювання загальних математичних моделей динамічних контактів пружних структур, як і описуються вищезгаданими рівняннями та системами, є сучасною та актуальною інженерно - технічною проблемою [2-4]. Зокрема, задача динамічного в ’язкопружного тертя зі зношуванням вперше була сформульована в праці [2 ], у [3] досліджено динамічний контакт м іж балкою та рухомою поверхнею, термопружний контакт вивчено в [4].

Задачі для лінійних та нелінійних еволюційних рівнянь і систем з частинними похідними першого та другого порядку за часовою змінною в необмежених областях розглядали багато дослідників (див. для прикладу [5-22]). Д еякі результати існування єдиного розв’язку у цих працях отримані в припущенні якісної поведінки розв’язку, початкових даних та правої частини рівняння

(системи) на нескінченності, інші результати (для певних класів нелінійних рівнянь)- без таких припущень. Першими у цьому плані були праці [17, 18], в яких розглянуто задачі для параболічного рівняння в необмеженій області. У [20] вивчено мішану задачу для слабко нелінійної системи гіперболічних рівнянь першого порядку з двома незалежними змінними. Праця [21] присвячена дослідженню першої мішаної задачі для слабко нелінійної гіперболічної системи другого порядку в необмеженій за просторовими змінними області. Нелінійна гіперболічна варіаційна нерівність другого порядку в такій області вивчена у праці [2 2 ].

Ця праця розвиває та узагальнює ідеї і методи дослідження мішаної задачі в необмеженій області, викладені в [2 1 ], на випадок рівняння п’ятого порядку (1), деякі коефіцієнти в якому можуть зростати степеневим чином при Щ ^ то. Отримано умови існування та єдиності узагальненого розв’язку без обмежень на поведінку при Щ ^ то розв’язку, правої частини рівняння та початкових даних.

В області Qт = О х (0 , Т ), де О С Е™, 0 < Т < то, розглядаємо для рівняння (1) мішану задачу з початковими умовами

u\t=o uo (x ) ,

ut\t=0 U\(X)та крайовими умовами

и\Stд и

0 ’ dV 0 ,St

S

R > 1 д П ? = Г ? u Г ? , Г ? = дП n дП? , rR = д П?\Г? .

У цій праці використовуємо так і функцій- ні простори:

r R(П?) = { и Є И 2 (П?) : и \r R = 0,

д ид и r R

2И0,Іос

(2)

(3)

(4 )

т = д Пх (0 , Т ) - бічна поверхня області Qт, V - одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні дП.

Припускаємо, що П - необмежена область з межею дП класу С \ Пк = П П {х Є К™ : |х| < Я} - зв ’язна множина для довільного Я > 1 з регулярною за Кальдероном [23, с. 45] межею дПя . Зауважимо,

Пусі зазначені умови [23, с.46, заув. 1.11]. Позначимо Q т = П х (0 ,т ), QR = Пя х (0 ,т ), Пт = Q т П{ІІ і = т} для довільних т Є [0 ,Т ],

(П)= { и : и Є И2г к (П?) VR > 1 } ,

Н ос (Щ= {и : и Є H 4 (П?) V R > 1} ,

W l PR(П?) = [ и Є W 1 p (П?) : и\гя = 0} ,

^ ї о К П = \и : и Є W l fR (П?) VR > 1

Ц ос ( П Ч и : и Є Lr (П?) VR > 1} , т є (1, +то].

Стосовно коефіцієнтів, правої частини рівняння (1) та початкових даних припускаємо виконання таких умов.

(А2) . max esssuр \aaв (x,t)\ 1 a 2R ш для\а \=Ш=2 (x,t)eQR

довільного R > 1 0 1 и < 1 де а 2 > 0;

'у а ав ( х Я)СаС@ ^ а 0д Ч \£а\\а\ = \в\=2 \а\=2

для довільних дійсних чисел і^а, \а\ = 2 , та для майже всіх (x , t ) Є Q t , де а 0,2 = const>^; функції аав (Н = \в\ = 1)> аавв (\о;\ = \в\ = 2 ), а 00,и Я 2аав(\а \ = \в\= 2 ), Я 1а ав ( \а\ = \в\ = 1) належать до L<х (Q t ); а00 Є L™ ((0 , T ) ; L ^ Q ) ) , а 00 ( х ^ ) > а 0 для майже всіх (x , t ) Є Q t , де а 0 = const; аав (x , t ) = а ва ^ Я ) для майже всіх (x , t ) Є Q t , \а \ = \Р\ = 2 -

(А 1 ) Функції а-]_,і, а 1,іх,, а 1>і1. належать до простору L!X(Q t ), причому а 1,i ( x , t ) > а 1 для майже всіх (x , t ) Є Q t, де а 1 - додатна стала, і = 1 , . . . ,п .

(В ) функції Ьав( 1 < \а\ = \в\ < 2), D 2b a e ( \а \ = \в\ = 2 ), Я 1Ьав{\а \ = \в\ = 1 належать до простору L™ (П), причому

^ Ьав (x)RaRe > Ь0 ,2 ^ Ы 2\а\=\в\=2 \а\=2


0

для довільних дійсних чисел 1 1 — 2 ти для майже всіх х Є П, де Ьо,2 — соші>0;

X ] Ьав (х)£а £в > Ь0,1 У|а| = |в| = 1 |а|=1

для довільних дійсних чисел | | — 1 ти для майже всіх х Є П, де Ь0>1 — сош ! > 0 ; функції Ьоо, Ь00,і належать до простору Ь ^ (Ят ) Ьав (х) — Ьва(х) для майже всіх х Є П, 1 < |а| — ІвІ < 2.

(С) Функції с а , с а , належать до ( Я т),1 < І а І < 2 .

(О ) Функція д (х , п) вимірна за х,неперервна за п, причому для довільних £,п Є К та для майже всіх х ЄП (д (х,£) — д (х_,іп ) ) ( С — п ) > до £ — п ІР,Ід(х,п)І Я д 1 ІПІР ) Де д о , д 1 _ додатні сталі, р > 2 ; функція д^ - неперервна за змінною £ для майже всіх х Є П.

Д ) / Є V ' ((0, Т ) ; Ц О М ) , р — р/ (р — 1), /, Є Ь2((0 ,Т ); Ь Д П )) . _ _

( и р .о Є Щ ДП ) П Щ Щ П ), щ Є И Д П )ПЩ щ п ) П ь £ - 2(П), щ * - V ™ Є Ь Ц П ) .

(Р 1 ) 1 < р 1 < 2, якщо п — 1, п — 2; 2п

< р 1 < 2, якщо п > 3.п + 2

Означення. Узагальненим розв’язком задачі (1)-(4) в області Я т називаємо функцію и Є С ([0, Т ]; Щ іос(П))таку, що щ Є С ([0, Т ]; ЬІос (П))Пь 2 ((0 ,Т ) ; и;о, ,ос(П)) п Ь ((0 ,Т ) ; Ь'Я (П )),я ка задовольняє умову (2 ) та інтегральнутотожність

Ят

ЩУі + У йав ( х А )В “щ В в V + Н = |0|=2

І У а і ,і ( х , і ) І щ ХіІР1 2щ ХіV; сі х й і +і=і

+ У ЬавВап В в V - / (х , Ф +4 і<|«| = |в|<2

+ с а ( х Я ) В а ^ + а 00 (х,ї)п{V1<Н<2

і х і і +

+ у g ( x , n t ) v d x d t + J щ ( х , т ^ ( х , т ) і х —

Ят п

+ b o o ( x , t ) n v d x d t — п ^ х ^ ^ , 0 ) і х = 0 (5) Ят п

для довільного т Є ( 0 ,Т ] і для довільної функції V Є С 1 ([0, Т ]; С'0°(П)).

Л ем а. Нехай виконуються умови (А 2) - ( С ) . ( Р 1 ) п п 0ки відповідно задачі (1)-(4) та задачі (2)-(4) для рівняння А (п) = /0 . Тоді для довільних т, Я, Я 0 таких, що т Є ( 0 , Т ], 1 < Я 0 < Я, правильна оцінка

\щ(х,т) — п°°(х,т )| +П?о

+ \Ва (п (х , т) — п°(х, т)) \|а|=2

+ / |~ У ] \в а {щ — п0)\ +\п г — п 0\Рн

і х +

dxd t +|а|=2

+ I У ( ІпіХіІР1 2Щхі — |п0ХіІР1 2п°іхі ) Х

Я?0 і=1

х {щ Хі — п Х ) dxd t < ^Я — Я 0

2Р1х ( Ы 1Я п~— + м 2Я”_ +

+ М 3 у \/ — /°\р dxd t

Я?

(6)

де д Є (2 ,р ) - довільне число, р >4д

і — 2 ’в — т іп ((1 — и )4 д ; 2 д) , М 1у М 2, М 3 - додатні сталі, я к і не залеж ать від щ и°, /, /0.

Д о в е д е н н я . Нехай Я > 1, т Є ( 0 ,Т ], р > 2 - д о в іл м і числа. Розглянемо фун-

( я 2- ^ ї ї < яКЦІЮ Р я ( х ) — { Я, ’ І І ^ ’ Оскільки

[ 0, ІхІ > Я.

'рЯ,Хі (х) яру 'рЯ,Хі X2 (х) Я > хІ ^ Я ’і , І — 1 ,...,п , де 61 - символ Кронекера, то ^^^^мьні о^шки |(^Я(х))Х.| Я 2 рр 'Я -1(х)./

( Р я ( х ) ) Х.Х. Я 6 у 2р ] - 2 (х). Зауважимо та. Зкож, що

Я — ІхІ Я 'Ря(х) Я 2(Я — ІхІ). (7)


2

Я?0

Позначимо т = и — и0. Покладемо V =та віднімемо від інтегральної рівності

(5) для функцій и / відповідну інтеграль- 0 0

АА1

А1

А1

0 0ну рівність для и , / , аналогічну до (5). МуЛЬТИщдЄксами А1 = (А ^ ^ А ^ ) такими, Використовуючи умови леми та результа- що о < А1 < Аг для всіх і = Такимти [24, теор. 2], робимо висновок, зокрема, шо т и Є Ь 2 ((0 , Т ); Ь 2 (ПК) ) для довільного Я > 1. Тому одержимо

w ttw t + а 00 (x, t ) w 2 +b0 0 (x, t ) w w t p Y? d x d t +

QR

+ У а а в (x, t ) D a w t D e ( w t p ? ) dx d t +qR \а \ = \в \ = 2

+ / У а 1 i i ( x , t ) (^txi \p ^ t x - K x i \p ^ x j XQR i=1

+

X {(щ - и°°)р1? ) Хі dx d t +

У Ьав(x )D a w D e ( w t p ? ) +

QR 1<\а\ = \в\<2

+ У C a(x , t )D a w w t p ?1<\а\<2

+

dxd t +

(,g ( x , и t ) - g ( x , и0 )) (u t - и0) -

чином, одержимо

[ У aae ( x , t ) D a WtDe (w tpR ) dx d t =Qr \а\ = \в\=2

= ( x , t ) D aw tD e w t pR dx d t +Qr \а\=\в\=2

+ / E E ( ^ а а в ( x , t ) D aWtXQR \а \=\Й=2 M=1, &<в

x D aw tD e - a pR dx d t + аав ( x , t ) D a w t x\а\ = \в\=2

x w tD e pR dxd t = I 1 + I 2 + I 3.

Інтеграли X\, I 2 оцінимо так:

I i ^ ao ,2 f У \Dawt\2pRdxd t ;

QR \а \=2

І2 ^ a2$i / E \Da w t \2 pR dx d t +QR \а \=2

QR

- ( f - f ° ) w t p ? d x d t = 0 . (8)+ C+ 61

У \Daw t \2p p 2R 2“ dxd t ,

QR \а \=1Перетворимо інтеграли рівності (8 ). Зокре- г . п п

1 /т-> \ лг тт лг* ° 1 > 0 додатна стала C 1 залежить від 7 , а 2.ма, з умови (Р 1 ) в ^ ^ ^ т є , що V С H С V де V = W0,pi (П ^ , H = L2 ( Qr ), причому

V H но. Тому, застосовуючи формулу інтегрування частинами [23, с. 177, теор. 1.17], отримаємо

1

Використовуючи результати [17, с. 222] можемо отримати

С1 6 2 '

QR

w ttwt<p? dxd t = 2 J \wt(x,T )\2 p ? d x . n R

I 2 1 а2б1 +

C 2

61\Da w t \2p ? d x d t +

QR \а \=2

+ ~6~ J \wt f P ? 4R 4шdxd t ,QR

Д ля наступних перетворень використаємо ^2 > 0 ДОДатна стала С 2 залежить від 7 , а 2. формулу Лейбніца похідної добутку функції п ^2' Виберемо далі довільне число д Є (2 ,р ) багатьох змінних

АD x(X f2 ) = Y , ( А ) D ^ f D - ^ h

Ak A

та продовжимо оцінювання:

lT rY - 4 п 4ш,\wt \ p ? R шdx d t =

QR

Г 0 4_4_2а 21 л С 505 Г= ІтіІ <к 1 Я шdxd t < + —— ІтгІР p 4Rdxd t +

Я? Я?

< 53 ! ^ І 9 p 4Rdxd t + + С ~5 J Іт І Р4Rdx d t + С6Я 4+п+(ш-2) 1—2 ,Я? 4 Я?

4 - 4 - 21 лР І 1 Я 4ш іх іЬ , п х а’ и, 05, а2-

05 > 0 додатна стала С 6 залежить від у , Т,+ Сз (63)

0 ? ' ' Продовжимо перетворення та оцінки ін-г — 2, 63 > 0 С3 > 0. Врахувавши очеви- тегРадів рівності (8 ).дну нерівність < ІтАр + іш,І2, отримає- г , ПМО ' І І . Р / £ а М(М ) ( К , Г - 2и,Х, — К щ Г ^ , ) ^

г г 0 ? '= 1/ І ^ І фЯ- 4Я 4шdxd t < 6 3 ^ І Р ф4Яdx d t +

Я? Я? х {(щ — и і ) ^ я /х

І2 ,/,7

х {(пі — п 0 ) р 4д ) Хі dx d t =

+ 03 [ І'ШіІ2 p 4Rdx d t + С4Я 4+п+(ш-1) 1—2, = а і Л х ^ ) {\піхі \Р1 п іхі—\Щхі \Р1 Щхі ) Х03Я? Я

причому додатна стала С4 залежить від у , х (щх. Щх. ) фЯ^х ^ +

Т Щ 6 3' _ 2 0 2 0Таким ЧИНОМ, одержимо Д Л Я Х2 оцінку + / У . а 1, і (х , і ) {\Щ хн ІР1 2Щ хі— ІиХ Г 2и°Хі) х

Я? і=1/ С 0 \ є я?12 « ( а201 + І т ) ] Е ІВ а^ Л І х І + Х п — п0) Р І „ і х і і = І4 + I

Я? |а|=2

С2О3 Л ІР 4 Л Х4 - ^ / 5 ] ( ІЩХіІР1 2пІХі—Іп0хі ІР1 ^ Х+ т - N рДі х ^ + ? і=і0 і 7 д я?

