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Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Wilson Guillermo Marín López

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Minas, Departamento de materiales y minerales

Medellín, Colombia

2017

Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

Wilson Guillermo Marín López

Tesis de investigación presentada como requisito parcial para optar al título de:

Magister en Ingeniería de Recursos Minerales.

Director:

PhD. Moisés Oswaldo Bustamante Rúa

Geomecánica minera y modelación de macizos rocosos

Grupo de Investigación:

Instituto de Minerales CIMEX

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Minas, Departamento de materiales y minerales

Medellín, Colombia

2017

Dedico esta tesis con mucho amor y mucho gusto:

A mi familia.

A mis compañeros de estudio.

A mis excompañeros de trabajo.

A mis profesores y asesores.

Agradecimientos

A mi esposa Irma Irene y a mi hijo Federico por su apoyo incondicional durante el tiempo

de estudio y por su constante ánimo para lograr este título después de tantos años alejado

de la academia.

Al Ingeniero Gabriel Ramírez Medina, director ejecutivo de Minera el Roble S.A.S, por su

constante e incondicional apoyo.

A mi director de tesis, PhD. Moisés Oswaldo Bustamante Rúa, en quien tuve siempre el

apoyo, la guía y sobretodo su amistad para desarrollar y culminar el trabajo de tesis.

A mis compañeros, Karen Margarita de la hoz Pertuz, Samanta Zafiro Rey, Karen Marcela

Ocampo torres, Ingrid Estefanía Vélez Jaramillo, Alan José Daza Aragón, Pablo

Bustamante Baena, Manuel Julián Barros Daza, Julián David Osorio Botero, Cristián

Andrés Flórez Vergara, Orlando José Rada Bermúdez por su colaboración en los trabajos

académicos y su amistad incondicional a pesar de la gran diferencia generacional que

tenemos.

A la Universidad Nacional de Colombia, sede Medellín. Al instituto de minerales CIMEX,

por brindarme, nuevamente, la oportunidad de estudiar

Resumen y Abstract IX

Resumen

Hasta el momento, para obtener las propiedades intrínsecas de una roca, ángulo de

fricción interna y cohesión, se requiere de varios ensayos de compresión triaxial en

muestras de rocas (testigos de perforación).

En el presente trabajo se realizan una serie de análisis geométricos entre un ensayo a

compresión simple y un ensayo a tracción de una roca para lograr determinar, con los

valores obtenidos en estos dos ensayos, algunas relaciones que nos llevan a deducir

ecuaciones que dan como resultado las propiedades intrínsecas de la roca, ángulo de

fricción interna y cohesión, y otros valores de resistencia de la roca.

Todo el análisis se basa en el criterio de falla de Mohr-Coulomb, criterio de falla lineal, y

algunas consideraciones respecto al comportamiento de la roca a esfuerzos de

compresión (esfuerzos positivos en el análisis) y esfuerzos de tracción (esfuerzos

negativos en el análisis).

Las ecuaciones deducidas son ecuaciones simples, que sólo relacionan los valores de la

resistencia de la roca a compresión simple y a tracción, siendo posible obtener estos

valores con ensayos sencillos y fáciles de realizar, incluso en el campo, teniendo

resultados rápidos y confiables.

Palabras clave: Ángulo de fricción interna, cohesión, Mohr-coulomb, compresión

simple, tracción.

X Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Abstract

Determining the intrinsic properties of a rock, the internal friction angle and cohesion

requires, so far, several triaxial compression tests on rock samples (drilling cores).

In the present work, a series of geometric analyses between a simple compression test

and a rock tensile test of a rock was performed. These analyses aimed at determining some

relations within the values obtained in the two tests, which led to deduce equations for the

intrinsic properties of the rock, the internal friction angle and cohesion, and other rock

strength values.

The entire analysis is based on the Mohr-Coulomb failure criterion, the linear failure

criterion, and some considerations regarding the behavior of the rock to compressive stress

(positive stresses in the analysis) and tensile stresses (negative stresses in the analysis).

The deduced equations are simple equations that only relate the values of rock strength to

simple compression and to traction, being possible to obtain these values with simple and

easy-to-perform tests, even in the field, and in a fast and reliable manner.

Keywords: Internal friction angle, cohesion, Mohr-coulomb, simple compression,

traction.

Contenido XI

Contenido

Pág.

Resumen ........................................................................................................................ IX

Lista de figuras ............................................................................................................ XIV

Lista de tablas ............................................................................................................ XVII

Lista de Símbolos y abreviaturas ................................................................................ XX

Introducción .................................................................................................................... 1

1. Criterios de falla en rocas. ....................................................................................... 5 1.1 Criterio de falla de Mohr-Coulomb. ..................................................................... 5

1.1.1 Criterio de Mohr. [1][9][10][2][11] ..................................................................... 5 1.1.2 Criterio de Coulomb-Navier.............................................................................. 8 1.1.3 Compaginación de los criterios de Coulomb y Mohr. ....................................... 9 1.1.4 Representación del criterio de Mohr-Coulomb. .............................................. 13

1.2 Criterio de falla de Hoek y Brown [17]. ............................................................. 18 1.2.1 Criterio de rotura de Hoek y Brown para roca intacta. .................................... 18 1.2.2 Criterio de rotura de Hoek y Brown para la masa rocosa. .............................. 20

1.3 Estimación de los parámetros de Mohr-Coulomb del macizo a partir del criterio de rotura de Hoek y Brown. ............................................................................................. 22

2. Ensayos de roca en el laboratorio. ....................................................................... 25 2.1 Comportamiento de las rocas a compresión. .................................................... 25 2.2 Ensayo de compresión uniaxial. ....................................................................... 27 2.3 Ensayo de compresión triaxial. ......................................................................... 33 2.4 Ensayo de corte directo. [9]. ............................................................................. 37 2.5 Ensayo de carga puntual. .[7]. .......................................................................... 39 2.6 Ensayo de tracción brasileño. .......................................................................... 42

3. Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a

compresión simple y tracción. ..................................................................................... 45 3.1 Criterios a tener en cuenta para el análisis. ...................................................... 45

3.1.1 Envolvente de falla de Mohr–Coulomb. ......................................................... 45 3.1.2 Ensayo de tracción brasileño. ........................................................................ 46 3.1.1 Ensayos triaxiales ideales. ............................................................................. 46

3.2 Procedimiento gráfico para la obtención de ecuaciones sugeridas. .................. 47

XII Contenido

3.3 Resumen ecuaciones ....................................................................................... 61

4. Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3. .............................................. 63 4.1 Ejercicio ideal tesis. .......................................................................................... 63 4.2 Ejercicio Arzua. ................................................................................................. 67 4.3 Chert negro. ...................................................................................................... 71 4.4 Sulfuro masivo (cuerpo Zeus). .......................................................................... 75 4.5 Dique lutítico. .................................................................................................... 79 4.6 Chert negro grafitoso. ....................................................................................... 83 4.7 Formación mesa verde. Colorado. .................................................................... 87 4.8 Arenisca techo mina Villabona. España (1) ....................................................... 91 4.9 Margas rojas techo mina Villabona. España ..................................................... 95 4.10 Granito de País Amarelo España.[24] ............................................................. 100 4.11 Granito de Mera Blanco España.[24] .............................................................. 104 4.12 Granito de Villachán España.[24] .................................................................... 109 4.13 Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25] ....................................... 113

4.14 Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25] ....................................... 118 4.15 Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25] ....................................... 123 4.16 Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25] ....................................... 128

5. Conclusiones y recomendaciones ..................................................................... 135 5.1 Conclusiones .................................................................................................. 135 5.2 Recomendaciones. ......................................................................................... 137

A. Anexo: Ensayos compresión simple, tracción brasilera y triaxiales rocas Minera El Roble. .......................................................................................................... 139

B Anexo:Ensayos triaxiales formación mesa verde, Colorado ............................ 151

C Anexo: Ensayos compresión simple, tracción brasilera y ensayos triaxiales rocas de techo muro y capa mineralizada mina Villabona. España. ....................... 153

D Anexo: Ensayos compresión simple, triaxiales y tracción brasilera muestras de granito País Amarelo. España. ................................................................................... 165

E Anexo: Ensayos triaxiales muestras de granito Mera Blanco. España. ........... 167

F Anexo: Ensayos triaxiales muestras de granito Villachán. España. ............... 169

G Anexo: Ensayos triaxiales Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central. Obtención de parámetros por programa Rockdata. ................................................. 171

H Anexo: Relación C’ (Cohesión tracom-triaxial) vs C. (Cohesión regresión) de ejercicios 4.2,4.4,4.5,4.6,4.7, y 4.9 capítulo 4 de tesis. ............................................. 175

I Anexo: Relación σC, σTT hallado en laboratorio vs σC, σTT ecuación tesis y σC, σTT por regresión. de ejercicios 4.2,4.4,4.5,4.6,4.7, y 4.9 capítulo 4 de tesis. ................ 177

J Anexo: Relación C’ y Ø (Cohesión tracom-triaxial) vs C.y Ø (Cohesión regresión) de ejercicios 4.3,4.8,4.10,4.11 y 4.12, capítulo 4 de tesis. ...................... 179

Contenido XIII

K Anexo: Relación σC, σTT hallado en laboratorio vs σC, σTT ecuación tesis y σC, σTT por regresión. de ejercicios 4.3,4.8,4.10,4.11 y 4.12 capítulo 4 de tesis. ................. 181

L Anexo: Relación C’ y Ø (Cohesión tracom-triaxial) vs C.y Ø (Cohesión regresión), C’.y Ø (rockdata) de ejercicios 4.13,4.14,4.15 y 4.16 capítulo 4 de

tesis. 183

M Anexo: Relación σC, σTT hallado en laboratorio vs σC, σTT ecuación tesis, σC, σTT por regresión. y σC, σTT rockdata de ejercicios 4.13, 4.14, 4.15 y 4.16 capítulo 4 de

tesis. 185

Bibliografía .................................................................................................................. 187

XIV Contenido

Lista de figuras

Pág.

Figura 1-1: Punto de un material sometido a un estado planar de esfuerzos. [8] ........ 6

Figura 1-2. Círculo de Mohr. [8]. ................................................................................. 7

Figura 1-3. Envolvente no lineal de los círculos de Mohr. [11]. ................................... 8

Figura 1-4: Envolvente de Coulomb- Navier. [11]. ...................................................... 8

Figura 1-5: Rectas de Coulomb-Navier. [8]. ................................................................ 9

Figura 1-6: Compaginación teoría de Mohr y teoría de Coulomb. [8]. ....................... 10

Figura 1-7: Regiones de estabilidad y de falla según criterio de Mohr-Coulomb [8]. . 10

Figura 1-8: Envolvente de falla y reconocimiento de los parámetros materiales

Cohesión C y ángulo de fricción básico φ. [5]. ................................................................ 11

Figura 1-9: Extrapolación de la recta de Mohr-Coulomb a la región de esfuerzos

negativos. [7]. ............................................................................................................... 13

Figura 1-10: Relación radio y centro del círculo de Mohr. [15]. ................................... 14

Figura 1-11. Ajuste de una recta por mínimos cuadrados. [16]. .................................. 15

Figura 1-12: Relación geométrica entre la recta de puntos máximos y la recta de Mohr-

Coulomb. [15]. ............................................................................................................... 16

Figura 1-13: Representación de los círculos de Mohr correspondientes a ensayos

triaxiales. Recta de puntos máximos y recta de Mohr-Coulomb obtenida a partir del ajuste

de la recta de puntos máximos [11][15][7]. ...................................................................... 17

Figura 1-14: Relación entre esfuerzos principales mayor y menor para Hoek y Brown y

envolvente de Mohr-Coulomb. ........................................................................................ 24

Figura 2-1 Comportamiento de las rocas a compresión. [13][9]. ................................. 26

Figura 2-2 Esquema del ensayo de compresión simple. [11]. ..................................... 28

Figura 2-3 Relación esfuerzo-deformación en un ensayo de compresión uniaxial. [7] 29

Figura 2-4: Esquema de colocación de las bandas extensiométricas. .[7]. ............... 30

Figura 2-5: : Curva esfuerzo deformación. [21]:........................................................ 32

Contenido XV

Figura 2-6: Determinación módulo de Young. [21]: .................................................. 32

Figura 2-7. Célula de compresión triaxial. [7]. .......................................................... 34

Figura 2-8: Curvas de diferencia de tensiones vs. Deformaciones axiales. [9] ......... 36

Figura 2-9: Comportamiento de un material rocoso en pruebas triaxiales a distinto

niveles de confinamiento e idealizaciones mediante endurecimiento y reblandecimiento (

Ramm, 2000). [17]. ......................................................................................................... 37

Figura 2-10: Equipo para ensayo de corte directo. [17] .............................................. 38

Figura 2-11: Ensayo de carga puntual mediante la prensa Franklin. [15]. .................. 41

Figura 2-12. Ensayo indirecto de tracción (ensayo brasileño).[15]. ............................ 42

Figura 3-1: Ensayos triaxiales ideales. ..................................................................... 47

Figura 3-2: Relaciones entre ensayo a tracción y compresión simple de una roca. . 49

Figura 3-3 Envolvente Tracom para ensayos a compresión simple y tracción con ángulo

de fricción interna y diagrama de fuerzas. ...................................................................... 54

Figura 3-4: Relación geométrica entre las rectas de puntos de tangencia de ensayos

.............................................................................................................. 57

Figura 3-5: Relación entre cohesión C de envolvente de Mohr-Coulomb y K1

envolvente Tracom. ........................................................................................................ 60

Figura 4-1. Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom para ejercicio ideal tesis. ...... 67

Figura 4-2: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom para ejercicio Arzua. ............. 70

Figura 4-3: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de Chert negro. ..................... 75

Figura 4-4 Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de Sulfuro masivo (cuerpo Zeus) .

.................................................................................................................. 78

Figura 4-5 Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de dique lutítico. ....................... 82

Figura 4-6: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de Chert negro grafitoso. ...... 86

Figura 4-7: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de formación mesa verde,

Colorado. .............................................................................................................. 90

Figura 4-8: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de arenisca techo mina Villabona

España .............................................................................................................. 95

Figura 4-9: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de margas rojas techo mina

Villabona España ........................................................................................................... 99

Figura 4-10: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca granito país Amarelo.

España. .............................................................................................................104

Figura 4-11 Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca granito Mera Blanco.

España. .............................................................................................................108

XVI Contenido

Figura 4-12: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca granito Villachán.

España. ............................................................................................................. 112

Figura 4-13: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca yacimiento El Teniente.

Sector 1. Chile ............................................................................................................. 117


Sector 2. Chile ............................................................................................................. 122


Sector 3. Chile ............................................................................................................. 127


Sector 4. Chile ............................................................................................................. 132

Contenido XVII

Lista de tablas

Pág.

Tabla 1.2–1 Valores de la constante mi para la matriz rocosa (Hoek y Brown, 199).. 19

Tabla 1.2–2: Guía para estimación del grado de perturbación D de un macizo rocoso.

Según Hoek et al. (2002). ............................................................................................... 22

Tabla 4.1–1: Coeficientes necesarios para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta

máxima. .............................................................................................................. 63

Tabla 4.1–2. Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del

ángulo de fricción interna. .............................................................................................. 64


máxima. .............................................................................................................. 68

Tabla 4.2–2: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del


Tabla 4.3–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de chert negro

mina Minera El Roble S.A. Colombia .............................................................................. 71


máxima. .............................................................................................................. 71



Tabla 4.4–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de sulfuro masivo,

cuerpo Zeus, mina Minera El Roble S.A. Colombia. ....................................................... 75

Tabla 4.4–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima 76

Tabla 4.5–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales del dique lutítico

mina Minera El Roble S.A. Colombia. ............................................................................. 79

Tabla 4.5–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima. 79

: Tabla 4.5–3. Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del


XVIII Contenido

Tabla 4.6–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de chert negro

grafitoso, mina Minera El Roble S.A. Colombia. .............................................................. 83



ángulo de fricción interna. ............................................................................................... 84

Tabla 4.7–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de la formación

mesa verde. Colorado. .................................................................................................... 87




Tabla 4.8–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de arenisca del

techo mina Villabona. España. ........................................................................................ 91




Tabla 4.9–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de Margas rojas

techo mina Villabona. España ......................................................................................... 96




Tabla 4.10–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de granito del

país Amarelo. España. .................................................................................................. 100

Tabla 4.10–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima.

......................................................................................................... 101


ángulo de fricción interna. ............................................................................................. 102

Tabla 4.11–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de granito de

Mera Blanco. España. ................................................................................................... 105


......................................................................................................... 105


ángulo de fricción interna. ............................................................................................. 106

Tabla 4.12–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de granito

Villachán. España. ........................................................................................................ 109

Contenido XIX


..........................................................................................................110


ángulo de fricción interna. .............................................................................................111

Tabla 4.13–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de andesita

yacimiento El Teniente. Chile. .......................................................................................113


..........................................................................................................114











..........................................................................................................124






..........................................................................................................129



Tabla 4.16–4: Resumen de cálculos de ángulo de fricción interna y cohesión de la

Andesita yacimiento El teniente. Chile, con regresión y ecuaciones tesis......................133

Tabla 4.16–5: Comparativo de ángulo de fricción interna, cohesión, resistencia a

compresión y resistencia a tracción de la Andesita yacimiento El teniente. Chile, con

regresión, ecuaciones tesis y programa rockdata. .........................................................134

XX Contenido

Lista de Símbolos y abreviaturas

Símbolos con letras latinas Símbolo Término Unidad SI Definición

A Área m2,cm2

∬𝑑𝑥 𝑑𝑦 , 𝜋𝐷2

4

C Cohesión ,Pa,Mpa Pascal,Megapascal)

CC Centro círculo de Mohr ,Pa,Mpa Pascal,Megapascal)

D Diámetro probeta Cm,mm Centímetro, milímetro. F Fuerza Kg,N Kilogramos, Newton. H Altura probeta Cm,mm Centímetro, milímetro.

K Cohesión ensayos tracción, compresión simple.

,Pa,Mpa Pascal,Megapascal)

m Pendiente recta envolvente de puntos máximos

n ordenada en el origen de la recta. De puntos máximos.(Cohesión).

r Coeficiente de correlación en regresión de mínimos cuadrados.

R Radio círculo de Mohr Pa, Mpa Pascal,Megapascal)

Símbolos con letras griegas Símbolo Término Unidad SI Definición

β Ángulo de falla de roca intacta. ° Grados.

Δ Triángulo Ø Ángulo de fricción interna) ° Grados.

σ Esfuerzo principal Pa,Mpa Pascal,Megapascal)

Ƭ Esfuerzo de cizalla Pa,Mpa Pascal,Megapascal)

Subíndices Subíndice Término

σ1 Esfuerzo principal mayor

σ3 Esfuerzo principal menor

σC Esfuerzo de rotura a compression simple..

σN Esfuerzo normal a un plano de falla

Contenido XXI

Subíndice Término

σRT Esfuerzo de rotura a tracción ensayo brasilero.

σT Esfuerzo normal punto tangente al círculo compresión simple.

σTT Esfuerzo máximo a tracción.

ƬT Esfuerzo de cizalla punto tangente al círculo de compresión simple.

Superíndices Superíndice Término

C’ Cohesión ensayos tracción-compresión y triaxiales.

Abreviaturas Abreviatura Término

Kg Kilogramo fuerza. N Newton (9.81N=1 Kg*m/seg2) KN Kilonewton (1*103 N) MN Meganewton (1*106N) GN Giganewton (1*109N) Sen Seno (función trigonométrica) Cos Coseno (Función trigonométrica) Tan Tangente (Función trigonométrica)

Tracom Envolvente de ensayos tracción-Compresión.

Inv--- Inverso de función trigonométrica. ΒCRIT. Ángulo critico de falla en roca intacta. ┴ Perpendicular // Paralelo ≅ Semejante.

Introducción

La resistencia de un material sólido puede considerarse como su capacidad de acumular

energía antes de desencadenar procesos de rotura inducidos por los esfuerzos a que es

sometido, ligada a sus propiedades intrínsecas, que son constitutivas al material rocoso.

Por otro lado, la resistencia de un macizo rocoso será función de la resistencia de la roca

intacta, la resistencia de las discontinuidades y de cómo éstas se distribuyen en el macizo

[1].

Cuando las geometrías de las discontinuidades controlan la estabilidad del macizo, lo más

correcto es considerar la resistencia de las estructuras [1]; Cuando no hay un control

definido de la geometría de discontinuidades, se aplican otros criterios de falla basados en

la concentración de esfuerzos, generando teorías de deformación plásticas y elásticas, que

son las más utilizadas en la actualidad.

En la presente investigación, tomaremos la teoría de falla de Mohr-Coulomb [2], que

establece tanto la resistencia como las propiedades intrínsecas de la roca, analizadas con

el apoyo de las teorías clásicas de Mohr y Coulomb.

Según Coulomb (1736-1806) [2], en un material sólido cohesivo que este en equilibrio bajo

la acción de esfuerzos externos, se cumple que tanto el esfuerzo cortante como el esfuerzo

normal, que se genera en un plano de falla, estarán determinados por las propiedades

intrínsecas de la roca: La cohesión y el ángulo de fricción interno (Parámetros materiales

de la roca). Por consiguiente, para determinar la resistencia de un material sólido (roca) es

condición necesaria y suficiente, determinar mediante ensayos de laboratorio la Cohesión

y el ángulo de fricción interna. [1][2]

Según Mohr (1835-1918) [3], cuando un punto de un material es sometido a un estado

planar de esfuerzos, existen en su interior dos planos ortogonales sobre los cuales los

2 Introducción

esfuerzos cortantes que actúan sobre ellos son nulos y los esfuerzos normales son

máximos y mínimos. [3]

Los parámetros materiales de las rocas como el ángulo de fricción interna y la cohesión,

son parámetros constitutivos requeridos para medir la resistencia de las rocas. Estos

parámetros se hallan con una serie de ensayos triaxiales y los resultados varían mucho de

un laboratorio a otro: Los resultados se obtienen gráficamente con la envolvente del circulo

de Mohr en ensayos triaxiales [4]

El criterio de falla Mohr Coulomb [5] proporciona una forma de expresar las superficies de

falla en términos del ángulo de fricción equivalente, que se define como el ángulo de

fricción de la superficie de falla de Mohr Coulomb que pasa por un punto particular en

consideración. y la estimación del ángulo de fricción interna y la cohesión se hacen

mediante una regresión lineal de los resultados de una serie de ensayos de resistencia

triaxial a una escala natural.

Los valores de cohesión y ángulo de fricción obtenidos de este análisis son muy

susceptibles a los valores de la relación entre el esfuerzo de confinamiento y el esfuerzo

principal de compresión.

Algunos autores, como Barton y Choubey (1977), Goodman (1980) [6] han recopilado una

serie de datos, para diferentes tipos de roca, del ángulo de fricción básico cuyos valores

oscilan entre 21° y 38° basados en ensayos de estas rocas y dan intervalos del ángulo en

cada tipo de roca.

Por otro lado, los softwares geotécnicos actualmente disponibles proporcionan información

de un esfuerzo normal efectivo constante en vez de un esfuerzo normal efectivo que

dependa de los valores de la Cohesión y el ángulo de fricción interna.

Se pretende considerar en esta investigación, una expresión matemática que nos pueda

dar valores más confiables de la cohesión y el ángulo de fricción interna, basados en

ensayos prácticos y fáciles de aplicar como lo son: El ensayo a compresión simple,

ensayos de carga puntual, martillo Smith y el ensayo brasilero en una muestra de roca

determinada.

