estudo de caso para uma marcen
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
ESPECIALIZAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
RAFAEL DIOGO VASCONCELLOS MORAIS
UTILIZAÇÃO DE UM ALGORITMO COM REPRESENTAÇÃO
GRÁFICA PARA O PROBLEMA DE CORTE BIDIMENSIONAL:
ESTUDO DE CASO PARA UMA MARCENARIA
SÃO CARLOS - SP
MAIO - 2011
RAFAEL DIOGO VASCONCELLOS MORAIS
UTILIZAÇÃO DE UM ALGORITMO COM REPRESENTAÇÃO
GRÁFICA PARA O PROBLRMA DE CORTE BIDIMENSIONAL:
ESTUDO DE CASO PARA UMA MARCENARIA
Trabalho de Pós-Graduação apresentado ao
Conselho de Curso de Especialização em
Engenharia de Produção da Faculdade do Campus
de São Carlos, Universidade de São Paulo, como
parte dos requisitos para obtenção do diploma de
Especialização em Engenharia de Produção.
Orientador: Prof. Dr. Marcelo Seido Nagano
SÃO CARLOS - SP
MAIO - 2011
AGRADECIMENTOS
A Deus pela minha vida.
A minha família, pelo exemplo de vida, amor, incentivo e educação durante todos
esses anos.
Ao professor orientador Dr. Marcelo Seido Nagano pela orientação.
Aos amigos Rafael M. Vichietti e Alexandre J. Duarte de Souza pela dedicação,
paciência e ajuda com a programação.
A marcenaria Aires de Oliveira pela atenção e interesse em contribuir com este
estudo de caso, bem como aos demais que direta ou indiretamente contribuíram para a
realização deste trabalho.
Aos amigos Marcos Cesar, Fred, Flávio, Milton, Naty e Jairo, assim como os
demais amigos da república e afiliados. Muito obrigado pelos momentos de convivência,
aprendizado e diversão.
Aos amigos do curso de Especialização em Engenharia de Produção.
E a todos meus amigos e colegas pela amizade, convívio, companheirismo e
momentos de descontração.
RESUMO
MORAIS, R. D. V. (2011). Utilização de um algoritmo com representação gráfica para o
problrma de corte bidimensional: estudo de caso para uma marcenaria. Trabalho de
conclusão de curso, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
Neste trabalho é realizado um estudo do problema de corte de estoque bidimensional em uma
marcenaria de pequeno porte. Em empresas com características semelhantes, o desafio de
otimizar o plano de corte é constante, na busca de melhores soluções em termos de custo,
aproveitamento de material e redução do tempo. Para a resolução do problema foram
utilizados dois modelos baseados na heurística First Fit Decreasing Height (FFDH), cujas
soluções são representadas graficamente. Além disso, são apresentados resultados dos testes
computacionais obtidos com base nos dados reais da marcenaria estudada.
Palavras-chave: Pesquisa Operacional. Otimização do plano de corte. Algoritmo FFDH.
ABSTRACT
MORAIS, R. D. V. (2011). Utilização de um algoritmo com representação gráfica para o
problrma de corte bidimensional: estudo de caso para uma marcenaria. Trabalho de
conclusão de curso, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo.
In this work is performed a case study about the bi-dimensional cut stock problem in a small
furniture industry. In the companies with similar characteristics, it‟s often the challenge of
optimizing the cutting plane, looking for better solutions in cost terms, material utilization and
time reduction. To help this problem was used two models based on the First Fit Decreasing
Height (FFDH) heuristic, whose solutions are represented graphically. Furthermore, are
present results about the computational tests based on data obtained from real small furniture
industry.
Keywords: Operational research. Optimization of the cutting plane. Algorithm FFHD.
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 8
2. OBJETIVO .......................................................................................................................................... 9
2.1. Justificativa .................................................................................................................................. 9
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................................................... 11
3.1. Pesquisa Operacional ................................................................................................................. 11 3.1.1. Origem da Pesquisa Operacional ........................................................................................ 11
3.1.2. Fases do estudo de Pesquisa Operacional ........................................................................... 12
3.1.3. Algumas aplicações da Pesquisa Operacional ..................................................................... 14
3.2. Problema de Corte ...................................................................................................................... 15 3.2.1. Classificação ....................................................................................................................... 18
3.2.2. Tipos de padrões de corte .................................................................................................... 22
3.2.3. Redução de padrões de corte ............................................................................................... 27
3.3. Indústria Moveleira .................................................................................................................... 29 3.3.1. Painéis de Madeira Reconstituída ....................................................................................... 31
3.3.2. Classificação dos painéis à base de madeira ....................................................................... 33
4. DESENVOLVIMENTO ................................................................................................................... 35
4.1. Características da Marcenaria .................................................................................................... 35
4.2. Definição do problema ............................................................................................................... 37
4.3. Seleção do algoritmo de aproximação........................................................................................ 37
4.4. Formulação do modelo ............................................................................................................... 38
4.5. Programação do modelo ............................................................................................................. 40 4.5.1. Atribuição dos dados ........................................................................................................... 41
4.5.2. Rotação dos itens ................................................................................................................. 42
4.5.3. Ordenação dos itens em ordem decrescente de largura ....................................................... 43
4.5.4. Criação de faixas ................................................................................................................. 44
4.5.5. Alocação dos itens na faixa ................................................................................................. 45
4.5.6. Alocação dos itens no objeto ............................................................................................... 45
4.5.7. Criação de um novo objeto .................................................................................................. 46
4.6. Tipos de modelo ......................................................................................................................... 46
4.7. Determinação dos rendimentos e posicionamento dos itens ...................................................... 47
5. RESULTADOS ................................................................................................................................. 50
5.1. Dados da marcenaria .................................................................................................................. 51
5.2. Dados gerados pelo Software ..................................................................................................... 53
5.3. Simulação de dados para o programa ......................................................................................... 59
6. CONCLUSÃO .................................................................................................................................. 68
7. REREFÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................. 69
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Exemplo de padrão de corte unidimensional. ................................................................................ 19
Figura 2: Exemplo de padrão de corte bidimensional. .................................................................................. 20
Figura 3: Exemplo do padrão de corte tridimensional. ................................................................................. 21
Figura 4: Exemplo do padrão de corte 1,5-dimensional. .............................................................................. 22
Figura 5: Exemplo do padrão de corte guilhotinado e não-guilhotinado. ....................................................... 23
Figura 6: Exemplo de padrão de corte guilhotinado de três estágios. ............................................................. 24
Figura 7: Padrão de corte tabuleiro ou 1-grupo. .......................................................................................... 24
Figura 8: Exemplo de corte não exato com a presença de rebarbas................................................................ 25
Figura 9: Exemplos de padrões de corte com orientação fixa e rotação dos itens. ........................................... 26
Figura 10: Padrões de corte simétricos. ...................................................................................................... 27
Figura 11: Efeito de simetria. .................................................................................................................... 28
Figura 12: Efeito de Ordenação. ................................................................................................................ 28
Figura 13: Corte normal. ........................................................................................................................... 29
Figura 14: Brasil – Evolução comparada: VTI móveis, VTI madeira, VTI indústria de transformação. ............ 30
Figura 15: Elementos da madeira. .............................................................................................................. 32
Figura 16: Classificação dos painéis de madeira. ......................................................................................... 33
Figura 17: Etapas do processo produtivo da marcenaria. .............................................................................. 36
Figura 18: Exemplo de um padrão de corte com o algoritmo FFDH. ............................................................. 38
Figura 19: dados do modelo. ..................................................................................................................... 39
Figura 20: Interface do programa. .............................................................................................................. 42
Figura 21: Tabela de rendimentos resultante do padrão de corte selecionado. ................................................ 48
Figura 22: Posicionamento dos itens e posicionamento de corte dos itens...................................................... 49
Figura 23: Padrão de corte desenvolvido pela marcenaria. ........................................................................... 51
Figura 24: Janela de seleção do modelo de padrão de corte. ......................................................................... 53
Figura 25: Padrão de corte gerado pelo programa. ....................................................................................... 54
Figura 26: Padrão de corte com troca das dimensões do painel. .................................................................... 56
Figura 27: Dados do posicionamento dos itens no painel. ............................................................................ 58
Figura 28: Padrões de corte do armário seis portas. ..................................................................................... 61
Figura 29: Posicionamento dos itens de 25mm de espessura para padrões de corte sem rotação. ..................... 63
Figura 30: Plano de corte com rotação dos itens. ......................................................................................... 64
Figura 31: Padrões de corte com rotação e troca das dimensões. ................................................................... 66
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Consumo mundial de painéis (em mil m³). ................................................................................... 34
Tabela 2: Dimensões do armário. .............................................................................................................. 50
Tabela 3: Rendimentos do padrão de corte manual. ..................................................................................... 52
Tabela 4: Rendimentos obtidos pelo programa. ........................................................................................... 55
Tabela 5: Rendimentos do novo padrão de corte. ........................................................................................ 57
Tabela 6: Comparação entre os padrões de corte. ........................................................................................ 57
Tabela 7: Simulação das dimensões dos itens. ............................................................................................ 59
Tabela 8: Rendimentos do armário para a simulação sem rotação. ................................................................ 62
Tabela 9: Rendimentos do plano de corte com rotação................................................................................. 65
Tabela 10: Rendimento do plano de corte com a rotação dos itens e troca das dimensões. .............................. 67
Tabela 11: Comparativo entre os rendimentos dos padrões de corte do armário seis portas. ............................ 67
8
1. INTRODUÇÃO
Impulsionado pela crescente globalização, o cenário mundial é caracterizado pela busca da
competitividade na qual empresas de todos os setores procuram meios de administração mais
eficientes, aliados a novas tecnologias e ofertas de produtos que atendam aos requisitos dos
clientes. A adequação desses requisitos muitas vezes exige respostas rápidas, principalmente
para empresas que fazem produtos sob encomenda, que é o caso de marcenarias que
produzem móveis planejados, onde o processo de tomada de decisão requer agilidade, seja
relacionado à transação de um negócio, logística ou processo produtivo.
