estÁtica (ing. civil, ing. const.) apuntes y guía de...

CTEDRA ESTTICA F.C.E.F.y N. U.N.C.

Ing Ernesto Ochat - Ing. Eduardo Warnholtz

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ESTTICA (Ing. Civil, Ing. Const.)

Apuntes y Gua de Trabajos Prcticos El presente apunte y guia de trabajos prcticos tiene como objetivo principal ayudar a la comprensin de los temas ya tratados en las clases tericas y de facilitar le ejecucin de los ejercicios prcticos de la materia. Cada captulo de la gua esta compuesto por una suscinta introduccin terica, que contiene nicamente los conceptos principales ya vistos en las clases tericas, un conjunto de ejercicios bsicos resueltos donde se ponen de manifiesto los principales problemas y un conjunto de ejercicios no resueltos dedicados a la ejercitacin de los alumnos. La ctedra recomienda muy especialmente la resolucin personal de estos ejercicios a fin de lograr la compresin completa del tema.

Captulo I 1-1) Introduccin La mecnica puede definirse como la ciencia que describe y predice las condiciones de reposo o movimiento de los cuerpos bajo la accin de fuerzas. Est dividida en tres partes: mecnica de los cuerpos rgidos, mecnica de los cuerpos deformables y mecnica de los fluidos. La mecnica de los cuerpos rgidos se subdivide en esttica y dinmica, las cuales tratan con cuerpos en reposo y con cuerpos en movimiento respectivamente. En esta parte del estudio de la mecnica se supone que los cuerpos son perfectamente rgidos. Sin embargo, las estructuras y mquinas reales nunca son absolutamente rgidas y se deforman bajo la accin de las cargas a que estn sometidas. Pero estas deformaciones son generalmente tan pequeas que no afectan las condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura en consideracin. Sin embargo, son importantes cuando se refieren a la prdida de resistencia de la estructura y se estudian en resistencia de materiales, que es una parte de la mecnica de los cuerpos deformables. La tercera divisin de la mecnica, la mecnica de los fluidos, se subdivide en el estudio de fluidos incompresibles y compresibles Una rama importante en el estudio de los fluidos incompresibles es la hidrulica, la cual considera situaciones relacionadas con lquidos. Se estudiar las condiciones de reposo de partculas o de cuerpos rgidos. Por partcula se debe entender cantidad muy pequea de materia, la cual se supone que ocupa solo de un punto en el espacio. Un cuerpo rgido est formado por un gran nmero de partculas que ocupan posiciones fijas entre s. El principio bsico de la Esttica es la condicin que un cuerpo (conjunto de puntos materiales) se mantenga en su lugar sin moverse (en resposo). Est condicin es el EQUILIBRIO del cuerpo, cuyo estudio le corresponde a la ESTTICA



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La Esttica es la parte de la Fsica Mecnica que estudia el estado de Equilibrio de Cuerpos Slidos (rgios e indeformables) en posicin de resposo sometido a cargas. Las cargas a soportar por los cuerpos implica hablar de Fuerzas.

1-2) Fuerza Fuerza es todad accin que tiende a modificar el estado de resposo o movimiento continuo de un cuerpo. Una fuerza representa la accin de un cuerpo sobre otro. Puede ser ejercida por contacto directo o a distancia, como en el caso de las fuerzas gravitacionales y las magnticas. La Representacin de una fuerza est dada por un vector, es decir, tiene punto de aplicacin, magnitud, direccin (Linea de accin) y sentido

Punto de aplicacin : Es el punto donde esta aplicada la fuerza. Modulo: Es la magnitud de la fuerza, se la representa en una escala preestablecida. Direccin: es la lnea recta a lo largo de la cual actua la fuerza. Sentido: indica hacia que extremo de la lnea de accin trata la fuerza de mover el cuerpo. Los orgenes de la fuerzas puede ser la Gravedad, Atraccin molecular, Viento, Nieve, Suelo, Sismo, Fludo, Rozamiento. Concentrada Tipos de Fuerza: Uniforme Distribuda No Uniforme Colineales Concurrentes No Colineales Coplanares No Concurrentes Paralelas No Paralelas Sistemas de Fuerzas Concurrentes No Coplanares No Concurrentes Paralelas No Paralelas



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Coplanres: mismo plano. Concurrentes: recta de accin con un mismo punto en comn. Colineales: misma recta de accin. Paralelas: recta de accin paralelas.

1-3) Principios de la Esttica Ley del Paralelogramo: El efecto de dos fuerza F1 y F2 qye acran sobre un cuerpo es equivalente a la Resultante definida por la dialonoal del palelogramo cuyos lados son F1 y F2 F1 R F2 Equilibrio de Dos Fuerza: Dos fuerza aplicadas a un cuerpo con la misma lnea de accin, igual magnitud pero de sentidos opuestos, estn en equilibrio. -F F Transmisibilidad: Si una fuerza acta sobre un cuerpo, el efecto sobre ste no se altera, si la fuerza se desplaza sobre su recta de accin dentro de los lmites del cuerpo. F F Accin y Reaccin: Si sobre un cuerpo A otro cuerpo B ejerce una fuerza F(accin), el cuerpo A ejerce sobre el cuerpo B una fuerza F de igual magnitud y direccin y de sentido contrario (reaccin).



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A B F -F

1-4) Fuerzas Concurrentes 1-4-1) Composicin y clculo de la resultante Realizar la composicin de fuerzas concurrentes en un punto es realizar la suma vectorial de las fuerzas. Una manera grfica de ver la suma es realizarla a travs de la ley del paralelogramo. As para sumar dos vectores P y Q que tienen el mismo punto de aplicacin A debemos construir un paralelogramo cuyos lados contiguos sean P y Q. La diagonal del paralelogramo que pasa por A representa la suma de los vectores P y Q.

R=P+Q Cuando tenemos que en un punto concurren ms de dos fuerzas podemos encontrar la resultante del conjunto realizando la suma de todas las fuerzas que concurren al punto. El vector R resultante representa la resultante de las fuerzas concurrentes, es decir, la fuerza nica que produce sobre la particula A el mismo efecto que causan las fuerzas concurrentes dadas. Como es fcil imaginar entender el comportamiento del cuerpo conociendo el valor de R ser mucho ms fcil que ver el conjunto de fuerzas concurrentes. Veremos dos mtodos para encontrar la resultante de fuerzas concurrentes, uno grfico y el otro analtico.

a) Mtodo Grfico Conocidas las fuerzas que concurren al punto deberemos realizar un polgono con ellas. Primero pasamos una paralela a la fuerza P por un punto cualquiera ( Ej. el O ) .Sobre esta linea representamos el vector P, luego donde finaliza P pasamos una paralela a Q y representamos su magnitud, por ltimo donde termina Q pasamos una paralela a S y representamos su magnitud. Si unimos el comienzo del vector P ( punto O ) con el final del ltimo vector (S) tenemos la resultante de todas las fuerzas que concurren al punto A. O sea que si en A



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aplicamos el vector R ejercer una accin sobre el punto A igual a la ejercida por P,Q y S.

b) Mtodo Analtico. Este mtodo se basa en descomponer cada una de las fuerzas actuantes en el punto en sus dos componentes perpendiculares (X, Y ). Luego realizar la suma algebraica de las componentes ( la suma algebraica en este caso coincide con la suma vectorial porque los vectores a sumar son paralelos). De esta forma hemos obtenido las componentes de la resultante de las fuerzas, utilizando los conocimientos de trigonometra es fcil obtener la magnitud , la direccin y el sentido de la resultante.

