exame prova final 9

exame9MATEMÁTICA

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Fátima Cerqueira MagroFernando FidalgoPedro Louçano

REVISÃO CIENTÍFICA

Universidade do Minho

Explicação de todos os conteúdos

1900 questões com resposta detalhada

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prova final

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De acordo comAprendizagens Essenciais

ÍndiceNúmeros • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

NÚMEROS E OPERAÇÕES

Congruência e semelhança • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Teorema de Pitágoras • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Vetores, translações e isometrias • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Geometria euclidiana. Paralelismo e perpendicularidade. Volumes • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Lugares geométricos • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Circunferência • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Trigonometria • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Equações. Classificação de equações. Resolução de problemas • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Monómios. Polinómios. Casos notáveis da multiplicação. Equações de 2.º grau • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Equações literais. Sistemas de duas equações • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Relações de ordem em R. Intervalos de números reais. Inequações de 1.º grau • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

ÁLGEBRA

Sequências • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Funções • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

SEQUÊNCIAS E FUNÇÕES

Estatística • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Probabilidades • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

ORGANIZAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS

Provas Finais Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

PROVAS FINAIS MODELO

Polígonos. Quadriláteros. Áreas • Rever + Praticar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 • Praticar + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

GEOMETRIA E MEDIDA

Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

SOLUÇÕES

28

Equações • Uma equação é uma igualdade de expressões algébricas onde figura, pelo menos,

uma incógnita.

• Numa equação existem duas partes separadas pelo sinal de igualdade (=). Cada uma dessas partes diz-se um membro da equação: a que fica à esquerda do sinal é o pri-meiro membro e a que fica à direita do sinal é o segundo membro.

Exemplo:

• Cada um dos membros da equação pode ser constituído por uma ou mais parcelas, que se designam por termos da equação. Os termos que contêm incógnita designam-se ter-mos com incógnita e os termos sem incógnita designam-se termos independentes.

Exemplo:

• Os termos da equação que têm a mesma parte literal dizem-se semelhantes.

• Os valores da incógnita que transformam a equação numa igualdade verdadeira dizem-se soluções ou raízes da equação.

Primeiro membro Segundo membro

2x – 3 = 4 + x

Termos com incógnita 2x e x

Termos independentes –3 e 4

2x – 3 = 4 + x

Rever + Praticar

Álgebra

1. Das seguintes expressões, indica aquelas que representam equações em x.

1.1. 6 + 3 = 9

1.2. 5x + 4 = –6

1.3. x + 5 < 2 2. Para cada uma das

seguintes equações, indica a incógnita, o 1.º membro, o 2.º membro, os termos independentes e os termos com incógnita. Verifica se 1 é solução de alguma das equações.

2.1. 3x + 5 = 9

2.2. –13 = –6 + a

2.3. 3(y + 2) = 7 + 2y

Considera a equação 3x + 2 = –6 + 7x.

1.1. Indica o primeiro e o segundo membros da equação.

1.2. Indica, caso existam, os termos com incógnita e os termos independentes.

1.3. Existem termos semelhantes na equação apresentada? Se sim, indica quais.

1.4. Verifica se 2 é uma solução da equação. Sugestão de resolução

1.1. Primeiro membro: 3x + 2; segundo membro: –6 + 7x.

1.2. Termos com incógnita: 3x e 7x; termos independentes: 2 e –6.

1.3. Os termos semelhantes são 3x e 7x e, ainda, 2 e –6.

1.4. Quando a incógnita é substituída por 2, a equação transforma-se numa igual-dade verdadeira. Logo, 2 é uma solução da equação:

3 ¥ 2 + 2 = 8 e –6 + 7 ¥ 2 = 8

1

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

EXERCÍCIO RESOLVIDO

29

Equações. Classificação de equações. Resolução de problemas

3. Verifica se as equações x + 1 = 8 e 3x = 9 são equivalentes. Justifica.

4. Resolve as seguintes

equações.

4.1. 5x – 2 = 23

4.2. 4x + 14 = –3x + 8

4.3. 2(x + 3) = 3x – 14 5. Observa o quadrado

[ABCD] representado na figura.

