eym3b integrales superposicion · 2010. 10. 19. · integrales de superposición para el campo...
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Integrales de Superposición para el campo
electrostático EyM 3-b 1
J.L. Fernández Jambrina
Electrostática
• Definición
• Los conductores en electrostática.
• Campo de una carga puntual.
• Aplicaciones de la Ley de Gauss
• Integrales de superposición.
• Potencial electrostático.
– Definición e Interpretación. Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase. Integrales de superposición. Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.
• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, ...
• Polarización de materiales.
• Método de las imágenes.
• Sistemas de conductores. Condensadores.
• Energía y Fuerzas.EyM 3b-1
J.L. Fernández Jambrina
• Supongamos un conjunto de cargas puntuales en el vacío.
– El campo producido por ellas será la suma de los que producen cada una de ellas por separado, es decir:
siendo el campo producido por la carga i-ésima qi.
Campo producido por un sistema de cargas puntuales
( ) ( ) ( )∑∑∑−πε
−=
−πε==
ii
ii
i
i
i
i
i
i
rr
rrqR
rr
qrErE
3'
'
2' 4
ˆ
4rr
rr
rrrrrr
O
q2
q1
rr2
rr1
rE
1
rr
rri qi
rE
2
rE
i
r rE E
Total i
i
==== ∑∑∑∑
( )rEirr
EyM 3b-2
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Integrales de Superposición para el campo
electrostático EyM 3-b 2
J.L. Fernández Jambrina
• Un elemento de volumen dV' situado en tendrá una carga y producirá un campo eléctrico en el punto de observación que viene dado por:
• El campo total vendrá dado por la integral:
– Análogamente, para distribuciones superficiales y lineales:
– Estas expresiones permiten obtener el campo producido por distribuciones arbitrarias y por tanto son de aplicación más general que la ley de Gauss.
Integrales de Superposición:(Aportaciones infinitesimales)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )33
44 rr
rrVdr
rr
rrrdqrEd
′−
′−′′=
′−
′−′= rr
rrr
rr
rrrrr
περ
πε
( )dVrdq ′= rρ( )dE rr r
rr
dV’
dq
O
V
r ′r
( )rEd rr
rr rr ′−
rr
( ) ( ) ( )( )∫∫∫∫∫∫ ′−′′−′
=′−
′−=
VQ rr
Vdrrr
rr
dqrrrE
334
1
4
1rr
rrr
rr
rrrr ρ
πεπε
( ) ( )( )∫∫ ′−′′−′ρ
πε=
S
S
rr
SdrrrrE
34
1rr
rrrrr ( ) ( )( )∫ ′−
′′−′ρπε
=C
L
rr
ldrrrrE
34
1rr
rrrrr
r ′r
( )( )( )
′
′
′
=
dlr
dSr
dVr
dq
l
sr
r
r
ρρρ
EyM 3b-3
J.L. Fernández Jambrina
• Calcular el campo creado por un disco de carga uniforme, , de radio R en su eje.
– Se aplica:
– Dada la geometría:
– Debido a la simetría solo hay componente z.
Integrales de Superposición: Ejemplo 1
X
Y
Z
rr
r′′′′r
R( ) ( )( ) ( )∫∫∫∫ ′−′−
πεσ
=′−
′−′ρπε
=SS
S
rr
dSrr
rr
dSrrrrE
33
'
4
'
4
1rr
rr
rr
rrrrr
ρ σS =
( ) ρ′ϕ′ρ′=′
+ρ′=′−
+ρ′ρ′−=′−⇒
ρ′ρ′=′
=ddSd
zrr
zzrr
r
zzr21
22
ˆˆ
ˆ
ˆrr
rr
r
r
( )( ) ( )
( ) ( )zz
zRzzzz
z
dzz
ddz
zzd
zzzE
R
R
R
ˆ11
2
1ˆ
2ˆ
4
2
ˆ
0
ˆ4
ˆ
22
0
220 22
0
2
022
2
022
21
23
23
23
+−
εσ
=+ρ′
−ε
σ=
+ρ′
ρ′ρ′
πεπσ
=
=ρ′ρ′
ϕ′+ρ′
+ϕ′ρ′+ρ′
ρ′−
πεσ
=
=ρ′=ρ
=ρ′
π
=ϕ′
π
=ϕ′
∫
∫ ∫∫43421
r
EyM 3b-4
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Electricidad y Magnetismo 2010/2011
Integrales de Superposición para el campo
electrostático EyM 3-b 3
J.L. Fernández Jambrina
Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (2)
Líneas de campo eléctrico de un disco cargado con densidad uniforme.
