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E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos

Soluciones Tema 3

Resolución aproximada de ecuacionesFrancisco Palacios

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña

Curso 2006/07Octubre 2006, Versión 1.1

Ejercicio 1 Consideramos la ecuación

x− e−x = 0

(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución en el intervalo [0, 1].

(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo[0, 1].

(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], ¿cuán-tas iteraciones nos hacen falta para asegurar 4 decimales exactos?

(d) Calcula las 5 primeras iteraciones.

(a) α ' 0.5

x 21.510.50-0.5-1

2.5

2

1.5

1

0.5

0-0.5

-1

(b) Existenciaf(x) = x− e−x

1

Soluciones: Resolución aproximada de ecuaciones 2

f es continua en [0,1], además

f(0) = −1 ª, f(1) = 0. 63212 ⊕

por lo tanto, existe una solución α ∈ (0, 1) .Unicidad.

f 0(x) = 1 + e−x

positiva para todo x, por lo tanto, f % en el intervalo y la raíz es única.(c) Exigimos

|en| =b− a2n

=1

2n≤ 0.5× 10−4

2n ≥ 10.5× 10−4

n ≥ ln(20000)ln 2

= 14. 29

necesitamos n = 15 iteraciones.

(d) Iteraciones

Fase 1a1 = 0 f(a1) = −1 ªc1 = 0.5 f(c1) = −0.1065 ª a2 = 0.5b1 = 1 f(b1) = 0.6321 ⊕ b2 = 1

Fase 2a2 = 0.5 f(a2) = −0.1065 ª a3 = 0.5c2 = 0.75 f(c2) = 0.2776 ⊕ b3 = 0.75b2 = 1 f(b2) = 0.6321 ⊕

c3 = 0.625

c4 = 0.5625

c5 = 0.59375 ¤


x− e−x = 0

(a) Construye una representación gráfica con Maple y estima gráficamenteel valor de la raíz.

(b) Escribe un programa que permita aplicar el método de la bisección.Verifica el buen funcionamiento con el valor de las 5 iteraciones cal-culadas en el ejercicio anterior.


(c) Si partimos de intervalo [0, 1], ¿cuántas iteraciones nos hacen faltapara asegurar 7 decimales exactos?

(d) Usa el programa y el número de iteraciones calculado para aproximarla raíz con 7 decimales.

(e) Calcula el valor de la raíz con Maple, verifica el resultado del apartadoanterior.

(a) Valor estimado α ' 0.57£> plot(x-exp(-x),x=0..1);

(b) Un programa simple es el siguiente⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

> f:=x->x-exp(-x);a:=0; b:=1; n:=3;for i from 1 to n doc:=evalf((a+b)/2);fc:=f(c);if evalf(fc*f(a)) s:=fsolve(x-exp(-x)=0);

s := 0.567143904

Error real|e25| = |α− c25| = 0.12× 10−8 ¤


lnx =1

x





(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.

(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resulta-do de las primeras iteraciones comparando con los valores calculadosmanualmente.

(f) Resuelve la ecuación con Maple.

(a) α ' 1.7

x 420-2-4

5

4

3

2

1

0

-1

(b) Existencia

f(x) =1

x− lnx

es contínua en [1, 2], además

f(1) = 1 ⊕, f(2) = −0. 19 ª


f 0(x) =−1x2− 1x

negativa para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f & en el intervalo y la raíz esúnica.


(c) Exigimos

|en| =b− a2n

=1

2n≤ 0.5× 10−5

n ≥ln¡2× 105

¢ln 2

= 17. 6096

necesitamos n = 18 iteraciones.

(d) Iteraciones

c1 = 1.5

c2 = 1.75

c3 = 1.875

c4 = 1.8125

(e) c18 = 1.763225557

(f) α = 1.763222834, |e18| = 0.2723× 10−5 2


lnx = e−x




(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.

(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resulta-do de las primeras iteraciones comparando con los valores calculadosmanualmente.

