examen probabilidad

PRIMER EXAMEN PARCIALProbabilidades

II SEMESTRE DEL 2000

Tiempo: 2 Horas 15 Minutos Puntaje Máximo 39 Puntos

TRABAJE DE FORMA CLARA Y ORDENADA. JUSTIFIQUE DEBIDAMENTE CADA RESPUESTA. USE BOLÍGRAFO, EN CASO DE TRABAJAR CON LÁPIZ, NO SE ACEPTAN APELACIONES.

1. Se lanzan dos dados y se observa como variable aleatoria, la suma de los resultados de los dos dados. Si los dados están cargados y los pares tienen el doble de opción de salir que los impares, determine la probabilidad de:

1. Que al lanzar los dos dados una vez la suma de las caras obtenidas sea igual a cinco. (2)

2. Obtener una suma de cinco entre los dos dados durante 4 veces si el par de dados se lanzan durante 8 veces. (3)

3. Obtener una suma de cinco entre los dos dados durante el tercer y quinto lanzamiento si se lanzan 8 veces los dados. (2)

4. Además determine la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el número de veces que hay que tirar dos dados cargados hasta obtener alguno de los pares(1, 1)(2, 2)(3, 3)(4, 4)(5, 5)(6, 6). (3)

2. Una empresa está organizando una actividad para el día de las madres a la cual se asistirán 12 señoras.

1. Si se toma en cuenta el orden en el cual se entregan las invitaciones, ¿de cuántas maneras se pueden entregar.? (1)

2. Se van a repartir 18 rosas idénticas entre las madres. ¿ De cuántas maneras se puede hacer la repartición de forma tal que la Señora López reciba a lo sumo tres rosas, la Señora Vega reciba exactamente tres rosas y todas las invitadas reciban al menos una rosa. (3)

3. Se tienen 4 canastas iguales de productos de belleza, 5 perfumes iguales y 3 regalos sorpresa iguales. Si se reparten en forma aleatoria, un regalo por invitada, ¿de cuántas maneras quedan distribuidos estos regalos (2)?

3. 4. Se disponen de 3 cajas con esferas de diferentes colores distribuidas de la

siguiente manera:

CAJA 1 CAJA 2 CAJA 3

11 amarillas

10 rojas 8 verdes 4 rojas

4 blancas 3 blancas 2 blancas

Considere el experimento que consiste en:

o Se selecciona una esfera de la caja 1, sin reposición.o Si la esfera seleccionada es blanca, se extrae otra esfera de la caja 1

y se pasa a la caja 2.

o Si la esfera seleccionada es roja, se extraen otras 2 esferas de la caja 1 y se pasan a la caja 3.

Si se hace una selección de la caja que recibió la transferencia,

Determine:

4. La probabilidad de obtener una esfera roja. (3)

5. Dado que se seleccionó una bola roja, determine la probabilidad de que se hayan transferido dos esferas desde la caja 1 a la caja tres. (3)

5. Siete terminales de un sistema están conectadas por una línea de comunicación a un centro de cómputo. En un tiempo específico, exactamente cuatro de las siete terminales están listas para transmitir un mensaje. Asuma que cada terminal tiene la misma probabilidad de ser consultada y tome X, la variable aleatoria que indica el número de terminales que deben ser consultadas hasta obtener una terminal lista para transmitir.

1. Determine los posibles valores para X y la distribución de probabilidad para X. (3)

2. Si en el problema si tienen m terminales de las cuales hay n listas, ¿cuál es la distribución de probabilidad para X, el número de terminales que deben ser consultadas hasta obtener una terminal lista para transmitir. ? (3)

6. Una tienda que vende suministros de cómputo vende dos tipos de discos compactos, el normal y otro tipo llamado extra. El 70% de los clientes de la tienda buscan el tipo extra.

1. Entre 10 clientes seleccionados al azar, que desean comprar un disco, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 5 clientes busquen el tamaño extra.? (3)

2. Si en la tienda hay en este momento 5 discos de cada tipo. ¿Cuál es la probabilidad de que los próximos 10 clientes que busquen un disco puedan comprar lo que desean? (2)

7. De una población de 500 animales se capturan 200, se marcan y se sueltan para que vuelvan a mezclarse con el resto de la población.

