YVES CHEVALLARDMARIANNA BOSCHJOSEP GASC6N

ESTUDIARMATEMATICAS

EI eslab6n perdido entre la ensenanzay el aprendizaje

ICE - HORSORI

Consejo de Redaccion: Carmen Albaladejo, SeraffnAntUnez,Jose M. Ber-mudo, IfiakiEchevarria, Francesc SegU.

Primera Edicion: Enero 1997SegundaEdicion: Diciembre 2000

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PROLOGOEl eslab6n perdido entre la enseiianza y el aprendizaje .

UNlDAD 1 HACER Y ESTUDIAR MATEMATICASLAS MATEMATICAS EN LA SOCIEDAD

EPISODIO 1La Tienda de Matematicas .................•......•.............................. 17

DIALOGOS1 .Las matematicas se aprenden y se enseiian pero tambien secrean y utilizan .Q ,. 'f' " ,. ")( ue slgm lea ser matematlco . .. .

(Por que hay que estudiar ~atem~tic~? : .La didactica de las matematlcas, ClenCladel estudlO .

SfNTESIS 1 .

COMENT ARIOS Y PROFUNDIZACIONES 1(Que significa "hacer matematicas"? .Tres aspectos de la activida~ matematica ;.: .La didactica trata del estudlo de las matematlcas .Un ejemplo de fen6meno didactico .

s1NTESIS4 ....................................................................................

COMENT ARIOS Y PROFUNDIZACIONES 4Clase de pro~lemas, clase de practicas .Clase de .teona y obsraculos epistemologicos .Lanece.sldad de nuevos dispositivos didacticos .Los pe~~ro~ de la atomizaci6n de la ensefianza .

LLafuncdlo~ mdtelgrador~~edltrabajo de la tecnica .a para oJa e a creattvl ad ...................................................

PEQUENOS ESTUDIOS MATEMAncos15. Racionalizar expresiones con radicales .16. (Cua~do son iguales dos fracciones irred~~ibi~~·?··:::::::::17. Fu~clOnes y valores aproximados .18. (Como determinar si V5 + V7 es irracional? :

EPfLOGO .....................................................................................

AYUDAS PARA LOS PEQUENOS ESTUDIOSMATEMAncos .........................................................................

fNDICE TERMINOL6GICO ..................................................

277280283285286289

291291293293295

A principios de Los anos noventa, una periodista independiente,Maria Nunez, realizo un reportaje sobre el sistema educativo espanoLPero su trabajo no consiguiOpublicarse y Lasgrabaciones, documentosy notas recogidas en aquelLa ocasion quedaron «aparcados" en el ar-chivador .

Dos anos mas tarde, Maria supo por casualidad que el hijo de unosamigos -el Estudiante de este Libra-- buscaba «material" para unassesiones de trabajo que habia programado con una especialista en di-dactica de Lasmatematicas -La Profesora-. Maria le propuso enton-ces utilizar libremente sus archivos.

Gracias a que Las sesiones de trabajo fueron grabadas acertada-mente por el Estudiante, pudimos transcribirLas literal mente con elconsentimiento de Losprotagonistas, afiadiendo tan s6lo algunos reto-ques para facilitar su lectura. Y hemos tenido Ladebilidad de pensarque merecian ser conocidas por mas gente.

PEQUEI'IOS ESTUDIOS MATEMA TICOS1. Un torneo de ping-pong .2. (Que tendedero es mejor? .3. Cosenos expresables con radicales reales .4. Mirando al cielo desde dentro del agua .5. Eurodiputados e interpretes .6. Una extraiia manera de dividir .

ANEXO A. Evolucion de la problematica didactica .

ANEXO B. La "irresponsabilidad matematica" de los alumnos

UNlOAD 2 EL CURR1CULO DE MATEMATICASLAS MATEMATICAS EN LA ESCUELA

EPISODI02Cambios en el curriculo .

DIALOGOS2EI curriculo como" obra abierta" .La eleccion de los elementos del curriculo ; .La resistencia a "entrar" en la disciplina matematica .

s1NTESIS2 ....................................................................................COMENTARIOS Y PROFUNDIZACIONES 2

(Que matematicas estudiar en la escuela? .(De que esta hecha una obra matematica? .Nueva formulacion del problema del curriculo .Las "ganas de estudiar" matematicas en la escuela .Disciplina matematica y motivacion .Reconstruir las matematicas en la escuela .

PEQUEI'IOS ESTUDIOS MATEMATICOS .7 V .. , I' .. , b I. anaclon re atlva y vanaclon a so uta .8. (Como aumenta un precio, un beneficio, una superftcie?9. (Que es la elasticidad? .

ANEXO C. Las fuentes del curriculo y la transposiciondidactica 141

UNlOAD 3 MA'I'EMATICAS,ALUMNOSYPROFESORESLAS MATEMATICAS EN EL AULA

EPISODI03En clase de matematicas ........................................................•..

DIALOGOS3T' . d d' d'd' .ecmcas e estu 10 y contrato 1 actlco ............................•..De 10 que se sabe a 10 que se puede aprender .....................•..Entrar en una obra matematica ............................................•..

160169183

SINTESIS 3 .............•.. 193

COMENTARIOS Y PROFUNDIZACIONES 3La formacion de un sistema didactico .................................•.. 196Comunidades de estudio e "individuaIizacion de la enseiianza" 197EI caracter abierto de la relacion didactica ..........................•.. 200EI profesor como director de estudio ..................................•.. 201Contrato didactico, contrato pedagogico, contrato escolar... 203

9199

106

PEQUEI'IOS ESTUDIOS MATEMATICOS 20710. Problemas de primer grado ...........................................•.. 20711. De una variable a dos variables .....................................•.. 20812. Construcciones con la regIa de dos bordes paralelos ..... 20813~ La "potencia" de la regIa de dos bordes paralelos .......•.. 21014. Puntos coordenados constructibles con la regIa de dos

bordes paralelos 212

ANEXO D. Esbozo de la teoria de las situaciones didacticas.... 213119123126127129134

UNIDAD 4 LA ESTRUCTURA DEL PROCESODEESTUDIOLAS MATEMATICAS "EN VIVO"

EPISODI04En clase de practicas 229

137137138140-

DIALOGOS4Tecnicas, tecnologias y teorias matematicas 234Creacion y dominio de tecnicas matematicas 241Lo didactico es inseparable de 10 matematico 251Los momentos del estudio 261

Agradecemos en primer lugar la gran amabilidad de Maria Nu-iiez, de la Profesora y, especialmente, la del Estudiante, sin los cualesevidentemente este libro no habria podido ver la luz. Vayan tambiennuestros mas sinceros agradecimientos a todos aquellos que se banofrecido generosamente como primeros lectores y cuyas sabias criti-cas nos han permitido llegar al texto que ahora sometemos allector:Agusn Reventos, Annia Bosch, Carles Perello, Celia Palacin, ElodiaGuillamon, Jordi Sabate, Josep Maria Lamarca, Juan Dfaz Godino,Julio de Miguel, Lorena Espinoza, Marta Gascon, Miguel Alvarez,Nuria Cambara, Quim Barbe, Pepa Capell, Ramon Eixarch y RosaCamps. Mereceun lugar aparte el trabajo desinteresado, minucioso ybrillante de Diane Ricard que tanto ha sabido mejorar nuestro ma-nuscrito original. Y no olvidamos, claro esta, a todos los que, ennuestro entomo mas proximo, han tenido que soponarnos en el 'trance de la creacion, con una mencion especial para Marie-Helene,Maria Rosa y Marcos. Finalmente, queremos dar fe de nuestro reco-nocimiento a Cesar ColI, a Iiiaki Echevarria y a Francese Seg6 quehan sabido esperar, con una paciencia oportuna, el fmal de nuestrotrabajo.

Dedicamos este libro a nuestros colegas del Instituto Juan deMairena, a sus alumnos y, por supuesto, a los padres de estos ulti-mos.

PR6LOGOEl eslab6n perdidQ entre la ensefianza y el aprendizaje

Este libro va dirigido a alumnos, padres y profesores. A todos a lavez. Esta situaci6n tan poco habitual merece una explicaci6n.

Este libro trata del estudio de las matematicas. No se limita al ami-lisis de la ensefianza de las matematicas, que es tan s610 un medio pa-ra el estudio. Tampoco pretende disertar sabiamente sobre el apren-dizaje, que aun siendo el objetivo del estudio, se puede convertirfacilmente en una entidad abstracta cuando ignoramos aquello que 10hace posible: el proceso de estudio 0 proceso didactico.

EI estudio es hoy el eslab6n perdido entre una enseiianza que pa-rece querer controlar todo el proceso didactico y un aprendizaje cadavez mas debilitado por la exigencia de que se produzca como unaconsecuencia inmediata, casi instantanea, de la enseiianza. Este libropretende restituir el estudio al lugar que Ie corresponde: el corazondel proyecto educativo de nuestra sociedad. En lugar de circunscribirla educaci6n a'la interacci6n entre enseiianza y aprendizaje, propone-mos considerarla de manera mas amplia como un proyeetode estudiocuyos principales protagonistas son los alumnos. EI profesor dirige elestudio, el alumno estudia, los padres ayudan a sus hijos a tstudiar ya dar sentido al esfuerzo que se les exige. Una vez restablecido esteeslab6n, se puede tambien restablecer la comunicaci6n entre alum-nos, padres y profesores, haciendo que el diaIogo entre la sociedad yla escuela recobre su sentido primordial: la escuela lleva alas j6venesgeneraciones a estudiar aquellas obras humanas que mejor les servi-ran para comprender la sociedad en la que se disponen a entrar.

Este libro trata del estudio de las matematicas. La obra matemati-ca tiene mas de veinticinco siglos de antigiiedad. La respetamos, la te-memos y nos resignamos a que nos confronten con ella durante esteparentesis de nuestra vida en el que, por las buenas 0 por las malas,vamos a la escuela. Pero, desgraciadamente, ya no comprendemosque sentido tiene estudiarla. Las matematicas, tan presentes en nues-tra vida cotidiana por medio de los objetos tecnicos, son empero, pa-ra muchos de nosotros, cada vez mas invisibles y extranas. Esta situa-cion es malsana y la escuela, en nombre de la sociedad, deberfaremediarla. Pero para ello necesitamos comprender por que hay ma-tematicas en la sociedad y por que hay que estudiar matematicas en laescuela.

Este libro pretende, pues, ensenar a "leer": a leer la sociedad, laescuela, las matematicas. La clave para esta lectura es, como ya hemosapuntado, la nocion de estudio; el instrumento para lIevada a cabonos 10 proporciona el analisis didactico en el que querriamos iniciar allector, sea este profesor, padre 0 alumno.

Ellibro se divide en cuatro partes 0 unidades. Cada unidad constade un episodio seguido de unos ditilogos entre dos personajes con losque el lector se familiarizara muy pronto: el Estudiante y la Pro-fesora. EI Estudiante consulta a la Profesora para que Ie ayude a ana-lizar fragmentos de unas transcripciones -Ios episodios- que Ieproporciono Maria Nunez, una periodista cuya generosidad no po-dremos nunca dejar de agradecer. Los dialogos entre el Estudiante yla Profesora van seguidos de una breve sintesis y, mas adelante, deunos comentarios y profundizaciones que resumen y completan di-chos diaIogos, dando a veces lugar a algunos desarrollos mas especia-lizados que presentamos en los anexos.

Debido a que no se puede comprender una obra oyendo solo ha-blar de elIa, el lector podra aventurarse en unos pequenos estudiosmatematicos (PEM) que hallara al final de cada unidad. De esta ma-nera podra desarrollar una verdadera actividad matematica, necesariapara completar la lectura lineal, tranquila y reflexiva del texto. Unavez leido 0, mejor dicho, estudiado ellibro, elleetor habra entradoen contacto con las matematicas y, a traves de elIas, con algunasdelas razones que fundamentan y organizan nuestra vida en sociedad.Son razones que la cotidianeidad nos lIeva demasiado frecuentemen-te a ignorar y que, por ello mismo, cada uno de nosotros deberfa vol-ver a considerar con cierta regularidad. Este libro es, pues, un libro"para volver a empezar".

HACER Y ESTUDIAR MATEMAnCAS

LAS MATEMATICASEN LA SOCIEDAD

Los autoresBarcelona, abril de 1996

EPISODIO t

La lienda de Matematicas

Empiezo el reportaje visitando el dispositivo que mas me lLam6 laatenci6n alleer el folleto de presentaci6n del instituto de educaci6n se-cundaria "Juan de Mairena": La Tienda de Matematicas. Me atiendeEduardo, un profesor.

Periodista. - <.Desde cuando existe la Tienda de Matematicas?Eduardo. - Pues, creo que desde la creacion del Instituto. Aunque

no 10 se muy bien, llevo solo tres afios trabajando aqui.P. - (Y para que sieve?E.- jAh! Eso si que 10 se: "La Tienda de Matematicas pretende

responder alas necesidades matematicas de ..."P.- " ...del conjunto de miembros del Instituto y de su entorno".

Ya 10 he leido en el folleto. (Pero, como funciona en la pnictica?E. - Pues mira, supongamos que tienes que hacer algo y te surge

un problema. Si se trata de un problema esencialmente matematico,10 mejor es venir a la Tienda.

P.- Ya. Y entonces os planteo el problema, (no es eso?E.- Exacto. Si quieres te puedo dar un ejemplo ...P.- Espera. A 10 mejor te puedo proponer uno yo. Un ejemplo de

verdad. El otro dia fui a comprar un tendedero de ropa. Uno de estospequefios,de apartamento. Habia dos modelos. Mira, he traido el ca-talogo ... (Le enseno los dibujos de los tendederos.)

E.- (Y bien?P.- AI final me decidi por este ... (Le enseno el modelo A.) Me pa-

recio mas simple, mas clasico. Pero luego me quede pensando quequiza .el otro era mejor, que hubiera cabido mas ropa. (Es esto unacuestion de matematicas? Es decir, (es esto una cuestion para laTienda de Matematicas? (Que te parece?

E. - (Que si es una cuestion de matematicas? (El saber si uno esmejor que el otro? Pues, la verdad ... no 10 se... Veras, es que yo nosoy profesor de matematicas.

P.- (Ahno?E. - No. Hoy sustituyo a una colega de matematicas, Marta, que

tenia reunion de seminario. Yo soy profesor de lengua y me ocuponormalmente de la Tiendil de Idiomas y Lingiiistica. Mi especialidadson los problemas de ortografia, tipografia, todo eso.

