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Existência de soluções periódicas para uma equação de segunda ordem com
retardamento
Fábio Silva de Souza
Orientador: Profa. Dra. Sandra Maria Semensato de Godoy
Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática.
"VERSÃO REVISADA APÓS A DEFESA"
Data da Defesa: 20/04/2005
Visto do Orientador: jcvw(lfa Í ^ ^
USP - São Carlos Junho/2005
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Ao meu pai o a Luiz.
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Agradecimentos
A Deus. polo dom da vida e por me permitir concluir este trabalho apesar de todas as
dificuldades.
A meu pai. a pessoa que mais acreditou em mim e contribuiu de maneira decisiva para esta
conquista.
A Universidade de São Paulo.
A CAPES, pelo apoio financeiro.
A minha orientadora Profa. Sandra Ma,ria Semensato de Godoy, pelo auxílio e pela amizade
constante em todas as horas em que sua presença se fez necessária.
A todos os funcionários do ICMC-USP, que tornaram esta tarefa mais agradável.
Aos amigos de sempre, Everaldo de Mello Bonotto, Angela Leite Moreno e Profa Márcia
Pederson, pelo apoio nos piores momentos desta caminhada.
A Luiz Benedito Cézar que está sempre comigo e sempre me apoiou, mesmo nas horas
turbulentas, com seu mais sincero amor, carinho e afeto.
Mais que agradecer eu dedico este trabalho à meu pai: Altino, pelo incentivo, encorajamento
e principalmente por permitir esta oportunidade única de me desenvolver. Se cheguei tão longe
devo isso a você.
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Abst rac t
In tliis work wc are interested iu deteriuiniiig coiiditions for tlie existcncc of nontrivial
pcriodic solutions of tlie rctardcd funetional difíerential (xiuat.ion:
m + f(4t)):m + í](*(i-r)) = o (i)
using tlie delay as parameter. The equatiou (1) is known as Lienard equation and nnuiy studics
about this equation have been made. The nrost general hypothesis used to a large extent of
these studies is xg{x) > 0 for ali x £ R \ {0}. Here we will use a weaker hypothesis to reach
onr results and later these will be applied in physical and biologieal models as tlie sunllower
ecination.
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Resumo
Neste trabalho estamos interessados em determinar condições para a existência de soluções
periódicas não - triviais da equação diferencial funcional retardada de segunda ordem:
a-(t) + f(x(t))x(t) + g(x(t ~ r)) = 0 (2)
utilizando o retardo como parâmetro. A equação (2) 6 conhecida com equação de Lienard e
uma série de estudos a respeito desta equação foram feitos. A hipótese mais geral utilizada em
grande parte dos trabalhos a respeito desta equação é x 0. para todo x fc R \ {0}. Aqui
utilizaremos unia hipótese mais fraca para alcançar nosso resultados o posteriormente ast.es serão
aplicados em modelos físicos e biológicos como a equação do girassol.
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Sumário
Introdução 1
1 Pre l iminares 6
2 Exis tênc ia Local de Soluções Periódicas para a Equação de Liénard 11
3 Exis tênc ia Global de Soluções Periódicas 23
4 Apl icações a mode los Fís icos e Bio lógicos 47
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1
In t rodução
Um dos fenómenos biológicos bom definidos c estudados em inúmeros trabalhos consiste
110 movimento do caule de algumas plantas durante o seu desenvolvimento. Este fenómeno foi
estudado em [7] e [8], Nestes trabalhos um fato observado é que estes movimentos variam de
planta para planta. Por exemplo, os caules de pés-de-íeijão fazem um movimento de torção
enquanto crescem. Já os caules da planta, do género Helianthus desenvolvem movimentos
oscilatórios durante o seu crescimento, sendo por isso chamadas de plantas da luz e da escuridão.
Este nome deve-se ao fato de que tais plantas sempre parecem estar voltadas para os locais de
maior luminosidade. Um exemplo deste género de planta é o girassol.
Eni relação às plantas do género Helianthus podemos ver em [16] um estudo interessante feito
sobre os movimentos que os caules desta planta desenvolvem durante seu crescimento. Neste
estudo, os biólogos D. Israelsson e A. Jolmsson observam que esto movimento é oscilatório e
depende da quantidade de auxilia existente no caule da planta. A auxilia é um hormônio de
crescimento responsável pelo desenvolvimento do caule.
Quanto à auxilia, durante os estudos feitos cm [16], foi concluído que a quantidade de auxilia
110 caule de tais plantas depende do tempo durante o qual ocorre a ação da gravidade e da
temperatura ambiente sobre o caule. O mecanismo para o desenvolvimento do caule, segundo
os autores de [16] se dá através do acúmulo de auxilia em um dos lados do caule, o qual se
desenvolve de maneira mais rápida que o outro. Por sua vez, o lado do caule que está com
menor quantidade de auxina tende a produzir este hormônio afim de equilibrar o crescimento do
caule. Porém, este lado quantidade tende a produzir auxilia em excesso e cresce mais fazendo
com que o caule da planta, se incline para o outro lado. Deste lado, o processo acima descrito
repot.o-se e a planta se desenvolve desta, maneira fazendo um movimento oscilatório.
Também em seu trabalho, Israelsson e Jolmsson elaboraram um modelo matemático para
controlar este crescimento através do ângulo de curvatura do caule. Este modelo foi novamente
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trabalhado pelo matemático Alfredo Somolinos em [22]. Passamos agora a desenvolver este
modelo.
A figura acima mostra a parte superior do caule de uma planta lleliantlms. Os lados
denotados por 1 e 2 tem comprimento l \ e h respectivamente. Podemos perceber que:
2 a r = l\ —1.2
Como tanto o ângulo de curvatura o e o comprimento dos lados do caule dependem da
quantidade de auxina concentrada e esta, por sua vez, depende do tempo de exposição t do
caule da planta à ação da gravidade e da temperatura, faz sentido dizermos que
d d d. 2r — a = -r i - -r 9 dt dl dt
Ou seja
d d t a = 27
d d JlU Jt2 (3)
onde d = 2r é o diâmetro do caule. Quando o caule da planta está inclinado, ocorre o
transporte tranversal de auxina do lado maior para o lado menor do caule. Experiências descritas
em [1GJ justificam a hipótese da existência de uma relação linear entre o crescimento dos lados
do caule por unidade de tempo o a concentração de auxina neste lado, isto é
—/,• = KIC, + K. I = 1. 2. K constante (4) dl •
onde C\ e C-> são as concentrações de auxina nos lados 1 \ e lo respectivamente e K\ é uma
constante positiva.
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Além disso foi constatado experimentalmente que o aumento 110 comprimento dos lados do
caule por unidade de tempo é logaritmicamente dependente da concentração de auxina neste
lado.
A equação (4) significa, portanto, que em unia concentração pequena de auxina, a curva
logarítmica está sendo aproximada por unia reta.