Px,Qx,Sx, como tienen la misma direccin pueden sumarse algebraicamente. Por el teorema de Pitgoras si conocemos Rx y Ry podemos calcular R

Ejercicio N 1 Fuerza Concurrente - Determinacin de la Resultante. En la figura se ha representado una seccin transversal de una pieza a la cual se le ejercen dos fuerzas P1 y P2. Se pide determinar grfica y analticamente la fuerza resultante del sistema. y el ngulo que forma la misma con la horizontal.



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a) Solucin grfica Para obtener la resultante (R) de la fuerza P1y P2 debemos realizar la suma vectorial de ambos vectores.

P1= 1 t ; P2 = 2t ; 1= 45 ; 2= 15 Elejimos un punto cualquiera o por el cual hacemos pasar el vector P1, donde termina P1 hacemos pasar P2. Por ltimo uniendo el origen o con el final de P2 tenemos la resultante R Del grfico podemos obtener en escala la magnitud de la resultante y el ngulo que forma con la horizontal.

b) Solucin analtica. Primero debemos descomponer las fuerzas P1 y P2 en dos direcciones perpendiculares, en este caso hemos elegido X e Y P1x= P1cos 1 = 0.707 t. P1y= P1sen 1 = 0.707 t. P2x= P2cos 2 = 1.932 t. P2y= P2sen 2 = 0.517 t

El grfico en la solucin analtica tiene por objeto facilitar la comprensin del problema, por lo tanto no es necesario hacerlo a escala, pero para evitar equivocaciones se recomienda realizarlo lo ms representativo posible. Como las fuerzas P1x y P2x tienen la misma direccin pueden sumarse sus valores algebraicamente. El resultado de dicha suma representa la componente Rx de la resultante. Lo anterior es tambin vlido para obtener la componente Ry de la resultante Rx = P1x + P2x = 2.639 Ry = P1y + P2y = 1.220



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Si ya conocemos la componente Rx y Ry de la resultante podemos calcular el valor de R a travs de Pitagoras. R = ( Rx2 + Ry2 )-1 = 2.909 t

El valor de R lo podemos hallar a travs de trigonometra. tang R = Ry / Rx R = arc tang (Ry / Rx) = 0.434 rad. Si bien los datos estn en grados sexadecimales es conveniente utilizar rad en la determinacin de los grados para evitar confusiones cuando en el futruo se opere con ngulos.

Ejercicio N 2 Fuerzas Concurrentes Determinacion de la Resultante P1= 27t P2 = 20t P3= 11 t

En la chapa de nudo de la figura llegan tres barras. Determinar la resultante de las fuerzas P1-P2-P3 a) solucin grfica Elejimos un punto o desde donde hacemos pasar P1. Donde finaliza P1 hacemos pasar P2 y luego trazamos P3 donde finaliz P2. Uniendo el punto O con el final de P3 obtenemos la resultante R



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b) Solucin analtica

P1x= P1cos 50 P1y= P1sen 50 P2x= P2cos 15. P2y= P2sen 152 P3x= P3cos 5. P3y= P3sen 5 Calculamos las componentes RX, Ry, sumando las componentes de P con los signos respectivos. Rx= P1x +P2x+P3x = P1cos 50 + P2 cos 15 - P3 cos 5 =25.71 T Ry= P1y +P2y+P3y = P1sen 50 - P2 sen 15 - P3 sen 5 =14.54 T R=( Rx2 + Ry2) -1 = 29.53T = arc tang (14.54/25.71) = 0.5147 rad. Problemas para resolver Determinar grficamente y analiticamente la magnitud y direccin de la resultante de las dos fuerzas dadas.



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Dos elementos estructurales B y C estan remachados al soporte A. Si la tensin en B es de 2500 kg y la tensin en C es de 2000 kg determinar analtica y grficamente la magnitud y direccin de la fuerza resultante que acta sobre el soporte.

Dos remolcadores A y C arrastran un barco B. En un instante dado la tensin en el cable AB es de 4500 kg y la tensin en el cable BC es de 2000 kg. Determinar por trigonometra la magnitud y direccin de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en B en aquel instante.

1-4-2) Descomposicin de una fuerza en dos direcciones Una fuerza que acta sobre una partcula puede reemplazarce por dos o ms fuerzas que en conjunto ejerzan el mismo efecto. Estas fuerzas se llaman componentes de la fuerza original F y el proceso de reemplazar a F por sus componentes se denomina descomposicin de la fuerza F. Para cada fuerza F existe un nmero infinito de conjuntos posibles de componentes. Los conjuntos ms importantes, en los que se refiere a las aplicaciones prcticas, son los de dos componentes P Y Q. Pero, an as, el nmero de formas en que una fuerza F puede descomponerse en dos componentes es ilimitado. Hay dos casos de particular inters:



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1.- Se conoce P, una de las dos componentes. La segunda componente Q, se obtiene aplicando la regla del tringulo al unir el extremo de P con el extremo de F la magnitud y direccin de Q se determina graficamente o trigonomtricamente.

2.- Se conoce la linea de accin de cada componente. La magnitud y direccin de las componenetes se obtine aplicando la ley del paralelogramo y trazando por el extremo de F lneas paralelas a las lneas de accin . Este proceso conduce a dos componenetes, P y Q que pueden determinarse graficamente o mediante trigonometra.

Eejercicio N 1 Fuerzas Concurrentes Descomposicin de una fuerza Sobre una balsa existe un viento que ejerce una fuerza de 3000 kg , con una direccin de 30 grados con la horizontal, Si necesitamos remolcar la balsa con 5000 kg. en la direccin del eje de la misma determinar analtica y graficamente la direccin y fuerza del remolcador necesaria. En este caso conocemos la resultante de las fuerzas(R) y una de sus componentes(P1), por lo tanto debemos determinar la otra componente (P2)

viento



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a) Solucin Analtica Solucin analtica por descomposicin en ejes cartesianos. Si bien este mtodo de resolucin es, como veremos, ms complejo para casos simples su utilizacin es genrica para todos los tipos de problemas y nos facilitar la resolucin de ejercicios ms complejos. Lo primero que tenemos que realizar es elejir nuestros ejes catecianos ms convenientes. En este caso sin duda lo ms conveniente es que sea uno horizontal ( segun el eje de la balsa) y el otro perpendicular a l.

