estimasi parameter regresi logistik multinomial

ESTIMASI PARAMETER REGRESI LOGISTIK

MULTINOMIAL MENGGUNAKAN

MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

BHISTOK JAYA BOY MARTAHAN SITINJAK

160803079

S1-MATEMATIKA

DEPARTEMENMATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2021




MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar

Sarjana Sains

BHISTOK JAYA BOY MARTAHAN SITINJAK

160803079

S1-MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM


MEDAN

2021


PERNYATAAN ORISINALITAS



MAKSIMUM LIKELIHOOD

SKRIPSI

Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa

kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 11 Februari 2021

Bhistok Jaya Boy Martahan Sitinjak

160803079


i


ii



MAKSIMUM LIKELIHOOD

ABSTRAK

Skripsi ini membahas penaksiran parameter pada regresi logistik multinomial.

Regresi logistik multinomial atau disebut juga model logit politomus adalah model

regresi yang digunakan untuk menyelesaikan kasus regresi dengan variabel terikat

berbentuk multinomial (lebih dari dua kategori) dengan satu atau lebih variabel

bebas. Pada regresi logistik multinomial estimasi parameter yang digunakan adalah

estimasi maksimum likelihood ( maximum likelihood estimation). Transformasi

logit dilakukan untuk mendapat model regresi logistik multinomial. Uji parameter

yang digunakan adalah uji simultan atau secara keseluruhan variabel dan uji parsial

atau secara sebagian.

Kata Kunci : Estimasi Maksimum Likelihood, Regresi Logistik Multinomial


iii



MAKSIMUM LIKELIHOOD

ABSTRACT

This thesis discusses parameter estimation in multinomial logistic regression.

Multinomial logistic regression or also called polytomial logit model is a

regression model used to solve regression cases with the dependent variable in the

form of multinomial (more than two categories) with one or more independent

variables. In multinomial logistic regression, the parameter estimation used is the

maximum likelihood estimation. Logit transformation was performed to obtain a

multinomial logistic regression model. The parameter test used is the simultaneous

test or the whole variable and partial or partial test.

Keywords: Maximum Likelihood Estimation, Multinomial Logistic Regression


iv

PENGHARGAAN

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala rahmat dan

karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini dengan

judul “Estimasi Parameter Regresi Logistik Multinomial Menggunakan

Maksimum Likelihood”.

Dalam penyusunan skripsi ini tidak terlepas dukungan dari berbagai pihak.

Penulis secra khusus mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada

semua pihak yang telah membantu. Penulis banyak menerima bimbingan, petunjuk

dan bantuan serta dorongan dari berbagai pihak baik yang bersifat moral maupun

material. Oleh karena itu pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima

kasih kepada:

1. Bapak Dr. Muryanto Amin, S.Sos, M.Si selaku Rektor Universitas Sumatera

Utara (USU) beserta jajarannya.

2. Bapak Prof. Dr. Kerista Sebayang, M.S selaku Dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara (FMIPA USU)

beserta jajarannya.

3. Bapak Dr. Suyanto, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si selaku

Ketua dan Sekertaris Departemen Matematika FMIPA USU.

4. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dosen Pembimbing dan Pembimbing

Akademik penulis, yang telah memberikan arahan, saran dan motivasi

kepada penulis serta telah meluangkan waktu dalam pengerjaan skripsi ini.

5. Ibu Dr. Elly Rosmaini, M.Si dan Ibu Dr. Dra. Rahmawati Pane, M.Si selaku

Dosen Pembanding yang telah memberikan arahan, kritik dan saran yang

membangun kepada penulis dalam pengerjaan skripsi ini.

6. Ayahanda Polmer Sitinjak dan Ibunda Suharni Sinaga yang telah

memberikan dukungan baik secara material dan moral serta Saudara

penulis, Adhit Sitinjak dan Gamaliel Sitinjak yang telah memberikan

semangat, motivasi, nasihat dan doa kepada penulis.


v

7. Orang-orang yang saya kasihi teman semasa SMA dan kuliah Miranda

Simbolon, BPH HMM Periode 2019/2020 dan semua rekan-rekan

Mahasiswa/i angkatan 2016 yang telah memotivasi dan memberikan

semangat kepada penulis dalam penyelesaian skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa dalam proses penulisan skripsi ini masih jauh dari

kesempurnaan baik materi maupun cara penulisannya. Oleh karena itu, penulis

mengharapkan kritik dan saran yang membangun demi penyempurnaan skripsi ini.

Akhir kata, penulis mengucapkan terimakasih dan semoga penelitian ini dapat

bermanfaat.

Medan, 11 Februari 2021

Penulis,

Bhistok Jaya Boy M Sitinjak


vi

DAFTAR ISI

Halaman

PENGESAHAN SKRIPSI i

ABSTRAK ii

ABSTRACT iii

PENGHARGAAN iv

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR LAMPIRAN ix

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Manfaat Penelitian 4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Regresi 5

2.1.1 Model Regresi Linear 6

2.1.2

Model Regresi Non Linear 7

2.2 Regresi Logistik 8

2.3 Regresi Logistik Multinomial 8

2.3.1 Estimasi Parameter 10

2.4 Pengujian Parameter 13

2.4.1 Pengujian Parameter dengan Uji Simultan

(Uji G)

13

2.4.2 Pengujian Parameter dengan Uji Wald

(Uji Parsial)

14

2.5 Uji Kebaikan Model 14

2.6 Koefisien Determinasi 15

2.7 Odd Ratio 16

BAB 3 METODE PENELITIAN

3.1 Studi Literatur 18

3.2 Metode Pengumpulan Data 18

3.3 Metode Pengolahan Data 19

3.4 Kerangka Penelitian 20

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Regresi Logistik Multinomial 21

4.2 Transformasi Logit pada Model Regresi Multinomial 23

4.3 Metode Maksimum Likelihood 24

4.3.1 Iterasi Pertama 27

4.3.2 Iterasi Kedua 29


vii

4.3.3 Iterasi Ketiga 31

4.4 Uji Parameter 33

4.4.1 Uji Simultan 35

4.4.2 Uji Parsial 35

4.5 Uji Kebaikan Model (gooodness of fit) 37

4.6 Koefisien Determinasi 37

4.7 Pemodelan Regresi Logistik Multinomial 38

4.8 Interpretasi Model 39

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan 42

5.2 Saran 42

DAFTAR PUSTAKA 43

LAMPIRAN 45


viii

DAFTAR TABEL

Nomor

Tabel Judul Halaman

3.1 Variabel dependen 18

3.2 Variabel independen 19

4.1 Hasil Penduga Parameter 34

4.2 Uji Simultan 35

4.3 Hasil Uji Parsial untuk semua variabel 35

4.4 Hasil Uji Parsial untuk variabel yang berpengaruh 36

4.5 Hasil Uji Kebaikan Model 37

4.6 Hasil Koefisien Determinasi 38

4.7 Uji Koefisien Determinasi untuk variabel yang berpengaruh 38

4.8 Hasil Uji Odds Ratio 40


ix

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor

Lampiran Judul Halaman

1 Metode Newton Raphson 45

2 Data Pasien Penyakit Diabetes Mellitus 54

3 Output SPSS untuk Pendugaan Parameter 59

4 Output SPSS untuk Uji Simultan 60

5 Output SPSS untuk Uji Parsial (Wald) 61

6 Output SPSS untuk Uji Kebaikan Model 62

7 Output SPSS untuk Uji Koefisien Determinasi 63

8 Output SPSS untuk Uji Odd Ratio 64


BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Statistika adalah ilmu pengetahuan yang membahas tentang cara-cara

pengumpulan fakta, pengolahan serta analisis pembuatan keputusan dan

penarikan kesimpulan yang cukup beralasan berdasarkan fakta dan pengolahan

data yang dilakukan. Salah satu analisis pada statistika adalah analisi regresi.

Analisis regresi adalah salah satu penelitian terapan kuantitatif yang

memberikan keleluasaan kepada peneliti untuk menyusun model hubungan

atau pengaruh beberapa variabel independen terhadap variabel dependent.

Analisis regresi digunakan untuk mempelajari hubungan antara dua

variabel atau lebih, dengan maksud bahwa dari hubungan tersebut dapat

memperkirakan besarnya dampak kuantitatif yang terjadi dari perubahan suatu

kejadian terhadap kejadian lainnya. Berdasarkan pola hubungannya analisis

regresi dibagi menjadi 2 yaitu analisis regresi linear dan analisi regresi non-

linear.

Pada model regresi linear diasumsikan bahwa peluang variabel

independen X dalam contoh acak bersifat tetap dan bukan nilai peubah acak

dan peluang variabel dependen Y merupakan peluang acak kontinu yang

diasumsikan saling bebas dan menyebar normal. Adakalanya peluang variabel

dependen berupa peluang dikotomi. Peluang dikotomi adalah peluang

indikator yang terdiri atas data biner, bernilai 1 atau 0. Data tersebut

dibangkitkan dari pemetaan numerik dari satu tindakan atau percobaan yang

menghasilkan hanya dua kemungkinan kejadian.

Data yang mengandung peluang respon biner tidak dapat dianalisis regresi

linear biasa, karena penduga parameter pada regresi linear mengguakan metode

kuadrat terkecil yang mengasumsikan data menyebar normal dengan ragam

homogen. Asumsi-asumsi ini tidak dipenuhi oleh data biner, jika asumsi-

asumsi ini diabaikan maka model yang diperoleh tidak sesuai dengan keadaan

sebenarnya. Oleh karena itu model yang tepat untuk menyelidiki hubungan


2

antara peluang respon biner dengan peluang penjelasnya adalah menggunakan

analisis regresi logistik.

Regresi logistik adalah salah satu bentuk regresi non-linear yang

mempunyai variabel dependen yang diskrit dan mempunyai sebaran binomial,

sedangkan variable independennya dapat terdiri dari variabel yang continu,

diskrit, dikotomus, ataupun gabungannya. Regresi logistik terbagi menjadi dua

yaitu regresi logistik biner dan logistik multinomial.

Regresi logistik biner adalah suatu analisis regresi yang digunakan untuk

menggambarkan hubungan antara variabel independen dengan sekumpulan

variabel dependen, dimana variabel dependen bersifat biner atau dikotomus.

Variabel dikotomus adalah variabel yang hanya mempunyai dua kemungkinan

nilai, misalnya sukses dan gagal. Sedangkan variabel independen sering

disebut juga dengan covariate. Hasil pengukuran suatu variabel seringkali

mempunyai ciri berupa dua atau lebih kemungkinan nilai yang dikenal sebagai

variabel kategorik. Variabel kategorik yang tidak memiliki urutan disebut

sebagai variabel nominal sedangkan yang memiliki urutan disebut variabel

ordinal. Kedua jenis variabel ini, baik nominal maupun ordinal sering disebut

juga sebagai variabel multinomial. Regresi logistik multinomial, yang tidak

mempertimbangkan sifat ordinal data, juga dapat diterapkan untuk meneliti

sebuah variabel ordinal maupun memanfaatkan sifat ordinal data dapat

meningkatkan keserderhanaan dan kekuatan model (Agresti, 2002). Model

regresi logistik multinomial efektif digunakan pada variabel terikat yang terdiri

atas banyak kategori (Zulfikri, 2014).

