Exponenciálne  funkcie,  rovnice  a  nerovnice      

Riešenia    1.  a)  2,  b)  –2,  c)  2,  d)  –2,  e)  –5,  f)  –3,  g)  –3  (0,2 = ),  h)  4,  i)    ,  j)  −  ,  k)    ,  l)  −  ,  m)    ,  n)  − ,  

o)  3,  p)  –2,  q)  2,5,  s)  –3,    t)  −  ,  u)  − ,  v)   ,  w)  − ,  x)  − ,  y)    .    

2.  a)  2 ∙ 2 = 2  (exponent  sme  našli  výpočtom  1 + = 2 − ),    b)  6 ∙ 36 = 6 ,  

c)  4 ∙ 4 = 16 ,  

d)   8 ∙ = 32   (exponent   sme   našli   výpočtom   + 𝑥𝑥 − 1 − 𝑥𝑥 ∙ ;   32 = 2 ,   preto  

2 = 32 ,  8 = 2 = 32 ,  16 = 2 = 32 ),  

e)   = 2 = 4 = 8 = 16 ,  f)   3 ∙ 2 − 2 ∙ 2 + 2 = 2 (ak   z  každého   sčítanca   vyjmeme   2 ,   dostaneme   zápis  v  tvare  32 ∙ 2 ).    3.  

𝑥𝑥   −4   −2   −1   0   3   4   6   10  

𝑓𝑓(𝑥𝑥)   −3116

  −74   −

32   −1   6   14   62   1  022  

 4.    

𝑥𝑥   −32   −

43   −1   −

56   −

14   0  

16   0,5   1  

76   1,5   5

3   2,25  

𝑦𝑦 = 𝑎𝑎  18   ∙  

    0,25   24

 12   1   2   2   4   4 ∙ 2   8  

164   16 ∙ 2  

 (hodnotu  základu  𝑎𝑎  vieme  zistiť  z  modro  podfarbených  buniek).    5.  a)  5-­‐‑krát,  vypočítali  sme  32-­‐‑hú  odmocninu  (2 = 32),  správnosť  odpovede  môžete  overiť  tak,  že  na  kalkulačke  vypočítate   10 = 1,074  607…  ,  b)  8-­‐‑krát,  vypočítali  sme  256-­‐‑tu  odmocninu,   10 = 1,009  035…  .  

c)    1,1 > 10 ,  1,01 > 10 .    6.  a)  •   = 0,000  000  001,  t.  j.    0,000  000  1  %  (t.  j.  jedna  desaťmilióntina  percenta),    •    ,  b)  C10,    

c)  5  000  litrov,  t.  j.  5  m3  (koncentrácia    je  1  kvapka  v  celkovom  objeme  10  kvapiek  =    

ml  =  ∙

 l),    d)  •  7,5  kvapky  (v  bazéne  je  3  750  m3  =  3  750  000  l  vody,  to  je    75 ∙ 10  kvapiek,  pre  hľadaný  

počet  kvapiek  𝑥𝑥  má  platiť  ∙

=  (*),  odtiaľ  𝑥𝑥 = ∙  (**),  tento  výpočet  zodpovedá  

situácii,   že   v  bazéne   je   „na   kvapku   presne“   75 ∙ 10   kvapiek,   t.   j.   že   v  čísle   75 ∙ 10  pokladáme  za  platných  všetkých   jeho   11   cifier;   ak   –   čo   je  prirodzenejšie   –  pracujeme   s  2  alebo  3  platnými  ciframi,  tak  v  menovateli  zlomku  (**)  bude  10 ,  t.  j.  (*)  bude  mať  podobu  

∙= ;  iná  možnosť  riešenia  je  využiť  výsledok  úlohy  6c):  potencia  D8  je  1  kvapka  v  5  

m3,  preto  D9  je  1  kvapka  v  50  m3,  D10  je  1  kvapka  v  500  m3,  teda  na  3  750  m3  potrebujeme    kvapiek),  

•  ¾  kvapky.    7.  Pozri   obr.   34.  𝐷𝐷 𝑓𝑓 = ℝ,  𝐻𝐻 𝑓𝑓 = 0;∞ ,  𝑓𝑓   je   rastúca,   z  jej   oboru   hodnôt   vyplýva,   že   je  zdola  ohraničená  (najväčším  z  jej  dolných  ohraničení  je  číslo  0)  a  zhora  neohraničená.    

   

obr.  34    8.   ...  4 > 10,   ...,    4 > 10   (*),   ...,   zápis   čísla  4   v  desiatkovej   sústave  má   aspoň  𝑛𝑛 + 1  cifier,    a)  151,  

b)  178,  c)  z  (*)  vyplýva  nerovnosť  ∀𝑛𝑛 ∈ ℕ: <  ,  •  napr.  4 ,  pretože     < = 0,000  01    •  napr.  4 ,  

d)   z  nerovností   1,1 > 10 ,   1,01 > 10   vyplývajú   nerovnosti     1,1 > 10 ,   1,01 >10 ,  viac  ako  10  cifier  pred  desatinnou  čiarkou  má  napr.  zápis  čísla  1,01 .    9.   a)   Funkčné   hodnoty   funkcie   𝑓𝑓: 𝑦𝑦 = 4   v  bodoch    𝑥𝑥 = −2;  −1,5;  −1;  −0,5;  0;  0,5;  1;  1,5;  2   sú   v  uvedenom   poradí   funkčnými   hodnotami  

funkcie  𝑦𝑦 =  v  bodoch    𝑥𝑥 = 2;  1,5;  1;  0,5;  0;  −0,5;  −1;  −1,5;  −2  (teda  hodnota  v  bode  

– 𝑥𝑥  pre  funkciu  𝑦𝑦 = 4  je  hodnotou  v  bode  𝑥𝑥  pre  funkciu  𝑦𝑦 = ).  

b)  Graf  funkcie  𝑦𝑦 =  je  súmerný  podľa  osi  Oy  s  grafom  funkcie  𝑦𝑦 = 4 .    10.   a)   Funkčné   hodnoty   funkcie   𝑓𝑓: 𝑦𝑦 = 4   v  bodoch    𝑥𝑥 = −2;  −1,5;  −1;  −0,5;  0;  0,5;  1;  1,5;  2   sú   v  uvedenom   poradí   funkčnými   hodnotami  funkcie  𝑦𝑦 = 2   v  bodoch    𝑥𝑥 = −4;  −3;  −2;  −1;  0;  1;  2;  3;  4   (teda  hodnota  v  bode  2𝑥𝑥   pre  funkciu  𝑦𝑦 = 2    je  hodnotou  v  bode  𝑥𝑥  pre  funkciu  𝑦𝑦 = 4 ).  b)  Graf  funkcie    𝑓𝑓: 𝑦𝑦 = 4  v  smere  osi  Ox    •  2-­‐‑násobne  rozšírime,      •    2-­‐‑násobne  zúžime,      •  1,5-­‐‑násobne  zúžime,  •  4-­‐‑násobne  rozšírime.    11.  a)  Pozri  obr.  35,    

 

   

obr.  35    b)  pozri  obr.  36,      

𝑦𝑦 = 2 = 0,5  𝑦𝑦 = 2 = 0,5  

   

obr.  36    c)  pozri  obr.  37.    

