estudio de la resonancia subsÍncrona

UNIVERSIDAD PONTIFICIA COMILLASESCUELA TCNICA SUPERIOR DE INGENIERA (ICAI)INGENIERO INDUSTRIAL

PROYECTO FIN DE CARRERA

ESTUDIO DE LA RESONANCIA SUBSNCRONA

Alumna: Mercedes Valls Rodrguez Director: Luis Rouco RodrguezMADRID, junio de 2009

Autorizada la entrega del proyecto al alumno: Mercedes Valls Rodrguez

EL DIRECTOR DEL PROYECTO Luis Rouco Rodrguez Fdo: Fecha:

V B del Coordinador de Proyectos Toms Gmez San Romn

Fdo:

Fecha:

Resumen

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ResumenESTUDIO DE LA RESONANCIA SUBSNCRONA En este proyecto se analiza el fenmeno de la resonancia subsncrona y el problema de estabilidad en el que se engloba, que es el de la estabilidad de ngulo y las oscilaciones electromecnicas en los sistemas de energa elctrica. Los rotores de los generadores sncronos experimentan oscilaciones naturales poco amortiguadas de frecuencia prxima a 1 Hz cuando se produce una perturbacin, como un cortocircuito en la red elctrica a la que est conectada o una variacin en la potencia mecnica suministrada por la turbina o en la excitacin del generador. La causa de posibles inestabilidades en esta clase de oscilaciones es de tipo elctrico. Otro tipo de modos oscilatorios poco amortiguados que se superponen a las anteriores son las oscilaciones torsionales que tienen lugar en el mismo eje de un generador. El rotor de un turbogenerador, accionado por turbinas de vapor, es un sistema mecnico muy complejo formado por varios elementos de grandes dimensiones acoplados a lo largo de su eje. Su aproximacin por un conjunto de masas concentradas acopladas elsticamente permite determinar los modos oscilatorios torsionales que se presentan de forma natural en el mismo ante la ocurrencia de perturbaciones. Dichos modos presentan frecuencias naturales en el rango subsncrono, esto es, inferiores a la frecuencia fundamental del sistema. Relacionada con los anteriores, la resonancia subsncrona es un fenmeno de inestabilidad en generadores sncronos que afecta a los modos elctricos o mecnicos del sistema que se encuentran en el rango de frecuencias inferiores a la de sincronismo. Se produce por una interaccin de los sistemas elctrico y mecnico asociados al generador sncrono que implica un intercambio de energa entre el generador y la red a una o ms frecuencias naturales del sistema por debajo de la frecuencia fundamental. La situacin ms comn en la que se puede presentar la resonancia subsncrona es en turbogeneradores que estn conectados al sistema a travs de lneas con condensadores en serie. La compensacin serie se utiliza para reducir la reactancia inductiva de la conexin de un generador a una red cuando la longitud de las lneas de

Resumen

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conexin es muy grande. En una situacin as, la resonancia subsncrona puede ocurrir cuando la frecuencia complementaria a la natural de oscilacin de la lnea, debida a la presencia del condensador, est prxima a alguna de las frecuencias naturales de las oscilaciones torsionales del rotor del turbogenerador. La interaccin electromecnica que el fenmeno implica puede producir oscilaciones inestables en los modos torsionales del eje del turbogenerador y tambin en las magnitudes elctricas del sistema. Otras causas de oscilaciones subsncronas inestables pueden ser tambin los sistemas de regulacin del generador interactuando con la red o el sistema mecnico de su eje. Se pueden distinguir tres mecanismos por los que el generador puede interactuar con el sistema provocando resonancia subsncrona: el efecto generador de induccin, interaccin torsional y pares transitorios, pero siempre se trata de una interaccin de una resonancia elctrica o la accin de reguladores del sistema elctrico con las oscilaciones torsionales de un eje. El objetivo del presente proyecto ha sido el desarrollo de modelos de clculo detallados para la realizacin de simulacin en el tiempo de grandes perturbaciones, anlisis modal y el anlisis modal selectivo del fenmeno de la resonancia subsncrona en el caso de un turbogenerador conectado a una red elctrica a travs de una lnea compensada serie. El anlisis modal del fenmeno de la resonancia subsncrona consiste en el clculo de los autovalores, autovectores y factores de participacin de la matriz de estados del modelo dinmico lineal que resulta de la linealizacin alrededor de un punto de funcionamiento del modelo dinmico no lineal de turbogenerador y de su conexin a la red a travs de la lnea con compensacin serie. La respuesta en el tiempo ha mostrado la presencia de oscilaciones torsionales inestables. El autoanlisis del modelo lineal ha permitido caracterizar la oscilacin torsional inestable. Se ha explorado tambin la variacin del amortiguamiento de los modos torsionales la variar el factor de compensacin de la lnea. El anlisis modal se ha complementado con el Anlisis Modal Selectivo (SMA) del fenmeno. El SMA permite, de forma general, obtener modelos reducidos de los sistemas dinmicos L.T.I. que representen con precisin nicamente los modos asociados a una dinmica de inters del sistema. Su aplicacin al estudio de la

Resumen

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resonancia subsncrona permite una simplificacin de los clculos y una mejor interpretacin fsica del fenmeno y de los resultados obtenidos. En particular, el Anlisis Modal Selectivo ha permitido estudiar los modos torsionales del turbogenerador y la influencia de la parte elctrica del sistema en su estabilidad mediante la obtencin del modelo reducido del sistema mecnico. Sobre dicho modelo, se han aplicado las tcnicas de anlisis modal mediante las que representar el sistema para cada modo como un modelo masa-muelle ficticio, caracterizado por los parmetros H (inercia), K (rigidez) y D (amortiguamiento) modales. Dichos parmetros recogen la dinmica del sistema completo y reflejan las inestabilidades que puedan darse en los modos torsionales. Tambin se ha procedido a descomponer estos parmetros en aportaciones de los diferentes subsistemas de la unidad generadora, que son: el sistema mecnico (siempre estable de forma aislada) y el sistema elctrico (mquina elctrica, sistema de turbinas, excitacin y condensador de la red elctrica). De esta forma, en el caso de producirse la inestabilidad de un modo torsional, se puede identificar en qu subsistema est la causa segn el valor que tomen los parmetros modales, en especial el amortiguamiento. As se simplifica el estudio del fenmeno y desaparece la necesidad de analizar las participaciones del sistema completo.

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SummarySTUDY OF SUBSYNCHRONOUS RESONANCE The subsynchronous resonance phenomenon is analyzed in this project within the framework of the rotor angle stability problem and electromechanic oscillations in power systems. The rotor of a synchronous generator experiences poorly damped natural oscillations at a very low frequency (about 1 Hz) whenever a disturbance affects it, such as a short-circuit in the transmission line to which it is connected or a sudden change in the mechanic input or in the excitation voltage value. Possible instabilities of these oscillations are due some aspect of the electric system. Simultaneously with the oscillation of the entire generator rotor with respect to the system, poorly damped torsional oscillations between different sections of a turbinegenerator rotor occur naturally after small disturbances. The rotor of a thermal generating unit is a complex mechanic system, made up of large machined shaft sections coupled together. A representation of several predominant masses connected by shafts of finite stiffness accounts for those natural modes of torsional oscillation that are below the synchronous frequency. Subsynchronous resonance is a dynamic problem that affects synchronous generators that can bring about the instability of some mechanic and electric modes of the system that oscillate below the rated frequency. It is due to an interaction between electric and mechanic dynamics that involves an exchange of energy between the network and the generator at one or more subsynchronous frequencies. The most common situation in which subsynchronous resonance can take place is when a synchronous generator is connected to the network through a series compensated line. Series compensation consists of a series capacitor in the line and its purpose is to compensate for its inductive reactance when the transmission line is too long. In such a situation, subsynchronous resonance is bound to happen if the complementary of the natural frequency of the transmission line, due to the capacitor, is close to any of the natural torsional frequencies of the rotor.

Summary

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This electromechanic interaction can destabilize not only the turbine-generator torsional oscillations, but also currents and voltages of the electric system. Unstable subsynchronous oscillations can also be caused by the interaction of the generator regulation systems interacting with the network or the rotor shaft. Instability due to subsynchronous resonance can take place in three different ways: the generatorinduction effect, torsional interaction and transient torques. However, it is always a matter of an electric resonance or the action of a regulator interacting with the torsional oscillations of the generator rotor. The main purpose of this Project has been to develop highly detailed mathematic models for numerical integration, modal analysis and selective modal analysis of the subsynchronous resonance problems that may affect a single turbine-generator connected to the network through a series compensated transmission line. The modal analysis involves the calculation of the eigenvalues, eigenvectors and participation factors of the estate matrix. The state matrix is obtained from the linearization of the nonlinear dynamic model of the turbine-generator and its connection to the network. Time response has shown the presence of unstable torsional oscillations due to the capacitor effects. The eigenanalysis of the linear model has made it possible to determine the characteristics and reasons of the instability. The variation in the damping of each mode of interest in the system and its dependence of the compensation level of the line has also been studied. The eigenalysis has been completed with the Selective Modal Analysis (SMA) of the phenomenon. In a general way, he SMA lets us obtain reduced order dynamic models of LTI systems that account accurately for the modes of some specific dynamics of interest. Its application to the study of subsynchronous resonance makes calculus less complex and provides a clearer physical interpretation of the problem. In particular, Selective Modal Anlisis, makes it posible to study the torsional modes of the turbine-generator and the influence that the electric system has in them by obtaining a reduced model of the mechanic system. Some modal analysis techniques have been applied to this model to obtain a fictitious single spring-mass model for each torsional mode, characterized by the modal parameters H (inertia), K

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(stiffness) and D (damping). Those parameters account for the complete system effects on the mechanic dynamics and reflect the possible instabilities of the torsional modes. Afterwards, the modal parameters have been split into contributions of the different subsystems of the generating unit, which are: the mechanic system (always stable if isolated) and the electric system (electric machine, turbines and governor, exciter, capacitor). This way, if a torsional mode turns out to be unstable, the decomposition of the modal parameters will let us determine the origin of such instability. Therefore, the study of the subsynchronous resonance problem is simplified and the need of analysing the complete system disappears.

