Exactitud

En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina exactitud a la capacidad de un instrumento de acercarse al valor de la magnitud real. La exactitud es diferente de la precisión.

La exactitud depende de los errores sistemáticos que intervienen en la medición, denotando la proximidad de una medida al verdadero valor y, en consecuencia, la validez de la medida.

1 2

Suponiendo varias mediciones, no estamos midiendo el error de cada una, sino la distancia a la que se encuentra la medida real de la media de las mediciones (cuán calibrado está el aparato de medición).

Esta cualidad también se encuentra en instrumentos generadores de magnitudes físicas, siendo en este caso la capacidad del instrumento de acercarse a la magnitud física real.

Precisión

En ingeniería, ciencia, industria y estadística, se denomina precisión a la capacidad de un instrumento de dar el mismo resultado en mediciones diferentes realizadas en las mismas condiciones. Esta cualidad debe evaluarse a corto plazo. No debe confundirse con exactitud ni con reproducibilidad.

La precisión refleja la proximidad de distintas medidas entre si, y es función exclusiva de los errores accidentales

Error

-El error, en filosofía, es un concepto que pertenece a la esfera del juicio, es decir, de las actitudes valorativas. En general, se denomina error a todo juicio o valoración que contraviene el criterio que se reconoce como válido, en el campo al que se refiere el juicio.

1

-Un error es algo equivocado o desacertado. Puede ser una acción, un concepto o una cosa que no se realizó de manera correcta.

-Idea, opinión o expresión que una persona considera correcta pero que en realidad es falsa o desacertada.

-Diferencia entre el resultado real obtenido y la previsión que se había hecho o que se tiene como cierta:

TEOR�A DE ERRORES

ERRORES INHERENTES, POR TRUNCAMIENTO Y POR REDONDEO

Existen tres tipos básicos de errores en una computación numérica: inherentes, por truncamiento,

y por redondeo. Cada uno se puede expresar en forma absoluta o en forma relativa.

1. ERRORES INHERENTES

Son errores que existen en los valores de los datos, causados por incertidumbre en las mediciones,

por verdaderas equivocaciones, o por la naturaleza necesariamente aproximada de la representación,

mediante un número finito de dígitos, de cantidades que no pueden representarse exactamente con el

número de dígitos permisible.

Por ejemplo, si necesitamos usar en un cálculo, podemos escribirlo

como 3.14, 3.1416,3.1415926535589793..., etc. En muchos casos aún una fracción simple no tiene

representación decimal exacta, por ejemplo 1/3, que puede escribirse solamente como una sucesión

finita de números 3. Muchas fracciones que tienen representación finita en un sistema no la tienen en

otro, el número 1/10 es igual a 0.1 en decimal y en binario es0.000110011001100...

2. ERRORES POR TRUNCAMIENTO

Estos son debidos a la omisión de términos en una serie que tiene un número infinito de términos.

Por ejemplo podemos utilizar la serie infinita de Taylor para calcular el seno de cualquier ángulo X,

expresado en radianes:

(4)

Por supuesto que no podemos usar todos los términos de la serie en un cálculo, porque la serie es

infinita; entonces, los términos omitidos introducen un error por truncamiento.

3. ERRORES POR REDONDEO

Estos errores se introducen en los procesos de computación por el hecho de que las computadoras

trabajan con un número finito de dígitos después del punto decimal y tienen que redondear.

Como nos interesa el redondeo de punto flotante, revisaremos la forma de representación de un

número de punto flotante.

DESARROLLO EN SERIE DE TAYLOR

La función p(x)=a0+a1x+a2x2+..........+anx

n, en la que los coeficientes ak son constantes, se llama

polinomio de grado n. En particular y=ax+b es un polinomio de primer grado e y=ax2+bx+c es

un polinomio de segundo grado. Los polinomios pueden considerarse las funciones más

sencillas de todas. Para calcular su valor para una x dada, necesitamos emplear únicamente las

operaciones de adición, sustracción y multiplicación; ni siquiera la división es necesaria. Los

polinomios son funciones continuas para todo x y tienen derivadas de cualquier orden. Además

la derivada de un polinomio es también un polinomio de grado inferior en una unidad, y las

derivadas de orden n+1 y superiores de un polinomio de grado n son nulas.

Si a los polinomios añadimos las funciones de la forma y=p(x)/q(x) (cociente de polinomios,

para cuyo cálculo necesitamos también de la división), las funciones raíz cuadrada de x y raíz

cúbica de x, y finalmente, las combinaciones aritméticas de los tipos anteriores, obtenemos

esencialmente las funciones cuyos valores pueden calcularse por métodos aprendidos en el

bachillerato.

