euclid geometry · บทที่ 3 ... เส้นขนาน...

1

http://khemmanantmathematics.wikifoundry.com 2014 Khemmanant. K

บทที่ 3 เรขาคณติแบบยุคลิด

3.1 ยุคลิดและอิลเิมนต์ ยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria 450 -380 ปีก่อน ค.ศ.) ซึ่งยุคลิดได้รับการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์จากโรงเรียนเพลโตนิก (platonic school) ที่นครเอเธนส์แห่งกรีก เป็นศิษย์ของเพลโต ยุคลิดเป็นอาจารย์สอนคณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยอะเล็กซานเดรียได้รวบรวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ โดยจัดเป็นระบบสัจพจน์ ผลงานตําราของยุคลิดที่ยังคงเหลือจนถึงปัจจุบัน มีดังนี ้

1. Division of figures เกี่ยงกับการแบ่งรูปในระบบ 2. Data เกี่ยวกับการชี้แนะ วิเคราะห์ปัญหาทางเรขาคณิต 3. Phaenomena เกี่ยวกับเรขาคณิตทางกลม 4. Optic เกี่ยวกับปรากฏการณ์ของแสง 5. Element มี 13 เล่ม เกี่ยวกับเราขาคณิตเป็นส่วนใหญ ่และในบางเล่มมเีนื้อหาส่วนใหญ ่

รวบรวมมาจากผลงานของนักคณิตศาสตร์หลายท่าน เช่น เพลโต พีทาโกรัส และ ศิษย์ฮิฟโปเครทีส และยูโดซุส เป็นต้น ยุคลิด ได้เรียบเรียงเป็นระบบและลําดับเหตุผลต่อกันโดยใช้เหตุผลแบบนิรนัย จงึเป็นตําราที่มีช่ือเสียงมาก ได้แปลเป็นภาษาอาหรับ ภาษาละติน และในปี ค.ศ. 1570 ได้แปลเป็นภาษาอังกฤษ หนังสืออิลิเมนต์นับเป็นตําราที่มีอิทธิพลต่อการสอนเรขาคณิต ในสถาบันการศึกษาทั่วโลกใช้กันกว้างขวางเป็นเวลานานกว่า 2,000 ปี ปรับปรุงมากกว่า 1,000 ครั้ง เนื้อหาในหนังสือดังกล่าวทั้ง 13 เล่ม มีย่อ ๆ ดังนี้ (Heath, 1955: ix) เล่ม 1 รูปสามเหลี่ยม เส้นต้ังฉาก เส้นขนาน พ้ืนที่ของรูปเหลี่ยมต่าง ๆ และทฤษฎีบท

พีทาโกรัส เล่ม 2 การแปลง พ้ืนที่ พีชคณิตเชิงเรขาคณิต เล่ม 3 วงกลม คอร์ด และเส้นสัมผสั เล่ม 4 รูปหลายเหลี่ยม และวงกลม การสร้างรูปหลายเหลี่ยมปกติ เล่ม 5 สัดส่วน เล่ม 6 การนําความคิดเรื่องสัดส่วนมาใช้กับรูปคลา้ย การสร้างสัดส่วนตัวที่ 3 และสัดส่วน

ตัวที่ 4 สัดส่วนเฉลี่ย และการหาคําตอบของสมการกําลังสองโดยวิธีเรขาคณิต เล่ม 7 ทฤษฎีจํานวน การจําแนกจํานวนเป็นจํานวนคู่ และจํานวนคี่ จํานวนเฉพาะ และ

จํานวนสมบูรณ์ ตัวหารร่วมมาก และตัวคณูร่วมน้อย เล่ม 8 ทฤษฎีจํานวนเกี่ยวกับสัดส่วนต่อเนื่อง เล่ม 9 ทฤษฎีจํานวนต่อจากเล่ม 7 และ 8 เล่ม 10 จํานวนอตรรกยะ เล่ม 11 เรขาคณิตรูปทรงตัน เล่ม 12 วิธีแจงกรณี เพื่อแสดงว่าพ้ืนที่วงกลม 2 วง เป็นสัดส่วนกับพ้ืนที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

บนเส้นผ่านศูนย์กลาง เล่ม 13 ทรงตันปกติ

2


อิลิเมนต์ เล่ม 1 ในหนังสืออิลิเมนต์ เล่ม 1 มบีทนิยาม และทฤษฎีบทดังกล่าวดังต่อไปนี้

1. บทนิยาม D-1 จุด คือ สิ่งที่ไมม่ีขนาด D-2 เส้น คือ สิ่งที่มคีวามยาว แต่ไมมีความกว้าง D-3 ส่วนสุดของเส้น คือ จุด D-4 เส้นตรง คือ เสน้ที่ประกอบด้วยจุดเรียงอยู่ในแนวเดียวกัน D-5 พ้ืนผิว คือ สิ่งซึ่งมีความกว้าง และความยาว D-6 ส่วนสุดของพื้นผิว คือ เส้น D-7 พ้ืนผิวระนาบ คือ พ้ืนผิวที่มีเส้นตรงเรียงอยู่ในแนวเดียวกัน D-8 มุมในระนาบ เกิดจากเส้นหนึ่งที่พบกันอีกเส้นหนึ่งในพื้นระนาบเดียวกันและเส้นทั้งสองนี้ไม่

อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน D-9 เส้นประกอบมุมเป็นเส้นตรงเดียวกัน จะเรียกมุมนั้นว่ามุมตรง D-10 เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งต้ังอยู่บนเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง และทําให้เกิดมุมประชุดเท่ากัน จะเรียก

แต่ละมุมว่า มมุฉาก และเรียกเส้นแรกนั้นว่าเส้นต้ังฉาก D-11 มุมป้าน คือ มมุโตกว่ามุมฉาก D-12 มุมแหลม คือ มุมที่เล็กกว่ามมุฉาก D-13 ขอบเขต คือ สว่นสุดของรูป D-14 รูป คือ สิ่งที่ประกอบด้วยขอบเขตอันหนึ่ง หรือ หลายอัน D-15 วงกลม คือ รูปบนระนาบที่ประกอบด้วยเส้น ซึ่งส่วนตัดของเส้นตรงทุกเส้นที่เชื่อมจุดคงที่จุด

หนึ่งภายในรูปนี้กับจุดบนเส้นนั้นยาวเท่ากันหมด D-16 จุดคงที่ภายในวงกลม ตามบทนิยาม 15 จดุศูนย์กลาง D-17 เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม คือ ส่วนของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม และมี

จุดปลายอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมทั้งสองข้าง และเส้นนี้จะแบ่งครึ่งวงกลม D-18 ครึ่งวงกลม คือ รูปที่ประกอบด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางและเส้นรอบวงที่ถูกตัดโดยเส้นผ่าน

ศูนย์กลาง จุดศูนย์กลางของครึ่งวงกลม คือ จุดศูนย์กลางของวงกลมเดิม D-19 รูปเชิงเส้นตรง คือ รูปทีม่ีด้านเป็นเส้นตรง

รูปสามเหลี่ยม คือ รูปที่ประกอบด้วยเส้นตรงสามเส้น รูปสี่เหลี่ยม คอื รูปที่ประกอบเส้นตรงสี่เส้น รูปหลายเหลี่ยม คือ รูปที่ประกอบเส้นตรงมากกว่าสี่เส้น

D-20 ชนิดของรูปสามเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า คือ รูปสามเหลี่ยมทีม่ีด้านสามด้านเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มด้ีานเพียงสองด้านยาวเท่ากัน รูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทั้งสามด้านยาวไม่เท่ากัน

D-21 รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ รปูสามเหลี่ยมทีม่ีมุมหนึ่งมุมเปน็มุมฉาก รูปสามเหลี่ยมมุมป้าน คือ รปูสามเหลี่ยมทีม่ีมุมหนึ่งมุมเปน็มุมป้าน รูปสามเหลี่ยมมุมแหลมคอื รปูสามเหลี่ยมทีม่ีมุมทั้งสามมุมเป็นมุมแหลม

3


D-22 ชนิดของรูปสี่เหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่เท่ากันและมมีุมเป็นมุมฉาก

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มมีุมทั้งสี่เป็นมุมฉากและมีด้านไม่เทา่กัน รูปสี่เหลี่ยมขนานเปียกปูน คือ รูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านทั้งสี่ยาวเท่ากัน แต่ไมม่ีมุมใดเป็นมมุฉาก

รปูสี่เหลี่ยมรอมบอยด์ คือ รปูสี่เหลี่ยมทีม่ีด้านตรงข้ามยาวเท่ากัน แต่ไมเ่ท่ากันทั้งสี่ด้าน และมีมุมตรงข้ามเท่ากัน แต่ไม่มมีุมใดเป็นมุมฉาก

D-23 เส้นขนาน คือ เส้นตรงที่อยู่ในระนาบเดียวกัน และไม่ตัดกันเมื่อต่อออกไปทั้งสองข้าง 2. สัจพจน ์P-1 สามารถลากเสน้ตรงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง P-2 สามารถต่อส่วนเส้นตรงออกไปได้เรื่อย ๆ P-3 สามารถสร้างวงกลมได้เมื่อกําหนดจุดศูนย์กลาง และระยะทาง P-4 มุมฉากทุกมุมเท่ากัน P-5 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่ง ตัดเส้นตรงอีกสองเส้น ทําให้มุมภายในที่อยู่ข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกัน

น้อยกว่า 2 มุมฉาก ถ้าต่อเส้นตรงทั้งสองออกไปเรื่อย ๆ เสน้ตรงทั้งสองจะตัดกันทางด้านที่มีมุมดังกล่าวรวมกันน้อยกว่าสองมุมฉาก

3. สิ่งที่เห็นจริงแล้ว C-1 สิ่งที่เท่ากันสิ่งเดียวกันย่อมเท่ากัน C-2 สิ่งเท่ากันเมื่อเพิ่มด้วยสิ่งที่เท่ากัน ผลย่อมเท่ากัน C-3 สิ่งเท่ากันเมื่อหักออกจากสิ่งที่เท่ากัน ผลย่อมเท่ากัน C-4 สิ่งที่เท่ากันสนทิ ย่อมเท่ากัน C-5 ส่วนรวมย่อมใหญ่กว่าส่วนย่อย ข้อตกลงเกี่ยวกับสัญลักษณท์ี่ใช้ในเอกสาร AB แทนส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุด A และ B AB แทนความยาวของ AB ABC แทนมมุและขนาดของมุมที่มี AB และ BC เป็นแขนของมุม ≅ แทนเท่ากันทุกประการ ซ.ต.พ แทนคําว่า ซึ่งต้องพิสูจน์ใช้สําหรับจบการพิสูจน์ (ยุคลิดใชตั้วย่อ Q.E.D มาจาก คําว่า quod

erat demonstrandum แปลว่า What it was required to proof) ซ.ต.ส แทนคําว่า ซึ่งต้องพิสูจน์ใช้สําหรับจบการสร้าง (ยุคลิดใชตั้วย่อ Q.E.F มาจาก คําว่า quod

erat faciendum แปลว่า What it was required to do) Δ แทนรูปสามเหลี่ยม

แทนรูปสี่เหลี่ยม

4


4. ทฤษฎีบท

I-1 สามารถสร้างรปูสามเหลี่ยมด้านเท่าบนส่วนของเส้นตรงที่กําหนดให้ สิ่งที่กําหนดให้ ให้ AB เป็นส่วนของเส้นตรง สิ่งที่ต้องสร้าง รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าบนส่วนของเส้นตรง AB วิธีสรา้ง ให้ A เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี AB เขียนวงกลม ......(P-3) ให้ B เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี BA เขียนวงกลม ......(P-3)

ให้ C เป็นจุดตัดของวงกลมทั้งสอง ลาก CA และ CB ......(P-1) จะได้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

พิสูจน ์ เพราะว่า A เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม BCD ดังนั้น AC AB= ......(D-15) เพราะว่า B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ACE ดังนั้น BC BA= ......(D-15) แต่ BA AB= ดังนั้น AC BC AB= = ......(C-1) นั่นคือ ABC เป็นรปูสามเหลี่ยมด้านเท่าที่สร้างบนส่วนของเส้นตรง ซ.ต.ส I-2 สามารถสร้างสว่นของเส้นตรงที่ลากจากจุดทีกํ่าหนดให้ ใหย้าวเท่ากันส่วนของเส้นตรงที่กําหนดให ้สิ่งที่กําหนดให้ กําหนดจุด A และส่วนของเส้น BC สิ่งที่ต้องสร้าง ลากส่วนของเส้นจากจุด A ใหย้าวเท่ากัน BC วิธีสรา้ง ลาก AB ......(P-1) สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า DAB ......(I-1) ให้ AE และ BF เป็นส่วนต่อของ DA และ DB ......(P-2) ให้ B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี BC

เขียนวงกลมตัดเส้น DF ที่ G ......(P-3) ให้ D เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี DG