0 +1-1
0
+1
-1
z/a
ρρρρ/aEyM 3b-5
J.L. Fernández Jambrina
Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (3)
• Notas:
–
– El campo presenta una discontinuidad en el origen de valor σ/ε, como se podría haber predicho a partir de la condición de interfase:
– Cuando la distancia al disco es muy grande, comparada con su tamaño, el campo se comporta como el de una carga puntual de valor igual a la del disco.
( ) 0ˆsenˆcosˆ2
0
2
0=ϕϕ+ϕ=ϕρ ∫∫
ππdyxd zzz ≠=2
( )
( )( ) ( ) zzzEzzE
zzzzRz
zzE
zzzzRz
zzE
zz
zz
zz
ˆˆlimˆlim
ˆ2
ˆ11
2limˆlim
ˆ2
ˆ11
2limˆlim
00
2200
2200
εσ
=−⇒
εσ
−=
+−
εσ
=
εσ
=
+−
εσ
=
−→+→
−→−→
+→+→ rr
r
r
( )
===
−≈
≈
+−=
+−=
⇒>>
zz
zQz
zz
Qz
zz
Rz
z
R
z
z
zzRz
zzz
zRzzzE
Rz
DISCODISCO ˆ4
ˆ4
ˆ4
ˆ2
11
2
ˆ1
11
2ˆ
11
2ˆ
3
2
2
2
2222
πεπεεσ
εσ
εσ
εσr
EyM 3b-6
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Integrales de Superposición para el campo
electrostático EyM 3-b 4
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1
0.5
Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (4)
• Representación gráfica de:
( )z
zRz
zEz
+−=
σε
22
112
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
( )3
2,
2
2
z
zRzE lejz =σ
ε
RzEyM 3b-7
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 2: Línea de carga uniforme.
• Sea ahora una línea de carga uniforme de longitud L.
– Supongamos que está sobre el eje Zy centrada en el origen:
XY
Z
L/2/2/2/2
-L/2/2/2/2
ρ λL =
( )( ) zdldzzrr
zzzrr
zzr
zzr′=′
′−+=′−
′−+=′−⇒
′=′
+=22
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ρ
ρρρρrr
rr
r
r
( ) ( )( ) ( )( )[ ]
( )( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( )[ ]
++−
−+
+
++
++
−+
−
=
=
−′+
+−′=′
−′+
−′−=′
′−
′−′=
−−∫∫
zzLzL
zL
zL
zL
zL
zz
zzzzd
zz
zzzld
rr
rrrrE
L
L
L
LL
L
ˆ2
1
2
1
ˆ2
2
2
21
4
ˆˆ
4
ˆˆ
44
1
21222122
21222122
2
2
2122
2
2
23223
ρρ
ρρρρ
πελ
ρ
ρρπελ
ρ
ρρπελρ
πε rr
rrrrr
EyM 3b-8
-
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Integrales de Superposición para el campo
electrostático EyM 3-b 5
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Ejemplo 2: Línea de carga uniforme. (2)
• Representación del campo.
0
1
2
-1
-20-1-2 1 2Lρ
Lz
EyM 3b-9
J.L. Fernández Jambrina
Ejemplo 2: Línea de carga uniforme. (3)
• La expresión anterior no está definida en el eje Z, aunque se puede intentar obtener una:
– La componente radial
» Fuera de la distribución es nula.
» Sobre la distribución no está definida. Esto es común a todas las distribuciones lineales.
– La componente z en los extremos de la distribución se hace infinita.
zzLzL
zzE ˆ2
1
2
1
4)ˆ(
+−
−=
πελr
0 L 2L-L-2L
0
-5
5
λπε4
)ˆ( zzE z
EyM 3b-10
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electrostático EyM 3-b 6
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Distribuciones Invariantes en z
• Una distribución es invariante en z si ni su geometría ni su densidad dependen de la coordenada z.
– queda definida por su intersección con un plano z=cte y su densidad.