Centralizando a atenção na otimização do processo produtivo, a tomada de decisão está
interligada com atividades de seqüenciamento de processos de produção, terceirização de
serviços, movimentação de produtos, alocação de recursos e, como foco do trabalho,
estratégia de corte da matéria-prima. A escolha de uma solução “ótima” para um problema
específico envolvendo recursos financeiros resulta na redução de custos operacionais,
proporcionando um ganho potencial na competitividade, embora em determinados problemas,
a redução de custos não seja a decisão mais viável.
A otimização provém da utilização de um método científico denominado Pesquisa
Operacional, capaz de solucionar problemas de grande complexidade, auxiliando no processo
de tomada de decisão.
Os problemas de corte de estoque são encontrados por diversas indústrias, independente do
seu porte e segmento, o que despertou interesse de inúmeros pesquisadores em desenvolver
soluções práticas para a resolução do problema. De forma geral, o problema consiste em
cortar peças maiores (objetos), disponíveis em estoque, a fim de obter peças menores (itens),
de acordo com as dimensões solicitadas, na qual o objetivo é a otimização da dos custos
produtivos, minimização dos desperdícios, etc.
O setor moveleiro nacional se caracteriza pelo predomínio de empresas de pequeno e médio
porte, possuindo poucas empresas de grande porte, de modo que a matéria-prima
predominante no processo de fabricação de móveis é a madeira e seus derivados, como o
painel MDF (Medium Density Fiberboard), em crescente expansão das indústrias moveleiras.
9
Em comum, essas empresas enfrentam dificuldades semelhantes, como no planejamento de
corte, problema o qual interfere diretamente no custo final do produto, pois está relacionado
com a perda de matéria-prima em função do padrão de corte selecionado.
Com embasamento no problema de corte de matéria-prima, a pesquisa operacional é uma
ferramenta essencial para resolução deste tipo de problema através da utilização de modelos
matemáticos capazes de orientar a estratégia de corte, como no caso de indústrias de móveis
planejados, onde cada produto requer um estudo de plano de corte devido à fabricação de
móveis sob medida.
2. OBJETIVO
O enfoque deste trabalho visa à geração de padrões de corte bidimensional através da
modelagem matemática.
O objetivo principal foi desenvolver um software para resolução do problema de corte
bidimensional a partir de uma heurística, baseado nas principais referências encontradas em
literatura sobre o assunto.
O objetivo específico deste trabalho é a comparação dos padrões de corte gerados pelo
software, com os padrões de corte desenvolvidos de forma manual em uma marcenaria de
pequeno porte localizada na cidade de Bauru, cujos produtos são fabricados sob medida e
produzidos a partir de painéis de MDF.
2.1. Justificativa
A otimização do plano de corte materiais tem sido centro de estudo de vários pesquisadores
devido a sua aplicação em diferentes indústrias resultando em ganhos econômicos,
principalmente na redução de perdas.
O MDF (Medium Density Fiberboard) é um produto derivado da madeira, confeccionado a
partir da prensagem de fibras de madeira e adesivo, apresentando características físico-
mecânicas e acabamentos que variam de acordo com o processo produtivo, resultando em um
produto de alto valor agregado, e com grande aplicação em indústrias moveleiras.
Visando a diminuição de custos na operação de corte e a minimização de perdas de matéria-
prima, principalmente pelo descarte de um produto que apresenta em sua composição adesivo
10
a base de formaldeído, podendo gerar impactos ambientais se descartado no meio ambiente, a
utilização de um algoritmo para otimizar o plano de corte de painéis de MDF tem por objetivo
obter o maior rendimento possível, além de reduzir o tempo de estudo do plano de corte, em
função das tecnologias disponíveis para a elaboração de modelos matemáticos através da
programação.
11
3. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
A seguir é apresentada uma breve definição de Pesquisa Operacional e sua origem, problema
de corte e empacotamento, características da matéria-prima e o cenário das indústrias
moveleiras.
3.1. Pesquisa Operacional
Hillier e Lieberman (2001) definem Pesquisa Operacional (PO) como uma ciência aplicada a
partir da formulação de modelos matemáticos, cuja finalidade é otimizar o desempenho das
organizações. Sua aplicação abrange diversas áreas como a fabricação de produtos, transporte,
construção, telecomunicações, planejamento, serviços públicos, etc.
A Pesquisa Operacional tem como característica encontrar uma “solução ótima” para o
problema. Visto que dentro do contexto organizacional sua aplicação pode resultar em várias
“soluções ótimas”, a PO tem como objetivo ser um agente facilitador no processo de tomada
de decisão, auxiliando a organização a identificar o melhor plano de ação em função dos
fatores internos e externos (HILLIER e LIEBERMAN, 2001).
3.1.1. Origem da Pesquisa Operacional
A origem do termo Pesquisa Operacional está relacionado com a invenção do radar em 1934
na Inglaterra, tecnologia que nos dois anos seguintes tornou-se centro de estudo para
identificar maneiras de interceptar aviões inimigos (ARENALES et al., 2007).
A partir de 1941, especialistas ingleses foram designados a estudar problemas estratégicos e
táticos relativos a operações militares antes e durante a segunda guerra mundial com o intuito
de alocar recursos escassos, abrangendo a manutenção e inspeção de aviões, planejamento de
bombardeios, controle de artilharia antiaérea e dimensionamento de comboios (ARENALES
et al., 2007).
12
Com o fim da segunda guerra mundial, as técnicas de pesquisa operacional propagaram-se
nos Estados Unidos e foram adaptadas para operações não militares, com o intuito de
melhorar a eficiência e produtividade no setor industrial e comercial. Em 1947 nos Estados
Unidos, o especialista George Dantzig desenvolveu o “Método Simplex”, o qual tem grande
importância na resolução de problemas de programação linear (FAGUNDES, 2002). Closkey
e Trefethen (1954) citam que na Inglaterra, a Pesquisa Operacional para fins não militares
teve algumas das primeiras aplicações no tráfego rodoviário, aviação civil, estradas de ferro e
serviços de ônibus, distribuição de eletricidade, agricultura e construção civil.
Hillier e Lieberman (2001) comentam que antes do final da década de 1950, muitas das
ferramentas padrões da Pesquisa Operacional foram consideravelmente bem desenvolvidas,
tais como a programação linear, programação dinâmica e teoria das filas, impulsionando a
difusão e introdução da pesquisa operacional nas organizações.
Os mesmos autores citam que o desenvolvimento tecnológico proporcionou o avanço da
pesquisa operacional, possibilitando a resolução de problemas complexos de forma mais
eficiente.
3.1.2. Fases do estudo de Pesquisa Operacional
Segundo Taha (2007) as principais fases de implementação da pesquisa operacional incluem:
Definição do problema
Hillier e Lieberman (2001) comentam que a obtenção de resultados apurados depende
de uma formulação clara do problema, determinando os objetivos em estudo, especificando as
limitações e restrições do sistema, a inter-relação entre a área estudada e as demais áreas da
organização e possíveis alternativas de cursos de ação. Este processo é de grande importância
pois interfere de maneira relevante nas conclusões do estudo.
13
Construção do modelo
Consiste em transformar o problema real em um modelo matemático. O modelo
matemático é uma representação formulada partir de símbolos matemáticos e expressões que
descrevem a essência do problema. A função objetivo do problema é expressa por n variáveis
de decisão, variáveis essas que são quantificáveis e indispensáveis para a formulação do
modelo. As restrições das variáveis do modelo são expressas por meio de equações e
inequações, que representam as relações e limitações das variáveis (HILLIERr e
LIEBERMAN, 2001).
Solução do modelo
Segundo Fagundes (2002), esta fase visa encontrar a solução do modelo através de
algumas técnicas matemáticas existentes, buscando o algoritmo mais adequado para o caso
em termos de precisão de resposta, rapidez de processamento e de forma econômica.
Goldbarg e Luna (2000) citam que o termo rapidez está ligado com o fim prático do algoritmo
e o termo econômico está associado com a limitação de recursos humanos, computacionais.
Validação do Modelo
Hillier e Lieberman (2001) citam que a validação do modelo tem por finalidade
corrigir erros, além de considerar possíveis informações relevantes omitidas durante o
desenvolvimento, fatos que são inevitáveis devido à complexidade dos problemas. Um dos
métodos de analisar o modelo é a utilização de dados históricos, comparando a eficácia do
desempenho hipotético com os resultados obtidos. Outro método prático é a variação dos
valores das variáveis de decisão e verificar se o resultado comporta-se de maneira admissível.
Implementação do modelo
A implementação do modelo é a fase crítica do estudo, pois somente nesta fase os
resultados práticos serão obtidos. A participação do(s) desenvolvedor(es) é de grande
importância nesta fase a fim de certificar que as soluções do modelo estão sendo
implementadas de maneira correta (HILLIER e LIEBERMAN, 2001).
14
3.1.3. Algumas aplicações da Pesquisa Operacional
Arenales et al. (2007) citam alguns problemas típicos encontrados em diversas organizações
que podem ser formulados como problemas de otimização linear.
Problemas de mistura
Trata-se da combinação de materiais provenientes da natureza ou a partir do
aproveitamento dos resíduos, cujo objetivo é a obtenção de um produto comercial que atenda
as exigências técnicas a um custo relativamente baixo.
Problemas de transporte, transbordo e designação
Consiste na distribuição ou transporte do produto para os mercados consumidores ao
menor custo possível, respeitando os prazos de entrega.