Я?

+ [ Ы 2 p 4Rdx d t + С2 С4Я 4+п+(ш- 1) — .Х {п іхі — < ) р \ і х і і ;

0і Я? 0і 1 < С7(а 1 , и , 1 ) 1 ^ 2 \ ІпіХі Г 2 п іХі —я ? і— 1Оцінимо далі Ят

І 3 а24 /Е |Вawt|2pRdxdt + п 0 Р1 - 2 п 0 — ІпіХіІ п

Я? |а|=2

хіх-\ ^іх- і пі — п \ р R dxd t —

/ п

^ 2 \ Іпіхі ІР1- 2 п х — ІпХ ІР1-2п0хі \ хі=1+ С [ І'ШіІ2 фЯ 4Я 2шdxd t , Ят

6 і ] Я І І 7-1 - Т + тЯ? х |щ — и°| фя Рі Рі dxd t <

64 > 0 д о д а т н а стала С5 з ^ е ж и т ь від % р п ,а 2. до ^^^^ртдньої оцінки можна < С766 1 Ї 2 іІиіХіІР1 2Щхі — іЩхі ІР1 2 и°Хі|Рі хотримати 0 я і=1

І 3 ^ а 20 / |Вa Wt|2p 4Rdx d t + x p 4Rdx d t + С8( а 1, и , р , 6 е , р 1) \п — п0 \Р1 х

Я? а |=2 Я?


Г

(Y - l - l Y l - l l )P1x p R 11 dx d t У

p nУ C7Ö6 П У \ htx, e - 2 u,x, - \uQi r - \ l , \ x

qri=1

x \utxi — u°tx. \ pR dx d t +

+ C8 \ut — u Q\Pl p R Pl dxd t ,

Перетворимо тепер

f У baß (x )Da w D ß (w tpR ) dxd t =Qr \a\ = \ß\=2

= baß (x )D a w D ßw t pR dx d t +Qr \a\ = \ß\=2

QR + J E Ea 1 = max esssup \ a 1yi(x, t )\ , Ö6>0, C7>0, QR \a \ ß 2 \CT\ l , a <ß

ßа Ьав (x )D a wX

i=1,...,n (x,t)eQTC8 >0.

Застосовуючи нерівність Гельдера, отримаємо

\ut — u Q\P1 pR Pldxd t

QR

QR

l l Y l l Y\ w t \Pl pR P1 2 2 dx d t У

У ö 7 \ w t \2 p R d x d t +

QR2

+ C9 (Ö7, p 1)l1YY- Pl- 2^

p R dxd t <

QR2ll

< 87 J \ w t \ pR dxd t + C\0 (87 , p l , n ) R 2- P i ,

QR6 7 > 0 , C 9 > 0 , C 10 > 0. Таким чином, одержимо оцінку

I < C 7& J |\ U,x. Г 1- 2и,х. - \ У0ГІ P ^ i l X

QR

x lutxi — U°Xi | pR dx d t +

+ C8S7 J \wt\2 pR d x d t + C8C i oR 1+n~^ .

QR

Крім того, можна отримати

|2 rY ,

x D aw tD e a pR dx d t +

+ У Ьав (x )D a w w tD e pR dxd t Qr \а\ = \в\=2

= I 6 + І7 + І8-

Оцінимо інтеграли I 6, I 7\

1X6 = -

2У (baß (x )D a w D ßw p R ) t dxd t >

QR \a \ = \ß \ = 2

b0,2>2

У \Da w (x , т) \2 pRdx

QR\a\=2

X7 у b2Ö8 у \ D a w \ 2pR dx d t +

+

qR \a \=2

\Daw I2p Y-27Ö8

У \Daw t \2pR 2dxd t ,

QR \a \=1

88 > 0 Ь2 = шах ввввир| Ьа/в(ж) | , додатна\а \ = \в \=2 хЄП

стала С 11 залежить від у , Ь2.Знову використовуючи результати [17],

можемо отримати

І7 У Ь2б8Т / у | я ат ( х , г ) | 2р ^ х + n R\а \=2

+ ■CllÖg

Ö8У \Da w t \2 pR dxd t +

QR\a \=2

I a 00 ( x , t ) \ w \ pR dxd t> — \a0\ I \wt \2 pR dxd t .

QR QR


+ ~Ö~ J \ w \ pR 4dxd t ,

QR

2

69 > 0 додатна стала С12 залежить від 7 , Ь2, п, 69. Міркуючи аналогічно до того, як отримано оцінку інтеграла Х2, завершимо оцінювання інтеграла Х7:

І7 Я Ь2бзТ [ ^ 2 \Оаш(х,т)\2ф1 х +

п Е

С 1169 '+

6*\Da w t \2 pR d x d t +

qr |a|=2

+ C l2 ^10 І \wt \p pR dx d t +6*

qr

+ ^ Г \wt\2 pR dx d t + Сі2С6* 6*

4qg —2 ,

QR8 10 > 0, додатна стала C 13 залежить від 7 ,8 10, Щ T -

Оцінимо тепер

Xg ^ Ьд811T ( |Daw (x ,r )\2pRdx +о* Н=2

C14812 Г+11

\wt\p pR dx d t +

+C 146

QR

14 12 f \wt \2 pR dx d t + C 15R 7+ra-— . 11 R

QR5

b Tx p R d x d t < —2— I ^ 2 \ D a w t \2 pR d x d t <

qr la l=1

<b1T

2613 / y ^ \ D a w t \2 pR d x d t + — x

J , , „ 613QR |a|=2

x I \wt \2 p R d x d t+ C 16( j ) I \wt \z pR zdxd t

QR QR

IX ,Y-2 <

< b T2

6 13 / "22\Da w t \2 pR dx d t +

qr |a|=21 Г t 7-і T 7

+ — \wt\2 pR dx d t + С 1б(т)“V x613 J -I 2

QR

x 6 14 \wt \p pR dx d t +

QR

\wt \2 pR dxd t + C 17R 7+

У2\Da w t \2 pR dx d t +

QRb1T 6 13

2QR |a|=2

- — 2 =

biT 1

2 V613

+

+ С 1е (у ) 6 u j J \wt\ pR dx d t +

QR

b1T C 16(Y )6142

\wt\p pR dx d t +

£11 > 0 S12 > 0, сталa C 14 > 0 залежить від 7 , b2, щ стала C 15 > 0 залежить від 7 , 812, n, T.

Крім того, одержимо

I У ] baß (x )Da w D ß (w tpR ) dxd t =Qr Іa І = Іß| = 1

= f Y baß (x )D a w D ßw t pR dx d t +qR |a| = |ß| = 1

+ I Y baß (x )D a w w t D ß pRdxdt=Xg + X10; Qr П=РІ=1

QR

+2«g—2 ,b1T C 16 (y) C17 RY+n -

2

b1= max esssup |baß(xK 813>0 , 8 14>0 ,|a| = |ß| = 1 жЄП

C16> 0, стала C17> 0 залежить від 7 T, n, 814 , b1-

X 10

X W< T f Y : ba ß (x )D a w tw tD ß p R dxd t <

qR |a| = |ß|=1

< b1 T 815816 ! Y j \D a w t\2 p R dxd t +QR |a|=2

Xg = Y baß (x )D ß w t D a \ w t ( x , t ) d t ] x + 0 T 615617 (C 18 + C19 (7 )) \wt\p pR dxd t +qr |a|=1 QR


Т

+ Ь1Т $15$п(уС 18 + С 19(1 ) + ^ ^ х

х j т і Ф хвхв і + С 20Я 1+П я-2 ,

QR^ 5 > 0 ^ 6 > 0 8 17 > 0 С 19 > 0, додатна стала С 18 залежить від у , 815, додатна стала С 20 залежить від у , Т, п , Ьь 8 15, 8 17.

Оцінимо тепер

/ Ь00 (х,і)ттіф>Хйхйі = Ь0 0 ( х , і ) х

QR QR

х т г (х, і ) й і т гф1к в х в і < Ь0Т х

х І І т І ф ф іхв і , Ь0= евзвир ІЬ00(х, і ) |о (x,t)ЄQт

QRКрім того, отримаємо

с а (х,Ь)Оа т т ^ 1к в х в і < С2— х

QR \а \=2

QR\а \=2

х І '^^|Da w\2 фХвхві + С2 І К |2 ф^вхд і ,

QR

Т

J ^ 2 Са ( х , і ) ^ !

QR

т г (х, і ) в і

+ С23ІЇГ+П -- ,

с 1 = шах ввввир ^ а (х , і ) ^ 8 18 > 0 819 > 0 , \а \ = 1 (х,г)^т

820 > 0, стала С 21 > 0 залежить від с 1} Т, 518, ^д, 8 20, у , стала С22 > 0 залежить від с 1, Т, 8 18, 819, у , стала С 23 > 0 залежить від с 1, Т ■, 818, 819, 820 , у , —

Завершимо оцінювання інтегралів рівності (8 ):

QR

( д ( х , и г ) — д ( х , и 0) ) ( и — и ° ) ф 1к йхй і ^

^ д 0 j т нГ ффіхйі ;

QR

! (/ — / ) т р п в х в і У 821 ! т ! ф^фхйі +

QR QR

+ С 24 I |/ — /°|Р ф^фхві,

QR

821 - довільна додатна стала, С 24 - деяка додатна стала, що залежить від р, 821.

Враховуючи наведені вище оцінки, отримаємо

де с 2 = шах ввввир ^ ( х ^ ) ^\а \=2 (x,t)ЄQт

Міркуючи подібно до того, як це зроблено при оцінюванні І 2, І 9, можна отримати

[ у с а ( х , і ^ а т т р І в х в і =^ \а\ = 1

|wt(х, т) |2 ффіх + 2 ( а0,2 — а 281 —

n R

С 182

81

8 С 1189 Ь1Т 8 13 і Т8 8— а284------ ;------------ --------Ь1Т 815816 —88 2

т гф'<вф х д і <

с 1Т 818819 ) / Е фф іхй і + (Ь0,2QR \а \=2

— 2Ь288Т — 2Ь2811Т ) х

< с{Г І ■£ < х ! у І О а т і х . г У р І в х + 2 ( д а

& Н =1 І ^ ^

С 28 :283

< с 1 Т818819 / Е Фх йхй і + С585 С 12810 С 14 812 Ь1Т С 16814QR \а \=2 84 88 8 11 2

— 821 —

+ С 2 ф’'Хв х в і + С 22820 J ф\в х в і + —Ь1T 8 15817(C 18 + C 19) — C 2282o j J ф\в х д,і +

QR QR QR


8 1

+ 2 (а1 — С7°б) І (\п гхі ІР1 2Щхі —

Я? і=і

— \п іХі|Р1- 2п і ) ('піХі — п 1х}) р \ і х ^ <

+ 2

< С2П Е |В a w \2p ''R dxd t +

Я?С203 С 505 С 12010 С 14012

0 і О4 0 і і+

Ь Т 1+ ~ ( Т + С16°м) + Ь1Т 0 15°17{ С18 + С19 +

2 013

+ о—) + Іа01 + Ь0Т + С21 + — J|wt| p'Rdxdt +Я?

+2 С2С4

0 іЯ 4+п+(^- і ) — + 2С6Я 4+п+(ш-2) 1— +2д_

+ 2С12 С і3 я 4+п - 1- + {2Сі5 + ЬіТСібСі7 +08

2а 2р1+ 2 С20 + 2 С23) Я 4+п- о- 2 + 2С8СюЯ4+п- +

+ 2С24 у |/ — /° 0 ф я ^ ^ .

0 ?Послідовно вибираючи належним чином

достатньо малі сталі 61 — 621, можна отрима-С162 С1169 Ь1Т 6 13ти а °,2 — а 2б 1 т------ а 2б4 ------ 7---------------- --

6 1 68 2Ь1Т615616 — с1Т618619 > ^ Ь°,2 — 2Ь268Т —2Ь 6 Т > 0 С263 С565 С1261°2 Ь2 6Пт > 0 д° —

У(т)— / \Ші (х,т)|2 + X ! \П<Хш(х,Т)|2 Ф я ^ , п? П=2

з останньої нерівності одержимо оцінкуТ

У(т) < С25(Я) + С 26 [ У ( ^ ,

^ 2 \Баш (х ,т )|2 ф1 х < С 25( Я ) е ° 2бТ. ОЦІНІ Мка (7) забезпечує, що Я — |Я°| Я фЯ(х) Я 2Я для довільного Я° < Я. Тому після проведених вище оцінок отримаємо

Я Я 0 \ы1(х,т )|2 +п ?0

+ С 8 0 7 ++ \Ва ы (х ,т )|2 ^ і х +

|а|=2

+ І ( ^ 2 |В°^|2 + |wt|p ^jdxdt

Ят? |а|=2+

+ (Я — Я 0 ) 1Я?

Еі=1

\п ІХі \Р1 - 2п ІХі

— \п іхі \Р1 2< ) {піХі — п °0х^ і х і —

— С27Яп+4 -— + С28Яп+4-2—Т +

+ С 29Я 4 І \/ — /0 \Р dxd t (9)Я?

О1О2 О4 О8О9С14012 Ь1Т С 16014—ё---------------- ---------- Ь1Т 0 і50і7(Сі8 + С19) —

0 11 2 1С 220 20 — 0 21 > 0 а 1 — С706 > 0

т, Я, Я ° 1 < Я ° <Я, т Є (0 , Т ], де С27, С28, С29 - додатні сталі, що залежать лише від п, р р 1; — 7 та коефі-

и и °/ /°Лему доведено.

Теорема. Нехай виконуються умови (А 2), (А 1), (В), (С), (С ), (Е), (И), (Р 1).

изадачі (1)-(4) в Я т.