P.- Ya veo. Entonces nopuedo ...E.- jMira! JAW viene Marta! (Marta entra precipitadamente.)Marta.- jPerdona, llego tarde!E.- No pasa nada. Ha venido la periodista ...M.- jAb sl! 5upongo que eres Maria Nunez, (no? Ya me dijeron

que vendrias por aqui.E. - iY nada mas llegar, me plantea un problema! Pero bueno, os

dejo. (Sale.)M. - Y bien, (cuaI era el problema?P.- Pues ... Pense que era una manera de entrar en materia ...M.- Como quieras, jla periodista eres w! Aver, cuentame ... (Le

cuento mi "problema".)(Uno mejor que el otro? ... Por ejemplo porque permitiria tender

mas ropa (no?P.- 5i, algo asi.M.- Ya. En este caso, quiza... 5upongo que basta con ... Mira, de

todas formas ... jMe sabe tan mal no haber podido llegar antes! Tepropongo 10 siguiente: pasado manana, el equipo de la Tienda se reu-ne para examinar los encargos de la semana. Puedes venir y hacer to-das las preguntas que quieras. 5eguramente podremos tratar tu encar-go. (Que te parece?

P.- Muy bien. Asi podre ver mejor como funciona todo esto.Vendre encantada.

Dos dias despues, el Taller de Matematicas se reune en La "trastienda"para examinar los pedidos de la Tien4a. Asist~n ~"!rta, o~~ aos pro-fesores del centro,jose y Luis, y yo mtsma. LuIS dznge La seston de tra-bajo.

Luis.- Vamos aver, (empezamos por Jose? .jose.- Como quecais. Bueno. Yo me he encargado del pedldo de

una profesora de biologia. Lo que te conte ayer, Maria.Periodista.- (La de la tabla? ., ,f.-La misma. 5u problema era muy sencl11o: quena ~ab~r .cuan-

tos elementos diferentes se pueden poner en una tabla Slmetnca deorden n.

Marta. - (En una matriz simetrica?f.-51.Y la respuesta es inmediata ...Periodista.- jPara mi no! .j.- Vale, vale... Pero deberia serlo para alumnos de Bachillerato.

'Por 10 menos teoricamente! (Risas.) La respuesta es: n (n + 1)/2.I , . d' ~P.- (Y eso que qUlere eClr. . .

Luis.- Pues mira, si tienes una tabla de, por eJemplo, c~atro fila;sycuatro columnas, como mucho podras poner 4 por 4 mas 1 partidopor dos, es decir, 4 por 5, 20, partido por 2, 10. 0 s~a, tendra c~momucho 10 elementos distintos. Asi... (Escribe en. La ptzarra que ttenedetTas.)

(4 1 3 7)296o 5

3

P.- ,Y los elementos que faltan? (Por ejemplo, de~ajo del4? .Marta.- Ya estan determinados. Porque la tabla tlene que ser SI-

metrica. Mira. (Se levanta y va a La pizarra.)

F q i)19

P.- Ya veo! Como si la diagonal de en medio fuera un espejo (no?M.- Si. Se llama la diagonal principal. (Risas.) jTen, compIetala tu

ahora! (Me tiende Latiza. Risas.)P.- Pero yo no soy matematica ... (Voya Lapizarra y escribo con

mucho cuidado.)

u ~~iJTodos.- jMuy bien! (Risas.)P.- (Y Ie habeis explicado todo esto a vuestra colega de biologia?]ose.- No, todo esto ya 10 sabe ... Solo Ie di la formula general por

teIefono, porque era urgente. Para su clase del dia siguiente.Luis.- Muy bien. Cuestion zanjada. Y ru, Marta, (tenias algo?Marta.- Pues si, tenia el problema de Maria. Ya os 10 conte ayer.L.- Los tendederos. Vale. (Y bien? (Que respuesta Ie das a nues-

tra "cliente"?M.- iJa! jPues simplemente que tenia que haber comprado el otro

modelo! (Risas.)Periodista.- (0 sea que con el otro hay mas longitud de tendido?M.- Exacto. Supongamos que hay un numero n de cuadrados para

uno y el doble 2n de tiras para el otro. Entonces con el modelo B, elde los cuadrados, ganas cien dividido por n-l por ciento de tendido.

P.- (Y eso que significa?]ose.- Si tienes un tendedero con 10 tiras, el otro modelo, el que

tiene cinco cuadrados, te da 25% mas de longitud.P.- (Asi hay siempre un 25% de mas?Luis.- No, depende.P.- (Depende de que?]ose.- Del numero de tiras 0 de cuadrados. De n. Si, por ejemplo,

hay 3 cuadrados 0 6 tiras, entonces n = 3 Y ganas 100 dividido por 2,es decir un 50%.

P.- jEso es muchisimo!Marta.- Si, pero cuantas mas tiras tienes, menos ganas. Mira: con

·18 tiras, es decir, con n = 9 (cuadrados), tendrias ... (Escribe en Lapiza-rra.)

100 1009 - 1 = -8- = 12,5

]ose.- Claro que si tuvieras nueve cuadrados, en el noveno cuadra- .do, el mas pequeno, solo podrias poner prendas pequenas ... jcalceti-nes, sostenes y bragas como mucho!

(Martaparece molesta por el comentario de ]ose.)Luis.- Vaya, vaya. Asi que Maria no ha hecho buena compra.

(Risas.) ~ueno ... Pues yo he tenido dos encargos. Por desgracia sonun poco mas complicados, pero no corren prisa.

Marta.- (De que se trata?L.- Primero Amalia, la profesora de economia, queria saber si po-

driamos introducir en el curriculo de matematicas la nocion de elasti-cidad. Le interesa porque en economia tiene que tratar el tema de laelasticidad de la demanda y cosas de este estilo.

]ose.- Si, 10 hablamos anteayer en la reunion de seminario.L.- Exacto. Bueno, pues habria que estudiar la cuestion. Desde un

punto de vista matematico.Periodista.- (Es un encargo que viene del Seminario de Matema-

ticas? (De los mismos profesores?L.- Exacto. Son nuestros "clientes" ... Hay que estudiar el tema.

Deberiamos tenerlo listo en mayo, para que en junio el Seminariopueda decidirse de cara al curso que viene. Amalia se ha ofrecido paratrabajar con nosotros.

]ose.- (Quien se va a ocupar del pedido?L.- Francisco. Hoy no podia venir, pero ha aceptado. Asi que 10

hare yo con el y la ayuda de Amalia. Intentaremos tener un primerinforme para dentro de tres semanas, en la reunion mensual delSeminario de Matematicas. jEspero que no nos £alte tiempo!

Marta. - (Y el segundo encargo?L.- jAh! Este parece bastante mas dificil. Nos viene de Lucia. Es

otra profesora de matematicas del Instituto.]ose.- Esta preparando el Curso Juan de Mairena de trigonome-

tria.Periodista.- Son precisamente los librosque haceis aqui y que cu-

bren todos los cursos del Instituto, (no? He visto el de gramatica decastellano.

Marta.- Eso mismo. El que teniamos de trigonometria ya estabaun poco anticuado. Y 10 estamos retocando. Lucia tiene horas lib respara ello. Pero la estamos ayudando entre todos.

Luis.- Vale. Pues, su problema es... Lucia ha consultado a losalumnos, para ver que tipo de cuestiones proponian. Y Ie han hechoesta pregunta: con los angulos mas habituales, el seno y el coseno sonsiempre numeros enteros, fracciones, 0 fracciones con radicales. Porejemplo ... (Va a Lapizarra mirandome, como si quisiera hacerse en-tender. Le sigo Lacorriente.) Por ejemplo, tenemos ... (Escribe.)

1t 1cos-=-3 2

1t Vicos-=-4 2cos~ = {j cos.!!..=••.I 1- + Vi

6 2 8 V 2 4

EI alumno Ie pregunto si esto era siempre cierto. (Veis el proble-

ma? (En que casos cos p7t se escribe con fracciones y radicales?q

. Marta.- Con fracciones y radicales ... La pregunta no es muy pre-Clsa •••

L.- Ahi esti el problema. 0, por 10 menos, una parte del mismo.Periodista.- (Y no sabeis la solucion?L.- Pues no ... Por 10 menos yo no. jNunca habfa pensado en ellolP.- (Y vuestra colega 10 quiere introducir en el Curso?Jose.- Sf. (Por que no? Si un alumno se 10 ha preguntado ... Bueno,

dependera de la solucion. Aunque tambien se puede dejar el proble-ma sin respuesta. En fin, de todas formas, yo por ahora no se pordonde atacarlo. (Marta y Jose se han quedado en siLencio. Elios tam-poco Lodeben saber.)

Las matematicas se aprenden y se enseiianpero tambien se crean y utilizan

Pro/esora.- Asf que querias hablar del episodio de la Tienda deMatematicas ...

Estudiante.- Sf, eso es.P.- Me parece un buen tema para empezar.E.- Usted participo en la creacion del Instituto Juan de Mairena,

(no? ..P.- Sf. Ademas formaba parte de los que apoyaban la idea de po-

ner en marcha las Tiendas en el Instituto. Porque no solo hay unaTienda de Matematicas ...

E.- Ya. Tambien hay una de Idiomas y Lingiifstica.P.- Por ejemplo.E.- (Y a que respondfa la creaci6n de las Tiendas?En prj,ncipio, si

10 he entendido bien, en las Tiendas no hay enseiianza ni aprendizaje ...P.- Parece que 10 has entendido bien.·E.- Pero entonces (para que crear este tipo de .., de instituci6n, en

un centro docente?P.- Antes de responder, permfteme una pregunta. Has acabado

recientemente la carrera de Matematicas, (verdad?E.- Si.P.- (Y me podrias decir por que has estudiado esta carrera?E.- Porque me gustan las matematicas.P.- jEstupendol jNoabundan los "amantes" de las matematicasl

Pero, en realidad, cuando dices que te gustan las matematicas, (quie-res decir que te gusta aprender matematicas?

E.- Si, pero no es 10 timco. Tambien me gusta enseiiarlas.P.- Perfecto. Si 10 he entendido bien, 10 que has hecho con las ma-

tematicas ha sido aprenderlas para luego enseiiarlas. (Ya estcis traba-jando?

E.- No, todavia no. Pero doy clases particulares.P.- Ah, ya. Muy bien. Asi que, segtin parece, las matematicas son

para ti algo que se aprende y tam bien algo que se enseiia.E.- Si, claro.P.- Pues bien, sustituye ahora "matematicas" por "fontaneria". La

fontaneria es algo que se aprende y se enseiia.E.- 51.P.- Pero supongo que te das cuenta de que esta afirmacion es in-

completa, que Ie falta algo.E.- ...P.- Socialmente. Falta algo.E.- ...P.- Si la fontaneria solo fuera algo que se enseiia y se aprende,

(que te parece que ocurriria?E.- Lo siento pero me parece que no la sigo ... No veo 10 que quie-

re decir.P.- Te 10 voy a decir claramente. Si la fontaneria solo fuera algo

que se enseiia y que se aprende jno habria fontaneros! .E.- Quiere ust~d decir que jah, ya 10 eritiendo! Solo habria

alumnos de fontaneria y profesores de fontaneria, pero no habriafontaneros. Seria algo asi como un circuito cerrado.

P.- Eso es, exactamente. Si tuvieras una averia, no encontrarias aningtin fontanero. Habria gente que aprenderia fontaneria y genteque la enseiiaria, pero no habria nadie para arreglar los grifos de tucuarto de baiio. (Entiendes 10 que quiero decir?

E.- Creo que si ... Es verdad. Pero en nuestra sociedad no solo hayprofesores y alumnos de matematicas. Tambien hay matematicos.Los matematicos se corresponderian con los fontaneros, (no?

P.- Si. En cierto sentido si.E.- Entonces 10 que quiere usted decir es que yo no soy matema-

tico.P.- No, no es exactamente eso. Normalmente solo se considera

matematicos a los que investigan en matematicas, a los que crean ma-tematicas nuevas. Pero no es esa la cuestion. Consideremos las mate-maticas que has aprendido. Porque has aprendido muchas matemati-cas...

E.- (Muchas? No se, algo ...P.- Lo bastante como para que, con las matematicas que has

aprendido, puedas resolver muchos de los problemas matematicosque tienen los que no son matematicos.

E.- (Como la profesora de biologia, la de la tabla simetrica?P.- Exactamente. Es un buen ejemplo. Porque seguro que tU pue-

des resolverle el problema a partir de las matematicas que has apren-dido, (no?

E.- Sf, sf, claro.P.- Bueno, a 10 que fbamos ... (Has tenido alguna vez que resolver

un problema de matematicas para alguien de tu entorno? Me refieroa un problema que nohaya propuesto un profesor de matematicas, nique haya sido pensado para aprender matematicas 0 comprobar quese han aprendido correctamente. Como el caso de la tabla simetricade la profesora de biologia, por ejemplo.

E.- Pero en ese caso, jno habria aprendido nada al resolver el pro-blema de la tabla!

P.- jEso es 10 que te decia! Solo se te ocurre hacer matematicascon el objetivo de aprender matematicas. Y maiiana, cuando seas pro-fesor, solo se te ocurrira hacer matematicas para enseiiarlas, para quetus alumnos las aprendan.

E.- (Y no Ie parece suficiente?P.- Para responderte, volveremos al principio, a 10 de la fontane-

rfa. Imagina que estamos en una sociedad como la que hemos descri-to antes, en la que solo hay profesores y alurnnos de fontanerfa, perosin fontaneros. Supon ademas que alguien necesita un fontanero y re-curre a un "estudiante avanzado" de fontaneria. (Me sigues?

E.-Sf.P.- Pues bien, supon ahora que este estudiante de fontaneria se

comportara como tU respecto de las matematicas: examina el "pro-blema" de fontanerfa y se percata de que es un problema muy simple,con el que no aprendera nada que no sepa ya. Entonces, de una ma-nera u otra, se negara a intervenir ...

E.- jCreo que exagera un poco, Profesora! En el fondo, esta usteddiciendo que, para mi, las matematicas solo existen en la medida enque tengo que aprenderlas 0 enseiiarlas. Y, ademas, 10 que usted seimagina no es verdad. Si alguien me pidiera que Ie explicara algunacuestion de matematicas, no me negarfa a hacerlo. jCon la condicion,claro, de que yo mismo supiera hacerlo!

P.- Lo que acabas de decir muestra que aun no me entiendes bien.No se trata de explicar, no se trata de hacer de profesor. Se trata deresolver un problema y de comunicar la solucion a la persona que 10necesita. Por ejemplo, no se trata de ayudar ala profesora de biologiaa encontrar la formula n(n+ 1)12. Se trata solo de comunicarsela y, sies necesario, de decide como utilizarla.

E.- (Pero no serfa mejor, para ella, que aprendiera a establecer laformula por si misma?

