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1A. P. Ramos Set. 2006

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL

Estruturas de Betão Armado II

3 – Lajes - Análise



3 – Lajes - AnáliseTEORIA DE COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE LAJES FINAS

HIPÓTESES DO MODELO DE COMPORTAMENTO (1)

1) Laje de pequena espessura (deformação por corte

deprezável - h<<l/10), homogénea e isotrópica, e

material com comportamento elástico linear;

2) Hipótese dos pequenos deslocamentos (w<h/10);

3) Hipótese de Kirchoff – as deformações no plano médio

da laje são nulas (i.e. a laje é rígida no seu plano e não

tem esforços normais);

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3 – Lajes - AnáliseTEORIA DE COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE LAJES FINAS

HIPÓTESES DO MODELO DE COMPORTAMENTO (2)

4) Hipótese de Bernouli – as fibras perpendiculares ao

plano médio da laje permanecem rectas e

perpendiculares após a deformação (não há

deformação por corte);

5) As tensões normais ao plano médio são desprezáveis.




yzu∂∂

−=ω

2xzu∂∂

−=ω

1

u1 – deslocamentos na direcção x

u2 – deslocamentos na direcção y

u3 – deslocamentos na direcção z

Os deslocamentos u1 e u2 variam linearmente na espessura:

ω=3u

3




DEFORMAÇÃO

)(21

,, ijjiij uu +=ε

2

2

xzxx ∂∂

−=ωε

yxzxy ∂∂∂

−=ωε

2

2

2

yzyy ∂∂

−=ωε

0=== zzyzxz εεε



3 – Lajes - AnáliseTENSÕES

)(1 2 yyxxxx

E ευευ

σ +−

=

)(1 2 xxyyyy

E ευευ

σ +−

=

)1(22

υεσ

−==

EGcomG xyxy

0)5 =zzhipóteseDa σ

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3 – Lajes - AnáliseMOMENTOS (1)

∫−= 2

2

h

hdzzm xxx σ

∫−= 2

2

h

hdzzm xyxy σ

∫−= 2

2

h

hdzzm yyy σ



3 – Lajes - AnáliseMOMENTOS (2)

)( 2

2

2

2

xyDmy ∂

∂+

∂∂

−=ωυω

)( 2

2

2

2

yxDmx ∂

∂+

∂∂

−=ωυω

Se introduzirmos agora o conceito de rigidez de flexão da laje:

)1(12 2

3

υ−=

hED

yxDmxy ∂∂

∂−−=

ωυ2

)1(

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3 – Lajes - AnáliseEQUAÇÃO DE LAGRANGE

Dq

yyxx=

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∇ 4

4

22

4

4

44 ωωωω

Por equilíbrio:

Equação de Lagrange

(deduzida em 1811)

qym

yxm

xm yxyx −=

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2



3 – Lajes - AnáliseEQUAÇÃO DE LAGRANGE

Ainda por equilíbrio:

ym

xmv xyx

x ∂

∂+

∂∂

=x

my

mv xyy

y ∂

∂+

∂

∂=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−= 2

2

2

2

yxxDvx

ωω

Ou :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂∂

−= 2

2

2

2

yxyDvy

ωω

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3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO CILÍNDRICA

As lajes com comprimento infinito numa direcção, ao longo da qual existem apoios lineares, têm uma deformação cilíndrica, em que w é constante ao longo dessa direcção.

0=∂∂

xω

w = cte em x logo:

02

2

=∂∂

xω



3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO CILÍNDRICA

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

−=

∂∂

−=

2

2

2

2

yDm

yDm

y

x

ω

ωυ

yx mm υ=

Logo:

É necessário que o mx = ν my para contrariar a deformação devida ao efeito de Poisson.

Para ν = 0.2: my → Asy

mx → Asx = 0.2 Asy

O efeito de Poisson surge sempre que w é constante ao longo de uma direcção.

Efeito de Poisson

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3 – Lajes - AnáliseEXEMPLOS DE EFEITO DE POISSON

Lajes em que lx ≥ 2 ly

Consolas

Apoio de continuidade



3 – Lajes - AnáliseEFEITO DE POISSON

A armadura correspondente ao efeito de Poisson (20% da

armadura principal) designa-se por armadura de distribuição.

ssd AA 2.0=

As lajes com flexão cilíndrica designam-se por lajes

unidirecionais ou armadas numa só direcção, porque só existe

armadura principal na direcção da flexão cilíndrica.

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3 – Lajes - AnáliseLAJE APOIADA EM DOIS BORDOS

Deformada

Flexão cilíndrica




m22

9




m11




m12

10






3 – Lajes - AnáliseFLEXÃO BIDIRECCIONAL

As lajes, de uma forma geral possuem deformação bidireccional. Vejamos o caso particular das lajes vigadas, rectangulares, com lx < 2ly:

Nestes casos, além de mx e my surgem também momentos torsores mxy. Estes têm especial relevância junto dos cantos onde convergem dois bordos simplesmente apoiados.

Devido à deformação da laje estes cantos teriam a tendência a levantar, o que é impedido pelos apoios, resultando num esforço cuja direcção principal é a diagonal das linhas dos apoios.

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Laje rectangular apoiada no contorno

L1/L2=1.5





L1/L2=1.5

m11

m11

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L1/L2=1.5

m22

m22

Os esforços no menor vão (m22) são superiores aos no

maior vão (m11).





L1/L2=1.5

m12

Os máximos e os mínimos verificam-se junto aos cantos e em módulo são da mesma ordem de grandeza.

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L1/L2=1.5




Laje rectangular apoiada em dois bordos e

encastrada nos outros dois

L1/L2=1.5

Deformada

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Comparação entre os dois casos analisados

L1/L2=1.5

A laje apoioada no contorno é mais

deformável




Laje rectangular apoiada em dois bordos e

encastrada nos outros dois

L1/L2=1.5

m11

m22

Os esforços no menor vão (m22) são superiores aos do

maior vão (m11).

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Laje rectangular apoiada em dois bordos e encastrada nos outros dois

L1/L2=1.5




Laje rectangular apoiada em dois bordos e encastrada nos outros dois

L1/L2=1.5

Os maiores valores para os

momentos torsores surgem junto ao canto

em que convergem os dois bordos

apoiados

m12

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Laje quadrada

apoiada no contorno

Deformada




Laje quadrada

apoiada no contorno

m11

m22

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Laje quadrada

apoiada no contorno

Os maiores valores para os

momentos torsores surgem junto aos cantos

m12




Laje quadrada

apoiada no contorno

Reacções nos apoios

Reacções verticais nos cantos ↓

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Laje Quadrada apoiada no contorno excepto

nos cantos

Deformada

Os cantos levantam !




Laje Quadrada apoiada no contorno excepto nos cantos

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Laje Quadrada apoiada no contorno excepto nos cantos

Reacções nos apoios

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