De (3) e (-1) obtemos:
Para enfatizar que a equação acima depende do tempo t. escreveremos a par t i r de agora
jt»(t) = ( - ^ y e m - a m (5)
A diferença da concentração de auxina nos lados do caule é chamada de gradiente de
concentração. Ainda podemos supor que o gradiente de concentração da auxina, no instante
t, cansando uma reação no mesmo instante t, é proporcional ao seno do ângulo formado pelo
caule com a linha vert ical. Entretanto, existe um intervalo de tempo entre o acúmulo de auxina
num dos lados do caule e a reação do caule (a sua inclinação). Seja t,Q o instante em que o
estímulo ocorre e t o instante da reação do caule. Então, pode - se verificai1 experimentalmente
que as posições da planta entro os instantes /.() e I, possuem alguma importância, para o gradiente
da concentração do auxina. Também é claro que o gradiente de concentração de auxina, depende
mais do instante t - l.0 do que do instante /.. De fato. para expressar uma relação verdadeira entre
a posição da planta e o gradiente de concentração, devemos introduzir uma função " 'peso"/, a
qual é zero para instantes infinitamente depois de t. Podemos expressar todos estes argumentos
na fórmula
r + oo CW) - Cl (I.) = K> I ./'(• s) sen n (t - st^ds (6)
onde K'2 o uma constante positiva, /( .s)b é unia, função "peso"tal que lim /(.s) = 0 e •S —' + oo
/ ( ! ) = 1 e .s é uma variável adimensional. Pa ra .s £ [0,1), /(.
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4
A função "poso"'descrita acima pode ser qualquer uma que satisfaça as condições exigidas.
Porém uma função que mais se aproxima do modelo fisiológico descrito é a função / ( s ) =
g -a l s - i ^ o u t j c a Q uma constante positiva. Observe que / ( l ) = 1 e lim f(s) = 0. Além disso
esta função descreve o fato que a planta "lembra"de sua posição não apenas no instante t — íq,
mas também nos instantes posteriores, embora em um grau menor. Com isso posto, a equação
acima torna-se
r + oc
à(t) = —b exp(—a(s — f )) s ena ( i — st,o)ds (7)
Fazendo a mudança de variáveis w = st o — t obtemos o seguinte u; +1
s /()
-w = t- sta
I - ,s/.() - II!
dw = t()ds
Para s = 1 temos w = to — t
Para s —> -|-oc temos w —> +oo
Logo a equação (7) se torna
' O . / / , , - / ' ' ' V " V Í0
Então note que de (8) e lembrando agora que podemos escrever t = /(«') temos
á(t) = -•— I^ exp ) ] sen rv( — w)dw (8)
Resolvendo a integral acima por partes obtemos
b -rv(í) = - —
< o
W + t — to" exp | - a | j j senn(- ' iv
+ oo
~ I (.x]) ^ - a ^ 1 ^ t() ) ) sen a( — w)dw
Agora observe que
= -f C ' c x p t 0 (^T^)) —
((j)
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Substituindo 11a equação acima temos
íi(/) = — lim t() «—>-t-oc
E, portanto.
ri(í) = sen n(t — í()) - ^ n ( í ) k k
E,logo,
ct(í) + + - sen a(t - r) = 0 (10) r v
A equação (10) c conhecida como equação do girassol, em virtude do girassol ser o principal
representante do género Helianthus. O matemático Sornolinos em [22] estudou a estabilidade e
a periodicidade das soluções de (10) utilizando o valor a como parâmetro.
A cqnação (10) é uma generalização da equação de Lienard, sendo conhecida como equação
diferencial funcional com retardamento de Lienard. Esta, equação foi estudada em diversos
trabalhos como [3], [4], [5], [G[. [10], [11]: [12], [13], [20], [21], [22], [24] e [27].
A forma mais geral da EDFR de Lienard é:
m + f w - ) ) - m - \ - < Á x { t - r ) ) = 0
Neste trabalho estudaremos em particular [24]. Faremos algumas modificações nas idéias
utilizadas pelos autores trazendo todos os detalhes dos resultados enunciados 110 referido
trabalho. Além disso para esta equação utilizaremos o retardo como parâmetro. Por fim,
modificaremos uma das hipóteses mais utilizadas no estudo desta equação. Em geral, a hipótese
mais comum na procura de soluções para esta equação é que xg(x) > 0 para todo x £ R \ {()}.
Entretanto, para esta hipótese, utilizaremos uma condição mais fraca a respeito da função g.
No capítulo 1 daremos alguns conceitos e resultados básicos da Teoria de Equações
Diferencias Funcionais com Retardamento e da Teoria das Equações Exponenciais que serão
utilizados posteriormente.
No capítulos 2 e 3 estudaremos a equação de Lienard quanto â sua estabilidade, dando
condições de existência de soluções periódicas para determinados valores de retardo. Por lim,
110 capítulo 4, aplicaremos os resulatados desenvolvidos em alguns modelos biológicos e físicos,
como o modelo acima proposto.
exp -a -1 - k k)
- n) — sen n (í — /, 0) - f " (O k)
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Capítulo 1
Prel iminares
Neste capítulo, laremos algumas definições e enunciaremos alguns resultados básicos e outros
mais gerais da. teoria das equações diferenciais funcionais com retardamento, bem como da teoria
das equações exponenciais, as quais serão ut ilizadas 110 decorrer do nosso trabalho.
Seja r > 0 um número real dado, K = (—00, +oc), Rn o espaço vetorial linear n-dimensional
sobre o conjunto dos números reais com norma | • |, C([a, 6],RW) é o espaço de Banacli de funções
contínuas cujo domínio 6 o intervalo fechado [a,í>] com valores em R" c com a topologia da
convergência uniforme. Se [a, b] = [ - r, 0] então denotemos C = C( [--/•,()]. R") o designemos a
norma de um elemento 0 de (.' por
\ 0 tais que x e C{[a - r, a + A),R"), (í, xt) £ D e x(t) satisfaz a equação 1.1 para
t e [a, a I- A).
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Def in ição 1.2. Para cr € R e £ C. dizemos que a Junção x(a: ;r° uniformcniente sobre [a0 - r.b\, entendemos que. para qualquer e > 0,
existe um k\ (c) tal que xk(t), k > k\(f). é definida sobre [ uniformemente
sobre [a° — r + e. b\.
Teorema 1.3. (Unicidade) Suponha que íí seja um eonjanto aberto em R x C. / : R x C IR"'
é contínua e f ( t , ) é Lipschitziana em em cada subconjunto comjmcto dc í í . Se }{o.(j>) £ Çl,
então existe uma única solução da equação (1.1) através de (
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A seguir enunciaremos alguns resultados os quais serão utilizados no decorrer dest.e trabalho.
Teorema 1.4. Considere a. função matricial
ni Ett(s) = si - ^ Ajexp(—cxshj
o
onde a> 0, 0 < h\ < ... < hm e Aj c uma matriz n x ri complexa para j = 1. 2...., m.
Seja ainda a{Q) = sup{Re(s)\det(Q(s)) = 0} se, det(Q) 0 para, um conjunto finito de valores
de s e a{Q(S)) — — oe se det(Q(s)) ^ 0 para todo s.
Então, paru cada a > 0. a{Fa) é finito e define uma função continua em a, desde que a seja
um autovalor simples.
Este teorema encontra-se demonstrado em [9](Teorema 2.1).
Teorema 1.5. Seja / ( A . R ) = X2 + « A + b\e~XT + c + de~Xr, onde a. b, c. der são números reais
c r > 0. Então, à medida que r varia, a soma das multiplicidades dos zeros dc f no semi plano
aberto direilo pode mvdar somente se um zero de f ajHirece ou se existir um A neste semiplano
tal que / ( A , r ) = ÍUJQ, U>O 6 R .
O resultado acima pode ser encontrado em [G] (Lema 1).
Teorema 1.6. (Ascol i - Arzelá) Sejam K um espaço métrico compacto e E c C(K.W").