(f) Resuelve la ecuación con Maple.

(a) α ' 1.3


x 543210-1

5

4

3

2

1

0-1

-2

(b) Existenciaf(x) = lnx− e−x

es contínua en [1, 2], además

f(1) = −0.37 ª, f(2) = 0.55 ⊕


f 0(x) =1

x+ e−x

positiva para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f % en el intervalo y la raíz esúnica.

(c) El intervalo tiene longitud 1, el resultado es el mismo que en el ejercicioanterior, necesitamos n = 18 iteraciones.

(d) Iteraciones

c1 = 1.5

c2 = 1.25

c3 = 1.375

c4 = 1.3125

(e) c18 = 1.309803011(f) α = 1.309799586, |e18| = 0.3425× 10−5 2

Ejercicio 5 Un proyectil de 2 gramos de masa ha sido lanzado vertical-mente al aire y está descendiendo a su velocidad terminal1. La velocidadterminal se puede escribir, después de evaluar todas las constantes, como

(0.002) (9.81) = 1.4× 10−5v1.5 + 1.15× 10−5 v2

1Shames, I. H., Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, 1982, pag. 417.


donde v es la velocidad terminal en m/s. El primer término del lado derechorepresenta la fuerza de fricción y el segundo término representa la fuerza depresión.

(a) Sabemos por una estimación grosera, que la velocidad terminal es v '30m/s. Estudia si los intervalos [20, 30], [30, 40] contienen una raíz.

(b) Verifica el resultado construyendo un gráfico con Maple.

(c) Determina el número de pasos que se necesitan para aproximar la so-lución con 2 decimales usando el método de la bisección.

(d) Calcula la aproximación con un programa, verifica manualmente elvalor de los dos primeros pasos.

(e) Calcula el valor de la velocidad terminal con Maple.

(a) La función

f(v) = 1.962× 10−2 − 1.4× 10−5v1.5 − 1.15× 10−5v2

es continua en todo R.

f(20) = 0.01377, f(30) = 0.006 970, f(40) = −0.002 322

tenemos una solución en el intervalo [30, 40]. Valor aproximado gráficamenteα ' 37.7

x 403836343230

006

004

002

0

002

(b) Exigimos40− 302n

≤ 0.5× 10−2

y resulta n = 11.

(c) c1 = 35, c2 = 37.5, c11 = 37.73926

(d) Resultado con Maple v = 37.73458, |e11| = 0.00468 ¤


Ejercicio 6 El tamaño crítico de un reactor nuclear se determina resolvien-do una ecuación de criticalidad 2 Un ejemplo simple de este tipo de ecuacio-nes es

tan (0.1x) = 9.2 e−x

La solución físicamente significativa es la menor raíz positiva. Se sabe, porexperiencia, que la raíz se encuentra en el intervalo [3, 4].

(a) Demuestra que, efectivamente, la ecuación tiene una raíz en [3, 4] yque tal raíz es única.

(b) Aproxima el valor de la raíz con 5 decimales usando el método de labisección.

(c) Verifica el resultado sustituyendo en la ecuación.

(d) Calcula el valor de la raíz con Maple.

(a) Existencia. El primer punto positivo en el que tan(t) es disontinua est1 = π/2. Si x ∈ [3, 4], entonces 0.1x ∈ [0.3, 0, 4], por lo tanto, la función

f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x

es contínua en [3, 4]. Además

f(3) = −0. 1487f(4) = 0. 2543

¾T. Bolzano=⇒ Existe un α ∈ (3, 4) tal que f(α) = 0

Unicidad. Calculamos la derivada

f 0(x) =0.1

cos2 (0.1x)+ 9.2e−x

Como f 0(x) > 0 en (3, 4), tenemos f % y la raíz es única.(b) Como el intervalo es de longitud 1, necesitamos 18 intervalos. El re-sultado de la iteración 18 es c18 = 3.292926791, por lo tanto la soluciónes

α = 3.29293

(c) Sustituyendo en la ecuación obtenemos

f(c18) = f(3.29293) = 0.2 442× 10−5

Sin embargo, esto no nos asegura nada acerca de la proximidad de c18 a laraíz (¿por qué?)