เขียนวงกลมตัดเส้น DE ที่ L ......(P-3) จะได้ ส่วนของเส้น AL ยาวเท่ากับ BC พิสูจน ์ เพราะว่า B เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น BC BG= เพราะว่า D เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น DL DG= แต่ DA DB= (สร้าง) จะได้ DL DA DG DB− = − ......(C-3) ดังนั้น AL BG BC= = ......(C-1) นั่นคือ สามารถสร้างส่วนของเส้นตรง AL ให้ยาวเท่ากัน BC ซ.ต.ส I-3 กําหนดส่วนของเส้นตรงที่ยาวไม่เท่ากันสองเส้น สามารถตดัส่วนของเส้นตรงที่ให้ยาวเท่ากับเส้นสั้น สิ่งที่กําหนดให้ กําหนดส่วนของเส้นตรง AB และส่วนของเส้นตรงยาว c

โดย AB ยาวกว่า c สิ่งที่ต้องสร้าง ตัด AB ให้ยาวเทา่กับ c วิธีสรา้ง ที่จุด A ลาก AD ใหย้าวเท่ากับ c ......(I-2)

ให้ A เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี AD เขียนวงกลม ตัด AB ที่ E ......(P-3) จะได้ AE c= ......(C-1)

5


พิสูจน ์ เพราะว่า A เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้น AE AD= ......(D-15) แต่ AD c= จะได้ AE c= ......(C-1) ดังนั้น เมื่อกําหนดส่วนของเส้นตรงที่ยาวไม่เท่ากันสองเส้น สามารถตัดส่วนของ

เส้นตรงที่ยาวให้เท่ากับเส้นสัน้ ซ.ต.ส I-4 ถ้ารูปสามเหลีย่มสองรูปมีด้านเท่ากันสองด้าน ด้านต่อด้านและมีมมุในระหว่างด้านเท่ากัน แล้วรูป

สามเหลี่ยมสองรูปนั้น จะมีด้านและมุมที่เหลือเท่ากัน (รูปสามเหลี่ยมทั้งสองเท่ากันทุกประการ)

สิ่งที่กําหนดให้ ABC และ DEF เป็นรูปสามเหลี่ยมที่ม ี ,AB DE AC DF= = และ BAC EDF=

สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ , ,BC EF ABC DEF ACB DFE= = =

พิสูจน ์ ยกรูปสามเหลีย่ม ABC ทับรูปสามเหลี่ยม DEF โดยให้จุด A ทับจุด D และ AB ทับ DE เพราะว่า AB DE= จะได้ว่า จุด B ทับจดุ E ......(C-4) เพราะว่า BAC EDF= ดังนั้น AC ทับ DF ......(C-4) เพราะว่า AC DF= ดังนั้น จุด C ทับจุด F ......(C-4) แต่ B ทับ E และ C ทับ F ......(C-4)

จะได้ BC ทับ EF เพราะถ้า BC ไม่ทับ EF จะได้ว่าส่วนของเส้นตรงที่ผ่านจุด E และ F ปิดล้อมบริเวณดังรูป ข. ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น BC ต้องทับ EF จะได้ว่า รูปสามเหลี่ยม ABC ทับรูปสามเหลี่ยม DEF สนิท ดังนั้น ,ABC DEF ACB DFE= = ......(C-4) ซ.ต.พ หมายเหต ุ การพิสูจน์ I-4 ภายหลังถูกวิจารณ์ว่า การยกรูปซ้อนเป็นการเคลื่อนที่รูปที่ทําให้รูปเปลีย่นไป อีก

ทั้งยังถูกวิจารณ์ว่าใช้สัจพจน์นอกเหนือที่กลา่วว่าไว้คือ การยอมรับว่า “จะมีเส้นผ่านจุดสองจุดเพียงเส้นเดียวเท่านั้น” นักคณิตศาสตร์บางท่านได้ให้ I-4 เป็นสัจพจน์ ปัจจุบันเรียกว่า สามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการแบบมุมด้านมมุ

I-5 รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ย่อมมมีุมทีฐ่านเท่ากัน และถ้าต่อด้านที่เท่ากันออกไปทางฐานจะได้ว่า

มุมใต้ฐานเท่ากันด้วย

สิ่งที่กําหนดให้ ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจัว่ ที่มี AB AC= BD และ CE เป็นส่วนของเส้นตรงที่ต่อไปจาก AB

และ AC ตามลําดับ สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ ABC ACB= และ CBD BCE= สร้างเพื่อพสิูจน ์ ให้ F เป็นจุดใด ๆ บน BD ตัด AE ที่จุด G ให้ได้ AG AF= ......(I-3) จาก FC และ GB

รูป ก. รูป ข.

6


พิสูจน ์ เพราะว่า AF AG= และ AB AC= และ F AC GAB= (จากสิ่งที่กําหนดให้ และการสร้าง) จะได้ ,FC GB ACF ABG= = และ AFC AGB= ......(I-4) เพราะว่า AF AB AG AC− = − ......(C-3) จะได้ว่า BF CG= เนื่องจาก BF CG= และ FC GB= และ BFC CGB= จะได้ F BC GCB= และ BCF CBG= ......(I-4) และจะได้ ACF BCF ABG CBG− = − ......(C-3) นั่นคือ ABC ACB= ซ.ต.พ I-6 ถ้ารูปสามเหลีย่มรูปหนึ่งมีมมุเท่ากันสองมมุแล้ว ด้านตรงข้ามมุมเท่ากันย่อมเท่ากัน

สิ่งที่กําหนดให้ ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม ที่ม ี ABC ACB= สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ AB AC= พิสูจน ์ ถ้า AB AC> ตัด AB ที่จุด D ให ้ DB AC= ......(I-3) ลาก DC ......(P-1) เนื่องจาก DB AC= และ BC CB= และ DBC ACB= จะได้ DCB ABC= ......(I-4) แต่ ABC ACB= ดังนั้น DCB ACB= ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะจะทําให้ส่วนรวมเท่ากับส่วนย่อยซึ่งขัดกับ C-5 นั่นคือ เป็นไปไม่ได้ที่ AB AC> พิสูจน์ทํานองเดียวกัน จะได้ว่าเป็นไปไม่ได้ที่ AB AC<

นั่นคือ AB AC= ซ.ต.พ ข้อสังเกต การพิสูจน์แบบนี้ เรียกว่า การพิสูจน์ทางอ้อม มีช่ือเฉพาะว่า การพิสูจน์

โดยข้อขัดแย้งโดยอาศัยสัจนิรันดร์ ( )p r r p→ ∧ ↔∼ ∼ นั่นคือ เราสามารถพิสจูน์ ( )p r r→ ∧∼ ∼ แทน p ได้

I-7 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงสองเส้น จากจุดปลายของเส้นตรงเส้นหนึ่งไปพบกันข้างหนึ่ง จะไม่สามารถ

ลากส่วนของเส้นตรงคู่อ่ืนใดให้เท่ากับส่วนของเส้นตรงทั้งสองนั้นโดยให้พบกันข้างเดียวกันนั้นได้อีก

สิ่งที่กําหนดให้ AB และ CB ซึ่งลากจากจุดปลายของ AB ไปพบกันที่ C สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ จะไม่สามารถลากส่วนของเส้นตรงจากจุดปลายของ AB ให้ยาวเท่ากับ AC และ CB พบกันที่ข้างเดียวกับจุด C ได้ พิสูจน ์ สมมติว่ามี C และ D อยู่ข้างเดียวกันของ AB ซึ่งทําให้ AD AC= และ ลาก DB CB= เพราะว่า AD AC= ดังนั้น ACD CDA= ......(I-5) เพราะว่า ACD DCB> จะได้ ADC DCB>

7


แต่ CDB CDA> ......(C-5) ดังนั้น CDB DCB> เพราะว่า CB DB= จะได้ CDB DCB= ......(I-5) จึงขัดแย้งกัน ดังนั้นที่สมมติไว้ไม่เป็นจริง นั่นคือ ไมส่ามารถลากส่วนของเส้นตรงจากจุดปลายของ AB ให้ยาวเท่ากับ AC และ CB พบกันทีข่้างเดียวกับจุด C ได้ ซ.ต.พ

หมายเหต ุ การพิสูจน์ I-7 เป็นการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง I-8 ถ้ารูปสามเหลีย่มสองรูปมีด้านเท่ากันสองด้าน ด้านต่อด้าน และมฐีานเท่ากันแล้ว

รูปสามเหลี่ยมทั้งสอง จะมีมมุที่อยู่ตรงข้ามด้านฐานเท่ากัน สิ่งที่กําหนดให้ ,ABC DEF เป็นรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มด้ีาน AB DE=

และ BC EF= สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ BAC EDF= พิสูจน ์ ยกรูปสามเหลีย่ม ABC ทับรูปสามเหลี่ยม DEF

โดยให้จุด B ทับจุด E เนื่องจาก BC EF= ดังนั้น จุด C ทับจดุ F สมมติว่า BA ไม่ทบั ED และ AC ไม่ทบั DF จะเกิดสามเหลีย่ม AEF ซึ่ง EA ED= และ AF DF= แสดงว่า ที่จุด E กับ F สามารถลากส่วนของเส้นตรง ให้ยาวเท่ากับที่กําหนดให้ไปพบกันทางด้านใดด้านหนึ่ง มากกว่าหนึ่งคู่ จึงขัดแย้งกับ I-7 ดังนั้นที่สมมติไว้ไม่จริง นั่นคือ BA ทับ ED และ AC ทับ DF จะได้ BAC ทับ EDF นั่นคือ BAC EDF= ซ.ต.พ

หมายเหต ุ การพิสูจน์ I-8 ปัจจุบันเรียกว่า ABC DEFΔ ≅ Δ แบบด้าน ด้าน ด้าน I-9 สามารถแบ่งครึ่งมุมที่กําหนดให ้สิ่งที่กําหนดให้ BAC สิ่งที่ต้องการสร้าง แบ่งครึ่ง BAC วิธีสรา้ง กําหนดจุด D บน AB ตัด AC ที่ E

โดยทําให้ AE AD= ......(I-3) สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า DEF ......(I-1) ลาก AF จะได้เส้นแบ่งครึ่ง BAC ที่ต้องการ

พิสูจน ์ พิจารณารูปสามเหลี่ยม ADF และ AEF , ,AD AE DF EF AF AF= = = จะได้ DAF E AF= ......(I-8) นั่นคือ AF แบ่งครึ่ง BAC ซ.ต.พ

8


I-10 สามารถแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่กําหนดให้ สิ่งที่กําหนดให้ ส่วนของเส้นตรง AB สิ่งที่ต้องการสร้าง แบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง AB วิธีสรา้ง สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ABC ......(I-1)

แบ่งครึ่ง ACB ด้วย AD ......(I-9) จะได้จุด D เป็นจุดก่ึงกลางของ AB

พิสูจน ์ พิจารณารูปสามเหลี่ยม ADC และ BDC ,AC BC CD= เป็นด้านร่วม และ ACD BCD= ดังนั้น AD DB= ......(I-4) นั่นคือจุด D เป็นจุดก่ึงกลางของ AB ซ.ต.ส I-11 สามารถลากเสน้มาตั้งฉากกับเส้นตรงที่กําหนดให้ ที่จุดกําหนดให้บนเส้นตรง

สิ่งที่กําหนดให้ เส้นตรง AB และ C เป็นจุดบนเสน้ตรง AB สิ่งที่ต้องการสร้าง ลากเส้นต้ังฉากกับ AB ที่จดุ C วิธีสรา้ง กําหนดจุด D บนเส้นตรง AC

ตัด AB ที่ E ให ้ CE CD= ......(I-3) บน DE สร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า DEF ......(I-1) ลาก FC จะได้ FC เป็นเส้นต้ังฉากที่ต้องการ

พิสูจน ์ เพราะว่า ,DC EC FC= เป็นด้านร่วม และ DF FE= ดังนั้น DCF ECF= ......(I-8) และเป็นมุมฉาก นั่นคือจุด FC เป็นเส้นต้ังฉากกับ AB ที่ C ซ.ต.ส I-12 สามารถลากเสน้จากจุดที่กําหนดให้ ไปต้ังฉากกับเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งที่กําหนดให้

สิ่งที่กําหนดให้ เส้นตรง AB และจุด C อยู่นอกเสน้ตรง AB สิ่งที่ต้องการสร้าง ลากเส้นตรงจาก C มาต้ังฉากกับ AB วิธีสรา้ง กําหนดจุด D โดยให้ D กับ C อยู่คนละข้างของเส้นตรง AB

ใช้ C เป็นจุดศูนย์กลาง รัศมี CD เขียนวงกลมไปตัดเส้นตรง AB ที่ G และ E ......(P-3) แบ่งครึ่ง EG ที่ H ......(I-10) ลาก CH ......(P-1) จะได้ CH ต้ังฉากที่กับเส้นตรง AB