Introducción 3

Los valores de cohesión y del ángulo de fricción interna obtenidos por los métodos

actuales, y desde siempre, son muy susceptibles a valores en la relación del esfuerzo de

confinamiento y el esfuerzo de compresión, encontrando que los resultados más

consistentes se obtienen cuando se usan 8 valores igualmente espaciados entre el

confinamiento y la compresión, lo que requiere de mínimo 8 muestras. [6]

La cohesión, definida por la intersección del eje vertical que representa la resistencia a la

cizalladura por la envolvente del circulo de Mhor, es mucho más alto su valor que el valor

obtenido por el análisis de regresión lineal de los datos de ensayos triaxiales, por lo que el

valor obtenido gráficamente debe reducirse en un alto porcentaje (25%), para no

subestimar la resistencia del macizo rocoso. [6]

Si se logra la expresión matemática, que se pretende en este trabajo, tendríamos unos

resultados mucho más confiables de los valores de cohesión y ángulo de fricción, además

que serían resultados basados en ensayos que no presentan tantos inconvenientes en sus

resultados como los que presentan los muchos ensayos triaxiales.

Los datos necesarios para aplicar la relación matemática, entre esfuerzo a compresión,

esfuerzo a tracción, cohesión y ángulo de fricción, que se busca se obtendrían de una

manera más rápida y con menores costos de los que se requieren con los ensayos

triaxiales.

En el desarrollo del trabajo, tendremos un capitulo 1 sobre criterios de falla en roca, donde

desarrollaremos los dos criterios de falla de rocas más utilizados como son el criterio de

Mohr-Coulomb y el criterio de falla de Hoek y Brown, aunque para nuestro propósito

haremos énfasis en el criterio de falla de Mohr-Coulomb.

En el capítulo 2, ensayos de rocas en el laboratorio, hablaremos de los ensayos más

comunes como son ensayos de compresión simple, ensayos de compresión triaxial,

ensayo de tracción brasileño, ensayo de carga puntual y ensayo de corte directo con el fin

de conocerlos y cuáles de éstos nos pueden servir para nuestro propósito.

4 Introducción

El capítulo 3, procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las

propiedades intrínsecas de la roca con ensayos de tracción y compresión simple,

desarrollaremos una serie de relaciones geométricas para alcanzar, de manera sencilla y

satisfactoria, las ecuaciones que nos hemos propuesto en el presente trabajo. Al final se

presentarán las ecuaciones deducidas para hallar el ángulo de fricción interna, la cohesión

y otras características de la roca en función, solamente, de la resistencia atracción y a

compresión de la roca.

En el capítulo 4, utilización y validación de las ecuaciones deducidas en el capítulo 3, se

presentarán un total de 20 estudios de resistencia de rocas con ensayos a tracción, a

compresión y ensayos triaxiales, dentro de estos 20 análisis tenemos, el primero, que es

un caso ideal para demostrar la validez de las ecuaciones, los otros casos serán analizados

con respecto a sus resultados.

El capítulo 5, conclusiones y recomendaciones, hablaremos de los resultados obtenidos

en el capítulo 4 y el aporte, tan importante, que podría tener el presente trabajo, con sus

ecuaciones, para el trabajo en campo y para el diseño de labores mineras, tanto en

superficie como subterránea, de una manera rápida, económica y sencilla en la obtención

de los parámetros intrínsecos de la roca, como de otros aspectos relacionados con la

resistencia de las rocas, como por ejemplo el punto de posible falla de una roca intacta.

Es importante decir que este trabajo abre las posibilidades de iniciar nuevas

investigaciones, de acuerdo a algunas expresiones que se obtienen y que no se

profundizan en éste.

1. Criterios de falla en rocas.

Ante la práctica para determinar las leyes que rigen el comportamiento constitutivo de

rocas, la resistencia a la rotura de los materiales rocosos (tanto en roca intacta como en

masas rocosas), se emplean una serie de criterios de rotura o de resistencia, obtenidos a

partir de ensayes de laboratorio y de experiencias [7]. Estos criterios son expresiones

matemáticas que representan modelos que permiten estimar la resistencia del material en

base a los esfuerzos aplicados, en sus propiedades de resistencia y predecir cuando

ocurre la rotura.

Un criterio de falla, o de rotura, es una relación entre esfuerzos que permite predecir la

resistencia de una roca sometida a un campo de esfuerzos. En general los criterios de falla

se refieren a la resistencia pico de la roca. Los criterios de falla más utilizados son los de

Mohr-coulomb y Hoek- Brown [7].

Se puede definir la resistencia de un material sólido como la capacidad que un punto

cualquiera de éste posee de resistirse a la rotura, inducida por los esfuerzos a que es

sometido, debido a sus propiedades intrínsecas, que le son exclusivas.

Para establecer tanto la resistencia como sus propiedades intrínsecas, éstas serán

analizadas con el apoyo de las teorías clásicas de Coulomb y Mohr [8]

1.1 Criterio de falla de Mohr-Coulomb.

1.1.1 Criterio de Mohr. [1][9][10][2][11]

Según Mohr (1835-1918), cuando un punto de un material es sometido a un estado planar

de esfuerzos, existen en su interior dos planos ortogonales sobre los cuales los esfuerzos

cortantes (Ƭ) que actúan sobre ellos son nulos y los esfuerzos normales (σ) son: un

máximo, σ1, y un mínimo, σ3, como se muestra en la Figura 1-1.

6 Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta.

En función de tales esfuerzos máximo y mínimo, los esfuerzos, normal y de cortante, que

actúan sobre un plano cualquiera del punto, poseen los siguientes valores:

Figura 1-1: Punto de un material sometido a un estado planar de esfuerzos. [8]

σ =1

2(σ1 + σ3) +

1

2(σ1 − σ3) ∗ cos2β ( 1.1.)

τ =1

2(σ1 − σ3) ∗ sen2β ( 1.2.)

En el que β es el ángulo de inclinación que hace un plano cualquiera con el plano sobre el

cual actúa el esfuerzo principal máximo.[1][9][10][2][11]

Los esfuerzos que se originan en todos los planos que pasan por el punto se pueden

representar en un círculo, conocido como círculo de Mohr en su honor, tal como aparece

en la Figura 1-2., en la que:

OB es el plano principal mayor, sobre el que actúa σ1.

OA es el plano principal menor, sobre el que actúa σ3.

OC es un plano cualquiera sobre el que actúan un esfuerzo normal, σ, y en esfuerzo

cortante, Ƭ.[8]

Según la teoría de Mohr, el material se romperá cuando el esfuerzo de corte Ƭ en el plano

de rotura alcance un determinado valor, que depende del esfuerzo normal σ, que actúa

Criterios de falla en rocas 7

sobre dicho plano, o bien, si el esfuerzo principal de tracción máxima alcanza el valor de

la resistencia a la tracción Ƭ0, es decir σ3= Ƭ0.

Figura 1-2. Círculo de Mohr. [8].

Mediante ensayos de laboratorio, se obtienen una serie de círculos, uno por cada ensayo.

Estos círculos representan el estado tensional del material en el momento de la rotura, en

ejes σ, Ƭ.

La relación Ƭϴ = f (σϴ), definida como la envolvente de los círculos de Mohr, es una curva

de tipo parabólico, Figura 1-3, que divide el plano σ,Ƭ en dos zonas, de tal forma que para

un estado de esfuerzos del material representado por un circulo situado completamente en

el interior de la envolvente definida anteriormente, el material no se romperá.

Cuando el circulo representativo de las tensiones del material es tangente a la envolvente,

en un punto, el material se romperá según un plano que forma un ángulo β con el esfuerzo

de compresión σ3.Por último, cuando es secante a la mencionada envolvente, se han

superado los esfuerzos límites del material y éste se romperá.[11][7]


Figura 1-3. Envolvente no lineal de los círculos de Mohr. [11].

1.1.2 Criterio de Coulomb-Navier.

Dada la imposibilidad de encontrar una solución matemática de la envolvente definida por

Mohr, en el criterio de Coulomb-Navier se obtiene una aproximación de la envolvente

suponiendo que dicha envolvente es una recta[11][12]. Figura 1-4.

Figura 1-4: Envolvente de Coulomb- Navier. [11].

La ecuación de la recta es:

τ = ±(𝐶 + 𝜎𝑁𝑡𝑎𝑛𝜙) ( 1.3.)

Que es la llamada “Recta de Coulomb” [8]


El signo ± se debe a la simetría de los círculos respecto al eje σ; por consiguiente,

aparecerán dos rectas tangentes a la serie de círculos. Figura 1-5.

C, define la cohesión del material.

Φ, define el ángulo de rozamiento interno, pendiente de la recta.

𝝈𝑵, Esfuerzo normal que actúa sobre el plano de rotura.

(𝝈𝑵= σ ) σ =1

2(σ1 + σ3) +

1

2 σ1 − σ3∗cos2β

( 1.1.)

Ƭ, Esfuerzo tangencial sobre el plano de rotura.

τ =1

2(σ1 − σ3) ∗ sen2β (.1.2.)

Figura 1-5: Rectas de Coulomb-Navier. [8].

1.1.3 Compaginación de los criterios de Coulomb y Mohr.

El criterio de falla de Mohr- Coulomb es una compaginación de las teorías de Coulomb y

la teoría Mohr. El criterio puede expresarse en función de los esfuerzos principales,

permitiendo obtener la resistencia en cualquier plano definido por el ángulo β.[8].La Figura

1-6 es la representación de lo que sucede al interior del punto analizado, en el que la recta

𝛕 = ±(𝑪 + 𝝈𝑵𝒕𝒂𝒏𝝓) corresponde a la teoría de Coulomb y el circulo a la de Mohr.


Figura 1-6: Compaginación teoría de Mohr y teoría de Coulomb. [8].

El punto de equilibrio R, en la Figura 1-6, pertenecerá tanto a la curva de resistencia de

coulomb, como al círculo de Mohr y será el punto de tangencia de ambos y a él se llega

cuando σ y Ƭ alcanzan los valores σR y ƬR, que son los esfuerzos de equilibrio, por encima

de los cuales el material se rompe y β alcanza el valor del ángulo de rotura.[8].

Se crean zonas de estabilidad y zonas de inestabilidad separadas por una línea de fractura

que sería la recta de Coulomb. Figura 1-7.

Figura 1-7: Regiones de estabilidad y de falla según criterio de Mohr-Coulomb [8].

c

R

R

cCR tan

3 1

2 O B A


El criterio de rotura supone que la envolvente de los círculos de Mohr-Coulomb

correspondientes a las combinaciones críticas de los esfuerzos principales, o sea, las que

dan lugar a la rotura, es lineal. Figura 1-8. [5][7].

La rotura se produce cuando el esfuerzo cortante aplicado al material iguala la resistencia

friccional del mismo, asociado con el esfuerzo normal en el plano de rotura, más la

cohesión.[5]

Este criterio de rotura además predice el plano por donde se supone que romperá el

material.

Figura 1-8: Envolvente de falla y reconocimiento de los parámetros materiales Cohesión C y ángulo de fricción básico φ. [5].

Teniendo en cuenta la recta de Coulomb y reemplazando las ecuaciones (1.1) y (1.2), se

puede obtener la relación entre σ1 y σ3 en el momento de la rotura.[9][13][14]

(σ1−σ3)

2sen2β = C + [

(σ1+σ3)

2+(σ1−σ3)

2cos2β ] ∗ tanϕ ( 1.4.)


Despejando σ1 y reorganizando se obtiene que:

σ1 − σ3 =2(C+σ3∗tanϕ)

[sen2β(1−tanϕ

tanβ)]

( 1.5.)

En la rotura 2β= 90° + φ, Figura 1-4. Donde β = 45° + φ/2, este es el ángulo de mayor

probabilidad de falla de la roca intacta; lo llamaremos βcrit.

βcrit. =π

4+ϕ

2 ( 1.6.)

Si se reemplaza el valor de βcrit. en la ecuación

σ1 − σ3 =2(C+σ3∗tanϕ)

[sen2β(1−tanϕ

tanβ)]

( 1.5.)

se puede obtener que:

σ1 =(1+senϕ)

(1−senϕ)∗ σ3 +

2C∗cosϕ

(1−senϕ) ( 1.7.)

Cuando σ3 es cero, σ1 representa la resistencia a la compresión, que se representará

mediante σc.

𝜎c =2𝐶∗𝑐𝑜𝑠𝜙

(1−𝑠𝑒𝑛𝜙) ( 1.8.)

Y cuando σ1 es cero, σ3 representa la resistencia a la tracción, que se representará

mediante σT.

𝜎T =−2𝐶∗𝑐𝑜𝑠𝜙

(1+𝑠𝑒𝑛𝜙) ( 1.9.)

Esta teoría pierde su significado cuando la roca se somete a tracción, cuando se extrapola

la recta a la región de esfuerzos negativo, es aconsejable interrumpirla al llegar al valor de

la resistencia de rotura a la tracción, σRT, obtenida a partir de ensayos de laboratorio[7],

como se muestra en la Figura 1-9.


Figura 1-9: Extrapolación de la recta de Mohr-Coulomb a la región de esfuerzos negativos. [7].

1.1.4 Representación del criterio de Mohr-Coulomb.

Para representar el criterio de falla de Mohr-Coulomb hay que ajustar una recta que sea

tangente a los círculos de rotura obtenidos mediante ensayos triaxiales. Figura 1-8.

Debido a que diversos factores, inherentes a las rocas y a los propios ensayos, inducen

errores en los resultados de éstos, el ajuste no suele tener una solución matemática

exacta, ya que habrá círculos que son cortados por la recta de Mohr-Coulomb y otros que

se aproximen a ella sin ser tangentes ni secantes.[7][14].

Para realizar la representación de los círculos de Mohr, considerando que, para cada

ensayo mostrado, el esfuerzo de rotura y el esfuerzo de confinamiento son los esfuerzos

principales mayor y menor, respectivamente, se dibujan dos puntos sobre el eje de las

abscisas de unos ejes de coordenadas cartesianas σ-Ƭ.[15].

El eje de las abscisas representa el esfuerzo normal σ y el eje de las ordenadas el esfuerzo

tangencial o de corte Ƭ. Sobre el eje de las abscisas se llevan los dos esfuerzos para cada

ensayo: un punto será el representativo del esfuerzo principal menor σ3 el otro punto


representará el esfuerzo principal mayor σ1,.Figura 1-10. Se puede determinar entonces

el radio de cada circunferencia Rc como:

Rc =(σ1−σ3)

2 ( 1.10.)

Y el centro de la circunferencia Cc como:

C𝑐 =(σ1+σ3)

2 ( 1.11.)

Los puntos máximos de Ƭ, Ƭmáx., positivo, de los círculos de Mohr, definidos como el radio

del círculo Rc.

Los puntos máximos del círculo estarán definidos por Cc y Ƭmáx. o sea (σ1+σ3)

2 y

(σ1−σ3)

2

[7][15]

Figura 1-10: Relación radio y centro del círculo de Mohr. [15].

Se ajusta una recta, por el método de mínimos cuadrados Figura 1-11. [16], a los puntos

máximos de los círculos de Mohr obtenidos en los ensayos triaxiales, cuyas coordenadas

son ((𝝈𝟏+𝝈𝟑)

𝟐 ,

(𝝈𝟏−𝝈𝟑)

𝟐) =( centro del círculo, radio del circulo)= (Xi,Yi). [7][15]. Mediante el


ajuste se obtendrá una expresión de la recta máxima Y=m.X + n. donde m es la pendiente

de la recta máxima y n es la ordenada en el origen de la recta. (Cohesión).

La estimación de la pendiente y la ordenada de origen de la recta Y=mX + n se realiza a

partir de las sumatorias los puntos disponibles:

Figura 1-11. Ajuste de una recta por mínimos cuadrados. [16].

Coeficiente de correlación lineal (r).

r =NSxy−SxSy

√NSxx−SxSx√NSyy−SySy ( 1.12.)

/r /=1 Correlación total.

r = 0 No hay correlación

N= Número de ensayos

m =NSxy−SxSy

NSxx−SxSx ( 1.13.)

n =SxxSy−SxSxy

NSxx−SxSx ( 1.14.)


Donde:

𝑆𝑥 = ∑ 𝑋𝑖𝑁𝑖=1 ( 1.15.)

𝑆𝑦 = ∑ 𝑌𝑖𝑁𝑖=1 ( 1.16.)

𝑆𝑥𝑥 = ∑ 𝑋𝑖2𝑁

𝑖=1 ( 1.17.)

𝑆𝑦𝑦 = ∑ 𝑌𝑖2𝑁

𝑖=1 ( 1.18.)

Xi representa la componente de cada punto en abscisas ((𝝈𝟏+𝝈𝟑)

𝟐).

Yi representa la componente de cada punto en ordenadas ( (𝜎1−𝜎3)

2).

N representa el número de muestras.

Las variables m y n representan, respectivamente, la pendiente y la ordenada en el origen

de la recta de ajuste.[15]

Una vez hecho el ajuste de la recta a los puntos máximos, Y= mX+n, de los círculos dé

Mohr, se procede a calcular la recta de la envolvente de Mohr- Coulomb de acuerdo a las

relaciones geométricas entre ésta y la recta máxima. Figura 1-12. [15][11].

Figura 1-12: Relación geométrica entre la recta de puntos máximos y la recta de Mohr-Coulomb. [15].


Φ es el ángulo que forma la recta de Mohr Coulomb con el eje de las abscisas.

α es el ángulo que forma la recta de puntos máximos con el eje de las abscisas

ON = C Cohesión, es la ordenada en el origen de la recta de Mohr-Coulomb.

OM es la ordenada en el origen de la recta de puntos máximos.

Realizando las relaciones geométricas de acuerdo a la Figura 1-12 se obtiene que:

∅ = sin−1𝑚 ( 1.19.)

𝑐 =𝑛

𝑐𝑜𝑠 ∅ ( 1.20.)

Las ecuaciones (1.19) y (1.20) son las relaciones entre ambas rectas. Figura 1-13.

[11][15][7].

Figura 1-13: Representación de los círculos de Mohr correspondientes a ensayos triaxiales. Recta de puntos máximos y recta de Mohr-Coulomb obtenida a partir del ajuste de la recta de puntos máximos [11][15][7].


1.2 Criterio de falla de Hoek y Brown [17].

Es propuesto por Hoek y Brown (1980), es un criterio de rotura no lineal para evaluar la

resistencia de la matriz rocosa ( roca intacta) isotrópica en condiciones triaxiales.[17]

Este criterio se desarrolló, en un comienzo, para determinar la resistencia de los macizos

de roca dura. Debido a la falta de alternativas adecuadas, el criterio se ha aplicado a una

amplia variedad de macizos rocosos, incluyendo roca de muy mala calidad.[18].

El criterio es meramente empírico, y por lo tanto no existen formas “correctas” de interpretar

las diversas relaciones que se pueden obtener.[18]

Las propiedades de las rocas que se incluyen en este criterio para determinar su

resistencia en los ensayos de laboratorio, son:

Resistencia a la compresión simple σci.

Constante de material rocoso mi.

Cuando se trata de macizos rocosos en lugar de rocas, a estos dos parámetros hay que

añadir otros dos más incluso un tercero cuando el macizo ha sido alterado por voladuras

o por relajación tensional.[7]

1.2.1 Criterio de rotura de Hoek y Brown para roca intacta.

𝝈𝟏 = 𝝈𝟑 + 𝝈𝒄𝒊 [𝒎𝒊𝝈𝟑

𝝈𝒄𝒊+ 𝟏]

𝟎.𝟓 ( 1.21.)

Donde:

σ1 Esfuerzo efectivo máximo (principal mayor) en la falla.

σ3 Esfuerzo efectivo mínimo (principal menor) en la falla.

mi Constante material del material de roca intacta.

σci. Es la resistencia a la compresión uniaxial de la matriz rocosa.


El parámetro mi puede obtenerse de la Tabla 1.2–1 cuando no se tengan ensayos triaxiales

en la roca.

La resistencia a compresión simple de la roca se obtiene cuando se sustituye σ3=0 en la

ecuación (1.15) y la resistencia a la tracción se obtiene resolviendo para σ1=0 y

σ3= σt.[17]

σ1 = σci ( 1.22.)

σt =σci

2(mi −√mi

2 + 4) ( 1.23.)

La relación entre los esfuerzos principales efectivos en la condición de falla para un tipo

de roca dado, está definido por dos constantes, la resistencia a la compresión no confinada

σci y una constante mi. Estos dos valores, siempre que sea posible, deben determinarse

mediante análisis estadístico de los resultados obtenidos en una serie de ensayos triaxiales

efectuados sobre testigos de sondajes cuidadosamente preparados [19].

También se puede calcular mi a partir de la siguiente relación:

𝑚𝑖 =σci

σt−

σt

σci ( 1.24.)

Tabla 1.2–1 Valores de la constante mi para la matriz rocosa (Hoek y Brown, 199)


1.2.2 Criterio de rotura de Hoek y Brown para la masa rocosa.

El criterio de falla generalizado de Hoek y Brown para macizos rocosos fracturados está

definido por:[19]

σ1 = σ3 + σci [mbσ3

σci+ s]

a

( 1.25.)

Donde:

σ1 Esfuerzo efectivo máximo (principal mayor) en la falla.

σ3 Esfuerzo efectivo mínimo (principal menor) en la falla.

mb Constante material del macizo rocoso (ángulo de fricción)

s y a son constantes que dependen de las características del macizo rocoso (s: cohesión;

a: control de curvatura, a= 0.5)

σci. Es la resistencia a la compresión uniaxial de los trozos o bloques de roca intacta que

conforman el macizo rocoso.

El valor de σci., es decir, la resistencia a compresión simple de la roca se debe obtener de

los correspondientes ensayos de laboratorio. Para estimar la constante mi es conveniente

realizar ensayos triaxiales.[7]

La ecuación (1.25) del criterio de Hoek y Brown se puede expresar de la siguiente forma:

[σ1 − σ3]2 = σcimbσ3 + sσci

2 ( 1.26.)

Haciendo que:

[𝝈𝟏 − 𝝈𝟑]𝟐 = 𝒀 ( 1.27.)

σ3 = 𝑋 ( 1.28.)

entonces:


𝑌 = 𝜎𝑐𝑖𝑚𝑏𝑋 + 𝑠𝜎𝑐𝑖2 ( 1.29.)

Ecuación de una recta de regresión de mínimos cuadrados de “Y” sobre “X”.[11] donde:

σcimb es la pendiente y

sσci2 es la ordenada en el origen.

Para roca intacta, haciendo s=1, y con el ajuste de mínimos cuadrados permite obtener el

valor de mi, a partir de los resultados de ensayos triaxiales [11].

Los valores de las constantes mb y s, pueden determinarse a partir del índice GSI,

(Gelogical Strength Index), que evalúa la calidad del macizo rocoso en función de las

características de fracturación y alteración de las discontinuidades. El GSI equivale al

RMR-5; RMR ( Rock Mass Rating) [17][19][18][12].

mb = miexp (GSI−100

28−14D) ( 1.30.)

S = exp (GSI−100

9−3D) ( 1.31.)

a =1

2+1

6(e−GSI 15⁄ − e−20 3⁄ ) ( 1.32.)

Para roca intacta mi es calculada con ensayos triaxiales. S=0 y a= 0.5.

El parámetro D, grado de alteración (Disturbance Factor), que determinará la resistencia

del macizo rocoso se podría estimar de acuerdo con Hoek et al. (2002) de acuerdo con la

Tabla 1.2–2 [7].


