603030

60

60

60

30

200 200 200

150

23

173

600

346

6 X 16

6 X 16

6 X 12

6 X 16

6 X 12

6 X 12

6 X 12

15

15

15

SE-MAD 2008/2 EXERCCIO RESOLVIDO:

Em um telhado tradicional com telhas de concreto foi utilizada uma configurao de teras em toras rolias de Eucaliptos Paniculata (entre os mais resistentes entre os eucaliptos), vencendo um vo de 4m.

Nos apoios destas teras foi concebida uma trelia belga, com peas retangulares de 6x16 e 6x12, em Sacupira, conforme o desenho abaixo:

Sabendo disto alm dos dados abaixo, verificar o estado limite ltimo de ruptura tanto da tera quanto da trelia belga.

Dados: - Carregamento: Telha de Concreto: 0,6 kN/m;

Estrutura de ripas e caibros: 0,3 kN/m;

Forro e Utilidades: 0,5 kN/m;

Sobrecarga: 0,5 kN/m;

- Dados dos Materiais: (Madeira de 2 Categoria, Umidade de Equilbrio em 12%)

Madeirafmc (Resistncia Mdia

Compresso, MPa)fmt (Resistncia Mdia

Trao, MPa)Ec (Mdulo de Elasticidade

Compresso MPa)

Eucalipto Paniculata 72,7 147,4 19881,0

Sacupira 95,2 123,4 21724,0

- Dados do Ambiente: Umidade Ambiente = 65%;

- 200/Lfechaadm =

- Em caso de um ndice de esbeltez acima de 80, adotar uma excentricidade de 2 ordem de 2 cm.

RESOLUO: O processo de resoluo do caso descrito acima pode se dar pelos seguintes passos:

- Obter as resistncias de projeto das madeiras;

- Obter as cargas de projeto nas teras;

- Obter os esforos internos solicitantes nas teras e suas reaes de apoio que se tornaram as cargas na trelia belga;

- Obter as tenses solicitantes na tera e a sua deformao;

- Verificar a Tera tanto ruptura quanto deformao;

- Obter os esforos internos solicitantes na trelia belga;

- Verificar as barras mais solicitadas na trelia.

1 PASSO: Obter as resistncias de projeto das madeiras:

Inicialmente iremos obter os valores de kmod tanto para o Eucalipto quanto para a Sacupira:

- kmod1=0,7 (Carregamento de longa durao);

- kmod2=1,0 (Umidade Ambiente de 65% com Umidade de Equilbrio de 12%);

- kmod3=0,8 (Madeira de 2 Categoria tanto para Dicotiledneas quanto para Coniferas).

Kmod = 0,7 * 1,0 * 0,8 = 0,56

Aps isto podemos encontrar as resistncias de projeto e o Mdulo de Elasticidade de cada madeira:

Para o Eucalipto:

Resistncia de projeto de compresso:

/03,235,204,1

7,72*7,0*56,0*7,0*mod cmkNMPaw

fkf mccd ====

Resistncia de projeto de trao:

/21,31,328,1

4,147*7,0*56,0*7,0*mod cmkNMPaw

fkf mctd ====

Para o mdulo de elasticidade temos:

/3,113.1133.11881.19*56,0*mod cmkNMPaEkE ccd ====

Para a Sacupira:

Resistncia de projeto de compresso:

/66,265,264,1

2,95*7,0*56,0*7,0*mod cmkNMPaw

fkf mccd ====

130

150

173

161 (faixa de influncia na

projeo vertical)

6 X 16

150

TERACENTRAL

140(faixa de influncia naprojeo vertical)

Resistncia de projeto de trao:

/691,287,268,1

4,123*7,0*56,0*7,0*mod cmkNMPaw

fkf mctd ====

Para o mdulo de elasticidade temos:

/5,216.1165.12724.21*56,0*mod cmkNMPaEkE ccd ====

2 PASSO: Obter as cargas de projeto nas teras:

Para a anlise da tera vamos checar a tera central, pois esta possui a maior rea de influncia:

muito importante neste ponto distinguir quais so as cargas distribudas em projeo vertical no telhado e quais so as cargas distribudas no plano do telhado com efeito vertical, como ilustrado ao lado.

Como exemplos de cargas aplicadas em projees verticais, temos o forro e utilidades e a sobrecarga, assim:

mkNmm

kNQ

mkNmm

kNQ

utilforro

asobrec

/7,04,1*

5,0

/7,04,1*

5,0

_

arg

==

==

E para as cargas aplicadas na faixa de influncia do telhado temos:

mkNmm

kNQ

mkNmm

kNQ

estrutura

telhas

/49,061,1*

3,0

/97,061,1*

6,0

==

==

Por fim, a carga ltima de projeto sobre a tera ser a somatria de todas as cargas, multiplicadas pelo fator de segurana das cargas:

mkNmkNmkNmkNmkNqd /486,2*4,1)/49,0/97,0/7,0/7,0(*4,1 ==+++=

Tambm iremos precisar da carga de Combinao Quase Permanente. Esta combinao utilizada para a verificao da flecha excessiva das teras, e se trata de uma condio de carregamento que abrangem em mdia 70% do tempo da vida til de uma estrutura:

mkNmkNmkNq

mkNmkNmkNmkNq

nenteQuasePermacomb

nenteQuasePermacomb

/65,2/16,2/7,0*7,0

/49,0/97,0/7,0/7,0*7,0

.

