evalutions de performances

25/07/2015 Dr. Pascal FAYE 1

Évaluations de Performances Systèmes

FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP de DAKAR

Dept. Math-info


L’amélioration et la profusion de systèmes rend aujourd’hui l’environnement informatique complexe.

Outils de plus en plus complexes pour leur planification et leur gestion.

Adéquation des formalismes disponibles.

Les systèmes informatiques sont composés d’unités ayant des comportements souvent identiques avec des activités de synchronisation et d’échange de messages.

Complexité:

-Analyse fine des comportements,

-Prédiction des comportements,

-Variables d’état discrètes ou continues

-………………….

D’où

Méthodes et moyens de modélisation et de prédiction de performances sont

mises en œuvre pour raccourcir les délais de prototypages, de tests et d’anticipations des

problèmes de performances Terme générique: évaluations de performances

– la modélisation - le développement d’une description formelle du système;

– la résolution - l’obtention des prédictions de performances du système.

Introduction


I/ La modélisation (1/4)


II /l’obtention des prédictions de performances du système (1/9)

On entend par indice de performance le calcul de l’état stationnaire du modèle, c’est à

dire, la proportion de temps que la chaîne de Markov reste dans chacun des états.

La solution est un vecteur de probabilité associant une probabilité à chaque état de la

chaîne.

Nous pourrons calculer plusieurs informations sur le système modélisé,

Le nombre moyen de tâches traitées et/ou en attente, les délais moyens de

traitements et/ou d’attente des tâches, le taux d’utilisations etc.

Cela équivaut à obtenir le vecteur π solution du système, en résolvant l’équation :

πP = π πQ = 0.

P : matrice stochastique, Q=matrice génératrice


En résumé:

Approches Exemples Solutions



II / L’obtention des prédictions de performances du système (3/9)

II.1 / Motivation du choix du formalisme



II.1 / Motivation du choix du formalisme

Formalismes Réseaux de files

d’attente

Réseaux de Pétri Algèbre de processus

stochastiques

Réseaux d’automates

stochastiques

Propriétés

Caractéristiques

approche orientée

“ressources

consommées par

des clients”

analyse fine des

synchronisations

Composition

concurrente,

exécution parallèle.

Exécution parallèle et

intégration des

synchronisations au

modèle états-

transitions.

Synchronisations

NON OUI OUI OUI

Vision modulaire

des systèmes

NON NON OUI OUI

Amélioration du

stockage du

générateur

infinitésimal

NON Pas toujours

possible NON OUI


II /l’obtention des prédictions de performances du système (5/9) II.2/ Analyse du modèle

L’analyse du système peut intervenir en phase de conception ou pendant l’exploitation. Quelque soit

la situation nous aurons les étapes suivantes:

objectifs


II /l’obtention des prédictions de performances du système (6/9) II.2/ Analyse du modèle


II /l’obtention des prédictions de performances du système (7/9) II.3/ Méthodologies



Comprendre l’environnement:

Configurations hard/soft, connectivités et protocoles réseaux, puissances des serveurs

etc.

Caractérisation de la charge:

Intensité des paramètres de la charge (Nbre msg/heures, Nbre transactions/s…)

Demande de services (taille moyenne des msg, Nbre moyen d’ E/S / transaction).

Validation /calibrage du modèle de charge:



Prévision de la charge:

Choix des applications et des unités de traitements, recueil de statistiques sur les

demandes de traitements…..

Prévision des performances:

Choix du formalisme adéquat en se basant sur les propriétés observées (prise en compte

des synchronisations, des coopérations,des concurrences, des échanges du système avec

l’extérieur ou non …….)

De nos jours le plus souvent ce sont les méthodes basées sur les chaînes de Markov qui sont

applicable.

Exemple: File d’attente, Rdp, RAS, etc.


