exercices de mesure et intégration · 2013-01-13 · ablet des matières chapitre 1. ribust et...
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Exercices de Mesure et Intégration
J.G. Attali, X. Mary
Table des matières
Chapitre 1. Tribus et ensemble mesurables 5
Chapitre 2. Mesures 7
Chapitre 3. Fonctions mesurables 11
Chapitre 4. Intégration des fonctions positives, théorème de Beppo-Lévi et lemme de Fatou 15
Chapitre 5. Intégrale de Lebesgue, théorèmes de convergence et applications 17
Chapitre 6. Mesures produit, théorème de Fubini-Tonelli 21
Chapitre 7. Mesure image, changement de variables, théorème de Fubini-Lebesgue 23
Chapitre 8. Espaces Lp 25
3
1. TRIBUS ET ENSEMBLE MESURABLES 5
CHAPITRE 1
Tribus et ensemble mesurables
QUIZZ (Questions de cours) Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justiezbrièvement ou donnez un contre-exemple.
(1) Soit f : E → F et E ⊂ P(F ). Alors la tribu engendrée par l'image réciproque de Ecoincide avec l'image réciproque de la tribu engendrée par E .
(2) Soit X un ensemble. Alors l'ensemble de parties de X est une tribu.
(3) Si A est un ensemble inclus dans un ensembleB avecB mesurable, alors A est mesurable.
Exercice 1.1. On pose f(x) = 1 si x ∈ [0,1]∩Q et f(x) = 0 sinon, c'est-à-dire, f = 1[0,1]∩Q.
(1) Montrer que f n'est pas Riemann intégrable sur l'intervalle [0,1].
(2) On rappelle que [0,1]∩Q est dénombrable et on note (rn)n∈N∗ une numérotation de cetensemble. On pose fn = 1r1,··· ,rn pour n ≥ 1.
(a) Montrer que fn est Riemann intégrable sur [0,1].
(b) Montrer que fn converge simplement vers f . Que peut-on en déduire?
Exercice 1.2. Ensembles engendrant les boréliensSoit B(]0,1[) la tribu borélienne sur ]0,1[.
(1) Montrer que tout ouvert de ]0,1[ peut s'écrire comme réunion dénombrable d'intervallesde ]0,1[ de la forme ]r − δ,r + δ[ où r et δ sont des rationnels de ]0,1[.
(2) Montrer que B(]0,1[) est engendrée par chacune des familles suivantes :
(a) C1 = [a,b], a ≤ b, a,b ∈]0,1[.
(b) C2 = ]0,t],t ∈]0,1[ .
(c) C3 = [a,b],a ≤ b,a,b ∈]0,1[∩Q.
(d) C4 =
]0,12n
[,[k
2n,k + 12n
[,n,k ∈ N,1 ≤ k ≤ 2n − 1. On pourra montrer que t ∈]0,1[
est limite croissante de la suite tn :=[t2n]2n
où [x] désigne la partie entière de x.
6 1. TRIBUS ET ENSEMBLE MESURABLES
(3) On considère pour tout n ∈ N, la tribu sur ]0,1[ :
Bn := σ
(]0,
12n
[,
[k
2n,k + 12n
[, k ∈ N, 1 ≤ k ≤ 2n − 1
).
Montrer que la suite des (Bn)n∈N est croissante au sens de l'inclusion, mais que⋃n
Bn
n'est pas une tribu.
Exercice 1.3. Existence de non boréliens (ensemble de Vitali)
(1) Montrer qu'il existe E ⊂ [0,1] tel que pour tout x réel, on puisse trouver un réel uniquey ∈ E avec x− y ∈ Q.
(2) On pose : G =⋃
r∈Q∩[−1,1]
(E + r). Montrer que [0,1] ⊂ G ⊂ [−1,2] et que si r,s ∈ Q,
r 6= s, on a (E + r) ∩ (E + s) = ∅.
(3) Utiliser la mesure de Lebesgue λ sur R pour en déduire que E /∈ B(R) (on supposeraconnue la propriété d'invariance par translation de λ).
Exercice 1.4. Tribu borélienne produitOn se donne une famille d'espaces topologiques (E1,T1), · · · ,(Ek,Tk). On rappelle que la
topologie produit T = T1 ⊗ · · · ⊗ Tk est dénie par
ω ∈ T ⇔ ∀(x1, · · · ,xk) ∈ ω, ∃(ω1, · · · ,ωk) ∈ T1×· · ·×Tk, tq xi ∈ ωi, ∀i = 1 · · · k et ω1×· · ·×ωk ⊂ ω.
