exemplos de solucao metodo das forcas
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8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
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Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 161
5.5. Exemplos de solução pelo Método das Forças
Exemplo 01
Determine pelo Método das Forças o diagrama demomentos fletores do quadro hiperestático ao lado.Somente considere deformações por flexão. Todasas barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 105
kNm2.
X 1 X 1
X 2
Sistema Principal e Hiperestáticos(g=2)
M 0
Caso (0) – Solicitação externa isoladano SP
X 1=1
X 1=1
1/6
1/6
1/6
1/6
1/4
1/4
1/41/4
M 1 . X 1
Caso (1) – X 1 isolado no SP
X 2=1
1/4
M 2
1/4
. X 2
Caso (2) – X 2 isolado no SP
Equações de Compatibilidade
−=
+=⇒
=
+
kNmX
kNmX
X
X
82.45
10.8
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δ δ
δ δ
δ
δ
EI EI
546361
31
691311
10 −=
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ
EI EI
3366721
21
436161
4721311
20 +=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ
EI EI 3
20611
3
12411
3
12
111 +=
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ
01221 == δ δ
EI EI 322
611411311
22 +=
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ
Diagrama de Momentos Fletores M = M 0 + M 1· X 1 + M 2· X 2
M
(kNm)
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8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
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162 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Exemplo 02
Considere as duas estruturas mostradas abaixo. A da esquerda é um quadro isostático e a da direita é umquadro hiperestático. Os dois quadros sofrem a mesma solicitação: uma força horizontal de 50 kN aplicadano apoio da direita e um recalque desse mesmo apoio de 6 mm para baixo. Todas as barras têm um materialcom módulo de elasticidade E = 1,0 x 108 kN/m2 e seções transversais com momento de inércia I = 1,0 x 10-3
m4
. Considere válida a hipótese de pequenos deslocamentos.
Pede-se:(a) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática.(b) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Deve-se utilizar o Método das
Forças, adotando OBRIGATORIAMENTE como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda.Somente considere deformações por flexão.(b.1) Dê a intepretação física do termo de carga δ 10 do sistema de equações de compatibi-
dade do Método das Forças para esta solução.(b.2) Mostre a dedução do termo de carga δ 10 pelo Princípio das Forças Virtuais.
(c) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma commomento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda sem fazer nenhum cálculo:(c.1) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que?(c.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que?
Item (a)
M
(kNm)
ρ = 0.006m
Como a estrutura é isostática, o “pequeno”recalque de apoio não provoca deformações(só movimento de corpo rígido). Portanto, orecalque não provoca momentos fletores, quesó são devidos à carga de 50 kN aplicada.
Item (b)Caso (0) – Solicitação eterna isolada no SP
Idêntico ao item (a).
X 1=1
1/3
M 1
. X 1
Caso (1) – X 1 isolado no SP
1/3
Item (b.1) – Equação de compatibilidade011110 =⋅+ X δ δ 10δ é a rotação da seção do apoio da esquerda no caso (0)
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8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
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Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 163
Item (b.2) – Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV)
Sistema Real(Estrutura da qual se quer calcular o desloca-mento.)É o caso (0), que é idêntico ao item (a).
Sistema Virtual(Estrutura com força unitária virtual na dire-ção do deslocamento que se quer calcular.)É o caso (1) com 11 =X .
PFV : U W E
=
→EW Trabalho das forças externas do sistemavirtual com os correspondentes deslocamentosexternos do sistema real.Neste caso, o trabalho externo virtual é igualao produto de 11 =X por 10δ mais o produtoda reação vertical no apoio direito do caso (1) –força de 1/3 para baixo – pelo recalque de a-poio ρ :
ρ δ ⋅+⋅= )3/1(1 10EW .
→U Energia de deformação interna virtual.Esta é a energia de deformação por flexãoprovocada pelos momentos fletores do sistemavirtual 1 M M = com as correspondentes rota-ções relativas internas do sistema real
dxEI M d )/( 0=θ . Deve ser observado que orecalque de apoio ρ não provoca deforma-ções internas (só provoca movimento de corporígido). Portanto, θ d é somente devido à car-ga de 50 kN aplicada. Assim:
dxEI M M d M d M U
estruturaestruturaestrutura∫ ∫ ∫ === 011 θ θ
Assim: ρ δ ⋅−⋅= ∫ )3/1()/1(
.0110 dx M M EI
estrut
006.031
2100121
31001211
10 ⋅
−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=
EI δ
radx 310 105.4 −
−=δ
kNmradxEI
/103211311311 5
11−
+=
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ
kNmX X 1500 111110 =⇒=⋅+δ δ
Diagrama de Momentos Fletores M = M 0 + M 1· X 1
M
(kNm)
Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e rea-ções, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equaçõesde equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. Portanto, o diagramade momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção transversal das colu-nas.Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidezrelativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da vigassão menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, se aproximando do caso de uma vigacom extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação
do momento de inércia da seção transversal das colunas.