P.- Si estuviera aprendiendo matematicas, quid sf, pero aquf 10

que ella necesita es una formula. Es eso 10 que pide. Y tU te compor-tas como un fontanero que, en lugar de arreglar el grifo de tu casa, seempeiia en enseiiarte como hacerlo tU solo. De hecho, padeces unaenfermedad muy comun entre la gente que no ha salido de la escue-la...

E.- j(Que enfermedad?!P.- La enfermedad didactica. Consiste en reducirlo todo al apren-

der y al enseiiar, olvidando que los conocimientos tambien sirven pa-ra aetuar. En la sociedad, enseiiar y aprender son solo medias paraque cierto numero de personas adquieran los conocimientos necesa-rios para realizar ciertas actividades. La enfermedad didactica consis-te en creer que toda la sociedad es una escuela. Lo siento, pero todoel mundo no puede saberlo todo, cada uno de nosotros solo puededominar un pequeno numero de conocimientos.

E.- Pues si es asf, (por que se obliga a los alumnos a aprender ma-tematicas?

P.- jAb! jEsperaba esta pregunta! Aunque seguro que no la aca-bas de plantear porque te interese la respuesta, sino solo para tenerun argumento a tu favor. Por eso prefiero que volvamos a 10 que tepreguntaba al principio de todo, y que todavfa no has contestado:(has tenido ya la ocasion de resolver un problema de matematicasporque te 10 encargaba 0 pedfa alguien?

E.- Ahora mismo no 10 recuerdo. Pero, a pesar de 10 que ustedpretende, si se presentara la ocasion seguro que 10 haria gustoso. Detodas formas, no creo que r:lUncanadie me 10 haya pedido.

P.- Pues mira, si alguna vez trabajas en el Instituto Juan deMairena, tendras la ocasion de hacerlo cuando te toque atender laTienda de Matematicas. Pero seguiremos hablando de todo ello elproximo dfa, porque hoy ya se nos ha hecho tarde.

E.- Muy bien. Muchas gracias, Profesora.

~Quesignifica "see matematico"?

E.- Es correctora y trabaja para una editorial, pero no escl contra-tada. Le mandan libros y otros textos a casa para que los corrija. Suproblema es que tenia que hacer una factura de un trabajo que habfarealizado y queria cobrar por ello 45.000 ptas.

P.- Y supongo que queria saber que cantidad poner en la facturapara que, al restarle el I.R.P.F., Ie quedaran 45.000 ptas., (no?

E.- No, no exactamente ...P.- (Ah no? (Entonces que queria?E.- Pues vera, alguien Ie habfa dicho que bastaba con dividir entre

0,85.P.- (Ybien?E.- A ella no Ie convencfa demasiado, no entendfa por que. Queria

que se 10 explicara, que Ie dijera por que habfa que dividir entre 0,85.P.- Ya. 0, mejor dicho, queria que Ie aseguraras que era eso 10

que tenia que hacer. Queria estar segura para no tener sorpresas mastarde, para que no Ie pagaran menos. (Es eso?

E. - Sf, mas 0 menos. De todas formas, se 10 he explicado: para te-ner 45.000, hay que pedir x, tal que x menos el 15% de x de 45.000.Lo hemos escrito ...

P.- (Pero no hablabais por teIefono?E.- Sf, Ie he dicho que 10 escribiera en un papeI. Y enseguida ha vis-

to que se trataba de una ecuacion de primer grado: x - 0,15 x = 45.000.jY la ha resuelto ella sola!

P.- jMuy bien! (Que estudios tiene tu prima?E.- Es licenciada en filologla. De letras, vaya.P.- Luego, como Yes, jno ha olvidado todo 10que aprendi6 en se-

cundaria!E.- Precisamente. jLo hubiera podido comprobar sola! Incluso 10

del 0,85...P.- Hubiera podido, pero no pudo. Necesitaba ayuda. Necesitaba

la ayuda de un matematico. Tu tambien habras arreglado alguna vezun grifo de tu casa. Pero en algunos casos tienes que recurrir a unfontanero.

E.- ...P.- Y, al mismo tiempo, para que tengas que recurrir a un fonta-

nero, debe haber un mfnimo de dificultad, (no? 0, por 10 menos, tie-ne que ser importante que el trabajo se realice bien, que no sea una"chapuza". Como en el caso de tu prima: tenfa la solucion -bastabacon dividir entre 0,85-, jpero era importante que no hubiera ningl1nerror!

E. - Sf, ya veo. Para mf no era un problema diffciI...P.- jY, sin embargo, aceptaste resolverlo!E.- Sf, sf, claro. Para mf no era diffcil, pero para ella era muy im-

portante.

E.- Buenos dfas Profesora.P.- Buenos dias. (Como va todo?E.- Bien, gracias. Pero ...P.- (Si?E.- Le he estado dando vueltas a 10 de la enfermedad didactica.P.- (Ybien?E.- Pues ... me ha dejado un poco perplejo. Y, ademas, ha ocurrido

algo ... Al volver a casa, el otro dia ... jEs realmente increible! Me lla-mo mi prima por teIefono ... jY resulta que me queria consultar sobreun problema de matematicas! .

P.- (Ah si? (A que se dedica tu prima?

P.- Exacto. Hoy has aprendido algo mas sobre como funciona lasociedad. Te felicito.

E.- Gracias. Pero ese dia mi prima necesitaba a un matematico, yusted insinuo la ultima vez que yo no era un matematico.

P.- jNo! jYo nunca he dicho eso! Tienes que prestar mas atenciona 10 que decimos. jEl trabajo que realizamos necesita un poco de ri-gor!

E.- Lo siento, 10 siento ... (Me podria entonces precisar 10 que en-tiende por matematico? Es 10 que no llego a ver con claridad.

P.- Pues mira, hemos hablado de los matematicos que investiganen matematicas.

E.- SI.P.- Este es un sentido un tanto restrictivo de la palabra "matema-

tico". Te voy aproponer otra definicion. Cuando alguien consulta aotro sobre una cuestion de matematicas... Digamos, cuando a unapersona A, una persona B Ie consulta sobrealgo de matematicas,cuando B otorga su confianza a A sobre la validez de la respuesta,cuando A acepta el encargo de B y se compromete -no necesaria-mente de manera explicita- a garantizar la validez de su respuesta,entonces A es un matematico 0 una matematica. Mejor dicho, A esun matematico para B.

E.- 0 sea que, segun su definicion, ser matematico no es una pro-piedad sino una relacion entre dos personas, (no?

P.- Exacto.E.- Entonces, por ejemplo, cuando A es uno de los profesores de

matematicas de la Tiendil que contesta a la profesora de biologia, quees B, este profesor de matematicas, Jose, es un matematico para B, laprofesora de biologia.

P.- Exacto. Y cuando tU, A, contestas a tu prima ...E.- Soy un matematico para ella. Pero un matematico que inves-

tiga en matematicas sabe muchas mas matematicas que yo. E inclu-so que Jose. jCon su definicion todo el mundo puede ser matema-tico!

P.- Si quieres, sl. Pero una persona dada solo sera matematica paraciertas otras personas. Un investigador en matematicas quiza no con-sidere que tu eres un matematico.

E.- Quieres decir ... (La puedo tutear, Profesora?P.- jPor supuesto!E.- Quiere usted decir ... jPerdon! Quieres decir que me va a mirar

con un poco de desprecio, (no?P.- No. Y si 10 hiciera, seria simplemente porque entiende mal co-

mo funciona la sociedad. Tu prima no tiene por que consultar a unmatematico especialista para resolver su problema. Ademas de ser so-cialmente muy caro, seria sacar las cosas de quicio, como esas perso-

nas que van a ver a un medico especialista cuando tienen un simpleresfriado.

E.- Si, ya 10 veo.P.- Espera. Aun hay dos cuestiones por clarificar. Para empezar, de-

das que un investigador en matematicas sabe mas matematicas que tUyque Jose. Es sin duda cierto, por 10 menos es 10 que suponemos. Pero,aunque sepa muchas matematicas, no 10 sabe todo. Ni el, ni el conjuntode los investigadores en matematicas de todo el Mundo. Y si alguien Ieconsultara sobre una cuestion que el no conociera, no habria ningunadiferencia entre consulcirselo a el y consulcirselo a Jose 0 a ti. jLa per-sona que consulta se quedaria igualmente sin solucion al problema!

E.- SI. Dicho de otro modo, ser matematico es relativo. Uno po-dra ser matematico para ciertas personas y no para otras.

P.- Eso mismo. Y la ley vale tambien para los matematicos inves-tigadores. Pero dejemos aqui este tema. Ahora hay otra cuestion quequeria examinar: la de como se expresaria el hecho de que el investi-gador en matematicas del quehablabas no te considerara como unmatematico. La respuesta es simple: no se dirigiria a ti para pedirteque Ie resolvieras una cuestion de matematicas que el mismo no saberesolver. En otras palabras, no te haria nunca desempefiar el papel dematematico para el. No se estableceria, entre el y tU, esta interaccionsocial particular de Usermatematico para alguien". Pero no hay razonalguna para que te mire con desprecio.

E.- (Entonces por que has dicho antes "quiza"?P.- ...E.- Si, has dicho: "...quiza no considere que tU eres un matemati-

co". (Por que "quiza"?P.- Ah, ya veo 10 que me preguntas. A 10 mejor la frase esta mal

formulada. Lo que queria decir es que, en algunos casos, si te podriasolicitar como matematico. Si, por ejemplo, te pusieras a investigar enmatematicas y te pusieras a trabajar con el, te convirtieras en su cola-borador. En este momento, podria ser que te pidiera hacer algUn tra-bajo matematico ...

E.- (Que el mismo no supiera hacer?P.- No, te pediria que 10 hicieras en su lugar. Pero no como alum-

no, sino como una especie de "ayudante de matematicas". Te pediriaque Ie aseguraras la validez de las respuestas que Ie dieses, que te res-ponsabilizaras de tus soluciones.

E.- Seria un poco como s~ cuando se me estropea un grifo, aun-que yo mismo 10 sepa arreglar, llamara igualmente al fontanero, porejemplo porque tendria otras cosas que hacer, porque no tengo tiem-po. (No es eso?

P.- Si, algo as!. Salvo que en este caso no dirias que el fontanero estu ayudante.

E.- Vale, vale. Pero tengo otra pregunta. Cuando Jose responde ala profesora de biologla, hace de matematico para ella.

P.- 51.E.- Y cuando Jose esta en clase con sus alumnos, (tambien es un

matematico?P.- jBuena pregunta! A 10 mejor la podrias contestar tU solo.

Piensatelo un poco ... (En que circunstancias el profesor aparece cla-ramente como un matematico -en el sentido que hemos dichoantes- para sus alumnos?

E.- No 10 se... (Cuando corrige un problema, por ejemplo?P.- En ese caso, los alumnos esperan que la solucion que les da el

profesor sea correcta, (no?E.- 51,claro.P.- Luego sus alumnos 10 consideran como un matematico.E.- Pero en este caso, (podemos decir que los alumnos necesitan

la solucion que el profesor les da y cuya validez les garantiza, delmismo modo que mi prima necesitaba que Ie garantizara la respuestaa su pregunta?

P.- jVeo que empiezas a entenderlo!E.- Gracias ...P.- AS1,en tu opinion, (la necesitan 0 no?E.- 5i el profesor les diera una solucion falsa ... jEllos necesitan la

respuesta correcta para aprender! 5i el profesor les diera una solucionfalsa, molestarla mucho a los alumnos. Algunas veces ocurre.

P.- Es verdad. En cuyo caso el profesor no resultarla ser un buenmatematico para sus alu"mnos. Acabas de dar en el clavo: los alumnosnecesitan soluciones correctas porque para ellos son instrumentospara aprender. Tienen una necesidad matematica de origen didacti-co ...

E.- Perdona que te interrumpa. Pero de aru deduzco que los pro-fesores de matematicas son matematicos para sus alumnos.

P.- SI, en efecto.E.- Pues, entonces tengo otra pregunta. Los alumnos de una cIase

de matematicas, (tambien son matematicos en el sentido que hemosdicho?

P.- jMuy buena pregunta! Pero tambien la puedes contestar tU so-lo.

E.- SI. Pienso en algo... Si a un alumno, pongamos de 1° de E5Q,Ie pide su hermano pequeno que esta en primaria que Ie compruebeunas operaciones que tenia que hacer, entonces este alumno hace dematematico para su hermano pequeno.

P.- Estamos de acuerdo. (Y?E.- Y ocurrira 10 mismo con otro alumno de su clase. Aunque

quiza sea menos frecuente.

P.- Sf. Pero te advierto que la pregunta que planteabas era: (puedeun alumno de una cIase de matematicas ser un matematico en cuantoalumno de esta CIase?Yen los ejemplos que acabas de dar, no 10 con-sideras como alumno de tal 0 cual clase. (Entonces?

E.- Quieres decir si el alumno puede hacer de matematico parasus compaiieros 0 incluso para el profesor. (Es eso?

P.- SI, eso mismo. (Y bien?E.- Pues, para el profesor, supongo que el alumno no es un mate-

matico. Es a 10 sumo un aprendiz de matematicas, pero ni siquiera unayudante de matematicas.

P.- (Y respecto de sus companeros?E.- Esto ya 10 hemos visto. Puede ocurrir que tenga que hacer de

matematico para alguno de sus compaiieros de cIase. Pero esta situa-cion no se da todos los dfas.

P.- Bueno. Pues ahora soy yo la que te voy a hacer una pregunta.5i los alumnos nunca hacen de matematicos respecto al profesor ni,de manera oficial, respecto de los demas alumnos, (que va a ocurrir?(Ves 10 que pasa?

E.- ...P.- Decimos que si A es un matematico para B, A se responsabili-

za de la validez de las respuestas que da a las preguntas de matemati-cas que Ie plantea B.

E.- 51.P.- (Luego ...?E.- jAh ya! Quieres decir que si el alumno nunca hace de mate-

matico para el profesor, entonces nunca se responsabiliza de la vali-dez de las respuestas que da. "

P.- (Luego ...?E.- Luego, concretamente, el alumno resuelve problemas que Ie

plantea el profesor, pero no se responsabiliza de la validez de su res-puesta. Esperara que el profesor Ie diga si esta bien 0 mal. Es 10 nor-mal, dado que el profesor no 10 considera como un matematico.

P.- jVeo que empiezas a razonar! Y acahas de poner el declo enuno de los problemas didacticos mas diflciles. (Que hacer para que elalumno sea a la vez alumno y matematico? Es decir, para que reco-nozca al profesor como matematico, pero tam bien asuma hacer elmismo de matematico, y responsabilizarse de las respuestas que da alas cuestiones que se Ie plantean.