Tabla 1.2–2: Guía para estimación del grado de perturbación D de un macizo rocoso. Según Hoek et al. (2002).

1.3 Estimación de los parámetros de Mohr-Coulomb del macizo a partir del criterio de rotura de Hoek y Brown.

La mayoría de programas geotécnicos suelen utilizar el criterio de rotura de Mohr-Coulomb,

ya que se está más familiarizado con los parámetros de cohesión y fricción que con

aquellos propios de criterio de rotura de Hoek y Brown, resulta necesario ser capaz de

determinar los ángulos de fricción y cohesiones correspondientes a cada macizo rocoso

para cada gama de tensiones.[7].

Hoek, Carranza-Torres y Corkum (2002) proponen utilizar un ajuste basado en la regresión

lineal media de la ecuación (1.18) para un rango de esfuerzos principales menores tal que

σt˂σ3˂σ3 máx.., como se ilustra en la Figura 1-14 El proceso implica equilibrar las áreas

por encima y por debajo de la recta de Mohr-Coulomb. De esta resultan las siguientes

expresiones del ángulo de fricción φ y la cohesión C.

∅′ = sin−1 [6∗𝑎∗𝑚𝑏(𝑠+𝑚𝑏∗𝜎3𝑛

′ )𝑎−1

2∗(1+𝑎)(2+𝑎)+6∗𝑎∗𝑚𝑏(𝑠+𝑚𝑏∗𝜎3𝑛′ )

𝑎−1] ( 1.33.)


𝑐′ =𝜎𝑐𝑖[(1+2𝑎)𝑠+(1−𝑎)𝑚𝑏∗𝜎3𝑛

′ ](𝑠+𝑚𝑏∗𝜎3𝑛′ )

𝑎−1

(1+𝑎)(1+2𝑎)√1+(6∗𝑎∗𝑚𝑏(𝑠+𝑚𝑏∗𝜎3𝑛

′ )𝑎−1

)

(1+𝑎)(1+2𝑎)⁄

( 1.34.)

Donde [18][7]:

𝜎3𝑛′ = 𝜎3𝑚𝑎𝑥.

′

𝜎𝑐𝑖 ( 1.35.)

Hoek et al. (2002) definieron un nuevo concepto de “resistencia global” del macizo rocoso,

que interpreta el comportamiento general del macizo y sirve de comparación. En cambio,

el uso de la resistencia a la compresión del macizo se aplica a la propagación de la falla.

La resistencia global está dada por:

𝜎𝑐𝑚 =2𝐶′ cos∅

1−sin∅ ( 1.36.)

Para 𝜎1 < 𝜎3′ <𝜎𝑐𝑖

4

Podemos observar que la ecuación (1.36) es similar a la ecuación (1.8) de la resistencia a

compresión de Mohr-Coulomb, sólo cambia la cohesión.


Figura 1-14: Relación entre esfuerzos principales mayor y menor para Hoek y Brown y envolvente de Mohr-Coulomb.

2. Ensayos de roca en el laboratorio.

Deducir las propiedades mecánicas de las rocas sometidas a compresión a partir de las

características de los cristales, partículas y material cementante que las componen y de

las microfisuras y otras discontinuidades de mayor rango existentes en ellas, es

prácticamente imposible. Por ello hay que recurrir a los ensayos de laboratorio para

determinar dichas propiedades.

Es necesario conocer las propiedades mecánicas de la roca, en cuanto a su resistencia y

deformabilidad. Las propiedades de la roca, cuyo conocimiento presentan mayor interés

son: el módulo de elasticidad, el coeficiente de Poisson, la cohesión y la fricción. Sin

embargo, estos parámetros sólo pueden ser estimados aproximadamente, a partir de

ensayos de laboratorio.[11]

2.1 Comportamiento de las rocas a compresión.

Uno de los problemas más importantes de la mecánica de rocas consiste en determinar

las propiedades mecánicas de éstas cuando se hallan en un estado de esfuerzo

compresivo, lo cual se consigue principalmente mediante los ensayos de compresión

simple y triaxial.[13][9] Cuando se ejerce sobre una roca un esfuerzo desviador de

compresión se obtienen resultados como los que se pueden ver en la Figura 2-1. Nada

más al aplicar el esfuerzo ciertas fisuras y poros comienzan a cerrarse, lo cual genera una

deformación inelástica y la curva esfuerzo-deformación muestra una concavidad hacia

arriba. Esta fase, que se denomina de cierre de fisuras y termina en el punto de ordenada

σ1c, va seguido de un tramo recto durante el cual la relación entre el esfuerzo axial, la

deformación axial y la deformación lateral es lineal. La pendiente de dicha recta en unas

coordenadas σ1-Ꜫ1 es el módulo de Young o módulo de elasticidad de la roca y la relación

Ꜫ3 y Ꜫ1 es su coeficiente de Poisson.


A continuación, la pendiente de la deformación lateral comienza a disminuir, debido a que

se forman nuevas microfisuras subverticales en la roca. La dirección de las microfisuras

que comienzan a formarse es, en términos generales, paralela al esfuerzo σ1. Este tramo

se denomina propagación estable de las fisuras, comienza en el punto de ordenada σ1F,

denominado umbral de fisuración, y termina en la ordenada σ10; este último esfuerzo se

puede considerar como la resistencia a largo plazo de la probeta. Propagación estable

quiere decir que a cada incremento del esfuerzo corresponde un aumento finito de la

longitud de las microgrietas y que éstas cesan de crecer al dejar de aumentar el esfuerzo.

Figura 2-1 Comportamiento de las rocas a compresión. [13][9].

A continuación, el ensayo entra en el tramo denominado de propagación inestable de las

fisuras, en el cual éstas empiezan a alcanzar los extremos de la probeta, a incrementarse

y a coalescer unas con otras hasta dar lugar a una superficie de fractura semicontinua.

Este proceso, durante el cual disminuye la pendiente de la curva σ-Ꜫ, continua hasta que

alcanza la resistencia máxima de la probeta σ1M. Esta carga se conoce como resistencia

de pico y es la que suele definir los criterios de rotura.

Ensayos de roca en el laboratorio. 27

Sin embargo, el ensayo no se acaba en este punto, si la rigidez de la prensa es superior a

la rigidez de la probeta; es posible continuar el ensayo hasta llegar a la resistencia residual

de la roca, para ello es necesario ir reduciendo el esfuerzo aplicado ya que la probeta se

sigue deformando, pero cada vez resiste menos. Esta última fase entre la resistencia pico

y la residual es a veces de gran importancia en los pilares de una mina subterránea. La

resistencia residual en el ensayo de compresión simple es nula, mientras que en el ensayo

triaxial adquiere un valor correspondiente al ángulo de fricción de las partículas de roca

rota.[7]

2.2 Ensayo de compresión uniaxial.

Este ensayo sirve para determinar la resistencia a compresión uniaxial de una probeta

cilíndrica de roca de altura entre el doble y el triple del diámetro [7][9][2]. Normalmente

estas probetas se obtienen a partir de testigos de perforación. También se pueden obtener

muestras a partir de bloques de roca; la extracción de estos bloques en la mina o en la

obra se debe llevar a cabo sin voladuras, ya que éstas pueden generar en la roca nuevas

microfisuras o aumentar las existentes, lo cual se traduciría en una pérdida de resistencia

de las probetas que se obtengan de ellos.

Este ensayo también proporcionar las constantes elásticas de la roca, es decir, su módulo

de Young y su coeficiente de Poisson. [7][9][2].

Averiguar la resistencia a compresión simple de una roca es importante porque permite

clasificar la roca según su resistencia, es un parámetro importante en los criterios de rotura

más utilizados (Mohr-Coulomb y Hoek-Brown) [7][9][2].

En una prueba de compresión uniaxial, la dirección de la carga principal se llama dirección

principal máxima y no hay otras cargas (Fuerzas) que trabajan en otra dirección. Se debe

ejercer la atención al hecho de que la convención para definir la dirección del esfuerzo

principal puede ser diferente de la ciencia de la tierra y física. En física, generalmente se

define el esfuerzo de tracción, y la deformación extensional como positiva, mientras que

en la ciencia de la tierra es lo contrario. Definimos el esfuerzo de compresión, y

deformación compresional como positiva, simplemente porque el estado nominal en la

corteza es compresivo y compresional (piense en un buceador a la profundidad de 100 m,


pero el material no es agua es la roca ahora, y el estrés de compresión normal es de 2,5

MPa a una profundidad de 100 m de roca) [20].

El ensayo a compresión simple ha sido normalizado en muchos países (norma ASTM

4543). Los aspectos básicos de las normas existentes son los siguientes [7]:

Deben utilizarse probetas cilíndricas de diámetro superior a 50 mm y, por lo menos,

10 veces mayor que el tamaño del grano o cristal más grande existente en la roca.

Su altura debe ser de 2.0 a 2.5 veces el diámetro aproximadamente.

La probeta no debe contener discontinuidades geológicas que la atraviesen

Las superficies del cilindro de roca que están en contacto con las placas de la

prensa con la que se realiza el ensayo deben ser planas, con una precisión de 0.02

mm, y no deben separarse de la perpendicularidad al eje de la muestra en más de

0.001 radianes, o sea, 0.05 mm en 50 mm.

La carga se debe aplicar a una velocidad constante de 0.5 – 1.0 MPa/seg.

Para realizar el ensayo, hay que disponer de una prensa de capacidad adecuada que

permita aplicar la carga sobre la probeta a velocidad constante (0.5 – 10 MPa) hasta que

se produzca la rotura en la misma en un intervalo de tiempo entre 5 y 15 minutos.

La probeta se coloca entre los discos de la prensa (ver Figura 2-2), bien centrada. Se

aplica una carga de asentamiento. En ese momento el reloj indicador se pone en cero. Se

fija la velocidad de aplicación de la carga, dando comienzo a la compresión, hasta que la

muestra se rompa.[11]

Figura 2-2 Esquema del ensayo de compresión simple. [11].


Para que este ensayo fuera estrictamente de compresión simple, los esfuerzos dentro de

la probeta deberían ser uniaxiales en todos los puntos. Pero, debido a la fricción entre la

muestra y las placas de la prensa, derivada de la diferencia entre los módulos elásticos de

la roca y del acero, la probeta no se puede expansionar libremente en sus extremos

superior e inferior al ser comprimida [11]

Por este motivo, se ha establecido que, en los ensayos de compresión, la relación

altura/diámetro de la probeta sea igual o superior a 2.[7]

La resistencia a compresión uniaxial σc se obtiene dividiendo la carga máxima (fuerza) a

la que se ha sometido la muestra, por el área de la sección normal de la misma. Figura

2-3.

Figura 2-3 Relación esfuerzo-deformación en un ensayo de compresión uniaxial. [7]

σC =F

A ( 2.1.)

A =𝜋D2

4 ( 2.2.)

Donde:


σc resistencia a la compresión de la probeta.

F, Fuerza o carga máxima a la que ha sido sometida la probeta durante el ensayo.

A área de la sección normal a σ1.

Si la relación Z

D es inferior a 2, se aplica la siguiente ecuación de ajuste.[7]

σc =σC1

[0.88+(0.24∗D

Z)]

( 2.3.)

Donde:

σC resistencia a la compresión de la probeta.

A área de la sección normal a σ1.

σC1 Esfuerzo de rotura de la probeta

En general, en los ensayos de compresión simple no es posible observar el

comportamiento de la probeta después de que alcanza su resistencia máxima, ya que en

esos momentos se produce una rotura de la roca de forma explosiva.[7]

De los ensayos de compresión uniaxial se puede determinar también el módulo de Young

y el coeficiente de Poisson de la roca. Para ello es necesario medir las deformaciones

axiales y laterales de la probeta durante el proceso de carga, lo cual se realiza mediante

cuatro bandas extensiométricas, dos axiales y dos laterales, que se pegan directamente

sobre la roca. Figura 2-4.[7].

Figura 2-4: Esquema de colocación de las bandas extensiométricas. .[7].


Con los datos de las bandas extensiométricas, se dibuja la curva Esfuerzo- deformación

Figura 2-5.

Al principio de la curva, la deformación es elástica, es decir, si el esfuerzo se retira, el

cuerpo vuelve a su estado original. Con deformación puramente elástica, la deformación

es una función lineal de la tensión; Es decir, el material obedece la ley de Hooke.[2]

σ = Eε ( 2.4.)

Donde: E es el módulo de elasticidad o módulo de Young.

𝜀 es la deformación unitaria axial.

El módulo de Young (E) se puede expresar como:

𝐸 =𝜎

𝜀𝑎𝑥.=

𝐹

𝐴∆𝐿

𝐿

( 2.5.)

Donde: ∆L es el cambio en la longitud de la probeta.

L es la longitud original de la probeta.

𝜀𝑎𝑥.=𝜀 es la deformación unitaria axial.

El módulo de Young puede determinarse de las siguientes maneras[21]:

Módulo medio EM, o pendiente de la porción recta de la curva.

Módulo tangente ET, pendiente de la curva en un punto determinado de la misma

(generalmente al 50% de la resistencia pico. También E50).

Módulo secante Es o pendiente de la línea recta que une el origen de la recta con

la resistencia pico.


Figura 2-5: : Curva esfuerzo deformación. [21]:

Las dos primeras aportan valores más representativos, y además suelen coincidir los

resultados. Figura 2-6.

Figura 2-6: Determinación módulo de Young. [21]:

.

Para determinar el coeficiente de Poisson, se requiere por lo menos una banda

extensiométrica vertical y otra horizontal, para medir los desplazamientos

correspondientes durante el proceso de compresión.


Una vez terminado el ensayo, se trazan las curvas esfuerzo-deformación axial y esfuerzo-

deformación lateral (radial o diametral). Figura 2-5.[17].

El módulo de Poisson o radio de Poisson (V) se puede expresar como:[2].

V =εLAT.

εAx.=

∆d

d0∆L

L0

( 2.6.)

Donde: ∆d es el cambio en el diámetro.

D es el diámetro original de la probeta.

Ꜫlat es la deformación en la dirección lateral (radial o diametral).

Ꜫax.es la deformación en la dirección axial.

2.3 Ensayo de compresión triaxial.

Este ensayo es imprescindible para estudiar la resistencia de las rocas sometidas a un

estado triaxial de esfuerzos, que es la situación en que se encuentran con mayor

frecuencia en las obras de ingeniería. Aunque por el nombre del ensayo se podría suponer

que la roca se somete a tres esfuerzos principales distintos, en realidad no es así. Lo que

se realiza normalmente es un ensayo biaxial en el cual los dos esfuerzos principales

menores, es decir, σ2 y σ3, son iguales.[7][9][2]

El ensayo a compresión simple ha sido normalizado en muchos países (norma ASTM D

2664).

Para hacer este ensayo se requiere de une prensa de las mismas características que la

utilizada en el ensayo de compresión simple. La probeta se rodea de una membrana

impermeable flexible y se introduce en una célula de compresión triaxial. (ver Figura 2-7).


Figura 2-7. Célula de compresión triaxial. [7].

Se instala le célula en la prensa, centrada entre los discos superior e inferior. Después se

coloca el aparato de medida de las deformaciones y se conectan a la célula los conductos

de presión hidráulica.

Se va elevando lentamente la presión lateral del fluido hasta el nivel previamente

determinado y al mismo tiempo se va aplicando carga axialmente de tal manera que la

deformación de la probeta permanezca constante. Cuando se alcanza el nivel de presión

lateral predeterminado, se asigna el valor cero a la carga axial registrada en ese momento.

Al llegar a ese punto, se empieza a aplicar carga axialmente hasta que la carga

permanezca constante o disminuya, o también, hasta alcanzar un valor de la deformación

axial predeterminado. La presión de confinamiento se mantiene constante durante todo el

ensayo.

Hay que anotar las lecturas de las deformaciones axiales correspondientes a cada 0.1 mm

de deformación.

Al terminar el ensayo, la carga axial y la de confinamiento se liberan lentamente hasta que

se extrae la probeta, cuya membrana se corta longitudinalmente. Es conveniente hacer un


esquema de la forma de la probeta después de la rotura, así como de anotar las

características de la misma.

La deformación axial Ꜫ, se calcula para cada nivel de deformación de 0.1 mm mediante:

ε =δ

L0 ( 2.7.)

Donde:

ɗ es la deformación total.

L0 es la longitud de la probeta.

La diferencia de esfuerzos σ1 –σ3, para cada nivel de deformación de 0.1 mm es.

𝝈𝟏 − 𝝈𝟑 =𝑭

𝑨 ( 2.8.)

donde.

F es la carga aplicada correspondiente al nivel de deformación.

A es el área de la sección transversal de la probeta.

Para cada ensayo se traza una línea curva diferencial de tensiones σ1-σ3 frente a la

deformación axial Ꜫ de estas curvas, se obtienen los valores máximos de σ1-σ3, así como

sus correspondientes deformaciones axiales Ꜫ. ver Figura 2-8.

A continuación, se dibuja un círculo de Mohr para cada ensayo, con la tensión de corte

como ordenada y la tensión normal como abscisa, correspondiendo ésta al valor máximo

de σ1-σ3. [9].

Por último, se ajusta la recta tangente a los círculos, como se vio en el numeral 1.1.4.


Al ensayar probetas de roca en laboratorio con confinamiento y altos niveles de esfuerzo

para llevar al material más allá de la rotura, se obtiene plastificación de la roca con

endurecimiento o reblandecimiento ( ver Figura 2-9).

Las características básicas de los tipos de comportamiento que se muestran en la Figura

2-9 se pueden explicar como: [17][22][21][23][2]:

a) Falla frágil: Bajo confinamiento, linealidad de Ꜫ1 casi hasta el esfuerzo pico, rotura

súbita, cuando comienza a apreciarse fluencia aumenta el volumen hasta la rotura.

b) Flujo inestable: Esfuerzo de confinamiento alto, bajo nivel de fluencia, la muestra

se mantiene entera y el volumen incrementa hasta antes del esfuerzo pico, la falla

suele ocurrir de acuerdo a la falla de Mohr-Coulomb.

c) Plasticidad perfecta: existe en condiciones de altos niveles de confinamiento, el

espécimen mantiene su integridad a cualquier deformación, no hay cambio de

volumen.

d) Flujo estable: ocurre en muy altos niveles de confinamiento, después del inicio de

la fluencia comienza un endurecimiento con pérdida de volumen.

Figura 2-8: Curvas de diferencia de tensiones vs. Deformaciones axiales. [9]


Figura 2-9: Comportamiento de un material rocoso en pruebas triaxiales a distinto niveles de confinamiento e idealizaciones mediante endurecimiento y reblandecimiento ( Ramm, 2000). [17].

2.4 Ensayo de corte directo. [9].

Una de las principales conclusiones es que la falla de rocas bajo los ensayos de

compresión uniaxial o triaxial usualmente ocurre a través del fallo por cizallamiento.

Muchos diseñadores de presas también creen que la resistencia de los pilares de roca

para presas depende de la resistencia a la cizalla de la roca. Por esta razón, la mayor

importancia se añade a las pruebas de cizallamiento.[9].

El ensayo de corte directo requiere una caja de corte como la indicada en la Figura 2-10.

La caja está hecha en dos mitades, siendo fija la mitad inferior mientras que la otra mitad

es móvil, según un plano horizontal. Entre las dos partes de la caja y en sentido vertical,

se coloca un aparato para medir los desplazamientos verticales y análogamente se hace

para medir los desplazamientos horizontales.

Los medidores de los desplazamientos deben tener una sensibilidad de 0.02 mm y el

medidor horizontal debe permitir lecturas de hasta 25 mm de desplazamiento total.


También hay que disponer de una bomba hidráulica manual o de un sistema que puede

ser mecánico para aplicar la fuerza normal y otro similar para aplicar la fuerza de corte.[17].

El ensayo de corte directo de rocas ha sido normalizado. (norma ASTM D 5607).

El procedimiento a seguir en el ensayo es:

La muestra que contiene la junta cuya fricción se va a determinar, se talla al tamaño

conveniente para que encaje en el molde. Hay que colocar la probeta de forma tal

que el plano de discontinuidad coincida exactamente con el plano de corte.

Se moldea la probeta en hormigón; cuando éste ha fraguado, se retira la muestra

del molde y se introduce en la caja de corte. Se coloca la mitad superior de la caja

y se aplica a continuación una carga normal pequeña para evitar movimientos de

la probeta al poner a cero los indicadores de desplazamientos.

Se va aumentando la carga normal hasta llegar al valor previamente elegido. Esta

carga debe permanecer constante durante la aplicación de la tensión tangencial.

Se aplica gradualmente la carga tangencial hasta alcanzar la resistencia pico,

continuándose el ensayo hasta que se observa que basta con una carga inferior

para mantener el movimiento de corte; esta carga es la resistencia residual.

Si al llegar al desplazamiento máximo que permite la máquina, unos 25 mm, no se

ha alcanzado el valor de la resistencia residual de la junta, se suprime la tensión

normal, se coloca de nuevo la probeta en su posición primitiva y se realiza otra vez

el ensayo, hasta obtener la resistencia residual.[17][9]

Figura 2-10: Equipo para ensayo de corte directo. [17]


El esfuerzo cortante promedio máximo Ƭmáx. se calcula mediante la fórmula:

τmáx. =𝐓𝐦á𝐱.

𝐀 ( 2.9.)

Donde:

Tmáx. es la fuerza que causa la ruptura y

A es el área del plano cortado.

Debido al movimiento vertical de la parte superior de la caja, se puede suponer que la

superficie de cizallamiento está ligeramente inclinada y que se realiza una cierta cantidad

de trabajo en la dirección vertical. Se sugiere que los esfuerzos de cizalladura pueden ser

corregidos y que el corte es dado por:

τREAL = τ − α(σ + (τ2

σ)) ( 2.10.)

Donde:

σ es el esfuerzo normal sobre la superficie de corte y

α es el ángulo de inclinación del plano de corte.[9].

2.5 Ensayo de carga puntual. .[7].

Algunas veces no se dispone de material para preparar probetas adecuadas para los

ensayos de compresión simple. También puede suceder que el número de ensayos que

haya que realizar sea grande y que éstos tengan que llevarse a cabo “in situ”. En ambos

casos, el ensayo de carga puntual puede sustituir al de compresión simple.[7].

La finalidad de este ensayo es determinar la resistencia a compresión simple de la roca de

una forma muy simple, pudiendo realizarse en el campo.[11].

El ensayo de carga puntual de rocas ha sido normalizado. (norma ASTM D 5731).


En este ensayo se rompen trozos de testigo o roca de forma irregular aplicando la carga

entre dos piezas cónicas con punta esférica. Ver Figura 2-11.[17]. Las muestras que se

colocan entre dichas puntas pueden ser de cualquier forma, pero es conveniente que su

diámetro no sea inferior a 50 mm, ya que, el volumen de la probeta influye en su resistencia.

Los puntos de aplicación de la carga deben estar al menos a 0.7D de cada uno de los

bordes de la probeta. La fuerza P necesaria para romper la muestra se puede obtener

leyendo el manómetro de la bomba manual que produce la presión requerida para dicha

rotura.[15]

La roca se rompe a tracción.

Los resultados del ensayo s expresan mediante el índice de resistencia bajo carga puntual

Is definido por: [15][2].

𝑰𝒔 =𝑷

𝑫𝒆𝟐 ( 2.11.)

Donde:

P es la fuerza necesaria para producir la rotura.

De es el diámetro equivalente de la probeta.