ndice

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ndice1 INTRODUCCIN............................................................................................................................ 15

1.1 Tema del proyecto ............................................................................................ 151.1.1 1.1.2 1.1.3 Oscilaciones electromecnicas de generadores sncronos Oscilaciones torsionales de turbogeneradores Resonancia subsncrona 15 15 16

1.2 Objetivos del proyecto ..................................................................................... 16 1.3 Organizacin del documento ......................................................................... 172 SISTEMAS DINMICOS............................................................................................................... 18

2.1 Modelos lineales y no lineales ........................................................................ 18 2.2 Solucin de sistemas dinmicos no lineales ................................................. 20 2.3 Solucin de los sistemas dinmicos lineales................................................. 212.3.1 Autovalores y autovectores 22

2.4 Residuos............................................................................................................. 252.4.1 2.4.2 Sensibilidades Factores de participacin 26 26

3 OSCILACIONES ELECTROMECNICAS Y TORSIONALES DE UN GENERADOR .... 28

3.1 Oscilaciones electromecnicas........................................................................ 283.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 Modelo no lineal Simulacin del modelo no lineal Modelo lineal Simulacin y anlisis del modelo lineal 28 33 35 37

3.2 Oscilaciones torsionales................................................................................... 393.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 3.2.5 Modelo no lineal Simulacin del modelo no lineal Modelo lineal Simulacin y anlisis del modelo lineal Parmetros modales 39 44 47 49 55

4 RESONANCIA SUBSNCRONA.................................................................................................. 60

4.1 Introduccin a la resonancia subsncrona..................................................... 604.1.1 4.1.2 4.1.3 Resonancia elctrica en lneas con compensacin serie Tipos de interacciones debidos a la resonancia subsncrona Tcnicas de anlisis 61 63 64

ndice

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4.2 Modelo simplificado ........................................................................................ 654.2.1 4.2.2 Simulacin del modelo simplificado Anlisis del modelo simplificado lineal 67 68

4.3 Modelo detallado.............................................................................................. 694.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 Modelo no lineal Simulacin del modelo no lineal Modelo lineal Anlisis del modelo lineal 70 84 93 97

5 ANLISIS MODAL SELECTIVO DE LA RESONANCIA SUBSNCRONA..................... 106

5.1 Anlisis Modal Selectivo ............................................................................... 106 5.2 Parmetros modales de los modos torsionales por medio del Anlisis Modal Selectivo .............................................................................................. 1105.2.1 5.2.2 5.2.3 Descomposicin de los parmetros modales en componentes elctrica y mecnica Descomposicin de De y Ke en aportaciones de los distintos bloques Resultados obtenidos en el estudio de los modos torsionales con SMA 110 113 113

6 CONCLUSIONES........................................................................................................................... 113 7 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................................................... 113

Introduccin

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ndice de FigurasFigura 2-1: Relacin entre la localizacin de los autovalores de la matriz de estados y la respuesta temporal ante un impulso......................................................................................... 24 Figura 3-1: Circuito equivalente de un generador sncrono para estudios de estabilidad............ 31 Figura 3-2: Diagrama unifilar de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita............................................................................................................................................ 31 Figura 3-3: Circuito equivalente de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita............................................................................................................................................ 32 Figura 3-4:.Simulacin de la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta trifsica franca: variacin de velocidad y ngulo del rotor. ..................................................................................................... 34 Figura 3-5:.Simulacin de la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variacin de potencia mecnica suministrada por la turbina: variacin de velocidad y ngulo del rotor.............................. 38 Figura 3-6. Estructura del sistema de masas del rotor de un turbogenerador................................ 40 Figura 3-7: Diagrama de masas y muelles de un turbogenerador.................................................... 40 Figura 3-8: Pares actuando sobre una masa genrica j del eje........................................................... 43 Figura 3-9:.Simulacin de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variacin de velocidad de las turbinas de alta presin y presin intermedia......................................................................................... 46 Figura 3-10:.Simulacin de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variacin de velocidad de las turbinas de baja presin.............................................................................................................................. 46 Figura 3-11: Simulacin de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variacin de velocidad del generador y de la excitatriz............................................................................................................................... 47 Figura 3-12: Simulacin de las oscilaciones de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variacin del ngulo del rotor del generador. ....... 47 Figura 3-13:.Simulacin de la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variacin de potencia mecnica suministrada por la turbina de alta presin: variacin de velocidad de las turbinas de alta presin y presin intermedia. ............................................................................................. 50 Figura 3-14:.Simulacin de la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variacin de potencia mecnica suministrada por la turbina de alta presin: variacin de velocidad de las turbinas de baja presin. .................................................................................................................................. 50

ndice de Figuras

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Figura 3-15:.Simulacin de la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variacin de potencia mecnica suministrada por la turbina de alta presin: variacin de velocidad del rotor del generador y de la excitatriz. ....................................................................................................... 51 Figura 3-16: Simulacin de la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variacin de potencia mecnica suministrada por la turbina de alta presin: variacin del ngulo del rotor del generador. ..................................................................................................................................... 51 Figura 3-17:. Forma de los modos torsionales 1, 2 y 3 (componentes de los autovectores) de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia ............................................................ 53 Figura 3-18: Forma de los modos torsionales 4, 5 y 6(componentes de los autovectores) de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita .................................................... 53 Figura 3-19:.Participaciones de los modos torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita. ........................................................................................................... 54 Figura 3-20: Diagrama de masas, muelles y amortiguadores de un turbogenerador.................... 58 Figura 4-1: Esquema unifilar equivalente de una lnea compensada serie ..................................... 61 Figura 4-2: Circuito equivalente de un generador sncrono conectado a un punto de red infinita a travs de un condensador serie ................................................................................. 66 Figura 4-3: Simulacinde las oscilaciones elctricas de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita a travs de una lnea compensada serie cuando se produce una variacin de tensin en el nudo de potencia infinita: componentes del flujo en la inductancia equivalente .............................................................................................................. 67 Figura 4-4: Simulacin de las oscilaciones elctricas de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita a travs de una lnea compensada serie cuando se produce una variacin de tensin en el nudo de potencia infinita: componentes de la tensin del condensador. ............................................................................................................ 68 Figura 4-5: Conexin de un turbogenerador a un nudo de potencia infinita a travs de una lnea compensada serie. .............................................................................................................. 70 Figura 4-6: Tensiones consideradas en el modelo electromagntico................................................ 71 Figura 4-7: Circuito equivalente del generador con un devanado amortiguador en eje q............ 73 Figura 4-8: Circuito equivalente del generador con dos devanados amortiguadores en eje q..... 74 Figura 4-9: Diagrama fasorial del sistema de referencia y las tensiones.......................................... 76 Figura 4-10: Diagrama de bloques de una excitacin esttica y del regulador de tensin............ 76 Figura 4-11: Seleccin de variables de estado de una excitacin esttica. ....................................... 77 Figura 4-12: Modelo de una turbina de vapor y del regulador de turbina. .................................... 78 Figura 4-13: Seleccin de variables de estado de una turbina de vapor. ......................................... 79

Introduccin

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Figura 4-14: Simulacin de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variacin de velocidad de las turbinas de alta presin y presin intermedia......................................................................................... 85 Figura 4-15: Simulacin de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variacin de velocidad de las turbinas de baja presin.............................................................................................................................. 86 Figura 4-16: Simulacin de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variacin de velocidad del generador y de la excitatriz............................................................................................................................... 86 Figura 4-17: Simulacin de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variacin del ngulo del rotor del generador. ..................................................................................................................................... 87 Figura 4-18: Datos de la lnea................................................................................................................. 88 Figura 4-19: Modelo alternativo de sistema de excitacin................................................................. 89 Figura 4-20: Modelo altenativo de sistema de turbinas y regulador................................................ 89 Figura 4-21: Simulacin de la oscilacin torsional de las turbinas de baja presin ante una falta y con un Factor de Compensacin del 45%. .................................................................... 90 Figura 4-22: Simulacin de la oscilacin torsional de las turbinas de alta y media presin ante una falta y con un Factor de Compensacin del 45%.............................................................. 91 Figura 4-23: Simulacin de la oscilacin torsional del rotor del generador ante una falta y con Factor de Compensacin del 45%....................................................................................... 91 Figura 4-24: Simulacin de la oscilacin torsional de las turbinas de alta y media presin ante una falta y con un Factor de Compensacin de 1.5%.............................................................. 92 Figura 4-25: Simulacin de la oscilacin torsional de las turbinas de baja presin ante una falta y con un Factor de Compensacin de 1.5% ..................................................................... 92 Figura 4-26: Simulacin de la oscilacin torsional del rotor del generador ante una falta y con un Factor de Compensacin de 1.5%......................................................................................... 93 Figura 4-27: Variacin del amortiguamiento de los modos elctricos supersncrono y subsncrono al variar el factor de compensacin de la lnea................................................ 101 Figura 4-28: Variacin del amortiguamiento de los modos torsionales al variar el factor de compensacin de la lnea. ......................................................................................................... 102 Figura 4-29: Variacin del amortiguamiento del modo electromecnico al variar el factor de compensacin de la lnea. ......................................................................................................... 102 Figura 4-30: Parte real de los autovalores en funcin del factor de compensacin..................... 104 Figura 4-31: Amortiguamiento de los modos en funcin del factor de compensacin ............... 104 Figura 4-32: Frecuencia de los modos en funcin del factor de compensacin ............................ 105 Figura 5-1: Representacin en forma de diagrama de bloques del sistema dinmico lineal con separacin de dinmicas relevantes y menos relevantes. .................................................... 107

ndice de Figuras

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Figura 5-2: Representacin en forma de diagrama de bloques del sistema dinmico lineal con representacin de la dinmica menos relevante como funcin de transferencia matricial....................................................................................................................................... 109 Figura 5-3: Modelo masa-muelle equivalente para cada modo con descomposicin de los parmetros modales K y D ....................................................................................................... 113

1 Introduccin

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1 IntroduccinEste captulo presenta el tema del proyecto, los objetivos del mismo y la organizacin del documento.