Luego realizamos la descomposicin de las fuerzas P1 P2(desconocida) y R en sus dos componenetes X e Y. P1x = P1cos A = 2598 t P1y= P1sen A= 1500 t P2x = P2cos B P2y= P2sen B Rx = R= 5000 t Ry= 0 Como la resultante R es la suma de las compontes de P1 y P2 podemos realizar las siguientes ecuaciones P1x +P2x= R despejando P2x= R - P1x= 5000 - 2598 = 2402 t P1y +P2y= 0 despejando P2y= - P1y = -5000 t Ahora tenemos dos ecuaciones con dos incgnitas, su resolucin ( sencilla en este caso ) nos permite conocer las componentes de P2 . En problemas ms complejos las dos ecuaciones tienen ambas incgnitas y se necesita utilizar algn mtodo de resolucin de ecuaciones lineales. Si ya conocemos las componentes P2x y P2y podemos calcular el valor de P2 a travs Pitagoras. P2 = ( P2x2 + P2y2 )-1 = 2831 t ( El signo positivo significa que fue correcta la direccin propuesta en el planteo)



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El valor de B lo podemos hallar a travs de trigonometra. tang B = P2y / P2x B=31,98 grados Como vemos en este tipo de problemas nicamente podemos realizar dos ecuaciones (sumatoria de fuerzas en x y sumatorias de fuerzas en y ) lo que implica que el nmero mximo de incognita ser dos. Ejercicio N 2 Fuerzas Concurrentes - Descomposicin de una Fuerza. Determinar el mdulo, direccin y sentido de la fuerza P1 de modo tal que la resultante entre ella y la fuerza P2 sea vertical de 90 T y dirigida hacia abajo.

P2 = 10 t = 15 En este caso conocemos el valor de la resultante R=90 T y debemos calcular una de sus componentes (P1).Como savemos la suma vectorial de las componentes P1 y P2 es la resultante R. Tenemos por descomposicin de las fuerzas P1, P2, R en los ejes cartesianos establecidos en el dibujo las siguientes ecuaciones: Rx= P2cos - P1 sen = 0 ( por ser R vertical ) -1- -Ry= P2sen - P1 cos = -90 t -2- Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incognitas P1 y de -1- P1 = P2cos / sen -3- reemplazando en -2- P2sen - (P2cos / sen ) cos = -90 t operando tang = cos / ((90 / P2) + sen ) = cos 15 / (( 90 /10 ) + sen 15) = 0.1043 = 5.955 grados de la ecuacin -3-



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P1 = P2cos / sen = 10 cos 15 / sen 5.955 = 93.10 t El signo (+) significa que el vector propuesto en el planteo tiene la direccin correcta. Problemas para resolver 3) Dos remolcadores A y C, arrastran un barco 8. La tensin en el cable AB es 4000 kg. y la resultante de las dos fuerzas aplicadas en B est dirigida a lo largo de] eje del barco. Determinar por trigonometra (a) la tensin en el cable BC, (o) la magnitud de la resultante de las dos fuerzas aplicadas en B. 4) Un cilindro se va a levantar por medio de dos cables. Sabiendo que la tensin en un cable es de 600 N, determinar la magnitud y direccin de la fuerza P de modo que la resultante sea una fuerza vertical de 900 N.

5) Deterninar los esfuerzos que soporta la viga de la figura en la direccin de su eje y perpendicular a l P= 10 t = 45

6) Determinarla fuerza en el cable AB para que la resultante sea vertical. Calcular el valor de la resultante P1= 20 t P2 = 50 t L = 15 m = 45



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7) Descomponer la fuerza Fde 100 kg de magnitud en dos componentes a lo largo de las lneas a-a y b-b. Determinar, por trigonometra, el ngulo si la componente de F a lo largo de la lnea a-a es de 70 kg.

8) Si = 30, determinar la magnitud de la fuerza P de suerte que la fuerza resultante ejercida sobre el cilindro sea vertical. Cul es la magnitud de la resultante?

1-5) Momento de una Fuerza respecto a un Punto 1-5-1) Defincin El momento de una fuerza F respecto a un punto O es un vector que es igual al producto vectorial de los vectores r y F F d M = F x r = F x r x sen = F x d o r El efecto de una fuerza sobre un punto depende de la magnitud de la fuerza y de su punto de aplicacin. Al estar aplicado F a cierta distancia del punto O, la fuerza F le imprime al mismo una rotacin. El producto vectorial M se denomina momento y se representa por un vector perpendicular a F y r , la direccin del vector puede determinarse siguiendo la regla de la mano derecha . 1-5-2) Teorema de Varignon. El momento con respecto a un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto al mismo punto O.



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1-5-3) Traslacin de una fuerza Si tenemos una fuerza aplicada en un punto determinado del plano y deseamos trasladar esa fuerza a otro punto del mismo plano debemos considerar que al trasladar la fuerza estamos produciendo un momento que debemos agregar en el punto. Si tenemos la fuerza F aplicada en el punto A y deseamos trasladar F al punto B debemos hacer lo siguiente:

1) Trasladar F al punto B 2) Calcular el M que F produce en B (M= F) 3) Calcular dicho momento en el plano.



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1-6) Fuerzas paralelas en el plano 1-6-1) Composicin de fuerzas paralelas de igual sentido Un cuerpo regido bajo la accin de dos fuerza paralelas coplanares F1 y F2 aplicadas en los puntos A y B P1 O P2 Q1 F1 F2 Q2 P1 A C B P2 Q1 F1 F2 Q2 R = F1 + F2 El sistema no vara si se agrega 2 fuerzas P1 y P2 iguales colindantes y contarias entre si, que compuestas con F1 y F2, determinan R1 y R2 Si trasladamos stas a su punto de interseccin O, podemos descompnerlas en sus direcciones iniciales, es decir, en O actan las fuerzas las P1 y P2. y F1 y F2 . La suma de las estas dos fuerzas es la resultante del sistema R = F1 y F2 apliacada en O, cuya ubicacin est definido por las relaciones AC = P1 , BC = P2 => OC . P1 = AC . F1 = BC . F2 => BC = F1 OC F1 OC F2 AC F2 Adems si AC + CB = AB y F1 + F2 = R => BC = AC = AB F1 F2 R Conclusin: La resultante de dos fuerzas paralelas del mismo sentido es paralela y de igual sentido a las dadas, de mdulo igual a la suma de estas componentes y su recta de accin pasa entre las de stas a una distancia directamente proporcional al valor de dichas furezas. 1-6-2) Composicin de fuerzas paralelas de sentido contrario En un cuerpo dos furezas F1 y F2 actan en los puntos A y B tal que F1 > F2. Si en el punto C ubicado sobre la prolongacin de AB a una distancia X de F1, aplicamos una fuerza R = F1 - F2 y otra colineal y de sentido contrario R = -R, el sistema no vara



