Coordenadas polares.Las coordenadas polares es un sistema de coordenadas que define laposicin de un punto en un espacio bidimensional en funcin de losngulos directores y de la distancia al origen de referencia.Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija unpunto O llamado polo u origen, se traza un rayo inicial llamado ejepolar.Sea P un punto cualquiera en el plano coordenado, la posicin delpunto P con relacin al eje polar y al polo es determinado cuando seconocen r y . Estas dos cantidades se llaman las coordenadas polaresdel punto P; donde r se denomina radio vector y ngulo polar oargumento de P. Un punto P se escribe (r, ). La lnea recta que pasapor el polo y es perpendicular al eje polar se llama eje normal o eje a90.En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene unarepresentacin nica. Esto no sucede en coordenadas polares. Lascoordenadas (r, ) y (r, +2n) representan el mismo punto, donde nes cualquier entero positivo.Teorema 1. Si el polo y el eje polar del sistema de coordenadaspolares coinciden, respectivamente, con el origen y la parte positivadel eje X de un sistema de coordenadas rectangulares, el paso de unoa otro puede efectuarse por medio de las siguientes frmulas detransformacin:Grfica de una ecuacin polar.Definicin. Es el conjunto de puntos tales que cada uno tiene almenos, un par de coordenadas polares que satisfacen la ecuacin.Trazado de curvas en coordenadas polares.La construccin de curvas en coordenadas polares constar de los seispasos siguientes:1. Determinacin de las intersecciones con el eje polar y el ejenormal.2. Determinacin de la simetra de la curva con el eje polar, el ejenormal y el polo.3. Determinacin de la extensin del lugar geomtrico.4. Clculo de las coordenadas de un nmero suficiente de puntospara obtener una grfica adecuada.5. Trazado de la grfica.6. Transformacin de la ecuacin polar a rectangular.Ahora desarrollaremos los pasos 1, 2 y 3, los 4, 5 y 6 no esnecesario desarrollarlos.1. Intersecciones. Las intersecciones con el eje polar, cuandoexisten, pueden obtenerse resolviendo la ecuacin polar dadapara r, cuando a se le asignan sucesivamente los valores 0,, 2, y en general n, donde n es un entero cualquiera.Anlogamente, si existen algunas intersecciones con el ejenormal, pueden obtenerse asignado a los valores de n/2,donde n es un nmero impar cualquiera. Si existe un valor depara el cual r=0, la grfica pasa por el polo.2. Simetra.La simetra de una curva se analiza mediante las siguientestransformaciones.3. Extensin del lugar geomtrico. Para determinar la extensin dela grfica de un lugar geomtrico dado en coordenadas polares,primero se despeja a r en funcin de , de modo que tenemosr=f )si r es finito para todos los valores de , se trata de una curva cerrada. Sir es infinita para ciertos valores de la grfica no es una curva cerrada. Paravalores de que hacen a r compleja no hay curva; tales valores constituyenintervalos excluidos del lugar geomtrico. Si la grfica es una curva cerrada,es til, determinar los valores mximo y mnimo de r.Ejemplo. Discutir y graficar la curva:r = 1 cosSimetra con respecto alLa ecuacin polar no se altera o setransforma en una ecuacin equivalenteEje polara) se sustituye a por ob) se sustituye a por y r por -rEje normala) se sustituye a por ob) se sustituye a por y r por -rPoloa) se sustituye a por b) se sustituye a r por -r1. Intersecciones.Para = 0, r = 0Para = , r = 2Para = 2 , r = 0Las sin ter sec ciones son :(0,0), (2, ), (0,2 )2. Simetra.a) Con el eje polarSustituimos a por r = 1 cos = 1 cos Como la ecuacin no se altera, hay simetra con el eje polar.b) Con el eje normalSustituimos a r por r y a por r = 1 cos r = 1 cos Como la ecuacin se altera, no existe simetra con el eje normal.c) Simetra con el poloSe sustituye a r por rr = 1 cos r = 1 cos Como la ecuacin se altera, no hay simetra con el polo.3. Extensin del lugar geomtrico.r = 1 cos Dado que los valores del radio son finitos, podemos decir que la curvaes cerrada.4. Clculo de las coordenadas de un nmero suficiente de puntospara obtener una grfica adecuada.r = 1 cos 0/6/3/2/6/6/6/3/2/311 /6r00.130.511.51.8721.871.510.50.130Como puede observarse en la tabla los valores a partir de empiezan arepetirse, por ser la ecuacin simtrica con el eje polar. Esto implica quecuando una ecuacin tiene esta caracterstica solo es necesariocalcular los valores del radio hasta para = .5. Trazado de la curvay r(t )=1- cos t21.510.5x-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2-0.5-1-1.5-26. Transformar la ecuacin de polar a rectangularr = x 2 + y 2 , x = r cos cos = xr = 2 x , y = senx 2 + y 2 = 1 xx 2 + y 2 ~ (a)Multiplicando la ec.