1.1 Tema del proyecto1.1.1 Oscilaciones electromecnicas de generadores sncronos

Los rotores de los generadores sncronos experimentan oscilaciones naturales poco amortiguadas de frecuencia prxima a 1 Hz cuando se produce un cortocircuito en la red elctrica a la que est conectado el generador o cuando vara la potencia mecnica suministrada por la turbina o la excitacin del generador ([1], [3], [4]). La estabilidad de los generadores sncronos est interesada en capacidad de estas mquinas de seguir funcionando en sincronismo, a velocidad constante e igual a la de sincronismo, cuando se producen perturbaciones. Se habla de estabilidad de gran perturbacin cuando la perturbacin que ocurre es un cortocircuito en la red elctrica. En este caso las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento dinmico no se pueden linealizar para el anlisis del fenmeno. Se habla de estabilidad de pequea perturbacin cuando la perturbacin que tiene lugar es una variacin de la potencia mecnica suministrada por la turbina o la excitacin del generador. En este caso las ecuaciones diferenciales que rigen el comportamiento dinmico se pueden linealizar alrededor del punto de funcionamiento para el anlisis. 1.1.2 Oscilaciones torsionales de turbogeneradores

Los turbogeneradores son generadores sncronos accionados por turbinas de vapor. Constituyen un complejo sistema mecnico formado por masas, correspondientes a cada uno de los cuerpos de las turbinas y del generador sncrono, acopladas elsticamente [5].

1 Introduccin

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Los rotores de los turbogeneradores presentan oscilaciones torsionales en el margen de frecuencias subsncrono, es decir, inferiores a la frecuencia fundamental (50 Hz). Las oscilaciones torsionales son debidas a los acoplamientos elsticos entre las masas de los turbogeneradores. En las oscilaciones electromecnicas (de frecuencia prxima a 1 Hz), todas las masas del rotor del turbogenerador oscilan al unsono. Por tanto, el lmite inferior del margen de frecuencias de las oscilaciones torsionales es 1 Hz. Las oscilaciones torsionales pueden ser excitadas por perturbaciones como los cortocircuitos en la red y la sincronizacin fuera de fase. Si bien los rotores de los turbogeneradores estn diseados para soportar los pares que resultan de dichas perturbaciones, la determinacin de la fatiga debido a ellas ha sido un tema de gran inters en la literatura tcnica [6]. 1.1.3 Resonancia subsncrona

La resononancia subsncrona estudia la inestabilidad de las ocilaciones torsionales de turbogeneradores conectados a travs de lneas con compensacin serie. Una lnea elctrica con compensacin serie tiene instalado un condensador en serie con la lnea. La compensacin serie se utiliza para reducir la reactancia inductiva de la conexin de un generador a una red cuando la longitud de las lneas de conexin es muy grande. La resonancia subsncrona puede ocurrir cuando la frecuencia natural de oscilacin de la lnea con compensacin serie est prxima a una de las frecuencias de las oscilaciones torsionales del rotor del turbogenerador [7].

1.2 Objetivos del proyectoEl objetivo del presente proyecto es el desarrollo de modelos de clculo para la realizacin del anlisis modal y del anlisis modal selectivo del fenmeno de la resonancia subsncrona en el caso de un turbogenerador conectado a una red elctrica a travs de una lnea compensada serie. El anlisis modal del fenmeno de la resonancia subsncrona consiste en el clculo de los autovalores, autovectores y factores de participacin de la matriz de estados del modelo dinmico lineal resultante de la linealizacin alrededor de un punto de funcionamiento del modelo dinmico no lineal de turbogenerador y de su conexin a la red a travs de la lnea con compensacin serie.

1 Introduccin

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El anlisis modal se complementar con el Anlisis Modal Selectivo del fenmeno. El Anlisis Modal Selectivo permitir la obtencin de los parmetros H (inercia), K (rigidez) y D (amortiguamiento) modales y su descomposicin en contribuciones de los subsistemas de la unidad generadora ([8], [9]).

1.3 Organizacin del documentoEste proyecto tiene otros seis captulos. El captulo 2 introduce los conceptos fundamentales de los sistemas dinmicos. El captulo 3 presenta los fenmenos de las oscilaciones electromecnicas y torsionales de un generador sncrono. El captulo 4 presenta el fenmeno de la resonancia subsncrona. El captulo 5 aborda el anlisis modal selectivo de la resonancia subsncrona. El captulo 6 ofrece las conclusiones del proyecto. El captulo 7 contiene las referencias bibliogrficas.

2 Sistemas dinmicos

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2 Sistemas dinmicosEste captulo presenta los conceptos fundamentales del modelado, simulacin y anlisis de sistemas dinmicos.

2.1 Modelos lineales y no linealesConsidrese un sistema dinmico cuyo comportamiento viene descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas no lineales escritas de la forma:

0 = H ( x, z, u )

& x = G ( x, z, u )

(2.1)

Donde G y H son vectores de funciones no lineales, x son las variables de estado,

z son las variables algebraicas y u son las variables de entrada.x N 1 z M 1 u L1El estado de un sistema es el conjunto mnimo de variables del sistema que, junto con el valor de las entradas al sistema, proporcionan una descripcin completa del comportamiento del sistema. Cualquier conjunto de n variables linealmente independientes del sistema puede constituir el vector de estado y el resto de variables del sistema podrn determinarse con el conocimiento del estado del mismo. La eleccin de las variables de estado implica que, aunque el estado del sistema en un instante determinado sea nico, su representacin no lo es. El estado del sistema de representa en un espacio Eucldeo N-dimensional llamado espacio de estado, perteneciente a Nx1 . Cambiar la eleccin de variables de estado supone realizar un cambio de coordenadas del sistema. Cuando el sistema dinmico est expresado en trminos de las variables de estado y de las variables algebraicas, se dice que est escrito en forma implcita.

2 Sistemas dinmicos

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Si el tipo de estabilidad que se quiere estudiar en un sistema no lineal es local, es decir, intenta determinar si es sistema puede permanecer alrededor del punto de equilibrio cuando es sometido a pequeas perturbaciones, entonces puede analizarse linealizando las ecuaciones de estado en el punto de trabajo y determinar as si el sistema es estable en esas condiciones de funcionamiento. Si el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (2.1) se linealiza alrededor del punto de trabajo x = x 0 , z = z 0 , u = u 0 , resulta:

G ( x, z, u ) G ( x, z, u ) x z & x x = x0 , z = z 0 ,u = u 0 x = x0 , z = z 0 ,u =u0 x = H ( x, z, u ) 0 H ( x, z, u ) z x x x = x 0 , z = z 0 ,u = u 0 x = x 0 , z = z 0 ,u = u0 G ( x, z, u ) u x = x 0 , z = z 0 ,u = u0 + u H ( x, z, u ) u x = x0 , z = z 0 ,u = u 0 A A x B = 1 2 + 1 u A 3 A 4 z B 2 De esta manera, las variables pasan a ser incrementales: (2.2)

x = x x 0 , z = z z 0 , u = u u 0Si se eliminan las variables algebraicas z de las ecuaciones (2.1), entonces el sistema dinmico queda descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales expresadas en trminos de las variables de estado x y de las variables de entrada u :

& x = F ( x, u )

(2.3)

Cuando el sistema dinmico est expresado en trminos de las variables de estado, se dice que est escrito en forma explcita. Si el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (2.3) se linealizan alrededor del punto de trabajo x = x 0 , u = u 0 , resulta:

2 Sistemas dinmicos

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& x =

F ( x, u ) F ( x, u ) + u x x = x ,u = u u x = x ,u = u0 0 0 0

(2.4)

= Ax + BuPor supuesto, no siempre es posible eliminar las variables algebraicas de un sistema dinmino no lineal escrito en forma implcita (2.1) para pasar a otro escrito en forma explcita (2.3). Sin embargo, siempre es posible pasar de un sistema dinmico lineal escrito en forma implcita (2.2) a otro escrito en forma explcita (2.4).

A = A1 A 2 A 1A 3 4 B = B1 A 2 A 1B 2 4

(2.5)

2.2 Solucin de sistemas dinmicos no linealesLa solucin del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales se obtiene por simulacin en el dominio del tiempo. La simulacin en el dominio del tiempo consiste en la integracin numrica de las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento dinmico del sistema. Un algoritmo de integracin numrica de las ecuaciones diferenciales, obtiene en el caso ms sencillo las variables de estado en el paso k + 1 a partir de las variables de estado en el paso anterior k :

x k +1 = ( x k )siendo una funcin que depende del mtodo considerado. El mtodo de Euler predictor-corrector obtiene x k +1 en dos pasos:

& x k +1 = x k + x k t = x k + F ( x k ) t t t & & x k +1 = x k + x k + x k +1 = x k + F ( x k ) + F ( x k +1 ) 2 2

El mtodo de Runge-Kutta de orden 4-5 se obtiene x k +1 segn:

2 Sistemas dinmicos

21

x k +1 = x k + k1 = F ( x k )

1 ( k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 6

k k2 = F x k + 1 2 k k3 = F x k + 2 2 k 4 = F ( x k + k3 )

2.3 Solucin de los sistemas dinmicos linealesLa solucin del sistema de ecuaciones diferenciales lineales cuando se produce la variacin de una de las variables de entrada u tiene dos componentes: la solucin homognea y la solucin particular de la completa. La solucin homognea es la solucin que corresponde a entrada nula y condiciones iniciales no nulas. La solucin particular de la completa es la solucin que corresponde a condiciones iniciales nulas y entradas no nulas. La solucin del sistema de ecuaciones diferenciales (2.4) cuando se puede expresar en trminos de la exponencial de la matriz de estado A de acuerdo con la expresin:

x ( t ) = x h ( t ) + x p ( t ) = e

A ( t t0 )

x ( t 0 ) + et0

t

A ( t0 )

bu ( ) d

(2.6)

La exponencial de la matriz de estado A se puede calcular usando el desarrollo en serie de Taylor:

e At = I +

A A2 2 t+ t +L 1! 2!