Д о в е д е н н я . І с н у в а н н я . Виберемо послідовність областей {Пй}, к — 2 , 3 ,... таку, що У Пк — П. Позначимо БТ — д Пк х

( 0 , Т ), /к (х , ґ ) — | /С х ^ кі Я к икк(х ) —

п 0 (х)£к (х), п і ( х ) = щ (х )£ к (х), причому

0 €

де С 25 (Я ) , С26 - деякі додатні сталі, що не залеж ать від ш, причому С26 не залежить від Я. Тоді на підставі леми Гро- £к Є С (Кп^ £к (х) —

нуола робимо висновок: \ш,(х,т) |2 + £к(х) Я 1- Зрозуміло, що и'к Є И°і(Пк) ПП? И 4 (Пк), иІк ^ и° сильно в Щ >ІОС(П) П Щос(П),

1 , \х\ — к — 1 , 0 , х > к ,

Н ауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер си т ет у. 2006. В и п у ск 31—315. Математика. 167

4

uk Є H 2 (Ük) n H 4 (Qk) П L2p - 2 (Qk), u k ^ u iСИЛЬНО в H 2i o c ( n ) n H f o c{ ß ) n L t p - 2{ü)„ к ^ ж .Розглянемо в QT мішану задачу:

І ^ D ß üaß (x , t ) D a u —utt + У D' I a„\a\=\ß\=2

1- 2

i<\a\<2

4

u \t=0 = uk (x) >

u k (x),

d u

u t \t=0

0 .gk

к 2, к = 3, u

\u t (x,T) — u T (x,T ) \2 +ÜR0

+ |Da (u l (x, t ) — u m (x, t )) | dx +\a\=2

/ і о

£ ( K \p'~2utx. — К x„ i=i

qR0

x {ultx. — u y dxd t +

І |Da u t - u m\ 12 1 l ) 1 + lu t — u

m |p t dxd t

qRo a\=2

^ 2 [ a i , i ( x , t ) \utxi \P1 2 utxA + a o o (x , t ) u t +' ' xi1= 1

+ ^ 2 (—l)\a \Dß (baß (x )Da u ) + b o o (x , t ) u +i<\a\ = \ß\<2

+ g ( x , u t ) + ^ C a(x , t )D a u = f k(x , t ) , (10)

<

І

RR — Ro

RR — Ro.

C3oRn - — +

n 2pi C 31R +

+ C32(R) \\uo — um\\v +

І

(и)( 12)

(13)

RR R o

+ C 34 \\fl — f m I

С з3 \\u 1 — u m \\v пЬ2р - 2(Щ +

Lp' ((o,T );Lp' (Щ)) ’ (14)

На підставі [24, теор. 2] можна стверджувати: існує єдиний узагальнений розв’язок и к задачі (10)-(13) в QT такий, що М Є С([0,Т] ; И 2(Ок)), ик Є С [[0,Т]; Ь 2 (Ок))П Ь 2 ( (0 ,Т ) ; И 2(Пк)) П Ьр ( (0 ,Т ) ; Ьр (Ок) ) , и к Є Ь 2 ((0 , Т ) ; Ь 2(Ок)). Розглянемо тепер послідовність задач вигляду (10)-(13)

де V — Н А (Н) П Н0 (Н), С 30 , С 31, С 32, С 33,C 34 - додатні сталі, що залеж ать від щ р, Y Q, Рі та коефіцієнтів рівняння (10). Нехай є > 0 - довільне як завгодно мале чи

сло. Оскільки lim ------- — + 0 0 , то існуєq—>2+0 q — 2

таке ß 0 < ß , що n < ^ 0 . Оскільки, крімq — 2

r i R Y 1 •того, h m ( —-----— I — 1 то існує та-r— V R — Ro

k

нулем на Qт\QT■ Покажемо, що {ик} - фундаментальна послідовність в просторі С ([0 ,Т ]; И 2 ІОС(О)), а {ик} - фундаментальна в просторі С [ [0, Т ]; Ь 2оС (тт)СП Ь Ц 0 . Т ) ; И02іоос(П)) П Ьр ((0 , Т ) ; Ь 1 : (П )). В області Q 22 розглянемо різницю и 1 — и т , 1 ,т Є N Я > Я 0 та використаємо доведену вище лему. Аналогічно до (6 ) отримаємо

R i 1 n - -в02 ЄR-, — < - .ке R i > Ro, що C3o , n , --1 г

R i — Ro J 5Зазначимо, що з умови (Р 1 ) випливає існування таког о R 2 > R o , що

R2 n - ßpL ЄC 3 i R 2 2 P1 < - . Позначимо те-

Я 2 — Яо ) 5пер Я 1 = т а х { Я і , Я 2}. Враховуючи збіжності послідовностей { f к}, {и } і {п'і} у відповідних функційних просторах, можемо вибрати таке к 0 Є N к0 > [Я1] + 1, що для всіх 1, т > к 0 правильні оцінки

R i \ і

R i RoII £І £т ~

C33 l J — J 11 Lp' ((o,T);Lp' (Qr1 ) )< 5є

C3i( R l ) К — u ~R i \ 1

. v ytR ) < -

u _ г II2 _32 I|u i u i IIV(QR 1 )HL2p- 2(ür1 ) < 5

o o 11 vRR1) 5 ’ \ R i - R

XC32 \\u\- um\\l^ , 2 „n < є ,

X


k

2

є2

де V(ПЯ і ) — И 4 (ПЯ і ) П Щ (ПЯ і ) . Таким чином, з нерівності (14) випливає: для довіль-

Я ° > 1завгодно малого є > 0 існує таке к°(є)ЄП, що

J іЩ(х,т) — и Т (х ,т )| 2 +П?0

+ ( и 1 ( х , т) — и т ( х , т) )| 2 dx +|а|=2

/п

£ (іЩхі \Р1- Ч х , — К Г ^ ) х

? і=10 ? 0

х (и 1іХі — и Х^ dxd t +

+ [ ^ (и , — ит )| 2 dxd t +

0 ?0 а =2

+ \пї — пТ\Р dx d t < єЯ ?0

одержати оцінку

маємо п к \\ Р 1 - 2 кіхі п іх- ( \ п іх,

Р1 - 2п ІХі

Є ди н і ст ь . Розглянемо два довільних роз- и 1 и 2

можна отримати оцінку

\п 1(х , т) — п2(х ,т ) \2 +п ?0

+ \Ва (п1 (х, т) — п 2 (х, т))|а|=2

і х +

Я ?0 і=1+ І ^ 2 ( \ < \ Р1 2пХ — \п2х і г 2< і х

х {п\Хі — п 2ІХі) dxd t +

+ Ея 0

В (пі — п і ) \ +

Я

\ 1 2\ Р+ \п — щ\ dxd t —

Я

для довільних 1 ,т > к°, т Є [0 ,Т ]. Отже,Я °

{ик}, {ик} - фундаментальні послідовності відповідно в просторах С ([0 ,Т ]; И °Іос(П)) таС ([0, Т]; Ь о с Щ П Ь 2 ((0, Т ) ; И 2 ® ) ПЬР ((0 , Т ) ; ЬРос (П )). Таким чином, послідовність {ик} збігається до и в просторі С ([0 ,Т ]; Щ Іос(П)), а {ик} збігається до щ в С ([0 ,Т ]; Ь Ц Щ П Ь 2 ( ( 0 . Т ) ; ИІМ ( Щ П ЬР ((0 , Т ) ; ЬРос (П )). При цьому для фун-

иної збіжності {ик } до щ легко отримати [25, с. 25, лема 1.3], що д ( х ^ , и к) ^ д (х, t, щ ) слабко в ЬР ( ( 0 , Т ); Ьр1о с (П)). Зауважимо також, що аналогічно до нерівності (6 ), приймаючи и іХі = и кХі, и°Хі = 0 , можна

пІ ' ï2|utXi |Р1 dx d t < С34,

Я — Я 02Р1

X

х М 1Я п -— + М 2К 1-2—рГ

т Я Я ° 1 < Я ° <Я, т Є [0,Т]. Аналогічно, як при доведенні фундаментальності, одержуємо, спрямувавши Я ^ +то, що

\п 1(х , т) — п2(х,т ) \2 +п ?0

+ \Ва (п1 (х, т) — п 2 (х, т))|а|=2

і х +

Я ?0 і=1+ і ^ ( \ < \Р1 2< — ІпХ \Р1 2< ) Х

х {пІХ. — п 2ІХі) dxd t +

+ / [ Е \В (пі“ Ч 1 — п?) \ +

ОТ0 і=1С34 > 0, з яко ї на підставі сильної збіжності

Я? 0 |а|=2

і \ і 2 \Р+ \п — щ\ dx d t — 0

слабко в ЬРі ^(0 , Т ); '№І01’Рі (П)^. Таким и

неним розв’язком задачі (1)-(4).

Я ° > 1и1 — и2 майже скрізь в . Довільність Я°завершує доведення єдпності. Теорему доведено.

2

4

2

ХХ

Проблема встановлення описаних вище класів коректності мішаної задачі обумовлена як з огляду практичного застосування, так й з точки зору теоретичного вивчення різних крайових задач теорії пружності. Плануємо розглянути в подальших дослідженнях питання існування єдиного узагальненого розв’язку мішаної задачі для рівняння типу коливань балки з нелінійністю у старших похідних в необмеженій області.


1. Gu R.J. , Kutt l e r K.L., Shi llor М. Frictional wear of a thermoelastic beam // Journ. Math. Anal. And Appl.- 242 .- 2000,- P. 212 - 236.

2. Stromberg N., Johan ss on L., Klarbring A. Derivation and analysis of a generalized standard model for a contact friction and wear // Intern. Journ. Solids Structures - 13 .- 1996,- P. 1817 - 1836.

3. Andrews K.T., Shi llor М., Wright S. On the dynamic vibrations of an elastic beam in frictional contact with a rigid obstacle // Journ. Elasticity - 42 . 1996,- P. 1 - 30.

4. Martins J.A.C., Oden J.T. Existence and uniqueness results for dynamic contact problems with normal and friction interface laws // Nonlin. Anal.-11 .- 1987.-P. 407-428.

5. Слепцова И.П., Шишков A.E. Смешанная задача для уравнения распространения возмущений в вязких средах в неограниченных областях // Докл. АН УССР. - Сер. А. - 1988, № 11,- С. 28 - 31.

6. Шишков А.Е., Слепцова И.П. Существование растущих на бесконечности обобщенных решений смешанной задачи для некоторых эволюционных уравнений // Доп. АН УРСР. - Сер. А. - 1989, № 12,- С. 20 - 23.

7. Шишков А.Е., Слепцова И.П. Классы единственности и разрешимости смешанных задач для некоторых эволюционных уравнений в неограниченных областях // Сиб. матем. жури. - 1991. - 32 ,- С. 166 - 178.

8. Слепцова И.П., Шишков А.Е. Принцип Фраг- мена-Линделефа для некоторых квазилинейных эволюционных уравнений второго порядка // Укр. матем. жури. 57 ,- 2005, № 2,- С. 239 - 249.

9. Hoshino К. On a construction of weak solutions to semilinear dissipative hyperbolic systems with the higher integrable gradients // Nonlin. Anal. - 38. 1999,- P. 813 - 826.

10. Ohta М., Takamura H. Remarks on the blow - up boundaries and rates for nonlinear wave equations // Nonlin. Anal.- 33 .- 1998,- P. 693 - 698.

11. Li M.-R., Tsai L-Y. Existence and nonexistence of global solutions of some system of semilinear

wave equations // Nonlin. Anal.- 54 .- 2003.- P. 1397 - 1415.

12. Agre K., Rammaha M.A. Global solutions to boundary value problems for a nonlinear wave equation in high space dimensions // Diff. And Integr. Equat.- 14 ,- 2001,- P. 1315 - 1331.

13. Dragieva N.A. A hyperbolic equation with two space variables with strong nonlinearity // Godishnik Vish. Uchebn. Zaved. Prilozhna M at.- 23 ,- 1987, № 4 ,- P. 95 - 106.

14. P e c h e r H. Sharp existence results for self - similar solutions of semilinear wave equations // Nonlin. Diff. Equat. And Appl.- 7 ,- 2000.- P. 323 - 341.

15. Todorova G., Yordanov B. Critical exponent for a nonlinear wave equations with damping // Journ. Diff. Equat.- 174. - 2001.- P. 464 - 489.

16. Ohta M. Blowup for systems of semilinear wave equations in low space dimensions // Journ. Math. Anal. And Appl.- 240 .- 1999,- P. 340 - 360.

17. Bern i s F. Elliptic and parabolic semilinear problems without conditions at infinity // Arch. Ration. Mech. Anal.- 106,- 1989, № 3.- P. 217 - 241.

18. Вокала H.M. О задаче без начальных условий для некоторых классов нелинейных параболических уравнений // Труды сем. им. И.Г. Петровского. - 1989. - Вып. 14. - С. 3-44.

19. Majdoub М. Qulitative study of the critical wave equation with a subcritical perturbation // Journ. Math. Anal. And Appl.- 301 .- 2005.- P. 354 - 365.

20. Лавренюк С.П., Олі скевич М.О. Метод Га- льоркіна для гіперболічних систем першого порядку з двома незалежними змінними // Укр. матем. жури,- 54 ,- 2002, № 10,- С. 1356 - 1370.

21. Пукач П.Я. Мішана задача в необмеженій за просторовими змінними області для нелінійної гіперболічної системи другого порядку // Вісн. Львів, сії - ту. Сер.мех.-мат. - Вип. 64,- 2005. - С. 218 - 235.

22. Лавренюк С.П., Пукач П.Я. Варіаційна гіперболічна нерівність у необмежених за просторовими змінними областях // Доп. ПАН України. Сер. матем., природозн. і техн. науки. - 2006, 2. - С. ЗО-3 5 .

23. Раевский X., Гре гер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения,- Москва: Мир, 1978.

24. Пукач П.Я. Мішана задача для сильно нелінійного рівняння типу коливань балки в обмеженій області // Прикл. проблеми мех. та матем. - 2006. (в друці )

25. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач,- Москва: Эдиториал УРСС, 2002.



УДК 517.982.22

© 2006 р. Н.В.Сніжко

Запорізький національний університет, Запоріжжя

ПРО КРИ ТЕРІЙ КОМ П АКТН О СТІ В УЗАГАЛЬН Е Н И Х П РО С ТО РАХ ГЕ ЛЬ Д Е РА

В роботі встановлюються необхідні й достатні умови компактності множин в узагальнених просторах Гельдера функцій двох комплексних змінних, заданих на замкнених контурах Ляпунова. Умови сформульовані в термінах модулів неперервності, як і є структурною характеристикою вказаних просторів.

Necessary and sufficient conditions for compactness of sets in generalized Holder spaces of two variables functions which defined on closed Lyapunov contours, are established. The conditions are formulated in terms of moduli of continuity which are structure characteristics of the mentioned spaces.

Задача дослідження компактності тієї чи іншої множини в метричному просторі виникає доволі часто. Але використання для цієї мети універсальних критеріїв компактності не завжди зручне й доцільне, оскільки такі критерії не враховують специфіку кожного конкретного простору, в якому дослідж ується компактність різноманітних множин. Д ля класичних просторів відомі критерії компактності, наприклад, теорема Ар- цела - Асколі для простору неперервних функцій, теорема Колмогорова для просторів сумовних функцій Ьр , р ^ 1. В даній роботі встановлюється критерій компактності для часто використовуваних (зокрема, при розв’язанні бісингулярних інтегральних рівнянь) узагальнених просторів Гельдера функцій двох комплексних змінних.