Suponhamos que exista N > d tal que |/(:r) | < N, para quaLstiutu- x ç- h\ f € /v e (jue JC seja
equicontínuo. Então E é relativamente comiísw.to.
Este resultado encontra-se demonstrado em [1],
Teorema 1.7. Sejam K c um suconjunlo fecha d, o. limitado, convexo e de dimensão infinita em
um espaço dc BanacJi X. A : K \ {:í'o} —> K uma aplicação completamente c.onthiu.a
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T(h) = í J a
,-b V{6)h{0)d0, h e £!([tt,b],WL)
As considerações al)aixo referem -se à uma classe especial de equações diferenciais funcionais
lineares com retardamento:
onde L : C —-> R" é uma função linear contínua. Esta hipótese implica que existe uma função
matricial n x n. da forma »/(0), com —r R". cv € R} é de
uma raiz ca.rnctcristica A(rv) da EDFR(L(a)) de classe C1 para |rv| < evo 0.
2. Existem um subconjxmto K Ç C fechado c convexo com 0 £ K c S > 0, tal que:
8. Existe uma função completamente continua D : K \ {()} —> [cv. +oo), 0 < n tal que a
aplicação definida por:
Mt) = E(xt)
classe C]. Sc. Ao é uma raiz ciiracteristicti, simples da EDFR(L({))). então existe. um o 0 > 0 e
v = v(6)= rnf{\7rxeK. = 6} > 0
A(/) = xl)^{(P), 0tK\{0}
levando K \ {0} sobre K é completa,mente contínua.
Então 0 é um ponto ejetivo de A.
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As considerações abaixo refercra-se ao Teorema da Bifurcação de Hopf.
Consideremos uma família a um parâmetro de equações diferenciais funcionais re tardadas
da forma:
x(t)= F(a,xt), (1.2)
onde F(a, (/>) tem primeira e segunda derivadas contínuas em relação a a e 0, para a € IR, G C
e F(n, 0) = 0 para todo a.
Definimos L : R x C ^ R " por:
L(cv)\I/ = FlJ{a,0)^.
onde Fa{«, (J) 6 a derivada de F(a. ô) com respeito a em 0 = 0.
Consideremos as seguintes hipóteses:
1. A EDFR(L(0) ) linear tem uma raiz característica imaginária pura simples Ao = ivo ^ 0 c
todas as raízes características A j Ao, Ao satisfazem A j ^ tííAq para qualquer inteiro m.
Como L(a) c continuamente diferenciável em relação a a. de acordo com (12](Lenia 2.2,
seção 7.2), existe no > 0 e uma raiz característica simples A(«) da equação EDFR(L(a ) )
linear, que possui derivada contínua A(n) em o, para | a | < no.
2. /?r(Á(0)) ± 0
T e o r e m a 1.11. (B i furcação de H o p f ) :
Suponhamos que F((\. ò) seja. continuarneiite diferenciável com respeito a a e | < 5q.
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Capítulo 2
Existência Local de Soluções
Periódicas para a Equação de
Liénard
Consideremos a equação de Liénard com retardo finito
x(t) f(x(t))x(t) + ç,(x(t. - r)) = 0 (2.1)
onde r é uma constante positiva, / e g são funções de classe C2 c
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Observe que x(t) 6 solução cia equação (2.1) se, e somente se X(T) for solução da equação
(2.2). Sendo assim, se desejarmos obter resultados a respeito da estabilidade da solução nula
para a equação (2.1) basta analisarmos o comportamento da solução nula para a equação (2.2).
Deste modo. determinemos a equação característica associada à equação (2.2). Notemos que
a parto linear daquela equação, desenvolvida através da série1 do Taylor ('tu torno do zero, é
X(R) + rf(i))X (r) + r2g(0) + r 2 r / (0)X(r - 1)
Donde, tendo em vista a igualdade (2.2) obtemos
X(t) r / ( 0 ) X ( r ) + + R2g(Q)X(T - 1) = 0
Ao considerarmos como solução da equação (2.2) a função X"(r) = CCXt, onde c é uma
constante não nula, então obtemos
X2CCXT + R / ( 0 ) C A C A R -I- r2n(0) + r2Á(0)eeA(r-b = 0
Como E 0. //(O) = 0. //(()) = II e /(()) = IH, segue que a equação característica da equação
(2.2) é
A2 + nirX + nr2e""x = 0
Para estudarmos a estabilidade da solução nula daremos alguns resultados a respeito da
equação característica (2.3).
L e m a 2.1. Existem ro G R+ e LJQ G R ta,IS que para r G (0, /'o), todas as raízes da equação
(2.3) têm partes reais estritamente negativas. Se r = >'o então a equação (2.3) tem um único
par de raízes imaginárias puras, a saber z\ = ÍLOo e z2 = -iu>o enquanto todas as outins raízes
têm parte real estritamente negativa e 0 < /• o < ,t((OK--
e 0 < ujo < f.
Dcmonsl raçao:
Suponha inicialmente que exista w ê R tal que z\ = ito e "-2 = —/o; sejam raízes da equação
(2.3). Então, observe que:
z2 + rrnzi + nr2e~~' = 0
Donde
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-tu2 + rnriuj + nr2e = O
Isto é
—LO2 irniuo -| NR2 c:os(LO) — NR2isun(ui) = 0
Ou seja
-J2 -I- rir2 eos(w) ) I /I »/ru> - nr~ scn(^) ) = 0
Assim, obtemos o siste:
LO'2 = nr2 cos(w)
rwru; = / / / •2 sen (a;)
Da mesma forma, observe que se Z2 = —iu>, então zo também é raiz da equação (2.3).
Por outro lado. suponha que exista w é R tal que w satisfaça o sistema acima.
Deste modo, observe que se z\ = iw temos
z2 + wrz\ + nr2e~s> = —LO'2 + VIVÍLO + nr2 cos(w) — rnr2 sen (o;) = 0
Analogamente se c2 ~ "'huJ então z-2 satisfaz a, equação acima.
Desta maneira, a condição necessária e suficiente para que z\ ~ iu) e z-> — - iw sejam raízes
da equação característica (2.3) é que u> seja solução do sistema..
Do sistema (2.4) obtemos, elevando a segunda equação ao quadrado,
o o 2 1>"l" •>
LO = —íj- se i r LO m-
Substi tuindo a igualdade acima na primeira equação do sistema (2.4) obtemos
Isto é
= n 2 r 2 cos c
vi2 1 — COS2 LÚ = — COS LO (2.-r>)
II
0 2
E. logo. cos u,- cosu; - 1 = 0
Fazendo y = cos LO obtemos:
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nr y + — fjf — 1 = O
71
E daí, obtemos os seguintes valores de y
. / m4 + árfi _ m2 _ y J = e y 2 =
Da primeira equaçao do sistema (2.4) temos que
a;2 r, = COSUJ
nr
Como ur > 0, n > 0 e r 2 > 0 segue que 0 < cosa; < 1.
Agora,, observe que para quaisquer coust.aut.es positivas vi e n temos
n r = Vm'1 < \ /n i 4 4 4n2 (2.G)
/7n1 +4Íi2 Donde < II
E, portanto. 1/2 < 0.
Por outro lado, observe que 0 < 4nni.
Donde w 1 + 4 / r < m* -I- Amir 4n2 = (m2 + 2n2)'2.
Portanto.
-m2 + \ / m r - f 4 n2
2ri < !