Regresi logistik dan regresi linear mempunyai tujuan yang sama yaitu

menyelidiki variabel dependen dengan satu atau lebih variabel independen.

Keduanya mengestimasi parameter model yang diharapkan. Analisis regresi

menggunakan variabel dependen kontinu, sedangkan analisi regresi logistik

menggunakan variabel dependen kategorik.

Metode yang dapat digunakan untuk mengestimasi parameter model

regresi logistik, yaitu metode moment, noniterative weighted least square

methods, dan maximum likelihood methods. Metode momen adalah metode


3

tertua yang paling lama digunakan. Metode ini memiliki prosedur yang paling

mudah dalam memperoleh estimator atau penduga dari satu atau lebih

parameter populasi dan dasar metode momen yaitu mendapatkan estimasi

parameter populasi dengan menyamakan momen-momen populasi dengan

momen-momen sample. Metode noniterative weighted least square methods

dapat digunakan dalam kasus multivariable, meskipun penerapan pendekatan

noniterative weighted least square methods dibatasi oleh perkiran 𝜋(𝑥) bukan

nol atau 1 untuk sebagian besar nilai X dalam kumpulan data. . Dengan jumlah

variabel independen yang besar, atau bahkan beberapa variable kontinu,

kondisi ini yang tidak akan bertahan.

Salah satu metode yang lebih umum dan digunakan pada sebagian besar

paket program komputer adalah Maximum likelihood . Maximum likelihood

merupakan dasar pendekatan dalam menaksirkan parameter pada model regresi

logistik. Pada dasarnya metode maksimum likelihood memberikan nilai

taksiran parameter dengan memaksimalkan fungsi likelihood. Untuk itu

digunakan uji dan hipotesis statistik untuk menentukan apakah variabel

independen dalam model signifikan atau berpengaruh secara nyata terhadap

variabel dependen.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di latar belakang didapati terdapat beberapa metode

untuk menaksir parameter regresi logistik multinomial yaitu, metode moment,

noniterative weighted least square methods, dan maximum likelihood. Metode

moment umum digunakan untuk menaksir parameter pada analisi regresi,

tetapi tidak dapat digunakan dalam kasus multivariable. Sedangkan metode

noniterative weighted least square methods dapat digunakan dalam kasus

multivariable, tetapi metode tersebut memiliki batasan dalam pengumpulan

data. Oleh karena itu, metode estimasi parameter yang cocok untuk menaksir

parameter adalah metode maksimum likelihood karena dapat digunakan pada

data multivariabel dan tidak memiliki batasan dalam pengumpulan data.

1.3 Batasan Masalah

Agar penelitian yang dilakukan dapat menghasilkan penelitian yang fokus

dan akurat, maka diberikan batasan masalah dalam penelitian ini yaitu :


4

1. Model regresi logistik yang akan diestimasi adalah model regresi

logistik multinomial.

2. Metode maksimum likelihood digunakan sebagai metode untuk

mengestimasi model regresi logistik multinomial.

1.4 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mengestimasi parameter regresi logistik

multinomial dengan menggunakan estimasi maksimum likelihood.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Bagi penulis mengetahui tentang proses dan hasil dari menentukan

model regresi logistik multinomial dengan penaksiran parameter

menggunakan metode maksimum likelihood.

2. Bagi pembaca dapat memberikan pengetahuan dan gambaran mengenai

langkah serta hasil dari model regresi logistik multinomial dengan

penaksiran parameter menggunakan metode maksimum likelihood.


BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan disampaikan teori dan konsep yang berkaitan dengan

pemodelan regresi logistik multinomial dan penduga parameter dengan metode

maksimum likelihood. Akan diuraikan tata cara uji parameter, uji kebaikan

model dan odd ratio untuk mendapatkan model logit terbaik. Semua materi

yang dijelaskan berguna untuk mengolah data regresi logistik multinomial.

2.1 Analisis Regresi

Analisis regresi merupakan alat analisis statistik yang mempelajari pola

dan mengukur hubungan antara dua atau lebih variabel. Tujuannya adalah

untuk membuat perkiraan (prediksi) yang dapat dipercaya untuk nilai suatu

variabel dependen, jika nilai variabel independen yang berhubungan

dengannya diketahui.

Dalam analisis regresi, suatu persamaan regresi digunakan untuk

menggambarkan pola atau fungsi hubungan yang terdapat antar variabel.

Variabel yang akan diestimasi nilainya disebut variabel dependen dan biasanya

di plot pada sumbu tegak (sumbu 𝑌), sedangkan variabel yang diasumsikan

memberikan pengaruh terhadap variasi variabel dependen disebut variabel

independen dan biasanya di plot pada sumbu datar (sumbu 𝑋). Variabel

independen dinotasikan denganm𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑘(k ≥ 1) sedangkan variabel

dependen dinotasikan dengan 𝑌. Hubungan fungsional antara kedua variabel

tersebut akan dituliskan dalam persamaan matematik (persamaan regresi) yang

akan bergantung pada parameter-parameter.

Berdasarkan pola hubungannya, analisis regresi terbagi menjadi dua,

yaitu regresi linear dan regresi non linear. Hal ini bergantung pada data

variabel 𝑋 dan 𝑌 yang ditebarkan pada scatter plot. Jika data tersebut

membentuk sebuah garis lurus, maka disebut regresi linear, sedangkan jika

data yang ditebarkan tidak mengikuti garis lurus tetapi mengikuti suatu bentuk

kurva tertentu, maka disebut regresi non linear.


6

2.1.1 Model Regresi Linear

Regresi linear terbagi menjadi dua, yaitu regresi linear sederhana dan

regresi linear berganda. Regresi linear sederhana digunakan untuk mengamati

pengaruh satu variabel independen terhadap variabel dependen. Regresi linear

berganda mengamati pengaruh beberapa (minimal dua) variabel independen

terhadap variabel dependen. Secara matematis, regresi linear berganda

dengan 𝑘 variabel independen (𝑋) dan satu variabel dependen (𝑌) dapat

dituliskan dalam persamaan berikut:

𝑌𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋𝑖1 + 𝛽2𝑋𝑖2 + ⋯ + 𝛽𝑘𝑋𝑖𝑘 + 휀𝑖; i = 1,2, …, n (2.2)

di mana:

𝑌𝑖 = variabel dependen (Y) ke-i yang dapat diamati

𝑋𝑖𝑗 = variabel independen 𝑋𝑗 ke-i yang dapat diamati (j = 1,2, …, k)

𝛽𝑘 = parameter-parameter yang tidak diketahui dari model

휀𝑖 = galat (error term) dalam pengamatan i (diasumsikan berdistribusi normal

dengan rata-rata nol dan varians 𝜎2 )

Bila dirinci untuk setiap pengamatan:

𝑌1 = 𝛽0+𝛽1𝑋11+𝛽2𝑋12+⋯+𝛽𝑘𝑋1𝑘+휀1

𝑌2 = 𝛽0+𝛽1𝑋21+𝛽2𝑋22+⋯+𝛽𝑘𝑋2𝑘+휀2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮

𝑌𝑛 = 𝛽0+𝛽1𝑋𝑛1+𝛽2𝑋𝑛2+⋯+𝛽𝑘𝑋𝑛𝑘+휀𝑛

Dengan cara matriks dapat distulis sebagai berikut:

[

𝑌1𝑌2

⋮𝑌𝑛

] = [

1 𝑋11 𝑋12 ⋯ 𝑋1𝑘

1 𝑋21 𝑋22 ⋯ 𝑋2𝑘

⋮1

⋮𝑋𝑛1

⋮𝑋𝑛2

⋯⋯

⋮𝑋𝑛𝑘

] +

[ 𝛽0

𝛽1

𝛽2

⋮𝛽𝑘]

+[

휀1휀2

⋮휀𝑘

]

Jika Y, X, β, dan ε didefinisikan sebagai notasi matriks masing-masing

dalam urutan 𝑛 ×1, 𝑛 × (𝑘 + 1), (𝑘 + 1) × 1, dan 𝑛 ×1. Maka, persamaan

(2.2) dapat disederhanakan menjadi:

Y = Xβ + ε (2.3)

di mana ε adalah sisa (error) berdistribusi normal yang saling bebas

dengan ekspektasi E(ε) = 0 dan dispersi (kovarians) Cov(ε) = 𝜎2I,


7

dengan I adalah matriks identitas 𝑛 × 𝑛 dan X biasanya ditetapkan

sebagai matriks desai model.

Asumsikan bahwa persamaan (2.3) adalah model yang tetap. Prinsip

dari metode kuadrat terkecil (ordinary least square) adalah menentukan

(mengestimasi) �̂� yang meminimumkan jumlah kuadrat error 휀𝑇 ε, di

mana 𝑇 melambangkan matriks transpose. Jumlah kuadrat dapat ditulis

sebagai fungsi dari β, dalam persamaan berikut:

S(β) = (𝐘 − 𝐗𝛃)𝐓(𝐘 − 𝐗𝛃) (2.4)

S(β) adalah bilangan asli non negative dari fungsi kuadratik,

sehingga dapat dipastikan terdapat nilai minimum berhingga dari S(β).

Solusi untuk β, yang dinotasikan dengan �̂� diminimalkan oleh S(β)

sebagai hasil dari solusi persamaan normal. Solusi tersebut adalah

estimator kuadrat terkecil dari β dalam persamaan berikut:

�̂� = (𝐗𝐓𝐗)−𝟏(𝐗𝐓𝐘) (2.5)

2.1.2 Model Regresi Non Linear

Model regresi linear memberikan kerangka kerja yang luas dan fleksibel

sesuai dengan kebutuhan banyak analisis, namun model ini tidak sesuai untuk

semua situasi. Hubungan antara variabel dependen dan variabel independen

dapat berupa persamaan diferensial atau solusi untuk persamaan diferensial.

Hal ini akan mengarah pada bentuk non linear.

Menurut Montgomery et al. (1992) model regresi non linear dalam

parameter adalah suatu model yang apabila didiferensialkan hasilnya masih

merupakan fungsi dalam parameter tersebut. Macam-macam model regresi

non linear diantaranya adalah model parabola kuadratik, model parabola

kubik, model eksponen, model geometrik, model gompertz, model hiperbola,

dan model logistik. Model regresi non linear dalam parameter 𝜃 dapat

dituliskan sebagai berikut:

𝑦𝑖 = f(𝑥𝑖, 𝜃) + 휀𝑖 , i = 1, 2, … , n. (2.6)

di mana :

𝑦𝑖 = variabel terikat ke- i

𝑥𝑖 = variabel bebas ke- i

𝜃 = parameter yang tidak diketahui


8

휀𝑖 = error, dimana 휀 ~N(0, 𝜎2)

2.2 Regresi Logistik

Regresi logistik adalah bagaimana satu variabel yaitu variabel

dependen dipengaruhi oleh satu atau lebih variabel lain yaitu variabel

independen dengan tujuan untuk memprediksi nilai rata-rata variabel

dependen yang didasarkan pada nilai variabel independen (Widarjono, 2010).

Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000), tujuan melakukan analisis data

menggunakan regresi logistik adalah untuk mendapatkan model terbaik dan

sederhana, tetapi model tersebut sejalan dengan tinjauan dari ilmu biologi

untuk menjelaskan hubungan antara hasil variabel dependen dengan variabel

independen.

2.3 Regresi Logistik Multinomial

Regresi logistik multinomial (nominal dan ordinal) merupakan salah

satu pendekatan pemodelan yang dapat digunakan untuk mendeskripsikan

hubungan beberapa variabel independen dengan suatu variabel dependen

multinomial(polytomous).

Data berskala nominal merupakan data dengan angka yang diberikan

kepada objek mempunyai arti sebagai label dan tidak menunjukkan tingkatan

apapun. Sedangkan data ordinal merupakan data yang menunjukkan suatu

tingkatan pada variabel dependennya. Apabila terdapat k yang berarti

banyaknya kategori pada variabel independen maka model logistik yang

terbentuk sebanyak k - 1. Menurut Agresti (1990), model umum regresi

logistik multinomial untuk p banyaknya variabel dependen yang dinyatakan

dalam vektor 𝑥𝑖 seta probabilitas kategori independen ke-k sebagai berikut:

𝜋𝑘(𝑥𝑖) = 𝑃(𝑦 = 𝑘|𝑥𝑖) =exp(𝑔𝑘(𝑥𝑖))

∑ exp (𝑔𝑗(𝑥𝑖))𝑘−1𝑗=0

(2.7)

Jika ada urutan pada kategori dependen (respon ordinal) maka model

yang digunakan regresi logistik ordinal. Misalkan z adalah variabel kontinu

yang dapat dipotong-potong dengan titik-titik 𝐶1 , … , 𝐶𝑗−1 untuk

mendefinisikan j kategori ordinal yang masing-masing dengan peluang

𝜋1, … , 𝜋𝑗 dimana ∑ 𝜋𝑖 = 1𝑗𝑖=1 . Ada beberapa model yang dapat digunakan


9

untuk regresi logistik ordinal ini, antara lain model logit kumulatif,

proportionalodds, adjacent categories logit, dan continuation ratio logit.

Cumulative odds untuk kategori ke-j adalah

𝑃(𝑧 ≤ 𝐶𝑗)

𝑃(𝑧 > 𝐶𝑗)=

𝑥1 + ⋯+ 𝑥𝑗

𝑥𝑗 + 1 + ⋯ + 𝑥𝑗

Sehingga model kumulatif logit adalah

log (𝑥1+⋯+𝑥𝑗

𝑥𝑗+1+⋯+𝑥𝑗) = 𝑥𝑗

𝑇𝛽𝑗 (2.8)

Jika penduga linier 𝑥𝑗𝑇𝛽𝑗 pada persamaan (2.8) memiliki intercept 𝛽0𝑗

untuk kategori ke-j tetapi variabel kovariat tidak tergantung pada j, maka

digunakan model proportional odds, yaitu

log (𝑥1+⋯+𝑥𝑗

𝑥𝑗+1+⋯+𝑥𝑗) = 𝛽0𝑗 + 𝛽1𝑥1 + ⋯+ 𝛽𝑝−1𝑥𝑝−1 (2.9)

Alternatif lainnya dari model kumulatif odd adalah rasio dari peluang

sukses untuk kategori yang bersebelaha, yaitu

𝜋1

𝜋2 ,

𝜋2

𝜋3 , … ,

𝜋𝑗−1

𝜋𝑗

Sehingga model adjacent logit menjadi

log (𝜋𝑗

𝜋𝑗+1) = 𝑥𝑗

𝑇𝛽𝑗 (2.10)

Model rasio peluang lainnya adalah

𝜋1

𝜋2

,𝜋1 + 𝑝𝑖2

𝜋3

, … ,𝜋𝑖 + ⋯+ 𝜋𝑗−1

𝜋𝑗

Atau

𝜋1

𝜋2 + ⋯+ 𝜋𝑗 ,

𝑝𝑖2

𝜋3 + ⋯ + 𝜋𝑗 , … ,

𝜋𝑗−1

𝜋𝑗

Sehingga model logit rasio menjadi


10

log𝜋𝑗

𝜋𝑗+1+⋯+𝜋𝑗=𝑥𝑗

𝑇𝛽𝑗 (2.11)

2.3.1 Estimasi Parameter

Metode estimasi yang mengarah pada metode least squares dalam

model regresi linear disebut maximum likelihood estimation (Hosmer dan

Lemeshow, 1989). Metode tersebut mengestimasi parameter β dengan cara

memaksimumkan dengan mensyaratkan data harus mengikuti distribusi

tertentu. Pada regresi logistik, setiap pengamatan dapat ditentukan fungsi

likelihood-nya.

Jika 𝑥𝑖 dan 𝑦𝑖 adalah variabel independen dan variabel dependen yang

saling independensi, i = 1,2, …, n maka fungsi probabilitas untuk setiap

pasangan (𝑥𝑖, 𝑦𝑖) adalah sebagai berikut:

𝑓(𝑥) = 𝜋(𝑥𝑖)𝑦𝑖(1 − 𝜋(𝑥𝑖))

1−𝑦𝑖; 𝑦𝑖 = 0,1 (2.12 )

dengan:

𝜋(𝑥𝑖) =𝑒

(∑ 𝛽𝑗𝑥𝑗𝑝𝑗=0 )

1 + 𝑒(∑ 𝛽𝑗𝑥𝑗

𝑝𝑗=0

) (2.13)

di mana ketika j = 0 maka nilai 𝑥𝑖𝑗 = 𝑥𝑖0 = 1. Setiap pasangan pengamatan

diasumsikan bebas sehingga fungsi likelihood-nya merupakan gabungan dari

fungsi distribusi masing-masing pasangan , sebagai berikut:

𝑙(𝛽) = ∏ 𝑓(𝑥𝑖) = ∏ 𝜋(𝑥𝑖)𝑦𝑖(1 − 𝜋(𝑥𝑖))

1−𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

(2.14)

Berdasarkan persamaan (2.14) akan dicari log likelihood untuk

mempermudah proses perhitungan selanjutnya, karena akan mencapai

maksimum pada 𝛽 yang sama. Persamaan tersebut dapat diubah menjadi:

𝐿(𝛽) = ln 𝑙(𝛽)

= ln ∏ 𝜋(𝑥𝑖)𝑦𝑖(1 − 𝜋(𝑥𝑖))

1−𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1


11

= ∑ ln𝜋(𝑥𝑖)𝑦𝑖(1 − 𝜋(𝑥𝑖))

𝑛𝑖−𝑦𝑖

𝑛

𝑖=1

= ∑ ln [(𝜋(𝑥𝑖)

1 − 𝜋(𝑥𝑖))

𝑦𝑖

(1 − 𝜋(𝑥𝑖))𝑛𝑖

]

𝑛

𝑖=1

= ∑ [𝑦𝑖ln (𝜋(𝑥𝑖)

1 − 𝜋(𝑥𝑖)) + 𝑛𝑖 ln(1 − 𝜋(𝑥𝑖))]

𝑛

𝑖=1

Dengan melakukan substitusi persamaan (2.14) diperoleh:

𝐿(𝛽) = [𝑦𝑖 ∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗 + 𝑛𝑖 ln1

1 + 𝑒∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗

𝑝𝑗=0

𝑝

𝑗=0

]

= [𝑦𝑖 ∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗 + 𝑛𝑖 ln (1 + 𝑒∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗

𝑝𝑗=0 )

−1𝑝

𝑗=0

]

= [𝑦𝑖 ∑𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗

𝑝

𝑗=0

− 𝑛𝑖 ln (1 + 𝑒∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗

𝑝𝑗=0 )]

sehingga,

𝐿(𝛽) = ∑[∑𝑦𝑖𝑥𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1

]𝛽𝑗 − ∑ 𝑛𝑖 ln [1 + 𝑒∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗

𝑝𝑗=0 ] (2.15)

𝑛

𝑖=1

𝑝

𝑗=0

Persamaan (2.15) dideferensialkan terhadap β untuk memperoleh nilai

estimator �̂�0, �̂�1, … , �̂�𝑘 yang memaksimumkan 𝐿(𝛽).

𝜕𝐿(𝛽)

𝜕𝛽𝑗= ∑ ∑

𝜕

𝜕𝛽𝑗

(𝑥𝑖𝑗𝑦𝑖𝛽𝑗) − ∑ 𝑛𝑖

𝜕

𝜕𝛽𝑗

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=0

𝑝

𝑗=0

[ln (1 + 𝑒∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗

𝑝𝑗=0 )]

= ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑦𝑖 + ∑𝑛𝑖 (∑ 𝑥𝑖𝑗𝑒

∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗𝑝𝑗=0𝑝

𝑗=0

1 + 𝑒∑ 𝛽𝑗𝑥𝑖𝑗

𝑝𝑗=0

)

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑝

𝑗=0


12

= ∑∑ 𝑥𝑖𝑗𝑦𝑖 + ∑ ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖𝑗 (𝑒

(∑ 𝛽𝑗𝑥𝑗𝑝𝑗=0 )

1 + 𝑒(∑ 𝛽𝑗𝑥𝑗

𝑝𝑗=0

))

𝑝

𝑗=0

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

𝑝

𝑗=0

Menurut definisi model regresi logistik pada persamaan 2.13, maka

persamaa yang didapat sebagai berikut:

𝜕𝐿(𝛽)

𝜕𝛽𝑗= ∑ 𝑦𝑖𝑥𝑖𝑗 − ∑ 𝑛𝑖𝑥𝑖𝑗𝜋(𝑥𝑖)

𝑛

𝑖=1

(2.16)

𝑛

𝑖=1

Selanjutnya persamaan (2.16) disamakan dengan nol, namun sering kali

diperoleh hasil yang eksplisit, sehingga dilakukan metode numerik untuk

memperoleh estimasi parameternya, yaitu metode iterasi Newton Raphson untuk

memaksimumkan fungsi likelihood. Metode Newton Raphson adalah metode

iterasi untuk menyelesaikan persamaan non linear (Agresti, 2007). Langkah-

langkah iterasi Newton Raphson diberikan sebagai berikut:

1. Menentukan nilai taksiran awal estimasi parameter �̂�(0). Taksiran yang

digunakan sama seperti pada regresi linear pada persamaan (2.5)

dengan

𝑋 = [

1 𝑥11𝑥12 ⋯ 𝑥1𝑝

1 𝑥21𝑥22 ⋯ 𝑥2𝑝

⋮1

⋮𝑥𝑛1

⋮𝑥𝑛2

⋯

⋯

⋮𝑥𝑛𝑝

]; Y = [

𝑦1

𝑦2

⋮𝑦

𝑛

]

2. Membentuk vector gradien

𝑔(𝑡)(𝑔(𝑡)) = (𝜕𝑙(𝛽)

𝜕𝛽0), (

𝜕𝑙(𝛽)

𝜕𝛽1), … , (

𝜕𝑙(𝛽)

𝜕𝛽𝑃)

Dengan p adalah banyaknya variabel independen.

