excelを用いた熱流体シミュレーション その1 · 2018-08-14 · 幅 0.01 m]...
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Excelを用いた熱流体シミュレーション その1
2016.7.26
熱流体シミュレーションを実施するために 1.熱伝導のパラメータを知る 2.差分式の概念を知る 3.熱伝導の形態を知る ・定常か? 非定常化か? ・一次元か? 二次元か? 3次元か? ・熱伝導のみ、対流の有無、流体の流れ有無 ふく射伝熱、融解・凝固、特殊 4.境界値、特異点について 5.Excelの使い方 6.事例
時間変化がある
1.熱伝導のパラメータを知る
b
TTAQ ch )(
フーリエの法則
定常一次元
低温 Tc
[K]
ニュートンの冷却法則
)( fw TTAQ
面積 A [m2]
高温 Tw
[K]
低温 Tf [K]
流体 熱伝達率 α [W/m2・K]
対流 Q
高温 Th
[K]
面積 A [m2]
幅 b [m]
熱伝導率 λ [W/m・K]
Q
低温 Tc
[K]
)( fcfh TTAkQ
幅 b [m]
高温流体 Tfh
[K]
低温流体 Tfc
[K]
熱伝達率 λ [W/m2・K]
面積 A [m2]
Twh
Twc
Q
k:総括伝熱係数 [W/m2・K]
ch a
b
a
k11
1
定常一次元
111
)(44
ch
ch TTAQ
h
hT
A
c
cT
A
高温面
低温面
Q
ふく射伝熱
抵抗
2.差分式の概念を知る
前進差分
後進差分
ラプラシアン 物理現象では「私は周囲の平均でいたい!」という方向に力が働く →熱伝導方程式では、「周囲温度の平均が私の温度」
xxxxx
𝑑2
𝑑𝑥2f(x)= lim∆𝑥→0
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥−
𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥−∆𝑥)
∆𝑥
∆𝑥
= lim∆𝑥→0
𝑓 𝑥+∆𝑥 −2𝑓 𝑥 +𝑓(𝑥−∆𝑥)
(∆𝑥)2
= lim∆𝑥→0
2
(∆𝑥)2
𝑓 𝑥+∆𝑥 +𝑓(𝑥−∆𝑥)
2− 𝑓(𝑥)
𝑑
𝑑𝑥f(x)=lim∆𝑥→0
𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑑
𝑑𝑥f(x)=lim∆𝑥→0
𝑓 𝑥 −𝑓(𝑥−∆𝑥)
∆𝑥
𝑓(𝑥)
この曲線が
ゴムでできているとしたら赤い矢印のような復元力がラプラシアン
・・・
・・・
)(6
)(2
)()()(
)(6
)(2
)()()(
3
33
2
22
3
33
2
22
xfdx
dxxf
dx
dxxf
dx
dxxfxxf
xfdx
dxxf
dx
dxxf
dx
dxxfxxf
f(x)のテイラー展開
両辺加えて
22
2
4
2
22
)()(2)()(
)()()(2)()(
x
xxfxfxxfxf
dx
d
xOxfdx
dxxfxxfxxf
引いて
x
xxfxxfxf
dx
d
xOxfdx
dxxxfxxf
2
)()()(
)()(2)()( 3
式の導出
第1種境界(ディリクレ)条件 第2種境界(ノイマン)条件
温度 熱流束
第3種境界条件 第4種境界条件
熱伝達 接触面温度と熱流束
境界条件
X=W
wwx TT
X=W
wwx qx
T
X=W
0
wx
x
T
X=W
)( fwxwx TTx
T
X=W
wxwx TT 21
wxwxx
T
x
T
2
21
1
X=W
wxT 1
)(
)(
212
2
211
1
wxwxcwx
wxwxcwx
TThx
T
TThx
T
wxT 2
断熱条件
接触抵抗なし 接触抵抗あり
α:熱伝達率 Tf:流体温度
λ:熱伝導率
hc:接触熱コンダクタンス
X=W
wwx TT
wwx qx
T
特異点
X=W
y=h
0
wx
x
T
)( fwxwx TTx
T
特異点
境界値が変化する特異点を設定する
熱に入出が ある場合
断熱
熱の伝熱が ある場合
x x
ix
11 iii TTT
x0
0 x
T(x) Qv λ
定常一次元(等メッシュ)
02
2
vQ
dx
Td
)(2
1
02
0)()(
2
11
2
11
11
11
xQ
TTT
Q
x
TTT
Q
x
TTTT
dx
d
x
TT
dx
dT
x
TT
dx
dT
v
iii
viii
viiii
iiii
あるいは
基礎方程式
差分式
事例1 定常一次元(等メッシュ) ファイル名: excel 301.xls
)(2
1 2
11 xQ
TTT v
iii
左側温度
40[K]
幅 0.01[m]
熱伝導率 λ [W/m・K]
Q
右側温度
20[K] Qv
10分割
差分式
=(E22+G22)/2+$C$12*$C$9^2
ドラッグ
計算式をドラッグしてコピーする前に、以下の設定を確認しないとエラーが出ます ①左上のOffceボタンクリック ②「Excelのオプション」クリック ③「数式」クリック ④「計算方法の設定」の中の「反復計算を行う」のチェックボックスにレ点 「最大反復回数」を100、「変化の最大値」を0.001に設定
事例1 定常一次元(等メッシュ)
定常二次元
02
2
2
2
vQ
dy
Td
dx
Td
基礎方程式
x x
ix x0
jijiji TTT ,1,,1
1, jiT
y
y
1, jiTy
