estudio y solución de ecuaciones difierenciales y sus aplicaciones

7/24/2019 Estudio y Solucin de Ecuaciones Difierenciales y Sus Aplicaciones

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FIM-UNCP ECUACIONES DIFERENCIALES

ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

METODOS Y PROCEDIMIENTO DE SOLUCION

PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

ECUACIONESDIF

ERENCIALESPA

RAINGENIERIA

MECANICA

U

N

IV

E

R

S

ID

A

D

N

A

C

IO

N

A

L

D

E

L

C

E

N

T

R

O

D

E

L

P

E

R

U


2/101

ECUACI ONES D I FERENCI ALES PARA I NGENI ERI A MECANI CA


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Ecuaciones DiferencialeS

Ejercicios de Ecuaciones DiferencialesEjercicios de Ecuaciones Diferenciales SeparablesEcuaciones Diferenciales SeparablesEcuaciones Diferenciales HomogneasEjercicios de Ecuaciones Diferenciales HomogneasEcuaciones Diferenciales Con Coeficientes LinealesEjercicios de Ecuaciones Diferenciales Con Coeficientes LinealesEjercicios de Ecuaciones Diferenciales Exactas

Ecuaciones Diferenciales ExactasEcuaciones Diferenciales Transformables a ExactasEjercicios de Ecuaciones Diferenciales Transformables a ExactasEcuaciones Diferenciales LinealesEjercicios de Ecuaciones Diferenciales LinealesEcuaciones Diferenciales de BernoulliEjercicios de Ecuaciones Diferenciales de BernoulliEcuaciones Diferenciales de RicattiEjercicios de Ecuaciones Diferenciales de Ricatti

Bibliografa

INDICE


4/101

!

Ejemplos:

ECUACIONES DIFERENCIALES

Una ecuacin se llama diferencial porque contiene una o ms derivadas

diferenciales. Existen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Eneste

trabajo se estudiarn las Ecuaciones diferenciales Ordinarias, que sonaquellas

que contienen una o ms derivadas de una funcin de una sola variable

independiente.

Las ecuaciones diferenciales tambin se pueden clasificar por el orden y

elgrado. El orden de una ecuacin diferencial es el de la mayor

derivada involucrada en la expresin y el grado el de la potencia de laderivada de

mayor orden.

Este estudio se centrar en las ecuaciones diferenciales ordinarias de

Primer Orden y Primer Grado, es decir ecuaciones que contienenfunciones que

se han derivado una sola vez, con respecto a una variable independientey dicha

derivada est elevada a la potencia uno.


5/101

En las funciones de ambos ejercicios se deriv la variable " y "con respecto a la variable " x " una sola vez x/y y esa derivada

est elevada a la potencia unidad.

Si en el ejercicio "b " se despeja x/y, la ecuacin queda comosigue:

En general suele expresarse una ecuacin diferencial ordinariade primer orden y primer grado de la siguiente manera:

La primera ecuacin est dada en forma explcita, es decir se ex-presa claramente que la funcin " y " fue derivada con respecto ala variable independiente " x ", y la solucin debe expresarse dela misma forma.

La segunda ecuacin est dada en forma implcita, es decir noseala cual es la variable independiente, por lo tanto dicha varia-

ble puede elegirse a conveniencia y la solucin debe darse tam-bin en forma implcita.

Existen diferentes mtodos para resolver este tipo de ecuacio-nes, en este trabajo se presentarn los mtodos de solucin delas ecuaciones diferenciales: Separables, Homogneas, Con Co-eficientes Lineales, exactas, Lineales, de Bernoulli y de Riccati.


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ECUACIONES DIFERECIALES SEPARABLES

Tambin llamadas de variables separables, si la ecuacin est expresada de lasiguiente forma:

f (x.y) es una constante o una funcin slo de " x ", entonces dicha ecuacinsera equivalente af (x)=y/x, puede resolverse integrando directamenteambos lados de la ecuacin, usando los mtodos ordinarios de integracin.

Si en la ecuacinM(x,y)dx +N(x,y)dy = 0, se puede escribir "M " como

una funcin solo de "x " y "N " como una funcin solo de "y ", se obtendra de

manera equivalenteM(x)dx +N(y)dy = 0 , la cual se llama ecuacin de variablesseparables ya que puede escribirse tambin as:

y su solucin se obtiene integrando directamente ambos miembros de laecuacin as:

Est solucin se llama " Solucin General de la Ecuacin Diferencial"

La constante de integracin se escribe de la forma ms conveniente, as enmuchos ejercicios, mltiplos de constantes o combinaciones de constantessuelen sustituirse por una sola constante.