• Cálculo del campo:
– Se pueden definir elementos de carga lineal a partir de diferenciales de superficie:
– Partiendo del campo creado por una línea de carga:
– Y sumando las contribuciones:
» Importante: Todos los vectores de posición implicados deben pertenecer a un mismo plano z=cte: son bidimensionales.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )rldrrqdrldr
rSdrrqdrSdr
SLS
L
′′′=′′⇒′′′
′′′=′′⇒′′′rrrrr
rrrrr
ρρρρ
,
,
( )2
2 rr
rrrE L
′−
′−πε
ρ= rr
rrrr
$z
S
dS
( )( )
( )
′′ρ′−
′−πε
′′ρ′−
′−πε
=ρ′′−
′−πε
=
∫
∫∫∫
LS
S
LL
ldrrr
rr
Sdrrr
rr
qd
rr
rrrE
rrr
rr
rrr
rr
rr
rrrr
2
2
2
2
1
2
1
2
1
EyM 3b-11
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Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo
• Calcular el campo creado por una tira indefinida de densidad superficial de carga constante en los puntos del eje Y.
– Se aplica:
– De la geometría:
– Sustituyendo:
» La componente x se cancela por simetría.
Z
Y
X
ρ σS =
w
( ) ( )∫ ′′ρ′−′−
πε=
LS ldr
rr
rrrE
rrr
rrrr
22
1
( )
( )y
wy
y
xyyx
x
xdyx
yyxxzzyyE
w
w
w
w
2arctgˆarctgˆln
2
ˆ
2
ˆˆ
2ˆˆ
2/
2/
22
2/
2/ 22
πεσ
=
′++′
−πεσ
=
=′+′+′−
πεσ
=+
−
−∫r
( ) xdldyxrryyxxrr
xxr
yyr′=′
+′=′−
+′−=′−⇒
′=′
=21
22
ˆˆ
ˆ
ˆrr
rr
r
r
EyM 3b-12
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electrostático EyM 3-b 7
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Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (2)
• Existe una discontinuidad en y=0 de valor σ/ε como se podría haber predicho a partir de la condición de interfase:
( )
( )( ) ( )
εσ
=−⇒
εσ−
=πεσ
=
εσ
=πεσ
=
−→+→
−→−→
+→+→yyyEyyE
yy
wyyyE
yy
wyyyE
yy
yy
yyˆˆlimˆlim
2ˆ
2arctgˆlimˆlim
2ˆ
2arctgˆlimˆlim
00
00
00rr
r
r
E yy ( )
σε
y/w
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.5
0
0.5
EyM 3b-13
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Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (3)
• Cuando la distancia a la tira es mucho mayor que su ancho el campo tiende al de una línea indefinida de carga con la misma carga por unidad de longitud que la línea:
( )y
qy
y
wy
y
wy
y
wyzzyyEwy L
πε=
πεσ
=πεσ
≈πεσ
=+⇒>>2ˆ
2ˆ
2ˆ
2arctgˆˆˆ
r
y/w
E y
E y
y
y LJE
( )
( ).
σ
σ
0.1 1 100.01
0.1
1
10
EyM 3b-14
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electrostático EyM 3-b 8
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Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (bis)
• Calcular el campo creado por una tira indefinida de densidad superficial de carga constante en todos los puntos del espacio.
– Se aplica:
– De la geometría:
– Sustituyendo:
Z
Y
X
ρ σS =
w
( ) ( )∫ ′′ρ′−′−
πε=
LS ldr
rr
rrrE
rrr
rrrr
22
1
( )( )
+′−=′−
+′−=′−⇒
′=′
+=222
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
yxxrr
yyxxxrr
xxr
yyxxrrr
rr
r
r
( )( )
( ){ }
( )( )
++
−+
+−
++=
=
−′++′−−=
=′+′−
+′−=
−=′
−=′∫
y
xw
y
xwy
ywx
ywxx
y
xxyyxx
x
xdyxx
yyxxxrE
w
wx
w
wx
2arctan
2arctanˆ
2
2ln2
ˆ
2
arctanˆln2
ˆ
2
ˆˆ
2)(
22
22
2
2
22
2
2
22
πεσ
πεσ
πεσrr
EyM 3b-15
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Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (4)
1111
0000
−−−−1111
−−−−1111 0000 1111
y/w
x/w
• Representación del campo.
EyM 3b-16