Estrutura da materia

Robenil dos Santos Almeida

26 de fevereiro de 2015

1

Sumario

1 -Dualidade onda-partcula e mecanicaquantica

1.1 Ondas e partculasAlgumas vezes a propagacao de uma ondanao pode ser distinguida da propagacao deum feixe de partculas. Se o comprimentode onda e muito pequeno comparado a`sdistancias das bordas dos objetos, efeitosde difracao sao insignificantes e a onda vi-aja em linha reta. Tambem, maximos emnimos de interferencia estao tao proximosentre si no espaco que nao se pode observa-los.

O resultado e que a onda interage com umdetector, com se fosse um feixe de numero-sas e pequenas partculas onde cada umatroca uma pequena quantidade de energia;nesta troca de energia nao se consegue di-ferenciar ondas de partculas. Por exemplo,voce nao observa moleculas individuais dear batendo na sua face quando o vento so-pra sobre ela. Em vez disto, a interacaode bilhoes de partculas parece ser contnua,com a de uma onda.

1.2 Luz: de Newton a MaxwellIsaac Newton usou a teoria corpuscular daluz para explicar as leis da reflexao e darefracao; entretanto, para a refracao, New-ton necessitou assumir que a luz viaja maisrapido na agua e no vidro, do que no ar,uma suposicao que mais tarde se mostrou

incorreta.

Os primeiros proponentes da teoria on-dulatoria foram Robert Hooke e ChristianHuygens, que explicaram a refracao assu-mindo que a luz viaja mais devagar no vidroou na agua do que no ar. Entretanto, New-ton preferia a teoria de que a luz era com-posta de partculas e nao de ondas, porqueno seu tempo se acreditava que a luz viajavaatraves de um meio somente em linhas retas a difracao ainda nao havia sido observada.

Por causa da grande reputacao e autori-dade de Newton, sua teoria corpuscular daluz foi aceita por mais de um seculo. Entao,em 1801, Thomas Young demonstrou a na-tureza ondulatoria da luz numa experienciafamosa na qual duas fontes de luz coerentessao produzidas atraves da incidencia de luzde uma unica fonte, num par de fendas pa-ralelas e estreitas. Nessa experiencia, cadafenda atua como uma fonte linear, o que se-ria equivalente a uma fonte puntiforme emduas dimensoes. O padrao de interferencia eobservado numa tela colocada atras das fen-das. Maximos de interferencia ocorrem emangulos tais que a diferenca de percurso en-tre as ondas e um numero inteiro de compri-mentos de onda. Do mesmo modo, mnimosde interferencia ocorrem se a diferenca depercurso for metade de um comprimento deonda ou qualquer numero inteiro mpar demeios comprimentos de onda.

No incio do seculo XIX, o fsico frances8 Augustin Fresnel (1788-1827) realizou ex-periencias abrangentes em interferencia e di-fracao e introduziu uma base matematicarigorosa para a teoria ondulatoria. Fresnelmostrou que a observacao de que a luz sepropaga em linha reta e um resultado paracomprimentos de onda da luz visvel muitopequenos.

A teoria ondulatoria classica da luz atin-giu seu apogeu em 1860 quando James ClerkMaxwell publicou sua teoria matematicado eletromagnetismo. Esta teoria condu-ziu a uma equacao de onda que previu aexistencia de ondas eletromagneticas que sepropagavam com uma velocidade que podiaser calculada a partir das leis da eletricidadee do magnetismo.

O fato de que o resultado desde calculoera c 3 108m/s, o mesmo que a veloci-dade da luz, sugeriu a Maxwell que a luz euma onda eletromagnetica.

1.3 A natureza corpuscular daluz: fotons

A difracao da luz e a existencia de umpadrao de interferencia na experiencia deduas fendas forneceram evidencias claras deque a luz tem propriedades de onda. En-tretanto, no comeco do seculo XX, foi des-coberto que a energia luminosa chaga emquantidades discretas.

1.3.1 O efeito fotoeletricoA natureza quantica da luz e a quantizacaoda energia foram sugeridas por Albert Eins-tein em 1905, na sua explicacao sobre o

efeito fotoeletrico. O trabalho de Einsteinmarcou o incio da teoria quantica, e poreste trabalho, Einstein recebeu o PremioNobel de Fsica. O experimento e mostradona figura abaixo:

Figura 1 Esquema do experimento doefeito fotoeletrico

A luz de uma unica frequencia entra numacamara evacuada incidindo numa superfcielimpa de metal C (C para catodo) e cau-sando a emissao de eletrons desta superfcie.

Alguns destes eletrons batem na segundaplaca de metal A (A para anodo), gerandouma corrente eletrica entre as placas. Aplaca A e negativamente carregada, de talmodo que os eletrons sao repelidos por ela,e somente os eletrons mais energeticos con-seguem atingir a placa.