.

=+=

+++=

333

33,33132

15

32cm

D===

pipi

444

248564

15

64cm

DInrcia ===

pipi

3 PASSO: Obter os esforos internos solicitantes nas teras e suas reaes de apoio que se tornaram as cargas na trelia belga:

Para o clculo das teras ser considerada como modelo de clculo uma viga bi-apoiada com carga distribuda. Assim pela resistncia dos materiais temos a reao de Apoio e o momento mximo respectivamente de:

cmkNmkNmmkNqL

M

kNmmkNqL

R

mx

apoio

*450*5,48

)3(*/4

8

62

3*/4

222

====

===

4 PASSO: Obter as tenses solicitantes na tera e a sua deformao:

Para obter tanto as tenses solicitantes quanto a deformao das teras necessrio encontrar as caractersticas geomtricas da seco da tera: Mdulo de Resistncia para as tenses e Momento de Inrcia para a deformao. Assim:

Mdulo de Elasticidade ;

Na seqncia obtemos as tenses solicitantes para o carregamento ltimo: qd = 4 kN/m;

/36,133,331

*4503

cmkNcm

cmkN

W

Mdsd === ;

,e a flecha para a combinao permanente:

cmcm

cm

kN

cmcm

kN

IE

Lqflecha freq 01,1

392.355.062.1

000.000.100.8*1325,0

485.2*3,113.1*384

)300(10065,2

*5

**384

*5

42

44

. ====

5 PASSO: Verificar a tera tanto ruptura quanto deformao:

Verificando a tera para tenso de ruptura:

Como temos a tenso resistente maior que a tenso solicitante, ou seja,, sdcdf ,

sendo em nosso caso a menor tenso resistente a tenso de compresso temos:

!!!/36,1/03,2 OKcmkNcmkN

J a verificao depende da flecha admissvel, que em nosso casso 1/200, ou seja,

cmfechaadm 5,1200/300 ==

Assim como obtido no passo anterior a flecha de 1,01 cm, ou seja, inferior a flecha limite de 1,5 cm. Condio verificada.

6 PASSO: Obter os esforos internos solicitantes na trelia belga:

A partir do desenho da trelia juntamente com as reaes das teras, obtemos o seguinte modelo estrutural da trelia:

200 200 200

150

23

173

600

346

603030

60

60

60

30

P

P

P

P/2P/2

1

2 3

4 5 67

A

B C

DE

FG

H

KJI

2P 2P

A carga P acima mencionada referente ao apoio de 2 teras ou seja, de 2*6kN = 12 kN.. Porm, no desenvolver de todo o clculo das cargas solicitantes nas barras vamos considerar o valor alfanumrico P.

Na figura acima, mostrado a primeira etapa de soluo da trelia, encontrar os valores da reao de apoio, no caso, como se trata de uma estrutura simtrica com carregamento simtrico, temos metade da somatria dos esforos verticais para cada apoio.

A segunda etapa de soluo da trelia obter os valores de esforos solicitantes em cada barra. Para isto vamos utilizar o mtodo do equilbrio dos ns por meio geomtrico.

Neste processo selecionado cada n da trelia com no mximo 2 valores de barras desconhecidos e a partir disto feito o seu equilbrio, sendo no caso geomtrico por meio de vetores.

Vamos iniciar nosso estudo pelo n 4, n este que desconhecemos os valores das foras normais nas barras A e I, ou seja, 2 barras com valores desconhecidos como ordena o mtodo.

Inicialmente montamos o diagrama de vetores com um valor conhecido: o da reao de apoio: 2P. Na extremidade da seta deste vetor iremos colocar outro vetor conhecido, o vetor da fora P/2, conforme o primeiro diagrama abaixo:

2PP/2

2PP/2

2PP/2

2,598P

3P

Na seqncia do mtodo, como mostrado acima, traada uma reta paralela a uma das barras A ou I na extremidade final da seta da fora de P/2, neste caso a barra escolhida foi a barra I.

Na outra extremidade, onde se iniciou o mtodo ento traada uma reta paralela a outra barra, no caso acima, a barra A.

Como sabemos que o n deve se manter equilibrado, isto implica que as foras nas barras A e I juntamente com as cargas conhecidas 2P e P/2 devem montar um circuito fechado. Aplicando este principio no segundo diagrama da figura acima obtemos o percurso indicado na terceira figura.

Finalmente atravs do recurso de desenhar os vetores das foras de cada barra em escala basta medir a distncia de cada vetor para obter o valor da carga de cada barra. No caso acima sabemos que o valor da barra I vale 2,598P e o valor da barra A vale 3P.