Exemplo 03
Determine pelo Método das Forças o diagrama demomentos fletores do quadro hiperestático ao lado.Somente considere deformações por flexão. Todasas barras têm a mesma inércia à flexão EI = 4,0 x 104 kNm2.
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164 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperestático X 1 isolado no SP
M 1 x X 1
Caso (2) – Hiperestático X 2 isolado no SP
x X 2
Equações de compatibilidade:
=++
=++
00
22212120
21211110
X X
X X
δ δ δ
δ δ δ
=
⋅
+−
−+⋅+
−
−⋅⇒
00
822101
1141561
2
1
X
X
EI EI
+=
+=⇒
kNm1,19
kNm4,19
2
1
X
X
EI EI
1566241
31
69132
6241211
10 −=
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ
EI EI
1146361
31
636131
69131
6241311
20 −=
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ
EI EI
10611
31
611611311
11 +=
⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ
EI EI
2611
311
2112 −=
⋅⋅⋅−⋅== δ δ
EI EI
8611
31
41
22 +=
⋅⋅⋅⋅⋅=δ
Momentos Fletores Finais:
22110 X M X M M M ⋅+⋅+=
M 2
[kNm]
M 0
Sistema Principal eHiperestáticos
SP
X 1
X 1 X 2 X 2
X 1 = 1
X 1 = 1
1/6 1/6
X 2 = 1
X 2 = 1
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/61/6
1/6
[kNm]
M
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Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 165
Exemplo 04
Considere os quatro pórticos mostrados abaixo. Os pórticos do lado esquerdo são isostáticos e os do ladodireito são hiperestáticos. Os pórticos superiores têm como solicitação uma carga uniformemente distribuí-da aplicada na viga. As duas estruturas inferiores têm como solicitação um aumento uniforme de tempera-tura (∆T = 12 °C) na viga. Todas as barras têm um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e
coeficiente de dilatação térmica α = 10–5
/°C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inér-cia I = 1,0 x 10–3 m4.
Pede-se:(a) Indique os aspectos das configurações deformadas (amplificadas) das quatro estruturas.(b) Determine os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas e os aspectos (não precisa dos
valores numéricos) dos diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas.(c) Determine o diagrama de momentos fletores (com valores numéricos) da estrutura hiperestática infe-
rior (solicitada pela variação de temperatura). Deve-se utilizar o Método das Forças, adotando obriga-toriamente como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Somente considere deforma-ções por flexão. Sabe-se que o alongamento relativo interno de um elemento infenitesimal de barradevido a uma variação uniforme de temperatura é du = α ∆T dx. Neste caso não existe rotação relativainterna do elemento infinitesimal.
(d) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma commomento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda:(d.1) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que?(d.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que?
Item (a)
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166 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Item (b)
M
[kNm]
M
[kNm]
M=0 M
[kNm]
(veja solução abaixo)
Item (c)Caso (0) – Variação de temperatura no SP
δ 10 M 0=0
mLT 5510 107261210 −−
⋅+=⋅⋅=⋅∆⋅=α δ
Equação de compatibilidadekN X X 10 111110 −=⇒=⋅+δ δ
Momentos fletores finais (veja acima)
11110 )1(0 M M X M M M −=−⋅+=⋅+=
X 1 = 1
Caso (1) – Hiperestático X 1 isolado no SP
M 1
. X 1
X 1 = 1
δ 11
( )
⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 6333333
12
12111
EI dx
EI
M δ
kN m/1072 511−
⋅+=δ
Item (d.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e rea-ções, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as equaçõesde equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura.Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seçãotransversal das colunas.No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fleto-res indicado no item (a) (diagrama parabólico no viga). No caso da variação de temperatura, a estrutura i-sostática terá sempre momentos fletores nulos.
Item (d.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigi-dez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades daviga são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, se aproximando do caso de umaviga com extremidades engastadas.Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seçãotransversal das colunas.No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá como o mesmo aspecto do diagrama demomentos fletores indicado no item (a), mas os valores ficam alterados em relação ao diagrama com viga ecolunas com mesma seção transversal.
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Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 167
A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças, para a solicitação de variação uniforme detemperatura na viga, demonstra que a os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relati-vos entre momentos de inércia das seções transversais barras:O caso (0) mostrado no item (c) permanece inalterado,isto é:
mLT 5510 107261210 −−
⋅+=⋅⋅=⋅∆⋅=α δ .