(d) Resultado maple α = 3.292924615, |e18| = 0.2176× 10−5 ¤2Lamarsh, J. R., Introduction to Nuclear Reactor Theory, Addison-Wesley, 1966.



x = e−x

(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución α próxima a x0 = 0.5.

(b) Aproxima el valor de la solución con 8 decimales mediante el método deNewton-Raphson, usando como criterio de parada el error estimado.

(c) Demuestra que la solución obtenida es correcta.

(a) α ' 0.5

x 3210-1

4

3

2

1

0

-1

(b)f(x) = x− e−x

f 0(x) = 1 + e−x

Método

⎧⎨⎩ x0 = 0.5xj+1 = xj − xj − e−xj1 + e−xj

Detenemos las iteraciones cuando los 8 primeros decimales quedan fijos

x0 = 0. 5x1 = 0. 56631 1003x2 = 0. 56714 3165x3 = 0. 56714 3290x4 = 0. 56714 3290

En principio, el resultado es

ᾱ = 0. 56714 329


aunque no tenemos garantizado que el resultado sea correcto, puesto quehemos detenido las iteraciones usando el error estimado.(c) Error máximo admisible ² = 0.5× 10−8,

a = ᾱ− ² = 0.567143285, b = ᾱ+ ² = 0.567143295

f(a) = −8. 478× 10−9, f(b) = 7. 194× 10−9

Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar

|α− ᾱ| < 0.5× 10−8

y por lo tanto, la aproximación calculada ᾱ tiene 8 decimales exactos. ¤

Ejercicio 8 Resuelve la ecuación de criticalidad

tan (0.1x) = 9.2 e−x

usando el método de Newton-Raphson y el valor inicial x0 = 3.5. Calcula lasolución con 5 decimales exactos.

(a)f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x

f 0(x) =0.1

cos2 (0.1x)+ 9.2e−x

Método

⎧⎪⎨⎪⎩x0 = 3.5

xj+1 = xj −tan (0.1xj)− 9.2 e−xj

0.1cos2(0.1xj)

+ 9.2e−xj

Detenemos las iteraciones cuando los 5 primeros decimales quedan fijos

x0 = 3. 5x1 = 3. 27703 008x2 = 3. 29283 161x3 = 3. 29292 461x4 = 3. 29292 461

ᾱ = 3.29292

Verificamos el resultado; error máximo admisible ² = 0.5× 10−5,

a = ᾱ− ² = 3.292915, b = ᾱ+ ² = 3.292925

f(a) = −4. 35953 4× 10−6, f(b) = 1. 74609× 10−7

Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar

|α− ᾱ| < 0.5× 10−5 ¤


Ejercicio 9 Resuelve la ecuación

(0.002) (9.81) = 1.4× 10−5v1.5 + 1.15× 10−5 v2

usando el método de Newton-Raphson a partir del valor inicial v0 = 30m/s.Calcula la solución con 3 decimales exactos.

Valores de las iteraciones

v0 = 30v1 = 38.657611v2 = 37.744895v3 = 37.734579v4 = 37.734578

Valor de la velocidadv̄ = 37.735

Error máximo ² = 0.5× 10−3

a = v̄ − ² = 37.7545 f(a) = 0.77× 10−7b = v̄ + ² = 37.7355 f(b) = −0.919× 10−6

¾cambio de signo

Podemos asegurar que

|v − v̄| ≤ 0.5× 10−3 ¤

Ejercicio 10 Aproxima el valor de√41 con 6 decimales exactos usando el

método de Newton-Raphson.