"


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Ejemplo 1:xdx + 3ydy = 0

La estructura de esta ecuacin encaja dentro de la frmula:

M(x)dx +N(y)dy = 0 ; por lo tanto la solucin puede obtenerse aplicandodirectamente los mtodos de integracin ya conocidos.

Ejemplo 2:

Haciendo transposicin de trminos la ecuacin puede escribirse como:2ydy = (5x+ 3)dx

Integrando miembro a miembro queda:


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Las soluciones de las ecuaciones diferenciales pueden comprobarse, si sederiva la funcin obtenida, debe encontrarse la ecuacin original, asprocediendo a derivar la solucin anterior, se tiene:

Solucin Particular de una Ecuacin Diferencial

Si se suministran condiciones inciales en el ejercicio propuesto, entoncesser posible encontrar la solucin particular de la ecuacin diferencial.

Ejemplo 3:

Hallar la solucin particular de la ecuacin diferencial:

Sujeta a la condicin inicial:

y(0) = 4 , es decir y = 4 cuando x = 0

Integrando miembro a miembro, se obtiene la solucin general.

#


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Para obtener la solucin particular se sustituyen los valores de"x " y de

"y " de la siguientemanera:

Luego la solucin particular es:


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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Separables

Ejercicio 1:

Paso 1: Separar variables

Paso 2: Integrar el lado izquierdo de la igualdad por cambio de variables y

el lado derecho por tablas.

Paso 3: Transponer trminos y aplicar propiedades de los logaritmos

Ejercicio 2:


Paso 2: integrar ambos lados despus de dividir los polinomios

$%


11/101

:Paso 3: transponer trminos y aplicar propiedades de loslogaritmos

Ejercicio 3:

Paso 1: transponer trminos

Paso 2: integrar el lado izquierdo de la ecuacin usandomtodos de integracin por partes y el lado derecho por

cambios de variable

Paso 3: transponer trminos

Ejercicio 4:


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Paso 1: escribir y como dx/dy sacar .x. como factor comn en el denominador de lafraccin del lado derecho. Separar variables

Paso 2: integrar el lado izquierdo de la ecuacin por tablas y el lado por

cambio de variable

Paso 3: sacar mnimo comn denominador de ambos lados de la ecuaciny aplicar propiedades de los logaritmos

Ejercicio 5:

Paso 1: sacar factor comn "t" en el numerador de la fraccin del lado

derecho y transponer trminos para separar variables

Paso 2: integrar el lado izquierdo de la ecuacin por tablas y el lado

derecho por cambio de variable

$


13/101

Paso 3: aplicar la condicin inicialy(2)= 2

Ejercicio 6:

Paso 1: transponer trminos y separar variables

Paso 2: integrar por tablas ambos lados de la ecuacin

Paso 3: buscar la inversa de la funcin logartmica

Ejercicio 7:

Paso 1: rescribir la ecuacin


14/101

Paso 2: separar variables

Paso 3: integrar por tablas

Ejercicio 8:

Paso 1: separar variables

Paso 2: Integrar lado izquierdo por sustitucin trigonomtrica (o

directamente por tablas); lado derecho por tablas

Paso 3: despejar "y"

Ejercicio 9:

Paso 1: rescribir la ecuacin

$!


15/101


Paso 3: integrar por tablas ambos lados de la ecuacin

Ejercicio 10:


Paso 2: Integrar lado izquierdo de la ecuacin usando el mtodo de integracin

por partes y el lado derecho por tablas.

Paso 3: Calcular la inversa


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Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"

Paso 2: Derivar con respecto a "y" e igualarlo a "N"

Paso 3: Despejar (y) G e integrar con respecto a "y"

Sustituir (y) G en el paso "1"

Solucin general

Ejercicio 3:

Probar el criterio de exactitud


Paso 2: Derivar este resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N"


Sustituir el resultado en el paso "1"

Solucin General

$"


17/101

Ejercicio 4:

Sujete a la condicin inicial y( 0) =1


Paso 1: Integrar "N" con respecto a "y"

Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "x" e igualarlo con "M"

Paso 3: Despejar (y) G e integrar con respecto a "x", luego sustituir la

condicin inicial y(0)=1.