O diagrama de momentos fletores M 1 do item (c) é omesmo, mas o valor do coeficiente de flexibilidade ficaalterado:
[ ]
⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 333
31
21
6331
11colunaviga EI EI
δ
kN m/10631091054 55511−−−
⋅=⋅+⋅=δ Equação de compatibilidade
kN X X 780 111110 −=⇒=⋅+δ δ
Momentos fletores finais
( 781110 −⋅=⋅+= M X M M M
M
[kNm]
8/78/7
24/7
24/7 24/7
24/7
Exemplo 05
Determine pelo Método das Forças o diagrama demomentos fletores do quadro hiperestático ao lado.Somente considere deformações por flexão. Todasas barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 105 kNm2.
Sistema Principal e Hiperestáticos
(g = 2)
X 1
X 1 X 2 X 2
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M 0
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Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 169
X 1
X 1
X 2
Sistema Principal e Hiperestáticos(g=2)
X 2
Momentos Fletores Finais
M
M = M 0 + M 1·X 1 + M 2·X 2
[kNm]
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M 0
X 1=1
M 1 . X 1
Caso (1) – X 1 isolado no SP
1/3
1/3
1/3
1/3
1/31/3
X 1=1
X 2=1
M 2. X 2
Caso (2) – X 2 isolado no SP
1/3
X 2=1
1/31/3
1/3
1/3 1/3
1/3
1/31/3
1/3
Equações de Compatibilidade
−=
−=⇒
=
+
kNmX
kNmX
X
X
1.52
5.20
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δ δ
δ δ
δ
δ
EI EI
3783361
21
336121
31801211
10 +=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ
EI EI
405
39131
336131
3361313361213180121120 +=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅=δ
EI EI
7311
31
3113111
11 +=
⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=δ
EI EI 2
9
3112
1
311
12112 +=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== δ δ
EI EI
6311
31
33111
22 +=
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ
-
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170 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Exemplo 07
Para a viga contínua com dois vãos mostrada abaixo pede-se o diagrama de momentos fletores utilizando oMétodo das Forças. As seguintes solicitações atuam na estrutura concomitantemente:· Uma carga concentrada de 40 kN no centro de cada vão.· Aquecimento das fibras superiores da viga de ∆T s = 50 °C ao longo de toda a sua extensão (as fibras
inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, ∆T i = 0 °C).
· Recalque vertical (para baixo) de 3 cm do apoio direito.
Sabe-se:(a) A viga tem um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica
α = 10–5 /°C.(b) A viga tem seção transversal com área A = 1,0 x 10–2 m2 e momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4. A altu-
ra da seção transversal é h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura.(c) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infi-
nitesimal de barra éduT = α ∆T CG dx,sendo ∆T CG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal.
(d) O rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal debarra é
( )dx
h
T T d siT
∆∆α θ
−= .
X 1 Sistema Principal e Hiperestático(g=1) X 1 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M 0 [kNm]
Como o Sistema Principal é isostático, a variação de tempe-ratura e o recalque de apoio só provocam deslocamentos(não provocam esforços internos). Portanto, os momentosfletores só são devidos às cargas de 40 kN aplicadas.
X 1=1
M 1
. X 1
Caso (1) – X 1 isolado no SP
1/3
X 1=11/6 1/6
Equação de compatibilidade011110 =⋅+ X δ δ
10δ é a rotação relativa entre as seçõesadjacentes à rótula introduzida na cria-ção do Sistema Principal no caso (0).
11δ é a rotação relativa entre as seçõesadjacentes à rótula introduzida na cria-ção do Sistema Principal devido a
11 =X no caso (1).
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8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
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Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 171
Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) Sistema Real(Estrutura da qual se quer calcular a rotação relativa.)É o caso (0).
Sistema Virtual(Estrutura com momentos unitários virtuais na di-reção da rotação relativa que se quer calcular.)É o caso (1) com 11 =X .
PFV : U W E =
→EW Trabalho das forças externas do sistema virtualcom os correspondentes deslocamentos externos dosistema real.Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produ-to de 11 =X por 10δ mais o produto da reação verticalno apoio direito do caso (1) – força de 1/6 para baixo –pelo recalque de apoio:
)03.0()6/1(1 10 −⋅−+⋅= δ EW .