Isto ê y\ < 1.
Ainda, de (2.(i) segue que
-nr -I \/vr1 +- 4 ;;1
2n
E : portanto 0 < ,Í/I < 1.
Desta forma segue que
-rir + vímr+4n~ COSî ' =
27)
Definimos então / —rir + y/m'1 + 4n2 \
OJo = arccos I — I (2.7)
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n> = ( 2 . 8 ) yjn cos lJo
Obsc]'veinos agora que
2 1 2 2 4/1 2 \
•n r0 scnwo = n r 0 ( l - cos u>o)
Substituindo (2.5) na equação aciuia obtemos
n2rq sen u>o = nr^m 2 cos u/o
Da primeira equação do sistema (2.4) segue que
n2?o seu2 ú-'o = m2o — mrou>u (2.9)
E, ainda.
ujf) = rir2 cosido ( 2 . 1 0 )
Desta maneira, de (2.9) e (2.10). vemos que o par ordenado (wo. n>) satisíaz as equaçòe,s do
sistema (2.4). Desta forma. z\ = IUo e z
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1(5
Assim, concluímos que
uJQ 2Á'7T 2Á'7T ri = — H = ?'o H . para algum inteiro k.
^/n cosuj{) sjv cosnj() y/v/coscvi)'
Observe agora que se k = 0, então r\ = r 0 , o que é absurdo. Por outro lado, se /,: é um . . . . . 2KN inteiro positivo então r\ > rq. visto que - > 0.
^ í COS Ul>[)
Por outro lado observe que 0 < cos^o < 1
Donde, segue que 0 < u>o < f •
Daí.
0 < — < ^ eos í j n coswo
E, ])ortanto,
2kir (2k -f- l)ir 0 < 7*0 + < v
y/n cos U)Q Y
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Então do Teorema 1.1 do Capítulo 1 sabemos que
a(Fr(A)) = sup{Rc(A) : dct(Fr(A)) = 0}
é finito e é uma função contínua de r. Em outras palavras, estamos afirmando que o supremo
da parte real das raízes da equação (2.3) varia continuamente com o parâmetro r. Observe que
para r = 0 temos a seguinte equação:
A 2 = 0
cuja raiz dupla e A = 0. Assim a (Fq(A)) = 0.
Consideremos agora a função
X\r) = o(7') i^(r) (2.12)
representando as raízes da equação (2.3) satisfazendo o(0) = o(•/•()) = u.'(0) = U e ^(/'o) = iJq.
Então ol)serve que
A2(t) + rmX(r) + nr2e~X(r) = 0
Daí, derivando a equação acima obtemos
H X ( r ) , , J M r ) \ , .Vo._-A(r) _ „2 2 A ( r ) — + /77 A(r) + + n 2re~Á(r} - r 2 e dr V dr j \ dr
Donde
dX(r) dr
2A(7'„) ' " ' ' o A(r„) r = r{]
Como A(/'o) = i.uJo obtemos
A('/'o) - 2n/•()(' Air,,)
dr [2ioJo + mro ~ nrQCo.swo + inrf -MIUJQ — 2nr'ncosu;o + 2INRQSENU>O
Tendo em vista as equações do sistema (2.4) obtemos
dX('r] dr |i(2a.'o + íuroiJo) T mro - Wq] = i(—mwo + 2mwo) -
,2
íílíl •''O
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Donde
rZA(r) dr (?/)//o - u,'5) I Í(2U,'O -f mroun))]
Ou seja
d X (r dr' r=r0
I 2ro/ít.'o-ro)[(mro - - *(2u.'o -(•• mrw0)l •'•o[("wo - + (2u>0 + mr
Fazendo A = ro[(mro — w(2)2 + (2^o + mrujo)2] obtemos
dX(r) dr
- vii\)|- cjj' + 2/cjq + imro^j] + 2i^,o?,(2'"2 •• 'Zmiu^ro + iníu/pro + 2ni Ã
ií ,2,,.2
E. logo.
(ÍX(r) dr
SmujQVQ +o>,'J + 2 ,2U;q — twqWQ
'"'•o A + 7 -
A
Deste modo, como dr
da(r dr + /
riw(r) d/r
segue que
dr ('òmu>{\r{) bn^2r2)
A
Desta forma, existo 6 > 0 tal que para r d (m S, ro à), a função n( r ) é crescente.
Consequentemente a função a(Fr(X)) é crescente neste mesmo intervalo.
Como a(Fru(X)) — 0, segue que existe r\ < r 0 lai que a(Fr, (A)) < 0. Além disso. a(Fr(X)) /
0 para r 6 (0,ro). Desta maneira, pela continuidade de cr{Fr{A)) segue que a(Fr(A)) < 0 para
•/• £ (0, n))-
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19
Portanto, para r £ (0,ro) todas as raízes da equação (2.3) tem partes reais estritamente
negativas, enquanto que para r = ro existem apenas duas raízes imaginárias puras e as demais
raízes também possuem partes reais estritamente negativas.
Por fim, observe que já mostramos que 0 < wo < — e além disso observe que rg = 0 2 y/v cos ujo
Donde segue que 0 < r0 < j ^ H T ^ r
E, portanto, o lema está provado. •
Definimos agora as seguintes constantes
2/7r RJ = 'o + , J J = 0, f, 2, ...
y/n cos u>o
onde a»o e ro são definidos por (2.7) e (2.8). Para r = r j está provado 110 lema acima que
z\ = Í.UJQ e zo — —WO é o único par de raízes imaginárias puras da equação (2.3).
Definimos aluda
A j ( r ) = (\j(r) + í^jj(r), j = 0, 1, 2,...
como sendo as raízes da equação (2.3) satisfazendo o ; ( r / ) = 0 e a»j(ry) = a>o-
Com isto, obtemos o seguinte resultado
L e m a 2.2. Sejam A,-(r) = j(r) como definido acima. Então:
d , > 0 R = RI
Demonstração:
dendo em vista que Xj(r) 6 raiz da equação (2.3), então para cada j = 0, 1. 2,... temos que
X2(r) + mr\j(r) +nr2c.x'{r) = 0
Deste modo, toniando-se a derivada em ambos os membros da equação acima obtemos
Isto é
2 A ( r ) ^ - + m U r ) + r ^ ) + n í2re~^ - ) = 0
2Xj (;•) I vir - vr2cX'(r^ = ~mXÁv) "" 2™-{r)
Donde
-
20
d w N -rn.X-Ar) - 2nre x>{r — A Ar) = -dr 2A j ( r ) + mr - nr2(Mr
Por hipótese, sabemos que A,- (r,-) = cvy (ry) + iujj (ry) = íw».
Desta forma, obtemos
Do lema anterior, segue que:
~rniuj{) — 2nro cosu;()2mro sen^o 2wo + " ' ''o — m-jj cosmo + '" ' 'o senwo
d Ih-
Xj(r) -
Portanto, segue: que
'3muj{jr() + w0 + 2í/ru.,Qí,õ . 2u,'{, — mrou>'Q I- 2muar A
onde A = ?'o[(mr0 - ujf})2 + (2w() + m r ^ o ) 2 } .
d , Tendo em vista que — XAr
dr
A
segue ([ue
T r ^ ' 'òmuQ-ro + wjj + 2m~u/0r0
à >
Agora, daremos um resultado importante a respeito das raízes da equação caraterístiea (2.3).