El diámetro equivalente se puede calcular mediante la siguiente expresión:

De2 =

4WD

π ( 2.12.)

Donde:

W Es la anchura media de la muestra (semisuma de sus anchuras máxima y mínima).

D Distancia entre las puntas de los conos en el momento de la rotura.

Cuando el valor de De es diferente de 50 mm es conveniente hacer una correlación para

eliminar la influencia del tamaño en la resistencia de la probeta. Esta correlación, que

permite obtener el Is(50), se puede efectuar utilizando la siguiente fórmula:[15]

Is(50) = (D

50)0.45

Is ( 2.13.)


La relación entre Is y σc, según Broch y Franklin (1972) es:

σc = 24Is(50) ( 2.14.)

No obstante, en algunas rocas el coeficiente multiplicador difiere mucho del anterior

indicado.

Brock (1993) ha propuesto también una relación entre la resistencia a la tracción T0 y el

índice de carga puntual𝐼𝑠(50):

τ0 = 1.5 ∗ Is(50) ( 2.15.)

Según esto la relación media entre las resistencias a compresión y a tracción de las rocas

sería de 16.

La relación entre la resistencia a compresión uniaxial y la resistencia atracción de las rocas

es muy variable. En los esquistos, por ejemplo, esta relación puede ser tan baja como 5.5,

mientras que en la diorita puede alcanzar 16 [15].

Figura 2-11: Ensayo de carga puntual mediante la prensa Franklin. [15].


2.6 Ensayo de tracción brasileño.

Es un ensayo indirecto para determinar la resistencia a tracción de una muestra de roca.

En este ensayo se somete un cilindro de roca, de longitud aproximadamente igual a su

radio, a una compresión diametral se rompe a lo largo de dicho diámetro como

consecuencia de las tensiones de tracción que se generan en dirección perpendicular al

mismo .Ver Figura 2-12. Haciendo un estudio de la distribución de esfuerzos en un disco

al que se le aplica una carga diametral, se demuestra que, a lo largo del diámetro, excepto

cerca de la periferia, se genera un esfuerzo horizontal uniforme cuyo valor es:[15][17][2]

𝜎𝑡 =2P

πDt ( 2.16.)

Donde:

P es la fuerza de compresión ejercida sobre el disco.

D es el diámetro del disco.

t es el espesor del disco, la altura del disco.

Figura 2-12. Ensayo indirecto de tracción (ensayo brasileño).[15].

El ensayo de tracción brasileño de rocas ha sido normalizado. (norma ASTM D 3967).

Hay que tener en cuenta, sin embargo, que existen también esfuerzos compresivos que

actúan según el plano diametral del disco a lo largo del cual se aplica la carga. Estos

esfuerzos tienen un valor en el centro del disco igual a tres veces el esfuerzo de tracción y


van aumentando progresivamente hacia la periferia del cilindro. Como la relación entre los

esfuerzos es tres, muy inferior a la existe normalmente entre las resistencias a compresión

y tracción de las rocas, la rotura se producirá a tracción.[9][15] [17].

El ensayo de tracción brasileño es apropiado para materiales frágiles, de acuerdo a una

serie de ensayos realizados con diferentes máquinas de ensayo.[17].

3. Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción.

Hasta el momento para poder obtener el ángulo de fricción y la cohesión de una roca,

propiedades intrínsecas, se deben tener varios ensayos triaxiales de muestras de roca

para realizar la regresión lineal y así obtener unos valores aproximados de las propiedades

intrínsecas de la roca.

Nuestro principal objetivo es determinar estas propiedades de una manera mucho más

rápida y económica realizado ensayos relativamente sencillos y en el campo que nos den

valores de resistencia a compresión simple y tracción de la roca en estudio.

Para la realización de este análisis nos apoyaremos en varios criterios que se tienen en

cuanto a la resistencia de las rocas.

3.1 Criterios a tener en cuenta para el análisis.

3.1.1 Envolvente de falla de Mohr–Coulomb.

Esta teoría pierde su significado cuando la roca se somete a tracción, cuando se extrapola

la recta a la región de esfuerzos negativo, es aconsejable interrumpirla al llegar al valor de

la resistencia de rotura a la tracción, σRT, obtenida a partir de ensayos de laboratorio[7],

como se muestra en la Figura 1-9 (Compaginación de los criterios de Coulomb y

Mohr.1.1.3).


3.1.2 Ensayo de tracción brasileño.

Hay que tener en cuenta, sin embargo, que existen también esfuerzos compresivos que

actúan según el plano diametral del disco a lo largo del cual se aplica la carga. Estas

tensiones tienen un valor en el centro del disco igual a tres veces la tensión de tracción y

van aumentando progresivamente hacia la periferia del cilindro. Como la relación entre las

tensiones es tres, muy inferior a la existe normalmente entre las resistencias a compresión

y tracción de las rocas, la rotura se producirá atracción.

La relación entre la resistencia a compresión uniaxial y la resistencia atracción de las rocas

es muy variable. En los esquistos, por ejemplo, esta relación puede ser tan baja como 5.5,

mientras que en la diorita puede alcanzar 16.

Los resultados obtenidos con este ensayo tendrán valores menores a los hallados por las

ecuaciones de Mohr-Coulomb debido a que la roca no es isotrópica y contiene microfisuras

y discontinuidades intrínsecas de su naturaleza.

El ensayo de tracción brasileño es apropiado para materiales frágiles, de acuerdo a una

serie de ensayos realizados con diferentes máquinas de ensayo. (sección 2.6)

3.1.1 Ensayos triaxiales ideales.

Para poder obtener una envolvente a todos los círculos de los ensayos triaxiales, se debe

tener en cuenta que estos ensayos deben tener una relación tal que pueda existir una línea

que sea tangente a todos ellos, donde el ángulo de fricción interna no se ve afectado por

confinamiento, sólo se afecta por confinamiento la resistencia y la cohesión. Esto en la

realidad no se presenta, pero debemos tomar esta consideración para deducir las

ecuaciones que pretendemos. Ver Figura 3-1.

Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades

intrínsecas de una roca con ensayos que nos den valores de resistencia a

compresión simple y tracción.

47

Figura 3-1: Ensayos triaxiales ideales.

3.2 Procedimiento gráfico para la obtención de ecuaciones sugeridas.

En la Figura 3-2 representamos los esfuerzos a compresión simple y a tracción de una

muestra de roca, donde el esfuerzo a tracción de rotura que representaremos como σRT y

que está formando un ángulo de 2β, igual al esfuerzo de compresión simple apoyado en el

criterio Envolvente de falla de Mohr–Coulomb. y 3.1.2.

En la Figura 3-2 el círculo azul representa el ensayo a compresión simple, el círculo

magenta representa el ensayo a tracción. La línea 2 es la envolvente de los círculos de

compresión simple y tracción, o sea una línea tangente a ambos círculos que serían los

puntos T y J respectivamente (esta línea la llamaremos envolvente Tracom). Para hallar

esta tangente se procedió a realizar geométricamente la tangente a dos círculos, cuyo

procedimiento es:

Con un radio 𝐶1𝑇1 igual a la diferencia de los radios conocidos de las

circunferencias dadas (𝐶1𝑂 -𝐶2𝑂 ) y haciendo centro en C1, se describe una

circunferencia auxiliar (circunferencia verde).


Desde el punto C2 y con 𝐶1𝐶2 por diámetro se describe una circunferencia auxiliar

que corta la circunferencia verde en el punto T1. Al unir los puntos C2 y T1 (línea

1) se tiene la tangente del punto C2 a la circunferencia verde.

Se une el punto C1 con el punto T1 y se prolonga esta línea hasta cortar la

circunferencia azul en el punto T.

Por el punto C2 se traza una paralela a la línea C1T y esta corta al círculo magenta

en el punto J. Al unir el punto J con el punto T se tiene la tangente a los dos

círculos, el de tracción y compresión simple respectivamente, que será la línea 2

y es la envolvente de Mohr-Coulomb para estos ensayos.

De la Figura 3-2 podemos escribir las siguientes coordenadas de los puntos:

A=(-(2R+BA),0) J= (σRT, Ƭ1) Punto de tangencia. Ruptura

B= (-2R, 0) K1= (0, cohesión) K1= cohesión

D= (-σRT, 0) T=(σT,ƬT) Punto de tangencia. Ruptura

C2=(-R,0) Centro círculo de esfuerzo. T1= (σT1, ƬT1)

a tracción

O= (0,0) Origen coordenadas.

F=(R,0)

G=(σT1,0)

C1=(𝜎𝑐

2,0) Centro círculo compresión simple.

H=((σC-R),0)

I=(σC,0)

Procedimiento para la obtención de las ecuaciones para hallar las propiedades intrínsecas de una roca con ensayos

que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción.

49

Figura 3-2: Relaciones entre ensayo a tracción y compresión simple de una roca.


La línea 2 es la línea tangente de los círculos de compresión simple y tracción, o sea que

es la envolvente Tracom de los ensayos a tracción y compresión simple.

De la Figura 3-2 tenemos las siguientes relaciones:

Δ C2.T1.G ≅ Δ G.T1.C1 por C2T1 ┴ T1C1 y C2G ┴ T1G luego C2G

T1G =

T1G

GC1 ( 3.1.)

Donde: 𝐶2𝐺 =(σT1+R); T1G=(ƬT1); 𝐺𝐶1 = 𝜎𝐶

2− 𝜎𝑇1

Ahora (σT1+R);

( ƬT1)=

( ƬT1)σC2 −σT1

( 3.2.)

τT12 = (σT1 + R) ∗ (

σC

2− σT1) ( 3.3.)

Δ G.T1.H ≅ Δ G.T1.F por 𝐹𝑇1 ┴ 𝑇1𝐻 y 𝐺𝑇1 ┴ 𝐺𝐻 luego 𝐺𝐻

𝑇1𝐺 =

𝑇1𝐺

𝐹𝐺

Donde: 𝐺𝐻 =(σC-R-σT1,); 𝑇1𝐺 =(ƬT1); 𝐹𝐺 = (σT1-R)

Ahora (𝜎𝐶−R−σ𝑇1)

( Ƭ𝑇1)=

( Ƭ𝑇1)

𝜎𝑇1−𝑅 (3.4.)

τT12 = (σC − R − σT1) ∗ (σT1 − R) (3.5.)

Igualando las ecuaciones (3.3) y (3.5) se obtiene:

(σT1 + R) ∗ (σC

2− σT1) = (σC − R − σT1) ∗ (σT1 − R) (3.6.)

σCσT1

2+σCR

2− (σT1)

2 − σT1 = σCσT1 − σCR − σT1R + R2 − (σT1)

2 + σT1R (3.7.)

3σCR

2− σT1R =

σCσT1

2+ R2 (3.8.)

3σCR

2− R2 =

σCσT1

2+ σT1R 3.9.)

R(3σC − 2R) = σT1(σC + 2R) (3.10.)

σT1 =R(3σC−2R)

(σC+2R) (3.11.)




51

Δ D.J.C2 ≅ Δ G.T1.C1 por ángulo J.D.C2= ángulo T1.G.C1= 90° y línea 1 // línea 2

Luego 𝐽𝐶2 // 𝑇1𝐶1 radios de los círculos ┴s a Tangente de los círculos.

Donde: 𝐽𝐷

𝑇1𝐺 =

𝐷𝐶2

𝐺𝐶1 y 𝐽𝐷 =K” ; 𝑇1𝐺 =(τT1); 𝐷𝐶2 =𝜎𝑅𝑇 − 𝑅; 𝐺𝐶1 =(

𝜎𝑐

2) − σ𝑇1

𝐾"

( Ƭ𝑇1)=

𝜎𝑅𝑇−𝑅

(σ𝐶/2)− σ𝑇1 (3.12)

Δ D.J.O ≅ Δ G.T1.H triángulos semi-inscritos en circunferencias semejantes. y en punto

anterior Δ D.J.C2 ≅ Δ G.T1.C1 donde 𝐽𝐷 // 𝑇1𝐺 y son las alturas de los triángulos J.D.C2

y T1.G.F respectivamente. Luego Δ B.J.D≅ΔF.T1.G donde: 𝐽𝐷

𝑇1𝐺 =

𝐵𝐷

𝐹𝐺

𝐽𝐷 =K” ; 𝑇1𝐺 =(ƬT1); 𝐵𝐷 =2𝑅 −𝜎𝑅𝑇; 𝐹𝐺 = 𝜎𝑇1 − 𝑅 luego 𝐾"

( Ƭ𝑇1)=

2𝑅−𝜎𝑅𝑇

𝜎𝑇1−𝑅 (3.13.)

(3.12) = (3.13)

𝜎𝑅𝑇−𝑅

(σ𝐶/2)− σ𝑇1=


𝜎𝑇1−𝑅 (3.14.)

2(𝜎𝑅𝑇−𝑅)

σ𝐶−2 σ𝑇1=


𝜎𝑇1−𝑅 (3.15.)

2(σRT − R) ∗ (σT1 − R) = (2R − σRT) ∗ (σC − 2σT1) (3.16.)

2σRTσT1-2RσT1 + 2𝑅2 − 2RσRT=2𝑅𝜎𝐶-4RσT1 − σRT σC+2𝜎𝑅𝑇 𝜎𝑇1 (3.17.)

2RσT1= -2𝑅2+2RσTR+2RσC − σRT σC (3.18.)

2RσT1=2R(σC − R)-σRT(σc − 2R) (3.19.)

2RσT1=2R(σC − 2R + R)- σRT(σc − 2R) (3.20.)

2RσT1=2R(σC − 2R)+2R2)- σRT(σc − 2R) (3.21.)

2RσT1= (σC − 2R)*((2R − σRT)+2R2 (3.22.)

σT1=(𝜎𝐶−2R)∗(2R−σ𝑅𝑇) +2𝑅

2

2𝑅 (3.23.)

(3.11) = (3.23) 𝑅(3𝜎𝐶−2𝑅)

(𝜎𝐶+2𝑅)=

(𝜎𝐶−2R)∗(2R−σ𝑅𝑇) +2𝑅2

2𝑅 (3.24.)

2R2(3σC − 2R)=(𝜎𝐶 + 2𝑅)[(𝜎𝐶 − 2R) ∗ (2R − σ𝑅𝑇) + 2𝑅2] (3.25.)

2R2(3σC − 2R)=(𝜎𝐶 + 2𝑅)(2R𝜎𝐶 − σ𝑅𝑇𝜎𝐶 − 4𝑅2 + 2Rσ𝑅𝑇 + 2𝑅

2) (3.26.)


6𝑅2𝜎𝐶 -4𝑅3=(σC + 2R)(2R𝜎𝐶 -σ𝑅𝑇𝜎𝐶-2𝑅

2+2Rσ𝑅𝑇) (3.27.)

6R2σC-4R3=2RσC2+4R2σC-σC

2σRT-2RσCσRT-2R2σC-4R3+2RσCσRT+4R2σRT (3.28.)

4R2σC = 2RσC2 -σC

2σRT+4R2σRT (3.29.)

4R2σC − 2RσC2 +σC

2σRT-4R2σRT=0 (3.30.)

2RσC(2R − σC)- σRT(4R2-σC2) =0 (3.31.)

2R𝜎𝐶(2R − 𝜎𝐶)- σ𝑅𝑇(2R + 𝜎𝐶) ( 2R − 𝜎𝐶)=0 (3.32.)

(2R − σC) [( 2RσC- σRT(2R + σC)] =0 (3.33.)

Donde:

2R − σC=0 (3.34.)

R=σC

2 (3.35.)

2RσC- σRT(2R + σC) =0 (3.36.)

2RσC- 2RσRT − σRTσC=0 (3.37.)

2R(σC-σRT) = σRTσC (3.38.)

R =σRTσC

2(σC−σRT) (3.39.)

La ecuación (3.35) se refiere a materiales cohesivos como las arcillas.

Reemplazando ecuación (3.39) en (3.11) tenemos:

σT1=

σRTσC2(σC−σRT)

(3σC−2σRTσC

2(σC−σRT))

(σC+2σRTσC

2(σC−σRT))

(3.40.)

σT1=

(σCσRT)[3σC (σC−σRT)−σC σRT ]

2(σC−σRT)2

(σC)(σC−σRT)+σC σRT ]

σC σRT

(3.41.)

σT1=(σCσRT)[3σC

2−3σCσRT−σC σRT ]

2(σC−σRT)(σC2−σCσRT+σC σRT )

(3.42.)

σT1=(σCσRT)[3σC

2−4σCσRT]

2(σC−σRT)(σC)2 (3.43.)

σT1=(σCσRT)[3σC−4σRT]

2(σC−σRT)(σC) (3.44.)

σT1=(σRT)[3σC−4σRT]

2(σC−σRT) (3.45.)




53

De la Figura 3-2 también tenemos las siguientes relaciones.

Δ O.J.D ≅ Δ J.D.B por 𝑂𝐽 ┴ 𝐽𝐵 y 𝑂𝐷 ┴ 𝐽𝐷 luego 𝑂𝐷

𝐽𝐷 =

𝐽𝐷

𝐷𝐵

Donde: 𝑂𝐷 =(𝜎𝑅𝑇); 𝐽𝐷 =(JD); 𝐷𝐵 =(2𝑅 − 𝜎𝑅𝑇)

Ahora (σRT)

(JD)=

(JD)

2R−σRT (3.46.)

(JD)2=(σRT) ∗ (2R − σRT) (3.47.)

Δ A.J.D ≅ Δ J.D.C2 por AJ ┴ JC2 y AD ┴ JD luego AD

JD =

JD

DC2

Donde: AD =(AD); JD=(JD); DC2 =(σRT − 𝑅)

Ahora (AD)

(JD)=

(JD)

(σRT− R) (3.48.)

(JD)2=(AD) ∗ (σRT − R) (3.49.)

(3.47) = (3.49) (σRT) ∗ (2R − σRT)=(AD) ∗ (σRT − R) (3.50.)

(σRT)∗(2R−σRT)

(σRT−R)= AD (3.51.)

De la Figura 3-2 podemos sacar las siguientes relaciones.

En el Δ T1.T.M sin∅ =GC1

C1T1= donde 𝐺𝐶1 =

σC

2 - σT1 y 𝐶1𝑇1 =

σC

2− 𝑅

sin∅=

σC2 − σT1σC2 – R

(3.52.)

Reemplazando la ecuación (3.45 ) y R =σRTσC

2(σC−σRT)

(3.39(3.39)

sin∅ =

σC2 −(σRT)[3σC−4σRT]

2(σC−σRT)σC2 –

σRTσC2(σC−σRT)

(3.53.)

sin∅=

(σC )(σC−σRT)−(σRT)[3σC−4σRT]

2(σC−σRT)

(σC )(σC−σRT)− σRTσC2(σC−σRT)

(3.54.)

sin∅=(σC )(σC−σRT)−(σRT)[3σC−4σRT]

(σC )(σC−σRT)− σRTσC (3.55.)

sin∅=σC

2−σCσRT−3σCσRT+4σRT2

σC2−σCσRT−σCσRT

(3.56.)


sin∅= σC

2−4σCσRT+4σRT2

σC2−2σCσRT

(3.57.)

sin∅= (σC−2σRT)

2

σC(σC−2σRT) (3.58.)

sin∅=(σC−2σRT)

σC (3.59.)

Ø= invsen 𝜎𝐶−2𝜎𝑅𝑇

𝜎𝐶 (3.60.)

Ahora σT=σC

2 - σC

2* sin∅ (3.61.)

línea naranjada en la Figura 3-3.

σT= σC

2(1- sin∅) (3.62.)

Reemplazando ecuación (3.59)

σT= σC

2[1-

(σC−2σRT)

σC] (3.63.)

σT= σC

2[σC−(σC−2σRT)

σC] (3.64.)

σT= 2σRT

2 (3.65.)

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 (3.66.)

Figura 3-3 Envolvente Tracom para ensayos a compresión simple y tracción con

ángulo de fricción interna y diagrama de fuerzas.




55

La ecuación (3.66) nos está indicando que la resistencia a la rotura a tracción (σRT) de

una roca es igual el esfuerzo normal al plano de rotura de la roca en un ensayo de

compresión simple.

De la Figura 3-3 tenemos:

(σC

2)2=(ƮT)2+(

σC

2− σRT)2 (ƮT)2=(

σC

2)2-(

σC

2− σRT)2 (3.67.)

(ƮT)2=(σC

2)2 − (

σC

2)2+2

σC

2*σRT-σRT

2 (3.68.)

(ƮT)2=σRT(σC- σRT) (3.69.)

ƮT=√σRT(σC − σRT) (3.70.)

cos∅=ƮTσC2

(3.71.)

Reemplazando ecuación (3.70).

cos∅=√σRT(σC−σRT)

σC2

(3.72.)

cos∅ =2√σRT(σC−σRT)

σC (3.73.)

De la Figura 3-3 tenemos una suma de vectores donde el vector OT va desde el origen al

punto de tangencia en el punto de rotura en el ensayo a compresión simple.

El vector OT será el vector posición de la recta tangente a los círculos de compresión simple

y tracción (línea 2 de la Figura 3-3.)

El vectorAK1 es el vector dirección de la recta tangente a los círculos de compresión

simple y tracción (línea 2 de la Figura 3-3.).

OT =OA + AT (3.74.)

OT =OA +t( AK1 ); (3.75.)


OT =[( (σT-0),(ƮT-.0)] ; (3.76.)

OA = [-(σRt+DA)-0),(0-0)]; (3.77.)

AK1 = [[0-(-(σRt+𝐷𝐴 ), (K1-0)] (3.78.)

𝐷𝐴 =(𝜎𝑅𝑇)∗(2𝑅−𝜎𝑅𝑇)

(𝜎𝑅𝑇−𝑅) ( Ecuación (3.51))

[(σT), (ƮT)] = [-(σRT+(σRT)∗(2R−σRT)

(σRT−R)), 0] + t [(σRT+

(σRT)∗(2R−σRT)

(σRT−R)), K1] (3.79.)

[(σT),(ƮT)]=[ −(σRT

2−RσRT+2RσRT−σRT2)

σRT−R,0]+t[

σRT2−RσRT+2RσRT−σRT

2

σRT−R,K1] (3.80.)

σT=−RσRT

σRT−R+t (

RσRT

σRT−R) (3.81.)

t= σT+

RσRTσRT−R

RσRTσRT−R

(3.82.)

t=

(σT)(σRT−R)+RσRTσRT−R

RσRTσRT−R

(3.83.)

t=(𝜎𝑇)(𝜎𝑅𝑇−𝑅)+𝑅𝜎𝑅𝑇

𝑅𝜎𝑅𝑇 (3.84.)

Ahora:

ƮT=0+tK1 (3.85.)

t=Ʈ𝑇

𝐾1 K1= Cohesión (3.86.).

Ecuaciones (3.84) = (3.86)

(σT)(σRT−R)+RσRT

RσRT=Ʈ𝑇

𝐾1 (3.87.)

K1 =ƮT∗RσRT

(σT)(σRT−R)+RσRT (3.88.)

Reemplazando ecuaciones (3.39) y (3.70)

𝐾1 =(√𝝈𝑹𝑻(𝝈𝑪−𝝈𝑹𝑻))∗

𝛔𝑹𝑻𝝈𝑪𝟐(𝝈𝑪−𝛔𝑹𝑻)

∗𝜎𝑅𝑇

(𝜎𝑅𝑇)(𝜎𝑅𝑇−𝛔𝑹𝑻𝝈𝑪

𝟐(𝝈𝑪−𝛔𝑹𝑻))+


𝜎𝑅𝑇 (3.89.)