3. Membentuk Matriks Hessian H

𝐻(𝑡)(𝛽(𝑡)) =

[ 𝜕2𝑙𝑛𝐿(𝛽)

𝜕𝛽02

𝜕2𝑙𝑛𝐿(𝛽)

𝜕𝛽0𝜕𝛽1

…𝜕2𝑙𝑛𝐿(𝛽)

𝜕𝛽0𝜕𝛽𝑝


𝜕𝛽0𝜕𝛽1


𝜕𝛽12


𝜕𝛽1𝜕𝛽𝑝…





……


𝜕𝛽𝑝2 ]

4. Memasukan nilai �̂�(0) ke dalam elemen vector g dan matriks H

sehingga diperoleh vektor 𝑔(𝑡)(𝛽(𝑡)) dan matriks 𝐻(𝑡)(𝛽(𝑡))


13

5. Iterasi dimulai dari t = 0 dilakukan iterasi pada persamaan berikut:

𝛽(𝑡+1) = 𝛽(𝑡)−(𝐻(𝑡)(𝛽(𝑡)))−1

𝑔(𝑡)(𝛽(𝑡))

Nilai 𝛽(𝑡) merupakan sekumpulan estimator parameter yang konvergen

pada iterasi ke-t.

6. Apabila belum diperoleh estimator parameter yang konvergen, maka

kembali pada langkah sebelumnya hingga iterasi ke t = t + 1. Iterasi

akan berhenti jika |𝛽(𝑡+1) − 𝛽(𝑡)| < 휀 . Hasil estimasi yang diperoleh

adalah 𝛽(𝑡+1) pada iterasi terakhir.

2.4 Pengujian Parameter

Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000) pengujian terhadap

parameter model dilakukan sebagai upaya memeriksa peranan variabel

bebas terhadap model. Uji yang dilakukan ada dua yaitu:

2.4.1 Pengujian Parameter dengan Uji Simultan atau Uji G

Statistik uji G yaitu uji yang digunakan untuk menguji peranan

variabel bebas dalam model secara bersama-sama. Adapun pengujian

hipotesis yang dilakukan adalah:

𝐻0: 𝛽𝑗 = 0

𝐻1: 𝛽𝑗 ≠ 0 , 𝑗 = 1,2, . . , 𝑝

Digunakan uji statistik G, yaitu

𝐺 =𝐷(𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑎𝑛𝑝𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑎𝑡𝑖)

𝐷(𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑎𝑡𝑖)

= −2 ln [𝑙0

𝑙𝑘]

𝐺 = −2ln(𝑙0) − (−2 ln(𝑙𝑘))

dengan 𝑙0 adalah likelihood tanpa variabel independen dan 𝑙𝑘 adalah

likelihood dengan variabel independen.


14

Jika hipotesis nol benar, statistik uji G akan berdistribusi Chi-Square

dengan derajat bebas k, dengan k adalah banyaknya variabel independen

dalam model. Dengan demikian kriteria penolakan 𝐻0 adalah 𝐺 > 𝑋𝑘,⍺2

Untuk mengetahui 𝛽𝑗 mana yang berpengaruh signifikan, dapat

dilakukan uji parameter 𝛽𝑗 secara parsial dengan Uji Wald.

2.4.2 Pengujian Parameter dengan Uji Wald (Uji Parsial)

Pengujian variabel dilakukan satu per satu menggunakan statistik

Uji Wald (Hosmer dan Lemeshow, 2000). Hipotesis yang akan diuji adalah

sebagai beriut:

𝐻0: 𝛽𝑗 = 0

𝐻1: 𝛽𝑗 ≠ 0 , 𝑗 = 1, 2, 3,… , 𝑝

Statistik uji:

𝑊 = [�̂�𝑗

𝑆𝐸(𝛽�̂�)]2

; 𝑗 = 1, 2,… , 𝑝 (2.12)

Dengan �̂�𝑗 adalah penduga dari �̂�𝑗 dan 𝑆𝐸(𝛽�̂�) adalah standart error

dari 𝛽𝑗 (penduga galat baku dari 𝛽𝑗). W diasumsikan mengikuti distribusi

Chi-Square dengan derajat bebas 1. Menurut Utomo (2009) 𝐻0 akan ditolak

jika nilai 𝑊 > 𝑋(1;⍺)2 atau (p – value) < ⍺. Jika 𝐻0 ditolak maka dapat

disimpulkan bahwa 𝛽𝑗 signifikan. Dengan kata lain, variael independen X

secara parsial berpengaruh signifikan terhadap variabel dependen.

2.5 Uji kebaikan Model

Uji kebaikan model (goodness of fit) penting dilakukan untuk

mengetahui apakah model yang diperoleh sesuai atau tidak. Statistik uji

yang digunakan adalah Pearson dengan hipotesis:

𝐻0: model regresi logistik sesuai (tidak ada perbedaan yang nyata

antara hasil observasi dengan prediksi model)


15

𝐻1: model regresi logistik tidak sesuai (ada perbedaan yang nyata

antara hasil observasi dengan prediksi model)

Statistik uji yang digunakan adalah statisik uji Pearson dengan

rumus:

�̂� = ∑(𝑜𝑘 − 𝑛𝑘�̅�𝑘)

2

𝑛𝑘�̅�𝑘(1 − �̅�𝑘) (2.13)

𝑔

𝑘=1

di mana,

𝑜𝑘 : jumlah kejadian yang diamati di kelompok- k

𝑛𝑘 : jumlah observasi kelompok di kelompok- k

�̅�𝑘 : rata-rata kejadian kelompok- k

Statistik uji �̂� berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas g. 𝐻0

diterima apabila nilai (𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒) > ⍺ atau nilai �̂� ≤ 𝑋2 (Hosmer dan

Lemeshow, 2000).

2.6 Koefisien Determinasi

Koefisien determinasi (R-Square) adalah ukuran yang menunjukkan

seberapa besar viariasi dalam data kadar gula darah penderita diabetes

mellitus dapat dijelaskan oleh model regresi yang dibangun. Koefisien

seterminasi merujuk kepada kemampuan dari variabel independen dalam

menerangkan variabel dependennya. Besarnya nilai koefisien determinasi

pada model regresi logistik ditunjukkan oleh nilai Mc Fadden,

CoxanandSnell, dan Nagelkerke R-Square.

Pengujian koefisien determinasi dilakukan untuk melihat seberapa

besar variabel-variabel independen mempengaruhi nilai variabel dependen.

Suatu model dikatakan baik bila koefisien Nagelkerke lebih dari 70% yang

artinya bahwa variabel independen yang dibuat model mempengaruhi 70%

terhadap variabel dependen.


16

𝑅𝑀𝐹2 = 1 − [

𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐵

𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐴]

Dengan 𝑅𝑀𝐹2 merupakan koefisien determinasi McFadden. Berikut

adalah rumus untuk mencari koefisien determinasi Cox and Snell.

𝑅𝐶𝑆2 = 1 − exp [−

2

𝑛[𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑(𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐵) − 𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑(𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐴)]]

Dengan 𝑅𝐶𝑆2 merupakan koefisien determinasi Cox and Snell.

𝑅𝑀𝐴𝑋2 = 1 − exp [−

2

𝑛 x 𝑙𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑(𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙 𝐴)]

𝑅𝑁2 = [

𝑅𝐶𝑆2

𝑅𝑀𝐴𝑋2 ]

Dengan 𝑅𝑁2 merupakan koefisien determinasi Nagelkerke.

2.7 Odd Ratio

Menurut (Hosmer dan Lemeshow, 2000) rasio kecenderungan

adalah ukuran yang memperkirakan berapa besar kecenderungan variabel-

variabel independen terhadap variabel dependen. Odd Ratio berfungsi untuk

menginterpretasikan hubungan antara variabel independen dan variabel

dependen. Jika OR = 1 menunjukkan bahwa tidak ada hubungan antara

variabel independen dan variabel dependen. Jika OR > 1 menunjukkan

bahwa nilai peluang sukses lebih tinggi dari nilai yang dijadikan

pembanding. Sedangkan jika nilai OR < 1, maka peluang sukses lebih kecil

dari nilai yang dijadikan pembanding. Sebagai contoh model regresi logistik

multinomial dengan variabel dependen (Y) yang dari tiga kategori 1, 2 dan

3 dan dua variabel independen (X) yaitu 𝑋1 dan 𝑋2. Jika variabel

independen 𝑋1 berskala kategori yang terdiri dari dua kategori, yaitu 0 dan

1, sedangkan variabel terikat 𝑋2 kontinu, maka rumus Odd Ratio variabel

𝑋1 pada fungsi logit 1 adalah

𝜓 =𝑃(𝑌 = 1|𝑥 =,𝑋2)/𝑃(𝑌=𝑘|𝑥=1,𝑋2)

𝑃(𝑌 = 1|𝑥 = 0, 𝑋2)/𝑃(𝑌=𝑘|𝑥=0,𝑋2)= exp[𝛽1] (2.14)


17

Untuk 𝜓 = 0 berarti bahwa 𝑥 = 1 memiliki kecenderungan yang

sama dengan 𝑥 = 0 untuk menghasilkan 𝑌 = 1. Jika 1 < 𝜓 < ∞ berarti

𝑥 = 1 memiliki kecenderungan lebih besar 𝜓 kali dibandingkan 𝑥 = 0

untuk menghasilkan 𝑌 = 1 dan sebaliknya untuk 0 < 𝜓 < 1


BAB III

METODE PENELITIAN

Pada bab ini akan disampaikan studi literatur, metode pengumpulan

data, metode pengolahan data dan kerangkan penelitian mengenai ”Estimasi

Parameter Regresi Logistik Multinomial Menggunakan Metode Maksimum

Likelihood”.

3.1 Studi Literatur

Penelitian ini bersifat literatur dan melakukan studi kepustakaan

untuk mengkaji dan menelaah berbagai buku, jurnal, karya ilmiah, laporan

dan berbagai tulisan lainnya yang berkaitan dengan pokok permasalahan

yang dibahas dalam penelitian ini.

3.2 Metode Pengumpulan Data

Data yang digunakan pada penulisan skripsi ini adalah diperoleh dari

peneliatian Universitas Standford tentang penyakit Diabetes Mellitus tahun

2004 (https://web.stanford.edu/~hastie/Papers/LARS/diabetes.data). Pada

skripsi ini data dikelompokkan sesuai dengan kategori yang ditentukan

dengan mengambil sampel sebanyak 100 pasien. Faktor usia, jenis kelamin,

indeks massa tubuh, tekanan darah, dan 5 ukuran serum darah merupakan

variabel independen dari variabel dependenkadar gula darah penyakit

diabete mellitus. Tabel 3.1 menunjukkan variabel independen dan variabel

dependen.