⇒=U W E
∫ ∫ ⋅−∆−∆⋅+= 03.061)( 10110 dx M
hT T dx
EI M M siα δ
EI
EI
18003.0
61
0.1621
260.0
)50(
3600.161
3605.031
3605.031
21
10
−=⋅−
⋅⋅−⋅⋅
−⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅=
α
δ
EI EI
460.10.1
31
21
11 +=
⋅⋅⋅⋅⋅=δ
kNmX X 450 111110 =⇒=⋅+δ δ
Momentos Fletores Finais M M = M 0 + M 1·X 1
[kNm]
→U Energia de deformação interna virtual.(Despreza-se a energia de deformação por cisalha-mento e, como o esforço normal no caso (1) é nulo, aenergia de deformação axial é nula.)Portanto, a energia de deformação é somente devi-da à flexão, isto é, é a energia (virtual) provocada
pelos momentos fletores do sistema virtual 1 M M = com as correspondentes rotações relativas internasdo sistema real θ d .A rotação relativa interna real no caso (0) é devidaàs cargas de 40 kN aplicadas e devida à variação de
temperatura:T P ddd θ θ θ +=
Sendo,
dxEI M d P )/( 0=θ e
dxhT T d siT ]/)([ ∆−∆⋅= α θ
Deve ser observado que o recalque de apoio nãoprovoca rotação relativa interna (só provoca movi-mento de corpo rígido).Assim:
∫ ∫ ∫ ∫ +===estrutura
T
estrutura
P
estruturaestrutura
d M d M d M d M U θ θ θ θ 111
∫ ∫ ∆−∆⋅⋅
+⋅
= dxh
T T M dx
EI
M M U si )(101 α
Exemplo 08
Determine pelo Método das Forças o diagrama de
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado.Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI =4.0x104 kNm2. Somente considere deformações porflexão.
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8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
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172 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Sistema Principal eHiperestáticos
X 2
X 2 X 1 X 1
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
[kNm]
M 0
Caso (1) – Hiperestático X 1 isolado no SP
M 1 x X 1
X 1 = 1
X 1 = 1
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
1/3
2
Caso (2) – Hiperestático X 2 isolado no SP
M 2
x X 2
X 2 = 1
X 2 = 1
1/6
1 1/3
1/6
1/3
1/6
1/3
1/3
1/6
1/3
1/3
1/6
1/6
Sistema de Equações de Compatibilidade
+=
−=⇒
=
+
kNmX
kNmX
X
X
3.24
6.48
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δ δ
δ δ
δ
δ
EI EI
936391
31
39131
372131
372221
32162211
10 +=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ
EI EI
486391
31
39131
372131
372121
32161211
20 −=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ
EI EI
16311
31
43221
11 +=
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ
EI EI 213311613113131212112 −=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅== δ δ
EI EI
7611
31
31131
23111
22 +=
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ
Momentos fletores finais
22110 X M X M M M ++=
[kNm]
M
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
13/32
Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 173
Exemplo 09
Considere a estrutura hiperestática abaixo, onde também está indicado o seu diagrama de momentos fleto-res. Todas as barras têm a mesma inércia a flexão EI e pode-se considerar que não existem deformações axi-ais e de cisalhamento nas barras.
M [kNm]
Pede-se:Item (a)
Determine um possível sistema principal (Método das Forças) para o quadro acima. As incógnitas(hiperestáticos) também devem ser indicadas. Mostre a decomposição do sistema principal em qua-dros isostáticos simples (tri-articulados, bi-apoiados ou engastados e em balanço).
Item (b)Considerando o sistema principal encontrado no item anterior, indique os casos básicos – caso (0), ca-so (1), caso (2), etc. – utilizados para análise da estrutura pelo Método das Forças. Determine os dia-gramas de momentos fletores para todos os casos básicos.
Item (c)Escreva literalmente (somente símbolos, sem números) o sistema de equações finais da solução destaestrutura pelo Método das Forças. Escolha uma destas equações e indique as expressões numéricasenvolvidas nos cálculos de cada um dos coeficientes da equação escolhida. Não é preciso completar ascontas para calcular os coeficientes. Indique que tipo de condição que esta equação está impondo. In-dique as interpretações físicas e unidades de todos os coeficientes que aparecem na equação escolhida.
Item (d)Com base no diagrama de momentos fletores fornecido para a estrutura hiperestática e no sistemaprincipal escolhido, determine os valores das incógnitas (hiperestáticos) que resultariam da solução daestrutura pelo Método das Forças. Demonstre que a superposição dos casos básicos, considerando osvalores dos hiperestáticos encontrados, resulta no diagrama de momentos fletores fornecido.
Item (a)
X 1
X 1
X 2
Sistema Principal e Hiperestáticos(g=3)
X 2
X 3
X 1
X 1
X 2
X 2
X 3
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
14/32
174 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Item (b)Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M 0
X 1=1
M 1
. X 1
Caso (1) – X 1 isolado no SP
1/3
X 1=1
1/3
1/3
1/3
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6 1/6
X 2=1
M 2
. X 2
Caso (2) – X 2 isolado no SP
X 2=1
1/3
1/3
1/3 1/3
1/31/3
X 3=1 M 3
. X 3
Caso (3) – X 3 isolado no SP
1/3 1/3
Item (c)Equações de Compatibilidade
=
+
0
0
0
3
2
1
333231
232221
131211
30
20
10
X
X
X
δ δ δ
δ δ δ
δ δ δ
δ
δ
δ
Considere a primeira equação deste sistema:Esta equação impõe uma condição de compatibilidade interna: a rotação relativa entre asseções adjacentes à rótula associada a X 1 é nula, isto é, no ponto onde foi introduzida a
rótula a rotação da elástica é contínua.