Sabendo que A –B = 3x e B –C = x + 8, determina a área do quadrado.

A B

D C

x + 8

3x

Verifica se as equações x + 4 = 6 e 2x = 4 são equivalentes. Justifica. Sugestão de resolução

2 é o único número que adicionado a 4 dá 6; por outro lado, 2 é o único número que multiplicado por 2 dá 4. Assim, 2 é a única solução de cada uma das equações. Como o conjunto-solução das duas equações é o mesmo, as equações são equivalentes.

Resolve a equação 3x – 4 = 5x – 8. Sugestão de resolução

3x – 4 = 5x – 8

3x = 5x – 8 + 4

3x – 5x = –8 + 4

–2x = –4

x =

x = 2

Assim, C.S. = {2}.

1

2

–4 –2


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Equações equivalentes. Princípios de equivalência de equações Equações com o mesmo conjunto-solução dizem-se equivalentes. Para indicar que duas equações são equivalentes utiliza-se o símbolo . Princípio de equivalência da adição Quando se adiciona um mesmo número a ambos os membros da equação, obtém-se uma equação equivalente à inicial.

Multiplicar ambos os membros por – .1 2

UU

UU

Adicionar o termo 4 a ambos os membros.

Adicionar o termo –5x a ambos os membros.

Simplificar ambos os membros, adicionando os termos semelhantes.

Princípio de equivalência da multiplicação Quando se multiplica ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero, obtém-se uma equação equivalente à inicial.

ax = b c ¥ ax = c ¥ b

Regra prática da adição: Numa equação, pode-se mudar um qualquer termo de um membro para o outro, desde que se lhe troque o sinal.

x + a = b x = b – a

30

Rever + Praticar

Álgebra

Classificação de equações Uma equação diz-se:

• possível determinada quando admite um número finito de soluções.

Exemplo: 5x + 2 = 12 5x = 12 – 2 5x = 10 x = 2

• possível indeterminada quando tem uma infinidade de soluções.

Exemplo: 2x – 6 = 2(x – 3) 2x – 6 = 2x – 6 2x – 2x = –6 + 6 0 = 0

• impossível quando não admite qualquer solução.

Exemplo: x + 4 = 5 + x x – x = 5 – 4 0x = 1

Resolve e classifica cada uma das seguintes equações.

1.1. 3x + 2 = 3x

1.2. x + 3 = –2x – 9

1.3. 2x – 12 = 4 – 3

Sugestão de resolução

1.1. 3x + 2 = 3x 3x – 3x = –2 0x = –2

0 = –2 C.S. = { } Equação impossível

1.2. x + 3 = –2x – 9 x + 2x = –9 – 3 3x = –12

x = –4 C.S. = {–4} Equação possível determinada

1.3. 2x – 12 = 4 – 3 2x – 12 = 2x – 12 2x – 2x = –12 + 12

0 = 0 Equação possível indeterminada

1

h i jx 2

h i j

h i j

h i jx 2

EXERCÍCIO RESOLVIDO6. Resolve e classifica cada uma das seguintes equações.

6.1. 2x + 1 = 7

6.2. –4 = 11 – 3x 6.3. –(6x – 12) = –2(3x – 6)

6.4. 3x – 2 = –(–3x + 5)

6.5. –(6x + 12) = –3(2x + 6)

6.6. –(–2x + 11) = = 4 + (–15 + 2x)

7. Na figura está

representado um triângulo [ABC]. As medidas dos lados, em cm, encontram-se assinaladas na figura.

Explica porque razão este triângulo não pode ser equilátero.

A B

C

x + 60

100

2x + 100


Classificação de equações

Possíveis

Determinadas Indeterminadas

Impossíveis

31


Resolução de problemas Principais passos a seguir na resolução de um problema

1.º Ler atentamente o enunciado, distinguindo o que é dado do que é pedido.

2.º Escolher uma letra (incógnita) que represente o número que é pedido.

3.º Escrever uma equação que traduza o problema.

4.º Resolver a equação.

5.º Verificar se a solução da equação também é solução do problema.