Tabel 3.1 Variabel dependen

Variabel Nama Variabel Kode Keterangan

Dependen

Kadar Gula Darah Y 1 = Rendah (<100 mg/dl)

2 = Normal (100-140

mg/dl)

3 = Tinggi (>140 mg/dl)


https://web.stanford.edu/~hastie/Papers/LARS/diabetes.data

19

Tabel 3.2 Variabel independen

Independen Usia 𝑋1 Skala Rasio

Jenis Kelamin 𝑋2 1 = Laki-laki

2 = Perempuan

Indeks Massa

Tubuh

𝑋3 1 = Kurus (<18,5 kg)

2 = Ideal (18,5 – 24,9 kg)

3 = Gemuk (>24,9 kg)

Tekanan Darah 𝑋4 1 = Rendah (<100 mmHg)

2 = Normal (100-120

mmHg)

3 = Tinggi (>120 mmHg)

Tingkat Kolesterol 𝑋5 Skala Rasio

Low Density

Lipoprotein

𝑋6 Skala Rasio

High Density

Lipoprotein

𝑋7 Skala Rasio

Thyrocalcitonin

Hormone

𝑋8 Skala Rasio

Loss Trigliserida 𝑋9 Skala Rasio

3.3 Metode Pengolahan Data

Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data yang

diambil dari penelitian sebelumnya. Banyaknya pengamatan yang

digunakan 100 pasien, Y = Kadar Gula Darah, 𝑋1 = Usia, 𝑋2 = Jenis

Kelamin, 𝑋3 = Indeks Massa Tubuh, 𝑋4 = Tekanan Darah, 𝑋5 = Tingkat

Kolestrol, 𝑋6 = Low Density Lipoprotein, 𝑋7 = High Density Lipoprotein,

𝑋8 = Thyrocalcitonin Hormone, 𝑋9 = Loss Trigliserida yang merupakan

regresi logistik multinomial.

Langkah kerja yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Pengumpulan literatur yang berasal dari buku dan jurnal

yang menunjang sumber ilmiah untuk penelitain. Tinjauan


20

literatur yang digunakan terbagi menjadi dua yaitu aspek

statistik dan aspek non- statistik.

2. Menentukan variabel dependen dan variabel independen

yang akan digunakan.

3. Mengestimasi parameter model regresi logistik multinomial

dengan bantuan Software SPSS 22.0

4. Melakukan Uji Simultan dan Uji Parsial

5. Melakukan Uji kebaikan model regresi logistik multinomial

dilakukan untuk menguji layak atau tidaknya model yang

dihasilkan.

6. Melakukan Uji Odd rasio untuk mengetahui resiko

kecenderungan suatu kategori terhadap kategorinya

7. Melakukan pemodelan regresi logistik multinomial

8. Kesimpulan dan Saran

3.4 Kerangka Penelitian

Studi Literatur

li Menentukan Variabel Dependen dan variabel Independen

Estimasi Parameter

Uji Simultan dan Uji Parsial

Pemodelan peluang persamaan regresi logistik multinomial

Uji Simultan dan Uji Parsial

Uji kebaikan model regresi logistik

multinomial

Uji Odd Rasio

Kesimpulan dan saran


BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini akan disampaikan hasil beserta pembahasan

penyelesaian dari “Estimasi Parameter Regresi Logistik Multinomial

Menggunakan Metode Maksimum Likelihood”. Pembahasan meliputi

penjelasana regresi logistik multinomial, pendugaan parameter, uji

parameter, hingga pemodelannya dengan pendekatan refresi logistik

multinomial.

4.1 Regresi Logistik Multinomial

Model regresi logistik multinomial adalah model regresi logistik

dengan variabel independen lebih dari satu (Hosmer nad Lemeshow, 1989).

Untuk model regresi dengan variabel dependen berskala ordinal tiga

kategori digunakan kategori variabel hasil Y dikoding 1, 2, dan 3. Variabel

Y terparameterisasi menjadi tiga fungsi logit. Pengembangan model logit

multinomial dapat dijelaskan sebagai berikut.

Misalkan variabel dependen terdiri dari tiga kategori:

𝑃1 : Probabilitas memilih kejadian 1.



Diberikan sejumlah p variabel independen yang dinyatakan dengan

vektor x = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑝) dan diasumsikan masing-masing variabel

tersebut berskala interval maupun berskala rasio, maka model regresi

multinomial dinyatakan sebagai :

𝜋(𝑥𝑖) = 𝑒𝑔(𝑥𝑖)

1+𝑒𝑔(𝑥𝑖) , i = 1, 2, … , n;

dengan

𝑔(𝑥𝑖) = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)


22

Atau model dapat ditulis sebagai:

𝜋(𝑥𝑖) = 𝑒

(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)

1+𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)

(4.1)

di mana,

𝜋(𝑥𝑖) = peluang saat variabel independen bernilai i pada data penelitian

e = eksponen

𝛽0 = konstanta

𝛽1, 𝛽2, … , 𝛽𝑛 = koefisien parameter variabel independen

𝑥𝑖1, 𝑥𝑖2, … , 𝑥𝑖𝑛 = variabel independen ke-ij, i = 1, 2, … , n, j = 1, 2, … , n.

Dengan demikian maka apabila variabel dependennya berupa 3

kategori yang diberi kode 1, 2, dan 3, maka persamaannya adalah sebagai

berikut:

1. P(Y =1|x) = 𝜋1(x)=

exp (𝛽10+ 𝛽11𝑥1+⋯+ 𝛽1𝑛𝑥𝑛)

1+exp(𝛽10+ 𝛽11𝑥1+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑛)+exp (𝛽20+ 𝛽21𝑥1+⋯+ 𝛽2𝑛𝑥𝑛)

(4.2)

2. P(Y=2|x)=𝜋2(x)=



3. P(Y=3|x)=𝜋3(x)=



Dari persamaan (4.2) dapat diketahui bahwa variabel dependen

dengan tiga kategori akan membentuk dua persamaan logit. Dari tiga

kategori akan ditentukan salah satu kategori dari variabel dependen

digunakan sebagai pembanding. Model regresi logistik dengan tiga

variabel dependen memiliki fungsi logit sebagai berikut:


23

𝑔1(x) = ln[𝜋1(𝑥)

𝜋3(𝑥)]

= 𝛽10 + 𝛽11𝑥1 + 𝛽12𝑥2 + … + 𝛽1𝑛𝑥𝑛

= x𝛽1 (4.3)

𝑔2(x) = ln[𝜋2(𝑥)

𝜋3(𝑥)]

= 𝛽20 + 𝛽21𝑥1 + 𝛽22𝑥2+ … + 𝛽2𝑛𝑥𝑛

= x𝛽2 (4.4)

(Hosmer dan Lemeshow, 2000)

4.2 Transformasi Logit pada Model Regresi Multinomial

Menurut Hosmer dan Lemeshow (2000) pada model regresi logistik

multinomial, untuk menghubungkan suatu fungsi nonlinear dengan fungsi

linear sehingga memudahkan dalam mengestimasi parameter 𝛽, diperlukan

transformasi logit ln[𝜋(𝑥𝑖)

1−𝜋(𝑥𝑖)]

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa:

ln[𝜋(𝑥𝑖)

1−𝜋(𝑥𝑖)] = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + 𝛽2𝑥𝑖2 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛

Bukti:

𝜋(𝑥𝑖) = 𝑒



dan

1 - 𝜋(𝑥𝑖) = 1 - 𝑒



=1+𝑒



−𝑒




24

= 1


sehingga didapatkan

𝜋(𝑥𝑖)

1−𝜋(𝑥𝑖) =

𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)


÷1


= 𝑒



× (1 + 𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛))

= 𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)

ln[𝜋(𝑥𝑖)

1−𝜋(𝑥𝑖)] = ln 𝑒(𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖1+ 𝛽2𝑥𝑖2+⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)

= 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + 𝛽2𝑥𝑖2 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛 (4.5)

Terbukti.

Jadi persamaan logit pada model regresi logistik multinomial adalah

g(𝑥𝑖) = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + 𝛽2𝑥𝑖2 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛 (4.6)

4.3 Maksimum Likelihood Estimasi

Misalkan terdapat sampel terdiri n observasi bebas yang

berpasangan yaitu (𝑥𝑖,𝑦𝑖), i =1, 2, 3, …, n. Dengan model regresi logistik

multinomial adalah 𝜋(𝑥𝑖) = 𝑒𝑔(𝑥𝑖)

1+𝑒𝑔(𝑥𝑖) dan fungsi kepadatan adalah f(𝑦𝑖;

𝜋(𝑥𝑖)) = (𝜋(𝑥𝑖))𝑦𝑖

.[1 − 𝜋(𝑥𝑖)]1−𝑦𝑖, i = 1, 2, 3, … , n dengan 𝑦𝑖 = 0, 1.

Maka dapat dibentuk fungsi likelihood sebagai berikut:

l(𝛽) = ∏ 𝑓[𝑦𝑖; 𝜋(𝑥𝑖)]𝑛𝑖=1

= ((𝜋(𝑥1))𝑦1[1 − 𝜋(𝑥1)]

1−𝑦1).((𝜋(𝑥2))𝑦2[1 − 𝜋(𝑥2)]

1−𝑦2) …

((𝜋(𝑥𝑛))𝑦𝑛[1 − 𝜋(𝑥𝑛)]

1−𝑦𝑛)

= ∏ (𝜋(𝑥𝑖))𝑦𝑖

. [1 − 𝜋(𝑥𝑖)]1−𝑦𝑖𝑛

𝑖=1 ), i = 1, 2, … , n (4.7)


25

Dari persamaan (4.7) di atas untuk mempermudah dalam proses

perhitungan selanjutnya, maka dicari log likelihoodnya, karena akan

mencapai maksimum pada 𝛽 yang sama. Jadi persamaan (4.7) diatas dapat

diubah menjadi:

l(𝛽) = ln l(𝛽)

= ln(((𝜋(𝑥1))𝑦1[1 − 𝜋(𝑥1)]

1−𝑦1).((𝜋(𝑥2))𝑦2[1 −

𝜋(𝑥2)]1−𝑦2) … ((𝜋(𝑥𝑛))

𝑦𝑛[1 − 𝜋(𝑥𝑛)]1−𝑦𝑛))

= ln(𝜋(𝑥1))𝑦1

+ ln(1 − 𝜋(𝑥1)1−𝑦1 + … + ln(𝜋(𝑥2))

𝑦2

+ ln(1 − 𝜋(𝑥2)1−𝑦2 + … + (𝜋(𝑥𝑛))

𝑦𝑛 +

ln(1 − 𝜋(𝑥𝑛)1−𝑦𝑛

=∑ ln(𝜋(𝑥𝑖))𝑦𝑖𝑛

𝑖 + ∑ ln𝑛𝑖 (1 − 𝜋(𝑥𝑖)

1−𝑦𝑖

= ∑ (𝑛𝑖 𝑦𝑖 ln(𝜋(𝑥𝑖)) + ∑ (𝑛

𝑖 (1 − 𝑦𝑖)ln(1 − 𝜋(𝑥𝑛))

Dengan substitusi 𝜋(𝑥1) = 𝑒𝑔(𝑥𝑖)

1+𝑒𝑔(𝑥𝑖) , dimana g(𝑥𝑖) = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 +

… + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛 diperoleh

l(𝛽) = ∑ (𝑦𝑖𝑛𝑖=1 ln [

𝑒𝑔(𝑥𝑖)

1+𝑒𝑔(𝑥𝑖)] + (1 − 𝑦𝑖)ln [

1

1+𝑒𝑔(𝑥𝑖)])

𝑙(𝛽) = ∑ 𝑦𝑖(ln (𝑛𝑖 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) − 𝑦𝑖 ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) + (1 −

𝑦𝑖). (ln1 − ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖))))

= ∑ (𝑦𝑖ln (𝑛𝑖 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) − 𝑦𝑖 ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) + (1 −

𝑦𝑖). (− ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖))))