Termo de carga δ 10 [rad] → rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada aX 1 devida à solicitação externa no caso (0):
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅= 3725.0
31
31325.031
3725.031
31925.031
360131
6361311
10EI
δ
Coeficiente de flexibilidade δ 11 [rad/kNm] → rotação relativa entre as seções adjacentes àrótula associada a X 1 devida a X 1 = 1:
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 35.05.0
31
431131
2611311
11EI
δ
Coeficiente de flexibilidade δ 12 [rad/kNm] → rotação relativa entre as seções adjacentes àrótula associada a X 1 devida a X 2 = 1:
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
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-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
16/32
176 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Pede-se:Item (a): Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática.Item (b): Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática.Item (c): Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma com
momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda:(c.1) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que?
(c.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que?
Item (a)
M [kNm]
Item (b)
X 1
Sistema Principal eHiperestático (g=1)
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M 0 δ 10
X 1=1 M 1
. X 1
Caso (1) – X 1 isolado no SP
1X 1=11
δ 11
N 1= +1
N 1= 0
N 1= 0
Equação de compatibilidade011110 =⋅+ X δ δ
Sendo T q 101010 δ δ δ += :
→q10δ deslocamento horizontal da seção do
apoio da direita devido à carga distribuída nocaso (0).
→T 10δ deslocamento horizontal da seção do
apoio da direita devido à variação detemperatura no caso (0).
mEI
dxEI M M q 501
10 108646723321 −⋅+=
⋅⋅⋅== ∫ δ
∫ ∫ +=viga
T
viga
T T duN d M 1110 θ δ
( )dxdx
h
T T d siT
380⋅
=∆−∆⋅
= α α
θ
dxdxT du GC T
⋅⋅=⋅∆⋅= 8α α
∫ ∫ ⋅+⋅
=
vigaviga
T dxN dx M 1110 8380
α α
δ
mT 510 1052816836380 −⋅+=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= α α δ
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
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-
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18/32
178 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Sistema Principal e Hiperestáticos
(g = 2)
X 1X 1 X 2 X 2
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M 0
X 1 = 1X 1 = 1
Caso (1) – Hiperestático X 1 isolado no SP
M 1 . X 1
1/31/3
1/3
1/3
X 2 = 1
Caso (2) – Hiperestático X 2 isolado no SP
M 2 . X 2
X 2 = 1
1/61/6
1/6
1/6
1/61/6
1/31/3
1/3 1/3
Equações de Compatibilidade
−=
+=⇒
=
+
kNmX
kNmX
X
X
8.43
6.14
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δ δ
δ δ
δ
δ
EI EI
2703181
31
672121
3721311
10 −=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ
EI EI 270
318131
672131
372131
31805.03131805.031
3365.031
3365.031
120 +=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅=δ
EI EI
8311
31
611311311
11 +=
⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ
EI EI 27
31161
61121
311311
2112 −=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅== δ δ
EI EI
5611
31
31131
235.05.031
41
22 +=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ
Momentos Fletores Finais
M
M = M 0 + M 1·X 1 + M 2·X 2
[kNm]
-
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Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 179
Exemplo 12
Determine pelo Método das Forças o diagrama demomentos fletores do quadro hiperestático ao lado.Somente considere deformações por flexão. Todasas barras têm a mesma inércia à flexão EI = 2,4 x 104 kNm2.
X 1
X 1
X 2
Sistema Principal e Hiperestáticos(g=2)
X 2
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M 0
M 1
. X 1
Caso (1) – X 1 isolado no SP
1/6
1/6
1/6
1/4
1/4
1/6
X 1=1X 1=1
M 2
. X 2
Caso (2) – X 2 isolado no SP
X 2=1
X 2=1
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
Equações de Compatibilidade
+=
−=⇒
=
+
kNmX
kNmX
X
X
6,60
0,13
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δ δ
δ δ
δ
δ
EI EI 280
645131
4120131
612012
1
63012
1
63013
1
110 −=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅=δ
EI EI
43041201
31
6120121
6301211
20 −=
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ
EI EI 338
41131
2
61161131
21
11 +=
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅
⋅=δ
EI EI 322
41131
6111
2112 +=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== δ δ
EI EI 326
41131
26111
22 +=
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ
Momentos Fletores Finais
M
M = M 0 + M 1·X 1 + M 2·X 2
[kNm]
-
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-
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21/32
Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 181
PFV : U W E =
→EW Trabalho das forças externas do sistemavirtual com os correspondentes deslocamentosexternos do sistema real.Neste caso, o trabalho externo virtual é igualao produto de 1
1 =X por
10δ mais o produto
da reação vertical no apoio esquerdo do caso(1) – força de 1/4 para cima – pelo recalque deapoio:
ρ δ ⋅+⋅= AE V W 101
)01,0()4/1(1 10 −⋅++⋅= δ EW
→U Energia de deformação interna virtual.O recalque de apoio não provoca deformaçõesinternas (só provoca movimentos de corporígido das barras). Portanto:
0=U
⇒=U W E 0)01,0()4/1(10 =−⋅++δ 3
10 105,24/01,0 −
⋅+==∴δ rad
Momentos Fletores Finais
M
M = M 0 + M 1·X 1
[kNm] M 0 = 0 X 1 = –7,65
Exemplo 14
Determine pelo Método das Forças o diagrama demomentos fletores do quadro hiperestático ao lado.Somente considere deformações por flexão. Todasas barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 104 kNm2.