Problemas de planejamento de produção
O planejamento de produção abrange diversos problemas que podem ser solucionados
com a otimização linear, dentre eles o mix de produção, seleção de processos, alocação de
recursos e dimensionamento de estoques, visando à minimização de custos e redução de
tempos de processo em máquinas gargalo.
Problemas de meio ambiente
Refere-se à minimização da poluição dos recursos naturais através da utilização de um
método (ou a combinação de vários) eficiente capaz de minimizar o impacto ambiental
provocado durante o processo a um menor custo.
15
3.2. Problema de Corte
O problema de corte (Cutting Stock Problems) consiste na produção de itens (peças menores)
de tamanhos variados a partir de objetos (peças maiores), cujo objetivo é cortar o menor
número de objetos, de tal forma que todos os itens sejam produzidos, comumente aplicado em
indústrias que trabalham com vidro, papel, papelão e indústrias moveleiras.
O soviético Leonid Vitaliyevich Kantorovich (1939, apud MOSQUERA, 2007) foi o grande
pioneiro a pesquisar sobre problemas de corte e empacotamento publicando seu trabalho em
1939, utilizando modelos matemáticos de programação linear para o planejamento e
organização da produção, abrangendo o problema de corte unidimensional.
As principais abordagens para problemas de corte e empacotamento foram desenvolvidas por
Gilmore e Gomory na década de 60, que propuseram o método de geração de colunas,
normalmente aplicado em problemas de grandes dimensões. (CHERRI, 2006).
Apesar do grande avanço no desenvolvimento de modelos matemáticos capazes de solucionar
problemas de corte, não existem algoritmos exatos para a solução do problema inteiro de
tamanho médio. Em contrapartida, vários métodos heurísticos (também conhecidos como
algoritmos de aproximação) foram propostos para a solução do problema inteiro (POLDI,
2003).
Gilmore e Gomory (1965) desenvolveram um método para a solução do problema de corte
bidimensional, utilizando como restrições o corte guilhotinado, estagiado e irrestrito.
Na década de 80, Morabito (1989) propõe a abordagem em grafo E/OU para resolver
problemas de corte bidimensional guilhotinado, não-estagiado e irrestrito.
Segundo Cavali (2004), no decorrer dos anos diversos autores como Gilmore e Gomory
(1961, 1963, 1965), Christofides e Whitlock (1977), Morabito (1994), Vanderbeck (1999),
Lodi, Martello e Vigo (2002), Belov e Scheithauer (2002), realizaram pesquisas sobre o
problema de corte abordando os mais variados contextos.
Na década de 90, devido às diversas definições encontradas na literatura e o grande número
de trabalhos publicados a respeito de problemas de corte, Dyckhoff (1990) desenvolveu uma
tipologia para este tipo de problema com o intuito de unificar o uso de diferentes notações,
definindo como problemas de corte e empacotamento – PCE (cutting and packing problems).
16
Tanto o corte quanto o empacotamento são atividades distintas, porém, os modelos
matemáticos utilizados para a resolução desses problemas apresentam o mesmo conceito.
Poldi (2003) cita que dependendo da aplicação, diferentes regras podem ser usadas na
definição de um plano de corte (tipo de corte, estágios, limitação de itens por objeto, etc). No
setor moveleiro, indústrias que produzem móveis a partir de painéis de madeira utilizam o
corte guilhotinado normalmente em dois estágios.
Dyckhoff (1990) estruturou em seu estudo quatro tipos de características relacionadas com o
problema de corte e empacotamento (dimensão, tipos de tarefa, variedades de objeto,
variedades de itens), que são expressas por α/β/γ/δ, totalizando em 96 combinações possíveis
para o problema, tais características estão representadas a seguir:
1. Dimensão (α)
(1) Unidimensional;
(2) Bidimensional;
(3) Tridimensional;
(N) N-dimensional, com N > 3.
2. Tipos de tarefa (β)
(B) Utilização de todos objetos e apenas uma seleção de itens;
(V) Apenas uma seleção de objetos e utilização de todos os itens.
3. Variedades de objeto (γ)
(O) Um objeto;
(I) Objetos idênticos;
(D) Objetos diferentes.
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4. Variedades de itens (δ)
(F) Poucos itens (com diferentes dimensões);
(M) Muitos itens com várias dimensões;
(R) Muitos itens com pequena variação das dimensões;
(C) Itens congruentes.
Com o crescente número de publicações de problemas de corte e empacotamento, tornou-se
evidente algumas deficiências na tipologia desenvolvida por Dyckhoff, na qual um problema
poderia apresentar mais de uma classificação (MOSQUERA, 2007). Em 2007, tal tipologia de
Dyckhoff foi reproduzida por Washer (2007), que introduziu novos critérios que definem
diferentes categorias de problemas, e de forma que cada problema tenha uma única
representação.
Visto a grande aplicabilidade dos problemas de corte e empacotamento, diversos estudos para
resolução deste tipo de problema são encontrados em literatura, entretanto, este trabalho
concentra resumidamente alguns trabalhos relacionados com o problema de corte e
empacotamento bidimensional.
Com foco na abordagem estudada por Morabito em 1990, Morabito e Arenales (1995)
pesquisaram o desempenho de dois métodos heurísticos para resolução de problemas grandes
de corte guilhotinado bidimensional utilizando a representação do modelo em grafo E/OU,
para solução de problemas restritos e estagiados.
Lodi e Monaci (2003) apresentaram dois modelos programação linear para a geração padrões
de corte guilhotinado 2-estágios restrito, considerando algumas restrições a fim de evitar
soluções simétricas. Os testes computacionais para este modelo linear obtiveram resultados
eficientes.
Figueiredo (2006) propõe duas heurísticas para geração de padrões do tipo n-grupo irrestrito
para problemas de corte bidimensional. A heurística baseada no modelo de Gilmore e
Goromy proporcionou melhores resultados na geração de cortes do tipo tabuleiro, fazendo a
combinação de faixas a fim de se obter os padrões de cortes desejados.
Em Teodoro (2003), duas heurísticas (FFD e FFDH) foram utilizadas para o problema de
corte bidimensional com o objetivo de fornecer um conjunto inicial de padrões de corte de
18
qualidade. Cherri (2006) utiliza a heurística FFD para o problema de corte de estoque e
reaproveitamento de material.
Temponi (2007) cita em seu trabalho algumas heurísticas utilizadas nos problemas de corte e
empacotamento, dentre elas o Next Fit (NF), First Fit (FF) e o Best Fit (BF). Cintra (2004)
apresenta em seu estudo os algoritmos de aproximação First Fit Decreasing (FFD), Next Fit
Decreasing Height (NFDH) e o First Fit Decreasing Height (FFDH), visando que nas quatro
últimas décadas, um grande número de algoritmos tem sido propostos para a resolução de
problemas de corte e empacotamento. Andrade et al. (2008) cita que esses algoritmos
apresentam a vantagem de serem rápidos e gerarem padrões de corte guilhotináveis.
3.2.1. Classificação
No contexto industrial, os problemas de corte para fabricação de itens possuem algumas
características como dimensões relevantes no corte ou o tipo de corte. Pinto (2004) comenta
que cada combinação geométrica dos itens dentro do objeto é denominada de padrão de corte.
Independente da dimensão do problema, para cada padrão de corte pode-se associar um vetor
m-dimensional da seguinte maneira:
aj = (a1j,a2j,...,amj)
onde: aij representa a quantidade de itens i contidos no padrão de corte j.
Problema de corte unidimensional
Comumente empregado no corte de bobinas de papel e bobinas de aço, o padrão de corte é
denominado unidimensional quando apenas uma das dimensões é relevante no processo de
corte.
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Mosquera (2007) comenta que o problema de corte unidimensional é um problema de
otimização combinatória, de tal forma que os itens de tamanhos definidos sejam combinados
a fim de obter o maior valor de utilidade do objeto, conforme ilustra a Figura 1.
Figura 1: Exemplo de padrão de corte unidimensional.
Para este exemplo, o padrão de corte pode ser associado ao seguinte vetor:
a1 = (1,1,1)
Problema de corte bidimensional
No problema de corte bidimensional, duas dimensões são relevantes no processo de corte
(comprimento e largura), realizando a combinação geométrica de diversos itens ao longo do
comprimento e largura do(s) objeto(s) (PINTO, 2004). É um problema comum em indústrias
que produzem móveis a partir de painéis de madeira, indústrias de chapas de aço, vidro e etc.
A figura a seguir ilustra o corte do objeto bidimensional em itens.
(a)
(b)
(c)
(a) objeto;
(b) itens;
(c) exemplo de um padrão de corte.
20
Figura 2: Exemplo de padrão de corte bidimensional.
No exemplo de padrão de corte bidimensional, o vetor correspondente é dado por:
a1 = (3,3,2,4)
Da mesma forma que no problema de corte unidimensional, o corte bidimensional é um
problema de otimização combinatória que apresenta maior complexidade quando comparado
ao padrão de corte unidimensional, pois além atender as restrições dimensionais do objeto (a
quantidade de itens não deve ser superior as dimensões do objeto, sem a sobreposição dos
itens), algumas condições de tipos de corte podem ser contempladas, definindo a disposição
dos itens sobre o objeto (PINTO, 2004).
(a)
(b)
(c)
(a) objeto;
(b) itens;
(c) exemplo de um padrão de corte.
21
Problema de corte tridimensional
No problema de corte tridimensional as três dimensões são relevantes no processo de corte
(Figura 3). Indústrias de colchões e travesseiros aplicam este tipo de problema, contudo, sua
solução também é utilizada para problemas de empacotamento, que consiste em agrupar
unidades de pequenas dimensões em uma unidade grande, como por exemplo, na expedição
de produtos encaixotados dentro de contêineres (MORABITO, 1992 apud POLDI, 2003).