Solucin general

Si y(0) =1 entonces la solucin particular es:

Ejercicio 5:



Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo con "N"

$&


18/101

$#

ECUACIONES DIFERECIALES HOMOGNEAS

La ecuacin diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0es homognea s M y N

son funciones homogneas del mismo grado, o tambin si la ecuacin puedeescribirse como:

Definicin de funcin Homognea:

Sea la funcin Z = f (x, y) , se dice que es homognea de grado " n " si severifica que f (tx,ty) = t n f (x, y) ; siendo " n " un nmero real. En muchos casosse puede identificar el grado de homogeneidad de la funcin, analizando elgrado de cada

trmino:

f (x, y) consta de trestrminos, el

grado de cada trminose obtiene

sumando los exponentes de las variables, as:


19/101

Por lo tanto la funcin es homognea de grado 4.

Entonces la .(x ,y) es Homognea de grado 0.

Si se determina que en la ecuacin M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 ; M y N sonfunciones homogneas del mismo grado, o si la ecuacin puede escribirsecomo:

$'


20/101

El cambio de variabley = v.x x = v.y transforma la Ecuacin Homognea enEcuacin Separable

Ejemplo 1:

M yN son funciones homogneas de grado 3.

Probando:

SeaM =f (x,y) entonces:

Visto de otra maneraf(x,y)=x+y, ambos trminos de la ecuacin sonde

grado 3 por lo tantof(x,y)es homognea de grado 3.

%


21/101

Por lo tanto "N" es homognea de grado 3

Se puede enfocar tambin de la siguiente manera:

Luego el cambio de variable:

Su derivada es:

dy=vdx +xdv

Transforma la ecuacin en separable

Reduciendo trminos semejantes se tiene:

$


22/101

Integrando se obtiene:

Devolviendo el cambio de variable se tiene:

Siy = v.x entonces:

Ejemplo 2:

Rescribiendo la ecuacin se tiene:

Despjese:


23/101

Se aprecia que:

El cambio de variabley = v.x ; dy = vdx +xdv

Transformar la ecuacin en separable:

Transponiendo dx :

Simplificando:

Transponiendo trminos de nuevo:

Integrando:

Intgrese arctg(v) usando mtodo de integracin por partes, comenzando

con el cambio de variable se tiene:Cambio de variable:

arctgv = u

Derivando:

( $) * $


24/101

Resulta:

La integral

Se resuelve por:

Cambio de variables:

Sustituyendo en la integral se obtiene:

Regresando el cambio de variable

Por lo tanto la integral

Sustituyendo este resultado en la integral (a) se concluye que

!


25/101

Simplificando y devolviendo el cambio

Se obtiene:

Buscando la inversa de la funcin logartmica resulta:

+( $) * $


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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Homogneas

Ejercicio 1:

Paso 1: Hacer transposicin de trminos

Paso 2: Aplicar el cambio de variable

Para obtener:

Paso 3: Integrar lado izquierdo por sustitucin trigonomtrica y lado derecho

por tablas para obtener, despus de revertir el cambio de variable

Ejercicio 2:


Paso 2: Aplicar el cambio de variable.

Para obtener:

"


27/101

Paso 3: Integrar lado izquierdo y derecho por tablas, despus dividir ambos

trminos del numerador de la fraccin entre u2, luego revertir el cambio de

variable.

Equivalente a:

Ejercicio 3:


Paso 2: Aplicar el cambio de variable.

Para obtener:

Paso 3: Integrar ambos lados de la ecuacin por tablas, despus de dividir

ambos trminos del numerador de la funcin del lado derecho entre "u" para

obtener luego de revertir el cambio de variable.

Equivalente a:

&( $) * $


28/101

Ejercicio 4:

Paso 1: Hacer transposicin de trminos para obtener:

Paso 2: Aplicar el cambio de variable

Para obtener:

Paso 3: Integrar lado izquierdo por tablas y lado derecho por cambio de

variable (u+1 = t) para obtener, despus de revertir el cambio de variable

Equivalente a:

Equivalente a:

Ejercicio 5:

#


29/101

Paso 1: Transponer trminos y aplicar el cambio de variabley = vx

Para obtener:

Paso 2: Integrar lado izquierdo por tablas y lado derecho por cambio de

variable para obtener.