พิสูจน ์ พิจารณารูปสามเหลี่ยม CGH และ CEH

เพราะว่า ,GH HE HC= เป็นด้านร่วม และ CG CE= ดังนั้น CHG EHC= ......(I-8) และเป็นมุมฉาก นั่นคือจุด CH เป็นเส้นต้ังฉากกับเส้นตรง AB ......(D-10) ซ.ต.ส

9


I-13 เส้นตรงเส้นหนึ่งต้ังอยู่บนเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง จะได้มุมประชิดแต่ละมุมเป็นมุมฉาก หรือ มุมประชิดรวมกันเท่ากับสองมุมฉาก

สิ่งที่กําหนดให้ เส้นตรง AB ต้ังอยู่บน CD สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ ,CBA ABD แต่ละมุมเป็นมุมฉาก หรือ 2CBA ABD+ = มุมฉาก พิสูจน ์ ถ้า CBA ABD= จะได้ 1CBA ABD= = มุมฉาก ......(D-10)

ถ้า CBA ABD≠ ลาก EB ต้ังฉากกับ CD ที่จดุ B จะได้ ,EBD EBC เป็นมมุฉาก ......(I-11) แต่ EBD EBC EBD EBA ABC+ = + + เพราะว่า DBA DBE EBA= + จะได้ ABC DBA ABC DBE EBA+ = + + ......(C-2)

ดังนั้น CBD EBC ABC DBA+ = + ......(C-1) แต่ 2EBD EBC+ = มุมฉาก ดังนั้น 2ABC DBA+ = มุมฉาก ซ.ต.พ

I-14 ที่จุดหนึ่งบนเส้นตรง ถ้ามีเส้นสองเส้นที่ลากจากจุดนั้น แต่อยู่คนละข้างทําให้เกิดมุมประชิดรวมกัน

เท่ากับสองมุมฉากแล้ว เส้นตรงทั้งสองจะต่อเป็นเส้นตรงเดียวกัน สิ่งที่กําหนดให้ เส้นตรง AB ที่จุด B มี BC และ BD ซึง่อยู่คนละข้างของ AB

ซึ่งทําให้ ABC ABD+ = 2 มมุฉาก สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ BD เป็นเส้นตรงเดียวกับ BC พิสูจน ์ สมมติ BD ไม่เป็นเส้นตรงเดียวกับ BC

ให้ BE เป็นเส้นตรงเดียวกับ BC จะได้ ABC ABE+ = 2 มมุฉาก ......(I-13) แต่ ABC ABD+ = 2 มุมฉาก ดังนั้น ABC ABE ABC ABD+ = + ......(P-4, C-1)

จะได้ ABC ABD= ......(C-3) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ที่ส่วนรวมจะเท่ากับส่วนย่อย ดังนั้นที่สมมติ BD ไม่เป็นเส้นตรงเดียวกับ BC ไมจ่ริง นั่นคือ BD เป็นเส้นตรงเดียวกับ BC ซ.ต.พ

I-15 เส้นสองเส้นตัดกัน มุมตรงขา้มย่อมเท่ากัน

สิ่งที่กําหนดให้ AB ตัดกับ CD ที่จุด E สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ AEC DEB= และ CEB AED=

พิสูจน ์ DE ต้ังอยู่บน AB ดังนั้น AEC DEB+ =2 มุมฉาก ......(I-13) AE ต้ังอยู่บน CD ดังนั้น AEC AED+ =2 มุมฉาก ......(I-13) จะได้ AEC DEB AEC AED+ = + ......(P-4, C-1)

ดังนั้น AEC DEB= ......(C-3) ในทํานองเดียวกัน จะพิสูจน์ได้ว่า CEB AED= ซ.ต.พ

10


I-16 ถ้าต่อด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ออกไป มมุภายนอกที่เกิดขึ้นจะโตกว่ามุมภายใน ที่อยู่ตรงข้าม

สิ่งที่กําหนดให้ สามเหลี่ยม ABC ซึ่งถูกต่อ BC ไปที่จุด D สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ ACD CBA> และ ACD BAC> พิสูจน ์ แบ่งครึ่ง AC ที่จุด E ......(I-10)

ลาก BE แล้วต่อออกไปถึง F โดยให้ BE EF= ......(I-3) ลาก FC ......(P-1) ต่อ AC ไปยัง G ......(P-2)

เพราะว่า ,AE CE EB EF= = และ AEB F EC= ดังนั้นจะได้ BAE ECF= ......(I-4) แต่ ACD ECF> ดังนั้น ACD BAE> ทํานองเดียวกัน ถ้าแบ่งครึ่ง BC จะพิสจูน์ได้ว่า BCG CBA> แต่ BCG ACD= ดังนั้น ACD CBA> ซ.ต.พ

หมายเหต ุ ทฤษฎีนี้ได้รับการวิจารณ์ว่าไม่จริง ถ้าเส้นมีความยาวจํากัด เช่นเส้นบนผิวทรงกลม

ตําแหน่งของจุด F เป็นไปได้ 3 กรณี ภายหลงัจึงได้รับการแก้ไขสัจพจน์ P-2 เพิ่มเติมว่า เส้นตรงมีความยาวไม่จํากัด และเพิ่มเติมสัจพจน์ของพาซก์

I-17 ผลบวกของมุมภายในสองมุมของรูปสามเหลี่ยม ย่อมน้อยกว่าสองมุมฉาก สิ่งที่กําหนดให้ รูปสามเหลี่ยม ABC สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ ผลบวกของมมุภายในสองมุม ย่อมน้อยกว่าสองมุมฉาก พิสูจน ์ ต่อ BC ไปยัง D ......(P-2)

ACD ABC> ......(I-16) ACD ACB ABC ACB+ > + แต่ ACD ACB+ = 2 มุมฉาก ......(I-13) ดังนั้น ABC ACB+ < 2 มุมฉาก ทํานองเดียวกัน สามารถพสิจูน์ได้ว่า C AB ABC+ < 2 มมุฉาก และ C AB ACB+ < 2 มุมฉาก ซ.ต.พ

I-18 รูปสามเหลี่ยมใด ๆ ด้านที่ยาวย่อมอยู่ตรงข้ามมุมทีใ่หญ่กว่า สิ่งที่กําหนดให้ รูปสามเหลี่ยม ABC มี AC ยาวกว่า AB สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ ABC ACB> พิสูจน ์ ตัด AC ที่จุด D ทําให้ AD AB= ......(I-3) ลาก BD จะได้ ADB BCD> ......(I-16) แต่ ADB ABD= เพราะว่า AD AB= ......(I-5) ดังนั้น ABD BCD> นั่นคือ ABC ACB> ซ.ต.พ

11


I-19 รูปสามเหลี่ยมใด ๆ มุมที่ใหญ่กว่าย่อมอยู่ตรงข้ามด้านที่ยาวกว่า

สิ่งที่กําหนดให้ รูปสามเหลี่ยม ABC มี ABC ACB> สิ่งที่ต้องพิสูจน์ AC AB> พิสูจน ์ ถ้า AC AB= จะได้ว่า ABC ACB= ......(I-5) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะขัดกับสิ่งที่กําหนดให ้

ดังนั้น AC AB≠ ถ้า AC AB< จะได้ว่า ABC ACB< ......(I-18) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เพราะขัดกับสิ่งที่กําหนดให ้ดังนั้น AC AB< ไม่จริง นั่นคือ AC AB> ซ.ต.พ

หมายเหต ุ การพิสูจน์ I-19 นี้ เป็นการพิสูจน์แบบแยกกรณี แล้วกําจัดกรณีที่ไม่จรงิออกไป

โดยวิธีทําให้เกิดข้อขัดแย้ง I-20 รูปสามเหลี่ยมใด ๆ ความยาวของด้านสองด้านรวมกันย่อมยาวกว่าด้านที่สาม

สิ่งที่กําหนดให้ รูปสามเหลี่ยม ABC สิ่งที่ต้องพิสูจน์ BA AC BC+ > AB BC AC+ >

BC CA AB+ > พิสูจน ์ ต่อ BA ไปยังจุด D ให้ได้ DA CA=

ลาก CD จะได้ ADC ACD= ......(I-5) ดังนั้น BCD ADC> (เพราะว่า BCD ACD> ......(C-5)) DCB เป็นรูปสามเหลี่ยมทีม่ี BCD BDC> จะได้ DB BC> ......(I-19)

แต่ DB BA AC= + ดังนั้น BA AC BC+ > ทํานองเดียวกัน จะพิสูจน์ได้ว่า AB BC AC+ > และ BC CA AB+ > ซ.ต.พ

I-21 บนด้านใดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม ถ้าสรา้งเส้นตรงสองเส้นบนปลายทัง้สองของด้านนี้ไปตัดกัน

ภายในรูปสามเหลี่ยม จะได้ว่า ส่วนของเส้นทั้งสองดังกล่าวรวมกันย่อมสั้นกว่าผลบวกของด้านทั้งสอง ที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม แต่มุมที่ประกอบด้วยด้านทั้งสองจะโตกว่ามุมที่ประกอบด้วยด้านสองด้านที่เหลือของรูปสามเหลี่ยม

สิ่งที่กําหนดให้ รูปสามเหลี่ยม ABC มี BD และ DC พบกันข้างในรูปสามเหลี่ยม สิ่งที่ต้องพิสูจน์ BD DC BA AC+ < + และ BDC BAC>

พิสูจน ์ ต่อ BD ไปตัด AC ที ่ E ABCΔ ม ี AB AE BE+ > ......(I-20) จะได้ AB AE EC BE EC+ + > + จะได้ AB AC BE EC+ > + ......1

12


CEDΔ ม ี DE EC CD+ > ......(I-20) จะได้ BD DE EC BD CD+ + > + จะได้ BE EC BD CD+ > + ......2 จาก 1 และ 2 จะได้ AB AC BD CD+ > + รูปสามเหลี่ยม CDE มี BDC DEC> ......(I-16)

รูปสามเหลี่ยม ABE มี BEC BAE> ......(I-16) ดังนั้น BDC BAC> ซ.ต.พ

I-22 สามารถสร้างรปูสามเหลี่ยมให้มีด้านยาวเท่ากับส่วนของเส้นตรงที่กําหนดให้สามเส้นโดยเส้นทั้งสาม

ที่กําหนดให้นัน้มีผลรวมความยาวของเส้นสองใด ๆ ยาวกว่าเส้นที่สาม (ให้พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด)

I-23 สามารถสร้างมมุบนส่วนของเส้นตรงที่กําหนดให้ ณ จุดที่กําหนดให้ ให้เทา่กับมุมที่กําหนดให้ (ให้พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด)

I-24 ถ้าสร้างรูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านเท่ากันสองด้าน ด้านต่อด้าน แต่มุมในระหว่างด้านเท่าไม่เท่ากัน แล้วฐานที่อยู่ตรงกันข้ามมุมใหญ่จะยาวกว่าฐานที่อยู่ตรงข้ามกับมุมที่เล็กกว่า

สิ่งที่กําหนดให้ ABCΔ และ DEFΔ ซึ่งมีด้าน AB DE= และ AC DF= และ BAC EDF>

สิ่งที่ต้องพิสูจน์ BC EF>

พิสูจน์ สร้าง EDG บน DE ที่จุด D ให้เท่ากับ BAC ......(I-23) และให ้ DG AC DF= = ลาก ,DG GF จะได้ BC EG= ......(I-4) เพราะว่า DF DG= ดังนั้น DGF EGF= ......(I-5)

เพราะว่า DGF EGF> DF DG= ดังนั้น DFG EGF> เพราะว่า EFG DFG> DF DG= ดังนั้น EFG EGF>

EFGΔ ม ี EFG EGF> ดังนั้น EG EF> ......(I-19) แต่ EG BC= ดังนั้น BC EF> ซ.ต.พ

หมายเหต ุ จุดอ่อนของการพิสูจน์ทฤษฎบีทนี้ คือ การไม่คํานึงถึงสองข้างของเส้นจะเห็นว่า

ตําแหน่ง จุด G นั้นไม่แน่ว่าจะอยู่ทางซ้าย หรือ ทางขวาของ EF หรืออยู่บน EF ซึ่งจะเป็นไปได้ 3 กรณี

I-25 รูปสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านยาวเท่ากันสองด้าน ด้านต่อด้าน และฐานของรูปหนึ่งยาวกว่าฐาน

ของอีกรูปหนึ่งจะทําให้มุมที่อยู่ตรงข้ามของฐานที่ยาวกว่าโตกว่ามุมที่อยู่ตรงข้ามกับฐานที่สั้นกว่า (ให้พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด)

13


I-26 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีมุมเท่ากันสองมุม มุมต่อมุม และมีด้าน ๆ หนึ่งยาวเท่ากัน แลว้ด้านที่เหลือย่อมยาวเท่ากัน ด้านต่อด้าน และมุมที่เหลือจะเท่ากัน

สิ่งที่กําหนดให้ ABCΔ และ DEFΔ ม ี ABC DEF= และ ACB DFE= และมีด้านหนึ่งเท่ากัน ซึ่งอาจเป็นไปไม่ได้กรณีใดกรณีหนึ่งต่อไปนี้