Sin embargo, este mtodo no es siempre numricamente robusto. Una solucin numricamente robusta y llena de sentido fsico se puede obtener en trminos de los autovalores y autovectores de la matriz de estado.

2 Sistemas dinmicos

22

2.3.1

Autovalores y autovectores

Una alternativa llena de significado fsico est basada en los autovalores y autovectores de la matriz de estado A . Esta matriz contiene la informacin necesaria para determinar la estabilidad local del sistema que representa. Un autovalor i de la matriz de estado A y los correspondientes autovectores derecho v i e izquierdo w i asociados se definen como:

Av i = v i i

(2.7) (2.8)

wT A = i w T i i

Las entradas de los autovectores derechos tienen las mismas dimensiones fsicas que el estado correspondiente y los izquierdos, tienen las dimensiones inversas. Por otro lado, el estudio de las ecuaciones (2.7) y (2.8) indica que los autovalores derecho e izquierdo no estn determinados de forma nica (stos se calculan como la solucin de un sistema lineal de N ecuaciones y N+1 incgnitas). Una forma de eliminar el grado de libertad es introducir la siguiente normalizacin, ya que el autovector izquierdo de un autovalor es ortogonal al autovector derecho de otro:

wT vi = 1 i

(2.9)

En el caso de N autovalores distintos, las ecuaciones (2.7)-(2.9) se pueden escribir juntas para todos los autovalores en forma matricial:

A [ v1 L v N ] = [ v1

1 L 0 L vN ] M O M 0 L N (2.10)

T T w1 1 L 0 w1 M A = M O M M wT 0 L N w T N N T w1 1 L 0 M [ v1 L v N ] = M O M wT 0 L 1 N

2 Sistemas dinmicos

23

o en forma ms compacta como:

AV = V WA = W WV = Idonde , V y W son respectivamente las matrices de los autovalores y los autovectores derechos e izquierdos: (2.11)

1 O = N V = [ v1 L v N ] wT 1 W= M wT NSi la exponencial de la matriz de estado e At se expresa en trminos de los autovalores y de los autovectores derechos e izquierdos de la matriz de estados A , resulta:

VW V2 W 2 e = VW + t+ t +L 1! 2! 2 = V I + t + t 2 + L W = Ve t W 2! 1! At

(2.12)

La solucin (2.6) del sistema de ecuaciones diferenciales (2.4) en trminos de los autovalores y autovectores de una matriz:

x ( t ) = Ve

( t t0 )

Wx ( t0 ) + Vet0

t

( t0 )

Wbu ( ) d

(2.13)

Por otra parte, la solucin homognea (2.4) del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (2.4) se puede expresar en trminos de los autovalores y de los autovectores derechos e izquierdos de la matriz de estados A como:

x ( t )h = Ve t Wx ( t0 ) = v i eit w T x ( t0 ) i i =1

N

(2.14)

2 Sistemas dinmicos

24

El estudio de la ecuacin (2.4) permite obtener las siguientes conclusiones. El estado del sistema evoluciona segn una combinacin de la respuesta del sistema para N modos distintos, determinados por sus autovalores y autovectores. Los autovalores de la matriz de estado A determinan la estabilidad del sistema. Un autovalor real negativo (positivo) indica un comportamiento exponencial decreciente (creciente) mientras que un autovalor complejo con parte real negativa (positiva) indica un comportamiento oscilatorio decreciente (creciente), tal y como se muestra en la Figura 2-1. La excitacin total de cada modo i se reparte entre los distintos estados segn lo indica el autovector derecho v i ; sus componentes indican la actividad relativa de cada variable en el modo i-simo. Las componentes de autovector izquierdo w i pesa las condiciones iniciales en la costruccin del modo i-simo.

Imag

Re

Figura 2-1: Relacin entre la localizacin de los autovalores de la matriz de estados y la respuesta temporal ante un impulso.

2 Sistemas dinmicos

25

2.4 ResiduosConsidrese que se define en el sistema una variable de salida y . Entonces la descripcin del sistema queda en la forma:

& x ( t ) = Ax ( t ) + bu ( t )

y ( t ) = cx ( t )

(2.15)

La funcin de transferencia expresada en trminos de los polos y los residuos queda:N y ( s ) R 1 = c ( sI A ) b = i u ( s ) i =1 s pi

(2.16)

La funcin de transferencia (2.16) tambin se puede expresar en trminos de los autovalores y autovectores de la matriz de estados como:N y ( s ) cv w T b 1 = cV ( sI ) Wb = i i u ( s ) i =1 s i

(2.17)

Por tanto los autovalores son los polos de cualquier funcin de transferencia que se pueda considerar pi = i y los residuos se puedan calcular en trminos de los autovectores derechos e izquierdos como:

Ri = cv i w T b i

(2.18)

Los residuos se pueden descomponer en trminos de los factores de observabilidad y controlabilidad modal. En efecto, si se considera la transformacin:

cx = V = WxLa ecuacin (2.15) resulta:

& ( t ) = ( t ) + bWu ( t ) y ( t ) = cV ( t )o tambin:

2 Sistemas dinmicos

26

& i ( t ) = i i ( t ) + bw T u ( t ) i i = 1,K , N y ( t ) = cv i i ( t )

(2.19)

De donde se deducen los factores modales de observabilidad y controlabilidad:

ci ,y = cv ibi , u = bw T i2.4.1 Sensibilidades

La sensibilidad del autovalor i con relacin a un parmetro q de la matriz de estados se puede calcular como:

A ( q ) i = wT vi i q q

(2.20)

Si el parmetro es un elemento diagonal de la matriz de estados a jj , la sensibilidad del autovalor i resulta:

i = wij v ji a jj2.4.2 Factores de participacin

(2.21)

El factor de participacin de la variable j-sima en el modo i-simo se define como el producto de las componentes j-simas del autovector derecho v ji e izquierdo w ji en el modo i-simo ([10], [11]):

p ji = w ji v ji

(2.22)

Las propiedades de los factores de participacin permiten que puedan ser utilizados como una medida de la significacin que tiene cada estado en cada uno de los modos del sistema. Tienen la ventaja de ser magnitudes adimensionales, por lo que su valor no depende de las unidades en las que estn expresadas las variables de estado.

2 Sistemas dinmicos

27

Adems, como resultado de la normalizacin adoptada (1.6), la suma de los factores de participacin de todas las variables en un modo y la suma de los factores de participacin de todos los modos en una variable son igual a la unidad, aunque individualmente pueden ser mayores que la unidad.

pj =1

N

ji

= p ji = 1i =1

N

(2.23)

Muchos sistemas dinmicos resultan de la interconexin de subsistemas dinmicos. La participacin del subsistema es una herramienta til en este entorno. La participacin del subsistema se define como la suma de los factores de participacin de las variables que describen el subsistema dinmico.

pSi = p jijS

(2.24)

As, es posible identificar qu subsistemas estn relacionados con qu dinmicas y modos de comportamiento del sistema, segn lo elevada que sea su participacin neta en cada uno de ellos. Las participaciones o factores de participacin dependen de la eleccin del conjunto de variables de estado del sistema. Sin embargo, uno de los valores de la participacin del subsistema viene del hecho de que es independiente de la seleccin de las variables de estado para modelar el subsistema. En otras palabras, es invariante con respecto a las transformaciones que slo afectan a las variables del sistema.

3 Oscilaciones electromecnicas y torsionales de un generador

28

3 Oscilaciones electromecnicas y torsionales de un generadorEste captulo presenta las oscilaciones electromecnicas y torsionales de un generador sncrono. Para ello se obtienen modelos simplificados no lineales y lineales del generador sncrono que permiten reproducir las oscilaciones electromecnicas y torsionales. Adems presentan resultados tanto de la simulacin de grandes perturbaciones utilizando los modelos no-lineales como de la simulacin de pequeas perturbaciones utilizando los modelos lineales y del anlisis modal, tambin del modelo lineal.

3.1 Oscilaciones electromecnicas3.1.1 Modelo no lineal

En el estudio de oscilaciones locales de un generador contra el resto del sistema considera que los rotores del motor primario y del generador, acoplados en el mismo eje, constituyen un nico slido rgido. El movimiento del rotor de un generador sncrono est descrito por la ecuacin de la dinmica de rotacin de un slido rgido:

JDonde:

d = Tm Te Ta = Tm Te K D ( 0 ) dt

(3.1)

J es el momento de inercia del rotor expresado en Nms = kgms 2

es la velocidad angular del rotor rad s mecnicosp Nmero de pares de polos del generador 0 es la velocidad angular de sincronismo del rotor rad s mecnicos, es decir 0 = 2 f 0 p siendo f 0 la frecuencia de sincronismo Tm es el par mecnico aplicado por la turbina expresado en Nm


29

Te es el par elctrico aplicado por el generador Te =

Pe 0

Ta es el par amortiguador Ta = K D ( 0 ) K D es el coeficiente de par amortiguador ( N m s / rad ) t m , te pm , pePares mecnico y elctrico en magnitudes unitarias. Potencia mecnica y elctrica en magnitudes unitarias.2 1 J 0 ). 2 SB

H Constante de inercia ( s ) ( H =

D Factor o coeficiente de amortiguamiento ( puT ), ( D = K D

2 0 ). SB

Posicin angular del rotor en rad elctricos respecto a una referencia que gira a la velocidad de sincronismo.