Нехай у = у і х 72 _ довільний замкнений кістяк Ляпунова © і у 2 - замкнені контури Ляпунова на комплексній площині), ї Є у 1, т Є у 2. Далі, нехай ш(8І7 82) - деякий модуль неперервності, НфД, Н2(Д - відповідні йому прості модулі неперервності [1], як і задовольняють умови Зигмунда - Барі - Стєчкі- на. Позначимо через Иш (у ) = Иш узагальнений простір Гельдера, тобто простір неперервних на у комплекснозначних функцій

p ( t , r ), що задовольняють умови:

и і \ у ) . п , .Н (у ; и ) = sup — ^ С 1 (у ) ,йДгДо u (81,82)

TTtTf \ ^1,1(81,82' ; у ) . п , ЧН (у ; и ) = sup п ( )п ( ) ^ С2(у ) ,S2+S2=0 “ і (81)“ 2(82)

де ^ (81, 82; у ) І

^ 1,1 (81, 82; у ) = SUp \y( t 1 ,T1 ) - у (11, Т2)\t 1 - t2\<:5 1 \T1 — ^2 \ ^ 52

- у ^ 2 , п ) + у^2,Т2)\

- модуль неперервності і мішаний модуль неперервності другого порядку відповідно функції у (t, т); С\(у ) , С2( у ) - цілком визначені сталі, що залеж ать тільки від функції у (t, т). Норма в Нш визначається наступним чином:

І у ^ ,т)\\иш =

= \І у ^ ,т)\\с + Н ( у ; и ) + HtT(у ; и ) .

Відносно цієї норми простір Нш є банахо- вим [2].

В даній роботі встановлюються необхідні та достатні умови компактності множини в просторі Нш.

Позначимо через Q множину тих точок ( ( t 1,T1) , ( t2, t 2)) декартового добутку у х 7 , Д Л Я ЯКИХ t 1 = t 2 І Т1 = т2.

Т ео рем а. Д ля того, щоб множина М С Иш ( у ) була компактною, необхідно і достатньо виконання наступних умов:а) існує стале число к > 0 таке, що

£ к

\А - %\ <5, У - %\ <8,

\т[ - т” \ < 5, \т2 - т%\ < 5,виконані співвідношення

у У ,ті ) - у У ,т2)и У - і 2\ , \т' і - т20

у © тї ) - у У , Уи У І - і '2\ , \т'{ - т%\)

& у ,т1 У ,т2; у )

< є,

ЇЇ1 У - У У ( \т1 - Д 0У У т І У У у )

у У1 - Ц \ ) У (\т1 - т!2\)<Є

и ( К - К2\ , \т1 - т2\)

Уі У , т12) - уі (У т222)

для будь-якої функції у (ї, т) із М ;б) для будь-якої замкненої множини У і7 що МІСТИТЬСЯ В У і для будь-якого є > 0 існує 8 = 8 ( є , у 1) > 0 таке, що при будь-яких( ( ї і ,ті ) , У , т2 )) є У ь ( У У ) ' , У , У ) ) є Уі ,як і задовольняють нерівності

и У 1 - Щ\, \У - т2 \)

& У ,т1 ,і'2,т2; Уі)У У і - У У У - т2\)

АУ, тїУ ,т22 ; Уі)

Є< 3 , (4)

П і ( У - і ’У У У Ї - т>>\)Є3 ’ (5)

де і = 1, 2 , . . . , п .Нехай у (і , т) - будь-яка функція із

Иш ( у ). Оскільки функції у 1 ( і ,т), у 2 ( і ,т), ..., у п (і , т) утворюють |-сітку, то для у (і , т) знайдеться у з ( і ,т) така, що

(1)IIу - у з\\нш ^ 3 • (6)

(2)

Нехай (У ,т1) , У , т2) ) , ( У , т1 ) , У , тУ - будь-які точки із У І7 що задовольняють умову (1). Запровадимо позначення:

У (ї ,т) = у ( ї ,т) - у і ( ї ,т ) -

Тоді з (4) і (6) одержуємо:

у У ,т1) - у У ,т2)

(3)

и У - У , \т1 - т2\)

у У , тї ) - у У , У

для довільної у (ї, т) Є М. В нерівності (3) використано позначення

У ї і , т і , Ї2 ,т2 ; у ) = у ( ї і , ті) - у ( Ї 2 , т і ) -

У(ї і , т2) + у(Ї2,т2).Д о в е д е н н я . Необхі дн і сть . Нехай мно-

МВ силу теореми Гаусдорфа для М існує |- сітка. Нехай ця сітка складається з функційу і ( ї ,т ф у 2 ( ї ,т ф . . . 7 у и ( ї , т ) .

Нехай тепер У і є будь-яка замкнена множина із У Тоді для є > 0 існує 8 = 8 ( є , У і ) > 0 таке, що для всіх точок( У , т і ) , У , т2 )) Є У ь ( У У ) , У , У ) ) Є Уі , що задовольняють умову (1), виконуються нерівності

у і У ,т1) - у і У ,т2)

+

и У - У \т1 - т22\)

Ф У ,т1) - Ф У У 2)иУ - У \т1 - т2\) ФУУ) - ФУ,У)

<

+

и ( К - Ц\, \т12- т2 \)

Уз У ,т1) - Уз У ,т2)

+

и У - А\, \т1 - т20

Уз (і Ф т12) - Уз УФ У )и У 1 - % \, \т1 - т22\)

< Є.

Аналогічно, на підставі (5) і (6), доводиться виконання нерівності (3) (викладки не наводятся з огляду на їхню громіздкість).

Д о с т а т н і с т ь . Нехай для множини М С Иш ( у ) виконуються умови а) і б) теореми і { у п (і , т )} - довільна послідовність із М. Тоді маємо:

\\уп (і , т)||с ^ к, И ( уп , и ) ^ к,

Иіт (р п ; ш) ^ к , п = 1, 2 ,.... (7)

Звідси, згідно з теоремою Арцела - Аско- лі, послідовність {р п (Ь,т)} є компактною в С (7 ). Без обмеження загальності можна вважати, що {р п (Ь,т)} збігається в сенсі норми простору С (7 ).

Нехай , т(г) , (^2\ т ^ ^ - зліченнащільна множина точок із Q. Тоді на підставі нерівностей (7)

Рп І ^ \ т (гА - Рп ( $ , т (%)вир

ш А) _ .(і) 11 12 т (0 _ т (і) т1 т2

вирі

А( . 1 \ т1г\ к 2 \ т2г); Рп)

Н1 ( .(і) .(і) Ь1 12 ) Н * ( т ( г )_ т (г) т1 т2 )А к.

Рпк [ і 1 \ т1г)) - Рпк ( і 2 ),т2 )

ш .( ) .( ) Ь1 12 т(г) т(г) т1 т2

А (і 1 ] , т(г) , і 2 ) , т(г); Рпк)

Н1

сбігаються. (г) т(г)Ні , т1

.( ) .( ) .1 - .2 Н2 ( )Т і - т

кожної

ш ( і - Ь2\ , \Т1 - Т2 \)

Рпт ( і 1,т1) - Рпт ( і2,т2)

<

ш ( і - І2І , \Т1 - Т2І)

Рпк ( і 1,т1) - Рпк ( і2,т2)ш (\І1 - І2 \ , \Т1 - Т2І)

Рпк [ і<1) , т1 )) - Рпк ( $ , т()

+

ш ,(г) _ .(і) Ь1 12 т(г) т(г) т1 т2+

Рпк [ І1) , ті )) - Рпк ( і 2) , т2 )

ш .( ) .( ) .1 - .2 ( )ТІ - т

( )

( ) ( )Рпт [І1 З ті - Рп Лг) т(г) 12 , т2

ш .( ) .( ) .1 - .2 ( )т т ( ) +

+ Рпт ( і 1,т1) - Рпт ( і2,т2)ш (\І1 - І2\ , \т1 - т2\)

Р ( .(г) т (гЛ _ Р и(г) т (г)Рпт І .1 , т1 І Рпт І .2 , т2

ш Лі) _ Лг) .1 - .2 (і)т т (і)

Із цих нерівностей за допомогою діагонального процесу Кантора можна вибрати таку послідовність {рик ( і ,т)}, що послідовності

Рпк - Рпк ( І2) , т2і)

ш Лі) _ Лг) .1 - .2 т(г) т(г)т т

Р ( . і т (гП _ Р (Лі) т (г)Р'пт І .1 , т1 І Р'пт І .2 , т2

(8)

(9)

ТОЧКИ

ш .(г) _ .(і) .1 - .2 т(г) т(г)т т

Аналогічним чином для будь-якої точки ( ( і 1,т1) , ( і2,т2)) Є Q одержуємо

А(І 1 ,т1 , І 2 ,т2 ; Рпк)Н1 ( \.1 - ОО Н2 ( \т1 - т2\)

А( і ( і т(г') і ( і т(г)- Р )А((Г , т1 , ь2 , т2 ; Рпт)Далі, враховуючи щільність множини

) , ^4 ^, | в Ц і умову б) теореми, ДЛЯ будь-якої ТОЧКИ ( ( і 1,Т1) , ( і2,т2)) Є Ц маємо:

Рик {І1,Т1) - <Рпк (І2,Т2)

<Н1 ( \.1 - . 2\) Н2 ( \т1 - т2\)

А (і {1) ,т(г) ,т( ) ; Рпк)

Ні .(і) _ .(і) .1 - .2 Н2 (і)т т (і)

А ( . (г) т(г) . (г) т(г)- Р )А(С1 , ' 1 , ь2 , '2 ; Р'пт)Н1 .(і) _ .(і)

Ь1 12 Н2 т (г) т іі і / о

Отже, з урахуванням збіжності послідовностей (8) і (9) маємо:

І іт вир'^Ь,к >^0 ( ( £ і , т і ) ,

(*2 >т 2 ) ) ^ ^

Рпк (І1,т1) - Рпк (І2,т2)ш (\А - Ь2\ , \т1 - т2 \)


т

Pnm ( t u n ) — Pnm (t2,T2)V ( \t\ — t 2\ , \Ti - T2\)

lim sup(t2>T2)) Q

A(t i ,Ti , t2,T2; Pnk)^ 1 ( \~І1 — t 2\) ^ 2 (\T1 — T2\)

A ( t i , Ti , t 2,T2; Pnm)^1 ( \t 1 — t 2 \) ^ 2 ( \T1 — T2\)

Таким чином, одержуємо

, lim \Wnm — Vnk\k,m—»oo 0.

Із повноти простору Иш (y ) випливає збіжність послідовності [ p nk ( t ,T)}, що і треба було довести.

Слід зауважити, що критерій компактності для простору ИЩ [0 , 1] (тобто для банаховою простору функцій однієї змінної, як і визначені на відрізку [0 , 1] та мають неперервні похідні до порядку п, причому п-а похідна задовольняє умову Гельдера з показником а ) з нормою

за однією змінною, повинні бути рівномірними відносно іншої змінної); однак при цьому поширення одержаних результатів на випадок функцій багатьох комплексних змінних викликає, в основному, тільки технічні труднощі. Тому в даній роботі розглянутий саме випадок функцій двох змінних.


1. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. - М.: ГИФМЛ, 1965.- 624 с.

2. Сн іжко Н.В. Класифікація узагальнених просторів Гельдера функцій двох змінних // Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат. науки. - 1999.- Вин. 3. - С. 124 - 128.

3. Фиршгпейн С.Р. Об одном признаке компактности в банаховом пространстве О Д / / Известия

У -вузов. Математика. - 1969. - Ш8. - С. 117 - 118.4. Гус ейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в те

орию нелинейных сингулярных интегральных уравнений. - М.: Наука, 1980. - 416 с.


Hn[0,1]

+ sup0 ^ x , y ^ 1 x = y

C[0,1] + Tk=1

P(k)\

\C [0,1]+

\p(n) (x) — p (n) (y)\

w —w

був доведений С.Р.Фірштейном в роботі[3]. Д ля узагальнених просторів Гельдера Иш [а, Ь] функцій однієї змінної, заданих на відрізку [а,Ь], з нормою

Их, [a,b] C[a,b] +

+ sup \p(x) — P (y ) \а ^ Ь и (|Ж - У\) ’х = у

аналогічна теорема була встановлена в монографії [4]. І нарешті, випадок функцій двох змінних, очевидно, принципово відрізняється від випадку функцій однієї змінної (це пов’язано з тим, що в означенні норми з ’являю ться додаткові доданки, я к і включають мішані модулі неперервності вищих порядків, і я к наслідок оцінки, що провадяться

0

0


УДК 515.12

©2006р. 1.3. Стасюк


ОПЕРАТОРИ ОДНОЧАСНОГО П РОДО ВЖ ЕН Н Я П СЕВДОМ ЕТРИ К, ЗА Д А Н И Х НА О П У К Л И Х Т ІЛ А Х В Е В К Л ІД О В О М У П РОСТОРІ

Розглянуто оператор одночасного продовження неперервних псевдометрик, визначених на деякому класі замкнених підмножин евклідового простору R". Результат, отриманий для цього класу, є в деякій мірі аналогом результату Е. Д. Тимчатина та М. Зарічного, отриманого для випадку компактного простору.

We consider operators simultaneously extending continuous pseudometrics defined on a certain class of closed subsets of the Euclidean space R". Our result obtained for this class, with the assumption that the underlying space in general is not compact, is similar to that obtained by E. D. Tymehatyn and M. M. Zariehnyi for compact spaces.

1. Вступ. Е. Д. Тимчатин та М. Зарічний розглядали задачу одночасного продовження часткових неперервних псевдометрик, заданих на замкнених підмножинах компактного метризовного топологічного простору (див. [1]). Д ля множини часткових псевдометрик з топологією В ’єторіса доведене існування лінійного неперервного оператора одночасного продовження. Оператор продовження побудований авторами за допомогою теореми Фришковського про неперервну селекцію для багатозначних відображень (див. [5]). Неперервний оператор одночасного продовження напівнеперервних зверху псевдометрик, визначених на опуклих замкнених підмножинах компактного локально опуклого простору, побудований в[6]. При цьому множина часткових псевдометрик, ототожнених зі своїми субграфіка- ми, розглядалася в топології Фелла, а оператор продовження визначений за допомо- могою відображення метричної проекції.

У цій статті ми розглянемо оператор одночасного продовження неперервних псевдометрик, заданих на деякому класі замкнених підмножин евклідового простору К™, а саме, на множині опуклих тіл. Будемо використовувати теорему про селекцію Брессана та Коломбо, яка є аналогом результату Фришковського для некомпактного випадку.