A este nivel se tienen nociones de algunas otras funciones tales como log(x), sen(x), ex, ..., pero,

aunque se estudian sus propiedades más importantes, no se da una respuesta a las preguntas:

¿Cómo calcularlas? ¿Qué clase de operaciones, por ejemplo, es necesario realizar sobre la x para

obtener log(x) o sen(x)?. La respuesta a estas preguntas la proporcionan los métodos

desarrollados por el análisis matemático. Examinemos uno de estos métodos.

Fórmula de Taylor

Sea f(x) una función definida en un intervalo que contiene al punto a, con derivada de todos los

órdenes.

El polinomio de primer grado p1(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) tiene el mismo valor que f(x) en el punto

x=a y también, como se comprueba fácilmente, la misma derivada que f(x) en este punto. Su

gráfica es una recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto a.

Es posible elegir un polinomio de segundo grado, p2(x) = f(a) + f ' (a) (x-a) + ½ f ' ' (a) (x-a)2, tal

que en el punto x=a tenga el mismo valor que f(x) y valores también iguales para su primera y

segunda derivadas. Su gráfica en el punto a se acercará a la de f(x) más que la anterior. Es

natural esperar que si construimos un polinomio que en x=a tenga las mismas n primeras

derivadas que f(x) en el mismo punto, este polinomio se aproximará más a f(x) en los puntos x

próximos a a. Así obtenemos la siguiente igualdad aproximada, que es la fórmula de Taylor:

f(x) ≈ f(a) + f '(a) (x-a) + (1/2!) f ' '(a) (x-a)2 + ...... + (1/n!) f (n)(a) (x-a) n

El segundo miembro de esta fórmula es un polinomio de grado n en (x-a). Para cada valor de x

puede calcularse el valor de este polinomio si se conocen los valores de f(a) y de sus n primeras

derivadas.

Para funciones que tienen derivada (n+1)-ésima, el segundo miembro de esta fórmula, como se

demuestra fácilmente, difiere del primero en una pequeña cantidad que tiende a cero más

rápidamente que (x-a)n. Además, es el único polinomio de grado n que difiere de f(x), para x

próximo a a, en un valor que tiende a cero (cuando x tiende a a) más rápidamente que (x-a)n.

Si f(x) es un polinomio algebraico de grado n, entonces la igualdad aproximada anterior es una

verdadera igualdad.

Para que sea exacta la igualdad aproximada anterior, debemos añadir al segundo miembro un

término más, llamado resto:

f(x) = f(a)+f '(a)(x-a)+(1/2!) f ' '(a)(x-a)2+ ...... +(1/n!) f (n)(a)(x-a)n+(1/(n+1)!) f (n+1)(c)(x-a)n+1

El resto tiene la peculiaridad de que la derivada que en él aparece debe calcularse en cada caso,

no en el punto a, sino en un punto c convenientemente elegido, desconocido, pero interior al

intervalo de extremos a y x.

La demostración de la igualdad anterior es bastante engorrosa, aunque sencilla en esencia.

Las leyes naturales pueden expresarse, por regla general, con buena aproximación por funciones

derivables un número arbitrario de veces, y por ello pueden ser aproximadas por polinomios

cuyo grado viene determinado por la precisión deseada.

La fórmula de Taylor, que abre el camino para la mayoría de los cálculos en el análisis aplicado,

es muy importante desde el punto de vista práctico.

La idea de aproximar una función mediante polinomios o de representarla como suma de un

número finito de funciones más sencillas alcanzó un gran desarrollo en el análisis, donde

constituye ahora una rama independiente: la teoría de la aproximación de funciones.

En las siguientes escenas podemos observar cómo la gráfica de las funciones se va "tapando"

con la gráfica del polinomio de Taylor al aumentar el grado del polinomio. Para un valor de x

calculamos la diferencia entre el valor real y el valor del polinomio correspondiente. Al

aumentar el grado del polinomio esa diferencia es cada vez menor. Hemos calculado los

polinomios de Taylor para a=0.

1.- Aproximación de la función y = sen (x)

Actividades

1.- Observa que la función y=sen(x) es una función impar sen(-x)=-sen(x). El polinomio de

Taylor correspondiente sólo tiene potencias impares de x.

2.- Da valores a x y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar

el grado del polinomio.

2.-Aproximación de la función y = cos (x)

Actividades

1.- Observa que la función y=cos(x) es una función par cos(-x)=cos(x). El polinomio de Taylor

correspondiente sólo tiene potencias pares de x.

2.- Da valores a x y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar

el grado del polinomio.

3.-Aproximación de la función y = ex

Actividades

1.- Observa que para x=1 obtenemos el valor del número e.

2.- Da valores a x y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real al aumentar

el grado del polinomio.

4.-Aproximación de la función y = ln (1+x)

Actividades

1.- Da valores a x (entre -1 y 1) y observa cómo el polinomio de Taylor se aproxima al valor real

al aumentar el grado del polinomio.

Autor: Mariano Banzo Marraco.