1. Calcule la probabilidad de que en una muestra de 20 animales capturados o recapturados haya 4 o menos marcados. (3)

2. Cuál es la probabilidad de que aparezcan 4 o más animales marcados en una captura o recaptura de 20. (3)

SOLUCIÓN PRIMER EXAMEN PARCIALProbabilidades



TRABAJE DE FORMA CLARA Y ORDENADA. JUSTIFIQUE DEBIDAMENTE CADA RESPUESTA. USE BOL´IGRAFO, EN CASO DE TRABAJAR CON LÁPIZ, NO SE ACEPTAN APELACIONES.

1. Se lanzan dos dados y se observa la variable aleatoria, la suma de los resultados de los dos dados. Si los dados están cargados y los pares tienen el doble de opción de salir que los impares, determine la probabilidad de:

1. Que al lanzar los dos dados una vez la suma de las caras obtenidas sea igual a cinco. (2)

2. Obtener una suma de cinco entre los dos dados durante 4 veces si el par de dados se lanzan durante 8 veces. (3)

3. Obtener una suma de cinco entre los dos dados durante el tercer y quinto lanzamiento si se lanzan 8 veces los dados. (2)

4. Además determine la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el número de veces que hay que tirar dos dados cargados hasta obtener alguno de los pares(1, 1)(2, 2)(3, 3)(4, 4)(5, 5)(6, 6). (3)

Solución

Dada la forma en que los dados están cargados se tiene que:

P[1] = P[3] = P[5] = 1/9 y P[2] = P[4] = P[6] = 2/9

Así

5. P[X = 5] = P[{(1, 4)(4, 1)(3, 2)(2, 3)}] = 4* * =

6. b(4 : 8, 8/81) = 8/81 1 - 8/81

7. *

8. P[{(x, y)x = y} = P[{(1, 1),(2, 2),(3, 3),(4, 4),(5, 5),(6, 6)}] = 3*

+ 3* = .

Si X es la variable aleatoria que indica el número de intentos hasta obtener alguno de los pares, los posibles valores de X son 1, 2, 3,... y

P[X = k] = (1 - 5/27)k - 1*5/27

2. Una empresa está organizando una actividad para el día de las madres a la cual se asistirán 12 señoras.

1. Si se toma en cuenta el orden en el cual se entregan las invitaciones, ¿de cuántas maneras se pueden entregar.? (1)

2. Se van a repartir 18 rosas idénticas entre las madres. ¿ De cuántas maneras se puede hacer la repartición de forma tal que la Señora López reciba a lo sumo tres rosas, la Señora Vega reciba exactamente tres rosas y todas las invitadas reciban al menos una rosa. (3)

3. Se tienen 4 canastas iguales de productos de belleza, 5 perfumes iguales y 3 regalos sorpresa iguales. Si se reparten en forma aleatoria, un regalo por invitada, ¿de cuántas maneras quedan distribuidos estos regalos (2)

Solución

1. Son las maneras de ordenar a las 12 señoras: 12!

2. Se reservan 12 flores, una para cada una, y dos más para la señora Vega. Entonces, dado que la señora López solo puede recibir cero, una o dos más, las 4 restantes se distribuyen así:

Si la señora López no recibe más, serán 4 entre 10 señoras

Si la señora López recibe uno más, serán 3 entre 10 señoras

Si la señora López recibe dos más, serán 2 entre 10 señoras

En total hay:

+ + maneras.

3. Se cuenta como si fuera a repartirse 12 regalos distintos y se eliminan los conteos repetidos, o por selección.

=

1. Se disponen de 3 cajas con esferas de diferentes colores distribuidas de la siguiente manera:

CAJA 1 CAJA 2 CAJA 3

11 amarillas

10 rojas 8 verdes 4 rojas

4 blancas 3 blancas 2 blancas

Considere el experimento que consiste en

o Se selecciona una esfera de la caja 1, sin reposición.o Si la esfera seleccionada es blanca, se extrae otra esfera de la caja 1

y se pasa a la caja 2.

o Si la esfera seleccionada es roja, se extraen otras 2 esferas de la caja 1 y se pasan a la caja 3.