   

obr.  37    

12.  a)   < 1,  

b)   > 1,  

1.  posunúť  o  1  vľavo  

3.  posunúť    o  2  nadol  

2.  dvojnásobne    zmenšiť  

𝐾𝐾:𝑦𝑦 = 4  

𝐹𝐹: 𝑦𝑦 = 4  

𝐺𝐺: 𝑦𝑦 = 4 − 2  

𝐻𝐻:𝑦𝑦 = 4    

𝑥𝑥  

𝑦𝑦  

𝑓𝑓: 𝑦𝑦 = 3  𝑔𝑔: 𝑦𝑦 = 5  𝑘𝑘:𝑦𝑦 =    ℎ: 𝑦𝑦 =    

c)  2,36 = 1,  d)  2,18 , > 1,  

f)  0,8 > 1,  

g)   < 1,  

h)  ,

< 1   (to,   že   platí   1,001 > 1,   vyplýva   napr.   z  faktu,   že   funkcia   𝑦𝑦 = 𝑥𝑥   je  rastúca:  1,001 > 1,  preto     1,001 > 1).    13.   a)   0,8 , < 0,8 , < 0,8 , < 0,8 , < 0,8 , < 0,8 ,   (funkcia   𝑦𝑦 = 0,8   je   klesajúca,  preto  platí  „čím  väčší  exponent,  tým  menšia  funkčná  hodnota“),    

c)   < < < .    14.  a)  𝑟𝑟 > 𝑠𝑠,  b)  𝑟𝑟 < 𝑠𝑠,  c)  𝑟𝑟 < 𝑠𝑠,  d)  𝑟𝑟 > 𝑠𝑠.    15.  a)  𝑎𝑎 > 1,  b)  0 < 𝑎𝑎   < 1,  c)  𝑎𝑎 > 1,  d)  0 < 𝑎𝑎   < 1.    16.  a)  𝑏𝑏 ∈ 0; 1 ,  b)  pozri  obr.  38,    

 

𝑎𝑎  

𝑦𝑦 = 𝑏𝑏  

√𝑎𝑎  

1/√𝑎𝑎  

𝑎𝑎  

𝑎𝑎  

1/𝑎𝑎  1/𝑎𝑎  

𝑥𝑥  

𝑦𝑦  

obr.  38    c)  pozri  obr.  39.  

   

obr.  39    

17.  a)  •  9-­‐‑násobne  zväčšíme  (v  smere  osi  Oy),  •  posunieme  o  2  doľava  (t.  j.  o  –2)  (v  smere  osi  Ox),  b)  •  posunieme  o  2  doprava    (v  smere  osi  Ox),    •  9-­‐‑násobne  zväčšíme  (v  smere  osi  Oy),  c)  25-­‐‑násobným  zmenšením  ...  (v  smere  osi  Oy),    d)  o  2  doľava  (t.  j.  o  –2)  (v  smere  osi  Ox),    18.    𝑎𝑎 =    (funkcie  𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 ,  t.  j.  𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑎𝑎  a  𝑦𝑦 = 𝑎𝑎  majú  mať  rovnaký  graf,  musí  preto  

platiť  𝑎𝑎 = ).    

19.  Graf   funkcie  𝑦𝑦 = 3   (𝑦𝑦 = )  na   intervale   𝑛𝑛, 𝑛𝑛 + 1  dostaneme,  ak  graf  na   intervale  𝑛𝑛 − 1, 𝑛𝑛  trojnásobne  zväčšíme  (štvornásobne  zmenšíme)  a  posunieme  o  1  doprava.  

 20.   a)   (B),  b)   ...   graf   funkcie  𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 −𝑥𝑥 ;   ak    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 4 ,   tak    𝑓𝑓 −𝑥𝑥 = 4 = 4 =

;  ak    𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∙ 4 ,  tak    𝑓𝑓 −𝑥𝑥 = ∙ 4 = ∙ = .    21.   a)   (D),   b)   ...   graf   funkcie   𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 1 ;   ak   𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 3 ,   tak     𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 1 = 3 =3 ;  ak  𝑓𝑓 𝑥𝑥 = ∙ 9 ,  tak    𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 1 = ∙ 9 = ∙ 9 ∙ 9 = ∙ 3 ∙ 3 = 3 .    

𝑥𝑥  

𝑦𝑦  

𝑎𝑎  

𝑦𝑦 = 𝑏𝑏  

𝑎𝑎  

𝑎𝑎  

𝑎𝑎 ∙ √𝑎𝑎  

𝑎𝑎 /√𝑎𝑎  

1/√𝑎𝑎  

1/ 𝑎𝑎 ∙ √𝑎𝑎  

22.  a)  𝑦𝑦 = 5 − 3,  b)  𝑦𝑦 = 5 ,  c)  𝑦𝑦 = 5 + 2.    23.   a)   Pozri   obr.   40;   𝐷𝐷 𝑓𝑓 = ℝ,   𝐻𝐻 𝑓𝑓 = 3;∞ ,   rastúca,   zdola   ohraničená,   zhora  neohraničená,  maximum  ani  minimum  nemá,      

   

obr.  40  Graf  funkcie  𝑦𝑦 = 2  sme  posunuli  o  1  doprava  (resp.  2-­‐‑násobne  zmenšili  v  smere  osi  Oy)  a  o  3  nahor.  

 c)   pozri   obr.   41;   𝐷𝐷 ℎ = ℝ,   𝐻𝐻 ℎ = −∞; 8 ,   klesajúca,   zdola   neohraničená,   zhora  ohraničená,  maximum  ani  minimum  nemá,    

   obr.  41  Graf  funkcie  𝑦𝑦 = 4  sme  dvakrát  zmenšili  v  smere  osi  Oy  (rovnaký  výsledok  dosiahneme,  ak  

graf  posunieme  o  0,5  doprava,  vyplýva  to  z  rovnosti   ∙ 4 = 4 , ),  preklopili  okolo  osi  Ox  a  posunuli  o  8  nahor.  

 d)   na   obr.   42   sú   znázornené   dva   rôzne   postupy   (v   a)   sme   najprv   zostrojili  graf   funkcie  

𝑦𝑦 = 9 − 3 ,  v  b)  graf  funkcie  𝑦𝑦 = − 9,  pretože  platí  rovnosť   9 − 3 = −

9 ),   𝐷𝐷 𝑘𝑘 = ℝ,   𝐻𝐻 𝑘𝑘 = 0;∞  ,   klesajúca   na   −∞;−1  ,   rastúca   na   −1;∞   (číslo   −1   je  

riešenie   rovnice    9 − 3 = 0),     zdola  ohraničená,   zhora  neohraničená,  minimum   je   0   (v  bode  −1),  maximum  nemá,    

 

 