6.º Apresentar a resposta ao problema.

O Fernando tinha 26 anos quando a sua filha Maria nasceu. Hoje, o Fernando tem o triplo da idade da sua filha. Que idade tem atualmente a Maria?


Seja k o número de anos que decorreram desde que a Maria nasceu. Assim, a idade atual do Fernando pode ser dada pela expressão 26 + k, onde k representa o número de anos da Maria. Como o Fernando tem o triplo da idade da sua filha, pode escrever-se a seguinte equação para traduzir o problema: 26 + k = 3k Resolvendo a equação:

26 + k = 3k k – 3k = –26 –2k = –26

k =

k = 13

A Maria tem atualmente 13 anos.

A Inês, a Raquel e o Tiago vivem na mesma rua. Os números das portas das suas casas são três números pares consecutivos, sendo o número da porta da Inês o maior e o da porta da Raquel o menor. Sabe-se ainda que a soma do número da porta do Tiago com o número da porta da Raquel é 122. Quais são os números das portas dos três amigos?


Os números das portas das casas são três números pares consecutivos. Como a porta da Raquel é a que tem o menor número, então:

• número da porta da Raquel: 2n • número da porta do Tiago: 2n + 2 • número da porta da Inês: 2n + 4

Como a soma dos dois números menores é 122, temos que (2n + 2) + 2n = 122. Resolvendo a equação:

(2n + 2) + 2n = 122 2n + 2n = 122 – 2 4n = 120 n = 30

Como n = 30, o número da porta da Raquel é 60 (2 ¥ 30 = 60), o número da porta do Tiago é 62 (2 ¥ 30 + 2 = 62) e o número da porta da Inês é o 64 (2 ¥ 30 + 4 = 64).

1

–26 –2

2

8. A soma de dois números inteiros consecutivos é 37. Determina esses números.

9. Na figura encontra-se

representado o triângulo [ABC].

Atendendo aos dados representados na figura, determina o valor de x.

10. Considera o retângulo

[ABCD]. Sabe-se que A–B = x + 3 e B–C = x.

Será possível o perímetro do retângulo ser 5 cm? Justifica.

A B

C

(9x + 5)º

40º 45º

A B

D C

x

x + 3


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

32

Traduz por uma expressão algébrica cada uma das seguintes afirmações.

1.1. A soma do dobro de um número com 30.

1.2. O dobro da soma de um número com 30.

1.3. A soma de 5 com o produto de um número por 15.

1.4. A diferença entre o quádruplo de um número e 7.

Reduz cada uma das equações seguintes a uma equação do tipo ax = b.

2.1. 5x – 6 = x – 4 2.2. 2(x – 6) = 3x – 1

Resolve, em Q, cada uma das seguintes equações.

3.1. x + 7 = 5 3.2. x – 11 = 12

3.3. 2x – 1 = 2x + 3 3.4. 3x = 18

3.5. = 2 3.6. 3x + 13 = 3(x + 5) – 2

3.7. 2(x – 5) = –x – 4 3.8. –(x – 1) + 3 =

O André resolveu corretamente uma equação e obteve a solução –3. Qual das seguintes equações poderá ser a equação resolvida pelo André?

[A] –3x + 4 = –13 [B] –x + 5 = 2

[C] 2(x + 4) = 2 [D] 11 + x = 14

Considera a equação 2(x – 1) = – (2x – 4).

Sem a resolveres, verifica se 8 é solução da equação.

A idade da Joana daqui a cinco anos será o triplo da idade que tinha há cinco anos. Qual é a idade atual da Joana?

Observa os seguintes esquemas.

7.1 7.2 7.3

Descobre o peso da esfera em cada uma das situações. Explica como pensaste.

1

2

3

x 2

4

5 x 4

6

7

5 kg

13 kg

4 kg6 kg

2x – 1 5

18 kg

5 kg

Praticar +

Álgebra

33

Na figura estão representados dois polígonos regulares. Sabe-se que o perímetro do pentágono é o triplo do perímetro do triângulo.

8.1. Escreve uma equação que traduza a situação.

8.2. Determina o perímetro do triângulo da figura.

Na figura está representado um quadrilátero.