Figura 3: Exemplo do padrão de corte tridimensional.
1.5-dimensional, 2.5-dimensional e multidimensional
O problema de corte 1.5-dimensional apresenta duas dimensões que são relevantes, porém,
uma das dimensões é variável porque não tem tamanho fixo. Um exemplo desse tipo de
problema é um rolo de tecido, o qual a dimensão correspondente a largura é fixa e seu
comprimento é grande o suficiente para produção de roupas (CHERRI, 2006).
(a)
(c)
(b)
(a) contêiner;
(b) itens;
(c) exemplo de um empacotamento.
22
Figura 4: Exemplo do padrão de corte 1,5-dimensional.
Para o problema de corte 2.5-dimensional, as três dimensões são relevantes, contudo, uma
delas é variável. Como exemplo, um contêiner de largura e altura fixa, com o comprimento
suficientemente grande para alocar o volume de carga (CHERRI, 2003).
Os problemas 1.5-dimensional e 2.5-dimensional podem ser considerados como
bidimensional e tridimensional respectivamente (POLDI, 2003).
Também existe o problema multidimensional, neste caso, mais de três dimensões são
relevantes para a solução do problema (MORABITO, 1992 apud CHERRI, 2006). Segundo a
tipologia definida por Dyckhoff (1990), esses problemas podem ser considerados como
problemas abstratos, pois fazem parte dos problemas de dimensão não-espaciais, como por
exemplo: problema de alocação de tarefas, programação de rotas de veículos, entre outros.
3.2.2. Tipos de padrões de corte
A literatura anteriormente citada define algumas tipologias de cortes que podem ser
encontrados na prática.
23
Corte guilhotinado e não-guilhotinado
O padrão de corte guilhotinado refere-se ao corte de uma aresta a outra do objeto produzindo
dois novos retângulos a cada corte realizado.
Ao contrário do corte guilhotinado, no corte não-guilhotinado, a ferramenta de corte não
efetua a operação de aresta a aresta do objeto. Ambos exemplos estão representados pela
figura a seguir (PINTO, 2004).
Figura 5: Exemplo do padrão de corte guilhotinado e não-guilhotinado.
Estágios
Estágio corresponde aos cortes guilhotinados realizados no objeto seja na direção paralela ou
perpendicular a determinada aresta do objeto. No caso de estágios sucessivos, a direção do
corte se alterna ortogonalmente em relação à direção corte antecedente (PINTO, 2004). Desta
forma, no padrão de corte de 2-estágios ocorre apenas uma mudança de direção, para 3-
estágios, duas mudanças de direção, e assim sucessivamente.
Corte guilhotinado Corte não-guilhotinado
24
Figura 6: Exemplo de padrão de corte guilhotinado de três estágios.
Com a finalidade de facilitar o processo produtivo no corte guilhotinado de 2-estágios, os
itens com as mesmas dimensões ou dimensões semelhantes podem ser agrupados em um
padrão de corte conforme a Figura 7. Isso contribui positivamente no tempo de produção,
porém, a perda de matéria-prima pode ser maior. Gilmore e Gomory (1965) definiram esta
classe de padrão de corte em 2-estágios como padrão tabuleiro. O padrão de corte tabuleiro
que é formado por um conjunto de diferentes itens é denominado como padrão de corte
guilhotinado n-grupo.
Figura 7: Padrão de corte tabuleiro ou 1-grupo.
Os cortes em 2-estágios podem ser classificados como exatos e não exatos. No corte exato, o
item final não necessita de recortes complementares, ao contrário do corte não-exato, em que
alguns (ou todos) itens necessitam de recortes para a remoção de itens sem utilidade,
denominados de “rebarbas” (PINTO, 2004).
Padrão de corte 1º estágio
2º estágio
3º estágio
25
Figura 8: Exemplo de corte não exato com a presença de rebarbas.
Orientação dos itens
De modo geral, a orientação dos itens é uma técnica muito aplicada nos problemas de corte,
desde que a matéria-prima seja lisa, sem a presença de veios ou estampas. Este procedimento
permite a rotação dos itens em 90º, de forma a obter padrões de corte com menores perdas de
matéria-prima. A rotação de produtos fabricados a partir de painel de madeira compensada,
com revestimento de lâminas de madeira ou de madeira maciça não é interessante, pois o
produto perde sua característica estética devido à orientação das fibras, além de influenciar
em aspectos como a qualidade do produto, procedimento de corte e desgaste da ferramenta
devido à anisotropia do material (madeira).
Segundo Mosquera (2007), itens que não podem ser rotacionados são denominados de itens
de orientação fixa (Figura 9 a) e, itens que podem ser rotacionados, são conhecidos como
itens que tem rotação permitida (Figura 9 b).
Rebarba
26
Figura 9: Exemplos de padrões de corte com orientação fixa e rotação dos itens.
Caso restrito
O problema de corte é considerado restrito quando existe uma limitação da demanda em
relação aos itens, ou seja, o número de itens que pode aparecer no padrão de corte é limitado
por uma variável, a fim de diminuir a quantidade de padrões de corte, facilitando a resolução
do problema (GHIDINI, 2008).
Caso irrestrito
No caso do problema irrestrito, o número de itens dos padrões de corte é irrestrito a demanda,
ou seja, não existe uma limitação da demanda em relação aos itens (MOSQUERA, 2007).
(a) (b)
27
3.2.3. Redução de padrões de corte
Devido à existência de padrões de cortes equivalentes, em diversos problemas de corte e
empacotamento, o número de padrões de corte pode ser muito grande, o que torna
extremamente útil a aplicação de algumas regras que possam reduzir padrões de corte
irrelevantes. Chistofides e Whitlock (1977) apresentaram algumas regras para evitar a geração
de padrões de corte equivalentes.
Padrão de corte simétrico
Segundo Faccio (2008), o padrão de corte é simétrico ao outro quando as soluções obtidas são
equivalentes, porém, utilizando padrões de corte diferentes.
Figura 10: Padrões de corte simétricos.
Efeito de simetria
Considerando um objeto retangular com dimensão L x W, no qual se deseja realizar o corte
guilhotinado 1-estágio. Ao efetuar o corte x = l1, dois itens são obtidos: (l1,W) e (L - l1,W),
como mostra a Figura 11. Contudo, esses itens também poderiam ser obtidos pelo corte x = L
– l1. Com o intuito de evitar esta duplicação de padrões de corte, a solução deve satisfazer a
condição 𝑥 ≤ 𝐿
2 , reduzindo as possibilidades de corte pela metade (FACCIO, 2008).
28
Figura 11: Efeito de simetria.
Efeito de ordenação
Supondo que um objeto (L,W) seja cortado em x1 = l1, produzindo itens com dimensões (l1,W)
e (L - l1,W). Em seguida, é realizado o corte x2 = l2 𝑙2 < 𝑙1 ≤𝐿−𝑙1
2 , obtendo os itens (l1,W),
(l2,W) e (L - l1 - l2,W), conforme a Figura 12. Esses itens também poderiam ser produzidos a
partir do primeiro corte x1 = l2 em (L,W), e posteriormente o corte x2 = l1 em (L – l2,W). Para
evitar esta duplicação, a seguinte condição deve ser satisfeita: se o corte é efetuado em x = l1,
os seguintes cortes deverão se realizados em x ≥ l1 (FACCIO, 2008).
Figura 12: Efeito de Ordenação.
x = l1 x = L - l1
l1 x W L - l1 x W L - l1 x W l1 x W W W
L L
x1 = l1 x2 = l1
l1 x W L - l1 - l2 x W W W
L L
x2 = l2 x1 = l2
l2 x W l1 x W L - l1 - l2 x W l2 x W
29
Corte normal
Nesta regra, se um objeto com dimensão L x W é cortado no sentido vertical em x = l1, no
padrão de corte final, deve haver uma combinação de itens i, (i = 1,...,m), de modo que, a
soma total de seus comprimentos seja exatamente l1. Caso contrário, um corte x‟ ≤ x pode ser
efetuado, levando ao mesmo modelo do corte final (CAVALI, 2004).
Figura 13: Corte normal.
3.3. Indústria Moveleira
A indústria nacional de móveis caracteriza-se pela predominância de empresas de pequeno e
médio porte, possuindo poucas empresas de grande porte (REVISTA DA MADEIRA, 2010).
Sua participação dentro do segmento de transformação é de grande importância, pois
contribui tanto com a economia do país quanto com a geração de empregos dentro da
indústria nacional (ABIMÓVEL). No período de 1996 a 2004, a indústria de móveis
apresentou um crescimento de aproximadamente 108%, com destaque para a produção da
indústria da madeira, que obteve um crescimento de 330%, superior ao conjunto da indústria
nacional (indústria de transformação), com expansão correspondente a 186% (SEBRAE,
2008). A evolução dessas indústrias pode ser observada na Figura 14.
x’
L L
x = l1
W W
30
Figura 14: Brasil – Evolução comparada: VTI móveis, VTI madeira, VTI indústria de transformação.
Fonte: IBGE.
Segundo a Associação Brasileira das Indústrias do Mobiliário (ABIMÓVEL, 2009), o setor é
formado por aproximadamente 17.000 empresas, contando com 269.000 funcionários formais
registrados.
No ano de 2009 as empresas do setor produziram o correspondente a R$ 19 bilhões, o que
representa 1,3% do valor de faturamento da indústria de transformação, desconsiderando as
indústrias extrativas mineral e a construção civil. No mesmo ano, 221,2 mil postos de trabalho
foram gerados pelo setor produtor, o equivalente a 2,2% do total de trabalhadores da produção
industrial do país (ABIMÓVEL).