III/ Rappel Mathématiques

Propriétés élémentaires:



Probabilité élémentaire:



Probabilité élémentaire:

Démonstration ? Indication



Soit E={1,2,3}

Ensemble des possibilités de E

P(E)={Ø};{1};{2};{3};{1,2};{1,3};{2,3};{1,2,3}

Si A C P(E)

On dit que A est algèbre de boole définit sur P(E) ssi { - Si c є A; cc є A;

{- Si c є A; B є A; c union B є A

Exemple :

A = {Ø, E, {1}, {2,3}}

On dit que A est σ-algébre définit sur P(E) ssi { - Si c є A; cc є A;

{- pour tout i / Ai є A alors union des Ai =A

Exemples :

A = {Ø, E}



Une variable aléatoire X est une entité dont la valeur dépend de l’issue d’une expérience

aléatoire.

A chaque événement élémentaire w de Ω, on associe un nombre X(w).

Soit E l’espace d’état, défini comme l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable

aléatoire X (E peut être fini ou infini).

On distingue deux type de variable aléatoire

Discrète

Continue



Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes): a)loi de Bernoulli:

Il convient, de commencer par considérer que l’événement dont on connaît la probabilité (notée en général p) est un succès. En conséquence de quoi l’événement contraire constitue un échec. Le succès sera noté [Xi=1] et l’échec sera noté [Xi=0]

On a ainsi défini une variable aléatoire Xi de Bernoulli qui peut prendre 2 valeurs : 0 et 1. On note alors Xi(Ω) = {0;1}; P[Xi=1] = p et P[Xi=0]=1-p=q

Propriétés de la loi de Bernoulli.

On peut s’assurer que Xi définit bien une variable discrète en vérifiant que

En effet : = P[Xi=0]+P[Xi=1]=p+1-p = 1

E(Xi) = = 0.P[Xi=0]+1.P[Xi=1]=0p+1.p=p

E(Xi2)= =02.P[Xi=0]+12.P[Xi=1]=0p+12.p=p

V(Xi)= E(Xi2)-[ E(Xi)]

2 = p-p2 = p(1-p).

La loi de Bernoulli peut donc se définir à l’aide d’un seul paramètre, p, qui est son espérance mathématique. La variance s’obtient directement à partir de p.

X B(p)

1][)(

Xk

kXiP

pqXV

pXE

pqXP

pXP

X

)(

)(

1]0[

]1[

1;0)(

)(

][Xk

kXiP

)(

][Xk

kXikP

)(

2 ][Xk

kXiPk



Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes):

b) Loi binômiale (loi du nombre de succès dans une succession de n épreuves identiques et indépendantes)

On considère la succession de n essais identiques et indépendants les uns des autres d’une même

épreuve ayant deux issues possibles : le succès avec la probabilité p et l’échec avec la probabilité

q=1-p.

On définit une variable X égale au nombre de succès obtenus à l’issue de ces n épreuves.

X correspond à la succession de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

On dit alors que X suit une loi Binômiale définie par 2 paramètres : n = nombre d’épreuves (de

Bernoulli identiques et indépendantes) et p = probabilité du succès pour chaque épreuve. On écrit :

N= nombre de fois que l’expérience à été recommencée

X B(n, p)

npqXV

npXE

qpCkXP

NnX

knkk

n

)(

)(

][

x;0)(





Exemple

On considère une entreprise de service après-vente qui intervient avec retard avec une probabilité égale

à 0,25. Un client a appelé à 8 dates différentes.

1°) Préciser la loi de X, son espérance et sa variance

2°) Calculer la probabilité que ce client soit victime d’au moins un retard

3°) Calculer la probabilité que ce client soit victime d’au moins 4 retards sachant qu’il en a subi au

moins un.





Correction




c) Loi hypergéométrique (la loi des sondages ):

On effectue n tirages SANS REMISE dans une population (ou dans une urne) de taille N.

