exercicios espaco vetorial parga

8/18/2019 Exercicios Espaco Vetorial Parga

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162 ESPAÇO VETORIAL REAL

III.6 – Exercícios

1) Dê exemplos de:

a)

Um subespaço vetorial de F = { funções de R em R } e de um vetor desse

espaço. b)

Um subespaço vetorial de R5 e de um vetor desse espaço.

c) Um subespaço vetorial do { matrizes diagonais nxn } e de um vetor desse

espaço.

2) Dê exemplos de um subespaço vetorial do R 3 :

a) Que tenha dimensão 1, dando uma base e equações para esse subespaço.

b) Que tenha dimensão 2, dando uma base e uma equação para essesubespaço.

c) Que tenha dimensão 3, dando uma base para esse subespaço.

3) Dê exemplo de um subconjunto do R 3 que não é um subespaço vetorial.

4) Dê exemplos de dois subespaços do R 2

:

a) Cuja união não é um subespaço do R 2.

b)

Cuja união é um subespaço do R 2.

5) Escreva, se possível, o vetor u como combinação linear do conjunto C :

a) u = ( 3 , 0 , 2 , 2 , 2 ) e

C = { ( 1,1,1,1,1 ) , ( 1,0,1,0,1 ) , ( 1,-1,0,0,0 ) , ( 0,0,0,1,0 ) } R5

b)

u = ( 3 , 1, -1 , -3 ) e C = { ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 4 , 3 , 2 , 1 ) } R4

c)

u = ( 1 , 1 , 0 , -1 ) sendo C o mesmo conjunto do item anterior.

d) u =

00

01 e C =

11

11,

00

11,

11

11 M 2x2.

e) u = 1 – t 2 e C = { 1 + t + t

2 , 1 – t , 1 + 2 t

2 } P

2.

6) Determine a equação dos subespaços:

a) [ ( 1,1,1,1,1 ) , ( 1,0,1,0,1 ) , ( 1,-1,0,0,0 ) , ( 0,0,0,1,0 ) ] R5

b) [ ( 1 , 2 , 3 , 4 ) , ( 4 , 3 , 2 , 1 ) ] R4

c)

11

11,

00

11,

11

11 M 2x2.

d)

[ 1 + t + t 2 , 1 – t , 1 + 2 t 2 ] P 2.

7) Determine uma base para o espaço vetorial abaixo e diga qual é a suadimensão:

a) S = [ ( 0,1,2,-1 ) , ( 1,1,4.0 ) , ( 1,2,2,-5 ) , ( 0,0,1,1 ) , ( 1,0,1,0 ) ] R4.

b) U = {( x , y , z , t , q ) R

5 | x + y + z = 0 , x – t – 2q = 0 e z + t – 2q = 0 } .

c)

W = [ 1 + t , 2 – t 2

, t + t 2

] P2.


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ESPAÇO VETORIAL REAL 163

d)

V = { ( x , y , x , t ) R 4 | x + y + z + t = 0 }.

e)

X = {

d c

ba M 2x2 | a – 2b +3c – d = 0 , a – 2b +3c +d = 0 e

2a – 5b +6c = 0 }.

8) Mostre que os conjuntos U , W , V e X , do exercício anterior, são espaçosvetoriais.

9) Dê exemplo de uma base do R 3

, de modo que, seus vetores sejam dois a dois

perpendiculares e que um desses vetores seja perpendicular ao plano de

equação x + y + z = 0.

10) Qual é a dimensão do seguinte subespaço:

{ ( x1 , x2 , x3 , x4 ) R 4 | x1 – x2 + x3 – x4 = 0 } ?

11) Dado { ( 1 , 1 , 1 , 0 ) , ( 1 , 2 , 3 , 0 ) , ( 0 , 1 , 2 , 0 ) , ( 0 , 1 , 1 , 1 ) } R 4:

a) Verifique se o conjunto é LI.

b) Encontre, dentre esses vetores, uma base para o subespaço gerado pelos

vetores do conjunto dado.c) Qual é a dimensão desse subespaço gerado?