Paso 3: Aplicar en propiedades de los logaritmos y revertir el cambio devariable para obtener.

Equivalente a:

Ejercicio 6:

Paso 1: Hacer transposicin de trminos y aplicar el cambio de variable

t = uy dt = udy +ydu para obtener.

Paso 2: Integrar lado izquierdo por tablas y lado derecho mediante el

cambio de variables para obtener despus de revertir el cambio

de variable.

Paso 3: Transponer trminos, resolver la ecuacin y revertir el cambio de

variable para obtener.

'( $) * $


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Ejercicio 7:

Paso 1: Hacer transposicin de trminos y el cambio de variable

y = ux dy = udx +xdu para obtener.

Paso 2: Integrar lado izquierdo aplicando el mtodo de integracin por partes y ladoderecho por tablas para obtener

Equivalente a:

Paso 3: Revertir el cambio de variable y considerar la condicin inicial para

obtener.

Ejercicio 8:

Paso 1: Transponer trminos y hacer el cambio de variable

y = ux dy = udx +xdu para obtener:

%


31/101

Paso 2: Integrar por tablas ambos lados de la ecuacin para obtener

Paso 3: Transponer trminos y revertir el cambio de variable:

Ejercicio 9:

Paso 1: Hacer transposicin de trminos y el cambio de variabley = ux dy = udx +xdu para obtener;

Paso 2: Integrar lado izquierdo haciendo el cambio de variable ln u = t y lado derechopor tablas para obtener;

Paso 3: Revertir el cambio de variable en "t" y el cambio de variable en "u" paraobtener;

Equivalente a:

$( $) * $


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ECUACIONES DIFERECIALES CON COEFICIENTES LINEALES

Estas ecuaciones diferenciales tienen la siguiente estructura:

Tambin suelen llamarse ecuaciones diferenciales transformables ahomogneas.

Para resolver estas ecuaciones diferenciales se deben realizar algunoscambios de variables que permitan eliminar el trmino independiente delcoeficiente lineal (" c " y " f ") conseguido esto, la ecuacin se transforma enhomognea.

Ejemplo 1:

Pasos a seguir:

1. Hacer transposicin de trminos, de manera de darle la estructura

adecuada.

2. Escribir un sistema de ecuaciones en .h.y .k. con los coeficientes lineales y

encontrar los valores de .h.y .k..

Al resolver el sistema resulta:

h = 2

k =3


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3. Hacer el cambio de variables:

4. Sustituir los cambios de variables en la ecuacin.

(3x y 9)dx (xy1)dy =0

Resultando:

Efectuar operaciones y reducir trminos semejantes

Esta es una ecuacin diferencial homognea; proceder en consecuencia.

5. Efectuar un nuevo cambio de variable

6. Hacer la sustitucin en la ltima ecuacin obtenida

7. Efectuar operaciones hasta transformarla en separable

Al simplificar y reducir trminos semejantes resulta:

Al separar las variables e integrar miembro a miembro se obtiene:

( $) * $


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La integral del lado izquierdo es inmediata; la del lado derecho se resuelve porcambio de variables as:

Al sustituir los cambios en la integral resulta:

Sustituyendo este resultado en (*) e integrando el lado izquierdo de esaecuacin se obtiene:

8. Aplicar las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresin

!


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Elevar al cuadrado ambos miembros

9. Revertir todos los cambios de variables y simplificar

Solucin General.

+( $) * $


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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales con Coeficientes Lineales

Ejercicio 1:

Paso 1: Hacer transposicin de trminos para obtener la estructura

Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones

Efectuar el cambio de variable

Sustituir estos valores en la ecuacin del paso "1" para obtener la ecuacinhomognea.

Paso 3: Resolver dicha ecuacin homognea mediante el cambio de variable.

Se obtiene la ecuacin separable

"


37/101

Integrando ambos lados de la ecuacin y revirtiendo los cambios de variable seobtiene:

Ejercicio 2:

Paso 1: Resolver el sistema de ecuaciones

Efectuar el cambio de variable;

es decir,

Sustituir estos valores en la ecuacin original para obtener la ecuacin homognea.

Paso 2: Resolver dicha ecuacin homognea mediante el cambio de variable.