Si se hace una selección de la caja que recibió la transferencia,

Determine:

4. La probabilidad de obtener una esfera roja. (3)

5. Dado que se seleccionó una bola roja, determine la probabilidad de que se hayan transferido dos esferas desde la caja 1 a la caja tres. (3)

Solución

Se hace necesario el siguiente diagrama, en el paréntesis se pone la distribución de las esferas, en las cajas. Se distinguen los eventos PR: primera bola que se extrae es roja,PB: primera bola que se extrae es blanca y SR segunda bola que se extrae es roja.

6. P[SR] = * *0 + * * + * *

+ * * + * * =

7. P[PR SR] = =

2. Siete terminales de un sistema están conectadas por una línea de comunicación a un centro de cómputo. En un tiempo específico, exactamente cuatro de las siete terminales están listas para transmitir un mensaje. Asuma que cada terminal tiene la misma probabilidad de ser consultada y tome X, la variable aleatoria que indica el número de terminales que deben ser consultadas hasta obtener una terminal lista para transmitir.

1. Determine los posibles valores para X y la distribución de probabilidad para X. (3)

2. Si en el problema si tienen m terminales de las cuales hay n listas, ¿cuál es la distribución de probabilidad para X, el número de terminales que deben ser consultadas hasta obtener una terminal lista para transmitir. ? (3)

Solución

1. Los posibles valores de X son 1, 2, 3, 4 y

P[X = 1] = , P[X = 2] = * , P[X = 3] = * * yP[X = 3] = * * *

2. Se generaliza del anterior, los posibles valores deX so 1, 2, 3,...m - n + 1 y para que X = k debe ocurrir que en las k - 1 consultas iniciales se obtengan terminales ocupadas y en la última una libre.

P[X = k] = * ... *

1. Una tienda que vende suministros de cómputo vende dos tipos de discos compactos, el normal y otro tipo llamado extra. El 70% de los clientes de la tienda buscan el tipo extra.

1. Entre 10 clientes seleccionados al azar, que desean comprar un disco, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 5 busquen el tamaño extra. (3)

2. Si en la tienda hay en este momento 5 discos de cada tipo. >Cuál es la probabilidad de que los próximos 10 clientes que busquen un disco puedan comprar lo que desean?(2)

Solución

3. Esto es el complemento de que 4 o menos soliciten el disco extra.

1 - B(4;10,.7)

4. b(5;10,.7)

2. De una población de 500 animales se capturan 200, se marcan y se sueltan para que vuelvan a mezclarse con el resto de la población.

1. Calcule la probabilidad de que en una muestra de 20 animales capturados o recapturados haya 4 o menos marcados. (3)

2. Cuál es la probabilidad de que aparezcan 4 o más animales marcados en una captura o recaptura de 20. (3).

3.

Solución

1.

2. 1 -

SEGUNDO EXAMEN PARCIAL Probabilidades



1. Sea X una variable aleatoria continua con distribución de probabilidad dada por 6 Puntos

f (x) =

a.Determine el valor de k.b.

Calcule P([- 2 < X 5])c.Calcule VAR(X).

2. Las consultas arriban a un servidor siguiendo una distribución de Poisson con 12 consultas por minuto.4 Puntos

a.¿Cuál es la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre las dos próximas consultas sea menor o igual a 7.5 segundos?b.¿Cuál es la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre las dos próximas consultas sea mayor a 10 segundos?

3. Suponga que X es una variable aleatoria discreta que sigue una distribución uniforme con posibles valores x1 = C + L, x2 = C + 2L,..., xn = C + nL donde L y C son constantes positivas. Determine la esperanza de X .4 Puntos

4. Se sabe que la distribución de notas en un curso sigue una distribución normal. El 10% de los exámenes tienen una nota por encima de los 80 puntos, y el 5% tiene una nota por debajo de los 40 puntos. > Cuáles son el valor de la media y de la desviavión estándar para esta distribución.? 5 Puntos

5. Suponga que tiempo T que tarda una persona en resolver un examen sigue una distribución normal con media 50 minutos y desviación estándar de 12 minutos. Se quiere establecer un rango de tiempo centrado en la media en el cual se contesten el 90% de los test. ¿Cuál es ese rango.? 4 Puntos