12) Se S é um subespaço vetorial de P 2 = {polinômios de grau menor ou

igual a 2}, gerado pelos vetores t 2 – t + 1 , t

2 – 2t + 2 e 2t

2 – t + 1 :

a)

Escolha, dentre os geradores dados de S, uma base para S.

b) Pode-se dizer que S = P 2 ? Justifique sua resposta.

13) Mostre que:

a)

Se k 1 e k 2 R e { v1 , v2 , v3 } é LI então { k 2 v2 , v1 , v3 + k 1 v1 } é LI.

b) [ v1 , v2 , v3 ] = [ v1 , v2 , v3 + k v1 ] k R. c)

Se v é um vetor não nulo, então { v } é LI.

d) Se A é um conjunto LD e A B , então B é LD.

e)

Se A é um conjunto LI e B A , então B é LI.

f) Se A = { v1 , v2 , ... , vn } é LI e B = { v1 , v2 , ... , vn , w } é LD, então w

é uma combinação linear de v1 , v2 , ... , vn .g)

Qualquer conjunto que contém o vetor nulo é LD.

14) a) Mostre = { ( 1 , 2 , 3 ) , ( 0 , 1 , 2 ) , ( 0 , 0 , 1 ) } é uma base do R3. b) Determine as coordenadas do vetor v = ( 5 , 4 , 2 ) em relação a base .

c) Determine o vetor w do R3 cujo vetor coordenada em relação a base

é w| = ( 2 -3 4 )t .

d) Determine as coordenadas dos vetores v1 = ( 3 , 2 , 1 ) , v2 = ( 1 , 1 , 1 )

e v3 = ( 1 , 3 , 4 ) em relação a base .


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15) Considere os subespaços do R 4 ,

W = [ ( 1 , 0 , -1 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( -1 , 1 , 3 , 1 ) ] e

U = { ( x , y , z , t ) R4 | x + y + z + t = 0 e x - y + z - t = 0 }.

a)

Determine uma base para U e diga qual é a dimensão de U .

b) Determine uma base para W e diga qual é a dimensão de W .c)

Encontre equações para W .

d) Determine uma base para U W e diga qual é a dimensão de U W .

e)

Determine uma base para U + W e diga qual é a dimensão de U + W .

16) Considere os subespaços do R 6 ,

W= [( 0,1,1,1,1,1) , ( 1,1,2,0,0,0) , ( 0,0,1,2,4,3) , ( 3,5,7,2,2,2) , ( 0,0,0,1,1,1)]

e U = { ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) R6 | x1 + x3 + x5= 0 , x2 + x4 + x6 = 0 ,

x1 - x4 + 2x5 = 0 e 2x1 + x2 + x3 + 3x5 + x6 = 0 }.

a) Determine uma base para U e diga qual é a dimensão de U .

b) Determine uma base para W e diga qual é a dimensão de W .

c) Encontre equações para W .

d) Determine uma base para U W e diga qual é a dimensão de U W .

e) Determine uma base para U + W e diga qual é a dimensão de U + W .

17) Considerando as matrizes A =

1111

2020

1011

1210

e b =

0

4

0

0

e o

subconjunto do R4 , = { A

1 , A

2 , A

3 , A

4 } , em que A

i é a coluna i da

matriz A , com i = 1 , 2 , 3 , 4.

a) Determine A-1

e calcule simultaneamente o determinante de A.

b) Resolva o sistema A X = b usando a inversa de A.

c) Use as contas dos itens anteriores para saber se é base do R 4.Justifique.

d) Escreva o vetor b R 4 como combinação linear de .

18) Dados v = 1 - 2t , w| = ( 1 1 1 1 )t e

= { t 3 + t

2 + t + 1 , t

3 +2t

2 + 3t + 4 , t

2 + 2t + 4 , t

3 + 2t

2 +4t + 4 } P3

a) Mostre que é uma base de P3.

b)

Determine v| .c) Ache w.