L e m a 2.3. Para r = r-)t j = 0, 1, 2 , . . . , a equação característica (2.8) tem um único par de
raízes imaginárias ptiras e 2j raízes com parte real positiva enquanto todas as outras raízes tem
parte real estritamente negativa.
Demonstração:
Para esta demonstração utilizaremos o primeiro princípio de indução finita sobre j .
Com efeito, note que para j = 0, ou seja, quando r = ro, a equação caraterístiea (2.3) têm
um único par de raízes imaginárias puras que são z\ = iu>O e z^ = —ÍCOQ, enquanto as demais
raízes desta equação possuem parte real negativa, como provado 110 Lenia 2.1.
Suponha agora que o lema seja válido para k 6 Z_ . ou seja. que para r = /'A- a equação (2.3)
tem um único par de raízes imaginárias punis. 2k raízes com parte real positiva enquanto todas
-
21
as outras raízes tem parte real estritamente negativa: e provemos que esta afirmaçao continua
válida para k + 1
De fato. observe que para r = r^ - j temos apenas um par de raízes imaginárias puras, como
foi mostrado na demonstração do Lema. 2.1. a saber: = /u.'o e z-j = - k d
> 0. Logo. teremos a Além disso, para r = ?>.| i temos, pelo Lenia 2.2 que — n j ( r dr partir de r = uma raiz com parte real positiva, ou seja uma raiz 110 semi - plano:
A = {(x,y) e K2 : > 0 e y G M}
Desta forma, a soma das multiplicidades das raízes da equação (2.3) 110 semi plano A se
alterou. Pelo Teorema 1.5. temos a existência de mais unia raiz da equação (2.3) com parte real
positiva,. Como as raízes desta equação vêm sempre aos pares, temos a, existência, dc: mais duas
raízes a partir de r = •/•*•+1 com respectivas partes reais positivas.
Como da hipótese de indução já tínhamos 2k raízes com parte real positiva, passamos agora
a ter 2 (k + 1) raízes com parte real positiva, duas raízes imaginárias puras e as demais raízes
com parte real estritamente negativa, isto completa a prova do lema. •
Por fim, apresentaremos uni resultado a respeito da estabilidade da solução nula da equação
( 2 . 2 ) .
Teorema 2.1. Para r 6 (0,ro). a solução nula da equação (2.2) é assinloticamente estável.
Para r > ro, a solução mda da equação (2.2) é instável e para r sufictciilt-uiente próximo a
r.j (J = 0. 1. .2 ....), a equação (2.1) apresenta bifurcações de Hopf.
Demonstração
Pelo Lema 2.1. todas as raízes da equação característica (2.3) têm respectivas partes reais
estritamente negativas para r £ [0,ro). Desta maneira se r e (O.ro), a solução nula da equação
(2.2) é assintoticamente estável.
Por outro lado. para. r > ro algumas raízes da, equação característica (2.3) passam a ter parte
real estritamente positiva. Assim a, solução nula, da equação (2.2) é instável para r e (''o, H-oc).
Por fim, para valores próximos de Tj{j = 0, 1, ,2 ,...) temos do Lema 2.3 a existência, de
um único par de raízes imaginárias puras da, equação característica (2.3) não nulas. Ainda, do
Uo. Lema 2.2 temos que RE ( —A;-(r) d í/7 Portanto, pelo Teorema de Bifurcação de Hopf, a equação (2.2) apresenta bifurcações de
Hopf para r suficientemente próximo de r j para j = 0, 1, 2
-
22
O teorema acima mostra que quando o retardo r está próximo de ry para j = 0. 1, 2. ....
a equação (2.1) apresenta bifurcações de Hopf e. portanto, apresenta soluções periódicas de
amplitude pequena.
-
Capítulo 3
Existência Global de Soluções
Periódicas
Para estudarmos a existência global de soluções periódicas para a equação (2.2), retomemos o
sistema associado a esta equação, isto 6:
X(r) = Y ( j ) (3.1)
Y(T) = -rf(X(r))Y(r)-r2g(X(T- 1))
Até agora assumimos que / e g são funções de classe C2, /(O) = in. g(0) = n e g{0) = 0.
Além disso assumiremos que:
1. m > n > 0:
71 11 2. Existe uma constante A tal que A > — | 7 c para todo x £ [-A, A] \ {0} temos as 2 711-
seguintes condições:
• /(-.r) = f(.v)
• /(.'•') > 771
• xg(x) > 0
• í ; Í » = -
-
Para o sistema (3.1) o espaço de fases definido é o espaço de fases usual, isto é
C = C ( [ -1 . 0] , l t2) = {92 : 9 : [-• 1, 0] > R2 contínua}
A norma de cada y j g C 6 definida por:
M = sup |^(0)| -1
-
25
Notemos então que G é o polígono fechado PQR.P\Q]R\P. Para demonstrarmos este lema.
basta provarmos que todas as trajetórias da solução z(r) que passam em algum ponto da fronteira
de G entram e permanecem 110 interior de G. Para isto, analisemos o comportamento da solução
em cada um dos segmentos que const ituem a fronteira, de G.
1. Segmento RP\
Se 7o é tal que está neste segmento então y(ro) > 0. De acordo com o sistema (3.1)
sabemos que A'(to) = l ' ( ro) . Portanto X(T) é não-decrescenfe em alguma vizinhança de
ro e, desta forma, a trajetória da solução deve entrar no interior de G.
2. Segmento RQ
Se ro c tal (jue Z{TQ) está neste segmento, então í/(to) = — . Pela. condição 2. sabemos que 111
f(X;) > IH e \ = 0 rii
Portanto Y(TO) < 0. Desta maneira a trajetória da solução deve entrar no interior de G-
3. Segmento QP
Note que as coordenadas do ponto Q são ' — j . Este ponto é o i)onto de int.erseção
das retas y = — e x + —y — A. Deste modo. observe que: rn rn'
•> vn x{) + —5- = A rrr
Donde segue que XQ = A —
Pela condição 1. n > 0. Assim, segue que 0 < xq < a. Consideremos agora a trajetória da
solução z(t) = (X(T),Y(T)) 11a região I. Nesta região segue do Teorema do Valor Médio
que:
\X(R) - X(T - 1)| - |A'(01 onde r 1 < £ <
Do sistema (3.1) e da condição 3 segue que;:
, / N, rn ( . r2n\ rn ri , r2n | AR - 1 - X T = 7 0 < - < ( A - — ) = >!- — = ,:„
111 V 111- ) N 111 711-
-
26
Se existe T\ e K tal que a tra.jetória z(T) = (X(T),Y(T)) intercepta o segmento PQ cm
algum ponto z ( n ) = (A'(ti), Y(TI)) então X(r 1 ) > XQ e então
E daí,
E, portanto,
|A'(n - i ) - A ' ( n ) | 0 para todo x e [-A. A] \ {0}. Desta forma, obtemos
que (j{x[t\ f)) > 0, pois 0 < x(ti — 1) < a.
Além disso, seja /j a inclinação do segmento PQ. Então:
u = rn < ^ ^
-rm A — zq m
Por outro lado. se a inclinação da trajetória z(T) = (X(T).Y(T)) em r = r j for H, então:
/•> = lim Y^-Y^ - h) Y(T,)- V(N - H)
= lim — h ,0 X(t\ ) - X(t| - h) /,- .() xí i lUX] h -/o
Y(r,)
Pelo sistema (3.1) obtemos
h = x w = ~rnx{Ti)) ~1 < - r i ( A ( r j ) )
Pela condição 2, f(X(Ti)) > m. Logo, l2 < —rm, isto é, 1-2 < l\. Portanto a trajetória
Z(T) entra no interior de G.
