estudo do perfil espacial de feixes através da técnica ... · motivos para concluir que a luz em...
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UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA INSTITUTO DE FÍSICA
Augusto de Souza Rodrigues
Estudo do Perfil Espacial de Feixes Através da Técnica Knife-edge
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Instituto de Física da Universidade Federal de
Uberlândia, como requisito parcial para obtenção
do título de bacharel em Física de Materiais.
Orientador: Prof. Dr. Newton Martins Barbosa Neto
Uberlândia
2009
2
Augusto de Souza Rodrigues
Estudo do Perfil Espacial de Feixes Gaussianos Através da Técnica Knife-edge
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao
Instituto de Física da Universidade Federal de
Uberlândia, como requisito parcial para obtenção
do título de bacharel em Física de Materiais.
Uberlândia
2009
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Dedico este trabalho aos meus pais pelo apoio, à
meus avós e meus familiares, dedico aos amigos
de São Paulo que cresceram junto a mim, a todos
os amigos da República Kanpião, aos meus amigos
de sala que me ajudaram muito a chegar até aqui e
principalmente a Deus.
4
AGRADECIMENTOS
Agradeço ao me orientador, Prof. Dr. Newton Barbosa Martins, ao instituto de
física pela oportunidade de me fornecer tudo o que necessitei para concluir este
trabalho.
Agradeço a Universidade Federal de Uberlândia pela estrutura oferecida que
sempre que necessitei.
Agradeço aos amigos que fiz durante a graduação, Roney, Danillo, Erasto,
Luiz Alexandre, Renato, Márcio, William, André e os outros igualmente e à meus
irmão Wellington e Rodolfo.
5
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................6
1 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ..................................................................................6 1.1 – Ondas Eletromagnéticas........................................................................6 1.2 – Onda Plana ..........................................................................................9 1.3 – Onda Gaussiana ..............................................................................11
2 MÉTODOS E PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL...............................................23 2.1 – A técnica Knife-Edge............................................................................23 3 RESULTADOS E DISCUSSÕES ...........................................................................24 3.1 - Determinação do perfil do feixe e da largura de um feixe................24 3.2 – Medida para descrever o perfil do feixe focalizado...........................26
4 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS.......................................................................28 5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................29
6
Introdução
Este trabalho foi realizado para se estudar o perfil de um feixe gaussiano
através da técnica knife-edge. Neste, estudamos tanto a parte teórica de uma onda
gaussiana, quanto a uma técnica para se conseguir estudar esse tipo de feixe.
A técnica escolhida foi o knife-edge, pois além de ser uma técnica simples de
ser realizada, é de fácil manuseio e simples montagem, através dessa técnica
podemos saber o perfil da onda e apos isso realizar medidas para comparar a parte
experimental com a parte teórica.
1 – Fundamentos Teóricos
1.1 – Ondas Eletromagnéticas
Em 1894, James Clerk Maxwell sintetizou a teoria eletromagnética em quatro
equações relacionando os campos elétrico e magnético. Essas equações ficaram
conhecidas como as equações de Maxwell [1]:
0
E. (1.1.1)
0B
(1.1.2)
tBEx
(1.1.3)
tEJB 000
(1.1.4)
onde as equações representam:
1.1.1: Lei de Gauss;
1.1.2: Inexistência de monopólo magnético;
1.1.3: Lei da Indução de Faraday;
7
1.1.4: Lei de Ampére-Maxwell.
sendo:
ρ: a densidade de carga;
B : a indução magnética;
E : o campo elétrico;
H : o campo magnético;
J : a densidade de corrente de portadores livres.
A partir desta síntese podemos fazer algumas manipulações, onde verifica-se
ser a luz uma onda eletromagnética. Para isso tomemos inicialmente o rotacional da
lei de Faraday (1.1.3):
tBE
utilizando a propriedade
EEExx 2 , temos que:
t
BxEE 2
(1.1.5)
onde as derivadas espacial e temporal foram invertidas no lado direito da equação
pois estas são variáveis independentes entre si. Como no experimento realizado não
há carga no espaço, portanto ρ é nulo, podemos escrever a partir da lei de Gauss:
0E.