Se obtiene la ecuacin separable

&( $) * $


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Equivalente a:

Paso 3: Integrar ambos lados de la ecuacin separable y revertir los cambios devariable para obtener;

Sugerencia: resuelva la integral

Efectuando el cambio de variable

#


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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Exactas

Ejercicio 1:




Paso 3: Despejar G(y) e integrar con respecto a "y"

Sustituir G(y) en el paso "1"

Solucin general:

Ejercicio 2:


'( $) * $

Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Exactas

Ejercicio 1:






Solucin general:

Ejercicio 2:



40/101



Solucin general

Ejercicio 6:

Rescribir la ecuacin y probar el criterio de exactitud


Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualar a "N"



Solucin general

Ejercicio 7:

!%


41/101


Paso 1: Integrar M con respecto a "x"

Paso 2: Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo a "N"



Ejercicio 8:




!$


42/101

Paso 3: Despejar G(y) e integrarlo con respecto a "y"


Solucin general

Ejercicio 9.


Paso 1: Integrar "M" con respecto a "y" e igualarlo a "N"



Sustituir G(y) en el paso 1

Solucin General

Ejercicio 10:


!


43/101

:Paso 1: Integrar "M" con respecto a "x"




Solucin General

!


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ECUACIONES DIFERECIALES EXACTAS

Se dice que una ecuacin diferencialM(x,y)dx +N(x,y)dy = 0 es exacta si se

verifica que:

Para resolver este tipo de ecuaciones se procede de la siguiente manera:

1. Se integraM(x,y) con respecto a .x. (cuando se integra con

respecto a .x., entonces .y. es constante) se reemplaza la constante de

integracin por una funcin de .y. (G(y)).

2. Se deriva la funcin .(x ,y) + G (y) con respecto a .y., se iguala con N (x, y)

Al despejar

Resulta:

!!


45/101

3. Se integra ambos lados de la ecuacin anterior con respecto a .y. ,

para obtener el valor de G (y) y se sustituye este resultado en el paso "1".

El ejercicio tambin puede resolverse comenzando el proceso deintegracin en el paso " 1 " con respecto a "x".

Ejemplo 1:

Es una ecuacin diferencial exacta ya que:

Luego

Se procede a seguir los pasos de "1" a "3".

1. Se integraM(x,y) con respecto a .x .

2. Se deriva con respecto a "y"

!+


46/101

Se iguala aN(x,y)

Despejando se obtiene:

3. Se integra el resultado anterior con respecto a .y.

Se sustituye G(y) en " 1" obtenindose

Ejemplo 2:

!"


47/101

Es una ecuacin diferencial exacta ya que

2. Derivando F ( x, y) con respecto a "x" se tiene:

!&


48/101

3. Integrando el resultado anterior con respecto a "x" se obtiene:

Sustituyendo el resultado obtenido en " * " se tiene:

!#


49/101

ECUACIONES DIFERECIALES TRANSFORMABLESEXACTAS

Algunas ecuaciones diferenciales M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 pueden resultar noser exactas, es decir no se cumple que:

Pero si se da el caso de que:

No resulta ser una ecuacin diferencial exacta; probando a conseguir un

factor integrante:

!'


50/101

Multiplicando la ecuacin por el factor obtenido resulta:

Probando el criterio de exactitud:

Por lo tanto se obtuvo una ecuacin diferencial exacta, Procediendo segn estecaso:

2. Derivando ( 1) con respecto a " y" e igualando con "N "

Simplificando se obtiene:

G(y) =y

Integrando miembro a miembro

+%


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Sustituyendo este resultado en " * " resulta:

Ejemplo 2:

Entoncesf (x,y) no es una ecuacin diferencial exacta, probando a

conseguir un factor integrante:

Multiplicando la ecuacin por el factor integrante ex se obtiene:

+$


52/101

Resulta una ecuacin diferencial exacta, procediendo en consecuencia:

2. Derivando el resultado con respecto a " y " e igualando " N " resulta:

Reduciendo trminos semejantes se obtiene:

+


53/101

Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales Transformables a Exactas

Ejercicio 1:

Rescribir la ecuacin y probar el criterio de exactitud

Paso 1: Buscar un factor integrante

Multiplicar la ecuacin por el factor integrante y probar de nuevo el criterio deexactitud.


Derivar el resultado con respecto a "x" e igualarla a "M"

Paso 3: Despejar G(y) e integrar el resultado con respecto a "x" (usar

mtodo de integracin por partes).