X 1
X 1 X 2
Sistema Principal e Hiperestáticos(g=2)
X 2
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M 0
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
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182 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
M 1 . X 1
Caso (1) – X 1 isolado no SP
1/3
1/6
X 1=1
X 1=1 1/3 1/31/3
1/6
1/6
1/6
1/6 1/6
. X 2
Caso (2) – X 2 isolado no SP
M 2
1/3X 2=1
X 2=1
1/3 1/3
1/3
1/6
1/6
1/6
1/6
Equações de Compatibilidade
−=
+=⇒
=
+
kNm5,21
kNm8,6
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
X
X
X
X
δ δ
δ δ
δ
δ
EI EI
147
36131
36121
660131
318131
360131
110 −=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅=δ
EI EI
156361
31
660131
318131
3601311
20 +=
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ
EI EI
9
311311312
61131
21
11 +=
⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅
+
⋅⋅⋅⋅
⋅=δ
EI EI
4611
31
31131
21
2112 −=
⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅== δ δ
EI EI
6311
31
261131
21
22 +=
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅⋅=δ
Momentos Fletores Finais
M = M 0 + M 1·X 1 + M 2·X 2
M
[kNm]
Exemplo 15Utilizando o Método das Forças, determine o dia-grama de esforços normais para a treliça hiperestáti-ca ao lado submetida ao carregamento indicado e aum aumento uniforme de temperatura de 50 °C emtodas as barras. Todas as barras têm o mesmo valorpara a inércia axial EA = 1,0 x 105 kN e para o coefi-ciente de dilatação térmica α = 1,0 x 10 -5 /°C. Sabe-se que o deslocamento axial relativo interno parauma variação uniforme de temperatura T é igual a:duT = α Tdx.
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
23/32
Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 183
X 1
Sistema Principal e Hiperestáticos(g=1)
Caso (0) – Solicitação externa isolada
N 0
(N 0 só é devido à carga de50 kN pois a variação detemperatura não provocaesforços no SP isostático )
+25
225-
+25
225-0
no SP
N 1. X 1
Caso (1) – X 1 isolado no SP
X 1=11 +1 +1
00
0
Equação de Compatibilidade
011110 =+ X δ δ
Termo de carga: T P 101010 δ δ δ +=
→P10δ deslocamento horizontal no
apoio da direita devido à carga P =
50 kN no caso (0).→
P10δ deslocamento horizontal no
apoio da direita devido à variaçãouniforme de temperatura T = 50 °Cno caso (0).
( )[ ]EAEA
dxEA
N N
estrutura
P 20042512101
10 +=⋅⋅⋅⋅== ∫ δ
( )[ ] α α α α δ 4004125050 11110 +=⋅⋅⋅=⋅=== ∫ ∫ ∫ dxN TdxN duN estrutura
T T
( )[ ]EAEA
dxEAN
estrutura
84112121
11 +=⋅⋅⋅⋅== ∫ δ
kN75
010810)400200(
/101kN101
1
155
55
−=∴
=⋅+⋅+⇒
⋅=⋅=
−−
−
X
X
C EA α
Esforços Normais Finais
N = N 0 + N 1·X 1
N
[kN]
–50
225-
–50
225-
0
Exemplo 16
Determine pelo Método das Forças o diagrama demomentos fletores do quadro hiperestático ao lado.Somente considere deformações por flexão. Todasas barras têm a mesma inércia à flexão EI = 9,6 x 104
kNm2
.
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
24/32
184 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
X 1 X 1
X 2
X 2
Sistema Principal eHiperestáticos (g=2)
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M 1
x. X 1
Caso (1) – X 1 isolado no SP
1/6
X 1=1
1/3
1/6
X 1=1
1/3
1/3
1/3 1/3
1/3
1/6
1/6
1/61/6
1
M 2
Caso (2) – X 2 isolado no SP
X 2=1
X 2=1
1/3
1/6
1
1/6
1/6
1/61/3
1/3
1/3 1/3
1/3
Equações de compatibilidade:
−=
+=
⇒
=
+
kNm7,29
kNm6,60
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
X
X
X
X
δ δ
δ δ
δ
δ
EI EI
528
318012
13601
2
1
36013
16541
3
1
110 −=
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅=δ
EI EI
42031801
2
13601
2
13601
3
1120 +=
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ
EI EI
7311311
3
1311
3
1611
3
1111 +=
⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ
EI EI 2
7311311
3
1311
6
112112 −=
⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅== δ δ
EI EI
7311311
3
1611
3
1311
3
1122 +=
⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ
Momentos fletores finais:
M = M 0 + M 1·X 1 + M 2·X 2
M
[kNm]
x. X 2
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
25/32
Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 185
Exemplo 17
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-gramas de momentos fletores e momentos torçorespara a grelha ao lado. A relação entre a rigidez àtorção e a rigidez à flexão é GJ t = 6EI , para todas as
barras.