𝑦𝑦 = 8  

𝑓𝑓: 𝑦𝑦 = 3 + 2  

𝑦𝑦 = 3  

            a)     b)  obr.  42  a)  Graf  𝑦𝑦 = 3  preklopíme  okolo  osi  Oy,  posunieme  o  1  vpravo  (resp.  3-­‐‑násobne  zväčšíme  v  smere  osi  Oy),  preklopíme  okolo  osi  Ox  a  posunieme  o  9  nahor,  potom  časť  ležiacu  pod  osou  Ox  

preklopíme  okolo  tejto  osi.  Vzniknú  tak  postupne  grafy  funkcií  𝑦𝑦 = 3 = ,  𝑦𝑦 = 3 =

3 = (alternatívne  zápisy  predpisu  uvádzame  na  overenie  správnosti  použitej  úpravy  grafu,  pozri  tiež  úlohy  20b)  a  21b)),  𝑦𝑦 = −3 ,  𝑦𝑦 = 9 − 3 ,  𝑘𝑘: 𝑦𝑦 = 9 − 3 .  

b)  Graf    𝑦𝑦 =  posunieme  o  1  doprava  (resp.  3-­‐‑násobne  zväčšíme  v  smere  osi  Oy),  posunieme  o  9  nadol,  potom  časť  ležiacu  pod  osou  Ox  preklopíme  okolo  tejto  osi.      

 e)  pozri   obr.   43   (predpis   funkcie  𝐹𝐹  možno  upraviť  na   tvar  𝑦𝑦 = 3 − 3 ,   resp.  𝑦𝑦 = 3 − ∙3 ),   𝐷𝐷 𝐹𝐹 = ℝ,   𝐻𝐻 𝐹𝐹 = −∞; 3 ,   klesajúca,   zdola   neohraničená,   zhora   ohraničená,  maximum  ani  minimum  nemá,    

     obr.  43  Graf  funkcie  𝑦𝑦 = 3  sme  posunuli  o  2  doprava  (resp.  9-­‐‑násobne  zmenšili  v  smere  osi  Oy),  

preklopili  okolo  osi  Ox  a  posunuli  o  3  nahor  (prvé  dva  kroky  možno  navzájom  zameniť).    

f)   pozri   obr.   44   (predpis   možno   upraviť   na   tvar   𝑦𝑦 = 8 − 4 ,   resp.   𝑦𝑦 = ∙ 8 − 4 );  𝐷𝐷 𝑘𝑘 = ℝ,  𝐻𝐻 𝑘𝑘 = 0;∞  ,  klesajúca  na   −∞; 1  ,  rastúca  na   1;∞  (číslo  1  je  riešenie  rovnice    ∙ 8 − 4 = 0),  zdola  ohraničená,  zhora  neohraničená,  minimum  je  0  (v  bode  1),  maximum  

nemá,    

𝑦𝑦   = 3  

𝐹𝐹:  𝑦𝑦 = 3 − 3  

𝑘𝑘:  𝑦𝑦   =   − 9    𝑦𝑦   =  9  

𝑦𝑦   =  −9  

𝑦𝑦   =   − 9    𝑦𝑦   =  9− 3  

𝑘𝑘:𝑦𝑦   =   |9 − 3 |  

𝑦𝑦   =  9  

   obr.  44  Graf  𝑦𝑦 = 8  posunieme  o    doprava  (resp.  2-­‐‑násobne  zmenšíme  v  smere  osi  Oy,  dostaneme  

tak  graf  𝑦𝑦 = 8 = 2 )  a  o  4  nadol,  potom  časť  ležiacu  pod  osou  Ox  preklopíme  okolo  tejto  osi.    Ak  za  východiskový  pokladáme  graf  funkcie  𝑔𝑔: 𝑦𝑦 = 2 ,  môžeme  pri  konštrukcii  grafu  𝑦𝑦 = 2  

použiť  jeden  z  dvoch  postupov:  •  graf  funkcie  𝑔𝑔  posunieme  o  1  doprava  (resp.  2-­‐‑násobne  zmenšíme  v  smere  osi  Oy),  potom  3-­‐‑násobne  zhustíme,  •    graf  funkcie  𝑔𝑔  3-­‐‑násobne  zhustíme  (dostaneme  tak  

graf  𝑦𝑦 = 8 ,  pozri  tiež  obr.  2)  a  posunieme  o    doprava.    

g)   pozri   obr.   45   (predpis   funkcie   𝐻𝐻   možno   upraviť   na   tvar   :   𝑦𝑦 = ∙ − 1,   resp.  

𝑦𝑦 = − 1);   𝐷𝐷 𝐻𝐻 = ℝ,   𝐻𝐻 𝐻𝐻 = −2;∞ ,   klesajúca,   zdola   ohraničená,   zhora  neohraničená,  maximum  ani  minimum  nemá.    

   

obr.  45  Graf  funkcie  𝑦𝑦 =  dvojnásobne  zmenšíme  v  smere  osi  Oy  (resp.  posunieme  o    doľava)  

a  posunieme  o  1  nadol.  Ak  za  východiskový  pokladáme  graf  funkcie  ℎ: 𝑦𝑦 = 0,5  (t.  j.  𝑦𝑦 = ),  môžeme  zvoliť  jeden  z  dvoch  postupov:  •  graf  ℎ  posunieme  o  1  doľava,  potom  2-­‐‑násobne  zúžime  

v  smere  osi  Ox  a  posunieme  o  1  nadol,  •  graf  ℎ  2-­‐‑násobne  zúžime  v  smere  osi  Ox  (vznikne  tak  graf  

𝑦𝑦 = ),  potom  posunieme  o    doľava  a  o  1  nadol.    24.  a)  𝑎𝑎 = ,    

b)  •  𝑦𝑦 = − ,    •  𝑦𝑦 = 3 .    25.  Odpoveď  možno  odčítať  z  grafu  funkcie  𝑓𝑓: 𝑦𝑦 = 2 − 2 ,  pozri  obr.  46.  

 

𝐻𝐻: 𝑦𝑦 = 0,5 − 1  

𝑦𝑦 = −1  

𝐺𝐺: 𝑦𝑦 = |2 − 4|  

𝑦𝑦   =  4  

𝑦𝑦   =  −4  𝑦𝑦 = 2 − 4  

   

obr.  46  Graf  funkcie  𝑓𝑓: 𝑦𝑦 = 2 − 2  dostaneme,  ak  na  intervale   0;∞  zostrojíme  graf  𝑦𝑦 = 2 −2,  jeho  časť  ležiacu  pod  osou  Ox  preklopíme  okolo  tejto  osi  a  graf,  ktorý  sme  tak  dostali,  doplníme  

o  časť,  ktorá  je  s  ním  súmerná    podľa  osi  Oy  (rovnaký  výsledok  v  tomto  prípade  dostaneme  aj  vtedy,  keď  tieto  dva  kroky  urobíme  v  opačnom  poradí).  