9.1. Mostra que o perímetro do quadrilátero, em centí-metros, é dado pela expressão 7x + 9.

9.2. Sabendo que x = 3, qual dos seguintes valores corres-ponde ao valor exato do perímetro do quadrilátero da figura?

[A] 19 cm [B] 30 cm

[C] 16 cm [D] 36 cm

9.3. Para um certo valor de x, o perímetro do quadrilátero é 17,4 cm. Determina esse valor de x.

Mostra como chegaste à tua resposta.

A soma de três números inteiros consecutivos é 99. Quais são os números?

Resolve e classifica cada uma das seguintes equações.

11.1. 1 – = –(x – 1) 11.2. 2x – 3(x – 4) – = –

11.3. 2(x – 2) = 4(x – 1) – 2x 11.4. 4 – = 10

11.5. 2(3 – x) – = 11.6. 1 – =

Na figura seguinte estão representados um trapézio retângulo e um triângulo escaleno.

Sabendo que os dois polígonos representados têm a mesma área, determina o valor de x.

Apresenta todos os cálculos que efetuares.

8

x cm

6 cm

9

10

11

x – 6 3

2 3

x – 6 2

2x – 1 3

x 3

x – 3 2

x – 1 4

3(x + 1) 2

12

8 cm8 cm

(4x – 2) cm (3x + 1) cm

x cm


2x + 2

x

3x – 1

x + 8

34

Considera as equações 4x – 5 = 5(2x – 13) e = 8. Pode afirmar-se que:

[A] –5 é solução da primeira equação.

[B] As equações são equivalentes.

[C] A segunda equação é impossível.

[D] Q é o conjunto-solução da primeira equação.

O Tio Antunes deixou 200 000 € de herança às suas sobrinhas Ana e Teresa. À Ana, a sobrinha mais velha, deixou mais 50 000 € do que à Teresa. Quanto recebeu a Ana?


A Leonor recebeu algum dinheiro do seu avô, por ocasião do regresso às aulas.

A Leonor gastou a quarta parte desse dinheiro na compra de uma mochila e a terça parte na compra de um tablet e ainda depositou os 100 € que lhe sobraram na sua conta bancária. Quanto dinheiro recebeu a Leonor do seu avô?


Um triângulo tem área 40 cm2. Sabendo que um dos lados do triângulo mede 8 cm, determina a altura do triângulo relativamente a esse lado.

Observa a figura, onde está representado o triângulo [ABC].

Classifica o triângulo quanto à amplitude dos seus ângulos internos. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Uma escola alugou três autocarros para transportar 146 alunos inscritos numa visita de estudo. Em dois dos autocarros iam menos dois alunos do que no terceiro auto-carro. Quantos alunos iam no autocarro mais cheio?

Na equação seguinte, um dos termos independentes foi substituído pela letra k.

2(x – 3) + 1 = k – 5x

19.1. Sabendo que k = –2, resolve a equação.

19.2. Determina o valor de k, sabendo que 5 é solução da equação.

Uma imobiliária arrendou duas lojas num centro comercial. A imobiliária recebe, mensalmente, 35 200 € de renda relativa a essas duas lojas. Sabendo que a renda de uma das lojas é 20% mais cara do que a outra, determina a renda mensal de cada uma das lojas.

2(x + 2) 3

13

14

15

16

17

18

19

20

(4x + 50)º

A

C

B(x + 20)º(6x)º

Praticar +

Álgebra

35

Um fio com 100 cm de comprimento foi cortado e dividido em duas partes desiguais. Com cada um dos fios resultantes construiu-se um quadrado, tal como a figura sugere.

Sabendo que um dos quadrados tem mais 20 cm de perímetro do que o outro, deter-mina o comprimento de cada uma das par-tes em que o fio original foi dividido.


O Pedro vendeu a sua coleção de relógios num leilão. Depois de pagar uma comis-são à leiloeira, correspondente a 23% do valor da venda, o Pedro entregou todo o dinheiro a três instituições de caridade: a uma instituição entregou metade do dinheiro que recebeu, à segunda instituição deu a terça parte do dinheiro e à terceira instituição entregou 1000 €. Quanto dinheiro recebeu o Pedro pela venda dos seus relógios?