+


54/101

:Cambios de variables sugeridos para cada una de las integrales:

Sustituir G (y) en el paso "2" y simplificar

Solucin general:

Equivalente a:

Ejercicio 2.

Rescribir la ecuacin y probar el criterio de exactitud.


+!


55/101

Multiplicar la ecuacin por el factor integrante y probar de nuevo el criterio deexactitud.


Derivar el resultado con respecto a "x" e igualar a "M"

Paso 3: Despejar G(y) e integrar el resultado con respecto a "x" (usar

mtodo de integracin por partes).

Cambio de variable sugerido

Por lo tanto;

Sustituir G (y) el resultado en el paso "2"

Solucin general:

Equivalente a:

++


56/101

Ejercicio 3:

Sujeta a la condicin inicial y(2) =1



Multiplicar la ecuacin por el factor integrante y probar de nuevo el criterio deexactitud


Derivar el resultado con respecto a "y" e igualar a "N"

Paso 3: Despejar (y) G e integrar el resultado con respecto a "y"

Solucin general:

+"


57/101

Solucin particular

Equivalente a:

Ejercicio 4:


Paso 1: Buscar el factor integrante

Multiplicar todos los trminos de la ecuacin por el factor integrante y probar denuevo el criterio de exactitud:


Derivar el resultado con respecto a "y" e igualarlo

+&


58/101


Sustituir (y) G en el paso 2

Solucin general

Equivalente a:

Ejercicio 5:

Probar criterio de exactitud


Multiplicar todos los trminos de la ecuacin por el factor integrante y

probar el criterio de exactitud


+#


59/101

Derivar el resultado con respecto a "x" e igualar a "M"

Paso 3: Despejar (y) G e integrar el resultado con respecto a "x" (usar mtodo deintegracin por partes)

Sustituir (y) G en el paso 2

Solucin general:

Ejercicio 6.

Probar criterio de exactitud


Multiplicar todos los trminos de la ecuacin por el factor integrante y probar denuevo el criterio de exactitud.

Paso 2: Integrar "M" con respecto a "x" (usar el mtodo de integracin por partes);

+'


60/101

Derivar el resultado con respecto a "y" e igualar a "N"


Sustituir (y) G en el paso 2 y reducir trminos semejantes

Solucin general:

Equivalente a:

"%


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ECUACIONES DIFERECIALES LINEALES

Solucin de la Ecuacin Diferencial

De la misma manera la ecuacin puede escribirse como:

"$


62/101

El primer miembro de la igualdad no es otra cosa que la derivada con respectoa " x" del producto y x, por lo tanto integrando miembro a miembro

se tiene:

"


63/101

Solucin de la ecuacin diferencial.

Haciendo el procedimiento ms simple, se puede trabajar de la siguiente manera:

1. Identificar P(x) y Q(x)

2. Encontrar el factor integrante, en este caso x(como se obtuvo en el paso dos).

Ejemplo 2:

Recurdese que para que la ecuacin sea lineal debe tener la siguiente

estructura:yP(x)y = Q(x) , donde y denota la derivada de " y" con respecto a "x",

por lo tanto, la ecuacin dada no lleva esa estructura pero si se dividen ambos

lados de dicha ecuacin por la variable "x" se obtiene:

Siguiendo los pasos:

"


64/101

Ejemplo 3:

yxx = y

x denota la derivada de "x" con respecto a "y", dividiendo ambos

lados de la ecuacin entre "y" se obtiene:

"!


65/101

Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales lineales

Ejercicio 1.

Paso 1: Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante

Resolver la integral usando primero el mtodo de integracin por cambio de variable

y luego el mtodo de integracin por partes

Resultado

CV 2. Mtodo de integracin por partes

"+


66/101

Paso 3: Revertir los cambios de variable y despejar la variable "y"

Ejercicio 2:

Paso 1.

Identificar P(x) y Q(x) y calcular el F.I.

Paso 2: Aplicar la formula

Sugerencia: Usar mtodo de integracin por cambio de variable y mtodo deintegracin por partes.

Paso 3: Despejar la variable "y"

""


67/101

Ejercicio 3:



Resolver la integral usando el mtodo de integracin por partes

Paso 3: Despejar la variable .y.

Ejercicio 4.