8
o que implica que:
t
BxE2
(1.1.6)
Uma vez que também não existem correntes em nosso sistema obtemos da
lei de Ampère, que o campo elétrico é descrito por uma equação do tipo:
0
tEE 2
2
002
(1.1.7)
Aplicando o rotacional em (1.1.4) da mesma forma, têm-se uma equação de
onda para o campo magnético na forma :
0
tBB 2
2
002
(1.1.8)
Comparando a equação (1.1.7) e (1.1.8) com a equação de onda:
0),(
²1),( 2
22
t
trfv
trf
vemos que a velocidade da onda descrita pelo campo eletromagnético é:
00
1v
(1.1.9)
Aplicando os valores da permeabilidade elétrica de µ0 = 1,26x10-6 H/m e da
permissividade elétrica ε0 = 8,85x10-12 F/m em (1.1.9) temos que o valor da
velocidade da onda é:
9
s/m10x99,2v 8
o que levou Maxwell a escrever:
“Esta velocidade é tão próxima da velocidade da luz que parece que temos fortes
motivos para concluir que a luz em si (incluindo a cor radiate,e outras radiações do
tipo) é uma perturbação eletromagnética na forma de ondas propagadas através do
campo eletromagnético de acordo com as leis eletromagnéticas.”
1.2 – Onda Plana
Escrevendo o laplaciano da equação (1.1.7) em coordenadas cartesianas
obtemos
2
2
22
2
2
2
2
22
tE
v1
zE
yE
xEE
(1.2.1)
Tomando como solução tentativa a expressão
)}tzkykxk(iexp{E)}trk(iexp{EE zyx00
(1.2.2)
e substituindo na equação 1.2.1, verifica-se que está é solução da equação de onda
desde que a relação
22
22
z2
y2
x kv
kkk
(1.2.3)
seja obedecida. Vemos que a equação 1.2.2 é uma solução que oscila tanto no
tempo como no espaço, sendo e k suas frequências temporal e espacial de
oscilação respectivamente. Se impusermos a condição de contorno onde
10
cterk
(1.2.4)
temos que a solução da equação é um plano perpendicular ao vetor k
sendo r o
vetor que define todos os pontos deste plano em relação a origem do referencial,
kzjyixr ˆˆˆ . Desta forma podemos interpretar o vetor k
como sendo o vetor de
propagação da onda cuja direção define a direção de propagação que é
perpendicular ao plano definido por (1.2.4) e cujo módulo é dado por:
2k (1.2.5)
De (1.2.1) vemos que a fase da onda é dada por trk
. Tomando
constante no sentido de determinarmos as superfícies equifase temos que para cada
tempo t obtemos um plano dado por ctezkykxkrk zyx
, como ilustrado na
Figura 1.2.1.
Figura 1.2.1 – Superfície equifase de uma onda plana. Figura extraída da referência [2]
Fazendo uma sucessão destas frentes de onda, para tempos diferentes e
sucessivos obtemos uma onda plana se propagando de forma oscilante no espaço e
no tempo como ilustrado na Figura 1.2.2.
11
Figura 1.2.2 – Onda Plana. Figura extraída da referência [3]
Esta solução, conhecida como onda plana constitui uma das mais simples
soluções da equação de onda, sendo formada por superfícies equifases planas
perpendiculares a direção de propagação. Estas podem ser produzidas em
laboratório a partir de qualquer outro tipo de onda através da utilização de sistemas
ópticos simples, e.g. a partir da expansão espacial de um feixe gaussiano com um
telescópio de Galileu. Isto é possível, pois podemos descrever qualquer tipo de
frente de onda a partir da superposição de infinitas ondas planas.