0 Pulsacin de sincronismo o pulsacin base, en grados elctricos ( rad / s ). Velocidad del rotor en magnitudes unitarias de la mquina = p / 0Es preciso resaltar que el par amortiguador refleja el efecto de los devanados amortiguadores del generador sncrono que crean un par que se opone a la variacin de velocidad cuando el rotor gira a velocidad distinta de la sncronismo. Si la ecuacin (3.1) se expresa en magnitudes unitarias resulta:

J

0 d Tm Te = K D 0 ( 0 ) S B dt TB TB SB

2 2 J 0 1 d Tm Te 0 1 = KD ( 0 ) S B 0 dt TB TB S B 0

(3.2)

Siendo:

TB =

SB SB = el par base y S B la potencia base B 0


30

Definiendo la inercia y el coeficiente de amortiguamiento como:

H=

2 1 J 0 2 SB 2 0 SB

D = KDLa ecuacin (3.2) resulta:

2H d D = t m te ( 0 ) 0 dt 0

(3.3)

Expresando la velocidad angular en radianes elctricos por segundo por unidad

= p 0 , la ecuacin (3.3) queda finalmente:2H

d = tm te D ( 1) dt

(3.4)

En el estudio de las oscilaciones electromecnicas de los generadores, el rotor no experimenta grandes excursions de velocidad. Por ello, el par en magnitudes unitarias puede considerarse igual a la potencia:

P P T P = = 0 = =p t= SB SB TB S B 0 0Bajo esta suposicin, la ecuacin (3.4) quedara en la forma:

2H

d = pm pe D ( 1) dt

(3.5)

En el modelo clsico para estudios de estabilidad, el generador sncrono se representa como una fuente de tensin ideal detrs de la reactancia transitoria en eje directo.


31

Figura 3-1: Circuito equivalente de un generador sncrono para estudios de estabilidad.

Si el generador est conectado a un nudo de potencia infinita a travs de un transformador y una lnea, la potencia elctrica entregada por el generador viene dada por la expresin:

pe =Donde:

eu sen xT

(3.6)

e es el mdulo de la excitacin

es el ngulo de la excitacin con relacin a la tensin del nudo infinitou es el mdulo de la tensin del nudo de potencia infinita xT = x + xt + xl es la reactancia totalx es la reactancia transitoria del generador

xt es la reactancia del transformador xl es la reactancia de la lnea

Figura 3-2: Diagrama unifilar de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita.


32

Figura 3-3: Circuito equivalente de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita.

La conexin de los modelos mecnico y elctrico viene determinada por el hecho que el ngulo de excitacin es precisamente el ngulo del rotor. En efecto, el ngulo del rotor con relacin a una referencia fija, expresado en radianes elctricos por segundo, viene dado por:

= 0t +La velocidad angular del rotor resulta ser:

p

d 1 d = = 0 + dt p dt

(3.7)

Si se expresa la velocidad en radianes elctricos por segundo por unidad en la ecuacin (3.7), resulta:

= 1+

1 d 0 dt

(3.8)

Las ecuaciones (3.4), (3.6) y (3.8) se pueden escribir en forma compacta comos sigue. Se presenta el sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que describe el comportamiento del generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita:

& = 1 p 1 & 2 H m 2 H O de forma compacta:

0 ( 1)

ev D sen 1) ( 2H xT

(3.9)


33

& x = F ( x, u )Donde:

(3.10)

x= u = pm 0 ( 1) F ( x) = 1 D 1 ev p sen ( 1) 2 H m 2 H xT 2H 3.1.2 Simulacin del modelo no lineal

Se van a ilustrar la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita (la Tabla 3-1 detalla los datos del generador, el transformador y la lnea de conexin del generador a una red de potencia infinita; estos datos corresponden al First Benchmark Model for Computer Simulation of Subsynchronous Resonance [12] con un factor de compensacin de la lnea del 50%: en realidad la reactanciua de la lnea vale 0.56 pu y tiene en serie un condensador cuya reactancia vale -0.28 pu) cuando ocurre un cortocircuito trifsico franco de 100 milisegundos de duracin. El valor de la frecuencia es 60 Hz. Un cortocircuito es una gran perturbacin y su estudio requiere la simulacin en el dominio del tiempo del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (3.9).

xs = 0.169 pu , H = 2.88sGenerador

u = 1 pu, s = 1 pu, cos = 0.9ind xt = 0.14 pu xl = 0.28 pu

Transformador Lnea

Tabla 3-1: Datos del caso ejemplo de un generador conectado a un nudo de potencia infinita.

Un paso previo es el clculo de las condiciones iniciales del generador, tal y como se indica a continuacin:

p + jq0 i0 = 0 u0 0


34

p jq0 e = v 0 + jxi 0 = v00 + jx 0 = e0 0 0 u0 0 p jq0 v 0 = v 0 j ( xt + xl ) i 0 = v0 0 j ( xt + xl ) 0 = v 0 0 v0 0

0 = 0 0La Figura 3-4 muestra la evolucin de la variacin de velocidad del rotor del generador (con relacin a la velocidad de sincronismo) y la variacin del ngulo. Varias conclusiones se pueden extraer del anlisis de la Figura 3-4: La variacin de velocidad del rotor crece linealmente durante la ocurrencia del cortocircuito mientras que el ngulo crece cuadrticamente. Tras el despeje del cortocircuito, tanto la variacin de velocidad como el ngulo muestran una oscilacin sostenida con un periodo de aproximadamente 1 segundo. La oscilacin es sostenida porque se ha supuesto que el amortiguamiento del generador es nulo. Esta oscilacin se denomina electromecnica: mecnica porque es el rotor el que oscila, elctrica porque es debida a la conexin del generador a la red elctrica. La variacin de velocidad oscila aproximadamente entre +2% y -2% y el ngulo en 105 y 0.

0.04 0.02

(pu)

0 -0.02 -0.04 -0.5 150 100 0 0.5 Tiempo (s) 1 1.5 2

()

50 0 -50 -0.5 0 0.5 Tiempo (s) 1 1.5 2

Figura 3-4:.Simulacin de la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta trifsica franca: variacin de velocidad y ngulo del rotor.


35

3.1.3

Modelo lineal

La linealizacin de las ecuaciones del generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita, (3.5), (3.6) y (3.8)quedan en la forma:

2H

d = pm pe D dt ev cos 0 = K xT = 1 d 0 dt

(3.11)

pe =

(3.12)

(3.13)

Escritas como una ecuacin diferencial de segundo orden resultan:

2 H d 2 D d + + K = pm 0 dt 2 0 dtComo un sistema de ecuaciones diferenciales lineales resultan:

(3.14)

& x = A x + B u

d dt 0 0 0 = K D + 1 pm d 2H 2H 2H dt

(3.15)

En la ecuacin se pueden apreciar las dos componentes del par restaurador que actan para evitar inestabilidades en el generador: par sincronizante ( K ) y par amortiguador ( D ).

0 Del anlisis de la matriz de estado A = K 2H

D , se puede determinar la 2H

0

estabilidad local o de pequea perturbacin del generador en unas condiciones dadas.


36

La ecuacin caracterstica correspondiente a la ecuacin diferencial lineal de segundo orden (3.14) o al sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3.15) es:

2H

0o tambin:

s2 +

D

0

s+K =0

(3.16)

s2 +

K 0 D =0 s+ 2H 2H

(3.17)

Las races de la ecuacin caracterstica (3.17) son:

K 0 D D j 4 2H 2H 2H s12 = 2Las races de la ecuacin caracterstica cuando D=0 son:

2

s12 = j

K 0 2H

El signo del coeficiente del par sincronizante hace que se puedan presentar dos casos. En primer lugar, si el coeficiente es positivo, lo cual ocurre si el ngulo del rotor est comprendido entre 0 y 90, resultan dos races conjugadas puras y, por tanto, la respuesta es oscilatoria pura. Si el coeficiente de par sincronizante fuera negativo, en caso de estar el ngulo del rotor entre 90 y 180, resultaran dos races reales, una positiva y otra negativa. La raz positiva, que determinara una respuesta exponencialmente creciente terminara venciendo a la exponencialmente decreciente de la raz negativa, dando lugar a una situacin inestable de prdida de sincronismo. La solucin de la ecuacin diferencial lineal de segundo orden se puede obtener por medio de la transformada de Laplace:

2H

0

s 2 ( s ) + ( s ) =

D

0

s ( s ) + K ( s ) =1

pm s

K 0 2 H s D s + s+ 2H 2H2

0 1

pm

3 Oscilaciones electromecnicas y torsionales de un generador2 n 1 pm 2 K s ( s 2 + 2n s + n )

37

( s ) =

Realizando la antitransformada de Laplace resulta:

( t ) =donde:

1 1 1 e t sen n 1 2 t + 2 K 1

(

)

pm

= arctg

1 2

La transformada de la Laplace de la variacin de velocidad es:

n2 1 ( s ) = s ( s ) = pm 2 K ( s 2 + 2n s + n )Realizando la antitransformada de Laplace resulta:

( t ) =3.1.4

1 n e nt sen n 1 2 t pm K 1 2

Simulacin y anlisis del modelo lineal

La oscilacin electromecnica que experimentaba el generador cuando se produca un cortocircuito trifsico franco, en tambin aparece cuando se aplica una variacin de potencia mecnica suministrada por la turbina en forma de escaln. Se ha aplicado una variacin -0.1 pu de potencia suministrada por la turbina (desde 0.9 pu hasta 0.8 pu). Un escaln de pequea magnitud de la potencia mecnica suministrada por la turbina es una pequea perturbacin y su estudio se puede abordar por medio del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (3.15). La Figura 3-5 muestra la evolucin de la variacin de velocidad del rotor del generador (con relacin a la velocidad de sincronismo) y la variacin del ngulo. Varias conclusiones se pueden extraer del anlisis de la Figura 3-5: Tanto la variacin de velocidad del rotor como el ngulo caen al aplicar el escaln hacia abajo de potencia mecnica.