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F2 R B A C R F1 X Tomando momento respecto un punto C distante X de F1 y aplicando el Teorema de Varignon F1 X F2 (BC X) = 0 Como R = F1 F2 => F1 = R F2 R X - F2 X - F2 (BC - X) = 0 ; R X F2 (BC) = 0 => X = (BC) F2 R Conclusin: La resultante de dos fuerzas paralelas de sentido contrario, es una fuerza de la misma direccin, de sentido igual al de la mayor, de mdulo igual a la diferencia de los mdulos de las 2 anteriores y su recta de accin es externa a las componentes, estando a una distancia inversamente proporcional a las fuerzas dadas. 1-6-3) Descomposicin de Fuerzas Paralelas En base a los conceptos anteriores, se resuelve este problema. Sea una fuerza R que se desea desomponerla en 2 fuerzas paralelas de direcciones dadas a y b. m F1 a b R F2 d Se procede a descomponer R en F1 y F2, observando que por no encontrarse R entre las rectas dadas, las fuerzas que surgen de la descomposicin son de sentido contrario y que F2 > F1. Si R, m, d son conocidos, aplicando el Teorema de Varignon se puede deducir que:



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F1 = R (m d) ; F2 = R m ; F2 F1 = R d d 1-6-4) Cupla o Par de Fuerzas Se denomina cupla o par de fuerzas a un sistema de fuerzas iguales, de sentidos opuestos y paralelas. Este sistema, si bien no est en equilibrio, su resultante es cero y produce el efecto de un giro. F d O A B F El plano definido por las fuerzas se denomina plano de accin del par y la distancia entre las rectas de accin de las fuerzas se define como brazo del par. Su accin de un par de fuerzas sobre un cuerpo rgido se reduce a un efecto de de giro que depende de: el mdulo de las fuerzas y de la longitud del brazo d, del plano de accin del par y del sentido de giro. Para la definicin de este efecto se introduce la nocin de Momento del Par, el que se define como el producto del mdulo de una de las fuerzas por el brazo del par. Lo enunciado implica que la suma de los momentos de las fuerzas que constituyen el par respecto a cualquier punto del plano de dichas fuerzas, es igual al momento del par. En efecto si se toma momento respecto al punro O, se tendr: F (OA) - F (OB) = F (OA OB) = F d = M Se puede verificar que se llega al mismo resultado para cualquier O. Ejercicio N 1 Determinar la resultante de las fuerzas aplicadas en el mstil.



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Por Varignon, sabemos que la resultante debe producir un momento en A igual al que produce las tres fuerzas actuantdo conjuntamente. El momento en la base de la pila tomando como positivo (+) el sentido de las aguja del reloj es: MA = P1 4.5 - P 3.5 + P 1.5 = R x X -1- MA = 10 4.5 - 5 3.5 + 5 1.5 = 35 t m R = F = 10 t - 5 t + 5 t = 10 t Reemplazando en -1- los resultados obtenidos, tenemos: 35 tm = 10 t x X despejando X ; X = 35 tm / 10 t = 3,5 m Por lo tanto tener una fuerza de 10 t a una distancia de 3,5 m de la base produce un momento en A de igual magnitud que las tres fuerzas actuando conjuntamente. Es necesario hacer notar que esta equivalencia es vlida nicamente para calcular las reacciones del cuerpo analizado con la base, indudablemente cambiar las tres fuerzas por la resultante producen valores de momento diferente en el cuerpo. Ejercicio N 2 Tenemos la misma pila del ejercicio anterior pero con dos fuerzas nicamente

determinar la ubicacin de la resultante MA = 10 4.5 - 5 1.5 = 37.5 tm Fx = 5 t x = 37,5 tm / 5 t = 7.5 m Como vemos no es necesario que la ubicacin de la resultante se encuentre dentro del sistema ya que esto es solo una abstraccin matemtica que facilita los clculos a realizar y no implica que exista un mecanismo para transmitir la fuerza y el momento al elemento.



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Problemas para resolver 1) En la viga de la figura, reemplazar todas las fuerzas actuantes por una fuerza-par 1 equivalente en A. ( P1= 10 t P2 = 5t P3 = 8t P4 = 5t)

2) En la plantilla de cimientos de hormign de la figura, determinar la magnitud y posicin de la resultante de las fuerzas que le transmiten las columnas. ( P1= 50 t P2= 75 t P3 = 25 t)

3) Una fuerza de 150 N se aplica a la palanca de control A. Sabiendo que la distancia AB es de 250 mm, calcular el momento de la fuerza con respecto a B cuando a es 50

4) En el ejercicio anterior si la distancia AB es de 250 mm, determinar el momento mximo con respecto a B producido por una fuerza de 110 N. En qu direccin deber actuar la fuerza?



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5) Una fuerza de 450 N se aplica en A, corno se indica. Determinar (a) el momento de la fuerza de 450 N con respecto a D, (b) la fuerza mnima que aplicada en B produce el mismo momento con respecto a D.

6) Calcular el momento de una fuerza de 100 kg con respecto a A: (a) usando la definicin del momento de una fuerza, (b) descomponiendo la fuerza en sus componentes horizontal y vertical, (c) descomponiendo la fuerza en sus componentes a lo largo de A B y perpendicular a AB.

7) Determinar el momento de la fuerza de 100 kg con respecto a C. 8) Una seccin de una pared de concreto pretensado se mantiene temporalmente mediante cables cmo se indica. Sabiendo que la tensin en el cable BC es 900 kg, determinar el momento, con respecto al origen de coordenadas 0 de la fuerza ejercida sobre la seccin de la pared en C. (p = 0.35 m)

9) Sabiendo que la tensin en el cable AB es 700 kg, determinar el momento, con respecto al origen de coordenadas 0 de la fuerza ejercida sobre la seccin de la pared en A.



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10) Determinar la fuerza que ejerce el eje trasero del camin, sabiendo que su. peso es de P = 5 t Tn. Aplicar el Teorema de Varignn

11) Determinar la posicin de la resultante sabiendo que P1= 5t y P2= 7 t)

12) La columna de hormign de una gra soporta P= 15t. Reemplazar la fuerza por otra que acte segn A-B y un par ( trasladar P a la lnea A-B)

13) Determinar la fuerza-par equivalente en el punto A del muro de sostenimiento ( P= 57 t P1 = 38 t)



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14) Obtener el sistema par-fuerza equivalente de las fuerzas actuantes sobre el prtico de hormign, en el punto A del mismo ( P1= 35 t P2= 28 t )

15) Determinar la distancia al pnto A de la resultante de las fuerzas que actan sobre el reticulado de la figura. ( P1= 15 t P2= 30 t - a= 3 m)

16) La mnsula reticulada de la figura pesa 0.5t. Obtener la resultante de las fuerzas que actan sobre ella y el punto en que la misma corta a la lnea AB (P = 7 t)



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1-6) Condiciones de Equilibrio 1-6-1) Equilibrio de una partcula en el plano (fuerzas concurrentes) Un gran nmero de problemas que tratan de estructuras pueden reducirse a problemas concernientes al equilibrio de una partcula. Esto se hace escogiendo una partcula significativa y dibujando un diagrama separado que muestra a sta y a todas las fuerzas que actan sobre ella. Dicho diagrama se conoce como diagrama de cuerpo libre. Para que una partcula est en equilibrio todas las fuerzas actuando sobre ella deben dar como resultante un vector nulo. Por lo tanto para que una partcula este en equilibrio las fuerzas actuantes en el sistema deben cumplir las siguientes ecuaciones: F x = 0 F y = 0 La sumatoria de fuerzas en dos direcciones cualesquiera deben ser nula. Es indudable que para verificar el equilibrio del sistema se deben elejir las dos direcciones de manera que las ecuaciones sean independientes una de la otra, como sabemos eso se logra utilizando direcciones perpendiculares entre si.