1.3 – Onda Gaussiana
Outra solução da equação de onda pode ser obtida a partir da utilização do
Laplaciano em coordenadas cilíndricas, que é escrito como:
12
2
2
2
2
22
22
z11
(1.3.1)
Para obtermos a solução da equação de onda em coordenadas cilíndricas
partiremos do fato de que como o sistema de coordenadas escolhido não tem
influência sobre parte temporal da solução harmônica, é esperado que o campo
elétrico seja dado por:
}tiexp{)r(E)t,r(E
(1.3.2)
Aplicando a solução tentativa (1.3.2) na equação (1.3.1) temos que:
2
2
2
2
2
2
22
22
tE
zEE1E1EE
(1.3.3)
onde,
012
2
2
pois vamos supor simetria azimutal, como uma das condições de contorno. Assim
têm-se:
2
22
t}tiexp{)r(E}tiexp{)r(E
}tiexp{)r(E)r(E}tiexp{ 22
0)r(Ek)r(E 22
(1.3.4)
onde 22k , o qual é constante para este caso. A equação (1.3.4) é conhecida
como equação homogênea de Helmholtz.
Para facilitar as contas sem perda de generalidade vamos supor a luz
linearmente polarizada o que permite resolver (1.3.4) considerando apenas uma
13
componente do campo elétrico (caráter escalar). Além disso, vamos supor que a
onda se propaga ao longo do eixo z com simetria azimutal, o que nos permite
escrever como solução tentativa:
ikze)z,()z,(E (1.3.5)
substituindo em (1.3.4):
0e)z,(ke)z,( ikz2ikz2
Aplicando o Laplaciano (1.3.1), com simetria azimutal:
0e)z,(kz
e)z,()z,(e)z,(e ikz22
ikz2ikz
2
2ikz
0e)z,(kz
e)z,()z,(1)z,(e ikz22
ikz2
2
2ikz
Definindo o laplaciano transversal como:
)z,(1)z,(
2
22T
temos:
0e)z,(kz
e)z,()z,(e ikz22
ikz22T
ikz
(1.3.6)
Abrindo a derivada segunda em z:
14
ikz2ikz2
2ikz
2
ikz2
ekz
)z,(ike2z
)z,(ez
e)z,(
e considerando que se está trabalhando em regime SVEA (Slowly Varying Envelope
Amplitude) [4], pode-se desprezar o termo de segunda ordem em z, assim:
ikzikzikz
ekz
zikez
ez
22
2 ),(2),(
substituindo em (1.3.6):
0ekekz
)z,(ike2)z,(e ikz2ikz2ikz2T
ikz
obtemos:
0z
)z,(ik2)z,(2T
(1.3.7)
A equação (1.3.7) ainda é difícil de resolver, o que nos impele à empregar
outra solução tentativa no sentido de reduzi-la a uma equação ou conjunto de
equações mais amigável. Devido a simetria azimutal do problema utilizamos como
solução tentativa a expressão
2)z(Q)z(Piexp)z,(
2
0 (1.3.8)
substituindo (1.3.8) em (1.3.7):
02)()(exp2
2)()(exp
2
0
2
02
zQzPiz
ikzQzPiT
15
resultando:
0'kP2'QkiQ2Q 222 (1.3.9)
onde Q’ e P’ são derivadas relativas a z, dzdQ'Q e
dzdP'P
Como a equação (1.3.9) é um polinômio em ρ, podemos então escrever:
0'kQQ2 (1.3.10)
0'kPiQ (1.3.11)
que são equações são de primeira ordem.Devemos notar que embora de primeira
ordem a equação (1.3.10) é não linear. Para resolvê-la devemos empregar uma
solução tentativa recíproca da forma:
)z(q
1Q
assim aplicando em (1.3.10):
2
)z(q1
)z(q1
dzdk
22
)z(q1
dzdq
)z(q1k
1dzdqk
integrando por separação de variáveis:
0)( qzzkq
sendo q0 a constante de integração, assim
16
0qz
kQ
(1.3.12)
substituindo (1.3.12) em (1.3.11):
0'kPqz
ki0
0qz
1idzdP
integrando em ambos lados em z:
dz
qz1idz
dzdP
0
0qz1lni)z(P (1.3.13)
De posse de Q(z) e P(z) podemos encontrar a função Ψ(ρ,z), mas antes a
constante de integração pode ser reescrita como q0=iz0, com z0 real, ao fazermos
isso vemos que q0 é um número complexo, o que é compatível com um campo que
se propaga de forma oscilante ao longo do eixo z. Assim voltando em (1.3.8), temos:
2)z(Qiexp)z(iPexp)z,(
2
0
Resolvendo o termo em relação a P(z):
0zzi1lnexp)}z(iPexp{
0zzi1
1)}z(iPexp{
17
2
0
0
zzi1
zzi1
)}z(iPexp{
reescrevendo em notação complexa polar:
}iexp{bia
onde:
22 ba e abtg
portanto:
2
0zz1
1a
e 2
0
0
zz1
zz
b
assim:
0zz1
1
e
0
1
zztg
então o termo em P(z) fica:
0
1
0
zztgexp
zz1
1)}z(iPexp{ (1.3.14)
18
Agora resolvendo o termo em relação a Q(z):
0
22
izz2kiexp
2)z(Qiexp
multiplicando pelo complexo conjugado:
2
02
022
zzizz
2kiexp
2)z(Qiexp
a expressão pode ser rearranjada como:
)z(R2ik
)z(exp
2)z(Qiexp
2
2
22
(1.3.15)
onde:
2
0
20
2
0
02
zz1
zz1
kz2)z( (1.3.16)
kz0
02
2
0
1)(zzzzR
assim temos que:
)z(R2ik
)z(exp
zztgexp
)z(2)z(Q)z(Piexp
2
2
2
0
102
(1.3.17)
substituindo (1.3.14) e (1.3.17) em (1.3.8):
19
)(2)(expexp
)(2)()(exp),(
2
2
2
0
100
2
0 zRik
zzztg
zzQzPiz
O campo elétrico de (1.3.5) fica:
)z(R2k)z(kziexp
)z(exp
)z(Ee)z,()z,(E
2
2
20
0ikz (1.3.18)
onde:
00 E e
0
1
zztg)z(
A equação (1.3.18) descreve uma onda cuja amplitude da frente de onda
decresce seguindo uma distribuição gaussiana ao longo da coordenada radial o que
é evidenciado pelo termo
)z(exp
)z(E 2
20
0 e mostrado na Figura 1.3.1.
Figura 1.3.1: Variação da amplitude do campo com a coordenada radial onde r = ρ. Extraído da Referência [2]
20
Além disso, o termo 2/12
0
0
zz1
)z(
, descreve como o raio do feixe varia
com a propagação ao longo do eixo z a partir de seu valor mínimo 0. Na figura 1.3.2 graficamos a equação (1.3.16) para diferentes valores de 0 para ilustrar sua interpretação de menor raio possível.
-4 -2 0 2 41.0
1.5
2.0
2.5
3.0
(z
)
Posiçمo Z
0=1
0=1,1
0=1,2
Figura 1.3.2 – Variação de do raio do feixe em função da posição z para diferentes valores de 0. O valor de z0 foi fixo em 3.
Da equação (1.3.18) vemos que podemos definir (z) de uma forma mais formal como sendo o valor de para o qual a amplitude do campo decai 1/e do valor máximo, sendo este ponto utilizado para definir a largura da gaussiana como sendo 2(z) (veja figura 1.3.1).