38

Tanto la variacin de velocidad como el ngulo muestran una oscilacin sostenida con un periodo de aproximadamente 1 segundo. La oscilacin es sostenida porque se ha supuesto que el amortiguamiento del generador es nulo. La variacin de velocidad oscila aproximadamente entre +0.2% y -0.2% y el ngulo entre 45 y 35. La amplitud de las oscilaciones de velocidad y de ngulo son ms pequeas que en el caso mostrado en la Figura 3-4 porque la perturbacin es pequea.2 1 x 10-3

(pu)

0 -1 -2 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

40

()

35

30 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

Figura 3-5:.Simulacin de la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variacin de potencia mecnica suministrada por la turbina: variacin de velocidad y ngulo del rotor.

El autoanlisis de la matriz de estados del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (3.15) confirma los resultados de la simulacin en el dominio del tiempo mostrada en la Figura 3-5. La matriz de estados tiene dos autovalores complejos conjugados (ver Tabla 3-2) cuya parte real es nula (no se ha tenido en cuenta el amortiguamiento del generador) y cuya parte imaginaria indica una frecuencia natural de oscilacin de 1.3 Hz que corresponde a un periodo aproximado de 1 segundo tal y como la Figura 3-5 ha mostrado.


39

N 1

Real 0

Autovalores complejos Imgaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz) 9.5754 0 1.52

Tabla 3-2: Autovalores del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita.

3.2 Oscilaciones torsionalesEn esta seccin se describe y analiza una ampliacin en el aspecto mecnico del modelo anterior, que permitir estudiar los modos naturales de oscilacin torsional de un turbogenerador. Aquellos modos cuya frecuencia es inferior a la de sincronismo pueden llegar a interactuar con el sistema elctrico en determinadas circunstancias, como ocurre en la Resonancia Subsncrona. Por ello, es necesario conocer las caractersticas torsionales de los turbogeneradores y definir un modelo mecnico adecuado que las represente. 3.2.1 Modelo no lineal

El eje del rotor de una unidad de generacin trmica es un sistema mecnico muy complejo, formado por varios elementos de grandes dimensiones acoplados a lo largo del mismo eje. Un sistema as tiene un gran nmero de modos vibratorios torsionales naturales en un amplio rango de frecuencias que requeriran un modelo de parmetros continuos de la estructura mecnica para ser determinados. Suponiendo que el eje est dividido en un nmero finito de elementos, se puede obtener un modelo de masas concentradas unidas mediante tramos del eje de una determinada elasticidad. Dicho modelo de parmetros concentrados, representara fielmente el comportamiento del eje en un rango de bajas frecuencias, por debajo de la frecuencia de sincronismo de la red, las cuales sern de inters en el caso de posibles interacciones con el sistema elctrico. La aplicacin de este modelo para el sistema mecnico junto con el modelo simplificado o clsico del generador sncrono conectado a nudo infinito no es suficientemente detallado para detectar dichas inestabilidades, pero s permite analizar las caractersticas torsionales naturales del sistema mecnico del turbogenerador. Hay distintas configuraciones posibles de turbinas-generadores en una central trmica, en funcin del nmero de etapas de expansin y de si las turbinas se sitan en un mismo eje o en dos ejes distintos. Las ecuaciones del modelo mecnico presentado son generalizables y se pueden aplicar a los dos tipos de sistemas, pero se har la


40

suposicin de que todas las turbinas estn acopladas a un nico eje y solo hay un generador, adems de un sistema de excitacin de masa no despreciable. Considrese el rotor de turbogenerador formado por seis masas:

Figura 3-6. Estructura del sistema de masas del rotor de un turbogenerador

Turbina de alta presin (high pressure, HP, turbine) Turbina de presin intermedia (intermediate pressure, IP, turbine) Cuerpo A de la turbina de baja presin (low pressure A, LPA, turbine) Cuerpo B de la turbina de baja presin (low pressure B, LPB, turbine) El generador (GE) La excitatriz (EXC) El modelo de masas y muelles equivalente sin amortiguamiento sera:K hp ip H hpH IP

K ip lpaH lpa

K lpa lpbH LPB

K lpb gHg

K g eHe

Figura 3-7: Diagrama de masas y muelles de un turbogenerador.

La notacin adicional que se va a utilizar en la descripcin de los parmetros y ecuaciones utilizados en el modelo es la siguiente:

j Velocidad en grados mecnicos de la masa j ( rad / s ).

j Velocidad de la masa j en magnitudes unitarias de la mquina j = j p / 0 .


41

j Desviacin de velocidad de la masa j respecto al sincronismo en pu j = ( j 1) .

j

Posicin angular de la masa j en grados elctricos respecto a una referencia que gira a la velocidad de sincronismo ( j = 0 ( j 1) t + j 0 ).

T

Par aplicado a una masa ( N m ).

tm , te Pares mecnico y elctrico en magnitudes unitarias. p m , p e Potencias mecnica y elctrica en magnitudes unitarias j pu Momento de inercia en magnitudes unitarias ( s ), ( J B = SB ). 2 0

H j Constante de inercia ( s ).

K Coeficiente de elasticidad o rigidez torsional ( N m / rad ).K ij Coeficiente de elasticidad del eje entre las masas i y j, ( puT / rad ).Las caractersticas dinmicas del eje se modelan con tres conjuntos de parmetros ([3]): la constante de inercia H de las masas individuales, la rigidez torsional K de cada tramo de eje que une dos masas adyacentes y el coeficiente de amortiguacin D asociado a cada masa. Se hace la suposicin de que los materiales del eje turbinasgenerador son sometidos a esfuerzos y deformaciones por debajo de su lmite elstico y, por tanto, son aplicables las relaciones lineales de la ley de deformacin elstica de Hooke y la ley mecnica de Newton con coeficientes H, K, D constantes. Su significado fsico es: La constante de inercia H asignada a cada masa es su propia inercia ms la porcin correspondiente de los tramos de eje entre las masas. La rigidez torsional K de cada tramo de eje entre masas adyacentes, que es la relacin entre el par transmitido y la torsin angular a la que est sometido el eje entre sus dos extremos.


42

T = K

Cada coeficiente de elasticidad o rigidez torsional ser la rigidez equivalente del tramo considerado, que en realidad estar formado por varios tramos con secciones y elasticidades diferentes.

Expresado en magnitudes unitarias de par y radianes elctricos, si el nmero de pares de polos de la mquina es P :

K pu T / elec rad =

K Nm / mech rad p TB ( N m)

=

K Nm / mech rad 0 p S B (VA)

=

K Nm / mech rad 0 2 S B (VA) p

El coeficiente de amortiguamiento D de las oscilaciones asociado a cada masa. Puede tener su origen en la histresis del material que constituya el eje, la fuerza del vapor en los labes de las turbinas cuando oscilan o en los elementos del sistema elctrico (generador, sistema de excitacin o la red). En la prctica, los niveles de amortiguamiento asociados a las oscilaciones torsionales son muy pequeos y difciles de determinar debido a la complejidad de los sistemas que contribuyen al amortiguamiento y a la variabilidad de esa contribucin. Por ello, el amortiguamiento aqu se supondr nulo.

La ecuacin dinmica de rotacin de un slido rgido de la Segunda Ley de Newton:

T = J

d dt

(3.18)

Para una masa genrica j, conectada a las masas i y k, la ecuacin (3.18) queda:

2HSiendo

d j dt

= tm j te j K ij ( j i ) K jk ( j k )

(3.19)

d j dt

= 0 ( j 1)

(3.20)


43

Se aplican a cada masa del sistema para obtener las ecuaciones (3.19) y (3.20) del modelo completo.

Figura 3-8: Pares actuando sobre una masa genrica j del eje

Entonces, empleando el par o la potencia en magnitudes unitarias ( tm , te , p m , p e ) indistintamente, las ecuaciones del modelo mecnico no lineal del turbogenerador son:

d hp dt d ip dt d lpa dt d lpb dt d g dt

= 0 (hp 1) = 0 (ip 1) = 0 (lpa 1) = 0 (lpb 1) = 0 ( g 1)(3.21)

2 H hp 2 H ip

d hp dt dip

= pm ,hp K hp ip ( hp ip )

= pm ,ip K hp ip ( ip hp ) K ip lpa ( ip lpa ) dt dlpa 2 H lpa = pm,lpa K lpa ip ( lpa ip ) K lpa lpb ( lpa lpb ) dt d lpb 2 H lpb = pm,lpb K lpb lpa ( lpb lpa ) K lpb g ( lpb g ) dt dg 2H g = K lpb g ( g b ) pe dt

(3.22)


44

A estas ecuaciones hay que aadir la expresin de la potencia elctrica suministrada por el generador. Como se ha dicho, la potencia y el par aplicado en cada masa son prcticamente equivalentes en unitarias. En este modelo se usarn indistintamente una y otro.

t e pe =

e v sen g xT

(3.23)

Las ecuaciones (3.21), (3.22) y (3.23) se pueden escribir en forma compacta como sigue:

& x = F ( x, u )Donde:

(3.24)

x= = hp = hp

ip lpa lpb g

T

ip lpa lpb g

T

u = p = [ pm ,hp pm ,ip pm ,lpa pm ,lpb ]T

3.2.2

Simulacin del modelo no lineal

Se van a ilustrar la presencia de oscilaciones torsionales en la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita (la Tabla 3-3 detalla los datos del rotor del turbogenerador; estos datos corresponden al First Benchmark Model for Computer Simulation of Subsynchronous Resonance [12] ; debe notarse que para poder realizar comparaciones se considera la frecuencia base de la referencia [12], que es 60 Hz)) cuando ocurre un cortocircuito trifsico franco de 100 milisegundos de duracin. Un cortocircuito es una gran perturbacin y su estudio requiere la simulacin en el dominio del tiempo en este caso del sistema de ecuaciones diferenciales no lineales (3.24).