(a) por x 2 + y 2 :2 2 2 2 x x 2 + y 2x 2 + y 2x 2 + y 2 + x x 2 + y 2x 2 + y 2 = x 2 + y 2 ~ (b)La ecuacin (b) es la ecuacin rectangular, si usted quiere puedeseguir simplificando.x + y 2x + y =x + y Pendiente y rectas tangentes.Teorema. Pendiente en forma polar.Si f es una funcin derivable o diferenciable en , entonces la pendiente de larecta de la grfica r = f ( ) en el punto (r, ) esdydy f ( ) cos + f '( ) sendx dx f ( ) sen + f '( ) cos )d siem pre que dxd 0 en ( r , )Del teorema anterior se pueden sacar las siguientes conclusiones:1. Las soluciones dyd = 0 dan una tangente horizontal, siempre que dxd 02. Las soluciones dxd = 0 dan una tangente vertical, siempre que dyd 0Hallar la pendiente y las tangentes horizontales y verticales de las funciones:r = sen cos2 r = 3cos secTeorema. Rectas tangentes en el polo.Si f( )=0 y f ( o, entonces la resta = es la tangente a la grfica r=f( ) enel polo.Intersecciones entre curvas en coordenadas polares.Para determinar todas las intersecciones de dos curvas dadas sus ecuacionespolares, resuelva las ecuaciones en forma simultnea; luego grafique las dosecuaciones para descubrir otros posibles puntos de interseccin. Esto se debea que un punto P tiene muchas parejas polares y una pareja puede satisfacerla ecuacin polar de una curva; y una pareja distinta puede satisfacer laecuacin de otra curva.= d =Ejemplo. Determine los puntos de interseccin der = 1 cos , r = 1 + cos Igualamos las dos ecuaciones:r = 1 cos , r = 1 + cos 1 + cos = 1 cos 2 cos = 0, cos = 0Ahora tenemos que :1 1 32 2De acuerdo a la parte analtica los dos puntos de interseccin son:2 32 )Ahora, si observamos la siguiente grfica nos damos cuenta que existe untercer punto de interseccin, el polo. Esto se debe a quer = 0 en 1 cos cuando = 0 y r = 0 en 1 + cos cuando = cos cos = cos 0 =, =(1, ) y (1,rea y longitud de arco en coordenadas polaresTeorema. rea en coordenadas polaresSi f es continua y no negativa en el intervalo[, ],0 < 2 ,entonces el rea de la regin limitada o acotada por r = f( ) la grficaentre las rectas radiales = y = est dada por 2tambin podemos escribir la frmula comoA = 12 2Nota: La misma frmula se puede utilizar para hallar el rea de unaregin limitada por la grfica de una funcin continua no positiva. Sinembargo, la frmula no es necesariamente vlida si ftanto positivos como negativos en el intervalo [ , ]. toma valoresEjemplo. Hallar el rea de la grfica encerrada por la curvar = 3 3senHagamos un esbozo de la grfica para as tener una idea delcomportamiento de la curva.Si observamos los valores de la tabla, podemos darnos cuenta que lagrfica es simtrica con respecto al eje normal.0/6/3/2/6/6/6/3/2/311 /6r31.50.400.41.534.55.665.64.53A = 12 ( f ( ) ) dr dy r(t)=3-3 sin t8642x-8 -6 -4 -2 2 4 6 8-2-4-6-8A = 12 2A = 12 2 2 2 2 3 2 3 2 2 d )1 3 9 9 1 3 27 9 2 2 2 2 2 2 = 2 2 2 34 2 4 8 227 3 9 272 2 8 4Como la grfica es simtrica, multiplicamos por 2 para obtener el reatotalA = 272r d (9 6sen + 9sen (3 3sen d) =21= (9 6sen + 2 2 cos2)d = d 6sen cos22227 9 27 93 3 34 2 2d 3 send cos2d = + 3cos sen2 2 + 3(cos 32 2 ) ( sen3 sen = ) cos4 Longitud de arco en forma polar.Teorema. Longitud de arco en forma polarSea f una funcin cuya derivada es continua en el intervalo .La longitud de la grfica r = f ( ) en [ , ]es22 2 d Ejemplo. Encontrar la longitud de la curvar = sec, 0 3drd = sec tan30 2 2 3 sec2 +sec2 tan2d 3 3 30 0 0= tan 3 tan0 = 3rea de una superficie de revolucinTeorema. rea de una superficie de revolucinSea f una funcin cuya derivada es continua en el intervalo . Elrea de la superficie generada por revolucin de la grfica de r = f ( )en [ , ] alrededor de la recta indicada es la siguiente:1. 2 2 d ] alrededor del eje polar2. 2 2 d ] alrededor del eje normal dr L = [ f ( ) ] + [f '( ) ]d = r + d2L = (sec) +(sec tan) d = 0sec ( )= sec d = tan]01+ tan d = sec d =2 2 4 23,S = 2 f ()sen[ f () + f '()S = 2 f ()cos[ f () ]+ f ['()Ejemplo. Hallar el rea de una superficie de revolucin def ( ) = a cos , 0 2 alrededor del eje polarf '( ) = asen20 2 2 2 22020 20 00 2 2 20 cos send= 2 a 2 2 2 2 20 2= a 2 (1 0) = a 2ii S = 2 f ( )sen( f ( ) ) + (f '( ) )dS = 2 a cos sen( a cos ) + (asen )d= 2 a cos sen a 2 cos 2 + a sen 2 d2= 2 a cos sen a 2 (cos 2 + sen 2 )d= 2 a 2 cos senda cos sen a d = 222= 2 a cos sen d = 2 a2sen 2= a sen 2 = a sen (sen0)2 2 0 2