Paso 1: Multiplicar toda la ecuacin por el factor 1/X para darle la estructura

de la ecuacin diferencial lineal.

"&


68/101

Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante


Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable "y"

Ejercicio 5:

Paso 1: Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante.

"#


69/101

Paso 2: Aplicar la formula;


Ejercicio 6:




"'


70/101

Ejercicio 7.

Paso 1: Multiplicar por el factor1/X toda la ecuacin para obtener la estructura de laecuacin diferencial lineal.

Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante.

Paso 2: Aplicar en la formula


&%


71/101

Ejercicio 8:


Paso 2: Aplicar en la formula


Ejercicio 9:


&$


72/101


Paso 3: Resolver la integral y despejar la variable .y.

Ejercicio 10:

Paso 1: Multiplicar la ecuacin por el factor 1/X para darle la estructura de laecuacin diferencial lineal.

Identificar P(x) y Q(x) y calcular el factor integrante



&


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ECUACIONES DIFERECIALES DE BERNOULLI

Una ecuacin diferencial de Bernoulli tiene la siguiente estructura:

Tambin puede escribirse como y+P(x) y = Q(x) yn

Esta ecuacin diferencial puede transformarse en lineal si se divide

miembro a miembro entre y n , y haciendo luego un cambio de variable.

Procediendo como se indica, se obtiene:

Haciendo el cambio de variable , y derivando parcialmente con

respecto a " x" resulta:

Multiplicando miembro a miembro la ecuacin (1) por (1- n) se obtiene:

Sustituyendo en esta expresin el cambio de variable, puede escribirse

como:

Que es una ecuacin lineal en " w ", ya que (1 - n) es una constante.

Ejemplo 1:

&


74/101

Hgase el cambio de variable , y dervese parcialmente con

respecto a "x.. En este caso n = 3 (exponente de " y " en el ejemplo dado)

quedando:

Se obtuvo una ecuacin lineal en " w ", procediendo en consecuenciase tiene:

&!


75/101

Revirtiendo el cambio de variable

Ejemplo 2:

&+


76/101

&"


77/101

Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Bernoulli

Ejercicio 1.

Paso 1: Multiplicar la ecuacin por el factor 1/X para darle la estructura de laecuacin diferencial de Bernoulli;

Multiplicar por para transformar la ecuacin de Bernoulli en ecuacin lineal

Paso 2: Efectuar el cambio de variable

Multiplicar la ecuacin por -3 y sustituir el cambio de variable

Resolver la ecuacin diferencial lineal, identificando P(x), Q(x) y calcular el factorintegrante

&&


78/101


Resolver la integral y despejar la variable "w"

Revertir el cambio de variable

Ejercicio 2:

Paso 1: Multiplicar la ecuacin por el factor

Paso 2: Hacer el cambio de variable

Multiplicar la ecuacin por "-1" y sustituir


79/101

Paso 3: Resolver la ecuacin diferencial lineal Identificar P(x) y Q(x) y calcular elfactor integrante

Aplicar la formula

Despejar w y revertir el cambio de variable

Ejercicio 3.

Paso 1: Dividir la ecuacin entre y3

Multiplicar la ecuacin por "-2" y escribir la ecuacin lineal

&'


80/101

Paso 2: Resolver la ecuacin lineal:

Calcular el factor integrante

Aplicar en la formula

Paso 3: Integrar el lado derecho y revertir el cambio de variable

Ejercicio 4:

Paso 1: Dividir la ecuacin entre

Realizar el cambio de variable

#%


81/101

Multiplicar la ecuacin por "1/2" y escribir la ecuacin lineal

Paso 2: Resolver la ecuacin lineal.


Aplicar la formula

Paso 3: Resolver la integral aplicando el mtodo de integracin por partes y revertirel cambio de variable.

Ejercicio 5.

Paso 1: Dividir la ecuacin por y2

#$


82/101


Multiplicar la ecuacin por "-1" y escribir la ecuacin lineal

Paso 2. Resolver la ecuacin lineal:



Ejercicio 6:

Paso 1: Multiplicar la ecuacin por .y.

#


83/101


Multiplicar la ecuacin por "2" y escribir la ecuacin lineal

Paso 2: Resolver la ecuacin lineal:


Aplicar la formula


#


84/101

Ejercicio 7:

Paso 1: Multiplicar la ecuacin por .y.