กรณี 1 BC EF= หรือ กรณี 2 AB DE= หรือ กรณี 3 AC DF=

สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ ด้านที่เหลือและมุมที่เหลือเทา่กัน พิสูจน์ กรณี 1 เราทราบจากสิ่งที่กําหนดให้ว่า ,ABC DEF ACB DFE= = และ BC EF= สมมติ AB DE≠ ต้องมีด้านใดด้านหนึ่งยาวกว่า ให้ AB DE> ตัด AB ที่ G ให้ BG ED= ลาก GC จะได้ว่า รูปสามเหลีย่ม GBC กับรูปสามเหลี่ยม DEF มีด้านเท่ากันสองด้านและมีมุมระหว่างด้านเท่าเท่ากัน ดังนั้น GCB DFE= ......(I-4) แต่ DFE ACB= ดังนั้น GCB ACB= ซึ่งเปน็ไปไม่ได้เพราะว่าขัดกับ C-5 ที่ว่า

ส่วนรวมย่อมใหญ่กว่าส่วนย่อย ทํานองเดียวกัน AB DE< ไม่จริง ดังนั้น AB DE≠ ไม่จริง นั่นคือ AB DE= เมื่อ ,AB DE BC EF= = และ ABC DEF=

กรณี 2 ถ้า ,ABC DEF ACB DFE= = และ AB DE= สมมติ BC EF≠ จะต้องมีด้านใดด้านหนึ่งยาวกว่า ให้ BC EF> ตัด BC ที่ H ให้ BH EF= ลาก AH จะได้ BH A EFD= ......(I-4) แต่ EFD BCA= ดังนั้น BH A BCA= ซึ่งเปน็ไปไม่ได้เพราะจะทําให้ มมุภายนอก ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับมุมภายในที่อยู่ตรงข้าม จึงขัดกับ I-16

ดังนั้น ไม่จริงที่ว่า BC EF> ทํานองเดียวกัน BC EF< จะไม่จริง นั่นคือ BC EF=

เม่ือ BC EF= และ AB DE= และ ABC DEF= จะได้ ด้านที่เหลือและมมุที่เหลือจะเท่ากัน ......(I-4)

กรณี 3 พิสูจน์ทํานองเดียวกันกับกรณี 2 ซ.ต.พ I-27 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงสองเส้นทําให้มุมแย้งเท่ากันแล้ว เส้นตรงทัง้สองจะขนานกัน

สิ่งที่กําหนดให้ เส้นตรง EF ตัดเส้นตรง AB และ CD ทาํให้ AEF EFD= สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ เส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD

14


พิสูจน์ ถ้าเส้นตรง AB ไมข่นานกับเส้นตรง CD แล้ว เมื่อต่อเส้นตรง AB และเส้นตรง CD ออกไป จะต้องไปพบกันข้างใดข้างหนึ่ง สมมติว่าพบกันทาง B และ D โดยพบที่จุด G

จะได้ EGF เป็นรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีมุมภายนอกAEF EFG= ซึ่งเป็นไปไม่ได้เพราะขัดกับ I-16

ดังนั้น เมื่อต่อเส้นตรง AB และเส้นตรง CD ออกไปทาง B และ D แล้วจะไม่พบกัน พิสูจน์ในทํานองเดียวกัน ถ้าต่อเส้นตรง AB และเส้นตรง CD ไปทาง A และ C แล้วเส้นตรง ทั้งสองจะไม่พบกัน นั่นคือ เส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD ซ.ต.พ I-28 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงสองเส้นทําให้มุมภายนอกเท่ากับมุมภายใน ซึ่งอยู่ข้างเดียวกัน

ของเส้นตัดหรือมุมภายในข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับสองมุมฉาก แล้วเส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นจะขนานกัน

สิ่งที่กําหนดให้ ให้เส้นตรง EF ตัดเส้นตรงสองเส้น คือ เส้นตรง AB และเส้นตรง CD โดยจุดตัด คือ G และ H ซึ่งมี 1. มุมภายนอก EGB เท่ากับมุมภายในที่อยูต่รงข้างเดียวกันของเส้นตัด คือ GHD หรือ 2. มุมภายในข้างเดียวกันของเส้นตัด คือ BGH GHD+ เท่ากับสองมุมฉาก

สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ เส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD พิสูจน ์กรณี 1 EGB GHD= (จากสิ่งที่กําหนดให้) แต่ EGB AGH= ......(I-15) จะได้ AGH GHD= ......(C-1) ดังนั้นเส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD ......(I-27) กรณี 2 BGH GHD+ เท่ากับสองมุมฉาก (จากสิ่งที่กําหนดให้) แต่ BGH AGH+ เท่ากับสองมุมฉาก ......(I-13) ดังนั้น BGH GHD BGH AGH+ = + ......(C-1) จะได้ GHD AGH= ......(C-3) นั่นคือ เส้นตรง AB ขนานกับเสน้ตรง CD ......(I-27) ซ.ต.พ I-29 ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงสองเส้นที่ขนานกันแล้ว จะทําให้มุมแย้งเท่ากันมุมภายนอก

เท่ากับ มุมภายในข้างเดียวกันของเส้นตัด และมุมภายในข้างเดียวกันของเส้นตัดรวมกันเท่ากับสองมุมฉาก (บทกลับของ I-28)

สิ่งที่กําหนดให้ เส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD

เส้นตรง EF ตัดเส้นตรง AB และเสน้ตรง CD ที่จุด คอื G และ H

15


สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ AGH GHD= และ EGB GHD= และ BGH GHD+ เท่ากับสองมุมฉาก

พิสูจน ์ ถ้า AGH GHD≠ จะได้ว่า มีมุมใดมุมหนึ่งต้องโตกว่า สมมติว่า AGH GHD> เมือ่บวกด้วย BGH จะได้ AGH BGH GHD BGH+ > + แต่ AGH BGH+ = 2 มุมฉาก ......(I-13) ดังนั้น GHD BGH+ < 2 มุมฉาก จะได้ว่า เมื่อต่อเส้นตรง AB และเส้นตรง CD ออกไป

จะพบกันทาง B และ D ......(P-5) จึงขัดกับที่กําหนดให้ไว้ว่า เส้นตรง AB ขนานกับเส้นตรง CD ดังนั้นเป็นไปไม่ได้ที่ AGH GHD≠ นั่นคือ AGH GHD= แต่ AGH GHB= ......(I-13) ดังนั้น EGB GHD= ......(C-1) และ EGB BGH GHD BGH+ = + ......(C-2) แต่ EGB BGH+ = 2 มุมฉาก ......(I-13) ดังนั้น GHD BGH+ = 2 มุมฉาก ซ.ต.พ

ข้อสังเกต จะเห็นว่าต้ังแต่ I-1 ถึง I-28 ในการพิสูจน์ไม่ได้ P-5 อ้างอิง

แต่เริ่มใช้ P-5 อ้างอิงใน I-29

I-30 เส้นตรงทั้งหลายที่ต่างกันก็ขนานกับเส้นตรงเดียวกันย่อมขนานกัน (ให้พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด)

I-31 จงลากเส้นตรงผ่านจุดที่กําหนดให้และให้ขนานกับเส้นตรงที่กําหนดให้ (ให้พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด)

I-32 รูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้าต่อด้านใดดา้นหนึ่งออกไป มุมภายนอกจะเท่ากันผลรวมของมุมภายใน สองมุมที่อยู่ตรงข้ามและมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกันจะเท่ากับสองมุมฉาก

สิ่งที่กําหนดให้ รูปสามเหลี่ยม ABC ซึ่งถูกต่อด้าน BC ไปถึง D สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ ACD C AB ABC= + และ ABC BCA C AB+ + =สองมุมฉาก พิสูจน ์ ลาก CE ใหข้นานกับ AB ......(I-13) จะได้ C AB ACE= ......(I-29) และ ABC ECD= ......(I-29) ดังนั้น C AB ABC ACE ECD+ = + นั่นคือ C AB ABC ACD+ = เมื่อบวกด้วย ACB ทั้งสองสองข้าง

จะได้ C AB ABC ACB ACD ACB+ + = + แต่ ACD ACB+ เท่ากับสองมุมฉาก ......(I-13) ดังนั้น C AB ABC ACB+ + เท่ากับสองมุมฉาก ซ.ต.พ

16


I-33 ถ้าลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดปลายข้างเดียวกันของส่วนของเส้นตรงสองเส้นที่ยาวเท่ากันและขนานกันแล้ว เส้นเชื่อมนั้นจะยาวเท่ากันและขนานกนัด้วย (ให้พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด)

I-34 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านตรงข้ามจะยาวเท่ากัน มุมตรงข้ามจะเท่ากัน และเส้นทแยงมุมจะแบ่งรูปออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน (ให้พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด)

I-35 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่อยู่บนฐานเดียวกัน และด้านบนอยู่บนเส้นขนานกับฐานเส้นเดียวกัน

จะมีพ้ืนที่เท่ากัน อยู่บนเส้นที่ขนานกับฐาน BC เดียวกัน

สิ่งที่กําหนดให้ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD และ EBCF อยู่บนฐาน BC เดียวกัน มีด้าน AD กับ EF อยู่บนเส้นที่ขนานกับฐาน BC เดียวกัน

สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD มีพ้ืนที่เท่ากับรูปสี่เหลี่ยม EBCF พิสูจน ์ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น AD BC= ......(I-34) EBCF เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดังนั้น EF BC= ......(I-34) ดังนั้น AD EF= ......(C-1) จะได้ AD DE EF DE+ = + ......(C-2) จะได้ AE DF= แต่ AB DC= ......(I-34) และ F DC E AB= ...... (I-29) จะได้ EABΔ และ FDCΔ ทับกันสนทิ EAB DGE FDC DGEΔ −Δ = Δ −Δ จะได้ ABGD EGCF= ......(C-3) ดังนั้น ABGD BCG EGCF BCG+Δ = +Δ ......(C-2) นั่นคือ ABCD EBCF= ซ.ต.พ I-36 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานยาวเท่ากัน และมีด้านตรงข้ามกับด้านฐานอยู่บนเส้นขนานคู่

เดียวกันจะมีพ้ืนที่เท่ากัน (ใหพิ้สูจน์เป็นแบบฝึกหัด)

I-37 รูปสามเหลี่ยมที่มีฐานเดียวกัน และจุดยอดกับฐานอยู่บนเส้นขนานคู่เดียวกันจะมีพ้ืนที่เท่ากัน

สิ่งที่กําหนดให้ ABCΔ และ DBCΔ มีฐาน BC ร่วมกัน และจุดยอดอยู่บนเส้นขนานกับฐาน BC สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ ABCΔ และ DBCΔ มีพ้ืนที่เท่ากัน พิสูจน ์ ลากเส้น AD และต่อออกไปสองเส้น ลาก BE ให้ขนานกับ CA ตัดเส้น AD ที ่ E ...... (I-31) ลาก CF ให้ขนานกับ BD ตัดเส้น AD ที ่ F ...... (I-31) ดังนั้น EBCA และ DBCF มีพ้ืนที่เท่ากับ ...... (I-35) ABCΔ มีพ้ืนที่เป็นครึ่งหนึ่งของ EBCA ...... (I-34) DBCΔ มีพ้ืนที่เป็นครึ่งหนึ่งของ DBCF ...... (I-34)

ดังนั้น ABCΔ และ DBCΔ มีพ้ืนที่เท่ากัน ซ.ต.พ

17


I-38 รูปสามเหลี่ยมที่มีฐานยาวเทา่กันและจุดยอดกับฐานอยู่บนเส้นขนานคู่เดียวกันจะมีพ้ืนที่เท่ากัน (ให้พิสจูน์เป็นแบบฝึกหัด)

I-39 รูปสามเหลี่ยมที่มีพ้ืนที่เท่ากันและอยู่บนฐานเดียวกันโดยจุดยอดอยู่ข้างเดียวกันของฐานแล้ว จุดยอดทั้งสองจะอยู่บนเส้นที่ขนานกับฐาน

สิ่งที่กําหนดให้ ABCΔ และ DBCΔ มีพ้ืนที่เท่ากันและอยู่บนฐาน BC เดียวกัน จุดยอด A กับ D อยู่ข้างเดียวกันของฐาน

สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ จุดยอด A กับ D อยู่บนเส้นที่ขนานกับฐาน BC พิสูจน ์ ลาก AD ถ้า AD ไม่ขนานกบั BC ลาก AE ให้ขนานกับ BC ตัดกันที่ E ...... (I-31) ดังนั้น ABCΔ และ EBCΔ มีพ้ืนที่เท่ากัน ...... (I-37) แต่ ABCΔ และ DBCΔ มีพ้ืนที่เท่ากัน ดังนั้น EBCΔ กับ DBCΔ มีพ้ืนที่เท่ากัน ...... (C-1) จึงเกิดการขัดแย้งกับ C-5 นั่นคือ AD ขนานกับ BC ซ.ต.พ