On recherche alors la loi du nombre de réalisations d’un événement dont la probabilité de

réalisation, avant que ne commencent les tirages, est égale à p.

La composition de la population (ou de l’ urne) change à l’issue de chaque tirage puisque l’individu

(ou la boule) qui vient d’être tiré(e) n’est pas remis(e) dans la population (ou dans l’urne).

Soit X le nombre de succès, ou de réalisation de l’événement dont on connaît la probabilité avant

que ne commencent les tirages.

X définit une loi hypergéométrique de paramètres N, n (échantillon) et p :

X H(N, n, p)

1)(

)(

][

xΝ;min();;0max()(

N

nNnpqXV

npXE

C

CCkXP

NpnNqnX

n

N

kn

Nq

k

Np



Rappel des Lois de distributions usuelles (discrètes): :


Suite de l’exemple précédent

On considère 8 clients différents. On en contacte 4.

On admet qu’un client est mécontent s’il a fait l’objet d’une intervention avec retard.

On note M le nombre de mécontents .

Donner la loi de M, son espérance et sa variance.





Correction

M correspond, dans le cadre d’un sondage, au tirage de 4 clients dans une population de 8 clients sans

remise : on peut en effet penser que la personne chargée de l’étude de satisfaction n’interroge chaque

client qu’une seule fois.

En outre, avant de commencer les tirages des individus, on sait que la probabilité d’intervention avec

retard, donc de mécontentement est de 0,25, doù :

X H(8, 4, 0,25)

18

4854x0,25x0,7V(X)

4x0,25E(X)

C

CCk]P[X

xN25min(4;8x0,8x0,75);max(0;4)X(Ω

4

8

k4

8x0,75

k

8x0,25

7

475,0)(

1)(

][

x2;0)(

4

8

4

62

XV

XE

C

CCkXP

NX

kk




d) Loi géométrique (Loi du premier succès; du nombre de paquets transmis avec succès; etc.)

On effectue n épreuves (de Bernoulli) identiques et indépendantes dont la probabilité de succès est p

pour chacune d’elles. La probabilité de l’échec pour chacune d’elles est notée q=1-p.

On appelle X le rang du 1er succès, donc:

P[X=k] signifie « probabilité que le 1er succès soit obtenu à l’issue de la k-ième épreuve.

En d’autres termes, les k-1 premières épreuves se sont soldées par des échecs et la k-ième par un

succès.

Cette distribution est la seule discrète avec la propriété sans mémoire

Géométrique de base Géométrique modifiée (cas truquée)

X

)( pG

2

1

/)(

/1)(

][

;1)(

pqXV

pXE

pqkXP

X

k

2/)(

/)(

][

;1)(

qpXV

qpXE

qpkXP

X

k

Aussi appelé la loi de Pascal qui est la généralisation de la

loi géométrique de base lorsque l’on s’intéresse à

l’obtention pour la k ieme fois de l’événement de probabilité p




d) Loi géométrique (Loi du premier succès)

Suite de l’exemple précédent

Soit Y la loi du rang du 1er retard. Préciser la loi de Y , son espérance et sa variance

Les appels qui définissent une loi de Bernoulli étant identiques et indépendants, le temps d’attente du

1er retard définit une loi géométrique de même paramètre que la loi de Bernoulli précédemment

évoquée :

Y

)25,0(G

2

1

25,0/75,0)(

425,0/1)(

25,0x75,0][

;1)(

XV

XE

kXP

X

k




e) Loi de poisson (Loi des arrivées dans un intervalle de temps)

La loi de Poisson résulte de la convergence de la loi binômiale. En d’autres termes, lorsque n est très

grand (n ≥30) et sous réserve que 2 autres conditions soient également satisfaites (p≤0,1 et np<15),

on peut remplacer la loi binômiale B(n ; p) par une loi de poisson de paramètre λ avec λ=np. On a

alors :

X

Exemple:

Nbre de requêtes au serveur dans un intervalle de temps t

Nbre de panne par unité de temps

Etc.