E.- Sf, ya veo. Por ejemplo, el profesor podria pedir a los alumnosque, de vez en cuando, fueran ayudantes de matematicas, dandoles"pequenos trabajos utiles 0 necesarios para la vida matematica de laclase. Por ejemplo, el profesor podria pedir a equipos de alumnos queredactaran las correcciones de los ejercicios que se hacen en cIase, pa-ra repartir despues estas correcciones entre los demas alumnos.

P.- Lo que dices no es ninguna tonterfa. Pero el problema didacti-co del que te hablaba es mucho mas complicado que todo esto. Yprefiero que 10 dejemos aquf por hoy ...

E.- jEspera! Te queria hacer otra pregunta antes de acabar.P.- Bueno, pero seraIa ultima.E.- Es respecto a la tienda. Has dicho que habias apoyado la idea

de la creacion de Tiendas en el Instituto Juan de Mairena.P.- Si.E.- He pensado que era porque querias que los profesores de ma-

tematicas se acordaran constantemente de que tambien son matema-ticos -en el sentido que has dado antes-.

P.- Si.E.- Pero justamente ahora hemos visto que un profesor de mate-

maticas es necesariamente un matematico para sus alumnos. Si se Ieconsidera profesor de matematicas, y si acepta serlo, entonces quieredecir que debe garantizar la validez de 10 que dice en materia de mate-maticas. Por 10 tanto, es un matematico. Todo profesor de matemati-cas es matematico para aquellos que 10 yen como un profesor de mate-maticas y frente a quienes el se considera profesor de matematicas.

P.- Es un buen razonamiento. Sigue.E.- Si. Pero entonces, (por que quieres que tambien sea matemati-

co para otr:os que no son sus alumnos? Quiero decir en la Tienda deMatematicas. jEsta es la pregunta!

P.- Muy bien. jEs una bonita pregunta! Para contestarla, voy aaiiadir una observaciona tu pequeno razonamiento. Un profesor dematematicas es un matematico. Pero un matematico no es necesaria-mente profesor de matematicas. Por ejemplo, cuando Jose respondeal "pedido" de su colega de biologia, hace de matematico para ella,pero no es su profesor de matematicas.

E. - Si, de acuerdo.P.- YaM, Yes, volvemos a encontrar la enfermedad didactica. Un

profesor de matematicas es, ciertamente, un matematico. Pero 10puede olvidar facilmente si solo hace de matematico para stis alum-nos. Si solo es matematico por razones didacticas. 0, por decirlo demanera mas tecnica, si solo es matematico para satisfacer necesidadesmatematicas de origen didactico. Porque se olvida entonces que haynecesidades matematicas que no son de origen didactico.

E.- Como 10 de mi prima, por ejemplo.P.- Exacto. La Tienda esta ahi para recordarles que pueden ser

matematicos para otros, ademas de para sus alumnos. Para recordar-les que hay necesidades matematicas que no tienen nada que ver conel aprender y el ensenar matematicas ... Y, finalmente, porque estasnecesidades matematicas ... jbien hay que satisfacerlas! Eso es todo.(Te parece suficiente?

E.- Si.P.- Pues 10 dejaremos aqui por hoy.E.- Como quieras. Gracias.

(Por que hay que estudiar matematicas?

P.- Y bien, (como estas esta semana?E.- Muy bien, gracias. Pero te ruego me disculpes por 10 de la ul-

tima vez. Esperaba a un amigo para que me arreglara el ordenador ...P.- Sf, si. No te preocupes. Mejor no nos demoremos y retome-

mos el trabajo.E.- Si. Ademas he escuchado la grabacion de nuestra ultima sesion

de trabajo y me han quedado algunas dudas. (Que te parece si empe-zamos por ellas?

P.- Adelante.E.- Bueno ... Hasta aqui hemos dicho que las matematicas no exis-

ten solo para que la gente las aprenda y las ensene. Es algo que sievepara resolver ciertas cuestiones. Cuando uno se plantea un problemade matematicas, puede ir a consultar a un "matematico" -en el senti-do que tU propones-. Estoy de acuerdo. EI olvidar que las matema-ticas sirven sobre todo para resolver problemas, eso es la enfermedaddidactica. Muy bien.

P.- Si. Aprender y ensenar son medios al servicio de un fin.E.- Eso mismo.P.- Pues, adelante con tu pregunta.E.- Mira. Si, al encontramos con una cuestion de matematicas,

podemos en todo momento hallar en nuestro entorno a un "matema-tico" para que nos la resuelva, (por que se obliga a todos 10s alumnosa aprender matematicas en laescuela? Esta es'mi primera pregunta.

P.- Ya. Dejame decirte que tu pregunta es muy ingenua, aunqueno por ello deja deser una buena pregunta.

E.- (Por que muy ingenua?P.- Pues, porque olvidas a la mitad del mundo.E.- No te entiendo ...P.- No me entiendes. Bueno. Pues escuchame bien. Cuando eras

pequeno, supongo que algunas veces te caias, te hacias daiio 0 te salfaun grano en la nariz. (Y que hadas en estos casos? Ibas a ver a tu pa-dre 0 a tu madre, 0 quiza a tu prima, para que te curaran la herida. Y,por ejemJ:llo, tu madre te deda: "No es nada ..." Y te ponia un poco demercromma.

E.- jSi, no me gustaba nada la mercromina!P.- Bueno, a ver, (como interpretarias tu la interaccion social en-

tre tU y tu madre, en este caso?E.- Ya veo por donde van los tiros. Quieres decir que en este caso

yo. e~a B, mi madre era A y B hacia que A desempefiara el papel demedIco para B.

P.- Exacto. Ahora bien, (es acaso tu madre un medico en el senti-do habitual, legal, de la palabra?

E.-No.P.- Y sin embargo hacia de medico para ti. En tanto que madre Ie

era muy dificil negarse a cuidarte alegando que no era medico. No Iequedaba mas remedio. Tu Ie imponfas -sin saberlo- una responsa-bilidad "medica". De manera limitada, pero real.

E.- 5i, pero tambien me hubiera podido lIevar al medico, a uno deverdad. .

P.- Tal vez. Pero en este tipo de casos, de hecho, no 10 hacia.Asumia su papd de medico. jImagina ademas 10 que pasaria si acu-dieramos al medico cada vez que tenemos una heridita! Por cierto,estoy casi segura de que, en 10 que va de mes, habras hecho de medi-co para alguien, (no es cierto?

E.- No 10 se... j5i, es verdad! La semana pasada uno de mis com-pafieros se resfrio y, como vi que no se cuidaba, Ie di una medicinaque me quedaba de un resfriado que habia tenido dos semanas antes.

P.- Y en este caso, ademas, no fue el quien te pidio que hicieras demedico para el.

E.- Es verdad, fue espontaneo.P.- Ot~a co~a. La semana pasada no nos pudimos encontrar por-

que tu amIgo vmo a arreglarte el ordenador a la hora a la que habia-mos quedado.

E.- 5i, la verdad es que 10siento mucho, Profesora.P.- Tranquilo, no pasa nada. (Tu amigo es informacico?E.- jNo, que va! Es musico.P.- Y cuando tienes un problema con el ordenador, (siempre re-

curres a el?E.- 5i, sabe mucho de maquinas ...P.- Asi, (es tu informatico?E.- 51. Yes verdad que si el no supiera solucionarme los proble-

mas tendria que recurrir a un informatico de verdad.P.- No estoy muy segura. Porque un informatico de verdad, hoy

en dia, no se sabe muy bien 10 que es -en el sentido en el que habIa-bamos de un medico de verdad, claro-. La situacion no es tan clara,los papeles que asume cada uno son mucho mas flexibles en este cam-po. Pero no importa. Lo que tambien puede ocurrir es que algtin diatti tengas que hacer de informatico para alguien de tu entorno.

E.- Es verdad, ya me ha ocurrido. Pero si te entiendo bien, 10 quequieres decir es 10 siguiente: nos puede ocurrir, a cada uno de noso-tros, que tengamos que hacer de informatico, de medico 0 de mate-matico para otra persona. (Es eso?

P._ jExactamente! Y.ahora podemos volver a ~·pregunta. N.o so-lo se aprenden matematicas para hacer de matematlco de uno mismo.porque es verdad que uno siempre encontrara a alguien mas 0 menoscercano que Ie pueda resolver sus problemas. A men os, claro, quenOSplanteemos cuestiones muy diflciles. Pero entonces es como conuna enfermedad grave: hay que ir a ver a un especialista. No. En rea-lidad, hay una buena razon para aprender matematicas porque, en lavida social, uno se puede ver conducido, e incluso obligado, a hacerde matematico para alguien. Lo saben muy bien los padres que nohan ido a la escuela y que, cuando sus hijos son pequefios, se yenobligados a hacer de matematicos, de gramaticos, d~ histori:~ores,etc., para ellos. Es a veces doloroso que, por falta de mstrucclOn, nopodamos ser 10 que los demas -a veces aquellos que nos importanmas- esperan que seamos. Porque nos da la impresion de que no t~-nemoS valor social, 0 familiar. 5omos una madre, un padre 0 un amI-go del que casi no se puede esperar nada.

E.- jTengo algo que objetar, Profesora!P.- Dime ...E.- Pues bien, en primer lugar, este "valor social" del que hablas

no se desprende solo de 10que se aprende en la Escuela. Mi abuela nofue nunca a la escuela y, para mi, sabia muchas cosas en muchos am-bitos ...

P._ 5i. Yvic.eversa. Uno puede estar muy instruido y no tener nin-gun valor social, por ejemplo porque la instruccion que ha recibidono se deja ver en interacciones sociales, no Ie permite hacer de mate-matico, de medico, de consejero fisc~ 0 de 10 que sea. Ffjate que ,eshacia ahi exactamente que nos encarmnamos cuando, como pareclasconsiderar, uno aprende matematicas, biologia 0 10 que sea s610 parauno mismo, creyendo que el estudio se justifica solo por el hecho desernos utiles a nosotros en primera persona.

E.- Quieres decir que es una concepcion de las cosas muy egoista.P._ 0, digamos, individualista. Pero dejemos de lado la moral. Es

una vision de las cosas que no se corresponde con los hechos, con ~amanera que tenemos de vivir concretamente en sociedad, con la famI-lia, los vecinos, los amigos, etc.

E.- 5i, es verdad. Pero entonces tengo otra objecion. Has dichoque, en la practica, nos vemos todos conducidos, un dia u otro, a ha-cer de medicos 0 de matematicos para alguien. Y ello porque uno nova a consul tar a un medico 0 a un profesor de matematicas cada vezque tiene una heridita 0 que tiene una pequefia dificultad de tipo ma-tematico.

P.- 51.E.- Pero podemos lIevar este razonamiento al extremo. En algu-

nos casos, no molestaremos a nadie, ni siquiera en nuestro entorno

mas proximo. Seremos nuestro propio medico 0 matematico. Asip~es, no es solo para los otros que aprendemos; es primero para unomlsmo.

P.- Veo que piensas. Y ademas piensas bien.E.- jGracias, Profesora!P.- Tienes toda la razon. Pero como Yes, es siempre la misma ra-

zon. No hay un yo, por un lado, y los demas por el otro lado. Hay 10que puedo hacer por mi misma, sin moles tar a nadie, y aquello para10 que nece.sito recurrir a alguien de mi entorno. Y despues hay 10que me obhga a buscar la ayuda de alguien mas alejado, un medico,un fontanero, un profesor, etc. Ademas, fijate que, para poder haceresto, se tiene que cumplir una condicion: que cada uno tenga una ins-truccion suficiente como para saber en que ambito situar las dificul-tades que Ie van surgiendo, para saber si puede resolverlas por si mis-mo 0 si es mas razonable pedir la ayuda del projimo, 0 aun si estaayuda va a ser suficiente 0 no. Es necesario un minimo de instruccionen cada ambito, una instruccion basica.

E.- jPues, entonces, todavia tengo otra objecion!P.- Adelante.E.- Mira, si consideramos todas las dificultades que uno puede

encontrar en la vida 0 sobre las cuales puede ser consultado ... porejemplo, hace unos dias un amigo mio tuvo un conflicto con la pro-pietaria de su piso, y me pidio consejo.

P.- Queria que Ie hicieras de "asesor juridico".E.- Eso es. Pero esto,precisamente, no forma parte de 10 que se

ensefia en la Escuela. Para tener un verdadero valor social, como tUdedas, tambien tendriamos que instruirnos en este ambito. jYen mu-chos otros!

P.- Si, si, es verdad. Yaqui volvemos al caso de tu abuela. Para vi-vir bien y ayudar a los demas a vivir bien, hay que adquirir todo tipode competencias. La instruccion "formal", la de la Escuela, nos pro-porciona un minimo, 0 mejor una base, un fundamento. Muchas ve-ces, el resto de competencias que adquirimos es el fruto de una ins-truccion "informal", dada por diferentes circunstancias de la vida.

E.- (Me puedes dar un ejemplo?P.- Si. Volvamos alas matematicas y a la Tienda de matematicas,

porque eso es 10 que estudiamos, (no?E.- Si, si.P.- Vale. Los profesores de matematicas, Marta, Jose y Luis, han

recibido una instruccion "formal" en matematicas. EI episodio al quehacemos referencia ocurrio hace algunos afios. Sabes que durante lareunion evocaron una cuestion que les planteo una colega de mate-maticas ...

E.- Si,la que queria saber en que casos cos (r 1t), donde res un nu-

mero racional, puede escribirse con una superposicion de radicales.He pensado en la cuestion y no veo por donde cogerla.

P._ Pues, precisamente, a esta hora, supongo que ellos si deben sa-ber como contestar, aunque su respuesta sea incompleta. La respues-ta no la han aprendido durante sus estudios de matematicas, ni en elinstituto ni en la universidad, sino a raiz de su trabajo en la Tienda deMatematicas. (Entiendes 10 que quiero decir?

E.- Si. Pero esto representa muy poco en comparacion con 10 quehan aprendido durante sus estudios "formales".

P._ No te engafies. En realidad, cuanto mas envejecemos, mas co-nocimientos tenemos como fruto de una instruccion informal, adqui-ridos en situaciones en las que no habia un profesor para ensefiarnos.por ejemplo, 10 que sabe un investigador de un area dada es en granparte el resultado de una instruccion informal adquirida durante lasinvestigaciones en las que ha participado, ya sea como director, comocolaborador 0 como ayudante. Y esto es tanto mas verdad cuantomas viejo se es. jDimelo a mil

E.- Tampoco eres tan vieja ...P._ jMiralo el, que simpatico de repente! Gracias, pero ahora te-

nemos que dejarlo. Nos veremos la semana que viene, tal como ha-bfamos quedado.

E.- Si, gracias. Hasta la proxima.