A energia cinetica dos eletrons emiti-dos e feita aumentando-se lentamente atensao ate a corrente chegar a zero. Ex-periencias mostraram que a energia maximados eletrons emitidos e independente daintensidade da luz incidente. A energiacinetica maxima dos eletrons emitidos e amesma para um dado comprimento de ondada luz incidente, nao interessando a sua in-tensidade. Einstein demonstrou que este re-sultado experimental pode ser explicado se aenergia luminosa for quantizada em peque-nas porcoes, chamadas de fotons. A ener-

gia E de cada foton e dada por

E = hf = hc

(1.1)

onde f e a frequencia e h e a constante dePlanck. O valor medido para a h e

h = 4, 136 1015eV s

ouh = 6, 626 1034J s (1.2)

Um feixe de luz e composto de um feixe departculas fotons cada um tendo energiahf . A intensidade (potencia por unidade dearea) de um feixe de luz monocromatica e onumero de fotons por unidade de area porunidade de tempo, multiplicada pela ener-gia por foton.

A interacao do feixe de luz com asuperfcie metalica envolve colisoes entrefotons e eletrons. Durante cada uma des-tas colisoes, o fotons cede toda sua energiapara o eletron e este foton deixa de existir.O eletron e emitido a partir da superfciedepois de receber a energia de um unicofoton. Se a inteiro da luz e aumentada, maisfotons incidem na superfcie por unidade detempo, e mais eletrons sao emitidos por uni-dade de tempo. Porem, cada fotons aindatem a mesma energia hf , assim a energiaabsorvida por cada eletron fica inalterada.

Se e a energia mnima necessaria pararemover um eletron da superfcie de um me-tal, a energia cinetica maxima dos eletronsemitidos e dada por

Kmax =(1

2mv2)max

= hf (1.3)

onde f e a frequencia dos fotons. A quan-tidade , chamada de funcao trabalho, euma caracterstica do metal da superfcie.

Fotons que tem frequencias menores quea frequencia de corte ft, e, portanto, temcomprimentos de onda maiores que o com-primento de onda de corte t = c/ft,nao tem energia suficiente para ejetar umeletron de um determinado metal.

A frequencia de corte e o correspondentecomprimento de onda de corte podem serrelacionados a` funcao trabalho colocandoa energia a energia cinetica maxima doseletrons igual a zero na Eq.(

1.3.2 Espalhamento ComptonDe acordo com a teoria eletromagneticaclassica, a energia e o momento de uma ondaeletromagnetica estao relacionados por

E = pc (1.4)

O momento de um foton esta entao rela-cionado ao seu comprimento de onda porp = E/c = hf/c = h/.

p = h

(1.5)

Figura 2 Efeito Compton

Compton aplicou as lei de conservacao demomento e energia na colisao entre um fotone um eletron para calcular o momento ps e,portanto, o comprimento de onda s = h/psdo foton espalhando. Aplicando a con-servacao de momento para a colisao, temos

pi = ps + pe (1.6)

onde pi e o momento do foton incidente epe e o momento do eletron apos a colisao.O momento inicial do eletron e zero. Rear-ranjando a Eq.(

p2e = p2i + p2s 2pips cos (1.7)

onde e angulo que a direcao do movimentodo foton espalhado faz com a direcao do mo-vimento do foton incidente. A energia doeletron apos a colisao pode ser uma fracaosignificativa da energia de repouso de umeletron, por isto usamos a expressao rela-tivstica que relaciona a energia total E doeletron ao seu momento. Esta expressao e

E =p2ec

2 + (mec2)2

onde me e a massa do eletron. Aplicando aconservacao de energia a` colisao, temos

pic+mec2 = psc+p2ec

2 + (mec2)2 (1.8)

onde pc e a energia dos fotons. Eliminandop2e das Eqs.(

1.3.3 Quantizacao da energia ematomos

Luz branca comum tem um espectrocontnuo; isto e, ela contem todos os com-primentos de onda do espectro visvel. Mase atomos num gas em gas em baixa pressaosao excitados por uma descarga eletrica, elesemitem luz com comprimentos de onda es-pecficos que sao caractersticos do elementoou do composto.

Como a energia de um foton esta relaci-onada ao seu comprimento de onda atraves

de E = hf = hc/, um conjunto discreto decomprimentos de onda implica um conjuntodiscreto de energias. A conservacao de ener-gia entao implica que, se um atomo absorveum foton, sua energia interna aumenta poruma quantidade discreta, uma quantidadeigual a` energia do foton. Isto tambem im-plica que, se um atomo emite um foton, suaenergia interna diminui por uma quantidadediscreta que e igual a` energia do foton.

Entretanto, a razao para quantizacao dosnveis de energia em atomos e outros siste-mas permaneceu um misterio ate a desco-berta da natureza ondulatoria dos eletrons.

1.4 Eletrons e ondas de materiaEm 1897, Thomson mostrou que os raios deum tubo de raios catodicos podem ser des-viados por campos eletricos e magneticose, portanto, devem ser compostos departculas carregadas eletricamente. Me-dindo os desvios destas partculas, Thom-son mostrou que todas as partculas tinhama mesma razao cargamassa q/m.

Ele mostrou que todas as partculas comesta razao cargamassa podem ser obtidasusando qualquer material para o catodo, oque significa que estas partculas, agora cha-madas de eletrons, sao constituintes funda-mentais de toda a materia.

Figura 3 Tubo de raios catodicos deThomson

SumrioDualidade onda-partcula e mecnica qunticaOndas e partculasLuz: de Newton a MaxwellA natureza corpuscular da luz: ftonsO efeito fotoeltricoEspalhamento ComptonQuantizao da energia em tomos

Eltrons e ondas de matria