On note Bi la tribu engendrée par Ti dans Ei (tribu des boréliens) et B(T ) = σE1×···×Ek(T ) la
tribu borélienne associée à la topologie produit.(1) Montrer que B1 ⊗ · · · ⊗ Bk ⊂ B(T ).
(2) On dira que, pour i = 1 · · · k, (Ei,Ti) est à base dénombrables d'ouvert si il existe
Ei ⊂ Ti, dénombrable, tel que ∀ω ∈ Ti, ∃(ωj)j∈N ⊂ Ei tel que ω =⋃j∈N
ωj . Montrer que
si les (Ei,Ti) sont à base dénombrable, on a l'égalité, à savoir,
B1 ⊗ · · · ⊗ Bk = B(T ).
2. MESURES 7
CHAPITRE 2
Mesures
QUIZZ (Questions de cours) Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justiezbrièvement ou donnez un contre-exemple.
(1) Toute mesure est σ-sous-additive.
(2) La mesure de Lebesgue est une mesure sur la tribu des boréliens.
(3) Toute mesure sur une algèbre admet un unique prolongement à la tribu engendrée parl'algèbre.
Exercice 2.1. Soit (E,T ,µ) un espace mesuré avec µ une mesure positive. Montrer lespropriétés suivantes.
(1) Soient A et B dans T . Montrer quesi A ⊂ B, alors µ(A) ≤ µ(B)µ(A ∪B) + µ(A ∩B) = µ(A) + µ(B).
(2) Montrer que µ est une mesure si et seulement si(i) µ est additive(ii) pour toute suite (An)n ⊂ T telle que, An ⊂ An+1 pour tout n, on a
µ
(⋃n
An
)= lim
n↑ µ(An) = sup
nµ(An).
(3) Soit (An)n ⊂ T telle que, An+1 ⊂ An pour tout n, on suppose en outre qu'il existe unen0 tel que µ(An0) <∞, montrer que alors on a
µ
(⋂n
An
)= lim
n↓ µ(An) = inf
nµ(An).
(4) On considère l'espace mesurable (N,P(N)) muni de la mesure de comptage µ et onconsidère les ensembles mesurables An = n,n+1, . . . . Montrer que An ↓ ∅ mais qu'onn'a pas convergence décroissante de µ(An) vers µ(∅) = 0. Commenter.
8 2. MESURES
Exercice 2.2. Théorème λπ ou lemme de Dynkin
On rappelle qu'une famille M de parties d'un ensemble E est appelée un λ-système si :i) E ∈ Mii) A, B ∈ M et A ⊂ B =⇒ B \A ∈ Miii) si (An)n est une suite croissante d'éléments de M alors
⋃n
An est dans M.
(1) Soit S ⊂ P(E), montrer que l'on peut dénir, comme pour les tribus, la classe engendréepar S comme étant l'intersection de tous les λ-systèmes contenant S (notée M(S)).
(2) Montrer que M(S) ⊂ σ(S).
(3) On suppose que S est un π-système (i.e. stable par intersections nies) et on dénit lesdeux ensembles suivants :
M1 = A ∈M(S) / A ∩B ∈M(S), ∀B ∈ S,
M2 = A ∈M(S) / A ∩B ∈M(S), ∀B ∈M(S).Montrer que M1 est un λ-système et en déduire que M1 = M(S).Montrer que M2 est un λ-système et que S ⊂M2; en déduire que M2 = M(S).
(4) En déduire le théorème λπ, qui est un résultat très important.
Théorème λπ ou lemme de DynkinSi S est un π-système M(S) = σ(S).
(on remarquera que M(S) est stable par intersections nies).
Exercice 2.3. Lemme de Borel-Cantelli
Soit (Ω,A,µ) un espace mesuré, An une suite de A telle que∑
n∈N µ(An) < +∞. Montrerque µ(lim supAn) = 0.
Exercice 2.4. Construction de la tribu complétée.
Soit (Ω,A,µ) un espace mesuré. On dit qu'une partie N de Ω est µ-négligeable s'il existeA ∈ A tel que N ⊂ A et µ(A) = 0. On désigne par N la famille des parties µ-négligeables. Ondit que (Ω,A,µ) est complète ou que A est complète pour µ si et seulement si : N ⊂ A.
(1) On désigne par Aµ la classe des parties E de Ω telles que :
∃A ∈ A, ∃B ∈ A, tels que A ⊂ E ⊂ B et µ(B −A) = 0.
Montrer que Aµ est une tribu contenant A, égale à la tribu engendrée par les ensemblesde la forme A ∪N où A ∈ A et N ∈ N .