𝐾1 = (√𝝈𝑹𝑻(𝝈𝑪−𝝈𝑹𝑻))∗


∗𝜎𝑅𝑇

(𝜎𝑅𝑇2−𝜎𝑅𝑇∗𝛔𝑹𝑻𝝈𝑪

𝟐(𝝈𝑪−𝛔𝑹𝑻))+


𝜎𝑅𝑇 (3.90.)

𝐾1 =(√𝝈𝑹𝑻(𝝈𝑪−𝝈𝑹𝑻))∗(𝛔𝑹𝑻𝝈𝑪)

2𝜎𝑅𝑇(𝝈𝑪−𝛔𝑹𝑻) (3.91.)

𝐾1 =(√𝜎𝑅𝑇(𝜎𝐶−𝜎𝑅𝑇))∗(𝜎𝐶)

2(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇) Cohesión (3.92.)




57

Figura 3-4: Relación geométrica entre las rectas de puntos de tangencia de ensayos

triaxiales

En la Figura 3-4 tenemos dos ensayos triaxiales, círculo de radio R1 y centro C1 y círculo

de radio R2 y centro C2.

Las líneas rojas de la gráfica corresponden a la envolvente de los puntos de tangencia y

las líneas azules a la línea de los puntos máximos.

El ángulo Ø corresponde al ángulo formado por la envolvente de los puntos de tangencia

con la horizontal y el ángulo α es el ángulo formado por la línea de puntos máximos con la

horizontal.

Se procede a hallar la tangente a los dos círculos (envolvente de los puntos de tangencia)

con el mismo procedimiento de la sección 3.2. Por lo que tenemos en la Figura 3-4 que la

línea 𝑃𝐷 es paralela a la línea 𝐶1𝐷 ’ (líneas rojas de la gráfica)

En el Δ C1.D’.C2 tenemos que sen∅=D′C2

C1C2 ( líneas rojas), donde 𝐷’𝐶2 =R2-R1 y

𝐶1𝐶2 = C2-C1.


sin∅ =R2−R1

C2−C1 (3.93.)

La anterior expresión nos indica que, para obtener el ángulo de fricción interna de la roca,

los ensayos triaxiales deben cumplir esta relación, o sea que la relación entre la diferencia

de radios y diferencia de centros entre los ensayos triaxiales debe ser constante. En la

realidad esto no sucede debido a la anisotropía de la roca, a la humedad, a los poros etc,

por lo que el ángulo de fricción interna hallado por la regresión de puntos máximos,

ecuación (1.19), no es el ángulo real de fricción interna.

En la Figura 3-4

Del Δ C1.E’.C2 tenemos que tan 𝛼 =𝐸′𝐶2

𝐶1𝐶2 ( líneas azules), donde 𝐸’𝐶2 =R2-R1 y

𝐶1𝐶2 =C2-C1 y tanα= m

tan𝛼=𝑅2−𝑅1

𝐶2−𝐶1=m (3.94.)

Ecuación (3.93) = ecuación (3.94) entonces:

sen Ø=m Ø=invsen m (3.95.)

Se cumple la ecuación (1.19) y

Ecuación (3.59) = ecuación (3.93)

σC−2σRT

σC=

R2−R1

C2−C1 (3.96.)

σC−2σRT

σC=

(𝜎12−𝜎32)−(𝜎11−𝜎31)

(𝜎12+𝜎32)−(𝜎11+𝜎31) (3.97.)

Las expresiones anteriores nos dan la relación entre las resistencias a tracción y

compresión simple y esfuerzos principales en ensayos triaxiales.

Ahora vamos a realizar la relación entre la cohesión K1, de los ensayos de compresión

simple y la cohesión C de los ensayos triaxiales. Figura 3-5.

De la Figura 3-5. tenemos la siguiente relación:

TN=C-K1;

Los Δs T.M.N≅T.Y.Q por 𝑆𝑇 ┴𝑇𝑄 y T𝜎𝐶

2 ┴ 𝑇𝑌 luego ángulo S.T.

𝜎𝐶2 =Y.T.Q=Ø




59

Además 𝑇𝑄 // 𝑇𝜎𝑐

2

y T

σc

2

// QC1 luego TQ =σc

2 C1

=C1 −σC

2 y T

σc

2

=C1 −

σC

2

En el Δ Y.T.Q

sin ∅ =YQ

TQ (3.98.)

Donde: 𝑌𝑄 =𝑅1 − 𝑇𝑀 −σC2 y 𝑇𝑄 =𝐶1 −

σC2

sin ∅ =R1−TM−

𝜎𝐶2

𝐶1−𝜎𝐶2

= 2R1−2TM−𝜎𝐶

2𝐶1−𝜎𝐶 (3.99.)

y ecuación (3.93) = (3.99) 2R1−2TM−𝜎𝐶

2𝐶1−𝜎𝐶= R2−R1

C2−C1 (3.100.)

2R1 − 2TM − σC = (𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶)𝐶2−𝐶1

(3.101.)

2TM =2R1 − 𝜎𝐶 − (R2−R1)(2C1−σC)C2−C1

(3.102.)

2TM = (2R1−σC)(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC)

C2−C1 (3.103.)

TM = (2R1−σC)(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC)

2(C2−C1) (3.104.)


Figura 3-5: Relación entre cohesión C de envolvente de Mohr-Coulomb y K1 envolvente Tracom.

|

|




61

Del Δ M.N.T tenemos que TM

TN=cos Ø

TM

cosØ=TN (3.105.)

Reemplazando TM. Ecuación (3.104)

TN =(2R1−σC)(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC)

2(C2−C1) cosØ (3.106.)

TN =(2R1−σC)(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC)

2(C2−C1) cosØ (Diferencia de cohesiones: C-K1) (3.107.)

C’=K1+TN (3.108.)

𝐶′ =(√𝜎𝑅𝑇(𝜎𝐶−𝜎𝑅𝑇))∗(𝜎𝐶)

2(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇) + (2R1−σC)(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC)

2(C2−C1)cosØ (3.109.)

Se recomienda tomar los valores entre el primer y último ensayo triaxial; o sea entre el

menor y mayor esfuerzo de confinamiento.

3.3 Resumen ecuaciones

Resumen de ecuaciones para hallar el ángulo de fricción interna, la Cohesión y otras

relaciones en las rocas en función de su resistencia a compresión simple y a tracción.

𝑅 =σ𝑅𝑇𝜎𝐶

2(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇) Radio círculo ensayo a tracción (3.39.)


σC (3.59)

Ø = sin−1σC−2σRT

σC Ángulo de fricción interna (3.60.)

σT = σRT Esfuerzo normal en el punto T. (3.66.)

τT = √σRT(σC − σRT) Esfuerzo de cizalla en el punto T (3.70)


cos∅ =2 √σRT(σC−σRT)

σC (3.73)

K1 =(√σRT(σC−σRT))∗(σC)

2(σC−σRT) Cohesión. (Tracom) (3.92)

Resumen de ecuaciones para hallar el ángulo de fricción interna, la Cohesión y otras

relaciones en las rocas en función de su resistencia a compresión simple la tracción y

ensayos triaxiales.

sin∅ =R2−R1

C2−C1 (3.93.)

σC−2σRT

σC=

R2−R1

C2−C1 (3.96.)

TN =(2R1−σC)(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC)

2(C2−C1) cosØ (Diferencia de cohesiones: C-K1) (3.107.)

𝐶′ =(√𝜎𝑅𝑇(𝜎𝐶−𝜎𝑅𝑇))∗(𝜎𝐶)

2(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇) + (2R1−σC)(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC)

2(C2−C1)cosØ (3.109.)

4. Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3.

Se usarán y validarán las ecuaciones del capítulo anterior con ensayos de rocas a

compresión simple, ensayos brasileños y ensayos triaxiales de un mismo tipo de roca,

cómo se pueden utilizar las ecuaciones cuando se conoce el ángulo y uno de los ensayos

a compresión o tracción.

4.1 Ejercicio ideal tesis.

a) Cálculo con regresión lineal para hallar ángulo de fricción interna Ø y

cohesión C.

Tabla 4.1–1: Coeficientes necesarios para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima.

Xi Yi N

1 174,90 5,10 90,00 84,90 8100,00 7208,69 7641,36

2 208,24 11,76 110,00 98,24 12100,00 9650,51 10806,07

3 233,24 16,76 125,00 108,24 15625,00 11715,25 13529,63

4 258,24 21,76 140,00 118,24 19600,00 13979,99 16553,18

5 299,90 30,10 165,00 134,90 27225,00 18199,09 22259,16

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

Sx Sy Sxx Syy Sxy

630,00 544,52 82650,00 60753,52 70789,40

5

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖


La ecuación de línea envolvente de Mohr-Coulomb es:

Ʈ = tan (42.06)𝜎𝑁 + 33.54 Ʈ = 𝟎. 𝟗𝟎𝟐𝝈𝑵 + 𝟑𝟑. 𝟓𝟒

b) Cálculo con ecuaciones tesis.

Por ecuación

sin∅ =R2−R1

C2−C1 (3.93.)

tenemos:

Tabla 4.1–2. Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna.

r= 1,00

m= 0,67

n= 24,90

Ø= 42,06

C= 33,54

m=𝑁 𝑥 − 𝑥

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥

n= 𝑥𝑥 − 𝑥 𝑥


r=𝑁 𝑥 − 𝑥

𝑁 𝑥𝑥− 𝑥 𝑥 𝑁 −

Centro C Radio ® senØ R2-R1 C2-C1 senØ

1 174,90 5,10 90,00 84,90

0,67 13,33 20,00

2 208,24 11,76 110,00 98,24

0,67 10,00 15,00

3 233,24 16,76 125,00 108,24

0,67 10,00 15,00

4 258,24 21,76 140,00 118,24

0,66 16,26 24,60

5 299,10 30,10 164,60 134,50

0,66 49,60 - 74,60 -

1 174,90 5,10 90,00 84,90

0,67

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

Utilización y validación de ecuaciones capítulo 3. 65

Vemos que todos los senØ son iguales, por lo tanto, si hay una línea tangente a todos los

círculos. En este caso senØ= 0.67 donde Ø= 42.07°

Ahora por ecuación


σC (3.59.)

σC=50.0MPa y σRT=8.33 MPa

sin∅50.0−2∗8.33

50.0 senØ=0.6668 Ø= 42.07°

Los valores del ángulo calculados por regresión y por ecuaciones de tesis son iguales,

como era de esperarse en un ejercicio ideal.

De la ecuació (3.39) 𝑅 =σ𝑅𝑇𝜎𝐶

2(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇)

𝑅 = 8.33∗50.0

2(50.0−8.33)=5.0 R= 5.0MPa

sabemos que: 2𝑅 = 𝜎𝑇𝑇 𝛔𝐓𝐓 = 𝟏𝟎. 𝟎𝐌𝐏𝐚

Ahora K1 (Cohesión)

𝐾1 =(√𝜎𝑅𝑇(𝜎𝐶−𝜎𝑅𝑇))∗(𝜎𝐶)

2(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇) Cohesión (3.92.)

𝐾1 =(√8.33(50.0−8.33))∗(50.0)

2(50.0−8.33) K1=11.18 MPa

Ahora C=K1+TN

𝑇𝑁 =(2 ∗ 84.9 − 50.0)(164.6 − 90.0) − (134.5 − 84.9)(2 ∗ 90.0 − 50.0)

2(164.6 − 90.0) cos42.07

𝑇𝑁 =22.47MPa

C’= 22.47+11.18=33.65 C’=33.65 MPa

La ecuación de la envolvente Tracom sería

Ʈ = tan(42.06)σN + 11.18 Ʈ = 𝟎. 𝟗𝟎𝟐𝛔𝐍 + 𝟏𝟏. 𝟏𝟖


La nueva ecuación de la envolvente Tracom-triaxial sería

Ʈ = tan(42.06)σN + 33.65 Ʈ = 𝟎. 𝟗𝟎𝟐𝛔𝐍 + 𝟑𝟑. 𝟔𝟓

Vemos que solo cambia en las ecuaciones la cohesión.

Con resultados ecuaciones tesis:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulmb.

σC=2𝐾1𝑐𝑜𝑠Ø

(1−𝑠𝑒𝑛Ø)=2(11.18)(0.742)

(1−0.67)= 50.27 MPa. (50.0 MPa por ensayo)

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb.

σTT=2K1cosØ

(1+senØ)=2(11.18)(0.742)

(1+0.67)=9.93 MPa.

Valor de 𝜎𝑇𝑇 mayor a la resistencia obtenida en el laboratorio, como es lógico. Ahora de

acuerdo a nuestra teoría el valor σTT de Mohr Coulomb debe ser igual a 2R donde

𝑅 =σ𝑅𝑇𝜎𝐶

2(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇) 2𝑅 =

σ𝑅𝑇𝜎𝐶

(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇)=(8.33)(50.0)

(50.0−8.33)=9.995 MPa

σTT = 2𝑅 9.93≅ 10.0 𝝈𝑻𝑻=10.0 MPa

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión encontrados con los ensayos

triaxiales tendríamos:

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb.

σC=σc2CcosØ

(1−senØ)=2(33.54)(0.742)

(1−0.67)=-150.83 MPa


σTT=σTTσ2CcosØ

(1+senØ)=2(33.54)(0.742)

(1−0.67)=29.8 MPa.

Vemos que tanto los resultados, como el comportamiento de los esfuerzos de la roca, son

más ajustados con los cálculos de las ecuaciones tesis.

Como puede observarse, tanto en los cálculos como en la Figura 4-1, el ángulo de fricción

interna y el ángulo probable de falla de la roca intacta no varía en ninguno de los ensayos.


La envolvente de de Mohr –Coulomb, hallada por regresión, la evolvente Tracom y tracom

triaxial son paralelas, además que la envolvente Tracom triaxial y Mohr-Coulomb en este

ejercicio coinciden, como debe ser en un ejercicio ideal.

Figura 4-1. Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom para ejercicio ideal tesis.

4.2 Ejercicio Arzua.

Los datos de ensayos compresión simple y triaxiales de roca son tomados del libro

“PROBLEMAS DE MECÁNICA DE ROCAS.FUNDAMENTOS E INGENIERIA DE

TALUDES” (página 44).

Como los datos no tienen la resistencia a tracción, comenzaremos los cálculos con la

envolvente de Mohr Coulomb con los ensayos triaxiales.



cohesión C.

Coeficientes necesarios para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima.



Ʈ = tan (29.34)𝜎𝑁 + 15.33 Ʈ = 𝟎. 𝟓𝟔𝟐𝝈𝑵 + 𝟏𝟓. 𝟑𝟑

Resistencia a la compresión de Mohr Coulomb

σc =2CcosØ

(1−senØ)=2(15.33)(0.872)

(1−0.49)= 52.4 MPa.


σTT =2CcosØ

(1+senØ)=2(15.33)(0.872)

(1+0.49)=17.9 MPa

El resultado de la resistencia a la compresión calculada da mucho más que la resistencia

a la compresión del ensayo ( 52.3MPa>32.0Mpa)


Por ecuación ) sin ∅𝑅2−𝑅1

𝐶2−𝐶1 tenemos:

Xi Yi N

66,7 5,5 36,1 30,6 1303,21 936,36 1104,66

85,9 11,0 48,45 37,45 2347,40 1402,50 1814,45

99,6 17,0 58,3 41,3 3398,89 1705,69 2407,79

Sx Sy Sxx Syy Sxy

142,85 109,35 7049,50 4044,55 5326,90

3

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

r= 1,00

m= 0,49

n= 13,36

Ø= 29,34

C= 15,33








Tabla 4.2–2: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna.

Como se puede observar los senos calculados son diferentes al calculado por la regresión,

como se advirtió en la sección 3.3.1. En la Figura 4-2 se puede observar que la envolvente

de Mohr-Coulomb no es paralela a la envolvente Tracom por lo señalado anteriormente.

Tomaremos el seno calculado entre el primer y el último ensayo triaxial, en este caso 0.48

(Ø= 28.69°).

Con el valor de este ángulo de fricción interna podemos calcular la resistencia a tracción

con:

sin ∅ =𝜎𝐶−2𝜎𝑅𝑇

𝜎𝐶 sin28.69

32−2𝜎𝑅𝑇32

𝜎𝑅𝑇 =32−(0.48∗32)

2

𝝈𝑹𝑻=8.32 MPa

De la ecuación 𝑅 = σ𝑅𝑇𝜎𝐶

2(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇) 𝑅 = 8.32∗32

2(32−8.32)=5.62

R= 5.62MPa y sabemos que 2R= 𝜎𝑇𝑇 𝛔𝐓𝐓 = 𝟏𝟏. 𝟐𝟒𝐌𝐏𝐚

Ahora 𝐾1 =(√𝜎𝑅𝑇(𝜎𝐶−𝜎𝑅𝑇))∗(𝜎𝐶)

2(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇) 𝐾1 =

(√8.32(32−8.32))∗(32)

2(32−8.32) K1=9.48 MPa.


Ʈ = tan(28.69)σN + 9.48 Ʈ = 𝟎. 𝟓𝟓𝛔𝐍 + 𝟗. 𝟒𝟖

Ahora C’=K1+TN Y 𝑇𝑁 =(2𝑅1−𝜎𝐶)(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶)

2(𝐶2−𝐶1) cosØ


1 66,7 5,5 36,1 30,6

0,55 6,85 12,35

2 85,9 11,0 48,45 37,45

0,39 3,85 9,85

3 99,6 17,0 58,3 41,3

0,48 10,70 22,20

1 66,7 5,5 36,1 30,6

0,49

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32


𝑇𝑁 =(2 ∗ 30.6 − 32)(58.3 − 36.1) − (41.3 − 30.6)(2 ∗ 36.1 − 32)

2(58.3 − 36.1) cos 28.69

𝑇𝑁 =5.6MPa

C’= 5.6+9.48=15.08 C’=15.08 MPa

La nueva ecuación de la envolvente Tracom-triaxial sería

Ʈ = tan(28.69)σN + 15.08 Ʈ = 𝟎. 𝟓𝟓𝛔𝐍 + 𝟏𝟓. 𝟎𝟖

Vemos que solo cambia en las ecuaciones la cohesión.

Con resultados ecuaciones tesis:


σc2K1cosØ

(1−senØ)=2(9.48)(0.877)

(1−0.48)= 31.98 MPa.


𝜎𝑇𝑇 =2𝐾1𝑐𝑜𝑠Ø

(1+𝑠𝑒𝑛Ø)=2(9.48)(0.877)

(1+0.48)=11.24 MPa

La resistencia a la compresión calculada con ecuaciones nos da un resultado muy similar

al esfuerzo a compresión del ensayo (31.98𝑀𝑃𝑎 ≅ 32𝑀𝑃𝑎).

Figura 4-2: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom para ejercicio Arzua.


4.3 Chert negro.

Tabla 4.3–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de chert negro mina Minera El Roble S.A. Colombia

Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa

Observación Origen de

Dato

Tracción

Brasilero

5.52 Anexo A

Compresión

simple

39.17 0 Anexo A

Triaxial 1 142.69 2.48 Anexo A



No se hacen observaciones respecto a la muestra lo que indica que se procedió de acuerdo

a la normatividad.

De los ensayos triaxiales hallamos el valor del ángulo de fricción interna, con la regresión

de puntos máximos.


cohesión C.


Xi Yi N

1 142,69 2,48 72,585 70,105 5268,58 4914,71 5088,57

2 156,86 4,92 80,89 75,97 6543,19 5771,44 6145,21

3 170,4 9,86 90,13 80,27 8123,42 6443,27 7234,74

Sx Sy Sxx Syy Sxy

∑ 243,61 226,35 19935,19 17129,42 18468,52

Ensayo

3

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖



Ʈ = tan (35.45)𝜎𝑁 + 35.08 Ʈ = 𝟎. 𝟕𝟏𝟐𝛔𝐍 + 𝟑𝟓. 𝟎𝟖


σc =2CcosØ

(1−senØ)=2(35.08)(0..815)

(1−0.58)= 136.14 MPa.


𝜎𝑇𝑇 =2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

(1+𝑠𝑒𝑛Ø)=2(35.08)(0.815)

(1+0.58)=36.19 MPa

El resultado de la resistencia a la compresión calculada da mucho más que la resistencia

a la compresión del ensayo ( 136.141MPa>39.17Mpa), igualmente para tracción (36.19

MPa > 5.52𝑀𝑃𝑎)


Por ecuación sin ∅ =𝑅2−𝑅1

𝐶2−𝐶1 tenemos

Como se puede observar. Los senos calculados son diferentes al calculado por la

regresión, como se advirtió en la sección 3.3.1.

Ahora calculamos el ángulo de fricción interna con ecuaciones tesis:

Ø = sin−1𝝈𝑪−𝟐𝝈𝑹𝑻

𝝈𝑪 Ø = sin−1

39.17−2(5.52)

39.17 Ø=45.9°

r= 0,99

m= 0,58

n= 28,58

Ø= 35,45

c= 35,08









Ahora K1 =(√σRT(σC−σRT))∗(σC)

2(σC−σRT) K1 =

(√5.52(39.17−5.52))∗(39.17)

2(39.17−5.52) K1=7.93 MPa


Ʈ = tan(45.9)σN + 7.93 Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟑𝛔𝐍 + 𝟕. 𝟗𝟑

Ahora C’=K1+TN Y 𝑇𝑁 =(2𝑅1−𝜎𝐶)(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶)


𝑇𝑁 =(2 ∗ 70.105 − 39.17)(90.13 − 72.585) − (80.27 − 70.105)(2 ∗ 90.13 − 39.17)

2(90.13 − 72.585) cos 45.9

𝑇𝑁 =-13.865 MPa

C’= -7.93+13.865=21.795 C’=21.795 MPa

La nueva envolvente quedaría Ʈ = ta n(45.9) 𝜎𝑁 + 21.795 Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟑𝝈𝑵+21.795

Ahora 𝑅 = σ𝑅𝑇𝜎𝐶

2(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇)=(5.52)∗(39.17)

2(39.17−5.52) R=3.21MPa

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟓. 𝟓𝟐𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT(σC − σRT)=√5.52(39.17 − 5.52)= ƮT=13.63MPa


1 142,69 2,48 72,585 70,105

0,71 5,87 8,31

2 156,86 4,9 80,89 75,97

0,47 4,30 9,24

3 170,4 9,9 90,13 80,27

0,58 10,17 17,55

1 142,69 2,48 72,585 70,105

0,58

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32



σc =2K1cosØ

(1−senØ)=2(7.93)(0.696)

(1−0.718)= 39.14MPa.


σTT =2K1cosØ

(1+senØ)=2(7.93)(0.696)

(1+0.718)=6.43MPa


acuerdo a nuestra teoría el valor 𝜎 𝑇𝑇de Mohr Coulomb debe ser igual a 2R donde

𝑅 = σ𝑅𝑇𝜎𝐶

2(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇) 2𝑅 =

σ𝑅𝑇𝜎𝐶

(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇)=(5.52)(39.17)

(39.17−5.52)=6.43 MPa

Se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis.

𝜎𝑇𝑇=2R 6.43=2*3.21 6.43≅6.42

Vemos claramente que los resultados son más ajustados a los calculados con las

ecuaciones de la tesis; 99.4% en 𝜎𝐶 y 99.8% en 𝜎𝑇𝑇 , que con la envolvente de Mohr-

Coulomb, éstos son el 348% más en 𝜎𝑐, 563% más en 𝜎𝑇𝑇 .