4. Segmento P R i
Se existe mu m tal que Z{TQ) = (À'(ro). Y(RO)) esteja neste segmento, então Y(TQ) < 0.
Do sistema (3.1) sabemos que A'(r(l) = l"(r()). e. então, segue que A'(r) é decrescente neste
segmento e, portanto, a trajetória da solução Z(T) entra no interior de (,'.
-
27
5. Segmento fí\Q\
Seja ro tal que ~(Vq) esteja neste segmento. Então Y(TQ) = - — . Da condição 2 sal)emos m
que f ( x ) > m e |t/U')| < n para todo x e [-A. A] \ {0}. Desta forma, pelo sistema (3.1)
obtemos:
Y(T) = -rf(X(T))Y(T)-,-2y{X(T-l))
= r f ( X ( r ) ) (-Y(T)) - r"tj(X(T - 1)) > rm j r2-» > 0
Desta maneira, segue que a função Y é não-decresccnte, e segue que a trajetória da solução
z(r) entra no interior de G.
6. Segmento Q\P\
Observe que Q i = (xo- ) c o ponto de iuterseçào das retas y = e x 4 ij = —A. V 777 / m 77? '
Portanto. :?:0 + - ( - - ) = - A " m V tu I
Donde
r2n •''o = — j -- A m-
Da condição 1 sabemos que n > 0. Assim, segue que XQ > —A.
Consideremos agora a trajetória da solução z(r) na região III. Pelo Teorema do Valor
Médio temos:
\X(r) - X ( r - l ) | = |y(0|. t--l
-
28
Pela condição 2 sabemos que xg(x) > 0 para todo x e [-A,A] \ {0}.
Como -A < X ( t i - 1) < 0, segue que fy(X(r, - 1)) < 0.
Seja então l\ a inclinaçao do segmento P\Q\. Então
/1 r-n
Porém, se a inclinação da trajetória da solução z(r) em r = t\ for l2 temos, do sistema
(3.1):
/ V TL FÍ Y( W r 2 g A T, - 1 H = -777—R = - ' ' . / W N ) ) 777-T < -R}{X[TI)) < —RM
A r , x(Ti)
Ou seja,
h
-
• é a solução corri dado inicial
-
30
Desta forma X ( r ) c estritamente crescente e F ( r ) é estritamente decrescente nesta região.
Portanto, existe um ponto TJ 6 R tal que Z(N) = (A(ri) .O) e a trajetória da solução Z(T)
entra na região ff para r > ri .
Por outro lado, observe que X(Ti) > 0 e A"(rj - 1) > 0. Desta forma, pelo sistema (3.1)
segue que
X ( r i ) = 0
e
F ( r , ) - - r / ( X ( r , ) ) y ' ( r l ) • R2G(X(T] - 1)) < -V2 0 tal que Y(T) < 0 para r G (ri , T\ + TF].
Quando a trajetória da solução Z(T) está na região 11 temos Y(T) < 0. Desta fornia, pelo
sistema (3.1) sabemos que X(R) < 0. Portanto X(T) é estritamente decrescente nesta
região.
Agora observemos que a trajetória da solução Z(T) não pode retornar à região I. Com
efeito, se isto acontecesse então existiria um r ' > ri tal que Y(T') = 0, Y(T') > 0 e
X ( r ' - 1) > 0.
P o r é m Y{T') = -RF(X(T'))Y(T') - V2 > T\ tal que s(r>) = (0,.i/(ro)), IJ(R>)) < 0
e para todo r > to, T em uma vizinhança, suficientemente próxima de TO temos a
trajetória da solução Z(T) na região III.
b) Existe T' tal que Y{T') > 0 e z(r) está na região II.
-
31
Sabemos que a t ra je tór ia da solução Z(T) não retorna à região II. Deste modo, para
assegurarmos que a t rajetór ia da solução Z(T) passa para a região III, devemos nos
considerar somente com a possibilidade de existir T2 > T\ tal que Z(T2) = (0,0) e a
solução Z(T) estai' na região II para r G {T\,T>). isto dev
caso pode haver a possibilidade de a t ra je tór ia da solução ir direto para a região IV.
Com efeito, se existir tal to então do sistema (3.1) sabemos que X(T->) = 0
e Y(T2) = -rf(X(r2))Y(T2) - r2g(X(r2 - f ) ) = -r2g(X(r2 - 1)) < 0.
Desta forma, observe que a tangente à t ra je tór ia da solução z(r) em R = T2 é
perpendicular ao eixo x.
Pela continuidade de Y existe 5 > 0 tal que Y ( t ) < 0 para r G (r2 — õ , r 2 ) . Desta
maneira, segue que X(T) < 0 para, r G (r2 - r2) .
Por outro lado Y{T2) < 0. Logo, pela continuidade dc Y existem ò' e r:< tal que
R-I G ( r 2 , r 2 + 5') e Y(T>,) < 0. Desta maneira, X( t3) < 0 e a t ra je tór ia da solução
Z(T) entra na região III a partir de ry.
Por out.ro lado. como X(T) = Y(R) e Y(T) < 0 para todo r tal que Z{T) esteja na
região 111. segue que x 6 decrescente nesta, região e. portanto, a trajet ória, da solução
Z(T) não retorna â região II nem sai do conjunto CL.
Alem disso, para r > T-,\ + 1 temos cine X(T — 1) < 0. Desta forma, pelo sistema (3.1)
temos que
Y(F) = -V}(X{T))Y{T) - R2g{X(R - 1)) > -R2g{X{R - 1)) > 0, p a r a r > r 3 + 1
Portanto, para t > v; + 1 a função Y 6 estri tamente crescente. Deste modo existe
7~4 > TI tal cjue 2( r j ) = (A'(r,i,0) e Z{T) está na região 111 para r G ^3,74).
Por iim, existe r5 G ( r y , r . 1] tal que A ( r 5 - 1) = 0 e Y(T5) < 0.
Definimos ent ão Tj () = 75. Como 75 - 1 > 0 segue que T\[ip) > 1- Pelo teorema da
dependência contínua segue ainda que Ti(
-
ii) Observe que:
Ou, equivalentemente:
rv — < Y{TS) < 0
M
0 < -Y(Tr,)) < — m
iii) A'(r;-, - 1) = 0
rn
ou, equivalentemente,
rn J
v) A função X(T-, + 9) é não - crescente para 9 G [—1.0]
P o r t a n t o ZTÍI^{ÍP) G - K .
2. Seja Z(T) a solução da equação (2.2) com dado inicial onde
-
33
Pelo teorema, da unicidade segue ainda que z{—y) = -z{y>).
Desta maneira, pelo item anterior segue que existe uma função
'I\{ip) : A" \ {0} ^ fe+oo)
tal que :
zTl^( (1,+oc)
tal que:
e -K
Porém:
z^-^H-ip') =
Observe ainda que —zT2^~v também é solução da equação (2.2) o z T 2 ^ v 6 K .
Por fim, como ç ' depende; continuamente de segue que T-> é urna função contínua de
-
Observe ainda que Ti(tp) < T2 ( K da seguinte maneira,:
B{p) =
onde z(p) é a solução da equação (2.2) satisfazendo 20 = yP o T\{
-
< A + —. 9 £ [-1.01 rn
Desta forma BKi é uniformemente limitado.