Atualmente, a Filipa tem 18 anos e a sua irmã Ana tem 7 anos.

Daqui a quantos anos a Filipa terá o dobro da idade da Ana? Mostra como chegaste à tua resposta.

O João e a Joana são irmãos e têm, respetivamente, 13 e 15 anos. A mãe tem 42 anos. Daqui a quantos anos a idade da mãe é igual à soma das idades dos filhos?


Considera a equação 4x – 6 = 4x – k, sendo k um número inteiro.

25.1. Indica um possível valor para k que torne a equação impossível.

25.2. Indica um possível valor para k que torne a equação possível e indeterminada.

25.3. Comenta a afirmação: “A equação apresentada, independentemente do valor de k, nunca é uma equação possível e determinada”.

Sabe-se que as expressões x + 9, 7x – 3 e 2x representam três números inteiros e que 4x representa a média desses três números. Quais são os números?


Determina três números inteiros consecutivos, tais que a sua soma seja igual à dife-rença entre o dobro do terceiro e seis.


O João e o Filipe são gémeos. No último aniversário, o avô presenteou-os com a

mesma quantia em dinheiro. O João gastou desse dinheiro na compra de uma

bola de futebol. Por sua vez, o Filipe comprou uns ténis, tendo sobrado apenas

do valor recebido. Sabendo que, feitas as compras, o Filipe ficou com menos 1 € do que o João, determina quanto dinheiro deu o avô a cada um dos netos.

22

23

24

25

26

27

28

6 7

21

1 8


212

Caderno 1

A tabela seguinte apresenta a percentagem de alunos de uma escola com acesso a um computador com Internet, entre 2014 e 2019.

Qual é a mediana deste conjunto de dados?

[A] 70

[B] 72

[C] 74

[D] 64

De seguida, apresenta-se um projeto de um hangar de aviões: na figura 1 está uma imagem virtual do hangar e na figura 2 o seu modelo geométrico.

Nota: O modelo não está desenhado à escala.

Sabe-se que:

• E –B = 100 m;

• B–C = 40 m;

• C–D = 25 m.

O modelo representado na figura 2 e um sólido que pode ser decomposto numprisma e em metade de um cilindro.

2.1. Seja V o volume do sólido da figura 2. Determina V. Apresenta o resultado em metros cúbicos, arredondado às décimas. Mostra como chegaste à tua resposta.

2.2. Qual das seguintes retas é paralela ao plano FAD?

[A] DC [B] BG [C] HB [D] GH

2.3. Seja s uma reta paralela à reta AF. Indica, justificando, a posição relativa das retas s e CH.

1

2

Ano 2014

Percentagem de alunos com acesso a um computador com Internet 62

2015

68

2016

70

2017

74

2018

75

2019

77

É permitido o uso de calculadora

B

E

F G

H

25 m

40 m

100 m

D

C

A

Figura 1 Figura 2

Prova Final Modelo 4

Provas Finais Modelo

Cotação (em pontos)

5

5

6

7

213

Portugal tem uma das maiores percentagens de área coberta por floresta da Europa. A área de Portugal é 9,2 milhões de hectares e as florestas portuguesas cobrem 35%

dessa área. Determina a área de Portugal coberta por floresta.

Apresenta o resultado em hectares, escrito em notação científica.


Prova Final 3.º Ciclo – 2019, 2.ª Fase

Na figura está representado um suporte, frequentemente utilizado para a colocação dos menus nas entradas dos restaurantes.

O suporte representado tem um dispositivo que permite a mudança de posição da prateleira onde se coloca o menu, tal como sugere o esquema.

No esquema, a prateleira está representada pelo segmento de reta [AB].

Relativamente ao esquema, sabe-se que:

• [AC] é a altura do triângulo [ABC], relativamente ao lado [CB];

• A–B = 25 cm;

• o segmento de reta [CB] é paralelo ao solo;

• o ponto A do suporte encontra-se a 1,2 m do solo.