Multiplicar la ecuacin por "2" y escribir la ecuacin lineal

Paso 2: Calcular el factor integrante


#!


85/101

Ejercicio 8:


Quedando


Paso 3: Calcular la integral y revertir el cambio de variable

#+


86/101

Ejercicio 9:



Paso 3: Calcular la integral y revertir el cambio de variable

#"


87/101

Ejercicio 10:

Paso 1: Multiplicar la ecuacin por y2

Realizar el cambio de variables


Paso 3: Resolver la integral (sugerencia ) y revertir el cambio de

variable

#&


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ECUACIONES DIFERECIALES DE RICCATI

Este tipo de ecuacin diferencial tiene la estructura:

En la cual si se conoce alguna raz S(x) del polinomio de segundo grado

en .y., el cambio de variable:

La transforma en una " Ecuacin Diferencial Lineal".

Ejemplo 1:

Pasos a seguir:

##


89/101

3. Despejar z, lo cual se obtiene multiplicando miembro a miembro por

4. Resolver la ecuacin separable :

5. Revertir el cambio de variable despejando " z " de la ecuacin:

Obtenindose:

6. Sustituyendo en " 4 " resulta:

#'


90/101

Ejemplo 2:

Pasos a seguir:

1. Realizar el cambio de variable,

2. Derivar ambos lados de la expresin anterior con respecto a .x.

3. Sustituir los valores de: y e y en el ejemplo

4. Realizar operaciones y reducir trminos semejantes

'%


91/101

5. Multiplicar ambos lados de la ecuacin por -z

6. Transponer trminos para obtener una ecuacin diferencial lineal

7. Resolver la ecuacin diferencial

8. Solucin de la ecuacin diferencial lineal

9. Revertir el cambio de variable y sustituir en el paso anterior

Entonces:

'$


92/101

10. Solucin general de la ecuacin diferencial:

Despejar "y" en funcin de "x"

'


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Ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de Ricatti

Ejercicio 1.

Paso 1: Realizar el cambio de variable

Hacer las sustituciones correspondientes

Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin lineal.

Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante

Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de variable

Ejercicio 2.


'


94/101


Paso 2: Resolver las operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin separable,

z=1

Paso 3: Integrar miembro a miembro para obtener:

z = xc

Revertir el cambio de variable

Ejercicio 3.


Hacer las sustituciones correspondientes:

Paso 2: Resolver las operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin lineal:

z+5xz =1



'!


95/101

Ejercicio 4:



Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes

z6z = 1



'+


96/101

Ejercicio 5:



Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin lineal;

Paso 3: Identificar P(x) , Q(x) y calcular el factor integrante


Ejercicio 6:


'"


97/101


Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin lineal;


Resolver la ecuacin lineal "z" y revertir el cambio de variable: Variable:

Ejercicio 7:



'&


98/101

Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin lineal:


Resolver la ecuacin lineal en .z. y revertir el cambio de variable

Ejercicio 8:



Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener laecuacin separable:

z= 1

'#


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''


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Paso 3: Integrar miembro a miembro.

Al revertir el cambio de variables se obtiene:

$%%


101/101

BIBLIOGRAFA

BERMAN, G.N Problemas y Ejercicios de Anlisis Matemtico

(2daEd.)Mosc:Editorial MIR . BRAUN, M. (1990) Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones,Mxico:Grupo Editorial Iberoamericana, S.A. EDWARDS, C.H y DAVIDE Penney (1986) Ecuaciones DiferencialesElementales con Aplicaciones, Mxico: Prentice HallIberoamericana.

LARSON, Robert y HOSTELLER, Robert (1988) Clculo yGeometra Analtica

(3ra Ed.), Mxico: Mc Graw Hill. LEITHOLD, Louis (1992) El Clculo con Geometra Analtica (6taEd.), Mxico:Harla. NAGLE, Kent y SALF, Edward Fundamentos de EcuacionesDiferenciales (2da

Ed.): Wilmington, Addison-Wesley Iberoamericana, S.A. ONEILL, Peter V. (1998) Matemticas Avanzadas para Ingeniera(3ra Ed.),Mxico: Compaa Editorial Continental, S.A. STEWARD, James (1991) Clculo, Mxico: Grupo EditorialIberoamericano. SWOKOWSKI, Earl (1982) Clculo con Geometra Analtica,California:

$%$

estudio y solución de ecuaciones difierenciales y sus aplicaciones

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