(2) Montrer qu'en posant µ(E) = µ(A) on dénit une mesure sur (Ω,Aµ).
2. MESURES 9
(3) Montrer que µ est la seule mesure prolongeant µ à Aµ et que l'espace (Ω,Aµ,µ) estcomplet. La mesure µ est appelée mesure complétée de µ et l'espace (Ω,Aµ,µ), espacecomplété de (Ω,A,µ).
Exercice 2.5.
(1) Soit Ω un ensemble quelconque, F = P(Ω), a un élément de Ω xé. On dénit µ par :µ(A) = 1A(a).
(a) Prouver que µ est une mesure sur (Ω,F). Cette mesure est appelée mesure de Diracau point a.
(b) Déterminer la classe de µ-négligeables de Ω. Et si F = ∅,Ω?
(c) Expliciter à quelle condition une propriété est vraie µ-presque partout.
(2) On dénit l'application µ : P(N) → [0, +∞], pour tout A ⊂ N, par µ(A) :=∑n∈A
1n2
si
A est ni, avec la convention 10 = +∞, µ(A) = +∞ si A est inni, et µ(∅) = 0.
(a) Montrer que µ est additive, i.e. pour toute suite nie A1, . . . ,An de parties de IN,
deux à deux disjointes, µ
(n⋃
i=1
Ai
)=∑n
i=1 µ(Ai).
(b) Montrer que µ n'est pas une mesure sur (N,P(N)).
Exercice 2.6. Soit (E,d) un espace métrique et µ une mesure positive et nie sur B(E).On dénit sur P(E) les deux applications :
µ∗(A) = infµ(O) / O ouvert, O ⊃ A ∀A ∈ P(E),µ∗(A) = supµ(F ) / F fermé, F ⊂ A ∀A ∈ P(E).
µ∗ et µ∗ sont respectivement appelées mesure extérieure et mesure intérieure associées à µ. Cetteappellation est abusive, car il ne s'agit pas de mesures comme nous allons le voir.
(1) Montrer que µ∗ est croissante et sous σ-additive (i.e. µ∗(⋃
n
An
)≤∑
n
µ∗(An) pour
tous les An deux à deux disjoints dans P(E)) et que µ∗ est croissante et sur σ-additive(i.e ≥ au lieu de ≤).
10 2. MESURES
(2) Montrer que µ, µ∗ et µ∗ sont liées par les relations :
• ∀A ∈ P(E), µ∗(A) + µ∗(E \A) = µ(E)• µ∗ ≤ µ∗ sur P(E)• µ∗ ≤ µ ≤ µ∗ sur B(E)
(3) Soit E = A ∈ P(E) / µ∗(A) = µ∗(A). Montrer que la classe des ouverts O de (E,d)vérie O ⊂ E (utiliser le caractère métrique de E) et au moyen de 1. et 2., montrer queE est stable par passage au complémentaire, intersection nie et limite croissante.
(4) En déduire :
∀A ∈ B(E), µ(A) = supµ(F ),F fermé ⊂ A= infµ(O), O ouvert ⊃ A
∀A ∈ P(E), A µ-négligeable ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃Oε ouvert tel que A ⊂ Oε et µ(Oε) ≤ ε.
(5) Déduire des résultats précédents que µ = µ∗ = µ∗ constitue l'unique mesure positiveprolongeant µ sur la tribu E et que µ est la mesure complétée de µ.
3. FONCTIONS MESURABLES 11
CHAPITRE 3
Fonctions mesurables
QUIZZ (Questions de cours) Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justiezbriévement ou donnez un contrexemple.
(1) Si f et g sont mesurables, alors h := sup(f,g) est mesurable.
(2) Si f est mesurable, |f | est mesurable.
(3) Si |f | mesurable alors f est mesurable.
(4) L'image par une fonction bijective d'une tribu est une tribu.
(5) 1A est une fonction mesurable si et seulement si A est un ensemble mesurable.
Exercice 3.1. On considère l'espace (R,B(R)).
(1) Étant donnée une partie A de B(R), on notera −A l'ensemble des opposés des élémentsde A.
(a) On note A = A ∈ B(R) ; A = −A. Montrer que A est une sous-tribu de B(R).
(b) Les applications suivantes sont-elles A-mesurables : f(x) = ex, g(x) = x3 et h(x) =cos(x)?
(c) Caractériser les applications de R dans R qui sont A-mesurables.