La didactica de las matematicas, ciencia del estudio

E.- Buenos dfas, Profesora.P._ Buenos mas. Supongo que debes tener aun alguna pregunta, (no?E.- Sf, claro. La ultima vez tomaste el ejemplo del coseno ...P.- Sf.E.- Y he vuelto a pensar en 10 de la enfermedad didactica. Has di-

cho que la Tienda permitia a los profesores recordar que son mate-maticos, y no solo para sus alumnos.

P._ Sf, les recuerda que las matematicas no son solo algo que seaprende y que se ensefta.

E.- Eso es. Pero entonces, con 10 de los cosenos, los profesorestendran que aprender cosas nuevas, puesto que en un principio no sa-ben contestar a la pregunta.

P.- Claro.E.- jY entonces vuelven a caer en la enfermedad didacticalP.-jEspera, espera! No hay que ir tan rapido. No todo es enfer-

medad didactica. Estos profesores tienen que aprender cosas, pero nopara ensefiarIas mas tarde. Lo que quieren es poder resolver unacuestion que alguien les ha planteado. Si te acuerdas, se trataba ~e co-laborar en la actualizacion del Curso de T rigonometria del Instltuto.

E.- Eso es.P.- Aprender, en este caso, es para estos profesores un medio al

servicio de un fin que no es enseiiar 10 que habnin aprendido sinoresponder a una cuesti6n que se les ha planteado. En muchos casos,para responder alas cuestiones planteadas, no tendran que aprendernada; 10 tendran que hacer, y punto.

E.- Por ejemplo, en el caso de la tabla simetrica de la profesora debiologfa.

P.- Eso mismo. Pero aqui quisiera introducir otra consideraci6n.E.- (Si?P.- Para aprender la informaci6n necesaria para contestar a la

cuesti6n del coseno, los profesores no reciben ninguna enseiianza.Creo que eso es 10 que pas6. La enfermedad didactica tam bien con-siste en creer que, para que alguien aprenda algo, tiene que seguir uncuno, 0 recibir clases sobre ese algo.

E.- (Entonces quieres decir que la enseiianza no es imprescindi-ble?

P.- jClaro que no! Volviendo a donde estaba. Estos profesorestienen que estudiar una cuesti6n. Esa es la palabra clave: "estiIdiar".Para aprender 10 que quieren saber, van a estudiar. Para estudiar, po-dean tomar clases 0 seguir un curso sobre el tema en cuesti6n. Peromuchas veces no podean contar con esta ayuda. Eso es 10 que ocurrecon 10 que he llamado la "instrucci6n informal". Nos tenemos queinstruir, pero sin profesor, sin enseiianza.

E.- Entonces, (cuaI es el papel de la enseiianza?P.- Es una ayuda. Es una ayuda util, potente. Eso es justamente 10

que uno descubre cuando tiene que estudiar sin profesor. Es como siahora tU quisieras instruirte sobre la cuesti6n del coseno. Eso es 10que queria decir, y nada mas.

E.- Si me permites, Profesora, voy a intentar resumir 10 dicho has-ta aqul...

P.- Muy bien, adelante.E.- En ciertos casos, para poder actuar"hay que aprender. Para

aprender, estudiamos. Un medio para estudiar es seguir un curso 0

tomar clases. Pero muchas veces, cuandouno ya no esta en la escuela,tiene que estudiar de otra forma, porque no encuentra una enseiianza"hecha a medida".

P.- Eso mismo. Y aiiadire algo mas: incluso cuando existe una en-seiianza "hecha a medida", como tu dices, estudiar no se reduce almero hecho de asistir a clase. Pero supongo que este tema 10 volvere-mos a tratar mas adelante. .

E.- Si, de acuerdo. Pero ahora tengo otra pregunta, siempre sobrela enfermedad didactica.

P.- Te escucho.

E.- Cuando trabajan en la Tienda, Jose, Luis 0 Mana hacen dematematicos, pero no de profesores de matematicas. Este era precisa-mente uno de los objetivos de la creaci6n de una Tienda deMatematicas en el Instituto.

P.- 51.E.- Pues entonces, en algunos casOS-no en todos, claro, pero si

en algunos-, tendrin que aprender cosas que no sablan de entrada.No enseiiar, pero sf aprender. Y ya volvemos a 10 didactico. Si no esasf, (a que llamas tU "didactico"?

P.- Tienes toda la raz6n. Pero antes de contestar a tu pregunta, terecordare brevemente el esquema de organizaci6n de la Tienda. En laTienda propiamente dicha, se toman los "encargos" de los clientes.Digarnos que se reciben sus problemas y se discute con ellos parahacerles precisar que es 10 que necesitan. Ademas, para realizar lospedidos, la Tienda necesita un taller: el Taller de Matematicas del Ins-tituto. En el Taller, se "fabrican" las respuestas alas cuestiones plan-teadas. A1gunas veces, los miembros del Taller disponen de todo 10necesario -en terminos de conocimientos matematicos- para fabri-car la respuesta ...

E.- Como en el caso de la tabla simetrica 0 de los tendederos deMarfa.

P.- Exacto. Este es un primer caso. Tambien hay un segundo caso,que es el de los cosenos. Aqui, el Taller de Matematicas no dispone apriori de los elementos necesarios para fabricar una respuesta apro-piada.

E.- Hubieran podido rechazar eI encargo, (no?P.- Claro, claro. No siempre encuentras en el supermercado 10

que quieres 0 10 que podrfas des ear. Por ejemplo, si vas al supermer-cado de tu barrio para comprar una tonelada de arroz, seguro que tediran que no aceptan el encargo.

E.- jHombre, pues claro!P.- Bueno. Pues, en el caso de los cosenos, el Taller de Mate-

maticas, 0 por 10 menos algunos de sus miembros, se van a poner atrabajar para estudiar la cuesti6n que les ha sido planteada.

E.- Tendran que estudiar.P.- Si, eso mismo. Y ahora contestare a tu pregunta. EI adjetivo

"didactico" se corresponde con el sustantivo "estudio". Un procesodidactico es un proceso de estudio.

E.- (Entonces afecta al alumno?P.- Siy no.E.- (Que quieres decir? .P.- Pues bien, en un proceso didactico, en un proceso de estudlO,

la distinci6n alumno-profesor no aparece necesariamente tan marca-da como cuando nos referimos .almarco escolar, con un profesor por

un lado y los alumnos por el otro. En el caso del Taller de Mate-maticas, hay un equipo· que va a estudiar la cuestion del coseno.Aparentemente, el equipo se va a organizar en torno a Luis. Podemossuponer que es Luis quien dirige el estudio.

E.- (Lo que quiere decir ... ?P.- Lo que quiere decir, por ejemplo, que sera el el responsable

del ~vance del estudio frente al Taller de Matematicas. Lo que quieredeclr tambien que, en la practica, sera el el que debera abrir la ruta,mostrar el camino y guiar todo el proceso.

E.- j5era ellider del equipo!P.- 51, si 10 quieres decir as!. En un proceso didactico, siempre

aparece ';lna co~unida~ cuyos m~embros desempefian papeles mas 0menos dlferenc~ados. 51nos refenmos al marco escolar, ellider, el di-rector de estudlO, es generalmente el profesor. Lo que la gente llamael proceso de ensefianza/aprendizaje es, de hecho, una forma particu-lar del proceso didactico. Por 10 tanto, la didactica de las matematicases la ciencia que estudia los procesos didacticos, los procesos de estu-dio de cuestiones matematicas.

E.- jEntonces el ambito de esta ciencia es mas amplio que el meroestudio de 10 que ocurre en una dase!

P.- 51. Es mas amplio porque, como Yes, la didactica de las mate-mati~as se propone entender 0 analizar tanto los ptocesos didacticosrelaclOnados con el Taller de Matematicas, pot ejemplo, como losprocesos didactic os que se producen en una dase normal de matema-ticas: Y, al ~ismo tiempo, no hay que olvidar que, para que una clasefunclOne, ttenen que existir tambien procesos didacticos fuera de laclase. Los alumnos tienen que estudiar por sl mismos, individual-mente 0 en grupo. Estudian a veces con la ayuda de sus padres, 0 in-cluso bajo la direccion de sus padres, siempre en relacion con la dasepero fuera de ella. o sea: 10 que ocurre en clase genera toda una seriede procesos didacticos. Y en estos procesos didacticos, el esquemadel alumno y del profesor, el esquema de la ensefianza/aprendizaje,no es, como Yes, el mejor. En un grupode alumnos que trabajan jun-tos sobre algo que les ha encargado el profesor, podra haber algunosa~umnos ~ue hagan de cabecillas para impulsar el proceso de estudio,SIDque Dlnguno de ellos se tenga por el profesor. Y, evidentemen-te, sin que haya ensefianza. Ademas, tambien podran pedir ayuda a al-guien que no sea del grupo, como un alumno mayor 0 un adulto, etc.En este caso no habra clase, ni profesor, pero SIproceso didactico.

~.: Entonces, estos procesos didacticos particulares en los quepartlclpan los alumnos --con sus compafieros de clase, sus padres,etc.- son en realidad "subprocesos" del proceso de ensenan-za/aprendizaje que conduce el profesor.

P.- Cierto. Yes conveniente que todos estos subprocesos conver-

jan para hacer avanzar el proceso didactico que dirige el profesor. 5isolo habIaramos del proceso de ensefianza/aprendizaje, solo pensa-riamos en un modelo bastante particular de proceso didactico. Y estono es 10 mejor para entender, en general, 10 que es estudiar. Ademashay una tendencia a olvidar que el proceso de ensefianza/aprendizajesolo puede existir si se dan al mismo tiempo otros procesos didacti-cos --que podemos llamar perifericos, si quieres-. Y todos estos"olvidos" no ayudan a entender 10 que pasa en una clase.

E.- Ya veo ...P.- Espera un momento. Cuando digo "hay una tendencia a olvi-

dar", quiero decir que el profesor tiende a olvidar, y tam bien el alum-no.

E.- 51,vale, vale. Aunque hay un caso que no has citado. Es el delalumno que estudia solo, pero en relacion con el trabajo de clase.Solo, sin que nadie Ie ayude. jEs, sin embargo, un caso muy tlpicol

P.- 51, totalmente. Y ahl, Yes, tambien hay un proceso didactico,aunque no haya proceso de ensefianza. La comunidad de estudio sereduce a una sola persona, y esta persona es su propio director de es-tudio.

E.- Bueno ... jPero aun me quedan dos preguntas!P.- (Ah sl?E.- Hemos dicho que para aprender algo uno estudia. Tambien

hemos dicho que podIa haber estudio sin ensefianza, aunque una en-sefianza resulte casi siempre muy util. Mi pregunta es: (puede haberaprendizaje sin ensefianza e incluso sin estudio?

P.- Claro que sl. Incluso te dire que una parte importante de 10que hemos llamado "instruccion informal" es el resultado de unaprendizaje que no proviene del es~d~o. . _ .

E.- Asf, todo proceso de aprendlzaJe no es un proceso dldacttco.P.-No.E.- Y la didactica solo se interesa por los procesos didacticos. (Lo

he entendido bien? ..P.- 51. Pero tu descripcion es incompleta. En realidad, se pasa

siempre muy rapido, y sin casi darse cuenta, de una cuestion informala un esbozo de estudio: intentamos informarnos sobre algo, pregun-tamos a los de nuestro alrededor, probamos a ver que pasa, 0 inclusonos compramos un libro. Muy a menudo, es verdad, estas tentativasfracas an. Lo que quiero decir es que todas las actividades humanassuscitan procesos didacticos 0, si prefieres, que estamos constante-mente a punto de pasar de unaactividad habitual, no didactica, a unaactividad didactica.

E.- jEs la enfermedad didacticalP.- jNo! Precisamente, la enfermedad didactica consiste en no sa-

ber distinguir entre 10 no-didactico y 10 didactico. No se puede en-

tender que es 10 didactico si uno no tiene una idea clara sobre 10 no-didactico. (Me sigues? .

E.- Creo que sf. Por eso dices que, en matematicas, hay que hacerpequeiios trabajos matematicos que se puedan realizar a partir de 10que uno ya sabe, es decir tener una actividad no-didactica. Y todo co-mo condicion para entender mejor y saber conducir mejor una activi-dad didactica.

P.- Si, eso es. Ahora entiendes mejor 10 de la Tienda de Matema-ticas.

E.- Sf. Pero aun me queda una pregunta. (Puedo?P.- Sf, claro.E.- He pensado en tu definicion de matematico. En 10 que a mi

respecta, me parece que he tenido muy pocas ocasiones para hacer dematematico -fuera de las clases particulares, claro--. En el fondo,tengo la impresion de que se me presentan mas oportunidades de ha-cer de medico 0 de informatico que de matematico.

P.- No te equivocas, no. Es verdad que la gente tiene mas tenden-cia a pedir consejos a su alrededor en cuestiones de salud 0, mas engeneral, de su vida cotidiana. jE incluso de su vida sentimental! Perono yen que se puede pedir en matematicas. Es verdad.

E.- jA 10 mejor es que no tienen necesidades matematicas!P.- A 10 mejor. Por que no. De todas formas, e.~reconocer que tal

o cual necesidad es una necesidad de tal 0 cual tipo no es una actitudesponcinea. Es una actitud que se aprende. Hay grupos sociales, porejemplo, que no se puedenimaginar que haya maneras de comer 0 decuidarse diferentes de las suyas.

E.- Quieres decir que hay gente que no se plantea nunca cuestio-nes de dietetica 0 de salud. Y que, por tanto, no se cuidan nada.

P.- Eso mismo. Pues, con las matematicas, sucede 10 mismo, nosolo en ciertos grupos sociales, sino en toda la sociedad.

E.- jEs un problema cultural!P.- Sf, eso es.E.- (Y no podnas precisar un poco mas tus afirmaciones?P.- Es un fenomeno general. En la vida de una sociedad y en un

momento dado de su historia, la mayona de las nec~sidades no sonexplfcitas, no se expresan facilmente. En terminos tecnicos, diriamosque son necesidades latentes ...

E.- (En oposicion a...?P.- A 10 que se pueden llamar necesidades patentes, reconocidas

por la gente, de las que se hacen cargo las instituciones de la sociedad.E.- (No me podrias dar algtin ejemplo en relacion alas matemati-

cas?P.- Pues mira, (sabes que? Habfa antaiio una nocion que facilitaba

el reconocimiento tanto de las necesidades matematicas como de la

capacidad para satisfacerlas -necesidad de entender y necesidad deactuar-. Hasta principios del siglo XIX, se distingufan las matemati-cas puras ...