2. Позначення та допоміж ні факти.Нагадаємо деякі факти з теорії гіперпросто- рів, а також введемо позначення. Нехай У — гаусдорфовий топологічний простір. Позначимо через СЬ(У) множину всіх непо-

УПередбаза топології Фелла ТР на множині СЬ(У) складається з усіх множин вигляду и - = {А є СЬ(У) І А П и = 0 }, де и — не-

Ута всіх множин вигляду У+ = {А є СЬ(У) | А С У }, де У — непорожня відкрита підмно-

Уням. Відомо, що простір (СЬ(У), Тр) є поль-

Укально компактний з другою аксіомою злі- ченності ([2]). Будемо використовувати позначення Ас , іп і(А ) та А для доповнення,

Азаданого топологічного простору.

Апростору У розглянемо множину Р М с (А) всіх неперервних псевдометрик, визначе-

Ана Р М С(А) замкнена відносно операції по- точкового додавання псевдометрик

в : Р М с (А) х Р М с(А ) ^ Р М с (А)

та множення на невід’ємне число

с : К+ х Р М с(А ) - ^ Т М с ( А )


для кожного А є СТ(У ). Будемо писати ^ ш (а ) = А, якщо а є р М с(А), А є СТ(У ). Введемо топологію на множині Р М С(А) наступним чином. Кожну псевдометрику а з Р М С(А) можна ототожнити з ї ї графіком

Г- = { ( х , у , і ) Є А х А х Е+ : 1 = а(х, у )} Є

Є С Ц У х У х Е).

Будемо розглядати множину часткових псевдометрик

Р М с = и { Т М с ( А ) : А є СЬ(У)}

як підпростір простору (СЬ(У х У х Е), Тр ).Нехай и та К — довільні відповідно від

крита і компактна підмножини простору У х У , а , Ь — довільні дійсні числа. Будемо використовувати наступні позначення (див.[3]):

[У,и ,а ,Ь] - = Р М с(У ) П ( и х (а, Ь))- ,[У, К , а, Ь]+ = Р М с ( У ) П ( ( К х [а, Ь])с )+.

Тоді сім ’я

Т (У ) = {[У,и, а,Ь]- | и — відкрита в

У х У, а,Ь Є Е}и

и{\У, К,а,Ь]+ І К — компактна в

У х У, а, Ь є Е }

утворює передбазу топології Фелла на множині Р М С( У ) (див. [3]). Д ля кожної множини А є СЬ(У) передбазою топології Фелла на множині Р М С(А) є сім ’я

Т (А) = {[А,и, а,Ь]- І и — відкрита в

А х А, а,Ь є Е}и

и{[А, К, а, Ь]+ І К — компактна в

А х А, а,Ь є Е}.

Тржині неперервних дійсних функцій С ( У ) співпадає з компактно-відкритою топологією Тсо на С ( У ) тоді і лише тоді, коли до

Уміститься у скінченному об’єднанні зв ’язних

176

компактних підмножин простору Y з непорожніми внутрішностями (див. [3]). Рівність топологій TF і Tco на множині C (Y ) також

Yктний і локально зв ’язний.

Д ля топологічного простору Z позначимо через Ez множину всіх дійсних функцій на Z. Крім цього, нехай P ( Z ) — множина всіх

ZД ля заданого банахового простору

(H, || • ||) позначимо через Ll ( [ü ,T] ,H) банаховий простір функцій, інтегров- них за Бохнером, як і діють з інтервалу [0 ,Т ] в простір H. Д ля довільної функції u Є L1( [ü ,T] ,H) ,

f Тl|u|| = ||u(i)||di.Jo

Підмножина D простору Ll (\0,T] ,H) називається р о з кла дн ою , якщо u 1 x ( C ) + u 2x ( [ ü ,T ] \ C ) Є D для довільних функцій u 1, u 2 Є D та множини C C [0 ,T ], де x — індикатор. Нехай Y, Z — топологічні простори. Многозначне відображення G : Y ^ P ( Z ) називається н а п г в н е п е р е р в ни м з н и з у , якщо множина V * = {у Є Y | G (y) П V = 0 } відкрита

YV Zселекцію Брессана та Коломбо (див. [4]), я ку використаємо в наступному розділі.

Yб ел ьн и й м е т р и ч н и й пр о ст і р , G : Y ^ P ( L x( [ ü ,T ] ,H )) — н а п і в н е п е р е р в н е з н и з у б а г а т о з н а ч н е в і д о б р а ж е н н я , я к е п р и й ма є з а м к н е н і р о з кл ад н і з н а ч е н н я . Тоді і с н у є н е п е р е р в н е о д н о з н а ч н е в і д о б р а ж е н н я g : Y ^ Ll ( [ü ,T ] ,H ) таке , щ о g ( у ) Є G (у) дл я д о в і л ьн о г о у Є Y .

3. П р о д о вж ен н я п севд о м етр и к . Нехай X = E™ — евклідовий простір зі стандартною нормою, що породжує стандартну метрику d на X . Нехай S (х , є ) = {у Є X : d(x, у ) < є} та S (х, є ) = {у Є X : d(x, у ) ^ є} — відповідно відкрита та замкнена куля радіуса є з центром в точці х Є X. Позначимо

через С Ь і(Х ) підмножину простору С Ь(Х ), означену наступним чином:

СЬ1(Х ) = {А С X : А — відкрита

і опукла в X } .

Нехай Р М с = и {РМ с(А ) : А є СЬфХ)}. Розглядатимемо Р М ' с як підпростір простору Р М с неперервних псевдометрик, визначених на замкнених підмножинах простору X .

Означимо багатозначне відображення

С : X х С Ь і(Х ) ^ V (Д ( [0 , 1] ,Х ))

формулою

G(x,A)

L 1( [0 ,1], A П S(x, 2d(x, A ))), якщо x / A;

L 1([0 , 1], {x}) = {x}, якщо x Є A.

ніж d(x0, A0)/8 . Можна знайти функцію v Є L 1([0 , 1], O(x0, A0)), яка набуває скінченну кількість значень, таку, що ||w — v|| < є/2. Оскільки множина O(x0,A 0) опукла і внутрішність int O(x0,A 0) непорожня, то мо-

vстяться у множині S (x 0, 2d(x0, A0)) П A0. Нехай {x1, . . . , xk} — множина значень функції v. Виберемо довільне додатне число 8 < є таке, що S(x i , 8/2) С S (x0,2d (x0,A 0)) для всіх і Є { 1 , . . . , к}. Крім цього нехай 8 — достатньо мале, щоб виконувалась нерівність d(x0,xi ) < 2d(x0,A 0) — 38. Очевидно, що S(x i , 8/2) П A0 = 0 для всіх і Є { 1 , . . . , к}. Тепер нехай U = S (x0,8/2) і

W Si=1

8xh 2 n

n S ( xo,d(xo, Aq) - 2+

Значеннями оператора С є замкнені розкладні множини. Справді, цей ф акт є очевидним для {ж} = Т1( [0 ,1], {ж}). Д ля довільних х є X \ А, и 1 , и 2 є Т1( [0 ,1], А П У(х, 2d (x ,A ))) та С С [0,1] отримуємои_1Х(С) + и 2Х([0 ,т ] \ С) є ^ 1([0,1],А П Б(х, 2d(x, А ))).

Твердж ення 1. Б а г а т о з н а ч н е в і д о бра ж е н н я С є н а п і в н е п е р е р в н и м з н и з у .

Д оведення. Доведемо, що для коУ

Т1([0 , 1] ^ ) множина

У * = {(ж, А) є X х С Ь ^ ) :

С (х, А) П У = 0 }

відкрита в просторі X х СЬ1Д ). Зафіксуємо довільний елемент (хо,А0) є У * і розгляне- ЛІ О д вм випадки.

1) Нехай ж0 є А0. Д ля зручності позначимо 0 (х , А) = АПБ(ж, 2d(x, А)) для довільних А є CL1(X Д а ж є X \ А. Тоді С (х0, А0) = Т1( [0 ,1], 0 ( х 0, А0)). Оскільки С (х0, А0)ПУ = 0 , то існує функція и є С (х0,А0) П У та число є > 0 такі, що {х є Т1([0 , 1] ^ ) : ||и — х|| < є} С У. Виберемо число є меншим,

Тоді множина и х Ш є околом точки (ж0, До) у просторі X х СЬДХ). Візьмемо довільну точку (ж, Д) Є и х Ш. Тоді для кожного і Є ( 1 , . . . , к} існує точка хі Є Б(жі , 8/2) П Д. Крім цього d(ж,Д) > d(ж0,Д0) — 8. Справді, якщо у 0 Є Д0 та у Є Д — точки такі, що d(ж0, Д0) = d(ж0, у0) і d(ж, Д) = d(ж, у ), то отримаємо

d(ж, Д) = d(ж, у ) ^ d(ж0, у ) — d(ж0, ж) >> d(ж0, Д) — 8/2 > d(ж0, Д0) — 8/2 — 8/2 =

= d(жо, Д0) — 8 > 0 .

Отже, ж Є Д і тому С(ж,Д) =Т Д [0 ,1 ],0 (ж ,Д )). Тепер доведемо, що d(ж, хі ) < 2d(ж, Д) для кожного індексаі Є ( 1 , . . . ,к}. Отримаємо

d(ж, хі ) ^ d(ж, ж і) + d(жi , хі ) <8 8

< d(ж, ж і) + ^ ^ d(ж, ж0) + d(ж0 ,жі ) + 2 <

8 8 < 2 + d(жо,Жi) + 2 = d(жо, жі) + 8 <

< 2d(ж0,Д0) — 28 < 2d(ж,Д)

для довільного і Є ( 1 , . . . , к}. Отже, хі Є 0(ж, Д) для будь-якого і Є ( 1 , . . . , к}. Озна-


С

чимо функцію у' є Ь1( [0 ,1},0(х, А)) наступним чином. Нехай у'(Ї) = г і для всіх ї є [0,1] таких, що у ( ї ) = хіу і є { 1 , . . . , к}. Тоді \\у' — у\| < 5/2 < є/2. О тже, ||и — у'\\ ^ І|и — у|і + — у'\ < є і ми отримуємоу' є С(х, А) П V.

2 ) Нехай хо є Ао. Тоді С(х0,А0) = и 0 є V, де и 0(ї) = х0 для вс іх ї є [0,1]. Виберемо число є > 0 таке, що {у є Т1([0 , 1] ,Х) : ||и0 — у\| < є} С V. Нехай и = Б(х0,є/3) і Ж = Б(х0, є/3) - . Очевидно, що множина и х Ж є околом точки (х0,А 0) у просторі X х СЬ1( Х ). Зафіксуємо довільну точку (х, А) є и х Ж . Якщо х є А, то С(х,А) = и, де и( ї ) = х на множині [0 , 1]. Оскільки ||и — и0|| < є, то отримаємо и є V П С(х, А). Тепер припустимо, що х / А. Оскільки А П Б(х0,є/3) = 0 , бачимо, що д (х ,А) < 2є/3. Отже, існує точка у є А така, що д ( х , у ) = д (х ,А) < 2є/3. Тоді для сталої функції у є Т 1( [0 ,1},0(х, А)) з єдиним значенням у отримаємо ||у — и0|| ^ ||у — и\\ + \\и — и0|| < 2є/3 + є/3 = є , а отже, у є V. Твердження доведено.

За теоремою 1 існує неперервна селекція д : X х С ^ Х ) ^ Т1([0 , 1] ,Х) багатозначного відображення С. Означимо оператор Н: Р М ' С ^ ЕХхХ наступною формулою:

Н(а) (х, у ) = а ( g (x,0

д ( у , б о т ( а ) ) ( ї ) ) б ідля всіх х , у є X. Оскільки для довільних елементів х, у є X функції д (х, б о т (а ) ) та д ( у , б о т (а ) ) набувають свої значення у компактних підмножинах множини б о т (а ) , бачимо, що Н(а) (х, у ) < +то.

Твердження 2 і 3 є аналогами допоміжних результатів, отриманих в [1].

Твердж ення 2. Нехай а є РМС і Кк ом пакт на п і д м н о ж и н а п р о с т о р у б о т (а ) . Тоді для д о в і л ьн о г о чи с ла є > 0 і с н у є чи сло 5 = 5(є) > 0 таке , щ о /0 а ( и ( ї ) , у ( ї ) ) д ї < є , д е ф у нк ц і ї и, у є Т1([0 , 1 ] , К ) такі , щ о \\и — у|| < 5.

Д оведення. Якщо а ( х , у ) = 0 для всіх х , у є К С б о т (а ) , то твердження очевидне.

Припустимо, що у = ш а х [ а ( х , у ) : ( х , у ) Є К х К } > 0 і нехай число є > 0 — фіксоване. Оскільки псевдометрика а рівномірно неперервна на множині К х К , то існує 5о > 0 таке, що а ( х , у ) < є/2 для вс іх х , у Є К таких, що ||х — у|| < 5о . Тепер виберемо додатне число 5 < ш іп[5о, }■ Розглянемо довільні елементи п , у Є Т : ( [0 ,1 ] , К ) такі, що ||и — у|| < 5 і множину С = [ і Є [0,1] : Цп(і) — у(і)Ц ^ 50}. Доведемо, що у ( С ) ^ ^ (тут через у позначаємо лебегову міру на інтервалі [0,1]). Припустимо, що має місце протилежне. Тоді

5 > ІІи (ї) — у(к)Цді+ла

+ [ Ци(ф — у( і )Цді ^ у (С)5о > Є50,л[о,і]\а 2у

суперечність. Отже,

[ а ( и ( і ) , у ( і ) ) б і = [ а ( п ( і ) , у ( ї ) ) д і + ло Ла

+ а ( и ( і ) , у ( і ) ) б і <л[о,і]\а

є у< — +

2у

є—б і ^ є. 2'[0ДІХ

Твердження доведено.

Т в е р д ж е н н я 3. Нехай а є Р М ' С і К —к ом пакт на п і д м н о ж и н а п р о с т о р у б о т (а ) . Тоді в і д о б р а ж е н н я

т- : Ь \ [ 0 , 1 ] , К ) х Ь \ [ 0 , 1 ] , К ) ^ Е,

в и з н а ч е н е формулою

та ( и , у ) = а ( и ( ї ) , у ( ї ) ) б ї ,0

р і вн о мі рн о н е п е р е р вн е .

є > 0За попереднім твердженням можна знайти число 5 > 0 таке, що для довільних и , у є Т1( [0 ,1 ] , К ), для яких ||и — у\| < 5, виконується нерівність та ( и , у ) < є/2. Виберемо функції и 1, у1, и 2, у2 є Т1([0 , 1 ] , К ) такі, що

ІІи — и 21 < 5 і ||У1 — у2\\ < 5.