(2) Soit S une partie de R telle que 0 ∈ S, S = −S et S ∈ B(R). On pose C = A∪B ; A ∈A,B ⊂ S, et B ∈ B(R). Montrer que C est une sous-tribu de B(R) contenant A.
(3) Plus généralement, si T est une application bijective mesurable de (Rp,B(Rp)) dans lui-même, montrer que la famille AT des ensembles mesurables invariants par T est unetribu.
(4) Dans le cas où p = 1 et où T est l'application : x 7→ x+ 1, montrer que AT est la tribu
engendrée par les parties de la forme⋃
n∈Z
[a+ n,b+ n[, où 0 ≤ a < b ≤ 1.
Exercice 3.2. Soit (E,T ) un espace mesurable.
12 3. FONCTIONS MESURABLES
(1) Pour toute suite fn de fonctions mesurables à valeurs dans R, on note
f = limn→∞fn = infn∈N
supk≥n
fk
f = limn→∞fn = supn∈N
infk≥n
fk
(a) Montrer que supn∈N
fn et infn∈N
fn sont T − B(R) mesurables.
(b) Montrer que f et f sont T − B(R) mesurables. Établir que f ≥ f .
(c) Montrer que f(x) = f(x) si et seulement si la suite fn(x) converge dans R et que
dans ce cas f(x) = f(x) = limn→∞
fn(x).
(d) Déduire de ce qui précède que la fonction f dene par f(x) = limn→∞
fn(x) si fn(x)
converge et f(x) = 0 sinon est une application T − B(R) mesurable.
(2) Pour toute suite (An)n≥0 d'éléments de T on note :
limn→∞An =⋂n∈N
⋃k≥n
Ak
limn→∞An =⋃n∈N
⋂k≥n
Ak
Montrer que les ensembles limn→∞An et limn→∞An sont dans la tribu T et prouver lesrelations
1limn→∞An= limn→∞1An
1limn→∞An= limn→∞1An
Exercice 3.3. Soit (Ω,F) un espace mesurable.
(1) Déterminer les fonctions mesurables à valeurs réelles lorsque la tribu F est grossière(i.e. F = P(Ω)), puis lorsque la tribu est triviale (i.e. F = ∅,Ω).
(2) Soit (An)n∈I une partition de Ω où I ⊂ N. Caractériser les éléments de la tribu σ(An, n ∈I) engendrée par cette partition lorsque I := 0, I := 0,1, I := 0,1,2 et I := N.
(3) Soit f : Ω → R une fonction σ(An,n ∈ I)-mesurable. Montrer que f est constante surchaque An, en déduire la forme générale des applications mesurables pour I := 0,I := 0,1, I := 0,1,2 et I := N.
Exercice 3.4. Soit f une application de R dans R. Montrer que :
(1) Si f est monotone alors f est B(R)− B(R) mesurable (borélienne).
3. FONCTIONS MESURABLES 13
(2) Si f est dérivable alors f ′ est borélienne.
(3) x ∈ R, où f est continue =⋂
k∈N∗
⋃r∈Q
int
(f−1
(]r − 1
k,r +
1k
[)), où int(A) désigne
l'intérieur de l'ensemble A, i.e. l'ouvert égal à l'union des ouverts inclus dans A. Endéduire que x ∈ R, où f est continue est un borélien.
4. INTÉGRATION DES FONCTIONS POSITIVES, THÉORÈME DE BEPPO-LÉVI ET LEMME DE FATOU 15
CHAPITRE 4
Intégration des fonctions positives, théorème de Beppo-Lévi et
lemme de Fatou
QUIZZ (Questions de cours) Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justiezbrièvement ou donner un contre-exemple.
(1) Si µ est la mesure de comptage sur (N,P(N)), et f une fonction mesurable de N dans
R+, alors∫fdµ n'est autre que
∑n∈N
f(n).
(2) On n'a l'égalité∫
Af(x)dµ(x) =
∫(1A(x)f(x))dµ(x) que si f est étagée positive.
(3) Soit f borélienne positive telle que ∀n ∈ N,f(n) = +∞, alors∫fdλ = +∞, où λ est
la mesure de Lebesgue.
(4) Pour fn suite de fonctions mesurables positives, on a :
0 ≤ lim(∫
fndµ
)≤∫ (
limfn
)dµ ≤ ∞.
(5) Pour toute fonction f borélienne de R dans R+ et toute mesure µ sur (R,B(R)) , la
fonction F (u) =∫ u
af(x)dµ(x) est continue.
Exercice 4.1. (1) Montrer que ν : A ∈ P(N) 7→ card(A) est une mesure σ-nie sur(N,P(N)). On rappelle que cette mesure est appelée mesure de comptage.