E.- jDe las matematicas aplicadas!P.- No, no. No se hablaba de matematicas aplicadas, aunque SI de

aplicaciones de las matematicas. Se hablaba de "matematicas mixtas".E.- (Y eso que quena decir?P.- La idea es la siguiente ... Hay muchas cuestiones relativas a fe-

nomenos naturales 0 a la vida en sociedad a las que podemos respon-der con ayuda de las matematicas y de un pequeiio numero de cono-cimientos no matematicos, por ejemplo, de ffsica, biologia, comercio,etc. En otras palabras, basta con saber un poco de ffsica, biologla 0

comercio y, a partir de aM, dejar que las matematicas hagan el resto.Como Yes,la nocion de matematicas mixtas ponta enfasis en el poderexplicativo de las matematicas.

E.- (Y no me podnas dar algtin ejemplo?P.- Sf, claro que sl. Pero solo te dire la pregunta. jAsl tendras un

motivo para hacer de matematico!E.- Muy bien.P.- Bueno. Supongo que alguna vez te has sumergido en el agua y,

habras notado que, al mirar desde el fondo la superficie del agua, yes elcielo justo encima tuyo, pero por los lados, el agua se comporta comoun espejo. (Te ha pasado?

E.- Sf. jPero esto es un fenomeno de refraccion!P.- Sf. Las leyes que rigen la refraccion, eso es 10 maximo que ne-

cesitas para explicar el fenomeno. Lo demas sonmatematicas. T e ha-go notar de paso que aquf se trata de algo de 10 que ya has ofdo ha-blar porque tambien sabes algo de ffsica, (no?

E.- Claro. (Pero crees que saber todo esto es realmente una nece-sidad que yo tengo?

P.- Tu pregunta es legftima, pero la respuesta no es tan simple co-mo parece. Todo depende de 10 que quieras hacer. F.s tu problema.Te repito que hay gente que vive sin sentir nunca ninguna necesidad,sin plantearse nunca ninguna cuestion.

E.- jGracias por la alusion!P.- No me 10 agradezcas. Te voy a contar una anecdota bastante

tnigica y que te mostrara, espero, 10 ridfculo de tu susceptibilidad. Esuna historia verdadera. Hace algunos aiios, en la maternidad de unhospital, una enfermera principiante que se encargaba de preparar losbiberones de los recien nacidos se equivoco y les puso sal en lugar deazucar. Resultado: se murieron mas de 10 bebes.

E.- jQue barbaridad! Sal en lugar de azucar ... (Como puede serque se murieran por tan poca cosa?

P.- No es tan poca cosa como parece. Fijate bien. Sabras que las

mo1eculas de sal son mucho mas pequenas que las de azucar. Y tam-bien debes saber que la presion de una solucion es proporcional alnumero de mo1eculas que contiene, (no?

E.- 5i, mas 0 menos.P.- Pues bien, con esto y el fenomeno de la osmosis se puede

comprender 10 catastrofico del error de la enfermera: la sal hace au-mentar radicalmente la osmolaridad del plasma sanguineo. Para equi-IibrarIa, las celulas se deshidratan acumulando agua en los vasos san-guineos y se eleva mucho la tension arterial. Es facil entonces que seproduzcan, en los recien nacidos, hemorragias cerebrales u ottos ac-cidentes cardiovasculares. Pero eI nino se muere, esencialmente, pordeshidratacion.

E.- Me asustas, Profesora. Pero todo no es asi, (verdad?P.- No, claro que no. Hace algunos dias, Yes, estuve hablando con

unos colegas que organizan un encuentro internacional. Un encuen-tro muy oficial, con representantes de 6 paiseseuropeos. Habfa unrepresentante por pais: es decir, 6 personas. Algunos de los organiza-dores querian que caaa uno pudiera habIar en su propio idioma.

E.- jEs normal! No veo por que un griego no podria habIar engriego y un italiano en italiano.

P.- 5i, si, claro. jNo yes por que! Ami tambien me gusta muchomas expresarme en mi lengua que tener que hablar en ingles. Es nor-mal. Tambien es el principio del minimo esfuerzo. Pero mira: para 6idiomas distintos ...

E.- 5e necesitan 6 interpretes. jEs mucho!P.- jQue dices! j5e necesitan muchos mas!E.- Uy, si, perdon. 5i para cada par de idiomas se necesita un in-

terprete, se necesitaran

(~) = 6 X 52

P.- jAh! jLo yes! Y encima no has tenido en cuenta que un inter-prete solo traduce en un sentido: para que los representantes griego eitaliano se puedan comunicar, se necesitan 2 interpretes.

E.- Luego son 30 interpretes.P.- Eso mismo. Imaginate la situacion: 6 personas alrededor de

una mesa y, a su alrededor, en las cabinas de interpretes, j30 personasmas! Claro que la situacion no es tan dramatica como la del azucar yla sal...

E.- No, pero debe ser muy caro.P.- 5i. Yo diria desmesuradamente caro. Pero no es mas que mi

opinion. Tambien se puede opinar 10 contrario. De todas formas, 10

que s! se necesita ~s foder decidir ~on conoci~ento de causa. Si res-tringtmos a 3 los tdlOmas de trabaJo -por eJemplo, el castellano, elingIes y el frances-, solo se necesitar:in 6 interpretes. Tantos inter-pretes como representantes. Y si escogemos un unico idioma ...

E.- JEI ingles, claro!P._ 51.Nosottos decidimos ttabajar en ingles. A decir verdad, en

eI grupo de trabajo habia un espanol, un frances, un italiano, un grie-go, un porrugues y un aleman. No habia ningUn representante ingles.Escogimos el ingles para estar todos en igualdad de condiciones. Pewbueno, en este caso ...

E.- No necesitasteis ningOn interprete.P._ Exacto. Porque todos habiamos aprendido ingles en la escuela.

Y ahora, si me perdonas, me tengo que marchar. Nos veremos denttode un mesoTienes tiempo para pensar en todo esto. Animo.

E.- Gracias, Profesora.

No se puede abordar el tema de la enseiianza y el aprendizaje de/as matematicas sin preguntarse al mismo tiempo que son las mate-maticas, en que consisten y para que sirve hacer matematicas. Ahorabien, estas preguntas no pueden referirse unicamente a las matemati-cas de la escuela, tienen que abarcar todas las matematicas que existenen nuestra sociedad.

Podriamos pensar que cada uno de nosotros tornado individual-mente puede vivir sin necesidad de matematicas 0, por 10 men os, sin~uchas de las matematicas que se estudian en la educacion obligato-ria. Pero esta creencia solo se da porque, de hecho, no vivimos solossino en sociedad: en una sociedad que funciona a base de matematicasy en la que hay gente capaz de hacer de matematico para cubrir lasnecesidades de los demas, incluso cuando estos no reconocen suspropias necesidades matematicas.

El hecho de que se enseiien matematicas en la escuela responde auna necesidad a la vez individual y social: cada uno de nosotros debesaber un poco de matematicas para poder resolver, 0 cuanto menosreconocer, los problemas con los que se encuentra mientras convivecon los demas. Todos juntos hemos de mantener el combustible ma-tematico que hace funcionar nuestra sociedad y debemos ser capacesde recurrir a los matematicos cuando se presenta la ocasion. La pre-sencia de las matematicas en la escuela es una consecuencia de su pre-sencia en la sociedad y, por 10 tanto, las necesidades matematlc~ quesurgen en la escuela deberian estar subordinadas alas necesldadesmatematicas de la vida en sociedad.

Cuando, por las razones que sea, se invierte esta subordlOacion,cuando creemos que las unicas necesidades sociales matematIc~ son

las que se derivan de la escuela, entonces aparece la "enfermedad di-dactica". Este reduccionismo lleva a considerar que las matematicasestan hechas para ser enseiiadas y aprendidas, que la "enseiianza for-mal" es imprescindible en todo aprendizaje matematico y que la uni-ca razon por la que se aprenden matematicas es porque se enseiian enla escuela. Se reduce asf el "valor social" de las matematicas (el interessocial de que todos tengamos una cultura matematica basica) a unsimple "valor escolar", convirtiendo la enseiianza escolar de las mate-maticas en un fin en sf mismo.

Este tipo de reduccionismol puede conducir a "no tomarse en se-rio" las matematicas que se hacen en la escuela, considerandolas co-mo un mero "artefacto escolar". Aparece entonces un problema di-dactico que puede formularse como sigue: " lQue hacer para que losalumnos se situen como matematicos ante las cuestiones matematicasque se les plantean en la escuela, y para que asuman ellos mismos laresponsabilidad de sus respuestas?"

Tenemos aquf un ejemplo de problema relativo a las actividadesmatematicas escolares que no es posible entender desde una perspec-tiva puramente escolar, sin tomar en cuenta 10 que ocurre fuera de laescuela, y en particular la poca visibilidad de las matematicas en elconjunto de la sociedad. De ahf que no podamos separar los procesosde enseiianza y aprendizaje del resto de las actividades matematicas.

Hemos de tener en cuenta que los procesos de enseiianza y apren-dizaje de las matematicas son aspectos particulares del proceso de es-tudio de /as matematicas, entendiendo la palabra "estudio" en unsentido amplio que engloba tanto el trabajo matematico del alumno,como el del maternatico profesional que tambien "estudia" proble-mas de matematicas.

Lo didactico se identifica asf con todo 10 que tiene relacion con elestudio y con la ayuda al estudio de las matematicas, identificindoseentonces los fen6menos didacticos con los fenomenos que emergen decualquier proceso de estudio de las matematicas, independientementede que dicho proceso este dirigido a utilizar las matematicas, a apren-derlas, a enseiiarlas 0 a crear matematicas nuevas. La didactica de lasmatematicas se define, por tanto, como la ciencia del estudio de /asmatematicas.

1. Habria que decir que este no es el unico tipo posible de reduccionismo respeetoat origen de las necesidades matem:iticas y, en general, respecto a la naturaleza de las ma-tem:iticas. Asi, cuando se da prioridad de manera absoluta a Jas necesidades matematwde origen extramatematico, aparece 10 que podriamos denominar • enfermedad utilitaris-ta", mientras que si son las necesidades de origen intramatematico las unicas que se con-sideran, entonces nos encomramos con la "enfermedad purista"o No entraremos aqui enlas disfunciones que cada una de estas "enfermedades" puede provocar en el seno de lacomunidad matematica puesto que este es un tema que no se trata en los Dialogos.

En principio podria parecer que esta claro 10 que son las matema-ticas 0, cuanto menos, que es posible saber si una persona estci 0 nohaciendo matematicas. Veremos a continuacion que la situacion no essiempre tan clara como parece.

Tenemos una bolsa de carame10s que queremos repartir a partesiguales entre unos amigos. Lo primero que podemos hacer es pedir alos amigos que se situen en corro 0 en fila, dar un caramelo a cadauno haciendo una primera ronda y repetir tantas rondas como sea ne-cesario hasta quedarnos sin caramelos -teniendo en cuenta que, sien la ultima ronda no conseguimos dar un caramelo a cada uno, en-tonces habra que retomar los ultimos carame10s distribuidos-. Deesta manera podemos realizar el reparto sin necesidad de ninguna no-cion matematica explicita.

Este primer procedimiento es simple y eficaz, pero de alcance li-mitado: tenemos que suponer que todos los amigos estcin presentes ybastante cerca los unos de los otros. Consideremos entonces otra so-lucion. Vamos a representar a los amigos por circulos en e1 sue10 enlos que iremos distribuyendo los carame1os. Una vez distribuidos,rec?geremos los caramelos de cada circulo y los entregaremos a cadaamIgo.

... ~

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Se dibuja un circulo para cada amigo for-mando un corro y se seiiala el circulo por elque se empieza. Se hace despues e1 repartoponiendo un carame10 en cada circulo. Si nohemos podido acabar la ronda, retomamoslos ultimos caramelos distribuidos.

No es necesario saber que la bolsa con-tiene 30 caramelos y que hay 7 niiios, ni quehay que dar 4 carame10s a cada uno y quesobran 2. Basta con hacer el reparto.

Al realizar este procedimiento nos hemos alejado un poco de larealidad inicial del problema, reemplazando a los amigos por un mo-delo de mas facil manipulacion: unas figuras que los representan. Estarepresentacion aumenta bastante la eficacia y fiabilidad del procedi-miento: no importa si los amigos estcin quietos 0 jugando al escondi-te, ni si estan cerca 0, al contrario, viven en otra ciudad. Podemos tra-hajar tranquilamente con los nomhres de nuestros amigos, loscirculos y los carame1os. Nos estamos acercando a las matematicas.

Podemos ampliar un poco el modelo anterior asociando una pie-drecita a cada caramelo para no tener que manosearlos tanto. Al final,bastara con sustituir cada piedrecita del circulo por un caramelo y ha-cer llegar a cada amigo 10 que Ie corresponde. EI procedimiento hamejorado, pero sigue siendo limitado: ni el numero de amigos ni el decarame10s puede ser muy e1evado, a menos que dispongamos de unahabitacion muy grande para que quepan todos los circulos y de mu-cha paciencia para ir repartiendo las piedrecitas.

Demos, pues, un paso mas. En el caso de tener muchos caramelosy muchos amigos, 10 mejor es dividir el numero de caramelos por elnumero de amigos para saber de antemano cuantos caramelos Ie co-rresponde a cada cual. En este procedimiento se tiene que contar y senecesitan cifras para designar los numeros obtenidos y efectuar la di-vision. Una vez realizada la operacion, solo queda interpretar el re-sultado en terminos de "caramelos" y de "amigos" para hacer llegar acada amigo su paquete de caramel os. Si alguien nos ve recurrir a esteprocedimiento, no dudara en afirmar que estamos haciendo matema-ticas.

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Lo que se ha hecho aqui es construir un modelo nu-menco de la situacion del problema, construccion queno requiere tener ni a los amigos ni a las piedras fisi-camente presentes. Basta con tener cierta informacion

previa, con disponer de un Iapiz y un papel ... y de un poco de tran-quilidad. Lo que se hace entonces es transformar la cuesti6n inicial-"lC6mo repartir los caramelos?"- en un problema matematico:"(Cuanto es 325 (caramelos) dividido entre 23 (amigos)?", y utilizarun modelo escrito -Ios mimeros y la operaci6n de dividir- para re-solver el problema planteado. Una vez resuelto el problema, habraque volver a la situaci6n inicial para realizar el reparto: dar 14 cara-melos a cada uno sabiendo que sobraran 3.

Supongamos ahora que queremos saber a que distancia esta elhorizonte cuando 10 contempla desde la orilla del mar en un dfa cla-ro de primavera. Aquf no disponemos de ningun metodo materialpara efectuar concretamente la medici6n y deberemos recurrir a unmodelo grafico de la situaci6n: la Tierra sera "un cfrculo" (conside-rando un corte transversal), el observador estara en 10 alto del ClrCU-

10 y la distancia al horizonte vendrci determinada por la visual 0 li-nea imaginaria que parte de los ojos del observador y es tangente a laTierra.