 a)  𝑘𝑘 ∈ −∞; 0 ,  b)  ∅,  c)  𝑘𝑘 ∈ 0 ∪ 1;∞ ,  d)  𝑘𝑘 = 1,  e)  𝑘𝑘 ∈ 0; 1 ,  f)  ∅.    26.    Odpovede  budú  a)   −∞; 0 ,   2;∞ ,   0 ∪ 1; 2 ,   1 ,   0; 1 ,  ∅,  b)   −∞; 0 ∪ 6;∞ ,     2; 6 ,   0 ∪ 1; 2 ,   1 ,   0; 1 ,  ∅.    27.  𝑦𝑦 = 𝑥𝑥,  𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥,  𝑦𝑦 = tan 𝑥𝑥,  𝑦𝑦 = 2 − 1,  𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 .    28.   a)   𝐷𝐷 𝛼𝛼 = ℝ,   𝐻𝐻 𝛼𝛼 = 1;∞   (predstavu   o  grafe   funkcie   si   možno   urobiť   z   obr.   22  a  úlohy  33a)),  b)  𝐷𝐷 𝛽𝛽 = ℝ,  𝐻𝐻 𝛽𝛽 = 0; 1/4  d)  𝐷𝐷 𝜑𝜑 = −3; 3 ,  𝐻𝐻 𝜑𝜑 = ; 1 = 0,008; 1 .    29.   a)  𝑎𝑎 = 3;   musí   platiť   𝑎𝑎 = 12 − 𝑎𝑎;   graf   funkcie   𝑓𝑓: 𝑦𝑦 = −4   nemôže   byť   totožný  s  grafom   funkcie   𝑔𝑔: 𝑦𝑦 = 16   prinajmenšom   z  dvoch   príčin   (na   popretie   rovnosti   𝑓𝑓 = 𝑔𝑔  pritom  stačí  ktorákoľvek  z  nich):   𝑓𝑓  má  rôzny  definičný  obor  ako  𝑔𝑔  (𝑓𝑓  nie  je  definovaná  napr.  pre  𝑥𝑥 = ),    

𝑓𝑓  a  𝑔𝑔  majú  v  niektorých  bodoch  rôzne  funkčné  hodnoty,  napr.  𝑓𝑓 = −4 ≠ 4 = 𝑔𝑔 ,  b)  𝑎𝑎 = 3,  𝑎𝑎 = −4  .    30.  (F);  uvedená  rovnosť  platí  iba  pre  𝑥𝑥 = 0  a  𝑥𝑥 = 2  (tieto  čísla  sú  korene  rovnice  𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥).    31.  a)  𝑚𝑚 ∈ −2;∞ ;  musí  platiť     > 1,  

b)  𝑚𝑚 ∈ 0; 3   (= −∞;−3 ∪ 0;∞riešenie  

∩ −3; 3riešenie  

,  nerovnicu   < 1  možno  prepísať  na  

„vynulovaný“  tvar   − 1 < 0,  t.  j.   < 0).  

x  

y  

𝑓𝑓:𝑦𝑦 = 2| | − 2  

 32.   𝑘𝑘 ∈ −2,5; 2,5 ,   ak   podmienku   „medzi   priamkami“   interpretujeme   pomocou   ostrých  nerovností    −20 < 𝑘𝑘 ∙ 4 < 20;  pre  interpretáciu  pomocou  neostrých  nerovností    −20 ≤ 𝑘𝑘 ∙4 ≤ 20  je  odpoveď  𝑘𝑘 ∈ −2,5; 2,5 .    33.   a)   Pozri   červený   graf   na   obr.   47.   Funkcia   𝑓𝑓: 𝑦𝑦 = 2   nadobúda   v  bode  −𝑥𝑥   rovnakú  hodnotu  ako  v  bode  𝑥𝑥    (teda  je  párna),  jej  graf  je  súmerný  podľa  osi  Oy.  b)  Pozri  modrý  graf  na  obr.  47.  Funkcia  𝑔𝑔: 𝑦𝑦 = 2  nadobúda  v  bode  𝑥𝑥  tú  istú  hodnotu  ako  funkcia  𝑓𝑓: 𝑦𝑦 = 2  v  bode  𝑥𝑥 − 1  (t.  j.  𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 − 1 ),  preto  graf  𝑔𝑔  vznikne  posunutím  grafu  funkcie  𝑓𝑓  o  1  doprava  (v  smere  osi  Ox).      

   

obr.  47    c)  Pozri  obr.  48.  Predpis  funkcie  ℎ  možno  zapísať  v  tvare  𝑦𝑦 = ∙ 2  (pretože  𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 +3 = 𝑥𝑥 − 2 − 1),  preto  graf  ℎ  dostaneme,  ak  graf  funkcie  𝑓𝑓  posunieme  o  2  vpravo  v  smere  osi  Ox  (modrý  čiarkovaný  graf  na  obrázku)  a  tento  nový  graf  potom  2-­‐‑násobne  zmenšíme  v  smere  osi  Oy.  (Aby  boli  vzťahy  medzi  jednotlivými  grafmi  zrejmé,  znázornili  sme  iba  tú  časť   grafu   funkcie  𝐻𝐻,   ktorá   vznikne   posunutím   znázornenej   časti   grafu  𝑓𝑓,   rovnako   sme  znázornili  len  tú  časť  grafu  ℎ,  ktorú  dostaneme  zmenšením  znázornenej  časti  grafu  funkcie  𝐻𝐻.)    

   

obr.  48    

𝑓𝑓: 𝑦𝑦 = 2   𝐻𝐻: 𝑦𝑦 = 2( )  

𝒉𝒉: 𝒚𝒚 = 𝟏𝟏𝟐𝟐∙ 𝟐𝟐(𝒙𝒙 𝟐𝟐)𝟐𝟐    

𝒇𝒇: 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐   𝒈𝒈: 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐(𝒙𝒙 𝟏𝟏)𝟐𝟐  

34.  a)  Pozri  obr.  49.    

   

obr.  49  Funkcia    𝑓𝑓  je  periodická,  jej  graf  však  nemá  nárok  na  označenie  sínusoida  (t.  j.  nemožno  ho  získať  posunutím,  zhustením/rozšírením  a  zväčšením/zmenšením  grafu  funkcie  𝑦𝑦 = sin𝑥𝑥):  pre  

porovnanie  je  na  obrázku  červeno  čiarkovane  vyznačený  graf  sínusoidy,  ktorá  nadobúda  najväčšie  aj  najmenšie  hodnoty  v  rovnakých  bodoch  ako  𝑓𝑓  (táto  sínusoida  má  predpis  𝑦𝑦 = 1,25 + 0,75 sin 𝑥𝑥).  

 b)     Je,   vyplýva   to   z  periodickosti   funkcie   𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥:   pre   každé   𝑥𝑥 ∈ ℝ   platí   sin 𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋 =sin 𝑥𝑥,  preto  pre  každé  𝑥𝑥 ∈ ℝ    platí  aj  2 = 2 ,  t.   j.  𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ,  čo  znamená,  

že  𝑓𝑓  je  periodická  funkcia  a  jednou  z  jej  periód  je  2𝜋𝜋.    35.   a)   V  bodoch,   ktoré   sme   zostrojili   na   osi   Ox,   nadobúda   funkcia   𝑦𝑦 = 2   postupne  hodnoty  

    𝜋𝜋       2𝜋𝜋       3𝜋𝜋       4𝜋𝜋      preto  funkcia  𝑦𝑦 = sin 2  v  nich  nadobúda  hodnoty  

1   0   –1   0   1   0   –1   0   1    b)  Pre  hodnoty  𝑥𝑥  ležiace  na  číselnej  osi  vľavo  od  bodu  0  bude  s  rastúcou  vzdialenosťou  od  bodu   0   hodnota  2   stále   bližšie   k  číslu   0,   preto   rozdiel  medzi   hodnotami   funkcií  𝑦𝑦 = 2  a  𝑦𝑦 = sin 2  bude  stále  menší,  teda  graf  funkcie  𝑔𝑔: 𝑦𝑦 = sin 2  sa  bude  len  málo  líšiť  od  grafu  funkcie  𝑦𝑦 = 2 .    c)  Pozri  obr.  50.    