I-40 รูปสามเหลี่ยมที่มีพ้ืนที่เท่ากัน ฐานยาวเท่ากัน และฐานอยู่เส้นเดียวกันโดยจุดยอดอยู่ข้างเดียวกันของฐานแล้ว จุดยอดทั้งสองจะอยู่บนเส้นที่ขนานกบัฐาน (ให้พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด)

I-41 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานเดียวกับรูปสามเหลี่ยมและจุดยอดอยู่บนด้านตรงข้าม ฐานของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะมีพ้ืนที่เป็นสองเท่าของรูปสามเหลี่ยม

สิ่งที่กําหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน อยู่บนฐาน BC เดียวกันกับ EBCΔ จุดยอด E อยู่บนด้าน AD

สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ ABCD มีพ้ืนที่เป็นสองเท่าของ EBCΔ พิสูจน ์ ลากเส้น AC

จะได้ ABCΔ และ EBCΔ มีพ้ืนที่เท่ากัน ...... (I-37) แต่ ABCD มีพ้ืนที่เป็นสองเท่าของ ABCΔ ...... (I-34) ดังนั้น ABCD มีพ้ืนที่เป็นสองเท่าของ EBCΔ ซ.ต.พ

I-42 สามารถสร้างรปูสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีมุม ๆ หนึ่งเท่ากับมุมที่กําหนดให้ และมีพ้ืนที ่เท่ากับรูปสามเหลี่ยมที่กําหนดให้ (ให้พิสูจนเ์ป็นแบบฝึกหดั)

I-43 รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานใด ๆ ถา้ลากเส้นผ่านจุดใด ๆ บนเสน้ทแยงมุมเส้นหนึ่ง ให้ขนานกับด้านสองด้าน จะได้รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่รูป ซึง่สองรูปที่ไมผ่่านเส้นทแยงมมุเส้นนั้นจะมีพ้ืนที่เท่ากัน

สิ่งที่กําหนดให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ม ี AC เป็นเส้นทแยงมุม ให้ K เป็นจุดบนเส้น AC มี EKF และ HKG เป็นเส้นขนานกับด้าน AD และ AB

18


สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ HKFD และ EBGK มีพ้ืนที่เท่ากัน พิสูจน ์ ABCΔ และ ACDΔ มีพ้ืนที่เท่ากัน ...... (I-34)

AEKΔ และ AHKΔ มีพ้ืนที่เท่ากัน ...... (I-34) KFCΔ และ KGCΔ มีพ้ืนที่เท่ากัน ...... (I-34)

พ้ืนที่ AEK KGCΔ +Δ = พ้ืนที่ AHK KFCΔ +Δ ...... (C-2) พ้ืนที่ ( )ABC AEK KGCΔ − Δ +Δ = พ้ืนที่ ( )ACD AHK KFCΔ − Δ +Δ ...... (C-3) นั่นคือ HKFD และ EBGK มีพ้ืนที่เท่ากัน ซ.ต.พ

I-44 สามารถสร้างรปูสี่เหลี่ยมด้านขนานบนส่วนของเส้นตรงที่กําหนดให้ และมีมุมหนึ่งเท่ากับมุมที่กําหนดให้ และมีพ้ืนที่เท่ากับรูปสามเหลี่ยมที่กําหนดให้ (ให้พิสูจน์เป็นแบบฝึกหัด)

I-45 สามารถสร้างรปูสี่เหลี่ยมด้านขนานให้มีมมุเท่ากับมุมที่กําหนดให้มุมหนึง่ และมีพ้ืนที่เท่ากับรูปสี่เหลี่ยมรูปหนึง่ที่กําหนดให้

สิ่งที่กําหนดให ้ ABCD และมุม E สิ่งที่ต้องสร้าง รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีพ้ืนที่เท่ากับ ABCD และมีมุมหนึ่งเท่ากับมุม E สร้าง ลาก DB แล้วสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน KHGF ให้มพ้ืีนที่เท่ากับ ABDΔ โดยมี H KF E= ...... (I-42) สร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน GHML ให้มีพ้ืนที่เท่ากับ DBCΔ โดยมี GHM E= ...... (I-42) จะได้ รูปสี่เหลี่ยม FKML

พิสูจน ์ H KF E GHM= = ...... (C-1) จะได้ H KF KHG GHM KHG+ = + ...... (C-2) แต่ H KF K HG+ = 2 มมุฉาก ...... (I-29) จะได้ GHM K HG+ = 2 มมุฉากด้วย ดังนั้น KH และ HM เป็นเส้นตรงเดียวกัน ...... (I-14) ในทํานองเดียวกันจะพิสูจน์ได้ว่า FG และ GL เป็นเส้นตรงเดียวกัน FK ขนานและยาวเท่ากับ GH ...... (I-34) GH ขนานและยาวเท่ากับ ML ...... (I-34) จะได้ FK ขนานและยาวเท่ากับ ML ...... (I-34) จะได้ KM ขนานและยาวเท่ากับ FL ...... (I-34) ดังนั้น KFLM เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

19


แต่ ABDΔ มีพ้ืนที่เท่ากับ FKHG และ DBCΔ มีพ้ืนที่เท่ากับ GHML เมื่อรวมกันจะได้ FKML มีพ้ืนที่เท่ากับ ABCD นั่นคือ FKML เป็นรปูสี่เหลี่ยมที่ต้องการ ซ.ต.พ

I-46 สามารถสร้างรปูสี่เหลี่ยมจัตุรสับนส่วนของเส้นตรงที่กําหนดให้ (ให้พิสูจนเ์ป็นแบบฝึกหดั)

I-47 จัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะมีพ้ืนที่เท่ากับผลบวกของจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก

สิ่งที่กําหนดให้ ABCΔ มี BAC เป็นมุมฉาก สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ 2 2 2BC BA AC= + พิสูจน ์ สร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านทั้งสามดังรูป ลาก AL ขนาน BD ลาก , ,AD BK FC เพราะว่า BAC BAG= = 1 มุมฉาก ดังนั้น CA เป็นเสน้เดียวกัน AG ...... (I-14) เหตุผลทํานองเดียวกันจะได้ว่า BA เป็นเส้นเดียวกับ AH เพราะว่า DBA F BA= จะได้ DBC ABC F BA ABC+ = + ...... (C-2) ดังนั้น DBA F BC= และเนื่องจาก DB BC= และ FB BA=

ดังนั้นรูปสามเหลี่ยม ABD กับ FBC มด้ีานที่เหลือและมุมที่เหลือเทา่กัน .... (I-4) และทับกันสนทิ แต่ 2BMLD ABD= Δ และ 2ABFG FBC= Δ ...... (I-41) ดังนั้นจะได้ BMLD ABFG= พิสูจน์ในทํานองเดียวกันจะได้ MLEC AHKC= ดังนั้น BMLD MLEC ABFG AHKC+ = + ...... (C-2) จะได้ BDEC ABFG AHKC= + นั่นคือ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

เท่ากับผลบวกของจัตุรัสบนด้านประกอบมุมฉาก ซ.ต.พ

I-48 รูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้าจัตุรัสบนด้าน ๆ หนึง่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของจัตุรัสบนด้านที่เหลือแลว้ มุมที่ประกอบด้านที่เหลือนั้นจะเป็นมุมฉาก

สิ่งที่กําหนดให้ ABCΔ มี 2 2 2BC AB AC= + สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ BAC เป็นมุมฉาก พิสูจน ์ ลาก AD ให้ต้ังฉากกับ CA ที่จุด A และให้ AD AB= ลาก CD เพราะว่า AD AB= ดังนั้น 2 2AD AB= บวกด้วย 2AC

จะได้ 2 2 2 2AD AC AB AC+ = + แต่ 2 2 2AB AC BC+ = (จากสิ่งทีกํ่าหนดให้)

ดังนั้น 2 2 2AD AC DC+ = ...... (I-47) จะได้ BC DC=

20


จาก ABCΔ และ ADCΔ มด้ีานเท่ากันสามด้าน ดังนั้น BAC DAC= ...... (I-8) และเป็นมุมฉาก

นั่นคือ ABCΔ เป็นรูปสามเหลี่ยมมมุฉาก ซ.ต.พ 3.2 ข้อบกพร่องของเรขาคณิตในอิลเิมนต ์

1) ข้อบกพร่องเก่ียวกับบทนิยาม บทนิยามในอิลเิมนต์ได้รับการวิจารณ์ว่า ยุคลิดพยายามให้นิยามศัพท์ทุกคําที่เกี่ยวกับเรขาคณิต พบว่าบทนิยามบางบทไม่มีประโยชน์ต่อการนําไปใช้อ้างอิงในการพิสูจน์ อีกทั้งยังไม่ชัดเจน เช่น บทนิยามคําว่า จุด เส้น พ้ืนผวิ และระนาบ ปัจจุบันนักคณติศาสตร์ เห็นความจําเป็นของการมีคําอนิยามด้วยเหตุผลดังนี้

ก. ถ้าหากเราจะต้องนิยามศัพท์ทุกคําที่ใช้ เราคงต้องหาคํามาอธิบายคําเหล่านั้นอีกเรื่อย ๆ ไม่สิ้นสุดหรือมิฉะนั้นก็คงจะวกวนหันกลับมาใช้คําเดิมแบบงูกินหาง

ข. การมีคําอนิยามมีข้อดีตรงที่เราสามารถจะแทนอนิยามน้ันด้วยสิ่งต่าง ๆ ได้อย่างกว้างขวางย่ิงขึ้น ฮิลแบร์ทนกัคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ได้แก้ข้อบกพร่องเกี่ยวกับบทนิยามในเรขาคณติแบบ ยุคลิดโดยให้ว่า จุด เสน้ บน ระหว่าง และ เท่ากันทุกประการเป็นคําอนิยาม

2) ข้อบกพร่องเก่ียวกับสมมติฐาน ยุคลิดได้ต้ังข้อตกลงเบื้องต้น 10 ข้อ โดยแบ่งเป็น 2 กลุ่ม กลุ่มแรกมี 5 ขอ้ เรียกว่า คอมมันโนชัน (common notion) เป็นสิ่งที่ยอมรับว่าจริงโดยทั่ว ๆ ไปทุกแขนงไม่เฉพาะเรขาคณิต และเรียกข้อตกลง 5 ข้อหลังว่า แอกเซียม หรือ พอสชิวเลต (axiom or postulate) เป็นสิ่งที่ยอมรับในวิชาเรขาคณิต แบบเรียนเรขาคณิตของไทยในอดีต เรียกคอมมันโนชันว่า สิ่งที่เห็นจริงแล้ว และเรียก แอกเซียม หรอื พอสชิวเลตว่า สัจพจน์ ในปัจจุบันเราสามารถยกตัวอย่างค้านได้ว่า สิ่งที่เห็นจริงแลว้อาจจะไม่จริงเสมอไป เช่น คอมมันโนชันข้อที่ 5 ที่กล่าวว่า ส่วนรวมย่อมใหญ่กว่าส่วนย่อย ไม่เป็นจรงิในเรื่องเซต ดังตัวอย่าง {1, 2, 3, }A = …

{2,4, 6, }B = … เห็นได้ชัดว่า B เป็นส่วนย่อยของ A แต่ไม่อาจกล่าวได้ว่า A ใหญ่กว่า B เพราะสามารถ

จับคู่สมาชิกได้หนึ่งต่อหนึ่ง ในปัจจุบันไม่แยกว่าอะไร คือ คอมมันโนชัน อะไรคือ แอกเซียม แต่จะเรียกข้อตกลงเบื้องต้นที่ยอมรับโดยไม่พิสูจน์ทั้งหมดว่า แอกเซียม หรือ พอสชิวเลต และศัพท์ราชบัฑฑิตของไทย เรียกว่า สัจพจน์

3) ข้อบกพร่องเก่ียวกับการพสิจูน ์ การพิสูจน์ทฤษฎีบทในหนังสืออิลิเมนต์ พบข้อบกพร่องดังนี้

ก. การใช้จุดตัดของวงกลมและเสน้ตรงโดยไมยื่นยันวา่จุดตัดมีจริง การพิสูจน์ทฤษฎีบท I-1 ในการสร้างสามเหลี่ยมด้านเท่า ยุคลิดใช้วิธีการสร้างวงกลมสองวง

21


ยุคลิดได้นําจุดตัดมาใช้โดยที่มิได้พิสูจน์ให้เห็นว่าจุดตัดของวงกลมทั้งสองนั้นมีจริง นอกจากนี้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท I-2 และ I-3 ยุคลิดยังได้ใช้จุดตัดของวงกลมกับเส้นตรงโดยมิได้รับรองว่าจุดตัดดังกล่าวมีจริงอีกเช่นกัน เมื่อตรวจสอบดูสัจพจน์ทั้ง 10 ขอ้ไม่มีสัจพจน์ใดกล่าวถึงเงื่อนไขที่วงกลมตัดกัน จุดบกพร่องในเรื่องนี้คือ บนวงกลมอาจจะมีช่องโหว่ไม่หนาแน่นทึบ เช่น 2 2 1x y+ = กับวงกลม