(2) (a) Soit (Ω,F ,µ) un espace mesuré et g ∈ M+(Ω,F). Montrer que∫Ω(+∞)gdµ =
(+∞)∫Ω gdµ. (on rappelle la convention 0× (+∞) = 0.)
(b) Soit f ∈M+(N,P(N)). En remarquant que f =+∞∑n=0
f(n)1n, montrer que∫
Nfdν =
+∞∑n=0
f(n).
16 4. INTÉGRATION DES FONCTIONS POSITIVES, THÉORÈME DE BEPPO-LÉVI ET LEMME DE FATOU
(c) En déduire que pour toute famille de réels positifs (xi,j)(i,j)∈N×N, on a :∑i
∑j
xi,j =∑
j
∑i
xi,j .
(3) Déterminer la classe des parties ν-négligeables de N et expliciter à quelle condition unepropriété dépendant de n ∈ N est vraie ν-presque partout dans N.
Exercice 4.2. Soient (Ω,F ,µ) un espace mesuré et A un ensemble mesurable. On dénit
la suite fn de fonctions par fn :=
1A si n est pair,1− 1A si n est impair.
Montrer, en choisissant conve-
nablement Ω,A et µ que l'on peut obtenir soit l'égalité, soit l'inégalité stricte dans le lemme deFatou.
Exercice 4.3. (1) Montrer que, pour tout a et b dans ]0,+∞[, on a :∫R+
te−at
1− e−btdλ(t) =
+∞∑n=0
1(a+ nb)2
où λ est la mesure de Lebesgue sur R+.
(2) Si p et q sont deux réels positifs, montrer que :∫[0,1]
xp−1
1 + xqdλ(x) =
+∞∑n=0
(−1)n
p+ nq
où λ est la mesure de Lebesgue sur [0,1]. En déduire une expression de ln(2) et deπ
4.
Exercice 4.4. Soit f ∈M+(R,B(R),λ) où λ est la mesure de Lebesgue.
(1) Montrer que l'on a∫
[0,1]
(+∞∑
n=−∞f(x+ n)
)dλ(x) =
∫fdλ.
(2) En déduire que si f est λ-sommable, la série+∞∑
n=−∞f(x + n) est convergente pour λ-
presque tout x ∈ R.
(3) L'hypothèse supplémentaire : f est continue sut-elle à assurer le résultat pour toutx ∈ R.
5. INTÉGRALE DE LEBESGUE, THÉORÈMES DE CONVERGENCE ET APPLICATIONS 17
CHAPITRE 5
Intégrale de Lebesgue, théorèmes de convergence et applications
Exercice 5.1. Déterminer lorsqu'elle existe, la limite de chacune des expressions suivantes :
(1) limn→+∞
∫ n
0(lnx)
(1− x
n
)ndx. En déduire lim
n→+∞[lnn− (1 +
12
+ · · ·+ 1n
)].
(2) limn→+∞
∫ 1
0
1 + nx
(1 + x)ndx.
(3) limn→+∞
∫ +∞
0e−n sin2 xf(x)dx où f est une fonction de L1(R+).
(4) limn→+∞
∫ n
0
(1− x
n
)ne
x2 dx.
Exercice 5.2. Soit (Ω,F ,µ) un espace mesuré.
(1) Soit f ∈ L1(µ). Montrer que :
(1) lima→+∞
aµ(|f | > a) = 0.
Montrer que la condition (1) n'est pas susante. (On pourra construire une fonctionvériant la condition (1) qui n'est pas intégrable par rapport à la mesure de Lebesguesur R.)
(2) On suppose µ nie. Montrer que :
f ∈ L1(µ) ⇔∑n≥1
µ(|f | > n) < +∞.
Étudier le cas d'une mesure innie.
Exercice 5.3. Soit (E,T ,µ) un espace mesuré et f de E dans R+ une application mesurablepositive. On suppose que 0 <
∫E f(t)dµ(t) < +∞ et on xe un réel α strictement positif.
Déterminer selon les valeurs de α
limn→∞
∫En log
(1 +
(f(t)n
)α)dµ(t).
Indication : on pourra montrer que si x ≥ 0 et α ≥ 1, 1 + xα ≤ eαx.
18 5. INTÉGRALE DE LEBESGUE, THÉORÈMES DE CONVERGENCE ET APPLICATIONS
Exercice 5.4. Soit (Ω,F ,µ) un espace mesuré et (fn)n∈N une suite de fonctions de L1(µ)vériant :
∑n
‖fn‖1 < +∞.