Formulamosx =√41⇐⇒ x2 − 41 = 0

Tomamos la función

f(x) = x2 − 41f 0(x) = 2x


Método ⎧⎨⎩x0 = 6.5

xj+1 = xj −x2j − 412xj

Iteracionesx0 = 6.5x1 = 6.4038462x2 = 6.4031243x3 = 6.4031242

Valor aproximado con 6 decimales

ᾱ = 6.403124

Verificamos la solución. Error máximo ² = 0.5× 10−6

a = ᾱ− ² = 6.4031235 f(a) = −0.49× 10−5a = ᾱ− ² = 6.4031245 f(b) = 0.34× 10−5

¾cambio de signo

Podemos asegurar que

|α− ᾱ| ≤ 0.5× 10−6 ¤

Ejercicio 11 Aproxima el valor de 5√23 con 6 decimales exactos usando el

método de Newton-Raphson.

Formulamosx =

5√23⇐⇒ x5 − 23 = 0

Tomamos la función

f(x) = x5 − 23f 0(x) = 5x4

Valor inicial25 = 3215 = 1

¾⇒ x0 = 1.5

Método ⎧⎨⎩x0 = 1.5

xj+1 = xj −x51 − 234x4j


Iteracionesx0 = 1.5x1 = 2.10864198x2 = 1.91958682x3 = 1.87445650x4 = 1.87217680x5 = 1.87217123x6 = 1.87217123

Valor aproximado con 6 decimales

ᾱ = 1.872171 ¤

Ejercicio 12 Dado un número c, podemos calcular su inverso x = 1/c re-solviendo la ecuación

1

x− c = 0

(a) Comprueba que si aplicamos el método de Newton-Raphson, podemoscalcular inversos sin hacer divisiones.

(b) Calcula el valor de 1/9, 1/45, 1/678. Observa que los valores inicialesdeben estar próximos a la solución para que el método converja.

(a) Formulamos

x =1

c⇐⇒ 1

x− c = 0

Tomamosf(x) =

1

x− c

f 0(x) =−1x2

Método ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x0 = aproximación inicial

xj+1 = xj −

1

xi− cÃ− 1x2j

! = 2xj − Cx2j½x0 = aproximación inicialxj+1 = 2xj − Cx2j


(b) Para α =1

9, valor inicial x0 = 0.1

Iteracionesx0 = 0.1x1 = 0.11x2 = 0.1111x3 = 0.11111111x4 = 0.1111111

1

9= 0.111111

Para α =1


x4 = x5 = 0.02222222

1

45= 0.022222

Para α =1


x5 = x6 = 0.00147493

ᾱ = 0.001475 ¤


x = cos(x)

(a) Demuestra que la formulación

x =x+ cos(x)

2

es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijopara todo valor inicial x0 en el intervalo [0, 1].

(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimalesexactos.

(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.

(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica elresultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenidoen el apartado anterior.

(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.


En primer lugar, obsevamos que

x = cos(x)⇐⇒ x = x+ cos(x)2

pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a amboslados y despejando x.

g(x) =x+ cos(x)

2(a) Veamos que la función

g(x) =x+ cos(x)

2

cumple las condiciones del teorema de punto fijo.

• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, porlo tanto, es de clase C1[0, 1].

• (Condición 2) Sean

m = minx∈[0,1]

g(x), M = maxx∈[0,1]

g(x)

si x ∈ [0, 1], entonces g(x) ∈ [m,M ]. Debemos resolver un problema deextremos absolutos de una función contínua sobre un intervalo cerrado.

g0(x) =1− sin(x)

2

se cumple g0(x) > 0, en todo [0, 1], por lo tanto g % en [0, 1] y

m = minx∈[0,1]

g(x) = g(0) = 0. 5, M = maxx∈[0,1]

g(x) = g(1) = 0. 77015 1

por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en

[0.5, 0. 77015 1] ⊂ [0, 1].