𝒇𝒇: 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝒙𝒙  

𝑥𝑥  

𝑦𝑦  

   

obr.  50      36.   a)  Obor   hodnôt   je   interval   0;∞ ,   rovnica   má   riešenie   pre   každé   𝑎𝑎 ∈ 0;∞   a  nemá  riešenie   pre   žiadne   𝑎𝑎 ∈ −∞;0 ,   funkcia  𝑓𝑓   je   prostá,   rovnobežka   pretne   graf   najviac   raz,  rovnobežka   prechádzajúca   hodnotou   𝑎𝑎 ∈ 0;∞   ho   pretne   práve   raz,   prechádzajúca  hodnotou  𝑎𝑎 ∈ −∞;0  ho  nepretne,  rovnosť  6 = 6  platí  len  vtedy,  keď  𝑎𝑎 = 𝑏𝑏.    37.   Odpovede   vyplývajú   z  dvoch   poznatkov:   •   exponenciálna   funkcia   𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎   (kde  𝑎𝑎 > 0, 𝑎𝑎 ≠ 1)  je  prostá  a    •  jej  obor  hodnôt  je  interval   0;∞ ,  pozri  tiež  úlohu  36.      a)  žiadne,  b)  jedno,  c)  žiadne,  d)  jedno,  e)  žiadne,  f)  jedno  (rovnica  je  ekvivalentná  s  3 = 6),  g)  žiadne,  h)  jedno.    38.  a)  𝑥𝑥 = 4,  b)  nemá  riešenie,    c)  𝑥𝑥 = −2,  d)  𝑥𝑥 = −4,  

e)  𝑥𝑥 = −    ( 4 = 2 = 0,5 ),  f)  𝑥𝑥 = −3,  

g)  𝑥𝑥 = −  (rovnicu  možno  zapísať  napr.  v  tvare  10 = 10 ),  h)  𝑥𝑥 = −1,  i)    𝑥𝑥 = 3,  

𝑦𝑦 = 2  

𝒈𝒈:𝒚𝒚 = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝟐𝟐𝒙𝒙  

𝑦𝑦  

𝑥𝑥  

j)    𝑥𝑥 = ,  

k)  𝑥𝑥 = 3  (0,008 = ),  l)  𝑥𝑥 = −2,  m)  𝑥𝑥 = −2,  o)  𝑥𝑥 =  ,  p)  𝑥𝑥 = −8.  

39.  obr.  26:  𝑦𝑦 = + 2,  

obr.  27:  𝑦𝑦 = 5 + 2 5.    40.  a)  𝑥𝑥 = 1,    b)  nemá  riešenie,    c)  𝑥𝑥 = 2,  d)  𝑥𝑥 = 3,  𝑥𝑥 = −2,  e)  nemá  riešenie,    f)  𝑥𝑥 = −5  (platí  0,04 = ),    

g)  𝑥𝑥 = − = −1,25   (platí  0,125 = ,  obidve  strany  rovnice  možno  zapísať  ako  mocniny  so  základom  2,  z  požiadavky  rovnosti  exponentov  vyplýva  lineárna  rovnica  2 2𝑥𝑥 + 1 = −3),  h)  𝑥𝑥 = = 3,5  (obidve  strany  rovnice  možno  zapísať  ako  mocniny  so  základom  2,  rovnosť  

exponentov  vyjadruje  zápis  −3 𝑥𝑥 − 5 = 4 + ),  i)  𝑥𝑥 = 3  (obidve  strany  možno  zapísať  ako  mocniny  s  exponentom  11,  dostaneme  rovnicu  

= 2),  j)  𝑥𝑥 = 3,  𝑥𝑥 = − 3  (obidve  strany  možno  zapísať  ako  mocniny  s  exponentom  5,  dostaneme  

rovnicu  − = − 2),  k)  𝑥𝑥 = 8,  l)  𝑥𝑥 = 7,  𝑥𝑥 = −1,  n)  𝑥𝑥 = = 0,5,  o)  𝑥𝑥 = 2,  p)  𝑥𝑥 = 1,  𝑥𝑥 = 2,    q)   𝑥𝑥 = 3,   𝑥𝑥 = 4   (ak   obidve   strany   napíšeme   ako   mocniny   so   základom   3   a  porovnáme  exponenty,  dostaneme  rovnicu  𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥 − 6 = 2 2𝑥𝑥 − 3 ),    r)   𝑥𝑥 = 35   (ak   obidve   strany   napíšeme   ako   mocniny   so   základom   2   a  porovnáme  exponenty,  dostaneme  rovnicu   = ),  s)  𝑥𝑥 = 12,    t)  𝑥𝑥 = 7  (ak  obidve  strany  napíšeme  ako  mocniny  so  základom  2  a  porovnáme  exponenty,  dostaneme   rovnicu   2 5𝑥𝑥 + 1 − 2 = 2 + 5𝑥𝑥 + 1;   jej   zápis   sa   sprehľadní,   ak   označíme  5𝑥𝑥 + 1 = 𝑢𝑢,  teda  ak  použijeme  substitúciu   5𝑥𝑥 + 1 = 𝑢𝑢,  riešenie  však  možno  nájsť  aj  bez  

použitia  uvedenej  substitúcie),    u)  𝑥𝑥 = 3  (platí  2 ∙ 3 = 6 ),  v)  𝑥𝑥 = 4  (rovnicu  možno  zapísať  v  tvare  10 = 10 ∙ 10 ),  w)  𝑥𝑥 = − = −0,25  (obidve  strany  rovnice  možno  zapísať  napr.  ako  mocniny  so  základom  