= ∑ (𝑦𝑖ln (𝑛𝑖 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) − 𝑦𝑖 ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) −

ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) + 𝑦𝑖 ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)))

= ∑ (𝑦𝑖ln (𝑛𝑖 𝑒𝑔(𝑥𝑖)) − ln ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)))

= ∑ (𝑦𝑖𝑛𝑖 (𝑔(𝑥𝑖)) − ln ln(1 + 𝑒𝑔(𝑥𝑖)))


26

= ∑ (𝑦𝑖𝑛𝑖 (𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) − ln (1 +

𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛))) (4.8)

Untuk memperoleh nilai estimator �̂�0, �̂�1, … , �̂�𝑛 yang

memaksimumkan l(𝛽), persamaan diatas dideferensialkan terhadap setiap

𝛽𝑛, 𝑛 = 0, 1, 2,… , 𝑛 yaitu :

l(𝛽) = ∑ (𝑛𝑖 𝛽0𝑦0 + 𝛽1𝑥𝑖1𝑦1 + ⋯+ 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛𝑦𝑖 − ln(1 +

𝑒(𝛽0). 𝑒(𝛽1𝑥𝑖1) … 𝑒(𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)))

𝜕𝑙(𝛽)

𝜕𝛽0=∑ [𝑦𝑖 + 0 −𝑛

𝑖=1

(1

1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) x 𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) )]

= ∑ [𝑦𝑖 + 0 − (𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)

1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) )]𝑛

𝑖=1

𝜕𝑙(𝛽)

𝜕𝛽1=∑ [0 + 𝑥𝑖1𝑦𝑖 −𝑛

𝑖=1

(1

1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) x 𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛). 𝑥𝑖1 )]

=∑ [𝑥𝑖1𝑦𝑖 + 𝑥𝑖1𝑦1 −𝑛𝑖=1

(1

1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) x 𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛). 𝑥𝑖1)]

𝜕𝑙(𝛽)

𝜕𝛽𝑛=∑ [𝑥𝑖𝑛𝑦𝑖 + 𝑥𝑖1𝑦1 −𝑛

𝑖=1

(1

1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) x 𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛). 𝑥𝑖𝑛 )]

Karena j = 1, 2, … , n maka didapatkan

𝜕𝑙(𝛽)

𝜕𝛽𝑗=∑ [𝑥𝑖𝑗𝑦𝑖 + 𝑥𝑖1𝑦1 −𝑛

𝑖=1

(1

1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) x 𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛). 𝑥𝑖𝑗)]


27

= ∑ [𝑥𝑖𝑗𝑦𝑖 − (𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)

1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) . 𝑥𝑖𝑗)]

𝑛𝑖=1 (4.9)

Sehingga diperoleh persamaan likelihood:

1. ∑ [𝑦𝑖 (𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)

1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) )]𝑛

𝑖=1 = 0 (4.10)

2. ∑ [𝑥𝑖𝑗𝑦𝑖 − (𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛)

1+𝑒(𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖1 + … + 𝛽𝑛𝑥𝑖𝑛) . 𝑥𝑖𝑗)]

𝑛𝑖=1 = 0 (4.11)

dengan j = 1, 2, … , n

Estimasi parameter β dari persamaan (2.12) diperoleh dengan

memaksimumkan 𝐿(𝛽). Yang perlu menjadi perhatian bahwa fungsi

logaritma bersifat monoton naik sehingga jika fungsi log-likelood mencapai

maksimum, maka fungsi likelihood juga akan mencapai maksimum (Hosmer

& Lemeshow, 2000). Namun sering sekali diperoleh hasil yang eksplisit,

sehingga dilakukan metode numerik untuk memperoleh estimasi

parameternya, yaitu metode iterasi Newton Raphson untuk memaksimumkan

fungsi likelihoodBerikut akan dilakukan perhitungan manual untuk

mengestimasi parameter menggunakan metode Newton Raphson dengan 3

kali iterasi menggunakan variabel respon kadar gula darah normal (𝑌) dan

variabel prediktor Tekanan Darah (𝑋4). Hasil perhitungan manual terdapat

pada Lampiran.

4.3.1 Iterasi Pertama

Langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Menentukan nilai taksiran awal estimasi parameter �̂�.

𝛽𝑡 = 𝛽0 = [00]

2. Menghitung nilai 𝜋𝑖.

𝜋𝑖 =𝑒𝛽0+𝛽1𝑋𝑖

1 + 𝑒𝛽0+𝛽1𝑋𝑖

𝜋(𝑖=0) =𝑒(0)+(0)(0)

1 + 𝑒(0)+(0)(0)


28

=𝑒(0)

1 + 𝑒(0)

= 0,5

𝜋(𝑖=1) =𝑒(0)+(0)(1)

1 + 𝑒(0)+(0)(1)

=𝑒(0)

1 + 𝑒(0)

= 0,5

3. Membentuk matriks turunan pertama 𝑔0(𝛽0).

𝛿𝐿

𝛿𝛽0

= ∑(𝑌𝑖 − 𝜋𝑖)

𝑛

𝑖=1

= −2

𝛿𝐿

𝛿𝛽1= ∑(𝑌𝑖 − 𝜋𝑖)𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

= −11

Maka, matriks turunan pertama yang terbentuk adalah:

𝑔0(𝛽0) = [−2−11

]

4. Membentuk matriks turunan kedua 𝐻0(𝛽0).

𝛿2𝐿

𝛿𝛽02 = −∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))

𝑛

𝑖=1

= −(25)

= −25

𝛿2𝐿

𝛿𝛽0𝛽1

= −∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

= −(35)

= −35

𝛿2𝐿

𝛿𝛽1𝛽0= −∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

= −(35)

= −35


29

𝛿2𝐿

𝛿𝛽12 = − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))

𝑛

𝑖=1

(𝑋𝑖)2

= −(57)

= −57

Maka, matriks Hessian yang terbentuk adalah

𝐻0(𝛽0) = [−25 −35−57 −35

]

5. Membentuk invers dari matriks Hessian.

(𝐻0(𝛽0))−1

= [0,0312 −0,0312

−0,0508 0,0223]

6. Perkalian invers matriks Hessian dan matriks turunan pertama.

(𝐻0(𝛽0))−1

(𝑔0(𝛽0)) = [0,0312 −0,0312

−0,0508 0,0223] [

−2−11

]

= [0,2812

−0,1437]

7. Iterasi dimulai dari 𝑡 = 0 dilakukan iterasi pada persamaan berikut:

𝛽𝑡+1 = 𝛽𝑡 − (𝐻𝑡(𝛽𝑡))−1

(𝑔𝑡(𝛽𝑡))

𝛽1 = 𝛽0 − (𝐻0(𝛽0))−1

(𝑔0(𝛽0))

= [00] − [

0,2812−0,1437

]

= [−0,28120,1437

]

8. Nilai 𝛽1 digunakan sebagai nilai taksiran awal pada iterasi kedua.

4.3.2 Iterasi Kedua



𝛽𝑡 = 𝛽1 = [−0,28120,1437

]




𝜋(𝑖=0) =𝑒(−1,035461)+(1,30819)(0)

1 + 𝑒(−1,035461)+(1,30819)(0)


30

=𝑒(−1,035461)

1 + 𝑒(−1,035461)

= 0,4656

𝜋(𝑖=1) =𝑒(−1,035461)+(1,30819)(1)

1 + 𝑒(−1,035461)+(1,30819)(1)

=𝑒(0,272729)

1 + 𝑒(0,272729)

= 0,5015


𝛿𝐿

𝛿𝛽0

= ∑(𝑌𝑖 − 𝜋𝑖)

𝑛

𝑖=1

= −0,0031

𝛿𝐿


𝑛

𝑖=1

= −9,3526

Maka, matriks turunan pertama yang terbentuk adalah

𝑔1(𝛽1) = [−0,0031−9,3526

]


𝛿2𝐿

𝛿𝛽02 = − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))

𝑛

𝑖=1

= −(24,9189)

= −24,9189

𝛿2𝐿

𝛿𝛽0𝛽1

= − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

= −34,9076

= −34,9076

𝛿2𝐿

𝛿𝛽1𝛽0= − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

= −(34,9076)

= −34,9076


31

𝛿2𝐿

𝛿𝛽12 = − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))

𝑛

𝑖=1

(𝑋𝑖)2

= −(56,8738)

= −56,8738


𝐻0(𝛽0) = [−24,9189 −34,9076−56,8738 −34,9076

]


(𝐻1(𝛽1))−1

= [0,0312 −0,0312

−0,0509 0,0223]


(𝐻1(𝛽1))−1

(𝑔1(𝛽1)) = [0,0312 −0,0312

−0,0509 0,0223] [

−0,0031−9,3526

]

= [0,2925

−0,2087]

7. Iterasi untuk 𝑡 = 1 dilakukan iterasi pada persamaan berikut:

𝛽𝑡+1 = 𝛽𝑡 − (𝐻𝑡(𝛽𝑡))−1


𝛽2 = 𝛽1 − (𝐻1(𝛽1))−1

(𝑔1(𝛽1))

= [−0,28120,1437

] − [0,2925

−0,2087]

= [−0,57380,3525

]

8. Nilai 𝛽2 digunakan sebagai nilai taksiran awal pada iterasi ketiga.

4.3.3 Iterasi Ketiga



𝛽𝑡 = 𝛽2 = [−0,57380,3525

]




𝜋(𝑖=0) =𝑒(−1,1435)+(1,41794)(0)

1 + 𝑒(−1,1435)+(1,41794)(0)

=𝑒(−1,1435)

1 + 𝑒(−1,1435)


32

= 0,4448

𝜋(𝑖=1) =𝑒(−1,1435)+(1,41794)(1)

1 + 𝑒(−1,1435)+(1,41794)(1)

=𝑒(0,27444)

1 + 𝑒(0,27444)

= 0,5327


𝛿𝐿

𝛿𝛽0= ∑(𝑌𝑖 − 𝜋𝑖)

𝑛

𝑖=1

= 0,0038

𝛿𝐿


𝑛

𝑖=1

= −10,9933

Maka, matriks turunan pertama yang terbentuk adalah

𝑔2(𝛽2) = [0,0038

−10,9933]


𝛿2𝐿

𝛿𝛽02 = − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))

𝑛

𝑖=1

= −(24,7150)

= −24,7150

𝛿2𝐿

𝛿𝛽0𝛽1= − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

= −(34,5681)

= −34,5681

𝛿2𝐿

𝛿𝛽1𝛽0= − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

= −(34,5681)

= −34,5681


33

𝛿2𝐿

𝛿𝛽12 = − ∑(𝜋𝑖(1 − 𝜋𝑖))

𝑛

𝑖=1

(𝑋𝑖)2

= −(56,1617)

= −56,1617


𝐻2(𝛽2) = [−24,7151 −34,5681−56,1617 −34,5681

]


(𝐻2(𝛽2))−1

= [−0,2996 0,19090,1909 −0,1425

]


(𝐻2(𝛽2))−1

(𝑔2(𝛽2)) = [−0,2996 0,19090,1909 −0,1425

] [0,0038

−10,9933]

= [−0.00280,0027

]

7. Iterasi untuk 𝑡 = 2 dilakukan iterasi pada persamaan berikut:

𝛽𝑡+1 = 𝛽𝑡 − (𝐻𝑡(𝛽𝑡))−1


𝛽3 = 𝛽2 − (𝐻2(𝛽2))−1

(𝑔2(𝛽2))

= [−0,57380,3525

] − [−0,00280,0027

]

= [−0,92350,6026

]

8. Maka nilai estimasi parameter untuk 𝛽0 = −0,9235 dan untuk 𝛽1 =

0,6026. Hasil tersebut telah sesuai dengan hasil pengolahan data

menggunakan SPSS 22.0 yang terdapat pada Lampiran.