En la Figura 4-3 observamos una diferencia considerable entre las envolventes de los

ensayos triaxiales y las envolventes Tracom y Tracom-triaxial, en cuanto al ángulo de

fricción interno (diferencia de 10.45°) y cohesión (diferencia de 13.28MPa). Para efectos

de diseño tomaríamos los resultados de Tracom ya que nos indica de una manera más

clara que la roca tiene menos resistencia a esfuerzos de cizalla, parámetro importante en

el diseño de excavaciones a cielo abierto y subterráneo.


Figura 4-3: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de Chert negro.

4.4 Sulfuro masivo (cuerpo Zeus).

Tabla 4.4–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de sulfuro masivo, cuerpo Zeus, mina Minera El Roble S.A. Colombia.

Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

5.47 Anexo A

Compresión

simple

11.51 0 Muestra

fisurada

Anexo A


Triaxial 2 --------- -------- Anexo A


Como en el ensayo de compresión simple se tuvo una muestra fisurada, este valor no es

representativo de la resistencia a compresión del sulfuro masivo.



de puntos máximos.


cohesión C.

Tabla 4.4–2: Coeficientes para el ajuste por mínimos cuadrados de la recta máxima


Ʈ = tan (46.05)𝜎𝑁 + 21.45 Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟒𝝈𝑵 + 𝟐𝟏. 𝟒𝟓


Con el ángulo de fricción interna, que no debería variar con dos ensayos triaxiales

tenemos:


𝜎𝐶 sin 46.05 =

𝜎𝐶−2∗5.47

𝜎𝐶 0.72𝜎𝐶=𝜎𝐶-10.94 𝝈𝑪=39.07 MPa

Ahora 𝐾1 =(√𝜎𝑅𝑇(𝜎𝐶−𝜎𝑅𝑇))∗(𝜎𝐶)

2(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇) 𝐾1 =

(√5.47(39.07−5.47))∗(39.07)

2(39.07−5.47) K1=7.88 MPa

Xi Yi N

1 119,43 2,46 60,945 58,485 3714,29 3420,50 3564,37

2 163,89 9,84 86,865 77,025 7545,53 5932,85 6690,78

Sx Sy Sxx Syy Sxy

147,81 135,51 11259,82 9353,35 10255,14

2

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

r= 1,00

m= 0,72

n= 14,89

Ø= 46,05

C= 21,45
































La ecuación de línea envolvente de Tracom es: Ʈ = tan (46.05)𝜎𝑁 + 7.88

Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟒𝝈𝑵 + 𝟕. 𝟖𝟖

Ahora C’=K1+TN 𝑇𝑁 =(2𝑅1−𝜎𝐶)(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶)


𝑇𝑁 =(2 ∗ 58.485 − 39.07)(86.865 − 60.945) − (77.025 − 58.485)(2 ∗ 60.945 − 39.07)

2(86.865 − 60.945) cos 46.05

𝑇𝑁 =13.444 MPa

C’= 7.88+13.444=21.324 C’=21.324 MPa

La nueva envolvente Tracom-triaxial quedaría Ʈ = ta n(46.05) 𝜎𝑁 + 21.324

Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟒𝝈𝑵+21.324 MPa

Con resultados ecuaciones tesis.


σc =2K1cosØ

(1−senØ)=2(7.88)(0.694)

(1−0.72)= 39.06MPa.


σTT =2K1cosØ

(1+senØ)=2(7.88)(0.694)

(1+0.72)=6.36MPa



R = σRTσC

2(σC−σRT) 2𝑅 =

σ𝑅𝑇𝜎𝐶

(𝜎𝐶−σ𝑅𝑇)=(5.47)(39.07)

(39.07−5.47)=6.36 MPa.






𝜎𝐶=2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

(1−𝑠𝑒𝑛Ø)=2(21.45)(0.694)

(1−0.72)= 106.33 MPa



(1−𝑠𝑒𝑛Ø)=2(21.45)(0.694)

(1−0.72)= 106.33 MPa

Resistencia a la tracción de Mohr Coulomb

σTT=2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

(1+𝑠𝑒𝑛Ø)=2(21.45)(0.694)

(1+0.72)=-17.31 MPa.

Los resultados son más ajustados a los calculados con las ecuaciones de la tesis; 99.9%

en 𝜎𝐶 y 100% en 𝜎𝑇𝑇 , que con la envolvente de Mohr-Coulomb, éstos son el 272% más en

𝜎𝑐316% más en 𝜎𝑇𝑇

Figura 4-4 Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de Sulfuro masivo (cuerpo Zeus)


4.5 Dique lutítico.

Como en el ensayo de compresión simple se tuvo una muestra fisurada Colombia., este

valor no es representativo de la resistencia a compresión del dique lutítico.

Tabla 4.5–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales del dique lutítico mina Minera El Roble S.A. Colombia.

Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

6.78 Anexo A

Compresión

simple

12.85 0 Muestra

fisurada

Anexo A





cohesión C.


Xi Yi N

1 76,60 2,46 39,53 37,07 1562,62 1374,18 1465,38

2 90,18 4,92 47,55 42,63 2261,00 1817,32 2027,06

3 109,67 9,84 59,755 49,915 3570,66 2491,51 2982,67

Sx Sy Sxx Syy Sxy

146,835 129,615 7394,28 5683,01 6475,10

3

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

r= 1,00

m= 0,63

n= 12,27

Ø= 39,05

C= 15,8









Ʈ = tan (39.05)𝜎𝑁 + 15.8 Ʈ = 𝟎. 𝟖𝟏𝝈𝑵 + 𝟏𝟓. 𝟖


sin ∅ =𝑹𝟐−𝑹𝟏

𝑪𝟐−𝑪𝟏 tenemos:

: Tabla 4.5–3. Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo de fricción interna.


(Ø= 39.79°°).

Con el valor de este ángulo de fricción interna podemos calcular la resistencia a la

compresión con


𝜎𝐶 sin 39.79 =

σC−2∗6.78

σC 0.64𝜎𝐶=𝜎𝐶-13.56 𝝈𝑪=37.67MPa


2(σC−σRT) 𝐾1 =

(√6.78(37.67−6.78))∗(37.67)

2(37.67−6.78) K1=8.82 MPa


Ʈ = tan(39.79)σN + 8.82 Ʈ = 𝟎. 𝟖𝟑𝟑𝐍 + 𝟖. 𝟖𝟐

Ahora C’=K1+TN y 𝑇𝑁 =(2𝑅1−𝜎𝐶)(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶)


𝑇𝑁 =(2 ∗ 37.07 − 37.67)(59.755 − 39.53) − (49.915 − 37.07)(2 ∗ 39.53 − 37.67)

2(59.755 − 39.53) cos 39.59


1 76,60 2,46 39,53 37,07

0,69 5,56 8,02

2 90,18 4,92 47,55 42,63

0,60 7,29 12,21

3 109,67 9,84 59,755 49,915

0,64 12,85 20,23

1 76,60 2,46 39,53 37,07

0,64

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32


𝑇𝑁 =6.61 MPa

C’= 6.61+8.82=15.43 C’=15.43 MPa

La nueva envolvente Tracom-triaxial quedaría Ʈ = ta n(39.79) σN + 15.43

Ʈ = 𝟎. 𝟖𝟑𝟑𝝈𝑵+15.43

Ahora R =σRTσC

2(σC−σRT)=(6.78)∗(37.67)

2(37.67−6.78) R=4.13MPa

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟔. 𝟕𝟖𝐌𝐏𝐚




σc =2K1cosØ

(1−senØ)=

2(8.82)(0.768)

(1−0.64)=37.63MPa.


σTT =2K1cosØ

(1+senØ)=2(8.82)(0.768)

(1+0.64)=8.26MPa



R = σRTσC

2(σC−σRT) 2R =

σRTσC

(σC−σRT)=(6.78)(37.67)

(37.67−6.78)=8.27 MPaσ


𝜎𝑇𝑇=2R 8.26≈2*4.14 8.26≈8.28



Resistencia a la compresión de Mohr Coulmb


(1−𝑠𝑒𝑛Ø)=2(15.8)(0.777)

(1−0.63)= 66.36 MPa



σTT=2CcosØ

(1+senØ)=2(15.8)(0.777)

(1+0.63)=-15.06 MPa.


ecuaciones de la tesis; 99.9% en 𝜎𝐶 y 99.8% en 𝜎𝑇𝑇 , que con la envolvente de Mohr-


Figura 4-5 Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de dique lutítico.


4.6 Chert negro grafitoso.

Tabla 4.6–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de chert negro grafitoso, mina Minera El Roble S.A. Colombia.

Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

3.81 Anexo

Compresión

simple

28.04 0 Muestra

fisurada

Anexo A




Como en el ensayo de compresión simple se tuvo una muestra fisurada, este valor no es

representativo de la resistencia a compresión del chert negro grafitoso.


de puntos máximos.


cohesión C.


Xi Yi N

1 89,75 2,46 46,105 43,645 2125,67 1904,89 2012,25

2 129,97 4,92 67,445 62,525 4548,83 3909,38 4217,00

3 139,83 9,84 74,835 64,995 5600,28 4224,35 4863,90

Sx Sy Sxx Syy Sxy

188,385 171,165 12274,78 10038,61 11093,15

3

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖



Ʈ = tan (50.35)𝜎𝑁 + 13.18 Ʈ = 𝟏. 𝟐𝟎𝟕𝝈𝑵 + 𝟏𝟑. 𝟏𝟖


Por ecuación sin∅ =𝑹𝟐−𝑹𝟏




(Ø= 47.73).

Con el valor de este ángulo de fricción interna podemos calcular la resistencia a la

compresión con


𝜎𝐶 sin 47.73 =

𝜎𝐶−2∗3.81

𝜎𝐶 0.74𝜎𝐶=𝜎𝐶-7.62 𝝈𝑪=29.31MPa



(√3.81(29.31−3.81))∗(29.31)

2(29.31−3.81) K1=5.66 MPa

r= 0,99

m= 0,77

n= 8,41

Ø= 50,35

C= 13,18








1 89,75 2,46 46,105 43,645

0,88 18,88 21,34

2 129,97 4,92 67,445 62,525

0,33 2,47 7,39

3 139,83 9,84 74,835 64,995

0,74 21,35 28,73

1 89,75 2,46 46,105 43,645

0,77

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32



Ʈ = tan(47.73)σN + 5.66 Ʈ = 𝟏. 𝟏𝝈𝐍 + 𝟓. 𝟔𝟔

Ahora C=K1+TN 𝑇𝑁 =(2𝑅1−𝜎𝐶)(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶)


TN =(2 ∗ 43.645 − 29.31)(74.835 − 46.105) − (64.995 − 43.645)(2 ∗ 46.105 − 29.31)

2(74.835 − 46.105) cos 47.73

𝑇𝑁 =8.35 MPa

C’= 8.35+5.66=14.01 C’=14.01 MPa


Ʈ = 𝟏. 𝟏𝛔𝐍+14.01

Ahora R = σRTσC

2(σC−σRT)=(3.81)∗(29.31)

2(29.31−3.81) R=2.19MPa

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟑. 𝟖𝟏 𝐌𝐏𝐚




σc =2K1cosØ

(1−senØ)=2(5.66)(0.673)

(1−0.74)=29.3MPa.


𝜎𝑇𝑇 =2𝐾1𝑐𝑜𝑠Ø

(1+𝑠𝑒𝑛Ø)=2(5.66)(0.673)

(1+0.74)=4.38MPa



R =σRTσC

2(σC−σRT) 2R =

σRTσC

(σC−σRT)=(3.81)(29.3)

(29.3−3.81)=4.38 MPa



𝜎𝑇𝑇=2R 4.38≈2*2.19 4.38=4.38




𝜎𝐶=2CcosØ

(1−senØ)=2(13.18)(0.638)

(1−0.77)= 73.12 MPa


𝜎𝑇𝑇=2CcosØ

(1+senØ)=2(13.18)(0.638)

(1+0.77)=-9.5 MPa.


ecuaciones de la tesis; 99.9% en 𝜎𝐶 y 100% en 𝜎𝑇𝑇 , que con la envolvente de Mohr-


Figura 4-6: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de Chert negro grafitoso.


4.7 Formación mesa verde. Colorado.

Tabla 4.7–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de la formación mesa verde. Colorado.

Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

-------- Anexo B

Compresión

simple

250 0 Anexo A

Triaxial 1 385.3 11.4 Anexo C




de puntos máximos


cohesión C.


Xi Yi N

11,40 198,35 186,95 39342,72 34950,30 37081,53

22,80 266,95 244,15 71262,30 59609,22 65175,84

57,00 362 305 131044,00 93025,00 110410,00

Sx Sy Sxx Syy Sxy

827,3 736,1 241649,03 187584,53 212667,38

3

𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖



Ʈ = tan (46.05)σN + 68.92 Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟒𝛔𝐍 + 𝟔𝟖. 𝟗𝟐





Tomaremos el seno calculado entre el primer y el último ensayo triaxial, en este caso

0.72(Ø= 46.05 °).

Con el valor de este ángulo de fricción interna podemos calcular la resistencia a la tracción

con la ecuación.

sin ∅ =σC−2σRT

σC sin46.05

250−2𝜎𝑅𝑇250

2σRT=70.01 𝝈𝑹𝑻=35.01MPa

r= 1,00

m= 0,72

n= 47,83

Ø= 46,05

C= 68,92








1 385,30 11,40 198,35 186,95

0,83 57,20 68,60

2 511,10 22,80 266,95 244,15

0,64 60,85 95,05

3 667,00 57,00 362 305

0,72 118,05 163,65

1 385,30 11,40 198,35 186,95

0,72

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32




(√35.01(250−35.01))∗(250)

2(250−35.01) K1=50.44 MPa


Ʈ = tan(46.05)σN + 50.44 Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟒𝛔𝐍 + 𝟓𝟎. 𝟒𝟒

Ahora C’=K1+TN 𝑇𝑁 =(2𝑅1−𝜎𝐶)(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶)


TN =(2 ∗ 186.95 − 250)(362 − 198.35) − (305 − 186.95)(2 ∗ 198.35 − 250)

2(362 − 198.35) cos 46.05

𝑇𝑁 =13.02 MPa

C’= 13.02+50.44=63.46 C’=63.46 MPa

La nueva envolvente Tracom-triaxial quedaría Ʈ = 𝐭𝐚𝐧(𝟒𝟔. 𝟎𝟓)𝝈𝑵 + 𝟔𝟑. 𝟒𝟔

Ʈ = 𝟏. 𝟏𝛔𝐍+14.01 MPa

Ahora R =σRTσC

2(σC−σRT)=(35.01)∗(250)

2(250−35.01) R=20.36MPa

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟑𝟓. 𝟎𝟏𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT(σC − σRT)=√35.01(250 − 35.01)= ƮT=86.76MPa



σC=2K1cosØ

(1−senØ)=2(50.44)(0.694)

(1−0.72)=250.04MPa.


σTT=2K1cosØ

(1+senØ)=2(50.44)(0.694)

(1+0.72)=40.70MPa




R =σRTσC

2(σC−σRT) 2R =

σRTσC

(σC−σRT)=

(35.01)(250)

(250−35.01)=40.71 MPa


𝜎𝑇𝑇=2R 40.70≈2*20.36 40.70≅40.72




σC=2CcosØ

(1−senØ)=2(68.92)(0.694)

(1−0.72)= 341.65 MPa


σTT=2CcosØ

(1+senØ)=2(68.92)(0.694)

(1+0.72)=-55.62 MPa.


ecuaciones de la tesis; 100% en 𝜎𝐶 y 99.9% en 𝜎𝑇𝑇 , que con la envolvente de Mohr-

Coulomb, éstos son el 136.66% más en 𝜎𝑐, 136.66 más en 𝜎𝑇𝑇 .

Figura 4-7: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de formación mesa verde, Colorado.


4.8 Arenisca techo mina Villabona. España (1)

Se tomarán los ensayos de las probetas que correspondan al rango de perforación similar

para tener una muestra representativa. Si hay varias probetas ensayadas en el mismo

rango de perforación se tomará el promedio de los resultados.

Tabla 4.8–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de arenisca del techo mina Villabona. España.

Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

7.46 AnexoC

Prob.

2T,3Ty 4T

Compresión

simple

84.47 0 Anexo C

Probeta 5T


Probeta 1T


Probeta 1T


Prob. 1T


de puntos máximos.


cohesión C.




Ʈ = tan (57.14)σN + 10.395 Ʈ = 𝟏. 𝟓𝟒𝟖𝛔𝐍 + 𝟏𝟎. 𝟑𝟗𝟓


Por ecuación sin ∅ =𝐑𝟐−𝐑𝟏

𝐂𝟐−𝐂𝟏 tenemos:

Tomaremos el seno calculado entre el primer y el último ensayo triaxial, Tabla 4.8–3 en

este caso 0.82 (Ø= 55.085°).; y C=9.86 MPa

Ahora hallamos el ángulo con ecuaciones tesis tomando

sin ∅ =σC−2σRT

σC sin ∅ =

84.47−2∗7.46

84.47 senØ=0.823 Ø=55.42°

Xi Yi N

1 88,66 0,98 44,82 43,84 2008,83 1921,95 1964,91

2 89,74 1,96 45,85 43,89 2102,22 1926,33 2012,36

3 118,56 3,92 61,24 57,32 3750,34 3285,58 3510,28

Sx Sy Sxx Syy Sxy

151,91 145,05 7861,39 7133,86 7487,54

3

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

r= 1,00

m= 0,84

n= 5,64

Ø= 57,14

C= 10,395










2(σC−σRT) K1 =

(√7.46(84.47−7.46))∗(84.47)

2(84.47−7.46) K1=13.145 MPa


Ʈ = tan(55.42)σN + 13.145 Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟓𝝈𝐍 + 𝟏𝟑. 𝟏𝟒𝟓

Ahora C=K1+TN y TN =(2R1−σC)(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC)

2(C2−C1)cosØ

TN =(2 ∗ 43.84 − 84.47)(61.24 − 44.82) − (57.32 − 43.84)(2 ∗ 44.82 − 84.47)

2(61.24 − 44.82) cos 55.42

𝑇𝑁 =-0.911 MPa

C’= -0.911+13.145=12.234 C’=12.234 MPa


Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟓𝐚𝐥𝛔𝐍+12.234

Ahora = R =σRTσC

2(σC−σRT)=(7.46)∗(84.47)

2(84.47−7.46) R=4.09MPa

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟖𝟒. 𝟒𝟕𝐌𝐏𝐚



1 88,66 0,98 44,82 43,84

0,05 0,05 1,03

2 89,74 1,96 45,85 43,89

0,87 13,43 15,39

3 118,56 3,92 61,24 57,32

0,82 13,44 16,38

1 88,75 0,98 44,865 43,885

0,84

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32




σc =2K1cosØ

(1−senØ)=2(13.234)(0.568)

(1−0.823)=84.94MPa.


σTT =2K1cosØ

(1+senØ)=2(13.234)(0.568)

(1+0.823)=8.247MPa


𝜎𝑇𝑇=2R 8.247≈2*4.09 8.247≅8.18




𝜎𝐶=2CcosØ

(1−senØ)=2(9.86)(0.573)

(1−0.82)= 62.72 MPa



(1+senØ)=2(9.86)(0.573)

(1+0.82)=-6.2 MPa.

Igualmente a los ejemplos anteriores los resultados con las ecuaciones tesis son más

ajustados a la realidad pues da 99.45 en 𝜎𝐶 y 99.19% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión

da 83.5 en 𝜎𝐶 y 82.3% en 𝜎𝑇𝑇


Figura 4-8: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de arenisca techo mina Villabona España

4.9 Margas rojas techo mina Villabona. España

Resultados ilógicos pues tiene mayor resistencia a compresión simple que a compresión

confinada en los dos primeros ensayos (Tabla 4.9–1), sin embargo, de los ensayos

triaxiales hallamos el valor del ángulo de fricción interna, con la regresión de puntos

máximos.


cohesión C. (Tabla 4.9–2).


Ʈ = tan(40.54) σN + 7.185 Ʈ = 𝟎. 𝟖𝟓𝟓𝛔𝐍 + 𝟕. 𝟏𝟖𝟓


Tabla 4.9–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de Margas rojas techo mina Villabona. España

Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

7.46 Anexo C

Prob.

2T,3Ty 4T

Compresión

simple

42.63 0 Calculado

ecuaciones

tesisi.

Anexo C

Prob. 10T


Prob. 21T


Prob. 21T


Prob. 21T


Xi Yi N

1 35,59 0,98 18,283 17,303 334,27 299,39 316,35

2 41,41 1,96 21,685 19,725 470,24 389,08 427,74

3 49,69 3,92 26,805 22,885 718,51 523,72 613,43

Sx Sy Sxx Syy Sxy

66,773 59,913 1523,02 1212,19 1357,52

3

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

r= 1,00

m= 0,65

n= 5,46

Ø= 40,54

C= 7,185













(Ø= 40.54)

Tenemos por ecuación sin ∅ =σC−2σRT

σC

Calculamos la resistencia a compresión 0.65𝜎𝐶=𝜎𝐶-2*7.46 𝝈𝑪=42.63

Resultado, que, aunque con dos ensayos triaxiales está aún ilógico, con el tercer ensayo

es un resultado aceptable.


2(σC−σRT) K1 =

(√7.46(42.63−7.46))∗(42.63)

2(42.63−7.46) K1=9.82 MPa


Ʈ = tan(40.54)σN + 9.82 Ʈ = 𝟎. 𝟖𝟓𝟓𝛔𝐍 + 𝟗. 𝟖𝟐

Ahora C’=K1+TN y TN =(2R1−σC)(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC)

2(C2−C1)cosØ

TN =(2 ∗ 17.303 − 42.63)(26.805 − 18.283) − (22.885 − 17.303)(2 ∗ 18.283 − 42.63)

2(26.805 − 18.283) cos 40.54

𝑇𝑁 =-2.67 MPa

C’= -2.67+9.82=7.15 C’=7.15 MPa


1 35,59 0,98 18,283 17,303

0,71 2,42 3,40

2 41,41 1,96 21,6855 19,7255

0,62 3,16 5,12

3 49,69 3,92 26,805 22,885

0,65 5,58 8,52

1 35,59 0,98 18,285 17,305

0,65

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32


La nueva envolvente quedaría

Ʈ = ta n(40.54) σN + 7.15 Ʈ = 𝟎. 𝟖𝟓𝟓𝛔𝐍+7.15

Ahora R =σRTσC

2(σC−σRT)=(7.46)∗(42.63)

2(42.63−7.46) R=4.52MPa

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟕. 𝟒𝟔𝐌𝐏𝐚




σC=2K1cosØ

(1−senØ)=2(9.82)(0.76)

(1−0.65)=42.64MPa.


σTT=2K1cosØ

(1+senØ)=2(9.82)(0.76)

(1+0.65)=9.04MPa


𝜎𝑇𝑇=2R 9.04≈2*4.52 9.04≅9.04




σC=2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

(1−𝑠𝑒𝑛Ø)=2(7.185)(0.76)

(1−0.65)=31.20 MPa



(1+senØ)=2(7.185)(0.76)

(1+0.65)=6.62 MPa.



ajustados a la realidad pues da 100% en 𝜎𝐶 y 100% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da

73.19 en 𝜎𝐶 y 73.23% en 𝜎𝑇𝑇 .

Es de anotar, nuevamente, que los resultados de los ensayos triaxiales no son lógicos con

respecto al resultado con la resistencia a compresión simple, pues estos últimos están

dando menor que la resistencia a compresión simple.