;   pri   riešení   lineárnej   rovnice,   ktorú   dostaneme   porovnaním   exponentov,   používame  neekvivalentnú   úpravu   –   násobenie   výrazom   3 − 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 5 ,   ktorý   môže   nadobúdať  

hodnotu   0   –  preto   je   v  tomto  prípade  potrebná   skúška   správnosti,   resp.   kontrola,   že  pre  𝑥𝑥 = −  nadobúda  uvedený  výraz  nenulovú  hodnotu),  x)   riešením   je   každé   reálne   číslo,   teda   množina   všetkých   riešení   je  ℝ   (ak   využijeme,   že  0,25 = = 2 ,  napíšeme  obidve  strany  rovnice  ako  mocniny  so  základom  2  a  porovnáme  exponenty,  dostaneme  rovnicu  −2 𝑥𝑥 − 2 = 8 − 2𝑥𝑥 + 4 ),  z)  𝑥𝑥 = 1.      41.   𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 2; 3   a   𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 3; 2   (ak   z  druhej   rovnice   vyjadríme   𝑦𝑦 = 5 − 𝑥𝑥,   dosadíme   do  prvej  a  použijeme  substitúciu  2 = 𝑡𝑡,  dostaneme  rovnicu  𝑡𝑡 − 12𝑡𝑡 + 32 = 0).      42.  a)  𝑥𝑥 = 4,  b)  nemá  riešenie  (rovnicu  možno  upraviť  na  tvar  2 = −32),  c)  𝑥𝑥 =  (úpravami  dostaneme  rovnicu  4 = 128,  ktorú  môžeme  zapísať  v  tvare  2 = 2 ),  

d)  𝑥𝑥 = −  (úpravami  dostaneme  rovnicu  3 = ),    e)  𝑥𝑥 = 2,  𝑥𝑥 = −2  (úpravami  dostaneme  rovnicu  5 = 625),  f)   𝑥𝑥 = 2   (zlomok    možno   zapísať   v  tvare   = 1 + ,   úpravami   dostaneme   rovnicu  

7 = 7),    

h)  𝑥𝑥 = −4  (rovnicu  možno  upraviť  napr.  na  tvar   = ),  

i)  𝑥𝑥 = 2  (rovnicu  možno  upraviť  napr.  na  tvar  − ∙ 2 ∙ 5 = −600,  t.  j.  − ∙ 20 = −600),  

j)  𝑥𝑥 = 0  (rovnicu  možno  upraviť  na  tvar  34 ∙ 7 = 34 ∙ 5 ,  odtiaľ   = 1).    43.  a)  𝑥𝑥 = 1,  𝑥𝑥 = −1  (substitúcia  2 = 𝑢𝑢,  rovnica  2𝑢𝑢 − 5𝑢𝑢 + 2 = 0  má  korene  2  a   ),  b)  𝑥𝑥 = 0,  𝑥𝑥 = 2  (substitúcia  6 = 𝑢𝑢,  rovnica  𝑢𝑢 − 37𝑢𝑢 + 36 = 0  má  korene  1  a  36),  c)   nemá   reálne   korene   (substitúciou   5 = 𝑢𝑢   dostaneme   rovnicu   𝑢𝑢 + 30𝑢𝑢 + 125 = 0  s  koreňmi  −5  a  −25),    e)  𝑥𝑥 = 2  (substitúcia  3 = 𝑢𝑢,  rovnica  9𝑢𝑢 + 9𝑢𝑢 − 810 = 0,  t.  j.  𝑢𝑢 + 𝑢𝑢 − 90 = 0  má  korene  9  a  −10),  f)  𝑥𝑥 = 2  (rovnicu  možno  upraviť  na  tvar  2 ∙ 9 = 18 ∙ 3 ,  t.  j.  3 = 3 ,  potom  možno  buď  použiť  substitúciu  3 = 𝑢𝑢,  alebo  porovnať  exponenty  na  ľavej  a  pravej  strane),  g)  𝑥𝑥 = 1,  𝑥𝑥 = −2  (substitúcia  4 = 𝑢𝑢,  rovnica  16𝑢𝑢 − 65𝑢𝑢 + 4 = 0  má  korene  4  a   ),  

h)  𝑥𝑥 = ,  𝑥𝑥 = −  (substitúcia  4 = 𝑢𝑢,  t.  j.  16 = 𝑢𝑢,  rovnica  2𝑢𝑢 − 9𝑢𝑢 + 4 = 0  má  korene  4  a  

),  

i)  𝑥𝑥 = 1  (substitúcia  4 = 𝑢𝑢,  rovnica  𝑢𝑢 − 5𝑢𝑢 + 4 = 0  má  korene  1  a  4),  k)  𝑥𝑥 = −1,  𝑥𝑥 = −3  (substitúcia  3 = 𝑢𝑢,  rovnica  81𝑢𝑢 − 30𝑢𝑢 + 1 = 0  má  korene    a   ),  

l)  𝑥𝑥 = ,  𝑥𝑥 = −  (substitúcia  9 = 𝑢𝑢,  rovnica  𝑢𝑢 + 8 3𝑢𝑢 − 27 = 0  má  korene  −9 3  a   3),  

m)  𝑥𝑥 = 2  (substitúcia  4 = 𝑢𝑢,  rovnica  𝑢𝑢 − 3𝑢𝑢 + 2 = 0  má  korene  1  a  2),  

n)  𝑥𝑥 = 4,  𝑥𝑥 = 2  (substitúcia  81 = 𝑢𝑢,  rovnica  𝑢𝑢 − 12𝑢𝑢 + 27 = 0  má  korene  3  a  9),  

o)  𝑥𝑥 = 2,  𝑥𝑥 = −  (substitúcia  5 = 𝑢𝑢,  rovnica  5𝑢𝑢 − 𝑢𝑢 + 1 = 0  má  korene   5  a   ),  

p)  𝑥𝑥 ∈ + 𝑘𝑘 ; 𝑘𝑘 ∈ ℤ ∪ + 𝑘𝑘𝑘𝑘; 𝑘𝑘 ∈ ℤ ,  množinu  všetkých  riešení  možno  zapísať  napr.  aj  

v  tvare   + 𝑘𝑘 ; 𝑘𝑘 ∈ ℤ ∖ 𝑘𝑘𝑘𝑘; 𝑘𝑘 ∈ ℤ   (substitúcia  4 = 𝑢𝑢,  rovnica  𝑢𝑢 + 2 ∙ − 6 = 0,  resp.  

𝑢𝑢 − 6𝑢𝑢 + 8 = 0  má  korene  2  a  4),    45.  a)  Obidve  strany  rovnice  vydelila  3  (t.  j.  9 ;  táto  úprava  je  ekvivalentná,  lebo  výraz  9  je   definovaný   pre   všetky   𝑥𝑥 ∈ ℝ   a   nenadobúda   pre   žiadne   𝑥𝑥   hodnotu   0)   a  použila  

substitúciu     = 𝑎𝑎   (iná  možnosť   bola   namiesto  delenia  9   použiť   delenie   výrazom  4  

a  substitúciu   = 𝑏𝑏,  vtedy  by  sme  dostali  rovnicu  4 − 5𝑏𝑏 − 9𝑏𝑏 =0),  b)  rovnica  (*)  má  jediný  koreň  𝑥𝑥 = −2,  

c)   𝑥𝑥 = 0   (ak   obidve   strany   vydelíme   4 ,   dostaneme   po   substitúcii   = 𝑢𝑢   rovnicu  

25𝑢𝑢 − 21𝑢𝑢 − 4 = 0   s  koreňmi   1   a   − ;   namiesto   delenia   4   možno   použiť   aj   delenie  výrazom  25 ).    