6. Una compañia aseguradora, estima que en sus seguros ocurre una pérdida total con una probabilidad de 0, 002, un 50% de pérdida con probabilidad de 0, 01 y un 25% de pérdida con probabilidad de 0, 1. Ignorando todos los otros tipos de pérdida si una persona desea asegurar su vehículo por una suma de 500000.00 colones, qué prima deberá cobrar la aseguradora para tener una utilidad promedio de 10000.00 colones. 4 Puntos

7. El 45% de los miembros de una población tienen edades superiores a los 40 años. Se selecciona al azar una muestra de 550 personas. >Cuál es la probabilidad de que 6 Puntos

a. Entre 200 y 250 tengan más de 40 años.?b. Al menos 150 sean mayores de 40 años?

SOLUCIÓN SEGUNDO EXAMEN PARCIAL Probabilidades



1. Sea X una variable aleatoria continua con distribución de probabilidad dada por 6 Puntos

f (x) =

a.Determine el valor de k.b.

Calcule P([- 2 < X 5])c.Calcule VAR(X)

Solución

a.Dado que

dx = |-115 =

tex2html_image_mark>#tex2html_wrap_indisplay366# - =

k debe ser .b.

([- 2 < X 5]) = dx = dx = - + 1 = c.

E(X) = x dx = dx = (ln(15) - ln(1)) = ln(15)

E(X2) = x2 dx = dx = 15

VAR(X) = E(X2) - E(X)

2. Las consultas arriban a un servidor siguiendo una distribución de Poisson con 12 consultas por minuto.4 Puntos

a.¿Cuál es la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre las dos próximas consultas sea menor o igual a 7.5 segundos?b.¿Cuál es la probabilidad de que el intervalo de tiempo entre las dos próximas consultas sea mayor a 10 segundos?

Solución

a.Si en 60 seg. arriban 12 consultas entonces en 7.5 segundos arriban 1.5 consultas, por lo tanto el número de llamadas, X, que llegan en 7.5 segundos sigue una distribución de Poisson p(x;1.5).

La probabilidad de que después del arribo de una consulta pasen menos de 7.5 seg. antes del arribo de la siguiente debe verse como el la probabilidad de que en 7.5 segundos llegue al menos una consulta.

P([X > 0]) = 1 - P([X = 0]) = 1 - p(0, 1.5) = 1 - = 1 - e-1.5

b.Por argumentos similares al caso anterior se tiene que la probabilidad solicitada es:

p(0, 2)

3. Suponga que X es una variable aleatoria discreta que sigue una distribución uniforme con posibles valores x1 = C + L, x2 = C + 2L,..., xn = C + nL donde L y C son constantes positivas. Determine la esperanza de X. 4 Puntos

Solución

Como es uniforme y hay n valores cada uno tiene probabilidad 1/n luego:

(X) = (C + L) + (C + 2L) + ... + (C + nL)

= C 1 + L k = n + = C + L

4. Se sabe que la distribución de notas en un curso sigue una distribución normal. El 10% de los exámenes tienen una nota por encima de los 80 puntos, y el 5% tiene una nota por debajo de los 40 puntos. > Cuáles son el valor de la media y de la desviavión estándar para esta distribución.? 5 Puntos

Solución

Si X es la distribución buscada, no se conoce ni ni pero se sabe que P([X > 80]) = 0.1 y que P([X < 40]) = 0.05. Es decir

P[X > 80] = 1 - P[X < 80] = 1 - P[Z < ] = 0.1

P[X < 80 = P[Z < ] = 0.05

buscando en la tabla se obtienen las ecuaciones

=1.28

=-1.64

Con lo cual = 13.7 y = 62.5

5. Suponga que tiempo T que tarda una persona en resolver un examen sigue una distribución normal con media 50 minutos y desviación estándar de 12 minutos. Se quiere establecer un rango de tiempo centrado en la media en el cual se contesten el 90% de los test. ¿Cuál es ese rango.? 4 Puntos

Solución

Aquí el problema se traduce en encontrar un c tal que:

P[50 - c < X < 50 + c] = 0.9

y en forma normalizada:

P[- c/12 < Z < c/12] = 0.9

utilizando la simetría de la distribución normal, ( ) + (- ) = 1 , o la recurriendo directamente a la tabla de normal, el problema

se reduce a encontrar (c/12) = 0.95 es decir c = 12(1.55) = 18.6

6. Una compañia aseguradora, estima que en sus seguros ocurre una pérdida total con una probabilidad de 0, 002, un 50% de pérdida con probabilidad de 0, 01 y un 25% de pérdida con probabilidad de 0, 1. Ignorando todos los otros tipos de pérdida > si una persona desea asegurar su vehículo por una suma de 500000.00 colones, qué prima deberá cobrar la aseguradora para tener una utilidad promedio de 10000.00 colones. 4 Puntos

Solución

En este caso debe calcularse la esperanza de pago por parte de la aseguradora para calcular la prima.

= 500000.00*.002 + 250000.00*0.01 + 125000.00*.01 = 16000.00

La prima ha de ser de 26000.00 colones.

7. El 45% de los miembros de una población tienen edades superiores a los 40 años. Se selecciona al azar una muestra de 550 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que: 6 Puntos

a. Entre 200 y 250 tengan más de 40 años.?b. Al menos 150 sean mayores de 40 años?

Solución

Esta es una distribución de binomial, pero no se puede calcular en forma usando binomial pues los valores son no aparecen en las tablas y no se pueden obtener en forma sencilla usando la calculadora, lo mejor es hacer una aproximación X, normal de la binomial es decir asumir que esta población sigue una distribución normal con media mu = 247.5 y desviación estándar = 12.68

a.

P[199.5 X 25.5] P[ X ] = 0, 63 - 0 = 0.63

P[199.5 X 25.5]

P[ X ] = 0, 63 - 0 = 0.63

b.El razonamiento es idéntico y da una probabilidad de 1.

TERCER EXAMEN PARCIAL

Probabilidades II SEMESTRE DEL 2000

Tiempo: 2 Horas 15 Minutos Puntaje Máximo 25 Puntos Trabaje de forma clara y ordenada. Justifique debidamente cada respuesta. Use bolígrafo, en caso de trabajar con lápiz, no se aceptan apelaciones.

1. Sea X el tiempo, en minutos, entre dos llegadas sucesivas en una ventanilla de atención de un banco. Si X sigue una distribución de tipo exponencial con = 2, calcule lo siguiente: (4 puntos)

1. El tiempo esperado entre llegadas sucesivas.2. La desviación estándar del tiempo entre llegadas sucesivas.3. La probabilidad de que el tiempo transcurrido entre una llegada y la

llegada sucesiva sea menor que 7 minutos.2. Si X es una variable aleatoria de manera que su función generadora de

momentos es

mX(t)= , Calcule VAR(X) (4 puntos)3. Suponga que el tiempo que emplea una persona en realizar una tarea es

una variable aleatoria que sigue una distribución gamma con

parámetros = 2 y = ¿Cuál es la probabilidad de que tarde:1. A lo sumo una hora. (4 puntos)2. Entre .5 y 1.5 horas.

Recuerdese que X se distribuye como una Gamma de parámetros y si:

f (x) = x - 1 e-x/ para x positivo.

4. El rendimiento de cierto cilíndro de gas está normalmente distribuido con una media de 6 horas y una desviación estándar de .5 horas. Este gas se vende en paquetes de 5 cilíndros. Encuentre el tiempo de duración, que sea excedido sólo por el 5% de los los paquetes. (4 puntos)

5. La duración promedio del mezclador de un cierto fabricante es de 5 años, con una desviación estándar de un año. Asumiendo que las duraciones de estos mezcladores siguen aproximadamente una distribución normal, encuentre: (4 puntos)

1. La probabilidad de que la vida promedio de una muestra aleatoria de 9 de tales mezcladores caiga entre 4.4 y 5.2 años.

2. El valor de a la derecha del cual caería el 15% de las medias calculadas de la muestras aleatorias de tamaño 9.

6. Un médico atiende un paciente en un tiempo que es una variable aleatoria

con media = 8 minutos y desviación estándar 3 minutos. Si debe atender un total de 40 pacientes calcule:

1. La probabilidad de que atienda todos los pacientes en menos de 5 horas, asumiendo que los pacientes ingresan, en forma continua.