De acordo com a equação (1.3.16) , vemos que:
000 n
2kz
que é conhecida como o comprimento de Rayleigh, é o valor de z para o qual o raio do feixe aumenta de um fator 2 quando comparado com 0. Para um feixe colimado que é focalizado por uma lente com perfil parabólico verifica-se que z0 varia com o foco da lente com uma dependência funcional aproximadamente linear
21
[4], o que implica, pela equação (1.3.16) em diferentes perfis de focalização do feixe gaussiano. Temos então que quanto maior o foco da lente maior o valor de z0 e menos focalizado é um feixe. Na Figura 1.3.3 ilustramos tal fato graficando (1.3.16) para diferentes valores de z0, ou seja lentes com diferentes focos, e fixando 0 = 1.
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
2
4
6
8
10
(z
)
z
Z0=3 Z0=2 Z
0=1
Z0=0.5
Figura 1.3.3 – (z) em função de z para diferentes valores do parâmetro de Rayleigh. 0 =1
Ainda da equação (1.3.16), vemos que quando z é muito maior que z0, temos:
0
0
zz)z(
daí da relação entre ω0 e z0 e considerando o diâmetro do feixe satisfaz ρ=ω(z), temos que:
zn 0
desta equação podemos obter o ângulo de divergência pois a equação é uma reta, assim temos que o ângulo é:
22
0
n
tg
Já a segunda parte da equação (1.3.18) vemos que esta é relacionada a fase da onda, o termo que é de maior interesse é o R(z), que é o raio de curvatura, conforme a onda se propaga o raio de convergência vai variando. Para o ρ=0 e ρ=∞ o raio de curvatura é infinito e quando z=±z0 temos o valor mínimo do raio de curvatura e vale Rmin - 2z0. Para z>0 o raio de curvatura é positivo e diverge o feixe e para z<0 o raio de curvatura é negativo e converge. Ta fato é ilustrado na Figura 1.3.4.
Figura 1.3.4: Propagação de um feixe gaussiano onde r = ρ. Extraído da referência [2]
Por fim, para concluirmos esta seção frisamos que a importância dos feixes gaussianos recai no fato de que estes são largamente empregados em laboratório de óptica por serem de fácil obtenção em sistemas laser. Além disso, a utilização desse modo transversal facilita em muito o modelamento de processos de interação da radiação com a matéria quando comparado com os outros modos de possíveis de serem obtidos a partir de uma cavidade laser. Embora trabalhar com ondas planas cumpra melhor esse papel os métodos empregados para obtê-las em laboratório, em geral, acarretam em grande perda de energia luminosa. Tal fato faz com que os feixes gaussianos sejam ideais no quesito custo-benefício que envolve otimização de energia luminosa e facilidade de modelamento de processos.
23
2 – Métodos e Procedimento Experimental
2.1 – A técnica do knife-edge
Devido a importância da forma do perfil espacial de intensidade das frentes de onda em processos de interação da radiação com a matéria a utilização de técnicas capazes de caracterizá-los de forma precisa se faz imperativa. Neste sentido a técnica do knife-edge, a qual procuraremos entender nessa seção, cumpre bem esse papel. Esta técnica nos permite descobrir a forma é o perfil transversal do laser utilizado, através da medida da potência do laser em função de sua obstrução parcial.
Para realizar as medidas, utilizamos um laser de He-Ne (de potência 12 mW e comprimento de onda de 633 nm), um fotodetector de potência (Power Meter), um transladador XYZ, um trilho com escala em milímetros e para uma parte do experimento uma lente de 300 mm de foco. Este aparato é disposto de acordo com a Figura 2.1.1.
Figura 2.1.1 – Arranjo experimental da técnica do Knife-Edge. Extraído da Referência [5].
Desta forma medimos, com o fotodetector, a potência do feixe em função da posição transversal da lâmina, obtendo assim um gráfico que fornece a potência integrada em função da posição transversal da Lâmina. Para uma seção transversal gaussiana temos, como vimos, algo do tipo:
24
)}y,x(rexp{I)y,x(G 220 (2.1.1)
onde:
r(x,y)=[(x-x0)2+(y-y0)2]1\2;
I0 é a intensidade máxima medida no centro do feixe;
β é o raio do feixe, o qual G(x,y) decai de 1/e até o valor máximo de I0.