(1) Montrer que∑
n fn converge p.p. et dans L1 et que :∫ (∑
n
fn
)dµ =
∑n
(∫fndµ
).
(2) Soit f : R → C telle que : ∀a ∈ R,∫
R|f(x)|e|ax|dx < +∞. Montrer que :∫
Rf(u)ezudu =
∑n
zn
n!
∫Runf(u)du.
Exercice 5.5. (1) Montrer que la fonction f : x 7→∫ +∞
0
e−xt
1 + t2dt est dénie pour
tout x ∈ R+ et à valeurs réelles.
(2) Montrer que f est deux fois dérivable sur R+∗ et vérie : ∀x ∈ R+∗,f”(x) + f(x) = 1x .
En déduire f .
Exercice 5.6. Soit f :
R×]0,+∞[→ R
(x,t) 7→ f(x,t) = e−xt sinxx
1]0,+∞[(x).
(1) On note F : t ∈]0, +∞[7→ F (t) =∫
Rf(x,t)dλ(x) où λ est la mesure de Lebesgue sur
R. Montrer que F est bien dénie et continue sur R+∗.
(2) Montrer que F est dérivable sur ]0,+∞[ et calculer sa dérivée.
(3) En déduire F .
Exercice 5.7. Pour x > 0, y > 0, on dénit ϕ(x,y) =∫ ∞
ye−xu2
du.
(1) Montrer que la fonction ϕ :]0,∞[×]0,∞[−→ R est continue.
(2) Montrer que, pour y > 0 xé, la fonction x ∈]0,∞[−→ ϕ(x,y) ∈ R+ est intégrable, etque la fonction
y −→ ψ(y) =∫ ∞
0sin(x)ϕ(x,y)dx
est dénie et continue sur ]0,∞[.
(3) Montrer que ψ est dérivable sur ]0,∞[ ; calculer ψ′ et limy→∞
ψ(y), et en déduire une
expression simple pour ψ.
5. INTÉGRALE DE LEBESGUE, THÉORÈMES DE CONVERGENCE ET APPLICATIONS 19
Exercice 5.8. Inégalité de Jensen et réciproque
(1) Soit µ une mesure de probabilité sur I intervalle de R et θ une fonction convexe sur I.Montrer que pour toute fonction f intégrable telle que f(x) ∈ I on a
∫fdν ∈ I et
θ(∫fdν) ≤
∫θ(f)dν
Dans quel ca y a t'il égalité pour tout f ?
(2) Soit θ une fonction de R dans R telle que pour toute fonction mesurable bornée f de(R,B(R)) dans (R,B(R)), on ait :
θ
(∫[0,1]
fdλ
)≤∫
[0,1](θof)dλ
où λ est la mesure de Lebesgue. Montrer que θ est convexe.
Note. Les exercices 5, 6 et 7 sont sur le même thème, le 5 et le 6 sont faciles, il vaut donc mieuxprivilégier l'exercice 7 en TD.
6. MESURES PRODUIT, THÉORÈME DE FUBINI-TONELLI 21
CHAPITRE 6
Mesures produit, théorème de Fubini-Tonelli
Exercice 6.1. Pour f(x,y) =xy
(x2 + y2)3/2et f(0,0) = 0, calculer :∫ 1
0dx
∫ 1
0f(x,y)dy,
∫ 1
0dy
∫ 1
0f(x,y)dx,
∫ ∫0≤x,y≤1
f(x,y)dxdy.
Exercice 6.2. (1) Soit ∆ la diagonale de R2, i.e. ∆ = (x,y),y = x,x ∈ R,y ∈ R.Montrer qu'elle est mesurable, i.e. que ∆ appartient à la tribu borélienne de R2.
(2) Montrer que si µ est une mesure σ-nie sur R, alors D := x / µ(x) 6= 0 est dénom-brable (on remarquera que D = ∪nx / µ(x) ≥ 1
n).
(3) Soient µi, i = 1,2 deux mesures σ-nies sur R. Établir et justier la formule :
(µ1 ⊗ µ2)(∆) =∑x∈R
µ1(x)µ2(x).
Exercice 6.3. Soit (Ω,B(Ω),λ(2)), où Ω :=]0, +∞[×]a,b[, λ(2) la mesure de Lebesgue, eta et b deux réels strictement positifs, avec a < b. Montrer que l'application f dénie sur Ω par
f(x,y) = e−xy est dans L1 et en déduire l'intégrale :∫ +∞
0
e−ax − e−bx
xdx.
Exercice 6.4. Soient (Ω,F ,µ) un espace mesuré avec µ(Ω) < +∞ et f ∈M+(Ω,F).