Отримаємо

Іга (и1,Х1) — Та ( щ , Х2) | =

( а ( щ ( і ) , Ь 1 (і)) — а ( щ ( і ) , Ь 2 ( і ) ) ) dt

^ І а ( щ ( і) ,щ (і) ) — а(щ( і ) ,Ь2( і ) ) І d і+

+ / |а(иД ), ^ ( і ) ) — ст(и2(і),Х 2(і))| d і ^

а (щ (і), гД і)) dі+

+є є

а (и1 ( і ) , и2(і)) dі < ^ ^ = є.

Твердження доведено.

Твердж ення 4. Нехай а є Р М 'с - Тоді ф у н кц і я Н(а) — н е п е р е р в н а п с е в д о м е т р и к а на X .

Д оведення. Очевидно, що Н(а) — псевдометрика на X . Д ля доведення неперервності Н(а) візьмемо довільні послідовності {жД та {уі} в X , збіжні до точок ж та у відповідно. Нехай та W2 — обмежені околи

х уселекції д , можна знайти компактні підмно- жини К 1 та К 2 простору бош(а) такі, що д (х ' , бош (а)) є Т1( [0 ,1 ] ,К 1) для будь-якого ж' є і д (у ' , бош (а)) є Т1([0 ,1 ] ,К 2) длябудь-якого у ' є Ш2. Тоді за твердженням З, для кожного є > 0 існує 5 > 0 таке, що ІТа (и 1, х 1) — Та (и2,х 2| < ^^Щ О ||и1 — и2|| < 5 і ||щ — х2|| < 5, и1 , и 2, х 1,х2 є Ь \[ 0 , 1], К 1 и К 2) . О с к і л ь к и функція д неперервна, то мож на знайти натуральне число к таке, що для всіх п > к отримаємо хп є W 1, у п є Щ , ||д(хп, бош (а)) — д (х, бош(а))|| < 5 і ||д(уп, бош (а)) — д (у , бош(а))| < 5. Отже, ІН(а ) (хп , у п ) — к (а ) (х , у )І < є для всіх п > к. Твердження доведено.

Твердж ення 5. Оператор Н п р о д о в ж у є п с е в д о м е т р и к и з Р М ' с на п р о с т ір X .

Д оведення. Твердження очевидно вид а

р м с і ж, у є бош (а), то д(х, бош (а)) = ж і д (у , бош (а)) = у. Отже, Л (а )(х ,у ) = а ( х ,у ) . Твердження доведено.

Твердж ення 6 . Д л я д о в і льних п с е в д о м е т р и к а, а' є Р М ' с т а чи є ел Х,ч ^ 0 , Н(Ха + 7 а ') = ХН(а) + уН (а').

Д оведення. Твердження очевидно випливає з властивостей оператора Н.

Твердж ення 7. Оператор Н н е п е р е р в ний.

Кктна підмножина простору X х X і нехай а,Ь — довільні дійсні числа такі, що а < Ь. Оскільки простір X локально компактний і зв ’язний, то топологія Фелла на множині РМс^^ ) співпадає з компактно-відкритою топологією на V M С( X ). Тому достатньо довести, що прообраз елемента передбази топології То на V M С( X ) вигляду М ( К , а, Ь) = {р є Р М с^ ) : р ( К ) С (а, Ь)} відкритий у просторі Р М с■ Нехай а є Н 1(М (К , а ,Ь ) ) і В = бош(а). Тоді Н(а) є М ( К , а , Ь ) і мо-

є > 0( х , у ) є К отримаємо а < Н(а) (х, у ) — є/2 < Н(а) (х, у ) + є/2 < Ь. Потрібно знайти окіл О псевдометрики а в Р М ' с такий, що а є0 С Н- 1 ( М ( К , а,Ь)) . Оскільки простір В локально компактний і зв ’язний, отримаємо Тр = То на Р М с (В ).

Існують замкнені кулі ^ та С2 в X такі, що для довільних (ж,у) є К і і є [0,1] матимемо

(д ( х , В ) ( і ) , д (у ,В ) ( і) ) є

є ( В П С1) х (В П С2) = К 1 х К 2 .

К 1 х К 2стору В х В . Позначимо через д та Q відповідно найменше та найбільше значення псев-

а К 1 х К 2означимо множини

0 1 = { ( х , у , г ) є К 1 х К 2 х К :

а ( х , у ) + 2 ^ ^ Q + є ]

10 2 = { ( х , у , г ) є К 1 х К 2 х К :

—є ^ ^ а ( х ,у ) — |} .


1

1

01

01

0

0

Очевидно, що D i і D 2 — компактні підмно- жини в B х B х R. Оскільки графік псевдометрики а те перетинає ні D i; ні D2, бачимо, що множина Oi = ( D i )+ П (D2)+ є око- лом псевдометрики а в P M c (B) у топології Фелла. Нехай

O2 = { р є P M c ( B ) :

p ( K i х K 2 ) С (q — 2 ,Q + 2)} .

O2а в VM'c у компактно-відкритій топології. Оскільки топології TF і ТІО співпадають на P M c ( B ) , то множина O = Oi П O2 є околом псевдометрики а у просто pi V M c (B) , а отже, у просторі VM'C. Зафіксуємо довільний елемент р є O. Оскільки —є/2 < 0 ^ q ^ р(х' , y ' ) ^ Q < Q + є/2 для всіх (x/, y /), бачимо, що єдиною можливістю, при якій графік

р D i D2умова

а ( Х , у 1) — є/2 < р ( Х , у 1) < а ( Х , У) + є/2

для всіх (х' ,У) є K i х К 2. Тоді

\Чр) ( х ,У) — h ( a ) ( x , y ) \ ^

^ / \p(g (x , B ) ( t ) , g (y , B ) ( t ) ) —J 0

—a ( g (x , B ) ( t ) , g (y , B )(t ) ) \dt < є

для всіх (x, y ) є К . Звідси отримаємо h ( p ) ( K ) С (a,b) . Твердження доведено.

Основний результат статті можна сформулювати так.

Т ео р ем а 2. І с н у є в і д о б р а ж е н н яh : VM'c ^ P M c ( X ), я к е з а д о в о л ь н я є н а с т у п н і у мо ви :

h

2) h ( a ) є п р о д о в ж е н н я м п с е в д о м е т р и к и а на п р о ст і р X для к о ж н о г о а є VM'c ;

3) h — н е п е р е р в н е в і д о б р а ж е н н я .

Питання існування лінійного неперервного оператора продовження з ( P M c , ) у ( P M c ( X ), TF) для довільного локально ком-

Xється відкритим.


1. Tymchatyn E. D., Zarichnyi М. On simultaneous linear extensions of partial (pseudo)metries // Proe. Amer. Math. Soe. - 2004. - V.132. - P.2799-2807.

2. Fla ch sm e y e r J. Verschiedene Topologisierungen im Raum der abgeschlossenen Teilmengen // Math. Nachr. -1964. - B .26 .- S.321-337.

3. Hola L., McCoy R. A. The Fell topology on C(X) // Annals New York Academy of Science. —1992,— V.659. - P.99-110.

4. Bres san A., Colombo G. Extensions and selections of maps with decomposable values // Studia M ath .- 1988,- V .90 .- P.69-86.

5. Fryszkowski A. Continuous selections for a class of non-convex multi-valued maps // Studia M a th - 1983.- V.76.— P.163—174.

6. Стасюк 1.3. Продовження напівнеперервних псевдометрик // Прикл. проблеми мех. і мат.— 2004.—Т. 2.— С.88—95.


180 Еіауковий в існи к Ч ерн івецького ун ів ер сит ет у . 2006. В и п у ск 314-315. Математика.

УДК 517.925

© 2006 р. Н.В. Шарай, Г.Є.Самкова

Одеський національний університет імені І.І. Мечникова, Одеса

АСИ М П ТО ТИ КА Р О З В ’Я З К ІВ Д Е Я К И Х Н АП ІВ’ЯВН И Х СИСТЕМ Д И Ф ЕРЕН Ц ІАЛЬН И Х РІВН ЯН Ь

Для задач Коші, лінеалізована частина яких містить змінний сингулярний жмуток матриць, одержані достатні умови існування аналітичних розв’язків в області з особливою точкою на межі та одержана їх оцінка.

The sufficient conditions of the analytical solutions existence are found in the domain with the special point on the border and their estimation is obtained for Cauchy problems, the linearized part of their systems contains the variable singular matrix pencil.

1. Постановка задачі и ф ормулю вання основних результатів.

Розглянемо сингулярну задачу Коші

А(г)Ш' = Б ( г ) Ш + Б ( г , Ш), (1.1)Ш(г) — > 0 ,г — > 0, (1 .2)

де однозначні матриці А, Б : Б — > Є 1 х Є2 розміру т х п аналітичні в області Б С С С ,0 Є Б або 0 Є д Б , Єг х С 2 С С С тхп, (0, 0) Є Єг х Є 2 або (0, 0) Є Є д ( Є 1 х Є 2), однозначна вектор-функція Б : Б х Є2 — > Є 1 ан ал ін ч н а в Б х С 2 . Припустимо, що т = п, тобто ж муток матриць А (г )А + Б ( г ) є сингулярним.

Метою цієї роботи є дослідження питань про існування аналітичних розв’язк ів задачі Коші (1.1)-(1.2), коли г змінюється в деякій області, у якій точка г = 0 знаходиться або на меж і, або всередині області, я к і задовольняють умову Ш' — > ^ ^ щ о г — > 0.

В роботі [8] приведена лема про ранг, у відповідністю з якою, якщо матриця А(г) аналітична в однозв’язній області Б С С, 0 Є Б , А : Б — > с тхп і г апдА(0) = к , 0 < к < ш іп (т , п), то існує або область Біо = {г : 0 < \г\ < Е\], або Б 1 = {г : \г\ < < Я г } з Б , така, що ранг матриці А ( г ) залишається сталим або при г Є Б 10, або при г Є Б 1 і дорівнює кь де к < к 1 < ш іп (т ,п ).

У роботі [7] розглянуто випадок т > п, г а п д А ( г ) = ш іп (т , п) при г Є Б 1 = {г :

\г\ < Я 1} при деяких додатніх умовах на матриці А (г ) ,Б (г ) та вектор Б ( г , Ш ).В данній роботі продовжуються дослідження роботиі д

Не обмежуючи загальності, будемо вважати, що матриці А (г ),Б ( г ) та вектор Б ( г , Ш) подані у вигляді:

A(z) =Ai(z)A 2 (z)

F ( z , W )

B( z ) =

F i ( z , W ) F2 (z, W )

B i(z )B 2(z)

(1.3)

де A1 : Б — > c nxn, d e t A 1 (z) = 0 при z Є Б 1; B 1 : Б — ► C nxn , F 1 : Б x G2 — ► C n .

Система (1.1) після домноження на A- 1 приймає вигляд:

W' = A-1 (z )B 1(z)W + A-1 (z)F 1(z, W ), (1.4)

A2(z)W ' = B 2(z)W + F2 (z, W ). (1.5)

Систему (1.4)-(1.5) розглянемо у випад- Б 1 (г )

Б 10 і в точці г = 0 має полюс д -того порядку, д Є Б , д > 2, причому вектор-функція Б ( г , Ш) аналітична в області Б 10 х Є 20,Є20 = Є 2\{0^, і в точ ці (г, Ш) = (0, 0) має ізольовану особливу точку. У відповідністі з

Б 1 (г )

B1(z) = z B 1 ( z ), (1 .6 )

де матриця Б 1 ( г ) аналітична в області Б ц С Б 1 ,0 Є Б 1 1 . Система (1.4)-(1.5) може бути переписана у вигляді:

У W , = Р ( г )Ш + г д f ( г ^ ), (1.7)

Л2 ( г )Ш' = Б 2 ( г + Б2 ( г ^ ). (1.8)

де р ( г ) = ( ■ ! > , , = Л- ‘ {г)Б 1 {г);f ) = (П ( г ^ ) ) и = Л- 1 ( г ) Г і ( г , \ ¥ ).

Введемо деякі поняття.Нехай на множині

Л = {(Ь,и) : Ь Є (0,Ьі] ,и Є [иі ,и2] , иі < и2 ]

визначені невід’ємні ф ункціїр(Ь, V) та д ( Ь ^ ).О зн ачен ня 1 .1 . С к а ж е м о , щ о ф ун кц і я

р(Ь, V) м а є в л а с т и в і с т ь Ц в і д н о с н о ф ун кц і ї д(Ь, V) на м н о ж и н і Л , я кщ о для к о ж н о г о V Є ^ ^ 2 ] ф у нк ц і я р(Ь, V) є ф у н кц і є ю б і л ь ш в и с о к о г о п о р я д к у м а л о с т і п о р і в н я н о з д(Ь^ ) при Ь — > +0.

О зн ачен ня 1 .2 . С к а ж е м о , щ о функція , р(Ь, V) м а є в л а с т и в і с т ь Ц1 (Ь0) в і д н о с н о ф у н кц і ї д(Ь, V) на м н о ж ин і Л , як що дл я к о ж н о г оV Є і с н у ю т ь стал іс ь С2 > 0, щ о щ\д(Ь, V)| < \р(Ь, и)\ < С2 \д(і, и ) | при Ь Є (0 , і 0] , іо Є (0,Ь\].

О зн ачен ня 1 .3 . Нехай в ектор -функц і я , р ( г ) = с о ї ( р і ( г ) , . . . , р п ( г ) ) , р : Б — ► С п, аналітична, в Б і п о д ана у в и гля д і :

р ф г ( Ь ^ )) = фі (Ь^) в гПі(і’и\ г Є 1,п,

д е г(Ь, V) = їв™,Ь Є (0, Ь1 ] ,V Є (0, 2п] , причому в Б фі(Ь, V) > 0,(фі(Ь, V))( > 0,(фі (Ь ) Уи > 0 фі (+ 0 ^ ) = 0-

Скажемо, що система (1.7) має властивість Л2 відносно р ( г (Ь^ )),я к щ о виконуються наступні умови:

^)\РіАг(Ь^ ) ) \фі (Ь ) = 0(ЬР(фз (ь^)У і ;(І = 1,п) при Ь — > +0 рівномірно відносноV Є И ^ ] ; (1.9)

2 )\Рзз(г(Ь^))\ф>і(Ь^) ( і = 1 , п ) має властивість Ц 1 (Ь0) відносно Ьр - 1 (ьЬ](Ь^))1 на множині А; (1.10)

За) \р]к( г (Ь ) ) \ Ь ( ф ^ ) = 0 ( \рц(г(Ь^ ;)ф ■ф](Ь^)г , ( і , к = 1 , п , і = к) при Ь — > +0 рівномірно відносно V Є v 2];

182

Зб)функції \xjjk( г ( ї , V))\фк(ї, V) (і , к == 1 , и , і = к) мають властивість Q відносно \рj j ( г ( ї , v ) )\фj (ї, V) на множині А.