En la figura observamos un peso que pende de una cuerda CBD y es mantenida en posicin por un puntal A B. Se pide calcular los esfuerzos actuantes CB en la cuerda y AB del puntal. Lo primero que realizamos es extraernos de los elementos componentes del sistema representando en un diagrama las fuerzas que concurren al punto B, por medio de vectores de los cuales conocemos las direcciones y fijamos los sentido arbitrariamente. Este diagrama se conoce como DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE siendo de gran utilidad para clarificar el problema. En el diagrama de cuerpo libre graficamos nicamente aquellos elementos que nos pueden ser tiles para resolver el problema.



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Solucin Analtica F x = - FCB cos + FAB cos = 0 F y = FCB sen + FAB sen = P despejando tenemos FAB = FCB cos / cos FCB sen + ( FCB cos / cos ) sen = P FCB = P / ( sen + cos + tan ) = 10 / ( sen 15 + cos 15 + tan 50 ) FCB = 7.092 t FAB = 7.092 cos 15 / cos 50 FCB = 10.66 t Como los valores de FCB y FAB nos dieron positivo quiere decir que el sentido propuesto para ambos vectores era el correcto. En el caso de que hubieramos propuesto el siguiente diagrama de cuerpo libre

Hubieramos obtenido los siuientes resultados: FCB = - 7.092 t FAB = 10.66 t El signo menos de FCB nos dice que el sentido real de la fuerza es opuesta al que fijamos en el diagrama de cuerpo libre. Como vemos los resultados obtenidos son independiente del sentido propuesto en el diagrama de cuerpo libre.



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Problemas para resolver 2) En la figura se observa un artefacto de iluminacin de una fbrica sostenido por dos cables a una distancia de 2 m del techo. Se pide dar las fuerzas en los calbes AC y BC sabiendo que el peso est en equilibrio con los calbes AC y BC

3) Dar el valor del ngulo alfa para el cual es mnima la fuerza en AC. Dar los valores de las fuerzas AC y BC P = 15 t = 30 4) En una operacin de descargue de un barco se sostiene un automvil de 3500 kg por un cable. Una cuerda es atada al cable en A y sotenida por un hombre con el fin de colocar el automvil sobre la posicin deseada. El ngulo entre el cable y la vertical es de 2, y el ngulo entre la cuerda y la horizontal es de 30 Cul es la tensin en la cuerda?



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5) Determinar la magnitud y direccin de la menor fuerza F que mantendr en equilibrio a la caja mostrada en la figura. Observar que la fuerza ejercida por los rodillos sobre la caja es perpendicular la al plano inclinado.

6) Dos fuerzas P y Q de mangitudes P = 1000 kg y Q=1200 kg se aplican a la conexin (utilizada en aviones) y que se muestra en la figura. Si la conexin est en equilibrio determinar T1 y T2

7) Dos cables estan unidos en C y cargados tal como muestra la figura. Determinar las fuerzas AC y BC

8) Dos cuerdas estn unidas en C. S la mxima tensin admisible en cada cuerda es 25 kN, cul es la mxima fuerza F que puede aplicarse? En qu direccin debe actuar esta fuerza mxima?



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9) Determinar el intervalo de valores de P para que ambos cables permanezcan tensionados

10) Con el fin de elevar una caja de 1200 kg, se arrolla alrededor de la caja un cable eslinga de 14 m de longitud y se cuelga del cable EF. Determinar la tensin en el cable eslinga en cada uno de los casos mostrados.

11) Resolver las partes b y d suponiendo que el extremo libre de la cuerda est atado a la carga.



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12) Expresar el peso W que se requiere para mantener el equilibrio en funcin de P, d y h. del ejercicio anterior 13) Una carga de 200 kg es sostenida de diferentes maneras por cuerdas y poleas, como se muestra en la figura. Determinar en cada caso la tensin en la cuerda. (La tensin en la cuerda es la misma en ambos de una polea simple.

1-7) Centroides y Centro de Gravedad

1-7-1) Centro de Gravedad de un cuerpo bidimensional Hasta ahora hemos supuesto que la fuerza de atraccin ejercida por la tierra sobre un cuerpo rgido poda representarse por una nica fuerza P . Esta fuerza, llamada, el peso del cuerpo, deba aplicarse en el CENTRO DE GRAVEDAD DEL CUERPO. Realmente la tierra ejerce un fuerza sobre cada una de las partculas que forman el cuerpo. La accin de la tierra sobre un cuerpo rgido podr representarse entonces por un gran nmero de pequeas fuerza distribuidas sobre todo el cuerpo. Suponemos que podemos dividir la lmina plana horizontal de la figura en n pequeos elementos. Las coordenadas del primer elemento se designa por x1 y y1 la del segundo x2 y y2 , etc. La fuerza ejercida por la tierra sobre los elementos de la lmina se designarn, respectivamente, P1,,P2,, etc. Estas fuerzas o pesos estan dirigidas hacia el centro de la tierra, sin embargo, para todos los propsitos prcticos podemos suponerlas paralelas. Su resultante es entonces una fuerza nica en la misma direccin. Encontrar el PESO y el CENTRO DE GRAVEDAD se transforma de este modo, en encontrar la fuerza y la posicin de la resultante de un conjunto de fuerzas paralelas, visto anteriormente.



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La magnitud P se obtiene sumando las magnitudes de los pesos elementales Fz P = P1+P2 +............+ Pn Para obtener las coordenadas x e y del punto G donde ser aplicada la resultante, debemos recordar que los momento de P con respecto a un eje son iguales a la suma de los correspondientes momentos de los pesos elementales (Varignon) entonces: Mx y P = y1 P1+ y2P2 +............+ yn Pn My x P = x1 P1+ x2P2 +............+ xn Pn De estas ecuaciones podemos despejar x e y, obteniendo de esta forma los resultados deseados. Un caso particular y utilizado ampliamente es cuando tenemos una figura plana cuyo espesor es constante y la densidad de cuerpo tambien lo es. En este caso tenemos P= V ( peso es igual a la peso especfico por el volumen V= A e (Volumen es igual al rea por el espesor ) P= A e Pi = Ai e ( El peso de un elemento es igual al rea del elemento por y e que son

constante ) Mx = y P = yi Pi = y A e = ( yi Ai) e = y A = yi Ai Como se observa cuando trabajamos con elementos de espesor y peso especfico constante y podemos calcular el centro de gravedad trabajando con las reas en ves de hacerlo con los pesos. Ejercicio N 1 Determinar el centro de gravedad de la figura, compuesta por dos placas cuadradas.