46.  a)  𝑥𝑥 = 2  (rovnicu  možno  zapísať  v  tvare   = ),  

b)   𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 8; 3  (porovnaním  exponentov  dostaneme  sústavu   + = ,   + = ),  c)   𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 4; 6   (vzhľadom  na  zápis  zadania  hľadáme  iba  také  riešenia,  pre  ktoré  sú  čísla  𝑥𝑥 − 1   a  𝑥𝑥 + 1   označujúce   odmocniny   prirodzené;   porovnaním   exponentov   dostaneme  sústavu   − 2 = 𝑦𝑦,   + 2 = 𝑦𝑦,   rovnica   − 2 = + 2   je   pre   𝑥𝑥 ≠ ±1  

ekvivalentná  s  3𝑥𝑥 − 5𝑥𝑥 − 28 = 0,  ktorá  má  korene  4  a  − ,  z  nich  nás  zaujíma  iba  prvý),  d)   𝑥𝑥 = 45° + 𝑘𝑘 ∙ 180°,    𝑥𝑥 ≈ 63°26´ + 𝑘𝑘 ∙ 180°,   kde   𝑘𝑘 ∈ ℤ   (ekvivalentná   rovnica   je   tan 𝑥𝑥° +2cot 𝑥𝑥° = 3,  po  substitúcii  tan 𝑥𝑥° = 𝑦𝑦  a  úprave  dostaneme  rovnicu  𝑦𝑦 − 3𝑦𝑦 + 2 = 0),  

e)  𝑥𝑥 = 9  (rovnica  pre  𝑦𝑦  je  ekvivalentná  s  rovnicou   = 3𝑦𝑦 − 44 − 2,  ktorá  má  korene  

11   a  16,   rovnica   𝑥𝑥2 = 11 + 20,   t.   j.   = 31   nemá   celočíselné   korene,   rovnica   𝑥𝑥2 = 36  

má  korene  –  8  a  9),  

f)   𝑥𝑥 = 3   (vzhľadom   na   zápis   zadania   hľadáme   iba   𝑥𝑥 ∈ ℕ, 𝑥𝑥 > 1;   substitúciou   5 = 𝑦𝑦  dostaneme  rovnicu  𝑦𝑦 − 30𝑦𝑦 + 125 = 0  s  koreňmi  𝑦𝑦 = 25  a  𝑦𝑦 = 5),  g)   𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 5; 3  (pre  𝑎𝑎 = 2 ,  𝑏𝑏 = 3  dostaneme  sústavu  𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 5,   𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 295,  ktorá  

je  ekvivalentná  s    𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 5,  𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 = ,  riešením  je   𝑎𝑎; 𝑏𝑏 = 32; 27 ),    h)   𝑥𝑥 = 1   (použijeme   substitúciu   2 = 𝑡𝑡,   umocnením   na   druhú   dostaneme   z  rovnice  𝑡𝑡 + 1 = 1 + 𝑡𝑡 − 4   rovnicu   𝑡𝑡 − 4 = 2,  vzhľadom  na  neekvivalentné  úpravy   je  potrebná  

skúška  správnosti),  i)   𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 2; 4   alebo  𝑥𝑥   je   ľubovoľné  prirodzené  číslo  väčšie  ako  1  a  𝑦𝑦 = 1   (vzhľadom  na  zápis   zadania   je   hľadaná   hodnota   𝑥𝑥   prirodzené   číslo   väčšie   ako   1;   z  prvej   rovnice   po  substitúcii  𝑦𝑦 = 𝑡𝑡  a  úprave  dostaneme  rovnicu  𝑡𝑡 − 17𝑡𝑡 + 16 = 0  s  koreňmi  1  a  16,  z  druhej  

rovnice   po   substitúcii   𝑦𝑦 = 𝑢𝑢   a  úprave   rovnicu   𝑢𝑢 − 3𝑢𝑢 + 2 = 0   s  koreňmi   1   a  2;   pre  

hľadané   𝑥𝑥,   𝑦𝑦   teda   platí   𝑦𝑦 = 1 ∨ 𝑦𝑦 = 16 ∧ 𝑦𝑦 = 1 ∨ 𝑦𝑦 = 2   (*),   treba   vyšetriť   štyri  možnosti   (predpokladáme,   že   je   prinajmenšom   intuitívne   zrejmé,   že   nasledujúce   štyri  možnosti  vyplývajú  z  (*),  formálne  to  možno  zdôvodniť  ekvivalenciou   𝐴𝐴 ∨ 𝐵𝐵 ∧ 𝐶𝐶 ∨ 𝐷𝐷 ≡𝐴𝐴 ∧ 𝐶𝐶 ∨ 𝐴𝐴 ∧ 𝐷𝐷 ∨ 𝐵𝐵 ∧ 𝐶𝐶 ∨ 𝐵𝐵 ∧ 𝐷𝐷 ,   ktorú   dostaneme   opakovaným   použitím   pravidla  𝑋𝑋 ∨ 𝑌𝑌 ∧ 𝑍𝑍 ≡ 𝑋𝑋 ∧ 𝑍𝑍 ∨ 𝑌𝑌 ∧ 𝑍𝑍 ,  pozri  tiež  úlohy  24a),  c)  v  kapitole  1  v  1.  časti  zbierky):    

𝑦𝑦 = 1 ∧  𝑦𝑦 = 1  platí  pre  𝑦𝑦 = 1  a  ľubovoľné  𝑥𝑥 ∈ ℕ,  𝑛𝑛 > 1,  

𝑦𝑦 = 1 ∧ 𝑦𝑦 = 2   nemôže   nastať:   z  druhej   rovnice   vyplýva,   že   𝑦𝑦 ≠ 1,   prvá   rovnosť   by  potom  platila  len  pre  𝑥𝑥 = 0,    

𝑦𝑦 = 16 ∧ 𝑦𝑦 = 1   nemôže   nastať   z  podobných   dôvodov   ako   v  predchádzajúcom  prípade,  

𝑦𝑦 = 16 ∧ 𝑦𝑦 = 2  platí  pre   𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 2; 4 :  z  druhej  rovnice  vyplýva  𝑦𝑦 = 2 = 16,  preto  

platí  𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ,  odtiaľ  –  pretože  podľa  prvej  rovnice  𝑦𝑦 ≠ 1  –  vyplýva  𝑥𝑥 = ).    47.  a)  Hľadáme  tie  hodnoty  𝑥𝑥,  pre  ktoré  graf  funkcie  leží  v  ružovo  vyznačenej  oblasti,  t.   j.  v  prvom  prípade   nad   priamkou  𝑦𝑦 = 8,   v  druhom  prípade   nad   priamkou  𝑦𝑦 = 9   alebo   na  nej.  b)  Množina  všetkých  riešení  je  interval   −∞;   ,  pozri  obr.  51.    

   

obr.  51    c)  Množina  všetkých  riešení  je  interval   −1,5  ;  ∞ ,  pozri  obr.  52.    

   

obr.  52    d)  Nerovnosť  platí  pre  každé  reálne  𝑥𝑥,  preto  množina  všetkých  riešení  je  ℝ,  pozri  obr.  53.    