Sistema Principal (SP) e Hiperestático
X 1
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
120
M 0
[kNm]
240
0
T 0
[kNm]
+120
0
Caso (1) – Hiperestático X 1 isolado no SP
M 1
–3
T 1
0 x X 1
3
6
3
3
–6 X 1 = 1 X 1 = 1
Equação de Compatibilidade011110 =+ X δ δ
[ ]tGJ EI
1120)6(6
124036
31
2403661
1206631
10 ⋅⋅−⋅+⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=δ
EI EI EI
2880643202160
10 −=−−=δ
[ ]
t
GJ EI
1)6()6(6)3()3(6
1666
31
33331
33331
33331
11 ⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ
EI EI EI
144627099
11 +=+=δ
⇒ X 1 = 20 kN
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
26/32
186 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais
110 X M M M += 110 X T T T +=
60
M
[kNm]
180
–60
T
[kNm]
0
60
0
0
Exemplo 18
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçorespara a grelha ao lado. A relação entre a rigidez àtorção e a rigidez à flexão é GJ t = 3EI , para todas asbarras.
Sistema Principal (SP) e Hiperestático
X 1
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
24 kN
12 kN12 kN
M 0
[kNm]
T 0
[kNm]
Caso (1) – Hiperestático X 1 isolado no SP
M 1 T 1
x X 1
X 1 = 1 X 1 = 1
3
–3
–3
0
03
3
32 1
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
27/32
Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 187
Equação de Compatibilidade011110 =+ X δ δ
[ ] EI EI EI GJ EI
t
351
3
3242431)36()3(3
13633
3
1933
3
13633
3
110 +=+=⋅−⋅−⋅+⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=δ
[ ] EI EI EI GJ EI
t
54
3
54361)3()3(3)3()3(3
1333
3
1333
3
1333
3
1333
3
111 +=+=⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ
⇒ X 1 = –6.5 kN
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais
110 X M M M +=
24 kN
5.5 kN1 kN
M
[kNm]
6.5 kN
110 X T T T +=
T
[kNm]
Exemplo 19
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçorespara a grelha ao lado. A relação entre a rigidez àtorção e a rigidez à flexão é GJ t = 3EI , para todas asbarras.
Sistema Principal (SP) eHiperestático
X 1
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP M 0 [kNm]
T 0 [kNm]
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
28/32
188 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Caso (1) – Hiperestático X 1 isolado no SP
M 1 T 1
x X 1
X 1 = 1 X 1 = 1
3
–3
–3
0
033
3
6
Equação de Compatibilidade: 011110 =+ X δ δ ⇒ X 1 = +10.25 kN
[ ] EI GJ EI
t
11071336)3(
1393
3
13363
3
13723
6
13363
3
131083
6
13366
6
131086
3
110 −=⋅⋅⋅−+⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ
( )[ ] EI EI EI GJ EI
t
108
3
549013)3()3(2
1333
3
13333
3
1363
6
1336
6
1366
3
111 +=+=⋅⋅−⋅−⋅+⋅
⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais110 X M M M +=
M [kNm]
30.75
5.25 9
30.7572
46.5
5.25
110 X T T T +=
T
[kNm]
–30.75
–72
0+5.25
Exemplo 20Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-gramas de momentos fletores e momentos torçorespara a grelha ao lado. A relação entre a rigidez àtorção e a rigidez à flexão é GJ t = 3EI , para todas asbarras.
Sistema Principal (SP) e Hiperestático
X 1
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
29/32
Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 189
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M 0 [kNm] T 0 [kNm]
20
20 20
20
120
120
00
020
20 20
20
+120
0
0
0
0
Caso (1) – Hiperestático X 1 isolado no SP
1/2
0 0
00
M 1 T 1
x X 1 X 1 = 1 X 1 = 13 +3
1/2 3
33
+3
1/2
1/2
Equação de Compatibilidade:
[ ] EI GJ EI
t
36010
161203
6
110 −=⋅+⋅
⋅⋅⋅−=δ
[ ] EI EI EI GJ EI
t
81
3
815416)3()3(3)3()3(
1633
3
12333
3
1211 +=+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅++⋅
⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅=δ
011110 =+ X δ δ ⇒ X 1 = +4.4 kN
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais
M [kNm] T [kNm]
120
120
+120
0
0
110 X M M M += 110 X T T T +=
13.3 13.3
13.3
13.3
+13.3
+13.3
Exemplo 21
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-gramas de momentos fletores e momentos torçorespara a grelha ao lado. A relação entre a rigidez àtorção e a rigidez à flexão é GJ t = 6EI , para todas as
barras.