(1) (a) Montrer que A := (ω,t) ∈ Ω× R+,f(ω) ≥ t est un élément de F ⊗ B(R+).
(b) On considère sur Ω×R+ la mesure m := µ⊗λ où λ désigne la mesure de Lebesgue
sur R+. En calculant∫
Ω×R+
1Adm de deux façons diérentes, montrer que :∫Ωfdµ =
∫ +∞
0µ(f ≥ t)dt.
(2) On considère l'application H de ω×R+ dans R+ dénie, pour tout (ω,t) ∈ Ω×R+, parH(ω,t) := ntn−11[t,+∞[(f(ω)) où n ∈ N∗ est xé.
(a) Montrer que H est F ⊗ B(R+)-mesurable.
22 6. MESURES PRODUIT, THÉORÈME DE FUBINI-TONELLI
(b) Montrer que, pour tout n ∈ N∗,∫
Ωfndµ =
∫ +∞
0ntn−1µ(f ≥ t)dt.
(3) f et g étant deux éléments deM+(Ω,F), en considérant l'application F de Ω×R+×R+
dans R dénie pour tout (ω,s,t) ∈ Ω× R+ × R+ par :
F (ω,s,t) := 1[t,+∞[(f(ω))1[s,+∞[(g(ω)),
montrer que : ∫Ωfgdµ =
∫(R+)2
µ(f ≥ t ∩ g ≥ s)dλ(2)(s,t).
7. MESURE IMAGE, CHANGEMENT DE VARIABLES, THÉORÈME DE FUBINI-LEBESGUE 23
CHAPITRE 7
Mesure image, changement de variables, théorème de
Fubini-Lebesgue
Exercice 7.1. Pour chacune des fonctions f suivantes, calculer :∫ 1
0dx
∫ 1
0f(x,y)dy,
∫ 1
0dy
∫ 1
0f(x,y)dx,
∫ ∫0≤x,y≤1
|f(x,y)|dxdy.
(1) f(x,y) =x2 − y2
(x2 + y2)2,
(2) f(x,y) =(x− 1
2
)−3
si 0 < y < |x− 12 | et 0 sinon.
(3) f(x,y) =x− y
(x2 + y2)3/2.
Exercice 7.2. (1) Montrer que∫
[0,1]2
dxdy
1− xy=∑n≥1
1n2
.
(2) En faisant le changement de variables x =u+ v√
2, y =
u− v√2
, montrer que∑n≥1
1n2
=π2
6.
Exercice 7.3. Soit Γ(a) =∫ +∞
0e−tta−1dt et B(a,b) =
∫ 10 t
a−1(1− t)b−1dt, a,b > 0.
(1) Montrer que ces intégrales sont nies et que Γ(a)Γ(b) = 4∫
(R+)2e−(u2+v2)u2a−1v2b−1dudv.
(2) Montrer que B(a,b) =Γ(a)Γ(b)Γ(a+ b)
.
Exercice 7.4. Soit n ∈ N∗, on note bn le volume de la boule-unité de Rn, i.e. bn := λ(n)(Bn)où λ(n) est la mesure de Lebesgue sur Rn et
Bn := (x1, . . . ,xn) ∈ Rn;x21 + . . . x2
n ≤ 1.
24 7. MESURE IMAGE, CHANGEMENT DE VARIABLES, THÉORÈME DE FUBINI-LEBESGUE
(1) Que valent b2, b3?
(2) (a) Etablir une relation de récurrence entre bn et bn−2, pour tout n ≥ 3, en remarquantque x2
1 + · · ·+ x2n ≤ 1 équivaut à x2
1 + x22 ≤ 1 et x2
3 + · · ·+ x2n ≤ 1− x2
1 − x22.
(b) En déduire l'expression de bn pour tout entier n ≥ 2.
Exercice 7.5. (1) Montrer que les applications f et g dénies sur R2 par f(x,y) :=e−(x2+y2) et g(x,y) := e−(x2+2xy+2y2) sont intégrables sur R2 et calculer leur intégrale.
(2) Montrer que∫ +∞
−∞e−x2
dx =√π.
(3) Plus généralement, soit q une forme quadratique réelle dénie positive sur Rn où n ∈ N∗.
(a) Justier l'existence d'une base E de Rn orthonormée relativement à q et telle que,pour tout n-uplet x = (x1, . . . ,xn) ∈ Rn de composantes u1, . . . ,un dans la base E ,
q(x) =n∑
i=1
u2i .