• A–C é da distância do ponto A ao solo;

• ABC = e CÂB = . Nota: O esquema não está desenhado à escala.

4.1. Determina a amplitude do ângulo , para a posição da prateleira considerada no esquema da figura.

Apresenta o resultado em graus, arredondado às unidades. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, pelo menos, três casas decimais.

Apresenta todos os cálculos que efetuares. Sugestão: Começa por determinar a medida do lado [AC].

4.2. Quando a prateleira se encontra numa certa posição, tem-se que sen = . Determina, para essa posição, o valor exato de cos . Apresenta todos os cálculos que efetuares.

Fim do caderno 1

4

1 6

3 5

C B

A

β

α1,2 m

25 cm

3



6

7

6

214

Caderno 2

Num saco estão quatro cartões numerados, indistinguíveis ao tato. Em cada um dos cartões está impresso um dos números 2, 5, 7 e 8, como se ilustra

de seguida.

5.1. Retira-se, ao acaso, um cartão do saco e observa-se o número impresso. Considera o acontecimento A: “Sair o número oito”. Qual é a probabilidade de o acontecimento complementar (ou seja, contrário)

do acontecimento A? Apresenta o resultado na forma de fração.

5.2. A Maria retira, simultaneamente e ao acaso, dois cartões do saco e multiplica os números impressos nesses cartões.

Qual é a probabilidade de o produto obtido ser um número ímpar? Mostra como chegaste à tua resposta. Apresenta o resultado na forma de fração.

Prova Final de Matemática, 2015 – 2.ª Fase

No restaurante do Filipe realizam-se muitos eventos. Consoante o número de participantes, é comum juntarem-se mesas e organizarem-se cadeiras, segundo uma determinada regra.

De acordo com a regra de formação sugerida na figura, indica:

6.1. quantas cadeiras são necessárias, se se utilizarem seis mesas; Mostra como chegaste à tua resposta.

6.2. quantas mesas são necessárias, se se utilizarem 34 cadeiras. Mostra como chegaste à tua resposta.

Resolve a inequação seguinte.

– –2(x – 4) + 3

Apresenta o conjunto-solução na forma de um intervalo de números reais. Apresenta todos os cálculos que efetuares.

5

6

7

x – 3

4

2 5 7 8

…

Não é permitido o uso de calculadora


Provas Finais Modelo


6

7

6

7

7

215

No referencial cartesiano da figura estão representadas partes das funções f, g e h.

Sabe-se que:

• a função f é dada por uma expressão do tipo f(x) = ax2, com a 0;

• a função g é uma função de proporcionalidade inversa;

• a função h é uma função linear definida por h(x) = 3x;

• o ponto A pertence aos gráficos cartesianos de f e de h e tem abcissa –2;

• o ponto B pertence aos gráficos cartesianos de g e de h e tem ordenada 12.

8.1. Determina o valor de a. Mostra como chegaste à tua resposta.

8.2. Admite agora que f(x) = – x2.

Resolve a equação f(x) = 3x – 36.

8.3. Em qual das expressões seguintes se apresenta uma expressão que define a função g.

[A] y = , x > 0 [B] y = , x > 0 [C] y = 12x [D] y = 48x

Na figura estão representados um círculo de centro no ponto O e os pontos A, B e C, que pertencem à circunferência que delimita o círculo.

O comprimento do arco AB é 5 cm e a amplitude do ângulo inscrito ACB é 30º. Determina o perímetro do círculo. Apresenta o resultado em centímetros. Mostra como chegaste à tua resposta.

Prova Final 3.º Ciclo – 2019, 2.ª Chamada

Fim da Prova

8

9

3 2

12 x

48 x

O

y

x

B

hg

fA

B5 cm

30º

A

C

O



7

5

6

7

«Aceda aqui às resoluções»

https://examemat9.leyaeducacao.com/#/resolutions

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9.o anoMatemáticaPortuguês

11.o anoBiologia e GeologiaFilosofiaFísica e Química AGeografia AMACS

12.o anoHistória AMatemática APortuguês

exame prova final 9

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