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
30/32
190 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Sistema Principal (SP) eHiperestático (g = 1)
X 1
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M 0 [kNm] T 0 [kNm]
20
20
20
20
18060
60
60
60
+1800
180
+60
+60
Caso (1) – Hiperestático X 1 isolado no SP
0
M 1 T 1
x X 1 X 1 = 1
–6
–3
3
36
0
3
X 1 = 10
Equação de Compatibilidade:
[ ]EI EI EI GJ EI GJ
EI
tt
39606
756027007560270016)180)(6(6)60()3(
161803
31
6180361
660361
660331
6180631
660661
360331
10
−=−−=−−=⋅⋅−+⋅⋅−+
⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=δ
[ ] EI EI EI GJ EI GJ EI tt
144
6
27099270991
6)6()6(6)3()3(
1
6663
1
3333
1
311 +=+=+=⋅⋅−⋅−+⋅−⋅−+⋅
⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅⋅=
δ 011110 =+ X δ δ ⇒ X 1 = +27.5 kN
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais
M [kNm] T [kNm]
15
60
6022.5
+150
97.5
+60
–22.5
110 X M M M += 110 X T T T +=
22.5
Exemplo 22
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-gramas de momentos fletores e momentos torçorespara a grelha ao lado. A relação entre a rigidez àtorção e a rigidez à flexão é GJ t = 6EI , para todas asbarras.
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
31/32
Luiz Fernando Martha – Método das Forças – 191
Equação de compatibilidade:
011110 =+ X δ δ
EI 13363
313183
313363
313363
3110 ⋅
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+=δ
[ ]EI GJ EI GJ tt
162016213)36)(3(3)36()3( +=++=⋅⋅+++⋅+⋅−+
[ ]tGJ EI
13)3()3(3)3()3(
1333
3
1411 ⋅⋅+⋅++⋅−⋅−+⋅
⋅⋅⋅+⋅=δ
EI EI EI GJ EI t
45
6
5436543611 +=++=++=δ
045162
1 =⋅+⇒ X EI EI
kN6,31 −=∴X
Momentos Fletores Finais:110 X M M M ⋅+=
[kNm]
M
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperstático X 1 isolado no SP
[kNm]
M 0
x X 1X 1 = 1
SP
Sistema Principal eHiperestático (g = 1)
X 1 [kNm]
T 0
M 1
T 1
0
–3
12
12
24
18
36
36
36
36
0
0
0
+36
+36
1
23
3
3
+3
0
0 0
0
Momentos Torsores Finais:110 X T T T ⋅+=
[kNm]
T 1846,8
36
10,825,2 25,2
0 0
0
+25,2
+46,8
EI GJ t 6=
Exemplo 23
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-gramas de momentos fletores e momentos torçorespara a grelha ao lado. Todas as barras têm a relaçãoindicada entre a rigidez à torção GJ t e a rigidez à fle-xão EI .
EI GJ t ⋅= 23
-
8/16/2019 Exemplos de Solucao Metodo Das Forcas
32/32
192 – Métodos Básicos da Análise de Estruturas – Luiz Fernando Martha
Equação de compatibilidade:
011110
=+ X δ δ
[ ]tGJ EI
13)72(6
16726
3
13186
3
13726
3
110 ⋅⋅−⋅+⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ
EI GJ EI GJ EI tt
2268
3
1296214041296140410 −=
⋅
⋅−−=−−=δ
[ ]tGJ EI
1666366
1666
3
12366
3
1211 ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅
⋅⋅⋅+⋅+
⋅⋅⋅+⋅=δ
EI EI EI GJ EI t
432
3
324221632421611 +=
⋅
⋅++=++=δ
04322268
1 =⋅+−⇒ X EI EI
kN25,51 +=∴X
Momentos Fletores Finais:
110 X M M M ⋅+=
[kNm]
M
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperstático X 1 isolado no SP
[kNm]
M 0
x X 1
X 1 = 1
SP
Sistema Principal eHiperestático (g = 1)
X 1
[kNm]
T 0
M 1
T 1
0
+6
48
12
18
72
72
00
0
–72
1
2
6
6
6
+6
00
Momentos Torsores Finais:
110 X T T T ⋅+=
[kNm]
T
18
40,5
40,5
31,5
31,5
00
+31,5
–40,5
EI GJ t ⋅=2
3
12
6
0