При фіксованному V є [VI, v 2] покладемо

Б ( г ( ї ^ ) ,Ш ( г ( ї ^ ))) = БIV ( ї ,Ші ( ї ) ,Ш2 (ї )) +

+гБ2и ( і ,Ші ( і ) ,Ш2 (і )) ,

де Ш ( г ( ї ^ )) = Ші (ї) + іШ2 (ї). При фіксованному ї Є (0, ї і ]:

Б ( г ( ї ^ ) ,Ш ( г ( ї ^ ))) = Би ^ , Ш і ^ ) ,Ш2 ^ )) +

+іБ2^ , Ш і ^ ) ,Ш2 ^ )),

де Ш(г( ї , V)) = Ші^ ) + іШ2 ^ ).Розглянемо множину 0, ( ї ,Ш,т):

П(і, Ш, т) = {(і, Ш ( і ) + V2j (і) <

< тj\Vj( г ( ї Б ) ) і2 , С > 0 , і = 1 , и , ї є (0 , ї і ) }-

О зн ачен ня 1 .4 . С к а ж е м о , щ о си стеми,(1.7) м а є в л а с т и в і с т ь Р 2 в і д н о с н о ф ун кц і ї Б (г , Ш), Бj = Б^ + іБ^ , і = 1, и, я к щ о в и к о н у ю т ь с я н а с т у п н і у мо ви :

1 ) дл я к о ж н о г о ф і к с о в анн о г о Ш ( г ( ї ^ )) з м н о ж и н и 0 ,( ї ,Ш, т)

Б Б^ и ( ї , W l ( і ) , W 2 ( і ) ) = о ( ^ ( г ( ї , і г Щ щ ( г ( ї , ^ \

І = 1 , и , к = 1 , 2 , ї — > +0 р і вн о мі рн о в і д н о с н о V є V , v 2];

2 ) для, к о ж н о г о ф і к с о в анн о г о Ш ( г ( ї ^ )) з м н о ж и н и 0 , ^ , Ш , а ) функція ,Б ) , Ш 2^ )) м а є в л а с т и в і с т ь Q в і д н о с н о \pjj( г ( і , v ) )\\pj ( г ( ї ^ ) )\ , і = 1 , и ,к = 1, 2 на, м н о ж и н і А.

У випадку, коли система (1.7) має властивість А2 , в ід н о с н о р ( г ( ї ^ )) виконані умови (1.9) і (1.10). Перепишемо (1.9) і (1.10) в наступному вигляді:

Иш = в р. - + 0 \р„ Ж и Ш ( и , ) j

рівномірно ВІДНОСНО V Є [v1, V2\,ДP р = ї (І = 0) або р = V (І = 1 стал і Вр = 0,І = 1 , и .

Введемо множину Ф 2j.klp (t і) =

(t, v ) : cos((q - 1)v - a j j v (t)) <

 B j , \Bj\ < 1 , j = p i + 1,p2,

\Bj\ > 1 , j = P2 + 1, n, sin((q - 1)v-

с к а ж е м о , щ о о з н а ч е н і м,нож:ини т о ч о к к о м п л е к с н о ї пл о щини , д л я я к их в і дп о в і д н о в и к о н у є т ь с я о д на з у мо вФ21.1гР( ї1) гФ21.2гР( ї1)гФ21.3гР( ї1) ;

я к щ о при ц ь о м у дл я цих м н о ж и н в и к о н у є т ь с я о д на з тр ь ох н а с т у п н и х у мо в :

1)li = 0, i = 1, 2; B v < 0 , j = 1 , n ; ( l i = 0,

- a iit( v )) B v , \Bv \ < 1,

B v > 0 ) , j = 1 ,n;

2 )li = n (li = 0, І2 = n);

3)l2 = 0,1 < l i < n , B vj < 0 , j = l i + 1, nІ — /1 + 1, І2 , \Б1І \ > 1 , 1 — І2 + 1, п,

ї Є (0, ^1], V Є [^1,^2]

де ї Є (0, ї 1], V Є (0, 2п] і символами а іки (ї) та ®ікі(и) позначимо функції, косинуси і синуси яких відповідно дорівнюють:

Веріки (ї)cos a ikv (t)

sin aikv (t)

\/(Repikv (t))2 + ( Impikv (t))2

Impikv (t)

(/1 = 0 ,1 < 12 < п , Б у > 0 , у = 12 + 1, п) ;

с к а ж е м о , щ о о з н а ч е н і м н о ж и н и т о ч о к к о м п л е к с н о ї пл о щини , д л я я к их в і дп о в і д н о в и к о н у є т ь с я о д на з у мо в ф21.и+(П) (ф2и 1-(П)) )ф2и2+(П) (ф21.г2- ( ї ї) ) ; ф2ї.гз+(П) (ф21.гз-( ї1))-

О зн ачен ня 1 .6 . У випа дк у , я к щ о в и к о н у є т ь с я о д на з тр ь о х умо в :

\J (Repikv (t))2 + ( Impikv (t) )2 ’i ,k Є 1, . . . ,n, (1-11)

де pikv(t) = pik(z(t , v )) = Repik(t) + i l m p i k (t) при фіксованому v Є (0, 2п];

1)pi = 0 , i = 1 , 2 ; B j > 0 , j = 1, n;

2)pi = 0 ,p2 = n;

cos aikt ( v )

sin aikt ( v )

Repikt ( v )(R e p ikt (v ) )2 + ( Imp ikt ( v ) )2

Impikt (v )______ \/{Repikt{v ) )2 + ( Imp ikt ( v ) )2 ’

i ,k Є 1, (1.12)

f lßPikt{v) = Pik ( z ( t , v )) = Repik ( v )+i Imp ik ( v ) при фіксованому t Є (0 ,t i] , j , k , l Є {1, 2, 3},p Є {+> — }-

О зн ачен ня 1 .5 . У випа дк у , я к щ о в и к о н у є т ь с я о д на з трь ох у мо в :

3)р2 = 0,1 < р 1 < п , Б * > 0 , і = р 1 + 1, п;

с к а ж е м о , щ о о з н а ч е н і м н о ж и н и т о чо к к о м п л е к с н о ї пл о щини , д л я я к их в і дп о в і д н о в и к о н у є т ь с я о д на з у мо в ф22лгР( ї1) гф22.2гр( ї1)гф22.згР( ї1);

я к щ о при ц ь о м у дл я цих м н о ж и н в и к о н у є т ь с я о д на з тр ь ох н а с т у п н и х у мо в :

1)li = 0, i = 1, 2; B v < 0 , j = 1 ,n ;( l i = 0,

B v > 0 ) , j = 1 ,n;

2 )li = n (li = 0, і2 = n);

1)pi = 0, i = 1, 2; B j < 0 , j = 1, n;

2)pi = n;

3)l2 = 0,1 < l i < n , B lV < 0 , j = l i + 1, n

3)pi = 0,1 < p2 < n , B j < 0 , j = p2 + 1, n;

(І1 = 0,1 < І2 < п , Б у > 0 , і = І2 + 1, п);

с к а ж е м о , щ о о з н а ч е н і м н о ж и н и т о ч о к к о м п л е к с н о ї пл о щини , д л я я к их

в і дп о в і д н о в и к о н у є т ь с я о д на з у мо в ф22.11+( ї1) (ф22.11- ( ї 1 ) ) !ф22.12+ ( ї1) (ф22.12- ( ї 1 ) )>' ф22.13+ ( ї1) (ф22Л3-( ї 1))-

Означення 1.7 . У випа дк у , я к щ о 1 < р1 < р 2 < р 3 < п , Б ) < 0, п р и і == Р2 + 1,Рз І Б* > 0 , і = Рз + 1, п

с к а ж е м о , щ о о з н а ч е н і м н о ж и н и т о ч о к к о м п л е к с н о ї пл о щини , д л я я к и х в і д п о в і д но в и к о н у є т ь с я у м о в а ф23.11р ( ї 1) ; я к щ о при ц ь о м у дл я цих м н о ж и н в и к о н у є т ь с я о д на з т рьох н а с т у п н и х умо в :

1 )Іі = 0 ,І = 1, 2; Б ’і < 0 , і = Д п ; (Іі = 0,

Б > 0 ) ,і' = 1 ,п;

2)І1 = п(І1 = 0, І2 = п);

3)І2 = 0,1 < І1 < п , Б 1) < 0 , і = І1 + 1,п

(І1 = 0,1 < І2 < п, БV > 0 , і = І2 + 1, п);

т о с к а ж е м о , щ о о з н а ч е н і м н о ж и н и т о ч о к к о м п л е к с н о ї пл о щини , д л я я к их в і дп о в і д н о в и к о н у є т ь с я о д на з у мо вф23.11+( ї1) (ф23.11-( ї1)) )ф23.12+( ї1 ) (ф23.12-( ї1)); ф23.13+ ( ї1) (ф23.13-( ї1) ) , І Є {1, 2, 3}-

Означення 1.8. С к аж е м о , щ о си стеми, (1-7) н а л е ж и т ь кла с у К 2г , г = 1, 2, 3, я к щ о м а т р и ц я Р (г) = Р(Ье іи) така, щ о(t , V) Є ф2].гїк( ї ) , і , г , / Є {1, 2, 3 } к Є { + , — }-

Теорема 1 .р 0 = 1 ,2 ,3 ) Нехай дл я с и с т е м и ( 1 - І ) в и к о н у ю т ь с я н а с т у п н і у м о в и :

1) о д н о з н а ч н а м а т р и ц я А : Б — >— > С тхп}т > п, аналітична, в о бла с ті Р ;

Б 1 С Б г а п д А ( г ) = п при г Є Б 1;

3 )ма триц і А (г), Б (г) т а в ектор -функц і я , f ( г , У ) по дан і у в и г ля д і (1.3), причому , м а т р и ц я Б 1(г) аналітична, в о бла с ті Б 10, в т о ч ц і г = 0 м а є пол,юс д - г о п о р я д к у (д > 2) і п о д ана у в и г ля д і ( 1 .6) ; а, в е ктор -функц і я , f 1 ( г , W ) аналітична, в Б 10 х 0 20 і в т о чц і (0, 0) м а є і з о л ь о в ан у о с о б л и в у т о ч к у ;

4 ) систем,а, (1.7) - ( 1 .8) з а д о в о л ь н я є у мо в и :А2

с н о функц і й р ( г ( ї щ )) п р и ї Є ( 0 , ї1] р і в н о м і рн о в і д н о с н о V Є ^ 1, v 2];

184

б) систем,а, (1.7) н а л е ж и т ь кла с у К 2з;Р2

н о с н о в е к т о р -ф у н кц і й Б ( г , У ) ,Б; = Б1; + +ІБ2] , і = 1,п , п ри ї Є (0 ,Д ], V Є [vl, V2];

г ) Б 2 ( г ) і Б2 ( г , Ш ) такі , щ о в з д о вж : р о з - в ’з к і в с и с т е м и (1.7) в и к о н у є т ь с я у м о в а с у -

Б 2 С Б 1Б 2 п 0 2;.гІк (р) = ®,і , г,/ Є {1, 2 3}гк Є { + , —} 0 Є Б 2.

Тоді : п ри і = 1з н а й д е т ь с я т а к е р > 0 , р Є ( 0 , ї1]г

для, я к о г о к о ж н и й р о з в ’я з о к с и с т е м и ( 1 . 1 ) Ш(г) = соІ(Ш1, ..., Шп (г ) ) з п о ч а т к о в и м и д а ни ми ( г0 ,Ш0) такими , щ о

г0 Є 021.гік(р), Г,І Є {1, 2, 3},к Є {+, - } ,

Ш0 Є {Ш : \Шкі(г0)\ < 6; \Ті(г0)\,і = 1,п,

к = 1 ,2},Ш; ( г ) = Ш1; (г) + іШ2; ( г ), (1.13)

д е 0 < 6і , і = 1,п стал і ; є аналітичним, в о бла с ті 0 21.ГІк (р) П Б 2 і з а д о в о л ь н я є у м о в у

Щ ( г )\2 <52\Рі ( г )\2, і = 1 ^ ; (1.14)

при і = 2, 3р > 0 , р Є (0 , ї 1]

дача, К о т і (1.1) - (1.2) з п о ч а т к о в и м и д а н и м и ( г0, Ш0):

г0 Є 02].тік(р), г , І Є {1, 2, 3}, к Є {+, - } ,

Ш0 Є {Ш : \Шк;(г0)\ < 6; \р;(г0)\,і = 1,п,

к = 1 ,2},Ш; ( г ) = (г) + І Ш ; ( г ), (1.15)

при г Є 0 2 ; .гік(р) п Б 2, г , І Є {1, 2, 3} к Є {+, — }, м а є хоча б о д ин ан ал і тични й р о з в ’я з ок , я к и й з а д о в о л ь н я є ( 1 . 1 4 ).

2. Д оведення основних результатів. Доведення теореми 1.1 проводимо анало

гічно доведенню теореми 2.1 у роботі [7].Доведення теореми 1.2 . Доведення

проведемо в три етапи у відповідністі з методом аналітичних продовжень розв’язків.

гвільного фіксованного променя з сім ’ї

Ьи : г = г ( ї , V) = ї е™,ї Є (0 ,ї 1],

v є (0, 2п]фіксовано.

При z є Lv покладемо W ( z ( t , v ) ) = Wi (t) + +iW2 (t), P ( z ( t , v )) = P x(t) + i P2 (t), f ( z ( t , v ), Wi ( t ) , W2 (t)) = f i ( t , W i , W 2) ++ i f 2 (t,W-i ,W 2).

Відносно дійсної вектор-функції W (t) = c o l ( W i ( t ) , W 2 ( t ) ) ,Wi ( t ) == (Wi i ,Wi2, . . . ,Win ) , i = 1, 2, вздовж променя одержуємо систему

t q (W1 (t) + iW2 (t )) = (Pi ( t ) + i P 2 ( t ) ) (Wi ( t )+

+iW2 ( t ) ) e i(1-q)v + t qe iV( f i ( t , W i , W 2 )+

+ i f 2 ( t , W i , W 2)) (2 .1 )

Порівнюючи дійсні і уявні частини, одержуємо дійсну систему вигляду:

t qW'( t ) = P ( t ) Q i ( v ) W ( t ) + t qQ2 ( v ) F ( t , W )(2 .2 )

Д6P( t ) = ( P i (t) - P 2 (t) \ .P ( t ) = V P2 (t) P i ( t ) ) .

Q (v) = ( qi (v) q2 ( v M .Q i ( v ) = І - q 2 ( v ) q i ( v ) ) .

Q ( v ) = ( q3(v) - q4( v M .Q2(v) = I V4(v) q s ( v ) ) .