Apesar da existência de indústrias de móveis em todo território nacional, a maioria delas estão
concentradas no Sul e Sudeste, que representam 81,7% do total de empresas e 87,1% do total
de empregos formais do setor (ABIMÓVEL).
As indústrias de móveis podem ser classificadas quanto a utilização da matéria-prima como:
móveis de madeira (maciça e painéis de madeira), móveis de vime e junco e móveis de metal
e de plástico. (REVISTA DA MADEIRA, 2010). Grande parte dessas indústrias,
correspondente a 85,4%, produzem móveis a partir da madeira, (ABIMÓVEL), que são
destinados para uso residencial, escritório, armários embutidos, componentes para móveis e
móveis para rádios e televisores, demonstrando a supremacia da madeira e seus derivados
VTI: Valor da Transformação Industrial
Em R$ 1.000,00
31
(MDF, aglomerado, compensado, etc.) em relação às demais matérias-primas para produção
de móveis.
De acordo com a Revista da Madeira (2010), pequenas marcenarias que produzem móveis sob
medida apresentam processos produtivos sem muitas etapas ou complexidade devido a
utilização de painéis de madeira com revestimentos, o que elimina quase que na totalidade a
etapa de acabamento.
Segundo o estudo setorial realizado pela Associação Brasileira de Indústria e Madeira
Processada Mecanicamente (ABIMCI) em 2007, a utilização do MDF na indústria moveleira
é crescente e vem aumentando sua participação no mercado, ocupando parcelas do segmento
de madeira maciça e outros painéis de madeira.
3.3.1. Painéis de Madeira Reconstituída
Segundo Iwakiri (2005), painéis de madeira podem ser definidos como a composição de todo
material proveniente de madeira sólida como lâminas, sarrafos, partículas e fibras, e
reconstituído através de ligação adesiva.
As matérias-primas utilizadas na fabricação de painéis apresentam grande variedade quanto
ao seu tamanho e forma. A aplicação desses painéis abrange tanto a utilização para fins
estruturais como não estruturais, e para o uso interno e externo (YOUNGQUIST, 1999).
32
Figura 15: Elementos da madeira.
Fonte: IWAKIRI, 2005.
As vantagens dos painéis de madeira em relação a madeira sólida são perceptíveis já no início
do processo de fabricação, pois o aproveitamento expressivo da tora, obtendo altos índices de
rendimento quando comparado a conversão de madeira serrada, que resulta em baixo
aproveitamento e em perdas consideráveis (GONÇALVEZ, 2000). Outras características
favoráveis dos painéis são suas estruturas mais homogêneas e menor incidência de defeitos,
propriedades físico-mecânicas maiores em alguns casos, mais uniformes, maior estabilidade
dimensional e maior resistência à bio-deterioração. Para determinados painéis a matéria-prima
pode ter origem no aproveitamento da madeira como costaneiras ou sobras, ou mesmo de
resíduos de madeira processada mecanicamente como cavacos e maravalhas (MALONEY,
1996 apud GONÇALVES, 2000).
33
3.3.2. Classificação dos painéis à base de madeira
Os painéis de madeira podem ser divididos em três categorias diferentes, os laminados,
particulados e painéis de fibras (Figura 2). Os painéis laminados incluem os compensados
(plywood), sarrafeados e o LVL (laminated veneer lumber). No grupo dos particulados
encontram-se os painéis aglomerados (particleboard), painéis OSB (oriented strandboard) e
WB (waferboard). O painel MDF (medium density fiberboard), chapa dura (hardboard) e
chapa isolante (insulation board) fazem parte dos painéis de fibras (YOUNGQUIST, 1999).
Figura 16: Classificação dos painéis de madeira.
Fonte: ELEOTÉRIO, 2000.
De acordo com Mattos (Painéis de madeira no Brasil), em 2005 o consumo mundial dos
painéis de aglomerado/MDP, MDF, chapa dura e compensado corresponderam a 219 milhões
de m³, com destaque para o painel de MDF, que apresentou crescimento de 18% ao ano entre
1995 e 2005, de acordo com a Tabela 1.
34
Tabela 1: Consumo mundial de painéis (em mil m³).
1995 Part. % 2005 Part. % Cresc. A.A. %
Aglomerado/MDP 64.550 48,4 100.335 45,8 4,5
MDF 7.637 5,7 40.434 18,5 18,1
Chapa dura (HDF) 6.648 5,0 10.139 4,6 4,3
Compensado 54.557 40,9 67.973 31,1 2,2
Total 133.392 100,0 218.881 100,0 5,1
Fonte: FAO.
3.3.2.1. Definição do MDF
Iwakiri (2005) define o MDF (Medium Density Fiberboard) como painel de fibra de madeira
produzido a partir da combinação de fibras lignocelulósicas, adesivo fenólico e alguns
aditivos químicos (pequenas porcentagens). Sua compactação é realizada em um processo de
prensagem a quente, com densidade variando de 0,50 g/cm³ a 0,85 g/cm³ e espessura variando
entre 3 a 60mm. Devido a sua estrutura homogênea e isotrópica, os painéis de MDF
apresentam vantagens consideráveis nos processos de usinagem e qualidade quanto ao
acabamento e aplicação de materiais de revestimento.
35
4. DESENVOLVIMENTO
Neste capítulo é apresentada uma breve descrição da empresa analisada para este estudo de
caso e a metodologia utilizada para a resolução do problema de corte para este estudo.
4.1. Características da Marcenaria
A Marcenaria Aires de Oliveira é uma empresa de pequeno porte e familiar, localizada em
Bauru, a 340 quilômetros de São Paulo. Originada em 1991, completa em 2011 20 anos de
experiência na fabricação de móveis planejados de alta qualidade, como cozinhas planejadas,
armários embutidos, closets, peças em geral além da madeira maciça. Sua produção mensal
varia de acordo com a demanda.
A matéria-prima utilizada na produção dos móveis é o painel MDF, o qual possui variedade
em termos de espessura e acabamento. A marcenaria utiliza painéis com revestimento liso e
laminado, na qual ambos são melamínicos BP, com espessuras entre 3 e 30 milímetros. Além
do painel MDF, a marcenaria também produz móveis a partir de restos de madeira maciça da
construção civil, conhecida como madeira de demolição. Contudo, o estudo de caso é
fundamentado apenas na produção de móveis de MDF.
A produção dos móveis é originada no processo de corte dos painéis em peças menores. Em
seguida, os componentes são direcionados para o processo de usinagem, onde são realizados
furos para montagem dos móveis e ferragens. Após a furação, os componentes são
encaminhados para o processo denominado colagem da borda, proporcionando aos
componentes melhor acabamento. A etapa de pré-montagem visa garantir a conformidade do
produto de acordo com o projeto. Após a pré-montagem, os móveis são embalados e seguem
para a expedição, sendo a montagem dos mesmos executada pelos profissionais da empresa.
Vale ressaltar que em cada etapa do processo produtivo, é realizada uma minuciosa aferição
dos componentes, com o objetivo de garantir a qualidade do produto final. A Figura 17
ilustra as etapas do processo de produção.
36
Figura 17: Etapas do processo produtivo da marcenaria.
O estoque de matéria-prima é mínimo devido à grande variedade de móveis que são
confeccionados sob medida. A reposição de insumos é realizada de acordo com sua ausência
no almoxarifado. A empresa não trabalha com estoque de produtos acabados, os quais
permanecem na expedição por um curto período de tempo, até a entrega e montagem para o
cliente.
Desde o surgimento da empresa, nenhum modelo de pesquisa operacional com ênfase no
problema de corte e empacotamento foi usado para a elaboração dos planos de corte, atividade
o qual é realizada de forma manual.
Algumas características importantes são consideradas na elaboração dos padrões de corte. A
primeira delas refere-se à produção dos itens. Para qualquer padrão de corte, o corte dos
painéis é guilhotinado e apresenta n-estágios. O número de estágios é uma função das
dimensões dos itens, entretanto, a maioria dos cortes são efetuados em 3 estágios. A
elaboração dos padrões de corte é considerado como caso irrestrito, ou seja, não existe
limitação de demanda em relação aos itens para os padrões de corte. Por fim, os padrões de
corte devem ser elaborados permitindo perdas aceitáveis, e possibilitando o aproveitamento
de chapas não usadas totalmente para a produção de itens futuros.
De acordo com a classificação de Dyckhoff, o problema de corte estudado pode ser
representado por 2/V/I/R, ou seja, bidimensional, apenas uma seleção de objetos e utilização
de todos os itens, objetos idênticos e poucos itens.
37
4.2. Definição do problema
Assim como a marcenaria referenciada no estudo de caso, o problema de corte é comum em
muitas empresas de pequeno e médio porte. Os padrões de corte são elaborados manualmente,
o que demanda tempo, elevando os custos operacionais da empresa. Na marcenaria em
questão, os padrões de corte são desenvolvidos manualmente pelos administradores da
empresa, atividade a qual delimita o tempo para o desenvolvimento de atividades
administrativas durante o período de trabalho.
A fim de agilizar o processo de tomada de decisão e proporcionar maior tempo para o
desenvolvimento de atividades administrativas, a utilização de um software para a resolução
de problemas de corte é essencial para o problema em questão desde que atenda as
características de trabalho da empresa, pois reduz consideravelmente o tempo de elaboração
dos padrões de corte em relação à elaboração de padrões de corte de forma manual no caso de
demandas muito elevadas.
Partindo para o conceito matemático, o problema consiste na minimização aceitável de perda
de matéria-prima durante o corte dos painéis.