(b) Montrer que∫
Rn
e−q(x1,...,xn)dx1 . . . dxn =(
πn
det(q)
) 12
, où det(q) désigne le déter-
minant de la matrice de la forme quadratique q dans la base canonique de Rn.
Exercice 7.6. Pour r > 0, on pose : mr(A) =∫
1Ae−xxrdx, A ∈ B([0,+∞[).
(1) Montrer que mr est une mesure nie sur [0,+∞[, calculer mr([0,+∞[) et∫xsdmr(x)
pour s ∈ R.
(2) Pour r > 0 et s > 0, on note µ = mr⊗ms. Si T1 :
[0,+∞[2 → [0,+∞[(x,y) → x+ y
, calculer
T1µ.
(3) Si T :
[0,+∞[2 → [0,+∞[×[0,1](x,y) → (x+ y, x
x+y ) , calculer Tµ.
(4) Montrer que Tµ = T1µ⊗ m, et calculer m([0,1]).
Exercice 7.7. Soient I, J deux intervalles de R et T : I → J avec T−1 ∈ C1. Si f :(I,B(I)) → (R,B(R)) est mesurable, on note mf la mesure sur (I,B(I)) de densité f par rapportà la mesure de Lebesgue. Montrer que Tmf est la mesure sur (J,B(J)) de densité f(T−1)|(T−1)′|par rapport à la mesure de Lebesgue.
8. ESPACES Lp 25
CHAPITRE 8
Espaces Lp
Exercice 8.1. Soit p ∈]1,+∞[. On dénit les fonctions sur R : fp(x) = x− 1
p 1]0,1[(x), gp(x) =
x− 1
p 1]1,+∞[(x), hp(x) = (x(1 + ln2 x))−1p 1]0,1[(x), lp(x) = (x(1 + ln2 x))−
1p 1]1,+∞[(x). Donner,
pour ces fonctions et à l'aide de p, les valeurs de q pour lesquelles elles appartiennent à Lq.
Exercice 8.2. Soit (Ω,F ,µ) un espace mesuré et f une application de Ω dans R, mesurable,
telle que ‖f‖∞ > 0. On considère la fonction ϕ de [1,+∞[ dans R+dénie par ϕ(p) =
∫Ω |f |
pdµ.On note Ef = p ≥ 1 : ϕ(p) < +∞.
(1) Montrer que Ef est un intervalle de R.
(2) Montrer que lnϕ est une fonction convexe dans l'intérieur de Ef et donc que ϕ est
continue suroEf .
(3) Montrer que pour tout intervalle I inclus dans [1,+∞[, il existe une application f telleque I = Ef (on pourra utiliser les fonctions de l'exercice précédent).
(4) Montrer que pour 1 ≤ r < p < s < +∞, on a ‖f‖p ≤ max(‖f‖r,‖f‖s) et que Lr(µ) ∩Ls(µ) ⊂ Lp(µ).
Exercice 8.3. Soit (Ω,F ,µ) un espace mesuré ni. Montrer que pour 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞, ona L∞ ⊂ Lq ⊂ Lp ⊂ L1 . Montrer par un exemple que l'hypothèse µ(Ω) < +∞ est nécessaire.
Exercice 8.4. Soit 1 < p < +∞ et (fn) une suite de Lp(µ) qui converge µ-presque partoutvers f . Montrer :
limn→+∞
‖fn − f‖p = 0 ⇔ limn→+∞
‖fn‖p = ‖f‖p.
(On pourra appliquer le lemme de Fatou à une suite convenablement choisie.)
Exercice 8.5. Soient 1 < p < +∞. A toute fonction f de LpR(R+), on associe la fonction
F dénie sur R∗+ par F (x) = 1
x
∫ x0 f(t)dt.
(1) Justier la dénition de F et montrer que toute f de CK(R∗+,R+), K ⊂ R∗
+ (supportcompact) vérie l'inégalité :
(2)∫ +∞
0F (x)pdx ≤ p
p− 1
∫ +∞
0f(x)F (x)p−1dx
26 8. ESPACES Lp
et l'inégalité de Hardy
(3) ‖F‖p ≤p
p− 1‖f‖p.
(2) Montrer que toute fonction f de LpR(R+) vérie (2) et (3).
(3) Montrer que l'inégalité de Hardy est satisfaite par toute fonction f de LpR+
(R+).
(4) Montrer que g vérie l'égalité dans l'inégalité de Hardy si g = 0 λ-p.p..
(5) Montrer que la constantep
p− 1est optimale dans l'inégalité de Hardy.
(6) Étudier les cas p = 1, p = ∞.