)(P

)()(

!.][

)(

XVXE

kekXP

NX

k





Exemple

X suit une loi de Poisson de paramètre 4.

1°) Calculer P[X=5]

2°) Préciser E(X) et V(X)

3°) On démontre que si X et Y sont deux variables indépendantes avec X et Y alors

X+Y . En déduire la variance de X+Y

Utiliser la formule du binôme de Newton ci-dessous pour démontrer X+Y

)(P )(P

)( P

)( P

nn

i

ikii

k babaC )(0





Correction:

1°) P[X=5] = e-4.

2°) E(X)=V(X)=4 (la moyenne et la variance sont égales au paramètre de la loi de Poisson)

3°) Pour la raison qui vient d’être évoquée : V(X+Y)= paramètre de la loi de X+Y soit

!5

45



Rappel des Lois de distributions usuelles (continues):

f) Loi exponentielle (Loi des temps des services, temps entre 2 arrivées, etc.)

Cette distribution est la seule continue avec la propriété sans mémoire

Durée entre deux arrivées successifs de client dans un réseau

Temps de services d’un serveur dans un réseau

Durée de vie d’une composante ou pour réparer un composant défectueux

Etc.

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g) Loi hypo-exponentielle (Loi des temps des services séquentiels et des phases séquentiels)

Si le processus consiste à des phases séquentiels

Les temps passés dans chaque phase sont indépendants et de distribution exponentielle

Alors le temps total passé dans toutes les phases est de distributions hypo-exponentielle de

paramètres r, un pour chaque phase.

Exemple:

Traitement séquentiel de requête de base de données,

Traitement séquentiel de tâches

Caractéristique

25/07/2015 **M. Pascal FAYE** 35



h) Loi hyper-exponentielle (Loi des temps des services parallèles et des phases parallèles)

Si le processus consiste à des phases parallèles.

Les temps passés dans chaque phase sont indépendants et de distribution exponentielle

Alors le temps total passé dans toutes les phases est de distributions hyper-exponentielle de

paramètres r, un pour chaque phase.

Exemple:

Traitement parallèle de requête de base de données,

Traitement parallèle de tâches

Caractéristique

Les FDP et fdp d’une variable aléatoire à k phases est données par:

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i) Loi de Weibull (Mesures de fiabilité et de temps de bon fonctionnement)

Très utilisée dans plusieurs domaines (électronique, mécanique, ...).

Elle permet de modéliser en particulier de nombreuses situations d’usure de matériel.

Elle caractérise le comportement du système dans les trois phases de vie : période de jeunesse,

période de vie utile et période d’usure ou vieillissement.

Dans sa forme la plus générale, la distribution de Weibull dépend des trois paramètres suivants :

La densité de probabilité d’une loi de Weibull a pour expression

La fonction de fiabilité s’écrit:

Le taux de défaillance est donnée par:


IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (1/18)

Fondé par Andrei Andreevich Markov (1856-1922) un mathématicien russe. Ses travaux

sur la théorie des probabilités l'ont amené à mettre au point les chaînes de Markov. Ceux-ci

peuvent représenter les prémices de la théorie du calcul stochastique.

1- Les processus stochastiques :



Une chaîne de Markov à temps discret est un processus stochastique {Xn, n =0,1,….} à

temps discret, défini sur un espace d'états S fini ou dénombrable et vérifiant la propriété

de Markov

pour tout i appartenant à S et quelque soit n≥1.

En mots, l'état courant résume, à lui seul, tout l'historique du système susceptible

d'influencer son évolution future.