4.4 Uji Parameter

Sebelum dilakukan uji parameter akan dilihat penduga parameter

menggunakan metode maximum likelihood. Hasil pendugaan parameter

disajikan dalam Tabel 4.1 berikut ini:


34

Tabel 4.1 Hasil Penduga Parameter

�̂� Wald Sig

Rendah 0,369 0,011 0,917

Normal 4,049 1,268 0,260

Usia 0,045 7,050 0,008

Gender 0,091 0,032 0,857

IMT 2,243 19,964 0,000

BP 0,478 0,134 0,715

Tc -0,001 0,820 0,365

LDL -0,024 5,890 0,015

HDL -0,012 0,497 0,481

TCH 0,202 2,890 0,027

LTG 0,603 1,207 0,089

Berdasarkan Tabel yang tersaji pada Lmapiran, diketahui variabel

independen mana yang berpengaruh terhadap variabel dependen dilihat dari

nilai signifikansi kurang dari ⍺ = 0,05. Variabel independen yang

berpengaruh adalah Usia, Indeks Massa Tubuh (IMT), Low Density

Lipoprotein (LDL), dan jenis serum Thyrocalcitonin Hormone (TCH).

Menggunakan variabel dependen kategori ke tiga yaitu kategori kadar

gula darah tinggi sebagai pembanding di dapatkan model regresi

logistik sebagai berikut:

𝑔1(𝑥) = 0,369 + 0,045𝑋1 + 2,243𝑋3 − 0,024𝑋6 + 0,202𝑋8

𝑔2(𝑥) = 4,049 + 0,045𝑋1 + 2,243𝑋3 − 0,024𝑋6 + 0,202𝑋8

Selanjutnya akan dilakukan uji parameter menggunakan uji simultan

atau uji G untuk mengetahui apakah taksiran parameter yang diperoleh

berpengaruh secara signifikan terhadap model atau tidak, dan seberapa

besar pengaruh masing-masing parameter tersebut terhadap model.


35

4.4.1 Uji Simultan

Untuk mengetahui apakah modelnya signifikan dan bisa dilanjutkan

untuk uji berikutnya maka perlu dilakukan uji simultan seperti pada Tabel

4.2 berikut:

Tabel 4.2 Hasil Uji Simultan

Model -2 Log Likelihood Chi-Square df Sig.

Intercept Only 183,119

Final 142,483 40,636 10 .000

Berdasarkan Tabel yang tersaji pada Lampiran, diketahui bahwa

nilai signifikansinya lebih kecil dari ⍺= 0,05 sehingga dapat disimpulkan

bahwa model tersebut signifikan dan bisa dilakukan uji selanjutnya yaitu Uji

Parsial.

Hipotesis untuk Uji Simultan yaitu:

𝐻0 : Tidak ada satupun variabel independen yang secara statistik signifikan

mempengaruhi variabel dependen

𝐻1 : Minimal terdapat satu variabel independen yang secara statistik

signifikan mempengaruhi variabel dependen.

Tolak 𝐻0 : Jika nilai signifikansi lebih kecil dari ⍺ = 0,05 atau Chi Square

hitung lebih besar dari Chi Square tabel (db = k - 1)

4.4.2 Uji Parsial

Uji Parsial digunakan untuk mengetahui apakah ada pengaruh

masing-masing variabel independen terhadap variabel dependen.

Tabel 4.3 Hasil Uji Parsial untuk semua variabel

Variabel Chi-Square Sig Keterangan

Intersep 7,551 0,023 Tolak 𝐻0

Usia 10,889 0,004 Tolak 𝐻0

Jenis Kelamin 5,757 0,056 Terima 𝐻0

Indeks Massa Tubuh 21,270 0,000 Tolak 𝐻0

Tekanan Darah 4,252 0,119 Terima 𝐻0


36

Tabel 4.3 Hasil Uji Parsial untuk semua variabel


Tingkat Kolestrol 2,471 0,291 Terima 𝐻0

LDL 0,346 0,041 Tolak 𝐻0

HDL 5,138 0,077 Terima 𝐻0

TCH 2,009 0,035 Tolak 𝐻0

LTG 4,382 0,112 Terima 𝐻0

NIlai likelihood ratio test dapat ditunjukkan oleh variabel

independen yang ada dalam model pada Tabel yang tersaji pada Lampiran,

dapat diketahui signifikansi untuk variabel usia, indeks massa tubuh, jenis

serum low density lipoprotein, dan jenis serum thyrocalcitonin hormone

kurang dari ⍺ = 0,05 yang berarti variabel tersebut lebih baik dalam

membentuk model dibandingkan dengan model yang hanya memasukan

konstanta.

Dari empat faktor yang berpengaruh dilakukan kembali uji parsial

dan didapatkan hasil sebagai berikut:

Tabel 4.4 Hasil Uji Parsial untuk variabel yang berpengaruh


Intersep 6,245 0,044 Tolak 𝐻0

Usia 6,645 0,039 Tolak 𝐻0

Indeks Mssa

Tubuh

17,530 0,000 Tolak 𝐻0

LDL 6,006 0,022 Tolak 𝐻0

TCH 6,437 0,048 Tolak 𝐻0

Setelah dilakukan pengujian kembali pada variabel yang

berpengaruh, diketahui bahwa hasil yang diperoleh tidak jauh berbeda

dengan pengujian menggunakan seluruh variabel. Dari Tabel 4.3 dan Tabel

4.4 dapat diketahui bahwa tidak ada perbedaan pada uji parsial dengan

seluruh variabel dan uji parsial dengan hanya menggunakan variabel yang


37

berpengaruh sehingga tetap menggunakan seluruh variabel untuk model

terbaiknya.

Uji hipotesis untuk uji parsial adalah:

𝐻0 : Variabel independen ke- j secara statisik signifikan mempengaruhi

variabel dependen

𝐻1 : Variabel independen ke- j secara statistik tidak signifikan

mempengaruhi variabel dependen

Tolak 𝐻0:Jika nilai signifikansi untuk variabel ke- j lebih kecil dari (⍺ =

0,05) atau Chi-Square hitung lebih besar dari Chi-Square tabel (𝑑𝑏 = 𝑘 −

1)

4.5 Uji Kebaikan Model (goodness of fit)

Untuk mengetahui apakah keseluruhan variabel independen

memiliki pengaruh terhadap variabel dependen maka perlu dilakukan uji

kebaikan model (goodness of fit) dengan Uji Pearson dan hasilnya akan

ditampilkan pada Tabel 4.5 berikut ini:

Tabel 4.5 Hasil Uji Kebaikan Model

Chi-Square Df Sig

Pearson 175,386 188 0,736

Deviance 142,483 188 0,994

hipotesis yang diuji adalah:

𝐻0 : model layak digunakan atau model sesuai

𝐻1 : model tidak layak digunakan atau model tidak sesuai


nilai p-value dari Pearson sebesar 0,736 lebih besar dari ⍺ = 0,05 jadi 𝐻0

diterima dan model layak digunakan atau model sesuai

4.6 Koefisien Determinasi

Nilai koefisien determinasi dapat diketahui dari nilai Mc Fadden,

Cox and snell dan Nagelkerke seperti pada Tabel 4.6 berikut ini:


38

Tabel 4.6 Hasil Koefisien Determinasi

Cox and Snell 0,330

Nagelkerke 0,393

Mc Fadden 0,219


nilai Cox and Snell sebesar 0,33, nilai Nagelkerke sebesar 0,393 dan nilai

Mc Fadden sebesar 0,219. Artinya variabel bebas nya mampu menjelaskan

variabel terikat sebesar 31,4%.

Faktor-faktor yang berpengaruh secara signifikan diuji kembali dan

didapatkan hasil seperti pada Tabel 4.7 berikut ini:

Tabel 4.7 Uji Koefisien Determinasi untuk Variabel yang Berpengaruh

Cox and Snell 0,251

Nagelkerke 0,299

Mc Fadden 0,157

Dari Tabel yang tersaji pada Lampiran, dapat diketahui bahwa nilai

Cox and Snell sebesar 0,251, nilai Nagelkerke sebesar 0,299 dan nilai Mc

Fadden sebesar 0,157. Artinya variabel bebas nya mampu menjelaskan

variabel terikat sebesar 23,5%

Berdasarkan Tabel 4.6 dan Tabel 4.7 diketahui bahwa nilai koefisien

determinasi menggunakan seluruh variabel lebih besar dari nilai koefisien

determinasi yang hanya menggunakan variabel yang berpengaruh.

4.7 Pemodelan Regresi Logistik Multinomial

Dapat dibentuk model logit terbaik regresi logistik multinomial pada

contoh kasus diabetes mellitus. Dari persamaan (4.3) dan (4.4) akan

didapatkan:

Logit 1

𝑔1(x) = ln[𝜋1(𝑥)

𝜋3(𝑥)]

𝑔1(𝑥) = 0,369 + 0,045𝑋1 + 2,243𝑋3 − 0,024𝑋6 + 0,202𝑋8


39

Dengan Logit 1 merupakan log perbandingan antara peluang kadar

gula darah rendah terhadap kadar gula darah tinggi pada penyakit diabetes

mellitus.

Demikian pula fungsi logit 2:

Logit 2

𝑔2(x) = ln[𝜋2(𝑥)

𝜋3(𝑥)]

𝑔2(𝑥) = 4,049 + 0,045𝑋1 + 2,243𝑋3 − 0,024𝑋6 + 0,202𝑋8

Dengan Logit 2 merupakan log perbandingan antara peluang kadar

gula darah normal terhadap kadar gula tinggi pada penyakit diabetes

mellitus.

Dari model di atas didapatkan interpretasi yaitu:

1. Setiap penambahan usia satu tahun, maka akan meningkatkan kadar

gula darah sebanyak 0,045 mmHg, apabila Indeks Massa Tubuh, Low

Density Lipoprotein, dan Thyrocalcitonin Hormone tetap.

2. Setiap penambahan berat badan satu kilogram, maka akan

meningkatkan kadar gula darah sebanyak 2,243 mmHg, apabila usia, Low

Density Lipoprotein, dan Thyrocalcitonin Hormone tetap.

3. Setiap penambahan Low Density Lipoprotein mmol/L, maka

meningkatkan kadar gula darah sebanyak 0,024 mmHg, apabila usia, Indeks

Massa Tubuh, dan Thyrocalcitonin Hormone tetap.

4. Setiap penambahan variabel Thyrocalcitonin Hormone satu mIU/L,

maka akan menigkatkan kadar gula darah sebanyak 0,202 mmHg, apabila

usia, Indeks Massa Tubuh, dan Low Density Lipoprotein tettap.