2 2( 1) 1x y− + = และเส้นตรง y x= ไม่ตัดกัน เมื่อ x และ y เป็นจํานวนตรรกยะ ในการแก้ไขข้อบกพร่องดังกล่าว ฮิลแบร์ท ได้ให้สัจพจน์ของอาร์คิมีดีส (Archimedes ประมาณ 287- 212 ปี ก่อนค.ศ.) จัดไว้ในกลุ่มของสัจพจน์ความต่อเนื่อง มีใจความดังนี้ “กําหนดส่วนของเส้นตรงสองเส้น จะมีจํานวนเต็มบวกบางจํานวนซึ่งเมื่อคูณกับขนาดของส่วนของเส้นตรงที่สั้นกว่าแล้ว จะมากกว่าขนาดของส่วนเส้นตรงอีกเส้นหนึ่ง” สัจพจน์ของอาร์คิมีดีสนี้อาจแทนได้ด้วย สัจพจน์ของเดเดคินต์ (Dedekind, Julius Wilhelm, Richard. ค.ศ. 1831-1916) มีใจความดังนี้ “ถ้าจุดทุกจุดบนเส้นตรงถูกแบ่งออกเป็นสองเซตโดยจุดทุกจุดของเซตแรกอยู่ทางซ้ายของจุดทุกจุดบนเซตทีส่อง แล้วจะมจีุดเพียงจุดเดียวเท่านั้นที่แบ่งจุดทั้งหมดออกเป็นสองเซต” โดยอาศัยสัจพจน์ของเดเดคินต์ สามารถพสิูจน์ได้ว่า

“ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดภายในวงกลมกับจุดภายนอกวงกลม จะตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้น”

พิสูจน ์ ให ้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มรีัศม ี r และ C เป็นจุดปลายของเส้นต้ังฉากที่ลากจาก O มายังเส้น AB ซึ่งผ่านจุดภายในวงกลมกับจุดภายนอกวงกลม จุดบน AB จะถูกแบ่งออกเป็นสองพวก คือ พวกจุด X ใด ๆ ที่ OX r< และพวกจดุ Y ที่ OX r≥ โดยสัจพจน์ของเดเดคินต์ จะมีจุด R ซึ่งแบ่งจุดบน AB ออกเป็นสองพวกดังกล่าว ต่อไปจะพิจารณาว่าจุด R อยู่ตรงไหน ถ้า OX r< เราเลือก S ที่อยู่ระหว่าง R กับ B ซึ่ง RS r OR< − แต่ OS OR RS< + ดังนั้น OS r< จึงเกิดการขัดแย้งเพราะ OS r≥

ทํานองเดียวกัน ถ้า OR r> จะพบข้อขัดแย้ง ดังนั้น OR r= นั่นคือ R เป็นจุดตัดของเส้นตรงกับวงกลม โดยอาศัยสัจพจน์ของอาร์คิมีดีส หรือ เดเดคินต์ สามารถพิสูจน์สัจพจนข์องคันเทอร์ (Cantor, Georg. ค.ศ. 1845 – 1918) ได้ซึ่งมีใจความดังนี้

1. ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดภายในวงกลมกับจุดภายนอกวงกลม จะตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้น

2. ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งมีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมน้อยกว่ารัศมีแล้ว เส้นตรงจะตัดวงกลมเพียงสองจุดเท่านั้น

3. กําหนดส่วนโค้งของวงกลมสองส่วนจะมีจาํนวนเต็มบวกซึ่งเมื่อคูณกับความยาวของส่วนโค้งที่สั้นกว่าแล้วมากกว่าความยาวของอีกส่วนโค้งหนึ่ง

22


4. ถ้ามีลําดับของส่วนโค้ง โดยที่ส่วนโค้งถัดไปเป็นสับเซตของส่วนโค้งข้างหน้าและถ้ามีส่วนโค้งที่มีความยาวน้อยกว่าจํานวนจริงบวกใด ๆ แล้ว จะมจีุดเดียวเท่านั้นซึ่งอยู่ในทุก ๆ ส่วนโค้งนั้น

5. ถ้า P เป็นจุดภายใน และ Q เป็นจุดภายนอกของวงกลมที่กําหนดให้ ส่วนโค้งของวงกลมที่ผ่านจดุ ,P Q จะตัดวงกลมที่กําหนดให้เพียงจุดเดียวเท่านั้น

ข้อความที่กล่าวมา เป็นการรับรองว่าจุดตัดของวงกลมกับเส้นตรงและวงกลมกับวงกลม

ข. การพิสจูน์โดยการยกรูปทับกัน ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท I-4 ยุคลิดใช้วิธียกรูปทับกัน ถ้าจะถือว่าจุดเป็นเพียงตําแหน่งแล้ว

ย่อมไม่สามารถเคลื่อนที่ได้ แต่ถ้าจะถือว่าเรขาคณิตเป็นการประยุกต์ในทางวิทยาศาสตร์ ย่อมไม่สามารถเคลื่อนรูปได้แล้วก็ต้องถูกคัดค้าน โดยหลักทางฟิสิกส์ที่ว่า วัตถุเคลื่อนที่ย่อมมีขนาดไม่เท่ากับขณะที่หยุดนิ่ง จากข้อบกพร่องดังกล่าว ภายหลังได้มีนักคณิตศาสตร์แก้ไข โดยการเพิ่มสัจพจน์ดังนี้ “การเคลื่อนที่รูปย่อมมีขนาดไม่เปลี่ยนแปลง” นอกจากวิธีแก้ไขดังกล่าว ฮิลแบร์ทได้แก้ไขขอ้บกพร่องโดยให้ทฤษฎีบท I-4 เป็นสัจพจน์ และจัดอยู่ในกลุม่สัจพจน์ของการเท่ากันทุกประการเพื่อหลีกเลี่ยงการยกรูปซ้อน

ค. การเพิ่มสมมติฐานโดยไม่ระบุไว้ให้ชัดเจน พิจารณาสัจพจน์ P-1 และ P-2 ดังนี้ P-1 ลากเส้นตรงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง ข้อบกพร่อง คือไม่ได้ระบุไว้ว่าลากเส้นได้ก่ีเส้น แต่เมื่อนําไปใช้ในการพิสจูน์ทฤษฎีบท I-4 ได้

อ้างอิงว่า เส้นสองเส้นไม่สามารถปิดล้อมใหเ้กิดอาณาบริเวณได้ นั่นก็แสดงว่า สามารถลากเส้นจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น ซึ่งต่อมาได้มีการแก้ไขสจัพจน์ P-1 ให้ชัดเจนยิ่งขึ้นดังนี้ “ลากเส้นตรงจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น”

P-2 สามารถต่อส่วนของเส้นตรงออกไปได้ใช้เรื่อย ๆ กรณี 1 ถ้า BF สัน้กว่าครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง จะได้ จุด F อยู่เหนือด้าน BC ดังนั้น ACD BAC> นั่นคือ มมุภายนอกโตกว่ามุมภายใน กรณี 2 ถ้า BF เทา่กับครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง จะได้ จุด F อยู่บน BC ดังนั้น BAC ACF= นั่นคือ มมุภายนอกโตกว่ามุมภายใน กรณี 3 ถ้า BF ยาวมากกว่าครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง จะได้ BF ตัดกับ BC ที่ G และ F อยู่ใต้เส้น BC เมื่อลากเส้น CF จะได้ ACG ACF< แต่ ACF BAC< จะได้ มุมภายนอกเล็กกว่ามุมภายในที่อยู่ตรงข้าม

23


ง. การไม่คํานึงถึงอันดับของจดุ เส้น ภายใน และ ภายนอกรูป ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ต้องใช้ขนาดของเส้นและมุม เมื่อมีการสร้างรูปเพิ่มเติมยูคลิดได้

ละเลยการพิจารณาถึงอันดับของจุด อันดับของเส้น และภายในภายนอกรูป เช่น การพิสูจน์ทฤษฎีบท I-21 ยูคลิดได้สร้างเพิ่มโดยต่อ BD ให้ตัดกับด้านตรงข้ามที่จุด E ยูคลดิไม่ได้พิสูจน์ยืนยันว่าจุด E ต้องอยู่ระหว่าง A กับ C

ยูคลิดใช้ความรู้ที่ว่า AE EC AC+ = ซึ่งมีจุดอ่อน เพราะว่า ถ้าหากจุด E ไม่อยู่ระหว่าง A กับ C ดังรูป 2 จะได้ AE EC AC+ ≠

รูป 1

กรณีดังกล่าวจะเกิดขึ้นถ้ารูปสามเหลี่ยม ABC อยู่บนผิวทรงกลม และ ม ี AB ยาวกว่าครึ่งหนึ่งของเส้นรอบวง

รูป 2

นักคณิตศาสตร์ได้ยกตัวอย่างผลเสียถึงการไม่คํานึงถึงอันดับของจุด เส้น และ ภายใน ภายนอกรูปว่าทําให้สามารถพิสูจน์ข้อความบางข้อความที่ขัดแย้งกัน แต่สมเหตุสมผลเรียกข้อความดังกล่าวว่า พาราดอกซ์ (paradox) ดังต่อไปนี้

พาราดอกซ์ 1 รูปสามเหลี่ยมใด ๆ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว สิ่งที่กําหนดให้ ABCΔ เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ สิ่งที่ต้องพิสูจน ์ ABCΔ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว พิสูจน ์ ลากเส้นแบ่งครึ่ง ABC มาตัดกับเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉาก

กับ AC ที่จุด O ลาก ,OD OE ต้ังฉากกับด้านที่เหลือ และลาก ,OA OC AFO CFOΔ ≅ Δ ...... (I-4) จะได้ AO CO= EOB DOBΔ ≅ Δ ...... (I-26)

จะได้ OE OD= และ EB DB= OAEΔ และ OCDΔ เป็นรูปสามเหลี่ยมมมุฉากที่มีด้านเท่ากันสองด้าน

ดังนั้น ด้านที่เหลือคือ AE CD= ...... (I-28) จะได้ AE EB CD DB+ = + ดังรูป 1 หรือ EB AE DB CD− = − ดังรูป 2 ดังนั้น AB CB= นั่นคือ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซ.ต.พ

รูป 1

รูป 2

24


ข้อบกพร่องของการพิสูจน์มีดังนี้ 1. ไม่คํานึงวา่จุด O อยู่ข้างใน หรือ อยู่ข้างนอกรูป แท้จริงแล้วจุด O จะอยู่ขา้ง

นอกรูปสามเหลี่ยมเสมอ ซึ่งพิสูจน์ได้ดังนี้ สร้างวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม ABC ให้เส้นแบ่งครึ่งมุม A พบเส้นรอบวงที่ O จุด O จะแบ่งครึ่งเส้นโค้ง BOC เมื่อลากเส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ BC ที ่ D เส้นนี้จะผ่านจุด O เช่นกัน ดังนั้นเสน้แบ่งครึ่งมุมยอดและเส้นแบ่งครึ่งต้ังฉากกับฐานจะพบกันภายนอกรูปสามเหลี่ยมเสมอโดยพบกันบนเส้นรอบวงของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลีย่ม

2. ไม่คํานึงการอยู่ระหว่างของจุด เช่น ลากเส้นจาก O ไปต้ังฉากกับ AB ที ่ E เราจะต้องพิจารณาว่าจุด E จะไปอยู่ตําแหน่งใด เช่น อยู่ระหว่าง A กับ B หรือ B จะอยู่ระหว่าง E กับ A ซึ่งการพิสูจน์ดังกล่าวเราทําดังนี้ ลาก OB และ OC จะได้ว่า OBC OCB= ถ้า ABC ACB< จะได้ว่า ABC ACO< แต่ ABO ACO+ = 2 มมุฉาก ดังนั้น ABO เป็นมมุแหลม และ ACO เป็นมุมป้าน

จากการที่ ABO เป็นมุมแหลม ถ้าลากเส้นจาก O ไปต้ังฉากกับ AB ที่ E แล้ว จุด E ต้องอยู่ระหว่าง B กับ A (เพราะถ้า E ไม่อยู่ระหว่าง B กับ A จะขัดแย้งกับ I-16) เนื่องจาก ACO เป็นมุมป้าน เมื่อลากเส้นจาก O ไปต้ังฉากกับ AC ที่จุด F จะได้ว่า จุด C อยู่ระหว่าง A กับ F (เพราะถ้า C ไม่อยู่ระหว่าง A กับ F จะขัดแย้งกับ I-16) จะเห็นว่าการพิจารณาตําแหน่งของจุดสําคัญมาก ด้วยความจําเป็นดังกล่าวฮิลแบร์ท จึงได้เพิ่มสัจพจน์ของอันดับ 4 ข้อเกี่ยวกับการอยู่ระหว่างกันของจุด