Como el elemento es de un material homogeneo en vez de trabajar con pesos podemos trabajar directamente con las areas correspondiente. (Si a las areas las multiplicamos por el espesor y por su peso especjfico tendramos el peso real del elemento. Como estos valores son constantes podemos simplificar los cculos y no trabajar con ellos).



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a) Lo primero que tenemos que hacer es colocar en un grfico los vectores representativos de todas las areas en las que hemos subdividido la figura. Estos vectores sern perpendiculares a los eje de referencia. Para determinar la distancia Y del C.G. Para determinar la distancia X del C.G.

b) Posteriormente debemos calcular las areas y las distancias a los ejes de referencia de cada uno de los elementos en que se descompuso la figura F1 = a2 = 4 m2 F2 = (2a/3)2 = 1.77 m2 X1 = a/2 = 1 m X2 = a + 2a/6 = 2.67 m Y1 = a/2 = 1 m Y2 = 2a/6 = 0.67 m c) Tomando momento con respecto al eje Y de cada uno de los vectores tenemos: FtXt = Fi Xi Xt = FiXi/Ft Ft = Fi = 4 + 1.77 = 5.77 m2 FiXi = 4x1 + 1.77x2.67 = 8.72 m3 Xt = FiXi/Ft = 8.72 m3 / 5.77 m2 = 1.51 m d) Tomando momento con respecto al eje X tenemos: FtYt = Fi Yi Yt = FiYi/Ft Ft = Fi = 4 + 1.77 = 5.77 m2 FiYi = 4x1 + 1.77x0.67 = 5.19 m3 Yt = FiYi/Ft = 5.19 m3 / 5.77 m2 = 0.90 m Al finalizar el ejercicio es conveniente verificar que el resultado obtenido tenga lgica. En este caso viendo la figura nos damos cuenta que el centro de gravedad tiene que tencontrarse en el siguiente entorno X2 > Xt > X1 2.67 > 1.51 > 1 verifica Y1 > Yt > Y2 1 > 0.90 > 0.66 verifica



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Ejercicio N 2 Determinar el centro de gravedad de la misma figura anterior considerando adems que la placa pequea tiene una perforacin en el centro de dimetro a/2

En este caso a los fines de facilitar los clculos consideramos que el elemento esta compuesto por tres secciones diferentes, los dos cuadrados que se consideraran de area positiva y un circulo que tendr area negativa. De esta forma resolvemos el ejercicio de igual manera: a)Para determinar la distancia Y del C.G. Para determinar la distancia X del C.G.

b) Posteriormente debemos calcular las areas y las distancias a los ejes de referencia de cada uno de partes en que se descompuso la figura F1 = a2 = 4 m2 F2 = (2a/3)2 = 1.77 m2 X1 = a/2 = 1 m X2 = a + 2a/6 = 2.67 mm Y1 = a/2 = 1 m Y2 = 2a/6 = 0.67 mm F3 = (a/2)2/4 = - 0.785 m2 con signo (-) para tener en cuenta que es una perforacin X3 = a + 2a/6 = 2.67 m Y3 = 2a/6 = 0.67 m c) Tomando momento con respecto al eje Y tenemos: FtXt = Fi Xi Xt = FiXi/Ft Ft = Fi = 4 + 1.77 - 0.785 = 4.985 m2 FiXi = 4x1 + 1.77x2.67 + (-0.785) 2.67= 6.62 m3 Xt = FiXi/Ft = 6.62 m3 / 4.985 m2 = 1.33 m



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d) Tomando momento con respecto al eje X tenemos: FtYt = Fi Yi Yt = FiYi/Ft Ft =4.985 m2 FiYi = 4x1 + 1.77x0.67 - (-0.785) 0.67 = 4.66 m3 Yt = FiYi/Ft = 4.66 m3 / 4.985 m2 = 0.934 m Como vemos al disminuir el area del cuadrado pequeo con la perforacin el centro de gravedad del conjunto se acerca hacia el centro de gravedad del cuadrado mayor incrementndose Yt y decrementando Xt. Ejercicio N 3 Determinar el centro de gravedad de la figura, compuesta por un perfil U y otro L. Siendo el valor de t = a 5 mm

a)Para determinar la distancia Y del C.G. Para determinar la distancia X del C.G.



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b) Posteriormente debemos calcular las areas de cada una de las figuras regulares F1 = r2 / 4 = 19.62 mm2 F6 = 8t t = 200 mm2 X1 = 0.9t +4.5t+4t/3 =29.1mm X6 = t/2 = -2.5 mm Y1 = t + 14t + (t-4t/3) = 77.87 mm Y6 = t + 8t/2 = 25 mm F2 = t(4.5t+0.9t) = 135 mm2 F7 = (t + 3t)t = 100 mm2 X2 = (0.9t +4.5t)0.5 = 13.50 mm X7 = -(t+3t)/2 =-10 mm Y2 = t + 14t + t/2 = 77.50 mm Y7 = t/2 = 2.5 mm F3 = 14 t t = 350 mm2 F8 = r2 / 4 = 19.62 mm2 X3 = t/2 = 2.5 mm X8 = -(t+3t+4t/3) =-22.12 mm Y3 = t + 14t /2 = 40 mm Y8 = Y4 = 2.12 mm F4 = r2 / 4 = 19.62 mm2 F9 = F1 = 19.62 mm2 X4 = 0.9t +4.5t+4t/3 =29.1mm X9 = -2.12 mm Y4 = 4t/3 = 2.12 mm Y9 = 8t + t + 4t/3 = 47.12 mm F5 = F2 = 135 mm2 X5 = X2 =13.75 mm Y5 = t/2 = 2.5 mm c) Tomando momento con respecto al eje Y tenemos: FtXt = Fi Xi Yt = FiXi/Ft Ft = Fi = 998.48 mm2 FiXi = 3720 mm3 Xt = FiXi/Ft = 3720 mm3 / 998.48 mm2 = 3.72 mm d) Tomando momento con respecto al eje X tenemos: FtYt = Fi Yi Xt = FiYi/Ft Ft = Fi = 998.48 mm2 FiXi = 32585 mm3 Yt = FiYi/Ft = 32585 mm3 / 998.48 mm2 = 32.63 mm



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Problemas para resolver 1) Determinar el Centro de Gravedad de la Figura

) Dado el perfil transversal del camino, encontrar el centro de gravedad de las reas de terraplen y desmonte y sus respectivos pesos. Siendo c= 10 m



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A los fines de facilitar la determinacin de los centros de gravedad de diversas figuras se adjunta la siguiente tabla



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1-7-2) Centro de gravedad de un cuerpo de revolucin Teorema de Pappus-Guldinus Estos teoremas sirven para determinar areas y volmenes de superficies y cuerpos de revolucin. Una superficie de revolucin es una superficie que puede generarse mediante la rotacin de una curva plana alrededor de un eje fijo.