Considerando que a técnica é utilizada em apenas uma dimensão, se o eixo x é escolhido como o eixo de translação, da equação (2.1.1) podemos medir a porção transmitido pelo feixe, que é dada por:
dxdy)y,x(G)x(Rbx
b
bx
20
22/120b dx])xx(exp[)/(I)x(R (2.1.2)
onde xb é a coordenada do eixo x. Derivando a equação (2.1.2) numericamente através a utilização do Software Origin 7.5, obtemos assim a perfil de intensidade em função da posição.
3 – Resultados e discussões
3.1 – Determinação do perfil do feixe e da largura de um feixe
Como parte experimental dessa monografia empregamos a técnica do knife-edge, para medirmos tanto o perfil transversal de um feixe de laser de He:Ne como obter o sua largura espacial. Para isto, deixa-se o transladador ao longo da direção z9direção de propagação do feixe) fixo no trilho e varia-se o transladador ao longo da direção x em passos de 100 µm. Desta forma, obtêm-se o a potência integrada em função da posição da lâmina que obstrui parcialmente o laser, Figura 3.1.1.
25
0 1 2 3 4 5 6 70
1
2
3
4
5
6
7
Pot
ênci
a (m
W)
Posiçمo (mm)
Figura 3.1.1 – Gráfico da potência integrada com a posição do translador.
Na medida definimos como zero a posição da lâmina visualmente paralela à posição onde observávamos o mínimo de luz do laser possível, inicialmente obstruindo todo o feixe. Em seguida desobstruíamos o feixe em passos de 0.1 mm (100 m). As medidas eram realizadas até que a potência integrada do feixe não mais variava com a posição, de modo a garantir que todo o feixe estava desobstruído.
Em seguida diferenciamos numericamente a curva experimental da Figura 3.1.1 obtendo o perfil de intensidade mostrado na Figura 3.2.2.
0 1 2 3 4 5 6 70,0000
0,0005
0,0010
0,0015
0,0020
0,0025
0,0030
Posição (mm)
Pot
ênci
a (m
W)
Figura 3.1.2 – Derivada do resultado mostrado na Figura 3.1.1. A linha vermelha representa o ajuste realizado com uma curva Gaussiana.
26
Este é claramente um perfil gaussiano de intensidade, como esperado para um laser de He-Ne. A partir do ajuste numérico dos dados com uma curva Gaussiana (linha vermelha da Figura 3.1.2) obtemos para o raio do feixe 1,73 mm (±0,04 mm). Tal resultado está de acordo com o observado visualmente que era de 3 mm de diâmetro.
3.2 – Medida para descrever o perfil do feixe focalizado
Outro experimento realizado neste trabalho foi medir o diâmetro do feixe com a técnica do Knife-edge ao longo da direção de propagação de um feixe focalizado. Para este fim, usamos uma lente de com distância focal entre 3 e 4 cm, e medimos a largura do feixe em diferentes posições ao longo de um trilho graduado com precisão de 1 mm. Este resultado é mostrado na Figura 3.2.1.
0 100 20 0 300 400 5 000 .0
0 .5
1 .0
1 .5
2 .0
(z
)
P o s iç oم Z (m m )
Figura 3.2.1 – Gráfico com o perfil do foco da lente de 300 mm. A linha vermelha representa o ajuste obtido com a equação (1.3.16).