3.3 การแก้ไขปรับปรุงเรขาคณิตแบบยุคลิดโดยฮิลแบรท์ ในศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์หลายทา่นได้เรียบเรียง แก้ไข ปรับปรุง เรขาคณิตแบบยุคลิด เช่น พาซก์, มอริทซ ์(Pasch, Moritz. ค.ศ. 1843-1930) นักคณติศาสตร์ชาวเยอรมันได้เห็นความสําคัญของอนิยาม จึงไดแบ่งคําศัพท์พ้ืนฐานที่ใช้ในเรขาคณิตแบบยุคลิตเป็น 2 พวก คือพวกที่กําหนดความหมายไว้อย่างชัดแจ้ง กับพวกที่ไม่ได้กําหนดความหมายไว้ชัดแจ้ง แต่กําหนดสมบัติของคําเหล่านั้นเป็นสัจพจน์ เช่น พาซก์ได้ให้คําว่า จุด เส้น และ ระนาบ เป็นคําที่ไม่ได้กําหนดความหมาย (คําอนิยาม) ในการพิสูจน์ทฤษฏบีทต่าง ๆ พาซก์มีความเห็นว่า จะต้องไม่ตีความคําอนิยาม เพราะจะทําให้อ่อนเหตุผลทางตรรกศาสตร์ และอาจเผลอใช้สมมติฐานบางอย่างที่ไม่ได้ระบุไว้ ดังนั้นพาซก์จึงพิสูจน์เรขาคณิตโดยไม่พ่ึงรูป แต่ได้อาศัยรูปแบประโยคสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ และเข้มงวดในการให้เหตุผลอย่างมาก สิ่งที่พาซก์ได้รับช่ือเสียงมากในเรื่องนี้ก็คือ การวิเคราะห์เกี่ยวกับอันดับของจุดและเส้น ซึ่งสัจพจน์เกี่ยวกับอันดับที่ได้รับช่ือเสียงจนเป็นที่นิยามมีช่ือเรียกว่า “สัจพจน์ของพาซก์”สัจพจน์ดังกล่าวทําให้สามารถพิสูจนไ์ด้ว่าเส้นที่ลากจากจุดหมุนของรูปสามเหลี่ยมเข้าไปสามเหลี่ยมจะตัดด้านตรงข้ามเสมอ

25


เปอาโน จูเซปเป (Peamo, Giusseppe. ค.ศ. 1858-1932) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีได้ให้คําว่า จุด และ ระหว่าง เป็นคําอนิยาม เปอาโนมีความเห็นว่าเพื่อหลีกเลี่ยงการใช้สมมติฐานที่ไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนเกี่ยวกับ จุดและเส้น จึงควรเปลีย่นข้อความต่าง ๆ ทีใ่ช้ในรูปประโยคสัญลักษณ์ทางตรรกศาสตร์ เช่น แทนที่จะกล่าวว่า “Two points determine a straight line” เปอาโนจะกล่าวว่า “Two X’s determine a Y” การเรียบเรียงทฤษฎีบทต่าง ๆ ตลอดจนการพิสูจน์ของเปอาโน จึงอยู่ในรูปสัญลกัษณ์ทางพีชคณิต แพริ, มาริโอ (Pieri, Mario ค.ศ. 1860-1913) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี มผีลงานทางเรขาคณิตที่แตกต่างจากนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ก็คือได้ให้คําว่า จุด และ การเคลื่อนที่ (motion) เป็นคําอนิยาม ซึ่งปัจจุบันคําว่าการเคลื่อนที่ มีความหมาย เช่นเดียวกับคําว่า ฟังก์ชัน หรือ การแปลง (transformation) แพริได้กําหนดสจัพจน์ทีเ่ป็นมโนมติของคําว่าการเคลื่อนที่ไว้ 5 ข้อ ซึ่งสัจพจน์ทั้ง 5 นี้ สามารถดัดแปลงให้เหมาะสมกับการพิสจูน์เกี่ยวกับการยกรูปทับ แพริ มีแนวคิดว่า เรขาคณิตแบบยุคลิดเป็นการศึกษาเกี่ยวกับสมบัติและความสัมพันธ์ระหว่างโครงรูปของจุดซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงรูปร่างภายใต้การเคลื่อนที่แบบเกร็ง แนวความคิดนี้แม้ว่าจะไม่เป็นที่ยอมรับอย่างกว้างขวาง แต่ภายหลังในปลายศตวรรษที่ 20 ก็ได้มีการสร้างเรขาคณิตในแนวคิดดังกล่าว

ฮิลแบร์ท เป็นอาจารย์สอนวิชารากฐานเรขาคณิต ที่มหาวทิยาลัยเกอทิงเงน (Gottingen) มีผลงานการบรรยายเกี่ยวกับการอภิปรายถึงระบบสัจพจน์ในวิชาเรขาคณิตแบบยุคลิด โดยได้พิมพ์ลงในวารสารในหัวข้อเรื่อง “รากฐานเรขาคณิต”(Grundlagen de Geometrie) ซึ่งเป็นผลงานที่มีช่ือเสียง ได้รับการตีพิมพ์หลายครั้งหลานหน ผลงานดังกล่าวไดพัฒนาสัจพจน์ในวิชาเรขาคณิตแบบยูคลิดในระนาบและปริภูมิซึ่งมีแนวคิดเกี่ยวกับการอนุมานที่ลึกซึ้ง อีกทั้งยังไม่มีสัญลักษณท์างตรรกศาสตร์เหมือนของพาซก์และเปอาโน จึงทาํให้เข้าใจง่าย นักเรียนที่มีสติปัญญาปานกลางในระดับมัธยมศึกษาตอนปลายก็สามารถอ่านได้ อย่างเข้าใจ ผลงานดังกล่าว ฮิลแบร์ทได้กําหนดคําอนิยาม 6 คํา และสัจพจน์ 21 ขอ้ สําหรับเรขาคณิตในปริภูมิ สําหรับเรขาคณิตในระนาบ ฮิลแบร์ทได้กําหนด คําอนิยาม 5 คํา คือ จุด เส้น อยู่บน ระหว่าง และ เทา่กันทุกประการ และกําหนดสัจพจน์ 15 ขอ้ แบ่งเป็น 5 กลุ่มดังต่อไปนี้ (Adler, 1967:285-286) กลุ่ม I : สัจพจน์การเชือ่มโยง I-1 มีเส้นสองเพียงเส้นเดียวเท่านั้นทีผ่านจุดสองจุดต่างกัน

I-2 เส้นแต่ละเส้นจะมีจุดต่างกันอย่างน้อยสองจุด และ เส้นแต่ละเส้นจะมีอย่างน้อย 1 จุด ไม่อยู่บนเส้นนั้น

กลุ่ม II : สัจพจน์อันดับ II-1 ถ้าจุด C อยู่ระหว่างจุด A กับ B แล้ว , ,A B C อยู่บนเส้นเดียว และ C อยู่

ระหว่างจุด B กับ A ด้วย แต่ B ไม่อยู่ระหว่างจุด C กับ B และ A ไม่อยู่ระหว่างจุด C กับ B

II-2 สําหรับสองจุด ,A B ท่ีต่างกัน จะมีจุด C ซึ่งอยู่ระหว่างจุด A กับ B และจะมจีดุ D ซึ่ง B ซึ่งอยู่ระหว่างจุด A กับ D II-3 ถ้า , ,A B C เป็นจุดสามจุดที่ต่างกันบนเส้น ๆ หนึ่ง แล้วจุดหนึ่งจะอยู่ระหว่างอีกสองจุด

บทนิยาม ส่วนของเส้นตรง AB หมายถึงจุด A , จุด B และ จุดทุกจุดที่อยู่ระหว่างจุด A กับ B เรียกจุด A และ B ว่า จุดปลายของส่วนของเส้นตรง และจุด C จะอยู่บนส่วนของของ เส้นตรง AB ถ้า C เป็นจุด A หรือจดุ B หรือเป็นจุดที่อยู่ระหว่างจุด A กับ B

26


บทนิยาม เส้นตรงสองเส้น เส้นตรงกับส่วนของเส้นตรง หรือ ส่วนของเส้นตรงสองเส้นจะตัดกัน ถ้ามีจุดซึ่งอยู่บนเส้นทั้งสอง

บทนิยาม ให ้ , ,A B C เป็นจุดสามจุด ซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน รูปสามเหลีย่ม ABC หมายถึง ส่วนของเส้นตรงสามเส้น คือ , ,AB BC CA เรียกส่วนของเส้นตรง

, ,AB BC CA ว่า ด้านของรูปสามเหลี่ยมและเรียกจุด , ,A B C ว่า จุดยอดของรูป สามเหลี่ยม

II-4 สัจพจนข์องพาซก์เส้นตรงซึ่งตัดด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม แต่ไมผ่่านจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม จะตัดด้านใดด้านหนึ่งในสองด้านที่เหลือ

หมายเหตุ สัจพจน์ของพาซก์นี้ ในตําราบางตํารา นิยมให้เป็นทฤษฎีบท โดยนําสัจพจน์การแบ่ง ระนาบมาเป็นสัจพจน์แทน ซึ่งมใีจความดังนี้ “แต่ละเส้นในระนาบจะแบ่งจุดในระนาบ ออกเป็น 2 ส่วน โดยแต่ละส่วนเป็นเซตนูน กล่าวคือ ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมสองจุดใด ๆ ที่อยู่ในสว่นเดียวกัน จะไม่ตัดเส้นแบ่งระนาบ และสว่นของเส้นตรงที่เชื่อมสองจุดใด ๆ ที่ อยู่ต่างส่วนกันจะตัดเส้นแบ่งระนาบเสมอ” ในตําราบางเล่มใช้สัจพจน์ของพาซก์เป็น สัจพจน์ แต่ใช้สัจพจน์ของการแบ่งแยกระนาบเป็นทฤษฎีบท

กลุ่ม III : สัจพจน์การเทา่กันทุกประการ III-1 ถ้า A และ B เป็นจุดต่างกัน และ A′ เป็นจุดบนเส้นตรง m แล้วจะมีจุดสองจุดที่ ต่างกันคือ B′ และ B′′ บน m ซึ่งส่วนของเส้นตรง A B′ ′ เท่ากันทุกประการกับ ส่วนของเส้นตรง AB และ ส่วนของเส้นตรง A B′ ′′ เท่ากันทุกประการกับส่วนของ เส้นตรง AB โดยที่ A′ อยู่ระหว่าง B′ กับ B′′ III-2 ถ้าส่วนของเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรงเดียวกันแล้ว

ส่วนของเส้นตรงสองเส้นเท่ากันทุกประการ III-3 ถ้าจุด C อยู่ระหว่างจุด A กับ B จุด C′ อยู่ระหว่างจุด A′ กับ B′

และถ้าส่วนของเส้นตรง AC เท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรง A C′ ′ และถ้าส่วนของเส้นตรง CB เท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรง C B′ ′ แล้วส่วนของเส้นตรง AB เท่ากันทุกประการกับส่วนของเส้นตรง A B′ ′

บทนิยาม รังสี AB หมายถึง เซตของจุดที่ประกอบด้วย จุดที่อยู่ระหว่างจุด A กับ B รวมทั้ง B และจุด C ทั้งหมด ซึ่ง B อยู่ระหว่าง A กับ C เรากล่าวว่า รังสี AB ออกจากจุด A

ทฤษฎีบท ถ้า B′ เป็นจุดใด ๆ บนรังสี AB แล้ว รังสี AB′และ AB เป็นรังสีเดียวกัน บทนิยาม มมุ หมายถึง จุด ๆ หนึ่งและรังสีสองรังสีที่ออกจากจากนั้น เรียกจุดนั้นว่าจุดยอดของมุม

และเรียกสองรงัสีนั้นว่า แขนของมุม ถ้า A เป็นจุดยอด และจุด ,B C อยู่บนแขนแต่ละ แขนของมุม เราเรียกช่ือมุมดังกล่าวว่า มุม BAC หรือ มุม CAB

บทนิยาม ถ้า ABC รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง เราเรียก มุม , ,BAC CAB ACB ว่ามุมของรูป สามเหลี่ยม เรียกส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมมุมว่า ด้านของรูปสามเหลี่ยม

27


III-4 ถ้า BAC เป็นมุมซึ่งแขนของมุมไมอ่ยู่บนเส้นเดียวกัน และถ้า ,A B′ ′ เป็นจุดสอง จุดที่ต่างกันแล้ว จะมีสองรังสีเท่านั้นคือ A C′ ′ และ A C′ ′′ ซ่ึงมุม B AC′ ′ ′ เท่ากัน ทุกประการกับมุม BAC โดยที่ D′ เป็นจุดใด ๆ บนรังสี A C′ ′ และ D′′ เป็นจุดใด ๆ บนรังสี A C′ ′′ แล้ว ส่วนของเส้นตรง D D′ ′′ ตัดกับเส้นตรงที่เกิดจากจุด A′และ B′

III-5 มุมทุกมมุต่างก็เท่ากับตัวมันเอง III-6 ถ้าด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งเทา่กันทุก

ประการกับด้านสองด้านและมุมระหว่างด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมรปูหนึ่งแล้ว มุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมรูปแรกจะเท่ากันทุกประการกับมุมที่เหลือของรูปสามเหลี่ยมอีรปูหนึ่ง