• (Condición 3) Hemos de calcular

M1 = maxx∈[0,1]

¯̄g0(x)

¯̄la función objetivo es

h(x) =

¯̄̄̄1− sin(x)

2

¯̄̄̄=1− sin(x)

2

calculamosh0(x) = − cos(x)

como h0(x) < 0 en [0, 1], resulta h(x)&, por lo tanto

M1 = maxx∈[0,1]

¯̄g0(x)

¯̄= h(0) = 0.5


En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en elintervalo [0, 1] y que la iteración de punto fijo converge a él para todo valorinicial x0 ∈ (0, 1) .(b) El error cumple

|ej | = |α− xj | ≤ (0. 5)j (1− 0) = (0. 5)j

exigimos(0. 5)j ≤ 0.5× 10−5

y resolvemos en j, resulta

j ≥ln¡0.5× 10−5

¢ln (0. 5)

= 17. 6096

necesitamos j = 18 iteraciones.(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es

j xj0 0.51 0. 688791282 0. 730403063 0. 737654314 0. 738851255 0. 73904696

(d) Programa Maple ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

> g:=x->(x+cos(x))/2;x0:=0.5;n:=17;for i from 0 to n dox.(i+1):=evalf(g(x.i));od;

Obtenemosx18 = 0.73908513

(e) Valor obtenido con fsolve

α = 0.73908513 ¤


x = e−x


(a) Demuestra que la formulación

x =x+ e−x

2

es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijopara todo valor inicial x0 en el intervalo [0.5, 1].

(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimalesexactos.

(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.

(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica elresultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenidoen el apartado anterior.

(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.

En primer lugar, obsevamos que

x = e−x ⇐⇒ x = x+ e−x

2

pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a amboslados y despejando x.

g(x) =x+ cos(x)

2

(a) Veamos que la función

g(x) =x+ e−x

2

cumple las condiciones del teorema de punto fijo.

• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, porlo tanto, es de clase C1[0, 0.5].

• (Condición 2) Sean

m = minx∈[0,1]

g(x), M = maxx∈[0,1]

g(x)

calculamos

g0(x) =1− e−x2

estudiamos si g0(x) se anula

g0(x) = 0⇐⇒ 1− e−x = 0⇐⇒ e−x = 1⇐⇒ x = 0


Vemos que la derivada tiene un único cero que está fuera del intervalo[0.5, 1], por lo tanto, g0 es de signo constante en el intervalo. Como

g0(1) =1− e−12

= 0. 31606

se cumple g0(x) > 0, en todo [0.5, 1], en consecuencia g % en [0, 1] y

m = minx∈[0,1]

g(x) = g(0.5) = 0. 55326 5, M = maxx∈[0,1]

g(x) = g(1) = 0. 68394

por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en

[0. 55326 5, 0. 68394] ⊂ [0.5, 1].

• (Condición 3) Hemos de calcular

M1 = maxx∈[0,1]

¯̄g0(x)

¯̄la función objetivo es

h(x) =

¯̄̄̄1− e−x2

¯̄̄̄g0(x) positiva en [0.5,1]

=⇒ h(x) = 1− e−x

2

Calculamos

h0(x) =e−x

2

como h0(x) > 0 en [0.5, 1], resulta h(x)%, por lo tanto

M1 = maxx∈[0,1]

¯̄g0(x)

¯̄= h(1) = 0. 31606

En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en elintervalo [0.5, 1] y que la iteración de punto fijo converge a él para todovalor inicial x0 ∈ (0.5, 1) .(b) El error cumple

|ej | = |α− xj | ≤ (0. 31606)j (0.5− 0) = (0. 31606)j (0.5)

exigimos(0. 31606)j (0.5) ≤ 0.5× 10−5

y resolvemos en j, resulta

j ≥ln¡10−5

¢ln (0. 31606)

= 9. 99539

necesitamos j = 10 iteraciones.


