example 5.1 the battery life experiment text reference pg. 167

Chapter 5 Design & Analysis of Experiments 7E 2009 Montgomery

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Example 5.1 The Battery Life ExperimentText reference pg. 167

A = Material type; B = Temperature (A quantitative variable)

1. What effects do material type & temperature have on life?

2. Is there a choice of material that would give long life regardless of temperature (a robust product)?


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Statistical (effects) model:

1,2,...,

( ) 1,2,...,

1, 2,...,ijk i j ij ijk

i a

y j b

k n

Other models (means model, regression models) can be useful


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Design-Expert Output – Example 5.1


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Residual Analysis – Example 5.1


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Residual Analysis – Example 5.1


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Interação significante é indicada pela falta de paralelismo entre as linhas. Em geral, maior vida é alcançada pela temperatura mais baixa, sem olhar o tipo de material. Na variação da temperatura mais baixa para a temperatura intermediária, o tempo de vida do material 3 parece crescer, enquanto ele decresce para os outros materiais. Da temperatura intermediária para a alta, o tempo de vida decresce para os materiais 2 e 3 e permanece inalterado para o material 1.


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Comparações múltiplas

• Quando a ANOVA indica que os efeitos de linha ou coluna ou de interação estão presentes, é de interesse fazer comparações entre as médias de linhas ou colunas ou de interações.

• Os métodos de comparações múltiplas foram apresentados no Capítulo 3.

• Ilustraremos aqui o uso do teste de Tukey sobre a vida da bateria.• Observe que nesse experimento a interação é significante.• Quando a interação é significante , comparações entre as médias de

um fator A podem ser obscurecidas pela interação AB.• Uma abordagem para essa situação é fixar o fator B em um nível

específico e aplicar o teste de Tukey para as médias do fator A nesse nível.


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Suponha que no exemplo trabalhado, estejamos interessados em detectar diferenças entre as médias dos três tipos de material. Como a interação entre material e temperatura é significante, fazemos essa comparação em um dos níveis de temperatura, por exemplo 70ºF.Suponha que a melhor estimativa da variância é dada por MSE da tabela ANOVA, usando a suposição de que a variância do erro experimental é a mesma sobre todas as combinações de tratamento.


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Teste de Tukey para a comparação de pares de médias: revendo...

• O procedimento de Tukey usa a estatística studentizada


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},...,,{Min e

},...,,{Max com,

..2.1min

..2.1maxminmax

a

aE

yyyy

yyyy

nMS

yyq

• Valores da distribuição da estatística q foram tabulados

liberdade de graus de n. e os tratamentn.de - com ),,( fpfpq

• Para um experimento balanceado, o teste de Tukey rejeitaa hipótese nula se

n

MSfpqTyy E

ji ),(..


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• Se há interação significativa, o experimentador poderia comparar todas as ab médias das celas para determinar qual delas diferem significativamente.

• Nessa análise, diferenças entre as médias das celas incluem efeitos de interação bem como efeitos principais.

• No exemplo em análise isso daria 36 comparações entre todos os pares possíveis das 9 celas.


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Estimação dos parâmetros


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Valores ajustados:


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A suposição de ausência de interação

• Suponha que o experimentador “sinta” que o modelo a dois fatores sem interação é apropriado,

nk

bj

ai

y ijkjiijk

,...,2,1

,...,2,1

,...,2,1

,

É importante verificar com cuidado essa hipótese. Mas, se esse for o caso, a análise do modelo sem interação é imediata.


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Exemplo da Bateria

Como foi observado anteriormente, ambos os efeitos principais são significantes. Porém, fazendo a análise de resíduos desse modelo, torna-se claro que a hipótese de ausência de interação é inadequada.


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Exemplo da bateria


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Uma observação por cela

• Algumas vezes, deparamo-nos com um experimento a dois fatores com apenas uma observação por combinação dos níveis dos fatores.

bj

aiy ijijjiij ,...,2,1

,...,2,1,)(


20

a

i

i

ab

y

b

y

1

2..

2.

b

j

j

ab

y

a

y

1

2..

2.

ab

yy

a

i

b

jij

2..

1 1

2

Fonte de variação

SQ gl QM QM Esperado

Linhas a-1 MSA=SSA/(a-1)

Colunas b-1 MSB=SSB/(b-1)

Resíduo (ou AB)

SST- SSA- SSB (a-1)(b-1) MSE

Total ab-1 -

1

22

a

b i

1

22

b

a j

)1)(1(

)(2

baij


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Teste de Tukey para verificação da presença de interação

• O procedimento de teste supõe que o termo de interação é de uma forma particular, a saber,

jiij )(

com uma constante desconhecida.

Estatística de teste: ]1)1)(1/[(0

baSS

SSF

erro

N

g.l. 1 com

(

22..

....

BA

BAi j

jiij

N SSabSS

ab

ySSSSyyyy

SS

g.l. 1)1)(1( comRe baSSSSSS Nsíduoerro


22

Teste de Tukey para verificação da presença de interação

1)1)(1(,1,0 Se baFF

a hipótese de nenhuma interação deve ser rejeitada.


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5.4 O experimento fatorial geral

• Os resultados para o experimento a 2 fatores podem ser estendidos para o caso a k>2 fatores.