4.3. Seleção do algoritmo de aproximação
Para a resolução do problema de corte, foi adotado a heurística First Fit Decreasing Height
(FFDH), cujos itens são alocados em faixas, da esquerda para a direita. As faixas resultantes
da combinação dos itens são alocadas no objeto. Caso a largura do objeto não seja suficiente
para alocar todas as faixas, um novo objeto é utilizado, até que a condição seja satisfeita.
38
4.4. Formulação do modelo
A formulação do modelo matemático tem como referência os conceitos do algoritmo FFDH,
aplicado ao problema de corte bidimensional, definido a seguir.
Dada uma quantidade ilimitada de objetos bidimensionais de comprimento (L) e largura (W),
e uma lista de itens i com dimensões li x wi, o algoritmo ordena os itens em ordem
decrescente de largura, cujo item de maior largura (wi) é alocado na posição de origem (item
8), que corresponde ao lado esquerdo da extremidade superior, e determina a altura da faixa,
conforme ilustra a Figura 18. Em seguida, os itens são ordenados em ordem decrescente de
largura. Quando o comprimento dos itens na faixa exceder o comprimento do objeto (L), uma
nova faixa é criada. Na existência de espaços remanescentes, mais itens podem ser alocados a
fim de obter o maior aproveitamento em relação ao comprimento da faixa (item 4), ao invés
de criar uma nova faixa. Para este estudo de caso, a rotação dos itens é um recurso opcional,
já que a marcenaria trabalha com painéis de revestimentos laminados e lisos.
Sendo assim, o problema de corte consiste em minimizar o número de faixas geradas ao longo
dos objetos, de modo a produzir toda a demanda dos itens.
Figura 18: Exemplo de um padrão de corte com o algoritmo FFDH.
W
L
39
Os dados do modelo são:
L: comprimento do painel;
W: largura do painel;
li: comprimento do item i=1,...,n;
wi: comprimento do item i=1,...,n;
comp_usado_faixaj: comprimento total dos itens alocados na faixa j=1,...,n;
y_faixak: distância entre o ponto de origem e a largura do primeiro item da última faixa
k=1,...,n;
sobra_compj: sobra do comprimento da faixa j=1,...,n em relação ao painel;
sobra_largk: sobra da largura k=1,...,n em relação ao painel.
A Figura 19 ilustra alguns dados considerados para a formulação do modelo.
Figura 19: dados do modelo.
40
Sendo assim, a heurística pode ser modelada como:
min 𝑓 = 𝑦_𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎𝑗𝑛𝑗 =1 (1)
sujeito a: 𝑙𝑖𝑛𝑖=1 ≤ 𝐿 (2)
𝑤𝑖𝑛𝑖=1 ≤ 𝑊 (3)
𝑤𝑖𝑛𝑖=1 ≥ 𝑤𝑖+1 (4)
𝑙𝑎𝑟𝑔_𝑢𝑠𝑎𝑑𝑜_𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎𝑗 + 𝑙𝑖𝑛𝑗 =1 ≤ 𝐿 (5)
𝑦_𝑓𝑎𝑖𝑥𝑎𝑘𝑛𝑘=1 ≤ 𝑊 (6)
As restrições (2) e (3) garantem que o comprimento e largura dos itens serão menores que o
comprimento e largura do objeto, respectivamente. A restrição (4) garante que os itens serão
organizados em ordem decrescente de largura. A restrição (5) garante que a somatória dos
itens alocados na faixa j não ultrapasse o comprimento do objeto. Por fim, a restrição (6)
garante que a somatória da largura das faixas não exceda a largura do objeto.
4.5. Programação do modelo
A construção do modelo matemático foi desenvolvida na linguagem Visual Basic for
Aplications (VBA), devido à interação com os programas do Microsoft Office,
especificamente o Microsoft Excel, visto a praticidade na elaboração do programa aliada ao
registro histórico da empresa na forma de planilhas, facilitando na alimentação de dados e
contribuindo com o planejamento da marcenaria.
Considerações importantes
A programação do modelo foi desenvolvida considerando quatro variáveis básicas:
dimensões do objeto (comprimento e largura);
dimensões dos itens (comprimento e largura);
41
espessura de corte da serra e;
espessura total das bordas esquadrejadas. A espessura total das bordas esquadrejadas
refere-se a remoção das extremidades dos painéis (se necessário) que apresentam
irregularidades no acabamento.
Os painéis (objetos) utilizados pela marcenaria não apresentam variação em relação as suas
dimensões, já que a matéria-prima é proveniente de um único fornecedor. Contudo, as
dimensões do objeto podem ser alteradas a qualquer momento em função de uma possível
mudança de fornecedor. A flexibilidade em modificar as dimensões do objeto também
permite o aproveitamento de objetos não foram totalmente utilizados, proporcionando
consumos menores de matéria-prima, em determinados casos.
A quantidade de objetos é determinada em função dos padrões de corte gerados, ou seja, a
alocação dos itens nas faixas e a quantidade de faixas necessárias para atender a demanda dos
itens definem qual será o número de objetos requeridos para a produção. Dessa forma, a
marcenaria realiza a programação da produção sem a necessidade de manter altos níveis de
estoque.
Como a quantidade de itens é baixa em relação a cada projeto, o software considera efetua as
ações para uma quantidade limitada de 100 itens. Este número de itens é o suficiente para o
desenvolvimento dos projetos, mesmo na presença de vários itens com as mesmas dimensões,
que devem ser inseridos em linhas diferentes,
A geração dos padrões de corte é representada por uma interface gráfica, na qual a alocação
dos itens segue a lógica do modelo proposto. A criação da interface gráfica tem como foco
tornar compreensível o resultado prático, agilizando o processo de decisão para o corte dos
painéis.
4.5.1. Atribuição dos dados
O desenvolvimento do programa inicia-se na criação de variáreis, que assumirão os dados do
projeto. As principais variáveis nesta etapa inicial são: dimensão dos itens (comprimento e
42
largura), dimensão do objeto (comprimento e largura), espessura do corte da serra e espessura
total das bordas esquadrejadas, conforme ilustra a Figura 20.
Figura 20: Interface do programa.
Os valores inseridos na planilha são indexados as suas respectivas variáveis, e utilizados nas
etapas seguintes.
Na interface inicial do programa é ilustrada uma imagem de um painel com revestimento
laminado, o qual tem o intuito de demonstrar o sentido do comprimento e largura em relação
ao revestimento, a fim de evitar a troca das dimensões e gerar planos de corte errados. Esta
observação não é válida para painéis com revestimento liso, onde os itens não apresentam
restrições em relação ao sentido de corte.
4.5.2. Rotação dos itens
A rotação dos itens foi realizada da seguinte forma:
43
Faça i = 1 até n
Se wi > li então
maior = li
wi = li
li = maior
fim-se
fim
A rotação dos itens é essencial para painéis que apresentam revestimento liso, pois
proporcionam menores perdas de material na geração dos padrões de corte.
4.5.3. Ordenação dos itens em ordem decrescente de largura
A ordenação dos itens em ordem decrescente de largura é a primeira fase do algoritmo FFDH.
Sua representação é dada por:
maior = 0
Faça i = 1 até n
Faça i’ = 1 até n
Se wi > maior então
maior = wi
indice = i’
fim-se
fim
l’i = lindice
w’i= windice
z = indice
lindice = 0
windice = 0
maior = 0
fim
44
Esta fase garante que os itens sejam organizados em ordem decrescente de largura, contudo,
no caso da presença de itens com a mesma largura, o programa não organiza em ordem
decrescente de comprimento, ou seja, de acordo com a ordem dos itens inseridos na planilha.
4.5.4. Criação de faixas
A criação da primeira faixa é orientada a partir do primeiro item (l‟1 x w‟1) posicionado na
origem do objeto. Caso a somatória do comprimento dos itens seja superior ao comprimento
do objeto, uma nova faixa é criada, conforme demonstrado a seguir:
comp_usado_faixa = 0
y = 0 (largura do primeiro item de cada faixa)
qtidade_paineis = 0 (quantidade de objetos)
y_faixa(qtidade_paineis + 1) = w’i
Faça i = 1 até n
plano_de_corte(l’i) = comp_usado_faixa (Posição de origem)
plano_de_corte(w’i) = y (Posição de origem)
comp_usado_faixa = comp_usado_faixa + l’i
Se comp _usado_faixa > L então
comp_usado_faixa = 0
y = qtidade_paineis * W + y_faixa(qtidade_paineis + 1)
plano_de_corte(w’i) = y (Posição do primeiro item na faixa)
y’ = w’i (Altura do primeiro item na faixa criada)
y_faixa(qtidade_paineis + 1) = y + y’ - qtidade_paineis * W
comp_usado_faixa = comp_usado_faixa + l’i
Fim-se
Fim
45
4.5.5. Alocação dos itens na faixa
Apesar ordenação dos itens e criação das faixas, ainda existem espaços remanescentes dentro
das faixas onde podem ser alocados itens, resultando em maior aproveitamento das faixas.
Este comando deve ser inserido dentro da etapa de criação das faixas, pois para cada faixa
criada, deve ser analisada a possibilidade de alocar itens. A alocação é realizada através da
seguinte condição:
Faça i’ = i + 1 até contador
sobra_comp = L – comp_usado_faixa
Se l’i+1 ≤ sobra_comp então
plano_de_corte(zi+1) = comp_usado_faixa
plano_de_corte(zi+1) = y
comp_usado_faixa = comp_usado_faixa + l’i+1
l’i+1 = 0
w’i+1= 0
zi+1 = 0
Fim-se
Fim
4.5.6. Alocação dos itens no objeto
Quando a altura dos itens da próxima faixa é superior a altura do painel, um novo painel é
criado, porém, se a largura dos itens for menor que a sobra do painel em relação à largura,
uma nova faixa com os itens rotacionados pode ser criada, realizando a alocação dos itens no
objeto. Para esta alocação são utilizados os mesmos princípios das etapas 4.5.2, 4.5.3, 4.5.4 e
4.5.5.