Propriété:


IV/ Rappel sur les chaînes de Markov (3/18) 2- Probabilité de transition et matrice de transition

3-La matrice de transition et une matrice stochastique



4-Equation de Chapmann-Kolmogorov



5-chaînes de Markov homogène



6-Classification des états de la chaîne



6-Classification des états de la chaîne:

NB:

•Si une chaine est irréductible alors si un état est périodique alors la

chaine l’est aussi



7-Périodicité:



8- Distribution initiale et comportement transitoire:

Distribution initiale



8- Distribution initiale et comportement transitoire:

comportement transitoire:

Distribution invariante

Une distribution π est invariante ou stationnaire si π = πP; donc

Remarque:



9-Les chaînes ergodiques


V/ Rappel sur les chaînes de Markov (16/18)

10- Algorithme pour obtenir le vecteur invariant de la chaîne de Markov



Exercices:

On considère le graphe suivant:

On définit une chaîne à état E={1, 2, 3, 4}. Notons ki le nombre de flèches partant de i. Définissons sur

E la matrice de transition P par: P(i, j)=1/ki, si une flèche vas de i à j, 0 sinon.

1. Ecrire la matrice de transition P?

2. Est-elle une chaine de Markov et est-elle irréductible, apériodique?

3. Calculer Q=P2?

4. La chaîne défini par la matrice de transition Q est-elle irréductible?

5. Trouver l’ensemble des probabilités invariantes pour cette chaîne de Markov?

2

1

3

4



Exercices:

On étudie le fonctionnement d’une imprimante qui peut être dans 3 états distinct.

Etats 1: attente d’un caractère à imprimer

Etats 2: impression d’un caractère

Etats 3: interruption après avoir reçu un caractère de contrôle.

- Lorsque l’imprimante est en attente elle reçoit un caractère à imprimer avec la probabilité 0,80.

-Lorsqu’elle est en impression elle reçoit

Un caractère normale avec la probabilité 0,95

Un caractère de fin de fichier avec la probabilité 0,04 (l’imprimante retourne dans l’état d’attente)

Un caractère d’interruption avec la probabilité 0,01 (l’imprimante passe alors dans l’état 3).

-Lorsque l’imprimante est dans l’état 3, elle retourne à l’état d’attente avec la probabilité 0,3 sinon elle reste dans l’état 3.

Questions:

1. Montrez que ce système se modélise par une chaine de Markov à 3état ?

2. Donnez son graphe et sa matrice de transition ?

3. Périodicité? Irréductibilité? De cette chaîne de Markov

4. Calculer les probabilités stationnaire associées?

5. En régime stationnaire donnez le taux d’utilisation de cette imprimante sachant quelle est ergodique?


V/ Rappel Mathématiques

Exercice 1:

Démonstration du formule de Bayes.

Exercice 2:

Soit l’expérience lancé d’un dé

1) Donner l’espace fondamentale?

2) Donner un exemple de σ-algèbre?

3) Calculer la probabilité que la face obtenu soit 1 ou 3?

Exercice 3:

Soit le lancé de 2 dé simultané

1) Donner l’espace fondamental?

2) La probabilité que la somme des deux faces donnes 7?

3) Donner un exemple d’algèbre de boole?

4) Donner la probabilité que la somme soit 7 ou 5?

Exercice 4:

On lance un dé et on s’intéresse au nombre de fois nécessaire pour obtenir la face 6?


V/ Rappel Mathématiques

Exercice 5:

Un routeur a 4 interfaces d’entrée (A,B,C,D)

La probabilité qu’un paquet vient de A est Pa=0,2 ; de B est Pb=0,1 ; de C est Pc=0,4 ; de D

est Pd=0,3.

La probabilité qu’un paquet venant de la ligne A soit de taille 1500 Mbits est de 0,01 ; elle

est de 0,2 sur la ligne B, 0,3 sur la ligne C et 0,1 sur la ligne D

Quel est la probabilité qu’un paquet choisi au hasard au niveau du routeur soit de taille égale

à 1500Mbits.

Quel est la probabilité qu’un paquet choisi au hasard au niveau du routeur soit de taille

différente de 1500Mbits

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