Hagamos una figura en un trozo de papel tra-zando un triangulo rectangulo OHY donde 0 esel centro de la Tierra, H un punto del horizonte eY el punto en el que se encuentran los ojos delobservador, que supondremos a una altura asobre el nivel del mar (es decir, sobre "Ia ~uper-fi<;iede la Tierra"). Tenemos OY = R + a, dondeR es el radio de la Tierra. Como el trianguloOHY es rectangulo, se tiene (por Pitagoras)OY2 = OH2 + HY2, de donde HY2 = (R + a)2- R2= 2Ra + a2,y pues: d = HY = '"a(2R+a).

De esta manera, si los ojos del observador estan a 0,5 m sobre elnivel del mar y tomamos cOmO radio de la Tierra la aproximaci6nR = 6.750 km, el horizonte estara a unos 2,6 km de distancia. Si losojos estan a 2 m del suelo, el horizonte ya estara a mas de 5 km. EImodelo grafico que hemos construido permite explicar por que, alcontemplar el mar sentados en la orilla, cuando nos levantamos de re-pente vemos el horizonte desaparecer a 10 lejos.

En lugar de resolver los problemas fA "Boutique de Mathhnatiques"anteriores por nosotros mismos, tam-bien hubieramos podido acudir a la En el instituto de bachillerato }uusTienda de Matematicas. De hecho los Michelet de Marsella (Francia) fun-dos procesos de modelizaci6n que ciona, desde t989, una Tienda deacabamos de describir no estcin muy Matematicas lIamada la Boutique

de Mathbnatiques. Se encargan delejos del principio de funcionamiento ella un pequeno numero de profe-de la Tienda. EI "diente" plantea una sores de matemaricas del institutocuesti6n que puede involucrar a cier- y se esta empezando a hablar de latos objetos nomatematicos: amigos y idea de extenderla a otras discipli-caramelos, el horizonte 0 los tende- nas para rransformarla en unaderos. Los empleados de la Tienda "Tienda de los Saberes· (Boutique

des Sa'Voirs).toman el encargo y se 10 llevan a la L.- --'

trastienda. Allf construyen modelos matematicos de las situacionespropuestas (Ios amigos y caramelos seran numeros y divisiones, lostendederos seran cuadrados y expresiones algebraicas, el horizonte yla Tierra un cfrculo con un triangulo rectcingulo), transformando asf elencargo del diente en un problema matematico que deben resolver.

Ot1~pecto eSe.~ci:'1de la actiVi~ad u.atematica consutt .en consn:uirunblodef6(matemilnco) de la realidadque queremos~tudiar, trabllJar condichomodel<J ieintetpretar IostesultadO$'<Jb~idosen estetrabajo parac,o,n,"tes,ta,r a",I,ltS,,cu",esti,<Jn",es,plante,adas,i,m,'cialm,',en~ Gran, par",te de I,a aeti-vid~ matemlitica;puede identificarse, porlotanto,-con IUIIIdCtifJidatl demolIeliz4ciOn matem4tica.

. - , .

lSignifica 10 que acabamos de decir que hacer matematicas sirveunicamente para estudiar sistemas no matematicos coino el constitui-do por la Tierra y el horizonte, el formado por los ninos y los cara-melos 0 el que constituyen los tendederos del Episodio?

Naturalmente que no. Desde hace mas de 25 siglos ,la actividadmatematica ha servido para estudiar tanto cuestiones no matematicascomo cuestiones que surgen dentro del trabajo del matematico.Existen multitud de problemas matematicos nacidos de cuestionespuramente matematicas, 10 que podemos llamar problemas intrama-tematicos. Tomemos un ejemplo.

Existe una manera un tanto extrana de encontrar el cociente ente-ro de un numero dividido entre otro. Se trata de un metodo simple yaparentemente eficaz aunque, a diferencia del algoritmo habitual, nose obtiene el resto de la divisi6n. Para describirlo, 10 mejor es ver c6-

mo funciona en dos casos concretos. Supongamos que queremos di-vidir 71 entre 6. Como 6 = 2 X 3, dividimos primero 71 entre 2 y divi-dimos el resultado 35 entre 3, hallando 11. Entonces podemos afir-mar que el resultado de la division de 71 entre 6 es 11. Tambienhubieramos podido empezar dividiendo 71 entre 3 para obtener 23(ignorando el resto) y luego dividir 23 entre 2, llegando de nuevo alcociente 11.

Tomemos otro ejemplo. Supongamos que queremos dividir 527entre 42. Como 42 = 7 X 6 = 7 X3 X 2, dividimos 527 entre 2, obte-nemos 263 que dividimos entre 3, 10 que da 87; finalmente divi-dimos87 entre 7 y obtenemos 12. Por 10 tanto, 527 dividido entre42 es 12. (Funcionani siempre esta tecnica? (Por que? (Es posi-ble justificarla? Si, en vez de considerar que 42 = 7 X 3 X 2 toma-mos 42 = 2X21, (tambien funcionani la tecnica? (Por que? (VerPEM6.)

Como acabamos de ver, hacer matematicas tambien sieve para es-tudiar sistemas en los que los objetos involucrados son objetos mate-maticos (numeros y operaciones, figuras, expresiones algebraicas,etc.). Para ello, 10 que tendremos que hacer es construir modelos deestos sistemas, es decir, modelos matematicos de sistemas formados asu vez por objetos matematicos.

Supongamos, por ejemplo, que queremos calcular un valor apro-ximado de V3 y nos hemos dejado la calculadora en casa. V3 es aqu! elobjeto que queremos estudiar, como antes 10 era el reparto de cara-melos 0 la distancia al horizonte. Necesitamos, pues, un modelo ma-tematico de este objeto. Vamos a utilizar como modelo la ecuaci6na1= 3

Una manera habitual de manipular este modelo consiste en aislarla a de la ecuacion para obtener a = V3. Pero haciendo esto no avan-zamos nad;t,.puesto .9ue no obtenemos ninguna inf~rmacion sobre elvalor numenco de "3. Veamos otra manera de trabaJar con el modeloconstruido. Escribimos en primer 111garla sene de igualdades equiva-lentes: .

a1 = 3 <=> a1 - 1 = 2 <=>2a-I =---a+l

(a + 1)(a -1) = 22

<=> a = --1- + 1.a+

Llegamos as! a un nuevo modelo de V3: la ecuacion2 2

a = a + 1 + 1 (0 sea V3 = 'l3 + 1 + 1).

(Como explotar este modelo? Sabemos que a = V3 esta compren-dido entre 1 y 2, puesto que 12 es menor que 3 y 22 es mayor que 3.Tenemos entonces las siguientes desigualdades:

111222521<a <2 => 2 < a+l < 3 => - < -- < - => - < -- < - => - < -- + 1< 2.3 a+1 2 3 a+1 2 3 a+1

Ah 2.. 2 I '1·ora, como a = --1 + 1, SUStltulmos--1 + 1 por a en au tlmaa+ a+

desigualdad y llegamos a la conclusion de que a, es decir V3, estacomprendido entre 5/3 y 2.

Lo importante entonces es ver que podemos afinar mas el calculorepitiendo el proceso a partir de los datos obtenidos:

5 22352 75 7- < a < 2 => ...=> - < -- < - => - < -- + 1< - => - < V3 <-.3 3 a+1 4 3 a+1 4 3 3

Siguiendo el proceso, obtendremossucesivamente:

5 73"<a<-:4=> 1,66 <a < 1,75

19 711<a <.=> 1,72<a <1,75

19 26 .11<a < 15=> 1,72<a< 1,73

7t 26-<a<-=> 1,73170<a < 1,73737.,41 15

La manera de utilizar este mode-10 se inspira en una teenica masgeneral basada en la construc-cion de un metodo iteratwo deltipox = f{x) (conffuncion racional)a partir del polinomio minimosobre Q[x] del numero algebrai-coa.Aquf tenemos que el polinomiomlnimo de a es;xl - 3, de donde La ultima desigualdad determina un va-deducimos que a es solucion de: lor aproximado de V3 con 2 cifras deci-

x =f{x) =_2_1 + 1. males exactas: V3 = 1,73..., resolviendox+L.- ~ as! el problema planteado inicialmente.

En la geometria cartesiana (0 geometria con coordenadas), los pares de numeros ylas ecuaciones algebraicas sirven de modew de laS configuraciones geometricas delplano: en lugar de un punto P escribimos sus coordenadas (x,y), en lugar de trazaruna recta r escribimos su ecuacion ax+by+c=O, en lugar de realizar construccionescon regIa y compas, realizamos calculos algebraicos. La geometria cartesiana (inicia-da por Descartes en 1637) es asi un -modelo regional- de la geometria eucHdea queha permitido resolver un gran numero de problemas que habfan sido planteados porlos ge6metras griegos muchos siglos antes.

Al identificar la actividad matematica con el trabajo de construirmodelos matematicos para estudiar sistemas (matematicos 0 extra-matematicos), queda pendiente una cuestion: (como saber si un mo-delo es matematico 0 no 10 es? EI segundo modelo que hemos utili-zado para repartir caramelos, un r----------------,, I d iCuroas matematicasClrcu 0 para ca a amigo y piedreci- 0 Cltroasmecanicas'tas en lugar de caramel os, l es 0 noes un modelo matematico? lA par-tir de que momenta se puede decirque algUien hace matematicas en elsentido de que trabaja con modelosmatematicos?

2. Tres aspectos de la ..actividadmatematica

No es posible trazar una fronte-ra clara y precis a que separe de unavez por todas las actividades mate-mati cas de las no matematicas. Loque si podemos hacer es intentardescribir los "gestos" que alguienrealiza cuando se dice de el que "es-ta haciendo matematicas". La tareano es sencilla y solo la abordaremosaqui parcial mente. Partiendo de laactividad matematica como trabajode modelizaci6n encaminado a re-solver problemas, vamos a describirtres grandes tipos de actividadesque se suelen considerar como ge-nuinamente matematicas.

Los griegos de la epoca de Euclides(hacia 300 a. J. C.) solo considerabancomo curvas matematicas a las que sepueden dibujar con una regIa y uncompas: rectas, drculos, poHgonos.Tambien las conicas (parabolas, elip-ses e hiperbolas) acabaron pertene-ciendo al reino de las matematicas, alser curvas definidas como seccionesde un cono partido por un plano,siendo el cono una construccion rea-lizable a partir de la linea recta y eldrculo. Pero curvas como la cicloide-descrita por un punto de un drculoque gira sobre una recta (fig.1)- 0 laespiral de Arquimedes -definida co-mo el conjunto de puntos cuya dis-tancia al punto 0 es igual al anguloque forman con la recta Ox (fig. 2)-debieron contentarse con ser conside-radas como curvas mecanicas, utilespara estudiar determtnados fenome-nos ffsicos, pero relegadas a un puestomarginal en el universo de objetosmatematicos.

EI primer gran tipo de actividad matematica consiste en resolverproblemas a partir de las herramientas matematicas que uno ya cono-ce y sabe co~~ utilizar. Es e~c~so del matematico que, al igual que elfontanero, uuhza sus conoclrmehtos para resolver problemas que Ieaparecen como "rutinarios", ya sean pequeiios problemas parcialesque surgen de sus investigaciones, ya sean cuestiones que Ie planteanotrOS(como el caso del problema del n1imero de elementos de una ta-bla simetrica, propuesto por la profesora de biologia a la Tienda deMatematicas ).

Tambien se encuentran en esta situacion el Estudiante de losDialogos cuando resuelve el problema que Ie plantea su prima, el pro-fesor de matematicas que resuelve un ejercicio para sus alumnos 0 elalumno de secundaria cuando, en medio de un problema, tiene querealizar una multiplicacion de dos numeros de dos cifras y se ha deja-do la calculadora en casa. Y tambien suele ser el caso del ingeniero,bi610go 0 economista que utiliza sus conocimientos matematicos pa-ra modelizar situaciones muy "tipicas" que aparecen en su trabajo.

Al igual que el fontanero, despues de examinar un reventon deuna cocina, tiene a veces que ir aI taller por otras herramientas, tam-bien puede ocurrir que nos encontremos ante un problema de mate-maticas que no podemos resolver por falta de instrumentos apropia-dos. En ese caso, la mejor solucion es hacerse con estos instrumentos,ya sea por nosotros mismos, ya sea recurriendo a alglin matematicopara que nos facilite la tarea.

Este segundo aspecto del trabajo matematico es muy conocidopor los propios matematicos, asi como por los "usuarios" habituales

. de matematicas (el fisico, el bi610go 0 el economista), cuando se en-cuentran con un problema matematico nuevo para ellos y que no sa-ben como abordar. Una posible actuaci6n consiste en consultar a aI-gUn matematico para ver si aquel problema es "conocido" y si sepuede obtener facilmente la solucion. Existe tambien otra posibili-dad: la de consultar articulos y libros en busca de 10que uno necesitapara abordar el problema en cuestion.

En todos estos casos, el estudio de un sistema matematico 0 extra-matematico genera cuestiones que pueden ser abordadas medianteinstrumentos matematicos que ya existen, pero que son desconoci-dos para el que desarrolla la actividad. Surge asi la necesidad deaprender matematicas para poder responder a las cuestiones pro-puestas. Y aparece en consecuencia la actividad de ensenar matemati-

cas: el profesor de matematicas ayuda a sus alumnos -matematicosen apuros- a buscar y poner a punto los instrumentos matematicosque estos necesitan para modelizar y resolver ciertas cuestiones des-conocidas para ellos aunque cIasicas para un matematico profesional.

En un sentido estricto, el tercer tipo de trabajo matematico se pre-senta como una actividad reservada a los investigadores en matemati-cas. Son muy numerosos los nuevos tipos de situaciones matematicasy extramatematicas que van surgiendo y para las que hay que crearnuevos modelos para estudiarlas 0 bien imaginar nuevas utilizacionesde antiguos modelos. Y es este aspecto del trabajo matematico el queexplica que, hoy en dia, dispongamos de las matematicas de que dis-ponemos. Por ejemplo, los numeros racionales ylos decimales, 0 losnumeros enteros (positivos y negativos) fueron creados por matema-ticos que ternan problemas pendientes de resoluci6n y para los queno existian instrumentos adecuados. 19ual que se invent6 la rueda, laimprenta y la maquina de vapor, hubo que crear estos numeros, asicomo las ecuaciones algebraicas, la Teorem4: Lasuma de dos impares con-geometria cartesiana y las funciones secutivos es un multiplo de 4.trigonometricas.

