examen opcional desarrollado
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Universidad
Industrial de
Santander
Facultad de CienciasEscuela de Matematicas
Examen OpcionalCalculo ISeptiembre 6 de 2010
Grupo
Nombre: Codigo:Instrucciones:
Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen.No se permite el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.Todos los puntos tienen el mismo valor.No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.
1. Evalue los siguientes lmites, si existen.
a) lmt0
(1
t1 + t
1t
).
b) lmx
(9x2 + x 3x). c) lm
t2t2 4t3 8 .
2. a) Halle la derivada de la funcion y = cossen (tanpix).b) Derive la funcion f (x) = ln (x2 2x) y encuentre su dominio.c) La curva con ecuacion y2 = x3 + 3x2 se llama cubica de Tschirnhausen. Encuentre una
ecuacion de la recta tangente a esta curva, en el punto (1,2). En cuales puntos estacurva tiene una tangente horizontal?
3. Un trozo de alambre de 10 m de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar uncuadrado y la otra para formar un crculo. Como debe cortarse el alambre de modo que el areatotal encerrada sea (a) maxima, y (b) mnima.
4. En la figura se ilustra la grafica de laderivada f de una funcion f .
a) En que intervalos f es creciente odecreciente?
b) Para que valores de x la funcion ftiene un maximo local o un mnimolocal?
c) Trace la grafica de f .d) Trace la grafica posible de f .
Profesores: Adriana Albarracn, Alberto Higuera, Claudia Montanez, Daniel Moreno, Duwamg Prada, German Jaimes, Gilberto Arenas,Hilda Duarte, Javier Camargo, Jorge Fiallo, Jorge Noriega, Luis Ortiz, Marco T. Martnez, Nelson Lopez, Rosana Martnez, Rosario Iglesias, WilliamGonzalez.
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Solucion del examen opcional
1.
a) lmt0
(1
t1 + t
1t
)= lm
t011 + tt1 + t
= lmt0
11 + tt1 + t
1 +1 + t
1 +1 + t
= lmt0
1 (1 + t)t1 + t
(1 +
1 + t
) == lm
t0t
t1 + t
(1 +
1 + t
) = lmt0
11 + t
(1 +
1 + t
) = 11 + 0
(1 +
1 + 0
) = 12.
Tambien se puede por LHopital. (Cumple las condiciones)lmt0
(1
t1 + t
1t
)= lm
t011 + tt1 + t
= lmt0
12
1+t1 + t+ t
2
1+t
= 1
2
1+01 + 0 + 0
2
1+0
=121 + 0
= 12.
b) lmx
(9x2 + x 3x
)= lm
x
(9x2 + x 3x
)9x2 + x+ 3x9x2 + x+ 3x
= lmx
9x2 + x 9x29x2 + x+ 3x
= lmx
xx
9x2
x2+ x
x2+ 3xx
= lmx
19 + 1x + 3
=1
3 + 3=
1
6.
c) lmt2
t2 4t3 8 = lmt2
(t 2) (t+ 2)(t 2) (t2 + 2t+ 4) = lmt2
(t+ 2)
(t2 + 2t+ 4)=
2 + 2
(22 + 2 2 + 4) =1
3.
Tambien se puede por LHopital. (Cumple las condiciones)lmt2
t2 4t3 8 = lmt2
2t
3t2= lm
t22
3t=
2
3 2 =1
3.
2.
a) Halle la derivada de la funcion y = cossin (tanpix).y =
( sin
sin (tanpix)
)(12 (sin (tan pix))
1/2)(cos (tan pix))
(sec2 pix
)(pi) .
b) Derive la funcion f (x) = ln (x2 2x) y encuentre su dominio.f (x) =
(2x 2)x2 2x =
2 (x 1)x (x 2) ; Dom {f
} = R {0, 2}; Dom {f} = R [0, 2] .
c) La curva con ecuacion y2 = x3 +3x2 se llama cubica de Tschirnhausen. Encuentre una ecuacionde la recta tangente a esta curva, en el punto (1,2). En cuales puntos esta curva tiene unatangente horizontal?Observe que el punto si pertenece a la curva, ya que (2)2 = (1)3 + 3 (1)2. Ahora2y dy
dx= 3x2 + 6x = dy
dx=
3x2 + 6x
2y= dy
dx
(1,2)
=3 (1)2 + 6 (1)
2 (2) = 9
4, luego la ecuacion de
la recta tangente es y + 2 = 94(x 1).
Por otra parte, la curva tiene tangentes horizontales si dydx
=3x2 + 6x
2y= 0 y esto sucede si 3x2 +
6x = 0 = 3x (x+ 2) = 0 = x = 0 x = 2 = y2 = 03 + 3 02 = 0 y2 = (2)3 + 3 (2)2 = 4,luego los punto son P1 (0, 0), P2 (2, 2) y P3 (2,2).
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3. Llamemos x la longitud del pedazo con el que se construye el cuadrado y 10 x la longitud del pedazocon el que se construye el crculo
A = A +A = L2 + pir2
Como la longitud del cuadrado es x, y en terminos de L es 4L, entonces L = x4.
Como la longitud de la circunferencia es 10 x, y en terminos de r es 2pir, entonces r = 10 x2pi
. Porconsiguiente
A (x) = A +A =x2
16+ pi
(10 x2pi
)2, 0 x 10.
A (x) =x
8+ 2pi
(10 x2pi
)( 12pi
)=
x
8(10 x2pi
).
Entonces, A (x) = 0 si
x
8 10 x
2pi= 0 = x
8 10
2pi+
x
2pi= 0 = (pi + 4)x
8pi=
10
2pi= x = 8pi
pi + 4 102pi
=40
pi + 4.
Ahora evaluamos la funcion A (x) = x2
16+pi
(10 x2pi
)2en el punto crtico y en los extremos del intervalo
de definicion:
A (0) =02
16+ pi
(10 02pi
)2=
25
pi 7,9577 (maximo)
A (10) =102
16+ pi
(10 10
2pi
)2=
25
4 6,25
A(
40pi+4
)=
(40pi+4
)216
+ pi
(10 40pi+4
2pi
)2=
100
(pi + 4)2+
25pi
(pi + 4)2=
100 + 25pi
(pi + 4)2=
25
pi + 4 3,5006 (mnimo)
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Industrial de
Santander
Facultad de CienciasEscuela de Matematicas
HabilitacionCalculo ISeptiembre 14 de 2010
Grupo
Nombre: Codigo:Instrucciones:
Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justificaciones adecuadas.El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen, ni el prestamo de borradores, calculadoras, lapices, etc.
1. a) Halle el valor de a y b que hace a f continua en todas partes
f(x) =
x2 4x 2 si x < 2ax2 bx+ 3 si 2 x < 32x a+ b si x 3
b) Determine lmx f(x) si, para toda x > 1,
10ex 212ex
< f(x)