exemples = 15+6 = 21 soit = 21 / gcd(14,21) = 3. exemples = 5+6 = 11 soit = 11 / gcd(11,11) = 1
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Exemples
= 15+6 = 21
Soit ’= 21 / gcd(14,21) = 3
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Exemples
= 5+6 = 11
Soit ’= 11 / gcd(11,11) = 1
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Applications Quasi-Affines
Definition : Un pavé d’ordre 2 est l’ensemble des points dont l’image par l’AQA appartient au pavé d’ordre 1 pour l’indice i,j
Il y a ’2 pavés distincts à l’ordre 2
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Exemples
= 1+1 = 2
Soit ’= 2 / gcd(2,3) = 2 4 paves à l’ordre 2
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Exemples
= 1+1 = 2
Soit ’= 2 / gcd(2,3) = 28 pavés différents à l’ordre 3
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Exemples
Ordre 1 Ordre 2
Ordre 3 Ordre 4
Ordre 5Ordre 7
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Applications Quasi-Affines
Definition : application contractante
Une application affine est dite contractante pour une constante de Lipschitz s<1 pour tout vecteur x,y nous avons
||f(x)-f(y)|| <s||x-y|| avec ||.|| la norme Euclidienne.
Théorème: une application affine f qui est contractante a un unique point fixe tel que f()=
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Applications Quasi-Affines
Propriété : AQA contractante
Si l’application affine associée à une AQA F est strictement contractante alors F est aussi contractante en-dehors de la boule de rayon
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Dynamique
Trajectoire du point (10,0)
La dynamique de l’AQA est définie par la suite Xn = F(Xn-1)
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Dynamique
Bassin attracteur : un bassin attracteur d’un cycle limite est la réunion de tous les arbres attachés au cycle.
Z2 est décomposée en bassin d’attracteur
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Dynamique
• Cycle Limite : une suite {Pn} de longeur n telle que F(Pi)=Pi+1 pour i<n, et F(Pn)=P1
• Racine : un point d’un cycle limite. Une racine non triviale est reliée à un arbre non limitée à sa racine.
• Arbre : Pour une racine R appartenant à un cycle limite C, un arbre est l’ensemble des points P pour lequel il exist n>0 tel que Fn (P)=R et Fn-1 (P) C.
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Dynamique
•Point fixe : Un point fixe pour une AQA P est un 1-cycle
• Arbre isolé : Arbre d’un point fixe
• Cycle isolé : Un cycle limite avec des racines toutes triviales.
• Feuille : point P tel que F-1(P) =
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Dynamique
• a 1 unique point fixe : (0,0)
Pas d’autres cycle limite.
• a 2 points fixes : (0,0) et (0,-1)
• Pas d’autres cycles limites.
•
a 5 points fixes :
(0,0);(-1,-1);(0,-1);(1,-1);(0,-2)
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Dynamique
•
a 32768 points fixes.
• a 1043 3-cycles et l’origine comme
point fixe
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Dynamique
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Dynamique
Autour de l’origine il y a un 3-cycle, 5-cycle, 7-cycle, 11 –cycle, 15-cycle, …
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Dynamique
Seulement 1 seul bassin attracteur infini. La couleur représente la distance à l’origine qui est l’unique point fixe.
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Dynamique
Quatre bassins attracteurs infinis
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Dynamique
La couleur donne la distance au point fixe
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A propos des Aqas
- Les AQAs donnent une idée de la dynamique de certains calculs en informatique.
- Les AQAs permettent de construire des transformations avec certaines propriétés (rotations bijectives par exemple).
- Les AQAs sont liées aux systèmes de numérations.
- Les AQAs permettent de construire des pavages.
- Les AQAs sont liées aux intersections de droites discrètes.
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Exemples d’ AQA :
Rotations discrètes bijectives
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Rotation discrète classiqueRot()
Problème : perte d’information
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Perte d’information
Rotation discrète classique
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Rotation pythagoricienne
with a2 + b2 = (b+1)2
Andres (1992)
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Rotation pythagoricienne
Théorème
La rotation pythagoricienne est une transformation discrète bijective
Evaluation de la qualité de la rotation :
Distance max et min entre un point tourné par les rotations discrètes et continues :
Max = 0.707 average = 0.3