iy
0
T(x,y) Qv λ
x
y
vjijijijiji
vjijijijijiji
QyxxTTyTT
yxT
Q
y
TTT
x
TTT
222
1,1,
2
,1,122,
2
1,,1,
2
,1,,1
)()()(2
1
022
差分式
事例2 定常二次元 ファイル名: excel 302.xls
0
T(x,y)
Qv λ x
y
x、y 10分割
=((G5+I5)*$D$8^2+(H6+H4)*$D$5^2+($D$10/$D$9)*$D$5^2*$D$8^2)/(2*($D$5^2+$D$8^2))
v
jijijijiji
QyxxTTyTT
yxT 222
1,1,
2
,1,122, )()()(2
1差分式
0
T(x,t)
Qv
ρ c λ
x
x x
ix
x0
k
i
k
i
k
i TTT 11
1
1
11
1
k
i
k
i
k
i TTT
t
t
非定常一次元
c
Q
dx
Tda
t
T v
2
2
c
tc
x
tac
ca
QcTTTcc
T
c
Q
x
TTTa
t
TT
qx
vq
k
i
k
i
k
ix
x
k
i
v
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
ここで、2
1
1
1
1
1
2
1
1
11
1
1
)(21
1
2
基礎方程式
差分式
陽解法
陰解法
c
tc
x
tac
QcTcTTcT
c
Q
x
TTTa
t
TT
qx
vq
k
ix
k
i
k
ix
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
ここで、2
11
1
2
111
)21()(
2
x x
ix
x0
k
i
k
i
k
i TTT 11
1
1
11
1
k
i
k
i
k
i TTT
t
t
c
tc
x
tac
ca
QcTcTTTTcc
T
c
Q
x
TTT
x
TTTa
t
TT
qx
vq
k
ix
k
i
k
i
k
i
k
ix
x
k
i
v
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
ここで、2
11
1
1
1
1
1
2
11
2
1
1
11
1
1
2)1(2)(12
1
22
2
x x
ix
x0
k
i
k
i
k
i TTT 11
1
1
11
1
k
i
k
i
k
i TTT
t
t
Crank-Nicolson法
非定常一次元
陽解法と陰解法 陰解法 陽解法
適用 静的、準静的な問題、動的な問題でも比較的長い周期で振動するような問題の解析に適
衝突、落下問題などの非線形性が強く、非常に短い時間で起こる現象の解析に適
時間 時間増分を大きくしても安定して解を得る
発散し易い
クーラン条件を満足するような時間増分に設定する必要
計算量 連立方程式を解く必要があるため、1時間増分当たりの計算量が多い
連立方程式を解かないため、1時間増分当たりの計算量が少ない
メモリー 陽解法に比べて大きなメモリ容量が必要
陰解法に比べて小さなメモリ容量で済む
事例3 非定常一次元
:温度伝導率 c
adx
Tda
t
T
2
2
基礎方程式
初期条件及び境界条件
t=0、0≦x≦bで T=T∞
t>0、x=0で T0=Th
t>0、x=bで Tb=T∞
b
xX
b
atF
TT
TTo
h
2)(
)(
2
2
0 dX
da
F
F0=0、0≦X≦1で Θ=0
F0 >0、X=0で Θ 0=1
F0 >0、X=1で Θb=0
c
tc
x
tac
ca
QcTTTcc
T
c
Q
x
TTTa
t
TT
qx
vq
k
i
k
i
k
ix
x
k
i
v
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
ここで、2
1
1
1
1
1
2
1
1
11
1
1
)(21
1
2
22
0
1
1
1
1
1
2
1
1
11
1
0
1
)1
()(21
2
x
ta
X
Fc
cc
c
XF
x
k
i
x
k
i
k
i
x
xk
i
k
i
k
i
k
i
k
i
k
i
ここで、
F0=0、0≦Xi≦1で Θi0=0
F0 >0、X0=0でΘ 0k=1
F0 >0、XM=1でΘMk=0 (Mは分割数)
フーリエ数
0
T(x,t) ρ c λ x
t>0で T0=Th
t=0で T(x,0)=T∞
t>0で Tb=T∞
b
無次元化
事例3 非定常一次元 ファイル名: excel 303.xls
22
0
1
1
1
1
1 )1
()(21
x
ta
X
Fc
cc
c
x
k
i
x
k
i
k
i
x
xk
i
ここで、
=($C$22/(1+2*$C$22))*(F27+H27+(1/$C$22)*G26)
非定常二次元
ca
c
Q
dy
Td
dx
Tda
t
T v
2
2
2
2
基礎方程式
0
T(x,y) Qv λ
x
y
c
tc
y
tac
x
tac
QcTccTTcTTcT
qyx
vq
k
jiyx
k
ji
k
jiy
k
ji
k
jix
k
ji
ここで、22
,1,1,,1,1
1
, )221()()(
陽解法
c
tc
y
tac
x
tac
ca
QcTTTcTTccc
T
qyx
vq
k
ji
k
ji
k
jiy
k
ji
k
jix
x
k
ji
ここで、
y
22
,
1
1,
1
1,
1
,1
1
,1
1
, )()(221
1
陰解法