Sejam agora z ' ^ 1 ' e z 1 ^ ) elementos de BK{. Então para quaisquer t \ e T2 no intervalo
1,0], com n < rã c £ > 0 existe S > 0 tal que se | n — T2| ,) + - I- T2).y(T((pi)) - V(7 ' (^ 2 ) ) ) |
Ou seja
- zT'^(T2)\ < \X(T{^) + n ) - X(T(tp2) + r 2 ) | + \Y(T(^)) Y{T{^2))\
Pelo Teorema do Valor Médio segue que existem ^ e f;2 no intervalo [i~i, T2] tais que
\X(T(^) + ri)-X(T{^2)+T2)\ < | Á ' ( Í I ) [ | T 1 - T2\
|V(7Vi)) Y(T(^))\ < t2\
Logo
| A ' ( r ( ^ ) + r 1 ) - X ( T ( ^ ) + r 2 ) | + | F ( T ( ^ 1 ) ) - F ( r ( ^ ) ) [ < | Ã ' ( 6 ) | h - r 2 | + | y ( 6 ) | h - r 2 |
Por lim, observe que
VI
\Y(T)\ = \ - rf(X(r))y(t) - r2g(X(T - 1))| < \rf(X(r)Y(r)\ + \r2g(X(T - 1)[
Segue então q \ i e |F ( r ) | < r2 maxx e |_, i . . , i f(.r.) + ri).
Portanto.
z ^ ^ i r y ) - z t ^ ( t 2 ) \ < |X(Çi) | | r , - r 2 | + j F ( 6 ) l h - r 2
-
36
Ou seja,
RN
m + R m
N viuxx€[_AA]f(x) + n) ] | n - r 2 | < £ ))i
Deste modo, segue que BK\ c equieontímio. Assim, pelo Teorema dc; Arzelá-Áscoli (Teorema
1.6) sabemos que BK\ é relativamente compacto. Isto prova que o operador D é completamente
contínuo. •
L e m a 3.4. Seja r > ?•(). Então:
onde A é autovalor da, equação (2.,'i). Re{A) > 0, /'o é definido por (2.8), é a 'projeção
obtida relativamente à, decomposição de C citada no Teorema 1.9 (página 9) e ro c. o primeiro
valor onde encontramos bifurcação de Hopf paru a equação (2.2).
Demonstração:
Retomemos o sistema (3.1). isto é
u n f \ \ T T ç Ç- I\, ^ 1} > 0
A » = Y(T)
Y(T) = - r f ( X ( T ) ) - r 2 y ( X ( T - í ) )
Então, a parte linear das equações deste sistema é dada por
X(t) = Y(T)
Y(T) = -rmY{T) - V~VX(T - 1)
Escrevendo este sistema na forma matricial temos
í X(r) \ Denotemos V(T) =
V /
Deste modo temos a equação matricial
-
37
, O 1 \ / O O , V(r) = | V(T) + | V(r 1) (3.3)
O -tui J \ - r2n O Podemos reescrever a equação acima da. seguinte forma
, 0 1 \ / 0 0 , v » = I K(0 ) + ) VVC—D
(J —viu J y -r2n 0
Observe que neste caso temos uma equação diferencial funcional autónoma da forma,:
V(T) = L(VT)
onde:
, 0 1 \ / 0 0 , m = | U ( o ) + 1 0 ( - i )
0 —rm / \ -r2n 0
0(r)= |
-
38
, O 1 \ / O O H(T) = - H ( T ) | — H(T + 1) Í
O -mi J y -r2n O
Reescrevendo esta equação cm forma de sistema, obtemos
Ú (T) = V2NW (T + F)
\V{T) = -U{T) + rmW[r)
Sejam agora ç = (p.«) e ^ = (b, F). com
-
Consideremos agora uma sequência (
-
40
Isto é.
Donde.
( t f .^s) = nv , (0 ) + ?7Vs(0) - r-
4 rru j sen(rr((? | L))0w(0)r/0
II r •7(0 + 1 ) , . , eos(rr(fi» + I ))o6,s((9)f/(9
a ^ , ( 0 ) - r2n j e-~i[U+í} cos(a{9 +
/•O + i / V , ( 0 ) + r 2 n c
10+i)
Af>+]hcii{a(0 + Í))(!>.s(0)d0
E, portanto,
/•O = oí^,(0) - r2n j v ~>{0''1) cos(ct(0 + l))c/>,(0)
-
41
Por outro lado. lira = 0. Logo. lim,s._+oc
-
Donde
lim (A I - A 2 ) 0 S ( O ) + r 2 n e - A J ) _ e-Ai(^-l) = o
Observe que <
Portanto.
lim r~n e - A 2 ( 0 + l ) _ g — A i ( 0 + 1 ) ÓS{6)
-
43
(A I + rni)e~XiT - AJ [ (A I + rm)r + h]e~XíT = r2n(r + 1 + U ; ) E " A | ( R ^
CRX'T - A I ( R + U;)E~X[T = - [(AI + R M ) R + li.\E~X'T + VIII{T + U ' ) E " A , R
E, logo. para r = 0 temos
A] -+ rm - A = r " n ( l f u.>)r.~A|
1 — Ai w = —h + rnrw
Ou seja,
-A|/j — r2iiwe~x> = r2ne~Xl — A| — rm
-h + rnrw = 1 — A \w
Da secunda equação do sistema (3.6) obtemos
h = - 1 -I- (A, + rrn)w
Substituindo o valor de h na primeira equação do sistema (3.G) temos
—A|[—1 + (A, + rm)w] - r2nwc~M = r 2 w T A | - Ai - rm
Tendo em vista que Ai ó a.ut,ovalor da equação (2.3) segue que
r2ne A | = - A? - rm A.
Donde,
Ài f — 1 4- (Ai + rm)w] Ai (Ai + rm)u: = -X2 - mr\\ - Aj - rrn
Ou seja, Af + 2A| 4- rmXi 4- rm. = 0
Resolvendo a equação aeima obtemos:
^ -(rrn + 2)tVr2m2 + 4
(3.6)
Porém, note que —4rm < 0.
-
E, portanto, r'2rn2 + Arrn + 4 — 4 r m < r2rn2 + 4rrn + 4.
Isto é,
r 2 rn 2 + 4 < (rm + 2) '
E. logo, \j(r'2rii2 + 4) < (rrn + 2).
Deste modo A] < 0. o que contraria nossa hipótese.
Isto completa a prova do lenia. •
T e o r e m a 3.1 . Se as hipóteses 1, 2 e 3 são válidas, então o sistema (3.1) tem soluções
•periódicas não-triviais de período maior que 2; para r > ro, onde ro é definido por (2.8) e é o
primeiro valor de existência de bifurcação de Hopf da equação (2.2).
Demonstração :
Inicialmente observemos que:
i) I\ é fechado
Com efeito, sabemos que K G K. Consideremos então p — (ç>.p) C T\. Desta forma
existe uma sequencia = (
-
f{s) = (1 - s)ip 1 + S?2 = ( ( 1 - s ) 0 1 + S02. (1 - + sp2); S G [O, l j
M o s t r e m o s q u e f ( s ) e K p a r a s e [0,1] . D e fat.o, t e n d o e m v i s t a q u e 2 e s t ã o e m K
t e m o s :
rn rn 0 < Pi < — e 0 < p2 < — rn rn
Como s G [0.1] segue que (1 — .s) > 0. Logo,
Portanto.