45

Tabla 3-3: Datos del rotor del turbogenerador de la Tabla 3-1.

Inercia de las masas:

H hp = 0.092897 s H ip = 0.155589s H lpa = 0.858670s H lpb = 0.884215s H g = 0.868495s H e = 0.0342165s

Constates de rigidez de los acoplamientos:

K hp ip = 19.303 pu K ip lpa = 34.929 pu K pla lpb = 52.038 pu K lpb g = 70.858 pu K g e = 2.822 pu

Proporciones de potencia suministrada por cada turbina:

K hp = 0.3 pu K ip = 0.26 pu K pla = 0.22 pu K lpb = 0.22 pu

La Figura 3-9, la Figura 3-10, la Figura 3-11 y la Figura 3-12 muestran la evolucin de la variacin de velocidad de la turbina de alta presin, de presin intermedia, de baja presin, del generador y de la excitatriz (con relacin a la velocidad de sincronismo) y la variacin del ngulo del rotor del generador. Una conclusin se puede aadir a las ya obtenidas: Las variaciones de velocidad de las turbinas y del generador exhiben junto con la componente de frecuencia fundamental de 1 Hz (1 segundo de periodo), otras componentes frecuencia superior a 1 Hz. Las velocidades de los cuerpos de baja presin de la turbina exhiben las oscilaciones torsionales en menor medida.


46

0.05

HP (pu)

0

-0.05 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

0.04 0.02

IP (pu)

0 -0.02 -0.04 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

Figura 3-9:.Simulacin de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variacin de velocidad de las turbinas de alta presin y presin intermedia.

0.04

LPA (pu)

0.02 0 -0.02 -0.04 -0.5 0.04 0.02 0 -0.02 -0.04 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

LPB (pu)

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

Figura 3-10:.Simulacin de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variacin de velocidad de las turbinas de baja presin.


47

0.04 0.02

g (pu)

0 -0.02 -0.04 -0.5 0.05

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

e (pu)

0

-0.05 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

Figura 3-11: Simulacin de las oscilaciones torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variacin de velocidad del generador y de la excitatriz.

150 100

()

50 0 -50 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

Figura 3-12: Simulacin de las oscilaciones de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita en caso de una falta: variacin del ngulo del rotor del generador.

3.2.3

Modelo lineal

Las ecuaciones del modelo mecnico lineal del turbogenerador son:


48

d hp dt d ip dt d lpa dt d lpb dt d g dt

= 0 hp = 0 ip = 0 lpa = 0 lpb = 0 g(3.25)

2 H hp 2 H ip

d hp dt d ip

= pm ,hp K hp ip ( hp ip )

= pm,ip K hp ip ( ip hp ) K ip lpa ( ip lpa ) dt d lpa 2 H lpa = pm ,lpa K lpa ip ( lpa ip ) K lpa lpb ( lpa lpb ) dt d lpa 2 H lpb = pm,lpb K lpb lpa ( lpb lpa ) K lpb g ( lpb g ) dt d g 2H g = K lpb g ( g b ) pe dty la de la potencia elctrica del generador linealizada alrededor del punto de funcionamiento:

(3.26)

p e =

e v cos g 0 g xT

(3.27)

Donde K g =

e v cos 0 es el coeficiente de par sincronizante. xT

Se ha despreciado el amortiguamiento, por su valor despreciable y dificultad de determinacin en la prctica ( D = 0 ). Las ecuaciones (3.25), (3.26) y (3.27) se pueden escribir en forma compacta como:

& x = A x + B u


49

d dt 0 0 I 0 = + 1 p m 1 d M K 0 M dt Donde:

(3.28)

= hp = hp

ip ip

lpa lpa

lpb lpb

g

T

g

T

H hp 0 M = 2 0 0 0 K hp ip K hp ip K= 0 0 0 K hp ip K hp ip + K ip lpa K ip lpa 0 0

0 H ip 0 0 00

0 0 H lpa 0 0

0 0 0 H lpb 0

0 0 0 0 Hg 0 0 0 0 K lpb g K lpb g + K g 0

K ip lpa K ip lpa + K lpa lpb K ip lpb 0

K ip lpb K lpb g + K lpb g K lpb g

3.2.4

Simulacin y anlisis del modelo lineal

Las oscilaciones de frecuencia superior a 1 Hz junto con la oscilacin de 1 Hz tambin pueden apreciarse tras la aplicacin de un escaln de potencia mecnica suministrada por la turbina de alta presin de pequea magnitud ( -0.03 pu, que es -0.1pu del caso de tener una nica masa multiplicado por la fraccin de potencia de la turbina de baja presin). Un escaln de pequea magnitud de la potencia mecnica suministrada por la turbina de alta presin es una pequea perturbacin y su estudio se puede abordar por medio del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (3.28). La Figura 3-13, la Figura 3-14, la Figura 3-15 y la Figura 3-16 muestran la evolucin de la variacin de velocidad de la turbina de alta presin, de presin intermedia, de baja presin, del generador y de la excitatriz (con relacin a la velocidad de sincronismo) y la variacin del ngulo del rotor del generador. Una conclusin se puede aadir a las ya obtenidas: Las variaciones de velocidad de las turbinas y del


50

generador exhiben junto con la componente de frecuencia fundamental de 1 Hz (1 segundo de periodo), otras componentes frecuencia superior a 1 Hz.

0.02 0 -0.02 -0.04 -0.06 -0.5 x 10-3

HP (pu)

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

2 1

IP (pu)

0 -1 -2 -0.5 0 0.5 Tiempo (s) 1 1.5 2

Figura 3-13:.Simulacin de la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variacin de potencia mecnica suministrada por la turbina de alta presin: variacin de velocidad de las turbinas de alta presin y presin intermedia.

2

x 10

-3

LPA (pu)

1 0 -1 -2 -0.5 x 10-3

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

1

LPB (pu)

0.5 0 -0.5 -1 -0.5 0 0.5 Tiempo (s) 1 1.5 2

Figura 3-14:.Simulacin de la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variacin de potencia mecnica suministrada por la turbina de alta presin: variacin de velocidad de las turbinas de baja presin.


51

1 0.5

x 10

-3

g (pu)

0 -0.5 -1 -0.5 x 10-3

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

1 0.5

e (pu)

0 -0.5 -1 -0.5 0 0.5 Tiempo (s) 1 1.5 2

Figura 3-15:.Simulacin de la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variacin de potencia mecnica suministrada por la turbina de alta presin: variacin de velocidad del rotor del generador y de la excitatriz.

0.691 0.69

g ()

0.689 0.688 0.687 -0.5

0

0.5 Tiempo (s)

1

1.5

2

Figura 3-16: Simulacin de la oscilacin electromecnica de un generador sncrono conectado a un nudo de potencia infinita en caso de variacin de potencia mecnica suministrada por la turbina de alta presin: variacin del ngulo del rotor del generador.

La dificultad del anlisis de las oscilaciones de frecuencia superior a 1 Hz en la respuesta temporal, hace necesario el autoanlisis de la matriz de estados del sistema de ecuaciones diferenciales lineales (3.28). Del autoanlisis de dicha matriz pueden conocerse los modos segn los cuales evolucionara este sistema en el tiempo ante pequeas perturbaciones, como variaciones en el nivel de carga o de potencia aplicada en las turbinas. La Tabla 3-4 muestra que la matriz de estados tiene seis parejas de


52

autovalores complejos conjugados cuya parte real es nula (no se ha tenido en cuenta ningn amortiguamiento) y cuya parte imaginaria indica una frecuencia natural de las oscilaciones. Las frecuencias que refleja estn en grados elctricos. Se puede observar que todas ellas se encuentra, como es habitual, por debajo de la frecuencia de sincronismo del sistema elctrico.

N 1 2 3 4 5 6

Real 0 0 0 0 0 0

Autovalores complejos Imaginaria Amortiguamiento (%) Frecuencia (Hz) 298.1803 0 47.46 203.0208 0 32.31 160.6396 0 25.57 127.0312 0 20.22 99.2218 0 15.79 9.5095 0 1.51

Tabla 3-4: Autovalores del modelo linealizado de un generador conectado a un nudo de potencia infinita con representacin detallada del rotor del generador.

La caracterizacin de los autovalores requiere el anlisis de las formas de los modos, o los desplazamientos relativos entre masas para cada modo de oscilacin, (proporcionados por los autovectores derechos) y de los factores de participacin. Para una masa en particular, puede usarse indistintamente la entrada correspondiente a la velocidad o al ngulo. Contienen la misma informacin y se han normalizado de forma que la componente de mximo valor sea igual a la unidad. La Figura 3-17 y la Figura 3-18 muestra la forma del modo (componentes de los autovector derechos correspondientes a los ngulos) de los autovalores de la Tabla 3-4. La Figura 3-19 muestra el mdulo de los factores de participacin (componentes a los ngulos) de los autovalores de la Tabla 3-4. En ambos casos la numeracin de masas considerada es la detalladan en la Tabla 3-5.


53

Forma del modo 1 #1 0 -1 1 #2 0 -1 1 #3 0 -1

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

1

2

3 Masa

4

5

6

Figura 3-17:. Forma de los modos torsionales 1, 2 y 3 (componentes de los autovectores) de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia

Forma del modo 1 0.5 #4 0 -0.5 1 #5 0 -1 1 #6 0 -1 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

1

2

3 Masa

4

5

6

Figura 3-18: Forma de los modos torsionales 4, 5 y 6(componentes de los autovectores) de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita


54

Factores de participacion 0.5 #1 0 0.5 #2

1

2

3

4

5

6

0 0.5 #3

1

2

3

4

5

6

0

1

2

3 Masa

4

5

6

.

Figura 3-19:.Participaciones de los modos torsionales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita.

Nmero 1 2 3 4 5 6

Masa Turbina de alta presin Turbina de presin intermedia Cuerpo A de la turbina de baja presin Cuerpo B de la turbina de baja presin Generador Excitatriz

Tabla 3-5: Numeracin de masas del rotor.