Neste experimento o valor medido de ao atingir a lente era de aproximadamente 2 mm. Ajustando o resultado com a equação (1.3.16), que descreve a dependência do raio do feixe gaussiano em função da posição z para um feixe colimado focalizado por uma lente com perfil parabólico, obtivemos uma razoável concordância nos valores da posição focal e de 0. Com o ajuste obtivemos
27
um foco de 373 mm ( 10 mm) e 0 = 0.04 mm ( 0.3 mm). Embora o valor obtido com o ajuste para 0 seja da ordem do medido, infelizmente obtivemos um erro muito grande na determinação deste parâmetro, o que é esperado devido a grande dispersão dos pontos na região focal da lente. Essa imprecisão se deve ao fato de que na região focal o diâmetro do feixe é muito pequeno, da ordem da precisão do passo do transladador usado no experimento, o que contribui de forma considerável para o aumento do erro nessa região. Para ilustrar tal fato mostramos (ver Figura 3.2.2) uma medida de Kinfe-edge feita na região focal. Este problema seria resolvido com a utilização de transladadores de maior precisão, por exemplo transladadores piezelétricos .
1 50 0 1 55 0 16 0 0 1 65 0 1 70 0 1 75 00 .00
0 .08
0 .16
0 .24
0 5 0 0 1 0 0 0 1 5 00 2 0 00 2 5 0 00
4
8
1 2
Pot
ênci
a (m
W)
P o s iç oم ( m )
P os içمo ( m )
Potê
ncia
(mW
)
Figura 3.2.2 – Medida de Knife-edge na posição em torno de 300 mm. A linha vermelha representa o ajuste com uma curva gaussiana. O gráfico inserido é a potência integrada pela posição
Semelhante ao parâmetro 0 foi obtido para o parâmetro de Rayleigh um erro muito grande, devido à dispersão dos pontos. Apesar do valor obtido do ajuste da Figura 3.2.1( 8,6 mm) estar em excelente acordo com o obtido pela equação
nz
20
0 , ( 8 mm) onde utilizamos 0 0.04 mm, 630 nm e n 1, o alto valor
do erro obtido para este parâmetro compromete qualquer tipo de análise, em função dos parâmetros para o qual z0 é função, e.g. foco da lente, comprimento de onda da luz etc.
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4 – Conclusões e perspectivas Neste trabalho as características do feixe gaussiano foram analisadas teoricamente e algumas delas testada experimentalmente via técnica do knife-edge. Esta se mostrou extremamente apropriada para determinação do perfil transversal de um feixe, apesar da imprecisão na determinação dos parâmetros de um feixe focalizado. Tal imprecisão se deve ao fato de que nessa região as dimensões da frente de onda são muito pequenas comparadas à precisão do transladador utilizado.
Uma das vantagens observadas por nós é que, devido ao baixo custo de seu aparato experimental, esta pode ser empregada em laboratórios de ensino de óptica onde se pode estudar diferentes perfis transversais de onda, e.g. onda gaussiana, onda plana etc, e correlacioná-los com as possíveis soluções da equação de onda. Apesar do alto valor de erro observado na região focal, pode-se também empregá-la para o estudo das propriedades de um feixe gaussiano focalizado, seja através do uso de transladadores mais precisos, seja com o uso de lentes de foco maior, o que aumenta as dimensões dos parâmetros do foco.
Um estudo da dependência do parâmetro de Rayleigh (z0) com o foco da lente e com o comprimento de onda da luz (teoria de focalização do feixe gaussiano) ainda é algo a ser explorado, visando seu emprego em laboratórios de ensino avançado.
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5 – Referências bibliográficas
[1] Fabrício de Souza Luiz, “Teoria escalar da difração, no limite de Fraunhofer, aplicada a uma onda gaussiana em uma abertura circular”, Monografia apresentada ao curso de Licenciatura em Física do Instituto de Física da Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia (2008). [2] Sérgio C. Zílio. “Óptica Moderna: Fundamentos e Aplicações”, São Carlos (2004).
[3] Eugene Hecht, “ Óptica”, Fundação Calouste Gulbenkian, 2o edição, Lisboa (2002). [4] Amnon Yariv. “Optical Electronics in Modern Communications”. Oxford University press, 5th edição, New York 1996.. [5] J. M. Khosrofian, B. A. Garetz, “Measurement of a Gaussian laser beam diameter through the direct inversion of Knife-edge data”, Appl. Opt. 22, 3406-3410 (1983).