Ahora bien, en un sentido mas (Seguro que es verdad? Probe-amplio, puede decirse que todo mos algunos casos:aquel que hace matematicas partici- 1+3=4; 3+5=8; 5+7=12;

Pa de alguna manera en un trabaJ'o 19+21=40; 157+159=316; ...(Como demostrarlo con dos im-

"creador". En efecto, el que utiliza pares consecutivos cualesquiera?matematicas conocidas para resol- Los numeros pares son multiplosver un problema matematico cla- de dos; son de Ia forma 2n.sico, muy a menudo tendci que Cada numero impar es el siguien-modificar ligeramente el modelo te de un numero par: es de la forma

d 2n+1.matematico que maneja para a ap- EI siguiente del numero impartarlo alas peculiaridades de su pro- 2n+l es el numero par 2n+2, cuyo si-blema, 10 cual compocta ademas la guiente es el numero impar (2n+2)+1posibilidad de enunciar y abordar = 2n+3.problemas nuevos. La sum. de dos impares consecu-

AnaIogamente, el que enseiia tivos es: (2n+l)+(2n+3) = 2n+l+2n+3matematicas se ve llevado a refor- = 4n +4.Esta suma es un multiplo de 4mular los conocimientos matemati- puesto que 4n+4 = 4(n+l).cos que enseiia en funci6n·de los ti- L..- , -------- •••..•

pos de problemas que sus alumnos deben aprender a resolver.Por ultimo, y aunque parezca sorprendente, tambien podemos

decir que el que aprende matematicas "crea" matematicas nuevas.Basta en efecto con relativizar el adjetivo "nuevas": los alumnos no

crearan conocimientos nuevos para la humanidad, pero si podrancrear matematicas nuevas para ellos en cuanto grupo de alumnos.Cuando un alumno demuestra que la suma de dos numeros imparesconsecutivos es un multiplo de 4, acaba de establecer un pequeiioteorema nuevo -para el-.

Una vez descritos estos tres aspectos del trabajo matematico, seentiende mejor la cuesti6n de la "enfermedad didactica" que introdu-ce la Profesora en los Dialogos. Podemos decir ahora que esta "enfer-medad" consiste en reducir Laactividad matematica a una parte delsegundo aspecto considerado: el enseiiar y aprender matematicas pre-viamente construidas. Esta reducci6n compocta ademas que el apren-dizaje y la enseiianza pasen a ser un fin en si mismos, en lugar de serconsideradas como un media para responder a ciertas cuestiones.

He~os~~o dbdcei'matematicas como un trabajo de modtliza-ci~Estettab'jC)convierte d estudio de un sistema no matematico 0un sistemllprevlall!en~matematizado en el estudio de problemas mate-Oli tito·••·........•.•..•.....•...,..g""u..........•.~•.......•....$C..................•.~~ .........•...•.tn........•.........··•.•.•..Utl.•Ii.z..ando..adecu adamon.'t~..•.~. s.m~lo ..•s.SeP.-~~/~...... .~~~estetrabaJO:I:' •.~ruttnanade~~ ..~fratQ:·~c:7: :at:i:~i:a~::me:i:miCrit:osnlao.,eideCii-de nuevas maneras de modelizar 101siste-masestudiados.

3.1. El proceso de estudio 0 "proceso didactico"

Como dice la Profesora en los Ditilogos, 10 didactico es todo 10 re-ferente al estudio y, en cuanto a 10 que nos interesa aqui, al estudio deLasmatematicas. El adjetivo "didactico/a" proviene del griego tardio"didaktik6s", derivado de "didasko" que significa enseiiar. Noso-tros, al igual que la Profesora, no 10 restringiremos ala enseiianza si-no que 10 tomaremos como el adjetivo correspondiente a "estudio".Diremos entonces que hay un proceso didactico (reLativo a Lasmate-maticas) cada vez que alguien se ve llevado a estudiar matematicas 0cada vez que alguien ayuda a otro u otros a estudiar matematicas.

Al hablar aqui de "estudio" no nos referirnos unicamente a esa ac-tividad que uno realiza en solitario fuera de clase y que utilizamos enexpresiones como: "Si estudias mucho aprobaras" 0 "Tengo que es-tudiar geometria para el examen de manana". Nosotros utilizaremosla palabra "estudio" en un sentido mas amplio, como cuando deci-mos de alguien que "estudia derecho" 0 que "quiere estudiar electr6-

nica cuando vaya a la universidad". En toda escuela, instituto 0 facul-tad, se suelen formar grupos de alumnos para que, durante todo elcurso escolar, puedan estudiar matematicas, historia, educacion ffsi-ca, etc., con la ayuda de uno 0 varios profesores.

Es importante seiialar que, en este contexto, la ensenanza aparececomo un medio para eLestudio. La situacion parece mas clara si, enlugar de las matematicas, pensamos en otro objeto de estudio como,por ejemplo, la musica. Una persona que estudia un instrumento (elpiano, la guitarra 0 el saxo) suele ir a clase cada semana con un profe-sor, pero la mayor parte del tiempo practica sola con su instrumento,ademas de escuchar discos, tocar con mas gente e ir a conciertos.Todas estas acciones son medios para eLestudio, aunque solo en elprimer caso podemos hablar, propiamente, de enseiianza.

En el caso de las asignaturas escolares, existe una tendencia a con-fundir la actividad de estudio con la enseiianza· 0, por 10 menos, aconsiderar unicamente como importantes aquellos momentos del es-tudio en los que el alumno esta en clase con un profesor. Se olvidaentonces que el aprendizaje, entendido como el efeeto perseguido porel estudio, no se produce solo cuando hay enseiianza, ni se produceunicamente durante la enseiianza. El estudio --0 proceso didaetico--es un proceso mas amplio que no se restringe, sino que engloba, al"proceso de enseiianza y aprendizaje".El est#dio nofJiooe em:errado en el aJ4 Al hablar de procesos didaeticos

uno piensa inmediatamente en laescuela, el instituto 0 la facultad,dado que la funcion principal de es-tas instituciones es reunir los me-diosnecesarios para que ciertosprocesos didacticos se puedan lle-var a cabo. Las llamamos por elloinstituciones didaeticas. Son institu-ciones en las que se imparten clasesy cursos de diferentes tipos, en lasque hay bibliotecas (y, a veces, la-boratorios), aulas, salas de estudioy salas de recreo, y eri las que traba-jan profesores para impartir ense-iianzas y realizar otras tareas de or-ganizacion del estudio (tutorias,

Todo aquel que ha ido a la esCtJelasa-be que los procesos didacticos escola-res no empiezan ni acaban en la clase.Elestudio que uno ha emprendidocon un grupo de compaiieros y unprofesor dentro de un aula sigue vi-viendo al salir de clase y volver a casa.Habra que hacer los deberes, prepa-rarse para un examen, 0 aclarar algunaduda con la ayuda de un familiar 0compaiiero. Al salir de clase, las ma-tematicas que hay que estudiar siguensiendo las mismas y el que estudiatambien sigue siendo la misma perso-na. Lo Unico que ha cambiado es queel profesor, que dirige nuestro estu-dio, no esta ffsicamente presente.

evaluacion, etc.).Ahora bien, debemos tener muy presentes dos aspectos impor-

tantes de las instituciones didacticas. EI primero es que estas institu-ciones no son eLunico Lugar en el que se estudian matematicas: tam-bien hay gente que estudia matematicas en empresas, departamentos

universitarios, gabinetes de profesionales, laboratorios de investiga-cion 0 de innovacion tecnologica, etc. EI segundo aspecto es que losprocesos de estudio que se realizan dentro de una institucion didacti-ca siguen viviendo fuera de eLla: la escuela debe crear medios paraque los alumnos estudien y aprendan (mediante la enseiianza y otrotipo de actividades), pero tambien debe proporcionarles instrumen-tos para que puedan seguir estudiando al salir de la escuela, una vezacabadas las clases.

u'4idictiCO'eStetdoJore&*"'teal ettJidio. Hablaremos de procesos Ji-dicticoscadavezquealguien;se-veaUevaoo a estudiar a1go-en nuestrocaso../Serin,maten1a~. solo o cOnlaayuda,deotra(s) penona(s). El~jecselefecto,petsepidopor el amdio. Laenseiianzaes unmedioparllel estNJio,peto no el liDieo. .

La investigacion en didactica de las matematicas se propone, co-mo primer gran foco de interes, elllegar a entender mejor los proce-sosdidacticos y los fenomenos que estos originan, tanto los que tie-nen lugar en clase como fuera de ella. Se parte del principio de queunicamente a partir de una mejor comprension de estos procesos sepodran proponer actuaciones y medios concretos para mejorar eLes-tudio de Lasmatematicas. Del mismo modo que hay que entendermejor el funcionamiento del cuerpo humano para progresar en medi-cina, tambien hay que entender mejor 10 que esun proces() de estu-dio para poder dar respuestas solidas a las dificultades didacticas conque se encuentran, dfa tras dfa, todos aquellos que estudian matema-ticas 0 que ayudan a otros a estudiar -ya sean alumnos, profesores,padres de alumnos 0 profesionales de otros ambitos.

Para evitar confusiones, debe- '---La-ex-:p-,-es-io-' n-·-d-id.-,,-·ct-i-c,,----.mos seiialar aquf que la expresion de 14s m4t~C4S"

"did:ictica de las matematicas" tam-bien se usa en otros contextos con Designa a la vez una ciencia 0 disci-un sentido mas proximo al etimolo- plina y, en ellenguaje habitual, la en-

. f" I I seiianza de las matematicas, es decir,glCOpara re enrse SImp emente a a una parte del objeto de estudio de di-enseiianza de las matematicas, y se cha ciencia. Esta situaci6n es muy ha-habla entonces de "Ia didactica de la bitual: tambien hablamos de ·econo-geometria" 0 de "Ia didactica de la mia" para referirnos a una ciencia y aprobabilidad". De hecho, hasta ha- uno de sus objetos de estudio: la ad-ce poco, no se concebia que pudiera ministraci6n de bienes, ganancias yexistir una ciencia cuyo. obJ'etivo gastos de un pais, una empresa 0 una

familia.fuera estudiar los procesos de ense- '-- --'iianza y aprendizaje de las matematicas, y aun menos los procesos de

estudio de dicha ciencia. Los unicos conocimientos que se ternan es'"taban basados en la experiencia de profesores y maestros (y de alum-nos, claro) que se iban completando con aportaciones de distintasdisciplinas, como la psicologia, la sociologia 0 la epistemologia.Proponemos en el Anexo A una breve descripci6n del camino que vade esta etapa inicial al proyecto de elaboraci6n de una ciencia de losfenomenos didaeticos.

La d~ de !asmat~ es.la.ciencladtl estu<lio1: ~e la ayuda a.1estudio de lasmatenm~ Su objetivoesBegar adeScnbuyc:araeten ..•zar losprocesos de estudio .....-oproeesos d~de·c:araa.propollerexpJicacionesYrdpuestils s6Jidasa las dificultades conqueseencuen-trail todos 8CJueUos(alUMnos,profesordopadtes, profesionales,etc.)quese ven Uevadosa estudiar matematicasoa ayudaraotros a estudiarma-tematicas.

En los Dialogos, la Profesora menciona un problema didacticoimportante: la dificultad de hallar 0 construir una situaci6n en la queel alumno acme, ademas de como alumno, como un verdadero mate-matico, responsabilizandose de las respuestas que da a las cuestionesque se Ie plantean. La formulaci6n de este problema didactico partede la constataci6n de un hecho que se repite en todos los niveles edu-cativos: los alumnos tiencien a delegar al profesor la responsabilidadde la validez de sus respuestas, como si no les importara el que estassean verdaderas 0 falsas; como si el unico objetivo de su· actuaci6nfuera contestar a las preguntas del profesor y en nada les comprome-tiera la coherencia 0validez de su respuesta.

Para describir de forma sintetica este hecho, podria hablarse deciecta "irresponsabilidad matematica de los alumnos". (Puede la di-dactica dar cuenta de este tipo de hechos? Detengamonos sobre unejemplo. Consideremos a un alumno de bachillerato ante la tarea deresolver la ecuaci6n

y supongamos que el alumno recurre a la tecnica habitual de eliminarla raiz cuadrada, elevando al cuadrado los dos miembros de la ecua-ci6n. Obtendra entonces la serie de ecuaciones:

vx=x-9-3VX =x-12x = (x - 12)2 = x2 - 24x + 144

AI resolver esta ecuaci6n, encontrara dos soluciones distintas:Xl = 16 Y x2 = 9.

Llegado a este punto, es muy probable que nuestro alumno consi-dere estos dos valores como soluciones de la ecuaci6n inicial, dandoasi por finalizado su trabajo. La ecuaci6n ya esci resuelta; el ha hecho10 que Ie pedian; ahora Ie "toca" al profesor decir si la resoluci6n escorrecta. No hay nada mas en juego.

Pero supongamos por un momento que al alumno "Ie va la vidaen ello", como si hubiera alguien apunclndole con una pistola 0, masveridicamente, y al igual que la prima del Estudiante, que de ello de-pende la cantidad de dinero que cobrara por un determinado traba-jo. (Cuat seria entonces la actuaci6n de un alumno que se sintierarealmente responsable de su soluci6n? (Que haria si hubiera algoimportante en juego? La respuesta es sencilla. Cualquier alumno deba~~llerato dispone de ele?lentos La etLul del capitlinsuflclentes para asegurar al clen porcien la validez de la soluci6n: bastacon que sustituya la X por 16 y por9 en la ecuaci6n

Alrededor de 105 ados ochenta,un grupo de investigadores francesesen didactica de las matematicas plan-te<>el siguiente problema a varias c1a-ses de alumnos de 7 a 10 ados:

En un barco hay 7 CAbrasy 5 O'Ve-

jllS. ; Qlli etLid time el capiUn?para ver que, cuando la X vale 9 laigualdad es falsa, mientras que elvalor X = 16 si corresponde a unasoluci6n.

La mayoria de alumnos daban sintitubear una respuesta del tipo:

·7x5 = 35. EI capitantiene 35 ados .•

(Prueba eI experimento con alglinnino de esa edad, veras que no falla. ..)

Tradicionalmente se han inten- (Que pasa? (Por que Ia mayoriatado interpretar los hechos didacti- de alumnos responden sin inmuursecos a partir de las peculiaridades de a una pregunta absurda? (Sera que laI d d I escuela 105atonta en lugar de espabi-os meto os e enseiianza y, en u - larlos? (Sera que se convierten en pu-tima instancia, apelando a las carac- ros aut6matas que 5610 sieven parateristicas individuales de los alum- contestar aI profesor? (Sera que susnos y del profesor. En nuestro profesores no les ban ayudado a desa-ejemplo, se diria que el alumno no rrollar el ·sentido critico·? (Se trataentiende bien 10 que significa que de una muesua del fracaso de todo el

sistema escolar de ensedanza de lasun numero sea 0 no sea soluci6n de matematicas ?una ecuaci6n, que no comprende el l..- ..J