• É necessário ter n2 replicações por cela para avaliar interações.• Se todos os fatores do experimento são fixos, é fácil formular e testar

hipóteses sobre os efeitos principais e de interação usando ANOVA.• Para um modelo de efeitos fixos, testes estatísticos para cada efeito principal e

de interação podem ser construídos dividindo-se os correspondentes quadrados médios para o efeito pelo quadrado médio do erro.

• Todos esses testes F (valendo a suposição de normalidade, independência e variância constante) são unilaterais.

• O número de graus de liberdade de qualquer efeito principal será o número de níveis do fator menos 1 e o número de graus de liberdade do efeito de interação será o produto dos números de gruas de liberdade dos fatores envolvidos na interação.


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Modelo Fatorial a 3 fatores

nl

ck

bj

ai

y ijklijkjkikijkjiijkl

,...,1

,...,1

,...,1

,...,1

)()()()(


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• Supondo que A, B e C são fixos, a tabela ANOVA é dada por

FV SQ g.l. QM F

A SSA a-1 QMA QMA/QME

B SSB b-1 QMB QMB/QME

C SSC c-1 QMC QMC/QME

AB SSAB (a-1)(b-1) QMAB QMAB/QME

AC SSAC (a-1)(c-1) QMAC QMAC/QME

BC SSBC (b-1)(c-1) QMBC QMBC/QME

ABC SSABC (a-1)(b-1)(c-1) QMABC QMABC/QME

Erro SSE abc(n-1) QME -

Total SST nabc-1 -


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Factorials with More Than Two Factors

• Basic procedure is similar to the two-factor case; all abc…kn treatment combinations are run in random order

• ANOVA identity is also similar:

• Complete three-factor example in text, Example 5.5

T A B AB AC

ABC AB K E

SS SS SS SS SS

SS SS SS


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Exemplo: exercício 16

A porcentagem da concentração de madeira-de-lei na polpa bruta, a pressão do tonel, e o temo de cozimento foram investigados sobreseus efeitos na resistência do papel.Três níveis de concentração, três níveis de pressão e dois tempos de Cozimento foram selecionados.Um experimento com duas replicações foi conduzido e os dados obtidos estão no arquivo madeira.txt.


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y=read.table("e:\\dox\\madeira.txt",header=T)x1=as.factor(y$madeira)x2=as.factor(y$pressao)x3=as.factor(y$tempo)modeloC=y$resistencia~x1+x2+x3+x1:x2+x2:x3+x1:x3+x1:x2:x3fitC=aov(modeloC)summary(fitC)

Comandos no R para ajustar o modelo completo


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F.V. Df Sum SqMean

Sq F value Pr(>F)

Madeira 2 7.7639 3.8819 10.6193 0.0009 ***

Pressão 2 19.3739 9.6869 26.4992 4.33E-06 ***

Tempo 1 20.25 20.25 55.3951 6.75E-07 ***

MP 4 6.0911 1.5228 4.1657 0.014626 *

MT 2 2.195 1.0975 3.0023 0.074956 .

PT 2 2.0817 1.0408 2.8473 0.08426 .

MPT 4 1.9733 0.4933 1.3495 0.290305

Residuals 18 6.58 0.3656

Total 35 66.3089


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Conclusões

• Pela tabela ANOVA as hipóteses de ausência de efeitos principais (madeira, pressão e tempo) são rejeitadas e também a hipótese de ausência de efeito de interação entre madeira e pressão. Os demais efeitos de interação não são significativos a 5%.


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Avaliação do Modelo

Esse gráfico indica desvioda suposição de normalidadedos dados.Uma solução é trabalhar comtransformações.


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Pressure

Re

sid

ua

ls

Residuals vs. Pressure

-0.85

-0.425

0

0.425

0.85

1 2 3

2

2

2

2

Cooking Time

Re

sid

ua

ls

Residuals vs. Cooking Time

-0.85

-0.425

0

0.425

0.85

1 2

Predicted

Re

sid

ua

ls

Residuals vs. Predicted

-0.85

-0.425

0

0.425

0.85

195.90 197.11 198.33 199.54 200.75

2

2

2

2

Hardwood

Re

sid

ua

ls

Residuals vs. Hardwood

-0.85

-0.425

0

0.425

0.85

1 2 3


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DESIGN-EXPERT Plot

strength

X = B: Cooking TimeY = C: Pressure

C1 400C2 500C3 650

Actual FactorA: Hardwood = Average

PressureInteraction Graph

Cooking Time

str

en

gth

3 4

195.6

196.925

198.25

199.575

200.9

DESIGN-EXPERT Plot

strength

X = B: Cooking TimeY = A: Hardwood

A1 2A2 4A3 8

Actual FactorC: Pressure = Average

HardwoodInteraction Graph

Cooking Time

str

en

gth

3 4

195.6

196.925

198.25

199.575

200.9

DESIGN-EXPERT Plot

strength

X = C: PressureY = A: Hardwood

A1 2A2 4A3 8

Actual FactorB: Cooking Time = Average

HardwoodInteraction Graph

Pressure

str

en

gth

400 500 650

195.6

196.925

198.25

199.575

200.9

Para uma maior resistência, realize o processo com porcentagem de concentração de madeira em 2, pressão em 650, e tempo em 4 h.A ANOVA padrão trata todos os fatores do experimento como se fossem qualitativos. Nesse caso, todos os três fatores são quantitativos, dessa forma análises adicionais podem ser feitas.

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