2. La probabilidad de que el tiempo promedio de atención sea superior a 7.5 minutos

SOLUCIÓN TERCER EXAMEN PARCIAL Probabilidades

II SEMESTRE DEL 2000Tiempo: 2 Horas 15 Minutos Puntaje Máximo 25 Puntos Trabaje de forma clara y ordenada. Justifique debidamente cada respuesta. Use bolígrafo, en caso de trabajar con lápiz, no se aceptan apelaciones.

1. Sea X el tiempo entre dos llegadas sucesivas en una ventanilla de atención de un banco. Si X sigue una distribución de tipo exponencial con = 2, calcule lo siguiente: (5 puntos)

1. El tiempo esperado entre llegadas sucesivas.2. La desviación estándar del tiempo entre llegadas sucesivas.3. La probabilidad de que el tiempo transcurrido entre una llegada y la

llegada sucesiva sea menor que 7 minutos.

4. = minuto.

5. = de minuto

6. P[X < 7] = 2e-2x dx = 1 - e-14

2. Si X es una variable aleatoria con tal que su función generadora de

momentos es mX(t)= , Calcule VAR(X) (4 puntos)

VAR(X) = - ( )2 = (0) - (0)

= ( + 1) - ( )2 =

3. Suponga que el tiempo, en horas, que emplea una persona en realizar una tarea es una variable aleatoria que sigue una distribución gamma con

parámetros = 2 y = ¿Cuál es la probabilidad de que tarde:1. A lo sumo una hora. (4 puntos)

P[X 1] = F(1, 2, 1/2) = F(2, 2) = 0.594

2. Entre .5 y 1.5 horas.

P[0.5 X 1.5] = F(1.5, 2, 1/2) - F(0.5, 2, 1/2) = F(3, 2) - F(1, 2) = 0.801 - 0.264 = 0.537

4. Recuerdese que x se distribuye como una Gamma de parámetros y si:5.

6. f (x) = x - 1 e-x/ para x positivo.7. El rendimiento de cierto cilindro de gas está normalmente distribuido con

una media de 6 horas y una desviación estándar de 0.5 horas. Este gás se vende en paquetes de 5 cilindros. Encuentre el tiempo de duración, que sea excedido solo por el 5% de los los paquetes. (4 puntos)

La distribución del tiempo TP = T1 + ... + T5 de cada paquete es normal

con media 6 y desviación y desviación estándar 0.5 luego lo solicitado es un c tal que.

P[TP < c] = 0.95 = P[Z < ] = 0.95

de la tabla se obtiene que = 1.664 es decir c = 31.8604

8. La duración del mezclador de un cierto fabricante es de 5 años, con una desviación estándar de un año. Asumiendo que las duraciones de estos mezcladores siguen aproximadamente una distribución normal, encuentre: (4 puntos)

1. La probabilidad de que la vida promedio de una muestra aleatoria de 9 e tales mezcladores caiga entre 4.4 y 5.2 años.

La duración de un mezclador es de 5 años con una desviación de 1 año. Ahora la duración promedio tiene una media de 5 años con una

desviación de = = 0.3333.

Se pide P[4.4 5.2] = P[- 1.8 Z .60] = 0.9918 - 0.0359 = 0.9559

2. El valor de a la derecha del cual caer1a el 15% de las medias calculadas de la muestras aleatorias de tamaño 9.

P[ ] = 0, 15

P[ ] = PZ = 0, 85

de la tabla y despejando se obtiene = 5, 35

9. Un médico atiende un paciente en un tiempo que es una variable aleatoria

con media = 8 minutos y desviación estándar 3 minutos. Si debe atender un total de 40 pacientes calcule:

1. La probabilidad de que antienda todos los pacientes en menos de 5 horas, asumiendo que los pacientes ingresan, en forma continua.

P[T = T1 + ... + T40 300] = P[Z < ] = 0, 1469

2. La probabilidad de que el tiempo promedio de atención sea superior a

P[ > 7.5] = 1 - P[Z ] = 0.85311 - P[ 7.5]

www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/Probabilidad/index.html#

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