46
4.5.7. Criação de um novo objeto
A criação de um novo objeto é realizada quando a quantidade de faixas geradas para a
alocação dos itens for maior que a largura do objeto, assim como demonstra a condição a
seguir:
Se y_faixa(qtidade_paineis + 1 > W então
comp_usado_faixa = 0
qtidade_paineis = qtidade_paineis + 1
y = qtidade_paineis * W
plano_de_corte(w’i) = y
y_faixa(qtidade_paineis + 1) = w’i
comp_usado_faixa = comp_usado_faixa + l’i
Fim-se
Do mesmo modo que a alocação dos itens nas faixas, a criação de um novo objeto deve ser
enquadrado dentro da criação da faixa, pois deste modo, a programação do modelo obedece às
características da heurística FFDH, que procura aproveitar os espaços remanescentes para a
alocação de itens seguindo a ordem decrescente.
4.6. Tipos de modelo
Em função da rotação, foram criados dois modelos distintos de padrões de corte que resultam
diferentes rendimentos. Desses diferentes modelos, dois permitem a rotação dos itens e um
não permite a rotação, utilizado em casos onde a matéria-prima apresenta revestimento
laminado.
47
4.6.1. Primeiro modelo
No primeiro modelo existem dois tipos de rotações. A primeira rotação refere-se à rotação dos
itens logo no início do programa, na qual é realizada a troca do comprimento pela largura,
conforme a etapa 4.5.2. A segunda rotação está relacionada com a rotação dos itens para sua
alocação no sentido da largura (etapa 4.5.6).
4.6.2. Segundo modelo
No segundo modelo, não é permitido nenhuma rotação dos itens, ou seja, é essencialmente
utilizado nos casos onde os painéis apresentam revestimentos laminados. Entretanto, este
modelo também pode ser utilizado para padrões revestidos. Para este modelo, a alimentação
das informações exige muita atenção, pois as dimensões dos itens devem ser colocadas de
acordo com suas respectivas dimensões do projeto, já que não será efetuada nenhuma rotação
dos itens.
4.7. Determinação dos rendimentos e posicionamento dos itens
Para efeito de comparação entre os modelos e análise crítica dos resultados, dois tipos de
rendimentos são determinados em função no modelo selecionado, assim como o
posicionamento dos itens. O primeiro rendimento refere-se à relação item/objeto. Para cada
objeto, é calculado o rendimento da quantidade de itens alocados. O segundo rendimento está
relacionado com o y_faixa de cada objeto, ou seja, é a relação entre a largura da última faixa
do objeto e o próprio objeto. A análise deste rendimento é de grande importância no quesito
de aproveitamento de material, no caso de objetos que apresentem os mesmos itens e
conseqüentemente o mesmo rendimento.
A Figura 21 ilustra a tabela de rendimentos, que pode ser acessada ao clicar na aba
rendimentos do programa.
48
Figura 21: Tabela de rendimentos resultante do padrão de corte selecionado.
Da mesma forma que os rendimentos, o posicionamento dos itens é resultante do modelo
selecionado. Além do posicionamento dos itens em relação à origem do objeto, o programa
também determina o posicionamento de corte dos itens, na qual as dimensões de comprimento
e largura são referentes à linha média da serra, conforme a Figura 22. Esses dados são gerados
na aba posicionamento das peças.
49
Figura 22: Posicionamento dos itens e posicionamento de corte dos itens.
50
5. RESULTADOS
Os estudos de otimização de corte com representação gráfica foram baseados nos dados
cedidos pela marcenaria Aires de Oliveira. Esses dados são referentes a um armário com
portas de correr, desenvolvido sob medida para determinado cliente. Suas dimensões são
apresentadas na Tabela 2. O painel utilizado pela marcenaria possui 2.750 milímetros de
comprimento por 1.830 milímetros de largura, com revestimento melamínico BP liso. A
espessura do painel varia com o tipo de componente que é produzido, no caso, são utilizados
painéis de 6 milímetros para a confecção do fundo o armário e painéis de 25 milímetros para a
fabricação dos demais itens.
Tabela 2: Dimensões do armário.
Número da Peça Largura (mm) Comprimento (mm) Espessura (mm)
1 1700 1375 25
2 1700 1375 25
3 550 1375 25
4 550 1375 25
5 550 1375 25
6 550 1375 25
7 550 1700 25
8 550 1700 25
9 550 1700 25
10 550 1700 25
11 500 1700 25
12 500 1700 25
13 500 1700 25
14 500 1700 25
15 500 1700 25
16 500 1700 25
17 500 1700 25
18 500 1700 25
19 500 1700 25
20 500 1700 25
21 500 1700 25
22 500 1700 25
23 500 1375 25
51
24 500 1375 25
25 500 1375 25
26 500 1375 25
27 500 1375 25
28 500 1375 25
29 1700 1375 6
30 1700 1375 6
5.1. Dados da marcenaria
O padrão de corte elaborado pelos profissionais da marcenaria de forma manual é ilustrado
pela Figura 23, considerando que foram esquadrejadas 10 milímetros das bordas tanto no
sentido do comprimento quanto da largura, para a remoção de imperfeições de acabamento.
Figura 23: Padrão de corte desenvolvido pela marcenaria.
1
2
3
4
5
6
7
25 mm
6 mm 8 9
52
Como pode ser observado, neste específico caso o padrão de corte foi elaborado na forma de
tabuleiros, na qual os componentes com dimensões iguais foram alocados no mesmo painel,
consumindo ao todo 9 painéis. Para os painéis de 25 milímetros, a disposição dos
componentes no sexto e sétimo painel foi realizada visando à menor perda possível.
O tempo para o desenvolvimento manual deste padrão de corte foi praticamente irrelevante
comparada com as demais atividades administrativas da empresa, contudo, para projetos mais
complexos onde o número de componentes é grande e suas dimensões são muito variadas, a
elaboração de um padrão de corte torna-se complexa, exigindo tempo para seu
desenvolvimento, de forma a evitar perdas consideráveis.
Os resultados dos rendimentos dos painéis estão presentes na Tabela 3.
Tabela 3: Rendimentos do padrão de corte manual.
Painel Rendimento Itens (%) Rendimento y_faixa (%)
1 84,45 92,90
2 84,25 92,90
3 74,32 92,90
4 68,31 75,14
5 60,11 75,14
6 77,00 92,90
7 63,34 92,90
8 46,45 92,90
9 46,45 92,90
Os rendimentos dos itens obtidos a partir da formulação manual do padrão de corte são altos,
considerando que as limitações do painel, espessura de serra e bordas esquadrejadas, não
permitem a alocação de mais componentes, entretanto, não foi elaborado um padrão de corte
invertendo as dimensões comprimento e largura, visto a praticidade e experiência dos
desenvolvedores do padrão de corte, e considerando que o projeto refere-se a um armário que
é fabricado com painel que possui revestimento liso. Assim como os rendimentos dos itens, os
rendimentos do y_faixa de cada painel foram altos, em função proximidade da altura dos itens
alocados com a altura dos painéis.
53
5.2. Dados gerados pelo Software
Ao clicar no comando macro disponível na planilha, uma janela é aberta oferecendo a
escolhas dos modelos descritos anteriormente, possibilitando a seleção de padrões de corte
que permite ou não a rotação dos itens, conforme a Figura 24.
Figura 24: Janela de seleção do modelo de padrão de corte.
Inserindo os dados do projeto no programa e considerando as dimensões do painel de 1.830
de largura e 2.750 de comprimento, são gerados os seguintes padrões de corte:
54
Figura 25: Padrão de corte gerado pelo programa.
Os rendimentos obtidos estão expressos na Tabela 4.
1 2 3 4
5 6 7
25 mm
6 mm
8
9 10
55
Tabela 4: Rendimentos obtidos pelo programa.
Painel Rendimento Itens (%) Rendimento y_faixa (%)
1 65,62 82,23
2 65,62 82,23
3 69,71 82,23
4 66,30 82,23
5 66,30 82,23
6 66,30 82,23
7 75,45 98,76
8 41,36 50,18
9 46,87 62,04
10 46,87 62,04
A solução apresentada pelo programa nas condições acima descritas não demonstrou
eficiência em termos de rendimento ao ser comparado com os padrões de corte desenvolvidos
manualmente, consumindo um painel a mais para confecção dos itens. Isto pode ser explicado
pelo fato de ser utilizado a rotação, na qual a maior dimensão dos itens é atribuído ao
comprimento. Como foi atribuído ao painel o comprimento de 2.750 milímetros, os itens
foram alocados no painel obedecendo as características do algoritmo.
Efetuando de forma manual a troca das dimensões do painel, ou seja, atribuindo ao
comprimento o valor da largura e vice-versa, o programa gera a solução dos padrões de corte
representada pela Figura 26.
56
Figura 26: Padrão de corte com troca das dimensões do painel.
A Tabela 5 apresenta os resultados para o novo padrão de corte gerado em função da troca das
dimensões do painel.
1
2
3
4
5
6
7
8 9
25 mm
6 mm
57
Tabela 5: Rendimentos do novo padrão de corte.
Painel Rendimento Itens (%) Rendimento y_faixa (%)
1 84,37 93,41
2 84,37 93,41
3 85,22 93,41
4 85,22 93,41
5 79.59 93,41
6 70,31 75,55
7 27,57 75,55
8 46,87 93,41
9 46,87 93,41
Nota-se que os padrões de corte gerados em função da alteração das dimensões dos painéis se
assemelham com os padrões de corte elaborados manualmente, com diferença na disposição
dos itens no painel. Na Tabela 6, é realizada uma comparação do padrão de corte
desenvolvido pela marcenaria com o padrão de corte gerado pelo programa.