𝑦𝑦 =    

5√5 =𝟏𝟏,𝟓𝟓

   

−𝟏𝟏,𝟓𝟓     𝑥𝑥  

𝑦𝑦  

𝑦𝑦 = 3  

√3 = 3𝟏𝟏𝟐𝟐    

𝟏𝟏𝟐𝟐     𝑥𝑥  

𝑦𝑦  

   

obr.  53    e)   Pozri   obr.   54:   pod  priamkou  𝑦𝑦 = −2   (teda   v  ružovo   vyznačenej   oblasti)   neleží   žiadny  

bod  grafu  funkcie  𝑦𝑦 = ,  preto  pre  žiadne  𝑥𝑥  neplatí  nerovnosť   < −2,  teda  množina  

všetkých  riešení  nerovnice   < −2  je  prázdna  množina  ∅.    

   

obr.  54    f)   𝑟𝑟;∞ ,   −∞; 𝑟𝑟 ,   𝑟𝑟;∞ ,   −∞; 𝑟𝑟 ,  g)   −∞; 𝑟𝑟 ,   𝑟𝑟;∞ ,   −∞; 𝑟𝑟 ,   𝑟𝑟;∞ ,  h)    𝑟𝑟 > 𝑠𝑠,  i)  𝑟𝑟 < 𝑠𝑠.    48.  Množina  všetkých  riešení  je    a)   −1,5;  ∞ ,  

c)  ℝ ∖ 1  (nerovnosť  5 > 0  platí  pre  každé  𝑢𝑢 ∈ ℝ,  preto  5 > 0  platí  pre  každé  𝑥𝑥,  ktoré  

možno  dosadiť  do  predpisu  5 ,  t.  j.  pre  každé  𝑥𝑥  z  definičného  oboru  funkcie  𝑦𝑦 = 5 ),    d)  ∅    (pozri  tiež  úlohu  47e)),    e)   0; 9  (nerovnica  je  ekvivalentná  s  nerovnicou   𝑥𝑥 ≤ 3),  

f)   −1;− ∪ ; 1  (ekvivalentná  nerovnica  je   1 − 𝑥𝑥 <  (*),  jej  riešením  sú  tie  hodnoty  

𝑥𝑥,   ktoré   •   možno   dosadiť   do   výrazu   1 − 𝑥𝑥 ,   t.   j.   𝑥𝑥 ≤ 1,     •   a  súčasne   pre   ne   platí  

1 − 𝑥𝑥 <   (**),   t.   j.   𝑥𝑥 > ;   umocnenie   na   druhú,   ktorým   sme   z   (*)   dostali   (**),   je   pre  𝑥𝑥  z  definičného   oboru   nerovnice   (*),   t.   j.   pre   𝑥𝑥 ≤ 1,   ekvivalentná   úprava,   pretože   obidve  strany  v  (*)  sú  nezáporné),  

𝑦𝑦 =    

𝑥𝑥  

𝑦𝑦  

−2  

𝑦𝑦 = 4  

−4    

𝑥𝑥  

𝑦𝑦  

g)   −∞;  −  (ekvivalentná  nerovnica  je  2𝑥𝑥 + 3 ≤ −  ),  h)   2  ;  ∞  (ekvivalentná  nerovnica  je  𝑥𝑥 ≤ 2𝑥𝑥 − 2),  i)   −∞; 3  (ekvivalentná  nerovnica  je  𝑥𝑥 + 5 > 2𝑥𝑥 + 2),  j)   −∞;  (ekvivalentná  nerovnica  je  2𝑥𝑥 − 4 ≤ 3 − 𝑥𝑥),  k)   −∞;−3 ∪ −2;∞  (ekvivalentná  nerovnica  je  −𝑥𝑥 ≤ 5𝑥𝑥 + 6,  t.  j.   𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 + 3 ≥ 0),  l)   −∞;−2 ,  m)   ;∞ ,  n)   −∞; 2 ,  o)   −1; 1   (substitúciou   7 = 𝑢𝑢   dostaneme   nerovnicu   7𝑢𝑢 − 50𝑢𝑢 + 7 < 0,   množina   jej  riešení  je   ; 7 ,  preto  hľadáme  tie  𝑥𝑥,  pre  ktoré  platí   < 7 < 7),  q)   1  (substitúciou  2 = 𝑢𝑢,  t.  j.  4 = 𝑢𝑢,  dostaneme  nerovnicu   𝑢𝑢 − 4 ≤ 0,  jej  riešením  je  iba  𝑢𝑢 = 4),  r)   −∞;−1   (substitúciou   0,1 = 𝑢𝑢   dostaneme   nerovnicu   𝑢𝑢 − 5𝑢𝑢 − 50 ≥ 0,   množina   jej  riešení   je   −∞;−5 ∪ 10;∞ ,   hľadáme   preto   tie   𝑥𝑥,   pre   ktoré   platí   0,1 ≤ −5   alebo  0,1 ≥ 10,  prvá  z  týchto  dvoch  nerovníc  nemá  riešenie),  t)  ℝ   (substitúciou   10 = 𝑡𝑡   dostaneme   nerovnicu   𝑡𝑡 + − 6 > 0   (*),   jej   riešením   je   každé  𝑡𝑡 ≠ 0,   pretože   na   definičnom   obore   nerovnice   (*),   t.   j.   pre     𝑡𝑡 ≠ 0,   je   (*)   ekvivalentná   s  nerovnicou    𝑡𝑡 − 6𝑡𝑡 + 10 > 0,  t.  j.   𝑡𝑡 − 3 + 1 > 0),  u)   −2; 2   (substitúciou   2 = 𝑦𝑦   dostaneme   nerovnicu   𝑦𝑦 − 16 𝑦𝑦 + 1 < 0   s  množinou  riešení   −1; 16 ,  sústava  nerovníc  −1 < 2 < 16  je  ekvivalentná  s  𝑥𝑥 < 4).    

49.   V  riešení   je   chyba:   keďže   základ     je   menší   ako   1,   je   nerovnica   ≤  ekvivalentná   s  nerovnicou   4𝑥𝑥 + 6 ≥ 3𝑥𝑥 + 6,   po   úprave   𝑥𝑥 ≥ 0,   teda   množina   všetkých  riešení  je   0;∞ .      

50.   a)  𝑎𝑎 = ,   b)   také   𝑎𝑎   neexistuje.   Nerovnica   𝑎𝑎 <   je   ekvivalentná   s   3𝑎𝑎 < 3   (*)  (obidve   strany   pôvodnej   nerovnice   sme   vynásobili   výrazom   3 ,   ktorý   je   definovaný  a  kladný   pre   všetky   𝑥𝑥 ∈ ℝ),   číslo   –1   musí   byť   riešením   rovnice     3𝑎𝑎 = 3   (riešením  nerovnice   𝑏𝑏 < 𝐵𝐵,   kde   𝐵𝐵 > 0,   je   vždy   interval,   ktorého   krajný   bod   je   riešením   rovnice  

𝑏𝑏 = 𝐵𝐵),   preto   3𝑎𝑎 = 3,   odtiaľ   𝑎𝑎 = .   Pre   𝑎𝑎 =   má   (*)   tvar   < 3,   resp.   (ak   obidve  

strany  vynásobíme  3  a  vydelíme  3)     < 3    a  množinou  jej  riešení  je   −1;∞  (a  nie  je  ňou  −∞;−1 ).