(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es

j xj0 0.751 0. 611183282 0. 576945803 0. 569278414 0. 567606035 0. 56724347

(d) Programa Maple. Es análogo al del problema anterior, ajustando ladefinición de la función g(x) y el número de iteraciones⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

> g:=x->(x+exp(-x))/2;x0:=0.75;n:=9;for i from 0 to n dox.(i+1):=evalf(g(x.i));od;

Obtenemosx10 = 0.56714334

La solución esᾱ = 0.56714

(e) Valor obtenido con fsolve

α = 0.5671432904 ¤


tan (0.1x) = 9.2 e−x

con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo

x = x− λf(x)

toma como intervalo inicial [3, 4].

Escribimos la ecuación en forma normal f(x) = 0, entonces

f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x


Calculamosf(3) = −0. 14870 5, f(4) = 0. 25428 9

Por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (3, 4). Esti-mamos el valor de f 0(α)

f 0(α) ' f(4)− f(3)2− 1 = 0. 40299 4

y calculamos λ

λ =1

f 0(α)' 10. 40299 4

= 2. 48143

La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,½x0 = 3.5xj+1 = xj − 2. 48143 (tan(0.1xj)− 9.2e−xj )

Obtenemosj xj0 3. 51 3. 28358 812 3. 29412 903 3. 29277 454 3. 29294 345 3. 29292 236 3. 29292 497 3. 29292 468 3. 29292 46

Podemos tomarα = 3.292925 ¤


x = cos(x)

con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo

x = x− λf(x)

toma como intervalo inicial [0, 1].


Escribimos la ecuación en la forma f(x) = 0 con

f(x) = x− cos(x)

Calculamosf(0) = −1, f(1) = 0. 45970

Por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (0, 1). Esti-mamos el valor de f 0(α)

f 0(α) ' f(1)− f(0)1− 0 = 1. 45970

y calculamos λ

λ =1

f 0(α)' 11. 45970

= 0. 6851

La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,½x0 = 0.5xj+1 = xj − 0.6851 (xj − cos (xj))

Obtenemosj xj0 0.51 0. 758681812 0. 736115783 0. 739518184 0. 739021605 0. 739094446 0. 739083777 0. 73908 5338 0. 73908 510 |ē7| = 0.23× 10−6


Ejercicio 17 Calcula√55 con 6 decimales exactos usando una formulación

de punto fijo del tipox = x− λf(x)

determina un intervalo inicial adecuado.


Formulamosx =√55⇐⇒ x2 = 55

Escribimos la ecuación en la forma f(x) = 0 con

f(x) = x2 − 55

Calculamos

f(7) = −6f(8) = 9

¾T. Bolzano=⇒ solución α ∈ (7, 8)

Estimamos

f 0(α) ' f(8)− f(7)8− 7 = 15

y calculamos λ

λ =1

f 0(α)' 115= 0.066667

La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,(x0 = 7.5

xj+1 = xj − 0.066667³x2j − 55

´Obtenemos

j xj0 7.51 7. 41666 62502 7. 41620 36973 7. 41619 85454 7. 41619 8488 |ē4| = 0.57× 10−7


Ejercicio 18 El coeficiente de fricción f para el flujo turbulento en un tuboestá dado por3

1√f= 1.14− 2.0 log10

µe

D+

9.35

Re√f

¶donde Re es el número de Reynolds, e es la rugosidad de la superficie deltubo y D es el diámetro del tubo. Determina el valor de f para los datos

(a) D = 0.1m, e = 0.0025, Re = 3× 104

(b) D = 0.1m, e = 0.0001, Re = 3× 106

3Correlación de Colebrook


Indicación: El orden de magnitud de f es 10−2; además es mejor reescribirla ecuación en la forma

f =

∙1.14− 2.0 log10

µe

D+

9.35

Re√f

¶¸−2

Ver resolución con Maple.(a) f = 0.054114(b) f = 0.019721

e.t.s. minas: métodos matemáticos soluciones tema 3...

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