De anlisis de la Figura 3-17 y de la Figura 3-19 se pueden extraer las siguientes conclusiones: El modo #1 corresponde a una oscilacin de la turbina de alta presin con la de presin intermedia. La turbina de presin intermedia es el elemento de mayor participacin.


55

El modo #2 corresponde a una oscilacin de la turbina de alta presin y el cuerpo de baja presin B contra el cuerpo de baja presin A y el generador. El cuerpo de baja presin B es el elemento de mayor participacin. El modo #3 corresponde a una oscilacin de la turbina de alta presin, la presin intermedia y el generador contra los cuerpos A y B de la turbina de baja presin. La turbina de alta presin es el elemento de mayor participacin. El modo #4 corresponde a una oscilacin de la excitatriz contra el resto de las masas. La excitatriz es el elemento de mayor participacin. El modo #5 corresponde a una oscilacin de la turbina de alta presin, de presin intermedia y al cuerpo A de la turbina de baja presin contra el cuerpo B de la turbina de baja presin, el generador y la excitatriz. El generador es el elemento de mayor participacin. El modo #6 corresponde a una oscilacin al unsono de todos los elementos. Los elementos de mayor participacin son los cuerpos de baja presin de la turbina y el generador. 3.2.5 Parmetros modales

El sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3.28) se puede escribir como un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden:

M

d 2 1 + K = p m dt 2 0

(3.29)

cuya ecuacin homognea es:

M

d 2 1 + K = 0 dt 2 0

(3.30)

y cuya matriz de estados es:

A = 0 M 1K

(3.31)

Los autovalores y autovectores derechos V de la matriz de estados A cumplen:


56

AV = Vo lo que es lo mismo:

V = 0 M 1KV1

0

MV = KV

(3.32)

Si se premultilplican ambos lados de la ecuacin (3.32) por la matriz transpuesta de la matriz de autovectores derechos V T se obtiene:

1

0

VT MV = V T KV

(3.33)

Donde las matrices V T MV y V T KV son matrices diagonales y sus elementos diagonales son los parmetros modales (masa y rigidez). Una demostracin sencilla que prueba que las citadas matrices son diagonales es la siguiente: Considerar la ecuacin (3.33) para los modos i-simo y j-simo:

1

01

Mv i i + Kv i = 0

(3.34)

0

Mv j j + Kv j = 0

(3.35)

vTj M =

0 T v K j j

(3.36)

Premultiplicar por vTj la ecuacin (3.34):

1

0

vTj Mv i i + vTj Kv i = 0

(3.37)

Substituir (3.36) en la(3.37) :


57

0

1 0

vTj Kv i i + vTj Kv i = i + 1 vTj Kv i = 0 j j vTj Kv i = 0

Lo que confirma que la matriz V T KV es diagonal. De forma similar se llega a conclusin que V T MV es diagonal.

vTj K = 1vTj Mv i i

j T v M 0 j

0

j T j v j Mv i = i vTj Mv i = 0 0 0 0 vTj Mv i = 0

Otra explicacin se deduce del problema de autoanlisis Ev i i = Av i , con A y E semidefinidas positivas ( E es diagonal y los trminos diagonales de A son mayores o iguales que la suma de los trminos de fuera de la diagonal), segn el cual existe una transformacin congruente V que diagonaliza las matrices A y E . Ello puede verse por ejemplo en el texto [13]. Si a la ecuacin (3.29) se aplica el cambio de variables = V y se premultiplica por la matriz transpuesta de la matriz de autovectores derechos V T se obtiene:

V T MV

d 2 1 + V T KV = V T p m 2 dt 0(3.38)

M mi d 2 i + K mi i = vT p m i 2 0 dt 2 H mi d 2 i + K mi i = vT p m i 2 0 dt

Siendo H mi y K mi la inercia y la rigidez modal correspondientes al modo i-simo. Por supuesto el autovalor i-simo se obtiene directamente a partir de los parmetros modales como:

i = j

K mi0 2 H mi


58

La Tabla 3-6 presenta los parmetros modales del caso del turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita ya considerado. Merece la pena comparar al menos los parmetros modales de modo en el que todas las masas oscilan al unsono con los parmetros de inercia y coeficiente de par sincronizante del caso del generador conectado a un nudo de potencia infinita en el que el rotor se represent por una nica masa. La inercia en ese caso era 2.894 s y el coeficiente de par sincronizante vala 1.4077 pu. Valores muy prximos a los ahora obtenidos cuando se representa con todo detalle el turbogenerador tal y como se detallan en la Tabla 3-6.

N 1 2 3 4 5 6

Parmetros modales Imaginaria Hm 298.1803 0.2246 203.0208 1.5141 160.6396 0.1910 127.0312 0.0389 99.2218 0.3609 9.5095 2.8041

Km 105.9469 331.0820 26.1440 3.3331 18.8500 1.3452

Tabla 3-6: Parmetros modales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita.

K hp ip

K ip lpa

K lpa lpb

K lpb g

H hp

H IP

H lpa

H LPB

Hg

Dip lpa Dhp

Dip lpa

Dlpa lpb Dlpa Dlpb

Dlpb g Dlpb

Dip

Figura 3-20: Diagrama de masas, muelles y amortiguadores de un turbogenerador

En el modelo de la oscilacin electromecnica del generador y en el modelo de las oscilaciones torsionales no se incluyeron los amortiguadores, pero pueden considerarse. En ese caso el diagrama de la Figura 3-7 pasa a ser el diagrama de la Figura 3-20 y el sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden (3.28) queda de la forma:

d dt 0 0 I 0 = + 1 p m 1 1 d M K M D M dt

(3.39)


59

Donde:

Dhp ip 0 0 0 Dhp + Dhp ip D 0 0 Dip lpa Dip + Dhp ip + Dip lpa hp ip 0 0 Dip lpa Dip lpb Dlpa + Dip lpa + Dlpa lpb D= Dip lpb 0 0 Dlpb + Dlpb g + Dlpb g Dlpb g Dlpb g 0 0 0 Dg + Dlpb g y la ecuacin diferencial lineal de segundo orden (3.29) queda:

d 2 1 d 1 M +D + K = p m 2 dt 0 dt 0

(3.40)

Si a la ecuacin (3.40) se aplica el cambio de variables = V y se premultiplica por la matriz transpuesta de la matriz de autovectores derechos V T se obtiene:

V T MV

d 2 1 d 1 + V T DV + V T KV = V T p m 2 dt 0 dt 0

(3.41)

Las nuevas variables son variables modales. Debe notarse que en este caso la matriz

VT DV no tiene porque ser diagonal, pues la matriz de paso se ha obtenido delproblema de oscilaciones no amortiguadas (suponiendo D igual a cero).

4 Resonancia subsncrona

60

4 Resonancia subsncronaEste captulo presenta el fenmeno de la resonancia subsncrona y los modelos no lineales y lineales de un turbogenerador conectado a un nudo de potencia infinita a travs de una lnea compensada serie para su estudio. Este captulo tambin muestra resultados tanto de la simulacin no lineal en el dominio del tiempo como del anlisis modal del modelo lineal. La aproximacin al problema se realizar, en primer lugar, mediante modelos simplificados no lineales y lineales del generador sncrono. A continuacin, se presenta un modelo ms detallado con todos los componentes de los sistemas que rodean al generador considerando el efecto de los sistemas de regulacin.

4.1 Introduccin a la resonancia subsncronaLa resonancia subsncrona es un problema de inestabilidad en generadores sncronos que afecta a los modos del sistema que se encuentran en el rango de frecuencias inferiores a la fundamental (50 Hz 60 Hz). Se basa en la interaccin de los sistemas elctrico y mecnico asociados al generador. Puede producir oscilaciones inestables en los modos torsionales del eje del generador y tambin en las magnitudes elctricas del sistema. La definicin formal propuesta por el IEEE [7] establece que la resonancia subsncrona es la condicin en la que se encuentra un sistema de energa elctrica cuando la red intercambia energa con un generador a una o ms frecuencias naturales del sistema por debajo de la frecuencia de sincronismo. La definicin es general y se refiere tanto a los modos naturales debidos a caractersticas inherentes al sistema elctrico como a los modos forzados por la actuacin de los distintos reguladores y equipos de control. La situacin ms comn en la que se puede presentar la resonancia subsncrona es en generadores que estn conectados al sistema a travs de lneas con condensadores en serie que compensan la reactancia de las mismas. se sera un modo natural al sistema. Otras causas de oscilaciones subsncronas inestables pueden ser tambin los


61

sistemas

de

regulacin

del

generador,

que

introduciran

modos

forzados,

interactuando con la red o el sistema mecnico de su eje. 4.1.1 Resonancia elctrica en lneas con compensacin serie

Cuando un generador est conectado a un nudo de potencia infinita a travs de una lnea compensada, el sistema elctrico constituido tiene carcter de RLC con una frecuencia de resonancia f e .

Figura 4-1: Esquema unifilar equivalente de una lnea compensada serie

fe =

1 2 LT C e

= f0

XC X LT

(4.1)

Siendo:

f0

La frecuencia fundamental del sistema

LT

La inductancia total del circuito Le + Lt +

X 2 f 0

X LT

La reactancia inductiva total: X LT = 2 f 0 LT La reactancia capacitiva: X C = (2 f 0 C e )1

XC

La medida que indica el grado de compensacin de la reactancia de la lnea es el factor de compensacin (F.C.), que se define como:

F .C. =

XC X Le

(4.2)


62

Cuyo valor suele estar comprendido en el margen del 25% al 75%, por lo que

f e es inferior a la frecuencia fundamental f 0 .Por las caractersticas dinmicas del circuito RLC, cualquier perturbacin en el sistema elctrico originar corrientes transitorias que oscilarn a una frecuencia igual a la natural del circuito f e , en realidad algo menor por el efecto de las resistencias. En el caso de

estudio de la resonancia subsÍncrona

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