กลุ่ม IV : สัจพจนเ์สน้ขนาน IV-1 สัจพจน์เพลฺย์แฟร์ที่จุด A ซึ่งไม่อยู่บนเส้น m จะมีเส้นเพียงหนึ่งเส้นที่ผ่าน A และ

ไม่ตัดกับ m

กลุ่ม V : สัจพจนค์วามต่อเนื่อง V-1 สัจพจน์ของอาร์คีมีดีส

ถ้า AB และ CD เป็นส่วนของเส้นตรง ซึ่ง AB ยาวกว่า CD จะมีจํานวนเต็มบวก n ซึ่ง n CD AB⋅ >

V-2 สัจพจน์บริบูรณ์ บนเส้นใด ๆ ในระบบไม่อาจเติมจุดเพิ่มไปจากเดิมโดยสอดคล้องกับสัจพจน์ที่กล่าวมา

ข้อสังเกต สัจพจน์กลุ่ม I อธิบายแนวคิดเกี่ยวกับคําว่า “อยู่บน” ซึ่งเป็นความสัมพันธ์ระหว่าง จุด กับ เส้น สัจพจน์กลุ่ม II อธิบายแนวคิดเกี่ยวกับคําว่า “ระหว่าง” ซึ่ง พาซก์ ได้รับริเริ่มเป็นคนแรก สจัพจน์กลุ่มนี้ทําใหม้ั่นใจได้ว่า จะมีจุดบนเส้น ๆ หนึ่งจํานวนมากมายนับไม่ถ้วน และไม่มีจุดปลายสิ้นสุดที่จุดใดจุดหนึ่ง นั่นคือ เส้นยาวไม่จําดัด สําหรับสัจพจน์ของพาซก์ ในกลุ่มนี้ แตกต่างจากข้ออื่น ๆ เป็นสัจพจน์ที่เกี่ยวข้องกับจุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน เป็นสัจพจน์ที่ให้ข้อมูลเกี่ยวกับระนาบ สัจพจน์กลุ่ม III อธิบายแนวคิดเกี่ยวกับคําว่า “เท่ากับทุกประการ” ของส่วนเส้นตรงและของมุม สจัพจน์เหล่านี้จะช่วยแก้ปัญหาเรื่องการยกรูปทับ เพราะต้องมีการเคลื่อนที่จุดหนึง่และเส้น เช่น สัจพจน์ III ข้อ-6 เกี่ยวกับสามเหลี่ยมเท่ากันทุกประการ ซึ่งแต่เดิมยุคลิดให้เป็นทฤษฎีบท I-4 และพิสูจน์โดยใช้วิธียกรูปทับ แต่ ฮิลแบร์ท ได้ต้ังเป็นสัจพจน์ สัจพจน์กลุ่ม IV เป็นสัจพจนเ์ส้นขนานของเพลย์แฟร์ จอหน์ (Playfair, John ค.ศ. 1748- 1819) ชาวสกอตแลนด์ เป็นสัจพจน์ที่สมมลูกับสัจพจน์ข้อที่ 5 ในอิลิเมนต์ ซึ่งสั้นกะทัดรัด กว่าจึงได้รับความนิยมมากกว่า สัจพจน์กลุ่ม V ข้อแรกเป็นสจัพจน์ของอาร์คีมีดิส ซึ่งเป็นการประมาณความยาวของส่วนของเส้นตรงเส้นที่ยาวกว่า โดยใช้ส่วนของเส้นตรงอีกเส้นหนึ่งเป็นหน่วยของการ

28


วัด โดยอาศัยสัจพจน์ข้อแรกนี้ทําให้สามารถสร้างทฤษฎีบทเกี่ยวกับการวัด และทฤษฎีบทเกี่ยวกับสัดส่วน สําหรับสัจพจน์ขอ้ V-2 เป็นการสมนัยหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของจุดบนเส้นตรงกับเซตของจํานวนจริง ซึ่งมีความจําเป็นที่จะนําไปใช้ในระบบจํานวนจริง และเรขาคณิตวิเคราะห์ สัจพจน์ของอาร์คีมีดิส สมมลูกับสัจพจน์ของเดเดคินต์

V ′ -1 สัจพจน์ของเดเดคินต์ ถ้าจุดทุกจุดบนเส้นตรงถูกแบ่งออกเป็นสองเซตโดยจุดทุกจุดของเซตแรกอยู่

ทางซ้ายของจุดทุกจุดบนเซตที่สอง แล้วจะมีจุดเพียงจุดเดียวเท่านั้นที่แบ่งจุดทั้งหมดออกเป็นสองเซต

อาศัยสัจพจน์ของฮิลแบร์ท ทาํให้เราแก้ไขขอ้บกพร่องในการพิสูจน์ทฤษฎีบทต่าง ๆ รวมทั้งสามารถหาข้อบกพร่องของการพิสูจน์พาราดอกซ์ต่าง ๆ ได้ ตัวอย่างเช่น ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท I-16 ของยุคลิด ท่านได้ใช้วิธีการแบ่งครึ่งด้าน AC ที่จุด E แล้วลากเส้น BE ต่อออกไปทาง E ถึงจุด F โดยทําให้ BE=EF

ปัญหาที่ต้องการพิสูจน์ก็คือ อยู่ที่ใด ซึ่งอาจเป็นไปได้ 3 กรณี

1. F อยู่ข้างเดียวกับ E ของเส้น BD 2. F อยู่บนเส้น BD 3. F อยู่คนละข้างกับ E ของเส้น BD

เราสามารถกําจัด 2 กรณีหลงัออกไปได้ดังนี้ ถ้า F บนเส้น BD จะได้ว่า B และ F มีเส้นผา่นเส้น 2 เส้น จะขัดกับสัจพจน์ I-1 ที่ว่า จุดสองจุดจะมีเส้นผ่านเพียงเส้นเดียวเท่านั้น ถ้า F อยู่ คนละข้างกับ E ของเส้น BD จะได้ว่า F ไม่อยู่บนเส้น AC เพราะจะทําให้ ขัดกับสัจพจน ์I-1

ดังนั้น ECFΔ มีเส้น CD ผ่านเข้าไปทางจุดมุม โดยอาศัยสัจพจน์ของพาซก์ เราจะได้ว่า เส้น CD ด้านตรงข้าม EF จะทําให้เกิด สองจุดที่มีเส้นผ่านเกินหนึ่งเส้นจึงขัดแย้ง เมื่อกรณี 2, 3 เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น กรณี 1 เป็นจริง

ในปีค.ศ. 1804 นักคณิตศาสตร์ชาวอเมริกันชื่อ เวเบลน ออสวาลต์ (Veblen, Oswald. ค.ศ. 1880-1960) ได้เสนอสัจพจน์กลุ่มใหม่ ซึ่งใช้คาํว่า อันดับ แทนคําว่า ระหว่าง และ นิยามคําว่า เสน้ ระนาบ บน เท่ากันทุกประการ ดังนั้นคําอนิยามของเวเบลนจึงมีเพียงสองคํา คือ จุด และ อันดับ

29


โรบินสัน, กิลเบิร์ตเดอ บี. (Robinson, Gillbert de B. ค.ศ. 1906-1992) เป็นนักคณิตศาสตร์ทา่นหนึ่งที่ได้รนําสัจพจน์ของฮิลแบร์ทและเวเบลนมาผสมผสานกัน โดยใช้สัจพจน์เกี่ยวกับอันดับของเวเบลน แต่ใช้สจัพจน์เกี่ยวกับการเท่ากันทุกประการ และสจัพจน์ของความต่อเนื่องของ ฮิลแบร์ท และยังได้ปรับปรุงให้ง่ายทําให้นักเรียนศึกษาเรขาคณิตแบบยุคลิดที่ปรับปรุงโดยโรบินสัน มากกว่าของฮิลแบร์ท หรือ เวเบลน หลังจากการปรับปรุงระบบสัจพจน์สําหรับเรขาคณิตแบบยุคลิด โดยเวเบลนการศึกษาเรขาคณิตได้พัฒนาไปในทางนามธรรมและเข้มงวดมากขึ้น จะเห็นได้จากผลงานเขียนของฮันทิงทัน เอ็ดเวิร์ด วี. (Huntington, Edward V. ค.ศ. 1874-195) ในปีค.ศ.1913 ในผลงานเขียนดังกล่าว ฮันทิงทันได้เสนอ เรขาคณิตแบบยุคลิดสามมิติ โดยใช้คําว่า “ทรงกลม” และ “การเป็นสบัเซต” (Inclusion) เป็นคําอนิยาม และในปี 1927 ได้ปรากฏ ผลงานของผลงานทางเรขาคณิตแบบยูคลิด ที่มีระบบเชิงสจัพจน์เป็นนามธรรม คือ ผลงานของ ฟอร์เดอร์ เฮนรี จอร์จ (Forder, Henry George) ซึ่งในผลงานดังกล่าวเราจะพบสัจพจน์ที่เราสามารถเลือกใช้อย่างมากมาย เช่น ฟอร์เดอร์ ได้เขียนสัจพจน์เส้นขนานที่แตกต่างกันถึง 9 แบบ โดยแต่ละแบบจะขึ้นอยู่กับสมมติฐานทีแ่ตกต่างกันออกไป ฟอร์เดอร์ ได้ใช้ จุด และ อันดับ เป็นคําอนิยาม และใช้สัจพจน์ความต่อเนื่องของเดเดคินต์ นอกจากนี้ จุด และ เทา่กันทุกประการ เป็นคําอนิยาม ในปีค.ศ. 1961 บลูเมนทอล แอล. เอ็ม. (Blumental, L.M) ได้ทําให้สัจพจน์ในเรขาคณิตแบบยุคลิดในระนาบมีความรัดกุม และสละสลวยโดยใช้คําว่า จุด และ ระยะทาง เป็นคําอนิยาม สัจพจน์ที่บลูเมนทอลเรียบเรียงจะบรรยายถึงลักษณะของระนาบแบบยุคลิดว่า เป็นเมทริกซส์เปซพิเศษชนิดหนึ่ง และง่ายที่จะเปลี่ยนแปลงเป็นสัจพจน์สําหรับเรขาคณิตแบบยุคลิด n มิติ และเรขาคณิตของโลบาเซฟสกี (เรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา) ในต้นศตวรรษที่ 19 ตําราเรขาคณิตที่ใช้สําหรับนักเรียนมัธยมช่ือ A School Geometry ของฮอลล์, เฮนรี ซินแคลร ์และสติเฟน, เอฟ. เอช. (Hall, Henry Sinclair ค.ศ. 1848- 1934 and Stevens, F. H.) ที่เป็นที่ยอมรับได้รับการตีพิมพ์มากกว่า 40 ครั้ง รวมเวลาที่นิยมนานกว่า 50 ปี เป็นตําราที่ยังคงยึดบทนิยาม สัจพจน์ ตามแนวคิดของยุคลิดเพียงแต่ปรับปรุงจัดหมวดหมู่ใหม่ และตัดทอนบางทฤษฎีบทให้สะดวกกับการศึกษา จึงยังคงมีข้อบกพร่องเหมอืนเดิม ในกลางศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์หลายท่านเขียนตําราเรขาคณิตที่ได้รับการปรับปรุงข้อบกพร่องต่าง ๆ เพื่อใช้สําหรับนักเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ท่านที่เขียนประสบผลสําเร็จท่านหนึ่ง คือ เบอร์คอฟ, จอร์จ เดวิด และบทีเลย,์ ราล์ฟ (Birkhoff, George David ค.ศ. 1884-1944 and Beatly, Ralph) แห่งมหาวิทยาลัยฮาร์เวร์ด ตําราเราขาคณิตของท่านทั้งสองเป็นเขาคณิตในระนาบ มีสัจพจน์ 5 ข้อ เกี่ยวกับการวัดขนาดของส่วนของเส้นตรงและการวัดขนาดของมุม ซึ่งอาศัยจํานวนจริงเป็นพื้นฐาน ตําราเรขาคณิตในภายหลังจึงอาศัยจํานวนจริงพื้นฐาน เช่น ตําราเรขาคณิตซึ่งจัดทําโดย SMSG (School Mathematics study Group) ซึ่งเป็นสมาคมที่ประกอบด้วยกลุ่มบุคคลทางคณิตศาสตร์ ที่จัดต้ังขึ้นเพื่อปรับปรังหลักสูตรคณิตศาสตร์ในประเทศสหรัฐอเมริกาให้ทันสมัย โดยมีเป้าหมายเพื่อแข่งขันความเจริญทางเทคโนโลยีกับประเทศรัสเซีย สําหรับหลักสูตรเรขาคณิต SMSG ได้จัดไว้ในเกรด 10 (เทียบเท่ากับ ม.4 ของไทย) ตําราเรียนมี 2 เล่มใช้เวลาเรียน 1 ปี เป็นหลักสูตรที่เรียนเข้มข้นเนน้ทั้งด้านการนําไปใช้ และการใช้เหตุผล

euclid geometry · บทที่ 3 ... เส้นขนาน...

Documents