Ou seja,
,rn rn rn 0 < (1 - s)pi sp2 < (1 - -s')— + -s— = — rn ni rn
(1 - s)çí>i(-l) + s 0 2 ( - l ) = 0 . para s e (0.1)
(0) + — < A e d>2(0) + — < A m rn
(1 - s ) 0 i ( O ) + (1 - s)— + s(p 2(0) + s — < (1 - s ) ^ + a A m rn
,s)(.ò,((.)) -I ,s)(0)J -!- — < A 111
— Sejam x e y elementos de [—1,0], com x < y. Então
(1 --*), (:;;) + scl>2(x) < (1 - s)0i (y) + sè2(y), se [0,1]
Portanto, f(s) € K, para s € [0, 1]. Desta forma, K é convexo,
iii) K é limitado.
Observe por fim que pelo Lema 2.2 a equação característica (2.3) possui autovalores com parte
real positiva para r > r(). Além disso, pelo Lema 3.3, o operador B é completamente contínuo.
Ainda, pelo Lema 3.4 segue que se A e autovalor da equação (2.3) com Re( A) > 0, então
mj{|tta(V?)|. ? G A". M = 1} > 0.
Logo. pelo Teorema, 1.10. segue que (•'',.//) = (0.0) é um ponto ejetivo de B.
-
46
Além disso, pelo Lema 1.7 segue que D possui um ponto fixo que não é ejetivo. Seja
ip íz K \ {()} este ponto. Então temos que
Ou seja Zf(ip) o periódica com período maior que 2T](ip). Como Ti( 1 segue que
27}((P) > 2. Isto prova o teorema. •
Por lim, note que a solução X*(r) da equação (2.2) tem período pj maior que 2. Seja então p2 o
período da solução ./:(/,) da equação (2.1). Como X(T) = x(t), onde /, = r r segue que
x(t+p2) =x(t)
Ou seja. x (r (r &)) = x(rr).
Donde. X (r -R >F) = X (r).
Logo, pi =
Ou, p2 = rp\.
Como pi > 2 então p2 > 2r. Deste modo, concluímos que para r > ro a equação (2.1) possui
soluções periódicas não - triviais de período maior que 2r se as condições do Teorema (3.1)
estiverem satisfeit.as.
-
47
Capítulo 4
Aplicações a modelos Físicos e
Biológicos
Neste capít ulo aplicaremos os resultados dos capítulos anteriores a alguns modelos físicos e
biológicos.
E x e m p l o 4.1. Já vimos no capítulo 1 a equação do girassol estudada por Somolinos em [22].
A equação referida é a seguinte:
x(t) + --x(/,) + l^sen{x{t - •/•)) = 0 (4.1)
onde a, b e r são constantes positivas.
Se fizermos a mudança de variável t = TT obtemos a seguinte equação:
X(T) + ARX(T) + r2bsev{x(l - r)) = 0
A equação característica então é:
A2 + arX + br2c~x = 0 (4.2)
Ainda, podemos observar que neste caso ternos:
A B B j(x) =
-
Pelo Lema 2.1. existem valores u>o e ro tais que a solução nula e assintoticamente estável para
r e [0, ro) e para r = ro a equação característica (4.2) possui somente duas raízes imaginárias
puras. Ai = iu>o c = —ÍWQ, enquanto todas as demais raízes possuem partes reais negativas.
Neste caso temos:
{ s/a4 + 4b2r2 - a2
«* = — 2òr
i V 2 ( / « ' -f 4l>2r2 - a2 r0 = r arccos —
/ a ' - I - A l > 2 r 2 - ,
Deste modo. pelo Teorema 2.1 segue (jue a solução nula da equação (4.1) é instável para r > ro
e para valores próximos de r ; onde
"\/2 í \/a4+4b2r2 - a2\ 2jTrr\/2 , arccos — ) H : r . j = 1, 2,
2 br a1 + 4b2r2 -a2)- \ / y/a1 + 4b2r2 - a2
a equação possui soluções de amplitude pequena uma vez que para estes valores de r ocorrem
bifurcações de Hopf.
Por lim observe que temos o seguinte resultado:
Teorema 4.2. Sc < r. r > r0 c r'1 + ar — an < 0 então a equação (4.1) possui soluções 7Tí7' com períodos maiores que 2r.
Demonstração:
Observe1 que:
i) a > b donde - > - . Logo m > n > 0; R R
ii) ry(0) = ^sen(O) = 0:
iii) Para todo x G [ - tt. tt] \ {0} temos que:
- /(-'•') = - = /(-x); r
í(x) = -> m; r b
- De acordo com o gráfico abaixo podemos perceber que xg(x) = x- sen(.r) > 0;
-
49
1.8-
1.6
1.4
1.2 -
1
\ 0.8
\ 0.6
\0.4 - l
Q,2
- 3 - 2 - 1 1 x 2 3
x) = — son (.;;) = -scn(-.-r) = //(-:?:); r R
b < - = n. R
-sen :r
2b iii) Note que. —^ < r.
NO „ . 7T b (Ju seja. — > —2 r.
7T Ò E. portanto, tt > — r̂
2 a.
Logo, 7T > 2 u~ >
7T Vi
> 2 m~2' E. portanto.
Por hipótese r > vq
Corno r 3 + ar — «7r < 0 segue que ar + R"I < a TT.
í r2n\ rn Segue que, r < tt T ~ • V ni- / n
Assim, pelo Teorema 3.1 a equação (4.1) possui soluções periódicas nâo-triviais para r > ro
com período maior cju 2r.
E x e m p l o 4.3. Considere a equação do posição angular do leme de um navio de guerra com
dispositivo de direção automática de Minorsky, estudada em [3]:
.i:(t) + MX(L) + ip{x{t - r)) = 0
-
50
T e o r e m a 4.4. Para a equação acima, suponha que ip £ C2, e:
1. Aí > 0(0) > 0.
2. P(0) = 0
•>'. Existe uma constante positiva H tal que II > ^ + e para todo x £ {- H, II) \ {0}
tenhamos:
• xy(x) > 0;
• booi < m-r 2
4• r o < r e — + r — H < 0. onde:
''o sjn cos ujq
-M2-\ / i l / - ' - ) - 4 ^ ( 0 ) UJQ = arccos
Então, a equação acima possui soluções periódicas com período menor que 2r.
Demonstração:
Observemos o seguinte:
Fazendo uma comparação com a forma geral da equação estudada 110 capítulo anterior
podemos perceber que f ( x ) = M. g(x) = n > 0 por hipótese;
• Para todo x £ [--II. H] \ {0} temos:
i) f ( x ) = C = f(-x):
n) /;(()) - ^(0) = 0
iii) f U ) = C > vr,
iv) xg{x) = x 0 por hipótese;
v) g(x) = ip(x) = -
-
51
vi) | — - r j r = T d P o r hipótese.
2 Al- 2 nr
• /'o < r. por hipótese.
r2 • Por hipótese — + •/• - H < 0. Daí:
7 r < H
M
Ou seja:
H AP
AI
E. portanto:
r < H nr2\ rn rn / n
Agora, tendo em vista o valor de ro e LJo segue do Teorema 2.1 que para r e (0, ro) a solução
nula é assintoticamente estável. Para r > ro segue do Teorema 3.1 que esta equação possui
soluções periódicas com valor de período maior que 2r. •
-
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