F(t W ) = І f i ( t , W i , W 2) ) .F ( t ’ W ' = 1 f 2 ( t . W i , W 2 ) ) .

q i ( v ) = E ■ c o s ( ( q - 1)v) ,q2 ( v ) = E ■ s in( (q - 1 ) v ),q3 ( v ) = E ■ cos v , q i ( v ) = E ■ sin v, Е-одиничнаматриця розміру n x n.

Побудуємо область

Hi = {(t, W ) : W2 + W2 < %\<pi(z(t, v ))|2,

i = 1 , n , t є (0 , t i )},

де 5 > 0, i = 1, n сталі, v є (0, 2n], v

Частину меж і області H позначимо

= {(t, W ) : W 2 + W2 = S}Z, (z( t , v ))|2,

Вивчимо розподіл знаку функції ( t qТ, N ) = (p 2u (t) c o s ( ( q - 1)v)+

+ p l (t) s i n ( ( q - 1 ) v ) ) 5 2 \pi( z ( t , v ) ) \2+

n

+ (Р і з (t) c o s ( ( q - 1)v) + p j s i n ( ( q - 1 )v ))■j = 1 j = i

n■(WijWii + W2j W 2i) + ^ 2 (Pij (t ) s in( (q - 1 ) v ) -

j = 1j = i

- p j c o s ( ( q - 1 ) v ) ) ( W 2j W u - Wi j W2i) +

+tq( f i i c o s v - f v 2i sin v )Wi i + tq( f i i sin v +

+ f 2i c o s v ) W 2i - SlWiWit,

де Т-вектор поля напрямків системи (2.2), означений у точці ( z , W i , W 2) є о>П10, а Ni , i = 1,n, - вектор нормалі до поверхні H у тій же точці.

У відповідності з тим, що в області H система (1.7) має властивість А2 відносно функцій p ( z ( t , v )) при t є (0 ,t i ] рівномірно відносно v є (0, 2п], і у ВІДПОВІДНОСТІ 3 (1.11), знак скалярного добутку

s i gn (^ tqТ, = s i gn ( c o s ( ( q - 1 ) v - a j j v ) -

B j , . ___- і Елі ) j = 1, n -\p j j v (t)\

Оскільки система (1.7) означена в класі K 22, ( t , v ) є § 22.jik(ti ), отримуємо, що існує таке достатньо мале t 0 є (0 , t i ) для v по всьому проміжку [vi , v 2], що при t є (0 ,t0] (DQi (t, W, 5)) t e (0,to] є поверхнею б^ тонтактудля системи (2.2) і, оскільки sign ( t qТ, <

< 0 , j = 1 , n при t є (0,to], то отримуємо хоча б один розв’язок з початковими даними n i ( t ,W, 5) P|(t = t 0), який залишається в області ( n i (t, W, 5) ) t^(0,to],(t0, v ) є Ф22.jlk(t0) ,v-фіксовано, при спадані t з інтер-

185

i = 1 , n , t є (0, t^}.

валу (0 ,іо], причому г ч 1Т , = (Д (9) в т ((5 - 1)9) +

\Шкі (г ( ї , у ) ) | < ф \рз(г ( ї , у ) ) \, І = 1,п ,

к = 1 , 2, ( ї , V) Є ф22.Дк( ї0) , к Є { + , — }. (2.3)

2 етап. Нехай г змінюється вздовж довільного фіксованої дуги околу з сім ’ї

Ог : г = г ( г , 9), (г, 9) Є Ф22,рк , г — фіксовано.

При г Є Ог покладемо Ш(г ( г , 9 ) ) = Ж1(9) + +гШі(9), Р ( г ( г , 9 ) ) = Рф9) + гР2 (9 ),/ (г(г,9),Ш 1(9),Ш 2(9)) = /1(9,Шь Ші)++г/2(9,Ш1,Ш2).

Відносно дійсної вектор-функції Ш(9) = = с о / Ш (9),Ш2(9)) ,Ші(9) == (Ші1,Ші2, . . . ,Шіп), г = 1, 2 , одержуємо систему вигляду:

гч-1 Ш'(9) = Р (9)01(9)Ш (9)+

+ гч 0 2 (9 )Р (9,Ш (9)), (2.4)

+р2(9) со8((д — 1)9))ц2 Д ф ( г , 9 ))\2+

п

+ X ! ( р 1 (9) віп((5 — 1)9) — р Ь сов((5 — 1)9))' І = 1 І = г

п' Ш Ш1 і + Шц Ш2і )+ (р1 ( 9 ) с о в ( ( д —

І = 1І = г

= —1)9) + віп((д — 1 ) 9 ) ) ( Щ у — ^ 1,-Шіі)+

+ г ч(—/1і йіп 9 — / і сов 9)Шц + гч(/1і сов 9—

— /2і віп 9 )Ш2і — ів>

де

Р(9) =

01(9) =

02(9) =

р (9, Ш)

Р1(9) — Р 2 (9)Р2(9) Р1(9)

?5(9) — 5б(9)5б(9) 55(9)

—9т(9 ) — 98(9 )?з(9) — д? (9 )

/1(9,Ш1,Ш2) /2(9,Ш1,Ш2)

^5(9) = Е ' віп((5 — 1)9),5б(9) = Е ' сов((д — 1)9),57(9) = Е ' віп 9,®(9) = Е ' сов 9.

Оскільки система (2.5) має властивість А2 відносно функцій р( г (т,9) ) для деякого Г1 ,т 1 = ш іп(ї0, ї 2 )0 < Т1 < ї 0,9 Є И ^ ] ; має властивість Р1 відносно функції Б ( г , Ш)

т2 0 < т2 < ї 0ності 3 (1 .12); то існує таке достатньо мале число т0 Є (0, ш іп(т1,т 2)), що для кожного фіксованого т Є (0 ,т0) (0П 1 )(гд)єф22 цк(г) е поверхнею без контакту для системи (2.4) і SІgп(тq -1T, N5/2) =

___8і§п(8іп ((д - 1)9 - а з А 9) ) — р - р щ ) , і = 1 , п

В силу того, що система (1.7)належить класу К 22,(т, 9) Є ф22.; 1к(т0), кожна інтегральна крива системи (2.4), яка проходить через точку множини П11(9, Ш, п) П (9 = 90), 90 Є ф2251+ ^0) (90 Є ф22.; і- (т 0)), залишається у області П11 (9, Ш, п), якщо спадає (зро-

9

\Шк2(г ( г ,9 ) )\ < Пз\щ( г ( г , 9 ) )\, І = 1 , п , к = ф 2,Вивчимо поводження інтегральних кри- (т, 9) Є ф22; 1к (т0) , к Є {+, —}

вих системи (2.4) відносно знаку функції(2.5)

З етап. ПокладемоП11 = {(9,Ш) : Ш2 + Ш2і < Пі2 Д ( Д ,9 ) ) \ 2, 0 < г 0 < і 0 , 8і < Пі,І = 1 , п . (2.6)

І = 1,П, (г ,9 ) Є Ф22.,(к-} Позначимо р = т0.а)Розглянемо довільну фіксовану криву

Вивчимо розподіл знаку функції Ьи(0 ,г 1] С 0 22.;1к(т0), де г 1 Є ОГ0(ф22.;1к( ї0)).

На 1 етапі доведено, що вздовж неї існує хоча б ОДИН неперервний розв’язок W0 ( z (Ь, V)) системи (1.7), який задовольняє умову

( г ( г , 0 ) ) \ < 5]\р]( г ( г , в ) )\ , і = 1 ^ ,к = 1, 2, ( г ,9) Є Ф22.21к (Г0) , к Є { + , — }. (2-7)

Отже, множина {WV(г)} містить хоча б ОДИН елемент W0 (z).

Аналогічно доведенню етапа За) теореми 2.1 [7] здійснимо аналітичне продовження вибраного в {WV( г )} розв’язку W0 (z) системи (1.7) на область, яка містить криву Ь„ (0, г 1] так, щоб

\^/п„ І-)\'2 < 522\ р ' і = ТТй,к = 1 ,2 ,(2 .8 )

В силу єдиності аналітичного розв’язку задачі Коші при г Є и ( г ( Ь ^ ), ДД П Ь„ ,Д° > 0 WU (г ) = WV є аналітичним продовженням WU(г) з кривої и ( г ( Ь ^ ), ДД П Ь на область и ( г ( Ь ^ ), Д Д , причому окіл и ( г ( Ь ^ ), Д Д виберемо так, щоб при г Є и ( г , Д Д виконувалась нерівність (2.8).

Околи и (г ( Ь ^ ), ДД утворюють нескінченне відкрите покриття компакту Ь у (С ,г1],С > 0. У відповідності з лемою Гейне-Бореля з нього виділяємо скінченне покриття и° , яке містить компакт Ь„(Д гф

Ьємо, що яку бікриву Ь„(0,г^\ С С 22.]кі (р) ми не взяли, існує непорожня область и ° З Ь„ ( 0 ^ ] з точкою г = 0 на меж і, на яку зі зберіганням оцінки (2.8) аналітично продовж ується розв’язок W0 (z) системи (1.7).

Отже, показано, що для кожного V Є Ф22.2ік (г0) існує хоча б один розв’язок W0 (z) системи (1.7), аналітичний в області и ° З Ьи (0, Є аи „ \ и„ , який задовольняє (2.2).

в) Розглянемо тепер фіксовану криву Ье0(0, \г1 \. З етапу 2 одержуємо, що кожний розв’язок системи (1.7) з початковими значеннями з множини Пп П (9 = 90) продовжується вздовж кожної з кривих сім ’ї 0 Г(Ф22.]1к( г0) ) , г Є (0 ,г0] при спадан-

9Ф22.]ік(7-0), якщо к Є {+} (к Є {— }Д тобто п родовж ується ВЗДОВЖ КОЖНОЇ з кривих

З сім ’ї 0 г (Ф22.]1к (Г0) ) ,Г Є (0,70]. ПрИЧОМу у9

шається на кожному з вказаних проміжків області вигляду Пп.

З нерівностей (2.6) Д Л Я КОЖНОГО Г Є (0, г0] множина значень функції У 0 ( г ) при г Є Ье0 (0, \ г 1\ міститься у множині Пп П (9 = 90) і, т.ч., твердження з в) є вірним для розв’якуУ 0 ( г )-

с ) Здійснимо аналітичне продовження розв’язк ів системи (1.7) на множину 0 22.]1к(р) так, щоб зберігалась оцінка

\Ук](г(Ь^ ) ) \2 < 52 \Р2 (г(Ь^ ) ) \2 , І =

к = ~1, <2, (Ь ) Є Ф 22.]1к ( r0), к Є { + , —}. (2.9)

Аналогічно а) здійснюємо аналітичне продовження розв’язку системи (1.7) з кривої Ь„ (0, \г1\] на область, яка ї ї містить.

Розв’язок УД аналітично продовжується на область 0 22.21к (р)- Остання покривається системою відкритих областей и ° ( г ) .

и 0 = иП= 1 и п ( г ) ’ I Є N області 0 22і 1к (р) має властивості:

Ф) С 22.21к (Р) С и °)2)0 є а и 0 \ щ .Не обмежуючи загальності, будемо вва

жати,що в області 0 22.21к (р) існує хоч биУ 0( г )

(1.7),який має властивість (2.9). Це випливає з існування вздовж кожної з кривих Ь (0 , |г1 |(1.7) з такою оцінкою.

г ЄЄ 0 22.21к (р) має хоча б один аналітичний розв’язок, який має асимптотичну оцінку(2.3).Теорема доведена.

Доведення теореми 1.3 відрізняється від теореми 1.2 на етапі 1. У відповідності зумовами теореми 1.3 маємо, що ( ЬчТ, ^ ) <

0 ,1 = 1 , р і , р з + 1 , п;( г чТ, Ц ) > 0 , І = р і + 1 , р 2 , р 2 + 1 ,рз-

Д ля множин

Щ = П2е = {(Ь, W ) : Ь = Ь0, W 122 (Ь) + W222(Ь) =

= 52 \Р2 (г(Ь^ ) ) \2,І = 1 ,р і ,р з + 1,п,Ь Є (0 ,Ьі )}

Н2 = {(ї, Ш) : ї = ї 0 , (ї) + Ш22;( ї ) <

< 52 \ф; ( г ( ї ^ ) ) \2 ,і = 1,Р1,Р3 + 1,n},

множина Е2 = Н2 П ^2Є = {(ї, Ш) : ї = ї 0,

^ (ї) + Ш22; (ї) = 6 ( г ( t 0 , V ) ) \2,і' = ,

Р3 + 1, n, Ш12з (ї) + Жу (ї) < б2\ф ( г ( t 0, V ) ) \2,

і = Р1 + 1,Р3}.

є ретрактом для ^2Є і не є ретрактом дляН2

Відповідно топологічному принципу Важевського маємо, що існує хоча б один неперервно-диференційовний розв’язок системи (2.1), який лежить в області (ПЦї, Ш, 6 ) ) і е (0М , ( ї0^ ) Є ф23.;ік(ї0), при

(0 , ї 0]справедлива оцінка (2.3).

5 . В и сн о вки . Ця робота є продовженням досліджень, як і були проведені в [7]. Система (1-1) вивчається у припущенні, що т > п, тапдА(0 ) = п є сталим в деякій області Б 1; коли матриця А -1(г )Б 1(г) аналіти-

Б 10 г = 0 дпорядку, д Є Б , д > 2.

Одержані достатні умови існування аналітичних розв’язк ів задачі (1.1)-(1.2) в обла-

г = 0вчено питання про кількість таких розв’язків.

і

1. Самойленко А.М., Шкиль М.І., Яковець В.П. Лінійні системи диференціальних рівнянь з виродженнями-К.:Вшца школа.—2000.—294с.

2. Бояринцев Ю.Е. Вырожденные системы дифференциальных уравнений. I l.:I lav ка— 1982.—312c.

3. Campbell St. Uniqueness of completions for linear time varing differention algebraic equations / /Linear Algebra and Appl.—1992.-161,—c.55-67. - 144c.

4. März R. On the stability behaviour of systems obtained by index-reduction / / Journal of Comp.Applied Math)— 1994. - 56. - PP. 305-319

5. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. — 1967.— 472с.

6. С'амкова Г.Е. Существование и асимптотическое поведение аналитических решений некоторых сингулярных дифференциальных систем, не разрешенных относительно производных// Диф. уравнения. - 1991. - 27, N И. - С. 2012-2013.

7. С'амкова Г .6., Шарай Н.В. Об исследовании некоторой полуявной системы дифференциальных уравнений в случае переменного пучка матриц / /Нелінійні коливання. 2(Hi2.-5..Y»2.—с.224-236.

8. Шарай Н.В. Об асимптотике решений полуявных систем дифференциальных уравнений / /Нелінійні коливання.-2005.-8 ,№1.—с. 132-144.

Випуск 314-315 Математикаlibrary.chnu.edu.ua/.../visnyk_chnu_2006_0314_0315.pdf ·...

Documents