Figura 4-9: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de margas rojas techo mina Villabona España


4.10 Granito de País Amarelo España.[24]

Tabla 4.10–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de granito del país Amarelo. España.

Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

6.65 Anexo E

Compresión

simple

76.93 0 Promedio de

12 ensayos

Anexo E

Triaxial 1 117.59 2.0 Promedio de

4 ensayos

Anexo E.


4ensayos

Anexo E.


4 ensayos

Anexo E.


4 ensayos

Anexo E.


2 ensayos

Anexo D.

Se tomaron los promedios de los ensayos de cada grupo de confinamiento.


cohesión C.


Ʈ = tan (56.1)σN + 14.33 Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟗𝛔𝐍 + 𝟏𝟒. 𝟑𝟑



a) Cálculo con ecuaciones tesis.

Hallamos el valor del ángulo con ecuaciones tesis.

Tenemos por ecuación sin ∅ =σC−2σRT

σC

sin ∅ =76.93−2∗6.65

76.93 senØ=0.827 Ø=55.79°

Por ecuación sin ∅ =R2−R1

C2−C1 tenemos Tabla 4.10–3

Los valores de latabla son el resultado de muchos promedios de ensayos, lo que nos lleva

a concluir que se toma mejor la regresión por el buen número de ensayos efectuados, este

caso 0.83 (Ø= 56.1°).; y C=14.33 MPa


2(σC−σRT)

(√6.65(76.93−6.65))∗(76.93)

2(76.93−6.65) K1=11.83 MPa

Xi Yi N

1 117,59 2,00 59,795 57,795 3575,44 3340,26 3455,85

2 130,90 4,00 67,45 63,45 4549,50 4025,90 4279,70

3 167,26 6,00 86,63 80,63 7504,76 6501,20 6984,98

4 200,14 10,00 105,07 95,07 11039,70 9038,30 9989,00

5 222,57 12,00 117,285 105,285 13755,77 11084,93 12348,35

Sx Sy Sxx Syy Sxy

436,23 402,23 40425,18 33990,60 37057,89

5

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

r= 1,00

m= 0,83

n= 7,99

Ø= 56,1

C= 14,33










Ʈ = tan(55.79)σN + 11.83 Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟕𝝈𝑵 + 𝟏𝟏. 𝟖𝟑

Ahora C’=K1+TN y 𝑇𝑁 =(2𝑅1−𝜎𝐶)(𝐶2−𝐶1)−(𝑅2−𝑅1)(2𝐶1−𝜎𝐶)


TN =(2 ∗ 57.795 − 76.93)(117.285 − 59.795) − (105.285 − 57.795)(2 ∗ 59.795 − 76.93)

2(117.285 − 59.795) cos 55.79

𝑇𝑁 = 3.04 MPa

C’= 3.04+11.83. =14.87 C’=14.87 MPa

La nueva envolvente Tracom-triaxial. quedaría Ʈ = ta n55.79 σN + 14.87

Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟕𝛔𝐍+14.87

Ahora R =σRTσC

2(σC−σRT)=(6.65)∗(76.93)

2(76.93−6.65) R=3.64MPa

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟔. 𝟔𝟓𝐌𝐏𝐚




1 117,59 2,00 59,795 57,795

0,74 5,66 7,66

2 130,90 4,00 67,45 63,45

0,90 17,18 19,18

3 167,26 6,00 86,63 80,63

0,78 14,44 18,44

4 200,14 10,00 105,07 95,07

1,02 -89,79 -87,79

5 22,57 12,00 17,285 5,285

1,24 52,51 42,51

1 117,59 2,00 59,795 57,795

1 0 0

0,83

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32



𝜎𝐶=2K1cosØ

(1−senØ)=2(11.83)(0.562)

(1−0.827)=76.86MPa.


σTT=2K1cosØ

(1+senØ)=2(11.83)(0.562)

(1+0.827)=7.28MPa


𝜎𝑇𝑇=2R 7.28≈2*3.64 7.28≅7.28





(1−𝑠𝑒𝑛Ø)=2(14.33)(0.558)

(1−0.83)=94.07MPa


σTT=2CcosØ

(1+senØ)=2(14.33)(0.558)

(1+0.83)=8.74 MPa.


ajustados a la realidad pues da 99.9% en 𝜎𝐶 y 100% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da

122.3% en 𝜎𝐶 y 120.05% en 𝜎𝑇𝑇 .


Figura 4-10: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca granito país Amarelo. España.

4.11 Granito de Mera Blanco España.[24]


cohesión C. (Tabla 4.11–1)


Ʈ = tan (56.1)σN + 24.26 Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟗𝛔𝐍 + 𝟐𝟒. 𝟐𝟔

Se tomaron los promedios de los ensayos de cada grupo de confinamiento


Tabla 4.11–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de granito de Mera Blanco. España.

Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

6.12 Anexo F.

Compresión

simple

109.21 0 Promedio de

12 ensayos

Anexo F


4 ensayos

Anexo F.


4ensayos

Anexo F


4 ensayos

Anexo F.


4 ensayos

Anexo F.


2 ensayos

Anexo F.

Triaxial 6 311.62 14.0 Anexo F


Xi Yi N

1 180,17 2,00 91,085 89,085 8296,48 7936,14 8114,31

2 210,07 4,00 107,035 103,035 11456,49 10616,21 11028,35

3 230,53 6,00 118,265 112,265 13986,61 12603,43 13277,02

4 265,88 10,00 137,94 127,94 19027,44 16368,64 17648,04

5 299,71 12,00 155,855 143,855 24290,78 20694,26 22420,52

6 311,62 14,00 162,81 148,81 26507,10 22144,42 24227,76

Sx Sy Sxx Syy Sxy

772,99 724,99 103564,90 90363,10 96716,00

6

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖



Hallamos el valor del ángulo con ecuaciones tesis. sin ∅ =σC−2σRT

σC

sin ∅ =109.21−2∗6.12

109.21 senØ=0.887 Ø=62.5°

Por sin ∅ =R2−R1

C2−C1 tenemos (Tabla 4.11–3)

El valor del ángulo entre el último y el primer ensayo triaxial es igual al valor del ángulo

hallado por regresión.

Tabla 4.11–3: Relación de esfuerzos principales de ensayos triaxiales y el seno del ángulo

de fricción interna.

r= 1,00

m= 0,83

n= 13,53

Ø= 56,1

C= 24,26








1 180,17 2,00 91,085 89,085

0,87 13,95 15,95

2 210,07 4,00 107,035 103,035

0,82 9,23 11,23

3 230,53 6,00 118,265 112,265

0,80 15,68 19,68

4 265,88 10,00 137,94 127,94

0,89 15,92 17,92

5 299,71 12,00 155,855 143,855

0,71 4,96 6,96

6 311,62 14,00 162,81 148,81

0,83 -59,73 -71,73

1 180,17 2,00 91,085 89,085

0,83

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32


𝐾1 =(√σRT(σC−σRT))∗(σC)

2(σC−σRT) K1 =

(√6.12(109.21−6.12))∗(109.21)

2(109.21−6.12) K1=13.3 MPa


Ʈ = tan(62.5)σN + 13.3 Ʈ = 𝟏. 𝟗𝟐𝛔𝐍 + 𝟏𝟑. 𝟑


2(C2−C1)cosØ

TN =(2 ∗ 89.085 − 109.21)(162.81 − 91.085) − (148.81 − 89.085)(2 ∗ 91.085 − 109.21)

2(162.81 − 91.085) cos 62.5

𝑇𝑁 = 8.89 MPa

C’= 8.89+13.311.83. =22.19 C’=22.19 MPa

La nueva envolvente quedaría Ʈ = ta n62.5 σN + 22.19 Ʈ = 𝟏. 𝟗𝟐𝛔𝐍+22.19

Ahora R =σRTσC

2(σC−σRT)=(6.12)∗(109.21)

2(109.21−6.12) R=3.24MPa

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟔. 𝟏𝟐𝐌𝐏𝐚




𝜎𝐶=2K1cosØ

(1−senØ)=2(13.3)(0.462)

(1−0.887)=108.75MPa.


σTT=2K1cosØ

(1+senØ)=2(13.3)(0.462)

(1+0.887)=6.51MPa


𝜎𝑇𝑇=2R 6.51≈2*3.24 6.51≅ 6.48





𝜎𝐶=2CcosØ

(1−senØ)=2(24.26)(0.558)

(1−0.83)=159.26MPa


σTT=2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

(1+𝑠𝑒𝑛Ø)=2(24.26)(0.558)

(1+0.83)=14.79 MPa.


ajustados a la realidad pues da 99.5% en 𝜎𝐶 y 106.4% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión

da 145.8% en 𝜎𝐶 y 241.7% en 𝜎𝑇𝑇 .

Figura 4-11 Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca granito Mera Blanco. España.


4.12 Granito de Villachán España.[24]

Tabla 4.12–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de granito Villachán. España.

Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

6.93 Anexo G

Compresión

simple

116.07 0 Promedio de

12 ensayos

Anexo G


4 ensayos

Anexo G


4ensayos

Anexo G.


3 ensayos

Anexo G.


4 ensayos

Anexo G.


2 ensayos

Anexo G.



cohesión C.


Ʈ = tan (54.09)σN + 20.8 Ʈ = 𝟏. 𝟑𝟖𝛔𝐍 + 𝟐𝟎. 𝟖




Hallamos el valor del ángulo con ecuaciones tesis. sin ∅ =σC−2σRT

σC

sin ∅ =116.07−2∗6.93

116.07 senØ=0.88 Ø=61.64°

El seno del ángulo entre el primer y el último ensayo triaxial es 0.8 muy cercano al ángulo

obtenido por regresión. (Tabla 4.12–3)


2(σC−σRT) K1 =

(√6.93(116.07−6.93))∗(116.07)

2(116.07−6.93) K1=14.62 MPa


Ʈ = tan(61.64)σN + 14.62 Ʈ = 𝟏. 𝟖𝟓𝟑𝝈𝐍 + 𝟏𝟒. 𝟔𝟐

Xi Yi N

1 143,82 2,00 72,91 70,91 5315,87 5028,23 5170,05

2 162,89 4,00 83,445 79,445 6963,07 6311,51 6629,29

3 189,69 6,00 97,845 91,845 9573,64 8435,50 8986,57

4 230,55 10,00 120,275 110,275 14466,08 12160,58 13263,33

5 262,84 15,00 138,92 123,92 19298,77 15356,17 17214,97

Sx Sy Sxx Syy Sxy

513,40 476,40 55617,42 47291,98 51264,20

5

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

r= 1,00

m= 0,81

n= 12,20

Ø= 54,09

C= 20,8










2(C2−C1)cosØ

TN =(2 ∗ 70.91 − 116.07)(138.92 − 72.91) − (123.92 − 70.91)(2 ∗ 72.91 − 116.07)

2(138.92 − 72.91) cos 61.64

𝑇𝑁 = 1.96 MPa

C’= 1.96+14.62. =16.88 C’=16.88 MPa

La nueva envolvente quedaría Ʈ = ta n61.64 σN + 16.88 Ʈ = 𝟏. 𝟖𝟓𝛔𝐍+16.88

𝑅 =𝜎𝑅𝑇𝜎𝐶

2(𝜎𝐶−𝜎𝑅𝑇)=(6.93)∗(116.07)

2(116.07−6.93) R=3.685MPa

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟔. 𝟗𝟑𝐌𝐏𝐚


Con ecuaciones tesis


1 143,82 2,00 72,91 70,91

0,81 8,54 10,54

2 162,89 4,00 83,445 79,445

0,86 12,40 14,40

3 189,69 6,00 97,845 91,845

0,82 18,43 22,43

4 230,55 10,00 120,275 110,275

0,73 13,65 18,65

5 262,84 15,00 138,92 123,92

0,80 -53,01 -66,01

1 143,82 2,00 72,91 70,91

0,81

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32



σC=2K1cosØ

(1−senØ)=2(14.62)(0.475)

(1−0.88)=115.74MPa.


𝜎𝑇𝑇=2𝐾1𝑐𝑜𝑠Ø

(1+𝑠𝑒𝑛Ø)=2(14.62)(0.475)

(1+0.88)=7.39MPa


𝜎𝑇𝑇=2R 7.39≈2*3.685 7.39≅7.37




σC=2CcosØ

(1−senØ)=2(20.8)(0.587)

(1−0.81)=128.52MPa


σTT=2CcosØ

(1+senØ)=2(20.8)(0.587)

(1+0.81)=13.49 MPa.

Igualmente los resultados con las ecuaciones tesis son más ajustados a la realidad pues

da 99.7% en 𝜎𝐶 y 99.7% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da 110.73% en 𝜎𝐶 y 182.54%

en 𝜎𝑇𝑇 .

Figura 4-12: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca granito Villachán. España.


4.13 Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.[25]

Sector 1.

Tabla 4.13–1: Datos ensayos brasilero, compresión simple y triaxiales de andesita yacimiento El Teniente. Chile.

Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

18 . Anexo H

Compresión

simple

116.0 0 Promedio de

9 ensayos

Anexo H


2 ensayos

Anexo H.


2 ensayos

Anexo H.


2 ensayos

Anexo H.


2 ensayos

Anexo H.


1 ensayos

Anexo H.



cohesión C.


Ʈ = tan (36.16)σN + 36.54 Ʈ = 𝟎. 𝟕𝟑𝟏𝛔𝐍 + 𝟑𝟔. 𝟓𝟒




Hallamos Ø con la ecuación sin∅ =σC−2σRT

σC

sin ∅ =116.0−2∗18.0

116.0 SenØ=0.69 Ø=43.63°

Por ecuación 𝐬𝐢𝐧 ∅ =𝑹𝟐−𝑹𝟏

𝑪𝟐−𝑪𝟏 tenemos (Tabla 4.13–3)

Nuevamente el ángulo más próximo al hallado por regresión es el que está entre los

ensayos triaxiales 1 y 5 (menor y mayor esfuerzo de confinamiento). Φ=36.87°; C=36.88

MPa

R =σRTσC

2(σC−σRT)=(18.0)∗(116.0)

2(116.0−18.0) R=10.65 MPai

Xi Yi N

1 157,00 6,00 81,5 75,5 6642,25 5700,25 6153,25

2 206,50 13,00 109,75 96,75 12045,06 9360,56 10618,31

3 249,50 25,00 137,25 112,25 18837,56 12600,06 15406,31

4 301,00 38,00 169,5 131,5 28730,25 17292,25 22289,25

5 335,00 51,00 193,00 142,00 37249,00 20164,00 27406,00

Sx Sy Sxx Syy Sxy

691,00 558,00 103504,13 65117,13 81873,13

5

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

r= 1,00

m= 0,59

n= 29,50

Ø= 36,16

C= 36,54










𝜎𝑇𝑇=2R 𝜎𝑇𝑇=2*10.65 𝝈𝑻𝑻=21.3MPa


2(σC−σRT) K1 =

(√18.0(116.00−18.0))∗(116.0)

2(116.0−18.0) K1=24.86 MPa


Ʈ = tan(43.63)σN + 24.86 Ʈ = 𝟎. 𝟗𝟓𝟑𝛔𝐍 + 𝟐𝟒. 𝟖𝟔


2(C2−C1)cosØ

𝑇𝑁 =(2 ∗ 75.5 − 116.0)(193 − 81.5) − (142.0 − 75.5)(2 ∗ 81.5 − 116.0)

2(193.0 − 81.5) 𝑐𝑜𝑠 43.63

𝑇𝑁 = 4.814MPa

C’= 4.814+24.86. =29.674 C’=29.674 MPa

La nueva envolvente quedaría Ʈ = ta n43.63 σN + 29.674 Ʈ = 𝟎. 𝟗𝟓𝟑𝝈𝑵+29.674

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟏𝟖. 𝟎𝐌𝐏𝐚


1 157,00 6,00 81,5 75,5

0,75 21,25 28,25

2 206,50 13,00 109,75 96,75

0,56 15,50 27,50

3 249,50 25,00 137,25 112,25

0,60 19,25 32,25

4 301,00 38,00 169,5 131,5

0,45 10,50 23,50

5 335,00 51,00 193 142

0,60 -66,50 -111,50

1 157,00 6,00 81,5 75,5

0,59

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32





σC=2K1cosØ

(1−senØ)=2(24.86)(0.724)

(1−0.69)=116.124MPa.


σTT=2K1cosØ

(1+senØ)=2(24.86)(0.724)

(1+0.69)=21.3MPa


𝜎𝑇𝑇=2R 21.3≈2*10.65 21.3≅21.3




𝜎𝐶=2CcosØ

(1−senØ)=2(36.87)(0.8)

(1−0.6)=147.48MPa


σTT=2CcosØ

(1+senØ)=2(36.87)(0.8)

(1+0.6)=36.87 MPa.

Los resultados con las ecuaciones tesis son más ajustados a la realidad pues da 100.1%

en 𝜎𝐶 y 100% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da 81.8% en 𝜎𝐶 y 88.0% en 𝜎𝑇𝑇 .


Figura 4-13: Envolventes de Mohr-Coulomb y Tracom de roca yacimiento El Teniente. Sector 1. Chile



Sector 2.


Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

13.0 . Anexo H

Compresión

simple

120.0 0 Promedio de

3 ensayos

Anexo H.


1 ensayos

Anexo H.


1 ensayos

Anexo H.


1 ensayos

Anexo H


1 ensayos

Anexo H.


1 ensayos

Anexo H



cohesión C.


Ʈ = tan (34.06)σN + 39.12 Ʈ = 𝟎. 𝟔𝟕𝟔𝛔𝐍 + 𝟑𝟗. 𝟏𝟐




Hallamos Ø con ecuación sin ∅ =σC−2σRT

σC

sin ∅ =120.0−2∗13.0

120.0 SenØ=0.783 Ø=51.54

Por ecuación sin ∅ =R2−R1

C2−C1 tenemos

El ángulo entre el primer y el último ensayo triaxial, nuevamente, es el más cercano al

hallado por regresión. (Tabla 4.14–3) Φ=37.59°; C=40.9 MPa

Ahora R =σRTσC

2(σC−σRT)=(13.0)∗(120.0)

2(120.0−13.0) R=7.29 MPa

Xi Yi N

1 155,00 5,90 80,45 74,55 6472,20 5557,70 5997,55

2 212,00 11,00 111,5 100,5 12432,25 10100,25 11205,75

3 254,00 29,40 141,7 112,3 20078,89 12611,29 15912,91

4 295,00 47,00 171 124 29241,00 15376,00 21204,00

5 333,00 49,00 191,00 142,00 36481,00 20164,00 27122,00

0 0 0,00 0,00 0,00

Sx Sy Sxx Syy Sxy

695,65 553,35 104705,34 63809,24 81442,21

5

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

r= 0,99

m= 0,56

n= 32,41

Ø= 34,06

C= 39,12












2(σC−σRT) K1 =

(√13.0(120.00−13.0))∗(120.0)

2(120.0−13.0) K1=20.91 MPa


Ʈ = tan(51.54)σN + 20.91 Ʈ = 𝟏. 𝟐𝟔𝛔𝐍 + 𝟐𝟎. 𝟗𝟏

Ahora C’=K1+TN TN =(2R1−σC)(C2−C1)−(R2−R1)(2C1−σC)

2(C2−C1)cosØ

𝑇𝑁 =(2 ∗ 74.55 − 120.0)(191 − 80.45) − (142.0 − 74.55)(2 ∗ 80.45 − 120.0)

2(191.0 − 80.45) 𝑐𝑜𝑠 51.54

𝑇𝑁 = 3.33MPa

C’3.33+20.91. =24.24 C’=24.24 MPa

La nueva envolvente quedaría Ʈ = ta n51.54 σN + 24.24 Ʈ = 𝟏. 𝟐𝟔𝛔𝐍+24.24

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟏𝟑. 𝟎𝐌𝐏𝐚

ƮT=√σRT(σC − σRT)=√13.0(120.0 − 13.0) ƮT=37.30MPa


1 155,00 5,90 80,45 74,55

0,84 25,95 31,05

2 212,00 11,00 111,5 100,5

0,39 11,80 30,20

3 254,00 29,40 141,7 112,3

0,40 11,70 29,30

4 295,00 47,00 171 124

0,90 18,00 20,00

5 333,00 49,00 191 142

0,61 -67,45 -110,55

1 155,00 5,90 80,45 74,55

0,56

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32




σC=2K1cosØ

(1−senØ)=2(20.91)(0.622)

(1−0.783)=119.87MPa.


𝜎𝑇𝑇=2K1cosØ

(1+senØ)=2(20.91)(0.622)

(1+0.783)=14.59MPa


𝜎𝑇𝑇=2R 14.59≈2*7.29 14.59≅ 14.58




σC=2CcosØ

(1−senØ)=2(40.9)(0.79)

(1−0.61)=165.7MPa


σTT=2CcosØ

(1+senØ)=2(40.9)(0.79)

(1+0.61)=39.98 MPa.

Los resultados con las ecuaciones tesis son más ajustados a la realidad pues da 99.9%

en 𝜎𝐶 y 99.9% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión da 122.7% en 𝜎𝐶 y 284.65% en 𝜎𝑇𝑇 .



Sector 3.


Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

11.0 . Anexo H

Compresión

simple

128.0 0 Promedio de

2 ensayos

Anexo H.


1 ensayos

Anexo H.


3 ensayos

Anexo H.


2 ensayos

Anexo H.


1 ensayos

Anexo H.

Triaxial 5 395.0 53 Promedio de

1 ensayos

Anexo H.



cohesión C.


Ʈ = tan (42.84)σN + 20.78 Ʈ = 𝟎. 𝟗𝟐𝟕𝛔𝐍 + 𝟐𝟎. 𝟕𝟖




Hallamos Ø de la ecuación sin∅ =σC−2σRT

σC

sin ∅ =128.0−2∗11

128.0 SenØ=0.828 Ø=55.89°


𝑪𝟐−𝑪𝟏 tenemos

Se cumple nuevamente que el ángulo entre el primer y el último ensayo triaxial es el más

cercano al hallado por regresión. (Tabla 4.15–3). Φ=43.63°; C=21.06 MPa

Ahora R =σRTσC

2(σC−σRT)=(11.0)∗(128.0)

2(128.0−11.0) R=6.02 MPa

Xi Yi N

1 132,00 5,00 68,5 63,5 4692,25 4032,25 4349,75

2 195,33 15,00 105,165 90,165 11059,68 8129,73 9482,20

3 263,00 30,00 146,5 116,5 21462,25 13572,25 17067,25

4 249,00 40,00 144,5 104,5 20880,25 10920,25 15100,25

5 395,00 53,00 224,00 171,00 50176,00 29241,00 38304,00

0 0 0,00 0,00 0,00

Sx Sy Sxx Syy Sxy

688,67 545,67 108270,43 65895,48 84303,45

5

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

r= 0,99

m= 0,68

n= 15,24

Ø= 42,84

C= 20,78












2(σC−σRT) K1 =

(√11.0(128.00−11.0))∗(128.0)

2(128.0−11.0) K1=19.624 MPa


Ʈ = tan(55.89)σN + 19.624 Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟖𝛔𝐍 + 𝟏𝟗. 𝟔𝟐𝟒


2(C2−C1)cosØ

TN =(2 ∗ 63.5 − 128.0)(224 − 68.5) − (171.0 − 63.5)(2 ∗ 68.5 − 128.0)

2(224.0 − 68.5) cos 55.89

𝑇𝑁 = −6.44MPa

C=-6.44+19.624. =13.184 C’=13.184 MPa

La nueva envolvente Tracom-triaxial quedaría

Ʈ = 𝐭𝐚𝐧𝟓𝟓. 𝟖𝟗𝝈𝑵 + 𝟏𝟑. 𝟏𝟖𝟒 Ʈ = 𝟏. 𝟒𝟖𝛔𝐍+13.184

𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟏𝟏. 𝟎𝐌𝐏𝐚


1 132,00 5,00 68,5 63,5

0,73 26,67 36,67

2 195,33 15,00 105,165 90,165

0,64 26,34 41,34

3 263,00 30,00 146,5 116,5

6,00 -12,00 -2,00

4 249,00 40,00 144,5 104,5

0,84 66,50 79,50

5 395,00 53,00 224 171

0,69 -107,50 -155,50

1 132,00 5,00 68,5 63,5

0,68

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32



Con ecuaciones tesis.