Agora basta encontrar o sentido do esforo norma interno na barra. Para isto, pela terceira lei de Newton, ao e reao, basta inverter o sentido do vetor de cada barra assim temos uma fora entrando na barra A e uma fora saindo da barra I, conforme o esquema abaixo:

200 200 200

150

23

173

600

346

603030

60

60

60

30

P

P

P

P/2P/2

1

2 3

4 5 67

A

B C

DE

FG

H

KJI

2P 2P

Ester esforos por sua vez devem ser equilibrados internamente nas barras o que leva a barra A sofrer compresso no valor de 3P, e a barra I sofrer trao de 2,598P.

Lembrando que esta trelia uma estrutura simtrica com carregamento simtrico, isto leve que todos os esforos solicitantes internos tambm so simtricos, ou seja, o esforo na barra A igual ao esforo na barra D, e o esforo interno na barra I igual ao esforo interno na barra K, como mostra o esquema abaixo:

PP

3P

3P

P 3P

0,86P

2,5P

200 200 200

150

23

173

600

346

603030

60

60

60

30

P

P

P

P/2P/2

1

2 3

4 5 67

A

B C

DE

FG

H

KJI

2P 2P

2,598P

3P

2,598P

3P

Agora repetindo o mesmo procedimento para o n 2. Devemos ter o cuidado de lembrar que o esforo da barra A de 3P, por efeito de ao reao. a fora entra no n, ou seja, na montagem do diagrama de foras no n devemos mudar o sentido da seta do vetor da barra A junto ao n 2::

Como mencionado anteriormente montado toda a seqncia de vetores conhecidos, e aps isto traada uma reta em cada extremidade do circuito. Cada reta desta deve ser paralela a uma das barras da trelia.

Por fim fechado o circuito. O comprimento de cada vetor o valor da fora atuante no n devido a cada uma das barras, e o sentido do vetor indica o sentido desta fora.

Como descrito anteriormente os valores so repassados para o diagrama da trelia, e por fim, o sentido das foras so invertidos, princpio da ao e reao.

Aps a anlise do n 2 temos o seguinte diagramas de foras:

200 200 200

150

23

173

600

346

603030

60

6060

30

P

P

P

P/2P/2

1

2 3

4 5 67

A

B C

DE

FG

H

KJI

2P 2P

2,598P

3P

2,598P

3P0,86P

2,5P

0,86P

2,5P

Finalmente chegamos ao ltimo n necessrio a ser calculado: n 3. Para este n repetimos o diagramas de foras no n na mesma metodologia anteriormente descrita:

2,598P

0,86P2,598P 2,598P

0,86P

1,73P 0,86P

Que por sua vez aplicado no diagrama da trelia temos:

200 200 200

150

23

173

600

346

603030

60

60

60

30

P

P

P

P/2P/2

1

2 3

4 5 67

A

B C

DE

FG

H

KJI

2P 2P

2,598P

3P

2,598P

3P0,86P

2,5P

0,86P

2,5P

0,86P

1,73P

0,86P

7 PASSO: Verificar as barras mais solicitadas na trelia:

Atravs do passo anterior podemos perceber que a barra mais solicitada compresso (esforo de menor resistncia da Sucupira) a barra 2, onde:

Nd = 3P = 3*6kN = 18kN

Para esta barra verificado coeficiente esbeltez g

fl

r

L= .

Lembrando que o raio de girao na seco retangular : cmb

rg 73,112

6

12=== ,

Obtemos o seguinte coeficiente de esbeltez: 10073,1

173===

g

fl

r

L , ou seja estamos diante

de uma barra esbelta.

Para a verificao de um perfil acima de um de 40 precisamos calcular a carga crtica

de flambagem: 2

2

fl

cdcr

L

IEN

pi= , mas antes disto devemos encontra o menor momento de inrcia

da seco retangular de 6x16cm, ou seja: 433

28812

6*16

12cm

hbInrcia === , o que por sua

vez ns levar carga crtica: kNL

IEN

fl

cdcr 52,115173

288*5,216.12

2

2

2

===pipi

Antes de aplicar a ltima verificao devemos encontrar e excentricidade acidental desta

barra dada por: cmL

ea 58,0300

173

300=== alm da excentricidade dada de 2 ordem de 2 cm.

Tambm temos os dados geomtricos: o menor mdulo de resistncia da seco retangular 6x16 cm e sua rea que valem respectivamente:

32

966

cmhb

wMN ==, rea = 6*16 = 96cm

Finalmente chegamos na obteno da tenso solicitante nesta barra:

76,0573,01875,0

52,97

52,115483,01875,0

1823,115

52,115

96

58,2*18

96

18*

cm

kN

NN

N

W

eN

A

N

sd

cr

craddsd

=+=

+=

+=

+=

]

Esta tenso esta bem abaixo da tenso limite de compresso da Sucupira: 2,66 kN/cm, ou seja, esta pea atende muito bem as solicitaes, com uma porcentagem de solicitao da

pea de: %29285,066,2

76,0==

cd

sd

f