Tabela 6: Comparação entre os padrões de corte.
Painel
Padrões de Corte Marcenaria Padrões de Corte Programa
Rendimento
Itens (%)
Rendimento
y_faixa (%)
Rendimento
Itens (%)
Rendimento
y_faixa (%)
1 84,45 92,90 84,37 93,41
2 84,25 92,90 84,37 93,41
3 74,32 92,90 85,22 93,41
4 68,31 75,14 85,22 93,41
5 60,11 75,14 79.59 93,41
6 77,00 92,90 70,31 75,55
7 63,34 92,90 27,57 75,55
8 46,45 92,90 46,87 93,41
9 46,45 92,90 46,87 93,41
Média 67,19 88,95 66,35 89,44
58
É possível verificar que a solução do programa apresentou um rendimento médio
relativamente inferior à solução praticada pela marcenaria. Contudo, neste caso a utilização
do programa é vantajosa, pois o programa é capaz de gerar resultados instantâneos sem
interferir no processo de corte dos itens, pois em ambos os casos os cortes serão realizados em
2 estágios, além da economia de tempo para desenvolver atividades administrativas dentro da
marcenaria.
Com relação ao rendimento y_faixa, os resultados gerados para este projeto foram irrelevantes
devido à presença de itens com pouca variação de suas dimensões.Os dados referentes ao
posicionamento são ilustrados pela Figura 27.
Figura 27: Dados do posicionamento dos itens no painel.
59
5.3. Simulação de dados para o programa
A simulação de dados para o programa tem como importância demonstrar o comportamento
do algoritmo em situações reais, pois como a marcenaria trabalha sob a produção de móveis
planejados, cada projeto apresenta uma característica peculiar, seja em relação às dimensões
dos componentes, tipo de revestimento do painel, tipo de ferragens utilizadas, etc.
Para esta simulação, foram utilizadas dimensões fictícias de um armário de seis portas e
quatro gavetas, apresentadas na Tabela 7, considerando a fabricação das laterais de gaveta
com 9mm, costas de gaveta, costas do armário e base com 6mm, fundos da gaveta com 3mm
e os demais componentes de 15mm, todos produzidos a partir de painéis com revestimento
laminado.
Tabela 7: Simulação das dimensões dos itens.
Número da peça Comprimento (mm) Largura (mm) Espessura (mm)
1 1812 450 15
2 1812 450 15
3 1640 433 15
4 1640 433 15
5 1640 160 15
6 1640 160 15
7 407 70 15
8 1084 90 15
9 1084 90 15
10 1640 80 15
11 1581 270 15
12 1581 270 15
13 1091 270 15
14 1091 270 15
15 1091 270 15
16 1091 270 15
17 180 542 15
18 180 542 15
19 300 542 15
20 300 542 15
21 407 70 15
60
22 407 70 15
23 1563 50 15
24 1563 50 15
25 350 110 9
26 350 110 9
27 350 110 9
28 350 110 9
29 350 155 9
30 350 155 9
31 350 155 9
32 350 155 9
33 487 110 6
34 487 110 6
35 487 110 6
36 487 110 6
37 1590 535 6
38 1590 535 6
39 1590 535 6
40 534 433 6
41 510 355 3
42 510 355 3
43 510 355 3
44 510 355 3
Com relação aos dados de entrada do programa, as dimensões do painel permanecem a
mesma com exceção da espessura, que varia de acordo com o componente produzido. A
espessura de corte foi considerada de 3mm e o esquadrejamento das bordas de 5mm nos
sentidos de comprimento e largura do painel. O plano de corte resultante da simulação sem
rotação está representada na Figura 28.
61
Figura 28: Padrões de corte do armário seis portas.
15 mm
6 mm
1 2
3
4
9 mm
3 mm 5
62
Os rendimentos para esta simulação são apresentados na Tabela 8.
Tabela 8: Rendimentos do armário para a simulação sem rotação.
Painel Rendimento Itens (%) Rendimento y_faixa (%)
1 73,00 87,61
2 60,67 99,60
3 7,41 12,75
4 59,83 77,49
5 14,46 18,58
Analisando o plano de corte (Figura 28) obtido para os itens com 15mm, é possível observar
que existem muitos espaços vazios no painel 2, nitidamente na segunda faixa, na qual
poderiam ser alocados os itens com menores dimensões correspondentes ao painel 1,
resultando ao painel 1 uma diminuição da altura do y_faixa e conseqüentemente a
possibilidade de aproveitamento do painel para futuros usos. Contudo, a limitação da
heurística de alocação de apenas um item por faixa impede que o rendimento seja maior.
Outra problemática está relacionado com a diferença de comprimento dos itens, como é o
caso dos itens 24 e 13 do painel 2. Como os itens são ordenados em ordem decrescente de
comprimento, não existe nenhuma restrição em relação alocação dos itens, fato que diminui
consideravelmente o rendimento do painel. Este problema poderia ser solucionado com o
acréscimo de uma restrição capaz de restringir diferenças muito elevadas em relação ao
comprimento, ou seja, organizar primeiramente os itens que possuam pequenas diferenças em
ordem decrescente, de forma que os itens que apresentem de grandes variações de
comprimento sejam alocados por último.
Na Figura 29 é apresentado o posicionamento dos itens para a simulação de padrões de corte
sem rotação.
63
Figura 29: Posicionamento dos itens de 25mm de espessura para padrões de corte sem rotação.
A fim de realizar a análise de mais resultados, também foi considerada a geração de padrões
de corte com rotação para as mesmas condições, ou seja, simulação para um armário
fabricado a partir de painéis de MDF com revestimento liso. A Figura 30 ilustra o plano de
corte considerando a rotação dos itens.
64
Figura 30: Plano de corte com rotação dos itens.
15 mm
6 mm
3 mm
1 2
3
4
5
9 mm
65
Os resultados dos rendimentos obtidos com a rotação dos itens são exibidos na Tabela 9.
Tabela 9: Rendimentos do plano de corte com rotação.
Painel Rendimento Itens (%) Rendimento y_faixa (%)
1 89,00 99,96
2 44,66 79,60
3 7,41 12,75
4 59,83 77,49
5 14,46 18,58
Verifica-se que os planos de corte para aos painéis de 9, 6 e 3 milímetros não apresentaram
diferença. Já para os painéis de 15 milímetros, a rotação dos itens resultou em rendimentos
diferentes. É possível observar que o painel 1 apresentou um rendimento 13% a mais do que o
padrão de corte gerado sem a rotação dos itens. Analisando o painel 2, o rendimento do
y_faixa diminuiu de 99,60% para 79,60%, proporcionando maior aproveitamento do painel
para futuros projetos.
Realizando a troca das dimensões, comprimento por largura, e considerando a rotação dos
itens, o programa gera o padrão de corte apresentado a seguir (Figura 31).
66
Figura 31: Padrões de corte com rotação e troca das dimensões.
15 mm
6 mm
3 mm
1
2
3
4
5
9 mm
67
A Tabela 10 apresenta os rendimentos obtidos para o plano de corte ilustrado pela Figura 31.
Tabela 10: Rendimento do plano de corte com a rotação dos itens e troca das dimensões.
Painel Rendimento Itens (%) Rendimento y_faixa (%)
1 91,04 99,29
2 42,63 85,64
3 7,41 19,18
4 59,83 87,12
5 14,46 27,95
É possível observar que a troca das dimensões resultou em um aumento no rendimento em
relação aos itens do primeiro painel, e uma pequena redução do rendimento do segundo
painel. Os rendimentos do y_faixa apresentaram algumas variações, devido à troca das
dimensões do painel (comprimento e largura).
A Tabela 11 apresenta os rendimentos obtidos a partir das simulações realizadas para o
armário seis portas.
Tabela 11: Comparativo entre os rendimentos dos padrões de corte do armário seis portas.
Painel
Sem Rotação Com Rotação Com Rotação e troca das
dimensões
Rend.
Itens (%)
Rend.
y_faixa (%)
Rend.
Itens (%)
Rend.
y_faixa (%)
Rend.
Itens (%)
Rend.
y_faixa (%)
1 73,00 87,61 89,00 99,96 91,04 99,29
2 60,67 99,60 44,66 79,60 42,63 85,64
3 7,41 12,75 7,41 12,75 7,41 19,18
4 59,83 77,49 59,83 77,49 59,83 87,12
5 14,46 18,58 14,46 18,58 14,46 27,95
Analisando a Tabela 11, verifica-se que a rotação dos itens proporciona maior aproveitamento
dos espaços remanescentes no painel.
68
6. CONCLUSÃO
Neste trabalho foi apresentada a utilização do algoritmo First Fit Decreasing Heigth (FFDH)
com representação gráfica para a resolução de problemas de corte de estoque bidimensional
em marcenarias, proporcionando ao usuário uma análise crítica do problema e auxiliando no
processo de tomada de decisão.
O padrão de corte resultante do programa apresentou soluções semelhantes aos padrões de
corte desenvolvidos pela marcenaria neste projeto em específico, demonstrando que esta
heurística apresenta bons desempenhos na elaboração de padrões de corte para projetos que
apresentem itens com pequenas variações de suas dimensões.
Na simulação realizada com itens de dimensões variadas, a utilização deste algoritmo não
obteve resultados eficientes devido à alocação de apenas um item por faixa, entretanto, a
representação gráfica oferece aos usuários planos de corte que podem ser adaptados de acordo
com as características de corte da empresa, além de gerar resultados mais rápidos que os
desenvolvidos manualmente.
Com o intuito de aprimorar os resultados obtidos, novos estudos podem ser realizados
utilizando a combinação de mais algoritmos proporcionando maior eficiência dos
rendimentos.
69
7. REREFÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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