σC=2K1cosØ

(1−senØ)=2(19.624)(0.561)

(1−0.828)=128.01MPa


σTT=2K1cosØ

(1+senØ)=2(19.624)(0.561)

(1+0.828)=12.04MPa


𝜎𝑇𝑇=2R 12.04≈2*6.02 12.04≅12.04

Si realizamos el mismo análisis con los datos de cohesión y ángulo de fricción encontrados

con la regresión de los ensayos triaxiales tendríamos:


σC=2CcosØ

(1−senØ)=2(21.06)(0.72)

(1−0.69)=97.83MPa


σTT=2CcosØ

(1+senØ)=2(21.06)(0.72)

(1+0.69)=17.94 MPa.

Los resultados son más ajustados con ecuaciones tesis.



Sector 4.


Ensayo 𝜎1

MPa

𝜎3

MPa

𝜎𝑅𝑇

MPa


Dato

Tracción

Brasilero

17.0 . Anexo H

Compresión

simple

117.0 0 Promedio de

2 ensayos

Anexo H.


1 ensayos

Anexo H


2 ensayos

Anexo H.


1 ensayos

Anexo H.


1 ensayos

Anexo H.



cohesión C.


Ʈ = tan (35.45)σN + 29.79 Ʈ = 𝟎. 𝟕𝟏𝟐𝛔𝐍 + 𝟐𝟗. 𝟕𝟗




Hallamos Ø de la ecuación sin∅ =σC−2σRT

σC

sin ∅ =117.0−2∗17

117.0 Sen Ø=0.709 Ø=45.15°

Por ecuación sin ∅ =𝐑𝟐−𝐑𝟏

𝐂𝟐−𝐂𝟏 tenemos

Se cumple nuevamente que el ángulo entre el primer y el último ensayo triaxial es el más

cercano al hallado por regresión. (Tabla 4.16–3). Φ=37.59°; C=30.63 MPa

Ahora R =σRTσC

2(σC−σRT)=(17.0)∗(117.0)

2(117.0−17.0) R=9.95 MPa

Xi Yi N

1 133,00 5,60 69,3 63,7 4802,49 4057,69 4414,41

2 167,50 9,80 88,65 78,85 7858,82 6217,32 6990,05

3 201,00 20,80 110,9 90,1 12298,81 8118,01 9992,09

4 213,00 30,70 121,85 91,15 14847,42 8308,32 11106,63

5 273,00 39,20 156,10 116,90 24367,21 13665,61 18248,09

0 0 0,00 0,00 0,00

Sx Sy Sxx Syy Sxy

546,80 440,70 64174,76 40366,96 50751,27

5

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32

𝑋𝑖2 𝑌𝑖

2 𝑋𝑖𝑌𝑖

r= 0,99

m= 0,58

n= 24,27

Ø= 35,45

C= 29,79








Sí se cumple la igualdad de σTT Mohr Coulomb=2R de la teoría de tesis.




2(σC−σRT) K1 =

(√17.0(117.00−17.0))∗(117.0)

2(117.0−17.0) K1=24.12 MPa


Ʈ = tan(45.15)σN + 24.12 Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟎𝛔𝐍 + 𝟐𝟒. 𝟏𝟐


2(C2−C1)cosØ

TN =(2 ∗ 63.7 − 117.0)(156.1 − 69.3) − (116.9.0 − 63.7)(2 ∗ 69.3 − 117.0)

2(156.10 − 69.3) cos 45.15

𝑇𝑁 = −2.02MPa

C=-2.02+24.12. =22.10 C’=22.10 MPa

La nueva envolvente quedaría

Ʈ = ta n45.15 σN + 22.10 Ʈ = 𝟏. 𝟎𝟎𝛔𝐍+22.10


1 133,00 5,60 69,3 63,7

0,78 15,15 19,35

2 167,50 9,80 88,65 78,85

0,51 11,25 22,25

3 201,00 20,80 110,9 90,1

0,10 1,05 10,95

4 213,00 30,70 121,85 91,15

0,75 25,75 34,25

5 273,00 39,20 156,1 116,9

0,61 -53,20 -86,80

1 133,00 5,60 69,3 63,7

0,68

Ensayo

𝜎1 𝜎3 𝜎1 + 𝜎32

𝜎1 − 𝜎32


𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 𝛔𝐓 = 𝟏𝟕. 𝟎𝐌𝐏𝐚




σC=2K1cosØ

(1−senØ)=2(24.12)(0.705)

(1−0.709)=116.87MPa.


σTT=2K1cosØ

(1+senØ)=2(24.12)(0.705)

(1+0.709)=19.90MPa


𝜎𝑇𝑇=2R 19.9≈2*9.95 19.9≅ 19.9




𝜎𝐶=2CcosØ

(1−senØ)=2(30.63)(0.79)

(1−0.61)=124.09MPa



(1+senØ)

2(30.63)(0.79)

(1+0.61)==30.06 MPa.


ajustados a la realidad pues da 99.89% en 𝜎𝐶 y 100% en 𝜎𝑇𝑇 mientras que con regresión

da 109.8% en 𝜎𝐶 y 176.12% en 𝜎𝑇𝑇 .



Sector 4. Chile


Tabla 4.16–4: Resumen de cálculos de ángulo de fricción interna y cohesión de la Andesita yacimiento El teniente. Chile, con regresión y ecuaciones tesis

PARAMETRO SECTOR 1 SECTOR2 SECTOR 3 SECTOR 4

MPa REGRESIÓN EC. TESISI MPa REGRESIÓN EC. TESISI MPa REGRESIÓN EC. TESISI MPa REGRESIÓN EC. TESISI

Ensayo brasilero 𝜎 𝑡 18 13 11 17

Ensayo compresión simple 𝜎𝐶 116 120 128 117

Ángulo de fricción interna

Ø (°)

36.16 43.63 34.06 51.51 42.84 55.89 35.45 45.15

Cohesión C (MPa) 36.54 24.86 39.12 20.91 20.78 19.62 29.79 34.12

Radio (R)=𝜎𝑇𝑇

2 (MPa) 10.65 7.29 6.02 9.95

𝜎𝑇𝑇Esfuerzo máx a

tracción. (MPa)

21.3 14.58 12.04 19.9

Criterio de Mohr-Coulomb


(1−𝑠𝑒𝑛Ø) (MPa) 147.48 116.12 165.7 119.87 97.83 128.01 124.096 116.87

𝜎𝑇𝑇=2𝐶𝑐𝑜𝑠Ø

(1+𝑠𝑒𝑛Ø) MPa) 36.87 21.3 39.98 14.59 17.94 12.04 30.06 19.9

Relación𝜎𝐶 𝑀𝑜ℎ𝑟−𝐶𝑜𝑢𝑙

𝜎𝐶𝑒𝑛𝑠𝑎𝑦𝑜 0.82 1.00 1.23 0.999 0.74 1.00 1.1 0.999

Relación𝜎𝑇𝑇 𝑀𝑜ℎ𝑟−𝐶𝑜𝑢𝑙

𝜎𝑇𝑇 0.88 1.00 2.85 1.00 1.51 1.00 1.5 1.00

134 Evaluación de parámetros materiales de fractura en roca intacta

Tabla 4.16–5: Comparativo de ángulo de fricción interna, cohesión, resistencia a compresión y resistencia a tracción de la Andesita yacimiento El teniente. Chile, con regresión, ecuaciones tesis y programa rockdata.

PARAMETRO SECTOR 1 SECTOR2

MPa REGRESIÓN EC. TESISI PROGRAMA

ROCKDATA MPa REGRESIÓN EC. TESISI PROGRAMA

ROCKDATA

Ensayo brasilero 𝜎 𝑅𝑇 18 13

Ensayo compresión simple 𝜎𝐶 116 120

Ángulo de fricción interna Ø 36.87 43.63 41 37.59 51.54 35

Cohesión C (MPa) 36.88 29.67 22 40.9 24.24 26


2 (MPa) 10.65 7.29

2R= 𝜎𝑇𝑇 (MPa) 21.3 14.58

𝜎𝐶Esfuerzo máx a

compresión. (MPa)

147.48 116.12 121 165.7 119.87 130

𝜎𝑇𝑇Esfuerzo máx a tracción.

(MPa)

36.87 21.3 7 39.98 14.59 18

PARAMETRO SECTOR 3 SECTOR 4

MPa REGRESIÓN EC. TESISI PROGRAMA

ROCKDATA MPa REGRESIÓN EC. TESISI PROGRAMA

ROCKDATA

Ensayo brasilero 𝜎 𝑅𝑇 11 17

Ensayo compresión simple 𝜎𝐶 128 117

Ángulo de fricción interna Ø 43.63 55.89 39 37.59 45.15 36

Cohesión C (MPa) 21.06 13.88 22 30.63 22.1 20


2 (MPa) 6.02 9.95

2R= 𝜎𝑇𝑇 (MPa) 12.04 19.9

𝜎𝐶Esfuerzo máx a

compresión. (MPa)

97.83 128.01 116 124.09 116.87 104

𝜎𝑇𝑇Esfuerzo máx a tracción.

(MPa)

17.94 12.04 11 30.06 19.9 13

5. Conclusiones y recomendaciones

5.1 Conclusiones

Después de haber analizado, en capítulo 4 “Utilización y validación de ecuaciones Capitulo

3”, la aplicación de las ecuaciones para hallar las propiedades intrínsecas de una roca con

ensayos que nos den valores de resistencia a compresión simple y tracción, podríamos

concluir que se lograron los objetivos propuestos en el inicio del presente trabajo.

Con la deducción de las ecuaciones, las cuales son sencillas y fáciles de manipular, se

tiene la posibilidad de obtener información de las propiedades intrínsecas de una roca de

manera rápida y económica, en relación con la obtención de estas mismas propiedades de

la roca de la manera actual, que requiere de un tratamiento de muestras y ensayos trixiales

costosos y demorados.

Las ecuaciones están operando casi al 100% con la teoría de falla de Mohr-Coulomb,

teoría en que se apoya esta investigación. Esto se comprueba en que en la totalidad de

los ejemplos realizados los valores de resistencia a compresión y a tracción hallados por

ecuaciones dan como resultado, en su cálculo, la resistencia a compresión y a tracción de

Mohr Coulomb, con datos de cohesión (K1) y ángulo de fricción interna (Ø) hallados por

ecuaciones tesis. Añadiendo a esto que la resistencia global del macizo dada por Hoek y

Brown es la misma de Mohr Coulomb, sólo que dan valores de cohesión C’ que en nuestro

análisis C´= K1+TN.

Como se pudo observar, en el capítulo 4, ejercicios 4.2,4.4,4.6, 4.7, y 4.9, las ecuaciones

son un complemento ideal para la información que se tenga de ensayos triaxiales y

viceversa. En estos casos para hallar el esfuerzo de rotura a tracción 𝜎𝑅𝑇 , o el esfuerzo a

compresión 𝜎𝑐,tomando el ángulo de fricción interno de los ensayos triaxiales del menor y

mayor confinamiento respectivamente. Nos da un R2=0.995 y m=1.064 (46.78°) para la

relación de Cohesión C’ (cohesión por ecuación tesis) y C (cohesión por regresión) Anexo


H. Para la resistencia a compresión de Mohr-Coulomb nos da un R2=1.0 y un m=1.0 (45°)

con cálculo ecuación tesis (como debería dar por la manera en que se dedujeron las

ecuaciones), mientras con cálculo regresión nos da un R2=0.947 y m=1.283 (52°). Anexo I

En el capítulo 4, ejercicios 4.3, 4.8, 4.10, 4.11 y 4.12, donde tenemos información de

ensayos a compresión simple, ensayos a tracción y ensayos triaxiales de las rocas, se

realizaron relaciones de Cohesión C’ (ecuación, tesis) y cohesión C (regresión); relación

de Ø de ecuación tesis y Ø de regresión dando como resultados para la cohesión de

R2=0.814 y m=2.01 (63.5°) y para Ø un R2= 0.74 y m=1.16 (49.2°).Anexo J, lo que nos

indica que hay muy buena relación en el Ø y en cohesión nos da un ángulo, en la relación,

muy alto debido a que la cohesión hallada por regresión siempre es más alta de la real.

Para la resistencia a compresión de Mohr-Coulomb nos da un R2=1.0 y un m=0.995 (44.9°)

con cálculo ecuación tesis (como debería dar por la manera en que se dedujeron las

ecuaciones), mientras con cálculo regresión nos da un R2=0.024 y m=0.193 (10.9°). Para

la resistencia a tracción de Mohr-Coulomb nos da un R2=0.999 y un m=1.02 (45.6°) con

cálculo ecuación tesis (como debería dar por la manera en que se dedujeron las

ecuaciones), mientras con cálculo regresión nos da un R2=0.548 y m=-12.107. Anexo K, lo

que indica los buenos resultados que nos arrojan las ecuaciones deducidas, de una

manera fenomenológica, en la tesis.

En el capítulo 4, ejercicios 4.13, 4.14, 4.15 y 4.16, donde se tienen datos de resistencia a

compresión simple, resistencia a tracción, ensayos triaxiales y resultados del programa

rockdata, se realizaron diferentes relaciones entre los resultados de ecuaciones tesis,

regresión y rockdata dando como resultados, en forma general, que las ecuaciones tesis

son las de mejor y más confiable comportamiento en todos los resultados de resistencias,

ángulos de fricción y cohesión. Anexo L y anexo M

Con ecuaciones tesis se agiliza la información de trabajo en campo, púes se pueden

obtener valores de las propiedades de una roca de una manera inmediata, realizando

ensayos como carga puntual y tracción brasilera en el sitio de trabajo o al final de la jornada

de cada día de labores.

Se presenta una herramienta para una buena evaluación preliminar de macizos rocosos

en áreas donde se tengan proyectos de ingeniería sin necesidad de recurrir a perforaciones

de exploración para tomar muestra (testigos).

Concusiones y recomendaciones 137

Con estas ecuaciones se podría emprender una campaña de caracterización, en zonas

regionales, de macizos rocosos y así tener un mapa geomecánico regional que serían de

gran utilidad para estudios de prefactibilidad de proyectos ingenieriles.

De una manera más puntual se está presentando una herramienta muy útil para proyectos

viales, ya que con un recorrido en superficie de la zona del proyecto y realizando ensayos

en el mismo sitio, se tendría la información necesaria para el tratamiento de taludes de las

futuras vías de una manera rápida, económica y confiable.

Para trabajos de minería, tanto en superficie como subterránea, se presenta una alternativa

de evaluación preliminar para toma de decisiones en la estabilidad de taludes y

sostenimiento interior mina de una manera rápida.

5.2 Recomendaciones.

Las ecuaciones deducidas, de una manera fenomenológica, serán de gran utilidad para

evaluaciones preliminares de las propiedades de una roca, sin embargo, para

determinación final de diseño, por ejemplo, el diseño de pilares en minería subterránea, es

recomendable tomar testigos y realizarles ensayos triaxiales y a compresión simple para

comparar y así tener una mejor información y realizar un diseño con mayor confiabilidad.,

aunque realmente un pilar subterráneo es un ensayo a compresión simple y tracción

brasilera a gran escala, por lo que recomiendo tomar más en cuenta los valores de

ecuaciones tesis.

Es de anotar que para dar protagonismo a las ecuaciones tesis es necesario realizar una

validación de las mismas con probetas artificiales que se puedan tomar como un material

homogéneo e isotrópico, probetas de cemento con yeso, por ejemplo, y que sean

sometidas a ensayos de compresión simple, ensayo de tracción brasilero y ensayos

triaxiales.

No se puede perder de vista que estas ecuaciones se refieren también a roca intacta, por

lo que se debe tener una clasificación del macizo en el estudio para el diseño de proyectos.


Con la deducción de las ecuaciones se abren nuevas posibilidades de investigación en

relación a algunas de ellas, como por ejemplo la ecuación 𝜎𝑇=𝜎𝑅𝑇 = 𝜎𝑁, podría ser tema

de investigación para una nueva teoría de criterio de falla en función de energía , de

deformaciones o esfuerzos de cizalla, ya que el presente trabajo sólo tuvo en cuenta

esfuerzos normales.

Se abre la posibilidad de crear grupos de trabajo para realizar un mapeo geomecánico

zonal, a nivel municipal departamental o nacional. Estos grupos pueden ser estudiantes

para un proyecto de grado, grupo de investigación, grupos gubernamentales etc., teniendo

en cuenta que las características intrínsecas de la roca se podrían determinar con las

ecuaciones y solo necesitaríamos un equipo de ensayo de carga puntual y el mismo equipo

u otro para ensayos de tracción brasilero por equipó de trabajo.

Es conveniente tomar valores de mínimo 5 ensayos por roca para determinar un valor

promedio de resistencia a compresión y resistencia atracción.

A. Anexo: Ensayos compresión simple, tracción brasilera y triaxiales rocas Minera El Roble.

Anexo A. Ensayos compresión simple, tracción brasilera y triaxiales rocas

Minera El Roble.

141


Minera El Roble.

143


Minera El Roble.

145


Minera El Roble.

147


Minera El Roble.

149

B. Anexo: Ensayos triaxiales formación mesa verde, Colorado

C. Anexo: Ensayos compresión simple, tracción brasilera y ensayos triaxiales rocas de techo muro y capa mineralizada mina Villabona. España.

Anexo C. Ensayos compresión simple, tracción brasilera y ensayos triaxiales

rocas de techo muro y capa mineralizada mina Villabona. España..

155



157



159



161



163

D. Anexo: Ensayos compresión simple, triaxiales y tracción brasilera muestras de granito País Amarelo. España.

E. Anexo: Ensayos triaxiales muestras de granito Mera Blanco. España.

F. Anexo: Ensayos triaxiales muestras de granito Villachán. España.

G. Anexo: Ensayos triaxiales Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central. Obtención de parámetros por programa Rockdata.

Anexo G: Ensayos triaxiales Andesita. Yacimiento El Teniente. Chile central.

Obtención de parámetros por programa Rockdata

173

H. Anexo: Relación C’ (Cohesión tracom-triaxial) vs C. (Cohesión regresión) de ejercicios 4.2, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, y 4.9 capítulo 4 de tesis.


y = 1.0642xR² = 0.9954

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70

Co

hes

ión

C (

MP

a)(R

egre

sió

n)

Cohesión C' (MPa)(Ec. tesis)

Relación C' vs C

I. Anexo: Relación σC, σTT hallado en laboratorio vs σC, σTT ecuación tesis y σC, σTT por regresión de ejercicios 4.2, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, y 4.9 capítulo 4 de tesis.


y = 1.0001x - 0.0166R² = 1

y = 1.2829x + 19.756R² = 0.947

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 50 100 150 200 250 300

σc

ec. t

esis

. (M

Pa)

σc

regr

esió

n (

MP

a)

σc laboratorio (MPa)

Relación σc laboratorio vs σc ec. tesis y σc regresión.

y = 0.9994x + 0.0045R² = 1

y = 1.2672x + 3.4387R² = 0.9346

0

10

20

30

40

50

60

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

σTT

ec. t

esis

. (M

Pa)

σTT

regr

esió

n (

MP

a)

σTT laboratorio (MPa)

Relación σTT laboratorio vs σTT ec. tesis y σTT

regresión.

J. Anexo: Relación C’ y Ø (Cohesión tracom-triaxial) vs C y Ø (Cohesión regresión) de ejercicios 4.3, 4.8, 4.10, 4.11 y 4.12, capítulo 4 de tesis.


y = 2.0164x - 14.61R² = 0.8135

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25

Co

hes

ión

C (

MP

a)(R

egre

sió

n


Relación C' vs C

y = 1.1567x - 13.696R² = 0.7377

0

10

20

30

40

50

60

70

0 10 20 30 40 50 60 70

φ r

egre

sio

n

φ ec. Tesis

Relación φ ec. Tesis vs φ regresion

K. Anexo: Relación σC, σTT hallado en laboratorio vs σC, σTT ecuación tesis y σC, σTT por regresión de ejercicios 4.3, 4.8, 4.10, 4.11 y 4.12 capítulo 4 de tesis.


y = 0.9947x + 0.3657R² = 0.9999

y = 0.1933x + 99.681R² = 0.0241

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 20 40 60 80 100 120 140

σc

ec. t

esis

. (M

Pa)

σc

regr

esió

n (

MP

a)

σc laboratorio (MPa)

Relación σc laboratorio vs σc ec. tesis y σc regresión.

y = 1.0235x - 0.1422R² = 0.9992

y = -12.107x + 102.4R² = 0.5477

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

σTT

ec. t

esis

. (M

Pa)

σTT

regr

esió

n (

MP

a)

σTT laboratorio (MPa)

Relación σTT laboratorio vs σTT ec. tesis y σTT

regresión.

L. Anexo: Relación C’ y Ø (Cohesión tracom-triaxial) vs C y Ø (Cohesión regresión), C’ y Ø (rockdata) de ejercicios 4.13, 4.14, 4.15 y 4.16 capítulo 4 de tesis.


y = 1.1264x + 7.0587R² = 0.7315

y = 0.0606x + 21.138R² = 0.0249

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35

Co

hes

ión

C r

egre

sió

n (

MP

a)C

oh

esió

n C

ro

ckd

ata

( M

Pa


Relación C' vs C

y = 0.4633x + 16.195R² = 0.6998

y = -0.0931x + 42.319R² = 0.0372

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0 10 20 30 40 50 60

φ r

egre

sio

nφ

ro

ckd

ata

φ ec. Tesis

Relación φ ec. Tesis vs φ regresion

M. Anexo: Relación σC, σTT hallado en laboratorio vs σC, σTT ecuación tesis, σC, σTT por regresión y σC, σTT rockdata de ejercicios 4.13, 4.14, 4.15 y 4.16 capítulo 4 de tesis.


y = 1.0003x - 0.063R² = 0.9995

y = -3.5304x + 558.31R² = 0.4266

y = 0.1606x + 98.442R² = 0.0065

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

114 116 118 120 122 124 126 128 130

σc

ec. t

esis

. (M

Pa)

σc

regr

esió

n (

MP

a)σ

c ro

ckd

ata

(MP

a)

σc laboratorio (MPa

Relación σc laboratorio vs σc ec. tesis , σc regresión y σc rockdata..

y = 1.0003x - 0.063R² = 0.9995

y = -3.5304x + 558.31R² = 0.4266

y = 0.1606x + 98.442R² = 0.0065

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 20 40 60 80 100 120 140

σc

ec. t

esis

. (M

Pa)

σc

regr

esió

n (

MP

a)σ

c ro

ckd

ata

(MP

a)

σc laboratorio (MPa

Relación σc laboratorio vs σc ec. tesis , σTT regresión y σc rockdata..

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evaluación de parámetros materiales de fractura en roca...

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