Generacin de una superficie de revolucin Un cuerpo de revolucin es aquel que puede generarse mediante rotacin de un rea plana alrededor de un eje fijo.

Generacin de un cuerpo de revolucin

Teorema I El rea de una superficie de revolucin es igual a la longitud de la curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de la curva con la que se genera la superficie. A= 2yL Donde 2y es la distancia recorrida por el centroide de L. Debe notarse que la curva generatris no debe intersectar el eje alrededor del cual rota



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Teorema II El volumen de un cuerpo de revolucin es igual al rea generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del rea con la cual el cuerpo se genera. V= 2yAs Donde 2y es la distancia recorrida por el centroide de As. Ejercicio N 1 Determinar por el Teorema de Pappus - Guldinus. el rea y el volumen del cilindro de la figura

Curva Generatriz Cilindro A=2yL L= H y= D/2=r A= 2rH ( que coincide con la frmula del rea de un cilindro) V=2yAs As=H D/2= H r As=2r H r = 2r2H ( que coindide con la frmula de volumen del cilindro.) Ejercicio N 2 Tenemos que pintar el frasco de la figura . Calcular la superficie a pintar y el volumen del frasco.



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A=2yL Para determinar L sumamos la longitud de cada uno de los tramos. L= D/2 +2D+D/2 = 3D = 150 cm Para determinar la ubicacin del centroide debemos tomar momento de cada una de las longitudes a un eje de referencia. Tomamos como eje de referencia el eje de la superficie de revolucin. Ly = li yi liyi = (D/2)(D/4) + 2D(D/2) + (D/2)(D/4) = D2(1+1/4) = D2(5/4) = 3125 cm2 despejando de -2- y y= 3125 cm2/150 cm = 20.83 cm reemplazando en la frmula del area -1- los valores obtenidos tenemos: A= 2 x 20.83 cm x 150 cm = 19621,86 cm2 Para determinar el volumen de frasco utilizamos el teorema II V= 2y As As= (D/2) 2D = D2 El centroide se encontrar en el centro del area, entonces y = D/4 V= 2 (D/4) D2 = D3/2= 196250 cm3 Problemas para resolver 1) Determinar el volumen del slido obenido al rotar el rea semiparablica ilustrada en la figura alrededor del eje Y y del eje X



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2) Determinar el volumen del slido abtenido al rotar la siguiente figura segn el eje X y el eje Y

3) Determinar el rea de la superficie y el volumen del semitoro mostrado en la figura

4) Usando los teoremas de Pappus-Guldinus, determinar a) El centroide de un rea semicircular b) El centroide de un arco semicircular Compara los resultados con los determinados en la tabla de centro de gravedad 5) La figura muestra el corte axial de un tanque para distribucin de agua a una Poblacin. El mismo est compuesto por: a. Casquete esfrico generado por la rotacin del arco de circunsferencia A-B alrededor del eje( R-rado medio, ngulo central 60). b. Tronco cnico: Generado por la rotacin de la recta B~C alrededor del eje c. Fuste cilndrico d. Placa circular e. Base de fundacin circular Si el Peso Especfico del Hormign es de 2200 kg/m3, para los espesores indicados se pide:

a) Calcular el volumen de hormign empleado en su construccin. b) Calcular la cantidad de pintura de recubrimiento necesaria, si cada litro cubre 5

m2 c) Calcular la capacidad de almacenamiento del tanque



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1-7-3) Cargas Distribuidas Un concepto muy utilizado en ingeniera es el de cargas distribuidas. Las cargas distribuidas pueden deberse a efectos de viento, efecto de nieve, peso de materiales, etc. En general las representaciones grficas que hacemos de las estructuras estan contenidas en un plano pero las estructuras reales estan contenidas en el espacio. Supongamos una estructura de una losa como la que se muestra en la figura. La losa apoya sobre 3 porticos. Cada prtico esta formado por una viga V2 y dos columnas C2 en cada uno de los extremos. Si consideramos el prtico central podemos aceptar que mitad de la losa a la izquierda y mitad de la losa a la derecha del prtico est sostenida por la viga V2. Si hacemos un corte transversal a la estructura podemos representarla de la siguiente manera.

Donde la carga q (Carga Distribuida) debe representar a toda la carga que existe entre mitad de la luz a la izquierda y mitad de la luz a la derecha. Es como si condensamos toda esta carga en una sola carga que hemos denominado q. Por ejemplo si sobre la losa hay una carga debida a peso propio de 300kg/m2 y la distancia entre prticos es de 10 metros. La carga distribuida q ser q= 300kg/m2 10m= 3000kg/m La carga distribuida puede representarse dibujando a escala con respecto a ejes coordenados la carga por unidad de longitud Utilizando el concepto de fuerzas paralelas visto anteriormente podemos obtener la posicin de la resultante de la carga distribuidad y reemplazar la misma por su resultante, o sea, una sola carga concetrada en el centroide de la carga distribuida Debe notarse, sin embargo, que la carga concentrada es equivalente a la carga distribuida solamente en cuanto se refiere a las fuerzas externas. Este hecho puede utilizarse para hallar las reacciones, pero no debe ser usado para calcular fuerzas internas y deformaciones. Este aspecto se ver ms detenidamente al analizar estructuras planas.



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Ejercicio N 1 una viga tiene una carga uniformemente repartida de 10kg/m. Calcular la carga total sobre la viga y la ubicacin de la resultante.

La carga total sobre la viga ser el area del dibujo de la carga distribuida W= q l La ubicacin de esta carga ser en el centro de gravedad de la figura. x= l/2 Ejercicio N 2 Determinar la magnitud y posicin de la resultante de la carga distribuida en la figura.

Lo primero que tenemos que realizar es dividir la carga distribuida en figuras de facil determinacin de superficies. Luego representar las areas por vectores y por ltimo determinar el peso total y la ubicacin de la resultante siguiendo los procedimientos utilizados en fuerzas paralelas.