19) Dados ={

11

11 ,

43

21 ,

42

10 } M 2x2 , v =

12

00 e w| =

0

1

1

1

:


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ESPAÇO VETORIAL REAL 165

a)

Mostre que não é uma base de M 2x2.

b)

Complete para obter uma base de M 2x2. (A base deve conter ).

c)

Determine v| .

d) Ache w.

20) Se = { v1 , v2 , v3 } é uma base do espaço vetorial V e sabendo-se que

3

2

1

u e

0

1

1

w :

a) Mostre que

3

1

2

)(

wu .

b)

Mostre que

67

1

)32( wu .

21) a) Mostre que se { u , v } é linearmente independente, então { u + v , u – v } também é linearmente independente.

b) Encontre uma base para o R3 de forma que, os vetores v1 = ( 1 , 2 , 3 ) e

v2 = ( 3 , 2 , 1 ) façam parte desta base.

22) Sejam V um espaço vetorial real e A = { v1 , v2 , ... ,vn } V :

a) Defina: S é um subespaço de V . b)

Defina: A é linearmente independente.

c)

Defina: dimensão de V . d)

Mostre que: se o conjunto { u , v } é linearmente independente então

{ 3u + v , 2u – v } também é linearmente independente.

e) Mostre que: se o conjunto { u , v } é linearmente independente e os

números reais a , b , c e d são tais que ad – bc 0 , então o

conjunto { au + cv , bu – dv } também é linearmente independente.

23) Seja S o subespaço do R 4 que é gerado pelas colunas da matriz

A =

5410

3311

3210

1111

:

a) Escalonando A obtenha uma base para S . b) Qual é a relação entre a dimensão de S e o número de linhas não nulas

da reduzida por linhas à forma escada de A ?

c) Escalonando A t obtenha uma base para S .

d) Qual é a relação entre a dimensão de S e o número de linhas não nulasda reduzida por linhas à forma escada de A

t ?


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24) Dado S = { A M 2x2 | A é simétrica } :

a) Mostre que S é um subespaço de M 2x2.

b) Encontre uma base para S .

c) Qual é a dimensão de S ?

d) Mostre que dim { A M nxn | A é simétrica } =2

2 nn .

25) Considere os subconjuntos dos respectivos espaços dados abaixo. Descubra qual

deles é base. Se não for base diga o motivo. Qual é a dimensão dos subespaçosgerados pelos vetores desses subconjuntos?

a) { ( 1 , 0 , 1) , ( 2 , 1 , 1 ) , ( 3 , 2 , 1 ) , ( 4 , 1 , 1 ) } R 3

.

b) {

11

00 ,

00

11 ,

21

21 ,

11

11 } M 2x2.

c) { t 2

+ t + 1 , 2t – 1 } P2.

d) { ( 1 , 0 , 1 , 0 ) , ( 0 , 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 , 1 ) , ( 0 , 0 , 1 , 1 ) } R 4.

26) Sejam S 1 e S 2 dois subespaços do espaço vetorial V , tais que, S 1 S 2 é aorigem e S 1 + S 2 = V . Se 1 = { v1 , ... , v p } é base de S 1 e 2 = { w1 , ... , wq } é base de S 2 , mostre que:

a) Se w S 2 , então w só é combinação linear de 1 se w = 0.

b) Se w S 2 e w 0, então { v1 , ... , v p , w } é LI.

c) 1 2 é LI.

d) 1 2 é uma base de V .

e) dim V = dim S 1 + dim S 2 .

27) Mostre que substituindo o gerador vi de S por vi + c vk , para c R, o

subespaço não é alterado, isto é,

S = [ v1 , ... , vi , ... , vk ,... , vm ] = [ v1 , ... , vi + c vk , ... , vk ,... , vm ].

28) Mostre que:

a) Se dim V = n e = {v1 , ... , vn } é LI então é base de V .

b) Se dim V = n e = {v1 , ... , vn } gera V então é base de V .

c) Se dim V = n e u V não pode ser escrito como combinação linear dos

vetores LI v1 , ... e vn-1 então {v1 , ... , vn-1 , u } é uma base de V .

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