5. Jika usia, Indeks Massa Tubuh, Low Density Lipoprotein, dan

Thyrocalcitonin Hormone sama dengan 0, maka kadar gula darah rendah

sebesar 0,369 dan kadar gula darah normal sebesar 4,049.

4.8 Interpretasi Model

Apabila model telah diuji dan hasilnya modelnya baik serta

signifikansinya nyata maka data tersebut dapat diinterpretasikan dengan

menggunakan uji odds ratio seperti pada Tabel 4.8 berikut ini:


40

Tabel 4.8 Hasil Uji Odds Ratio

Kadar Glukosa Variabel Sig Odds Ratio

Rendah Usia 0,007 0,869

IMT 0,029 9,585

LDL 0,038 1,014

TCH 0,018 4,420

Normal Usia 0,019 0,969

IMT 0,000 9,226

LDL 0,048 0,999

TCH 0,039 1,599

Berdasarkan tabel yang tersaji pada Lampiran, dapat diketahui :

1. Uji odd ratio untuk usia adalah semakin bertambahnya usia pada

penderita kadar gula darah rendah maka peluang seseorang menderita

diabetes mellitus lebih kecil 0,869 kali dibanding penderita kadar gula darah

tinggi. Sedangkan pada penderita kadar gula darah normal maka peluang

seseorang menderita diabetes mellitus lebih kecil 0,969 kali dibanding

penderita kadar gula darah tinggi.

2. Uji odd ratio untuk IMT adalah semakin bertambahnya berat badan

pada penderita kadar gula darah rendah maka peluang seseorang menderita

diabetes mellitus lebih besar 9,585 kali dibanding penderita kadar gula

darah tinggi. Sedangkan pada penderita kadar gula darah normal maka

peluang seseorang menderita diabetes mellitus lebih besar 9,226 kali

dibanding penderita kadar gula darah tinggi.

3. Uji odd ratio untuk LDL adalah semakin tinggi kadar LDL pada




peluang seseorang menderita diabetes mellitus lebih kecil 0,999 kali

dibanding penderita kadar gula darah tinggi.


41

4. Uji odd ratio untuk TCH adalah semakin tinggi kadar TCH pada




peluang seseorang menderita diabetes mellitus lebih besar 1,599 klai

dibanding penderita kadar gula darah tinggi. Berdasarkan hasil uji odd ratio

diketahui besarpeluang seseorang dengan kadar gula darah rendah, normal

dan tinggi menderita diabetes mellitus.


BAB V

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan analisis dan pembahasan pada kasus kadar gula darah

pasien penyakit diabetes mellitus menggunakan regresi logistik multinomial

diperoleh kesimpulan bahwa dari 9 variabel independen yang diteliti, hanya

4 faktor saja yang signifikan mempengaruhi kadar gula darah pasien

penyakit diabetes mellitus. Model regresi logistik multinomial yang

didaptkan yaitu 𝑔1(𝑥) = 0,369 + 0,045𝑋1 + 2,243𝑋3 + 0,024𝑋6 +

0,202𝑋8 dan 𝑔2(𝑥) = 4,049 + 0,045𝑋1 + 2,243𝑋3 + 0,024𝑋6 +

0,202𝑋8. Faktor yang paling mempengaruhi kadar gula darah pasien

penyakit diabetes mellitus adalah usia (𝑥1), Indeks Massa Tubuh (IMT)

(𝑥3), Low Density Lipoprotein (LDL) (𝑥6), dan jenis serum Thyrocalcitonin

Hormone (TCH) (𝑥8).

5.2 Saran

Sebagai saran yang ditujukan kepada pembaca yang ingin

menyelesaikan estimasi parameter regresi logistik multinomial agar dapat

mengembangkan lebih luas lagi dengan menggunakan metode yang berbeda

dari penelitian yang penulis lakukan. Pada penelitian ini terbatas pada cara

mengestimasi parameter menggunakan metode maximum likelihood.


Daftar Pustaka

Agresti, Alan. 1990. Categorical Data Analysis, John Willey & Sons Inc.,

New York

Agresti, Alan. 2002, Categorical Data Analysis Second Edition, John Wiley

& Sons Inc., New York.

Agresti, Alan. 2007. An Introduction to Categorical Data Analysis. John

Wiley & Sonc Inc., New York

Bradley Efron, Trevor Hastie, Iain Johnstone and Robert Tibshirani. 2004.

Least Angle Regression. Statistics Department Stanford University.

Research Papers, Vol 32 No. 2. Pp-407-408.

Gudono. 2011. Analisis Data Multivariat. Yogyakarta: BPFE – Yogyakarta.

Anggota IKAPI.

Gunardi. 1999. Metode Statistik. Yogyakarta: FMIPA Universitas Gadjah

Mada.

Hayati, Erna. 2014. Analisis Regresi Logistik untuk Mengetahui Faktor-

Faktor yang Mempengaruhi Frekuensi Kedatngan Pelanggan di Pusat

Perbelanjaan “X”. Jurnal Ekbis, Vol 12 No. 3.

Hosmer, D. W., dan Lemeshow, S. 1989. Applied Logistic Regression. John

Wiley & Sons Inc., New York.

Hosmer, D.W., dan Lemeshow, S. 2000. Applied Logistic Regression. John

Wiley & Sons Inc., New York.

Kurniasari, Lia, Eni Sumarminingsih, dan Solimun. 2013. Pemodelan

Regresi Logistik Dan Regresi Probit Pada Variabel Bebas

Multinomial. Jurnal Matematika. Pp-309-310

Montgomery, Douglas, Elisabateh Peck, dan G. Geoffrey Vining. 1992.

Introduction to Linear Regreession Analysis. John Willey & Sons

Inc., New York

Powers, M.A. 2010. Metabolic Diseases: Advances in Research and

Treatment. Journal of the American Dietetic Association. USA

Sudjana. 1997. Metode Statistika. Bandung: PT. Tarsito Bandung.

Suharjo, Bambang. 2008. Analisis Regresi Terapan dengan SPSS.

Yogyakarta: Graha Ilmu.

Supangat, Andi. 2007. Statistika: dalam Kajuan Deskriptif, inferensi, dan

nonparametrik. Jakarta: Kencana.

Usman, Husaini, dan Akbar, Purnomo Setiady. 2006. Pengantar Statistika.

Jakarta: Bumi Aksara.


44

Widarjono, Agus. 2010. Amalisis Multivariat Terapan. Yogyakarta:

Sekolah Tinggi Ilmu Manajemen YKPN.

Zulkifli, Moch. Jeffry Maulana. 2014. Pendekatan Regresi Logistik

Multinomial Pada Klasifikasi Pemilihan Jurusan Siswa SMA Negeri

5 Malang. Jurnal Mahasiswa Statistik, Vol 2 No 5. Pp-349-352.


LAMPIRAN

Lampiran 1. Metode Newton Raphson

Iterasi Pertama

Y X 𝝅𝟏 𝜹𝑳

𝜹𝜷𝟎

𝜹𝑳

𝜹𝜷𝟏

𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟎𝟐

𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟎𝜷𝟏

𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟏𝜷𝟎

𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟏𝟐

1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 3 0,5 -0,5 -1,5 0,25 0,75 0,75 2,25

1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25


46

Iterasi Pertama Lanjutan


𝜹𝜷𝟎

𝜹𝑳

𝜹𝜷𝟏

𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟎𝟐

𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟏𝟐

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 3 0,5 -0,5 -1,5 0,25 0,75 0,75 2,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 3 0,5 -0,5 -1,5 0,25 0,75 0,75 2,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 3 0,5 -0,5 -1,5 0,25 0,75 0,75 2,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1


47

Iterasi Pertama Lanjutan


𝜹𝜷𝟎

𝜹𝑳

𝜹𝜷𝟏

𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟎𝟐

𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟏𝟐

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 2 0,5 0,5 1 0,25 0,5 0,5 1

0 1 0,5 -0,5 -0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

0 2 0,5 -0,5 -1 0,25 0,5 0,5 1

1 1 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25

-2 -11 25 35 35 57


48

Iterasi Kedua


𝜹𝜷𝟎

𝜹𝑳

𝜹𝜷𝟏

𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟎𝟐

𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟏𝟐

1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 3 0,53743 -0,53743 -1,61229 0,248599 0,745797 0,745797 2,237391

1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822


49

Iterasi Kedua Lanjutan


𝜹𝜷𝟎

𝜹𝑳

𝜹𝜷𝟏

𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟎𝟐

𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟏𝟐

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 3 0,53743 -0,53743 -1,61229 0,248599 0,745797 0,745797 2,237391

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 3 0,53743 -0,53743 -1,61229 0,248599 0,745797 0,745797 2,237391

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 3 0,53743 -0,53743 -1,61229 0,248599 0,745797 0,745797 2,237391

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999


50

Iterasi Kedua Lanjutan


𝜹𝜷𝟎

𝜹𝑳

𝜹𝜷𝟏

𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟎𝟐

𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟏𝟐

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 2 0,501562 0,498438 0,996875 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

0 1 0,465679 -0,46568 -0,46568 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

0 2 0,501562 -0,50156 -1,00312 0,2499976 0,4999951 0,4999951 0,99999

1 1 0,465679 0,534321 0,534321 0,2488221 0,2488221 0,2488221 0,248822

-0,00318 -9,35262 24,918931 34,907644 34,907644 56,87386


51

Iterasi Ketiga


𝜹𝜷𝟎

𝜹𝑳

𝜹𝜷𝟏

𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟎𝟐

𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟏𝟐

1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 3 0,618628 -0,61863 -1,85588 0,235927 0,707782 0,707782 2,123346

1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964


52

Iterasi Ketiga Lanjutan


𝜹𝜷𝟎

𝜹𝑳

𝜹𝜷𝟏

𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟎𝟐

𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟏𝟐

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 3 0,618628 -0,61863 -1,85588 0,235927 0,707782 0,707782 2,123346

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 3 0,618628 -0,61863 -1,85588 0,235927 0,707782 0,707782 2,123346

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 3 0,618628 -0,61863 -1,85588 0,235927 0,707782 0,707782 2,123346

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708


53

Iterasi Ketiga Lanjutan


𝜹𝜷𝟎

𝜹𝑳

𝜹𝜷𝟏

𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟎𝟐

𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳


𝜹𝟐𝑳

𝜹𝜷𝟏𝟐

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 2 0,532756 0,467244 0,934489 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

0 1 0,444897 -0,4449 -0,4449 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0 2 0,532756 -0,53276 -1,06551 0,248927 0,497854 0,497854 0,995708

1 1 0,444897 0,555103 0,555103 0,246964 0,246964 0,246964 0,246964

0,003888 -10,9933 24,71505 34,56814 34,56814 56,16173


54

Lampiran 2. Data Pasien Penyakit Diabete Mellitus


55


56


57


58


59

Lampiran 3. Output SPSS untuk Pendugaan Parameter


60

Lampiran 4. Output SPSS untuk Uji Simultan


61

Lampiran 5. Output SPSS untuk Uji Parsial (Wald)


62

Lampiran 6. Output SPSS untuk Uji Kebaikan Model


63

Lampiran 7. Output SPSS untuk Uji Koefisien Determinasi


64

Lampiran 8. Output SPSS untuk Uji Odd Ratio


estimasi parameter regresi logistik multinomial

Documents