F1= (2 m 1500 N/m)/2 = 1500 N F2= (4 m 1500 N/m)/2 = 3000 N F= F1+F2= 4500 N La ubicacin de posicin de la resultante la obtenemos tomando momento con respecto al punto A Fx = F1x1 + F2x2 x1 = 2m (2/3) = 1.333 m x2 = 2m + 4m (1/3) = 3.333 m x = (1500N 1.333m + 3000N 3.333) / 4500 N = 2.66 m ( desde el punto A)



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Prooblema para resolver 1) Un entrepiso para oficinas est organizado como indica la figura A, y la planta estructural del edificio se muestra en la figura B. Con los datos dados, efectuar el anlisis de carga correspondiente y calcular las fuerzas distribuidas en las vigas ( Peso especfico del Hormign Armado es 2400 kg/m3) Pesos Piso de Mosaico 20kg/m2 (por cm de espesor) Contrapiso 20kg/m2 (por cm de espesor) Cielorraso 10kg/m2 (por cm de espesor) Carga til (oficina) 200kg/m2 b = 30 cm h = 50 cm e = 5 cm l = 3.5 m 1-7-4) Fuerzas sobre superficies sumergidas Otro ejemplo de la utilizacin del momento de primer orden y de los centroides de area se obtiene al considerar las fuerzas ejercidas sobre una superficie sumergida en un lquido. Considerando la placa rectangular mostrada en la figura, tiene una longitud L y un ancho, perpendicular al plano de la figura, que se considera igual a la unidad. Puesto que la presin manomtrica en un lquido es p= h, donde es el peso especfico del lquido y h la distancia vertical desde la superficie libre del lquido, la presin sobre la placa vara linealmente con la distancia x. Podemos ahora usar los resultados obtenidos anteriormente para calcular la magnitud de la resultante R de las fuerzas ejercidas sobre una cara de la placa y determinar la ubicacin de dicha fuerza.



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Dividimos la presin en dos areas, una rectangular y una triangular.

La presin en el punto A es igual a p1 = h1 La presin en el punto B p2 = h2 La fuerza resultante del rectngulo ser: P1 = p1 L La fuerza resultante del trigulo ser: P2 = (p2- p1) L/2 La fuerza toal es la summa de ambas : Pt = P1+P2 La ubicacin de la resultante, llamado centro de presin sera: Pty = P1y1 + P2 y2 siendo y1 = L/2 y2 = (2/3)L y = (p1L2/2 + (p2- p1) L2/3 ) / Pt Ejercicio N 1 La seccin transversal de un dique se muestra en la figura. Considerar el espesor del dique (e) unitario y determinar. a) La resultante de las fuerzas b) Lugar donde la resultante intercepta la base del dique c) Momento de todas la fuerzas con respecto al punto B d) Coeficiente de seguridad al vuelco del dique.



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a) Determinacin de la resultante de las fuerzas 1) Fuerzas debidas al peso del hormign F1 = h A1 e = 2m x 20 m = 40 m2 h e = 96 t F2 = h A2 e =10m x 20 m /2 = 100 m2 h e = 240 t F3 = h A3 e = 2m x 1 m = 2 m2 h e = 4.8 t 2) Fuerzas producidas por el agua Determinacin del peso del agua sobre el elemento 3 p = ah = 1 t/m3 x 19 m = 19 t/m2 (Presin del agua a los 19 m de profundidad) F4= p e 2m = 19t/m2 x 1m x 2m = 38t Sobre el elemento 1 el agua ejerce una fuerza horizontal proporcional a la profundidad. Lo mismo ocurre sobre el elemento 3. Teniendo en cuenta el principio de la transmisibilidad podemos considerar que toda la fuerza horizontal del agua esta aplicada sobre una vertical cualquiera.

h = 2400 kg/m3 e = 1 m



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p1=a 0m = 0 ( presin en la superficie) p2= a 20m = 20t/m2 (presion en la base del dique F5= 20t/m2 x 20m x 1m / 2 = 200t 3) Ubicacin de las fuerzas con respecto a los ejes de referencia X e Y mostrados en la figura x1 = 1m x2 = 2m + (1/3) x 10m = 5.33m x3 = x4 = -1m y5= (1/3) x 20m = 6.67m 4) Determinacin de la resultante La resultante de las fuerzas es un vector no perpendicular a ninguno de los ejes tomados como referencia. Para facilitar lo clculos determinaremos primero las componente horizontal y vertical de dicho vector. La componente vertical la podemos calcular tomando momento con respecto a A Fvxv = F1x1 + F2x2 + F3x3 + F4x4__ Fv = 96t + 240t +4.8t + 38t = 378.8t Fvxv = 96t x 1m + 240t x 5,33m - ( 4.8t + 38t) 1m = 1332,4tm xv= 1332.4tm / 378.8t = 3.5m La componete horizontal corresponde a la nica fuerza existente con esta direccin: Fh = F5 = 200t yv = y5 = 6.67m

La interseccin de la resultante horizontal y vertical no da el punto O por donde pasa la resultante



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El mdulo de la resultante lo podemos obtener por Pitgoras F= (Fh2 + Fv2) -1 = 428t El ngulo de inclinacin con la vertical lo obtenemos por trigonometra tan = Fv / Fh = 1.894 = 1.08 rad b) Determinar el lugar donde la resultante intercepta la base del dique. Veremos dos formas de solucionar este problema Por trigonometra. Conociendo un punto por donde pasa la resultante y su inclinacin, por trigonometria podemos facilmente determinar donde la resultante corta la base del dique.

tan = 6.67 / a a= 6.67 / tan = 3.52m Xt = xv + a = 7.04m Por Fsica Cuando la resultante pasa por la base del dique su componente horizontal no producir momento, su distancia al punto es nula. Por lo tanto si tomamos momento de todas las fuerzas con respecto al punto A tenemos: FvXt = Fv xv + Fh yh = 1332.4tm + 200t x 6.67m = 2666.4tm Xt = 2666.4tm / 378.8t = 7.04m ( coincidente con el resultado anterior) 5) Momento de todas las fuerzas con respecto al punto B Determinar el momento en B es de suma importancia en el clculo de un dique porque nos dice si ste puede volcar por efecto del agua. Si el momento tiene sentido horario significa que el peso de la estructura no alcanza a contrarestar el momento producido por el agua y por lo tanto el dique girar con respecto al punto B. Por el contrario si el sentido es antihorario el peso del dique es suficiente para contrarestar el momento del agua. Debido a la excistencia del suelo el dique no puede girar en este sentido y por lo tanto es estable. Conociendo la resultante y por donde intercepta la base calculamos el momento: MB = Fv x ( 12m - Xt) = 378.8t x 4.96m = 1878.85tm ( tiene sentido antihorario)



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6) Determinar el coeficiente de seguridad al vuelco. El coeficiente de seguridad es un valor que nos establece cual es la seguridad que la estructura no falle. En este caso tenemos que la componente horizontal de la resultante tiende girar el dique en sentido horario, produciendo el vuelco del mismo. En cambio la componente vertical evita dicho giro estabilizando el dique. Llamaremos coeficiente de seguridad al vuelco a la relacin existente entre el momento estabilizante y el momento de vuelco. Para que la estructura sea estable dicho coeficiente debe ser mayor que uno. Cuanto ms alto sea el coeficiente mayor es la seguridad de la estructura. Me = Fv x Xt = 378.8t x 7.04m = 2666.7tm Mv = Fh x yh = 200t x 6.67m = 1334tm v = Me / Mv = 2666.7tm / 1334tm = 1.999 Problemas para resolver 1) Determinar la magnitud y posicin de la resultante de la carga distribuida mostrada en la figura.

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